典型、易错有理数的乘除、乘方及混合运算

有理数的乘法、除法、乘方练习一、有理数的乘法运算法则：（一）没有0因数相乘的情况下：1、由负因数的个数确定符号----------+⎧⎨⎩奇数（如1，3，5，）个负因数,积为“—”偶数（如2，4，6，）个负因数，积为“”，可省略，再把绝对值相乘---------- （二）有一个以上的0因数相乘，积为0（三）适用的运算律： 1.2.()3.()a b b a a b c a b c a b c d a b a c a d ⨯=⨯⎧⎪ ⨯⨯=⨯⨯⎨⎪ ⨯+-=⨯+⨯-⨯⎩（四）策略：在有理数的乘、除中，碰到小数就 ，碰到带分数就练习：1、（–4）×（–9）= 2、（–52）×81 = 3、（–253）×135= 4、（–12）×2.45×0×9×100 5、10.12512(16)(2)2-⨯⨯-⨯- 6、（-6）×（-4）－（-5）×107、（0.7－103－254+ 0.03）×（－100） 8、（–11）×52+（–11）×953二、有理数的倒数：（一）定义：如 ，则称a 与b 互为倒数；其中一个是另一个的倒数。

（二）几种情况下的倒数：1、整数：2的倒数是 ；12-的倒数是 ；0没有倒数发现：①互为倒数的两数必然 ；②把整数的分母看成 ，然后分子与分母2、分数：12的倒数是 ；23-的倒数是 ； 112的倒数是 ；223-的倒数是 ； 发现：求倒数时，碰到带分数，必须化为练习：求下列各数的倒数： 4.25-是 235是 1.14-是 三、有理数的除法法则：(a b a b ÷=⨯的 ）即看到除法，就转化为练习：1、（－18）÷（－9）2、－3÷（－31） 3、0÷（–105） 4、（－2）÷（－1.5）×（－3）5、 －0.2÷（-151）×（－261） 6、[65÷(－21－31)+281]÷(－181)四、乘方：（一）在n a 中，a 称为 ；n 称为 ；n a 称为 。

有理数乘除错解例析在进行有理数乘除运算中，如果计算不细心，对于运算法则，运算顺序不熟练，就容易出现一些解题中的错误，现总结如下：一、混淆符号法则出错例1 计算：（211-）×（322-）×（-1） 错解：原式=（23-）×（38-）×（-1）=4 剖析：对乘法法则中“两数相乘，同号得正，异号得负”理解不透，三个有理数相乘，应根据负因数的个数确定符号，而不能只看是同号还是异号．正解：原式=（23-）×（38-）×（-1）=4- 二、违背运算顺序出错 例2 计算：（311-）÷（3-）×（31-） 错解：原式=（311-）÷1=311-剖析：没有按照“同级运算，从左到右”的顺序进行，掉进了出题人设计的“陷阱”，有理数运算，不能违背运算顺序．正解：原式=（34-）×（31-）×（31-）=274- 三、对负带分数理解不清出错例3 计算：251542⨯- 错解：原式=（2-+154）25⨯=252⨯-25154⨯+=32050+-=3143- 剖析：将负带分数1542-错误地理解为1542+-，负带分数的整数部分和分数部分都是负数，即 1542-=1542--． 正解：原式＝（2--154）25⨯=252⨯-25154⨯-=32050--=3256- 四、违背去括号法则出错 例4 计算：+---5[3（532.01⨯-）÷（2-）] 错解：原式=++-53（532.01⨯-）÷（2-）=2+⨯2522（21-）=2-2511=25141 剖析：错解的原因是去掉“-”和中括号时，没有将（532.01⨯-）改变符号。

正解：原式=-+-53（532.01⨯-）÷（2-） =2-⨯2522（21-）=2+2511=25112 五、应用乘法分配律时弄错符号出错 例5 计算：⨯-24（165127--） 错解：原式=12724⨯-6524⨯-124⨯-=-14-20-24=-58 剖析；在用-24乘以括号内每一个数时，混淆了运算符号和性质符号， 正解：原式=12724⨯-⨯-24（65-）()124-⨯-=-14+20+24=30 六、乱用运算律出错例6 计算：（631-）÷（327291+-） 错解：原式=（631-）÷91-（631-）÷72+（631-）÷32 =42118171-+-=1263718-+-=91- 剖析；由于受乘法分配律a （b+c ）=ab+ac 的影响，错误地认为a ÷（b+c ）=a ÷b+a ÷c ，这是不正确的，事实上不存在除法分配律。

有理数混合运算易错题
有理数混合运算的易错题有很多，以下是一些例子：
1. 计算 (-2)^2 × -3 - (-1)^4
学生可能会错误地计算 (-2)^2 为 -4，或者计算 (-1)^4 为 -1。

实际上，(-2)^2 = 4，(-1)^4 = 1。

因此，正确的计算过程应该是：
4 × 3 - (-1) = 12 + 1 = 13。

2. 计算 (-1/2) × [4/(1/4) - 4]
学生可能会错误地将分数的分母和分子混淆，或者在计算中忽略负号。

正确的计算过程应该是：
(-1/2) × [4/(1/4) - 4] = (-1/2) × (16 - 4) = (-1/2) × 12 = -6。

3. 计算 (-5/6) × (3/5) - (-5/6) × (-3/5)
学生可能会错误地将两个分数相加，或者在计算中忽略负号。

正确的计算过程应该是：
(-5/6) × (3/5) - (-5/6) × (-3/5) = (-5/6) × (3/5 + 3/5) = (-5/6) × 6/5 = -1。

总的来说，要避免在有理数混合运算中出现错误，需要注意以下几点：首先，要准确掌握运算顺序（先乘方、再乘除、最后加减）；其次，要注意符号的运算（尤其是括号、正负号）；最后，要仔细检查每一步的计算结果，确保没有出现错误。

有理数乘除错解例析在进行有理数乘除运算中，如果计算不细心，对于运算法则，运算顺序不熟练，就容易出现一些解题中的错误，现总结如下：一、混淆符号法则出错 例1 计算：（211-）×（322-）×（-1） 错解：原式=（23-）×（38-）×（-1）=4剖析：对乘法法则中“两数相乘，同号得正，异号得负”理解不透，三个有理数相乘，应根据负因数的个数确定符号，而不能只看是同号还是异号．正解：原式=（23-）×（38-）×（-1）=4-二、违背运算顺序出错例2 计算：（311-）÷（3-）×（31-） 错解：原式=（311-）÷1=311-剖析：没有按照“同级运算，从左到右”的顺序进行，掉进了出题人设计的“陷阱”，有理数运算，不能违背运算顺序．正解：原式=（34-）×（31-）×（31-）=274-三、对负带分数理解不清出错 例3 计算：251542⨯- 错解：原式=（2-+154）25⨯=252⨯-25154⨯+=32050+-=3143- 剖析：将负带分数1542-错误地理解为1542+-，负带分数的整数部分和分数部分都是负数，即 1542-=1542--． 正解：原式＝（2--154）25⨯=252⨯-25154⨯-=32050--=3256-四、违背去括号法则出错例4 计算：+---5[3（532.01⨯-）÷（2-）] 错解：原式=++-53（532.01⨯-）÷（2-）=2+⨯2522（21-）=2-2511=25141 剖析：错解的原因是去掉“-”和中括号时，没有将（532.01⨯-）改变符号。

