2.2.3两点分布与二项分布、二项分布与超几何分布

专题49两点分布、二项分布与超几何分布【考点预测】知识点一．两点分布1、若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为X01P 1p -p其中01p <<，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布．其中(1)P X =称为成功概率．注意：（1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为1；（2）两点分布又称01-分布、伯努利分布，其应用十分广泛．2、两点分布的均值与方差：若随机变量X 服从参数为p 的两点分布，则()10(1)p p E X =⨯+⨯-=p ，()(1)p D X p =-．知识点二．n 次独立重复试验1、定义一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．2、特点（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；（2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．知识点三．二项分布1、定义一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，不发生的概率1q p =-，那么事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q-==（0k =，1，2，…，n ）于是得到X 的分布列X01…k …n p 00C n n p q 111C n n p q -…C kk n k n p q -…0C nn n p q由于表中第二行恰好是二项式展开式()001110C C C C n n n k k n k nn n n n n q p p q p q p q p q --+=+++++ 各对应项的值，称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作()X B n p ～，，并称p 为成功概率．注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即1n =时的二高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．2、二项分布的适用范围及本质（1）适用范围：①各次试验中的事件是相互独立的；②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；③随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．（2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．3、二项分布的期望、方差若()X B n p ～,，则()E X np =，)(1)(np p D X =-．知识点四．超几何分布1、定义在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件}{X k =发生的概率为()k n k M N M n NC C P X k C --==，0k =，1，2，…，m ，其中}{min m M n =，，且n N ≤，M N ≤，n ，M ，*N N ∈，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布．X01…m P 00n M N Mn N C C C --11n M N M n N C C C --…m n m M N M n NC C C --2、超几何分布的适用范围件及本质（1）适用范围：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数Y 的概率分布．（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．【方法技巧与总结】超几何分布和二项分布的区别（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.【题型归纳目录】题型一：两点分布题型二：n 次独立重复试验题型三：二项分布题型四：超几何分布题型五：二项分布与超几何分布的综合应用【典例例题】题型一：两点分布例1．（2022·全国·高三专题练习）.若随机变量ξ的分布列为，其中()0,1m ∈，则下列结果中正确的是A ．()()3,E m D nξξ==B ．()()2,E m D n ξξ==C ．()()21,E m D m mξξ=-=-D ．()()21,E m D m ξξ=-=例2．（2022·河北·高三阶段练习）新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease 2019，COVID -19），简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.2019年12月以来，部分医院陆续发现了多例不明原因肺炎病例，证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，为防止该病症的扩散与传染，某检测机构在某地区进行新冠病毒疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病.现有(),2n n n +∈≥N 个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：方案一：逐份检验，需要检验n 次；方案二：混合检验，将n 份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n 个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n 份血液逐份检验，此时共需要检验+1n 次.(1)若10n =，且其中两人患有该疾病，①采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率；②将这10人平均分成两组，则这两患者分在同一组的概率；(2)已知每个人患该疾病的概率为()01p p <<.（i ）采用方案二，记检验次数为X ，求检验次数X 的期望()E X ；（ii ）若5n =，判断方案一与方案二哪种方案检查的次数更少？并说明理由.例3．（2022·全国·高三专题练习）2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k 个人，把这k 个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 个人的血液全为阴性，因而这k 个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k 个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为0.003P =，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．核酸检测通常有两种分组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组．(1)分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望；(2)若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由．（参考数据：80.9970.976=，100.9970.970=）变式1．（2022·全国·高三专题练习）某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每位职工每年只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金．保险公司把企业的所有岗位分为A 、B 、C 三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图所示，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表所示（并以此估计赔付概率）．工种类别A B C 赔付频率511052104110A 、B 、C 工种职工每人每年的保费分别为a 元，a 元，b 元，出险后获得的赔偿金额分别为100万元，200万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．(1)若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%，试确定保费a ，b 所要满足的条件．(2)现有如下两个方案供企业选择：方案一、企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险公司赔付金额相同的赔偿金付给出险职工；方案二、企业与保险公司合作，企业负责职工保费的60%，职工个人负责保费的40%，出险后赔偿金由保险公司赔付．若企业选择方案二的支出期望（不包括职工支出）低于选择方案一的，求a ，b 所要满足的条件，并判断企业是否与保险公司合作（若企业选择方案二的支出期望低于方案一，且与（1）中保险公司所提条件不矛盾，则企业与保险公司合作）．变式2．（2022·黑龙江实验中学模拟预测（理））为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学决定对各学院本科毕业论文进行抽检，初步方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检对象为上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论文送3位同行专家进行评审，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认定为“存在问题毕业论文”.3位专家中有1位专家评议意见为“不合格”，将再送2位同行专家（不同于前3位）进行复评.复评阶段，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”，将认定为“存在问题毕业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇毕业论文是否被判定为“不合格”相互独立.(1)若12p =，求每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”的概率是多少；(2)学校拟定每篇论文需要复评的评审费用为180元，不需要复评的评审费用为90元，则每篇论文平均评审费用的最大值是多少？变式3．（2022·安徽·二模（理））某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为p ，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每k 个()5k ≤一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或1k +次．设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验次数为X ．（1）求X 的分布列及其期望；（2）（i ）试说明，当p 越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；（ii ）当0.1p =时，求使该方案最合理时k 的值及1000件该产品的平均检验次数．题型二：n次独立重复试验例4．（2022·河北衡水·高三阶段练习）进入2021年以来，国家提倡大学生毕业自主创业，根据已知的调查可知，大学生创业成功与失败的概率分别为a，b，且2a b，则某高校四名大学生毕业后自主创业，其中至少有两名大学生创业成功的概率为（）A．881B．89C．724D．523例5．（2022·全国·模拟预测）某同学随机掷一枚骰子4次，则该同学得到1点或5点的次数超过2次的概率为（）A．19B．727C．827D．829例6．（2022·全国·高三专题练习）体育课上进行投篮测试，每人投篮3次，至少投中1次则通过测试．某同学每次投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.064B．0.600C．0.784D．0.936变式4．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）有甲､乙两个盒子，甲盒子中装有2个小球，乙盒子中装有4个小球，每次随机取一个盒子并从中取一个球.