2018年美国“数学大联盟杯赛”(中国赛区)初赛七年级试卷

第1页（共1页）一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D二、7.-18.30°9.3或-110.221三、11.（1）19×11=12×æèöø19-111；………………………………………………………………………………5分（2）1()2n -1()2n +1；12×æèöø12n -1-12n +1；…………………………………………………………………………………………………………10分（3）a 1+a 2+a 3+…+a 100=12×æèöø1-13+12×æèöø13-15+12×æèöø15-17+12×æèöø17-19+⋯+12×æèöø1199-1201=12×æèöø1-13+13-15+15-17+17-19+⋯+1199-1201……………………………………………15分=12×æèöø1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.（1）130°.…………………………………………………………………………………………………5分（2）∠APC =∠α+∠β.理由：过点P 作PE ∥AB ，交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD ，所以AB ∥PE ∥CD .所以∠α=∠APE ，∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分（3）当点P 在BD 延长线上时，∠APC =∠α-∠β；……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时，∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.（1）根据题意，得t =æèöø120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答：三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分（2）有，设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米，放下乙后骑摩托车返回，此时丙已经从A 地出发步行至点E ，继续前行后与甲在点F 处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达.…………………………………………………………………………………………………………10分根据题意，得2∙x -x 50∙550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答：有，方案如下:甲从A 地出发载乙，同时丙步行前往B 地，甲载乙行驶101.5千米后放下乙，乙步行前往B 地，并甲骑摩托车返回，与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地，恰好与步行的乙同时到达，所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分。

