17.1勾股定理(一)学案

商丘市乡村中小学、幼儿园教师优质课评选17.1勾股定理（第一课时）教案商丘市城乡一体化示范区七中赵伯超2016年6月21日17.1勾股定理（第一课时）教案商丘市城乡一体化示范区七中赵伯超勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，它在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。

勾股定理是在学习了三角形有关性质的基础上提出来的，勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，对前面的知识起到完善，延伸的作用。

学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

本节课试图通过数学活动，对学生所学知识进行内化与迁移，以发展思维。

同时对勾股定理的学习，对比我国数学家和西方数学家对勾股定理的研究，对学生进行爱国主义的教育，以落实素质教育的目标。

一、教学目标：知识与技能：了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

了解利用拼图验证勾股定理的方法。

数学思考：在勾股定理的探索过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”，培养合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想。

解决问题：1、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。

2、在探索活动中，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和探索的结果。

情感与态度：1、通过对勾股定理历史的了解，对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，感受数学文化，激发学生的爱国热情，激励学生奋发学习。

2、在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。

二、重点、难点1．重点：探索和证明勾股定理。

经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值。

2．难点：勾股定理的证明。

经历用不同的拼图方法证明勾股定理。

3．突破方法：发挥学生主体作用，通过学生动手实验，让学生在实验中探索，在探索中领悟，在领悟中理解。

八年级数学下册17.1 勾股定理第1课时勾股定理学案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学下册17.1 勾股定理第1课时勾股定理学案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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17．1 勾股定理第1课时勾股定理01 课前预习要点感知勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.预习练习在Rt△ABC中，若两条直角边长分别是5 cm、12 cm，则斜边长为（B) A．17 cm B．13 cmC．7 cm D．12 cm02 当堂训练知识点1 利用勾股定理进行计算1．在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c,若∠B＝90°，则下列等式中成立的是(C）A．a2＋b2＝c2B．b2＋c2＝a2C．a2＋c2＝b2D．c2－a2＝b22．在Rt△ABC中，斜边长BC＝3，则AB2＋AC2的值为（B)A．18 B．9C．6 D．无法计算3．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6,BE＝8，则正方形ABCD的面积为（C)A．48B．60C．100D．1404．已知直角三角形的斜边长为10，一直角边长是另一直角边长的3倍，则直角三角形中较长的直角边长为(D)A。

错误!B．2。

5 C．7.5 D．3错误! 5．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2错误!cm，则另一条直角边的长是(C) A．4 cm B．4 3 cmC．6 cm D．6错误!cm6．（柳州中考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，则BC＝4．7．（玉溪中考）如图，在△ABC中,∠ABC＝90°，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形,面积分别记为S1、S2、S3，若S2＝4，S3＝6，则S1＝2．8．在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.（1)若b＝2,c＝3,求a的值;（2）若a∶c＝3∶5，b＝32，求a、c的值．解：(1）∵a2＋b2＝c2,∴a＝错误!.∴a＝错误!.(2）设a＝3x，c＝5x,∵a2＋b2＝c2，∴（3x)2＋322＝(5x)2。

17.1勾股定理〔一〕二、答疑解惑我最棒〔约8分钟〕 甲： 乙：丙：丁：同伴互助答疑解惑 三、合作学习探索新知〔约15分钟〕 1、小组合作分析问题2、小组合作答疑解惑3、师生合作解决问题◆关于直角三角形,你知道哪些方面的知识?〔1〕直角三角形叫Rt △〔2〕两锐角互余∠A+∠B=90°〔3〕三角形的面积s=21ab=21hc〔4〕30°所对的直角边等于斜边的一半〔5〕证明两个直角三角形全等有“HL 〞◆毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500•年前,一次,毕达哥拉斯去朋友家作客.在宴席上,其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论,只有毕达哥拉斯学习活动 设计意图却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突破恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．同学们，你想知道大哲学家发现了什么吗？〔见课件〕问题：大正方形的面积与两个小正方形的面积有什么关系？学习活动设计意图◆在约公元前1100年，我国古算书?周髀bì算经?记载，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五.在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾长的直角边叫做股斜边叫做弦．四、归纳总结稳固新知〔约15分钟〕1、知识点的归纳总结：〔1〕经过证明被确认正确的命题叫做定理〔2〕勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么即 直角三角形两直角边 的平方和等于斜边的平方。

