初二上学期轴对称图形知识点加练习

初二数学轴对称练习题及答案轴对称是初中数学中的一个重要概念，它在几何图形的研究中具有广泛的应用。

本文将为大家提供一些初二数学轴对称的练习题及答案，帮助同学们更好地理解和掌握这个知识点。

1. 练习题一在平面上，画出图形ABC，其中AB=3 cm，BC=4 cm，AC=5 cm。

找出图形的对称中心，并标出。

解答：首先，根据给定条件画出图形ABC。

由题目可知，三角形ABC是一个直角三角形，其中∠ABC=90°。

以边AC为轴，将三角形沿中点F对折，使得点B和B'重合。

连接BB'，则BB'即为轴对称线，其交点F即为图形ABC的对称中心。

2. 练习题二如图所示，J、K、L、M是矩形ABCD的四个顶点，N是JL的中点，P是KN的中点，连接BM和CP，交于点O。

证明：BO=OC。

解答：根据题目所给条件，我们可以先证明三角形MBN与三角形PCO全等。

首先，由矩形ABCD的性质可知，AD∥BC，故∠NBC=∠BAN=90°。

其次，由题目可知，N是JL的中点，所以NJ=NL，结合矩形的性质可得∠NJL=∠NLF=90°，因此NFBJ是一个矩形。

同理，NEDK也是一个矩形。

由于FB=EK，NJ=NL，所以根据余角定理可知∠NBF=∠NEK。

再根据SSS全等定理，得到三角形MBN与三角形PCO全等，因此MB=PC。

又因为M和P分别是BC和KN的中点，故MB=BC/2，PC=KN/2。

所以BC/2=KN/2，即BC=KN。

由于BO和OC分别是BM和CP的中线，所以BO=BM/2，OC=CP/2。

综上所述，BO=OC。

3. 练习题三已知矩形EFGH中，AB=8 cm，BC=6 cm。

在边AB和BC上分别取两个等分点D和I，并连接DI。

求证：DI垂直于FG。

解答：根据题目中所给条件，我们可以先证明三角形GBD与三角形ACI全等。

首先，由矩形EFGH的性质可知，EF∥GH，所以∠FGB=∠AGH=90°。

第十三章轴对称一、概念1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。

这条直线叫做对称轴。

折叠后重合的点是对应点,叫做对称点3、让学生知道轴对称图形（一个图形，有一条或多条对称轴）和轴对称（两个图形，只有一条对称轴）的区别与联系4.轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

二、线段的垂直平分线1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。

2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为（x,- y）.点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为（-x, y）.注意：像类似点（x，y）关于X=1对称的题目要学会做法2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等注意：知道角平分线交点（到边相等）和垂直平分线交点（到点相等）的区别四、等腰三角形1.等腰三角形的性质①.等腰三角形的两个底角相等。

（等边对等角）②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

（等角对等边）注意：三线合一不能直接来判定等腰三角形，需要证明全等。

八年级上册轴对称的知识点轴对称是几何中常见的概念，也是初中数学中必须掌握的一个知识点。

在此，我们将对八年级上册轴对称的相关知识进行详细介绍，以便同学们更好地掌握。

一、轴对称的定义
轴对称，指平面上存在一条直线，将图形对称折叠后，两边完全重合，那么这条直线就叫做轴对称线，这种图形就是轴对称图形。

二、轴对称的性质
1.轴对称线是图形的对称轴，对称轴上任意一点到图形两边的距离相等。

2.轴对称图形中，如果一条线段与对称轴垂直，那么它与对称轴的交点一定在对称轴的中点。

3.轴对称图形中，如果一条线段与对称轴平行，那么它对称后
的线段与原线段的距离相等。

三、轴对称的判定方法
1.对称中心法：将图形折叠后，查看两边是否完全重合，确定
对称中心及轴对称线。

2.寻找轴对称点法：通过寻找具有对称性的点，确定轴对称线。

四、轴对称的常见图形
1.正方形：正方形具有4条对称轴，分别是4个边的中垂线和
2条对称线。

2.矩形：矩形具有2条对称轴，分别是2条相邻边的中垂线。

3.等边三角形：等边三角形具有3条对称轴，分别是3条中线。

4.等腰三角形：等腰三角形具有1条对称轴，即过顶点与底边中点的中线。

5.圆：圆具有无数条对称轴，都是其直径。

五、轴对称的应用
轴对称不仅在几何学中有广泛的应用，而且在现实生活中也有很多应用。

比如对称艺术品、镜像照片等。

六、总结
轴对称作为初中几何中的基础知识，是我们往后学习更高级几何学知识的基础。

通过本篇文章的介绍和总结，相信同学们已经对轴对称有了更深入的理解和掌握。

第十三章（精编）轴对称《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，•这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识1.下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有【】A．1个B．2个C．3个D．4个2．图中，轴对称图形的个数是【】A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．正n 边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，•叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，•与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．考点二、线段垂直平分线的性质4．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，BD 为∠ABC 平分线，DE ⊥BC ，E 是BC 的中点，求∠C 的度数。

初二数学轴对称总结练习题轴对称是初中数学中的一个重要概念，也是几何中常见的一种性质。

轴对称指的是图形关于某条直线对称成立，对称轴是图形中的某条直线，使得图形关于该直线对称，即该直线上的任意一点经过对称后，都能与原图形上对应的点重合。

那么在学习轴对称的过程中，总结练习题是很有必要的。

本文将为大家总结初二数学轴对称相关的练习题，以便巩固和提高对轴对称的理解与运用。

一、关于轴对称的基础练习题1. 在一个平面直角坐标系中，图形A关于y轴对称得到图形A'，如果A'的坐标是(-3,-2)，则A的坐标是多少？2. 图形B关于y轴对称，若图形B的坐标是(5,7)，则B'的坐标是多少？3. 在平面直角坐标系中，图形C关于y轴对称后，得到了图形C'，若点C(1,2)在图形C'上，求C'的坐标。

4. 在平面直角坐标系中，图形D关于y轴对称后，得到了图形D'，如果D'的坐标是(-2,4)，则D的坐标是多少？5. 在平面直角坐标系中，图形E关于x轴对称的图形是图形E'，若图形E'的坐标是(3,-5)，则E的坐标是多少？二、关于轴对称图形的性质练习题1. 若平面图形F关于直线y=4对称，则判断以下说法是否正确：a) 图形F的对称轴是直线y=4；b) 图形F任意两点关于y=4对称的点的连线垂直于y=4。

2. 判断以下命题是否正确：a) 关于过点P(-3,5)的垂直线的轴对称图形关于y轴对称；b) 关于过点Q(2,-3)的水平线的轴对称图形关于x轴对称。

3. 若图形G关于y=-x对称，并且G关于原点O对称，则判断以下说法是否正确：a) 图形G的对称轴是y=-x；b) 图形G的对称轴是原点O；c) 图形G关于y=x对称。