2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．设二次函数2222a ax x y ++=的图象的顶点为A ，与x 轴的交点为C B ,.当△ABC 为等边三角形时，其边长为 （ ）A.6．B.22．C.32．D.23． 【答】C.由题设知)2,(2a a A --.设)0,(1x B ，)0,(2x C ，二次函数的图象的对称轴与x 轴的交点为D ，则222212212122444)(||a a a x x x x x x BC =⨯-=-+=-=.又BC AD 23=，则22223|2|a a ⋅=-，解得62=a 或02=a （舍去）.所以，△ABC 的边长3222==a BC .2．如图，在矩形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BD 于点E ，1AB =，15CAE ∠=︒，则BE =（ ）． B.22． C.12-．1．【答】D.延长AE 交BC 于点F ，过点E 作BC 的垂线，垂足为H .由已知得︒=∠=∠=∠=∠45HEF AFB FAD BAF ，1==AB BF ， ︒=∠=∠30ACB EBH .设x BE =，则2xHE HF ==，23x BH =. 因为HF BH BF +=，所以2231xx +=，解得13-=x .所以 13-=BE .3．设q p ,均为大于3的素数，则使2245q pq p ++为完全平方数的素数对),(q p 的个数为（ ） A.1． B.2． C.3． D.4．【答】B.设22245m q pq p =++（m 为自然数），则22)2(m pq q p =++，即pq q p m q p m =++--)2)(2(.由于q p ,为素数，且q q p m p q p m >++>++2,2，所以21m p q --=，2m p q pq ++=，从而0142=---q p pq ，即9)2)(4(=--q p ，所以(,)(5,11)p q =或(7,5).所以，满足条件的素数对),(q p 的个数为2.4．若实数b a ,满足2=-b a ，4)1()1(22=+--ab b a ，则=-55b a （ ）A.46．B.64．C.82．D.128． 【答】C.由条件4)1()1(22=+--ab b a 得04223322=-+----b a ab b a b a ，即 0]3))[((]4)[(2)(22=+--++---ab b a b a ab b a b a ，又2=-b a ，所以0]34[2]44[22=+++-ab ab ，解得1=ab .所以222()26a b a b ab +=-+=，332()[()3]14a b a b a b ab -=--+=，82)())((22332255=---+=-b a b a b a b a b a .5．对任意的整数y x ,，定义xy y x y x -+=@，则使得(@)@(@)@x y z y z x +(@)@z x y +0=的整数组),,(z y x 的个数为 （ ）A.1．B.2．C.3．D.4．【答】D.z xy y x z xy y x z xy y x z y x )()(@)(@)@(-+-+-+=-+=xyz zx yz xy z y x +---++=，由对称性，同样可得xyz zx yz xy z y x x z y +---++=@)@(，xyz zx yz xy z y x y x z +---++=@)@(.所以，由已知可得 0=+---++xyz zx yz xy z y x ，即1)1)(1)(1(-=---z y x . 所以，z y x ,,为整数时，只能有以下几种情况：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=-,11,11,11z y x 所以，)0,2,2(),,(=z y x 或)2,0,2(或)2,2,0(或)0,0,0(，故共有4个符合要求的整数组.6．设20501202012019120181++++=M ，则M1的整数部分是 （ ） A.60． B.61． C.62． D.63．【答】B.因为3320181⨯<M ，所以335613320181=>M . 又)205012032120311()203012019120181(+++++++= M83230134520205011320301=⨯+⨯>， 所以13451185611345832301=<M ，故M1的整数部分为61.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．如图，在平行四边形ABCD 中，AB BC 2=，AB CE ⊥于E ，F 为AD 的中点，若︒=∠48AEF ，则=∠B _______．【答】84︒. 设BC 的中点为G ，连结FG 交CE 于H ，由题设条件知FGCD 为菱形. 由DC FG AB ////及F 为AD 的中点，知H 为CE 的中点. 又AB CE ⊥，所以FG CE ⊥，所以FH 垂直平分CE ，故 ︒=∠=∠=∠=∠48AEF EFG GFC DFC . 所以︒=︒⨯-︒=∠=∠84482180FGC B .2．若实数y x ,满足2154133=+++)(y x y x ，则y x +的最大值为 ． 【答】3.由2154133=+++)(y x y x 可得22115()()()42x y x xy y x y +-+++=，即 22115()()42x y x xy y +-++=. ①令k y x =+，注意到2222131()04244y x xy y x y -++=-++>，故0>=+k y x .又因为22211()344x xy y x y xy -++=+-+，故由①式可得3115342k xyk k -+=，所以kk k xy 3215413-+=. 于是，y x ,可看作关于t 的一元二次方程032154132=-++-kk k kt t 的两根，所以 3211542()403k k k k+-∆=--⋅≥， 化简得 0303≤-+k k ，即0)103)(3(2≤++-k k k ，所以30≤<k . 故y x +的最大值为3.B3．没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为 ． 【答】21504.显然首位数字不能为0，末位不能为0和5.当首位数字不为5时，则首位只能选0,5之外的8个数.相应地个位数只能选除0,5及万位数之外的7个数，千位上只能选万位和个位之外的8个数，百位上只能选剩下的7个数，十位上只能选剩下的6个数.所以，此时满足条件的五位数的个数为1881667878=⨯⨯⨯⨯个.当首位数字为5时，则个位有8个数可选，依次千位有8个数可选，百位有7个数可选, 十位有6个数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为26886788=⨯⨯⨯个.所以，满足条件的五位数的个数为21504268818816=+（个）.4．已知实数c b a ,,满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则=++abcc b a 555 ．【答】52. 由已知条件可得21)]()[(212222-=++-++=++c b a c b a ca bc ab ，abc c b a 3333=++，所以 555c b a ++)]()()([))((332332332333222b a c c a b c b a c b a c b a +++++-++++= 2222223[()()()]abc a b a b a c a c b c b c =-+++++)(3222222a c b b c a c b a abc +++=abc abc abc ca bc ab abc abc 25213)(3=-=+++=.所以 25555=++abc c b a .第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．满足1)1(22=-++x x x 的整数x 的个数为 （ ）A.1．B.2．C.3．D.4． 【答】C.当02=+x 且012≠-+x x 时，2-=x . 当112=-+x x 时，2-=x 或1=x . 当112-=-+x x 且2+x 为偶数时，0=x . 所以，满足条件的整数x 有3个.2．已知123123,,()x x x x x x <<为关于x 的方程323(2)0x x a x a -++-=的三个实数根，则22211234x x x x -++= （ ）A.5．B.6．C.7．D.8．【答】A.方程即0)2)(1(2=+--a x x x ，它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，其中必有一根小于1，另一根大于1，于是2,1312=+=x x x ，故2221123313113114()()412()41x x x x x x x x x x x x -++=+-++=-++312()15x x =++=.3．已知点E ，F 分别在正方形ABCD 的边CD ，AD 上，CE CD 4=，FBC EFB ∠=∠，则 =∠ABF tan （ ）A.21． B.53． C.22． D.23． 【答】B.不妨设4=CD ，则3,1==DE CE .设x DF =，则x AF -=4，92+=x EF .作EF BH ⊥于点H .因为AFB FBC EFB ∠=∠=∠，BHF BAF ∠=︒=∠90，BF 公共，所以△BAF ≌△BHF ，所以4==BA BH .由BCE DEF BEF ABF ABCD S S S S S ∆∆∆∆+++=四边形得14213219421)4(421422⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+-⋅⋅=x x x ， 解得58=x .所以5124=-=x AF ，53tan ==∠AB AF ABF .4．=（ ）A.0．B.1．C.2．D.3．【答】B.令y =0y ≥，且29x y =-=1y =或6y =，从而可得8x =-或27x =.检验可知：8x =-是增根，舍去；27x =是原方程的实数根. 所以，原方程只有1个实数根.5．设c b a ,,为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组),,(c b a 的个数为 （ ）A.4．B.5．C.6．D.7． 【答】B.由已知得， 20182017=+bc a ，20182017=+ac b ，20182017=+ab c ，两两作差，可得0)20171)((=--c b a ，0)20171)((=--a c b ，0)20171)((=--b a c .E由0)20171)((=--c b a ，可得 b a =或20171=c . （1）当c b a ==时，有020*******=-+a a ，解得1=a 或20172018-=a . （2）当c b a ≠=时，解得20171==b a ， 201712018-=c . （3）当b a ≠时，20171=c ，此时有：201712018,20171-==b a ，或20171,201712018=-=b a . 故这样的三元数组),,(c b a 共有5个.6．已知实数b a ,满足15323=+-a a a ，55323=+-b b b ，则=+b a （ ） A.2． B.3． C.4． D.5．【答】A.有已知条件可得 2)1(2)1(3-=-+-a a ，2)1(2)1(3=-+-b b ，两式相加得33(1)2(1)(1)2(1)0a a b b -+-+-+-=，因式分解得22(2)[(1)(1)(1)(1)2]0a b a a b b +-----+-+=. 因为02)1(43)]1(21)1[(2)1()1)(1()1(2222>+-+---=+-+----b b a b b a a ， 所以 02=-+b a ，因此 2=+b a .二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知r q p ,,为素数，且pqr 整除1-++rp qr pq ，则=++r q p _______． 【答】10. 设11111pq qr rp k pqr p q r pqr++-==++-，由题意知k 是正整数，又2,,≥r q p ，所以23<k ，从而1=k ，即有pqr rp qr pq =-++1，于是可知r q p ,,互不相等.当r q p <<≤2时， qr rp qr pq pqr 31<-++=，所以3<q ，故2=q .于是222qr qr q r =++1-，故3)2)(2(=--r q ，所以32,12=-=-r q ，即5,3==r q ，所以，)5,3,2(),,(=r q p .再由r q p ,,的对称性知，所有可能的数组(,,)p q r 共有6组，即(2,3,5)，)3,5,2(，)5,2,3(，)2,5,3(，)3,2,5(，)2,3,5(.于是10=++r q p .2．已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为 ． 【答】8.设这两个数为)(,22n m n m >，则 100022-=+n m n m ，即2(1)(1)1001m n --=.又100110011143791117713=⨯=⨯=⨯=⨯，所以 2(1,1)m n --＝(1001,1)或(143,7)或(91,11)或(77,13)，验证可知只有)7,143()1,1(2=--n m 满足条件，此时8,1442==n m .3．已知D 是△ABC 内一点，E 是AC 的中点，6AB =，10BC =，BCD BAD ∠=∠，ABD EDC ∠=∠，则=DE ．【答】4.延长CD 至F ，使DC DF =，则AF DE //且AF DE 21=，所以ABD EDC AFD ∠=∠=∠，故D B F A ,,,四点共圆，于是BCD BAD BFD ∠=∠=∠，所以10==BC BF ，且FC BD ⊥，故90FAB FDB ∠=∠=︒.又6=AB ，故861022=-=AF ，所以421==AF DE .4．已知二次函数)504()12(2222++++++=n m x n m x y 的图象在x 轴的上方，则满足条件的正整数对),(n m 的个数为 ．【答】15.因为二次函数的图象在x 轴的上方，所以0)504(4)]12(2[222<++-++=∆n m n m ，整理得49424<++n m mn ，即251)12)(1(<++n m .因为n m ,为正整数，所以25)12)(1(≤++n m . 又21≥+m ，所以22512<+n ，故5≤n . 当1=n 时，3251≤+m ，故322≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有7个；当2=n 时，51≤+m ，故4≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有4个；当3=n 时，7251≤+m ，故718≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有2个； 当4=n 时，9251≤+m ，故917≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有1个；当5=n 时，11251≤+m ，故1114≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有1个.综合可知：符合条件的正整数对),(n m 有7＋4＋2＋1＋1＝15个.第二试 （A ）一、（本题满分20分）设d c b a ,,,为四个不同的实数，若b a ,为方程011102=--d cx x 的根，d c ,为方程011102=--b ax x 的根，求d c b a +++的值.解 由韦达定理得10a b c +=，10c d a +=，两式相加得)(10c a d c b a +=+++.……………………5分因为a 是方程011102=--d cx x 的根，所以011102=--d ac a ，又c a d -=10，所以010111102=-+-ac c a a . ① ……………………10分类似可得 010111102=-+-ac a c c . ② ……………………15分 ①－②得 0)121)((=-+-c a c a .因为c a ≠，所以121=+c a ，所以1210)(10=+=+++c a d c b a . ……………………20分二、（本题满分25分）如图，在扇形OAB 中，︒=∠90AOB ，12=OA ，点C 在OA 上，4=AC ，点D 为OB 的中点，点E 为弧AB 上的动点，OE 与CD 的交点为F .（1）当四边形ODEC 的面积S 最大时，求EF ；（2）求DE CE 2+的最小值.解 (1)分别过E O ,作CD 的垂线，垂足为N M ,. 由8,6==OC OD ，得10=CD .所以)(21EN OM CD S S S ECD OCD +⋅=+=∆∆ 6012102121=⨯⨯=⋅≤OE CD ， ……………………5分 当DC OE ⊥时，S 取得最大值60.此时，536108612=⨯-=-=OF OE EF . ……………………10分 （2）延长OB 至点G ，使12==OB BG ，连结GE GC ,. 因为21==OG OE OE OD ，EOG DOE ∠=∠，所以△ODE ∽△OEG ，所以21=EG DE ，故DE EG 2=.……………………20分所以108824222=+=≥+=+CG EG CE DE CE ，当G E C ,,三点共线时等号成立.故DE CE 2+的最小值为108. ……………………25分C三、（本题满分25分）求所有的正整数n m ,，使得22233)(n m n m n m +-+是非负整数.解 记22233)(n m n m n m S +-+=，则22222)(3)()(]3))[((nm mn n m mn n m n m n m mn n m n m S +-+-+=+--++=. 因为n m ,为正整数，故可令pqn m mn =+，q p ,为正整数，且1),(=q p . 于是 22223)(3)(pq pq n m p q p q n m S +-+=--+=.因为S 为非负整数，所以2|q p ，又1),(=q p ，故1=p ，即mn n m |)(+. ①……………………10分所以nm mn n n m n +-=+2是整数，所以2|)(n n m +，故n m n +≥2，即n m n ≥-2. 又由0≥S ，知02233≥-+n m n m . ② 所以n m m n m m n m n 2223223)(≥-=-≥，所以m n ≥.由对称性，同理可得n m ≥，故n m =. ……………………20分 把n m =代入①，得m |2，则2≥m .把n m =代入②，得0243≥-m m ，即2≤m . 故2=m .所以，满足条件的正整数n m ,为2=m ，2=n . ……………………25分第二试 （B ）一、（本题满分20分）若实数c b a ,,满足59)515151)((=-++-++-+++b a c a c b c b a c b a ，求)111)((cb ac b a ++++的值.解 记x c b a =++，y ca bc ab =++，z abc =，则)616161()515151)((cx b x a x x b a c a c b c b a c b a -+-+-=-++-++-+++abc x ca bc ab x c b a x ca bc ab x c b a x x 216)(36)(6)](36)(123[232-+++++-+++++-=23(936)536216x x y x xy z-+=-+-， ……………………10分结合已知条件可得23(936)95362165x x y x xy z -+=-+-，整理得z xy 227=.所以 227)111)((==++++z xy c b a c b a . ……………………20分二、（本题满分25分）如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，AC AB =，DC DE =.（1）证明：BC AD //；（2）设AC 与DE 交于点P ，如果︒=∠30ACE ，求PEDP. 解 （1）由题意知45ACB DCE ∠=∠=︒，BC =，EC =，所以DCA ECB ∠=∠，AC DCBC EC=，所以△ADC ∽△BEC ，故DAC ∠= 45EBC ∠=︒，所以ACB DAC ∠=∠，所以BC AD //.……………………10分（2）设x AE =，因为︒=∠30ACE ，可得x AC 3=，2CE x =，DE DC ==.因为90EAP CDP ∠=∠=︒，EPA CPD ∠=∠，所以△APE ∽△DPC ，故可得DPC APE S S ∆∆=21. ……………………15分 又223x S S S ACE APE EPC ==+∆∆∆，2x S S S CDE DPC EPC ==+∆∆∆，于是可得 2)32(x S DPC -=∆，2)13(x S EPC -=∆. ……………………20分所以2131332-=--==∆∆EPC DPC S S PE DP . ……………………25分 三、（本题满分25分）设x 是一个四位数，x 的各位数字之和为m ，1+x 的各位数字之和为n ，并且m 与n 的最大公约数是一个大于2的素数.求x .解 设abcd x =，由题设知m 与n 的最大公约数),(n m 为大于2的素数.若9≠d ，则1+=m n ，所以(,)1m n =，矛盾，故9=d . ……………………5分 若9≠c ，则891-=-+=m m n ，故(,)(,8)m n m =，它不可能是大于2的素数，矛盾，故9=c .……………………10分若9=b ，显然9≠a ，所以269991-=---+=m m n ，故(,)(,26)13m n m ==，但此时可得13≥n ，363926>≥+=n m ，矛盾. ……………………15分若9≠b ，则17991-=--+=m m n ，故(,)m n (,17)17m ==，只可能34,17==m n . ……………………20分 于是可得8899=x 或9799. ……………………25分。

