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第一章导数及其应用3. 1变化率与导数练习（P6）在第3 h和5 h时，原油温度的瞬时变化率分别为1和3.它说明在第3 h附近，原油温度大约以1 C/ h的速度下降；在第 5 h时，原油温度大约以 3 C/ h的速率上升.练习（P8）函数h（t ）在t - t3附近单调递增，在t~t4附近单调递增.并且，函数h（t ）在t4附近比在t3附近增加得慢•［说明：体会“以直代曲”的思想练习（P9）因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m / s ,它在第5 s 的动能Ek =—1 3X 102 = 150 J. 2 4、设车轮转动的角度为'，时间为t ，则'"kt 2（「0）.由题意可知，当 t -0.8时，.-2 '-.所以k ^2^ ，于是'心二"斫t 2 .8 8函数r (V )根据图象，估算出 r (0.6) 0.3, r (1.2) 0.2说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意 义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组(P10 )1、在t 处，虽然W (t ) W (t0 10 2 0)，然w W 1(t 0 ^W 1(t^ t )4t W 2 (t 0 r W 2 (t(f t ).所以，企业甲比企业乙治理的效率高 .说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵2、h -h(1t )一 h ⑴…St 33,所以, t ； th ⑴二 3.3这说明运动员在t Ms 附近以3.3 m /s 的速度下降3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数 s （t ）在「5时的导数t ) s ( 5i t 10，所以, ts (5) 二 10 .（0 V 5）的图象为-s( 5车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数 「⑴在t 另.2时的导数A ( 3. 2+U ) &(3幵2) 25- 八一 -t 20，所以 一 (3.2)_ 20..处t 8因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为 20 s -1 .说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固 5、由图可知，函数f (x)在x - 5处切线的斜率大于零，所以函数在x =.「5附近单调递增.同理可得，函数f ( x)在x - -4，-2，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调 递减. 说明：“以直代曲”思想的应用6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数 f (x)的图象如图(1)所示；第二个函数的导数 f ( X )恒大于零，并且随着x 的增加，f ( x)的值也在增加；对于第三个函数，当X 小于零时，f ( x)小于零，当x 大于零时，f ( x)大于零，并且随着 x 的增加，f ( x)的值也在增加.以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种说明：由给出的 v( t)的信息获得s(t )的相关信息，并据此画出 s(t )的图象的大致形状.这个说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系 习题3.1 B 组(P11)1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度; 速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度 速度关于时间的导数刻画的是2、过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换3、由(1)的题意可知，函数f ( x)的图象在点(1, 5)处的切线斜率为_1，所以此点附近曲线呈下降趋势.首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象点处函数图.同理可得(2)( 3 )某象的大致形状.下面是一种参考答案.1、 f ( x) -2x -7，所以，f (2) 3, f (6) - 5.2、 (1)y 1 - (2) y — 2e x ；xln 2(3) y 二 10 x 4-6x ;(4) y 二-3sin x -1x(5) y 二 _ _ sin ；(6y 「— 13 32心-1习题1.2 A 组(P18)S S(r 阳播;r ) S(r ) r , 所以，S (r )-1、«— •一 nrr A 1A rr2、T h (t) -9.8t 6.5 .十3f ■=1 J 33、 r (V )3 '4 V 24、 (1) y - 3x 21 ;(2) y - i 说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思 想的领悟.本题的答案不唯一. 1 . 2导数的计算 练习(P18)xln 2(3) 4cos x ;nx n=e xIim(2 低 r + A r ) = 2i r .r 0"x n e x;(5)f (x)6y =—x 3cosx _cos x；( 4)sin 2 xy ^99(x 学 1)98 ；-2'x ;(6)e8 2 2x .由 f (x o ) ~ 4 有 4~ 8y 2si n(2 x 5)4 xcos(2x 5)2 2x o ，解得 x o 一 3' 2 .7、 y 1.8、 ( 1)氨气的散发速度 A (t ) ~500 In0.8340.834：(2) A (7) 一 25.5，它表示氨气在第 7天左右时，以25.5克/天的速率减少(3)y -sin x 的导数为y - cos x .就越来越逼近函数y cos x .-0时，x-0.所以函数图象与x轴交于点P(0,0).x，所以y e y所以，曲线在点P处的切线的方程为d (t) - -4sin t .所以，上午6:00时潮水的速度为0.42 m / h ;上午9:00时潮水的速度为0.63 m / h;中午12:00时潮水的速度为1 . 3导数在研究函数中的应用练习(P26)0.83 m/h ;下午6:00时潮水的速度为 1.24 m /h.1、亠44 ,所以*f ( X)-2x1时，函数f ( X)二X21时，函数 f ( X尸X2所以 f (X) -e x 1 .时，函数 f ( x)- -e x时，函数 f ( x)- -e x(1)因为f ( x)_x2— 2x-2 .-2 x 4单调递增;当f (x) 0 ,即x2x 4单调递减.x单调递增;-x单调递减.(2)因为f ( x) v e x x ,当 f (x) 0，即x,所以f ( x)二3 3x2.jf,当 f (x) 0，即x :当 f (x) 0，即x(3)因为f ( x) =3x x3当f (X) 0 ,即一1 X 1时，函数f (x) -3x x3单调递增;3(4)因为f ( x) 一x3一x2…x，所以f ( x) — 3x2一2x 一1.1当f(X)0，即X —•或x . 1时，函数f ( X)- X3 - X2- X单调递增;3当f (x).0,即—1 x 1时，函数f ( x) _ x 3x 2x 单调递减轧_ M w亠 _ _32、 絆- 匕・ ------ ・---- V* a Pi［砾號\: 注：图象形状不唯一.bx c(a - 0)，所以 f ( x)- 2ax b .(2) 当 a <0 时，因此函数f ( x) ~2x 3 - 6x 2 7在(0, 2)内是减函数练习(P29)1、X 2 , X 4是函数y 一 f ( x)的极值点，其中x x 2是函数 y — f (x)的极大值点，x " x 4是函数y — f ( x)的极小值点. 2、( 1)因为 f ( x)— 6 x 2 x 2，所以 f ( x) -12x 1 .令 f (x) 12- x-1 £，得 x 尸■ 1 .121当x 严一时，f (x)0， f ( x)单调递增；当x 凉；1时，f (x):0， f ( x)单调递减.12 12所以，当x -r 时，f (x)有极小值，并且极小值为f (r i 6(r)2-”r -.3、因为 f (x)ax 2 (1 )当 a 「0 时，即x —b时，2a即x — 时，f (x) 0， f (x) 0，函数 函数f ( x) = ax 2bx 2f ( x) _ ax bx• c(a - 0)单调递增; c( a 二0)单调递减.f(x) 0 ， 函数2f ( x) _ ax bxf (x)0， 4、证明：因为f ( x) 2x 3即x 弓一“b 时， 2a 即x b 时，2a6x 27，所以'f (x)—6x 2c( a-0)单调递增; 函数 2f ( x)ax bxc(a 辱0)单调递减.12x .当 x (0, 2)时，f ( x) £x 2 12 x : 0，12 12 12 12 24 (2) 因为f ( x) — x327x，所以f ( x) — 3x227 .令f (x) 3x2一27 一0，得x 一：3 .下面分两种情况讨论：①当f (；)讥，即x V—3或x --3时；②当f "(x) V 0，即3 V X* 3时.if当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表：因此，当x壬鼻3时，f ( x)有极大值，并且极大值为54 ;当x - 3时，f (x)有极小值，并且极小值为—54 .(3) 因为f ( x) -6 12x x3，所以f ( x) - 12 3x2.令f (x) 12 - 3x2-0，得x -匚2 .下面分两种情况讨论：①当f ( x) ■ 0，即卩2 x :: 2时；②当f(X)： 0，即x匚2或x「2时. 当x变化时，f (x)， f (x)变化情况如下表:因此，当S2时，f ( x)有极小值，并且极小值为=10 ；当x -2时，f ( x)有极大值，并且极大值为22(4) 因为f ( x)_3x_x3，所以f( x)— 3 3x2.令f (x) 3二3x2二0，得x 1 .下面分两种情况讨论：①当f ( 1)哀・0，即卩彳东＜1时；②当f '( x)弋0，即x V F或x洁1时. 当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表:因此，当x二-1时，f ( x)有极小值，并且极小值为"2 ；当x _1时，f (x)有极大值，并且极大值为2练习(P31 )11(1 )在［0, 2］上，当x _ 时，f ( X )_6X 2_X _2有极小值，并且极小值为f ()1212又由于 f (0)冃一2 , f (2)- 20 .因此，函数f ( x) 6x 2x 2在［0, 2］上的最大值是20、最小值是 _49・24(2)在［-4,4］上，当x "=-3时，f (x)x^ - 27x 有极大值，并且极大值为 f ( 3): 当x 二3时，f (x) m x 3- 27 x 有极小值，并且极小值为f ⑶--又由于 f ( V) — 44， f (4)戸—』44.又由于f (丄__，f ⑶_15 .3271 55因此，函数f ( x) -6 12x _x 3在［—,3］上的最大值是 22、最小值是.327在［2,3］上，函数f (x) -3x - x 3无极值. 因为 f (2) - 2，f (3) - 18 .因此，函数f ( x) =3x_x 3在［2,3］上的最大值是 一2、最小值是一18习题1.3 A 组(P31)_ 49 24-54 ； 54 ；二 22 .因此，函数f ( x) - X 3-- 27 x 在卜4,4］上的最大值是 54、最小值是 54 .1,3］上，当x -2时，f ( x)二6 12x _ X 3有极大值，并且极大值为f (2)31 551、( 1)因为f (刈二一2 x 1，所以f ( x)二一2 0 .因此，函数f ( x)二「2x 1是单调递减函数.(2) 因为f ( x) = x cos x ，x (0, —)，所以f (x) = 1 sin x 0 ，x (0, —).2 2 因此，函数f ( x) - x cos x在(0, — )上是单调递增函数.2(3) 因为f ( x) 一-2x^4，所以f (x) 2一：0 .因此，函数 f ( x) -2x 4是单调递减函数.(4) 因为f ( x) -2 x3” 4x，所以f ( x)— 6x2 40 .因此，函数f ( x) - 2x3 4x是单调递增函数.2、( 1)因为f ( x)— x2• 2x 4，所以f ( x) —2x 2 .当f (x) 0 ,即x萨一1时，函数f (x)尸x2 1 2x 4单调递增当 f (x) f (x) - x22x i 4单调递减(2)因为f ( x)-2x2 - 3x^3，所以f (x) -4x - 3 .当f (x) 0，即x 3时，函数f ( x) - 2x2 _ 3x 3单调递增4当f (x) 0，即x 3时，函数f ( x) _2x2 3x 3单调递减4(3)因为f ( x)-3x x3，所以f ( x) 3 - 3x2 0 .因此，函数f ( x) _3x x3是单调递增函数.(4)因为f ( x) =x3 +x2 - x，所以f "( x) =3x2±2x -1.1当f (x) 0，即x^»1或x 时，函数f ( x) _ x3 x2一_ x单调递增.31当f (x) 0,即_1 x.：时，函数f ( x)=x3^x2= x单调递减.33、 ( 1)图略. (2)加速度等于0.4、 ( 1 )在X2处，导函数yf ( x)有极大值；(2)在x - X1和x—X4处，导函数y 一f (x)有极小值；(3)在x - X3处，函数y 一 f ( x)有极大值；(4)在x 一X5处，函数y— f ( x)有极小值.5、 ( 1)因为f ( x) -6 X2 x 2，所以f ( x) 12x 1 .令f (x) 12 x 1 -0，得x =「「1 .12当x啊■-时，f ( X) 0，f ( x)单调递增；12当x •-汁时，f ( x) 0， f ( x)单调递减.12所以，x 一十时，f (x)有极小值，并且极小值为 f ( 4)U夢6 (—1)2 F■12 12 12 12(2)因为f ( x) -x312x，所以f (x) 3x2 12.令f (x) "3x2 12 一0，得x「2 .下面分两种情况讨论：①当f ( x) - 0，即x 2或x 2时；②当f ( x) 0，即2 : x 2时.当x变化时，f (x) , f (x)变化情况如下表:因此，当x 一—2时，f ( x)有极大值，并且极大值为16; 当x -2时，f ( x)有极小值，并且极小值为-16 .(3)因为f ( x) -6 -12x x3，所以f ( x)— -12 3x2.令f (x) ^「12 3x2口0，得x 2 .下面分两种情况讨论：①当f ( x) • 0，即x二2或x 2时；②当f ( x) 一0，即卩2二x ： 2时.当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表:因此，当x - 2时，f ( x)有极大值，并且极大值为22 ；当x 一2时，f ( x)有极小值，并且极小值为-10 .(4)因为f ( x) -48x x3，所以f (x) - 48 3x2.令f (x)二48— 3x2二0，得x「二4 .下面分两种情况讨论：①当f ( x) 0，即x ： -2或x 2时；②当f ( xp 0，即—2 x 2时. 当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表:因此，当x _ 4时，f ( x)有极小值，并且极小值为128 ;当x -4时，f ( x)有极大值，并且极大值为 128.(1 )在［_1,1］上，当x =「丄 时，函数f (x) 6x 2+x 42有极小值，并且极小值为1247 24由于 f ( 1)一7 , f (1) 一 9 ,247所以，函数f ( x) _6x 2 x- 2在［_1,1］上的最大值和最小值分别为 9，24(2)在［3,3］上，当x »2时，函数f ( x) -x 312x 有极大值，并且极大值为16;当x =2时，函数f ( x) - X 3=12X 有极小值，并且极小值为-16 .由于 f ( —3) 一9 , f (3) - —9 ,所以，函数f ( x) - x 3-12x 在［-3,3］上的最大值和最小值分别为16， 16 .1 1(3)在［_ ,1］上，函数 f ( x) 6 12x. x 3在［—,1］上无极值.32693由于 f ( 1)，f (1)_ 5， 3271所以，函数f ( x) - 6 —12x ；方x 3在［,1］上的最大值和最小值分别为 326927(4 )当x 4时，f ( x)有极大值，并且极大值为128..由于 f ( 一3) 一 -117 , f (5) - 115 ,所以，函数f ( x) =48x_x 3在［-3,5］上的最大值和最小值分别为 128， 117 .习题3.3 B 组(P32)1、( 1 )证明：设 f ( x) _sin x x ， x (0,).因为 f ( X )- cos x 1 0， x (0,)所以f ( x) -sin x _x 在(0^ )内单调递减因此 f ( x) — sin x x ： f (0)一0， x (0/ )，即 sin x x ， x (0,). 图略(2)证明：设 f ( x) - x x 2， x (0,1). 因为 f ( x) — 1 2x ，x (0,1)所以，当x (0, 1 )时，f (x) _1_2x 0 , f (x)单调递增，2f ( x)r x x2嚣f (0) - 0 ;,1)时，f ( x) _ 1 _ 2x 0 , f ( x)单调递减，f (X)EX-X2 f (1尸0 ;1又f(__) 0 .因此，x _x20 , x (0,1).2 4()一x_1 一，x - 0 .x e x因为f ( x) - e x 1, x - 0所以，当x 0时，f ( x) - e x T 0 , f (x)单调递增，f (x)二e x 1 x f (0)二0 ；当x 0时，f ( x) i e x 1 0 , f (x)单调递减，f (x) = e x-1 - x > f (0)=0 ;综上，e x-1 x , x - 0 . |图略(4)证明：设 f (x) J|n x - x , x 0 .因为 f ( x) - 11，X = 0x所以，当0-C X V1时，f Yx) z斗一1刃，f ( x)单调递增，xf ( x)二In x i x f (1)二一1 0 ；当x 1 时，f ( x)--1-1 0，f ( x)单调递减，xf ( x) — In x x ： f (1) —10 ；当x "1时，显然In1 : 1 . 因此，In x x .由(3)可知，e x x 1 x，x 0 . 图略(3 )证明：设. 综上，In x x e x，x 0 图略2、( 1)函数f ( x) 一ax3 bx2 cx d的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或的形状.若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.(2)因为f ( x) -ax3 bx2 cx d，所以f ( x)」3ax2 2bx c .下面分类讨论：当a -0时，分a 0和a 0两种情形:①当a 0 ,且b? -3ac 0时，设方程f ( x) 一3ax2 2bx c "0的两根分别为x i, X2，且x i ' X2 ,当f (x) -3ax2 2bx 0，即x x i 或x X2 时，函数f (x) - ax3 ' bx2 ex ' d 单调递增;当f (x) _3ax2 2bx c 0，即x i，x X2 时，函数f ( x)「「ax3 bx2 ex d 单调递减.