三、综合运用轴对称的练习题1. 在平面直角坐标系中，图形H关于y轴对称的图形是图形I，图形J关于x轴对称的图形是图形K。

如果图形H、I、J、K的坐标分别为：H：(3,-4)，I：(-3,-4)J：(1,-5)，K：(1,5)则求图形H、I、J、K的对称轴方程。

轴对称练习题初二
轴对称是几何学中常见的概念，它可以帮助我们更好地认识图形的
对称性质。

初二学生在学习轴对称时，通常会遇到一些练习题，以巩
固和提高对轴对称的理解。

本文将为初二学生提供一些轴对称练习题，帮助他们更好地掌握这一知识点。

1. 题目一
在一个平面上，有一个图形A，它关于一条直线L轴对称。

已知图
形A的一些特征点，如下图所示：
（插入图1）
请你根据这些特征点，绘制出图形A。

解答：
（插入图2）
2. 题目二
在一个平面上，有一个图形B，它关于一条直线M轴对称。

已知图形B的一些特征点，如下图所示：
（插入图3）
请你根据这些特征点，绘制出图形B。

解答：
（插入图4）
3. 题目三
在一个平面上，有一个图形C，它关于一条直线N轴对称。

已知图形C的一些特征点，如下图所示：
（插入图5）
请你根据这些特征点，绘制出图形C。

解答：
（插入图6）
4. 题目四
在一个平面上，有一个图形D，它关于一条直线P轴对称。

已知图形D的一些特征点，如下图所示：
（插入图7）
请你根据这些特征点，绘制出图形D。

解答：
（插入图8）
通过以上练习题，我们可以加深对轴对称的理解，并掌握如何根据特征点绘制轴对称图形。

在解答过程中，我们可以运用直线对称的性质，将特征点对称复制到对称位置，从而得到完整的轴对称图形。

希望以上练习题对初二学生提高轴对称的能力有所帮助。

通过不断练习和探索，相信你们一定能够熟练掌握轴对称的知识，并在几何学的学习中取得更好的成绩！。

图形的轴对称（4种题型）【知识梳理】一．轴对称的性质（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．二．轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．三．作图-轴对称变换几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．四．轴对称-最短路线问题1、最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．【考点剖析】一．轴对称的性质例1.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为（）A．9B．10C．11D．12【解答】解：∵点A与点E关于直线CD对称，∴AD＝DE，AC＝CE＝9，∵AB＝7，AC＝9，BC＝12，∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10．故选：B．【变式】如图，在△ABC中，点P为AB和BC垂直平分线的交点，点Q与点P关于AC对称，连接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一个角是50°，则∠B＝度．【解答】解：连接AP、BP，如图：∵点P为AB和BC垂直平分线的交点，∴PA＝PB＝PC，∴∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，∵点Q与点P关于AC对称，∴PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，∴∠CPQ＝∠CQP，①当∠CPQ＝∠CQP＝50°时，∠PCQ＝80°，∴∠PCA＝40°，∴∠PAC＝40°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝100°，∴2∠ABP+2∠PBC＝100°，∴∠ABP+∠PBC＝50°，即∠ABC＝50°，②当∠PCQ＝50°时，∠PCA＝25°，∴∠PAC＝25°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝130°，∴2∠ABP+2∠PBC＝130°，∴∠ABP+∠PBC＝65°，即∠ABC＝65°，综上所述，∠ABC为50°或65°，故答案为：50或65．二．轴对称图形例2.如图图案中，成轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．是轴对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：B．【变式1】如图，在3×3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑，使得3个涂黑的正方形成轴对称图形，则选择的方法有（）A．3种B．4种C．5种D．6种【解答】解：如图，将图中剩余的编号为1至7的小正方形中任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形，故选：C．【变式2】如图1，▱ABCD的对角线交于点O，▱ABCD的面积为120，AD＝20．将△AOD、△COB合并（A 与C、D与B重合）形成如图2所示的轴对称图形，则MN+PQ＝（）A．29B．26C．24D．25【解答】解：如图，连接PQ，则可得对角线PQ⊥MN，且PQ与平行四边形的高相等．∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝20，∴MN＝AD＝20，12PQ⋅MN=12×12012EF×AD=12×120，∴PQ＝6，又MN＝20，∴MN+PQ＝26，故选：B．三．作图-轴对称变换例3.如图，在△ABC中，点A（﹣3，1），B（﹣1，0）．（1）根据上述信息在图中画平面直角坐标系，并求出△ABC的面积；（2）在平面直角坐标系中，作出△ABC关于y轴对称图形△A1B1C1．【解答】解：（1）如图所示，△ABC的面积＝2×3﹣×2×2﹣×1×2＝3；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．【变式1】如图都是3×3的正方形网格，点A、B、C均在格点上．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M、N为格点．（2）在图②中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D、E、F为格点，并写出符合条件的三角形共有个．【解答】解：（1）如图①所示，线段MN即为所求（答案不唯一）；（2）如图②所示，△DEF即为所求（答案不唯一），符合条件的三角形共有4个，故答案为：4．【变式2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点在网格的格点上．（1）写出点A，B的坐标：A，B．．（2）在图中作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．（3）求△ABC的面积．【解答】解：（1）由图知A（﹣1，1）、B（﹣3，3），故答案为：（﹣1，1）、（﹣3，3）；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．（3）△ABC的面积为3×5﹣×1×5﹣×2×2﹣×3×3＝6．【变式3】如图，△ABC的顶点分别为A（1，3），B（4，5），C（1，5），先将△ABC以第一象限的角平分线所在直线为对称轴通过轴对称得到△A′B′C′，再将△A′B′C′以x轴为对称轴通过轴对称得到△A″B″C″．（1）画出△A″B″C″；（2）写出A″，B″，C″三点的坐标；（3）一般地，某一点P（x，y）经过这样的两次轴对称变换后得到的点P″的坐标为．【解答】解：（1）如图，△A″B″C″即为所求；（2）A″（3，﹣1），B″（5，﹣4），C″（5，﹣1）；（3）点P″的坐标为（y，﹣x）．故答案为：（y，﹣x）．【变式4】在平面直角坐标系中，已知△ABC的位置如图所示，（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点，不㝍画法）；（2）写出点A′，B′，C′的坐标．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；（2）A′（﹣1.3），B′（﹣3，0C′（﹣4，4）．四．轴对称-最短路线问题例4.如图所示，点P为∠O内一定点，点A，B分别在∠O的两边上，若△PAB的周长最小，则∠O与∠APB 的关系为（）A．2∠O＝∠APB B．∠O＝2∠APBC．∠O+∠APB＝180°D．2∠O+∠APB＝180°【解答】解：如图，作点P关于OM的对称点P'，点P关于ON的对称点P''，连接OP'，OP''，P'P''，其中P'P''交OM于A，交ON于B，此时△PAB的周长最小值等于P'P''的长，由轴对称性质可知：OP＝OP'，OP＝OP''，∠AOP＝∠AOP'，∠BOP＝∠BOP''，∴∠P'OP''＝2∠AOB，∴∠P'＝∠P''＝＝，∴∠APB＝∠P'+∠P''＝180°﹣2∠AOB，即2∠O+∠APB＝180°，故选：D．(1)求AP PB+；(2)若点M是直线l上异于点(3)如图2，在l上求作一点【详解】（1）点A'与A关于直线l对称，AP A P '∴=，AP PB A P PB A B ''∴+=+=，A B a '=，AP PB a ∴+=；（2）连接A M '，点A '与A 关于直线l 对称，AM A M '∴=，AP A P '=，AM MB A M MB '∴+=+，AP PB A P PB A B ''+=+=，A MB '△中A M MB A B ''+>，AM MB AP PB ∴+>+；（3）作点A 关于直线l 对称点A 'A B '交直线l 于点M ，如下图所示．【过关检测】一、单选题 1．（2021秋·浙江宁波·八年级浙江省余姚市实验学校校考期中）环保理念深入人心，垃圾分类的标识中，是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据轴对称图形的概念即可解决本题．【详解】由轴对称图形概念，平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形，能够判断出A为轴对称图形．故答案为A．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，难度系数不高，解题的关键在于正确理解轴对称图形的概念．2．（2023·浙江·八年级假期作业）小明以四种不同的方式连接正六边形ABCDEF的两条不同的对角线，那么连接后的四个图形，不是轴对称图形的是（）．．．．【答案】D【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可求解问题．【详解】解：由题意得：A、B、C选项都是轴对称图形，不符合轴对称图形的只有D选项；故选D．【点睛】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．3．（2020秋·浙江温州·八年级校考期中）将一张长方形纸对折，然后用笔尖在纸上扎出“B”，再把纸铺平，可以看到的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】轴对称图形的定义是，在一个平面内，平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就是轴对称图形．根据定义即可得到正确答案【详解】解：A、不是轴对称图形，答案错误；B、不是轴对称图形，答案错误；C、是轴对称图形，答案正确；D、不是轴对称图形，答案错误．故选：C【点睛】本题考查轴对称图形的定义，根据定义解题是关键．八年级假期作业）如图，将ABC折叠，使A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cm【答案】C∠的角平分线，根据垂线段最短即可解答．【分析】由折叠可得：PA为BAC【详解】解：∵将ABC折叠，使AC边落在AB边上，∠的角平分线，∴PA为BAC∵点Q为AC上任意一点，∴PQ的最小值等于点P到AB的距离3cm．