2、运用新知解决问题：〔重点例习题的强化训练〕◆， Rt △ABC 中，a ，b 为的两条直角边，c 为斜边，求：⑴： a ＝3， b ＝4，求c⑵： c ＝10，a ＝6，求b◆课本P24页练习◆课本P28页习题17.1第1题学习活动 设计意图五、课堂小测〔约5分钟〕 1．Rt ∆ABC 的两条直角边a=3, b=4，那么斜边c= .2．：如图在△ABC 中，∠ACB=90°，以△ABC 的各边为在△ABC 外作三个正方形分别表示这三个正方形的面积， 那么的边长为〔 〕A.6B.36C.64D.83 ．假设直角三角形两直角边分别为12，16，那么此直角三角形的周长为〔 〕A.28B.36C.32D.484 ．直角三角形的三边长分别为3，4，x ，那么x 2等于〔 〕A.5B.25C.7D.25或7六、独立作业我能行 1、预习课本P25-26页，思考预习提纲222a b c +=。

17.1.1勾股定理教学设计一、教材分析：勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，它将数与形密切地联系起来，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，是后续学习解直角三角形的基础，是三角形知识的深化。

二、学情分析：八年级学生已对直角三角形有了初步的认识,具备了一定的分析和归纳能力,积累了一定的数学活动经验；但在数学说理和一些重要数学思想方法上尚不能熟练,缺乏严谨的逻辑推理能力,需要进一步的培养。

三、教学目标：（1）知识与技能：体验勾股定理的探索过程，理解勾股定理反映的直角三角形三边之间的数量关系，能利用已知两边求直角三角形另一边的长；（2）过程与方法：在勾股定理的探索过程中，培养合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想；（3）情感与态度：在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，培养合作意识和探索精神。

四、教学重、难点：重点：探索和证明勾股定理难点：用拼图方法证明勾股定理五、教学过程：活动一：导入新课出示2002年国际数学家大会会标，学生观察会标上的弦图，问题1：同学们知道这是什么图案吗?它由哪些我们学过的基本图形组成?师生活动:教师引导学生寻找图形中的直角三角形、正方形，并说明直角三角形的全等关系。

教师补充说明:这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的,被称为“赵爽弦图”.那么什么是勾股定理？怎样用弦图证明勾股定理呢？设计意图：重视引言教学，从国际数学家大会的会标说起，设置悬念，引入课题。

活动二：观察猜想探究等腰直角三角形三边之间的数量关系 问题2:多媒体出示：相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形的某种数量关系。

假如你就是毕达哥拉斯，请观察图案，看看能发现什么？学生活动：发现有等腰直角三角形、正方形。

追问：图中三个小正方形A 、B 、C 的面积有什么关系？学生活动：学生独立观察图形，分析、思考其中的规律，得出结论，正方形A 的面积加正方形B 的面积等于正方形C 的面积。

