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1 / 13第一讲 习题解答习题1-11 计算下列极限计算下列极限① ()1lim 11,0pn n p n →∞⎡⎤⎛⎫+->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦解：原式解：原式==()1111110lim lim 110ppp n n n n n n→∞→∞⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-()()0110lim 0p p n x x →+-+=-()()01p x x p ='=+= ② ()sin sin limsin x ax a x a →--解：原式解：原式==()()()()sin sin sin sin limlim sin x ax a x a x ax a x a x a x a →→---⋅=---=()sin cos x a x a ='= ③ 11lim 1mnx x x →--，,m n 为自然数解：原式解：原式==()()111111lim 11mmn x nx x x x nxx mx x →==--'⋅=⋅=--'④ ()lim 21,0nnna a →∞⋅-> 解：原式()()1ln 21lim ln 211limln 21limn x n nx a e a n a nxn e ee→∞→⎛⎫ ⎪⋅- ⎪⎝⎭--→∞====()()()()0ln 21ln 21ln 21lim2ln 20xa a xxa axx e ee a ---→'-====⑤ lim ,0x ax a a x a x a →->-解：原式解：原式==lim x a a a x a a a a x x a →-+--lim lim x a a a x a x a a a x a x a x a →→--=---()()x ax a x a a x ==''=-()ln 1a a a =- ⑥ lim ,0x aax x ax aa a a a x →->-解：原式lim lim x a x a a x a x x a x a x a x a a a a a x a a xx a a x →→---==⋅---()lim x a a a a a x a x a x a a a a a x a x a a x →----=⋅-- lim x a a a a a x a x a x a a a a a x a x a x a a x →⎛⎫---=-⋅ ⎪ ⎪---⎝⎭lim x a a a a a x a a a a a x a x a a a a a x a x a x a x a x a a x→⎛⎫----=-⋅⋅ ⎪ ⎪----⎝⎭ ()()()()1ln 1x a a y a a y a x a x a a a x a a ===⎛⎫'''=-⋅⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭ln a a a a =⋅⑦ ()()101011sin limsin x tgxxx →+--解：原式解：原式==()()101011sin limsin x tgxxx xx→+--⋅()()()()1010101001101sin 1sin 0lim x tgx tg xxx→⎛⎫+-+---=-⎪ ⎪⎝⎭()()()()101011sin x x tgx x ==''=+--20=⑧ ()11lim mk m n i n i kn n -→∞=⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，m 为自然数为自然数 解：原式()111lim lim 1m m k k m n n i i n i i n n n n n -→∞→∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎢⎥=-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑ ()()()11111lim 12m kkmn i i x i mk k n i i x in→∞===⎛⎫+-⎪+'⎝⎭=⋅=⋅+=∑∑ 2 设()f x 在0x 处二阶可导，计算()()()000202lim hf x h f x f x h h→+-+-。
第一讲 习题解答习题1-11 计算下列极限① ()1lim 11,0p n n p n →∞⎡⎤⎛⎫+->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦解：原式=()1111110lim lim 110ppp n n n n n n→∞→∞⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-()()0110lim 0p p n x x →+-+=-()()01p x x p ='=+= ② ()sin sin limsin x a x a x a →--解：原式=()()()()sin sin sin sin limlimsin x a x a x a x a x ax a x a x a →→---⋅=---=()sin cos x ax a ='= ③1x →，,m n 为自然数 解：原式=11x x n m→='==④()lim 21,0nn a →∞>解：原式()()10ln 21lim ln 211limln 1lim n x n x a e a n nxn ee e →∞→⎛⎫ ⎪⋅- ⎪⎝⎭-→∞====()()()()0ln 21ln 21ln 21lim2ln 20x a a xx a a xx e ee a ---→'-====⑤ lim,0x ax a a x a x a→->- 解：原式=limx a a a x a a a a x x a →-+--lim lim x a a ax a x a a a x a x a x a →→--=---()()x a x a x a a x ==''=-()ln 1a a a =- ⑥ lim ,0xaa xxax a a a a a x →->-解：原式limlim x a x aa x a x x a x a x a x a a a a a x aa x x a a x→→---==⋅---()lim x aa aa a x ax ax a a a a a x ax aa x→----=⋅-- lim xaaaa a x ax a x a a a a a x a x a x a a x →⎛⎫---=-⋅ ⎪ ⎪---⎝⎭lim xaaaa a x a a a a a x a x a a a a a x a x ax a x a x a a x →⎛⎫----=-⋅⋅ ⎪ ⎪----⎝⎭()()()()1ln 1x aa y aa y a x a x a a a x a a ===⎛⎫'''=-⋅⋅ ⎪⎪-⎝⎭ln aa a a =⋅ ⑦ ()()101011sin limsin x tgx x x→+--解：原式=()()101011sin limsin x tgx x xx x→+--⋅()()()()1010101001101sin 1sin 0lim x tgx tg x x x →⎛⎫+-+---=-⎪ ⎪⎝⎭()()()()101011sin x x tgx x ==''=+--20=⑧ ()11lim m k m n i n i kn n -→∞=⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，m 为自然数 解：原式()111lim lim 1m m k k m n n i i n i i n n n n n -→∞→∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎢⎥=-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑ ()()()110111lim 12mkk m n i i x i mk k n i i x i n→∞===⎛⎫+- ⎪+'⎝⎭=⋅=⋅+=∑∑2 设()f x 在0x 处二阶可导，计算()()()00022limh f x h f x f x h h→+-+-。
数学分析第三章习题答案数学分析是数学的重要分支之一，它研究的是数学中的极限、连续、微分和积分等概念及其应用。
第三章是数学分析课程中的重要章节，主要讲述了函数的极限和连续性。
本文将为读者提供数学分析第三章习题的详细解答，帮助读者更好地理解和掌握这一章节的知识。
1. 设函数f(x) = x^2 - 3x + 2，求f(x)在x = 2处的极限。
解答：要求f(x)在x = 2处的极限，即求lim(x→2)f(x)的值。
根据极限的定义，我们需要计算当x无限接近2时，f(x)的取值。
将x代入f(x)的表达式中，得到f(2) = 2^2 - 3×2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0。
因此，f(x)在x = 2处的极限为0。
2. 设函数f(x) = sin(x)，求f(x)在x = π/2处的极限。
解答：要求f(x)在x = π/2处的极限，即求lim(x→π/2)f(x)的值。
根据极限的定义，我们需要计算当x无限接近π/2时，f(x)的取值。
将x代入f(x)的表达式中，得到f(π/2) = sin(π/2) = 1。
因此，f(x)在x = π/2处的极限为1。
3. 设函数f(x) = 1/x，求f(x)在x = 0处的极限。
解答：要求f(x)在x = 0处的极限，即求lim(x→0)f(x)的值。
根据极限的定义，我们需要计算当x无限接近0时，f(x)的取值。
将x代入f(x)的表达式中，得到f(0) = 1/0，由于分母为0，这个表达式是无意义的。
因此，f(x)在x = 0处的极限不存在。
4. 设函数f(x) = x^3，求f(x)在x = -1处的极限。
解答：要求f(x)在x = -1处的极限，即求lim(x→-1)f(x)的值。
根据极限的定义，我们需要计算当x无限接近-1时，f(x)的取值。
将x代入f(x)的表达式中，得到f(-1) = (-1)^3 = -1。
因此，f(x)在x = -1处的极限为-1。
《数学分析选讲》课程教学大纲一、《分析选讲》课程说明课程代码：0741123110课程英文名称：Selective Lectures of Mathematic Analysis开课对象：数学与应用数学本科生课程的性质：考试学时：72数学分析选讲是数学与应用数学专业重要的选修课,它是学生进一步学习分析数学的分支和科学研究必不可少的专业基础知识, 同时也可使其他理科专业学生进一步了解微积分学知识，是报考对数学要求较高的硕士学位研究生同学的必修课程。
本课程的前导课程为数学分析。
教学目的：通过本课程的教学，使学生系统拓展和加深数学分析中的基本技能、基本思想和方法,主要培养学生分析论证问题的能力、抽象思维能力和科学研究的初步能力.教学内容：本课程主要系统拓展和加深学习极限理论, 实数的连续性, 微分中值定理的及其应用, 常数项级数和广义积分,与“一致性”有关的几个概念及判别法, 多元函数微分学,多元函数积分学，两个极限过程的换序这八个核心内容。
教学时数教学时数：７2学时学分数：学分教学方式课堂讲授,课外习作及批改. 考核方式和成绩记载说明 考核方式为考试。
严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%。
二、讲授大纲与各章的基本要求第一章 函数与极限教学要点：本章主要研究内容为函数性质的确定；通过实例总结求数列与函数极限的方法，以及如何确定极限的存在性等。
教学时数：8学时。
教学内容： 第一节 函数1.1 求函数的定义域与值域1.2 由已知函数关系求函数)(x f 的表达式1.3 确定函数的性质 1.4 函数方程第二节 极限2.1 极限的概念 2.2 求极限的方法2.3 确定极限存在性的方法 考核要求：通过本章的学习，学生应能理解函数的定义，准确地确定函数的性质；熟练掌握极限的概念及耱极限的各种常用方法；掌握判断极限存在性的常用方法。
讲 授 内 容备 注 第三讲三、利用变量替换求极限例6 求极限 xx xx)1cos1(sinlim +∞→．解 令yx=1， 则当 ∞→x 时，0→yyy xx y y xx1)cos (sin lim )1cos 1(sinlim +=+→∞→sin cos 11sin cos 1lim (1sin cos 1)y y yy y y y y +-+-→⎡⎤=++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦由于 1sin lim=→yy y ， 01cos lim=-→yy y所以 e y y y y y =-++-+→1cos sin 1)1cos sin 1(lim因此 e xxxx =+∞→)1cos1(sinlim ．例7 若lim , lim n n n n x a y b →∞→∞==．试证：1211limn n n n x y x y x y abn-→∞+++= ．证 因为lim , lim n n n n x a y b →∞→∞==令 , n n n n x a y b αβ=+=+ 则当n →∞时，0, 0n n αβ→→． 于是1211n n n x y x y x y n-+++1211()()()()()()n n n a b a b a b nαβαβαβ-+++++++++=1112n n nab abnnβββααα-++++++=++1211n n n nαβαβαβ-++++其中 12limlim 0nn n n nββββ→∞→∞+++==3学时12limlim 0nn n n nαααα→∞→∞+++==又因为 lim 0n n α→∞=，所以{}n α有界，0, M n ∃>∀∈，使得||n M α≤．所以1211||0n n n nαβαβαβ-+++<11||||||n n Mnβββ-+++≤0→ ()n →∞ 所以 1211limn n n n x y x y x y abn-→∞+++= ．注 本例的变换具有一般性，常常用这种变幻，可将一般情况归结为特殊情况．如本例，原来是已知lim , lim n n n n x a y b →∞→∞==，求证1211limn n n n x y x y x y abn-→∞+++= ．经变换后，归结为已知lim 0, lim 0n n n n αβ→∞→∞==，求证1211limn n n n nαβαβαβ-→∞+++= ．这样可以利用结论：lim 0lim ||0n n n n x x →∞→∞=⇔=．