chapter 3线性控制系统的数学模型
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控制系统的数学模型
控制系统的数学模型第⼆章控制系统的数学模型2-1 什么是系统的数学模型？⼤致可以分为哪些类型？答定量地表达系统各变量之间关系的表达式，称⼯矿企业数学模型。
从不同的⾓度，可以对数学模型进⾏⼤致的分类，例如：⽤来描述各变量间动态关系的数学模型为动态模型，⽤来描述各变量间稳态关系有数学模型为静态模型；数学模型中各变量与⼏何位置⽆关的称为集中参数模型，反之与⼏何位置有关的称为分布参数模型；变量间关系表现为线性的称为线性模型，反之⾮线性模型；模型参数与时间有关的称为时变模型，与时间⽆关的称为时不变或定常模型；以系统的输⼊、输出变量这种外部特征来描述系统特性的数学模型称为输⼊输出模型，⽽以系统内部状态变量描述的数学模型称为状态空间模型；等等。
2-2 系统数学模型的获取有哪⼏种⽅法？答获取系统数学模型的⽅法主要有机理分析法和实验测试法。
机理分析法是通过对系统内部机理的分析，根据⼀些基本的物理或化学变化的规律⽽导出⽀配系统运动规律的数学模型，这样得到的模型称为机理模型。
实验测试法是通过对实际系统的实验测试，然后根据测试数据，经过⼀定的数据处理⽽获得系统的数学模型，这样得到的模型可称为实测模型或经验模型。
如果将上述两种⽅法结合起来，即通过机理分析的⽅法预先得到数学模型的结构或函数形式，然后对其中的某些参数⽤实验辨识的⽅法来确定，这样得到的数学模型可称为混合模型。
这是介于上述两种⽅法之间的⼀种⽐较切合实际的应⽤较为普遍的⽅法。
2-3 通过机理分析法建⽴对象微分⽅程数学模型的主要步骤有哪些？答主要步骤有：⑴根据系统的控制⽅案和对象的特性，确定对象的输⼊变量和输出变量。
⼀般来说，对象的输出变量为系统的被控变量，输⼊变量为作⽤于对象的操纵变量或⼲扰变量。
⑵根据对象的⼯艺机理，进⾏合理的假设和简化，突出主要因素，忽略次要因素。
⑶根据对象的⼯艺机理，从基本的物理、化学等定律出了，列写描述对象运动规律的原始微分⽅程式（或⽅程式组）。
控制系统的数学模型课件.ppt
t
s0
..
位移定理
L[ f (t 0 )] e0s F (s)
卷积定理
t
F1(s)F2(s) L[ 0 f1(t ) f2()d] f1(t ) f2() f1(t) f2(t)
拉氏反变换（部分分式展开法）
F(s)
B(s) A(s)
b0sm b1sm1 sn a1sn1
第2章 控制系统的数学模型
本章主要内容与重点 控制系统的时域数学模型 控制系统的复域数学模型 控制系统的结构图
..