2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知2012，b =，2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a << 【答】C.因为11a =，1b=110a b<<，故b a <.又2)1)c a -=-=1)，而221)30-=->1，故c a >.因此b a c <<.2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6. 【答】B.方程即22()234x y y ++=，显然x y +必须是偶数，所以可设2x y t +=，则原方程变为22217t y +=，它的整数解为2,3,t y =±⎧⎨=±⎩从而可求得原方程的整数解为(,)x y ＝(7,3)-，(1,3)，(7,3)-，(1,3)--，共4组.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ ）ABCD【答】D.过点C 作CP//BG ，交DE 于点P.因为BC ＝CE ＝1，所以CP 是△BEG 的中位线，所以P 为EG 的中点.又因为AD ＝CE ＝1，AD//CE ，所以△ADF ≌△ECF ，所以CF ＝DF ，又CP//FG ，所以FG 是△DCP 的中位线，所以G 为DP 的中点.因此DG ＝GP ＝PE ＝13DE. 连接BD ，易知∠BDC ＝∠EDC ＝45°，所以∠BDE ＝90°. 又BDBG==. 4．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ ）EC AA ．18-. B ．0. C ．1. D ．98. 【答】B.442222222219()2122()48a ab b a b a b ab a b ab ab ++=+-+=-+=--+.因为222||1ab a b ≤+=，所以1122ab -≤≤，从而311444ab -≤-≤，故2190()416ab ≤-≤，因此219902()488ab ≤--+≤，即44908a ab b ≤++≤.因此44a ab b ++的最小值为0，当a b ==a b ==时取得. 5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则实数p的所有可能的值之和为 （ ）A ．0.B ．34-.C ．1-.D ．54-. 【答】 B.由一元二次方程的根与系数的关系可得122x x p +=-，1232x x p ⋅=--，所以2222121212()2464x x x x x x p p +=+-⋅=++，332212121212()[()3]2(496)x x x x x x x x p p p +=++-⋅=-++.又由232311224()x x x x +=-+得223312124()x x x x +=-+，所以2246442(496)p p p p p ++=+++，所以(43)(1)0p p p ++=，所以12330,,14p p p ==-=-. 代入检验可知：1230,4p p ==-均满足题意，31p =-不满足题意. 因此，实数p 的所有可能的值之和为12330()44p p +=+-=-.6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 （ ）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个. 【答】C.根据使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个.（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）.如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个；同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个.因此，这样的四位数共有6×4＝24个.（3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个.（4）使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个.因此，满足要求的四位数共有4＋24＋8＋8＝44个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=，则t =_________． 【答】 1±.由1a t b +=得1b t a =-，代入1b t c +=得11t t a c +=-，整理得2(1)()0ct ac t a c -++-= ① 又由1c t a+=可得1ac at +=，代入①式得22()0ct at a c -+-=，即2()(1)0c a t --=，又c a ≠，所以210t -=，所以1t =±.验证可知：11,1a b c a a -==-时1t =；11,1a b c a a+=-=-+时1t =-.因此，1t =±. 2．使得521m⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 ． 【答】 1．设2521mn ⨯+=（其中n 为正整数），则2521(1)(1)m n n n ⨯=-=+-，显然n 为奇数，设21n k =-（其中k 是正整数），则524(1)m k k ⨯=-，即252(1)m k k -⨯=-.显然1k >，此时k 和1k -互质，所以252,11,m k k -⎧=⨯⎨-=⎩或25,12,m k k -=⎧⎨-=⎩或22,15,m k k -⎧=⎨-=⎩解得5,4k m ==. 因此，满足要求的整数m 只有1个.3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BCAP＝ ． 【答】设D 为BC 的中点，在△ABC 外作∠CAE ＝20°，则∠BAE ＝60°. 作CE ⊥AE ，PF ⊥AE ，则易证△ACE ≌△ACD ，所以CE ＝CD ＝12BC. 又PF ＝PA sin ∠BAE ＝PA sin 60，PF ＝CE＝12BC ，因此BCAP4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝ ．【答】332. 因为22313(3)(1)(1)(1)a a a a abc a bc a a bc b c a b c --=-+=+-=--+=--，所以EB2131(1)(1)a a abc =----. 同理可得2131(1)(1)b b b a c =----，2131(1)(1)c c c a b =----. 结合22243131319a b c a a b b c c ++=------可得1114(1)(1)(1)(1)(1)(1)9b c a c a b ++=------，所以4(1)(1)(1)(1)(1)(1)9a b c a b c ---=-+-+-. 结合1abc =-，4a b c ++=，可得14ab bc ac ++=-. 因此，222233()2()2a b c a b c ab bc ac ++=++-++=.实际上，满足条件的,,a b c 可以分别为11,,422-.第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则30a b c ++=.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值. 由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<，所以10c >. 由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>，所以15c <.又因为c 为整数，所以1114c ≤≤. ……………………5分 根据勾股定理可得222a b c +=，把30c a b =--代入，化简得30()4500ab a b -++=，所以22(30)(30)450235a b --==⨯⨯， ……………………10分因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是22305,3023,a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩……………………15分 所以，直角三角形的斜边长13c =，三角形的外接圆的面积为1694π. ……………………20分 二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D .证明：2AD BD CD =⋅.证明：连接OA ，OB ，OC.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅. ……………………5分 又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴P B PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，……………………10分∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ， ……………………20分∴PD BD CD OD=，∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅. ……………………25分 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM//BC ，求抛物线的解析式.解 易求得点P 23(3,)2b bc +，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m . 显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，所以13x b =，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE……………………5分因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223)()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-. ……………………10分 又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）. ……………………15分又因为AM//BC ，所以OA OMOB OC =3||2|6|-=-. ……………………20分 把6c =-代入解得52b =（另一解52b =-舍去）. 因此，抛物线的解析式为215662y x x =-+-. ……………………25分第二试 （B ）一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则60a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由a b c ≤<及60a b c ++=得603a b c c =++<，所以20c >.由a b c +>及60a b c ++=得602a b c c =++>，所以30c <.又因为c 为整数，所以2129c ≤≤. ……………………5分 根据勾股定理可得222a b c +=，把60c a b =--代入，化简得60()18000ab a b -++=，所以322(60)(60)1800235a b --==⨯⨯， ……………………10分因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是326025,6035,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩或2226025,6023,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩ 解得20,15,a b =⎧⎨=⎩或10,24.a b =⎧⎨=⎩……………………15分当20,15a b ==时，25c =，三角形的外接圆的面积为6254π； 当10,24a b ==时，26c =，三角形的外接圆的面积为169π. ……………………20分 二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D ，△ADC 的外接圆与BC 的另一个交点为E.证明：∠BAE ＝∠ACB.证明：连接OA ，OB ，OC ，BD.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅. ……………………5分 又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴P B PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，……………………10分∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ， ∴PD BDCD OD=， ……………………15分∴2BD CD PD OD AD ⋅=⋅=，∴BD ADAD CD=. 又∠BDA ＝∠BDP ＋90°＝∠ODC ＋90°＝∠ADC ，∴△BDA ∽△ADC ， ……………………20分 ∴∠BAD ＝∠ACD ，∴AB 是△ADC 的外接圆的切线，∴∠BAE ＝∠ACB. ……………………25分三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移1)个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC.求抛物线的解析式.解 抛物线的方程即2213(3)62b y x bc =--++，所以点P 23(3,)2b b c +，点C (0,)c . 设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m . 显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，所以13x b =，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223)()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-. ……………………5分 又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）. ……………………10分将抛物线2213(3)662b y x b =--+-向左平移1)个单位后，得到的新抛物线为2213(324)662b y x b =--++-.易求得两抛物线的交点为Q 23(312102)2b b +-+. ……………………15分 由∠QBO ＝∠OBC 可得tan ∠QBO ＝tan ∠OBC.作QN ⊥AB ，垂足为N ，则N (312b +-，又233(x b b =+=，所以tan ∠QBO ＝QN BN2310212b +=12=111)]22==⋅. ……………………20分又tan ∠OBC ＝OCOB 1(2b ==⋅，所以111)](22b ⋅=⋅-. 解得4b =（另一解45)03b =<，舍去）.因此，抛物线的解析式为21466y x x =-+-. ……………………25分。