西藏萨迦县中学电子教案单位：西藏萨迦县中学年级：八年级学科：数学课题 18.1勾股定理（第1课时）主备教师达娃加参单元第十八章教学课时一节课时授课教师达娃加参备课时间2017.6教学目标1、通过观察、分析方格图，经历探索勾股定理的过程，会运用勾股定理进行简单的计算.2、在勾股定理探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，激发学习热情.教学重点1.重点：探索勾股定理.教学难点2.难点：探索勾股定理.考点分析勾股定理的应用题教学准备直尺教学过程（一）创设情境，导入新课师：同学们听说过外星人吗？生：（齐答）听说过.师：外星人就是生活在别的星球上的智慧生物.长期以来，人类一直在寻找外星人，并试图与他们交流.那么怎么寻找外星人？又怎么与外星人交流呢？主要的办法是向处太空发射探测器，希望有朝一日外星人能接收到探测器发出的信号，最好能直接收到探测器.为什么要直接收到探测器？因为在探测器里有很多图片，这些图片反映了地球的情况、地球人的形象、生活和文明成果.师：在这些图片中，有一张图片特别有意思，它所反映的恰好是我们这节课要学习的内容.这是一张什么样的图片呢？（师出示下图）教学补充（二）尝试指导，讲授新课师：（指准图）在这张图片上，中间画的是一个直角三角形，这个直角三角形的一条直角边等于3，另一条直角边等于4，斜边等于5.在直角三角形的外面画了三个正方形，这三个正方形的边长分别是3、4、5，所以这个正方形的面积是9，这个正方形的面积是16，这个正方形的面积是25.师：现在要问大家的是，通过这个图形地球人想告诉外星人什么呢？如果你是外星人，你看到这个图形能发现什么呢？（让生观察思考，要给学生充足的观察思考时间）师：（指图）谁来说说从这个图形你发现了什么？生：……（多让几名同学发表看法）师：（指准图）这个正方形的面积是9，这个正方形的面积是16，这个正方形的面积是25，9+16恰好等于25，可见，这个正方形的面积加上这个正方形的面积恰好等于这个大正方形的面积（板书：一个正方形的面积+另一个正方形的面积=大正方形的面积）.师：（指准图）从这三个正方形面积的关系，我们可以进一步发现这个直角三角形三边的关系.师：（指准图）看到没有？这个正方形的面积实际上就是这条直角边的平方，这个正方形的面积实际上就是这条直角边的平方，而这个正方形的面积实际上就是这条斜边的平方.可见，这条直角边的平方加上这条直角边的平方恰好等于这条斜边的平方（板书：一条直角边的平方+另一条直角边的平方=斜边的平方）.师：以上我们通过观察分析图形，发现这个直角三角形的三边有这样的关系：（指准式子）一条直角边的平方+另一条直角边的平方=斜边的平方.师：发现了这个关系，我们会进一步想到一个问题，什么问题？（稍停后边讲边指准图）这个直角三角形的三边有这样的关系，那么别的三角形的三边是否也有这样的关系呢？师：下面我们就来看别的直角三角形的情况.（师出示下图）ABC师：（指准图）这个图的中间是一个直角三角形，外面是三个正方形.正方形A 以这条直角边为边长，正方形B以这条直角边为边长，正方形C以斜边为边长.现在我们来算一算正方形A、B、C的面积.师：（指准图）正方形A的面积是多少？生：（齐答）4.（师在图中注上4）师：（指准图）正方形B的面积是多少？生：（齐答）9.（师在图中注上9）师：（指准图）正方形C的面积是多少？生：……（让生思考一会儿）师：正方形C的面积不好算，怎么来计算正方形C的面积呢？（师用彩笔在上图画出大正方形，如下图所示）C BA师：（指准图）正方形C的面积等于这个大正方形的面积减去这四个直角三角形的面积.师：（指准图）这个大正方形的面积等于多少？（稍停）它的边长为5，所以面积为25.这个直角三角形的面积等于多少？（稍停）它的这条直角边为2，这条直角边为3，所以面积为12×2×3=3.其它几个直角形的面积也都等于3，所以四个直角三角形的面积等于12.师：（指准图）这个大正方形的面积为25，四个直角三角形的面积为12，所以正方形C的面积是13（在图中注上13）.师：（指准图）正方形A、B、C的面积都求出来了，正方形A的面积为4，正方形B的面积为9，正方形C的面积为13.现在我们可以看到，正方形A的面积加上正方形B的面积恰好等于正方形C的面积（板书：正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积）.师：（指准图）从三个正方形面积的关系，我们可以进一步得出这个直角三角形三边的关系.师：（指准图）正方形A 的面积就是这条直角边的平方，正方形B 的面积就是这条直角边的平方，正方形C 的面积就是斜边的平方.所以这个直角三角形的三边有这样的的关系：这条直角边的平方加上这条直角边的平方恰好等于斜边的平方（板书：一条直角边的平方+另一条直角边的平方=斜边的平方）. 师：（指准图）可见，这个直角三角形的三边也具有我们刚才所说的那种关系. 师：下面同学们自己再来看一个直角三角形，看一看这个直角三角形的三边是否也具有这种关系.（三）试探练习，回授调节 1.探究题：如图，填空：(1)正方形A 的面积= ，正方形B 的面积= ，正方形C 的面积 ；(2)正方形A 、B 、C 的面积具有的关系是： ； (3)中间的直角三角形的三边具有的关系是： . （四）尝试指导，讲授新课师：通过上面的探索，关于直角三角形三边的关系，同学们能得出一个什么结论呢？生：……（多让几名同学发表看法，要鼓励学生用自己的语言，哪怕是不十分准确的语言，来表达他们感悟到的东西） （师出示下图）师：我们可以得出这样的结论：（指准图）如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.（师出示板书：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2）师：请大家把这个结论读两遍.（生读）师：这个结论很重要，也很有用.有了这个结论，已知直角三角形的两边，我们可以求出第三边.下面我们就来看一个例题. （师出示例题）例 求出下列直角三角形中未知边的长度.(1) (2)（师边讲解边板演，解题过程如下） c ba125C B A 23A B C AB C解：(1)AB 2=AC 2+BC 2=122+52=169 AB=169=13 (2)AC 2=AB 2－BC 2=32－22=5 AC=5（五）试探练习，回授调节2.a ，b 表示直角边，c 表示斜边，填空： (1)已知a=9，b=12，则c= ； (2)已知b=5，c=7，则a= . （六）归纳小结，布置作业师：本节课我们探索了直角三角形三边的关系，通过探索得出了一个结论.请大家把这个结论再读一遍.（生读）师：利用这个结论，已知直角三角形的两边可以求出第三边板书设计图一 图二……=大正方形的面积 ……=正方形C 的面积 如果…………=斜边的平方 ……=斜边的平方 那么a 2+b 2=c2例作业设计（作业：P 28习题1）教学反思c b a。