本章主要内容
本章介绍了 建立控制系统数 学模型和简化的 相关知识。包括 线性定常系统微 分方程的建立、 非线性系统的线 性化方法、传递 函数概念与应用、 方框图及其等效 变换、梅逊公式 的应用等。
dx2
x0
(x x0 )2
y
y0
f
(x)
f
(x0 )
df (x) dx x0
(x
x0 )
具有两个自变量的非线性函数的线性化
y K x
y
f
(x1, x2 )
f
(
x10
,
x
20
)
f
( x1 , x1
x
2
)
(
x1
0
a0
d dt n
n
c(t)
a1
d dt n1
n1
c(t)
aΒιβλιοθήκη 1d dtc(t)
anc(t)
b0
d dt m
第三章线性控制系统的数学模型综述
2019/3/22
13
采用上面第一种方法很容易输入，方法真 直观，但如果分子或分母多项式给出的不 是完全的展开式，而是若干个因式的乘积， 则事先需要将其变换为完全展开式的形式， 两个多项式的乘积在matlab中可以用conv（） 函数得出：p＝conv（p1，p2） 其中p1和p2是两个多项式，调用这个函数 就能返回多项式乘积p 如果有3个多项式的乘积，就需要嵌套使用 此函数。
14
2019/3/22
conv的嵌套使用
p=conv(p1,conv(p2,p3))或者 p=conv(conv(p1,p2），p3) 例如上面的例子： num=3*[1 0 3]; den=conv(conv(conv(conv([1 2 1],[1 0 5]),[1 2]),[1 2]),[1 2]); G=tf(num,den)
27
2019/3/22
获得零极点模型之后，可以给出pzmap（） 命令在复数平面上表示出该系统的零极点 位置，用×表示极点位置，用o表示零点位 置。
2019/3/22
22
例3-5
2019/3/22
23
带时间延迟的状态方程
数学模型
MATLAB输入语句
其他延迟属性：ioDelay
24
2019/3/22
3.1.3 线性系统的零极点模型Βιβλιοθήκη 零极点模型是因式型传递函数模型
零点 、极点 零极点模型的 MATLAB表示
和增益
2019/3/22
8
传递函数可以表示成两个多项式的比值， 在matlab中，多项式可以用向量表示。 将多项式的系数按s降幂次序排列可以得到 一个数值向量，用这个向量就可以表示多 项式。
控制系统的数学模型
− E +
−
θ max
θ
+
u (t )
其中：E—电位器电源电压；
U ( s) E G( s) = = = Kp Θ( s ) θ max
θmax—电位器最大工作角。
南京理工大学自动化系
NJUST AUTOMATION
一对与上面相同的 电位器可 (t ) − u2 (t ) = K p (θ1 (t ) − θ2 (t )) = K p ∆θ (t )
U ( s) G( s) = = Kp ∆Θ( s )
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NJUST AUTOMATION
放大器：
R1 G( s) = − = Ka R0
Ua (s) = Ka ⋅ ∆U (s)
R1 U R0 Ua
， ）
（
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直流电动机：
La ua ia Ra Ea M
u (t ) ± r (t ) U ( s ) ± R( s)
±
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4、方框（或环节）：表示对信号进行的数 学变换，方框中写入元部件或系统的传递 函数。
方框与实际系统中的元部件并非一一对应。
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二、结构图的建立
2 2
南京理工大学自动化系
NJUST AUTOMATION
各典型环节名称： 比例环节：K τ 一阶微分环节：s + 1 2 2 τ 二阶微分环节： s + 2ξτs + 1 1 积分环节： s 1 惯性环节： Ts + 1 1 二阶振荡环节： T 2 s 2 + 2ξTs + 1
−
θ max
θ
+
u (t )
其中：E—电位器电源电压；
U ( s) E G( s) = = = Kp Θ( s ) θ max
θmax—电位器最大工作角。
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一对与上面相同的 电位器可 (t ) − u2 (t ) = K p (θ1 (t ) − θ2 (t )) = K p ∆θ (t )
U ( s) G( s) = = Kp ∆Θ( s )
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放大器：
