市北资优六年级分册 第07章 7.8 一次方程组的应用+滕小红

7.10含字母系数的一次方程组及其解法二元一次方程组中出现字母系数（包括字母常数）是我们经常碰到的问题，它比单纯解方程组要求高一些.解决此类问题首先要进行分析，挖掘题目所隐含的条件，运用转化的数学思想，巧妙第列出相应的方程或方程组来求解.例1 若32x y =⎧⎨=-⎩是二元一次方程组11235mx ny mx ny ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩的解，求m ，n 的值. 分析：根据方程组的定义，可把32x y =⎧⎨=-⎩代入方程组中，这样可以得到关于m ，n 的 二元一次方程组，解之即可.解：把32x y =⎧⎨=-⎩代入方程组中,得31925m n m n -=⎧⎨-=⎩，解得12m n =⎧⎨=⎩. 例2已知方程组5354x y ax y +=⎧⎨+=⎩与2551x y x by -=⎧⎨+=⎩有相同的解，求a ，b 的值.分析：两个方程组有相同的解，也就是有一组x ，y 的值是苏哥方程的公共解，当然也是其中任意两个方程的公共解.所以可以把原来的方程组打乱，重新组合起来求解.解：由已知可得5325x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，把12x y =⎧⎨=-⎩代入另外两个方程组成的方程组5451ax y x by +=⎧⎨+=⎩，得104521a b -=⎧⎨-=⎩解得142a b =⎧⎨=⎩. 例3关于x ，y 的方程组343232x y mx y +=⎧⎨+=⎩的解中x 与y 的和等于1，求m 的值.分析：方程组的也必然是方程343x y +=的解，也是方程1x y +=的解，把它们组合的方程组1343x y x y +=⎧⎨+=⎩，这个方程组一定也是方程232mx y +=的解，代入这个方程即可求得m 的值.解： 由1343x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1x y =⎧⎨=⎩，代入232mx y +=，得m =1.例4 小刚在解方程组278ax by cx y +=⎧⎨-=⎩时，本应解出32x y =⎧⎨=-⎩，由于看错了系数c ，而得到的解为22x y =-⎧⎨=⎩，求a +b +c 的值.分析：尽管看错了C ,但是32x y =⎧⎨=-⎩和22x y =-⎧⎨=⎩都适合方程组中的第一个方程.将它们代入第一个方程得到关于a ，b 的二元一次方程组，可解出a ，b 的值，再由原方程组的解是32x y =⎧⎨=-⎩，可求出c 的值.解： 因为32x y =⎧⎨=-⎩是方程组278ax by cx y +=⎧⎨-=⎩的解，所以3223148a b c ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩①②，由方程②，得c =-2，设小刚把c 看成n ，则22x y =-⎧⎨=⎩满足2378ax by n y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩③④，由③可得222a b -+=⑤由方程①⑤组成方程组322222a b a b -=⎧⎨-+=⎩，解得45a b =⎧⎨=⎩，所以45(2)7a b c ++=++-=.练习7.10（1）1.方程组42112x y kx y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩的解中的x 与y 相等，求k 的值.2.已知关于x ，y 的方程组37ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解是21x y =⎧⎨=⎩，求a b +的值.3.已知关于x ，y 的方程组239x y mx y m +=⎧⎨-=⎩的解也是方程3217x y +=的解，求m .4.小明和小言同时解方程组161ax by bx ay ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①②,小明把方程①抄错了，求得的解为13x y =-⎧⎨=⎩，小言把方程②抄错了，求得的解为32x y =⎧⎨=⎩，求原方程组的解.例5 k 为何值时方程组22342kx y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩①②无解？分析： 将方程组消元，使之化为ax b =的形式，然后讨论一次项系数a .当0a ≠时有唯一的解bx a=；当0,0a b ==时方程有无数个解；当0,0a b =≠时，无解.反之也成立.解： 2⨯+①②，得()236k x +=③，由原方程组无解，则方程③也无解.所以230k +=，解得 1.5k =-，当 1.5k =-时方程组无解.例6 当a ，b 为何值时关于x ，y 方程组2336ax y x by +=⎧⎨+=⎩有唯一解？无数解？无解？分析： 对于x ，y 的方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩中111222,,,,,a b c a b c 均为已知数，且1a 和1b ，2a 和2b 都至少有一个不等于0，则⑴当1122a ba b ≠时，方程组有唯一解；⑵当111222a b c a b c ==时，方程组有无穷多解； ⑶当111222a b c a b c =≠时，方程组有无解； 解：⑴当23ab≠，即6ab ≠时，方程组有唯一解；⑵当2336a b ==，即3,42a b ==，方程组有无穷多解； ⑶当2336a b =≠，即6ab =且32a ≠，4b ≠时,方程组有无解. 例7 要使得方程组21620x ay x y +=⎧⎨-=⎩有正整数解，求整数a 的值.分析：首先解方程组（用含a 的式子表示x ，y 的取值），再确定a 的取值.解：解方程组21620x ay x y +=⎧⎨-=⎩，得324164x a y a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因为321624+4a a =⨯+依题意可知4a +只能为1,2,4,8,16，故整数a 的值为-3，-2,0,4,12.练习7.10（2）1.如果关于x ，y 的方程组3921ax y x y +=⎧⎨-=⎩，无解，求a 的值.2.在一元二次方程组2310630x y x my ++=⎧⎨++=⎩中，当m 为何值时，这个方程有无数组解？3.已知m 为整数，且方程组436626x y x my -=⎧⎨+=⎩有正整数解，求m 的值.4.当a 满足30na +≠的任意实数时,代数式23ma na -+的值都是一个常数，其中6m n -=，求m ，n 的值. 练习7.10（1）答案1. 0k =3. 1m =4.97267x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩练习7.10（2）答案1. 6a =-2.2m =3.4m =± 提示：解出x ，y 利用整数的整除性质解题.4.125185m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩7.10 含字母系数的一次方程组及其解法练习7.10（1）1.若23xy=⎧⎨=⎩是方程的一个解，那么m= .2.关于x、y的方程组3522718x y ax y a-=⎧⎨+=-⎩的解x、y互为相反数，则a= .3.若2a b-=，12a c-=，则()()3934b c b c---+= .4.若方程组326322x yx y+=⎧⎨-=⎩的解，也是方程420x y a++=的解，则a的值为 .5.若关于x、y的方程组23213243x y kx y k+=+⎧⎨-=+⎩的解满足6x y+=，则k= .6.若关于x、y的方程组2323ax byx y-=⎧⎨-=-⎩和3424y xax by-=⎧⎨+=-⎩有相同的解，求a、b的值.7.甲乙两人同时求7mx ny-=的整数解，甲求出一组解为34xy=⎧⎨=⎩，而乙把7mx ny-=的7错看成1，求出一组解为12xy=⎧⎨=⎩，求m、n的值.8.已知25415x y z++=、7314x y z++=求42x y z++的值. 练习7.10（1）答案1.32- 2. 8 3.2784.196- 5. -56.12ab=⎧⎨=-⎩提示：相同的解即为方程组3423y xx y-=⎧⎨-=-⎩的解11xy=-⎧⎨=⎩，再代入2324ax byax by-=⎧⎨+=-⎩解得12ab=⎧⎨=-⎩.7.52mn=⎧⎨=⎩提示：由已知得34721m nm n-=⎧⎨-=⎩解得52mn=⎧⎨=⎩.8. 9提示：由254157314x y zx y z++=⎧⎨++=⎩，消y得53z x=-再代入得21y x=-，代入424212(53)9 x y z x x x++=+-+-=练习7.10（2）1.若关于x ，y 的方程组362mx y x y n +=⎧⎨-=⎩有无数解，则m= ，n= .2.已知234a b c +-=，5678a b b -+=，925a b c +-= .3.已知a ，b ，c 是非负数，且325a b c ++=，2a b c +-=，2S a b c =+-，那么S 的最大值和最小值的和等于 .4.若关于x ，y 的方程组()214y kx my k x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩有无数组解，则k= ，m= .5.解关于是x 、y 的方程组13631ax y x y ⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩6.已知关于x 、y 的二元一次方程()()12520m x m y m -+-+-=，当m 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解.7.关于x 、y 的方程组5311x y a x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①②的解是正整数，求整数a 的值.8.k 、b 为何值时，关于x 、y 的方程组()312y kx by k x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩有唯一解？无解？有无数解？练习7.10（2）答案1. -6，-2 .2. 24.3. 5.4. 1,4 .5. 当a=-2时，原方程有无数组解。

7.12可化为一次方程组的含绝对值符号的方程组例1 解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+223127213y x y x 解：令a x =+1 ，b y =.则原方程组化为⎪⎩⎪⎨⎧=+=-②①2232723b a b a 由①×3，②×2，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-④③44642169b a b a 由③＋④，得13a =65，a =5把a =5代入①，得b =4. 所以⎪⎩⎪⎨⎧==+451y x 可得，⎩⎨⎧==+451y x ，⎩⎨⎧-==+451y x ，⎩⎨⎧=-=+451y x ，⎩⎨⎧-=-=+451y x 所以原方程组的解是⎩⎨⎧==44y x ，⎩⎨⎧-==44y x ，⎩⎨⎧=-=46y x ，⎩⎨⎧-=-=46y x 例2 解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-321y x y x 解：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-②①321y x y x 由①得：1=-y x 或1-=-y x与②结合得方程组：（I ）⎩⎨⎧=+=-321y x y x ；或（II ）⎩⎨⎧=+-=-321y x y x 解（I ）：把1+=y x 代入32=+y x ，得321=++y y ， 去绝对值符号，解得：32=y 或34-=y 再将y 值代入1+=y x ，解得方程组（I ）的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=3431y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3235y x同理，解得方程组（II ）的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=3235y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3431y x 所以原方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=3431y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3235y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3235y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3431y x 例3 解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧+=+-+=-22x y x y x y x 解：⎪⎩⎪⎨⎧+=+-+=-②①22x y x y x y x 由①得：2+-=+y x y x ， 因为0≥-y x ，所以0>+y x ， 所以y x y x +=+③把③代入②有2+=+x y x ，所以2=y .将2=y 代入①得：x x =-2，所以x x =-2，④或x x -=-2⑤由无解，由⑤解得1=x ，所以原方程组的解为⎩⎨⎧==21y x练习7.121.解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--10123612y x y x2.解方程组：()⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-++141511y x y x3.解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+21y x y x练习7.12答案1.无解。

六年级数学下册第六章《一次方程（组）和一次不等式（组）》教案沪教版五四制第六章一次方程（组）及一次不等式（组）第一课时1、用字母x、y、等表示所要求的未知的数量，这些字母称为未知数。

含有未知数的等式叫做方程。

在方程中，所含的未知数又称为元。

知识点：方程中的项、系数、次数等概念（1）项：在方程中，被“+”、“-”，号隔开的每一部分（包括这部分前面的“十”、“-”号在内）称为一项．（2）未知数的系数：在一项中，写在未知数前面的数字或表示已知数的字母叫做未知数的系数．（3）项的次数：在一项中，所有未知数的指数和称为这一项的次数．（4）常数项：不含未知数的项，称为常数项.为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程。