(1)求甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率：(2)当其中一个盒子中的球被取完时，记另一个盒子恰剩下ξ个球，则求ξ的分布列与数学期望()Eξ.变式5．（2022·江苏南通·模拟预测）某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为12.(1)在一场比赛中，甲的积分为X，求X的概率分布列；(2)求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.变式6．（2022·河北衡水·高三阶段练习）我国出现了新冠疫情后，医护人员一直在探索治疗新冠的有效药，并对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，分成,A B两组，A组3人，服用甲种中药，B组3人，服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为45，B组3人康复的概率分别为933,,1044.(1)设事件M表示A组中恰好有1人康复，事件N表示B组中恰好有1人康复，求()P MN；(2)求A组康复人数比B组康复人数多的概率.变式7．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13．比赛采用“三局两胜”制，先胜二局者获胜．商定每局比赛（决胜局第三局除外）胜者得3分，败者得1分；决胜局胜者得2分，败者得0分．已知各局比赛相互独立．(1)求比赛结束，甲得6分的概率；(2)设比赛结束，乙得X分，求随机变量X的概率分布列与数学期望．变式8．（2022·全国·高三专题练习）“民族要复兴，乡村必振兴”，为了加强乡村振兴宣传工作，让更多的人关注乡村发展，某校举办了有关城乡融合发展、人与自然和谐共生的知识竞赛.比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为35，且相互间没有影响.(1)求选手甲被淘汰的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试求X的分布列和数学期望.【方法技巧与总结】（1）在解复杂的题目时，可利用“正难则反”的思想，通过考查原事件的对立事件来求其概率．（2）运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n 次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；在求n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率时，首先要确定好n 和k 的值，再准确利用公式求概率．（3）解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验．题型三：二项分布例7．（2022·全国·高三专题练习）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块（如图所示），并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，于是碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块.如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是（）A ．532B ．516C ．316D ．332例8．（2022·全国·高三专题练习）从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X 为取得红球的次数，则()D X （）A ．157B ．207C ．2521D ．6049例9．（2022·全国·高三专题练习（理））某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：用时/秒[5，10](10，15](15，20](20，25]男性人数1522149女性人数511177以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是()A ．2B ．3C ．4D ．5变式9．（2022·全国·高三专题练习（理））为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则()80P X ≥-=（）A ．27128B ．243256C ．43256D ．83128变式10．（2022·全国·高三专题练习）某工厂产品合格的概率均为p ，各产品合格与否相互独立．设X 为该工厂生产的5件商品中合格的数量，其中() 1.2D X =，(2)(3)P X P X =<=，则p =（）A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3变式11．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）某种植户对一块地上的n （*n ∈N ）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种.（1）当n 取何值时，有3个坑要补种的概率最大？最大概率为多少？（2）当4n =时，用X 表示要补种的坑的个数，求X 的分布列.变式12．（2022·江苏常州·高三阶段练习）金坛区主城区全新投放一批共享电动自行车．本次投放的电动自行车分红、绿两种，投放比例是3∶1．监管部门为了了解这两种颜色电动自行车的性能，决定从中随机抽取4辆电动自行车进行骑行体验，假设每辆电动自行车被抽取的可能性相等．(1)求抽取的4辆电动自行车中至少有3辆是绿色的概率；(2)在骑行体验中，发现红色电动自行车的综合评分较高，监管部门决定从该次投放的这批电动自行车中随机地抽取一辆绿色电动自行车，送技术部门做进一步性能检测，并规定，若抽到的是绿色电动自行车，则抽样结束：若抽取的是红色电动自行车，则将其放回后，继续从中随机地抽取下一辆电动自行车，且规定抽取的次数最多不超过()n n *∈N 次在抽样结束时，设已抽到的红色电动自行车的数量用ξ表示，问：ξ的数学期望能否超过3？变式13．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占12，通过电视收看的约占13，其他为未收看者：(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；(2)从被调查对象中随机选取3人，用X 表示通过电视收看的人数，求X 的分布列和期望．变式14．（2022·江苏·新淮高中三模）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X ，求X 的分布列与数学期望.【方法技巧与总结】1、二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．2、二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：（1）根据题意设出随机变量；（2）分析出随机变量服从二项分布；（3）找到参数n，p；（4）写出二项分布的分布列；（5）将k值代入求解概率．题型四：超几何分布例10．（2022·全国·高三专题练习）一批产品共有20件，其中2件次品，18件合格品，从这批产品中任意抽取2件，则至少有1件是次品的概率是（）A．1190B．1895C．37190D．189190例11．（2022·全国·高三专题练习）从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝()A．2B．1C．3D．4例12．（2022·北京·高三专题练习）为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（1）班 （8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下：（x 轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；(2)若从以上统计的高一（4）班的10名学生中抽出2人，设X 表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X 的分布列及其数学期望；(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“1k ξ=”表示第k 班抽到的这名同学身体素质优秀，“0k ξ=”表示第k 班抽到的这名同学身体素质不是优秀()1,2,,8k =⋅⋅⋅．写出方差()()()()1234,,,D D D D ξξξξ的大小关系（不必写出证明过程）．变式15．（2022·上海·高三开学考试）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）年份2015201620172018201920202021新能源汽车销量占比1.5%2%3%5%8%9%20%(1)从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；(2)从2015年至2021年中随机选取两年，设X 表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X 的分布列和数学期望．变式16．（2022·全国·高三专题练习）为发展业务，某调研组对A ，B 两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内(),0n n n ∈>N 个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为415.(1)求n 的值；(2)若一次抽取4个城市，①假设抽取出的小城市的个数为X ，求X 的可能值及相应的概率；②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.变式17．（2022·全国·高三专题练习）北京某高校有20名志愿者报名参加2022年北京冬奥会服务工作，其中有2名老师，18名学生.若从中随机抽取()*,20n n n ∈≤N 名志愿者，用X表示所抽取的n 名志愿者中老师的人数.(1)若2n =，求X 的分布列与数学期望；(2)当n 为何值时，1X =的概率取得最大值?最大值是多少?变式18．（2022·山西大附中高三阶段练习）北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱.8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.(1)求乙闯关成功的概率；(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.变式19．（2022·全国·高三专题练习）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n（n*∈N）个人数超过1000人的大集团和4个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为1 6 .(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率；(2)若一次抽取3个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望.变式20．（2022·全国·高三专题练习）中国科研团队在研发“新冠疫苗”的过程中，为了测试疫苗的效果，科研人员以小白鼠为实验对象，进行了一些实验．(1)实验一：选取10只健康小白鼠，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中．实验结果发现，除2号、3号和7号小白鼠仍然感染了新冠病毒，其他小白鼠未被感染．现从这10只小白鼠中随机抽取4只进行研究，将仍被感染的小白鼠只数记作X，求X的分布列和数学期望．(2)科研人员在另一个实验中发现，疫苗可多次连续注射，小白鼠多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对小白鼠是否有效互相不影响，相互独立．若将实验一中未感染新冠病毒的小白鼠的频率当做疫苗的有效率，那么一只小白鼠注射两次疫苗能否保证有效率达到96%？若可以请说明理由；若不可以，请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求．。