2018年全国初中数学联合竞赛（初一年级）参考答案与评分标准一、选择题（1）B ；（2）C；（3）A；（4）C ；（5）A ；（6）B ；（7）B；（8）D．二、填空题（9）3-；（10）3；（11）d b a c >>>；（12）36．（13）14-；（14）9．第二试一、（本题满分15分）解：设A B 、两地间的距离为x km，根据题意得4224x -+=⨯解得=10x …………………………………………………………………12分答：A B 、两地间的距离为10km.………………………………………………………15分二、（本题满分15分）解：30(1)410(2)a b c a b c =⎧⎨=-⎩K K +2-2+-6由（2）×2—（1）得=24a c -（3）…………………………………………………3分把（3）代入（2）得=62b c -…………………………………………………6分因为a b c 、、均为非负数，所以240200a c b c c =-≥⎧⎪=-≥⎨⎪≥⎩6，23c ≤≤.……………………10分336S a b c c ==--+-7………………………………………………………………12分max 12S =-，min 15S =-，xy =180…………………………………………………15分三、（本题满分20分）解：设每船可装a 升汽油，则每升油可行驶300a 海里，设两船用了x 升汽油返回，根据题意得22a x a x a x a -+-+-=…………………………………………………………12分解得25a x =.……………………………………………………………………………14分12300()21025a a a⨯+⨯=………………………………………………………………19分答：第3艘船最远可巡逻至210海里处.………………………………………………20分四、（本题满分20分）解：不妨设a b c >>，则111a b c<<，因为6665ab bc ca abc ++=，所以11156a b c ++=，………………………………………………………………………5分所以11113c a b c c<++<，……………………………………………………………………8分所以1536c c <<，所以61855c <<，所以=2c 或3.…………………………………12分当=2c 时，111=3a b +，1112b a b b <+<，所以1123b b <<，所以36b <<，所以=4b 或5.若=4b ，则=12a ；若=5b ，则15=2a （舍）.…………………………………16分当=3c 时，111=3a b +，1112b a b b <+<，……………………………………………18分所以1122b b<<，所以24b <<，所以=4b （舍）.所以=18a b c ++.……………20分。

2017-2018年美国“数学⼤联盟杯赛”（中国赛区）初赛⾼中年级试卷2017-2018年度美国“数学⼤联盟杯赛”(中国赛区)初赛(⼗、⼗⼀、⼗⼆年级)(初赛时间：2017年11⽉26⽇，考试时间90分钟，总分300分)学⽣诚信协议：考试期间，我确定没有就所涉及的问题或结论，与任何⼈、⽤任何⽅式交流或讨论，我确定我所填写的答案均为我个⼈独⽴完成的成果，否则愿接受本次成绩⽆效的处罚。

请在装订线内签名表⽰你同意遵守以上规定。

考前注意事项：1. 本试卷是⼗、⼗⼀、⼗⼆年级试卷，请确保和你的参赛年级⼀致；2. 本试卷共4页(正反⾯都有试题)，请检查是否有空⽩页，页数是否齐全；3. 请确保你已经拿到以下材料：本试卷(共4页，正反⾯都有试题)、答题纸、英⽂词汇⼿册、草稿纸。

考试完毕，请务必将英⽂词汇⼿册带回家，上⾯有如何查询初赛成绩、及如何参加复赛的说明。

其他材料均不能带⾛，请留在原地。

填空题(每⼩题10分，答对加10分，答错不扣分，共300分。

)1.Each pirate wants his own treasure chest, but there is 1 more pirate than thereare treasure chests. If the pirates would agree to pair up so each pirateshares a treasure chest with another pirate, then 1 treasure chest wouldnot be assigned to any pirate. How many treasure chests are there?Answer: ________________.2.If m and nare positive integers that satisfy 10=, what is the greatest possiblevalue of m + n?Answer: ________________.3.There are an infinite number of points with positive coordinates(x,y) the sum of whose coordinates is the square of an integer.Among all such points (x,y), which one satisfies y = 2x and hasx as small as possible?Answer: ________________.4.As shown, a small square is inscribed in one of the triangles formed whenboth diagonals of a larger square are drawn. If the area of the larger squareis 144, what is the area of the smaller square?Answer: ________________.5.Trisection points on opposite sides of a rectangle are joined, as shown. Ifthe area of the shaded region is 2018, what is the area of the rectangle?Answer: ________________.6. A unit fraction is a fraction whose numerator is 1 and whosedenominator is a positive integer. What is the largest rationalnumber that can be written as the sum of 3 different unitfractions?Answer: ________________.7.What is the greatest possible perimeter of a rectangle whose length and width are different prime numbers, each less than 120?Answer: ________________.8.Mom, Dad, and I each write a positive integer. My number is leastand Dad's is greatest. The average of all 3 numbers is 20. Theaverage of the 2 smallest numbers is 8. If Dad's number is d andif my number is m, what is the greatest possible value of d–m?Answer: ________________.9.If 8 different integers are chosen at random from the first 15 positive integers, what is the probability that an additional number chosen at random from the remaining 7 positive integers is smaller than every one of the 8 originally chosen positive integers?Answer: ________________.10.What sequence of 5 positive integers has these three properties:1) All but one of the numbers is a multiple of 5.2) Every number after the first is 1 more than the sum of all the preceding numbers.3) The first number is as small as possible.Answer: ________________.11.Three beavers (one not shown) take turns biting a tree until it falls. Thesecond beaver is twice as likely as the first to make the tree fall. Thethird is twice as likely as the second to make the tree fall. What isthe probability that a bite taken by the third beaver causes thetree to fall?Answer: ________________.12.What is the ratio, larger to smaller, of a rectangle's dimensions if halfof the rectangle is similar to the original rectangle?Answer: ________________.第1页，共4页第2页，共4页A rectangle is partitioned into 9 different squares, as shown at the right. The area of the smallest square, shown fully darkened, is 1. Two other squares have areas of 196 and 324, as shown. What is the area of the shaded square? Answer: ________________.When the square of an eight-digit integer is subtracted from the square of a differenteight-digit integer, the difference will sometimes have eight identical even digits. What are both possible values of the repeated digit in such a situation? Answer: ________________.If the perimeter of an isosceles triangle with integral sides is 2017, how many different lengthsare possible for the legs? Answer: ________________.What are all ordered triples of positive primes (p ,q ,r ) which satisfy p q + 1 = r ? Answer: ________________.The reflection of (6,3) across the line x = 4 is (2,3). If m ≠ 4, what is the reflection of (m ,n )across the line x = 4? Answer: ________________.The vertices of a triangle are (8,7), (0,1), and (8,1). What are thecoordinates of all points inside this triangle that have integralcoordinates and lie on the bisector of the smallest angle of the triangle? Answer: ________________.In a regular 10-sided polygon, two pairs of different vertices (four different verticesaltogether) are chosen at random, so that all points chosen are distinct from each other. What is the probability that the line segments determined by each pair of points do not intersect? Answer: ________________.A line segment is drawn from the upper right vertex of aparallelogram, as shown, dividing the opposite side into segments with lengths in a 2:1 ratio. If the area of the parallelogram is 90, what is the area of the shaded region?Answer: ________________.21. If 0 < a ≤ b ≤ 1, what is the maximum value of ab 2 – a 2b ? Answer: ________________.22. What are all ordered pairs of integers (x ,y ) that satisfy 5x 3 + 2xy – 23 = 0? Answer: ________________.23. If two altitudes of a triangle have lengths 10 and 15, what is the smallest integer that couldbe the length of the third altitude?Answer: ________________.24. If h is the number of heads obtained when 4 fair coins are each tossed once, what is theexpected (average) value of h 2? Answer: ________________.25. What is the largest integer N for which 7x + 11y = N has no solution in non-negativeintegers (x ,y )? Answer: ________________.26. There are only two six-digit integers n greater than 100 000 for which n 2 has n as its finalsix digits (or, equivalently, for which n 2 – n is divisible by 106). One of the integers is 890 625. What is the other? Answer: ________________.27. A hexagon is inscribed in a circle as shown. If lengths of three sidesof the hexagon are each 1 and the lengths of the other three sides are each 2, what is the area of this hexagon? Write your answer in its exact format or round to the nearest tenth. Answer: ________________.28. If x is a number chosen uniformly at random between 0 and 1, what is the probability thatthe greatest integer ≤ 21log x ??is odd?Answer: ________________.29. In the interval -1 < x < 1, sin θ is one root of x 4 – 4x 3 + 2x 2 – 4x + 1 = 0. In that sameinterval, for what ordered pair of integers (a ,b ) is cos 2θ one root of x 2 + ax + b = 0? Answer: ________________.30. Let P (x ) = 2x 10 + 3x 9 + 4x + 9. If z is a non-real solution of z 3 = 1, what is the numericalvalue of 23111P P P z z z++ ? ? ???????Answer: ________________.第3页，共4页第4页，共4页。