当a 0，且b23ac-0 时，此时f ( x) =3ax2 ' 2bx ' c 0，函数f ( x)二ax3 ' bx2 c^ d 单调递增②当a 0，且b2- 3ac 0时，设方程f ( x) 一3ax2 2bx c 0的两根分别为x i, X2，且x i x2，当f (x) =3ax2 2bx c ' 0，即x i x ； X2 时，函数f ( x)二ax3 bx2 cx d 单调递增;当f (x)…3ax22bx c 0，即x ：x i 或x X2 时，函数f (x) ax 3bx2 cx d 单调递减当 a 0，且b23ac—0 时，此时f ( x) "3ax2 ' 2bx ' c 0，函数f ( x) 一ax3 bx2 c^ d 单调递减i . 4生活中的优化问题举例习题i.4 A组(P37 )i、设两段铁丝的长度分别为x , l x，则这两个正方形的边长分别为x , L A，两个正方1- 4 4形的面积和为S f (x) - (-"X )2( - x)2 -亍(2 x2- 2lx T 2 ) , 0二x "1 .4 4 i6令 f ( x)二0，即4x 21 =0, x =十.2当X 和，1厂时，f '(X)W0 ；当X J )时，f ( X) 0 >2 2因此，X --是函数f ( X)的极小值点，也是最小值点.2所以，当两段铁丝的长度分别是-时，两个正方形的面积和最小2、如图所示，由于在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为 a 2x，高为x .(i )无盖方盒的容积V ( x)」(a 一2x)2 x , 0 • x ' a .2(2)因为V (x) 4x 3 _4ax2 a2 x ,(第2 题)Rh42R 0222222 8 n i i a i )当R—+ 2V x 2 m 2 (x所以 V ( x)二 12x 2 8ax a 2 . 2—2第一章课后习题解答 沖j一 T令 f (x) 0，得 x - a i ， 1 'n可以得到，x- a i 是函数f ( x)的极小值点，也是最小值点 5、设矩形的底宽为 x m ，则半圆的半径为 (第 3 题).此时，h VR 2所以，当罐咼与底面直径相等时，所用材料最省 =r z rf - 24、证明：由于 f ( x) =( x ai)，所以f (x)n i in i i这个结果说明，用 n 个数据的平均值 1-n a i 表示这个物体的长度是合理的，m ，半圆的面积为 63、如图，设圆柱的高为.-.h ，底半径为R , 则表面积S 2 Rh 2 R 2I ----- ---23 V 2R . 这就是最小二乘法的基本原理 71二厂 ----------R 2 h ，得 h V 2 'R—兀 ---------------------+ TT o — S(R) 2 R V 2 R 2 R 22V 2 R 2, R 0 . R —当R因此，二 VR 3 ；-是函数S(R)的极小值点，也是最小值点由V 因此，令 S(R)R_ 0，解得 R _ I VS(R)V ］时)时，S(R)令V (x)0 ,得x a (舍去)，或 x a .26a a a」当 x (0,)时，V (x) 0 ;当x e (- 一 )时，V ( x/0 .66 2因此，xa是函数V ( x)的极大值点，也是最大值点6 —所以，当x a 时，无盖方盒的容积最大.r °2a x矩形的面积为ax 2 m 2，矩形的另一边长为 — ) m8x 8因此铁丝的长为 I (x)冷 _xx Na -— 二(「•： =) x_2a, 0 x 8a2 x 4 4 x'■ ~令 I ( x) ] 2a _0，得 x_ 8a(负值舍去).4 x 2 丫4 械因此，所以，当底宽为8a m 时，所用材料最省.56、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.1 彳收入 R _q p 一 q (25 _ q) - 25q_ 1q 2，8 8利润 L _ R =C _(25q =1 q 2)_ (100 4q)q 221q =100， 0 : q 厂 200 .8 8求导得L * =+ 214令 L —0，即卩—1 q 21 0， q _84 .4当 q (0,84)时，L 0 ；当 q (84,200)时，L 0 ；因此，q 84是函数L 的极大值点，也是最大值点所以，产量为 84时，利润L 最大，当 x (0, 8a )时，V 4仕I ( x). 0 .x_ 8a 是函数I (x)的极小值点，也是最小值点I 4习题1.4 B组(P37)1、设每个房间每天的定价为x元，那么宾馆利润L (x)二(50 -x—)( x 20)二一1 X2 70x 1360，180 x : 680 .10 10令L (x) 1 x 70- 0，解得x -350 .5当x (180,350)时，L ( x) 0 ;当乂(350,680)时，L ( x) 0.因此，x ~ 350是函数L( x)的极大值点，也是最大值点所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大2、设销售价为x元/件时，利润L (x) =( x_a)(c #C b ~x x4)_p( x _ a)(5 —呂x) , a”.F~l«^T.b b 4令L (x) _ _ 8c x 4ac 5bc ― 0，解得x _ 4a 5b .当x _4a 5b是函数L（ x）的极大值点，也是最大值点84a所以，销售价为4a 5b元/件时，可获得最大利润81 . 5定积分的概念练习（P42）说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想练习（P45）1、S i S i --v()『二t - [ - ( ' ) 2& 2] -1 —-( i)2 1爼■nn n于是S L工/：.,s i達？止S ii T 行n[_(i )2 1 i卜n n-()2-1n n1 23 [1 22'n1 n(n 1)(23n1 1 土一占(1 )(13取极值，得n s - limn—九i 叶)] n说明：进一步体会22 kkm.3说明：进一步体会和步骤.练习（P48）x3dx 4.“以不变代变“以不变代b b⑴/ 4a」*5b 口」当x (a, )时，L (x)88r/ +5b 5b □斗0 ;当x ( 4a ,)时，8 4L ( x) 0 .从几何上看，表示由曲线 y x 3与直线x0 , x 2 , y 0所围成的曲边梯形的面积n nnnr 2^ ii'三£ v( ) ti Tn2]n(^_-1 )2」 （』）n n nn 2 ]2n 1)21 ) !n2n1 1-lim •「[-(1 -n • 厂13 n”和“ '逼近” 的思想 ”和“ '逼近” 的思想，21 n 1)(1 )2ni =1,2, ” ；»n .熟悉求变速直线运动物体路程的方法说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义习题1.5 A 组（P50 ）1、（ 1） (x 1)dx100i 1)1]10.495 ；1 2-H -- --t -------- =■i 11001002 500(2)(x __1)dx ■ -[(1i _1k_1]1 — 0.499 ；1i 怎5005002 10001(3)(X _1)dx-[(1i 」)」.<■ 1 -0.4995 .1i 110001000说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法 2、距离的不足近似值为：18 V 12 17 13 V 0 1 40（ m ）;距离的过剩近似值为： 271 18 1 12 V 7 V3 1 - 67 （ m ）3、证明：令f （ x ）匸1 .用分点a 二x o * X 1作和式i1i1y x 3所围成的曲边梯形的面积的相反数（2）根据定积分的性质，得1 qx 3dx1由于在区间［1,0］上x 30，在区间［0,1］仔x 3dx1> 上x 31x 3 dx1 1 0 .4£，所以定积分 1x 3dx 等于位于x 轴上方的将区间 ［a, b ］等分成 n个小区间，在每个小区间［X i 1 , x i ］上任取一点 i (i 1,2, , n)X i 1 X i X n — b从而「b. ； b -a 1dx i im b - a ，a 7冕斗n说明：进一步熟悉定积分的概念 4、根据定积分的几何意义，-1 x 2 dx 表示由直线沪0，x=，尸0以及曲线所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此(1)x 3 dx4<由于在区间［1,0］上x 30，所以定积分[ ~ =—"—x 3 dx 表示由直线 x 0 ， x 1 ， y1二0和曲说明：在（3）中，由于x 3在区间［1,0］上是非正的，曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积 . I 0 3x 3dx1上x 3（3）根据定积分的性质，得2 x 3dx1一 空由于在区间［1,0］ 上 x 30，在区间［0, 2］曲边梯形面积减去位于 X 轴下方的曲边梯形面积2 — — ' — ---------------------------------x 3dx1 4 15 04 4）_2，所以定积分 1x 3dx 等于位于x 轴上方的在区间 ［0, 2］上是非负的，如果直接利用定义把区间［1,2］分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵「X - il - (i 1)1-1 .n则细棒的质量挡一些项，求和会非常麻烦 .利用性质3可以将定积分2 0x 3dx 化为x 3dx.12x 3dx ，这样，x 3在区间［1,0］和区间［0, 2］ 上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出r °x 3dx ，12;x 3dx ，进而得到定积分2I x 3dx 的值.由此可见，利用定积分的性质可以化简运算--1在（2）（ 3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分 的几何意义.习题1.5 B 组（P50 ）1、 该物体在t - 0到t - 6 （单位： 说明：根据定积分的几何意义， 的路程.2、 （ 1） v — 9.81t .s ）之间走过的路程大约为 145 m.通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过（2）过剩近似值:丄1…9.81- 空-88.29 ( m )； 2 24 2不足近似值:8i 1 1 1 8 7 '9.81 ---------- 「一 9.81 一 ： ------- 68.67------------------ ( m )4(3)9.81tdt49.81tdt 二 78.48( m ).■ 0（1）分割在区间［0, l ］上等间隔地插入 l［0,-］， n 记第i 个区间为［（i-1）| , -iL ］nn -1个分点，将它分成 n 个小区间:l 2l［--,—］，,,，n n (i -1,2, n ) ［4n^）L,i ］，n把细棒在小段 [0, l ]， n[l , 2l]，,,， n nA —心[(n 2)l ,l ]上质量分别记作: n m 1, m 2 , , m n ，（2）近似代替（i -x很小时，在小区间［'1）1 , il ］上，可以认为线密度n n化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点当n 很大，即'(x) - x 2的值变值（-i ）s 卩［（F 1）l-』］处的函数n ni 2.于是，细棒在小段［,』］上质量 m^ （ i 厂x i 2」（i 「1,2, n ）.n nn(3)求和得细棒的质量m i 、2 _!_.i 1 i n(4)取极限n 细棒的质量m ^!im r.n_]* •i2 L，所以m l2x dx ..。
高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)1.复数就像平面上的点，有实部和虚部。
2.复数就像向量，有大小和方向。
3.复数就像计算机中的复数类型，有实部和虚部。
4.复数就像两个数字的有序对，有序对的第一个数字是实部，第二个数字是虚部。
改写：关于复数的四种类比推理，可以用不同的比喻来描述复数的实部和虚部。
一种比喻是将复数看作平面上的点，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标；另一种比喻是将复数看作向量，实部和虚部分别对应向量的大小和方向；还可以将复数看作计算机中的复数类型，实部和虚部分别对应类型中的两个数；最后一种比喻是将复数看作有序对，实部和虚部分别对应有序对的第一个数字和第二个数字。
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则。
②由向量a的性质|a|²＝a²，可以类比得到复数z的性质：|z|²＝z²。
③方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈R，且a≠0)有两个不同的实数根的条件是b²－4ac>0，类比可得方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈C且a≠0)有两个不同的复数根的条件是b²－4ac>0.④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义。
其中类比得到的结论正确的是：A。
①③B。
②④C。
②③D。
①④2.删除明显有问题的段落。
3.填空题：11.若复数z满足z＋i＝0，则|z|＝1.12.直线y＝kx＋1与曲线y＝x³＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为4.13.第n个正方形数是n²。
14.＋＋＝AA′BB′CC′；＋＋＋＝AA′BB′CC′DD′。
4.解答题：15.1) F(x)的单调区间为(-∞。
0)和(2.+∞)。
2) F(x)在[1,5]上的最小值为-5，最大值为9.16.因为AD⊥BC，所以AB²=AD²+DB²。
又因为AB⊥AC，所以AC²=AD²+DC²。
高二理科数学选修2-2测试题及答案高二选修2-2理科数学试卷第I卷选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.下列复数中，与5-2i共轭的是（）。
A。
5+2i B。
5-2i C。
-5+2i D。
-5-2i2.已知f(x)=3x·sinx，则f'(1)=（）。
A。
1/3+cos1 B。
11/3sin1+cos1 C。
3sin1-cos1 D。
sin1+cos13.设a∈R，函数f(x)=ex-ae-x的导函数为f'(x)，且f'(x)是奇函数，则a为（）。
A。
0 B。
1 C。
2 D。
-14.定积分∫1x(2x-e)dx的值为（）。
A。
2-e B。
-e C。
e D。
2+e5.利用数学归纳法证明不等式1+1/2+1/3+…+1/(2n-1)<f(n)(n≥2，n∈N*)的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）项。
A。
1项 B。
k项 C。
2k-1项 D。
2k项6.由直线y=x-4，曲线y=2x以及x轴所围成的图形面积为（）。
A。
40/3 B。
13 C。
25/2 D。
157.函数f(x)=x^3-ax^2-bx+a^2在x=1处有极值10，则点(a,b)为（）。
A。
(3,-3) B。
(-4,11) C。
(3,-3)或(-4,11) D。
不存在8.函数f(x)=x^2-2lnx的单调减区间是（）。
A。
(0,1] B。
[1,+∞) C。
(-∞,-1]∪(0,1] D。
[-1,0)∪(0,1]9.已知f(x+1)=2f(x)/(f(x)+2)，f(1)=1（x∈N*），猜想f(x）的表达式是（）。
A。
f(x)=4/(2x+2) B。
f(x)=2^(12/(x+1)) C。
f(x)=(x+1)/2 D。
f(x)=(2x+1)/210.若f(x)=-1/(2x^2+bln(x+2))在(-1,+∞)上是减函数，则b的取值范围是（）。
A。
[-1,+∞) B。
(-1,+∞) C。
选修2－2综合测试时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算：1＋2i－2＝( ) A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD ．1－12i[答案] B [解析]1＋2i －2＝1＋2i 1－2i ＋i 2＝1＋2i－2i ＝＋2＝－1＋12i.2．用反证法证明命题“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除[答案] B[解析] “至少有一个”的否定为“一个也没有”．3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n n 2＋3，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D ．13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] [答案] B[解析] 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.4．已知函数f (x )＝1x ＋－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )[答案] B[解析] 当x ＝1时，y ＝1ln 2－1<0，排除A ；当x ＝0时，y 不存在，排除D ；当x 从负方向无限趋近于0时，y 趋近于－∞，排除C.故选B.5．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9[答案] D[解析] 由等差数列的性质知，a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5，故D 成立．6．做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力F (x )＝1－e －x，则质点从x 1＝0，沿x 轴运动到x 2＝1处，力F (x )所做的功是( )A ．eB ．1e C ．2e D ．12e[答案] B[解析] 由W ＝⎠⎛01(1－e －x )d x ＝⎠⎛011d x －⎠⎛01e －x d x ＝x |10＋e －x |10＝1＋1e －1＝1e .7．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )对应向量的模为3，则y x的最大值是( ) A ．32B ．33C. 3 D ．12[答案] C[解析] 由|(x －2)＋y i|＝3，得(x －2)2＋y 2＝3， 此方程表示如图所示的圆C ，则y x的最大值为切线OP 的斜率． 由|CP |＝3，|OC |＝2，得∠COP ＝π3，∴切线OP 的斜率为3，故选C.8．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )[答案] C[解析] 本题考查导数的应用，函数的图象．由f (x )在x ＝－2处取极小值知f ′(－2)＝0且在－2的左侧f ′(x )<0，而－2的右侧f ′(x )>0，所以C 项合适．函数、导数、不等式结合命题，对学生应用函数能力提出了较高要求．9.观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n 个图中有________个小正方形( )A ．28，n ＋n ＋2B ．14，n ＋n ＋2C ．28，n 2D ．12，n 2＋n2[答案] A [解析]根据规律知第6个图形中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.第n 个图形中有1＋2＋…＋(n ＋1)＝n ＋n ＋2.10.给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在(0，π2)上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1 D ．