两点分布，二项分布及超几何分布【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）主干知识归纳1．两点分布：若随机变量X 的分布列是其中0<p <1，q ＝1－p ，则离散型随机变量X 服从两点分布，且称p ＝P (X ＝1)为成功概率．2．超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有ξ件次品，则事件{ξ＝k}发生的概率为P(ξ＝k)＝C k M C n －kN －M C n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min {M ，n}，且m ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.称分布列为超几何分布．如果随机变量ξ的分布列为超几何分布列，则称随机变量ξ服从超几何分布． 3.二项分布(1)进行n 次试验，如果满足下列条件：①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”； ② 每次试 验“成功”的 概 率 均为p ，“失败”的概率为1－p ； ③各次试验是相互独立的．用X 表示这n 次试验中成功的次数，则P (X ＝k )＝ .若一个随机变量X 的分布列如上所述，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为 . (2)二项分布的期望与方差．若随机变量X ～B (n ，p )，则EX ＝ ，DX ＝ . 方法规律总结1.求超几何分布的分布列、期望的步骤：第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N ，M ，n 的值；第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； 第三步，用表格的形式列出分布列； 第四步，根据定义求出期望2.二项分布的分布列问题一般遵循以下三个步骤： 第一步，先判断随机变量是否服从二项分布；第二步，若服从二项分布，一般是通过古典概型或相互独立事件的概率公式计算出试验中“成功”“不成功”的概率分别是多少；第三步，根据二项分布的分布列P(X ＝k)＝C k n p k(1－p)n －k(k ＝0,1,2，…，n)列出相应的分布列．【指点迷津】【类型一】两点分布【例1】：某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望．【解析】：(1)由题意知，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全部从B 中学中抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100. 因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100. (2)根据题意得，X 的可能取值为1，2，3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15.所以X 的分布列为因此，X 的数学期望E (X )＝1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝ 1×15＋2×35＋3×15＝2.答案：(1)99100. (2) 2. 【例2】：据IEC(国际电工委员会)调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险．根据测算，风能风区分类标准如下：假设投资A 位于一类风区的A 项目获利30%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；位于二类风区的B 项目获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是0.3.(1)记投资A ，B 项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望E (ξ)，E (η)； (2)某公司计划用不超过100万元的资金投资A ，B 项目，且公司要求对A 项目的投资不得低于B 项目，根据(1)的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z ＝E (ξ)＋E (η)的最大值． 【解析】： (1)投资A 项目的利润ξ则E (ξ)＝0.18x －0.08x ＝0.1x . 投资B 项目的利润η则E (η)＝0.21y －0.01y ＝0.2y (2)由题意可知x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤100，x ≥y ，x ，y ≥0，其表示的可行域如图中阴影部分所示．由(1)可知，z ＝E (ξ)＋E (η)＝0.1x ＋0.2y ，当直线y ＝－0.5x ＋5z 过点(50，50)时，z 取得最大值，即当x ＝50，y ＝50时，z 取得最大值15. 故对A ，B 项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元 答案：(1) ξ的分布列为E (ξ)＝0.18x －0.08x ＝0.1x . η的分布列为E (η)＝0.21y －0.01y ＝0.2y .(2) 对A ，B 项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元【类型二】超几何分布【例1】：(2015·重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．【解析】： (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0,1,2，且 P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故EX ＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)．答案：(1) 14. (2) 35．【例2】：某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望．【解析】： (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100. (2)根据题意，X 的可能取值为1,2,3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35， P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15，所以X 的分布列为因此，X 的数学期望为EX ＝1×15＋2×35＋3×15＝2.答案：(1) 99100. (2) 2.【类型三】两项分布【例1】：某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随机变量，其分布列分别为 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z (单位：元)是一个随机变量．(1)求Z 的分布列和均值；(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率． 【解析】：(1)设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为z ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1.5y ≤W ，x ＋1.5y ≤12，2x －y ≥0，x ≥0，y ≥0.① 目标函数z ＝1000x ＋1200y .当W ＝12时，①表示的平面区域如图(1)，三个顶点分别为A (0，0)，B (2.4，4.8)，C (6，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z 1200，当x ＝2.4，y ＝4.8时，直线l ：y ＝－56x ＋z 1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝2.4×1000＋4.8×1200＝8160.当W ＝15时，①表示的平面区域如图(2)，三个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (7.5，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z 1200，当x ＝3，y ＝6时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝3×1000＋6×1200＝10 200.当W ＝18时，①表示的平面区域如图(3)，四个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (6，4)，D (9，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z 1200，当x ＝6，y ＝4时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝6×1000＋4×1200＝10 800.故最大获利Z 的分布列为因此，E (Z )＝8160×0.3＋10 200×0.5＋10 800×0.2＝9708.(2)由(1)知，一天最大获利超过10 000元的概率P 1＝P (Z >10 000)＝0.5＋0.2＝0.7， 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为 P ＝1－(1－P 1)3＝1－0.33＝0.973. 答案：(1)最大获利Z 的分布列为E (Z )＝8160×0.3＋10 200×0.5＋10 800×0.2＝9708.(2) 0.973. 【例2】：在一次数学考试中，第22,23,24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选一题，设5名同学选做这三题中任意一题的可能性均为13，每位同学对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率；(2)设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【解析】：(1)设事件A 1表示“甲选22题”，A 2表示“甲选23题”，A 3表示“甲选24题”，B 1表示“乙选22题”，B 2表示“乙选23题”，B 3表示“乙选24题”，由甲、乙选做同一题的事件为A 1B 1＋A 2B 2＋A 3B 3，且A 1与B 1，A 2与B 2，A 3与B 3相互独立， 所以P(A 1B 1＋A 2B 2＋A 3B 3)＝P(A 1)P(B 1)＋P(A 2)P(B 2)＋P(A 3)P(B 3)＝3×19＝13.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5，则ξ～B(5，13)，所以P(ξ＝k)＝C k 5(13)k (23)5－k ＝C k 525－k35，k ＝0,1,2,3,4,5.所以ξ的分布列为所以E ξ＝np ＝5×13＝53.答案：(1) 13. (2) 53.【同步训练】【一级目标】基础巩固组一．选择题1.已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望EX ＝( )A.32 B ．2 C.52 D ．3 【解析】：EX ＝1×35＋2×310＋3×110＝32.答案：A.2.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )A ．C 1012⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582 B ．C 912⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582 C ．C 911⎝⎛⎭⎫589⎝⎛⎭⎫382 D ．C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582【解析】：“X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P (X ＝12)＝38×C 911⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582＝C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582.答案：D ．3.在四次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生一次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4，1]B ．(0，0.4]C ．(0，0.6]D ．[0.6，1]【解析】：由题知C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，解得p ≥0.4，故选A ． 答案：A ．4.随机变量X 的分布列为则E (5X ＋4)等于( )A ．15B ．11C ．2.2D ．2.3 【解析】：∵E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，∴E(5X ＋4)＝5E(X)＋4＝11＋4＝15. 答案：A ．5.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量X 为“|a －b |的取值”，则X 的数学期望E (X )为( )A.89B.35C.25D.13【解析】：对称轴在y 轴的左侧(a 与b 同号)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126(条)，X 的可能取值有0，1，2.P(X ＝0)＝6×7126＝13，P(X ＝1)＝8×7126＝49，P(X ＝2)＝4×7126＝29，故E(X)＝0×13＋1×49＋2×29＝89.答案：A. 二．填空题6.设随机变量X ～B(6，12)，则P(X ＝3)的值为 (用最简的分数作答）【解析】：P(X ＝3)＝C 36(12)3(12)3＝516. 答案：516. 7.10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．【解析】：由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝C 13C 37C 410＝12.答案：12.8.设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥1)＝________．【解析】：∵X ～B (2，p )，∴P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 02(1－p )2＝59，解得p ＝13.又Y ～B (3，p )，∴P (Y ≥1)＝1－P (Y ＝0)＝1－C 03(1－p )3＝1927.答案：1927.三．解答题9.某校对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次．若考核为合格，则授予1个学分；若考核为优秀，则授予2个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45，23，23，且他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一人考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X ，求随机变量X 的分布列及数学期望． 【解析】：(1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙三人中至少有一人考核为优秀”为事件D ，则P (D )＝1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－15×13×13＝4445.(2)由题意，得X 所有可能的取值是3，4，5，6，P (X ＝3)＝P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝145，P (X ＝4)＝P (A B C )＋P (ABC )＋P (A B C )＝845，P (X ＝5)＝P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC )＝49，P (X ＝6)＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝1645，所以故E (X )＝3×145＋4×845＋5×49＋6×1645＝7715.答案：(1) 4445.(2) X E (X )＝3×145＋4×845＋5×49＋6×1645＝7715.10.某中学校本课程共开设了A ，B ，C ，D 共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生．(1)求这3名学生选修课所有选法的总数；(2)求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；(3)求这3名学生中选择A 选修课的人数X 的分布列和数学期望． 【解析】：(1)每个学生有4个不同的选择，根据分步计数原理，选法总数N ＝4×4×4＝64.(2)设“恰有2门选修课没有被这3名学生选择”为事件E ，则P (E )＝C 24C 23A 2243＝916，即恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率为916. (3)方法一：X 所有可能的取值为0，1，2，3，P (X ＝0)＝3343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×3243＝2764， P (X ＝2)＝C 23×343＝964，P (X ＝3)＝C 3343＝164，所以X 的分布列为所以X 的数学期望E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.方法二：因为A 选修课被每位学生选中的概率均为14，没被选中的概率均为34，所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，且X ～B 3，14，P (X ＝0)＝343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×14×342＝2764， P (X ＝2)＝C 23×142×34＝964，P (X ＝3)＝143＝164， 所以X故X 的数学期望E (X )＝3×14＝34.答案：(1) 64. (2) 916.(3) X 的分布列为E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.【二级目标】能力提升题组一．选择题1.已知集合A ＝{x |2x 2－x －3＜0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪y ＝lg1－x x ＋3，在区间(－3，3)上任取一实数x ，则x ∈A ∩B 的概率为( )A.14B.18C.13D.112【解析】：由2x 2－x －3<0，得－1<x<32.由1－xx ＋3>0，得x －1x ＋3<0，∴－3<x<1.∴A ∩B ＝{x|－1<x<1}，故所求概率P ＝26＝13.答案：C.2.某同学做了10道选择题，每道题四个选项中有且只有一项是正确的，他每道题都随意地从中选了一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为P ，则下列数据中与P 的值最接近的是( )A ．3×10－4B ．3×10－5C ．3×10－6D ．3×10－7【解析】：P ＝C 910·149×34＋C 1010·1410＝30×1410＋1410＝31×1410＝31×12102＝31×110242≈31×(10－3)2＝31×10－6＝3×10－5. 答案：B ． 二．填空题3.[2014·浙江卷] 随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________．【解析】：设P (ξ＝1)＝x ，P (ξ＝2)＝y ，则⎩⎨⎧x ＋y ＝45，x ＋2y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝15，所以D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.答案：25.三．解答题(1)求在未来连续三天里，有连续两天的日车流量都不低于10万辆且另一天的日车流量低于5万辆的概率；(2)用X 表示在未来三天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X 的分布列和数学期望． 【解析】：(1)设A 1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A 2表示事件“日车流量低于5万辆”，B 表示事件“在未来连续三天里，有连续两天的日车流量都不低于10万辆且另一天的日车流量低于5万辆”，则P (A 1)＝0.35＋0.25＋0.10＝0.70，P (A 2)＝0.05， 所以P (B )＝0.70×0.70×0.05×2＝0.049. (2)X 所有可能的取值为0，1，2，3，P (X ＝0)＝C 03×(1－0.7)3＝0.027，P (X ＝1)＝C 13×0.7×(1－0.7)2＝0.189，P (X ＝2)＝C 23×0.72×(1－0.7)＝0.441，P (X ＝3)＝C 33×0.73＝0.343， 所以X 的分布列为因为X ～B (3，0.7)答案：(1) 0.049.(2) X 的分布列为E (X )＝3×0.7＝【高考链接】1.[2015·福建卷] 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【解析】：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3.又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23，所以X 的分布列为所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.答案：(1) 12.(2) X 的分布列为E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.2.[2014·北京卷] 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x －为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x －的大小．(只需写出结论)【解析】： (1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C＝AB∪AB，A，B相互独立．根据投篮统计数据，P(A)＝35，P(B)＝25.故P(C)＝P(AB)＋P(AB)＝35×35＋25×25＝1325.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.（3）EX＝x－.答案：(1) 0.5. (2)1325. （3）EX＝x－.3.[2014·全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．【解析】：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2.B表示事件：甲需使用设备．C表示事件：丁需使用设备．D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i)＝C i2×0.52，i＝0，1，2，所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0．31.(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为P(X＝0)＝P(B·A0·C)＝P(B)P(A0)P(C)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(B·A0·C＋B·A0·C＋B·A1·C)＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.答案：(1) 0.31.(2)2.。