2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知2012，b =，2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a << 【答】C.因为11a =，1b=110a b<<，故b a <.又2)1)c a -=-=1)，而221)30-=->1，故c a >.因此b a c <<.2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6. 【答】B.方程即22()234x y y ++=，显然x y +必须是偶数，所以可设2x y t +=，则原方程变为22217t y +=，它的整数解为2,3,t y =±⎧⎨=±⎩从而可求得原方程的整数解为(,)x y ＝(7,3)-，(1,3)，(7,3)-，(1,3)--，共4组.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ ）ABCD【答】D.过点C 作CP//BG ，交DE 于点P.因为BC ＝CE ＝1，所以CP 是△BEG 的中位线，所以P 为EG 的中点.又因为AD ＝CE ＝1，AD//CE ，所以△ADF ≌△ECF ，所以CF ＝DF ，又CP//FG ，所以FG 是△DCP 的中位线，所以G 为DP 的中点.因此DG ＝GP ＝PE ＝13DE. 连接BD ，易知∠BDC ＝∠EDC ＝45°，所以∠BDE ＝90°. 又BDBG==. 4．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ ）EC AA ．18-. B ．0. C ．1. D ．98. 【答】B.442222222219()2122()48a ab b a b a b ab a b ab ab ++=+-+=-+=--+.因为222||1ab a b ≤+=，所以1122ab -≤≤，从而311444ab -≤-≤，故2190()416ab ≤-≤，因此219902()488ab ≤--+≤，即44908a ab b ≤++≤.因此44a ab b ++的最小值为0，当a b ==a b ==时取得. 5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则实数p的所有可能的值之和为 （ ）A ．0.B ．34-.C ．1-.D ．54-. 【答】 B.由一元二次方程的根与系数的关系可得122x x p +=-，1232x x p ⋅=--，所以2222121212()2464x x x x x x p p +=+-⋅=++，332212121212()[()3]2(496)x x x x x x x x p p p +=++-⋅=-++.又由232311224()x x x x +=-+得223312124()x x x x +=-+，所以2246442(496)p p p p p ++=+++，所以(43)(1)0p p p ++=，所以12330,,14p p p ==-=-. 代入检验可知：1230,4p p ==-均满足题意，31p =-不满足题意. 因此，实数p 的所有可能的值之和为12330()44p p +=+-=-.6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 （ ）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个. 【答】C.根据使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个.（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）.如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个；同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个.因此，这样的四位数共有6×4＝24个.（3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个.（4）使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个.因此，满足要求的四位数共有4＋24＋8＋8＝44个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=，则t =_________． 【答】 1±.由1a t b +=得1b t a =-，代入1b t c +=得11t t a c +=-，整理得2(1)()0ct ac t a c -++-= ① 又由1c t a+=可得1ac at +=，代入①式得22()0ct at a c -+-=，即2()(1)0c a t --=，又c a ≠，所以210t -=，所以1t =±.验证可知：11,1a b c a a -==-时1t =；11,1a b c a a+=-=-+时1t =-.因此，1t =±. 2．使得521m⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 ． 【答】 1．设2521mn ⨯+=（其中n 为正整数），则2521(1)(1)m n n n ⨯=-=+-，显然n 为奇数，设21n k =-（其中k 是正整数），则524(1)m k k ⨯=-，即252(1)m k k -⨯=-.显然1k >，此时k 和1k -互质，所以252,11,m k k -⎧=⨯⎨-=⎩或25,12,m k k -=⎧⎨-=⎩或22,15,m k k -⎧=⎨-=⎩解得5,4k m ==. 因此，满足要求的整数m 只有1个.3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BCAP＝ ． 【答】设D 为BC 的中点，在△ABC 外作∠CAE ＝20°，则∠BAE ＝60°. 作CE ⊥AE ，PF ⊥AE ，则易证△ACE ≌△ACD ，所以CE ＝CD ＝12BC. 又PF ＝PA sin ∠BAE ＝PA sin 60，PF ＝CE＝12BC ，因此BCAP4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝ ．【答】332. 因为22313(3)(1)(1)(1)a a a a abc a bc a a bc b c a b c --=-+=+-=--+=--，所以EB2131(1)(1)a a abc =----. 同理可得2131(1)(1)b b b a c =----，2131(1)(1)c c c a b =----. 结合22243131319a b c a a b b c c ++=------可得1114(1)(1)(1)(1)(1)(1)9b c a c a b ++=------，所以4(1)(1)(1)(1)(1)(1)9a b c a b c ---=-+-+-. 结合1abc =-，4a b c ++=，可得14ab bc ac ++=-. 因此，222233()2()2a b c a b c ab bc ac ++=++-++=.实际上，满足条件的,,a b c 可以分别为11,,422-.第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则30a b c ++=.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值. 由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<，所以10c >. 由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>，所以15c <.又因为c 为整数，所以1114c ≤≤. ……………………5分 根据勾股定理可得222a b c +=，把30c a b =--代入，化简得30()4500ab a b -++=，所以22(30)(30)450235a b --==⨯⨯， ……………………10分因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是22305,3023,a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩……………………15分 所以，直角三角形的斜边长13c =，三角形的外接圆的面积为1694π. ……………………20分 二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D .证明：2AD BD CD =⋅.证明：连接OA ，OB ，OC.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅. ……………………5分 又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴P B PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，……………………10分∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ， ……………………20分∴PD BD CD OD=，∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅. ……………………25分 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM//BC ，求抛物线的解析式.解 易求得点P 23(3,)2b bc +，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m . 显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，所以13x b =，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE……………………5分因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223)()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-. ……………………10分 又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）. ……………………15分又因为AM//BC ，所以OA OMOB OC =3||2|6|-=-. ……………………20分 把6c =-代入解得52b =（另一解52b =-舍去）. 因此，抛物线的解析式为215662y x x =-+-. ……………………25分第二试 （B ）一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则60a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由a b c ≤<及60a b c ++=得603a b c c =++<，所以20c >.由a b c +>及60a b c ++=得602a b c c =++>，所以30c <.又因为c 为整数，所以2129c ≤≤. ……………………5分 根据勾股定理可得222a b c +=，把60c a b =--代入，化简得60()18000ab a b -++=，所以322(60)(60)1800235a b --==⨯⨯， ……………………10分因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是326025,6035,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩或2226025,6023,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩ 解得20,15,a b =⎧⎨=⎩或10,24.a b =⎧⎨=⎩……………………15分当20,15a b ==时，25c =，三角形的外接圆的面积为6254π； 当10,24a b ==时，26c =，三角形的外接圆的面积为169π. ……………………20分 二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D ，△ADC 的外接圆与BC 的另一个交点为E.证明：∠BAE ＝∠ACB.证明：连接OA ，OB ，OC ，BD.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅. ……………………5分 又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴P B PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，……………………10分∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ， ∴PD BDCD OD=， ……………………15分∴2BD CD PD OD AD ⋅=⋅=，∴BD ADAD CD=. 又∠BDA ＝∠BDP ＋90°＝∠ODC ＋90°＝∠ADC ，∴△BDA ∽△ADC ， ……………………20分 ∴∠BAD ＝∠ACD ，∴AB 是△ADC 的外接圆的切线，∴∠BAE ＝∠ACB. ……………………25分三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移1)个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC.求抛物线的解析式.解 抛物线的方程即2213(3)62b y x bc =--++，所以点P 23(3,)2b b c +，点C (0,)c . 设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m . 显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，所以13x b =，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223)()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-. ……………………5分 又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）. ……………………10分将抛物线2213(3)662b y x b =--+-向左平移1)个单位后，得到的新抛物线为2213(324)662b y x b =--++-.易求得两抛物线的交点为Q 23(312102)2b b +-+. ……………………15分 由∠QBO ＝∠OBC 可得tan ∠QBO ＝tan ∠OBC.作QN ⊥AB ，垂足为N ，则N (312b +-，又233(x b b =+=，所以tan ∠QBO ＝QN BN2310212b +=12=111)]22==⋅. ……………………20分又tan ∠OBC ＝OCOB 1(2b ==⋅，所以111)](22b ⋅=⋅-. 解得4b =（另一解45)03b =<，舍去）.因此，抛物线的解析式为21466y x x =-+-. ……………………25分。

