数整除的特征

整除的性质和特征整除是数论中的一个重要概念，它描述了一个整数能够被另一个整数整除，也就是除法运算的结果是整数。

整除有着许多重要的性质和特征，下面将详细介绍。

1.定义：整数a能够被整数b整除，即b是a的因数，记作b，a，当且仅当存在一个整数c，使得a=b·c。

其中，c称为a除以b的商，b称为a的约数，a称为b的倍数。

2.可加性：如果c是a的一个约数，那么c也是a的倍数。

换句话说，如果一个整数能够整除a，那么它也能够整除a的倍数。

3.可乘性：如果b，a且c，a，那么b·c也，a。

换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a与b的乘积。

4.整除的传递性：如果b，a且c，b，那么c，a。

换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a。

5.算术基本定理：任意一个大于1的整数，都可以表达为多个质数的积。

这意味着，如果一个整数可以整除另一个整数，那么它必然可以整除这个整数的所有质因数。

6. 两个非零整数的最大公约数和最小公倍数：两个非零整数a和b的最大公约数（记作gcd(a,b)）是能够同时整除a和b的最大正整数。

两个非零整数a和b的最小公倍数（记作lcm(a,b)）是能够同时被a和b整除的最小正整数。

于是有gcd(a,b)·lcm(a,b)=a·b。

7.唯一分解定理：任何一个整数都能够唯一地分解为几个质数的乘积。

这个定理也说明了一个数的因数有限，不会无限增多。

8. 整除与除法的关系：一个整数a能够被b整除，相当于a除以b 的余数为0。

对于任意的整数a和b，总能够找到唯一的两个整数商q和余数r，使得a=bq+r，其中r满足0≤r<，b。

9. 整除与模运算的关系：一个整数a能够被b整除，等价于a除以b的余数为0，即a mod b = 0。

在模运算中，a mod b表示a除以b的余数。

10. 除法的消去律：如果一个整数a能够被b整除，那么对于任意的整数c，ac也能够被bc整除。

整除的特征：一个数能否被另一个数整除，要根据一定的规律来判断，所以要掌握一些特征。

（1）能被2 整除的数的特征：个位数是0、2、4、6、8的整数能被2整除。

例如：10、72、34、56、98都能被2整除。

（2）能被5整除的数的特征：个位数是0或5的整数能被5整除。

例如：180、315都能被5整除。

（3）能被3或9整除的数的特征：各个数位上数字的和是3或9的倍数的整数，能被3或9整除。

例如：5037各数位上的数的和是15，15是3的倍数，所以5037能被3整除。

4878各数位上的数的和是27，27是9的倍数，所以4878能被9整除。

能被9整除的数必然能被3整除，但能被3整除的数不一定能被9整除。

一个自然数除以9的余数与它的各个数位上的数字和除以9的余数相同。

（4）能被4 和25整除的数的特征：末尾两位数是4或25的倍数的整数，能被4或25整除。

例如：712末尾两倍数是12，12是4 的倍数，所以712能被4整除。

975的末尾两倍数是75，75是25的倍数，所以975能被25整除。

如果一个数既能被4整除，又能被25整除，那么这个数一定是整百数。

如700、2800都能同时被4 和25整除。

（5）能被8和125整除的数的特征：末尾三位数是8或是125的倍数，能被8或25整除。

例如：2408的末尾三位数是408，408是8的倍数，所以2408能被8整除。

9250末尾三位数是250，因为250是125的倍数，所以9250能被125整除。

如果一个数既能被8整除，又能被125整除，那么这个数一定是整千数。

如1000、3000、78000等。

（6）能被11整除的数的特征：如果一个数奇数位上的数之和与偶数位上的数之和的差是11的倍数，那么这个整数就能被11整除。

例如：189354奇数位上的数之和是1+9+5=15，偶数位的数之和是8+3+4=15，它们的差是15-15=0，因为0能被11整除，所以189354能被11整除。

一、数的整除的特征1．前面我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。

因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。

偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。

2．末位数字为零的整数必被10整除。

这种数总可表为10k （其中k为整数）。

3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k（k为整数）。

4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。

如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可。

由于4｜96能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。

能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，2 4，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。

5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。

由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。

如判断765432是否能被8整除。

因为765432＝765000＋432显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。

由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。

能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024， (9)84，992。

由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；125×7＝875；125×8＝10000故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，3 75，500，625，750，875。