正解：原式=-+-53（532.01⨯-）÷（2-） =2-⨯2522（21-）=2+2511=25112 五、应用乘法分配律时弄错符号出错 例5 计算：⨯-24（165127--） 错解：原式=12724⨯-6524⨯-124⨯-=-14-20-24=-58 剖析；在用-24乘以括号内每一个数时，混淆了运算符号和性质符号， 正解：原式=12724⨯-⨯-24（65-）()124-⨯-=-14+20+24=30 六、乱用运算律出错 例6 计算：（631-）÷（327291+-） 错解：原式=（631-）÷91-（631-）÷72+（631-）÷32 =42118171-+-=1263718-+-=91- 剖析；由于受乘法分配律a （b+c ）=ab+ac 的影响，错误地认为a ÷（b+c ）=a ÷b+a ÷c ，这是不正确的，事实上不存在除法分配律。

一、有理数的乘法（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同零相乘，都得0．（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．（4）方法指引：①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．Eg ：计算3×（-3）的结果是（ ）A 、6B 、-6C 、9D 、-9Eg ：计算（-6）×（-1）的结果等于（ ）A 、6B 、-6C 、1D 、-1二、倒数（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•a 1=1 （a≠0），就说a （a≠0）的倒数是a1． （2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．Eg ：-2的倒数是（ ）A 、2B 、-0.2C 、21D 、-21三、有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b=a•b1 （b≠0） （2）方法指引：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．Eg：截止到2008年底，湘西州在校小学生中的少数民族学生数约为21.2万人，约占全州小学生总数的80%，则全州的小学生总数大致为（）（）万．（保留小数点后一位）Eg：计算6÷（-3）的结果是（）Eg：下列计算正确的是（）A．-6+6=0 B．-6-6=0 C．-6×0=-6 D．-6÷（-1）=-6四、有理数的乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在a n中，a叫做底数，n叫做指数．a n读作a的n次方．（将a n看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．Eg：计算-32的结果是（）五、非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．Eg：若|m+2|+（n-1）2=0，则2m+n的值为（）A ．-4B ．-1C ．-3D ．4Eg ：若（a-1）2+|b-2|=0，则）（b -a 2012的值是（ ）A ．-1B ． 1C ．0D ．2012六、科学计数法——表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n ，其中1≤a＜10，n 为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a 的要求和10的指数n 的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n ． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．Eg ：2014年三月发生了一件举国悲痛的空难事件--马航失联，该飞机上有中国公民154名．噩耗传来后，我国为了搜寻生还者及找到失联飞机，在搜救方面花费了大量的人力物力，已花费人民币大约934千万元．把934千万元用科学记数法表示为（ ）元．A ．9.34×102B ．0.934×103C ．9.34×109D ．9.34×1010Eg ：节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人．350 000 000用科学记数法表示为（ ）A ．3.5×107B ．3.5×108C ．3.5×109D ．3.5×1010Eg ：中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，将67500用科学记数法表示为（ ）A ．6.75×104吨B ．67.5×103吨C ．0.675×103吨D ．6.75×104-吨七、科学计数法——表示较小的数用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10n -，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．Eg ：病理学家研究发现，甲型H7N9病毒的直径约为0.00015毫米，0.00015用科学记数法表示为（）A．1.5×104- B．1.5×105- C．0.15×103- D．1.5×103-Eg：某种禽流感病毒变异后的直径为0.00000012米，将这个数写成科学记数法是（）A．1.2×107- B．1.2×105- C．0.12×106- D．15×108-Eg：病理学家研究发现，甲型H7N9病毒的直径约为0.00015毫米，0.00015用科学记数法表示为（）A．1.5×104- B．1.5×105- C．0.15×103- D．1.5×103-八、科学计数法——原数（1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10n ，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．（2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．Eg：将1.24×103-用小数表示为（）A．0.000124 B．0.00124 C．-0.00124 D．0.0124Eg：已知空气的单位体积质量为1.24×103-克/厘米3，1.24×103-用小数表示为（）A．0.000124 B．0.0124 C．-0.00124 D．0.00124Eg：将6.18×103-化为小数的是（）A．0.000618 B．0.00618 C．0.0618 D．0.618九、有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．Eg：算式17-2×[9-3×3×（-7）]÷3之值为何？（）Eg：有一列数a1，a2，a3，a4，…，a n，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1=2，则a2008值为（）Eg：一件商品的成本价是100元，提高50%后标价，又以8折出售，则这件商品的售价是（）十、近似数和有效数字（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．（3）规律方法总结：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．Eg：下列说法正确的是（）A．近似数0.010只有一个有效数字B．近似数4.3万精确到千位C．近似数2.8与2.80表示的意义相同D．近似数43.0精确到个位Eg：资阳市2012年财政收入取得重大突破，地方公共财政收入用四舍五入取近似值后为27.39亿元，那么这个数值（）A．精确到亿位B．精确到百分位C．精确到千万位D．精确到百万位Eg：我们知道地球的半径大约为6.4×103千米，下列对近似数6.4×103描述正确的是（）A．精确到十分位，有2个有效数字B．精确到个位，有2个有效数字C．精确到百位，有2个有效数字D．精确到千位，有4个有效数字十一、科学计数法与有效数字（1）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该有首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字；（2）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数．例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位．Eg：太阳内部高温核聚变反应释放的辐射能功率为3.8×1023千瓦，到达地球的仅占20亿分之一，到达地球的辐射能功率为（）千瓦．（用科学记数法表示，保留2个有效数字）A．1.9×1014 B．2×1014 C．76×1015 D．7.6×1014十二、计算器基础知识（1）计算器的面板是由键盘和显示器组成．（2）开机键和关机键各是AC/ON，OFF，在使用计算器时要按AC/ON键，停止使用时要按OFF键．（3）显示器是用来显示计算时输入的数据和计算结果的装置．键上的功能是第一功能，直接输入，下面对应的是第二功能，需要切换成才能使用．（4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”．（5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndf x2被开方数ENTE．（6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE．（7）部分标准型具备数字存储功能，它包括四个按键：MRC、M-、M+、MU．键入数字后，按M+将数字读入内存，此后无论进行多少步运算，只要按一次MRC即可读取先前存储的数字，按下M-则把该数字从内存中删除，或者按二次MRC．注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作．Eg：计算器上的或键的功能是（）A．开启计算器B．关闭计算器C．清除全部内容或刚刚输入内容D．计算乘方十三、计算器——有理数计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：（1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．（2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算．（3）按下（-）键可输入负数，即先输入（-）号再输入数值．（4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”．（5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndf x2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“=”即可．（6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“=”即可注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作．Eg：若运用湘教版初中数学教材上使用的某种电子计算器进行计算，则按键的结果为（）A．16 B．33C．37 D．36。