二项分布与超几何分布问题区别举例文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）关于“二项分布”与“超几何分布”问题举例一．基本概念1.超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件X=k 发生的概率为：P(X=k)= nNk n MN k M C C C --⋅,k= 0,1,2,3,,m ；其中，m = minM,n,且n N , M N . n,M,N N 为超几何分布；如果一个变量X 的分布列为超几何分布列，则称随几变量X 服从超几何分布.其中，EX= n MN2.二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X,在每次试验中，事件A 发生的概率为P,那么在n 次独立重复试中，事件A 恰好发生k 次的概率为：P(X=k)= C n kp k(1-p)n-k(k=0,1,2,3,,n),此时称随机变量X 服从二项分布.记作：X B(n,p),EX= np3.“二项分布”与“超几何分布”的联系与区别(1)“二项分布”所满足的条件每次试验中，事件发生的概率是相同的；是一种放回抽样.各次试验中的事件是相互独立的；每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不发生；随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数.(2)“超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率不相同，是不放回抽样，“当样本容量很大时，超几何分布近似于二项分布;(3)“二项分布”和“超几何分布”是两种不同的分布，但其期望是相等的.即：把一个分布看成是“二项分布”或“超几何分布”时，它们的期望是相同的.分布”和“二项分布”的这种“巧合”，使得“超几何分布”期望的计算大简化.共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。