故选C．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质定理等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解答本题的关键．5．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若253∠=︒，则1∠的度数是（ ）A ．86︒B ．74︒C ．106︒D ．126︒【答案】C 【分析】如图，记AD 的延长线为DC ，则由折叠的性质可得3253∠=∠=︒，得到106CDE ∠=︒，再根据平行线的性质即可得出答案.【详解】解：如图，记AD 的延长线为DC ，则由折叠的性质可得：3253∠=∠=︒，∴106CDE ∠=︒，∵BE AC ∥，∴1106CDE ∠=∠=︒；故选：C.【点睛】本题考查了折叠的性质和平行线的性质，正确添加辅助线，得出106CDE ∠=︒是解题的关键.6．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，弹性小球从点P 出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q ，第2次碰到矩形的边时的点为M ，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N【答案】A【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【详解】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P，∵2022÷6=337，∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的最后一次反弹，∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P，故选：A．【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋【答案】B【分析】利用轴对称画图可得答案.【详解】解：如图所示，球最后落入的球袋是2号袋，故选：B.【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形. 8．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，点A 在直线l 上，△ABC 与AB C ''关于直线l 对称，连接BB '，分别交AC ，AC '于点D ，D ¢，连接CC '，下列结论不一定正确的是（ ）A ．BACB AC ∠=∠''B ．CC BB '' C ．BD B D =''D ．AD DD ='【答案】D 【分析】利用轴对称的性质和全等三角形的性质逐项判断即可．【详解】解：ABC 与AB C ''关于直线l 对称，ABC AB C ∴≅''，BB l '⊥，CC l '⊥，AB AB ='，AC AC ='，BAC B AC ∴∠=∠''，CC BB ''，即选项A 、B 正确；由轴对称的性质得：,OD OD OB OB ='='，OB OD OB OD ∴−='−'，即BD B D =''，选项C 正确；由轴对称的性质得：AD AD ='，但AD 不一定等于'DD ，即选项D 不一定正确；故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 9．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，小雨要用一个长方形纸片ABCD 折叠一个小兔子，第一步沿OG 折叠，使点B 落到CD 边上的点B '处，若35GB C ''∠=︒，则BOG ∠=（ ）A ．65︒B ．62.5︒C ．55︒D ．52.5︒【答案】B 【分析】根据折叠得出90OB C B ''∠=∠=︒，求出55OB G '∠=︒，根据平行线的性质得出18055125B OB '∠=︒−︒=︒．根据折叠得出162.52BOG B OB '∠=∠=︒．【详解】解：根据折叠可知，90OB C B ''∠=∠=︒，∵35GB C ''∠=︒，∴55OB G '∠=︒，∵AB CD ∥，∴18055125B OB '∠=︒−︒=︒．由折叠可知，162.52BOG B OB '∠=∠=︒，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．A ．152B ．【答案】D【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC EF +的最小值即为点C 到AB 的垂线段长度．【详解】解：在AB 上取一点G ，使AG AF =，如图，CAD BAD ∠=∠，AE AE =，(SAS)AEF AEG ∴≌，FE EG ∴=，CE EF CE EG ∴+=+，则最小值是CG 垂直AB 时，CG 的长度， ∵1122AB CG AC BC ⨯=⨯，125CG ∴=．故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，解题的关键是根据角平分线构造全等以及线段和差极值问题．二、填空题 11．（2023·浙江·八年级假期作业）将长方形纸片按如图方式折叠，EF FG ，为折痕，则EFG ∠的度数为 ．【答案】90︒/90度【分析】根据折叠的性质得到1112BFE B FE BFB ∠=∠=∠，1112CFG C FG CFC ∠=∠=∠，然后根据平角为180︒求解即可． 【详解】∵将长方形纸片按如图方式折叠，EF FG ，为折痕， ∴1112BFE B FE BFB ∠=∠=∠，1112CFG C FG CFC ∠=∠=∠， ∴111111190222EFG B FE C FG BFB CFC BFC ∠=∠+∠=∠+∠=⨯∠=︒． 故答案为：90︒．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应相等相等．也考查了平角的定义． 12．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D 在AB 上，将ABC 沿CD 折叠，点B 落在AC 边上的点B '处，若35A ∠=︒，则ADB ∠'的度数为 ︒．【答案】20【分析】根据题意，可得ABC 是直角三角形，B ∠的度数，根据折叠可知，CB D B '∠=∠，再根据CB D '∠是AB D 'V 的外角，由外角的性质即可求解．【详解】解：在ABC 中，90ACB ∠=︒，35A ∠=︒，∴ABC 是直角三角形，且903555B ∠=︒−︒=︒，根据折叠，55CB D B '∠=∠=︒，∵CB D '∠是AB D 'V 的外角，即CB D A ADB ''∠=∠+∠，∴553520ADB CB D A '∠'=∠−∠=︒−︒=︒，故答案为：20．【点睛】本题主要考查直角三角形，三角形的外角知识的综合，掌握直角三角形的性质，折叠的性质，三角形外角的性质的知识是解题的关键．13．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图，P 是AOB ∠内的一点，12,P P 分别是点P 关于OAOB 、的对称点，12PP 交于点OA 于点M ，交OB 于点N ，若125cm PP =，则PMN △的周长是 cm ．【答案】5【分析】根据轴对称的性质进行等量代换，便可知12PP与PMN △的周长是相等的，即可求解． 【详解】解：∵12PP ，分别是点P 关于OA OB 、的对称点， ∴12PM MPPN NP =，=， ∴2121++=++==5P M MN NP PM MN PN PPcm ， ∴PMN △的周长为5cm.故答案为：5．【点睛】本题考查轴对称的性质，难度一般，关键是熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用．【答案】40°/40度【分析】根据入射角等于反射角，可得,CDB EDO DEO AEF ∠=∠∠=∠，根据三角形内角和定理求得40OED ∠=︒，进而即可求解．【详解】解：依题意，,CDB EDO DEO AEF ∠=∠∠=∠，∵120AOB ∠=︒，20CDB ∠=︒，20CDB EDO ∴∠=∠=︒，∴18040OED ODE AOB ∠=−∠−∠=︒，∴40AEF DEO ∠=∠=︒．故答案为：40°．【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 15．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，点P 为AB 和BC 垂直平分线的交点，点Q 与点P 关于AC 对称，连接PC ，PQ ，CQ ．若△PCQ 中有一个角是50°，则∠B = 度．【答案】50或65【分析】连接AP 、BP ，由点P 为AB 和BC 垂直平分线的交点，得PA ＝PB ＝PC ，知∠PAB ＝∠PBA ，∠PBC ＝∠PCB ，∠PAC ＝∠PCA ，又点Q 与点P 关于AC 对称，可得PC ＝QC ，∠PCA ＝∠QCA ，∠CPQ ＝∠CQP ，分两种情况：①当∠CPQ ＝∠CQP ＝50°时，∠PCQ ＝80°，可得∠PCA ＝40°，∠PAC ＝40°，即得2∠ABP+2∠PBC ＝100°，∠ABC ＝50°，②当∠PCQ ＝50°时，同理可得∠ABC ＝65°．【详解】解：连接AP 、BP∵点P 为AB 和BC 垂直平分线的交点，∴PA ＝PB ＝PC ，∴∠PAB ＝∠PBA ，∠PBC ＝∠PCB ，∠PAC ＝∠PCA ，∵点Q 与点P 关于AC 对称，∴PC ＝QC ，∠PCA ＝∠QCA ，∴∠CPQ ＝∠CQP ，①当∠CPQ ＝∠CQP ＝50°时，∠PCQ ＝80°，∴∠PCA ＝40°，∴∠PAC ＝40°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB ＝180°﹣∠PAC ﹣∠PCA ＝100°，∴2∠ABP+2∠PBC ＝100°，∴∠ABP+∠PBC ＝50°，即∠ABC ＝50°，②当∠PCQ ＝50°时，∠PCA ＝25°，∴∠PAC ＝25°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB ＝180°﹣∠PAC ﹣∠PCA ＝130°，∴2∠ABP+2∠PBC ＝130°，∴∠ABP+∠PBC ＝65°，即∠ABC ＝65°，综上所述，∠ABC 为50°或65°，故答案为：50或65．【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理的应用及轴对称的性质．【答案】都是轴对称图形【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征．【详解】解：答案不唯一，例如：都是轴对称图形，故答案为：都是轴对称图形．【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是正确把握轴对称图形的特征．17．（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图，在锐角ABC 中，8AB =，16ABC S =V ，BD 平分ABC ∠，M 、N 分别是 BD 、BC 上的动点，则CM MN +的最小值是 ．【答案】4【分析】过点C 作CE AB ⊥于点E ，交BD 于点M ，过点M 作MN BC ⊥于N ，则CE 为CM MN ＋的最小值，根据三角形的面积公式求出CE 的长，即为CM MN ＋的最小值．【详解】解：过点C 作CE AB ⊥于点E ，交BD 于点M ，过点M 作MN BC ⊥于N ，∵BD 平分ABC ∠，ME AB ⊥于点E ，MN BC ⊥于N ，∴MN ME =，∴CE CM ME CM MN =+=+，即CE 为CM MN +的最小值，∵ABC 的面积为16，8AB =，∴12816CE ⨯⨯=，∴4CE =，即CM MN +的最小值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．