四川省成都市状元廊学校2015届中考数学思维方法讲义 第11讲 圆的有关概念

状元廊数学思维方法讲义之七 年级： 九年级§第7讲 确定二次函数的解析式【今日目标】1、会利用各种条件（点、线段、面积、比例、方程等）选择二次函数的不同表达形式来确定二次函数的解析式，并解决与之相关的问题。

以中考压轴题第（1）问为主攻方向。

①一般式_____________________；（适用于图像上的三个点或三对值）②顶点式_____________________；其中__ _是抛物线的顶点坐标．（适用于已知图像的顶点、对称轴和最值）③交点式_____________________。

其中__ _ 是二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标。

（适用于已知图像与x 轴交点）2、能用二次函数模型解决实际问题，如：点与交点、“和最小”、“差最大”、面积等问题。

【精彩知识】专题一 用待定系数法求二次函数的解析式考点1：选择二次函数的不同表达形式求二次函数的解析式【例1】已知二次函数的图象经过点（0，3），（－3，0），（2，－5），且与x 轴交于A 、B 两点．（1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点P （－2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△ABC 的面积；如果不在，请说明理由。

●变式练习：已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过直线323+-=x y 与x 轴、y 轴的交点，且经过点（1,1），求此二次函数的解析式。

★方法归纳：已知抛物线上三点求解析式，一般设为 形式。

【例2】已知二次函数c bx ax y ++=2，对称轴是直线 2=x ，且有最大值2，其图象在x 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

●变式练习：抛物线y =ax 2+bx +c 与y =－x 2的形状相同, 对称轴是直线x =3, 最高点在直线y =x +1上, 求抛物线解析式。

★方法归纳：已知抛物线的已知图像的顶点、对称轴和最值与另一点求其解析式，一般设为 形式。

【例3】已知二次函数的图象x 轴两交点间的距离为6，对称轴为1-=x ，且经过点（３，－4），求这个二次函数的解析式。

一对一讲课教案一、圆的概念：1. 描述性概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．2 圆的表示方式：通经常使用符号⊙表示圆，概念中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O⊙”，读作“圆O”．3 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆.注意：同圆或等圆的半径相等．1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．2. 直径：通过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．4. 弧：圆上任意两点间的部份叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．5. 等弧：在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧．6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．1. 圆心角：极点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，咱们也称如此的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2. 圆周角：极点在圆上，而且两边都和圆相交的角叫做圆周角．3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：若是三角形一边上的中线等于这边的一半，那么那个三角形是直角三角形．4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，若是两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量别离相等．一、圆的对称性1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是通过圆心的任意一条直线．2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心．3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，不管绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合．二、垂径定理1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，而且平分弦所对的两条弧．2. 推论1：⑴平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且平分弦所对的两条弧；⑵弦的垂直平分线通过圆心，而且平分弦所对的两条弧；⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，而且平分弦所对的另一条弧．3. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．练习题；1.判定：（1）直径是弦，是圆中最长的弦。