f (x )＝－x e －x[答案] D[解析] 若f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ″(x )＝－sin x －cos x ， 在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝ln x －2x ，则f ″(x )＝－1x 2，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－x 3＋2x －1，则f ″(x )＝－6x ，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－x e －x，则f ″(x )＝2e －x－x e －x＝(2－x )e －x. 在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )>0，故选D.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．(2014·北京理，9)复数(1＋i 1－i )2＝________.[答案] －1 [解析] 复数1＋i1－i ＝＋2－＋＝2i2＝i ， 故(1＋i 1－i )2＝i 2＝－1. 12．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1能被14整除时，当n ＝k ＋1时，对于34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1应变形为________． [答案] 34·34k ＋1＋52·52k ＋1[解析] n ＝k 时，34k ＋1＋52k ＋1能被14整除，因此，我们需要将n ＝k ＋1时的式子构造为能利用n ＝k 的假设的形式.34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1＝34·34k ＋1＋52·52k ＋1＋34·52k ＋1－34·52k ＋1＝34(34k ＋1＋52k ＋1)＋(52－34)52k ＋1，便可得证．13．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)，将命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：____________________________________________________________________________________________________________________________________.[答案] 在四面体A －BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)14．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3ax ＋1在区间(－∞，＋∞)内既有极大值，又有极小值，则实数a 的取值范围是________________．[答案] (－∞，0)∪(9，＋∞)[解析] 由题意得y ′＝3x 2－2ax ＋3a ＝0有两个不同的实根，故Δ＝(－2a )2－4×3×3a >0，解得a <0或a >9.15.如图为函数f (x )的图像，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式x ·f ′(x )<0的解集为________．[答案] (－3，－1)∪(0,1)[解析] x ·f ′(x )<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f x ，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f x∵(－3，－1)是f (x )的递增区间， ∴f ′(x )>0的解集为(－3，－1)． ∵(0,1)是f (x )的递减区间， ∴f ′(x )<0的解集为(0,1)．故不等式的解集为(－3，－1)∪(0,1)．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．(2015·山东青岛)已知复数z 1＝i(1－i)3. (1)求|z 1|.(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．[解析] (1)|z 1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|i－1|3＝2 2. (2)如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆．而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2)，所以|z －z 1|的最大值可以看成是点Z 1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z －z 1|max ＝|z 1|＋r (r 为圆的半径)＝22＋1.17．设函数f (x )＝kx 3－3x 2＋1(k ≥0)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的极小值大于0，求k 的取值范围． [解析] (1)当k ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1，∴f (x )的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)． 当k >0时，f ′(x )＝3kx 2－6x ＝3kx (x －2k)．∴f (x )的单调增区间为(－∞，0)，(2k，＋∞)，单调减区间为(0，2k)．(2)当k ＝0时，函数f (x )不存在极小值． 当k >0时，由(1)知f (x )的极小值为f (2k )＝8k 2－12k2＋1>0，即k 2>4， 又k >0，∴k 的取值范围为(2，＋∞)．18.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解析] 解法一： (1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° ＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 解法二： (1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α) ＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.19.设a >0且a ≠1，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x .(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在(3，f (3))处切线的斜率； (2)求函数f (x )的极值点． [解析] (1)由已知得x >0.当a ＝2时，f ′(x )＝x －3＋2x ，f ′(3)＝23，所以曲线y ＝f (x )在(3，f (3))处切线的斜率为23.(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x＝x 2－a ＋x ＋ax＝x －x －ax.由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝A ． ①当0<a <1时，当x ∈(0，a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝a 时f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点． ②当a >1时，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(1，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．综上，当0<a <1时，x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点；当a >1时，x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．20.(2014·广东理)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式．[解析] (1)a 1＝S 1＝2a 2－3×12－4×1＝2a 2－7①a 1＋a 2＝S 2＝4a 3－3×22－4×2＝4(S 3－a 1－a 2)－20＝4(15－a 1－a 2)－20，∴a 1＋a 2＝8②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3a 2＝5，∴a 3＝S 3－a 1－a 2＝15－8＝7，综上a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1，以下用数学归纳法证明： ①由(1)知，当n ＝1时，a 1＝3＝2×1＋1，猜想成立； ②假设当n ＝k 时，猜想成立，即a k ＝2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2k －12k a k ＋6k ＋12k＝2k －12k ·(2k ＋1)＋3＋12k＝4k 2－12k ＋3＋12k＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋1这就是说n ＝k ＋1时，猜想也成立，从而对一切n ∈N *，a n ＝2n ＋1.21.如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B 及CD 的中点P 处，已知AB ＝20 km ，CB ＝10 km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上(含边界)，且与A ，B 等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为y km.(1)设∠BAO ＝θrad ，将y 表示成θ的函数关系式； (2)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最小．[解析] (1)延长PO 交AB 于点Q ，则PQ 垂直平分AB .若∠BAO ＝θrad ，则OA ＝AQcos ∠BAO ＝10cos θ，故OB ＝10cos θ. 又OP ＝10－10tan θ，所以y ＝OA ＋OB ＋OP ＝10cos θ＋10cos θ＋10－10tan θ.故所求函数关系式为y ＝20－10sin θcos θ＋10(0≤θ≤π4)．(2)y ′＝－10cos θ·cos θ－－10sin θ－sinθcos 2θ＝θ－cos 2θ.令y ′＝0，得sin θ＝12.因为0≤θ≤π4，所以θ＝π6.当θ∈[0，π6)时，y ′<0，则y 是关于θ的减函数；当θ∈(π6，π4]时，y ′>0，则y 是关于θ的增函数，所以当θ＝π6时，y min ＝20－10×1232＋10＝(103＋10)．故当点O 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边1033km 处时，三条排污管道的总长度最小．。
一、选择题1．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（ ）m ．A ．1B ．43C ．494D ．22．22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若 ，则s 1,s 2,s 3的大小关系为（ ）A ．s 1＜s 2＜s 3B ．s 2＜s 1＜s 3C ．s 2＜s 3＜s 1D ．s 3＜s 2＜s 13．已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为：A ．2π5B ．32C ．43D ．π24．如图，设D 是途中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数1(0)y x x=>图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为（ ）A ．ln 2B ．1ln 2-C ．2ln 2-D ．1ln 2+5．曲线22y x x =-与直线11x x =-=，以及x 轴所围图形的面积为（ ） A ．2 B ．83 C ．43 D ．236．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为3230S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12-7．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( )．A ．44B ．46C ．48D ．508．已知二次函数()y f x =的图像如图所示 ，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A ．25π B ．43C ．32D ．2π 9．由直线0,,2y x e y x ===及曲线2y x=所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．3 B ．32ln 2+C ．223e -D ．e10．20sin xdx π=⎰（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．011．下列积分值最大的是（ ） A ．222sin +1x x dx -⎰（）B ．()22cos x dx ππ--⎰C ．224x dx --⎰D ．11edx x12．已知t ＞0，若（2x ﹣2）dx=8，则t=（ ） A ．1B ．﹣2C ．﹣2或4D ．4二、填空题13．02114edx x dx x-+-=⎰⎰______________.14．已知12ea dx x=⎰，则()()41x x a ++展开式中3x 的系数为______. 15．由曲线sin .cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形的面积是______.16．由3x π=-，3x π=，0y =，cos y x =四条曲线所围成的封闭图形的面积为__________．17．计算：23lim 123n n nn→+∞-=++++________18．如图所示，则阴影部分的面积是 .19．曲线2yx 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.20．已知平面区域(){}2,|04x y y x Ω=≤≤-，直线:2l y mx m =+和曲线2:4C y x =-有两个不同的交点，直线l 与曲线C 围成的平面区域为M ，向区域Ω内随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若2(),12P M ππ-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范围是___________.三、解答题21．已知函数f （x ）=x 3+32x 2+mx 在x=1处有极小值， g （x ）=f （x ）﹣23x 3﹣34x 2+x ﹣alnx ． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）是否存在实数a ，对任意的x 1、x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有1212()()1g x g x x x ->-恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．22．为了降低能源消耗，某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元，又知该冷库每年的能源消耗费用c （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系()(010)25kc x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小？并求最小值. 23．计算下列定积分. （1）1211e dx x +-⎰； （2）342x dx -+⎰.24．已知函数()xf x xea -=-有两个零点1x ， 2x .（1）求实数a 的取值范围； （2）求证： 122x x +>. 25．已知曲线sin y x =和直线0,x x π==及0y =所围成图形的面积为0S . (1)求0S .(2)求所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积.26．如图：已知2y ax bx =+通过点（1,2），与22y x x =-+有一个交点横坐标为1x ，且0,1a a <≠-.（1）求2y ax bx =+与22y x x =-+所围的面积S 与a 的函数关系； （2）当,a b 为何值时，S 取得最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由图像用分段函数表示()v t ，该物体在1s~6s 2间的运动路程可用定积分612()d s v t t =⎰表示，计算即得解 【详解】由题中图像可得，2,01()2,1311,363t t v t t t t ⎧⎪≤<⎪=≤≤⎨⎪⎪+<≤⎩由变速直线运动的路程公式，可得61311132621()d 22d 1d 3s v t t tdt t t t ⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰6132211231492(m)64tt t t ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭．所以物体在1s~6s 2间的运动路程是49m 4． 故选：C 【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.2．B解析：B 【解析】3221321322217ln |ln 2||,.11133x S x S x S e e e S S S ==<==<==-∴<<选B.考点：此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.3．C解析：C 【解析】试题分析：由图像可知函数解析式为()21f x x =-+∴由定积分的几何意义可知面积()12311111141|113333S x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=---=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 考点：定积分及其几何意义4．D解析：D 【解析】试题分析：由题意，阴影部分E 由两部分组成，因为函数1(0),y x x=>当2y =时，1,2x =所以阴影部分E 的面积为1111221121ln |1ln 2,2dx x x ⨯+=+=+⎰故选D ．考点：利用定积分在曲边形的面积．5．A解析：A 【解析】试题分析：在抄纸上画出图像，可根据图像列出方程1221(20)(2)x x dx x x dx---+-+⎰⎰=320321111()33x x x x --+-+=110(1)(1)33---+-+=4233+=2考点：区间函数的运用6．C解析：C 【分析】先由微积分基本定理得到327S =，再由等比数列的求和公式以及通项公式，即可求出结果. 【详解】23312333133|2727003S x dx x a a a =⎰=⋅=∴++=，，即333227a a a q q ++=，解得1q =或1-2q =． 【点睛】本题主要考查定积分的就算，以及等比数列的公比，熟记微积分基本定理，以及等比数列的通项公式及前n 项和公式即可，属于常考题型.7．B解析：B 【解析】由定积分的物理意义，得，即力做的功为46．考点:定积分的物理意义．8．