有理数的乘除法混合运算混合运算．主要学习乘除法混合运算的相关法则．重点在于有理数乘除法的混合运算，同学们需要多加练习．1、有理数的混合运算（1）运算顺序：先乘方，后乘除，再加减；同级运算从左到右；如果有括号，先算小括号，后算中括号，再算大括号．（2）去括号：括号前带负号，去括号后括号内各项要变号，即()a b a b -+=--，()a b a b --=-+．（3）各种运算定律和运算法则都适用于有理数运算．【例1】计算：（1）()2110.25362⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）()22231-⨯-⨯-；（3）()()()115551010---⨯÷⨯-．有理数乘除法混合运算内容分析模块一有理数乘除法混合运算知识精讲例题解析（1）()()28133-÷-⨯；（2）()41110.53---⨯；（3）34210215⎛⎫+÷⨯-- ⎪⎝⎭．【例3】计算：（1）()30.250.1250.754--+--+-；（2）32212355⎛⎫------- ⎪⎝⎭．【例4】计算：（1）()12332.50.75 1.415345⎛⎫⎛⎫-÷⨯-⨯÷-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()2452.41 4.12513.42183137⎡⎤⎛⎫⎛⎫÷-⨯----- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．（1）22113115517⎛⎫-÷-⨯ ⎪⎝⎭；（2）221110.7523122⎛⎫++⨯+ ⎪⎝⎭．【例6】计算：（1）7377184812⎛⎫⎛⎫-÷-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）114723132456⎛⎫⎛⎫-+÷- ⎪ ⎝⎭⎝⎭．【例7】计算：（1）()()3211331232⎧⎫⎡⎤⎛⎫----+-÷-⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭；（2）()341313120.544104⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫+--⨯-÷---⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭．【例8】计算：63.8552 1.2573171 1.1739⎛⎫⨯⨯÷⎪⎝⎭⎛⎫+÷⨯⎪⎝⎭．【例9】计算：1231123126.323411⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-⨯-⨯⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦271311⎛⎫÷--⎪⎝⎭．【例10】计算：()()()()()2222323287 348593258⨯-⨯---⨯-⎡⎤-⨯+⨯--+⨯⎣⎦．【例11】计算：52111111339369126912⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯++--+⨯⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11125691239⎛⎫⎛⎫+++⨯-⎪⎝⎭⎝⎭．【习题1】计算：（1）()5414772⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-÷--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）()()23127123⎛⎫⎡⎤+--+-⨯ ⎪⎣⎦⎝⎭；（3）()()23223251833⎛⎫---⨯--÷-- ⎪⎝⎭；（4）113241777113610710718811⎛⎫⎛⎫-+÷-÷-⨯ ⎝⎭⎝⎭；（5）525228314183 4.37519129-⨯⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭；随堂检测。

有理数乘除错解例析在进行有理数乘除运算中，如果计算不细心,对于运算法则，运算顺序不熟练，就容易出现一些解题中的错误,现总结如下:一、混淆符号法则出错例1 计算：（211-）×（322-）×（—1） 错解：原式=（23-）×（38-）×（-1）=4 剖析：对乘法法则中“两数相乘，同号得正，异号得负”理解不透，三个有理数相乘，应根据负因数的个数确定符号,而不能只看是同号还是异号．正解：原式=（23-）×（38-)×(-1）=4- 二、违背运算顺序出错例2 计算:（311-）÷（3-）×(31-） 错解：原式=(311-)÷1=311- 剖析：没有按照“同级运算，从左到右”的顺序进行，掉进了出题人设计的“陷阱”,有理数运算,不能违背运算顺序．正解：原式=（34-）×（31-)×（31-)=274- 三、对负带分数理解不清出错例3 计算:251542⨯- 错解：原式=（2-+154）25⨯=252⨯-25154⨯+=32050+-=3143- 剖析：将负带分数1542-错误地理解为1542+-，负带分数的整数部分和分数部分都是负数，即 1542-=1542--． 正解：原式＝（2--154）25⨯=252⨯-25154⨯-=32050--=3256- 四、违背去括号法则出错例4 计算：+---5[3(532.01⨯-）÷（2-)］ 错解：原式=++-53（532.01⨯-)÷（2-）=2+⨯2522(21-）=2-2511=25141 剖析：错解的原因是去掉“—”和中括号时，没有将（532.01⨯-）改变符号。

正解：原式=-+-53（532.01⨯-）÷（2-） =2-⨯2522(21-）=2+2511=25112 五、应用乘法分配律时弄错符号出错例5 计算：⨯-24（165127--） 错解：原式=12724⨯-6524⨯-124⨯-=—14-20—24=—58 剖析;在用—24乘以括号内每一个数时，混淆了运算符号和性质符号,正解：原式=12724⨯-⨯-24（65-）()124-⨯-=-14+20+24=30 六、乱用运算律出错例6 计算:（631-）÷（327291+-） 错解:原式=（631-)÷91-（631-)÷72+（631-）÷32 =42118171-+-=1263718-+-=91- 剖析;由于受乘法分配律a （b+c ）=ab+ac 的影响，错误地认为a ÷（b+c ）=a ÷b+a ÷c ，这是不正确的，事实上不存在除法分配律。

有理数的乘除【知识点回顾】有理数的分类，有理数的加减法，绝对值与相反数【知识点介绍】 （一）有理数的乘法（1）两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

任何数与0相乘仍得0.（2）如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个数互为倒数。

（3）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。

负因数的个数是奇数时，积的符号为_______；负因数的个数是偶数时，积的符号为_______。

积的绝对值等于各个因数的绝对值的_______。

（4）乘法交换律_________________________________________。

乘法结合律_________________________________________。

乘法对加法的分配律_________________________________。

【例题精讲】1．下列算式中，积为正数的是（ ） A ．（－2）×（＋21） B ．（－6）×（－2） C ．0×（－1） D ．（＋5）×（－2） 2．下列说法正确的是（ ）A ．异号两数相乘，取绝对值较大的因数的符号B ．同号两数相乘，符号不变C ．两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数异号D ．两数相乘，如果积为正数，那么这两个因数都是正数 3、若两个有理数的和与它们的积都是正数，则这两个数( )A.都是正数B.是符号相同的非零数C.都是负数D.都是非负数4、下列说法正确的是( )A.负数没有倒数B.正数的倒数比自身小C.任何有理数都有倒数D.-1的倒数是-15、如果x2y250+++=，那么(－x)·y=( )A．100 B．－100 C．50 D．－506、两个有理数的积是负数，和是正数，那么这两个有理数是( )A．都是正有理数 B．都是负有理数C．绝对值大的那个有理数是正数，另一个有理数是负数D．绝对值大的那个有理数是负数，另一个有理数是正数7、a、b互为相反数且都不为0，则(a+b一1)×a1b⎛⎫+⎪⎝⎭的值为( )A．0 B．－1 C．1 D．28、若a、b为有理数，请根据下列条件解答问题：(1)若ab>0，a+b>0，则a、b的符号怎样?(2)若ab>0，a+b<0，则a、b的符号怎样?(3)ab<0，a+b>0，a b>，则a、b的符号怎样?9、若a1,a b0=+=，求－ab－2的值。

七年级有理数混合运算易错题一、有理数混合运算易错题。

1. 计算：-2^2 (-3)^3×(-1)^2023÷ (-1)^2022解析：先算乘方，这里要注意符号。

对于-2^2，根据乘方运算顺序，先计算指数，再取相反数，所以-2^2=-4；(-3)^3=-27，( 1)^2023=-1，( 1)^2022=1。

原式=-4-(-27)×(-1)÷1接着算乘法(-27)×(-1) = 27。

则原式=-4 27÷1=-4-27=-31。

2. 计算：(-1(1)/(2))^2÷(-(3)/(4))^3×(-1(1)/(3))解析：先将带分数化为假分数，-1(1)/(2)=-(3)/(2)，-1(1)/(3)=-(4)/(3)。

然后算乘方，(-(3)/(2))^2=(9)/(4)，(-(3)/(4))^3=-(27)/(64)。

原式=(9)/(4)÷(-(27)/(64))×(-(4)/(3))再算除法，除以一个数等于乘以它的倒数，(9)/(4)÷(-(27)/(64))=(9)/(4)×(-(64)/(27))=-(16)/(3)。