圆之杨若古兰创作目录一．圆的定义及相干概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线, 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的地位关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的最终综合测试一．圆的定义及相干概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中间对称图形.经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆心是它的对称中间.考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的地位，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径.直径是圆中最大的弦.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.弧：圆上任意两点间的部分叫做弧.弧分为半圆，优弧、劣弧三种.（请务必留意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形.弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段.（请务必留意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的曾经不克不及再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形.如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在.考点5点和圆的地位关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的地位关系有三种.①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，觉得5半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有如何的地位关系，并说明你的理由.例2．已知，如图，CDB ，且AB=OC ，求∠A 的度数.例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 最大为8cm ，则这圆的半径是例4 在半径为5cm CD=8cm ，则AB 和CD 例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 订交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ，求CD 的长．例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，A BDC O · E求BAC的度数．【考点速练】1.以下命题中，准确的是（）A．三点确定一个圆B．任何一个三角形有且仅有一个外接圆C．任何一个四边形都有一个外接圆D．等腰三角形的外心必定在它的内部2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形必定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形3．圆的内接三角形的个数为（）A．1个B．2 C．3个D．有数个4．三角形的外接圆的个数为（）A．1个B．2 C．3个D．有数个5．以下说法中，准确的个数为（）①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点必定有圆．A．1个B．2个C．3个D．4个6.与圆心的距离不大于半径的点所构成的图形是( )A.圆的内部(包含鸿沟)；B.圆的内部(不包含鸿沟)；C.圆；D.圆的内部(包含鸿沟)7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O 上,则OA的长( )8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )9.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( )10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，须要晓得它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径．（请求保存作图痕迹）11.如图，已知在ABC∠90A，AB=3cm，AC=4cm，以=∆中，︒点A为圆心，AC长为半径画弧交CB的耽误线于点D，求CD的长．CB12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB ＝16cm ，拱高CD ＝4cm ，那么拱形的半径是＿＿13、△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则它的外接圆半径是＿＿.14、如图，点P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP ＝3，在过点P 的所有的⊙O 的弦的条数为＿＿.如图所示,已知⊙O 的半径为10cm ，直径AB 上一点,弦CD 过点CD 引垂线AE 和BF,求AE-BF 的值.【功课】日期 姓名完成时间成绩1、在半径为2的圆中，弦长等于2____2. △ABC的三个顶点在⊙O上,且AB=AC=2,∠BAC=120º,则⊙O的半径=__,BC=___.3． P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为_________；•最长弦长为_______．4. 如图,A,B,C 三点在⊙O 上,且AB 是⊙O 的直径,半径OD⊥AC,垂足为F,若∠A=30º,OF=3,则OA=______ ,AC=______,BC=_________.B FA DC B O5.如图5,为直径是52cm圆柱形油槽,装入油后,油深CD为16cm,那么油面宽度AB=____6.如图6, ⊙O中弦AB⊥AC,D,E分别是AB,AC的中点.⑴若AB=AC,则四边形OEAD是形;⑵若OD=3,半径5 r,则AB=_cm,AC=___ _cm7.如图7，⊙O的直径AB和弦CD订交于点E，已知AE=8cm，EB=4cm，∠CEA=30°，则CD的长为_________．(5) (6) (7)二．垂径定理及其推论【考点速览】考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，而且平分弦所对的两条孤．推论1：①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，而且平分弦所对的两条孤．②弦的垂直平分线经过圆心，而且平分弦所对的两条孤．③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，而且平分弦所对的另一条孤．推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等．垂径定理及推论1中的三条可概括为：① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例1 如图AB 、CD 是⊙O 的弦，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且CNM AMN ∠=∠．求证：AB=CD ．例2已知，不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE⊥l 于E ，BF⊥l 于F.求证：CE=DF ． 例3 如图所示，⊙O 的直径AB ＝15cm ，有一条定长为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C 与点A ，点D 与B 不重合），且CE⊥CD 交AB 于E ，DF⊥CD 交AB 于F.（1）求证：AE ＝BF（2）在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDEF 的面积是否是，请说明理由. 