B解析：B 【解析】设()()()11,0f x a x x a =-+<，又点()0,1在函数()f x 的图象上，则()21,1a f x x =-∴=-，由定积分几何意义，围成图形的面积为()123111141|33S x dx x x --⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故选B. 9．A解析：A 【解析】如图所示，曲边四边形OABC 的面积为11121212ln 12(ln ln1)1232eedx x e x ⨯⨯+=+=+-=+=⎰.故选A.点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．10．D解析：D 【分析】根据积分公式直接计算即可. 【详解】2200sin cos |cos 2cos0110xdx x πππ=-=-+=-+=⎰.故选：D. 【点睛】本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式，属于基础题.11．A解析：A 【分析】对各个选项计算出被积函数的原函数，再将上下限代入即可得到结果，进行比较即可得到结果. 【详解】A ：22222222sin +1sin 1x x dx x xdx dx ---=+⎰⎰⎰（），函数y=2sin x x 为奇函数，故222sin 0x xdx -=⎰，2222222sin +11|2(2)4x x dx dx x ---===--=⎰⎰（），B:2222(cos )sin sin sin 222x dx x ππππππ--⎡⎤⎛⎫-=-=---=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰，C:-⎰表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的14，故0144ππ-=⨯⨯=⎰， D:111dx ln |ln ln11e ex e x==-=⎰， 通过比较可知选项A 的积分值最大， 故选A 【点睛】计算定积分的步骤：①先将被积函数变形为基本初等函数的和、差等形式；②根据定积分的基本性质，变形；③分别利用求导公式的逆运算，找到相应的的原函数；④利用微积分基本定理分别求出各个定积分的值，然后求代数和(差)．12．D解析：D 【解析】∵（x 2﹣2x ）′=2x ﹣2，∴若20(22)(2)0tt x dx x x -=-⎰ =t 2﹣2t=8，又t ＞0，解得t=4．选D.二、填空题13．【分析】根据以及定积分的几何意义可得答案【详解】因为表示的是圆在x 轴及其上方的面积所以所以＝故答案为：【点睛】本题考查了定积分的计算考查了定积分的几何意义属于基础题 解析：21π+【分析】根据1(ln )x x'=以及定积分的几何意义可得答案. 【详解】11edx x⎰=ln 1e x ln ln1101e =-=-=，因为2-⎰表示的是圆224x y +=在x 轴及其上方的面积，所以2-⎰21222ππ=⨯⨯=，所以11edx x ⎰2-+⎰＝12π+. 故答案为：21π+.【点睛】本题考查了定积分的计算，考查了定积分的几何意义，属于基础题.14．32【分析】由定积分求出实数的值再利用二项式展开式的通项公式求解即可【详解】解：因为==2由展开式的通项为=即展开式中的系数为+=32故答案为32【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式属基础题解析：32 【分析】由定积分求出实数a 的值，再利用二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】 解：因为12ea dx x=⎰=2ln x e 1| =2, 由()42x +展开式的通项为1r T +=r4C 42r r x - ,即()()412x x ++展开式中3x 的系数为24C 22⨯+14C 2⨯ =32，故答案为32. 【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式，属基础题.15．【分析】三角函数的对称性可得S=2求定积分可得【详解】由三角函数的对称性和题意可得S=2=2（sinx+cosx ）=2（+）﹣2（0+1）=2﹣2故答案为2﹣2【点睛】本题考查三角函数的对称性和定积解析：2【分析】三角函数的对称性可得S=2()4cosx sinx dx π-⎰，求定积分可得．【详解】由三角函数的对称性和题意可得S=2()4cosx sinx dx π-⎰=2（sinx+cosx ）40|π=2（22+22）﹣2（0+1）=22﹣2 故答案为22﹣2【点睛】本题考查三角函数的对称性和定积分求面积，属基础题．16．【解析】【分析】根据分的几何意义得到直线y=0与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为【详解】根据余弦函数的对称性可得直线y=0与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为故答案为：【点睛】本题考查 3【解析】 【分析】根据分的几何意义得到直线3x π=-，3x π=，y=0与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为3302cos 2sin | 3.x d x ππ==⎰【详解】根据余弦函数的对称性可得，直线3x π=-，3x π=，y=0与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为3302cos 2sin | 3.x d x ππ==⎰3 【点睛】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间与被积函数，属于中档题.17．【解析】【详解】结合等差数列前n 项和公式有：则： 解析：6【解析】 【详解】结合等差数列前n 项和公式有：()11232n n n +++++=，则：()()226231362lim lim lim lim61123111n n n n n n n n n n n n n n n→+∞→+∞→+∞→+∞----====+++++++. 18．【解析】试题分析：由题意得直线与抛物线解得交点分别为和抛物线与轴负半轴交点设阴影部分的面积为则考点：定积分在求面积中的应用【方法点晴】本题主要考查了定积分求解曲边形的面积中的应用其中解答中根据直线方解析：323【解析】试题分析：由题意得，直线2y x =与抛物线23y x =-，解得交点分别为(3,6)--和(1,2)，抛物线23y x =-与x 轴负半轴交点(，设阴影部分的面积为S ，则1220(32)(3)S x x dx x dx =--+-⎰2332)xdx x dx ---+-⎰532933=+-． 考点：定积分在求面积中的应用．【方法点晴】本题主要考查了定积分求解曲边形的面积中的应用，其中解答中根据直线方程与曲线方程的交点坐标，确定积分的上、下限，确定被积函数是解答此类问题的关键，同时解答中注意图形的分割，在x 轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．19．【解析】由解得或∴曲线及直线的交点为和因此曲线及直线所围成的封闭图形的面积是故答案为点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识属于基础题；用定积分求平面图形解析：43【解析】由2 2y x y x⎧=⎨=⎩，解得0 0x y =⎧⎨=⎩或2 4x y =⎧⎨=⎩，∴曲线2y x =及直线2y x =的交点为()0,0O 和()2,4A 因此，曲线2y x =及直线2y x =所围成的封闭图形的面积是()222320014233S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故答案为43.点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．20．【分析】试题分析：平面区域Ω=的面积为当时结合图形可知直线斜率当时由可知令一交点为由定积分可知面积所以考点：数形结合法定积分几何概型概率等点评：本题涉及到的知识点较多题目有一定的难度在求解过程中多次 解析：【分析】试题分析：平面区域Ω=20(,)|{4y x y y x ≥⎧⎫⎪⎪⎨⎬≤-⎪⎪⎩⎭的面积为2π，2()[,1]2P M ππ-∈ []2,2M S ππ∴∈-，当2M S π=时，结合图形可知直线斜率0m =，当2M S π=-时由2y mx m =+，24y x =-可知令一交点为22222222,11m m m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，由定积分可知面积 1m =，所以[]0,1m ∈考点：数形结合法，定积分，几何概型概率等点评：本题涉及到的知识点较多，题目有一定的难度，在求解过程中多次用到了数形结合法，这种方法在求解函数题，几何题时应用广泛，需加以重视 【详解】 请在此输入详解！三、解答题21．（1）单调增区间为（﹣∞，﹣2），（1，+∞），单调减区间为（﹣2，1）；（2）72a ≤-【解析】试题分析：（1）由极值定义得f′（1）=6+m=0，解得m 值，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调区间（2）先等价转化不等式：设0＜x 1＜x 2，g （x 1）﹣x 1＜g （x 2）﹣x 2．再构造函数h （x ）=g （x ）﹣x ，转化为h （x ）在（0，+∞）为增函数，利用导数研究h （x ）导函数恒非负的条件，即得a 的取值范围 试题解：（1）∵f （x ）=x 3+x 2+mx ，∴f′（x ）=3x 2+3x+m ，∵f （x ）=x 3+x 2+mx 在x=1处有极小值，∴f′（1）=6+m=0，得m=﹣6．∴f （x ）=x 3+x 2﹣6x ，则f′（x ）=3（x 2+x ﹣2）=3（x ﹣1）（x+2）．∴当x ∈（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）时，f′（x ）＞0，当x ∈（﹣2，1）时，f′（x ）＜0， 则f （x ）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（1，+∞），单调减区间为（﹣2，1）； （2）g （x ）=f （x ）﹣x 3﹣x 2+x ﹣alnx=x 3+x 2﹣6x ﹣x 3﹣x 2+x ﹣alnx=﹣5x ﹣alnx ．假设存在实数a 使得对任意的 x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有＞1恒成立，不妨设0＜x 1＜x 2，只要g （x 1）﹣g （x 2）＜x 1﹣x 2， 即：g （x 1）﹣x 1＜g （x 2）﹣x 2．令h （x ）=g （x ）﹣x ，只要 h （x ）在（0，+∞）为增函数即可． 又函数h （x ）=g （x ）﹣x=， 则h′（x ）==．要使h'（x ）≥0在（0，+∞）上恒成立，则需2x 3+3x 2﹣12x ﹣2a≥0在（0，+∞）上恒成立， 即2a≤2x 3+3x 2﹣12x ．令t （x ）=2x 3+3x 2﹣12x ，则t′（x ）=6x 2+6x ﹣12=6（x+2）（x ﹣1）．∴当x ∈（0，1）时，t （x ）单调递减，当x ∈（1，+∞）时，t （x ）单调递增， 则t （x ）min =t （1）=﹣7． ∴2a≤﹣7，得a ．∴存在实数a ，对任意的x 1、x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有＞1恒成立．22．（1）800()4(010)25f x x x x =+≤≤+；（2）当隔热层修建7.5cm 厚时，总费用最小，最小费用70万元. 【解析】试题分析：（I ）根据c （0）=8计算k ，从而得出f （x ）的解析式； （II ）利用基本不等式得出f （x ）的最小值及等号成立的条件． 试题（1）当0x =时，()085kc ==，∴40k =. 由题意知，()4020425f x x x ⨯=++，即()()800401025f x x x x =+≤≤+.（2）∵()()800401025f x x x x =+≤≤+ ∴()()21600'425f x x -=++，令()'0f x =，即()242516000x +-=，∴7.5x =.当[)0,7.5x ∈时，()'0f x <，当(]7.5,10x ∈时，()'0f x >， 当7.5x =时，()f x 取得最小值.()min 80047.57027.55f x =⨯+=⨯+.所以，当隔热层修建7.5cm 厚时，总费用最小，最小费用70万元. 23．（1）1；（2）292【分析】（1）直接根据微积分基本定理，即可得到本题答案； （2）由题，得323442|2|(2)(2)x dx x dx x dx ----+=--++⎰⎰⎰，再根据微积分基本定理，即可得到本题答案. 【详解】 （1）11221ln(1)ln ln111e e dx x e x ++=-=-=-⎰； （2）323442|2|(2)(2)x dx x dx x dx ----+=--++⎰⎰⎰222112242232x x x x -⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪-⎝⎝⎭-⎭ 2529222=+=. 【点睛】 本题主要考查利用微积分基本定理求定积分. 24．（1）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭;（2）见解析. 【解析】试题分析： （1）函数()xf x xe a -=-的定义域为R ，因为()x f x xe a -=-有两个零点1x ， 2x ，所以函数()x xg x e=与函数y a =有两个不同的交点，根据导数的性质，可知当(),1x ∈-∞时， ()g x 单调递增；当()1,x ∈+∞时， ()g x 单调递减，所以()()max 11g x g e ==，并且当()1,x ∈+∞， ()0g x >，于是可得函数()x xg x e=的图象大致，然后再利用数形结合，可得函数()x xg x e=与函数y a =有两个不同的交点时， a 的取值范围；（2）由已知()()12f x f x =，即1212x x x x e e =，∴ 2121x x x e e x =，∴ 2121x x xe x -=，两边同取以e 为底的对数，得2211lnx x x x -=，要证明122x x +>，则只需证明2122111ln 2x x x x x x -<+，即21221111ln 21x x x x x x -<+，不妨设12x x <，令21xt x =，则()1,t ∈+∞， 即证11ln 12t t t -<+对()1,t ∈+∞恒成立，令()11ln 21t g t t t -=-+，然后再根据导数在函数单调性中的应用即可求出结果. 试题（1）函数()xf x xe a -=-的定义域为R ，因为()xf x xea -=-有两个零点1x ， 2x ，所以函数()xxg x e =与函数y a =有两个不同的交点， ()1'x x g x e -=，令()1'0xxg x e -==， 解得1x =，当(),1x ∈-∞时， ()'0g x >， ()g x 单调递增；当()1,x ∈+∞时， ()'0g x <， ()g x 单调递减，所以()()max 11g x g e==， 并且当()1,x ∈+∞， ()0g x >，于是()xxg x e =的图象大致为：函数()xx g x e =与函数y a =有两个不同的交点时， a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭. （2）由已知()()12f x f x =，即1212x x x x e e =，∴ 2121x x x e e x =，∴ 2121x x xe x -=，两边同取以e 为底的对数，得2211lnx x x x -=，要证明122x x +>，则只需证明2122111ln 2x x x x x x -<+，即21221111ln 21x x x x x x -<+， 不妨设12x x <，令21x t x =，则()1,t ∈+∞， 即证11ln 12t t t -<+对()1,t ∈+∞恒成立， 令()11ln 21t g t t t -=-+，则()()()()()()()22222221411221'021212121t t t t t g t t t t t t t t t +---+=-===>++++， ∴()g t 在区间()1,+∞单调递增， ∴()()10g t g >=，即11ln 021t t t -->+， 11ln 12t t t -<+，从而122x x +>成立. 25．(1)2,；（2）22π.【分析】（1）根据题意可知曲线sin y x =和直线0,x x π==及0y =所围成图形的面积为00sin S xdx π=⎰，解之即可；（2）所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积为20sin V xdx ππ=⎰，根据定积分的定义解之即可．【详解】 （1）000sin cos |(cos )(cos0)112S xdx x πππ==-=---=+=⎰；（2）220011sin sin 2|(0)24242x V xdx x πππππππ⎛⎫==-=-⨯= ⎪⎝⎭⎰.【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，意在考查灵活利用所学知识解答问题的能力，属于中档题.26．（1）326(1)a s a =-+；（2）3a =-,5b =. 【解析】 【分析】（1）由已知可知其中一个交点是原点，把另一个交点表示出来，再利用定积分表示出来即可。
定积分的简单应用（填空题：容易）1、若，则实数的值是 .2、由曲线所围成的封闭图形的面积为________3、如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为___________.4、已知，则函数的单调递减区间是______.5、定积分的值为．6、_____________．7、曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为 .8、曲线与所围成的封闭图形的面积s=9、已知，则．10、曲线和曲线围成的图形面积是11、的值等于 .12、曲线与直线围成的封闭图形的面积是 .13、在平面直角坐标系内，由曲线所围成的封闭图形的面积为．14、二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为．15、．16、由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为______________．17、定积分．18、计算定积分：．19、已知函数，则。
20、= ．21、计算= ．22、计算：= .23、等于．24、________.25、定积分___________;26、＝。
27、求曲线，所围成图形的面积.28、由曲线，直线所围图形面积S= .29、定积分= .30、定积分的值为____________.31、计算定积分(x2+sinx)dx=.32、求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积为_______。
33、已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为________．34、dx + .35、曲线＝x与y＝围成的图形的面积为______________．36、＝________________。
37、设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.38、一物体在力(单位：)的作用下沿与力相同的方向,从处运动到(单位：)处,则力做的功为焦.39、由直线，，曲线及轴所围成的图形的面积是．40、计算定积分 .41、已知求 .42、曲线与直线所围成的封闭图形的面积为．43、在的展开式中的常数项为p，则 .44、设＝，则二项式展开式中含项的系数是。