17.1《勾股定理》（第1课时）教学设计一、教材分析（一）地位和作用本节课是人教版八年级下册第十七章第一节勾股定理第一课时。

本节之前学生已经学习了三角形一些知识，勾股定理研究的是直角三角形三边之间特有的数量关系，将形与数密切联系起来，是解直角三角形的主要依据，在生产和生活实际中应用广泛。

勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探探索、发现和证明的过程。

证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积，教学中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得定理的证明。

（二）教学目标1、知识与技能：掌握一个定理——勾股定理，并会用定理解决简单问题。

2、过程与方法（1）经历一次由特殊到一般的探索过程，通过观察、思考、尝试猜想结论，发展合情推理能力。

（2）体验一种利用几何图形的面积证明代数恒等式的数形结合的思想，感受数学思维的严谨性。

3、情感态度与价值观：通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增添一份民族自豪感。

在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神。

（三）重点、难点重点：探究并证明勾股定理。

难点：勾股定理的探究和证明。

二、教法分析勾股定理是反映直角三角形三边关系的一个特殊的结论。

在正方形网格中比较容易发现以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系，进而得出三边之间的关系。

但要从等腰直角三角形过渡到网格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，学生有较大困难。

学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，解决问题的关键是要想到用合理的割补方法求以斜边为边的正方形的面积。

因此，在教学中需要先引导学生观察网格背景下的正方形的面积关系，然后思考没有网格背景下的正方形的面积关系，再将这种关系表示成边长之间的关系，这有利于学生自然合理地发现和证明勾股定理。

本节课主要采用启发式、探究式教学，由浅入深，由特殊到一般的提出问题，引导学生采用观察思考、动手实践、自主探索、合作交流的学习方法，使学生主动获得知识并发展能力．三、学法分析八年级学生已经具备了一定的观察、归纳、猜想和推理能力，已经学习了一些几何图形的面积的计算方法，但是运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还不够，对于如何将形与数有机的结合起来还有待提高.四、教学过程设计（一）、创设情景，引入新课国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”．2022年在北京召开了第24届国际数学家大会．上图就是大会会徽的图案．你见过这个图案吗？这个图案有什么特别的意义？师生活动：教师引导学生观察，指出这个图案与勾股定理有关，勾股定理是我们要研究的问题．设计意图：从国际数学家大会的会徽说起，设置悬念，引入课题。

17.1勾股定理第1课时学习目标：(1)能够利用拼图法证明勾股定理．(2)能够利用勾股定理求简单的直角三角形的边长．课前准备1、 有一个角是直角的三角形是________三角形2、 直角三角形的两个锐角_________3、 ( a )2＝_________(a ≥0)4、a 2 ＝_________＝⎩⎨⎧_________(a ≥0 )_________( a<0)5、积的算术平方根的性质ab ＝__________(a ≥0，b ≥0)课堂导学自学指导一认真阅读课本P 22的内容，同桌讨论，动手拼图，直角三角形三条边之间具有什么样的数量关系？并用自已手中的图形说明你发现的结论．并用几何语言描述你发现的结论．完成自学检测 自学检测1、在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则BC ＝ ．2、在Rt △ABC 中，有一边是3，另一边是4，则第三边的长是 ．自学指导二1、再认真阅读P 23~24内容，尝试回答以下问题⑴课本 P23图17.1-5，以AB 为边的正方形面积为______________⑵Rt △ABC 的面积为_______________⑶内部小正方形的面积为________________⑷请根据“四个直角三角形面积的和+小正方形面积=以AB 为边的大正方形的面积”，推导出abc 之间的关系3、 把我们证明出的勾股定理用数学语言描述，并用勾股定理完成课本P24练习第1题，第2题勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么______________ 当堂作业必做题：课本P28复习巩固第1题选做题：1、如图，求图中字母M 所代表的正方形的面积．7545M2、如图，一根旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高?5m12m思考题：如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系？试探究一下.。