最后算乘法-(16)/(3)×(-(4)/(3))=(64)/(9)。

3. 计算：4 5×(-(1)/(2))^3解析：先算乘方，(-(1)/(2))^3=-(1)/(8)。

原式=4 5×(-(1)/(8))再算乘法5×(-(1)/(8))=-(5)/(8)。

最后算减法4-(-(5)/(8)) = 4+(5)/(8)=(32 + 5)/(8)=(37)/(8)。

4. 计算：(-2)^3×0.5 (-1.6)^2÷(-2)^2解析：先算乘方，(-2)^3=-8，(-1.6)^2 = 2.56，(-2)^2 = 4。

有理数的乘除预习检验（师轮流抽一生回答老师的问题，另一生判断是否正确）知识点1.有理数的乘法法则两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数同0相乘得0.乘积是1的两数互为倒数.两数相乘,交换因数的位置,积不变;乘法交换律:ab=ba;三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,积不变.乘法结合律:abc=(ab)c=a(bc).一个数同两个数的和相乘,等于这个数分别与这两个数相乘,再把积相加.乘法分配律:a(b+c)=ab+ac;几个不等于0的数相乘,负因数的个数为偶数个时,积为正数; 负因数的个数为奇数个时,积为负数.知识点2.有理数的除法除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数.式子表达为:a ÷b=a ×b 1(b 为不等于0的数).两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.一个数同不为0的数相除,仍得0. 针对性练习:1.填空：（1）－67×76___________； (2)（－1.25）×(－8)=_____________； (3)(－126.8)×0=___________； (4)(－25.9)×(－1)=______________. （5）(－5)×__________=－35； (6)(－73)×____________=73. 【解析】两个有理数相乘，我们根据法则先来确定乘积的符号，再把绝对值相乘.在进行有理数乘法运算时，除了要熟练掌握乘法法则之外，还应当注意以下两点：1.一个数乘以1等于它本身，一个数乘以－1等于它的相反数.2.两个相反数的和与积是完全不同的两个结果，不要混淆.【答案】（1）－1 (2)1 (3)0 (4)25.9 （5）－35(6)73易错典例剖析排雷（师让学生先观察，说思路再答题）类型之一:巧用运算律简化计算型例1．(1)(－6)×［32+(－21)］=(－6)×32+(－6)×(－21) (2)［29×(－65)］×(－12)=29×［(－65)×(－12)］ 【解析】本题运用乘法对加法的分配律来计算，过程会比较简单。

有理数的乘方混合运算题一、有理数乘方混合运算的知识点回顾1. 有理数乘方的定义- 求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

a叫做底数，n 叫做指数，a^n读作“a的n次方”或“a的n次幂”。

- 例如2×2×2 = 2^3，其中2是底数，3是指数，2^3=8。

2. 运算顺序- 先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。

- 例如计算2 + 3×2^2，先算乘方2^2=4，再算乘法3×4 = 12，最后算加法2+12 = 14。

二、有理数乘方混合运算题1. 计算(-2)^3+3×(-1)^2-(-1)^4- 解析：- 先分别计算各项的乘方。

- 对于(-2)^3，根据乘方的定义，(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)= - 8。

- 对于(-1)^2，(-1)^2=(-1)×(-1)=1，所以3×(-1)^2=3×1 = 3。

- 对于(-1)^4，(-1)^4=(-1)×(-1)×(-1)×(-1)=1。

- 然后进行加减运算：(-2)^3+3×(-1)^2-(-1)^4=-8 + 3-1=-6。

2. 计算2×(-3)^2-4×(-2)^3+(-1)^5- 解析：- 先计算乘方。

- (-3)^2=(-3)×(-3)=9，所以2×(-3)^2=2×9 = 18。

- (-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)= - 8，所以4×(-2)^3=4×(-8)=-32。

- (-1)^5=(-1)×(-1)×(-1)×(-1)×(-1)= - 1。

- 再进行加减运算：2×(-3)^2-4×(-2)^3+(-1)^5=18-(-32)+(-1)=18 + 32-1 = 49。

“有理数乘方”易错点分析及应用乘方运算是有理数的混合运算中一种比较重要的运算，在以后的学习中经常涉及到这种运算.为了帮助同学们学好这部分内容，现就解题中容易出现的一些错误分析如下.例题1 用乘方表示下列各式：(1)(-3)×(-3)×(-3)×(-3)；(2)23×23×23×23×23错解：(1) (-3)×(-3)×(-3)×(-3)=−34(2)23×23×23×23×23=253错解分析：我们知道，求n 个相同因数的积的运算叫做乘方.(1) 错在混淆了-34与(-3)4所表示的意义. (-3)4的底数是-3,表示4个-3 相乘,即(-3)(-3)(-3)(-3),而-34表示-(3×3×3×3);(2)错解在最后的结果没有加上括号.实际上253与(23)5的意义不同, 253表示2×2×2×2×23,而(23)5表示2323×23×23×23正解: (1) (-3)×(-3)×(-3)×(-3)=(−3)4(2) 23×23×23×23×23=(23)5当把几个相同的因数相乘写成乘方的形式,当底数是负数或分数时,应将底数用括号括起来，而加不加括号对负数的乘方而言是完全不同的，要避免这种错误发生，我觉得首先应该从教学生的读法开始，让他们在边读的同时就体会其意义，这样就会避免类似的问题发生。

例题2 有一张厚度是0.1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为2×0.1毫米．(1)对折2次后，厚度多少毫米？(2)对折20次后，厚度为多少毫米？解析：（1）纸的对折次数与纸的层数关系如下；答案：解：(1)0.1×22＝0．4(毫米)(2)220×0.1毫米点拨：要求每次对折后纸的厚度，应先求出每次折叠后纸的层数，再用每张纸的厚度×纸的层数即可，关键是将纸的层数化为幂的形式，找出这些事与对折次数的对应关系，从而看到当底数大于1时，乘方增长得很快.例题 3 某股票经纪人，给他的股资者出了一道题，说明投资人的赢利净赚情况：（单位：元）股票名称每股净赚（元）股数天河+23500北斗+1.51000白马－31000海潮－（－2）500请你计算一下，投资者到底赔了还是赚了，赔或赚了多少元？解析：从题目的已知条件来看，+23表示每股净赚8元，－3表示每股净赚-3元，即佘了3元。

有理数的乘除、乘方及有理数的混合运算易错:在有理数乘方及混合运算中符号的确认及运算顺序有理数的典型简便运算经典题型：1、)3(2+x +y-1=0,则3x-4y=_____2、一个数的立方等于它本身，这个数是_________.3、下列说法正确的是（） A.5353-的相反数是 B.的和的平方与的意义是b a b a 22+ C.a a -= D.-8>-34、下列代数式中，值一定是正数的是( )A ．x 2 B.|－x+1| C.(－x)2+2 D.－x 2+1 5、、判断下列说法正误，并且对错误的进行改正。

(1)有理数a 的四次幂是正数，那么a 的奇数次幂是负数；(2)有理数a 与它的立方相等，那么a=1；(3)有理数a 的平方与它的立方相等，那么a=0；(4)若|a|=3，那么a 3=9；(5)若x 2=9，且x ＜0，那么x 3=27．6、若a b ＜0，b c ＜0，则ac 0.7、如果四个有理数相乘，积为负数，那么负因数个数是________8、已知n 为自然数，用“一定”、“不一定”或“一定不”填空：(1)(－1)n ＋2________是负数；(2)(－1)2n ＋1________是负数；(3)(－1)n ＋(－1)n ＋1________是零计算：9、](2[31)5.01()3124--⨯⨯--- 10、10099)1()1(-+-11、（-1）+（-1）2+（-1）3+（-1）4+……(-1)5012、412521)25(4325⨯+⨯--⨯ 13、 4)1()1()2(326-⨯-+---14、232)2()28.0(5)2(2-÷--⨯-+- 15、91118×18 ⑻-15×12÷6×516、24221(10.5)2(3)3⎡⎤---⨯÷---⎣⎦ 17、-24-(-2)4 18、33(32)32-⨯+⨯19、61)3161(12⨯-÷- 20、 75.04.34353.075.053.1⨯-⨯+⨯-21、 -22 -（1-51×0.2）÷（-2）3 22、 （6712743-+）×（-60） 23、 ()8142033--÷- 24、 ()()2010201111---25、()25332301-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-- 26、77(35)9-÷+27、⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷526110132)301( 29、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷-212)8(30、找规律们知道：的个位数字是多少？请根据此，猜测222222222200587654321,256,128,64,32,16,8,4,2========31、2012加上它的21得到一个数，再加上所得数的31又得到一个数，再加上这次所得的数的41又得到一个数，……依此类推，一直加到上一次得数的20121，那么最后得到的数是什么？。