18．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州绿城育华学校校考期中）如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，4,7AB BC ==，则ABD △的周长为 ．【答案】11【分析】根据垂直平分线的性质，可知AD CD =，进而可知B C B D C D B D A D =+=+，即可求出ABD △的周长．【详解】解：DE 是AC 的垂直平分线，AD CD ∴=，B C B D C D B D A D \=+=+，ABD ∴的周长4711A B B D A D A B B C =++=+=+=，故答案为：11．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．三、解答题19．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，ABC 和ADE V 关于直线l 对称，已知15AB =，10DE =，70D ∠=︒．求B ∠的度数及BC 、AD 的长度．【答案】70B ∠=︒，10BC =、15AD =【分析】根据轴对称的性质，对应边相等，对应角相等即可得出答案．【详解】解：ABC 和ADE 关于直线l 对称，AB AD ∴=，BC DE =，B D ∠=∠，又15AB =，10DE =，70D ∠=︒．70B ∴∠=︒，10BC =，15AD =，【点睛】本题考查轴对称的性质，两个图象关于某直线对称，对应边相等，对应角相等． 20．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，BC 与DE 的交点F 在直线MN 上．若ED ＝4cm ，FC ＝1cm ，∠BAC ＝76°，∠EAC ＝58°．(1)求出BF 的长度；(2)求∠CAD 的度数；(3)连接EC ，线段EC 与直线MN 有什么关系？【答案】(1)BF ＝3cm(2)∠CAD ＝18°(3)直线MN 垂直平分线段EC【分析】（1）先根据轴对称的性质得出BC ＝ED ＝4cm ，再根据FC ＝1cm ，求出BF 的长度即可；（2）根据轴对称的性质得出∠EAD ＝∠BAC ＝76°，再根据∠EAC ＝58°求出结果即可；（3）直接根据轴对称的性质即可得出答案．【详解】（1）解：∵△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，ED ＝4cm ，FC ＝1cm ，∴BC ＝ED ＝4cm ，∴BF ＝BC ﹣FC ＝3cm ．（2）解：∵△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，∠BAC ＝76°，∠EAC ＝58°，∴∠EAD ＝∠BAC ＝76°，∴∠CAD ＝∠EAD ﹣∠EAC ＝76°﹣58°＝18°．（3）解：直线MN 垂直平分线段EC ．理由如下：如图，∵E，C关于直线MN对称，∴直线MN垂直平分线段EC．【点睛】本题主要考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的一个空白正方形涂黑，使涂黑部分图形是一个轴对称图形（最少三种不同方法）．【答案】见解析【分析】根据轴对称图形的定义，结合题意，补充图形即可【详解】如图：有5种方法：【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．22．（2022秋·八年级单元测试）如图，ABC的顶点A，B，C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．(1)画111A B C △，使它与ABC 关于直线l 成轴对称；(2)在直线l 上找一点P ，使点P 到点A ，点B 的距离之和最短；(3)在直线l 上找一点Q ，使点Q 到边AC BC ，的距离相等．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【分析】（1）如图所示，在网格上分别找到点A 、点B 、点C 的对称点点1A 、点1B 、点1C ，连接11A B 、11AC、11B C 即可；（2）连接1A B 交直线l 于P ，利用两点之间线段最短可判断P 点满足条件；（3）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行作图即可．【详解】（1）解：如图， 111A B C △为所作；（2）解：根据（1）的结论，点A 、点1A 关于直线l 成轴对称，∴1PA PA =∴1PA PB PA PB +=+，如下图，连接1A B∴当点P 在直线l 和1A B的交点处时，11PA PB A B +=为最小值， ∴当点P 在直线l 和1A B 的交点处时，PA PB +取最小值，即点P 到点A 、点B 的距离之和最短；（3）解：如图所示，连接1CC ，根据题意的：11ACC BCC ∠=∠∴点Q 在直线l 和1CC 的交点处时，点Q 到边AC BC ，的距离相等．【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，角平分线的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． 23．（2023·浙江·八年级假期作业）如图所示，牧马人从A 地出发，到一条直的河流l 边的C 处饮马，然后到达B 地．牧马人到河边的什么地点饮马，可以使所走的路程最短？请用尺规作图，在图中找出路程最短的饮马点C ，并用轴对称的性质说明理由．【答案】牧马人到河边的点C 处饮马，可以使所走的路程最短，见解析【分析】过点B 作直线l 的对称点B '，连接AB '，与直线l 的交点即为点C ，此时所走的路程最短，取直线l 上另一点C '，根据三角形三边关系证明得到牧马人到河边的点C 处饮马，可以使所走的路程最短．【详解】解：如图，过点B 作直线l 的对称点B '，连接AB '，与直线l 的交点即为点C ，此时所走的路程最短，即AC BC AC B C AB ''+=+=，取直线l 上另一点C '，根据轴对称得到AC BC AC B C AB ''''''+=+≥，∴牧马人到河边的点C 处饮马，可以使所走的路程最短．．【点睛】此题考查了最短路径问题，轴对称作图，三角形三边关系的应用，正确理解最短路径问题作图方法是解题的关键．24．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，P 在AOB ∠内，点M ，N 分别是点P 关于AO BO ，的对称点，MN 分别交OA OB ，于E ，F ．(1)若PEF !的周长是10cm ，求MN 的长；(2)若30AOB ∠=︒，试求MON ∠的度数．【答案】(1)10cm(2)60︒【分析】（1）由轴对称的性质可得EM EP FP FN ==，，由三角形周长公式得到10cm PE EF PF ++=，则10cm EM EF FN ++=，即10cm MN =；（2）根据轴对称的性质得到AOM AOP BON BOP ==∠∠，∠∠，进一步推出260MON AOB ∠=∠=︒．【详解】（1）解：∵点M ，N 分别是点P 关于AO BO ，的对称点，∴EM EP FP FN ==，，∵PEF !的周长是10cm ，∴10cm PE EF PF ++=，∴10cm EM EF FN ++=，即10cm MN =；（2）解：如图所示，连接OM ON OP ，，，∵点M ，N 分别是点P 关于AO BO ，的对称点，∴AOM AOP BON BOP ==∠∠，∠∠，∴()2260MON AOM AOP BOP BON AOP BOP AOB =+++=+==︒∠∠∠∠∠∠∠∠ ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质，正确得到EM EP FP FN ==，，AOM AOP BON BOP ==∠∠，∠∠是解题的关键． 25．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，△ABC 和△ADE 关于直线MN 对称，BC 与DE 的交点F 在直线MN 上．(1)图中点C 的对应点是点 ，∠B 的对应角是 ；(2)若DE ＝5，BF ＝2，则CF 的长为 ；(3)若∠BAC ＝108°，∠BAE ＝30°，求∠EAF 的度数．【答案】(1)E ，∠D(2)3(3)∠EAF ＝39°【分析】（1）根据△ABC 和△ADE 关于直线MN 对称，得到图中点C 的对应点是点E ，∠B 的对应角是∠D ；（2）根据△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，得到△ABC ≌△ADE ，推出BC ＝DE ＝5，根据BF ＝2，得到CF ＝BC ﹣BF ＝3；（3）根据∠BAC ＝108°和∠BAE ＝30°，推出∠CAE ＝108°﹣30°＝78°，根据对称性得到∠EAF ＝∠CAF ，推出∠EAF ＝CAE 12Ð＝39°．【详解】（1）∵△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，∴图中点C 的对应点是点E ，∠B 的对应角是∠D ；故答案为：E ，∠D ．（2）∵△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，∴△ABC ≌△ADE ，∴BC ＝DE ＝5，∵BF ＝2，∴CF ＝BC ﹣BF ＝3．故答案为：3．（3）∵∠BAC ＝108°，∠BAE ＝30°，∴∠CAE ＝108°﹣30°＝78°，根据对称性知，∠EAF ＝∠CAF ，∴∠EAF ＝CAE 12Ð＝39°．【点睛】本题主要考查了轴对称，解决问题的关键是熟练掌握轴对称的定义，成轴对称的两个图形的全等性． (1)当70PEC ∠=︒时，求DPQ ∠；，将PDQ 沿PQ 【答案】(1)20︒；(2)72︒或120︒；(3)65︒．【分析】（1）结合已知先证AD BC ∥，利用平行线和平角的性质得到90PEC DPQ ∠+∠=︒可求解；（2）当点Q 在边CD 上时，利用（1）中关系可求解，当点Q 在CD 的延长线上时，如图，由（1）可知AD BC ∥，90EPQ ∠=︒可求得90DPE DPQ ∠=︒−∠，结合已知利用同旁内角互补可求解；（3）由翻折和已知可求得50PD E ∠='︒，从而得到DPD '∠，再由翻折可求得DPQ ∠，最后结合（1）中的关系可求解．【详解】（1）90D C ∠=∠=︒180D C ∴∠+∠=︒AD BC ∴∥70APE PEC ∴∠=∠=︒PQ PE ⊥90EPQ ∴∠=︒90APE DPQ ∴∠+∠=︒90PEC DPQ ∴∠+∠=︒90907020DPQ PEC ∠=︒−∠=︒−︒=︒（2）当点Q 在边CD 上时，由（1）有，90PEC DPQ ∠+∠=︒，APE PEC ∠=∠∵4PEC DPQ ∠=∠，∴18DPQ ∠=︒，72PEC ∠=︒，72APE ∴∠=︒；当点Q 在CD 的延长线上时，如图，由（1）可知AD BC ∥，90EPQ ∠=︒90DPE DPQ ∴∠=︒−∠180DPE PEC ∠+∠=︒，APE PEC ∠=∠∵4PEC DPQ ∠=∠，904180DPQ DPQ ∴︒−∠+∠=︒解得：30DPQ ∠=︒4120APE PEC DPQ ∴∠=∠=∠=︒即APE ∠为72︒或120︒．（3）∵90D D '∠=∠=︒，90QD C PD E ∴'+∠='∠︒，∵40QD C '∠=︒，50PD E ∴='∠︒，由（1）可知AD BC ∥，90PEC DPQ ∠+∠=︒50DPD PD E ∴'=∠='∠︒由翻折可知1252DPQ DPD ∴∠=∠='︒9065PEC DPQ ∠=︒−∠=︒故答案为65︒．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，翻折的性质；解题的关键是证明AD BC ∥并灵活应用平行线的性质求解．。