例4 如图，在⊙O 内，弦CD 与直径弦CD 交直径AB 于点P ，且⊙O 半径为1 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【考点速练】 ABC D P O .. AB DC O · N M1.已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长cm 32，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（ ）.A ．1cm B.2cm C.cm 2 D.cm 3cm 3．如图1，⊙O 的半径为6cm ，AB 、CD 为两弦，且AB⊥CD，垂足为点E ，若CE=3cm ，DE=7cm ，则AB 的长为（ ）A ．10cm B.8cm C.cm 24 D.cm 28 4.有以下判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有有数条.其中准确的判断有（ ）5．如图2，同心圆中，大圆的弦交AB 于C 、D 若AB=4，CD=2，圆心O 到AB 的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）A ．3:2 B.5:2 C.5:2 D.5:46.等腰三角形腰长为4cm,底角为 30,则外接圆直径为（ ）A ．2cm B.4cm C.6cmD.8cm7.如图,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,A DE C B ·图1 A ·OC D B那么OP 长的取值范围是.8.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是____m.9.如图，直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（暗影部分）水面的宽度AB 为800mm ，求水的最大深度10.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，以C 为圆心，CA 为半径作圆交斜边AB 于为. 11.已知:如图,在⊙O 中,弦AB 的长是半径弧AB 的中点,AB 、OC 订交于点M.试判断四边形OACB 的外形,并说明理由. 12.如图所示，在⊙O 中，弦AB⊥AC，弦BD⊥BA，AC 、BD 交直径MN 于E 、F.求证：ME=NF.13.（思考题）如图，1o Θ与2o Θ交于点A ，B ，过A 的直线分别交1o Θ，2o Θ于M,N ，C 为MN 的中点，P 为21O O 的中点，求证：PA=PC.【功课】日期 姓名完成时间成绩 1.已知⊙O 的直径AB=10cm ，弦CD⊥AB，垂足为M.且OM=3cm ，则CD=.2．D 是半径为5cm 的⊙O 内的一点，且D0=3cm ，则过点D CA M CB A O ·O A B DC E F M N 1O A B 2O M N C PD 的所有弦中，最小的弦AB=cm.3.若圆的半径为2cm ，圆中一条弦长为32cm ，则此弦所对应弓形的弓高是.4.已知⊙O 的弦AB=2cm,圆心到AB 的距离为n,则⊙O 的半径R=，⊙O 的周长为. ⊙O 的面积为.5．在⊙O 中，弦AB=10cm ，C 为劣孤AB 的中点，OC 交AB 于D ，CD=1cm ，则⊙O 的半径是. 6．⊙O 中，AB 、CD 是弦，且AB∥CD，且AB=8cm ，CD=6cm ，⊙O 的半径为5cm ，连接AD 、BC ，则梯形ABCD 的面积等于. 7．如图，⊙O 的半径为4cm ，弦AB 、CD 交于E 点，AC=BC ，OF⊥CD 于F ，OF=2cm ，则 ∠BED=.8．已知⊙O 的半径为10cm ，弦MN∥EF，且MN=12cm ，EF=16cm ，则弦MN 和EF 之间的距离为. 三．圆周角与圆心角【考点速览】 考点1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数.Eg: 判别以下各图中的角是不是圆心角，并说明理由. 圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆订交的角叫圆周角.两个条件缺一不成．Eg: 判断以下图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由· A EFBCDO考点2定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．Eg: 如下三图，请证实.考点34. 推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．②半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90的圆周角所对的弦是直径．③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．经典例题例1：下图中是圆周角的有.是圆心角的有.例2：如图，∠A是⊙O的圆周角，且∠A＝35°,则∠OBC=_____.O例3：如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=．例４：如图１，AB 是⊙O 的直径，点C D E ，，都在⊙O 上，若C D E ==∠∠∠，则A B +=∠∠º．例5：如图2，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，40EOD ∠=，则DCF ∠=． 例6：已知：如图，AD•是⊙O 的直径，∠ABC= 30 °，则∠CAD=_______．例7：已知⊙O 中，30C ∠=，2cm AB =，则⊙O 的半径为cm ． 例8 已知：如图所示，ABC ∆是⊙O 的内接三角形，⊙O 的直径BD 交AC 于E ，AF⊥BD 于F ，耽误AF 交BC 于G ．求证：BC BG AB ⋅=2考点练习1.如图，已知ACB ∠是⊙O 的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是（ ）（例１）A BEFCD G O 例２CA· OBDCGF1 EA ．40︒ B. 50︒C. 80︒D. 100︒2.已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧CD ⌒上分歧于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）A ．45° B．60° C．75° D．90° 3.△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC ＝6，则△ABC 外接圆的半径为（ ） A ．32B ．33C ．3D ．34.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ）A ．30° B．150° C．30°或150° D．60° 5.如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6.以下命题中，准确的是（ ）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等A ．①②③B ．③④⑤C ．①②⑤B EDA COD ．②④⑤7.如图，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2， 则等边三角形ABC 的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．258.如图，△ABC 内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC ，BD 为 ⊙O 的直径，AD=6，则BC ＝.9.如图9，有一圆形展厅，在其圆形边沿上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65．为了监控全部展厅，起码需在圆形边沿上共安装如许的监视 器台.10.如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为.11.如图,AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC=30°，点P 在线段OB 上活动.设∠ACP=x，则x 的取值范围是. 12.