一个长方形篮球场的周长为86米，长是宽的2倍少2米，这个篮球场的长与宽分别是多少米？用两种方法列式：方程：设这个篮球场的宽为x米，则长为（2x-2）米2（2x-2+x）=86想一想：你能再列一种方程吗？你还能用列式计算吗？根据下列条件列出方程：(1)某数比它的45大516(2)某数比它的2倍小3(3)数a的70%与数b的120%的和是902、如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等看，那么这个未知数的值叫做方程的解注意：(1)方程的解一定能使方程左右两边的值相等(2)方程的解和解方程是两个不同的概念，它们一个是求得的结果，一个是变形的过程，要区别开，方程的解中的“解”是名词，解方程概念中“解”是一个动词判断一个数是否是方程的解（2x+3=9）（x=3）方法：检验：将x=3代入原方程左边=2×3+3=9右边=9∵左边=右边∴x=3是原方程的解3、只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程知识点：（1）概念：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的方程叫一元一次方程。

如：x+7=7−x（2）一元一次方程的最简形式：ax=b（a≠0）（3）一元一次方程的标准形式: ax+b=0(a≠0)（4）注意：理解一元一次方程的概念应把握：（5）是一个方程；（6）只含有一个未知数（7）未知数的次数是1（8）化简后未知数的系数不能为0（9）分母不能含有未知数=4 (4)x2=9； (5)2z=例题.有以下式子：(1)x=0 (2)3+2=5 (3)1x3z (6)3−4x (7)2(z+1)=2 (8)z+2y=0，其中一元一次方程的个数是( )．A.2B.3C.4D.54、等式性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或一个含有字母的式子，说得结果仍是等式。

第七讲一次方程组一、知识概述1.方程组的定义：方程组是由若干个方程组成的集合。

2.方程组的解：方程组的解是满足所有方程的变量值的组合。

3.一次方程组：方程组中所有方程的最高次数都是1的方程组叫做一次方程组。

4.一次方程组的解的个数：一次方程组的解的个数有以下几种情况：①有无穷多个解：当方程组中的方程是相互依赖的时候，方程组会有无穷多个解。

②有唯一解：当方程组中的方程是互相独立的时候，方程组会有唯一解。

③无解：当方程组中的方程出现矛盾的时候，方程组会无解。

二、课堂教学设计1.引入新知识：教师可以通过提问的方式，帮助学生回顾方程和方程解的概念，引出方程组的概念。

例如：方程是什么？方程有解吗？是否可能有多个解？2.讲解一次方程组的概念：通过举例子的方式，讲解一次方程组的概念。

例如：小明有3个苹果和4个梨，小红有2个苹果和5个梨。

请问小明和小红分别有几个苹果和几个梨？3.讲解一次方程组的解的个数：通过解析的方式，讲解一次方程组的解的个数。

例如：一个一次方程组有唯一解的条件是什么？为什么会有无穷多个解？为什么会无解？4.例题讲解：通过具体的例题，让学生熟悉一次方程组的解题思路和方法。

例如：小明有5个苹果和2个橘子，小红有3个苹果和4个橘子，苹果和橘子的总数一共有多少个？5.练习题：布置一些练习题，让学生独立完成。

例如：小明有若干个苹果和橘子，苹果的数量是橘子的3倍，若苹果的数量减去3等于橘子的数量，求苹果和橘子的总数。

6.拓展思考：引导学生思考更复杂的一次方程组问题，培养学生的分析和解决问题的能力。

例如：班级里有男生和女生，男生人数是女生人数的2倍，班级总共有30个学生，男生人数是多少？三、教学重点和难点教学重点：一次方程组的概念、解的个数和解题方法。

教学难点：引导学生理解一次方程组解的个数。

四、教学板书设计一次方程组解的个数：无穷多个解、唯一解、无解解题方法：代入法、消元法五、教具、教材准备教具：黑板、彩笔、教材教材：《小学数学》第六册六、教学过程1.复习导入：复习方程和方程解的概念。

学科：初中中数学教材版本：沪教版学员年级：六年级课时数：3课题一次方程组的应用教学目标 1.利用一次方程组解决一些简单的实际问题2.增强用方程思想来解决实际问题的意识，能合理设元，合理选取有效信息解决问题教学内容实际问题构建方程/不等式方程/不等式解决问题解方程/不等式获得问题的解检验【例题1】若甲数为,x 乙数为,y 则“甲数的3倍比乙数的一半少2”,列成方程是_______________【解析】2321=-x y 【检测1】①已知矩形的周长为20cm,设长为x cm,宽为y cm,则__________________【解析】10=+y x②根据下列语句,设适当的未知数,列出二元一次方程（1）甲数比乙数的3倍少7______________（2）甲数的2倍与乙数的5倍的和是544______________（3）甲数的15%与乙数的23%的差是11______________（4）甲数与乙数的和的2倍比乙数与甲数差的31多0.25______________【解析】【例题2】一次智力竞赛有20题选择题,每答对一道题得5分,答错一道题扣2分,不答题不给分也不扣,小亮答完全部测试题共得65分,那么他答错了道题【解析】解：设答对x 道题，答错了y 道题，根据题意可得：，解得：，故他答错了5道题．故答案为：5．【检测2】(1)两批货物,第一批360吨,用5节火车皮和12辆汽车正好装完;第二批500吨,用7节火车皮和16辆汽车正好装完.每节火车皮和每辆汽车平均各装货物多少吨?【解析】解：（1）设每节火车皮、每辆汽车分别装x 吨、y 吨，则；解得：，答：每节火车皮、每辆汽车分别装60吨、5吨；25.0)(31)(2)4(;11%23%15)3(;54452)2(;7)1(=--+=-=+=-x y y x x y x y x(2)某校课外小组的学生准备外出活动;若每组7人,则余下3人;若每组8人,则有一组只有3人;求这个课外小组分成几组?共有多少人?【解析】（2）设分成x组，共有y人，则．解得：，答：有8组，共有59人．【例题3】岳阳到长沙的公路全长140千米,甲、乙两车同时从岳阳、长沙两地相向开出,0.5h 后到达同一地点,甲车比乙车多行了20千米,求出甲、乙两车的速度【解析】解：设甲、乙两车的速度为x千米/小时，y千米/小时，可得：解得：，答：甲、乙两车的速度为160千米/小时，120千米/小时．【检测3】甲、乙两人相距50千米,若同向而行,乙10小时追上甲;若相向而行,2小时两人相遇.求甲、乙两人每小时各行多少千米?【解析】解：设甲每小时行x千米，乙每小时行y千米，则可列方程组为，解得，答：甲每小时行10千米，乙每小时行15千米．【例题4】小明从家到学校的路程为3.3千米,其中有一段上坡路、平路、和下坡路.如果保持上坡路每小时行3千米.平路每小时行4千米,下坡路每小时行5千米.那么小明从家到学校用一个小时,从学校到家要44分钟,求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米?【解析】解：设去时上坡路是x千米，下坡路是y千米，平路是z千米．依题意得：，解得．答：上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米【检测4】甲、乙、丙三人共解出100道数学题,每人都解出其中的60道题,将其中只有1人解出的题叫做难题,3人都解出的题叫做容易题,试问:难题多还是容易题多?（多的比少的）多几道题?【解析】解：设共有x道题难题，y道容易题，中等难度的题为z道，则由①×2﹣②，得x﹣y=20．答：难题比容易题多20道．【例题5】一家商店进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元,若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可以完成,需付费用3480元,问:(1)甲、乙两组工作一天,商店各应付多少钱?(2)已知甲单独完成需12天,乙单独完成需24天,单独请哪个组，商店所需费用最少?(3)若装修完后,商店每天可赢利200元,你认为如何安排施工更有利于商店?请你帮助商店决策.(可用(1)(2)问的条件及结论）【解析】解：（1）设：甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店付y元．由题意得解得答：甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元．（2）单独请甲组需要的费用：300×12=3600元．单独请乙组需要的费用：24×140=3360元．答：单独请乙组需要的费用少．（3）请两组同时装修，理由：甲单独做，需费用3600元，少赢利200×12=2400元，相当于损失6000元；乙单独做，需费用3360元，少赢利200×24=4800元，相当于损失8160元；甲乙合作，需费用3520元，少赢利200×8=1600元，相当于损失5120元；因为5120＜6000＜8160，所以甲乙合作损失费用最少．答：甲乙合作施工更有利于商店．【检测5】某中学新建了一栋四层的教学楼，每层楼有10间教室，进出这栋教学楼共有4个门，其中两个正门大小相同,两个侧门大小也相同.安全检查中,对4个门进行了测试,当同时开启一个正门和两个侧门时,2分钟内可以通过560名学生;当同时开启一个正门和一个侧门时,4分钟内可以通过800名学生(1)求平均每分钟一个正门和一个侧门各可以通过多少名学生?(2)检查中发现,出现紧急情况时,因学生拥挤,出门的效率将降低20%,安全检查规定:在紧急情况下全楼的学生应在5分钟内通过这4个门安全撤离,假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生,问:该教学楼建造的这4个门是否符合安全规定?请说明理由【解析】解：（1）设一个正门平均每分钟通过x名学生，一个侧门平均每分钟通过y名学生，由题意得解得：答：一个正门平均每分钟通过120名学生，一个侧门平均每分钟通过80名学生；（2）由题意得:共有学生：45×10×4=18001800学生通过的时间为：1800÷[（120+80）×0.8×2]=分钟．∵5＜，∴该教学楼建造的这4个门不符合安全规定．【测试1】为了奖励学习小组的同学,黄老师花92元钱购买了钢笔和笔记本两种奖品.已知钢笔和笔记本的单价各为18元和8元,则买了笔记本本【解析】解：设买了笔记本x本，买了钢笔y支，则8x+18y=92，所以4x+9y=46（1）y=1时，x=，不符合题意；（2）y=2时，x=7，符合题意；（3）y=3时，x=，不符合题意；（4）y=4时，x=2.5，不符合题意；（5）y=5时，x=0.25，不符合题意；所以原方程组的解是．答：买了笔记本7本．故答案为：7．【测试2】某商场按定价销售某种电器时,每台可获利48元,按定价的九折销售该电器6台与将定价降低30元销售该电器9台所获得的利润相等.求该电器每台的进价、定价各是多少元?【解析】解：设该电器每台的进价为x元，定价为y元，由题意得，解得：．答：该电器每台的进价是162元，定价是210元．【测试3】甲、乙两人在一环形场地上从点A同时同向匀速跑步,甲的速度是乙的速度的2.5倍,4min后两人首次相遇,此时乙还需要跑300m跑完第一圈,求甲、乙两人的速度及环形场地的周长【解析】解:设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，由题意得，即，解得：，故2.5x=375（米/分），答：甲、乙两人的速度分别为：375米/分，150米/分及环形场地的周长为900m．【测试4】将若干只鸡放人若干笼中,若每个笼中放4只.则有一鸡无笼可放;若每个笼里放5只.则有一笼无鸡可放问有多少只鸡，多少个笼？【解析】解：设笼的总数为x，鸡的总数为y只，根据题意可得：则，解得：，答：笼的总数为6个，鸡的总数为25只．【测试5】一方有难八方支援,某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区,现有甲、乙、丙三种车型供选择,每辆车的运载能力和运费如下表所示:（假设每辆车均满载）(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送,需运费8200元,问分别需甲、乙两种车型各几辆?(2)为了节约运费,该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送,已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？(3)求出那种方案的运费最省？最省是多少元．【解析】解：（1）设需甲车型x 辆，乙车型y 辆，得：解得答：需甲车型8辆，需车型10辆；（2）设需甲车型x 辆，乙车型y 辆，丙车型z 辆，得：消去z 得5x+2y=40，x=，因x，y 是非负整数，且不大于16，得y=0，5，10，15，由z 是非负整数，解得，，，有三种运送方案：①甲车型8辆，丙车型8辆；②甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；③甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；（3）三种方案的运费分别是：①400×8+600×8=8000；②400×6+500×5+600×5=7900；③400×4+500×10+600×2=7800．答：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆，最少运费是7800元．车型甲乙丙汽车运载量（吨/辆）5810汽车运费（元/辆）400500600。