有理数的乘除混合运算
能量储备
有理数的乘除混合运算
(1) 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果．
(2) 有理数的乘除运算是同级运算，要按照从左到右的顺序进行．
通关宝典
★★ 易混易误点
易混易误点1: 在有理数乘除混合运算的过程中，易忽略运算顺序
有理数乘除混合运算是同级运算，应从左向右逐一进行，不能错误地认为哪两个数比较容易计算就先算哪两个数，或错误地进行约分导致运算结果错误．
例1. 计算：(－45)÷5×15
. 解：原式＝(－45)×15×15
＝(－9)×15
＝－95
. 常见错解：本题易出现以下错误的计算过程和结果：(－45)÷5×15
＝(－45)÷1＝－45. 蓄势待发
考前攻略
有理数的乘除运算单独出现的题型不多，往往结合其他运算考查.
完胜关卡。

有理数乘除错解例析在进行有理数乘除运算中，如果计算不细心，对于运算法则，运算顺序不熟练，就容易出现一些解题中的错误，现总结如下：一、混淆符号法则出错例1 计算：（211-）×（322-）×（-1） 错解：原式=（23-）×（38-）×（-1）=4 剖析：对乘法法则中“两数相乘，同号得正，异号得负”理解不透，三个有理数相乘，应根据负因数的个数确定符号，而不能只看是同号还是异号．正解：原式=（23-）×（38-）×（-1）=4- 二、违背运算顺序出错 例2 计算：（311-）÷（3-）×（31-） 错解：原式=（311-）÷1=311-剖析：没有按照“同级运算，从左到右”的顺序进行，掉进了出题人设计的“陷阱”，有理数运算，不能违背运算顺序．正解：原式=（34-）×（31-）×（31-）=274- 三、对负带分数理解不清出错 例3 计算：251542⨯- 错解：原式=（2-+154）25⨯=252⨯-25154⨯+=32050+-=3143- 剖析：将负带分数1542-错误地理解为1542+-，负带分数的整数部分和分数部分都是负数，即 1542-=1542--． 正解：原式＝（2--154）25⨯=252⨯-25154⨯-=32050--=3256- 四、违背去括号法则出错例4 计算：+---5[3（532.01⨯-）÷（2-）] 错解：原式=++-53（532.01⨯-）÷（2-）=2+⨯2522（21-）=2-2511=25141 剖析：错解的原因是去掉“-”和中括号时，没有将（532.01⨯-）改变符号。

正解：原式=-+-53（532.01⨯-）÷（2-） =2-⨯2522（21-）=2+2511=25112 五、应用乘法分配律时弄错符号出错 例5 计算：⨯-24（165127--） 错解：原式=12724⨯-6524⨯-124⨯-=-14-20-24=-58 剖析；在用-24乘以括号内每一个数时，混淆了运算符号和性质符号，正解：原式=12724⨯-⨯-24（65-）()124-⨯-=-14+20+24=30 六、乱用运算律出错例6 计算：（631-）÷（327291+-） 错解：原式=（631-）÷91-（631-）÷72+（631-）÷32 =42118171-+-=1263718-+-=91- 剖析；由于受乘法分配律a （b+c ）=ab+ac 的影响，错误地认为a ÷（b+c ）=a ÷b+a ÷c ，这是不正确的，事实上不存在除法分配律。