轴对称课本知识点总结一、轴对称的概念轴对称是指一个图形围绕某条中心轴线旋转180度，旋转后的图形和原图形完全重合。

在二维几何中，轴对称是一种重要的对称形式，常见于各种图形和实物之中。

二、轴对称的性质1. 轴对称图形的两个部分互相对称，互为镜像。

2. 轴对称图形的对称中心为图形的轴心。

3. 轴对称图形每一点的对应点与对称中心的距离相等。

三、轴对称的图形1. 对称图形：直线对称图形是最简单的轴对称图形，常见的有点、线段、正多边形等。

2. 音符：音符是一个常见的轴对称图形，它围绕中心轴线旋转180度后，可以和原音符完全重合。

3. 字母、数字：如字母A、M、H等和数字0、8等都是轴对称图形。

四、轴对称的判断方法1. 观察法：观察图形围绕某一条中心轴线旋转180度后是否和原图形重合。

2. 设坐标法：设定坐标轴，通过图形的对称特点来判断是否轴对称。

3. 折叠法：将图形折叠在对称轴上，判断折叠后两部分是否完全重合。

五、轴对称的应用1. 轴对称图形的设计：在各种设计中，轴对称图形的运用可以使设计更加美观。

2. 轴对称图形的制作：通过手工制作，可以制作各种轴对称图形的手工作品。

3. 轴对称图形的应用：在建筑、工程、美术、工艺等领域都有轴对称图形的应用。

六、轴对称的作用1. 保持图形的对称美：轴对称可以使图形保持一定的对称美。

2. 方便图形的绘制：对称图形通过轴对称可以方便地进行绘制和复制。

七、轴对称的练习1. 描绘轴对称图形：通过规定的对称轴来描绘对称图形。

2. 判断轴对称图形：判断给定图形是否对称，并找出对称轴。

3. 补全轴对称图形：在已知半图形的基础上补全对称图形。

八、轴对称的拓展知识1. 轴对称的组合：两个或多个轴对称图形组合成一个新的轴对称图形。

2. 轴对称的面积计算：轴对称图形的面积计算可以通过对称轴进行分割和计算。

九、轴对称的应用案例1. 建筑设计中的轴对称图形应用：在建筑设计中，轴对称图形的应用可以使建筑更加美观大方。

专题05设计轴对称图案（2个知识点4种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.利用轴对称的性质设计图案（重点）知识点2.轴对称图形在现实生活中的广泛应用【方法二】实例探索法题型1.折叠剪纸问题题型2.在网格中设计轴对称图案题型3.图案设计在生活中的应用题型4.根据设计，说出创意【方法三】仿真实战法考法. 利用轴对称设计图案【方法四】成果评定法【学习目标】1.欣赏生活中的轴对称图案，感受轴对称在现实生活中的广泛应用和文化价值。