R1 G( s) = − = Ka R0
Ua (s) = Ka ⋅ ∆U (s)
R1 U R0 Ua
， ）
（
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直流电动机：
La ua ia Ra Ea M
u (t ) ± r (t ) U ( s ) ± R( s)
±
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4、方框（或环节）：表示对信号进行的数 学变换，方框中写入元部件或系统的传递 函数。
方框与实际系统中的元部件并非一一对应。
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二、结构图的建立
2 2
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各典型环节名称： 比例环节：K τ 一阶微分环节：s + 1 2 2 τ 二阶微分环节： s + 2ξτs + 1 1 积分环节： s 1 惯性环节： Ts + 1 1 二阶振荡环节： T 2 s 2 + 2ξTs + 1
控制系统的数学模型(3)演示课件
• 以数学模型为依据控制系统可以被分类为 连续系统和离散（时间）系统、线性系统 和非线性系统、定常系统和时变系统等。
• 控制系统的数学模型不是惟一的，根据不 同的建模目的可以建立不同的数学模型， 即使对于相同的建模目的也可以建立不同 形式的数学模型，对于工程上常见的线性 定常连续系统，常用的数学模型有微分方 程和传递函数等。
uo (t)
解：
(1)确定输入和输出量
(2)建立微分方程
di(t)
L dt
Ri(t)uo(t)ui(t)
i(t) Cduo(t) dt
(3)消除中LC 间d2 变d uto2 (量t)，R 使C方du d o 程t(t)标u 准o(t化) ，ui得(t)到
这是一个二阶常系数线性微分方程。
• 例2.2 确定力学系统的微分方程
• 经典控制理论的主要研究方法——根轨迹 分析法和频域分析法都是建立在传递函数 基础上的。
• 2.2.1 传递函数的定义
• 传递函数定义为：零初始条件下，系统输 出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 。
• 控制系统最基本的数学模型是时域内的微 分a方0 d程dtnn，an1阶ddtn系n11统 微分an方1dd程t 的an一C般(s)形式为
1
目录
• 2.1 控制系统的微分方程 • 2.2 控制系统的传递函数 • 2.3 动态结构图
• 自动控制理论以自动控制系统为研究对象 ，无论是对控制系统进行分析还是对校正 装置进行综合，都需要建立控制系统的数 学模型。
• 所谓数学模型是指能够描述系统变量之间 关系的数学表达式。工程系统一般都是动 态系统，时域内连续时间集中参数系统的 数学模型是反映系统输入量和输出量之间 G(s)
• 传递函数和微分方程可以相互转换。
控制系统的数学模型
控制系统的数学模型
控制系统是一种能够自动实现某种规律性动态过程的机电设备，具有广泛的应用和重要的意义。
为了更好地理解和设计控制系统，我们需要学习控制系统的数学模型。
控制系统的数学模型是对系统动态行为的精确描述，通常用微分方程或差分方程来表示。
这个模型是由系统的结构和性质所决定的，因此在设计控制系统时需要考虑到不同方面的因素。
在实际应用中，通常采用系统的状态空间描述法来建立数学模型，其基本形式是：x(t+1) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
其中，x(t)为系统的状态向量，表示系统各输出量之间的关系；u(t)为输入量向量，表示系统受控的变量；y(t)为输出量向量，表示系统运行时的响应状态；A、B、C、D是系统常数矩阵，分别表示状态转移矩阵、输入特性矩阵、输出矩阵和直流通道矩阵。
这个模型允许我们对控制系统的状态、输入、输出之间的关系进行全面的分析和掌握。
控制系统的数学模型建立好之后，我们需要对其进行仿真和实验验证。
通过模拟相应的输入和输出，可以检验数学模型的可靠性和精度，并找出有误差的地方进行调整和改进。
同时，也能够为控制系统的设计和优化提供有力的指导和参考。
综上所述，控制系统的数学模型是其设计和优化的基础和关键，
建立好数学模型能够更全面地分析和预测系统的运行状态，并为进一
步进行仿真和实验提供必要的基础。
因此，在学习和设计控制系统时，需要注重数学模型的学习和应用，以提高系统的可靠性和实用性。
控制系统的数学模型
课后作业：习题2-1
板书或旁注： 1. 传递函数的来自本概念的介绍 （16分钟）2. 图2-6、2-7既比例环节的讲解
3. 图2-8、2-9即惯性环节的讲解
（16分钟）
（16分钟）
4. 图2-10、2-11既积分环节的讲解
5. 图2-12、2-14既微分环节的讲解