有理数的乘法思维误区本节常见的思维误区是：1．在有理数乘除混合运算时，在除法转换为乘法时，连同除数后面乘的因数一起化成倒数.2．带分数与一个整数乘一个分数的积混淆不清.3．在进行混合运算时，顺序出错.4．a÷bc 与 a÷b×c 的形式区别不清.5．在计算一个有理数除以几个有理数的和时乱用乘法分配律.例1 计算)3131272(418418⨯-÷+- 错解：)3131272(418418⨯-÷+- =)3131231(433418⨯-÷+- =41433418÷+- =4433418⨯+- =33418+- =4324误区分析：在进行混合运算时，忽视了后面的负号. 正解：)3131272(418418⨯-÷+- =)3131231(433418⨯-÷+- =)41(433418-÷+- =)4(433418-⨯+- =33418-- =4141-例2 计算)312(7374-⨯+ 错解：)312(7374-⨯+ =)312()7374(-⨯+=)312(1-⨯ =312-误区分析：违反了有理数混合运算顺序而出错，应先算乘法，再算加法. 正解：)312(7374-⨯+ =)37(7374-⨯+ =174- =73- 例3 计算)313()433(871-⨯-÷ 错解：)313()433(871-⨯-÷ =)313()433(815-⨯-÷ =103154815⨯⨯ =203 误区分析：在乘除混合运算中，将除法转换为乘法时，只要将除号后的除数变为其倒数，而后面的其他因数并不要变为倒数. 正解：)313()433(871-⨯-÷ =310154815⨯⨯ =35 例4 计算)3141(12+÷ 错解：)3141(12+÷ =31124112÷+÷ =312412⨯+⨯=48＋36=84误区分析：乱用了乘法的分配律，若几个加数的和除以一个数时，可以利用乘法的分配律.如121)3141(÷+时，121)3141(÷+=1213112141÷+÷=12311241⨯+⨯=3＋4=7，但在一个数除以几个数的和时却不能用. 正解：)3141(12+÷ =)124123(12+÷ =12712÷ =71212⨯ =7144七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，已知//AB CD ，AF 与CD 交于点E ，BE AF ⊥，50B ∠=︒则DEF ∠得度数是（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒【答案】D 【解析】根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠B ，根据垂直的定义可得∠AEB=90°，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．【详解】解：∵AB ∥CD ，∴∠1=∠B=50°，∵BE ⊥AF ，∴∠AEB=90°，∴∠DEF=180°-∠1-∠AEB=180°-50°-90°=40°．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．2．下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）A ．对全国中学生睡眠时间的调查B ．了解一批节能灯的使用寿命C ．对“中国诗词大会”节目收视率的调查D ．对玉免二号月球车零部件的调查【答案】D【解析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．【详解】A 、对全国中学生睡眠时间的调查，应采用抽样调查，故此选项不合题意；B 、了解一批节能灯的使用寿命，应采用抽样调查，故此选项不合题意；C 、对“中国诗词大会”节目收视率的调查，应采用抽样调查，故此选项不合题意；D 、对玉免二号月球车零部件的调查，意义重大，应采用普查，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】考查了全面调查与抽样调查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．3．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点()10,1A ，()21,1A，()31,0A ，()42,0A ，...那么点2019A 的坐标为( ).A ．()1008,0B ．()1008,1C ．()1009,0D ．()1009,1【答案】C 【解析】结合图象可知：纵坐标每四个点循环一次，而2019=504×4+3，故A 2019的纵坐标与A 3的纵坐标相同，都等于0；由A 3（1，0），A 7（3，0），A 11（5，0）…可得到以下规律，A 4n+3（2n+1，0）（n 为自然数），当n=504时，A 2019（1009，0）．【详解】解：由A 3（1，0），A 7（3，0），A 11（5，0）…可得到以下规律，A 4n+3（2n+1，0）（n 为自然数）， 2019=504×4+3，故A 2019的纵坐标与A 3的纵坐标相同，都等于0；当n=504时，A 2019（1009，0）．故选：C ．【点睛】本题属于规律探究题，考查点的坐标的变化规律，学生归纳猜想的能力，结合图象找出变化规律是解题的关键．4．下列说法正确的是（ ）A ．因为2(3)9-=所以9的平方根为3-B 16的算术平方根是2C 255=±D ．36±的平方根是6±【答案】B【解析】直接利用算术平方根以及平方根的定义化简得出答案．【详解】解：A 、因为（-3）2=9，所以9的平方根为±3，故此选项错误； B 、16=4，则4的算术平方根是2，故此选项正确；C 、25=5，故此选项错误；D 、36的平方根是±6，-36没有平方根．故选：B ．【点睛】此题主要考查了算术平方根以及平方根的定义，正确把握定义是解题关键．5．将某不等式组的解集13x ≤<-表示在数轴上，下列表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】分析：本题可根据数轴的性质画出数轴：实心圆点包括该点用“≥”，“≤”表示，空心圆点不包括该点用“<”，“>”表示，大于向右小于向左．点睛：不等式组的解集为−1⩽x<3在数轴表示−1和3以及两者之间的部分：故选B.点睛：本题考查在数轴上表示不等式解集:把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;< ,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.6．当x=45-，y ═54-时，代数式(x+y)2﹣(x ﹣y)2的值是( ) A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4【答案】D【解析】原式利用平方差公式计算，化简后将x 与y 的值代入计算即可求出值．【详解】解：(x+y)2﹣(x ﹣y)2=(x+y+x ﹣y)(x+y ﹣x+y)=1xy ，当x=45-，y=54-时，原式=1．故选：D ．【点睛】此题考查了平方差公式，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．在一个()3n n >边形的n 个外角中，钝角最多有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【解析】∵一个多边形的外角和为360°，∴外角为钝角的个数最多为3个.故选B.8．在直角坐标系中，第四象限的点M 到横轴的距离为18，到纵轴的距离为20，则点M 的坐标为（） A ．（20，﹣18） B ．（20，18） C ．（18，﹣20） D ．（18，20）【答案】A【解析】根据题意在直角坐标系中画出点M ，即可求解.【详解】解：如图，可知M 的坐标为（20，﹣18），故选：A.【点睛】本题考查了直角坐标系，正确理解题意画出图形是解题关键.9．人体中红细胞的直径约为0.000007m ，将0.000007m 用科学记数法表示数的结果是（ ） A ．50.710m -⨯ B ．60.710m -⨯ C ．5710m -⨯ D ．6710m -⨯【答案】D【解析】根据科学记数法的定义进行分析解答即可.【详解】60.000007710m m -=⨯.故选D.【点睛】在把一个绝对值小于1的数用科学记数法表示为10n a ⨯的形式时，我们要注意两点：①a 必须满足：110a ≤<；②n 等于原来的数中从左至右第1个非0数字前面0的个数（包括小数点前面的0）的相反数.10．若43x y =⎧⎨=⎩是方程52ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解，则+a b 等于（ ） A ．4B ．3.5C ．2D ．1 【答案】D【解析】根据二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组，求解得到a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：根据题意435432a b b a +=⎧⎨+=⎩①②， ①+②，得777a b +=；∴1a b +=.故选D.【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组求出a 、b 的值是解题的关键.二、填空题题11．如图是利用直尺和三角板过已知直线l 外一点P 作直线l 的平行线的方法，其理由是__________．【答案】同位角相等，两直线平行．【解析】试题解析：利用三角板中两个60°相等，可判定平行考点:平行线的判定12．在①x=1y=1⎧⎨-⎩，， ②x=2y=3-⎧⎨-⎩，， ③x=3y=0-⎧⎨⎩， 中，①和②是方程2x 3y=5-的解；__________是方程3x+y=9-的解；不解方程组，可写出方程组2x 3y=53x+y=9-⎧⎨-⎩， 的解为__________． 【答案】（1）②和③； （2）②.【解析】分析：根据二元一次方程解的定义和二元一次方程组解的定义进行分析解答即可.详解：把①x=1y=-1⎧⎨⎩ ，②x=-2y=-3⎧⎨⎩ ，③x=-3y=0⎧⎨⎩ 分别代入方程39x y +=- 检验可得：②x=-2y=-3⎧⎨⎩ ，③x=-3y=0⎧⎨⎩是方程39x y +=-的解，∵①x=1y=-1⎧⎨⎩ ，②x=-2y=-3⎧⎨⎩ 也是方程235x y -=的解， ∴方程组23539x y x y -=⎧⎨+=-⎩ 的解是②. 故答案为：（1）②和③；（2）②.点睛：熟知“二元一次方程解的定义和二元一次方程组解的定义”是解答本题的关键.13．如图，丽丽用边长为4的正方形做成了一套七巧板，小组合作将这套七巧板拼成了“人”的形状，则这个“人”的两只脚所占的面积为________________．【答案】1【解析】根据七巧板的特征，可知点F 是CD 的中点，点E 是BC 的中点，DJF HIG CEF SS S +=，进而即可得到答案．【详解】由题意得：点F 是CD 的中点，即：DF=CF=12DC=12×4=1， 同理：CE=BE=12BC=1，∴这个“人”的两只脚所占的面积=2222DJF HIG CEFS S S⨯+===．故答案是：1．【点睛】本题主要考查三角形的面积，掌握七巧板的几何特征，是解题的关键．14．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，如果S△ABD=12，那么S△CDE=__．【答案】1．【解析】试题解析：△ACD的面积=△ABD的面积=12，△CDE的面积=12△ACD的面积=12×12=1．15．五边形的外角和是_____度．【答案】360.【解析】根据多边形的外角和，可得答案．【详解】五边形的外角和是360°.故答案是：360.【点睛】考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的外角和是解题关键．16．如图△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是________.【答案】6【解析】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则△ABD的面积=12△ABC的面积=12，△ABE的面积=12△ABD的面积=6.考点：中线的性质17．因式分解：22x x -=_______．【答案】x （x-2）【解析】原式提取公因式x 即可得到结果．【详解】解：原式=x （x-2），故答案为：x （x-2）．【点睛】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．三、解答题18．已知n 个数123....n x x x x ，，，，他们每一个数只能取0,12-，这三个数中的一个，且123....5n x x x x ++++=-，2222123....19n x x x x ++++=，求333123x x x ++3+....n x 的值．【答案】29-【解析】由题可知，在123....n x x x x ，，，中，要想保证和为−5，平方和为19，在取值受限得情况下，可设各式中有x 个1和y 个−2，则可将两式变为：25419x y x y -=-⎧⎨+=⎩，求出方程组的解． 【详解】解：设有x 个1，有y 个2-，则有()n x y --个0由题意得25419x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩ ∴原式＝33314(2)29⨯+⨯-=-【点睛】此题考查了解二元一次方程组，解此题时，关键要找准在n 个数中到底有几个1、−2、0，这就需要对原题中两个式子进行分析，比较难．19．某商场对一种新售的手机进行市场问卷调查，其中一个项目是让每个人按A （不喜欢）、B （一般）、C （不比较喜欢）、D （非常喜欢）四个等级对该手机进行评价，图①和图②是该商场采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：（1）本次调查的人数为多少人？A 等级的人数是多少？请在图中补全条形统计图．（2）图①中，a 等于多少？D 等级所占的圆心角为多少度？【答案】（1）200人；20人，补图见解析；（2）10；115.2°.【解析】(1)由B等级的人数除以占的百分比得出调查总人数,进而求出A等级人数,补全条形统计图即可; (2)求出A等级占的百分比确定出a,由D的百分比乘以360°即可得到D等级占的圆心角度数.【详解】（1）根据题意得：46÷23%=200（人），A等级的人数为200﹣（46+70+64）=20（人），补全条形统计图，如图所示：（2）由题意得：a%=，即a=10；D等级占的圆心角度数为32%×360°=115.2°．【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图，解题的关键是读懂题意，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键.20．如图，在△ABC 中，BD⊥AC 于点D，∠1＝∠2，∠3＝∠C．试说明：EF⊥AC．【答案】见解析【解析】根据题意∠3=∠C，则DG∥BC，∠1=∠CBD，再根据∠1=∠2，得出BD∥EF，再由BD⊥AC 即∠BDA=90°即可推出∠EFA=∠BDA=90°，即EF⊥AC.