人教版高中数学选修2-2课后习题参考答案2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算 练习（P18）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2x y e '=； （3）4106y x x '=-； （4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin 33xy '=-； （6）21y x '=-.习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r r π∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=. 2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、()r V '=.4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n x y nx e x e -'=+； （3）2323sin cos cos sin x x x x xy x-+'=； （4）9899(1)y x '=+； （5）2x y e -'=-； （6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++. 5、()82f x x '=-+. 由0()4f x '=有 04822x =-+，解得032x =. 6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-. 7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少. 习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.1．3导数在研究函数中的应用 练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增；当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减.（2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减. 2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-.当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<， 因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，注：图象形其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点. 2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-. （2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-.令2()3270f x x'=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：x (,3)-∞- 3-(3,3)- 3 (3,)+∞ ()f x ' ＋ 0 － 0＋ ()f x单调递增54单调递减54-单调递增因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54； 当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-. （3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-.令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-； 当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22 （4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：x (,1)-∞- 1-(1,1)- 1 (1,)+∞ ()f x ' － 0＋ 0 － ()f x单调递减2-单调递增2单调递减因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-； 当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2 练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =. 因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=； 当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；又由于(4)44f -=，(4)44f =-. 因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =. 因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527. （4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-. 因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数. （2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈.因此，函数()c o s f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<. 因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>.因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增.当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减.（2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增.当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>.因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数.（4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值； （2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值； （3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-. （2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-.令2()3120f x x'=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-. （3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+.令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：x (,2)-∞- 2-(2,2)- 2 (2,)+∞ ()f x ' ＋ 0 － 0＋ ()f x单调递增22单调递减10-单调递增因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22； 当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-. （4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-.令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：x (,4)-∞- 4-(4,4)- 4 (4,)+∞ ()f x ' － 0＋ 0 － ()f x单调递减128-单调递增128单调递减因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-； 当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128. 6、（1）在[1,1]-上，当112x =-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724.由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16； 当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-. （3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-. 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()c o s 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()s i n f x x x =-在(0,)π内单调递减 因此()s i n (0)f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即s i n x x <，(0,)x π∈. 图略（2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈.因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈ 所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增， 2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减， 2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠.因为()1xf x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10xf x e'=->，()f x 单调递增， ()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10xf x e'=-<，()f x 单调递减， ()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略 （4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<； 当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然l n 11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++. 下面分类讨论：当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a >，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a >，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2lx =. 当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2l x l ∈时，()0f x '>. 因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x .（1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+， 所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<. 因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax =时，无盖方盒的容积最大.3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2Vh R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+，0R >. 令2()40V S R R R π'=-+=，解得32VR π=. 当32VR π∈时，()0S R '<； 当3(,)2VR π∈+∞时，()0S R '>. 因此，32VR π=是函数()S R 的极小值点，也是最小值点. 此时，32222V V h R R ππ===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，（第3可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2xm ，半圆的面积为28x π2m ，矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x a l x x x x x πππ=++-=++，80ax π<<令22()104a l x x π'=+-=，得84ax π=+（负值舍去）. 当84a x π∈+时，()0l x '<；当88(,4a a x ππ∈+时，()0l x '>. 因此，84ax π=+()l x 的极小值点，也是最小值点. 84aπ+时，所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<.令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.当(180,350x ∈时，()0L x '>；当(350,680x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c c c x a x b b-=-+⨯=--，54b a x <<.令845()0c a c b c L x x b b+'=-+=，解得458a bx +=. 当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b b x +∈时，()0L x '<. 当458a bx +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润.1．5定积分的概念 练习（P42） 83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45）1、22112()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n =.于是 111()n n ni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑2112[()]ni i n n n ==-⋅+⋅∑22211111()()()2n n n nn n n n-=-⋅--⋅-⋅+2231[12]2n n=-++++ 31(1)(21)26n n n n ++=-⋅+111(1)(1)232n n =-+++取极值，得 1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323nnn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km.说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48）2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）； 距离的过剩近似值为：2711811217131⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ= 作和式11()nni i i b af x b a nξ==-∆==-∑∑，从而11lim nban i b adx b a n→∞=-==-∑⎰， 说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义，0⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线21y x =-所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此2014x dx π-=⎰.5、（1）03114x dx -=-⎰. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得10133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得22333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx-⎰化为02331x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出031x dx -⎰，23x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义. 习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）；不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m） （3）49.81tdt ⎰；49.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n -， 记第i 个区间为(1)[,]i l i ln n-（1,2,i n =），其长度为 (1)il i l l x n n n-∆=-=.把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n l l n-上质量分别记作： 12,,,n m m m ∆∆∆，则细棒的质量1ni i m m ==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l i ln n-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l i l n nξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l iln n -上质量 2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =）.（3）求和得细棒的质量 2111()nnni i i i i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑. （4）取极限细棒的质量 21lim ni n i lm n ξ→∞==∑，所以20l m x dx =⎰..1．6微积分基本定理练习（P55）（1）50； （2）503； （3）533-； （4）24；（5）3ln 22-； （6）12； （7）0； （8）2-.说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题1.6 A 组（P55）1、（1）403； （2）13ln 22--； （3）9ln 3ln 22+-；（4）176-； （5）2318π+； （6）22ln 2e e --. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、3300sin [cos ]2xdx x ππ=-=⎰.它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习题1.6 B 组（P55）1、（1）原式＝221011[]222x e e =-； （2）原式＝46113[sin 2]224x ππ=-； （3）原式＝3126[]ln 2ln 2x =. 