（16分钟）
（16分钟）
教学内容：
第三节 控制系统的传递函数
式中ω ——角速度，单位s-1
ce——电动势常数，单位v.s 电磁力矩 M cm ia 式中cm——力矩常数，单位㎏.m/A d 转动方程：T TL J dt 机械力矩平衡方程式： f w M L J dw M
dt
式中f——集中粘性摩擦系数，单位 ㎏.m.s
ML——负载力矩，单位 ㎏.m
(3)系统的实际传递函数，一般有n≥m。
(4)一个传递函数只能表达一对输入输出间的关系。因而在分析 和求取传递函数时必须明确是哪个输入与哪个输出间的关系。同一 系统﹑不同输入则传函不同。 (5)不同元件和系统，物理构成不同，但可能有相同的传递数，
传函相同则对应物理量就有相同的动态特性。
(6)在作不同用途的分析时，传递函数有不同的表示方法，且各 系数有不同的物理意义。将上式G(s)分解。 在作不同用途的分析时，传递函数有不同的表示方法，且各系 数有不同的物理意义。将上式G(s)分解。
第二节 控制系统的动态微分方程
一﹑列写动态微分方程的一般方法 1.确定系统或各元件的输入变量﹑输出变量。系统的 给定或 扰动量都是输入变量，而被控量是输出变量。 2.从系统的输入端开始，依据各变量所付值的物理归（如电 路中的基尔霍夫定律；力学中的牛顿定律；热力学 定律以及 能量守衡定律等），列写出在变化过程中的各个动态微分方 程。并考虑其它因数。
自动控制理论第二章--线性系统的数学模型全
理
论 一.物理模型 、数学模型及数学建模
物理模型 ：
任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对
它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。
简化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。
简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确
要求来确定出合理的物理模型。
2
第二章 线性系统的数学模型
自
动
控
制 理
物理模型的数学描述。是指描述系统
零初使条件是指当t≤0时,系统r(t)、c(t)以及它们的各阶
导数均为零。
传递函数
输出信号的拉氏变换 输入信号的拉氏变换
零初始条件
C(s) R(s)
26
第二章 线性系统的数学模型
自
动
控 线性系统微分方程的一般形式为:
制
理 论
制 理 论
F(s)
br (s p1)r
br 1 (s p1)r1
b1 (s p1)
ar 1 s pr1
an s pn
br
B(s)
A(s)
(s
p1
)r
s p1
br 1
d
ds
B(s) A(s)
(s
p1 ) r
s p1
br j
1 dj
j!
ds
j
B(s) A(s)
(s
p1
La
dia (t ) dt
Raia (t )
Ea
+
(1) -
La
if Ra
m
+ ia
Ea ——电枢反电势，其表达式为 Ua
Ea S M
负 载
jmfm
Ea Cem(t) (2) --
自动控制原理课件：线性系统的数学模型
式中
L1——信号流图中所有不同回环的传输之和；
L2——所有两个互不接触回环传输的乘积之和；
L3——所有三个互不接触回环传输的乘积之和；
……………
Lm——所有m个互不接触回环传输的乘积之和；
26
梅逊公式：信号流图上从源节点（输入节点）到汇节点（输出节点）的总传输公式.
1 n
G ( s ) Pk k
1. 确定系统的输入量和输出量；
2. 根据物理或化学定理列出描述系统运动规律的一组
微分方程；
3. 消去中间变量，最后求出描述系统输入与输出关系
的微分方程---数学模型。
如微分方程为线性，且其各项系数均为常数，则称为
线性定常系统的数学模型。
例2.1 如图所示为一RC网络，图中外加输入电压ui，电容电压
L 0
1
2
1
1
2
2
2
1 L1 1 G2 (s)H1 (s) G1 (s)G2 (s)H2 (s)
1 1
2 1
G1 ( s )G2 ( s ) G3 ( s )G2 ( s )
C (s)
R( s ) 1 G2 ( s ) H1 ( s ) G1 ( s )G2 ( s ) H 2 ( s )
duc (t )
RC
uc (t ) ui (t )
dt
设初始状态为零，对方程两边求拉普拉斯变换，得
U c (s)
1
G (s)
U i ( s ) RCs 1
典型环节的传递函数
b0 s m b1s m1 bm1s bm
G( s)
a0 s n a1s n1 an1s an
L1——信号流图中所有不同回环的传输之和；
L2——所有两个互不接触回环传输的乘积之和；
L3——所有三个互不接触回环传输的乘积之和；
……………
Lm——所有m个互不接触回环传输的乘积之和；
26
梅逊公式：信号流图上从源节点（输入节点）到汇节点（输出节点）的总传输公式.