如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场地边沿B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走.按照这类方式，小华第五次走到场地边沿时处于弧AB 上，此时∠AOE＝56°，则α的度数是.13.如图，已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD 、AD ．（第9题） A65°°OABO C x P（1）求证：DB 平分∠ADC；（2）若BE ＝3，ED ＝6，求AB 的长．14.如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ． （1）求证：∠ACO=∠BCD ．（2）若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O15.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，，AD 是△ABC 的角平分线，过A 、C 、D AB 交于点E ，连接DE. （1）求证：AC ＝AE ；（2）求△ACD 16.已知：如图等边ABC △点（端点除外），耽误BP 至D （1）若AP 过圆心O 形？并说明理由．（2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形？为何？【考点速览】圆心角, 弧,弦,:B在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必留意前提为：在同圆或等圆中）例1．如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于A 、B 和C 、D ，求证：AB=CD ．例2、已知：如图，EF 为⊙O的直径，过EF 上一点P 作弦AB 、CD ，且∠APF=∠CPF. 求证：PA=PC.例3．如图所示，在ABC ∆中，∠A=︒72，⊙O 截ABC ∆的三条例4．如图，⊙O 的弦CB 、ED BC=DE ．求证：AC=AE ．例5．如图所示，已知在⊙O 中，︒，OD⊥AB 于D ，OE⊥BC 于E ． 求证：ODE ∆是等边三角形．综合练习 一、选择题ABE FO PC12DAB C 1．以下说法中准确的是（ ）A 、相等的圆心角所对的弧相等B 、相等的弧所对的圆心角相等C 、相等的弦所对的弦心距相等D 、弦心距相等，则弦相等2．如图，在⊙O 中，AB 的度数是︒50，∠OBC=︒40，那么∠OAC 等于（ ）A 、︒15B 、︒20C 、︒25D 、︒303．P 为⊙O 内一点，已知OP=1cm ，⊙O 的半径r=2cm ，则过P 点弦中，最短的弦长为（ ）A 、1cmB 、3cmC 、32cmD 、4cm4．在⊙O 中，AB 与CD 为两平行弦，AB >CD ，AB 、CD 所对圆心角分别为︒︒60,120，若⊙O 的半径为6，则AB 、CD 两弦相距（ ）A 、3B 、6C 、13+D 、333±5.如图所示，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E. （1）试说明△ODE 的外形；（2）如图2，若∠A=60º，AB≠AC，则①的结论是否仍然成立，说明你的理由.6 如图，△ABC 过点、CA 交BC 的耽误线于点（1）求证：△BEF·O 图A BCA B C如图 3如图4如图5（2）BA=4，CG=2，求BF 的长.7 已知：如图，∠AOB=90°，C 、D 是弧AB 的三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F.求证：AE=BF=CD.【功课】日期 姓名完成时间成绩 1.如图1，ABC ∆内接于⊙O ，445==∠，ABC则⊙O 的半径为（ ）. A ．22B ．4C ．32D ．52.如图2，在⊙O 中，点C 是AB 的中点，40=∠A ，则BOC ∠等于（ ）. A ．40B ． 50C ． 70D ．803.如图3，A 、B 、C 、D 是⊙O 上四点，且D 是AB 的中点，CD 交OB 于E ， 55,100=∠=∠OBC AOB ，OEC ∠= 度.4.如图4，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，130=∠D ，则BAC∠的度数是 .5.如图5，AB 是半圆O 的直径，E 是BC 的中点，OE 交弦BC 于点D ，已知BC=8cm,DE=2cm ，则AD 的长为 cm. 6．如图所示，在⊙O 中，AB 是直径，CO⊥AB，D 是CO 的中点，DE∥AB．求证:EC=2EA五．圆内接四边形【考点速览】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.·A O BE DCGF 如图1 如图2ABOD E C圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形. 判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可. 【典型例题】例1 （1）已知圆内接四边形ABCD 中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D 的度数．（2）已知圆内接四边形ABCD 中，如图所示，AB 、BC 、CD 、AD 的度数之比为1:2:3:4,求∠A、∠B、∠C、∠D 的度数．例2 四边形ABCD 内接于⊙O，点P 在CD 的耽误线上，且AP∥BD．求证：AD AB BC PD ⋅=⋅例3 如图所示，ABC ∆是等边三角形，D 是BC 上任一点．求证：DB+DC=DA ．例4AB 是⊙O的直径，弦DE⊥AB，弦AF 和DE 的耽误线交于C ，连结DF 、EF ， 求证：FE FD FA FC ⋅=⋅例5 如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，过A 点的直线与ABC ∆的外接圆交于E ，与BC 的耽误线交于D ．求证：ED AD AC AD ⋅=-22【考点速练】1．圆内接四边形的对角，而且任何一个外角都它的内对角．2．已知四边形ABCD 内接于⊙O ，则∠A:∠B:∠C:∠D=3:2::7，且最大的内角为． 3．如右图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，AE⊥CD 于E ，若∠ABC=︒130，则∠DAE=．·A D C BOPA ·BC DO · A B C D O · A B C DEO· ABCDO4．已知圆内接四边形ABCD的∠A、∠B、∠C的外角度数比为2:3:4，则∠A=，∠B=．5．圆内接梯形是梯形，圆内接平行四边形是．6．若E是圆内接四边形ABCD的边BA的耽误线上一点，BD=CD，∠EAD=︒55，则∠BDC=．7．四边形ABCD内接于圆，∠A、∠C的度数之比是5:4，∠B比∠D大︒30，则∠A=.∠D=．8．圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数比是2：3：6,则∠D的度数是（）A、︒5.67B、︒135C、︒5.112D、︒1109．如图1所示，圆的内接四边形ABCD，DA、CB耽误线交于P，AC和BD交于Q，则图中类似三角形有（）A、1对B、2对C、3对D、4对10．如果圆的半径是15，那么它的内接正方形的边长等于（）A、215B、315C、2315D、221511．以下四边形中，有外接圆的四边形是（）A、有一个角为︒60的平行四边形B、菱形C、矩形D、直角梯形12．如图2，四边形ABCD是圆的内接四边形，如果BCD 的度数为︒240，那么∠C等于（）A 、︒120B 、︒80C 、︒60D 、︒4013．若四边形ABCD内接于圆，且∠A:∠B:∠C:∠D=5:m:4:n，则（ ） A 、5m=4n B 、4m=5n C 、m+n=9 D、m=n=︒18014．如图，已知⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点C与点D 分别是劣弧AB 与优弧ADB 上任一点（点C 、D 均不与A 、B 重合）. (1)求ACB ∠；(2)求三角形ABD 的最大面积． 15．如图所示，已知△ABC 内接于⊙O，AB=AC ，点D 为劣弧BC 上一动点（不与B 、A 、C 重合），直线AD 与BC交于E 点，连结BD 、DC.