不同点：1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布。

关于二项分布与超几何分布问题区别举例Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】关于“二项分布”与“超几何分布”问题举例一．基本概念 1.超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件X=k 发生的概率为：P(X=k)=n Nk n MN k M C C C --⋅,k= 0,1,2,3,,m ；其中，m = minM,n,且n N , M N . n,M,N N 为超几何分布；如果一个变量X 的分布列为超几何分布列，则称随几变量X 服从超几何分布.其中，EX= n MN2.二项分布在n次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X,在每次试验中，事件A 发生的概率为P,那么在n次独立重复试中，事件A恰好发生k次的概率为：P(X=k)= C n k p k(1-p)n-k(k=0,1,2,3,,n),此时称随机变量X服从二项分布.记作：X B(n,p),EX= np3.“二项分布”与“超几何分布”的联系与区别(1)“二项分布”所满足的条件每次试验中，事件发生的概率是相同的；是一种放回抽样.各次试验中的事件是相互独立的；每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不发生；随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.(2)“超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率不相同，是不放回抽样，“当样本容量很大时，超几何分布近似于二项分布;合”，使得“超几何分布”期望的计算大简化.共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。

不同点：1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布。

因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的． 二．典型例题例1：袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，． 03031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴；12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 333141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，X 的分布列为（2）．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C P YC ===．因此，Y 的分布列为例2.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1) 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.(2) 记：X表示“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的数量”，求X 的分布列并求EX;分析：由题可知：从10件产品中分别任取两次得到“一等品”或“二等品”的概率是不相等的，因此是一种不放回抽样;随机变量 X服从超几何分布.解：(1) 记A1：取出3件一等品；A2：取出2件一等品；A3：取出1件一等品，二件三等品.A1、A2、A3互斥，P(A 1)= C 33C 103 = 1120 , P(A 2)= C 32C 71C 103 =740,P(A 3)= C 31C 72C 103 = 340 ; 所以，P =P(A 1)+ P(A 2)+ P(A 3)= 31120 .(2)X=0，1，2，3; X 服从超几何分布，所以P(X=0)= P(一件一等品，一件二等品，一件三等品)=310131413C C C C =310;P(X=1)=P （二件一等品，一件二等品） =3101423C C C =110; P(X=2)=P(三件一等品，一件二等品)=3101433C C C =130 ; P(X=3)= P （三件一等品，零件二等品）= 3100433C C C = 1120;EX = nM N = 3310=说明：谨防错误地认为随机变量X 服从二项分布，即：XB(3, 31120).例3.从某高中学校随机抽取16名学生，经校医检查得到每位学生的视力，其中“好视力”4人,以这16人的样本数据来估计整个学校的整体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望.分析：本题就是从“该校（人数很多）任选3人”，由此得到“好视力”人数X，若每次从该校任取一名学生为“好视力”这一事件的概率显然是相等的，因为该校“人数很多”相当于“有放回抽样”，因此，随机变量X服从“二项分布”而不是“超几何分布”.解：由题可知：X= 0,1,2,3；由样本估计总体，每次任取一人为“好视力”的概率为： P = 416 = 14，则XB(3,14 );P(X=0)= C 30( 14 )0(1- 14)3-0 = 2764; P(X=1)= C 31( 14 )1(1- 14)3-1 = 2764 ;P(X=2)= C 32( 14 )2(1- 14 )3-2 = 964 ;P(X=3)= C 33( 14 )3(1- 14 )3-3 = 164;EX = 3×14 = 34. 说明：假设问题变为：“从16名学生中任取3名，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望”.那么X 服从“超几何分布”，即：P(X=k)= 3163124C C C k k ，(X=0,1,2,3)，其中,数学期望值不变，即为：EX= 3×416 = 34.。