但 lim n n a a →∞=与lim ||||n n a a →∞=不等价．四、两边夹法则（迫敛性定理）例8 设0, (1,2,,)k a k m >=．求lim n →∞解 设{}12max ,,,0m A a a a =>12nnnnnm A a a a m A≤+++≤A ≤≤而lim 1n →∞=，由两边夹法则得limn A →∞=．例9 求01lim []x x x→．解 当0x ≠时，1111[]xxx-≤<0x >时，11[]1x x x -≤< 0x <时，11[]1x x x -≥>故 01lim []1x x x→=．例10 已知0, (1,2,,)i a i n >= ．试计算1111lim n n p p p pi i p i i a a -→+∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑．解 记{}min |1,2,,i a a i n == ，{}max |1,2,,i A a i n == 因为p →+∞，不妨设0p >11111111()()()()n n p p p pp p p p ppp p i i i i A aa a nA na ---==⎛⎫⎛⎫+≤+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 令p →+∞， 左边为 1A a -+ 右边为 1A a -+故11111lim n n p p p p i i p i i a a A a --→+∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑． 例11 求极限lim n n x →∞．设1)135(21)2462n n x n⋅⋅-=⋅⋅ ；2) 22(1)n n k nx +==∑3) ()()11111nk k k kn i x n n --=⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦∑． 解 1) 因为几何平均值小于算术平均值， 所以分母中的因子1322+=>3542+=>(21)(21)22n n n -++=>135(21)02462n n x n⋅⋅-<=⋅⋅0⋅⋅--<→ ()n →∞故 lim 0n n x →∞=．2)22(1)n k n+=∑22(1)122n n n +-+=+项，其中最小项为11n =+1n=．所以22(1)22221n k nn n n n+=++≤≤+∑于是22(1)lim2n n k n+→∞==∑．3) 因为 ()111, (1)1kkkkk n n n n n n <+<+<+<+所以 ()111(1)1kkn n n --->+>+111(1)11nkkk n n n nn -==>+>→+∑()n →∞11lim (1)1nkkn k n -→∞=+=∑．同理可得 11lim (1)1nkkn k n -→∞=-=∑．从而 lim 2n n x →∞=．五、利用单调有界定理求极限（或证明极限存在） 例12 设a 为常数．若数列{}n x 满足条件12||, (2,3,)nkk k xx a n -=-<=∑证明数列{}n x 收敛．证 令12||, (2,3,)nn kk k y xx n -==-=∑显然，数列{}n x 是单调增加并有上界a ，所以{}n y 收敛． 由Cauchy 收敛准则的必要性，0, N ε∀>∃，当n N >时，对p ∀∈ ，有 ||n p n y y ε+-<．1122||||||n pnn p n kk kk k k y y xx xx ++--==-=---∑∑11||n pk k k n x x ε+-=+=-<∑而1121|||()()()|n p n n p n p n p n p n n x x x x x x x x +++-+-+-+-=-+-++-11||n pk k k n x x ε+-=+=-<∑由Cauchy 收敛准则的充分性，知数列{}n x 收敛．例13 设函数()f x 在[1,)+∞上连续，恒正且单调递减．并且11()()nn n k u f k f x dx ==-∑⎰则数列{}n u 收敛． 证 1n n u u +-11 1111()()()()n nn n k k f k f x dx f k f x dx++===--+∑∑⎰⎰1 (1)()n nf n f x dx +=+-⎰已知()f x 在[1,)+∞上单调递减，连续，由积分中值定理知1n n u u +- 1 (1)()n nf n f x dx +=+-⎰(1)()0n f n f ξ=+-≤ 1n n n ξ≤≤+所以数列{}n u 是单调减少的． 又因为 (1)(2)()n u f f f n =+++2312-1()()()n n f x dx f x dx f x dx ----⎰⎰⎰2 312(1)()(2)()f f x dx f f x dx =-+-+⎰⎰1(1)()()n n f n f x dx f n -+--+⎰已知()f x 在[1,)+∞上恒正、单调递减，连续，由积分中值定理知 [][]12(1)()(2)()n u f f f f ξξ=-+-+ []1(1)()()n f n f f n ξ-+--+ 而 ()()0, 1, 1,2,,1k k f k f k k k n ξξ-≥≤≤+=- ()0f n > 所以 ()0n u f n >>． 则数列{}n u 有下界．据单调有界定理知，数列{}n u 收敛．例14 已知数列{}n x 的通项为：101120, 1n n n x x x x --+==+．证明：lim n n x →∞存在，并求出此极限值．证 由11101110, 111n n n n n n x x x x x x x -----++===+++知 0, (1,2,)n x n >= 112131, 112x x x x ==+=+211 02x x -=>假设n k=时，命题成立．即1 0k k x x +->．则当1n k =+时，21 k k x x ++- 111111k k k k x x x x ++⎛⎫=+-+ ⎪++⎝⎭110(1)(1)k kk k x x x x ++-=>++由数学归纳法知，对任意自然数n ，1 0n n x x +->成立． 即数列{}n x 是单调增加的． 又 11121n n n x x x --=+<+所以数列{}n x 是有上界的．据单调有界定理知，数列{}n x 存在极限． 设lim n n x a →∞=，对1111n n n x x x --=++两边取极限，得11a a a=++解得2a =由极限的保号性，0a ≥，因此12a +=即1lim 2n n x →∞+=．六、O.Stolz 公式O.Stolz 公式可以说是数列里的罗必塔法则． Th1（∞∞型O.Stolz 公式）设{}n x 严格递增，（即n ∀∈ ，有1n n x x +<），且lim n n x →∞=+∞，若 11()limn n n n n a y y x x -→∞-+∞-∞⎧-⎪=⎨-⎪⎩有限值，则()lim n n n a y x→∞+∞-∞⎧⎪=⎨⎪⎩有限值即 11limlimn n n n n nn n y y y x x x -→∞→∞--=-．Th2（00型O.Stolz 公式）设lim 0n n y →∞=，{}n x 严格单调下降趋于零，若11()limn n n n n a y y x x -→∞-+∞-∞⎧-⎪=⎨-⎪⎩有限值，则()lim n n n a y x→∞+∞-∞⎧⎪=⎨⎪⎩有限值 即 11limlimn n n n n nn n y y y x x x -→∞→∞--=-．注 以上两个定理对于a =∞的情况不一定成立．例15 证明：111lim 1p np n i i np +→∞==+∑， （p ∈ ）证 取1, 12p pppn n x ny n+==+++ 1111limlimlimp nn n n p n n n i nn n y y y i nx x x -+→∞→∞→∞=--==-∑11lim(1)pp p n n nn ++→∞=--11211lim(1)1p p p pp n p nnnp n C n++-→∞+=⎡⎤--++-+⎣⎦2111lim(1)11ppp n p np n Cnp -→∞+==+-+-+ ．例16 设1lim ()0n n n n A A -→∞-=．试证：若极限12limnn A A A n→∞+++ 存在时，则lim n n A →∞也存在，且12lim limnn n n A A A A n→∞→∞+++= ．证 只需证明12lim 0n n n A A A A n →∞+++⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 设 111122, , , ,n n n a A a A A a A A -==-=-因为 1lim ()0n n n n A A -→∞-=所以 lim 0n n na →∞=，且121112()()()n n n n n A A A A A A A A ---=-+-++-+121n n a a a a -=++++于是12lim n n n A A A A n →∞+++⎛⎫- ⎪⎝⎭()1121212()()lim n n n a a a a a a a a a n →∞+++++++⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦ 232(1)lim n n a a n a n →∞+++-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11limlimn n n n n nn n y y y x x x -→∞→∞--==-[]232312(1)2(2)lim (1)n n n a a n a a a n a n n -→∞⎡⎤+++--+++-=⎢⎥--⎣⎦1lim (1)lim0n n n n n n a na n→∞→∞-=-=⋅=． 即 12lim limnn n n A A A A n→∞→∞+++= ．例17求limn n→∞+ ．解设, n n x n y ==+limn n→∞11limlimn n n n n nn n y y y x x x -→∞→∞--==-lim(1)n n n →∞=--limn →∞==+∞．例18 求211112122223222lim 212121n n n nn ---→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭．解 设211112122223222212121n n n n nz ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭两边取对数 211223121212ln lnlnln221221221n n n n nz ---=+++---2121231222ln 2ln 2ln 2212121n n n n ---⎛⎫=+++ ⎪---⎝⎭取 2112232222, ln2ln2ln212121n n n n n nx y ---==+++--- ，则11lim ln limlimn n n n n n n nn n y y y z x x x -→∞→∞→∞--==-1212122ln1121limlim lnln122222n n nn n n n n ----→∞→∞--===--1ln212e==．。
《数学分析方法选讲》讲义第一章介绍了数学分析的基本概念和思想。
首先介绍了实数和实数集，包括实数的有序性、稠密性和连续性等性质。
接着介绍了数列和数列极限的概念，包括数列的单调性、有界性和收敛性等重要性质。
最后介绍了函数和函数极限的概念，包括函数的连续性、极限存在性和极限唯一性等重要性质。
第二章介绍了函数的导数和微分的概念。
首先介绍了导数的定义和性质，包括导数的几何意义、导数的四则运算、导数的求法和导数的计算等。
接着介绍了微分的定义和性质，包括微分的几何意义、微分的计算和微分的应用等。
最后介绍了高阶导数和高阶微分的概念，包括高阶导数和高阶微分的计算和应用等。
第三章介绍了函数的积分和不定积分的概念。
首先介绍了不定积分的定义和性质，包括不定积分的基本性质、不定积分的计算和不定积分的应用等。
接着介绍了定积分的定义和性质，包括定积分的几何意义、定积分的计算和定积分的应用等。
最后介绍了变限积分和变限积分的计算和应用等。
第四章介绍了无穷级数和幂级数的概念。
首先介绍了收敛级数和发散级数的概念，包括级数的收敛性和级数的发散性等性质。
接着介绍了正项级数和交错级数的概念，包括正项级数的比较判别法和交错级数的莱布尼茨判别法等。
最后介绍了幂级数的概念和性质，包括幂级数的收敛区间和收敛半径等重要性质。
第五章介绍了微分方程和常微分方程的概念和基本方法。
首先介绍了微分方程的基本概念和分类，包括微分方程的定义、微分方程的阶数和微分方程的解等。
接着介绍了常微分方程的基本解法，包括一阶线性微分方程的解法、二阶常系数线性齐次微分方程的解法和二阶常系数线性非齐次微分方程的解法等。
最后介绍了常微分方程的应用，包括生物学、物理学和工程学等领域中的应用。
《数学分析方法选讲》讲义全面而详尽地介绍了数学分析的基本概念、定理和方法，对于学生理解和掌握数学分析的基本原理和基本技巧具有重要的指导作用。
读者通过学习这本讲义，将能够加深对数学分析的理解，提高解题能力，为进一步学习和研究数学奠定坚实的基础。