（1）求证:BD·DC=DE·DA；（2）若将D 改为优弧BAC 上一动点（不与B 、A 、C 重合），其他条件均不改变，则（1）中的结论还成立吗？请画图并证实你的结论.【功课】日期 1．过四边形ABCD 、，若∠B+∠D ︒>180，则DA 、圆上 B2．如图1，若 A C BPQ图1AD B C· O图2ABCODAA数共有（ ）A 、5对B 、6对C 、7对D 、8对3．如图2，已知ABC ∆的外角∠BCD 的平分线CE 交ABC ∆的外接圆于E ，则ABE ∆是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形 4．如图3，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AE 是⊙O 的弦，且AE⊥CD，若∠B=︒120，则∠DAE 为（ ） A 、︒60 B 、︒30 C 、︒50 D 、︒705．已知：如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O，BD 是⊙O 直径，若∠DAC=︒60，BC=337，AD=5．求AC 的长．六．会用切线，能证切线考点速览： 考点1直线与圆的地位关系考点2A BCD图1A ·BCDE O图3ABCDE 图2 ·ABDCO切线：经过半径外端而且垂直于这条半径的直线是圆的切线.符号说话Array∵ OA⊥ l 于A，OA为半径∴ l 为⊙O的切线考点3判断直线是圆的切线的方法：①与圆只要一个交点的直线是圆的切线.②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线.③经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线.（请务必记住证实切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）考点4切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.（请务必记住切线主要用法：见切线就要连圆心和切点得到垂直）经典例题：例1.如图，△ABC 内接于⊙O， AB 是 ⊙O 的直径，∠CAD＝ ∠ABC，判断直线AD 与⊙O 的地位关系，并说明理由.例2.如图,OA=OB=13cm ，AB=24cm ，⊙O 的半径为5cm ，AB 与⊙O 相切吗？为何? 例3.如图,PA 、PB 是⊙O 的切线，切点为A 、B ，C 是⊙O 上一点，若∠P＝40.， 求∠C 的度数.例4．如图所示，ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，以AC 为直径作⊙O 交AB 于D ，E 为BC 中点.求证：DE 是⊙O 的切线．例5．（2010深圳）如图10，以点M 与y 轴、x 轴分别交于点A 、B 、C x － 533与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ．（1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长；（3分） （2）如图11，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP:PH ＝3:2，求cos∠QHC 的值；（3分）（3）如图12，点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C 重BB合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT 交x 轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足MN·MK＝a ，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由．（3分）中考链接1.如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆订交于点A ，与大圆订交于点B ，小圆的切线AC 与大圆订交于点D ，且CO 平分∠ACB.试判断BC 所在直线与小圆的地位关系，并说明理由. 2. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90. ，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC 、AB 分别交于点D 、E ，且∠CBD= ∠A，判断BD 与⊙O 的地位关系，并证实你的结论.3. (2009深圳)如图，AB 是⊙O 的直径，AB=10，DC 切⊙O 于点C ，AD⊥DC，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E.图10图11图12（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若sin∠BEC=3，求DC的长.54．（2008深圳）如图，点D是⊙O点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若点E是劣弧BC上一点，且△BEF的面积为8，2，求△ACFcos∠BFA＝3课堂速练（1）1．判断①垂直于半径的直线是圆的切线.………………………………（）②过半径外端的直线是圆的切线.………………………………（）③与圆有公共点的直线是圆的切线.……………………………（）④圆的切线垂直于半径.…………………………………………（）2．如图，AC切⊙O于点A，∠BAC＝37.，则∠AOB的度数为（）A. 64.B. 74.C. 83.D. 84.3. 如图，AB与⊙O相切于B，AO的耽误线交⊙O于点C，连接BC，若∠A＝36.．则∠C＝______4．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，ABCD，5C，∠BAC＝50.，∠ACD=______6．如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，CO交⊙O 于点D，BC于的度数．7．（2006xoy中，点M 在x⊙M交x y轴于C D、两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（－2，0），AE8(1)求点C的坐标.(2)连结MG BC、，求证：MG∥BC(3)如图10-2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P.动点F在⊙M的圆周上活动时，PFOF的比值是否发生变更，若不变，求出比值；若变更，说明变更规律.七．切线长定理考点速览：考点1B切线长概念：经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长和切线的区别切线是直线，不成度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．考点2切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．要留意：此定理包含两个结论，如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，①PA=PB ②PO 平分APB ∠． 考点3两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长． 经典例题：例1 已知PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点，若PO=13㎝，PED ∆的周长为24㎝，求：①⊙O 的半径；②若40APB ∠=︒，EOD ∠的度数．例2 如图，⊙O 分别切ABC ∆E 、F ，若,,BC a AC b AB c ===． （1）求AD 、BE 、CF 的长；（2径r ．例ABCD则四边形的周长为？例4 如图甲，直线343+-=x y 与x 轴订交于点A ，与y 轴订交于点B ，点C ()n m ,是第二象限内任意一点，以点C 为圆心与圆与x 轴相切于点E ，与直线AB 相切于点F. （1）当四边形OBCE 是矩形时，求点C 的坐标；（2）如图乙，若⊙C 与y 轴相切于点D ，求⊙C 的半径r ； （3）求m 与n 之间的函数关系式；（4）在⊙C 的挪动过程中，能否使OEF ∆是等边三角形（只回答“能”或“不克不及”）？