超几何分布和二项分布的联系和区别开滦一中张智民在最近的几次考试中,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题?什么时候用超几何分布的公式去解决呢?好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的回答就出现在教材上,人教版新课标选修2-3从两个方面给出了很好的解释.诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处! 一、两者的定义是不同的教材中的定义: (一)超几何分布的定义在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k) =nNk -n M-N k MCC C,，2,1,0k, m,其中m=min{M,n},且n ≤N,M ≤N,n,M,N ∈N,称随机变量X 服从超几何分布(二)独立重复试验和二项分布的定义1）独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验,且各次试验试验的结果相互独立,称为n 次独立重复试验,其中A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次试验结果,则P(A1A2A3…An)=P(A 1)P(A2)P(A3)…P(An)2)二项分布在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=kn kp p )1(Ck n(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X 服从二项分布,记作X~B(n,p),并称P 为成功概率。

1.本质区别(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题; (2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题2.计算公式超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)=nNk -n M-N k MCC C,，2,1,0k, m,二项分布:在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=kn kp p )1(Ck n(k=0,1,2,…,n),温馨提示:当题目中出现“用样本数据估计XXX 的总体数据”时,均为二项分布问题。

二项分布与超几何分布
的区别
Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
二项分布与超几何分布的区别：
定义：若有N 件产品，其中M 件是废品，无返回．．．
地任意抽取n 件，则其中恰有的废品件数X 是服从超几何分布的。

概率为()k n K M N M n N
C C P X k C --==. 若有N 件产品，其中M 件是废品，有．返回．．
地任意抽取n 件，则其中恰有的废品件数X 是服从二项分布的。

概率为()()1n k k k n P X k C p p -==-，其中M p N
=. 区别：（1）二项分布是做相同的n 次试验（n 次独立重复试验），
（2）当样本个数为无穷大时，超几何分布和二项分布的对应概率就相等，换而言之超几何分布的极限就是二项分布。

在废品为确定数M 的足够多的产品中，任意抽取n 个（由于产品个数N 无限多，无返回与有返回无区别，故可看作n 次独立重复试验）中含有k 个废品的概率当然服从二项分布。

在这里，超几何分布转化为二项分布的条件是①产品个数应无限多，否则无返回地抽取n 件产品是不能看作n 次独立试验的.②在产品个数N 无限增加的过程中，废品数应按相应的“比例”增大，否则上述事实也是不成立的。

（3）实际上，在以样本估计总体时，从样本中无返回地任意抽取n 件，当然废品件数X 服从超几何分布的；而从总体中无返回地任意抽取n 件，理想认为．．．．
废品件数X 服从二项分布的。

吉林教育·教学7／2013二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决。

在实际应用中，如何理解它们的关联性同时又能区分两个概率模型呢？本文笔者就此问题予以阐述。

一、超几何分布与二项分布的定义1.一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品数,则事件{X=k}发生的概率为P (X=k)=C M k C n－m n－kC Nn，k=0，1，2，…，m其中m=min {M,n}，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N*。

其分布列为超几何分布列。

如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布。

2.一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。

在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数X ，在每次试验事件A 发生的概率为p,那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X=k)=C n k P k（1-p ）n-k，k=0，1，2，…，n 。

此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p)，并称p 为成功概率。

二、超几何分布与二项分布的区别从它们的定义不难看出超几何分布研究的是试验后的结果（不研究试验中先后取的顺序），并且是无放回的抽取；二项分布研究的是既有研究先后发生的顺序又有试验结果，并且是有放回的抽取。

超几何分布是无放回的抽取，即每做一次试验，下一次再发生同一事件A 的概率已经发生了变化，即每次发生的概率都不相等。

实质上，超几何分布是古典概型的一种特例。

二项分布是有放回的抽取，每做一次试验，发生同一事件A 的概率都相同。

这就是二者之间的区别。

本文笔者举例说明：例1：在装有4个黑球6个白球的袋子中，任取2个，试求：(1)不放回地抽取，取到黑球数X 的分布列；(2)有放回地抽取，取到黑球数的分布列。

解：（1）是不放回地抽取，X 服从超几何分布。

二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决。

在实际应用中，如何理解它们的关联性同时又能区分两个概率模型呢？本文笔者就此问题予以阐述。

一、超几何分布与二项分布的定义1.一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品数,则事件{X=k}发生的概率为P (X=k)=C M k C n－m n－kC Nn，k=0，1，2，…，m其中m=min {M,n}，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N*。

其分布列为超几何分布列。

如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布。

2.一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。

在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数X ，在每次试验事件A 发生的概率为p,那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X=k)=C n k P k（1-p ）n-k，k=0，1，2，…，n 。

此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p)，并称p 为成功概率。

二、超几何分布与二项分布的区别从它们的定义不难看出超几何分布研究的是试验后的结果（不研究试验中先后取的顺序），并且是无放回的抽取；二项分布研究的是既有研究先后发生的顺序又有试验结果，并且是有放回的抽取。

超几何分布是无放回的抽取，即每做一次试验，下一次再发生同一事件A 的概率已经发生了变化，即每次发生的概率都不相等。

实质上，超几何分布是古典概型的一种特例。

二项分布是有放回的抽取，每做一次试验，发生同一事件A 的概率都相同。

这就是二者之间的区别。

本文笔者举例说明：例1：在装有4个黑球6个白球的袋子中，任取2个，试求：(1)不放回地抽取，取到黑球数X 的分布列；(2)有放回地抽取，取到黑球数的分布列。

解：（1）是不放回地抽取，X 服从超几何分布。

从10个球中任取2球的结果数为C 102，从10个球中任取2个，其中恰有k 个黑球的结果数为C 4k C 62-k，那么从10个球中任取2个，其中恰有k 个黑球的概率为P （X=k ）=C 4k C 62－kC 102，k=0，1，2。

二项分布与超几何分布的区别与联系1.定义：（1）超几何分布：设有总数为N件的两类．．物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为()m n mM N MnNC CP X mC --== (0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，则称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.（2）二项分布：若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为p，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n) ，于是得到X的分布列(q＋p)n＝C0n p0q n＋C1n p1q n－1＋…＋C k n p k q n－k＋…＋C n n p n q0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记做X～B(n，p).2.本质区别：（1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，二项分布描述的是放回抽样问题，也就是说二项分布中每个事件之间是相互独立的，而超几何分布不是；（2）超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题，二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题.温馨提示：(1)超几何分布需要知道总体的容量，也就是总体个数有限；而二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”．(2)当题目中出现“用样本数据估计×××的总体数据”是均为二项分布;(3)二项分布与超几何分布两者之间存在着联系：当调查研究的样本容量非常大时，在有放回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何分布认为是二项分布.概率论中的二项分布与超几何分布都是古典概型。