数学分析3知识点整理●场论●数量场●定义●在区域上的一个点将对应一个数量●f:D\rightarrow \mathrm{R}●向量场●定义●在区域上的一个点将对应一个向量●f:D\rightarrow \mathrm{R}^3●梯度●向量场●\operatorname{grad}f(\pmb{p})=\left(\frac{\partial f(\pmb{p})}{\partialx},\frac{\partial f(\pmb{p})}{\partial y},\frac{\partial f(\pmb{p})}{\partial z}\right)●Nabla 算子●定义●\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partialy},\frac{\partial}{\partial z}\right)●作用在数量场●\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partialf}{\partial z}\right)●性质●线性●\nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f●\nabla (\varphi\circ f)=\varphi '\circ f\nabla f●作用在向量场数量积形式●\nabla \bullet F=\left(\frac{\partial P}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partialy},\frac{\partial R}{\partial z}\right)●性质●线性●\nabla\bullet\varphi F=\varphi\nabla\bullet F+F\bullet\nabla\varphi\varphi是数量场●向量积形式●定义●F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k●\nabla\times F=\begin{vmatrix}i&j&k\\\frac{\partial}{\partialx}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partialz}\\P&Q&R\end{vmatrix}●性质●线性●\nabla\times(\varphi\mathbf{F})=\varphi\nabla\times\mathbf{F}+\nabla\varphi\times\mathbf{F}\varphi为数量函数●\nabla\bullet(F_1\times\mathbf{F}_2)=(\nabla\times\mathbf{F}_1)\bullet\mathbf{F}_2-(\nabla\times\mathbf{F}_2)\bullet\mathbf{F}_1混合积●通量●定义●向量场通过正则曲面的流量●\iint\limits_{\Sigma}\pmb{F}\cdot \pmb{n}\mathrm{d}\sigma●正源区域通量为0●负源区域通量为负●无源区域通量为正●散度●定义●向量场\pmb{F}通过无限趋于一点M的闭曲面\Sigma的流量●(\mathrm{div} \pmb{F})_M=\lim\limits_{V\toM}\frac1{\mu(V)}\iint\limits_S\pmb{F}\cdot \pmb{n}\mathrm{d}\sigma●定理●散度计算●向量场F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k●P.Q,R存在连续偏导●\operatorname{div}F= \nabla · F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partialQ}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}●例子●静电场的Gauss 定理●不可压缩流体的连续性方程●Laplace 算子●定义●\Delta=\nabla^2=\nabla\cdot\nabla=\frac{\partial^2}{\partialx^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}●调和函数●定义●数量场u满足Laplace 方程●\Delta u =\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partialy^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}=0●u为区域上的调和函数●环量●定义●\Gamma圆周曲线中沿切线的变化速度●\int_\Gamma(F\cdot t)\mathrm{d}st为单位切向量●漩涡强度●确定一个平面上点的平均环量极限●\lim\limits_{\Gamma\to M}\left.\frac1A\right]_{\Gamma}(F\cdot t)\mathrm{d}s●旋度●定义●漩涡强度对应的最大方向，模为漩涡强度●\mathrm{rot~}F=(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partialz})i+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})j+(\frac{\partialQ}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})k●不同形式●\text{rot}F=\begin{vmatrix}i&j&k\\\frac{\partial}{\partialx}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}●\operatorname{rot}F=\nabla\times F●例子●有心场●有势场●向量场F=(P,Q,R)●存在数量场\varphi满足\mathrm{grad} \:\varphi(p) = F(p)●\varphi为势函数●势函数（不计常数）唯一●保守场●曲线积分与路径无关●任意一条封闭曲线\int_\Gamma F\cdot \mathrm{d}p=0●无旋场●任意点旋度\operatorname{rot}F=0●空间单连通●区域中的任意封闭曲面包含在区域中●曲面单连通●对区域中任意逐段光滑曲线\Gamma,有逐段光滑曲面以\Gamma为边界●曲面单连通与空间单连通不相关●曲面单连通区域的等价场●F\in C^2(D)●F为有势场\Leftrightarrow无旋场\Leftrightarrow保守场●恰当微分形式●1次微分形式P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z●存在0形式微分\mathrm{d}\varphi=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z●隐函数\varphi(x,y)=c为恰当微分方程P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z=0的通解●旋度场●存在F=\nabla\times G●F为旋度场●向量场G为向量势●可推出无源场●向量势不唯一，G_1=G+\nabla \varphi也是向量势●星形域●区域两点的线段仍在区域●星形域上旋度场\Leftrightarrow无源场●正交曲线坐标系●定义●参数域与积分区域间的连续可微双射且\mathrm{det} \:J f>0●u_0\in D,p_0=f(u_0)\in f(D)u_0=(u_1,u_2,u_3)为参数坐标●h_i=||\frac{\partial f}{\partial u_i}||,\quad h_i e_i=\frac{\partial f}{\partial u_i}●e_i为正交向量系（随点变化）●梯度表示●\nabla \Phi=\sum\limits_{i=1}^{3}\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial\Phi}{\partialu_{i}}e_{i}\nabla \Phi=(\frac{\partial\Phi}{\partial x_{1}},\frac{\partial\Phi}{\partialx_{2}},\frac{\partial\Phi}{\partial x_{3}})●引理●\begin{aligned}&(1)\nablau_{i}=\frac{e_{i}}{h_{i}}\left(i=1,2,3\right)\\&(2)\nabla\times\frac{e_i}{h_i}=0\left(i=1,2,3\right)\\&(3)\nabla\bullet\frac{e_1}{h_2h_3}=\nabla\bullet\frac{e_2}{h_1h_3}=\nabla\bullet\frac{e_3}{h_1h_2}=0\end{aligned}●散度表示●F=F_{1}e_{1}+F_{2}e_{2}+F_{3}e_{3}●\nabla\bulletF=\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\Big(\frac{\partial(F_{1}h_{2}h_{3})}{\partialu_{1}}+\frac{\partial(F_{2}h_{1}h_{3})}{\partialu_{2}}+\frac{\partial(F_{3}h_{1}h_{2})}{\partial u_{3}}\Big)●旋度表示●F=F_{1}e_{1}+F_{2}e_{2}+F_{3}e_{3}●\nabla\timesF=\frac1{h_1h_2h_3}\left|\begin{array}{ccc}h_1e_1&h_2e_2&h_3e_3\\\frac\partial{\partial u_1}&\frac\partial{\partial u_2}&\frac\partial{\partialu_3}\\F_1h_1&F_2h_2&F_3h_3\end{array}\right|●Laplace 算子●\Delta\Phi=\frac1{h_1h_2h_3}\sum\limits_{i=1}^3\frac\partial{\partialu_i}\Big(\frac{h_1h_2h_3}{h_i^2}\frac{\partial\Phi}{\partial u_i}\Big)●Fourier级数●简弦波●定义●x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)●周期T=2\pi/\omega●圆频率\omega●初相\varphi●振幅A●三角函数系1,\cos x,\sin x,\cos2x,\sin2x,\cdots,\cos nx,\sin nx,\cdots●正交性\delta_{mn}：克罗内克符号（Kronecker Symbol）●\int_{-\pi}^\pi \sin {mx}\sin {nx}=\pi \delta_{mn}●\int_{-\pi}^\pi \cos {mx}\cos{nx}=\pi \delta_{mn}●\int_{-\pi}^\pi \sin {nx}\cos {mx}=0●Fourier级数●定义●f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)●Fourier系数●\begin{cases}a_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cosnx\mathrm{d}x\quad(n=0,1,\cdots)\\ \\b_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sinnx\mathrm{d}x\quad(n=1,2,\cdots)\end{cases}●Riemann-Lebesgue 引理●f(x)在[a,b](b可以是+\infty)可积且绝对可积●\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\int_a^bf(x)\cos\lambda x\operatorname{d}x=0●\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\int_a^bf(x)\sin\lambda x\operatorname{d}x=0●推论●[-\pi,\pi]可积且绝对可积的函数的Fourier系数●\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=0●\int _0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}●Fourier 级数部分和●S_n(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}(f(x_{0}+t)+f(x_{0}-t))\frac{\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t}{2\sin\frac{t}{2}}\mathrm{d}t●为Dirichlet 积分●\frac{\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t}{2\sin\frac{t}{2}} 为Dirichlet 核●局部化定理●f\in \mathrm{\pmb{R}}[-\pi,\pi].Fourier级数在x_0处收敛的收敛情况仅与f在x_0附近的行为有关f是以2\pi为周期的函数●Dini 判别法●条件●f\in \mathrm{\pmb{R}}[-\pi,\pi]，\varphi(t)=f(x_0+t)+f(x_0-t)-2sR[-\pi,\pi]是周期为2\pi的可积且绝对可积函数类●存在\delta>0,使得\varphi(t)/t在[0,\delta]上可积且绝对可积●则Fourier级数在x_0上收敛于s，即\lim\limits_{n\rightarrow \infty}S_n(x_0)=s ●Dini 判别法推论●f\in \mathrm{\pmb{R}}[-\pi,\pi]满足下列条件之一\RightarrowDini 判别法条件成立●满足\alpha阶Lipschitz条件●存在\delta>0,L>0,\alpha\in(0,1]●\mid f(x_0+t)-f(x_0+0)\mid\leqslant Lt^\alpha,\quad\mid f(x_0-t)-f(x_0-0)\mid\leqslant Lt^\alpha\alpha\geqslant 1可推得有界●存在有限单侧导数●f_{+}^{\prime}(x_{0})=\lim\limits_{t\to0^{+}}\frac{f(x_{0}+t)-f(x_{0})}{t},\quad f_{-}^{\prime}(x_{0})=\lim\limits_{t\to0^{+}}\frac{f(x_{0}-t)-f(x_{0})}{-t}●仅有两个有限的广义单侧导数●\lim\limits_{t\to0^+}\frac{f(x_0+t)-f(x_0+0)}t,\quad\lim\limits_{t\to0^+}\frac{f(x_0-t)-f(x_0-0)}{-t}●分段可微●定义●存在[a,b]的分割a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b●g_i(x)=\begin{cases}f(t_{i-1}+0),&x=t_{i-1},\\f(x),&x\in(t_{i-1},t_i)\quadi=1,2,\cdots,n\\f(t_i-0),&x=t_i\end{cases}●g_i(x)都可微（端点处单侧可微）则函数f分段可微●分段可微的函数\lim\limits_{n\rightarrow \infty}S_n(x_0)=\frac{(f(x_0+0)+f(x_0-0))}{2}●延拓●对单侧函数\mathrm{def} \: f=(0,\pi)●偶性延拓●f(x)=f(-x)●展开为余弦级数f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos nx●奇性延拓●f(x)=-f(-x)●展开为正弦级数f(x)\sim\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\sin nx●Cesàro和●Cesàro收敛●\sigma_n=\frac{S_1+\cdots+S_n}n\quad(n=1,2,\cdots)●\lim_{n\to\infty}\sigma_n=\sigma●称级数\sum\limits_{n=1}^\infty a_n在Cesàro意义下收敛到\sigma●记为\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=\sigma(\mathrm{C})●Fejér 定理●f\in \mathrm{\pmb{R}}[-\pi,\pi]●x_0左右极限存在●\sigma_n(x_0)=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}S_k(x_0)●则\lim\limits_{n\to +\infty} S_n(x_0)=\frac{f(x_0-0)+f(x_0+0)}{2}(\mathrm{C})\sigma_n(x_0)\to \frac{f(x_0-0)+f(x_0+0)}{2},Cesàro和为左右极限的均值●若傅里叶级数收敛一定收敛到左右极限的均值●f是以2\pi为周期的连续函数●Fourier级数在Cesàro意义下在(-\infty,+\infty)上一致收敛于f●Weierstrass 逼近定理●f\in C[-\pi,\pi]且f(-\pi)=f(\pi)●f一定能用三角多项式一致逼近即\sigma_n(x)●平方平均逼近●\lim\limits_{n\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi}(f(x)-T_n(x))^2\mathrm{d}x=0●部分和T_n平方平均逼近(收敛于)f● \mathrm{\pmb{R}}^2[a,b]可积且平方可积空间●定义●线性空间●函数加法与数乘●内积●\langle f,g\rangle=\int_a^bf(x)g(x)\mathrm{d}x●范数●||f||=\sqrt{\langle f,f\rangle}●正交●当\langle f,g\rangle=0●正交系●函数间两两正交●范数不为0●规范正交系●范数为1的函数正交系●Fourier系数●\{\varphi_k\}为规范正交系●c_k=\langle f,\varphi_k\rangle为f关于正交系的Fourier系数●Fourier级数●f(x)\sim\sum\limits_{k=1}^\infty c_k\varphi_k(x)c_k为Fourier系数●规范正交性上的投影●\parallel f-\sum\limits_{k=0}^n\alpha_k\varphi_k\parallel\geqslant\parallel f-\sum\limits_{k=0}^nc_k\varphi_k\parallel对任意a_k,n=1,2,\cdots●\parallel f-\sum\limits_{k=0}^nc_k\varphi_k\parallel^2=\parallel f\parallel^2-\sum\limits_{k=0}^nc_k^2●\sum\limits_{k=0}^\infty c_k^2\leqslant\|f\|^2Bessel不等式●Parseval 等式/封闭性方程●\sum\limits_{k=0}^\infty c_k^2=\|f\|^2Bessel不等式等号成立●完备正交系●对任意f，Paseval等式成立，即可用Fourier级数的部分和平方平均逼近●定理●三角函数系是完备的●与三角函数系中每个函数正交的连续函数为0●相同Fourier级数的连续函数唯一●函数内积计算●f的系数为a_n,b_n，g的系数为\alpha_n,\beta_n●\frac1\pi\int_{-x}^{\pi}f(x)g(x)\mathrm{d}x=\frac{a_0\alpha_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\alpha_n+b_n\beta_n)●逐项积分●f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum\limits_{n\operatorname{=}1}^\infty(a_n\cosnx+b_n\sin nx)●则\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\int_a^b\frac{a_0}2\mathrm{d}x+\sum\limits_{n=1}^\infty\int_a^b(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\mathrm{d}x[a,b]\sub [-\pi,\pi]●\mathrm{\pmb R}[-l,l]●Fourier 级数●f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^{x}\left(a_n\cos\frac{n\pi}lx+b_n\sin\frac{n\pi}lx\right)●Fourier 系数●\begin{aligned}a_n&=&\frac1l\int_{-1}^lf(x)\cos\frac{n\pi}lx\mathrm{d}x&(n=0,1,\cdots)\\b_n&=&\frac1l\int_{-l}^lf(x)\sin\frac{n\pi}lx\mathrm{d}x&(n=1,2,\cdots)\end{aligned}●Fourier积分f \in \mathrm{\pmb R}(-\infty,+\infty)●定义●a\left(u\right)=\frac1\pi\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos ut\mathrm{d}t,\quadb\left(u\right)=\frac1\pi\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sin ut\mathrm{d}t●f(x)\thicksim\int_0^{+\infty}(a(u)\cos ux+b(u)\sin ux)\mathrm{d}u●a(u),b(u)在(-\infty,+\infty)一致连续●有限积分●\begin{aligned}S(\lambda,x)& =\int_0^\lambda(a(u)\cos ux+b(u)\sinux)\mathrm{d}u &\quad &(定义)\\&=\frac1\pi\int_{0}^{\lambda}(\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos u(t-x)\mathrm{d}t)\mathrm{d}u&\quad &(代入a(u),b(u))\\&=\frac1\pi\int_{0}^{+\infty}\left(f(x+t)+f(x-t)\right)\frac{\sin\lambda t}t\mathrm{d}t &\quad &(有限次序交换再取极限)\end{aligned}●局部化定理●f在x的Fourier积分收敛情况仅与f在x附近的函数值有关●Dini 定理●\varphi(t)=f(x+t)+f(x-t)-2s●存在\delta>0,使得\varphi(t)/t在[0,\delta]上可积且绝对可积●Fourier积分在x点收敛于s●收敛定理Fourier积分在x点收敛于左右极限的平均值●有广义左右导数●\frac1\pi\int_0^{+\infty}\mathrm{d}u\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos u\left(t-x\right)\mathrm{d}t=\frac12(f(x+0)+f(x-0))●\int_0^{+\infty}(a(u)\cos ux+b(u)\sin ux)\mathrm{d}u=\frac12(f(x+0)+f(x-0))●连续●f(x)=\frac1\pi\int_0^{+\infty}\mathrm{d}u\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cosu\left(t-x\right)\mathrm{d}t●f(x)=\int_0^{+\infty}(a(u)\cos ux+b(u)\sin ux)\mathrm{d}u●Fourier 余弦公式f为偶函数●g(u)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^{+\infty}f(t)\cos ut\mathrm{d}tFourier余弦变换公式●f(x)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^{+\infty}g(u)\cos xu\mathrm{d}u反变换公式●Fourier 正弦公式f为奇函数●h(u)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^{+\infty}f(t)\sin ut\mathrm{d}tFourier正弦变换公式●f(x)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^{+\infty}h(u)\sin xu\mathrm{d}u反变换公式●Fourier 积分复数形式●f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}u\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{i}u(x-t)}\mathrm{d}t●Fourier变换●\hat{f}(u)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}tu}\mathrm{d}t●反变换公式●f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\hat{f}(u)\mathrm{e}^{\mathrm{i}ux}\mathrm{d}u●导数定理●\lim \limits_{t\to \infty}f(t)=0 \Rightarrow\hat{f}^{\prime}(x)=\mathrm{i}x\hat{f}(x)●\lim \limits_{t\to \infty}f^{(k)}(t)=0 (k=1,2\cdots ,n-1)\Rightarrow\hat{f}^{(n)}(x)=(\mathrm{i}x)^n\hat{f}(x)●卷积●(f* g)(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t-u)g(u)\mathrm{d}u●卷积定理●\hat{(f* g)(t)}=\hat{f(t)}\hat{g(t)}●Fourier级数复数形式满足收敛定理●离散的Fourier变换●f(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty\hat{f}(n)\mathrm{e}^{\mathrm{i}nx}●\hat{f}(n)=\begin{cases}\frac12(a_n-\mathrm{i}b_n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}nx}\mathrm{d}x,&n=1,2,\cdots\\\frac{a_0}{2},&n=0\\\frac12(a_n+\mathrm{i}b_n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pif(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}nx}\mathrm{d}x，&n=-1,-2,\cdots\end{cases}●离散的Fourier 反变换●\hat{f}(n)=\frac1{2\pi}{\int_{-\pi}^{\pi}}f(x)\mathrm{e}^{-inx}\mathrm{d}x\quad(n=0,\pm1,\cdots)。