2018-2019学年七年级学科竞赛数学试题(含答案)一．选择题（共6小题）1．某块手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4点30分与准确时间对准，则当天上午该手表指示时间为10点50分时，准确时间应该是（）A．11点10分B．11点9分C．11点8分D．11点7分2．某地居民生活用电基本价格为0.50元/度．规定每月基本用电量为a度，超过部分电量的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费，某用户在5月份用电100度，共交电费56元，则a=（）A．30 B．40 C．45 D．503．按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．小明和小莉出生于1998年12月份，他们的出生日不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉出生早，两人出生日期之和是22，那么小莉的出生日期是（）A．15号B．16号C．17号D．18号5．若k为整数，则使得方程（k﹣1999）x=2001﹣2000x的解也是整数的k的值有（）A．4个 B．8个 C．12个D．16个6．四点钟后，从时针到分针第二次成90°角，共经过（）分钟（答案四舍五入到整数）．A．30 B．33 C．38 D．40二．填空题（共5小题）7．关于x的方程：≠0，则x=．8．某书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．某学生第一次去购书付款72元，第二次又去购书享受了八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节省了34元，则该学生第二次购书实际付款元．9．一轮船从甲地到乙地顺流匀速行驶需4小时，从乙地到甲地逆流匀速行驶需6小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需小时．10．如图是在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形的边长为1，则正方形A的面积是．11．已知不论x取何数值，分式的值都为同一个定值，那么的值为．三．解答题（共5小题）12．附加题：某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校：一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小．若甲小给乙小﹣3台，则乙小给甲小3台，要使电脑移动的总台数最小，应做怎样安排？13．梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）．（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．14．一辆汽车以每小时60千米的速度由甲地驶往乙地，车行驶了4小时30分钟后，遇雨路滑，平均行驶速度每小时减少20千米，结果比预计时间晚45分钟到达乙地，求甲、乙两地的距离．15．小明解方程+1=时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x=4，试求a的值，并正确求出方程的解．2018年08月19日136****0321的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．某块手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4点30分与准确时间对准，则当天上午该手表指示时间为10点50分时，准确时间应该是（）A．11点10分B．11点9分C．11点8分D．11点7分【分析】根据题意假设该手表从4时30分走到10时50分所用的实际时间为x 小时，该手表的速度为57分/小时，再进行计算．【解答】解：慢表走：57分钟，则正常表走：60分钟，即如果慢表走：6小时20分（即380分），求正常表走了x分钟，则57：60=380：x，解得x=400，400分钟=6小时40分，所以准时时间为11时10分．故选：A．【点评】本题要注意手表的实际时间和准确时间的关系，然后找出其中关联的等量关系，得出方程求解．2．某地居民生活用电基本价格为0.50元/度．规定每月基本用电量为a度，超过部分电量的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费，某用户在5月份用电100度，共交电费56元，则a=（）A．30 B．40 C．45 D．50【分析】根据题中所给的关系，找到等量关系，由于共交电费56元，可列出方程求出a．【解答】解：∵0.50×100=50＜56，∴100＞a，由题意，得0.5a+（100﹣a）×0.5×120%=56，解得a=40．故选：B．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．此题的关键是要知道每月用电量超过a度时，电费的计算方法为0.5×（1+20%）．3．按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据最后输出的结果，可计算出它前面的那个数，依此类推，可将符合题意的那个最小的正数求出．【解答】解：∵最后输出的数为656，∴5x+1=656，得：x=131＞0，∴5x+1=131，得：x=26＞0，∴5x+1=26，得：x=5＞0，∴5x+1=5，得：x=0.8＞0；∴5x+1=0.8，得：x=﹣0.04＜0，不符合题意，故x的值可取131，26，5，0.8共4个．故选：C．【点评】本题立意新颖，借助新运算，实际考查一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等．4．小明和小莉出生于1998年12月份，他们的出生日不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉出生早，两人出生日期之和是22，那么小莉的出生日期是（）A．15号B．16号C．17号D．18号【分析】因为12月份有31天，故他们最多相差28天．又小明和小莉的出生日期都是星期五，故他们的出生日期相差7的整数倍．故他们的出生日期可能相差7、14、21、28天．【解答】解：设小明的出生日期为x号．（1）若他们相差7天，则小莉的出生日期为x+7，应有x+7+x=22，解得x=7.5，不符合题意，舍去．（2）若他们相差14天，则小莉的出生日期为x+14，应有x+14+x=22，解得x=4，符合题意；所以小莉的出生日期是14+4=18号；（3）若相差21天、28天显然不合题意．故选：D．【点评】本题用到的知识点为：都在周五出生，他们的出生日期可能相差7、14、21、28．应分情况讨论．5．若k为整数，则使得方程（k﹣1999）x=2001﹣2000x的解也是整数的k的值有（）A．4个 B．8个 C．12个D．16个【分析】先把原方程变形为（k﹣1999）x+2000x=2001，得出x=，然后求出2001的因数有16个．【解答】解：原方程变形得：（k﹣1999）x+2000x=2001，∴x=，∵k为整数，∴2001的因数有：1，3，23，29，69，87，667，2001，﹣1，﹣3，﹣23，﹣29，﹣69，﹣87，﹣667，﹣2001．∴共有16个．故选：D．【点评】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，要会用代入法判断二元一次方程的解．该题主要用的是排除法．6．四点钟后，从时针到分针第二次成90°角，共经过（）分钟（答案四舍五入到整数）．A．30 B．33 C．38 D．40【分析】此题可以用淘汰的方法，把度数设为未知数X，从4点到五点这段时间时针走的为30×（），分针走的为360×（）．【解答】解：设走了X分钟则得到方程：360×（）﹣120﹣30×（）=90解得：X=38答：共经过38分钟．故选：C．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．二．填空题（共5小题）7．关于x的方程：≠0，则x=a+b+c．【分析】观察等式发现x所处的位置相同，因而要将x 从分式中分解出来，并且、、因而将3分解为这三个形式，因而原等式转化为．再提取公因式，化简为．最后判断出x与a、b、c的关系．【解答】解：∵⇒∵是一元一次方程的系数∴必然是∴只能是x=a+b+c故答案为a+b+c【点评】本题考查因式分解的应用、解一元二次方程．本题同学们需注意“1”的妙用，有时为了解题的需要将1写成分式的形式，如本题中的、、．8．某书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．某学生第一次去购书付款72元，第二次又去购书享受了八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节省了34元，则该学生第二次购书实际付款204元．【分析】先求出第一次购书时的实际定价，再根据第二次购书节省的钱数列出方程，再求解即可．【解答】解：第一次购书付款72元，享受了九折优惠，实际定价为72÷0.9=80元，省去了8元钱．依题意，第二次节省了26元．设第二次所购书的定价为x元．（x﹣200）×0.8+200×0.9=x﹣26，解得x=230．故第二次购书实际付款为230﹣26=204元．【点评】解答本题需注意第二次所购的书有九折的部分，有八折的部分，需清楚找到这两部分实际出的钱．9．一轮船从甲地到乙地顺流匀速行驶需4小时，从乙地到甲地逆流匀速行驶需6小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需24小时．【分析】根据顺流时：行驶速度+水流速度=总路程÷总时间，逆流时：行驶速度﹣水流速度=总路程÷总时间，可得到两个关于行驶速度和水流速度的方程组，解得水流速度，即可得漂流所需时间．【解答】解：设总路程为1，轮船行驶速度为x，水流速度为y，根据题意得：，解得y=，木阀漂流所需时间=1÷=24（小时）．故答案填：24．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．10．如图是在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形的边长为1，则正方形A的面积是49．【分析】设右下方两个相等的正方形的边长为x，则根据题意知，正方形A的边长为x+3，此色块图为一个长方形，可根据长=长列方程．【解答】解：设右下方两个相等的正方形的边长为x，则根据题意知，正方形A 的边长为x+3，此色块图为一个长方形，则（x+2）+（x+3）=（x+1）+x+x，2x+5=3x+1，x=4，正方形A的边长为x+3=4+3=7，故正方形A的面积为7×7=49．【点评】本题考查理解题意和识别图形的能力，关键是设出左上角正方形的边长，然后表示出其他正方形的边长，根据正方形的性质，列出方程，最后求出面积．11．已知不论x取何数值，分式的值都为同一个定值，那么的值为．【分析】根据不论x取何数值，分式的值都为同一个定值，即可求得分式的定值，进而把x=1代入求得a，b的关系，从而求解．【解答】解：设=k，则ax+3=k（bx+5），∵x不论取何值该等式都成立，∴a=bk，5k=3，∴=．故答案是：【点评】本题主要考查了分式的求值，根据条件求得a，b之间的关系是解决本题的关键．三．解答题（共5小题）12．附加题：某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校：一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小．若甲小给乙小﹣3台，则乙小给甲小3台，要使电脑移动的总台数最小，应做怎样安排？【分析】首先用A、B、C、D、E分别表示这五所小学的位置，并设A向B调x1台电脑，B向C调x2台电脑，…，E向A调x5台电脑，进而表示出y=|x1|+|x1﹣3|+|x1﹣2|+|x1﹣9|+|x1﹣5|，利用函数最值求出即可．【解答】解：如图，用A、B、C、D、E分别表示这五所小学的位置，并设A向B 调x1台电脑，B向C调x2台电脑，…，E向A调x5台电脑，依题意有：7+x1﹣x2=11+x2﹣x3=3+x3﹣x4=14+x4﹣x5=15+x5﹣x1=50÷5=10，所以，x2=x1﹣3，x3=x1﹣2，x4=x1﹣9，x5=x1﹣5，设调动的电脑的总台数为y，则y=|x1|+|x1﹣3|+|x1﹣2|+|x1﹣9|+|x1﹣5|，这样，这个实际问题就转化为求y的最小值问题，并由上面所得结论知：当x1==3时，y的最小值为|3|+|3﹣3|+|3﹣2|+|3﹣9|+|3﹣5|=12，即调动的总台数为12．因为x1=3时，x2=0，x3=1，x4=﹣6，x5=﹣2，故一小就向二小调3台电脑，二小不调出，三小向四小调一台电脑，五小向四小调6台电脑，一小向五小调2台电脑．【点评】此题主要考查了函数的最值问题，根据已知得出y=|x1|+|x1﹣3|+|x1﹣2|+|x1﹣9|+|x1﹣5|，进而利用绝对值性质求出是解题关键．13．梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）．（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．【分析】（1）从出故障地到把人都送到考场需要时间是×3；（2）汽车送第一批人的同时，第二批人先步行，可节省一些时间．【解答】解：（1）（分钟），∵45＞42，∴不能在限定时间内到达考场．（2）方案1：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．先将4人用车送到考场所需时间为（分钟）．0.25小时另外4人步行了1.25km，此时他们与考场的距离为15﹣1.25=13.75（km），设汽车返回t（h）后先步行的4人相遇，5t+60t=13.75，解得．汽车由相遇点再去考场所需时间也是．所以用这一方案送这8人到考场共需．所以这8个人能在截止进考场的时刻前赶到．方案2，8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到离出发点xkm的A处，然后这4个人步行前往考场，车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场，由A处步行前考场需，汽车从出发点到A处需先步行的4人走了，设汽车返回t（h）后与先步行的4人相遇，则有，解得，所以相遇点与考场的距离为：．由相遇点坐车到考场需：．所以先步行的4人到考场的总时间为：，先坐车的4人到考场的总时间为：，他们同时到达则有：，解得x=13．将x=13代入上式，可得他们赶到考场所需时间为：（分钟）．∵37＜42，∴他们能在截止进考场的时刻前到达考场．【点评】此题在设计方案的基础上，这样设计方案会更节省时间，汽车送第一批人的同时，第二批人先以5千米/时速度步行，汽车把第一批人送到距考场S千米的A处后，回来接第二批人．同时，第一批人也以5千米/时的速度继续赶往考场，使两批人同时到达考场，在汽车来回接人的过程中，多了第一批人在步行，显然所用时间比设计方案少，故此方案这8人都能赶到考场，且最省时间．14．一辆汽车以每小时60千米的速度由甲地驶往乙地，车行驶了4小时30分钟后，遇雨路滑，平均行驶速度每小时减少20千米，结果比预计时间晚45分钟到达乙地，求甲、乙两地的距离．【分析】设甲、乙两地的距离为x，汽车以每小时60千米的速度行驶了4小时30分钟，共行驶了60×4.5=270千米；车行驶了4小时30分钟后速度变为每小时40千米，则实际行驶的时间=（x﹣270）÷40+4.5小时；若按每小时60千米的速度由甲地驶往乙地需要的时间=甲、乙两地的距离÷60；由题意得：实际行驶的时间﹣按每小时60千米的速度由甲地驶往乙地需要的时间=小时．【解答】解：设甲、乙两地的距离为x千米，4小时30分钟=小时，45分钟=小时，依题可列方程：，解得：x=360．答：甲、乙两地的距离为360千米．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．15．小明解方程+1=时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x=4，试求a的值，并正确求出方程的解．【分析】把x=4代入小明粗心得出的方程，求出a的值，代入方程求出解即可．【解答】解：由题意可知：（在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x=4），2（2x﹣1）+1=5（x+a），把x=4代入得：a=﹣1，将a=﹣1代入原方程得：+1=，去分母得：4x﹣2+10=5x﹣5，移项合并得：﹣x=﹣13，解得：x=13．【点评】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数．。