1 n
G ( s ) Pk k
1. 确定系统的输入量和输出量；
2. 根据物理或化学定理列出描述系统运动规律的一组
微分方程；
3. 消去中间变量，最后求出描述系统输入与输出关系
的微分方程---数学模型。
如微分方程为线性，且其各项系数均为常数，则称为
线性定常系统的数学模型。
例2.1 如图所示为一RC网络，图中外加输入电压ui，电容电压
L 0
1
2
1
1
2
2
2
1 L1 1 G2 (s)H1 (s) G1 (s)G2 (s)H2 (s)
1 1
2 1
G1 ( s )G2 ( s ) G3 ( s )G2 ( s )
C (s)
R( s ) 1 G2 ( s ) H1 ( s ) G1 ( s )G2 ( s ) H 2 ( s )
duc (t )
RC
uc (t ) ui (t )
dt
设初始状态为零，对方程两边求拉普拉斯变换，得
U c (s)
1
G (s)
U i ( s ) RCs 1
典型环节的传递函数
b0 s m b1s m1 bm1s bm
G( s)
a0 s n a1s n1 an1s an
matlab——线性控制系统的数学模型
延迟为采样周期的整数倍 MATLAB输入方法
2020/9/16
控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用
27
滤波器型描述方法
滤波器型离散模型
分子、分母除以
记
，则
2020/9/16
控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用
28
MATLAB表示方法
例3-9
2020/9/16
将二者变换成同样结构再计算
基于MATLAB的计算方法
串联
注意次序：多变量系统
并联
优点，无需实现转换
2020/9/16
控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用
35
系统的反馈连接
反馈连接
正反馈
负反馈
2020/9/16
控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用
36
状态方程的反馈等效方法
第3 章 线性控制系统的数学模型
薛定宇著《控制系统计算机辅助设计---MATLAB 语言与应用》第二版，清华大学出版社2006
CAI课件开发：张望舒 哈尔滨工程大学 薛定宇 东北大学
2020/9/16
控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用
1
系统的数学模型
系统数学模型的重要性
系统仿真分析必须已知数学模型 系统设计必须已知数学模型 本课程数学模型是基础
2020/9/16
控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用
62
该模型可以转换回传递函数矩阵 得出的转换结果
其中 若
2020/9/16
控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用
37
反馈连接的MATLAB求解
2020/9/16
控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用
27
滤波器型描述方法
滤波器型离散模型
分子、分母除以
记
，则
2020/9/16
控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用
28
MATLAB表示方法
例3-9
2020/9/16
将二者变换成同样结构再计算
基于MATLAB的计算方法
串联
注意次序：多变量系统
并联
优点，无需实现转换
2020/9/16
控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用
35
系统的反馈连接
反馈连接
正反馈
负反馈
2020/9/16
控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用
36
状态方程的反馈等效方法
第3 章 线性控制系统的数学模型
薛定宇著《控制系统计算机辅助设计---MATLAB 语言与应用》第二版，清华大学出版社2006
CAI课件开发：张望舒 哈尔滨工程大学 薛定宇 东北大学
2020/9/16
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1
系统的数学模型
系统数学模型的重要性
系统仿真分析必须已知数学模型 系统设计必须已知数学模型 本课程数学模型是基础
2020/9/16
控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用
62
该模型可以转换回传递函数矩阵 得出的转换结果
其中 若
2020/9/16
控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用
37
反馈连接的MATLAB求解
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零极点模型是因式型传递函数模型
零点 、极点 零极点模型的 MATLAB表示
和增益
2013-7-13
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20
例3-5 零极点模型
MATLAB输入方法
另一种输入方法
2013-7-13
控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用 东北大学信息学院
模型
2013-7-13
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54
例3-15 时间延迟系统的离散化
MATLAB求解 零阶保持器变换
变换结果
控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用 东北大学信息学院
2013-7-13
55
Tustin变换 数学表示
其他转换方法
2013-7-13
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13
传递函数参数提取
由于使用单元数组，直接用 有两种方法可以提取参数
不行
这样定义的优点：可以直接描述多变量系统 第 i 输入对第 j 输入的传递函数
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算子输入方法：
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25
2013-7-13
例3-8 离散传递函数，采样周期
MATLAB输入方法
另一种输入方法
2013-7-13
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26
离散延迟系统与输入
数学模型
51
2013-7-13
还可以采用Tustin变换（双线性变换） 例3-14 双输入模型，
Hale Waihona Puke 2013-7-13
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52