第三章导数第1节导数的定义设在x 0的某邻域内函数f 有定义.若极限000()()lim h f x h f x h→+−(=00)()(lim 0x x x f x f x x −−→)∈R ,则称f 在x 0可微,并称此极限为f 在x 0处的(有穷)导数,记为f ′(x 0),D f (x 0),0|)(x x x f =′等.若此极限为∞(或−∞),且f 在x 0连续,则定义f ′(x 0)=∞(−∞)并说f 在x 0有无穷导数.把上述极限中的h →0换成h →0+或h →0−,便得到右导数f +′(x 0)或左导数f −′(x o )的定义.若f 在(a ,b )的每个点均可微,则称f 在(a ,b )内可微,并称由x a f ′(x )定义的函数f ′为f 在(a ,b )上的导函数,简称为f 的导数.若f 在(a ,b )内可微,且f +′(a )与f −′(b )存在,则称f 在[a ,b ]上可微.若在x 0的某邻域内函数f (n −1)(n =2,3,…)有定义,且f (n −1)在x 0可微,则称f 在x 0处n 次可微或n 阶可微,并把导数(f (n −1))′(x 0)记为f (n )(x 0),称为f 在x 0处的n 阶导数.与上面类似地可定义),(0)(x f n +)(0)(x f n −和f (n ).当f (n )连续时,称f 是C (n )类函数或f n 次连续可微.若对任何正整数n ,f (n )均存在,则称f 是C ∞类函数或f 无穷次可微.可微函数必连续.若f 在x 0处n 次可微,则在x 0的某邻域内f n −1次可微,n −2次连续可微.两个n 次可微函数的和、差、积、商及复合仍n 次可微.导数f ′Darboux 连续,故f ′没有零点时不变号,这意味着可微函数在其相邻驻点之间严格单调.同时,f ′的Darboux 连续性表明f ′没有第一类间断点.因此,有第一类间断点的函数不可能是另一个函数的导数,或者说,它没有原函数.分段表示的函数的导数当然分段求,但分点处的导数应单独求.为求分点处的导数,可以应用定义,也可以用所谓“导数的连续性定理”,如下:若f 在(a ,b )内可微,在a (右)连续,f ′(a +)=l ∈R*,则f +′(a )=l .对另一端点b 也成立着类似的结论.因此,若f 在c ∈(a ,b )连续,cx →lim f ′(x )=l ∈R*,则f ′(c )=l .〖当l ∈R 时这意味着f ′在c 连续,当l =±∞时直接得到f ′(c )=±∞而不必从定义去求无穷导数.又,若f ′在c ∈(a ,b )有无穷型间断点,即cx →lim |f ′(x )|=∞,则|f ′(c )|=∞,与f 在c 可微矛盾.因此导数也没有无穷型间断点.〗上述结论中的条件“f 在a 连续”不可去,因为f +′(a )∈R 时f 在a 右连续,而f +′(a )=±∞的定义要求f 在a 右连续.例如对⎩⎨⎧<>=′⎩⎨⎧<−≥=,0 ,1;0 ,cos )( ,0 ,1;0 ,sin )(x x x x f x x x x x f 有从f ′(0+)=f ′(0−)=1不能得到f −′(0)=f +′(0)=1,更不能得到f ′(0)=1.例1求下列函数的导数:(1)f (x )=arcsin ;122x x +(2)g (x )=sgn f (x ),其中f 连续.证(1)|x |≠1时.1)1sgn(2)(22x x x f +−=′又,因为f 在±1处连续,f ′(1+)=−1=f ′(−1−),f ′(1−)=1=f ′(−1+),所以f +′(1)=f −′(−1)=−1,f −′(1)=f +′(−1)=1,f 在±1不可微.(2)若f (a )≠0,则有a 的邻域,使在其内f >0或f <0,从而在该邻域内sgn f (x )=1或−1,(sgn f (x ))′=0.换句话说,当f 连续且f (a )≠0时g ′(a )=0.当f (a )=0时g ′(a )=ax x f a x −→)(sgn lim ,当且仅当在a 的某邻域内f =0时存在且=0.例2设f (0)=0,x ≠0时f (x )=x 2|cos (π/x )|.考察f 的可微性.解易知f ′(0)=0.设x ≠0,此时f (x )=x 2cos x πsgn cos x π.当cos xπ≠0时f 可微,f ′(x )=x 2(−sin x π)(−2xπ)sgn cos x π+2x cos x πsgn cos x π=πsin x πsgn cos x π+2x |cos x π|.当cos x π=0即x =122+n (n ∈Z )时f 连续.设n =0或正偶数,则在122+n 的右邻域内cos x π>0,f (x )=x 2cos x π,在122+n 的左邻域内f (x )=−x 2cos xπ,因此f +′(122+n )= ,cos (lim 2122ππ=′++→x x n x f −′(122+n )=−π,f 在122+n 处不可微.类似地,n 为正奇数时f 也不可微.因为f 是偶函数,故有如下结论:f 在122+n (n ∈Z )处不可微,在其它点均可微.例3考察何时f 可微⇒|f |可微,何时|f |可微⇒f 可微.解把|f |记为g ,则g (x )=f (x )sgn f (x ).设f 在x 可微,则f 在x 连续,由例1(2),当f (x )≠0时g 可微,且g ′(x )=f ′(x )sgn f (x ).设f 在a 可微,f (a )=0.因为|,)(| |)(lim | 0|)(|lim )(a f a x x f ax x f a g a x a x ′=−=−−=′+→+→+|,)(| |)(lim | |)(|lim )(a f ax x f a x x f a g a x a x ′−=−−=−=′+→−→−所以当且仅当f ′(a )=0时g ′(a )存在且=0.设g 可微,f (a )=0,则由g +′(a )=a x x f a x −+→|)(|lim ≥0与g −′(a )=ax x f a x −−→|)(|lim ≤0得g ′(a )=0.因此g +′(a )=g −′(a )=0,即|)(|lim a x x f a x −+→=) |)(|(lim ax x f a x −−−→=0,,0 |)(|lim =−→a x x f a x f ′(a )=a x x f a x −→)(lim =0.当f (a )≠0时由g 在a 可微不一定得到f 在a 可微,请读者自己举例.例4设x ≠0时f (x )=x p sin x −1,f (0)=0.考察f 在x =0处的各阶可微性.解因为p ≤0时f 在0不连续,故不可微.设p >0,此时f 连续.当x ≠0时f ′(x )=px p −1sin x −1−x p −2cos x −1,f ″(x )=(p (p −1)x p −2−x p −4)sin x −1−(2p −2)x p −3cos x −1,f ′″(x )=(a 1x p −3+a 2x p −5)sin x −1+(b 1x p −4+b 2x p −6)cos x −1,其中a 1,a 2,b 1,b 2是适当的数.一般地,f (n )(x )=P (x )sin x −1+Q (x )cos x −1,这里,n 为偶数时P (x )=x p −2n P 1(x ),Q (x )=x p −2n +1Q 1(x );n 为奇数时P (x )=x p −2n +1P 2(x ),Q (x )=x p −2n Q 2(x ),其中P 1,P 2,Q 1,Q 2是含常数项的多项式.若f (n )(0)=0(n =0,1,2,…),则n 为偶数时f (n +1)(0)=xx f n x )(lim )(0→=0lim →x (x p −2n −1P 1(x )sin x −1+x p −2n Q 1(x )cos x −1),当p −2n −1≤0,即p ≤2n +1时f (n +1)(0)不存在,p >2n +1时f (n +1)(0)=0.当n 为奇数时结果相同.因此,当p ≤2n −1时f (n )(0)不存在,p >2n −1时f (n )(0)=0.(进一步可知:当p =2n 时f (n )在0处不连续,当p >2n 时f (n )在0处连续.)例5设f :(0,∞)→R 在x =1处可微,且对任意x ,y >0有f (x y )=y f (x )+x f (y ).证明f 可微并求f ′,f .证〖用导数定义并使之与f ′(1)联系起来,为此先求f (1)〗在题式中令x =y =1得f (1)=2f (1),故f (1)=0.当x >0时hx f x h x f h x f h x f )())1(()()(−+=−+h x f x h xf x f x h )()1()()1(−+++=hx h f x x f 1)1()(−++=,令h →0得).1()()(f x x f x f ′+=′因此,)1()((xf x x f ′=′解得f (x )=x (f ′(1)ln x +C ).由f (1)=0得C =0,故f (x )=f ′(1)x ln x ,f ′(x )=f ′(1)(1+ln x ).例6设f :R →R 可微,f (0)=0.证明:若∃c >0∀x ∈R :f ′(x )>c f (x ),则x >0时f (x )>0.证法一(反证法)因为f ′(0)>cf (0)=0,故∃δ>0∀x ∈(0,δ):f (x )>0.设有a >0使f (a )≤0.设f 在[0,a ]上的最大值为f (ξ),则f (ξ)>0,ξ≠0,ξ≠a ,从而f ′(ξ)=0<c f (ξ),与条件矛盾.法二(间接证法)设g (x )=e −c x f (x ),则g (0)=0,g ′(x )=e −c x (f ′(x )−c f (x ))>0(x ∈R ).因此g 严格增,x >0时g (x )>0,f (x )=e c x g (x )>0.法三(直接证法)因为f ′(0)>0,故∃δ>0∀x ∈(0,δ):f (x )>0.设E ={δ|x ∈(0,δ)时f (x )>0},则E 非空.设a =sup E 〖本题结论等价于a =∞〗.若a ∈R ,则f (a )=0〖∃x n ∈E 使x n →a ,由f 连续及f (x n )>0得f (a )≥0.若f (a )>0,则将有x >a 使f (x )>0,与a 是最小上界矛盾〗,从而f ′(a )=f −′(a )=ax x f a x −−→)(lim≤0=c f (a ),与条件矛盾.因而a =∞,由此得证.注一个问题的不同证法往往提供问题的不同推广.对本例而言,证法一并不要求对所有x 有统一的c ,因此条件可改为“∀x ∈R ∃c >0:f ′(x )>c f (x )”.对这样的条件,证法三仍然适用,而证法二不能再用.但从证法二可见,x <0时g (x )<0,从而f (x )<0.这个结论却不能从证法一直接得到.同时,因为题中的条件是f ′(x )−c f (x )>0,故证法二考虑辅助函数e −c x .如果条件改为f ′(x )+c f (x )>0,则可考虑e c x ,设g (x )=e c x f (x ),应用同样的证明过程可得到相同的结论.例7设f 在[a ,∞)上连续,在其零点可微,且导数不为0.若f 存在互不相同的零点组成的点列x 1,x 2,…,证明lim x n =∞.证设结论不成立,则〈x n 〉有子列有上界.因为x n ≥a ,故〈x n 〉有有界子列,从而有收敛子列,设为〈k n x 〉且k n x →x 0,则k n x ≠x 0〖因为x n 互不相同〗.由f (k n x )=0与连续性得f (x 0)=0.因为f ′(x 0)存在,故,0)()(lim )()(lim )(0000000=−−=−−=′→→x x x f x f x x x f x f x f k k n n x x x x 与题设矛盾.例8设f 在(−1,∞)上可微,f (0)=1,f ′(x )+f (x )−∫+x f x 011=0.求f ′(x )并证明e −x ≤f (x )≤1(x ≥0).解〖为求f ′,需把题式中的积分号通过求导数去掉,为此要先说明f ″存在〗由f ′(x )=∫+x f x 011−f (x )知f ″存在.把题式变形为(x +1)(f ′(x )+f (x ))−∫x f 0=0.两端求导,得(x +2)f ′(x )+(x +1)f ″(x )=0,从而得ln |f ′(x )|=−x −ln |x +1|+C .在题式中令x =0得f ′(0)=−1,故C =0.因此|f ′(x )|=1+−x e x ,再由f ′(0)=−1得f ′(x )=−1+−x e x .当x ≥0时−e −x <f ′(x ),在[0,x ]上积分,得e −x =1−∫−x t dt e 0≤f (x )=−∫+−xt dt e 01+f (0)≤f (0)=1.例9证明f 在a 可微的充要条件是:对满足αn ≤a ≤βn 、αn →a 、βn →a 、αn ≠βn (n ∈N )的任何数列〈αn 〉,〈βn 〉,极限n n n n f f αβαβ−−)()(lim 存在且相等.证设f 在a 处可微,则n →∞时b n =00)()(x f f n n −−β与c n =nn f x f α−−00)()(→f ′(a ).易知a ,b >0时b a d c ++在a c 与bd 之间,故n n n n f f αβαβ−−)()(在b n 与c n 之间,从而其极限为f ′(a ).反之,设条件成立,nn n n f f αβαβ−−)()(lim =L .取αn =a ,〈βn 〉为满足βn >a 与βn →a 的任一数列,则lim aa f f n n −−ββ)()(存在且等于L ,即f +′(a )存在且等于L .类似地可证f −′(a )=L .因此f ′(a )=L .例10设f :[0,1]→R 连续,a ∈(0,1).证明:若对有理数h ,h a f h a f h h )()(lim 0,0−+→≠存在且等于L ,则f 在a 可微.分析如果可微,导数当然是L ,因此要证明∀ε>0∃δ>0当0<|x |<δ时|)()(|L x a f x a f −−+<ε.只有设法把其中的实数x 过渡到适当的有理数h x ,才能应用条件.注意|)()(|L x a f x a f −−+≤|)()(|x h a f x a f x +−+|)()(|L x h h x f h a f x x x −⋅−++.(∗)对右端第一项,因为f 在a+x 连续,故只要h x 与x 充分靠近,分子便可任意小.对右端第二项,只要x →0时h x →0且h x /x →1,便可趋于0.为此,例如可把h x 取得使|h x −x |≤x 2.证由条件,∀ε>0∃δ1>0当h ∈Q 且0<|h |<δ1时|)()(|L h a f h a f −−+<3ε.取正数δ<δ1使L =0时δ<ε/3,L ≠0时δ<ε/(3|L |).设x 满足0<|x |<δ,取h x ∈Q 使h x ≠0,|h x −x |≤x 2,|h x /x |≤1且|f (a +x )−f (a +h x )|<|x |ε/3〖因为f 在a+x 连续,这样的h x 是存在的〗.因此0<|x |<δ时|1−h x /x |≤|x |<δ,|h x |≤|x |<δ,〖为便于写成ε-δ形式,把(∗)式第二项进一步变形〗|)()(|L x a f x a f −−+≤|()(|)xh a f x a f x +−+|1||||||)()(|−+−−++xh L x h L h x f h a f x x x x <.||133εδεε≤+⋅+L 例11证明:若f :[a ,b ]→R 可微,且对任意实数c ,E ={x ∈[a ,b ]|f ′(x )=c }是闭集,则f ′在[a ,b ]上连续.证〖用第二章例9〗设F ={x ∈[a ,b ]|f ′(x )≥c }.若F 不是闭集,则存在x ∉F ,x n ∈F 使x n →x ,此时f ′(x n )≥c ,f ′(x )<c .由Darboux 定理,有x ,x n 间的ξn 使f ′(ξn )=c .于是ξn ∈E ,ξn →x 而x ∉E ,与E 是闭集矛盾.因此F 是闭集.同理,集{x ∈[a ,b ]|f ′(x )≤c }也是闭集.因此f ′连续.求函数的高阶导数的方法主要有:(1)用数学归纳法;(2)把函数变形为易求高阶导数的函数之线性组合;(3)用Leibniz 法则;(4)寻找高阶导数满足的微分方程;(5)求一点处的高阶导数时还可考虑用定义(如例4)和Taylor 公式.