2.能利用轴对称进行简单的图案设计，感受数学之美。

3.通过画图、拼图、剪图，培养动手操作能力。

【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.利用轴对称的性质设计图案（重点）利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．【例1】（2022秋·八年级课时练习）如图是由三个全等的菱形拼接成的图形，若平移其中一个菱形，与其他两个菱形重新拼接（无覆盖，有公共顶点），可以拼接成不全等的轴对称图形有（）A．3种B．4种C．6种D．8种【变式1】．（2021秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，将已知四边形分别在方格纸上补成以已知直线l为对称轴的轴对称图形．【变式2】（2022秋·浙江绍兴·八年级校考期中）如图正方形网格中的每一个小正方形边长都是1．(1)画出下面图形的另一半，使得它们是轴对称图形．(2)求图中这棵树的面积．【变式3】（2022秋•兴化市校级期末）如图是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在网格图中补画一个有阴影的小正方形，使四个阴影的小正方形组成的图形为轴对称图形．知识点2.轴对称图形在现实生活中的广泛应用在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．【例2】如图（1）所示的两种瓷砖．请从这两种瓷砖中各选2块，拼成一个新的正方形地板图案，使拼铺的图案成轴对称图形（如示例图（2））．（要求：分别在图（3）、图（4）中各设计一种与示例不同的拼法的轴对称图形）【变式1】（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）如图，棋盘现有四颗棋子，要求只移动其中的一颗棋子，只移动一次，且每次只能移动一步（前后左右移动，也可以沿正方形的对角线的方向移动），使得移动后的所有棋子所组成的图形可以是一个轴对称图形．(1)请按照要求在图1中标出四颗棋子的位置，使得图1成为轴对称图形，并画出对称轴；(2)请按照要求在图2中标出四颗棋子的位置，使得图2成为至少有2条对称轴的图形．【变式2】（2023春·山西晋中·七年级统考期末）春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春·逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题．项目主题：设计与制作风筝．项目实施： 任务一：了解风筝 “勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如下图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案________．A ．B ．C ．D ． 任务二：设计风筝设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线l 为对称轴画出风筝骨架的另一半．任务三：制作风筝传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知AD BC ⊥于点D ，BD CD =，60cm AB =，则竹条AC 的长为________cm ．任务四：放飞风筝同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善．项目反思：同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识________________．【方法二】实例探索法题型1.折叠剪纸问题1．（2023秋·全国·八年级专题练习）把一张正方形纸片按如图方式对折两次后，再挖去一个小圆孔，那么展开后的图形应为（）A．B．C．D．2．（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十三中学校考阶段练习）将一个正方形纸片依次按下图的方式对折，然后沿图中的虚线裁剪，最后将该图纸再展开铺平，所看到的图案是（）．A．B．C．D．3．（2013秋•张家港市校级期末）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，则∠AEF的度数等于．题型2.在网格中设计轴对称图案⨯的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中ABC 4．如图，在33⨯的正方形格纸中，与ABC成轴对称的格点三角形最多有（）是一个格点三角形，在这个33A．3个B．4个C．5个D．6个5．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在33⨯的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的ABC ∆，请你找出格纸中所有与ABC ∆成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个.6．（2021秋·江苏常州·八年级校考阶段练习）如图，在44⨯的网格中，有格点三角形，试画出与它成轴对称的格点三角形．7．（2023·全国·八年级专题练习）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．8．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期末）如图是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在网格图中补画一个有阴影的小正方形，使四个阴影的小正方形组成的图形为轴对称图形．题型3.图案设计在生活中的应用9．（2022秋·江苏泰州·八年级校考期中）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形，请画出4种不同的设计图形．题型4.根据设计，说出创意10．（2022秋·河南漯河·八年级校考期中）如图，仿照例子利用“两个圆、两个三角形和两条平行线段”设计一个轴对称图案，并说明你所要表达的含义．【方法三】仿真实战法考法. 利用轴对称设计图案11．（2023•泰州）书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（）A．B．C．D．12．（2019•河北）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（）A．10B．6C．3D．213．（2020•德州）如图，在4×4的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2021秋·江苏连云港·八年级校联考阶段练习）如图，阴影部分是由3个小正方形组成的一个图形，若在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，涂法有（）A．2种B．3种C．4种D．5种2．（2022秋·河北邢台·八年级校考期中）图1，图2均是由大小相等的的正方形组成的，现在图2中添加一个同样大小的正方形，若所得图形与图1不全等，则添加的正方形是（）A．①B．②C．③D．④3．（2022秋·八年级课时练习）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在（）A．区域①处B．区域②处C．区域③处D．区域④处4．（2022秋·湖南长沙·八年级统考期末）如图是2×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．则在网格中，能画出且与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）个．A．1B．2C．3D．45．（2022秋·八年级单元测试）给图中的1个白色小方格涂上颜色，使涂色部分成为一个轴对称图形，有（）种涂法．A．2B．3C．4D．56．（2022秋·江苏苏州·八年级阶段练习）在如图所示的方格纸中，ABC的顶点均在方格纸的格点上，则在方格纸中与ABC成轴对称的格点三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（2023秋·天津和平·八年级天津市汇文中学校考期末）在下列方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有（）A．3种B．5种C．4种D．6种8．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在由小正方形组成的网格图中再涂黑一个小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案为轴对称图形，则涂法有（）A．2种B．3种C．4种D．5种9．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在5×5的小正方形网格中有4个涂阴影的小正方形，它们组成一个轴对称图形．现在移动其中一个小正方形到空白的小正方形处，使得新的4个阴影的小正方形组成一个轴对称图形，不同的移法有（）A．8种B．12种C．16种D．20种的正方形网格中，图中的ABC为格点三角形，在图中10．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在33与ABC成轴对称的格点三角形最多可以找出（）A．6个B．5个C．4个D．3个二、填空题11．（2022秋·甘肃庆阳·八年级校考期中）如图，在3×3的正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意一个涂黑，使得整个图形构成一个轴对称图形，那么涂法共有种．12．（2023秋·浙江·八年级专题练习）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成的，若要在①，②，③，④，⑤五个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形可添加的区域有个．13．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）如图是3×3的正方形网格，要在图中再涂黑一个小正方形，使得图中黑色的部分成为轴对称图形，这样的小正方形有个．14．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在44的正方形网格中已将图中的四个小正方形涂上阴影，如果再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是．15．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图是由三个小正方形组成的图形请你在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有种补法．16．（2022秋·江苏泰州·八年级校考期中）如图，是44正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形．．．．．．．．构成轴对称图形，这样的白色小方格有种选择．17．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数字的格子内．18．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在正方形网格中，如果将其中1个白色方格涂上阴影，使整个阴影部分成为一个轴对称图形，一共有种不同的涂法．三、解答题19．（2023秋·浙江·八年级专题练习）下图是由5个全等的正方形组成的，请你移动其中一个正方形，使它变成轴对称图形．（在网格图中画出4种形状不同的图形，涂上阴影）20．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）如图是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的两个涂黑．请你用四种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形，使整个图形成为轴对称图形．21．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的一个空白正方形涂黑，使整个图形是一个轴对称图形．（要求：①画出4种不同的补充完整的轴对称图形；②画出补充完整轴对称图形的一条对称轴；③每个图形所画对称轴是不同的直线）22．（2022秋·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，在4×4的正方形网格中，图中四个小正方形已涂色．(1)若从余下的小正方形中任选一个涂色，使整个涂色部分组成的图形是轴对称图形，则符合条件的小正方形位置共有个．(2)若从余下的小正方形中任选两个涂色，使得整个涂色部分组成的图形是轴对称图形，请在以下网格中设计三种不同的方案．23．（2022秋·江苏徐州·八年级统考阶段练习）如图①，ABC和DEF的顶点都在正方形网格中正方形格子的顶点上，我们把这样的三角形叫做“格点三角形”．正方形网格中，格点ABC和格点DEF关于某条直线成轴对称，请画出图1中的对称(1)在图①的33轴．(2)请你利用轴对称的原理在图②，图③，图④中分别画出一个位置不同且与ABC成轴对称的格点DEF．24．（2023·全国·八年级假期作业）如图是小正三角形组成的网格，每个网格里已经有3个涂上了阴影的小正三角形．在每个网格里，再将两个小正三角形涂上阴影，使得整个阴影部分构成轴对称图形．（每个网格里的阴影部分的图形不能相同）25．（2023秋·浙江·八年级专题练习）下列各图中的单位小正方形的边长都等于1，并且都已经填充了一部分阴影，请再对每个图形进行阴影部分的填充．(1)使得图①成为轴对称图形；(2)使得图②成为有4条对称轴且阴影部分面积等于3的图形；(3)使得图③成为至少有2条对称轴且面积不超过6的图形．26．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）在3×3的方格图中，有三个小正方形格子被涂成阴影，请在剩下的7个白色格子中选择2个格子，将它涂上阴影，使得整个图形是一个轴对称图形，要求画出三种不同形状的图形．27．（2023春·山东济南·七年级校考阶段练习）已知在平面直角坐标系xOy 中，ABC 如图所示，()52A -，，()5,2B --，14C ，．'''；(1)作出ABC关于y轴对称的图形A B C(2)求出ABC的面积28．（2023秋·江西宜春·八年级统考期末）如图是由正六边形ABCDEF和等边AFG组合在一起的轴对称图形，请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．，分别按下列要求作图．(1)在图1中，画出组合图形的对称轴；(2)在图2中，点M是边DE上一点，画出一个以EM为边的等边三角形．。