七年级数学一次方程组的应用课后习题解答与提示一 人教义务代数5．5 一次方程组的应用【练习】（课本第35页）1．解：设1角的硬币为x 枚，5角的硬币为y 枚，则⎩⎨⎧=+=+53521y x y x 解这个方程组，得⎩⎨⎧==813x x 答：略2．解：设甲种票买了x X ，乙种票买了y X ，则⎩⎨⎧=+=+2506835y x y x 解这个方程组，得⎩⎨⎧==1520y x答：略3．解：设大盒装x 瓶，小盒装y 瓶，则⎩⎨⎧=+=+763210843y x y x 解这个方程组，得⎩⎨⎧==1220y x答：略4．解：设每节火车皮装x t ，每辆汽车装y t ，则⎩⎨⎧=+=+440108360156y x y x 解这个方程组，得⎩⎨⎧==450y x答：略【练习】（课本第37页）1．解：设甲、乙两车速度为x km/h 、y km/h ．整理③＋④：2x ＝137.5 x 代入③y∴⎩⎨⎧==3169y x答：略2．解：设A 地与桥相距s km ，时间为t ．510=t 21=t 解这个方程组得⎪⎩⎪⎨⎧==2821s t答：略3．解：设甲、乙两个仓库原来各存粮x t 、y t ．整理②③＋④：5y ＝1050y ＝210 代入①得 x ＝240 答：略【练习】（课本第38页）1．解：设这个队在这一赛季中胜、平、负各x 、y 、z 场①＋②：x ＋2y ＝33 ④ ④×3：3x ＋6y ＝99 ⑤ ⑤-③：5y ＝65 y ＝13 代入②，④z ＝6，x ＝7∴⎪⎩⎪⎨⎧===6137z y x 答：略2．解：设这三个数为x 、y 、z ．①＋②：3x ＋z ＝40 ④整理③z y 23=⑤ 代入①3523=++z z x3525=+z x ⑥⑥×3：1052153=+z x ⑦⑦-④：65213=z z ＝10代入⑤，⑥y ＝15，x ＝10∴⎪⎩⎪⎨⎧===101510z y x 答：略【习题5．5】（课本第39页） A 组1．解：设到甲、乙两地参加旅游的人数各为x 、y ．①＋②：3y ＝210 y ＝70 代入①x ＝130∴⎩⎨⎧==70130y x答：略2．解：设篮、排球各有x 、y 队参赛．①×10-②：-2y ＝-40 y ＝20 代入①x ＝28 ∴⎩⎨⎧==2028y x答：略3．解：设长、宽各为x 、y cm ．①＋②：3x ＝114 x ＝38 代入②y ＝16 ∴⎩⎨⎧==1638y x 答：略4．解：设轮船在静水中的速度与水速为x km/h 、y km/h ．解得⎩⎨⎧==218y x答：略5．解：设用x X 制盒身，y X 制盒底．整理，得⎩⎨⎧==6486y x6．解：设经过x 个月．200＋20x ＝140＋35x 60＝15xx ＝4 这时两人存款数均为200＋20×4＝280（元）． 7．解：设甲、乙两个人的速度分别为x 、y km/h ．整理 x ＋y ＝10③x y 911=代入③10920=x 29=x 代入③211=y∴答：略8．解：设第二天的平均速度是x km/h ，则第一天行军的平均速度是（x ＋1.5）km/h ． 5x ＋4（x ＋1.5）＝78 9x ＝72 x ＝8x 答：略9．解：设步行需x h ，车行y h ．由①y ＝1-x 代入②4x ＋36-36x ＝28 32x ＝8 41=x 代入①43=y ∴答：略10．解：设去年的收入与支出各为x 、y 元．由①x ＝5000＋y代入② 115％·（5000＋y ）-90％y ＝9500 25％y ＝3750 y ＝15000 代入①x ＝20000∴⎩⎨⎧==500020000y x答：略11．解：设一、二班的人数各为x 、y ．由①y ＝95-x 代入②40％x ＋78％（95-x ）＝95×60％18％×95＝38％xx ＝45 代入①y ＝50 ∴⎩⎨⎧==5045y x答：略12．解：设食堂存煤x kg ，预计用y 天．①-②10y ＝120 y ＝12 代入①x ＝1500 ∴⎩⎨⎧==121500y x答：略13．解：设共有火车车厢x 节，这批货物共有y t ．①＋②：4x ＝44 x ＝11 代入①y ＝34×11＋18＝392 ∴⎩⎨⎧==39211y x14．解：设每组各植树x 、y 、z 株．③代入①2x ＝50 x ＝25 由②x ＋z ＝4y ④代入① 5y ＝50 y ＝10 代入①z ＝15∴⎪⎩⎪⎨⎧===151025z y x 答：略15．解：设三个年级各有x 、y 、z 人．⎪⎩⎪⎨⎧+=+==++⋅y y x z z y z y x 0000510651 解得：⎪⎩⎪⎨⎧===200220231z y x 16．解：⎩⎨⎧=+=332b k b 解得：17．解②-①：2v ＝80 v ＝40 代入①600=s 当t 时，×40＝120 B 组1．解：设原三位数为100x ＋10y ＋z ．x -z ＝5 ④ 把② 代入④：2y -z ＝5 ⑤ ①-⑤y -2y ＝-3 ∴y ＝3 代入②、①∴x ＝6 z ＝1 即：原三位数为631． 答：略2．解：设每辆大车一次可以运货x t ，每辆小车一次可以运货y t ，则⎩⎨⎧=+=+35655.1532y x y x ∴⎩⎨⎧==5.24y x∴3辆大车一次运货3×4＝12t ， 5辆小车一次运货5× 2.5＝． 答：略 3．甲每分钟跑31圈，乙每分钟跑61圈． 解：设甲每分时间跑x 圈，乙每分时间跑y 圈，则⎩⎨⎧=-=+1)(61)(2y x y x 解这个方程组，得：答：略4．解：设从甲地到乙地上坡、平路、下坡的路程各是x km ，y km ，z km ．解得：⎪⎩⎪⎨⎧===5.16.02.1z y x答：略5．解：解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==3116c b a答：略【想一想】（课本第42页）解：设原长方形的长与宽为x 、y cm ．整理②：4y -2x ＝-8x -2y ＝4 ③ 整理①：x -y ＝6 ④ ④-③：y ＝2 代入④x ＝8∴⎩⎨⎧==28y x答：略【复习题五】（课本第46页） A 组 1．（1）解：①×2＋②：6x ＝7 67=x 代入①617467-=-=y ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==61767y x（2）解：由①-②：5x -y ＝9y -x 6x ＝10y y x 35=③ 代入①110355=-⨯y y 110322=y y ＝15 代入③x ＝25∴⎩⎨⎧==1525y x（3）解：①×2＋②：x ＝5.4 x ＝2 代入②4.2＋y ＝7.2 y ＝3∴⎩⎨⎧==32y x （4）解：整理③代入④463225=-y yy ＝46 1992=y代入③19230199225=⨯=x∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==199219230y x2．（1）解：①＋②：9x ＝1.8 x代入① 0.6＋4y ＝-3.4 y ＝-1 ∴⎩⎨⎧-==12.0y x（2）解：①×2＋②：9x ＝4 94=x代入①53947=-⨯y 9173-=y 2717-=y ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==271794y x（3）解：①×2＋②：15x ＝6x 代入①-2y ＝5.6 y ＝-2∴⎩⎨⎧-==24.0y x（4）解：整理 3x ＋2y ＝12③ 2x ＋3y ＝28④ ③×2-④×3：-5y ＝-60y ＝12代入①242=+xx ＝-4∴⎩⎨⎧=-=124y x。