广大附中2017~2018学年第一学期12月大联盟考试初一数学（问卷）考试时间90分钟，试题满分120分出题:吴葵申题:梁健第一部分选择题（共30分）一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.珠穆朗玛峰峰顶比吐鲁番盆地底部高9003米，已知琳穆朗玛峰海拔高度是8848米，则吐鲁番盆地的海拔高度是（ ）.A .155米B . - 155米C .17851米D . - 17851米2.2016年我国GDP 增速为6.7%，全球第一，金国国内生产总值约为74.4万亿元，这个数用科学记数法表示为（ ）亿元.A .0.744 × 106B .74，4 × 104C .7.44 × 105D .7.44 × 1043.下列计算正确的是（ ）.A . - 3（a - b ） =- 3a + bB .6b 2 - 5b 2 = 1C .3x 2 + 2x 3 = 5x 5D .3a 2b -4ba 2 =- a 2b4.下列各式:22222,2,1,25,,121,51-b ab a y x x x x b a +----π`中单项式的个数有（ ）.A .1个B .2个C .3个D .4个 5.已知032-m 1=+-m x ）（是关于x 的一元一次方程，则m=( )A .0B .1C .2D .0或26.右图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是（ ）7.某商品先按批发价a 元提高10%零售，后又按零售价九折出售，则它最后的单价是（ ）元.A .aB .0.99aC .1.21aD .0.81a8.实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么a + b | + |a - b |化简的结果为（ ）A .2aB . - 2aC .2bD . - 2b9.若∠A 0B = 12°28′，∠B 0C = 30°，则∠AOC = （ ）A .42°28′B .18°32′C .42°28′或18°28′D .42°28或17°32′ 10. 计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A ~共16个计数符号，这些符号与十制制的数字的对应关系如下表:十六进制1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F十进制1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15例如，用十六进制表示B + D = 1B ，用十进制表示也就是13 + 14 = 1 × 16 + 11，则用十六进制表示A × B = （ ）A 6E B72 C5F DB0第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.单项式322z xy π-的系数是 _________ ，次数是 _________ 12.若3 m + 7与3 + 2 m 互为相反数，则m = _________ .13.若代数式y x a 1223-与 537x y b a +-是同类项，则a - b = _________ .14.x 的补角是x 的余角的3倍，则x 的度数为 _________15.如图，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠COD ，若∠MON = 60°，∠BOC = 18°，则∠AOD = _________ .16.小明与小刚规定了一种新运算:若a 、b 是有理数，则x *y = 3x - my （其中m 为常数）.小明计算出2 × 2 = 2，请你帮小刚计算3*（ - 2） = _________ .三、解答题（本大题共7小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（8分）计算:（1）)121()214332(5-÷+--- （2）23324516)2(532⨯÷--⨯-18.（10分）解方程:（1） - 3（x - 2） + 7 = 2（1 - x ）19.（12分）（1）先化简，()[]()[]22)(22)(25b a b a b a b a +-+-+-+再求值:其中a = 1 3，b =1-.（2）若x 是绝对值等于2的数，y 是倒数等于 - 1 2 的数，z 的相反数是 - 3，（3）[]xyz z x z x xyz y x y x 24)2(2232222-----求的值.20.（10分）画图题:已知平面上点A，B，C，D.按下列要求画出图形:（1）画直线AB，射线CB:（2）取线段AB的中点E，连接DE并延长与射线CB交于点0:（3）连接AD并延长至点F，使得AD = DF.21.1.（10分）中国现行的个人所得税法自2011年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下:一、以个人每月工资收入额减去3500元后的余额作为其每月应纳税所得额:二、个人所得税纳税税率如下表所示:（1）若甲、乙两人的每月工资收入额分别为4500元和10000元，请分别求出甲、乙两人的每月应缴纳的个人所得税；（2）若丙每月缴纳的个人所得税为545元，则丙每月的工资收入额应为多少?22.（10分）点C在直线AB上，且C不与A、B重合，BC = 2，AB > BC，D、B分别为AB、AC中点，画出图形并求DE的长.23.（12分）已知钟面是将圆周12等分形成的，已知分针（较长的）每一小时转动一周（即360°），时针（较短的）12个小时转动一周.（1）2:00时（如左图），分针与时针的夹角是 _________ .（2）分针的角速度（即每分钟转动的角度）为_________ °，min，时针的角速度为_________ °/min.（3）从2:00到3:00之间，当分针与时针夹角为30°时是什么时间?。