例12(1)证明函数L (x )=e x (x m e −x )(m )满足方程xL ″(x )+(1−x )L ′(x )+mL (x )=0.(2)若f (x )=sin (c arcsin x ),求f (n )(0).解(1)设h (x )=x m e −x ,则h ′(x )=m x m −1e −x −x m e −x ,即xh ′(x )+(x −m )h (x )=0.用Leibniz 法则求n +1阶导数,得x h (m +2)(x )(x +1)h (m +1)(x )+(m +1)h (m )(x )=0.以h (m )(x )=L (x )e −x ,h (m +1)(x )=(L ′(x )−L (x ))e −x ,h (m +2)(x )=(L ″(x )−2L ′(x )+L (x ))e −x 代入上式得证.(2)f ′(x )=cos (c arcsin x )⋅21x c −=221)(1xx f c −−…①.平方并整理,得(1−x 2)(f ′(x ))2=c 2(1−f 2(x )).求导并整理,得(1−x 2)f ″(x )−x f ′(x )+c 2f (x )=0…②.用Leibniz 法则求n 阶导数,得(1−x 2)f (n +2)(x )−(2n +1)x f (n +1)(x )+(c 2−n 2)f (n )(x )=0.令x =0,得f (n +2)(0)=(n 2−c 2)f (n )(0).由①②式知f ′(0)=c ,f ″(0)=0.因此,当n 为偶数时f (n )(0)=0,n =2k +1(k ∈N )时f (2k +1)(0)=(−1)k c (c 2−1)(c 2−22)…(c 2−(2k −1)2).注在求f 的高阶导数时,如果能用f 表示f ′,将会简化求导过程.例如对f (x )=tan x ,我们有:f ′(x )=1+f 2(x ),f ″(x )=2f (x )f ′(x )=2f (x )(1+f 2(x )),f ′″(x )=2(1+4f 3(x )+3f 4(x )),f (4)(x )=8(2f (x )+5f 3(x )+3f 5(x ))等等,这比从f ′(x )=cos −2x ,f ″(x )=2cos −3x sin x 往下求要简单.第2节中值定理与Taylor 公式Rolle 定理:若f 在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内有有限或无穷导数,且f (a )=f (b ),则存在ξ∈(a ,b )使f ′(ξ)=0.注意Rolle 定理允许f 在(a ,b )内的点处取无穷导数,这是因为f 在内点x 0取无穷导数时x 0不可能是极值点.事实上,这时存在(x 0−δ,x 0+δ)⊂(a ,b )使0<|x −x 0|<δ时00)()(x x x f x f −−>0,从而x 0−δ<x <x 0时f (x )<f (x 0),x 0<x <x 0+δ时f (x 0)<f (x ),f (x 0)不可能是极值.Rolle 定理可推广为:若f 在有限或无限区间(a ,b )内有有限或无穷导数,且f (a +)=f (b −)∈R*,则存在ξ∈(a ,b )使f ′(ξ)=0.对函数F =(f (b )−f (a ))g −(g (b )−g (a ))f 应用Rolle 定理,易得一般中值定理:若f ,g 在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内有有限或无穷导数,则存在ξ∈(a ,b )使(f (b )−f (a ))g ′(ξ)=(g (b )−g (a ))f ′(ξ).在一般中值定理中取g (x )=x 时得到Lagrange 中值定理.另一个特例是Cauchy 中值定理:若f ,g 在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内有有限或无穷导数,并且f ′,g ′不同时为无穷、无公共零点、g (b )≠g (a ),则存在ξ∈(a ,b )使)()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ′′=−−.(∗)事实上,g ′(ξ)=±∞时f (b )−f (a )=0〖否则由一般中值定理的结论知f ′(ξ)=±∞,与条件矛盾〗,g ′(ξ)∈R 时g ′(ξ)≠0〖否则将有f ′(ξ)=0,f ′,g ′有公共零点ξ〗,因而(∗)式成立.Lagrange 中值定理的一个常用的变形是:若f :〈a ,b 〉→R 连续,在(a ,b )内有有限或无穷导数,x 0,x 0+h ∈〈a ,b 〉,则存在θ∈(0,1)使f (x 0+h )−f (x 0)=f (x 0+θh ).注意此式中h 可正可负.一般中值定理有下列推广:例13(广义中值定理)若f ,g 在a 的某邻域内n 次可微,g (n )无零点,则对该邻域内的x ,存在a 与x 之间的ξ,使)())(!)()(()(10)(ξn n k k k g a x k a f x f ∑−=−−=)())(!)()(()(10)(ξn n k k k f a x k a g x g ∑−=−−.证设ϕ(t )=∑−=−−10)()(!)()(n k k k t x k t f x f −∑−=−−10)())(!)()((n k k k M t x k t g x g ,其中M 取得使ϕ(a )=0〖即M =(∑−=−−10)()(!)()(n k k k a x k a f x f )÷(∑−=−−10)()(!)()(n k k k a x k a g x g ),不过没有必要写出这个值〗.因为ϕ(x )=0,故在[a ,x ]或[x ,a ]上用Rolle 定理,存在a 与x 之间的ξ,使0=ϕ′(ξ)=M 1)()()!1()(−−−n n x n g ξξ−1)()()!1()(−−−n n x n f ξξ.因此M =f (n )(ξ)/g (n )(ξ),再由ϕ(a )=0得证.在广义中值定理中取g (x )=(x −a )n ,得到带Lagrange 余项的Taylor 公式:∑−=−=1)()(!)()(n k k k a x k a f x f +.)(!)()(n n a x n f −ξ常见的其它形式的余项有:积分型余项:∫−−−x a n n dt t f t x n )()()!1(1)(1(条件:在a 的某邻域内f (n )可积);Peano 余项:o(|x −a |n −1)(条件:f 在a 的某邻域内n −1次可微);Schlömilch-Roche 余项:)()!1()()()(ξξn p n p f n x a x −−−−(p =1,2,…,n .条件:f 在a 的某邻域内n 次可微)〖在[a ,x ]或[x ,a ]上对函数ϕ(t )=∑−=−1)()(!)(n k k k t x t f +(x −t )p H n (x )应用Rolle 定理,从ϕ′(ξ)=0中解出H n (x ),便可得到此余项〗.当p =1时得到Cauchy 余项,p =n 时得到Lagrange 余项.例14(n 阶中值定理)设f 在[a ,b ]上n 次可微,h =(b −a )/n ,则存在ξ∈(a ,b )使).()()1()(0ξn n n j j n j n f h jh a f C =+−∑=−注n =1时为f (b )−f (a )=(b −a )f ′(ξ),n =2时为f (a )−2f (2b a +)+f (b )=2)2(a b −f ″(ξ).证用数学归纳法.n =1时为Lagrange 中值定理.设n =k 时成立.设n =k +1,这时h =1+−k a b .对g (x )=f (x +h )−f (x )(x ∈[a ,b −h ])用归纳假设,存在η∈(a ,b −h )使∑=−+−kj j k j k jh a g C 0)()1()()()(ηk k g ka hb −−=)()(ηk k g h ==h k (f (k )(η+h )−f (k )(η))=h k +1f (k +1)(ξ),这里最后一步用了Lagrange 中值定理,ξ∈(η,η+h )⊂(a ,b ).因此)()1(1ξ++k k f h =∑=−++−kj j k j k h j a f C 0))1(()1(−∑=−+−kj j k j k jh a f C 0)()1(=∑+=−−++−1111 )()1(kj j k j k jh a f C +∑=−++−kj j k j k jh a f C 01 )()1(=f (b )+∑=−−+++−kj j k j k j k jh a f C C 111 )()()1(+f (a )=∑+=+−++−1011).()1(kj j k j k jh a f C例15已知f 在a 的某邻域内n +1次可微,f (n +1)(a )≠0,f (a +h )=f (a )+f ′(a )h +…+) (!)!1()()(1)1(h a f n h h n a f n n n n θ++−−−(0<θ<1).证明11lim 0+=→n h θ.分析为求θ的极限,须分离出θ.用中值定理有f (n )(a +θh )−f (n )(a )=θh f (n +1)(η),或从导数定义也可分离出θ:ha f h a f h a f h a f n n n n )() ()() ()()()()(θθθθ−+=−+)( )1(a f n +→θ.无论哪种方法都要涉及f (n )(a +θh )−f (n )(a ).题式中已有f (n )(a +θh ),故再考虑含f (n )(a )的Taylor 公式.证f (a +h )=f (a )+f ′(a )h +…+1)1()!1()(+++n n h n a f +o (h n +1).与题式相减,得hh o n a f h a f h a f n n n n )(1)()() (1)1()()(++++=−+θ.把上式左端记为A ,右端记为B ,则h →0时B →f (n +1)(a )/(n +1),A /θ→f (n +1)(a ),由A =B 得证.例16设f 在(a ,b )内可微且f ′(a +0)=l ∈R,则f 可连续延拓到[a ,b )上.若延拓得到的函数为F ,则F +′(a )=l .证由极限定义,存在δ1使a <a +δ1<b 且当x ∈(a ,a +δ1)时|f ′(x )−l |<1.任给ε>0,取δ>0使δ<δ1,δ<ε/(1+|l |),则对x 1,x 2∈(a ,a +δ)有|f (x 1)−f (x 2)|=|f ′(ξ)||x 1−x 2|<(1+|l |)δ<ε.由Cauchy 准则,f (a +0)存在.定义F 为:F (a )=f (a +0),x ∈(a ,b )时F (x )=f (x ),则F 是f 的连续延拓.由中值定理,当a <x <b 时F (x )−F (a )=(x −a )F ′(ξ),其中a <ξ<x .因此x →a +时ξ→a +,且F +′(a )=ax a F x F a x −−+→)()(lim)(lim ξξF a ′=+→)(lim ξξf a ′=+→=l .注因为在(a ,a +δ1)内|f ′|<1+|l |,故f 在(a ,a +δ1)内一致连续.用连续延拓原理也可知f 可连续延拓到a .例17设f 在[a ,b ]上可微,f (a )=0,|f ′(x )|≤c |f (x )|,c 是常数.证明:f =0.注为证f =0,通常有以下方法:1°反证法;2°证明|f |=0,例如证明|f |的最大值为0,或|f |≤g n 而g n →0,或f 连续时证;0||=∫b a f 3°f 可微时证f ′=0且f 取到值0;4°证明在任一点的函数值为0(如第二章例13).分析设0<ε<b −a ,ε待定,x 0∈[a ,b −ε],f (x 0)≠0,|f (ξ)|=max {|f (x )||a ≤x ≤b −ε}.由中值定理,存在η∈(a ,ξ)使|f (ξ)|=|f ′(η)|(ξ−a ).为得到矛盾,须证|f ′(η)|>c |f (ξ)|(≥c |f (η)|),只须ξ−a <1/c .因为ξ−a ≤b −a −ε,故只须b −a −ε<1/c ,即ε>b −a −1/c .例如取ε=b −a −1/(2c ).这样,证得在[a ,b −ε]即[a ,a +1/(2c )]上f =0.证先证在[a ,a +1/(2c )]上f =0.设|f (ξ)|=max {|f (x )||a ≤x ≤a +1/(2c )}.由中值定理,存在η∈(a ,ξ)使|f (ξ)|=|f (ξ)−f (a )|=|f ′(η)|(ξ−a )≤c |f (η)|⋅1/(2c )=½|f (η)|≤½|f (ξ)|.因此|f (ξ)|=0,f (x )=0(x ∈[a ,a +1/(2c )]).类似地,由f (a +1/(2c ))=0可证在[a +1/(2c ),a +1/c ]上f =0.如此进行有限次,得证.别证设M =max {|f (x )||a ≤x ≤b }.∀x ∈[a ,b ],|f (x )|=|∫′x a f |≤∫′x a f ||≤c ∫x a f ||≤c M(x −a ),|f (x )|≤c ∫x a f ||≤c ∫x a c M (t −a )d t =½c 2M (x −a )2.继续迭代,得|f (x )|≤c n M (x −a )n /n !.令n →∞得|f (x )|=0.因此f =0.例18设f 在(a ,b )内可微,f (b −)=∞.证明:存在〈x n 〉使x n →b −,|f ′(x n )|=∞(n →∞).证对n ∈N,因为f (b −)=∞,故存在c n ∈(a ,b )使c n →b −,|f (c n )−f (a )|>n (b −a ).由中值定理,存在x n ∈(a ,c n )⊂(a ,b )使|f ′(x n )|(c n −a )=|f (c n )−f (a )|>n (b −a ).因为(c n −a )<b −a ,所以|f ′(x n )|>n .因此lim |f ′(x n )|=∞.例20设f 在R 上连续可微且sup{exp (−x 2)f ′(x )|x ∈R }<∞.证明sup{x exp (−x 2)f (x )|x ∈R }<∞.分析因为函数x exp (−x 2)f (x )连续,在任何闭区间上有界,故只须证明对某个正数a ,|x |>a 时该函数有界.为方便起见,取a =1.因为问题涉及函数与导数的关系,故用中值定理.为使应用中值定理后出现exp (−x 2)f ′(x )以便应用条件,可对f (x )与x −1exp x 2,或对x f (x )与exp x 2在[1,x ]上应用Cauchy 中值定理.