一次方程组的应用是初中数学六年级下学期第 2 章第 4 节的内容，主要观察方程的思想方法．以前学习一元一次方程的应用，只要设一个未知数，列方程解应用题，而方程组的应用需要考虑设几个未知数来解决问题．列方程组解应用题时要灵巧选择未知数的个数．关于含有两个未知数的应用题一般采纳列二元一次方程组求解；关于含有三个未知数的应用题一般采纳列三元一次方程组求解．本讲的要点是掌握利用方程组的思想解决有关的实质问题，有益于培育学生利用数学知识解决实质问题的能力．1、列方程组解应用题的一般步骤（ 1）审题：剖析题中的条件，什么是所求的，什么是已知的，并认识已知量和所求量之间的数目关系；（2）设未知数（元）；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）查验并作答．【例 1】笔录本每本 3 元，钢笔每支 4 元，共 15 件用去 50 元，设买笔录本x 本，钢笔y 支，可列出方程组：____________________________ ．【难度】★【答案】．【分析】笔录本和钢笔一共15 件，则，笔录本用去元，钢笔用去元，依据题意，列出方程组为．【总结】观察剖析题意后列二元一次方程组解应用题．【例 2】已知某年级共有学生568 人，此中男生人数比女生人数的 2 倍少 5 人．设男生人数为 x，女生人数为 y，依据题意，可列出方程组为 ____________________ ．【难度】★【答案】．【分析】男生和女生一共568 人，则，男生人数比女生人数的 2 倍少 5 人，则，依据题意列出方程组为．【总结】观察剖析题意后列二元一次方程组解应用题．【例 3】某班同学参加运土活动，女同学抬土，每两人抬一筐；男同学挑土，每人挑两筐．全班同学共用箩筐 59 只，扁担 36 根．设该班女同学有 x 人，男同学 y 人，依据题意，可列出方程组（）A．B．C．D．【难度】★【答案】【分析】女同学抬土，每两人抬一筐，用筐，用扁担，男同学挑土，每人挑两筐，用筐，用扁担，依据题意，列车方程组为，应选【总结】观察剖析题意后列二元一次方程组解应用题．【例 4】汽车从甲地到乙地，如每小时行驶40 千米，则要迟到 3 小时，每小时行驶50 千米，则可早到 2 小时，设甲、乙两地距离x 千米，原规准时间为y 小时，可列出方程组：_______________________ ．【难度】★★【答案】．【分析】依据，列出方程组，注意迟到与早到和规准时间的关系加减．【总结】观察列二元一次方程组解决行程问题类应用题．【例 5】六年级学生搭车去观光，假如每辆车坐45 人，则 15 人没有座位；假如每辆车坐60人，则恰巧空出一辆汽车，问有几辆车？共有多少学生？【难度】★★【答案】一共有 5 辆车，共 240 名学生．【分析】解：设共有辆车，共出名学生，依据题意列方程组得：，整理得：，解得：．答：一共有 5 辆车，共 240 名学生．【总结】观察列二元一次方程组解应用题．【例 6】某车间51 名工人要达成一个轿车部件订单，每个工人每日能加工甲种部件16 个，或加工乙种部件21 个，而一辆轿车需要 5 个甲种部件和 3 个乙种部件才能够配套，为了每日能配套生产应怎样安排工人？【难度】★★【答案】安排人加工甲种部件，安排人加工乙种部件．【分析】解：设安排人加工甲种部件，安排人加工乙种部件，依据题意列方程组得：，整理得：，解得：．答：安排人加工甲种部件，安排人加工乙种部件．【总结】观察列二元一次方程组解应用题．【例 7】六年级（ 1）班、（ 2）班各有 44 人，两个班都有一些同学参加课外天文小组，（1）班参加天文小组的人数恰巧是（2）班没有参加天文小组的人数的三分之一，（2）班参加天文小组的人数恰巧是（ 1）班没有参加天文小组的人数的四分之一．问六年级（1）班、（ 2）班没有参加天文小组各有多少人？【难度】★★【答案】六年级（1）班有人没有参加天文小组，（2）班有人没有参加天文小组．【分析】解：设六年级（1）班有人没有参加天文小组，（2）班有人没有参加天文小组，依据题意列方程组得：，整理解得：．答：六年级（1）班有人没有参加天文小组，（2）班有人没有参加天文小组．【总结】观察列二元一次方程组解应用题，注意巧设未知数．【例 8】山上牧童赶着一群羊，山下牧童也赶着一群羊，山下牧童对山上牧童说：“假如你4 的羊跑下来 4 只，那么我们两个人的羊恰巧相等．”山上牧童说：“假如你的羊跑上来只，那么我的羊恰巧是你的羊的 3 倍．”他们究竟各赶多少只羊？【难度】★★【答案】山上牧童赶羊只，山下牧童赶羊只．【分析】解：设山上牧童赶羊只，山下牧童赶羊只，依据题意列方程组得：，解得：．答：山上牧童赶羊只，山下牧童赶羊只．【总结】观察列二元一次方程组解应用题．【例 9】把 48 升水注入两个容器，可灌满第一个容器和第二个容器的三分之一，或许可灌满第一个容器和第二个容器各二分之一，求每个容器的容量．【难度】★★【答案】第一个容器升，第二个容器升．【分析】解：设第一个容器升，第二个容器升，依据题意列方程组得：，解得：．答：第一个容器升，第二个容器升．【总结】观察列二元一次方程组解应用题，注意对题意的理解，列出适合的方程．【例 10】甲对乙说：“当我的年纪是你此刻的年纪时，你才 4 岁．” 乙对甲说：“当我的年纪是你的年纪时，你将61 岁．”那么甲与乙此刻的年纪分别是多少岁？【难度】★★【答案】甲此刻的年纪是岁，乙此刻的年纪是岁．【分析】解：设甲此刻的年纪是岁，乙此刻的年纪是岁，依据题意得：，解得：答：甲此刻的年纪是岁，乙此刻的年纪是岁．【总结】观察列二元一次方程组解应用题，注意两人的年纪差是不变的．【例 11】某船顺流下行36 千米用 3 小时，逆流上行24 千米用 3 小时，求水流速度和船在静水中的速度．【难度】★★【答案】水流速度为千米/时，船在静水中的速度为千米/ 时．【分析】解：设水流速度为千米/ 时，船在静水中的速度为千米/时，依据题意列方程组得：，解得：答：水流速度为千米/时，船在静水中的速度为千米/时．【总结】观察行船问题列二元一次方程组解应用题，依据．【例 12】用长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成以下图的竖式和横式的两种无盖纸盒，此刻库房里有1000 张正方形纸板和2000 张长方形纸板，问两种纸盒各做多少只，恰巧使库存的纸板用完？【难度】★★【答案】竖式无盖纸盒做只，横式无盖纸盒只．【分析】解：设竖式无盖纸盒做只，横式无盖纸盒只，依据题意列方程组得：，解得：．答：竖式无盖纸盒做只，横式无盖纸盒只．【总结】观察列二元一次方程组解应用题，注意对两种纸盒正确划分．【例 13】一个工人需在规准时间内达成加工一批部件的任务，假如他每小时做10 个部件，便可超出任务 3 个，假如每小时做11 个部件，便可提早 1 小时达成，他加工的部件使多少个？规准时间是多少小时？【难度】★★【答案】加工部件个，规准时间为小时．【分析】解：设加工部件个，规准时间为小时，依据题意得：，解得：答：加工部件个，规准时间为小时．【总结】观察列二元一次方程组解应用题，注意找到题目中的等量关系．【例 14】一批部件190 个，如甲先做 2 天，而后乙加入合作 3 天正好达成；假如乙先做3 天，而后甲加入合作 2 天也正好达成．问甲、乙两人每日各能做多少个部件？【难度】★★【答案】甲每日做个部件，乙每日做个部件【分析】解：设甲每日做个部件，乙每日做个部件依据题意得：，解得：答：甲每日做个部件，乙每日做个部件．【总结】观察列二元一次方程组解应用题．【例 15】小红家昨年结余5000 元，估计今年可结余9500 元，而且今年收入比昨年收入高15%，支出比昨年低10%，求昨年的收入和支出各是多少元？【难度】★★【答案】昨年收入元，昨年支出元．【分析】解：设昨年收入元，昨年支出元，依据题意得：，解得：答：昨年收入元，昨年支出元．【总结】观察列二元一次方程组解应用题．要点是从实质问题中整理出两个等量关系．【例 16】电信局现有600 部已申请电话待装，别的每日还有新申请电话待装，设每日新申请的电话数同样．假如安排 3 个装机小组，60 天恰巧装完，假如安排 5 个装机小组，20天恰巧装完；问每日新申请电话多少部？每个装机小组每日安装多少部电话？【难度】★★【答案】每日新申请电话部，每个装机小组每日安装部电话【分析】解：设每日新申请电话部，每个装机小组每日安装部电话，依据题意得：，解得：，答：每日新申请电话部，每个装机小组每日安装部电话．【总结】观察列二元一次方程组解应用题，注意找到题目中的等量关系．【例 17】甲、乙两人从相距36 千米的两地相向而行．假如甲比乙先走 2 小时，那么他们在乙出发后 2.5 小时相遇；假如乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发后 3 小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？【难度】★★★【答案】甲每小时走千米，乙每小时走千米．【分析】解：设甲每小时走千米，乙每小时走千米，依据题意得：，解得：，答：甲每小时走千米，乙每小时走千米．【总结】观察列二元一次方程组解行程问题的应用题，注意两人行走的时间是不相等的．【例 18】甲、乙两人相距28 千米，若同时同向而行，则甲在14 小时后追上乙；若相向而行，乙先出发 2 小时，则在甲出发 2 小时 45 分后相遇，求甲、乙两人的速度．【难度】★★★【答案】甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时．【分析】解：设甲的速度为千米/ 时，乙的速度为千米/时依据题意得：，解得：答：甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时．【总结】观察列二元一次方程组解行程问题的应用题，同向是追及问题，相向是相遇问题．【例 19】两个两位数的和是68，在较大的两位数右侧接着写上较小的两位数，获得一个四位数，近似的，在较大的两位数左侧写上较小的两位数，获得的四位数比前一个四位数少 2178 ，求这两个两位数．【难度】★★★【答案】较小的两位数为，较大的两位数为．【分析】解：设较小的两位数为，较大的两位数为，依据题意得：，解得：答：较小的两位数为，较大的两位数为．【总结】观察列二元一次方程组解数字类应用题，注意数的表示．【例 20】一商贩第一天卖出鲫鱼30 千克、草鱼50 千克，共赢利310 元；次日卖出鲫鱼25 千克、草鱼45 千克，共赢利267 元．照这样计算，若该商贩某一个月中卖出鲫鱼700 千克、草鱼1200 千克，请你帮他算算这个月他能赢利多少元？【难度】★★★【答案】这个月他能赢利元．【分析】解：设鲫鱼每千克赢利元，草鱼每千克赢利元，依据题意得：，解得：，则（元）答：这个月他能赢利元．【总结】观察列二元一次方程组解应用题，注意先算出每千鲫鱼和每千克草鱼的赢利．【例 21】已知某电脑企业有 A 型、B 型、C 型三种型号的电脑，其价钱分别为 A 型每台6000元， B 型每台 4000 元， C 型每台企业购进此中两种不一样型号的电脑共2500 元．某中学计划将100500 元所有用于从该电脑36 台，请你设计出几种不一样的购置方案供该校选择，并说明原因．【难度】★★★【答案】有两种方案可供选择，第一种方案是购进型电脑台和型电脑台；第二种方案是购进型电脑台和型电脑台【分析】解：设从该电脑企业购进型电脑台，购进型电脑台，购进型电脑台，则能够分为三种状况考虑：（1）只购进型电脑和型电脑，依据题意得：，解得：，不合题意，应舍去；（2）只购进型电脑和型电脑，依据题意得：，解得：，（3）只购进型电脑和型电脑，依据题意得：，解得：，答：有两种方案可供选择，第一种方案是购进型电脑台和型电脑台；第二种方案是购进型电脑台和型电脑台．【总结】观察列二元一次方程组解应用题，注意要充分考虑三种状况及题中的整数性．【例 22】从甲地到乙地，先下山而后走平路．某人骑自行车从甲地以每小时12 千米的速度下山，再以每小时9 千米的速度经过平路，到乙地共用去 1 小时．他回来时以每小时 8 千米的速度上山，经过平路的速度不变，回到甲地共用去 1 小时 15 分钟，问甲乙两地距离多远？【难度】★★★【答案】甲、乙两地距离千米．【分析】解：设坡路的行程是千米，平路的行程是千米，依据题意得：，解得：，则甲、乙的距离为（千米）答：甲、乙两地距离千米．【总结】观察列二元一次方程组解应用题，本题综合性较强，注意去时是下坡路则回来时变为上坡路．列方程组解应用题的一般步骤（1）审题：剖析题中的条件，什么是所求的，什么是已知的，并认识已知量和所求量之间的数目关系；（2）设未知数（元）；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）查验并作答．【例 23】一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位数上的数字，百位上的数字的7 倍比个位、十位上的数字的和大2，个位、十位、百位上的数字的和是14，求这个三个数．【难度】★★【答案】这个三位数为．【分析】解：设个位数字为，十位数字为，百位数字为依据题意得：，解得：，答：这个三位数为．【总结】观察列三元一次方程组解数字类应用题．【例 24】小明有 12 张面额分别为 1 元， 5 元， 10 元的纸币，合计38 元，此中数目是 5 元元纸币数目的 4 倍，求 1 元， 5 元， 10 元纸币各多少张？【难度】★★1 元纸币的【答案】元纸币有张，元纸币有张，元纸币有张．【分析】解：设元纸币有张，元纸币有张，元纸币有张依据题意得：，解得：，答：元纸币有张，元纸币有张，元纸币有张．【总结】观察列三元一次方程组解应用题．【例 25】某人某天能加工甲种部件 12 个或乙种部件 10 三种部件分别取 3 个、2 个、 1 个能配成一套．要在个或丙种部件20 个，而甲、乙、丙10 天内加工最多的成套产品，甲、乙、丙三种产品各应加工几日？【难度】★★【答案】甲应加工天，乙应加工天，丙应加工天．【分析】解：设甲应加工天，乙应加工天，丙应加工天，依据题意得：，解得：，答：甲应加工天，乙应加工天，丙应加工天．【总结】观察列三元一次方程组解应用题．【例 26】某单位员工在植树节去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50 株，乙组植树的株树是甲、丙两组和的四分之一，甲组植树的株树正是乙组和丙组的和，问甲、乙、丙三个小组分别植树多少株？【难度】★★【答案】甲组植树株，乙组植树株，丙组植树株【分析】解：设甲组植树株，乙组植树株，丙组植树株依据题意得：，解得：，答：甲组植树株，乙组植树株，丙组植树株．【总结】观察列三元一次方程组解应用题，注意找到相应的等量关系．【例 27】某足球队共参加了11 场竞赛，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得0 分，该队所负场次是所胜场次的一半，结果共得20 分．求该队胜、平、负各几场．【难度】★★【答案】该队胜场，平场，负场．【分析】解：设该队胜场，平场，负场依据题意得：，解得：，答：该队胜场，平场，负场．【总结】观察列三元一次方程组解应用题，注意仔细剖析，从不一样的角度找到等量关系．【例 28】某同学有 1 元、 5 角、 1 角硬币共23 枚，合计 10.10 元，问三种硬币各有多少枚？【难度】★★★【答案】元硬币有枚，角硬币有枚，角硬币有枚【分析】解：设元硬币有枚，角硬币有枚，角硬币有枚依据题意得：，则得：依据实质意义可知、、均为非负整数，则当时，，不符题意，应舍去；当时，，答：元硬币有枚，角硬币有枚，角硬币有枚．【总结】观察将三元一次方程组应用到实质生活问题的能力，未知数的取值要考虑非负整数．【例 29】汽车在平路上每小时行 30 公里，上坡路每小时行28 公里，下坡路每小时行35 公里，此刻去某地有 142 公里的行程，去的时候用 4 小时 30 分钟，回来时用 4 小时 42 分钟．那么这段路的平路、去的时候的上坡路与下坡路各有多少公里？【难度】★★★【答案】这段路平路有公里，去的时候上坡有公里，去的时候下坡有公里【分析】解：设这段路平路有公里，去的时候上坡有公里，去的时候下坡有公里依据题意得：，解得：，答：这段路平路有公里，去的时候上坡有公里，去的时候下坡有公里．【总结】观察三元一次方程组在实质问题中的应用，注意去时上坡，回来时下坡，平路不变．【习题 1】甲、乙两人在植树节那一天共植树30 棵，甲的植树数是乙的 1.5 倍．若设甲、乙各值 x 棵， y 棵，则可列方程组为 ________________________ ．【难度】★【答案】．【分析】由题意可知，甲、乙共植树30 棵，则，甲的植树数是乙的 1.5 倍，则，依据题意可得：．【总结】观察列一元二次方程组解应用题．【习题 2】一个两位数，个位数字比十位数字的所得的两位数比原数大45，设个位数字是2 倍大 2，假如把个位数字与十位数字对换，x，十位数字是 y，可列出方程组______________________ ．【难度】★★【答案】．【分析】解：由个位数字比十位数字的 2 倍大 2 可得：，原数可表示，对换后可表示，由题意可得：【总结】观察列一元二次方程组解应用题，以及两位数怎样用数字表示．【习题 3】 22 名工人按定额达成了1400 件产品，此中高级工每人定额200 件，初级工每人定额 50 件，若这22 名工人中只有高级工和初级工，问初级工与高级工各有多少名？【难度】★★【答案】初级工出名，高级工出名．【分析】解：设初级工出名，高级工出名，依据题意得：，解得：，答：初级工出名，高级工出名．【总结】观察列二元一次方程组解应用题．【习题 4】为改良某河的四周环境，政府决定，将该河上游的一部分牧场改为林场．改变后，估计林场和牧场共有162 公顷，牧场面积是林场面积的20%．请你算一算，达成后林场和牧场的面积各有多少公顷？【难度】★★【答案】达成后林场面积为公顷，牧场的面积为公顷．【分析】解：设达成后林场面积为公顷，牧场的面积为公顷，依据题意得：，解得：．答：达成后林场面积为公顷，牧场的面积为公顷．【总结】观察列二元一次方程组解应用题．【习题 5】已知三个数中，第二个数与第一个数之差和第三个数与第二个数之差相等，三个数的和是87，且后两数和的 2 倍比第一个数的7 倍多 3，求这三个数．【难度】★★【答案】这个三个数为、、．【分析】解：设第一个数为，第二个数为，第三个数为依据题意得：，解得：，答：这个三个数为、、．【总结】观察列三元一次方程组解应用题．【习题 6】某厂生产一批部件，假如技术工人达成任务的后，由徒工接着达成其他的部分后，共需 6 小时 40 分钟，假如技术工人达成任务的后，由徒工接着达成其他的部分后，共需小时，问他们独自做各需多少时间达成所有任务？【难度】★★【答案】技术工人独自达成需分钟，徒工独自达成需分钟【分析】解：设技术工人独自达成需分钟，徒工独自达成需分钟，依据题意得：，解得：答：技术工人独自达成需分钟，徒工独自达成需分钟．【习题 7】用锌、铝、锡制成甲、乙、丙三种合金，其重量之比在甲中为 1 : 3 : 2 ，在乙中为 2 : 1 : 1 ，在丙中为 1 : 2 : 5，三种合金共用锌 5.5 千克，铝8 千克，锡9.5 千克，求甲、乙、丙三种合金各自的重量．【难度】★★★【答案】甲重千克，乙重千克，丙重千克【分析】解：甲重千克，乙重千克，丙重千克依据题意得：，解得：，答：甲重千克，乙重千克，丙重千克．【总结】观察列三元一次方程组解应用题，注意列等量关系式时考虑到按比率进行分派．【习题 8】某个三位数除以它各数位上的数字的和的9 倍，获得的商为3，已知百位上的数字与个位上的数字的和比十位上的数字大1．假如把数位上的数字颠倒，则所得的新数比原数大99，求这个三位数．【难度】★★★【答案】这个三位数为．【分析】解：设这个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为依据题意得：，解得：，答：这个三位数为．【总结】观察列三元一次方程组解应用题，注意对数字的正确表示．【习题 9】江堤边一凹地发生了管涌，江水不停涌出，假设每分钟涌出的水量相等．假如用两台抽水机抽水，40 分钟内可抽完；假如用 4 台抽水机抽水，16 分钟可抽完．假如要在 10 分钟内抽完水，那么起码需要多少台抽水机？【难度】★★★【答案】需要台抽水机．【分析】解：每分钟涌水升，一台抽水机一分钟能够抽水升，本来的水量有升，依据题意得：，两式相减再化简得：，代入第一个方程得：，若要 10 分钟抽完，则有，将，代入得：，解得：答：需要台抽水机．【总结】观察列二元一次方程组解应用题，但未知量太多，需要设一个协助未知数，计算中经过化简就能够消去，进而获得答案．【作业 1】甲、乙两班有88 名学生，如从乙班调倍，设甲班 x 人，乙班 y 人，可列出方程组：25 人到甲班，则甲班人数是乙班人数的_______________________ ．3【难度】★【答案】【分析】解：甲、乙两班出名学生，则，乙班调出人后，乙班有人，甲班则有人，依据题意得：．【总结】观察列二元一次方程组解应用题．【作业 2】某车间有90 名工人，每人每日均匀能生产螺栓15 个或螺帽24 个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应怎样分派工人材能使螺栓和螺帽恰巧配套？【难度】★★【答案】生产螺栓人，生产螺帽人．【分析】解：设生产螺栓人，生产螺帽人，依据题意得：，解得：，答：生产螺栓人，生产螺帽人．【总结】观察列二元一次方程组解应用题．5 只小狗、6 【作业 3】小兰在玩具厂劳动，做 4 只小狗、7 辆小汽车用去 3 小时 42 分，做辆小汽车用去 3 小时 37 分钟．均匀做 1 只小狗与 1 辆小汽车各用多少时间？【难度】★★【答案】均匀做 1 只小狗用分钟，均匀做 1 辆小汽车用分钟．【分析】解：设均匀做 1 只小狗用分钟，均匀做 1 辆小汽车用分钟，依据题意得：，解得：，答：均匀做 1 只小狗用分钟，均匀做 1 辆小汽车用分钟．【总结】观察列二元一次方程组解应用题，注意时间的单位化成分，会使计算简单．【作业 4】有甲乙两桶水，若将甲桶中的水倒 2 千克到乙桶中，则甲桶中的水是乙桶中的 3倍；若将乙桶中的水倒入 1 千克到甲桶中，则甲桶中的水比乙桶中的水多8 倍．问甲乙两桶中各有水多少千克？【难度】★★【答案】甲桶有水千克，乙桶原有水千克．【分析】解：设甲桶有水千克，乙桶原有水千克依据题意得：，解得：，答：甲桶有水千克，乙桶原有水千克．【总结】观察列二元一次方程组解应用题．注意“多8 倍”其实是9 倍．【作业 5】一批货物运往某地，货主准备租用汽车运输企业的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车状况以下表：第一次第二次甲种货车辆数（单位：辆） 2 5乙种货车辆数（单位：辆） 3 6累计运货吨数（单位：吨）15.5 35 现租用该企业 3 辆甲种货车及 5 辆乙种货车一次恰巧运完这批货物，假如按每吨付运费30元计算，问：货主对付运费多少元？【难度】★★【答案】货主对付运费元．【分析】解：设甲种货车每辆每次运货吨，乙种货车每辆每次运货吨，依据题意得：，解得：，（元）答：货主对付运费元．【总结】观察列二元一次方程组解应用题，本题中要先算出两种货车每次的运货量．【作业 6】某车间有工人30 人，生产甲、乙、丙三种部件，每人每小时能生产部件甲30 个，或部件乙 25 个，或部件丙 20 个，现用部件甲 3 个、乙 5 个、丙 4 个装置成某种机件，怎样安排劳动力，才能使每小时生产的部件恰巧配套？【难度】★★【答案】生产甲部件的个工人，生产乙部件的个工人，生产丙部件的个工人【分析】解：设生产甲部件的个工人，生产乙部件的个工人，生产丙部件的个工人依据题意得：，解得：，答：安排生产甲部件的个工人，生产乙部件的个工人，生产丙部件的个工人，才能使每小时生产的部件恰巧配套．【总结】观察列三元一次方程组解应用题，注意按比率分派．。