6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。

数的整除特征1)被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2)被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3)被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4)被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5)被7整除第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

第二种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6)被11整除第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

第二种方法：奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

第三种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7)被13整除第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

第二种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

8)被10整除：如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）。

9)被12整除：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

10)被17整除第一种方法：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

第二种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

11)被19整除第一种方法：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。

如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

第二种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

12)被23整除：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。

数的整除特征
1.能被2整除的数的特征：
个位是：0、2、4、6、8.
2.能被3整除的数的特征：
各位数字之和是3的倍数。

3.能被4整除的数的特征：
一个数的末尾2位数能被4整除。

4.能被5整除的数的特征：
个位是0或5.
5.能被6整除的数的特征：
个位数字是：0、2、4、6、8.且各位数字之和是3的倍数。

6.能被7整除的数的特征：
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

7.能被8整除的数的特征:
若一个整数的末尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除。

8.能被9整除的数的特征：
若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

9.能被10整除的数的特征：
个位是0。

10 . 能被11整除的数的特征：
若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

数的整除特征一、整除特征------尾数分析法1、尾数分析法判断整除性（1）一个数的末一位能被2或者说整除，这个数就能被2或5整除。

（2）一个数的末两位数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除。

（3）一个数的末三位数能被8或者125整除，这个数就能被8或是25整除。

2、被25或125整除的数的特点（1）被25整除的数必须是以25、75、00结尾的数（2）被125整除的数必须是以125、250、375、500、625、750、875、000结尾的数。

二、整除特征-----数位和分析法1、数位和分析法判断整除性（1）一个数各个数位上的数字和能被3整除，这个数能被3整除。

（2）一个数各个数位上的数字和能被9整除，这个数就能被9整除.2、数位和分析法原理数位和分析法同样是根据位值原理推导出来的，举例：1234=1×1000+2×100+3×10+4×1=1×（999+1）+2×（99+1）+3（9+1）+4×1=1×999+2×99+3×9+（1+2+3+4）其中999、99、9都能被3或9整除，所以只需要看1234的各位数字和1+2+3+4能否被3或9整除即可，用这种方法同样能求出1234除以3或9的余数。

3、弃9法“弃九法”也叫做弃九验算法，利用这种方法可以验算加、减、乘计算的结果是否错误，把一个数的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是9，要减去9得0），这个数就叫做原来数的弃九数。

三、整除特征---数位差分析法1、 11的整除特征：如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。

2、 7、11、13的整除特征如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11、或者3整除，那么这个数能被7、11、或者3整除。

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一、1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.二、能被2整除的数的特征若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

三、能被3整除的数的特征1，若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

2，由相同的数字组成的三位数、六位数、九位数……这些数字能被3整除。

如111令3整除。

四、能被4整除的数的特征X z若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

五、能被5整除的数的特征若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

六、能被6整除的数的特征若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

七、能被7整除的数的特征1.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

同能被17整除的数的特征。

2.末三位以前的数与末三位以后的差（或反过来）。

同能被11,13整除的数的特征。

八、能被8整除的数的特征若一个整数的末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

九、能被9整除的数的特征若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

十、能被10整除的数的特征若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

十一、能被11整除的数的特征若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！十二、能被12整除的数的特征若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

其他辨别方法十三、能被13整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。

如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验和」的过程，直到能清楚判断为止。

数的整除的特征我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。

因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。

偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。

2．末位数字为零的整数必被10整除。

这种数总可表为10k（其中k为整数）。

3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k （k为整数）。

4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。

如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可。

由于4｜96能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。

能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。

5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。

由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。

如判断765432是否能被8整除。

因为765432＝765000＋432显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。

由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。

能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024，…984，992。

由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；125×7＝875；125×8＝10000故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，375，500，625，750，875。

6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。

数的整除特征特点 It was last revised on January 2, 2021
数的整除特征特点
一、尾数判断法:
(1) 能被 2、 5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除。

(2) 能被4、25 整除的数的特征：末两位能被4或25整除。

(3) 能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除。

二、数字求和法
（1）能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。

三、奇偶位求差法
（1）能被11整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。

四、三位截断法
（1）能被7、11、13整除的数的特征：“末三位数字组成的数”与“末三位以前的数字组成的数”之差能被7或11或13整除。

整除特征：
7：个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

（如果数字太大仍然不能直接观察出来，就重复此过程。

）
13：个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。

17：个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

19：个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。