【详解】∵∠3=∠C∴DG∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠CBD(两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2∴∠2=∠CBD∴BD ∥EF∵BD ⊥AC 即∠BDA=90°∴∠EFA=∠BDA=90°（两直线平行，同位角相等）∴EF ⊥AC【点睛】本题考查平行线的性质，证明∠EFA=∠BDA=90°是解题关键.21．解不等式组3415122x x x x ≥-⎧⎪⎨->-⎪⎩①② 请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得_______________________．（2）解不等式②，得_______________________．（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为_________________．【答案】（1）1x ≤；（2）1x >-；（3）详见解析；（4）11x -<≤【解析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，取其公共解即为不等式组的解集，根据不等式解集在数轴上的表示方法画出数轴． 【详解】解：（1）解不等式①，得1x ≤；（2）解不等式②，得1x >-；（3）解集在数轴上表示为：（4）原不等式组的解集为：11x -<≤；故答案为：（1）1x ≤；（2）1x >-；（4）11x -<≤．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握其运算法则是解题的关键．22．若关于x 、y 的二元一次方程组23227x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩的解满足32x y +>-，求出满足条件的m 的所有正整数值．【答案】1、2、3、4.【解析】将方程组中两个方程相加，化简得出：3x y m +=+－，由32x y +>-得到关于m 的不等式，解之即可得到答案. 【详解】解：23227x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩①② 由①+②得：()339x y m +=+－3x y m ∴+=+－32x y +>-， 3m+3>2∴--，解得：92m < m 为正整数，∴满足条件的m 的所有正整数值为：1、2、3、4.【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 23．某茶叶店准备从茶农处采购甲、乙两种不同品质的铁观音，已知采购2斤甲型铁观音和1斤乙型铁观音共需要550元，采购3斤甲型铁观音和2斤乙型铁观音共需要900元．（1）甲、乙两种型号的铁观音每斤分别是多少元？（2）该茶叶店准备用不超过3500元的资金采购甲、乙两种型号的铁观音共20斤，其中甲种型号的铁观音不少于8斤，采购的斤数需为整数，那么该茶店有几种采购方案？（3）在⑵的条件下，已知该茶叶店销售甲型铁观音1斤可获利m （m>0）元，销售乙型铁观音1斤可获利50元，则该茶叶店哪种进货方案可获利最多？【答案】（1）甲型铁观音每斤200元，乙型铁观音每斤150元；（2）有三种方案：①购买甲型号铁观音8斤，乙型号铁观音12斤；②购买甲型号铁观音9斤，乙型号铁观音11斤；③购买甲型号铁观音10斤，乙型号铁观音10斤；（3）当050m <<时，第一种方案获利最多；当50m =时，三种方案获利一样； 50m >时，第三种方案获利最多．【解析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；（2）根据题意可以得到相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；（3）根据（2）中的购买方案计算出三种方案的利润，然后再进行比较即可．【详解】解：（1）设甲型铁观音单价x 元/斤，乙型铁观音铁观音单价y 元/斤，列方程组得：255032900x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：200150x y =⎧⎨=⎩经检验符合题意，答：甲型铁观音每斤200元，乙型铁观音每斤150元．（2）设购买甲型号铁观音a 斤，则购买乙型号铁观音()20a -斤，依题意得，8200150(20)3500a a a ≥⎧⎨+-≤⎩解得810a ，又∵a 为整数∴8910a =、、 所以有三种方案如下：①购买甲型号铁观音8斤，乙型号铁观音12斤；②购买甲型号铁观音9斤，乙型号铁观音11斤；③购买甲型号铁观音10斤，乙型号铁观音10斤；（3）有（2）得，三种方案可获利情况：方案一：812508600m m +⨯=+（元）方案二：911509550m m +⨯=+（元）方案三：10105010500m m +⨯=+（元）∴当050m <<时，第一种方案获利最多；当50m =时，三种方案获利一样；50m >时，第三种方案获利最多．【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．24．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的顶点均在格点上，O ，M 也在格点上．（1）画出△ABC 先向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的△A'B'C'；（2）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；（3）画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2；（4）△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴．【答案】（1）答案见解析；（1）答案见解析；（3）答案见解析；（4）△A1B1C1与△A1B1C1组成的图形是轴对称图形，作图见解析．【解析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′，顺次连接即可；（1）利用网格特点和轴对称的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1，顺次连接即可；（3）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1，顺次连接即可；（4）利用轴对称图形的定义可判断△A1B1C1与△A1B1C1组成的图形是轴对称图形，其中对称轴为直线CC′和直线A1A1．【详解】（1）如图，△A'B'C'为所作；（1）如图，△A1B1C1为所作；（3）如图，△A1B1C1为所作；（4）△A1B1C1与△A1B1C1组成的图形是轴对称图形，如图，对称轴为直线CC'和直线A1A1．【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．25．对男生进行引体向上的测试，规定能做10个及以上为达到标准．测试结果记法如下：超过10个的部分用正数表示，不足10个的部分用负数表示．已知8名男生引体向上的测试结果如下：+2，－5，0，－2，+4，－1，－1，+1．（1）这8名男生有百分之几达到标准？（2）这8名男生共做了多少个引体向上？【答案】（1）50%；（2）80个；【解析】负数的没有达标.【详解】（1）负数的没有达标，故48=50%；（2）∵ 2-5+0-2+4-1-1+1=0 ∴8 10=80个.【点睛】正确理解题意是解题的关键.七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，ΔABC中，∠B=550，∠C=300，分别以点A和C为圆心，大于½ AC的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为( )A．650B．600C．550D．500【答案】A【解析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．【详解】由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC−∠CAD=65°，故选A.【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，解题关键在于根据三角形的内角和得到∠BAC=95°2．在平面直角坐标系中，点P(－2，＋1)所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】∵－20，＋10，∴点P (－2，＋1)在第二象限，故选B．3．2019年4月28日，北京世界园艺博览会正式开幕，在此之前，我国已举办过七次不同类别的世界园艺博览会.下面是北京、西安、锦州、沈阳四个城市举办的世园会的标志，其中是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据轴对称的定义对选项进行分析即可得到答案.【详解】根据轴对称的定义可知A项不是轴对称图形，故A错误；根据轴对称的定义可知B项是轴对称图形，故B项正确；根据轴对称的定义可知C项不是轴对称图形，故C项错误；根据轴对称的定义可知D项不是轴对称图形，故D项错误.故选B【点睛】本题考查轴对称的定义，解题的关键是掌握轴对称的定义.4．不等式组11023x+2>-1x⎧-≥⎪⎨⎪⎩的解集是（）A．-1＜x≤2B．-2≤x＜1C．x＜-1或x≥2D．2≤x＜-1 【答案】A【解析】11023x+2>-1x⎧-≥⎪⎨⎪⎩①②，由①得，x⩽2，由②得，x>−1，所以，不等式组的解集是−1<x⩽2.故选：A.5．下列说法：的算术平方根是11；的立方根是；的平方根是；实数和数轴上的点一一对应，其中错误的有A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】的算术平方根是11,正确；的立方根是,正确；没有平方根，错误；实数和数轴上的点一一对应,正确，故其中错误的有1个，故选B．6．已知是关于x，y的二元一次方程x-ay=3的一个解，则a的值为（）A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】B【解析】把代入x-ay=3，解一元一次方程求出a值即可.【详解】∵是关于x，y的二元一次方程x-ay=3的一个解，∴1-2a=3解得：a=-1故选B.【点睛】本题考查二元一次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解；一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程.7．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（）A．5{152x yx y=+=-B．5{1+52x yx y=+=C．5{2-5x yx y=+=D．-5{2+5x yx y==【答案】A【解析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．【详解】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据题意得：5152x y x y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩． 故选A ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8．下列结论正确的是( )A ．64的立方根是4±B ．18-没有立方根C ．立方根等于本身的的数是0D=【答案】D【解析】选项A ，64的立方根是±4；选项B ，18-的立方根是12- ；选项C ，立方根等于本身的的数是0和±1；选项D ，正确，故选D.9．若∠1与∠2互补，∠1=26°30′，则∠2的度数为（ ）A ．153°30′B ．163°30′C ．173°30′D ．183°30′ 【答案】A【解析】直接利用两角互补的定义进而求出即可．【详解】∵∠1=26°30′，∠1与∠2互补， ∴∠2=180°-26°30′=153°30′． 故选A ．【点睛】此题主要考查了两角互补的定义，正确掌握互补的定义是解题关键．10．下列说法不一定成立的是（ ）A ．若a b >，则a c b c +>+B ．若a c b c +>+，则a b >C ．若a b >，则22ac bc >D ．若22ac bc >，则a b >【答案】C【解析】A ．在不等式a b >的两边同时加上c ，不等式仍成立，即a c b c +>+，故本选项错误； B ．在不等式a c b c +>+的两边同时减去c ，不等式仍成立，即a b >，故本选项错误；C ．当c=0时，若a b >，则不等式22ac bc >不成立，故本选项正确；D ．在不等式22ac bc >的两边同时除以不为0的2c ，该不等式仍成立，即a b >，故本选项错误． 故选C ．二、填空题题11．在平面直角坐标系中，点(2,3)到x 轴的距离是________.【答案】1【解析】根据点到x 轴的距离等于纵坐标的长度解答．【详解】解：点()2,3到x 轴的距离是1，故答案为1．【点睛】考查了点的坐标，熟记点到x 轴的距离等于纵坐标的长度是解题的关键．12．从甲地到乙地有一段上坡和一段平路，如果保持上坡每分钟走50米，平路每分钟走60米，下坡每分钟走80米，那么从甲地到乙地需36分，从乙地到甲地需30分，则甲地到乙地的全程是________米.【答案】2000【解析】此题的等量关系为：从甲地到乙地：走上坡路用的时间+走平路用的时间=36；从乙地到甲地：走平路用的时间+走下坡路用的时间=30，设未知数，列方程组，解方程组求出方程组的解，再求出总路程即可.【详解】解：设从甲到乙地的上坡路的路程为x 米，平路的路程为y 米，根据题意得365060308060x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解之：8001200x y =⎧⎨=⎩ ∴x +y =800+1200=2000米故答案为：2000【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程组是解题的关键.13．16的算术平方根是 ．【答案】4【解析】正数的正的平方根叫算术平方根，0的算术平方根还是0；负数没有平方根也没有算术平方根 ∵2(4)16±=∴16的平方根为4和-4∴16的算术平方根为414．已知x 与6的差大于2，用不等式表示为____________.【答案】x-6＞1【解析】x 与6的差表示为x-6，大于1即“＞1”．【详解】解：“x 与6的差大于1”用不等式表示为x-6＞1，故答案为x-6＞1．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是注意分清数量之间的关系，抓住表示不等关系得词语，找出不等号．15．甲、乙两班共有104名学生去某景区划船，大船每只可乘坐12人，小船每只可乘坐5人，如果这些学生把租来的船都坐满，那么应租大船__________________只。