一次方程组是初中数学六年级下学期第2章第4节的内容．本讲主要讲解二元一次方程的概念，二元一次方程组和三元一次方程组的概念及其解法，同学们需要多多练习，做到能够灵活快速地解方程组．1、二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程．2、二元一次方程的解使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．3、二元一次方程的解集二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解的全体叫做这个二元一次方程的解集．【例1】下列方程中，哪些不是二元一次方程？并说明理由．（1）53x x+=；（2）239x y-=；（3）2x m+=；（4）413yx+=；（5）20xy+=；（6）321xy+=；（7）221x x+=-；（8）24x y z++=．【难度】★【答案】（1）、（5）、（6）、（7）、（8）不是二元一次方程．【解析】根据二元一次方程的概念，含有两个未知数的一次方程是二元一次方程，（1）只有一次方程组内容分析知识结构模块一：二元一次方程知识精讲例题解析一个未知数，是一元一次方程；（5）中xy 是二次，是二元二次方程；（6）是分式方程， 不是整式方程；（7）是一元二次方程；（8）是三元一次方程， 即（1）、（5）、（6）、（7）、（8）不是．【总结】考查二元一次方程的判断，注意把握定义中的关键点．【例2】 若方程324235a b x y -+-=是关于x 、y 的二元一次方程，则a =______，b = ______． 【难度】★【答案】4，32-．【解析】方程为二元一次方程，可知未知数次数都为1，则有31241a b -=⎧⎨+=⎩，解得：432a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩．【总结】考查二元一次方程的定义，未知项次数都为1．【例3】 以下各组数，______________（填序号）是方程34x y -=的解． （1）11x y =⎧⎨=⎩；（2）22x y =⎧⎨=⎩；（3）17x y =-⎧⎨=-⎩；（4）35x y =⎧⎨=-⎩．【难度】★【答案】（2）、（3）．【解析】代入（2）、（3）使得方程左右两边相等，是方程的解；（1）、（4）代入使得方程左 右两边不相等，即不是方程的解．【总结】考查二元一次方程的解，代入使得方程左右两边相等即可．【例4】 已知x = 3，y = 5是关于x 、y 的方程31x ky -=一个解，求k 的值． 【难度】★★【答案】85．【解析】x = 3，y = 5是方程的一个解，代入满足方程，则有3351k ⨯-=，解得85k =．【总结】考查二元一次方程解的应用，代入使得两边相等．【例5】 已知二元一次方程534x y -=-．（1）用含x 的代数式表示y ，y =______； （2）用含y 的代数式表示x ，x =______；（3）当1x =时，y =______；当1x =-时，y =______； （4）当2y =-时，x =______；当0y =时，x =______．【难度】★★【答案】（1）5433x +；（2）3455y -；（3）3，13-；（4）2-，45-．【解析】（1）移项得：345y x -=--，系数化1，得：5433y x =+；（2）移项得：534x y =-，系数化1，得：3455x y =-； （3）代入得：5134y ⨯-=-，解得：3y =；代入得：()5134y ⨯--=-，解得：13y =-；（4）代入得：()5324x -⨯-=-，解得：2x =-；代入得：5304x -⨯=-，解得：45x =-． 【总结】考查等式的变形和解方程的一般步骤和方法．【例6】 如果31n ax y +=是关于x 、y 的二元一次方程，求n 和a 的取值范围． 【难度】★★【答案】1n =，0a ≠．【解析】方程为二元一次方程，可知未知数次数都为1，则有1n =，同时未知项系数不能 为0，则有0a ≠．【总结】考查二元一次方程的定义，未知项次数都为1且系数不能为0．【例7】 若530x y -=，且0x ≠，那么3443x yx y-=+______．【难度】★★【答案】1127-． 【解析】由530x y -=，可得：53y x =，则有51134341133543927433x x xx y x y x x x -⋅--===-++⋅． 【总结】考查利用方程的思想，用其中一个未知数表示另外一个未知数，从而求出分式的值．【例8】 求方程74100x y +=的正整数解．【难度】★★★【答案】11418x y =⎧⎨=⎩，22811x y =⎧⎨=⎩，33124x y =⎧⎨=⎩．【解析】由74100x y +=，可得()71004425x y y =-=-，4、7互素，由此可得相应整 数解应满足x 是4的倍数，25y -是7的倍数，且有250y ->， 分别可取得：2571421y -=，，，分别解得：18114y =，，， 即得方程整数解分别为：11418x y =⎧⎨=⎩，22811x y =⎧⎨=⎩，33124x y =⎧⎨=⎩．【总结】考查方程的整数解问题，化作倍数问题即可．【例9】 某人只带2元和5元两种钱币，他要买一件27元的商品，若要恰好付清，请问他的付款方式共有哪几种？【难度】★★★【答案】2元1张，5元5张；2元6张，5元3张；2元11张，5元1张 【解析】设2元纸币付款x 张，5元纸币付款y 张，依题意有2527x y +=，则有22750x y =-≥，则y 为奇数，分别取135y =，，， 分别解得：1115x y =⎧⎨=⎩，2263x y =⎧⎨=⎩，33111x y =⎧⎨=⎩，故共有三种方式．【总结】考查方程在实际问题中的应用，注意钱的张数只能是正整数，因此将问题转化为求 方程的正整数解的问题．1、 二元一次方程组有几个方程组成的一组方程叫做方程组．如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的次数都是一次，那么这样的方程叫做二元一次方程组． 2、 二元一次方程组的解在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解． 3、 代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法． 4、 加减消元法通过两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做加减消元法．【例10】 以下方程组：（1）23x y =⎧⎨=⎩；（2）323x x y =⎧⎨+=⎩；（3）2323x y x y +=⎧⎨+=⎩；（4）423x yxy -=⎧⎨+=⎩；模块二：二元一次方程组及其解法知识精讲例题解析（5）23x yy z+=⎧⎨-=⎩；（6）34322x yx yx y-=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，哪些是二元一次方程组？【难度】★【答案】（1）、（2）、（3）、（6）是二元一次方程组．【解析】根据二元一次方程组的定义，含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的方程组是二元一次方程组，（4）是二次方程，（5）是三元方程，不满足条件，注意（1）是最简二元一次方程组，（6）有三个方程，但满足二元一次方程组的条件，也是二元一次方程组．【总结】考查二元一次方程组的概念，注意一些特殊形式的二元一次方程组．【例11】判断下列两组数值是否是方程组34213y xx y-=⎧⎨=-⎩的解：（1）11xy=-⎧⎨=⎩；（2）35xy=-⎧⎨=-⎩．【难度】★【答案】（1）是方程组的解．【解析】将11xy=-⎧⎨=⎩代入方程组，方程组中两个等式都成立，可知（1）是方程组的解；将35xy=-⎧⎨=-⎩代入方程组，即得()()23135⨯-≠-⨯-，所以（2）不是方程组的解．【总结】考查方程组的解，方程组的解同时满足方程组中的每个方程．【例12】方程组2521x yx y+=⎧⎨-=⎩的解______是方程25x y+=的解；反之，方程25x y+=的解______是方程组2521x yx y+=⎧⎨-=⎩的解（填“一定”、“一定不”或“不一定”）．【难度】★★【答案】一定，不一定．【解析】方程组的解一定同时满足方程组中的每个方程，可知方程组的解一定是其中一个方程的解；但二元一次方程的解有无数个，但方程组的解一般只有固定一个，二元一次方程中有一个解可以满足方程组，即得不一定是方程组的解．【总结】考查方程组的解和方程组其中一方程的解得区别和联系．【例13】用代入消元法解下列方程组．（1）21234x y x y =+⎧⎨-=⎩；（2）54365x y x y +=⎧⎨-=⎩；（3）32222m n m n +=⎧⎨-=-⎩．【难度】★★【答案】（1）52x y =⎧⎨=⎩；（2）7313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（3）27107m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【解析】（1）将①代入②，得：()22134y y +-=，解得：2y =，将2y =代入①得：5x =， 所以原方程组的解为：52x y =⎧⎨=⎩；（2）由①可得：45x y =-③，代入②式，得：()34565y y --=，解得：13y =，将13y = 代入③得：73x =，所以原方程组的解为：7313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（3）由②可得：22n m =+，代入①式，得：()32222m m ++=，解得：27m =-，将27m =-代入③得：107n =，所以原方程组的解为：27107m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【总结】考查用代入消元法解二元一次方程组，选取合适的方程用一个未知数表示另一个未知数．【例14】 用代入消元法解下列方程组．（1）2311543x y x y -=-⎧⎨-=-⎩；（2）122213y x y y x -⎧=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩．【难度】★★【答案】（1）57x y =⎧⎨=⎩； （2）11x y =⎧⎨=⎩．【解析】（1）由①可得3112y x -=③，代入②式，得：3115432y y -⋅-=-，解得：7y =， 将7y =代入③得：5x =，所以原方程组的解为：57x y =⎧⎨=⎩；（2）由①可得：12y x +=③，代入②式，得：122123y y ++⋅=+，解得：1y =，将1y =代入③得：1x =，所以原方程组的解为：11x y =⎧⎨=⎩．【总结】考查用代入消元法解方程组，选取合适的方程用一个未知数表示另一个未知数．【例15】 用代入消元法解下列方程组．（1）()()()()321824x y x y x y x y ⎧++-=⎪⎨+--=-⎪⎩；（2）1311116411x y x y ⎧⎛⎫+-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+-= ⎪⎪⎝⎭⎩．【难度】★★【答案】（1）297197x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； （2）12111x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩．【解析】（1）由②得：()24x y x y -=++③，代入①，得：()()322418x y x y ++++=⎡⎤⎣⎦， 解得：107x y +=，将107x y +=代入③得：487x y -=，由107487x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得原方程组的解为：297197x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；（2）由①可得：11311y x -=-③，代入②式，得：6134x x +-=，解得：1x =， 将1x =代入③得：113111y -=-⨯，解得：2111y =-，所以原方程组的解为：12111x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩．【总结】考查代入消元法解方程组问题中整体思想的应用．【例16】 用加减消元法解下列方程组．（1）62x y x y +=⎧⎨-=⎩；（2）231567x y x y +=⎧⎨-=⎩；（3）7423624x y x y +=⎧⎨-=⎩．【难度】★★【答案】（1）42x y =⎧⎨=⎩； （2）113x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩； （3）23x y =⎧⎨=-⎩． 【解析】（1）由①+②，得：28x =，解得：4x =，将4x =代入①解得：2y =， 所以原方程组的解为：42x y =⎧⎨=⎩；（2）由①2⨯+②，得99x =，解得：1x =，将1x =代入①，解得：13y =-，所以原方程组的解为：113x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩；（3）由①32⨯+⨯②，得：2754x =，解得：2x =，将2x =代入①，解得：3y =-， 所以原方程组的解为：23x y =⎧⎨=-⎩．【总结】考查加减消元法解方程组，注意观察相应字母系数的关系进行相应未知数的消除．【例17】 选用适当的方法解下列方程组．（1）25342x y x y -=⎧⎨+=⎩；（2）633594x y x y -=-⎧⎨-=⎩；（3）3554235346x y x y --⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩；（4）()()()31222331m n n m ⎧-=+⎪⎨⎪+=-⎩． 【难度】★★【答案】（1）21x y =⎧⎨=-⎩； （2）11x y =-⎧⎨=-⎩； （3）1111x y =⎧⎨=⎩； （4）7133013m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【解析】（1）由①得25y x =-③，代入②，得：()34252x x +-=，解得：2x =，将2x = 代入③得：1y =-，所以原方程组的解为：21x y =⎧⎨=-⎩；（2）由①3⨯-②，得：1313x =-，解得：1x =-，将1x =-代入①，得1y =-， 所以原方程组的解为：11x y =-⎧⎨=-⎩；（3）由①-②，得：523y -=，解得：11y =，将11y =代入①，得324x -=， 解得：11x =，所以原方程组的解为：1111x y =⎧⎨=⎩；（4）由①可得：()3122m n -=-+③，代入②式，得：()()323322n n ⎡⎤+=⋅-+⎢⎥⎣⎦， 即：92692n n +=--，解得：3013n =-，将3013n =-代入③得：6113m -=，解得：713m =，所以原方程组的解为：7133013m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【总结】考查二元一次方程组的解法的综合分析应用，注意观察相应字母系数确定相应的方 法，同时注意过程中整体思想的应用．【例18】 若2211a b a b x y -+--=是二元一次方程，求a 、b 的值． 【难度】★★★【答案】2a =，1b =．【解析】方程组是二元一次方程，则未知项次数都为1，有121a b a b -=⎧⎨+-=⎩，解得：21a b =⎧⎨=⎩．【总结】考查根据二元一次方程的定义，转化为其它方程组的求解．【例19】 解方程组：201520176047201720156049x y x y +=⎧⎨+=⎩．【难度】★★★【答案】21x y =⎧⎨=⎩．【解析】由①+②，得：()403212096x y +=，则3x y +=； 由②-①，得：()22x y -=，则1x y -=， 由此解得方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩．【总结】考查方程组的求解，注意观察系数之间的关联性进行解题．【例20】 已知方程组451x y ax by -=⎧⎨+=-⎩和方程组34186218ax by x y -=⎧⎨+=⎩有相同的解，求a 、b 的值．【难度】★★★【答案】1a =，1b =-．【解析】两个方程组有相同的解，则这个解应满足方程组中的每个方程，由456218x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得：23x y =⎧⎨=⎩，同时满足另两个方程，则有23161218a b a b +=-⎧⎨-=⎩，解得：11a b =⎧⎨=-⎩．【总结】考查方程组的解的应用，方程组的解应满足方程组中的每个方程．【例21】 若方程组34412322x y m x y m +=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解满足0x y +=，求m 的值．【难度】★★★【答案】1912m =． 【解析】0x y +=，可得：x y =-，代入①式则有4y m =-，代入②式则有56y m =--， 由此可得：546m m -=--，解得：1912m =． 【总结】考查含参数且满足一定条件的二元一次方程组的求解，把一个未知数表示出来转化 为一般方程或方程组即可求解．1、 三元一次方程组如果方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组． 2、 解三元一次方程组的思想【例22】 下列方程组中，哪些是三元一次方程组？（1）623414253x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩； （2）234x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩；（3）231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩；（4）3252x y z x y ++=⎧⎨+=⎩； （5）16x yz =⎧⎨=⎩； （6）2324x y z y z x ++=⎧⎨++=⎩． 【难度】★【答案】（1）、（2）、（3）、（4）是三元一次方程组．【解析】根据三元一次方程组的定义，含有三个未知数，并且未知数的次数都是1的方程组模块三：三元一次方程组及其解法知识精讲例题解析是三元一次方程组，（5）（6）都是二次方程，不满足条件，注意（3）是最简三元一次 方程组，（4）只有二个方程，但满足三元一次方程组的要求，也是三元一次方程组． 【总结】考查三元一次方程组的概念，注意一些特殊形式的三元一次方程组的判断．【例23】 解方程组：1425x x y x y z =⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩．【难度】★【答案】136x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【解析】将1x =代入②式得：3y =，将1x =，3y =代入③式得235z -+=，解得：6z =， 所以原方程组的解为：136x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【总结】考查简单的三元一次方程组的求解．【例24】 判断下列两组数值是否是方程组52621212x y y z x z -=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩的解：（1）035x y z =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩；（2）225x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【难度】★【答案】（2）是方程组的解．