输入模型、变换
2013-7-13
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53
21
3.1.4 多变量系统传递函数矩阵模型
传递函数矩阵
为第 i 输出对第 j 输入的传递函数 可以先定义子传递函数，再由矩阵定义
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22
2013-7-13
例3-7 多变量模型
2013-7-13
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系统仿真分析必须已知数学模型 系统设计必须已知数学模型 本课程数学模型是基础
系统数学模型的获取
建模方法：从已知的物理规律出发，用数学推 导的方式建立起系统的数学模型 辨识方法：由实验数据拟合系统的数学模型
2013-7-13
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2013-7-13
40
2013-7-13
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41
3.3.2 节点移动时的等效变换
考虑模型
难点：A点在回路间，移至输出端
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42
2013-7-13
节点移动
2013-7-13
MATLAB表示方法
例3-9
2013-7-13
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29
3.2.2 离散状态方程模型
数学形式
注意兼容性 MATLAB表示方法
2013-7-13
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30
离散延迟系统的状态方程
45
例3-13 电机拖动模型
2013-7-13
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46
信号单独输入
得出另一个传递函数
2013-7-13
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47
最终得出传递函数矩阵
2013-7-13
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37
反馈连接的MATLAB求解
LTI 模型
符号运算 (置于@sym目录)
2013-7-13
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38
例3-10
2013-7-13
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39
例3-11
控制器为对角矩阵
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35
基于MATLAB的计算方法
注意次序：多变量系统
2013-7-13
系统的反馈连接
反馈连接
正反馈
负反馈
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36
2013-7-13
状态方程的反馈等效方法
其中 若
2013-7-13
控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用 东北大学信息学院
17
2013-7-13
例3-5
2013-7-13
控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用 东北大学信息学院
18
带时间延迟的状态方程
数学模型
MATLAB输入语句
其他延迟属性：ioDelay
控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用 东北大学信息学院
19
2013-7-13
3.1.3 线性系统的零极点模型
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传递函数表示
数学方式
MATLAB输入语句
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传递函数输入举例
例3-1 输入传递函数模型
MATLAB输入语句
在MATLAB环境中建立一个变量 G
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3.1.1 线性连续系统数学模型及 MATLAB 表示
线性系统的传递函数模型
为阶次，
为常数，
物理可实现
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传递函数的引入
Pierre-Simon Laplace (1749--1827)，法国数学家 Laplace变换 Laplace变换的一条重要性质： 若 则
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3.1.2 线性系统的状态方程模型
状态方程模型
状态变量 ， 阶次 n ，输入和输出 非线性函数： 一般非线性系统的状态方程描述
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线性状态方程
时变模型
线性时不变模型 (linear time invariant, LTI)
延迟为采样周期的整数倍 MATLAB输入方法
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滤波器型描述方法
滤波器型离散模型
分子、分母除以 记 ，则
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第3章 线性控制系统的数学模型
薛定宇著《控制系统计算机辅助设计---MATLAB 语言与应用》第二版，清华大学出版社2006 CAI课件开发：张望舒 哈尔滨工程大学 薛定宇 东北大学
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系统的数学模型
系统数学模型的重要性
显然用第一种方法麻烦，所以
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MATLAB的传递函数对象
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传递函数属性修改
例3-4 延迟传递函数
，即
若假设复域变量为 ，则
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3.3.1 控制系统的典型连接结构
系统串、并联
串联传递函数 并联传递函数
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串、并联状态方程模型
串联系统的状态方程
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3.3.3 复杂系统模型的简化