【典例】某批n 件产品的次品率为2％，现从中任意地依次抽出3件进行检验，问： （1）当500,5000,50000n =时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？（2）根据（1）你对超几何分布与二项分布的关系有何认识？【解】（1）在放回的方式抽取中，每次抽取时都从这n 件产品中抽取，从而抽到品的概率都为0.02.可以把3次抽取看成是3次独立重复试验，这样抽到的次品数X ～(3,0.02)B ,恰好抽到1件次品的概率为1223(1)0.02(10.02)30.020.980057624=.P X C ==⨯⨯-⨯⨯≈在不放回的方式抽取中，抽到的次品数X 是随机变量，X 服从超几何分布，X 的分布与产品的总数n 有关，所以需要分3种情况计算：①500n =时，产品的总数为500件，其中次品的件数为500⨯2％=10，合格品的件数为490件。

超几何分布和二项分布的联系和区别开滦一中 张智民在最近的几次考试中,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题?什么时候用超几何分布的公式去解决呢?好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的答复就出现在教材上,人教版新课标选修2-3从两个方面给出了很好的解释.诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处! 一、两者的定义是不同的教材中的定义: (一)超几何分布的定义在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)=nNk-n M -N k M C C C , ，2,1,0k =, m,其中m=min{M,n},且n ≤N,M ≤N,n,M,N ∈N,称随机变量X 服从超几何分布(二)独立重复试验和二项分布的定义1〕独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验,且各次试验试验的结果相互独立,称为n 次独立重复试验,其中A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次试验结果,则P(A1A2A3…An)=P(A 1)P(A2)P(A3)…P(An) 2)二项分布在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=k n k p p --)1(C k n(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X 服从二项分布,记作X~B(n,p),并称P 为成功概率。

(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题;(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)=n Nk-n M -N k M C C C , ，2,1,0k =, m,二项分布:在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=kn k p p --)1(C k n(k=0,1,2,…,n), 温馨提示:当题目中出现“用样本数据估计XXX 的总体数据”时,均为二项分布问题。

超几何分布和二项分布的联系和区别开滦一中张智民在最近的几次考试中,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题?什么时候用超几何分布的公式去解决呢?好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的回答就出现在教材上,人教版新课标选修2-3从两个方面给出了很好的解释.诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处!一、两者的定义是不同的教材中的定义:(一)超几何分布的定义在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=nNk-nM-NkMCCC,Λ，2,1,0k=, m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N,称随机变量X服从超几何分布(二)独立重复试验和二项分布的定义1）独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验,且各次试验试验的结果相互独立,称为n 次独立重复试验,其中A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次试验结果,则P(A1A2A3…An)=P(A 1)P(A2)P(A3)…P(An)2)二项分布在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=k n k p p --)1(C k n (k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X 服从二项分布,记作X~B(n,p),并称P 为成功概率。

1.本质区别(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题;(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题2.计算公式超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k) =n Nk -n M -N kM C C C ,Λ，2,1,0k =, m, 二项分布:在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=k n k p p --)1(C k n (k=0,1,2,…,n), 温馨提示:当题目中出现“用样本数据估计XXX 的总体数据”时,均为二项分布问题。

在离散型变量综合题型中，如何快速地识别“二项分布”与“超几何分布”两种分布列的区分应按下述步骤进行快速识别：（一）从抽样方法来区分。

若在题干中出现明显的“放回抽样”、“不放回抽样”、“一次性抽取几件”、“n次独立重复试验”等字眼时，“放回抽样”、“n次独立重复试验”对应“二项分布”，“不放回抽样”对应“超几何分布”，“一次性抽取几件”可以理解为“不放回地抽取一件，连续抽取几次”，这样就对应“超几何分布”了。

（二）若是没有明显的字眼特征，则第二步马上应“从抽取产品的总数N和其中所含次品的件数M是否明确来区分”注意：题中若出现“用频率估计概率”、“以样本推断总体”等字眼时，应判断为“总体数N不确定”，适用“二项分布”。

这是因为：“用频率估计概率”本身“概率”就是发生的可能性大小，具有不确定性，“以样本推断总体”中的“推断”就是“估计、大概”的意思，具有不确定性。

例：某工厂为检验其所生产的产品的质量，从所生产的产品中随机抽取10件进行抽样检验，检测出有两件次品.（1）从这10件产品中随机抽取3件，其中次品件数为X，求X分布列和期望；（2）用频率估计概率，若所生产的产品按每箱100件装箱，从一箱产品中随机抽取3件，其中次品件数为Y，求Y分布列和期望;（3）用频率估计概率，从所生产的产品中随机抽取3件，其中次品件数为Z，求Z分布列和期望.分析：第（1）问中，抽取产品的总体N=10，所含次品件数M=2，都是明确的，所以该随机变量的分布为超几何分布。

第（2）问是从一箱产品中抽取，产品的总体N=100是明确的，但其中有多少件次品M是不明确的，有的同学根据样本可认为M=20，但违背了题目中的“用频率估计概率”这一条件，或者说没有理解这句话的含义，本质上就是概率的定义没有理解。

根据概率定义，“用频率估计概率”这一条件应理解为：从这100件产品中任意抽取1件产品，该件产品是次品的概率是0.2，同时抽取3件等同于不放回抽1件3次，由于每次的概率都是0.2，因此，可以看成独立重复实验，该随机变量的分布为二项分布。

低碳 非低碳 来自 B 小区,求这族4人中恰族t 2人是低碳比例二项分布与超几何分布是两个非常重要的、 应用广泛的概率模型，实际中的 许多问题都可以利用这两个概率模型来解决。

在实际应用中，理解并区分两个概 率模型是至关重要的。

下面举例进行对比辨析。

1•有放回抽样：每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是 相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型。

2. 不放回抽样:取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不 同的，此种抽样为超几何分布模型。