通过实际计算,前者方便.证设ϕ(x )=x exp (−x 2)f (x ),M =sup{exp (−x 2)f ′(x )|x ∈R },x >1.由Cauchy 中值定理,存在ξ∈(1,x )使,|)2(exp )(| |exp )1()(|2221M f e x x f x f ≤−′=−−−−ξξξ其中最后一个不等式是因为ξ−2<1.易知x >1时导数(x −1exp x 2)′>0,故x −1exp x 2>e .因此|ϕ(x )|≤|x exp (−x 2)|(|f (x )−f (1)|+|f (1)|)≤M (1−ex exp (−x 2))+x exp(−x 2)|f (1)|≤M +|f (1)|/e .类似地可以证明在(－∞,1)上ϕ有界(|ϕ(x )|≤2M +|f (−1)|/e ).而在[−1,1]上ϕ连续,有界,故在R 上ϕ有界.当问题涉及函数与其高阶导数的关系时,可考虑用Taylor 公式.例21设f 在(0,∞)内二次可微,且x →∞时f (x )→0.证明:若存在M 使|f ″|≤M <∞,则f ′(x )→0(x →∞).分析要证x 充分大时|f ′(x )|<ε.因为f (t )=f (x )+f ′(x )(t −x )+½f ″(ξ)(t −x )2,故2)(2|||)()(||)(|x t M x t x f t f x f −+−−≤′.只要t >x ,上式右端第一项的分子当x →∞时极限为0.为使第二项任意小,只须t −x 任意小,因此取t −x =ε.证设ε>0.因为f (x+ε)=f (x )+f ′(x )ε+½f ″(ξ)ε2,故|f ′(x )|2|)()(|εεεM x f x f +−+≤.因为,0))()((lim =−+∞→x f x f x ε故x 充分大时|f (x +ε)−f (x )|<ε2/2,|f ′(x )|<½(1+M )ε,即f ′(x )→0(x →∞).注条件|f ″|≤M <∞不满足时结论不成立.如f (x )=x −1sin x 2.例22设f 在[0,1]上二次可微,f (0)=f (1),|f ″(x )|≤1,则1)在[0,1]上|f ′(x )|≤½;2)若f 在[0,1]上还满足0≤f (x )≤1,则f 在[0,1]中有唯一的不动点.证1)对x ∈[0,1],有f (1)=f (x )+f ′(x )(1−x )+½f ″(ξ)(1−x )2,ξ∈[x ,1];f (0)=f (x )+f ′(x )(0−x )+½f ″(η)(0−x )2,η∈[0,x ].∴f ′(x )+½f ″(ξ)(1−x )2=½f ″(η)x 2,∴|f ′(x )|≤½((1−x )2+x 2)≤½.2)设F (x )=x −f (x ),则由1)可知F ′(x )=1−f ′(x )>0,F 严格增.而F (0)=−f (0)≤0,F (1)=1−f (1)≥0,因此方程x =f (x )在[0,1]中有唯一解,即f 有唯一不动点.例23设f 在0的某邻域内二次可微,f ″在0处连续,,0))(3sin(lim 230=+→x x f x x x 求f (0),f ′(0),f ″(0).解设g (x )=23)(3sinx x f x x +,则f (x )=x 2g (x )−x x 3sin …(∗).令x →0得f (0)=−3.又,f ′(0)=.0)33sin )((lim 3)(lim 200=−−=+→→x x x x xg x x f x x 把f (x )=f (0)+x f ′(0)+22x f ″(ξ)=−3+22x f ″(ξ)代入(∗)式,得21f ″(ξ)=g (x )+23sin 3x x x −.令x →0得f ″(0)=9.例24设对x ∈R 有x f ″(x )+3x (f ′(x ))2=1−e x .1)若f 在c (≠0)处有极值,证明它是极小值.2)若f 在0处有极值,它是极小值还是极大值?3)若f (0)=f ′(0)=0,求使f (x )≤kx 2(x ≥0)的最小正数k .解〖对1),2),只须判断二阶导数的符号.3)实际上是求函数x −2f (x )的最大值.〗1)由f ′(c )=0得f ″(c )=ce c −−1>0,所以f (c )是极小值.2)由f ′(0)=0得x e x x −→−1(lim 0−3(f ′(x )2)=1.因为f ′在0连续,故由导数的连续性定理,f ″(0)=1>0,f (0)是极小值.3)x ≥0时,由二阶Taylo r 公式,得f (x )=½f ″(ξ)x 2(0<ξ<x ).〖下面证明f ″的最大值是1〗由2),f ″(0)=1.若存在x 0≥0使f ″(x 0)>1,则0≤3x 0(f ′(x 0))2=1−0x e −−x 0f ″(x 0)<1−0x e −−x 0≤0,即0<0,不可能.因此f ″的最大值是1,k =½.例25设函数y =f (x )满足y ′=53222++y x y ,f (0)=0.1)f 在0处有无极值?如果有,是极大值还是极小值?2)求正数a ,b 使x ≥10/3时f (x )>ax −b .3)求.lim ,lim 2x y y xx x ∞→∞→证1)f ′(0)=0.,)53(6)2()53)(14()()(2222+′+−++′=′′=′y y y x y y y y y x f f ″(0)=1/5>0,因此f 在0处达极小值.2)设g (x )=f (x )−ax +b .需要求a ,b 使x ≥310时g ′(x )=f ′(x )−a ≥0,g (310)>0.因此f ′(x )≥a (x ≥310).但x ≥310时f ′(x )=53222++y x y ≥32,故a =32.〖g (310)=f (310)−920+b .但f (310)的值不能确定,因为从题设可得f ′(310)=32且f (310)可取任意值.不过,f (310)的符号是可以确定的.〗因为x >0时y ′>0,故f (310)>f (0)=0.由g (310)=f (310)−920+b 可见,不管f (310)取什么正值,只要b =920,便有g (310)>0.因此a =32,b =920.3)由2),x ≥310时2292032(0−≤≤x x y x.因此.0lim 2=∞→y x x 又,由L'Hospital 法则,.32lim lim =′=∞→∞→y x y x x 例26设f 二次可微,f (0)=f (1)=0,min{f (x )|x ∈[0,1]}=−1.证明sup{f ″(x )|x ∈[0,1]}≥8.证设M =sup{f ″(x )|x ∈[0,1]},f (a )=min{f (x )|x ∈[0,1]}=−1,则a ∈(0,1),f ′(a )=0.用二阶Taylor 公式,0=f (0)=f (a )+f ′(a )(0−x )+½f ″(ξ1)(0−a )2=−1+½f ″(ξ1)a 2,0=f (1)=f (a )+f ′(a )(1−x )+½f ″(ξ2)(1−a )2=−1+½f ″(ξ2)a 2,其中ξ1∈(0,a ),ξ2∈(a ,1).因此f ″(ξ1)=22a ,f ″(ξ2)=2)1(2a −,M 2≥22a 2)1(2a −.因为0<a <1时a (1−a )≤¼,所以M ≥8.例27设函数f n 次可微,且有p ∈R 使∞→x lim x p f (x )∈R ,∞→x lim x p f (n )(x )∈R ,则∞→x lim x p f (k )(x )=0(k =1,2,…,n ).分析考虑n =2的情形.现在要从∞→x lim x p f (x )与∞→x lim x p f ″(x )存在推出x p f ′(x )与x p f ″(x )→0(x →∞),因而要找f ,f ′,f ″的关系,这当然要用二阶Taylor 公式.我们有f (x +1)−f (x )=f ′(x )+½f ″(ξ1)(x ≤ξ1≤x +1),f (x +2)−f (x )=2f ′(x )+2f ″(ξ2)(x ≤ξ2≤x +2).从第一式解出f ′(x ),可见∞→x lim x p f ′(x )存在.设∞→x lim x p f ′(x )=A 1,∞→x lim x p f ″(x )=A 2,则从上面两式有:0=A 1+½A 2,0=2A 1+2A 2.易知这个方程组的系数行列式为1,故A 1=A 2=0.从上述过程不难想到一般情形的证法.证f (x +j )−f (x )=j f ′(x )+! 22j f ″(x )+…+! )1(1−−n j n f (n −1)(x )+!n j n f (n )(ξj ),j =1,2,…,n ,ξj ∈[x ,x +j ].用Vandermonde 行列式,容易算得前n −1个等式中f ′(x ),…,f (n −1)(x )的系数行列式为1.由此可从前n −1个等式中解出f ′(x ),用f (x +j )−f (x )和f (n )(ξj )(j =1,2,…,n −1)的线性组合表示,因而∞→x lim x p f ′(x )存在.同理,∞→x lim x p f ″(x ),…,∞→x lim x p f (n −1)(x )均存在.设∞→x lim x p f (k )(x )=A k (k =1,2,…,n ),则=∑=nk k k A k j 1!0,j =1,2,…,n .这个齐次线性方程组的系数行列式为1,故A 1=A 2=…=A n =0.第3节用微分学方法证明不等式用微分学方法证明不等式,主要有:(1)用中值定理或Taylor 公式由Lagrange 中值定理,f (x )−f (a )=f ′(ξ)(x −a ).若g (x )≤f ′(x )≤h (x ),则x ≥a 时g (x )(x −a )≤g (x )−f (a )≤h (x )(x −a );x <a 时上述不等式反向.类似地,估计Cauchy 中值定理中的f ′(ξ)/g ′(ξ)及Taylor 公式中的f (n )(ξ)也可得到不等式.特别地,若f (a )=f ′(a )=…=f (n −1)(a )=0,x >a 时f (n )>0,则f (x )>0(x >a ).(2)用函数的单调性中值定理有如下推论(其证明可见[1]中册):设f 在〈a ,b 〉上连续,在(a ,b )内有有限或无穷导数,则1°在(a ,b )内f ′=0⇔f 在〈a ,b 〉上为常值函数;2°在(a ,b )内f ′≥0(≤0)⇔f 在〈a ,b 〉上递增(递减);3°在(a ,b )内f ′>0(<0)⇒f 在〈a ,b 〉上严格增(严格减).注意上述推论中,对导数的要求不包括区间端点,而结论包括端点,只要函数在该端点连续.应用2˚、3˚,若在(a ,b )内f ′≥0(>0),则对x ∈〈a ,b 〉有f (a +)≤f (x )≤f (b −)(f (a +)<f (x )<f (b −)).(3)用函数的最大值和最小值证明在〈a ,b 〉上m ≤f (x )≤M ,也就是证明f 在〈a ,b 〉上的最小值是m ,最大值是M .(4)用凸函数设I 是区间,f :I →R.若∀λ∈(0,1)∀a ,b ∈I :f (λa +(1−λ)b )≤(<)λf (a )+(1−λ)f (b ),则称f 在I 上凸(严格凸);上述不等式反向时称f 凹(严格凹).f 凸⇔−f 凹.注意对凸函数而言,λ=0,1时等式总成立.凸函数的性质见例36.注设a <b ,则f (λa +(1−λ)b )=λf (a )+(1−λ)f (b )对任意λ∈(0,1)成立的充要条件为f 是[a ,b ]上的一次函数.事实上,f 是一次函数时等式显然成立.反之,设等式成立,令x =λa +(1−λ)b ,则x ∈[a ,b ],λ=a b x b −−,等式成为f (x )=f (a )+ab a f b f −−)()((x −a ),是一次函数.凸函数有多种等价定义,下面是其中的几个:f 在I 上凸⇔1°∀a ,b ,x ∈I :a x a f x f −−)()(≤bx b f x f −−)()(⇔2°∀a ,b ∈I ,函数ϕ(λ)=f (λa +(1−λ)b )(λ∈[0,1])凸连续f ⇔3°∀a ,b ∈I :f (2b a +)≤2)()(b f a f +可微f ⇔4°∀a ,b ∈I :f (b )≥f (a )+f ′(a )(b −a )⇔5°f ′增二次可微f ⇔6°f ″≥0.例28证明上述等价命题3˚.证⇒取λ=1/2.⇐〖如第二章例13,(0,1)中的数λ可表示为λn =m /2n 的极限〗当λ=0,1时凸函数的定义式自然成立.设0<λ<1,这时λa +(1−λ)b ∈(a ,b ),因而是I 的内点.用数学归纳法可以证明),(21()(2))21(2(b f m a f m b m a m f nn n n −+≤−+(∗)其中m =0,1,2,…,2n .事实上,n =1时即条件.设n 时成立,对n +1,当m ≤2n 时)21))21(2(21())21(2(11b b m a m f b m a m f nn n n +−+=−+++≤)(21))21(2(21b f b m a m f nn +−+〖用归纳假设〗≤)(21))()21()(2(21b f b f m a f m n n +−+=)(21()(211b f m a f m n n ++−+.当2n <m ≤2n +1时设m =2n +1−p ,则p ≤2n ,)2)21(())21(2(1111b p a p f b m a m f n n n n +++++−=−+,类似于上段〖上段中的m 换成p ,a ,b 互换〗可以得证.因为λ∈(0,1)可表示为λn =m /2n 的极限,而由(∗)式得f (λn a +(1−λn )b )≤λn f (a )+(1−λn )f (b ).令n →∞得f (λa +(1−λ)b )≤λf (a )+(1−λ)f (b ).因此f 凸.注满足3°的f 称为中点凸函数.本例说明f 连续时凸与中点凸等价.下面是几个常用的不等式:(1)Jordan 不等式:).20( 1sin 2ππ<<<<x x x (2)Bernoulli 不等式:(1+x )p ≤1+px ,其中x >−1,0≤p ≤1.等号当且仅当p =0或1或x =0时成立.当p ≤0或p ≥1时不等式反向.(3)Jensen 不等式:f (p 1t 1+…+p n t n )≤p 1f (t 1)+…+p n f (t n ),其中f 在区间I 上凸,t 1,…,t n ∈I ,p 1,…,p n ≥0,p 1+…+p n =1.等号当且仅当f 是包含t 1,…,t n 的最小闭区间〖即区间[min {t 1,…,t n },max {t 1,…,t n }]〗上的一次或常值函数时成立(见例38).特别地,当f 严格凸且t 1,…,t n (n ≥2)不全相等时“<”号成立.当f 凹时不等式反向.