2、（1）cos 1sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=-=---=⎰；（2）sin 1cos [sin sin()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=|=--=⎰；（3）21cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx m πππππππ----==-=⎰⎰；（4）21cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx mπππππππ---+==+=⎰⎰.3、（1）0.202220()(1)[]49245245t kt kt t kt t g g g g g gs t e dt t e t e t e k k k k k k----=-=+=+-=+-⎰.（2）由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值范围. 根据指数函数的性质，当0t >时，0.201t e -<<，从而 5000495245t <<， 因此，500052454949t <<. 因此50000.2749245 3.3610e-⨯-≈⨯，52450.2749245 1.2410e-⨯-≈⨯，所以，70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.从而，在解方程0.2492452455000t t e -+-=时，0.2245t e -可以忽略不计.因此，.492455000t -≈，解之得 524549t ≈（s ）. 说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 1．7定积分的简单应用 练习（P58）（1）323； （2）1.说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习（P59）1、52533(23)[3]22s t dt t t =+=+=⎰（m ）.2、424003(34)[4]402W x dx x x =+=+=⎰（J ）.习题1.7 A 组（P60）1、（1）2； （2）92.2、2[]b b a a q q q qW k dr k k k r r a b==-=-⎰. 3、令()0v t =，即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体达到最大高度.最大高度为 4240(4010)[405]80h t dt t t =-=-=⎰（m ）. 4、设t s 后两物体相遇，则20(31)105ttt dt tdt +=+⎰⎰，解之得5t =. 即,A B 两物体5s 后相遇. 此时，物体A 离出发地的距离为523500(31)[]130t dt t t +=+=⎰（m ）.5、由F kl =，得100.01k =. 解之得1000k =. 所做的功为 0.120.10010005005W ldl l ==|=⎰（J ）.6、（1）令55()501v t t t=-+=+，解之得10t =. 因此，火车经过10s 后完全停止. （2）1021000551(5)[555ln(1)]55ln1112s t dt t t t t =-+=-++=+⎰（m ）. 习题1.7 B 组（P60）1、（1）a a-⎰表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积，因此22aa π-=⎰（第1（2）1]x dx ⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形（如图所示）的面积，因此，210111]114242x d x ππ⨯=-⨯⨯=-⎰. 2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为2y ax =，则2()2b h a =⨯，所以24ha b =.从而抛物线的方程为 224hy x b =.于是，抛物线拱的面积232202204422()2[]33b bh h S h x dx hx x bh b b =-=-=⎰. 3、如图所示.解方程组223y x y x⎧=+⎨=⎩得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =，22x =. 于是，所求的面积为122201[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.4、证明：2[]()R hR h R RMm Mm MmhW Gdr G G r r R R h ++==-=+⎰. 第一章 复习参考题A 组（P65）1、（1）3； （2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x x y x+'=； （2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-； （3）22ln ln 2x xy x x '=+； （4）2422(21)x x y x -'=+. 3、32GMm F r '=-. 4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略. 5、因为()f x =()f x '=.（第2当()0f x '=>，即0x >时，()f x 单调递增；当()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+. 当()20f x x p '=+=，即12px =-=时，()f x 有最小值. 由12p-=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =. 7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+， 所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--. 当()0f x '=，即3cx =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >. 由于所以，当3c x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23c=，6c =. 8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB ∆的面积最小.因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，所以直线AB 的方程为001y x a x a --=--，即1()1y x a a =--.当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,)1aa -.因此，A O B ∆的面积21()212(1)AOBa a S S a a a a ∆===--.令()0S a '=，即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-.当0a =，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去.x(,)3c -∞3c (,)3c c c (,)c +∞ ()f x ' ＋－＋()f x单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增由于所以，当2a =，即直线AB 的倾斜角为135︒时，AOB ∆的面积最小，最小面积为2.9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m. 所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.883.2244x x x x --+-==-.设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++，0 1.6x <<.令()0V x '=，即26 4.4 1.60x x -++=. 所以，415x =-（舍去），或1x =. 当(0,1)x ∈时，()0V x '>；当(1,1.6)x ∈时，()0V x '<. 因此，1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100x +时，旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤. 令()0f x '=，即105000x -+=，50x =. 又(0)10000f =，(80)10800f =，(50)11250f =. 所以，50x =是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x，打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x=--，5.0898.3x <<.令()0S x '=，即23168.3966.340x -=，22.36x ≈（负值舍去），623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.3内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=，即3000q -+=，300q =.当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元. 14、（1）232； （2）22e -； （3）1；（4）原式＝22222000cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x xdx x x dx x x x xπππ-=-=+=+⎰⎰； （5）原式＝22001cos sin 2[]224x x x dx πππ---==⎰. 15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释. 16、222.17、由F kl =，得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =.所做的功为 20.30.30.10.14.9 4.90.1962l W ldl ==⨯|=⎰（J ）第一章 复习参考题B 组（P66）1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.（2）当05t ≤<时，()0b t '>，所以细菌在增加；当55t <<+时，()0b t '<，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S .因为212S r α=，2l r r α-=，所以2lrα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.令0S '=，即40l r -=，4lr =，此时α为2弧度.4l r =是函数()S r 在(0,)2l内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点. 所以，扇形的半径为4l、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222r h R +=.因此，222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.令22103V R h ππ'=-=，解得33h R =. 容易知道，3h =是函数()V h 的极大值点，也是最大值点. 所以，当3h R =时，容积最大. 把3h R =代入222r h R +=，得6r =. 由2R r απ=，得63α=. 所以，圆心角为63α=时，容积最大. 4、由于28010k =⨯，所以45k =. 设船速为x km ／h 时，总费用为y ，则2420204805y x x x=⨯+⨯ 960016x x=+，0x >令0y '=，即29600160x-=，24x ≈.容易知道，24x =是函数y 的极小值点，也是最小值点.当24x =时，960020(1624)()9412424⨯+÷≈（元／时）所以，船速约为24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941元.5、设汽车以x km ／h 行驶时，行车的总费用2390130(3)14360x y x x=++⨯，50100x ≤≤令0y '=，解得53x ≈（km ／h ）. 此时，114y ≈（元） 容易得到，53x ≈是函数y 的极小值点，也是最小值点.因此，当53x ≈时，行车总费用最少.所以，最经济的车速约为53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元.6、原式＝4404422022[]2xx x x x e dx e dx e dx e e e e -----=+=-+|=+-⎰⎰⎰.7、解方程组 2y kx y x x=⎧⎨=-⎩ 得，直线y kx =与抛物线2y x x =-交点的横坐标为0x =，1k -.抛物线与x 轴所围图形的面积2312100111()[]23236x x S x x dx =-=-=-=⎰.由题设得11200()2k k Sx x dx kxdx --=--⎰⎰31221001()[]23kkk x x x kx dx x ---=--=-⎰3(1)6k -=.又因为16S =，所以31(1)2k -=. 于是341k =说明：本题也可以由面积相等直接得到111220()()kk k x x kx dx kxdx x x dx -----=+-⎰⎰⎰，由此求出k 的值. 但计算较为烦琐.新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理 练习（P77）1、由12341a a a a ====，猜想1n a =.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O P Q R -的体积， 则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅. 练习（P81） 1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ， 若1n na p a +=，其中p 是非零常数，则{}n a 是等比数列； ……………………大前提 又因为0cq ≠，则0q ≠，则11n n nn a cq q a cq ++==； ……………………………小前提所以，通项公式为(0)nn a c q c q =≠的数列{}n a 是等比数列. ……………………结论3、由AD BD >，得到ACD BCD ∠>∠的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中.习题2.1 A 组（P83）1、21n a n =+()n N *∈. 2、2F V E +=+.3、当6n ≤时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *∈.4、212111(2)n n A A A n π++≥-（2n >，且n N *∈）. 5、121217n n b b b b b b -=（17n <，且n N *∈）.6、如图，作DE ∥AB 交BC 于E .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 又因为AD ∥BE ，AB ∥DE .（第所以四边形ABED 是平行四边形. 因为平行四边形的对边相等.又因为四边形ABED 是平行四边形. 所以AB DE =.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，又因为AB DE =，AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的. 又因为△D E C 是等腰三角形, 所以D E C C ∠=∠ 因为平行线的同位角相等 又因为D E C ∠与B ∠是平行线AB 和DE 的同位角, 所以D E C B ∠=∠ 因为等于同角的两个角是相等的， 又因为D E C C ∠=∠，D E C B ∠=∠, 所以B C ∠=∠ 习题2.1 B 组（P84）1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略.2．2直接证明与间接证明 练习（P89）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2θθθθθθθ-=+-=，所以，命题得证. 267225>，只需证2267)(225)>， 即证1324213410+>+42210>，只需要2242)(210)>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，命题得证. 3、因为 222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b αααα-=-+==， 又因为 sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab αααααααααα+-=+-=⋅22222222sin (1cos )sin sin 161616sin tan cos cos αααααααα-===， 从而222()16a b a b -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P91）1、假设B ∠不是锐角，则90B ∠≥︒. 因此9090180C B ∠+∠≥︒+︒=︒. 这与三角形的内角和等于180°矛盾. 所以，假设不成立. 从而，B ∠一定是锐角.2=所以22=，化简得5=225=，即2540=，这是不可能的. 所以，假设不成立..说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点. 习题2.2 A 组（P91）1、由于0a ≠，因此方程至少有一个跟bx a=.假设方程不止一个根，则至少有两个根，不妨设12,x x 是它的两个不同的根，则 1ax b = ①2ax b = ②①－②得12()0a x x -=因为12x x ≠，所以120x x -≠，从而0a =，这与已知条件矛盾，故假设不成立. 2、因为 (1tan )(1tan )2A B ++=展开得 1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ①假设1t a n t a n 0A B -=，则c o s c o s s i n s i n 0c o s c o s A B A B A B -=，即c o s ()0c o s c o s A B A B += 所以c o s ()0A B +=. 因为A ，B 都是锐角，所以0A B π<+<，从而2A B π+=，与已知矛盾.因此1t a n t a n 0AB -≠. ①式变形得 tan tan 11tan tan A BA B+=-， 即tan()1A B +=.又因为0A B π<+<，所以4A B π+=.说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明.3、因为 1tan 12tan αα-=+，所以12tan 0α+=，从而2sin cos 0αα+=.另一方面，要证 3sin 24cos2αα=-， 只要证226sin cos 4(cos sin )αααα=-- 即证 222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=， 即证 (2s i n c o s )(s i n 2c os αααα+-= 由2sin cos 0αα+=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=，于是命题得证.说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.4、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b ac =+.