17.1 勾股定理（1）教学设计一、教学目标1.了解勾股定理的基本概念和原理；2.掌握勾股定理的运用方法，能够解决与勾股定理相关的问题；3.培养学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面：1.勾股定理的概念和原理；2.三角形的直角边、斜边和斜角的关系；3.勾股定理的运用方法和例题讲解。

三、教学步骤步骤一：导入1.教师通过提问的方式引出勾股定理的概念，激发学生对于勾股定理的兴趣；2.教师通过举例子的方式，让学生感受一下勾股定理的应用场景。

步骤二：学习与讨论1.教师通过讲解勾股定理的定义和原理，引导学生理解勾股定理的内涵；2.教师通过几何图形和实际问题的分析，让学生看到勾股定理的实际应用；3.学生与教师一起探讨如何应用勾股定理解决问题，并给出解决问题的步骤。

步骤三：例题讲解1.教师选择一些典型的例题进行讲解，通过解题过程演示勾股定理的运用方法；2.教师引导学生分析题目中的信息，确定解题思路，并进行逐步解题。

步骤四：练习与巩固1.学生在教师的指导下，完成相关练习题；2.学生互相交流解题思路，激发学生的合作学习能力和解决问题的能力。

步骤五：归纳总结1.教师引导学生总结勾股定理的运用方法；2.学生以小组为单位，展示他们的解题思路和方法；3.教师进行点评和总结，强调勾股定理的重要性和实际应用。

四、教学评价1.课堂练习的完成情况，包括学生的解题过程和答案的准确性；2.学生课后作业的完成情况，包括书面作业和练习题；3.学生对于勾股定理的理解程度和应用能力的评价。