美国七年级数学试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪个数是质数？A. 21B. 23C. 27D. 302. 如果一个三角形的两边长分别是8厘米和15厘米，那么第三边的长度可能是多少？A. 3厘米B. 10厘米C. 23厘米D. 17厘米3. 下列哪个数是偶数？A. 101B. 102C. 103D. 1044. 下列哪个分数是最简分数？A. 2/4B. 3/6C. 4/8D. 5/105. 下列哪个图形是平行四边形？A. 矩形B. 正方形C. 梯形D. 三角形二、判断题（每题1分，共5分）1. 0是最小的自然数。

（）2. 任何两个奇数相加的和都是偶数。

（）3. 一个三角形的内角和是180度。

（）4. 两个负数相乘的结果是正数。

（）5. 1是最大的质数。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 一个正方形的边长是6厘米，那么它的面积是______平方厘米。

2. 如果一个数的因数只有1和它本身，那么这个数是______。

3. 5的倍数中，最小的两位数是______。

4. 2.5 + 1.8 = ______5. 一个等腰三角形的底边长是8厘米，腰长是10厘米，那么这个三角形的周长是______厘米。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 请列举出前五个质数。

2. 请简述等边三角形的特征。

3. 请解释什么是因数和倍数。

4. 请简述如何判断一个数是否是偶数。

5. 请解释什么是平行四边形。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，请计算它的面积。

2. 如果一个数的因数有1、2、3、4、6，那么这个数是什么？3. 请计算下列分数的和：1/2 + 1/3 + 1/44. 一个等腰三角形的底边长是8厘米，腰长是10厘米，请计算这个三角形的面积。

5. 请计算下列算式的结果：3^2 + 4^2六、分析题（每题5分，共10分）1. 请分析一个正方形的面积和边长之间的关系。

2017-2018年度美国“数学大联盟杯赛”(中国赛区)初赛(十、十一、十二年级)(初赛时间：2017年11月26日，考试时间90分钟，总分300分)学生诚信协议：考试期间，我确定没有就所涉及的问题或结论，与任何人、用任何方式交流或讨论，我确定我所填写的答案均为我个人独立完成的成果，否则愿接受本次成绩无效的处罚。

请在装订线内签名表示你同意遵守以上规定。

考前注意事项：1. 本试卷是十、十一、十二年级试卷，请确保和你的参赛年级一致；2. 本试卷共4页(正反面都有试题)，请检查是否有空白页，页数是否齐全；3. 请确保你已经拿到以下材料：本试卷(共4页，正反面都有试题)、答题纸、英文词汇手册、草稿纸。

考试完毕，请务必将英文词汇手册带回家，上面有如何查询初赛成绩、及如何参加复赛的说明。

其他材料均不能带走，请留在原地。

填空题(每小题10分，答对加10分，答错不扣分，共300分。

)1.Each pirate wants his own treasure chest, but there is 1 more pirate than thereare treasure chests. If the pirates would agree to pair up so each pirateshares a treasure chest with another pirate, then 1 treasure chest wouldnot be assigned to any pirate. How many treasure chests are there?Answer: ________________.2.If m and nare positive integers that satisfy 10=, what is the greatest possiblevalue of m + n?Answer: ________________.3.There are an infinite number of points with positive coordinates(x,y) the sum of whose coordinates is the square of an integer.Among all such points (x,y), which one satisfies y = 2x and hasx as small as possible?Answer: ________________.4.As shown, a small square is inscribed in one of the triangles formed whenboth diagonals of a larger square are drawn. If the area of the larger squareis 144, what is the area of the smaller square?Answer: ________________.5.Trisection points on opposite sides of a rectangle are joined, as shown. Ifthe area of the shaded region is 2018, what is the area of the rectangle?Answer: ________________.6. A unit fraction is a fraction whose numerator is 1 and whosedenominator is a positive integer. What is the largest rationalnumber that can be written as the sum of 3 different unitfractions?Answer: ________________.7.What is the greatest possible perimeter of a rectangle whose length and width are differentprime numbers, each less than 120?Answer: ________________.8.Mom, Dad, and I each write a positive integer. My number is leastand Dad's is greatest. The average of all 3 numbers is 20. Theaverage of the 2 smallest numbers is 8. If Dad's number is d andif my number is m, what is the greatest possible value of d–m?Answer: ________________.9.If 8 different integers are chosen at random from the first 15 positive integers, what is theprobability that an additional number chosen at random from the remaining 7 positiveintegers is smaller than every one of the 8 originally chosen positive integers?Answer: ________________.10.What sequence of 5 positive integers has these three properties:1) All but one of the numbers is a multiple of 5.2) Every number after the first is 1 more than the sum of all the preceding numbers.3) The first number is as small as possible.Answer: ________________.11.Three beavers (one not shown) take turns biting a tree until it falls. Thesecond beaver is twice as likely as the first to make the tree fall. Thethird is twice as likely as the second to make the tree fall. What isthe probability that a bite taken by the third beaver causes thetree to fall?Answer: ________________.12.What is the ratio, larger to smaller, of a rectangle's dimensions if halfof the rectangle is similar to the original rectangle?Answer: ________________.第1页，共4页第2页，共4页A rectangle is partitioned into 9 different squares, as shown at the right. The area of the smallest square, shown fully darkened, is 1. Two other squares have areas of 196 and 324, as shown. What is the area of the shaded square? Answer: ________________.When the square of an eight-digit integer is subtracted from the square of a differenteight-digit integer, the difference will sometimes have eight identical even digits. What are both possible values of the repeated digit in such a situation? Answer: ________________.If the perimeter of an isosceles triangle with integral sides is 2017, how many different lengthsare possible for the legs? Answer: ________________.What are all ordered triples of positive primes (p ,q ,r ) which satisfy p q + 1 = r ? Answer: ________________.The reflection of (6,3) across the line x = 4 is (2,3). If m ≠ 4, what is the reflection of (m ,n )across the line x = 4? Answer: ________________.The vertices of a triangle are (8,7), (0,1), and (8,1). What are thecoordinates of all points inside this triangle that have integralcoordinates and lie on the bisector of the smallest angle of the triangle? Answer: ________________.In a regular 10-sided polygon, two pairs of different vertices (four different verticesaltogether) are chosen at random, so that all points chosen are distinct from each other. What is the probability that the line segments determined by each pair of points do not intersect? Answer: ________________.A line segment is drawn from the upper right vertex of aparallelogram, as shown, dividing the opposite side into segments with lengths in a 2:1 ratio. If the area of the parallelogram is 90, what is the area of the shaded region?Answer: ________________.21. If 0 < a ≤ b ≤ 1, what is the maximum value of ab 2 – a 2b ? Answer: ________________.22. What are all ordered pairs of integers (x ,y ) that satisfy 5x 3 + 2xy – 23 = 0? Answer: ________________.23. If two altitudes of a triangle have lengths 10 and 15, what is the smallest integer that couldbe the length of the third altitude?Answer: ________________.24. If h is the number of heads obtained when 4 fair coins are each tossed once, what is theexpected (average) value of h 2? Answer: ________________.25. What is the largest integer N for which 7x + 11y = N has no solution in non-negativeintegers (x ,y )? Answer: ________________.26. There are only two six-digit integers n greater than 100 000 for which n 2 has n as its finalsix digits (or, equivalently, for which n 2 – n is divisible by 106). One of the integers is 890 625. What is the other?Answer: ________________.27. A hexagon is inscribed in a circle as shown. If lengths of three sidesof the hexagon are each 1 and the lengths of the other three sides are each 2, what is the area of this hexagon? Write your answer in its exact format or round to the nearest tenth. Answer: ________________.28. If x is a number chosen uniformly at random between 0 and 1, what is the probability thatthe greatest integer ≤ 21log x ⎛⎫⎪⎝⎭ is odd?Answer: ________________.29. In the interval -1 < x < 1, sin θ is one root of x 4 – 4x 3 + 2x 2 – 4x + 1 = 0. In that sameinterval, for what ordered pair of integers (a ,b ) is cos 2θ one root of x 2 + ax + b = 0? Answer: ________________.30. Let P (x ) = 2x 10 + 3x 9 + 4x + 9. If z is a non-real solution of z 3 = 1, what is the numericalvalue of 23111P P P z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭?Answer: ________________.第3页，共4页第4页，共4页。