有理数乘除运算中的错误记录
初学有理数的乘除运算，由于对运算法则理解不深刻，对概念把握不透彻，常出现各种错误，现把同学们常犯的错误归纳如下，以引起同学们的注意和重视。

一、运算符号错误
例1计算9
8439432⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷. 错解：原式=6
13322398434932-=--=⨯-⨯-. 剖析：本题是一道加减乘除混合运算，应先算乘除，后算加减。

在混合运算中，应注意运算符号与性质符号的转化。

乘除运算先确定符号，再确定绝对值。

错解中后面的乘法运算中把性质符号丢掉了。

正解：原式=6
53223)9843(4932-=+-=⨯--⨯-. 二、运算顺序错误
例2计算36÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯2994. 错解：原式=36÷（-2）=-18.
剖析：在乘除同级运算中，谁在前面先算谁，错解忽视运算顺序致错. 正解：原式=36×2
7292949-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯. 三、分配律使用错误
例3计算12÷⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+614131. 错解：原式=6
11241123112÷-÷+÷=36+48-72=12. 剖析：错解受乘法分配律的影响，误认为除法也能用分配律，其实，除法没有分配律。

正解：原式=12÷51445121212234=⨯=-+.。

有理数乘除法混合运算中的常见错误示例一、对负带分数理解不清例1 计算:76488⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭错解:原式=76488⎛⎫-+÷ ⎪⎝⎭=()17164888-⨯+⨯=7864-+=7864-. 错解分析：错在把负带分数7648-理解为7648-+,而负带分数中的“-”是整个带分数的性质符号,把7648-看成7648--才是正确的.与之类似,7864-+也不等于7864-. 正解:原式=76488⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭=()17164888⎛⎫-⨯+-⨯ ⎪⎝⎭ =7864--=7864-. 例2 计算：322)831(⨯－； 错解：322)831(⨯－＝412－；错解分析：带分数相乘（或乘方）必须先把带分数化成假分数后再计算． 正解：原式＝32331138811＝－＝－－⨯；二、错用运算律例2 计算: 112263973⎛⎫⎛⎫-÷-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 错解:原式=111212639637633⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷--÷+-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =11171842-+- =1873126-+-=19-. 错解分析：由于受乘法分配律ɑ(b +c )=ɑb +ɑc 的影响,错误地认为ɑ÷(b +c )=ɑ÷b +ɑ÷c ,这是不正确的.正解:原式=17184263636363⎛⎫⎛⎫-÷-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =1636331⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=131-.三、违背运算顺序例3 计算:14168⎛⎫÷-⨯ ⎪⎝⎭. 错解:原式=4÷(-2)=-2.错解分析：本题是乘除运算,应按从左到右的顺序进行,而错解是先计算1168⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭,这样就违背了运算顺序. 正解:原式=4×(-8)×16=-512.。