等价形式:,)((1111∑∑∑∑====≤n k kn k k k n k k n k k k p t f p p t p f 其中p 1,…,p n >0,f 凸,t 1,…,t n ∈I .特例:.)()((11nt f t f n t t f n n ++≤++L L (4)平均不等式:n n p n p x p x p x x n ++≤L L 1111,其中x 1,…,x n >0,p 1,…,p n ≥0,p 1+…+p n =1.等号当且仅当x 1=…=x n 时成立.特别地,取p 1=…=p n =1/n 时得几何-算术平均不等式.〖在Jensen 不等式中取f (x )=−ln x ,便得平均不等式.〗(5))()(1111p n p p p n p n p x x n x x x x ++≤++≤++−L L L ,其中p >1,x 1,…,x n >0.0<p <1时反向.左端的等式当且仅当x 1,…,x n 中有n −1个等于0时成立,右端的等式当且仅当x 1=…=x n 时成立.〖左端的不等式用数学归纳法证明,右端的不等式可从对f (x )=x p (p >0)应用(3)中的特例得到.〗(6)111))((+−−≥++++p p n p p n p n x x x x L L ,其中p >0,x 1,…,x n >0.〖对f (x )=x −p (x >0,p >0)应用(3)中的特例.〗(7)Hölder 不等式:∑=n k k k b a 1≤q n k q k p n k p k b a /11/11)()(∑∑==,其中a k ,b k >0(k =1,2,…,n ),p ,q >1,1/p +1/q =1.等式当且仅当∃c >0∀k :p k a =c q k b (即p k a 与q k b 成比例)时成立.当0<p <1时不等式反向.〖对f (x )=x p (x >0,p >0)应用Jensen 不等式的等价形式可得(∑p k t k )p ≤(∑p k )p −1∑p k p k t .取p k =q k b ,t k =a k q k b −1得证.〗(8)Minkowski 不等式:∑∑==≤+n k p n k p k p p k k a b a 1/11/1)())((p nk p k b /11)(∑=+,其中p >0.等号当且仅当a k ,b k 成比例时成立.当0<p <1时不等式反向.〖设1/p +1/q =1.∑(a k +b k )p =∑a k (a k +b k )p/q +∑b k (a k +b k )p/q (用(7))≤(∑p k a )1/p (∑(a k +b k )p )1/q +(∑p k b )1/p (∑(a k +b k )p )1/q=((∑p k a )1/p +(∑p k b )1/p )(∑(a k +b k )p )1/q .两端除以(∑(a k +b k )p )1/q 得证.〗例291)考察)1ln(,,1x x x x ++的大小关系.2)证明ln (1+n )<1+n 121++L <1+ln n (n ≥2).证1)显然x >−1.用Lagrange 中值定理,ln (1+x )=ln (1+x )−ln1=x /ξ,其中ξ在1与1+x 之间.x >0时1<ξ<1+x ,x +11<ξ1<1;−1<x <0时x +11>ξ1>1.因此xx +1≤ln (1+x )≤x (x >−1),等号当且仅当x =0时成立.2)在1)中取x =k 1(k ∈N ),得11+k <ln(1+k 1)<k1.左右两个不等式分别对k 从1到n −1及从1到n 求和便可得证.〖也可不用1)而直接从11+<∫+−11k k dx x <1证明.〗注1考虑ln (1+x )的二阶Taylor 公式ln (1+x )=x −½x 2(1+ξ)−2,ξ在1与1+x 之间.当x >0时1<ξ<1+x ,(2+x )2>(1+ξ)2>4;当−1<x <0时(2+x )2<(1+ξ)2<4.因此x >0时82x x −<ln (1+x )<22)2(2x x x +−,−1<x <0时此不等式反向.易知右边的不等式比1)中的ln (1+x )<x 更精确.注2在不等式ln (1+x )<x (x >−1,x ≠0)中取1+x =x k /∑p k x k (k =1,2,…,n ),把所得到的不等式乘以p k ,再把这n 个不等式相加,便得到平均不等式.例30(1)设b >a >0,p >1,比较b 1/p −a 1/p 与(b −a )1/p 的大小.(2)e π与πe 哪个大?解(1)问题即比较(b/a )1/p −1与(b/a −1)1/p 的大小.法一〖考虑差〗设f (x )=x 1/p −1−(x −1)1/p (x >1),则p f ′(x )=x 1/p −1−(x −1)1/p −1<0,故f (x )<f (1+0)=0.因此b 1/p −a 1/p <(b −a )1/p .法二〖考虑商〗对f (x )=x 1/p 与g (x )=(x −a )1/p 在[a ,b ]上用Cauchy 中值定理,有.1)()(1/11 /1/1/1/1<−=−−−−p p p p p a a b a b ξξ(2)设f (x )=x e e −x (x >0),则f ′(x )=(e/x −1)x e e −x ,驻点为x =e .易知f (e )=1是最大值,故f (π)<1,e π>πe .例31(1)考察函数f (x )=(1+x −1)x +p (x >0)的单调性.(2)证明集{p |x >0时(1+x −1)x +p >e }存在最小数并求其值.解(1)f ′(x )=f (x )g (x ),其中g (x )=x x p x x ++−+211ln(.因为222222)()12()(21)(x x p x p x x p px x x x x g ++−=+−−−−+−=′,所以p ≥½时g ′(x )>0,g (x )<g (∞)=0,f ′(x )<0,f 严格减;p ≤0时g ′(x )<0,g (x )>g (∞)=0,f ′(x )>0,f 严格增.设0<p <½,这时g 有驻点x 0=p /(1−2p ).当x >x 0时g ′(x )<0,故x ≥x 0时g (x )>0;当x <x 0时g ′(x )>0,由g (x 0)>0及g (0+)=−∞知存在x 1∈(0,x 0)使g (x 1)=0,且x 0≥x >x 1时g (x )>0,x <x 1时g (x )<0.因此x >x 1时g (x )>0,x <x 1时g (x )<0.综上所述,当p ≥½时f 严格减;当p ≤0时f 严格增;当0<p <½时f 在[x 1,∞)上严格增,在(0,x 1]上严格减,其中x 1满足g (x 1)=0.(2)由(1)可知,当且仅当p ≥½时f 严格减,而f (∞)=e .因此当且仅当p ≥½时f (x )>e ,所求的数为½.注1(2)的直接解法如下:〖(2)中的不等式可变形为p >(ln (1+x −1))−1,故只须求右端的函数的最大值或上确界〗设f (x )=(ln (1+x −1))−1(x >0).易f ′>0,故0sup >x f (x )=f (∞)=½.〖再检查½是否属于(2)中的集〗下面证明x >0时(1+x −1)x +1/2>e ,即g (x )=ln (1+x −1)−(x +½)−1>0.事实上,因为x >0时g ′(x )<0,而g (∞)=0,所以g (x )>0.因此所求的最小数是½.注2由(1)可知:p ≥½时p n n ++)11(↓e ,p ≤0时p n n++)11(↑e (n →∞).对p ∈(0,½),可具体地判断.例如设p =1/3,这时x 0=1,而n ≥1,故仍有(1+n −1)n +1/3↑e .一般地,对p∈(0,½),当n 充分大时(1+n −1)n +p ↑e .例32证明:对0<p <1,−1<x <0时(1+x )p >1+x ,0<x <a 时(1+x )p >1+.1)1(x aa p −+证设x x f p 1)1()(−+=,则2)()(xx g x f =′,其中g (x )=(1+x )p −1(px −x −1)+1.因此g ′(x )=p (p −1)x (1+x )p −2.当x >0时g ′<0,当−1<x <0时g ′>0,故g (x )<g (0)=0,f ′<0.因此0<x <a 时f (x )>f (a ),−1<x <0时f (x )<f (−1+)=1,由此得证.注p <0及p >1时不等式反向.这个不等式是Bernoulli 不等式的一种反不等式.寻找一些著名不等式的反不等式是不等式研究的内容之一.例33证明n xx x x xn n 1112322+≥++++++−L L (x >0),且等号当且仅当x =1时成立.证设g (x )=n n x x x x x n n 1112322+−++++++−L L =)1(1222n n x x x −−+−n n 1+=)1()(2n x nx x f −,其中f (x )=n (1−x 2n +2)−(n +1)(x −x 2n +1).f ′(x )=−(n +1)(2nx 2n (x −1)+1−x 2n ),故x =1是f 的唯一驻点.因为f ′(½)=−(n +1)(1−(n +1)4−n )<0,f ′(2)=−(n +1)(1+(2n −1)4n )<0,所以x >0,x ≠1时f ′(x )<0.因此0<x <1时f (x )>f (1)=0,x >1时f (x )<f (1)=0,从而x >0,x ≠1时g (x )>0,x =1时g (x )=0.由此得证.例34证明).10()1(!!!100+<<−++<<+==∑∑n x x n n x k x e k x n n k k x n k k 证设x n k k e k x x f −=∑=)!()(0,则x >0时f ′(x )=−! n x n e −x <0,故f (x )<f (0+)=1,左端的不等式得证〖当然也可用e x 的Taylor 级数证明〗.设x n x n k k e x n n x e k x x g −+−=−++=∑)1(!)!()(10,则)2)1(()1(!!)(222x x nx n e x e x x g x n x n +−−+−++−=′−−=21)1(!e x x n −+−+>0.因此g (x )>g (0+)=1,右端的不等式得证.例35证明q q p q x )1(+−>p q p p x x )11(+−−(q >p >0,0<x <1).证取对数,化为证明q ln (1−x q )−p ln (1−x p )−(q −p )ln (1−x p+q )>0.用ln (1−x )的Taylor 级数,化为证明∑n1((q −p )x n (p +q )+px np −qx nq )>0.〖下面证明这个级数的每一项大于0〗令t =x n ,则0<t <1,且只须证明(q −p )t p+q +pt p −q t q >0,即p q p q t pq t t−>−−11(0<t <1).但由Cauchy 中值定理,有p p q p q p q t pq p q p q t t −−−−>==−−ξξξ1111(t <ξ<1),得证.例36设f 是开区间I 上的凸函数.证明:(1)∀x ,y ,z ∈I ,x <y <z :yz y f z f x z x f z f x y x f y f −−≤−−≤−−)()()()()()(;(2)∀x ∈I ,f +′(x )和f −′(x )存在且f −′(x )≤f +′(x );(3)f 在I 上连续;(4)f −′和f +′在I 上是增函数;(5)除可数个点外,f 在I 内可微;(6)若[a ,b ]⊂I ,M =max {|f +′(a )|,|f −′(b )|},则∀x ,y ∈[a ,b ]:|f (x )−f (y )|≤M |x −y |.即凸函数在其定义域的任何闭子区间上满足(一阶)Lipschitz 条件;(7)若a ∈I ,m 满足f −′(x )≤m ≤f +′(x ),则∀x ∈I :f (x )≥m (x −a )+f (a ).证(1)z x z x y x x z y z y −−+−−=,)()()(z f xz x y x f x z y z y f −−+−−≤,即(1)中之式.(2)对固定的x ∈I ,取a ,b ∈I 满足a <x <b ,则由(1)得x b x f b f a b a f b f a x a f x f −−≤−−≤−−)()()()()()(.(∗)在0的邻域内定义函数ϕ(h )=(f (x +h )−f (x ))/h (h ≠0),则由(∗)式知ϕ是增函数,故在0处的两个单侧极限存在,即f −′(x )和f +′(x )存在且f −′(x )≤f +′(x ).(3)由(2),f 在x 处左、右连续,因而连续.(4)设a ,b ∈I ,a <b .在(∗)式中先令x →a +,再令x →b −,得f +′(a )≤a b a f b f −−)()(≤f −′(b ).(∗∗)结合(2),得f −′(a )≤f +′(a )≤f −′(b )≤f +′(b ),即f −′与f +′增.(5)由(4),a <b 时f +′(a )≤f −′(b ).因此若增函数f −′在a 连续,则f −′(a )≤f +′(a )≤ab →lim f −′(b )=f −′(a ),即f 在a 可微.因为单调函数至多有可数个间断点,所以f 至多在可数个点不可微.(6)设x <y ,则由f −′与f +′增及(∗∗),有−M ≤f +′(a )≤f +′(x )≤yx y f x f −−)()(≤f +′(y )≤f −′(b )≤M .(7)由(∗∗),对x >a 与x <a 分别有a x a f x f −−)()(≥f +′(a )≥m 与ax a f x f −−)()(≤f −′(a )≤m .由此得证.例37证明:若f :(a ,b )→R 凸,则f 或者单调,或者存在c ∈(a ,b )使在(a ,c )上减,在(c ,b )上f 增.证〖作图可见,f 凸、不单调时,其最小值点就是所求的c .〗设f 凸,则∀x ,y ,z ∈(a ,b ),x <y <z 时yz y f z f x z x f z f x y x f y f −−≤−−≤−−)()()()()()(.(∗)设f 不单调,则有x ,y ,z ∈(a ,b )使x <y <z ,f (x )>f (y ),f (y )<f (z )〖否则,∀x ,y ,z ∈(a ,b ),x <y <z 时f (x )≤f (y )或f (y )≥f (z ).这与(∗)式矛盾〗.因为f 在(a ,b )上连续,故在[x ,z ]上有最小值,即存在c ∈[x ,z ]∀t ∈[x ,z ]:f (c )≤f (t ),并且,由f (c )≤f (y )<f (x )与f (z )得c ∈。