描述：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十三章 轴对称 13.2 画轴对称图形一、学习任务1. 能够作一个图形关于一条直线的轴对称图形．体会轴对称和线段垂直平分线的性质．2. 在平面直角坐标系中，会求图形轴对称后的点坐标，能够用轴对称设计简单美观的图案．3. 感受轴对称的美，感受数学的美．二、知识清单轴对称 点的坐标与坐标系三、知识讲解1.轴对称轴对称相关概念如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形（axisymmentric figure ），这条直线就是它的对称轴（axis of symmetry ）．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点（symmetric points ）．轴对称的性质① 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；② 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称作图例题：下列图形成轴对称图形的有（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个解：A．一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，所以成轴对称图形有 个．54325如图，某小区花坛的形状是左右对称的六边形 ，若 ，则 的度数为（ ）A. B. C. D. 解：B．根据四边形内角和 ，可得 ，再根据轴对称的性质，．ABCDEF ∠AF C +∠BCF =150∘∠E +∠D 200∘210∘230∘250∘360∘∠A +∠B =−=360∘150∘210∘∠E +∠D =∠A +∠B =210∘作图题：（写出做法，保留作图痕迹）、 为 为 、 上的两个顶点，请你在 边上找一点 ，使 周长最小？分析：由于 的周长 ，而 是定值，故只需在 上找一点，使 最小．如果设 关于 的对称点为 ，所以只要使 最小即可．作法：① 作 关于 的对称点 ；② 连接 交 于 点；③ 连接 ，则 周长最小， 为所求．M N △ABC AB AC BC P P MN △P MN =P M +P N +MN MN BC P P M +P N M BC M ′P +P N M ′M BC M ′N M ′BC P MP △PMN P描述：2.点的坐标与坐标系有序数对有顺序的两个数 与 组成数对，叫做有序数对（ordered pair ），记作 ．当 时， 和 是不同的两个有序实数对．平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系（rectangular coordinatesystem ）．水平的数轴称为 轴或横轴，习惯取向右为正方向，竖直的数轴称为 轴或纵轴，习惯取向上为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点． 轴和 轴把坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，每个部分称为象限（quadrant ），按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．点的坐标对于平面内任意一点 ，过点 向 轴、 轴作垂线，垂足在 轴、 轴上对应的数 ，分别叫做点 的横坐标和纵坐标，有序数对 叫做点 的坐标，记作 ．坐标轴上的点不属于任何象限．点到坐标轴的距离点 到 轴的距离是点的纵坐标的绝对值，即 ；点 到 轴的距离是点的横坐标的绝对值，即 ．各象限的点的坐标点 在第一象限 ，；点 在第二象限 ，；点 在第三象限 ，；点 在第四象限 ，．坐标轴上点的坐标点 在 轴上， 为任意实数；点 在 轴上， 为任意实数；点 既在 轴上，又在 轴上，，即点 的坐标为 ．象限角平分线上的点当点在第一、三象限夹角平分线上时，则点的横纵坐标相等；当点在第二、四象限夹角平分线上时，则点的横纵坐标互为相反数．a b （a ,b ）a ≠b(a ,b )(b ,a )x y x y P P x y x y a b P （a ,b ）P P （a ,b ）P (a ,b )x |b |P (a ,b )y |a |P (x ,y )⇔x >0y >0P (x ,y )⇔x <0y >0P (x ,y )⇔x <0y <0P (x ,y )⇔x >0y <0P (x ,y )x ⇔y =0x P (x ,y )y ⇔x =0y P (x ,y )x y ⇔x =0y =0P (0,0)例题：平行于坐标轴的直线上的点平行于 轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标不相等；平行于 轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标不相等．关于 轴、 轴、原点对称的点① 两点关于 轴对称 两点坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数；② 两点关于 轴对称 两点坐标横坐标互为相反数，纵坐标相同；③ 两点关于原点对称 两点坐标横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．点的平移平移口诀：在横坐标上左减右加，在纵坐标上上加下减．x yx yx⇔y⇔⇔如果将一张“ 排 号”的电影票简记为 ，那么 表示的电影票是___排___号．解：，．68(6,8)(15,20)1520如图，写出 、、、 各点的坐标．解：，，，．A B C DA(1,1)B(3,−2)C(−4,4)D(−2,−3)若点 在第二象限，则：（1） 点 在第___象限；（2） 点 在第___象限；（3） 点 在第___象限；（4） 点 在第___象限．解：（1）三；（2）一；（3）四；（4）四．先根据第二象限点的横、纵坐标的特点，判断 ， 的符号，再判断其余点所在的象限．P(a,b)(a,−b)P1(−a,b)P2(−a,−b)P3(b,a)P4a b点 到 轴的距离为____，到 轴的距离为_____．解：；．到 轴的距离就是该点纵坐标的绝对值，到 轴的距离就是该点横坐标的绝对值．P(5,−6)x y65x y已知：点 、，若 轴，则 _____；若 轴，则 _____．解： ；．过 、 两点的直线平行于 轴，显然两点的纵坐标相同，所以 ．同理，当 轴时，可知 ．E(a,1)F(−3,b)EF∥x b=EF∥y a= 1−3E F x b=1EF∥ya=−3在平面直角坐标系，点 关于 轴对称的点的坐标为_____，关于 轴对称的点的坐标为_____，关于原点对称的点的坐标为_____．解：；；．A(2,3)x y(2,−3)(−2,3)(−2,−3)在平面直角坐标系，点 向上平移 个单位长度，向右平移 个单位长度后的坐标是_______．P(−1,2)13四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）解：．在横坐标上左减右加，在纵坐标上上加下减．(2,3)答案：1. 如图，有一矩形纸片 ，将纸片折叠，使 边落在 边上，折痕为 ，再将 以 为折痕向右折叠， 与 交于点 ，则 的面积为．A ．B ．C ．D ．C ABCD ,AB =10,AD =6AD AB AE △AED DE AE BC F △CEF ()46810答案：2. 如图，在坐标平面上， 为直角三角形， ， 垂直 轴， 为 的外心．若点坐标为 ， 点坐标为 ，则 点坐标为 ．A ．B ．C ．D ．B △ABC ∠B =90∘AB x M △ABC A (3,4)M (−1,1)B ()(3,−1)(3,−2)(3,−3)(3,−4)答案：3. 下列图形中，轴对称图形的个数是 ．A ．B ．C ．D ．B ()12344. 如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有 ．()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

轴对称是几何学中的一个重要概念，它描述了一个图形相对于某条轴线具有对称性。

以下是轴对称的知识点总结以及常考题型：1. 轴对称的定义：一个图形相对于某条直线对称，如果将该图形沿着这条直线折叠，两边完全重合。

2. 轴对称的特点：-对称轴上的任意一点与它关于对称轴上的对应点距离相等。

-对称轴将图形分为两个对称的部分，其中一个部分可以通过另一个部分旋转180度得到。

3. 常见的轴对称图形：-矩形、正方形和长方形都是轴对称图形，其对称轴分别为中心线和对边的中垂线。

-圆是轴对称图形，其对称轴为任意直径。

-有些字母和数字如"A"、"H"、"8"等也是轴对称图形。

4. 轴对称的判断方法：-观察图形是否能够通过折叠使两边完全重合。

-寻找图形的对称轴，判断图形上的点是否关于对称轴对称。

5. 轴对称的常考题型：-判断图形是否具有轴对称性质。

-找出图形的对称轴。

-完成轴对称图形的绘制，只给出一部分图形或对称轴。

-求解与轴对称图形相关的问题，如周长、面积等。

举例：1. 判断图形是否具有轴对称性质：给定一个图形，观察其能否通过折叠使两边完全重合。

2. 找出图形的对称轴：观察图形，找到一个直线，使得图形上的点关于这条直线对称。

3. 完成轴对称图形的绘制：给出部分图形或对称轴，根据已知信息完成图形的绘制。

4. 求解与轴对称图形相关的问题：如给定一个轴对称图形的一条边的长度，求解它的周长或面积等。

掌握轴对称的知识和解题技巧，可以帮助你在几何学中更好地理解和应用轴对称概念。

多做相关的练习题，加深对轴对称的理解和应用。

m CA B P 图3图2mC A B第十二章 轴对称知识点总结 我保证认真独立地完成今天的作业！签名：____________一、知识梳理1、轴对称图形____________________ ____________________________ 这条直线叫做________________。

互相重合的点叫做________________。

轴对称_______________________________________________ _ 这条直线叫做________________。

互相重合的点叫做________________。

2、轴对称图形与轴对称的区别与联系：区别________________________________________________。

联系________________________________________________。

3、轴对称的性质：_______________________________________________。

_______________________________________________。

4、线段的垂直平分线定义：________________________________________________如图2，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。

5、线段的垂直平分线性质:_______________________________________________。

如图3，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，点P 是直线m 上的点。

∴PA=PB 。

6、等腰三角形定义:___________________________________________：7、等腰三角形性质:___________________________________________：___________________________________________：8、等腰三角形判定。