五、教学反思本节课通过理论讲解和实际问题的应用，帮助学生理解和掌握勾股定理的基本概念和运用方法。

在教学过程中，学生积极参与，课堂气氛活跃。

通过解题讲解和学生的合作学习，提高了学生的解决问题的能力。

但是在练习环节中，部分学生的思维转换还不够灵活，需要加强巩固训练。

教师在今后的教学中将重点培养学生的分析问题和解决问题的能力，多进行案例分析和实践操作，提高学生的学习兴趣和实际应用能力。

人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时1 勾股定理教案【教学目标】1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．.【教学重点】1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.【教学难点】了解利用拼图验证勾股定理的方法．【教学过程设计】一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究知识点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理例1如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：(1)AC的长；(2)S△ABC；(3)CD的长．解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝12cm；(2)S△ABC＝12CB·AC＝12×5×12＝30(cm2)；(3)∵S△ABC＝12AC·BC＝12CD·AB，∴CD＝AC·BCAB＝6013cm.方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用例2在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC 的周长．解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．解：此题应分两种情况说明：(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长为15＋13＋4＝32.∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC 的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．【类型三】勾股定理的证明例3探索与研究：方法1：如图：对任意的符合条件的直角三角形ABC 绕其顶点A 旋转90°得直角三角形AED ，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE 的面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt △BEA 和Rt △ACD 拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法1：根据四边形ABFE 面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC 和Rt △ACD 的面积之和等于Rt △ABD 和△BCD的面积之和解答．解：方法1：S 正方形ACFD ＝S 四边形ABFE ＝S △BAE ＋S △BFE ，即b 2＝12c 2＋12(b ＋a )(b －a )，整理得2b 2＝c 2＋b 2－a 2，∴a 2＋b 2＝c 2；方法2：此图也可以看成Rt △BEA 绕其直角顶点E 顺时针旋转90°，再向下平移得到．∵S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ，S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴S △ABC ＋S △ACD＝S △ABD ＋S △BCD ，即12b 2＋12ab ＝12c 2＋12a (b －a )，整理得b 2＋ab ＝c 2＋a (b －a )，b 2＋ab ＝c 2＋ab －a 2，∴a 2＋b 2＝c 2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．知识点二：勾股定理与图形的面积例4 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E 的面积是________．解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A、B的面积和为S1，正方形C、D的面积和为S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.方法总结：能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积．【板书设计】17.1 勾股定理课时1 勾股定理1．勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.2．勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”．【教学反思】在课堂教学中应注意调动学生学习数学的积极性．让学生满怀激情地投入到数学学习中，提高数学课堂教学效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点．人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时1 勾股定理学案【学习目标】1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想；2.会用勾股定理进行简单的计算.【学习重点】掌握用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.【学习难点】能够运用勾股定理进行有关的运算．【自主学习】一、知识回顾网格中每个小正方形的面积为单位1,你能数出图中的正方形A、B 的面积吗？你又能想到什么方法算出正方形C的面积呢？AB CCBA方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：左图：S c=__________________________;右图：S c=__________________________.方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：左图：S c=__________________________;右图：S c=__________________________.二、合作探究考点1：勾股定理的认识及验证想一想 1.2500年前，毕达哥拉斯去老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面，联想到了正方形A，B和C面积之间的关系，你能想到是什么关系吗？2.右图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？3.在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1)4.正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？思考你发现了直角三角形三条边之间的什么规律？你能结合字母表示出来吗？猜测：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么________.活动2 接下来让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明活动1的猜想.证法利用我国汉代数学家赵爽的“赵爽弦图”＝________，证明：∵S大正方形S小正方形＝________,S大正方形＝___·S三角形＋S小正方形，∴________=________+__________.要点归纳：勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 公式变形：222222, ，=+--.a cb bc a c a b知识点2：利用勾股定理进行计算【典例探究】例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a=b=5,求c;（2）若a=1,c=2,求b.变式题1 在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.方法总结:已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.变式题2在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.方法总结:当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.方法总结:由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．【跟踪训练】求下列图中未知数x、y的值：三、知识梳理内容勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.注意1.在直角三角形中2.看清哪个角是直角3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论四、学习中我产生的疑惑【学习检测】1.下列说法中,正确的是（）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c22. 如图，Rt△ABC（∠C=90°）的主要性质：（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：____________________.（2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：_________.3.如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么_________.4. 右图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_____________.5.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，则c=_______.（2）若c=13，b=12，则a=_______.6.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.7.如图所示，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6，则正方形A，B的面积的和为_______.8.求斜边长17cm、一条直角边长15cm的直角三角形的面积.9.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．10.如图，将长为10米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为6米，求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。

八年级数学下册 17.1 勾股定理导学案1（新
版）新人教版
17、1 勾股定理导学习目标
1、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程，体会数形结合思想、
2、能说出勾股定理，并能应用勾股定理解决简单的数学问题、重点：探索和证明勾股定理，用拼图的方法证明勾股定理、难点：
1、应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。

2、灵活运用勾股定理、时间分配导入5分钟、自主学习10分钟问题解决10分钟应用新知5分钟、练习巩固8分、课堂小结2分学案（学习过程）导案（学法指导）学习过程
一、自主学习★阅读课本P22-24页，了解下列问题
1、什么是勾股定理？
2、勾股定理的文字叙述与几何语言如何表达？
3、P22练习
1、2、
五、课堂小结：
1、勾股定理的内容是什么？
2、勾股定理适用前提是什么？
3、本节课还有什么问题？六、作业：
1、课本P28
1、2、2、课本P28—习题
17、1--11
一、导课：（复习旧知）◆关于直角三角形,你知道哪些方面的知识?（1）直角三角形叫Rt△（2）两锐角互余∠A+∠B=90 （3）三角形的面积s=ab=hc （4）30所对的直角边等于斜边的一半（5）证明两个直角三角形全等有“HL”
二、问题解决：强调
1、勾股定理的使用前提是在直角三角形中、
2、勾股定理研究的是直角三角形的三边之间的关系。

三、新知应用此问题可让学生尝试完成，然后教师规范过程。

四、练习学生自主独立完成，选学生上黑板。

最后个别纠错、
五、小结：总结本节课的知识重点和方法技能，并着重强调。

六、作业1是必做题，2是选做题，部分学生可适当完成。

教学反思。