考点速练1：1．如图，⊙O 是ABC ∆的内切圆，D::4:3:2A B C∠∠∠=，则DEF ∠=．FEC ∠=．2．直角三角形的两条直角边为53．如图，直线AB 、BC 、CD 分别与⊙O相切于点E 、F 、G ，且AB∥CD，若OB=6㎝，OC=8㎝，则BOC ∠=，⊙O 的半径=㎝，BE+CG=㎝．4．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，AB 交OP 于点M ，若2,OM cm AB PB ==，则⊙O 的半径是㎝． 考点速练（2）1．如图，在Rt ABC ∆中，90,3,C AC BC ∠=︒=点O 为圆心作⊙O 与AB 相切于E⊙O 与BC 的另一个交点D ，则线段BD 的长．2．如图，ABC ∆内接于⊙O，AB 为⊙O 直径，过C 点的切线交直径AB 的耽误线于P ，25BAC ∠=︒，则P ∠=．4、（广西）PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 切点，∠APB＝780，点C 是⊙O 上异于A 、B 任一点，那么∠ACB＝＿＿＿＿＿.5、（山西）若直角三角形斜边长为10cm ，其内切圆半径为2cm ，则它的周长为_______.6、（贵阳）如图，⊙O 是Rt△ABC 的内切圆，∠ACB＝900，且AB ＝13，AC ＝12，则图中暗影部分的面积是（ ）A 、π-30B 、π230-C 、π330-D 、π430-7．连结圆的两条平行切线的切点的线段，是这个圆的．8.如图1，AB 是⊙O 的直径，直线MN 切半圆于C ，AM⊥MN，BN⊥MN，若AM=a ，BN=b ，则AB=.9．如图2，AB 是⊙O 的直径，耽误AB 到D ，使BD=OB ，DC 切⊙O 于C ，则∠D=，∠ACD=，若半径为r ，AC=．10．经过圆的直径两端点的切线必互相．11.如图，在ABC ∆，10,8,90===∠AB AC C ，点P 在AC 上，AP=2，若⊙O 的圆心在线段BP 上，且⊙O 与AB 、AC 都相切，则⊙O 的半径是（ ）. A ．1 B ．45 C ．712D ．49 · A ED B O C题1 · AP B O C 题2 · A B D C O图2 M · CA OB N图112.如图，四边形ABCD是直角梯形，以垂直于底的腰AB 为直径的⊙O与腰CD相切于E，若此圆半径为6㎝，梯形ABCD的周长为38㎝，求梯形的上、下底AD、BC的长．八．三角形内切圆考点速览考点1概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．考点2三角形外接圆与内切圆比较：名称确定方法图形性质外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边中垂线的交点（1）OA=OB=OC；（2）外心纷歧定在三角形的内部．内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条角平分线的交点（1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、·AODB CE考点3求三角形的内切圆的半径1、直角三角形△ABC内切圆⊙O的半径为2cbar -+=.2、普通三角形①已知三边，求△ABC内切圆⊙O的半径r.（海伦公式S△＝)c s)(b s)(a s(s---，其中s=2cba++)经典例题：例1．浏览材料：如图（1），△ABC的周长为L，内切圆O 的半径为r，连结OA，OB，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC暗示△ABC的面积．∵S△ABC =S△OAB +S△OBC +S△OCA又∵S△OAB =12AB·r，S△OBC =12BC·r，S△OCA=12AC·r∴S△ABC =12AB·r+12BC·r+12CA·r=12L·r（可作为三角形内切圆半径公式）（1）理解与利用：利用公式计算边长分为5，12，13的三角形内切圆半径；（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（2）•且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；（3）拓展与耽误：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，…an，合理猜测其内切圆半径公式（不需说明理由）．例2．如图，△ABC中，∠A=m°．（1）如图（1），当O是△ABC的内心时，求∠BOC 的度数；（2）如图（2），当O是△ABC的外心时，求∠BOC 的度数；（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，求∠BOC的度数．例3．如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I 分别切AC，BC，AB于D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．考点速练1：1．如图1，⊙O内切于△AB C，切点为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，•连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（）A．40° B．55° C．65° D．70°图 1 图 2 图32．如图2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，•则∠DOE=（）A．70° B．110° C．120° D．130°3．如图3，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=（）A．112.5° B．112° C．125° D．55°4．以下命题准确的是（）A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等B．三角形的内心纷歧定在三角形的内部C．等边三角形的内心，外心重合D．一个圆必定有独逐个个外切三角形5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（）6．如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F．（1）求证：BF=CE；（2）若∠C=30°，AC的长．7．如图，⊙I切△ABC的边分别为D，E，F，∠B=70°，∠C=60°，M是弧DEF上的动点（与D，E不重合），∠DMF的大小必定吗？若必定，求出∠DMF的大小；若纷歧定，请说明理由．考点速练21．如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，•然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是（）A．（2）nR B．（12）nR C．（12）n－1RD．（2）n－1R2．如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的耽误线交BC于点D，AC=4，•DC=1，则⊙O的半径等于（）A．45B．54C．34D．563．如图，已知△ABC的内切圆⊙O分别和边BC，AC，AB切于D，E，F，•如果AF=2，BD=7，CE=4．（1）求△ABC的三边长；（2）如果P为弧DF上一点，过P作⊙O的切线，交AB 于M，交BC于N，求△BMN的周长．4．如图，⊙O与四边形ABCD的各边顺次切于M，N，G，H．（1）猜测AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证实你的猜测；（2）若四边形ABCD添加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m暗示梯形的周长．5、思考题（选作）：如图，已知正三角形ABC的边长为2a．（1）求它的内切圆与外接圆构成的圆环的面积；（2）根据计算结果，请求圆环的面积，•只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积；（3）将条件中的“正三角形”改为“正方形”“正六边形”，你能得出如何的结论？（4）已知正n边形的边长为2a，请写出它的内切圆与外接圆构成的圆环面积．九．了解弦切角与圆幂定理（选学）【考点速览】。