八年级数学(上)期末复习第二章轴对称1、轴对称图形相对一个图形的对称而言；轴对称是关于直线对称的两个图形而言。

2、轴对称的性质：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线；3、线段的垂直平分线：①性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

②判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

拓展：三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点．．．．的距离相等4、角的角平分线：①性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

②判定定理：到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线上。

拓展：三角形三个角的角平分线的交点到三．条边．．的距离相等。

5、等腰三角形：①性质定理：⑴等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。

（三线合一）②判断定理：一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。

（等角对等边）6、等边三角形：①性质定理：⑴等边三角形的三条边都相等；⑵等边三角形的三个内角都相等，都等于60°；拓展：等边三角形每条边都能运用三线合一．．．．这性质。

②判断定理：⑴三条边都相等的三角形是等边三角形；⑵三个角都相等的三角形是等边三角形；有两个角是60°的三角形是等边三角形；⑶有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

7、直角三角形推论：⑴直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

⑵直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

拓展：直角三角形常用面积法．．．求斜边上的高。

例题评析1、线段的对称轴有 条，是2、线段垂直平分线上的点到 的 距离相等 ∵ ∴3、到 距离相等的点在线段的垂例1：如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线．(1)若AC ＝6，△ABD 的周长是13，则△ABC 的周长是_______； (2)若△ABC 的周长是30，△ABD 的周长是25，则AC ＝_______．例2：如图，在△ABC 中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、点D. (1)若BC ＝8，则△ADE 的周长是_______； (2) 若∠BAC=110°，那么∠EAD ＝______ (3) 若∠EAD=100°，那么∠BAC ＝______4、角的对称轴有 条，是5、角平分线上的点到 的距离相等 ∵ 又∵ ∴6、角的内部到 距离相等的点在角的平分线上∵又∵ ∴ 例3：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC. (1)若CD=5，则点D 到AB 的距离为 .FEP B A C(2) 若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是 .例4：如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B．下列结论中，不一定成立的是( )A．PA=PB B．PO平分∠APBC．OA=OB D．AB垂直平分OP补充：①三角形的三条边的垂直平分线的交点到的距离相等②三角形的三条角平分线的交点到的距离相等1.请你先在图的BC上找一点P，使点P到AB、AC的距离相等，再在射线AP 上找一点Q，使QB=QC．2.如图，求作点P，使点P同时满足：①PA=PB；②到直线m，n的距离相等．7、等边对等角∵∴8、等角对等边∵∴9、等腰三角形、、重合（三线合一）（有条对称轴）∵∵∵又∵又∵又∵∴∴∴例5：（1）等腰三角形的一边长为5，另一边长为11，则该等腰三角形的周长为（2）等腰三角形的两边长分别为4、5.则该等腰三角形的周长为（3）已知等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角为__________．（4）等腰△ABC中，若∠A=30°，则∠B= ．例6：(1)如图①，在Rt△ABC中，若AB=AC，AD=AE，∠BAD=40°,则∠EDC=_______．(2)如图②，∠ACB=90°,E、F为AB上的点，AE=AC，BC=BF，则∠ECF=___ __．(3)如图③，AB=AC=DC，且BD=AD，则∠B=___ __．例7：如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．试说明BD＋EC＝DE．③例8：如图，已知AB=AC ，AD=AE ．求证：BD=CE ．例9：在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上． （1）求证：BE=CE ；（2）如图2，若BE 的延长线交AC于点F ，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其等边三角形的三条边 ，三个角都是 ，每条边上都有三线合一，有 条对称轴 （2）等边三角形的3个判定方法：三条边都 的三角形是等边三角形 三个角都 的三角形是等边三角形有一个角是 的 三角形是等边三角形例10：(1)如图①，在等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE=____．(2)如图②，正方形ABCD ，△EAD 为等边三角形，则∠EBC ＝_______．(3)如图③，已知等边△ABC ，AC=AD,且AC ⊥AD ，垂足为A ，则∠BEC ＝_______．① ② ③例11：如图，C 为线段AE 上一动点(点C 不与点A 、E 重合)，在AE 的同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE ，AD 与BE 相交于点O ，AD 与BC 相交于点P ，BE 与CD 相交于点Q ，连接PQ ．下列五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°，其中恒成立的有__________(填序号)．例12：如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连接AE ．求证：AE ∥BC ．11、直角三角形斜边上的中线等于 ∵又∵ ∴12S ΔABC ==13、直角三角形中，30°的角所对的直角边等于∵ 又∵∴例12：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB的中线，且CD=4 cm，则AB=_______．(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则AC=_______．(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则AB边上的高CD= ．例13：如图，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，连接GF，求证：GF⊥DE．例14：如图，已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．相关练习：1．如图，在△ABC中，BC=8 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，求△PDE的周长．2．如图，在边长为2等边△ABC中，AD是BC边上的中线，E、F是AD的三等分点，则图中阴影部分的面积是__________cm2．3．如图，在△ABC中，CD与C，分别是△ABC的内角、外角平分线，DF//BC交AC于点E．试说明(1) △DCF为直角三角形；(2)DE=EF．4．如图，△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，AD是底边BC上的高，DE∥AB交AC于点E．试找出图中除△ABC外的等腰三角形，并说明你的理由．5.如图，AD是△ABC的角平分线，点E在AB上，且AE=AC，EF∥BC交AC于点F．求证：EC 平分∠DEF．6．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC．BE与DF相等吗？请说明理由．7．如图，C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），在AB的同侧分别作△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD＝∠BCE，连接AE 交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．试说明：(1) △ACE≌△DCB．(2) PC平分∠APB．8．如图，等边△ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，使CE=CD，AB=10cm．( l ）求BE的长；( 2 ）试说明BD=ED9．画图、证明：如图，∠AOB=90°，点C、D分别在OA、OB上．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作∠AOB的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF，分别与CD、OP相交于E、F；连接OE、CF、DF．（2）在所画图中，①线段OE与CD之间有怎样的数量关系，并说明理由．②求证：△CDF为等腰直角三角形10.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证： ME=BD．11.如图，设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上.从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2=AA1 .(1)小棒能无限摆下去吗？答： .(填“能”或“不能”)(2)若已经摆放了3根小棒，则θ1 =___________，θ2 =__________，θ3=__________；（用含θ的式子表示）(3)若只能摆放4根小棒，求θ的范围.12．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CD，BD＝CF．(1)试说明DE＝DF．(2)若∠A＝40°，求∠EDF的度数．14．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 _______．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于16．如图，P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，连接MN交OP于点D．则①PM＝PN；②MO＝NO；③OP⊥MN；④MD＝ND．其中正确的有17．如图所示，等边三角形ABC的边长是6，点P在边AB上，点Q在BC的延长线上，且AP＝CQ，设PQ与AC相交于点D．(1)当∠DQC＝30°时，求AP的长．(2)作PE⊥AC于E，求证：DE＝AE＋CD．18．如图，在△ABC中，已知BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D．(1)求∠A的度数；(2)若AC＝6cm，求AD的长度．19.若直角三角形斜边上的高和中线分别为10 cm、12 cm，则它的面积为__________cm2．20.如图，某市把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，∠ACB=90o．AC=80 m．BC=60 m．(1)若入口E在边AB上，且与A、B距离相等，求从人口E到出口C的最短路线的长；(2)若线段CD是一条水渠，且点D在AB边上，已知水渠造价约为10元／m，则点D在距点A多远处，此水渠的造价最低?最低造价是多少?第三章勾股定理勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边1、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2。

人教版八年级数学上册《轴对称》知识点及典型例题Chapter 13 "Axis of Symmetry"I。

Summary of Knowledge PointsI。

Axis of XXX symmetry figure1.If a figure XXX figure。

then it is said that these two figures are XXX straight line。

and the straight line is called the axis of symmetry。

The points that coincide after folding are corresponding points。

called XXX line are also called axis-symmetric.2.Axis-symmetric figure: If a figure XXX。

and the parts on both sides of the line can coincide with each other。

then this figure is called an axis-XXX line is its axis of symmetry。

(The axis of XXX).3.Symmetric point: The point that coincides after folding is called the corresponding point。

which is the symmetrical point.4.Properties of axis-symmetric figures: If two figures are XXX。

then the axis of symmetry is the perpendicular bisector ofany pair of corresponding points。