【解析】将035x y z =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩代入方程组，代入③式得()0251012+⨯-=-≠，可知（1）不是方程组的解；将225x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩代入方程组，方程组三个方程都成立，所以（2）是方程组的解．【总结】考查方程组的解，方程组的解同时满足方程组中的每个方程．【例25】 解方程组：（1）153********x y z x y z z -+=⎧⎪+-=-⎨⎪=⎩；（2）625114x y z x y z x y ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩．【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）将13z =代入①式得：15325x y -=-④，将13z =代入②式得：345x y +=-⑤， 由④43⨯+⨯⑤得：69115x =-，解得：53x =-，将53x =-代入④式解得：0y =，所以原方程组的解为：53013x y z ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩；（2）将③代入①式得：56y z +=④，将③代入②式得：6511y z +=⑤，由④5⨯-⑤ 得：1919y =，解得：1y =，将1y =代入④式解得：1z =，将1y =代入④式解得：4x =， 所以原方程组的解为：411x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【总结】考查三元一次方程组的求解，将三元一次方程组化成二元一次方程组再进行求解．【例26】 解方程组：（1）261218x y z x y x z y ++=⎧⎪-=⎨⎪+-=-⎩；（2）32522642730x y z x y z x y z ++=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩．【难度】★★【答案】（1）464565x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩； （2）402x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩．【解析】（1）由①+②得：227x z +=④，由③-②得：19x z +=-⑤，由④-⑤，得：46x =， 将46x =代入②式得：45y =，将46x =代入⑤式得：65z =-， 所以原方程组的解为：464565x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩；（2）由①+②得：448x z +=④，由②+③得：5836x z -=⑤，由④2⨯+⑤，得：1352x =， 解得：4x =，将4x =代入④式，得：2z =-，将4x =，2z =-代入②式，得：0y =， 所以原方程组的解为：402x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩．【总结】考查三元一次方程组的求解，将三元一次方程组化成二元一次方程组再进行求解．【例27】 解方程组：（1）344635511x y z x y z y z ++=⎧⎪-+=-⎨⎪+=⎩；（2）2338456632456x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩．【难度】★★【答案】（1）3721127177x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩； （2）846x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【解析】（1）由①2⨯-②得：913y z -=④，由④+③得：1424y =，解得：127y =， 将127y =代入③式得177z =，将127y =，177z =代入①式得3721x =-， 所以原方程组的解为：3721127177x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；（2）由②-①得：2228x z +=④，由①2⨯-③得：220x z +=⑤，④-⑤，得：8x =， 将8x =代入⑤式得6z =，将8x =，6z =代入①式得：4y =， 所以原方程组的解为：846x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【总结】考查三元一次方程组的求解，将三元一次方程组化成二元一次方程组再进行求解．【例28】 解方程组：（1）14719x y y z x z +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩；（2）1151x y z y z x z x y +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩．【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）由①+②+③得：2222x y z ++=-，则：1x y z ++=-④，由④-①得：13z =， 由④-②得：6x =，由④-③得：20y =-，所以原方程组的解为：62013x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩；（2）由①+②得：216y =，解得：8y =，由①+③得：212x =，解得：6x =，由②+③得：26z =，解得：3z =，所以原方程组的解为：683x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【总结】考查特殊三元一次方程组的求解，注意观察方程组中的每一个方程是否形式相同．【例29】 解方程组：12323434545151251532x x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎪++=-⎨⎪++=-⎪⎪++=⎩．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】由①+②+③+④+⑤，得：()1234530x x x x x ++++=，则有123450x x x x x ++++=⑥；由①+④-⑥，得：12x =；由②+⑤-⑥，得：23x =； 由①+③-⑥，得：30x =；由②+④-⑥，得：42x =-；由③+⑤-⑥， 得：53x =-，所以原方程组的解为：1234523023x x x x x =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪=-⎩．【总结】考查特殊的多元方程的解法，注意观察方程组各个式子之间的联系解题．【习题1】 以下方程（1）320x xy y -+=；（2）3x y =；（3）4a b=；（4）5263ym +=；（5）23240x y -+=，其中二元一次方程有______个．【难度】★【答案】2【解析】（1）、（5）是二元二次方程，（3）中方程右边有分式，是分式方程，满足二元一次 方程的是（2）（4），即共有2个．【总结】考查二元一次方程的判断，注意把握定义中的关键点．随堂检测【习题2】 在方程511x ay -=中，如果12x y =⎧⎨=⎩是它的一个解，则a =______．【难度】★【答案】3-．【解析】12x y =⎧⎨=⎩是方程的一个解，代入满足方程，则有51211a ⨯-=，解得：3a =-．【总结】考查二元一次方程解得应用，代入使得两边相等．【习题3】 已知一个二元一次方程，它的一个解为74x y =⎧⎨=⎩，则这个方程可以是_________________．【难度】★【答案】答案不唯一，例470x y -=．【解析】答案不唯一，代入可使得方程左右两边相等即可．【总结】考查根据二元一次方程的解确定好相应的二元一次方程，使得方程左右两边相等即 可，注意前提是二元一次方程．【习题4】 将下列方程变形为用含y 的代数式表示x ． （1）5210x y ++=； （2）492863x y -=；（3）25136y x-=． 【难度】★★【答案】（1）215y x --=；（2）497y x +=；（3）465y x -=． 【解析】（1）移项得：521x y =--，系数化1，得：215y x --=； （2）移项得：492863x y =+，系数化1约分，得：497y x +=； （3）通分得：456y x -=，移项得：546x y =-，系数化1，得：465y x -=． 【总结】考查利用等式性质用一个未知数把另一个未知数表示出来，可视作方程组代入消元 法的基础前提．【习题5】 如果312327m n x y +++=是二元一次方程，那么m =______，n =______． 【难度】★★【答案】0，1-．【解析】方程是二元一次方程，则未知项次数都为1，则有31121m n +=⎧⎨+=⎩，解得：01m n =⎧⎨=-⎩．【总结】考查一元二次方程概念的应用，注意把握好关键特征．【习题6】 解方程组：（1）252138x y x y +=-⎧⎨+=⎩；（2）103178516x y x y +=⎧⎨-=-⎩；（3）()62324x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎨⎪+-+=-⎩；（4）27323163213x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩．【难度】★★【答案】（1）10337x y =-⎧⎨=⎩；（2）124x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（3）84x y =⎧⎨=-⎩；（4）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩． 【解析】（1）由②2⨯-①，得：37y =，将37y =代入②得：103x =-， 所以原方程组的解为：10337x y =-⎧⎨=⎩；（2）①53⨯+⨯②，得7437x =，解得：12x =，将12x =代入①得：4y =， 所以原方程组的解为：124x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（3）由②26⨯+⨯①，()728x y +=，解得：4x y +=，代入②得：12x y -=，由412x y x y +=⎧⎨-=⎩解得：84x y =⎧⎨=-⎩，所以原方程组的解为：84x y =⎧⎨=-⎩；（4）由①+②+③得：66636x y z ++=，则6x y z ++=④，由①-④得：1x =， ④3⨯-②得：2y =，将1x =，2y =代入④式得3z =，所以原方程组的解为：123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【总结】考查二元一次方程组和三元一次方程在的解法，注意解方程中消元思想的应用，同 时注意观察和应用整体思想．【习题7】 若2211a b a b x y -+--=是二元一次方程，求a 、b 的值． 【难度】★★★【答案】2a =，1b =．【解析】方程组是二元一次方程，则未知项次数都为1，有121a b a b -=⎧⎨+-=⎩，解得：21a b =⎧⎨=⎩．【总结】考查根据二元一次方程的定义，转化为其它方程组的求解．【习题8】 已知二元一次方程组45ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解是21x y =⎧⎨=⎩，求a + b 的值．【难度】★★★【答案】3．【解析】方程组的解满足方程，代入即得2425a b b a +=⎧⎨+=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩，则有3a b +=．【总结】考查二元一次方程组的解的应用可转化求其它未知数的值．【习题9】 方程组42132x y x y k -=⎧⎨+=⎩的解中x 与y 相等，求k 的值．【难度】★★★【答案】1k =． 【解析】将x y =代入①式得：12x y ==，将12x y ==代入②式，有22k =，解得：1k =． 【总结】考查满足特定条件的二元一次方程组的解的应用，可根据条件所得求解应用．【习题10】 已知方程组4360270x y z x y z --=⎧⎨+-=⎩，且0z ≠，求345x y zx y z ++--的值．【难度】★★★【答案】85．【解析】由②4⨯-①得：11220y z -=，则有2y z =，将2y z =代入①式得：4660x z z --=， 解得：3x z =，则33238845432555x y z z z z z x y z z z z z ++++===--⋅--．【总结】考查两个方程三个未知数方程中主元法思想的应用，综合性较强．【作业1】 下列说法中，不正确的个数是（ ）个（1）方程x = y 不是二元一次方程；（2）二元一次方程21x y -=的解集是23x y =⎧⎨=⎩；（3）23x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程21x y -=的一个解；（4）由于方程21x y -=有无数个解，所以任何一对x ，y 的值都是该方程的解．课后作业A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★【答案】C【解析】x y =含有两个未知数，且是未知数次数都为1的方程，是二元一次方程，（1）不正确；对二元一次方程21x y -=而言，方程组有无数组解，这无数组解需满足一定的 条件，x 、y 中任一字母确定以后，另一个字母随之确定，可知（2）、（4）不正确，（3） 代入使得方程左右两边，（3）正确；综上，（1）、（2）、（4）不正确，故选C ． 【总结】考查二元一次方程和二元一次方程的解的相关概念．【作业2】 已知一个二元一次方程5611x y -=，当x = 4时，y =______，当y = 4时，x =______，这个方程有______组解．【难度】★【答案】32，7，无数．【解析】当4x =时，则有54611y ⨯-=，解得：32y =；当4y =时，则有56411x -⨯=， 解得：7x =；y 随着x 的变化而变化，可知方程有无数组解． 【总结】考查一个一元二次方程有无数组解．【作业3】 已知方程51y x -=，请你在设计一个方程________________，使得这两个方程的公共解是253x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．【难度】★★【答案】答案不唯一，例55x y +=．【解析】根据方程的解确定原方程，答案不唯一，使得解方程尽量简单一些即可． 【总结】考查根据方程的根写出满足条件的方程．【作业4】 若方程()23231a x b y -+-=-是二元一次方程，则a =______，b ______． 【难度】★★【答案】3，32≠． 【解析】方程是二元一次方程，则未知项次数都为1，且有两个未知数，则未知项系数不能为0，则有21a -=且230b -≠，解得：3a =且32b ≠．【总结】考查二元一次方程的定义，注意把握概念中的关键点．【作业5】 若方程25x y +=有一组解中y 的值是x 的值的4倍，则x =______，y =______． 【难度】★★【答案】56，103【解析】根据题意可得254x y y x +=⎧⎨=⎩，解得：56x =，103y =．【总结】考查满足一定条件的二元一次方程组的求解． 【作业6】 解方程组：（1）231763172357x y x y +=⎧⎨+=⎩；（2）21243y x x x y -++==； （3）12334437x y x y -+⎧=⎪⎨⎪-=⎩；（4）3521545352x y z y z x z x y -+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩．【难度】★★【答案】（1）21x y =⎧⎨=⎩；（2）723523x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（3）142x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩； （4）101x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩．【解析】（1）由①+②，得：()40120x y +=，则有3x y +=；由①-②，得()66x y -=， 则有1x y -=，由此解得方程组的解为：21x y =⎧⎨=⎩；（2）由24y x x y -+=，得75x y =-，由2123x x y ++=，得：16x y =-，则7165y y -=-， 解得：523y =，将523y =代入75x y =-，得75752323x =-⨯=-，所以原方程组的解为：723523x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（3）由①12⨯，得：4613x y -=③，由②-③，得：36y =-，解得：2y =-，将2y =- 代入②得：()4327x -⨯-=，解得：14x =，所以原方程组的解为：142x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；（4）由①+②得：76x z +=④，由②+③得：523x z +=⑤，由④2⨯-⑤，得：99x =，解得：1x =，将1x =代入④式得1z =-，将1x =，1z =-代入①式，得：0y =， 所以原方程组的解为：101x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩．【总结】考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，注意解方程中消元思想的应用．【作业7】 已知()223320x y x y +-+-=，求x 和y 的值． 【难度】★★★【答案】2x =，1y =．【解析】由()223320x y x y +-+-=，30x y +-≥，()220x y -≥，可得：30x y +-=， ()220x y -=，由3020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得：21x y =⎧⎨=⎩．【总结】考查平方和绝对值的非负性的应用．【作业8】 方程45100m n +=有______组自然数解． 【难度】★★★【答案】6．【解析】由45100m n +=，可得()41005520m n n =-=-，4、5互素，由此可得相应整 数解应满足m 是5的倍数，20n -是4的倍数，且有200n -≥，分别可取得 200481216n -=，，，，，，即20以下4的倍数，共6个， 即得方程自然数解共有6组．【总结】考查方程的整数解问题，化作倍数问题即可．【作业9】 已知方程组5354x y ax y +=⎧⎨+=⎩与2551x y x by -=⎧⎨+=⎩有相同的解，求a 、b 的值．【难度】★★★【答案】14a =，2b =．【解析】两个方程组有相同的解，则这个解应满足方程组中的每个方程，由5325x y x y +=⎧⎨-=⎩解得：12x y =⎧⎨=-⎩，同时满足另两个方程，则有()()5245121a b ⎧+⨯-=⎪⎨⨯+-=⎪⎩，解得：142a b =⎧⎨=⎩．【总结】考查方程组的解的应用，方程组的解应满足方程组中的每个方程．【作业10】 已知方程组452x y mx y m +=+⎧⎨-=+⎩的解为正数，求m 的取值范围．【难度】★★★【答案】31m -<<-．【解析】由452x y m x y m +=+⎧⎨-=+⎩，解得：39212m x m y +⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，因为方程组的解为正数，则有3902102m m +⎧>⎪⎪⎨--⎪>⎪⎩，解得：31m -<<-，即m 的取值范围为31m -<<-．【总结】考查满足一定条件的二元一次方程组的求解，综合性较强，注意认真分析．。