第1讲证明三角形【学习目标】1、牢记三角形的有关性质及其判定；2、运用三角形的性质及判定进行有关计算与证明。

【考点透视】1、全等三角形的性质与判定；2、等腰（等边）三角形的性质与判定；3、直角三角形的有关性质，勾股定理及其逆定理；4、相似三角形的性质与判定。

【精彩知识】专题一三角形问题中的结论探索【例1】如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。

有以下四个结论：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG：DE=3：4，其中正确结论的序号是.●变式练习1．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是．★考点感悟：专题二三角形中的平移、旋转等图形变换问题探索【例2】如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=-90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F（1）求证：CE=CF．（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A’D’E’的位置，使点E’落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论．图（1）图（2）【例3】△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的14时，求线段EF的长．ADB C EO★考点感悟：●变式练习：如图，O 是正△ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④AOBO S =6+33四形边；⑤AOCAOB93S S6++=．其中正确的结论是【 】A ．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③【例4】如图1，△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，D 、F 分别在AB 、AC 边上，此时BD=CF ，BD⊥CF 成立．（1）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长BD 交CF 于点G ． ①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=2时，求线段BG 的长．★考点感悟：专题三 几何动态问题【例5】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10 cm ，BC ＝12 cm ，点D 是BC 边的中点．点P 从点B 出发，以a cm/s (a ＞0)的速度沿BA 匀速向点A 运动；点Q 同时以1 cm/s 的速度从点D 出发，沿DB 匀速向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t s ．(1)若a ＝2，△BPQ∽△BDA，求t 的值； (2)设点M 在AC 上，四边形PQCM 为平行四边形． ①若a ＝ 52，求PQ 的长；②是否存在实数a ，使得点P 在∠ACB 的平分线上？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．P DBB★考点感悟：●变式练习：已知线段AB=6，C ．D 是AB 上两点，且是线段CD 上一动点，在AB 同侧分别作等边三角形和等边三角形PBF ，G 为线段EF 的中点，点P 由点C 移动到点D 时，G 点移动的路径长度为．专题四 几何与函数结合问题【例6】如图所示，在形状和大小不确定的△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，P 在EF 或EF 的延长线上，BP 交CE 于D ，Q 在CE 上且BQ 平分∠CBP ，设BP =y ，PE =x .（1）当EF x 31=时，求DBC DPE S S ∆∆:的值；（2）当CQ =21CE 时，求y 与x 之间的函数关系式；（3）①当CQ =31CE 时，求y 与x 之间的函数关系式；②当CQ =n1CE （n 为不小于2的常数）时，求直接y 与x 之间的函数关系式。