假设2B π<不成立，即2B π≥，则B 是ABC ∆的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边）， 从而11112a c b b b+>+=. 这与211b ac =+矛盾.所以，假设不成立，因此，2B π<.习题2.2 B 组（P91）1、要证2s a <，由于22s ab <，所以只需要2s s b<，即证b s <.因为1()2s a b c =++，所以只需要2b a b c <++，即证b ac <+. 由于,,a b c 为一个三角形的三条边，所以上式成立. 于是原命题成立. 2、由已知条件得 2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ② 要证2a cx y+=，只要证2a y c x x y +=，只要证224a y c x x y += 由①②，得 22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++，24()()2x y a bb c a b b a c b c a b a c b c=++=+++=++， 所以，224ay cx xy +=，于是命题得证. 3、由 tan()2tan αβα+= 得sin()2sin cos()cos αβααβα+=+，即sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+. ……①要证 3sin sin(2)βαβ=+即证 3sin[()]sin[()]αβααβα+-=++即证 3[sin()cos cos()sin ]sin()cos cos()sin αβααβααβααβα+-+=+++化简得s i n ()c o s 2c o s ()αβααβα+=+，这就是①式. 所以，命题成立.说明：用综合法和分析法证明命题时，经常需要把两者结合起来使用. 2．3数学归纳法 练习（P95）1、先证明：首项是1a ，公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-. （1）当1n =时，左边＝1a ，右边＝11(11)a d a +-=， 因此，左边＝右边. 所以，当1n =时命题成立. （2）假设当n k =时，命题成立，即1(1)k a a k d =+-. 那么，11(1)[(1)1]k k k a a d a k d d a k d +=+=+-+=++-. 所以，当1n k =+时，命题也成立.根据（1）和（2），可知命题对任何n N *∈都成立.再证明：该数列的前n 项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+. （1）当1n =时，左边＝11S a =，右边＝111(11)12a d a ⨯-⨯+=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时命题成立.（2）假设当n k =时，命题成立，即1(1)2k k k S ka d -=+.那么，1111(1)[(1)1]2k k k k k S S a ka d a k d ++-=+=++++-1(1)(1)[1]2k k a k d -=+++1(1)(1)2k kk a d +=++所以，当1n k =+时，命题也成立. 根据（1）和（2），可知命题对任何n N *∈都成立. 2、略.习题2.3 A 组（P96） 1、（1）略.（2）证明：①当1n =时，左边＝1，右边＝211=， 因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，等式成立. ②假设当n k =时等式成立，即2135(21)k k ++++-=.那么，22135(21)(21)(21)(1)k k k k k ++++-++=++=+.。
章末检测卷（三）一、选择题 (本大题共12小题，每题 5 分，共60 分)1． i 是虚数单位，若会合S＝ { － 1,0,1} ，则 ()A ． i ∈ SB ．i 2∈ SC． i 3∈ S D.2∈ Si答案B2． z1＝ (m2＋ m＋ 1)＋ (m2＋ m－ 4)i， m∈ R， z2＝3－ 2i，则“m＝ 1”是“z1＝ z2”的 () A ．充足不用要条件 B ．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足又不用要条件答案A由于 z1＝ z2，因此m2＋ m＋ 1＝ 3分析，m2＋ m－ 4＝－ 2解得 m＝ 1 或 m＝－ 2，因此 m＝ 1 是 z1＝ z2的充足不用要条件．3＋ i 等于()3． i 是虚数单位，复数1－iA ． 1＋ 2iB ．2＋ 4iC．－ 1－ 2i D． 2－ i答案A分析3＋i ＝(3 ＋i)(1 ＋ i) ＝2＋ 4i＝1＋2i.应选A.1－ i (1－ i)(1 ＋ i)2a－ i是纯虚数，则 a 等于 () 4．已知 a 是实数，1＋iA ． 1B．－ 1C. 2D．－ 2答案A分析a－i ＝(a－i)(1 － i) ＝(a－ 1)－ (a＋ 1)i是纯虚数，1＋ i (1＋ i)(1 － i)2则 a－ 1＝0， a＋ 1≠0，解得 a＝ 1.5．若 (x－ i)i ＝ y＋2i， x， y∈ R，则复数 x＋ yi 等于 () A ．－ 2＋ i B ．2＋ iC． 1－2i D． 1＋ 2i答案B分析∵ (x － i)i ＝ y ＋ 2i ， xi － i 2＝ y ＋2i ，∴ y ＝ 1， x ＝ 2，∴ x ＋yi ＝ 2＋ i.→ → →→6．在复平面内， O 是原点， OA ，OC ，AB 对应的复数分别为－ 2＋ i ，3＋ 2i,1 ＋ 5i ，那么 BC对应的复数为 ( )A ． 4＋ 7iB ．1＋ 3iC ． 4－4iD ．－ 1＋ 6i答案C分析→ → →由于 OA ， OC ， AB 对应的复数分别为－ 2＋ i,3＋ 2i ， 1＋ 5i ， → → → → → → BC ＝OC － OB ＝ OC － (OA ＋ AB)，→因此 BC 对应的复数为 3＋ 2i －[( －2＋ i) ＋ (1＋ 5i)] ＝ 4－ 4i. 7．若复数 z 知足 (3－ 4i)z ＝ |4＋ 3i|，则 z 的虚部为 ()44A ．－4B ．－5C ．4 D.5答案 D分析 设 z ＝ a ＋ bi ，故 (3－ 4i)(a ＋ bi) ＝ 3a ＋ 3bi － 4ai ＋ 4b ＝ |4＋ 3i|，因此3b － 4a ＝ 043a ＋ 4b ＝ 5；解得 b ＝ .58． i 是虚数单位，若1＋7i＝ a ＋ bi(a ， b ∈ R)，则 ab 的值是 ()2－ iA ．－15B ． 3C ．－ 3D ．15答案 C分析1＋7i ＝(1＋ 7i)(2 ＋ i) ＝－ 1＋ 3i ，2－i5∴ a ＝－ 1，b ＝ 3， ab ＝－ 3.9．若 z 1＝ (x － 2)＋ yi 与 z 2＝ 3x ＋ i(x ， y ∈ R)互为共轭复数，则 z 1 对应的点在 ()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案Cx － 2＝3x分析由 z 1， z 2 互为共轭复数，得，y ＝－ 1x ＝－ 1解得，因此 z 1＝ (x － 2)＋ yi ＝－ 3－ i.y ＝－ 1由复数的几何意义知z 1 对应的点在第三象限．10．已知 f(n)＝ i n －i － n的元素个数是 ()(n ∈ N * ) ，则会合 { f(n)}A ．2 B．3 C．4 D．无数个答案B分析f(n)有三个值0,2i，－ 2i.11．已知复数 z＝3＋i2， z 是 z 的共轭复数，则z·z 等于 () (1－ 3i)11A. 4B. 2C． 1D． 2答案A12．设 f(z) ＝z， z1＝ 3＋ 4i， z2＝－ 2－ i，则 f(z1－ z2)＝ ()A ． 1－ 3iB ．11i － 2C． i － 2D． 5＋ 5i答案D二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分)13．复平面内，若z＝m2(1＋ i)－ m(4＋ i) － 6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是 ________．答案(3,4)分析∵ z＝m2－ 4m＋ (m2－ m－6)i 所对应的点在第二象限，m2－4m<0∴，解得 3<m<4.m2－m－ 6>014．给出下边四个命题：① 0 比－ i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x＋ yi＝ 1＋ i 的充要条件为 x＝ y＝ 1；④假如让实数 a 与 ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．此中真命题的个数是 ________．答案015．已知 0<a<2，复数 z 的实部为 a，虚部为 1，则 |z|的取值范围是 ______．答案(1， 5)分析由题意得 z＝ a＋ i ，依据复数模的定义可知 |z|＝ a2＋ 1.由于 0< a<2，因此 1<a2＋ 1<5，故 1<a2＋ 1< 5.16．以下说法中正确的序号是________．2x－ 1＝ y①若 (2x－ 1)＋ i ＝ y－ (3－ y)i ，此中 x∈ R， y∈ ?C R，则必有；1＝－ (3－ y)② 2＋ i>1 ＋ i；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在；13⑤若 z＝，则 z ＋ 1 对应的点在复平面内的第一象限．答案⑤2x－ 1＝ y分析由 y∈ ?C R，知 y 是虚数，则不建立，故①错误；两个不全为实数的复1＝－ (3－ y)数不可以比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，31故④错误；⑤中 z ＋1＝i3＋ 1＝i＋ 1，对应点在第一象限，故⑤正确．三、解答题 (本大题共 6 小题，共70 分)22，当 m 为什么值时，17． (10 分 )设复数 z＝ lg( m － 2m－ 2)＋ (m ＋3m＋ 2)i(1) z 是实数？ (2)z 是纯虚数？解 (1)要使复数 z 为实数，需知足m2－ 2m－ 2>0，解得 m＝－ 2 或－ 1.即当 m＝－ 2 或－m2＋ 3m＋ 2＝ 01 时， z 是实数．m2－ 2m－ 2＝ 1(2)要使复数z为纯虚数，需知足2＋3m＋2≠0，m解得 m＝ 3.即当 m＝ 3 时， z 是纯虚数．18． (12 分 )已知复数z1＝ 1－ i， z1·z2＋ z 1＝ 2＋2i ，求复数z2.解由于 z1＝1－ i ，因此z 1＝ 1＋ i ，因此 z1·z2＝ 2＋ 2i － z 1＝2＋ 2i－ (1＋ i) ＝ 1＋ i.设 z2＝ a＋ bi(a， b∈ R)，由 z1·z2＝ 1＋i ，得 (1－ i)( a＋ bi) ＝ 1＋ i，因此 (a＋ b)＋ (b－ a)i＝ 1＋ i，a＋ b＝ 1，解得 a＝0， b＝ 1，因此 z2＝ i.因此b－ a＝ 1(2＋ 2i) 419． (12 分 )计算： (1)－ 3i)5；(1 (2)(2 － i)( － 1＋ 5i)(3 － 4i) ＋2i.解(1)原式＝16(1＋ i) 44(1－ 3i)(1 － 3i)＝16(2i) 2(－ 2－ 2 3i)2 (1－ 3i)＝－64－ 16＝4(1＋ 3i) 2(1－ 3i)(1＋ 3i) ×4－4＝＝－ 1＋3i.(2) 原式＝ (3＋ 11i)(3 － 4i)＋ 2i＝53＋ 21i＋ 2i＝ 53＋ 23i.20． (12 分 )实数 m 为什么值时，复数z＝ (m2＋5m＋ 6)＋(m2－ 2m－ 15)i 对应的点在：(1)x 轴上方；(2)直线 x＋ y＋ 5＝0 上．解 (1)若 z 对应的点在 x 轴上方，则 m2－ 2m－ 15>0，解得 m<－3 或 m>5.(2)复数 z 对应的点为 (m2＋ 5m＋ 6，m2－ 2m－ 15)，∵ z 对应的点在直线x＋ y＋ 5＝ 0 上，∴(m2＋ 5m＋ 6)＋ (m2－ 2m－ 15)＋ 5＝ 0，整理得 2m2＋ 3m－ 4＝ 0，－3± 41解得 m＝4.21． (12 分 )已知复数z 知足 |z|＝2， z2的虚部是 2.(1)求复数 z；(2) 设 z，z2， z－z2在复平面上的对应点分别为A， B， C，求△ ABC 的面积．222 22 解 (1)设 z＝ a＋ bi( a， b∈R) ，则 z ＝ a －b ＋2abi，由题意得 a ＋ b ＝ 2 且 2ab＝2，解得 a＝ b＝ 1 或 a＝b＝－ 1，(2)当 z＝1＋ i 时， z2＝ 2i， z－ z2＝ 1－ i，因此 A(1,1)，B(0,2)， C(1，－ 1)，因此 S△ABC＝ 1.当 z＝－ 1－ i 时， z2＝2i ，z－ z2＝－ 1－ 3i，因此 A(－ 1，－ 1)， B(0,2)， C(－ 1，－ 3)，因此 S△ABC＝ 1.122． (12 分 )设 z1是虚数， z2＝ z1＋z1是实数，且－1≤z2≤ 1.(1)求 |z1|的值以及 z1的实部的取值范围；(2)若ω＝1－z1，求证：ω为纯虚数．1＋ z1(1) 解设 z1＝ a＋ bi(a，b∈ R 且 b≠0)，则 z2＝ z1＋1＝a＋ bi＋1＝ (a＋2a2)＋( b－ 2b2)i. z1a＋ bi a＋ b a＋ b由于 z2是实数， b≠0，于是有 a2＋ b2＝ 1，即 |z1|＝ 1，还可得 z2＝ 2a.11[ －11由－ 1≤z2≤1，得－ 1≤2a≤1，解得－≤a≤，即 z1的实部的取值范围是，]．2222(2) 证明1－ z1＝1－ a－ bi ω＝1＋ z11＋a＋ bi1－ a2－ b2－ 2bi b＝2＋ b 2 ＝－i.(1＋ a)a＋ 111由于 a∈ [－， ] ， b≠0，因此ω为纯虚数．22。
新课标人教 A 高中数学选修2-2 同步练习选修 2-2 知识点及习题答案解析导数及其应用一 .导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数y f (x) 在x x0处的瞬时变化率是lim f ( x0x) f (x0 )，x0x我们称它为函数y f ( x) 在x x0处的导数，记作 f (x0 )或 y |x x，即f (x0x) f ( x0 )f ( x0 ) = limx 0x2.导数的几何意义：曲线的切线 .通过图像 ,我们可以看出当点P n趋近于 P 时，直线 PT 与曲线相切。
容易知道，割线PP n的斜率是k n f (x n )f ( x)，当点Pn趋近于P时，函数y f (x) 在x x0处的导数就是切线PT 的斜率x n x0k，即k f ( x n ) f ( x0 ) f (x0 )lim xn x0x03.导函数：当 x 变化时，f( x) 便是x的一个函数，我们称它为 f ( x) 的导函数. y f ( x)的导函数有时也记作 y ,即f( x)lim f (x x) f (x)x 0x二.导数的计算基本初等函数的导数公式 :1若f (x) c (c为常数)，则f(x)0 ；3若 f ( x)sin x ,则f ( x)cos x5若 f ( x) a x,则f ( x) a x ln a7若f ( x)log a x,则f (x)1x ln a导数的运算法则1.[ f ( x)g ( x)] f ( x)g ( x)[ f ( x)g ( x)]f ( x) g ( x) f ( x) g ( x )f ( x) f ( x)g (x) f ( x)g ( x)3.[][ g( x)]2g (x)2若f ( x)x,则f ( x)x 1;4若f ( x)cos x,则f (x )sin x ;6若f ( x)e x,则f (x) e x8若f ( x)ln x,则f ( x)1x2.复合函数求导y f (u) 和u g (x) ,称则y可以表示成为x 的函数,即y f ( g(x)) 为一个复合函数y f (g (x))g ( x)三 .导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的 ,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间( a, b)内新课标人教 A 高中数学选修2-2 同步练习(1)如果f ( x ) 0，那么函数y f ( x)在这个区间单调递增；(2) 如果f (x)0 ，那么函数y f ( x) 在这个区间单调递减 .2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数y f ( x )的极值的方法是:（1）如果在 x0附近的左侧f( x) 0 ,右侧f (x ) 0,那么 f (x0 )是极大值（2）如果在 x0附近的左侧 f ( x) 0,右侧 f (x) 0,那么f(x0)是极小值 ;4.函数的最大 (小) 值与导数求函数y f (x ) 在[ a,b]上的最大值与最小值的步骤：（2）将函数y f ( x)的各极值与端点处的函数值是最小值 .（1）求函数y f ( x) 在(a,b)内的极值；f ( a) ，f (b)比较，其中最大的是一个最大值，最小的推理与证明考点一合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理, 叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程, 它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致 )性 ,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理 ,叫做类比推理 .类比推理的一般步骤:(1)找出两类事物的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题 (猜想 );(3)一般的 ,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的 .如果两个事物在某些性质上相同或相似 ,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的 .(4)一般情况下 ,如果类比的相似性越多 ,相似的性质与推测的性质之间越相关 ,那么类比得出的命题越可靠 .考点二演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三数学归纳法1. 它是一个递推的数学论证方法.2. 步骤 :A.命题在 n=1（或n0）时成立，这是递推的基础； B.假设在 n=k 时命题成立； C.证明 n=k+1 时命题也成立 ,完成这两步 ,就可以断定对任何自然数(或 n>= n0,且n N )结论都成立。