市北资优六年级分册第07章7.9形如ax=b的方程及其解法+郑宇7.9 形如ax =b 的方程及其解法我们知道一元一次方程可表示为()0ax b a =≠形式其中x 表示未知数，a 和b 是用字母表示的已知数.对未知数x 来说，字母a 是x 的系数，叫做字母系数，字母b 是常数项.如果一元一次方程中的系数用字母来表示，那么这个方程就叫做字母系数的一元一次方程.本章如果没有特别说明，在含有字母系数的方程中，一般用a ，b ，c 等表示未知数，用x ，y ，z 等表示未知数.含字母系数的一元一次方程的解法与只含有数字系数的一元一次方程的解法相同.按照解一元一次方程的步骤，最后转化为()0ax b a =≠的形式.这里注意的是，用含有字母的式子去乘或除方程的两边，这个式子的值不能等于零.如(2)3m x -=，必须当20m -≠时，即2m ≠时，才有32x m =-.这是含有字母系数的方程和只含有数字系数的方程的重要区别. 例1 解关于x 的方程132m x x -=+（）.解原方程整理得()32m x m -=+当30m -≠时，即3m ≠时，则原方程的解为23m x m +=-. 当30m -=时，即3m =时，原方程化为05x =，则原方程无解.例2 解关于x 的方程23ax b x -=-.解原方程整理得()23a x b -=-.当20a -≠，即2a ≠时，则原方程的解为32b x a -=-；当20a -=，30b -≠，即23a b =≠，时，原方程化为00x ≠，则原方程无解；当20a -=，30b -=，即23a b ==，时，原方程化为00x =，则原方程有无数解.归纳：形如ax =b 的方程的解一般有下列三种情况：（1）当0a ≠，原方程有唯一的解b x a=；（2）当00a b =≠，，原方程无解；（3）当00a b ==，，原方程有无数解. 例3 已知关于x 的方程()()2153a x a x b -=-+无解，求a ，b 的取值范围.解原方程整理得()3532a x b a -=+.因为原方程无解，所以350a -=，320b a +≠，即510,39a b =≠-.练习7.91.填空.（1）关于x 的方程53ax x =-无解，则a = ；（2）关于x 的方程2354mx x n -=-有无数解，则m = ，n = ；（3）已知关于x 的方程3243a x x x --= ??和3151128x a x +--=有相同的解，那么这个解是 . 2.解关于x 的方程.（1）35x b ax +=+；（2）()()235231326kx x +++=.3.如果a 、b 为定值，关于x 的方程2236kx a x bk +-=+，无论k 为何值时，它的根总是1，求a 、b 的值.练习7.9答案1.（1）5；（2）5324，；（3）2728x =. 2.（1）当35a b ==，时，解为一切数；当35a b =≠，时，无解；当3a ≠时，53b x a -=-；（2）当52k =时，解为一切数；当52k ≠时，0x =. 3.13,42a b ==-. 提示：把方程看作是关于k 的方程，则这个关于k 的方程的解为一切数.7.9 《形如ax =b 的方程及其解法》练习练习7.91.若关于x 的方程()112326x x a x +=--有无数解，则a = . 2.已知y =1是方程()1223m y y --=的解，那么关于x 的方程()()3225m x m x --=-的解是 . 3.若a b c x b c c a a b===+++，则x 的值为 . 4. 解关于x 的方程()()31434a x a x +-=.5. 解关于x 的方程()()()()11210m m x m m +-+--=.6.下边横排有12个方格，每个方格都有一个数字，相同的字母表示的数字相同.已知任何相邻三个数字的和都是20，求X 的值.7.关于x 的方程9314x kx -=+有整数解，求满足条件的所有整数k .7.9 形如ax =b 的方程及其解法练习7.9答案1. 22. x =03. 1-或12. 提示：()()(),,a b c x b c a x c a b x =+=+=+，三式相加得，()()2a b c a b c x ++=++，因此0a b c ++=或12x =.由0a b c ++=可得1x =-. 4.49a =-时，原方程无解；49a ≠-时，1294a x a =-+. 5. 当m =1时，原方程有无数解，解为一切数; 当m =-1时，原方程无解；当1m ≠±时，21m x m -=+. 6. 5 提示：由题意，得5=C =F =H ，则E =5，X =E =5.7. 8、10、-8、26. 提示：原方程化为()917k x -=.①90k -=，即9k =时，原方程无解；②90k -≠，即9117k -=±±，时，原方程有整数解，解得k =8、10、-8、26.。