状元廊数学思维方法讲义之十一年级：九年级2019-2020 年中考数学第一轮思维方法复习讲义：第11讲圆的有关概念“圆”是现实世界中常见的图形，是初中几何的最后一章，从整个初中几何的学习来看，它属于“提高阶段”。

在知识方面，不仅需要学好本章的知识，而且还需要能综合运用前面学过的知识，在数学能力方面，不仅要掌握好以前学习过的折叠、平移、旋转、推理证明等方法，还要具备运用这些知识和方法来继续研究圆的有关性质，并解决一些实际问题。

另外，圆的许多性质，在理论上和实践中都有广泛的应用，所以，【知识引导】§Ⅰ 圆的有关概念1．圆：平面上到 __的距离等于__的所有点组成的图形叫做圆，其中，__为圆心， __为半径．__________确定圆的位置，__________ 确定圆的大小。

2．弧：圆上任意两点间的部分叫做__，简称弧，大于__的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．3．弦：连接圆上任意两点的线段叫做__，经过圆心的弦叫做__。

4．能够重合的两个圆叫做__，同圆或等圆的__，在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做__。

5．点与圆的位置关系：设圆的半径为r,点到圆心的距离为d，（1）点在圆外，即 d___r ； (2) 点在圆上，即 d____r； (3) 点在圆内，即 d____r.§Ⅱ圆的有关性质：1．圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理和推论可以结合起来表述为：对于一个圆和一条直线说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具备其他三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧．【精彩知识】考点 1: 圆的有关概念【例 1】1.有下列四个命题：①直径是弦；②过圆心的线段是直径；③等弧一定是同圆中的弧；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）A． 4 个 B ． 3 个C． 2 个D． 1 个2.若圆的半径是5cm，圆心的坐标是（0，0），点 P 的坐标是（ 4，2），则点 P 与⊙ O 的位置关系是（）A. 点 P 在⊙ O 外B.点 P 在⊙ O 内C.点 P 在⊙ O 上D.点 P 在⊙ O 外或⊙ O 上3.⊙ O 的半径为 5cm，一点 P 到圆的最小距离与最大距离之比为2：3，则 OP 长为。

第10讲二次函数的综合运用【知识概述】二次函数的综合运用是为考察学生综合运用知识的能力而设计的题目，常以中考压轴题出现，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活，因此成为拉开分值而具有选拔功能。

有的学生对二次函数的综合题有一种恐惧感，认为自己的水平一般，做不了，甚至连看也没看就放弃了，当然也就得不到应得的分数，为了提高函数的综合题（压轴题）的得分率，解好函数的综合题（压轴题），本讲将以具体实例介绍几种常用的解题策略，从心理上打消望而生畏的忧虑，获得数学高分的制胜法宝。

【解题策略】1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想；2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想；3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想；4、综合多个知识点，运用等价转换思想；5、分题分段得分：对题要理解多少做多少，最大限度地发挥自己的水平，做到得一分算一分。

【典例精析】专题一 知识回顾【例1】1、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴是直线 2=x ，且有最大值2，其图象在x 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

2、已知二次函数y=ax 2+bx +c 满足a -b +c =0,其图像过点A(2,-3)，并且以x =1为对称轴，求此二次函数的解析式。

3、已知二次函数24y ax x c =-+的图象与x 轴正、负半轴分别交于A 、B 两点，与y 轴负半轴交于点C ,tan ∠ACO =15，CO =BO , △ABC 的面积为15。

求该二次函数的解析式。

专题二 能力提升题型1：利用一元二次方程根与系数的关系求二次函数的解析式【例2】已知二次函数b ax x y ++-=2与x 轴从左到右交于A 、B 两点，与y 轴正半轴交于C 点，∠ACB =90°，且tan ∠BAC -tan ∠ABC =2，求此二次函数的解析式。

-变式：在直角坐标平面内，点O 为坐标原点，二次函数)4()5(2+--+=k x k x y 的图象交x 轴于点 A )0,(1x 、B )0,(2x ，且8)1)(1(21-=++x x 。