因此，二项分布模型和超几何分布模型最主 要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样。

所以，在解有关二项分布和超几何 分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的（特别注意：二项分布是在n 次独立重复试验的3个条件成立时应用的）。

超几何分布和二项分布的区别：（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2 ）超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取（独立 重复）。

练习题：1袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取 3次，每次取1个球。

求:（1） 有放回抽样时，取到黑球的个数X 的分布列；（2） 不放回抽样时，取到黑球的个数Y 的分布列。

2.今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人 们可以扰此计算出自己每天的碳排放量。

例如：家居用电的碳排放量（千克）耗电度数X .785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数X 0.785等。

某班同学利 用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯进否符合低碳观念的调查。

若生活习 惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”。

这二族人数占各自 小区总人数的比例P 数据如下：（II ） A 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有 20%的人加入到低碳族的行列。

如果2周后随机地从A 小区中任选25个人，记 表示25个人中低碳族人数，求 E .3. 在“自选模块”考试中，某试场的每位同学都选了一道数学题，第一小组 选《数学史与不等式选讲》的有1人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有5 人，第二小组选《数学史与不等式选讲》的有2 人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有 4 人，现从第一、第二两小组各任选2人分析得分情况.(I)求选出的4人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率；(U)设为选出的4个人中选《数学史与不等式选讲》的人数，求的分布列和数学期望．4. (2008 年四川延考)一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B类、C类.检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有 C 类产品或 2 件都是 B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整.已知该生产线上生产的每件产品为 A 类品，B类品和C类品的概率分别为0.9,0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响.(1) 求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；(2) 若检验员一天抽检3次，以软示一天中需要调整设备的次数，求E 的分布列.5. 甲、乙两人参加2010 年广州亚运会青年志愿者的选拔.打算采用现场答题的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的 6 题，乙能答对其中的8 题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题才能入选.(1) 求甲答对试题数E的概率分布；(2) 求甲、乙两人至少有一人入选的概率.(2oi2*an一模)甲、乙两名同学在§次與语口语测试中的咸绩统计如留的莖叶團所凤(1) 现莫从中选派一人泰加英话口语竞赛，从两同学的平均成議和方差分析，派谨参加更合适I(2) 若解频率视为槪率，前学生甲在今后的三次英语口语孟赛成麵进行预测，i己这三次成攝中鬲干汕分的次数为◎求电的分布列及數学期璽昭”(?t：样本数据“吁―> 龈的万差s*=-y L(x1~x r+ix^_x T+"-+(x ~r T] F其中工表示稈本均值丿6.7.仙⑷BI川aw为了蘇檢魅频瓢漏麟忆从械甦帳机齡了眩同勒这附禅鼬媒用数[婷叶跚示⑴竝睢薛赭解査蛹賊虽(2)处睢薛中耿选俯師学柚析髓冊楠込册城關司学中糊低千釉冊U瓠求血般狮期。

精心整理在苏教版《数学选修2-3》的课本中，第二章《概率》的2.2节和2.4节分别介绍了两种离散型随机变量的概率分布，超几何分布(hyper-geometricdistribution)与二项分布（binomialdistribution）。

通过实例，让学生认识模型所刻画的随机变量的共同特点，从而建立新的模型，并能运用两模型解决一些实际问题。

然而在教学过程中，却发现学生不能准确地辨别所要解决的问题是属于超几何分布还是二项分布，学生对这两模型的定义不能很好的理解，一遇到含“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，不加分析，随便滥用公式。

事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别。

课本对于超几何分布的定义是这样的：一般的，若一个随机变量X的分布列为，其中，则称X服从超几何分布，记为。

其概率分布表为：对于二项分布的定义是这样的：若随机变量X的分布列为，其中则称X服从参数为n，p的二项分布，记为。

其概率分布表为：超几何分布与二项分布都是取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求取有截然不同的表达式，但看它们的概率分布表，会发现构造上的相似点，如：随机变量X的取值都从0连续变化到l，对应概率和N，n，l三个值密切相关……可见两种分布之间有着密切的联系。

课本中对超几何分布的模型建立是这样的：若有N件产品，其中M件是废品，无返回地任意抽取n件，则其中恰有的废品件数X是服从超几何分布的。

而对二项分布则使用比较容易理解的射击问题来建立模型。

若将但超几何分布的概率模型改成：若有N件产品，其中M件是废品，有返回的任意抽取n件，则其中恰有的废品件数X是服从二项分布的。

在这里，两种分布的差别就在于“有”与“无”的差别，只要将概率模型中的“无”改为“有”，或将“有”改为“无”，就可以实现两种分布之间的转化。

“返回”和“不返回”就是两种分布转换的关键。

如在2.2节有这样一个例题：高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球、20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，摸到4个红球1个白球就是一等奖，求获一等奖的概率。

二项分布与超几何分布辨析超几何分布和二项分布都是离散型分布超几何分布和二项分布的区别：超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.........例1袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．例2．某市十所重点中学进行高三联考，共有5000名考生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表： （1）根据上面的频率分布表，求①，②，③，④处的数值；（2）根据上面的频率分布表,在所给的坐标系中画出在区间[]80,150上的频率分布直方图; （3）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从总体中任意抽取3个个体,成绩落在[]100,120中的个体数为ξ,求ξ的分布列和数学期望．练习2.为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加2010年广州亚运会跳水项目，对甲、乙两名运动员进行培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次,得出茎叶图如图所示（Ⅰ）从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑,你认为选派哪名运动员合适? （Ⅱ）若将频率视为概率,对甲运动员在今后3次比赛成绩进行预测,记这3次成绩中高于80分的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E ξ。

分组频数 频率 [)80,90 ① ② [)90,100 0．050 [)100,110 0．200 [)110,12036 0．300 [)120,130 0．275 [)130,14012 ③ [)140,1500．050 合计④甲 乙5 32 58 0 3 5 5 4 1 9 8 7 9123510152025 参加人数 活动次数例3．按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参 加一次社会实践活动（以下简称活动）．某校高一· 一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如条 形图所示．（I ）求该班学生参加活动的人均次数x ；（II ）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动 次数恰好相等的概率；（III ）从该班中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．（要求：答案用最简分数表示）练习3．某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩分成六段[40,50]、[50,60]、…、[90,100]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80]内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在[40,60]记0分，在[60,80]记1分，在[80,100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望。