第16讲一次方程组的应用1．能根据题意合理设元，找出等量关系，列出一次方程组解应用题；2．经历和体验解决实际问题的过程，提高解决实际问题的能力．某车间有28名工人，生产特种螺栓和螺帽，一个螺栓的两头各套上一个螺帽配成一套，每人每天平均生产螺栓12个或螺帽18个．问要多少工人生产螺栓，其余工人生产螺栓才能使一天所生产的螺栓和螺帽刚好配套．练习：试一试：某工厂一车间有51名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务，每个工人每天能加工甲种零件16个或加工乙种零件21个，而一辆轿车只需要甲零件5个和乙零件3个，为了每天能配套生产应如何安排工人？归纳总结运用方程组解决实际问题的一般步骤是：1.审题：分析题意，找出题中的数量关系；2.设未知数：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x、y）；3.列方程组：根据等量关系列出方程组；4.解方程组：求出未知数的值；5.作答：并写出答案．例题1：甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50﹪的利润定价，乙服装按40﹪的利润定价。

在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？试一试：已知某种商品每件定价为10元，邮购这种商品的数量不满100件，则每件按定价付款，另外还要加付定价的10%作为邮费；邮购的数量达到或超过100件，则每件按定价的九折付款，而且免付邮费．某公司两次共邮购这种商品200件，其中第一次的数量不满100件（第二次超过），两次邮购总计付款1960元，问第一次、第二次分别邮购多少件？例题2：六（3）班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长去商店买奖品，下面是班长与售货员的对话：班长：阿姨，我只有100元，请帮给我买10支相同的钢笔和15本相同的笔记本．售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，还剩余5元给你．根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？试一试：某人买甲乙两种水果，甲种水果比乙种水果多买了3千克，共用去44元．已知甲种水果每千克3元，乙种水果每千克4元．问这个人买了甲乙两种水果各多少千克？例题3：在42千米的环形赛车跑道上，如果甲、乙两人同时同地相对而行，2小时首次相遇，如果甲、乙两人同时同地同向而行，乙需要14小时才能第一次追上甲，求甲、乙两人的平均速度各是多少？试一试：甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，2小时后相遇；如果甲比乙先出发40分钟，那么在乙出发后1.5时两人相遇。