第三章第六节 函数图像的描绘

第六节 函数的作图法
一、曲线的凹凸性与拐点 二、曲线的渐近线 三、函数图形的描绘 四、小结 思考题
一、曲线的凹凸性与拐点
1．曲线的凹凸性
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
C
B
A
o
x
y
y f (x)
f (x1) f (x2 )
2
f ( x1 x2 ) 2
o
x1
x1 x2 2
x2
x
图形上任意弧
2 1
A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
y
y
f
(
1
x)
2
3
B
A oa
f ( x) 递减
bx y 0
定理1 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b)内具有 一阶和二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凹的 ; (2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凸的 .
解 lim f ( x) lim 2( x 2)( x 3) 垂直渐近线x 1
x1
x1
x1
lim f ( x) lim f ( x) 没有水平渐近线
x
x
又 lim f ( x) lim 2( x 2)(x 3) 2,
x x
x x( x 1)
lim[
f
(
x)
2
x]
2( lim[
段位于所张弦
的下方
凹
y
y f (x)
o x1 x1 x2 x2 x
2
图形上任意弧 段位于所张弦 的上方
凸
定义 设f (x)在区间 I 上连续, 如果对 I 上任意两
点 x1,
x2 ,
恒有
f
(
x1
2
x2
)
f (x1) f (x2 ) ,那么称 2
f (x) 在 I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）;
凹
凹凸区间为 (,0], [0, 2 3], [2 3 ,).
求拐点(凹凸区间)的步骤: (1) 确定函数f ( x)的定义域，求f ( x)和f ( x); (2) 求出f ( x) 0的点和二阶不可导点； (3) 用这些点将定义域分成若干个部分区间，
并确定f ( x)在每个部分区间上的符号； (4)由此判断凹凸性，并确定拐点.
x
2)(
x
3)
2x]
lim
4
x
12
4,
x
x
x1
x x 1
y 2x 4 是曲线的一条斜渐近线.
f ( x) 2( x 2)( x 3) 的两条渐近线如图 x1
三．函数图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形. 第一步 确定函数 y f ( x)的定义域,对函数进行 奇偶性、周期性讨论, 求出函数的一阶导数 f ( x) 和二阶导数 f ( x);
第二步 求内的全部实根，用这些根同一阶导数、二阶 导数不存在的点把函数的定义域划分成若干个区 间.
第三步 确定在各个区间内 f ( x) 和 f ( x) 的符
号，并由此确定函数的形态；
例1 判断曲线 y x3 的凹凸性. 解 定义域 D : (,)
y 3x2, y 6x 当x 0时， y 0 此时曲线是凸的； 当x 0时， y 0 此时曲线是凹的； 综上，曲线f ( x)的凸区间是(，0)，凹区间是(0,+).
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
3. 曲线的拐点
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
4. 拐点的求法
使得f ( x) 0成立的点( x0, f ( x0 ))可能是拐点.
例 f (x) x4
f ( x) 4x3
f ( x) 12x2 f (0) 0
但(0,0)并不是曲线 f ( x) 的拐点.
注意：若 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能是 连续曲线 y f ( x) 的拐点.
那么 y ax b 就是 y f ( x) 的一条斜渐近线.
斜渐近线求法:
lim f ( x) a, lim[ f ( x) ax] b.
x x
x
那么 y ax b 就是曲线 y f ( x) 的一条斜渐近线.
注意: a, b要同时存在.
例1 求 f ( x) 2( x 2)( x 3) 的渐近线. x1
例 曲线 y 3 x
y
1
2
x 3,
y
2
5
x3
2
显然f (0)不存在
3
9
93 x5
当x 0时， y 0 此时曲线是凹的；
当x 0时， y 0 此时曲线是凸的；
故(0,0)是曲线 f ( x)的拐点.
使得f ( x) 0的点和二阶不可导点都可能是拐点.
判定方法: (1) x0两近旁f ( x)变号,点( x0, f ( x0 ))即为拐点; (2) x0两近旁f ( x)不变号,点( x0, f ( x0 ))不是拐点.
如果恒有f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) ,那么称 f (x)
2
2
在 I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．
如果f ( x)在[a,b]内连续,且在 (a,b)内的图形是凹 (或凸)的,那么称 f ( x)在[a,b]内的图形是凹(或凸)的.
2．凹凸性的判定
y
y f (x) B 3
例2 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及凹凸区间.
解 定义域 D : (,)
y 12x3 12x2, y 36x( x 2)
3
令y 0,
得
x1
0,
x2
2. 3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
2 3
(23 ,)
f ( x)
0
0
f (x) 凹
拐点
凸
(0,1)
拐点
(2 3 ,1127)
二、渐近线
(1) 垂直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线)
如果 lim f ( x) 或 lim f ( x)
x x0
x x0
那么 x x0 就是 y f ( x) 的一条垂直渐近线.
例如 y
1
,
( x 2)(x 3)
有垂直渐近线两条:
x 2, x 3.
(2) 水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线)
如果 lim f ( x) b 或 lim f ( x) b (b 为常数)
x
x
那么 y b 就是 y f ( x) 的一条水平渐近线.
例如 y arctan x,
有水平渐近线两条: y , y .
2
2
(3) 斜渐近线
如果 lim [ f ( x) (ax b)] 0 x 或 lim [ f ( x) (ax b)] 0 (a,b 为常数) x