一、选择题1．若341iz iz i+=+-（i 是虚数单位），则||z =（ ） A ．32B ．2C ．52D ．32．复平面内，复数122ii-+的虚部为（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1-3．已知11z ≠-，111i 1z b z -=+（b ∈R ），2141(+1)z z =-，则z 对应的点在（ ）A ．圆上B ．抛物线上C ．双曲线上D ．椭圆上4．若i 为虚数单位，则复数311i i-+的模是（ ） A ．22B ．5C ．5D ．25．已知i 是虚数单位，,a b ∈R ，31ia bi i++=-，则a b -等于（ ） A ．-1B ．1C ．3D ．46．已知复数3412iz i+=-，是z 的共轭复数，则z 为 ( ) A ．55B ．221C ．5D ．57．复数 z 与复数 ()i 2i -互为共轭复数（其中 i 为虚数单位），则 z =（ ） A ．12i - B ．12i +C ．12i -+D ．12i --8．复数421ii-=+（ ） A ．13i +B ．13i -C ．13i -+D ．13i --9．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A ．1B ．iC ．1-D ．i -10．已知复数113iz i-=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．25 B ．25i C ．25-D ．25i -11．设复数z 满足1i 2z --=z 的最大值为（ ）．A 2B ．2C ．22D ．412．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( )A ．34B ．43C ．43-D ．34-二、填空题13．在复数集中分解因式：2364x x -+=________.14．计算10251(12)()1i i i i+-⋅+=-__. 15．在复平面内，到点133i -+的距离与到直线:3320l z z ++=的距离相等的点的轨迹方程是________. 16．232007i i i i ++++=______.17．如果复数z 满足2z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是________. 18．复数，则复数______．19．若复数(3)(2)i a i -+是纯虚数，则实数a =___________. 20．设i 为虚数单位，复数1ii-=______________. 三、解答题21．已知i 为虚数单位 (1)计算：()()235i i +- ; (2)已知()3+42i z i =- ，求复数z22．已知复数2(1)2(5)3i i z i++-=+.（1）求||z ；（2）若()z z a b i +=+，求实数a ，b 的值.23．设复数z ()()21312i i i++-=+，若2z + az +b ＝1+i ，求实数a ，b 的值24．已知复数22(34)(224)z m m m m i =+-+--()m R ∈．（1）若复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，求实数m 的值； （2）若复数z 为纯虚数，求实数m 的值．25．实数m 取什么数值时，复数()2212z m m m i =-+--分别是：（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？（4）表示复数z 的点在复平面的第四象限？ 26．已知复数2z i =-(i 为虚数单位). （1）求复数z 的模z ； （2）求复数z 的共轭复数；（3）若z 是关于x 的方程250x mx -+=一个虚根，求实数m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】结合复数的四则运算,计算z ，结合复数模长计算公式，计算，即可． 【详解】()3411i i z i +-=-,化简,得到322z i =-+,因此52z ==,故选C. 【点睛】考查了复数的四则运算，考查了复数的模长计算公式，难度中等．2．D解析：D 【分析】由复数的除法运算法则，化简求得122ii i-=-+，再结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数的除法运算法则，可得()()()()1221252225i i i ii i i i ----===-++-， 所以复数的虚部为1-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．B解析：B 【分析】先求出214+1bi z b z =-，再求出12221+1bi z b+=+，代入得22z b bi =--，设,z x yi =+即得解. 【详解】由题得22111111122211111123(23)31341(+1)(+1)(+1)+1+1+1z z z z z z z z bi z z z z z z --+-+-+-+=-===-=-⋅211111444()+1+1+1z bibi bi bi b z z z -+=-⋅=--⋅=-. 所以214+1biz b z =-因为111i 1z b z -=+，所以21112121i(1),1b bi z b z z b-+-=+∴=+. 所以12221+1bi z b+=+，代入214+1bi z b z =-得22z b bi =--. 设2,(,),,2z x yi x y R x b y b =+∈∴=-=-， 消去b 得24y x =-. 所以z 对应的点在抛物线上. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.4．B解析：B 【分析】根据复数的除法运算把311i i-+化成(),a bi a b R +∈【详解】()()()()2231131331241211112i i i ii i ii i i i i -----++====+++--， 31121i i i-∴=+==+ 故选：B . 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的求模公式，属于基础题.5．A解析：A 【分析】根据复数的除法化简31ii+-，再根据复数相等的充要条件求出,a b ，即得答案. 【详解】()()()()2231334241211112i i i i i ia bi i i i i i +++++++=====+--+-， 1,2,1ab a b ∴==∴-=-.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题.6．C解析：C 【解析】分析：利用复数模的性质直接求解． 详解：∵3412iz i+=-，∴34341212i i z z i i ++=====-- 故选C ．点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈的模为z =1212z z z z =，1122z z z z =． 7．A解析：A 【解析】分析：利用复数代数形式的乘法运算化简i(2i)-，再用共轭复数的概念得到答案, 详解：因为(2)12i i i -=+，又复数z 与复数i(2i)-互为共轭复数， 所以12z i =-，故选A.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及的知识点有复数的乘法运算以及复数的共轭复数，属于基础题目.8．B解析：B 【解析】()()()22421424422261311(1)12i i i i i i ii i i i i -----+-====-++-- 故选B9．A解析：A 【解析】()12i z i +=22(1)112i i i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A. 10．C解析：C113i z i -=+(1)(13)121055i i i --==-- ,所以虚部是25- ,选C. 11．C解析：C 【分析】通过复数的几何意义，得到最大值为直径，计算得到答案. 【详解】复数z 对应复平面上的点是以()1,1z 的最大值即为圆的直径故选C【点睛】本题考查了复数模的最大值，找出对应的几何意义是解题的关键.12．D解析：D 【详解】因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ， 又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝34-. 故选：D.二、填空题13．【分析】首先求出一元二次方程的虚根进一步因式分解求出结果【详解】解：首先求出的虚根为：所以：故答案为：【点睛】本题考查的知识要点：在复数范围内的因式分解问题的应用主要考查学生的运算能力和转化能力属于解析：33333x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】首先求出一元二次方程的虚根，进一步因式分解求出结果． 【详解】解：首先求出23640x x -+=的虚根为：12x x ==，所以：23643x x x x ⎛-+= ⎝⎭⎝⎭，故答案为：33333x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭本题考查的知识要点：在复数范围内的因式分解问题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．14．【分析】由复数的除法和乘法化简再求即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算属于中档题 解析：13i -+【分析】由复数的除法和乘法化简11i i+-，102i ，再求10251(12)()1i i i i +-⋅+-即可. 【详解】221(1)121(1)(1)2i i i i i i i i ++++===-+-，()51102251(1)1i i ==-=- 102551(12)()1212131i i i i i i i i i+∴-⋅+=-++=-++=-+-故答案为：13i -+ 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于中档题.15．【分析】设z ＝x+yi （xy ∈R ）可得直线l ：3z+32＝0化为：3x+1＝0由于点3i 在直线3x+1＝0上即可得出点的轨迹【详解】设z ＝x+yi （xy ∈R ）则直线l ：3z+32＝0化为：3x+1＝ 解析：3y =【分析】设z ＝x +yi （x ，y ∈R ），可得直线l ：3z +3z +2＝0化为：3x +1＝0．由于点13-+3i 在直线3x +1＝0上，即可得出点的轨迹． 【详解】设z ＝x +yi （x ，y ∈R ），则直线l ：3z +3z +2＝0化为：3x +1＝0． ∵点13-+3i 在直线3x +1＝0上， ∴在复平面内，到点13-+3i 的距离与到直线l ：3z +3z +2＝0的距离相等的点的轨迹是y ＝3．故答案为：y ＝3． 【点睛】本题考查了复数的运算性质、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．【分析】先根据等比数列前n 项和求和再由虚数单位的运算性质及复数的代数运算化简求值【详解】故答案为【点睛】本题主要考查了虚数单位的运算性质复数的除法运算属于中档题解析：1-. 【分析】先根据等比数列前n 项和求和，再由虚数单位i 的运算性质及复数的代数运算化简求值. 【详解】232007i i i i ++++()()2007450131111i i i iii⨯+--==--2(1)1(1)(1)i i i i +==--+ 故答案为1- 【点睛】本题主要考查了虚数单位i 的运算性质，复数的除法运算，属于中档题.17．【分析】先得出复数对应的点的轨迹为复平面内连接点和的线段的几何意义为复数对应的点到点的距离利用数形结合思想可得出的最小值【详解】设由复数模的三角不等式可得所以复数在复平面的轨迹是连接点和的线段如下图 解析：1【分析】先得出复数z 对应的点的轨迹为复平面内连接点()0,1和()0,1-的线段，1z i ++的几何意义为复数z 对应的点到点()1,1--的距离，利用数形结合思想可得出1z i ++的最小值. 【详解】设z x yi =+，由复数模的三角不等式可得()()222z i z i z i z i i =++-≥+--==， 所以，复数z 在复平面的轨迹是连接点()0,1和()0,1-的线段，如下图所示：当z i =-时，则1z i ++取得最小值1. 故答案为1. 【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题，解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.18．-1+i 或1-i 【解析】设z=a+biab ∈Ra+bi2=a2-b2+2abi=2i ⇒a2-b2=02ab=2解得a=1b=1或a=-1b=-1z=1+iz=-1-iz=1-iz=-1+i 故答案为-解析：或【解析】 设，解得或，，故答案为或.故答案为19．【解析】∵复数是纯虚数解得 解析：23-【解析】∵复数()()()()32326i a i a a i -+=++-是纯虚数，32060a a +=⎧∴⎨-≠⎩，解得2.3a =-.20．【解析】故答案为 解析：1i --【解析】()()()111i i i i i i i ---==---⋅，故答案为1i --.三、解答题21．（1）13+13i;（2）1-i. 【解析】【试题分析】(1)根据复数乘法运算公式计算出结果.(2)将原方程变为42i3iz -=+,在将分母实数化来求得z 的值. 【试题解析】（1）原式=210-21531313i i i i +-=+（2）因为3)42i z i +=-（ 所以()()423421*********i i i iz i i ----====-+ 22．（110；（2）7a =-，13b =-． 【解析】试题分析：（1）利用复数的计算法则将其化简，即可求得z ；（2）利用复数的计算法则将等号左边化简，再根据等号左右两边实部虚部相等即可求解．试题（1）∵21021010(3)33310i i i z i i i +--====-++，∴z =（2）∵2(3)(3)(3)(3)83(6)i i a i i a a a i b i --+=-+-=+-+=+，∴837{{(6)113a b a a b +==-⇒-+==-．考点：复数的计算． 23．a=-3,b=4. 【解析】 【分析】利用复数的混合运算，化简复数z ，然后代入等式，利用复数相等求a ，b ． 【详解】 解：由已知，z ()()3223335512255i i i i i ii i i --+---=====-++， ∴2z +az +b ＝-2i+a （1﹣i ）+b ＝a +b ﹣(a+2)i ＝1+i ，∴a b 1a 21+=⎧⎨--=⎩，解得a ＝﹣3，b ＝4． 【点睛】本题考查了复数的运算以及利用复数相等求参数；如果复数相等，那么它们的实部和虚部分别相等．24．（1）4m =-；（2）1m =. 【解析】试题分析：（1）利用实部与虚部相等列方程求解即可；（2）利用实部为零列方程，验证虚部不为零即可得结果. 试题 （1）复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，∴ 2234224m m m m +-=--，解得 4m =-. （2）复数z 为纯虚数，∴ 22340{2240m m m m +-=--≠ 41{46m m m m =-=≠-≠或且解得 1m =.25．（1）21m m ==-或；（2）21m m ≠≠-且；（3）1m =；（4） 12m <<. 【解析】试题分析：根据复数的概念及几何意义易得.（1）当复数z 是实数时，220m m --=，解得21m m ==-或； （2）当复数z 是虚数时，220m m --≠，解得21m m ≠≠-且；（3）当复数z 是纯虚数时，210m -=且220m m --≠，解得1m =；（4）当复数z 表示的点位于第四象限时，220m m --<且210m ->,解得12m <<. 试题解：（1）当220m m --=，即21m m ==-或时，复数z 是实数；（2）当220m m --≠，即21m m ≠≠-且时，复数z 是虚数；（3）当210m -=，且220m m --≠时，即1m =时，复数z 是纯虚数；（4）当220m m --<且210m ->,即12m <<时，复数z 表示的点位于第四象限． 考点：复数的概念及几何意义.26．（12）2z i =+；（3）4m =.【分析】（1）直接根据模长的定义求解即可；（2）实部相等，虚部相反即可；（3）推导出()()22250i i m ---+=，由此能求出实数m 的值.【详解】（1）因为复数2z i =-；故z == （2）2z i =+；（3）∵z 是关于x 的方程250x mx -+=一个虚根，故()()()()222508240i m i m m i ---+=⇒-+-=；因为m 为实数，所以4m =.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的模长、共轭复数的定义、复数方程的根，考查了计算能力，属于基础题．。
选修2-2 3.2.1一、选择题1．|(3＋2i)－(4－i)|等于()A.58B.10C．2 D．－1＋3i[答案] B[解析]原式＝|－1＋3i|＝(－1)2＋32＝10.2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于()A．－1＋i B．1－iC．i D．－i[答案] A[解析]原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i.3．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1＋z2是纯虚数，则有()A．a－c＝0且b－d≠0B．a－c＝0且b＋d≠0C．a＋c＝0且b－d≠0D．a＋c＝0且b＋d≠0[答案] C4．设f(z)＝z，且z1＝1＋5i，z2＝－3＋2i，则f(z1－z2)的值是() A．－2＋3i B．－2－3iC．4－3i D．4＋3i[答案] D[解析]∵z1－z2＝(1＋5i)－(－3＋2i)＝4＋3i∴z1－z2＝4－3i，∵f(z)＝z，∴f(4－3i)＝4－3i＝4＋3i.故选D.5．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为()A．0B．1C.22 D.12[答案] C[解析]∵|z＋1|＝|z－i|，∴复数z的对应点轨迹为连结点A(－1,0)，B(0,1)的线段的中垂线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到定点(0，－1)的距离，∴|z＋i|≥22.故选C.6．已知|z－3|＋|z＋3|＝10且|z－5i|－|z＋5i|＝8，则复数z等于()A．4i B．－4iC．±4i D．以上都不对[答案] B[解析]由几何意义可知复数z的对应点在以F1(－3,0)，F2(3,0)为焦点、长轴长为10的椭圆上，又在F3(0，－5)，F4(0,5)为焦点、实轴长为8的双曲线的下支上．如图故z＝－4i.故选B.7．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1、z2、z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的()A．内心B．垂心C．重心D．外心[答案] D[解析]由几何意义知，z到△ABC三个顶点距离都相等，z对应的点是△ABC的外心．8．如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是()A．1 B. 2C．2 D. 5[答案] A[解析]设复数－i、i、－1－i在复平面内对应的点分别为Z1、Z2、Z3，因为|z＋i|＋|z －i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值，∵|Z 1Z 3|＝1.故选A.9．满足条件|z |＝1及⎪⎪⎪⎪z ＋12＝⎪⎪⎪⎪z －32的复数z 的集合是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＋32i ，－12－32i B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12＋12i ，12－12i C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12＋32i ，12－32i D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫22＋22i ，22－22i [答案] C[解析] 解法1：设z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝1⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2，解得⎩⎨⎧ x ＝12y ＝±32∴z ＝12±32i . 解法2：根据复数模的几何意义知|z |＝1是单位圆，⎪⎪⎪⎪z ＋12＝⎪⎪⎪⎪z －32是以A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0为端点的线段AB 的中垂线x ＝12. ∴满足此条件的复数z 是以12为实部的一对共轭复数，由模为1知选C.故选C. 10．A 、B 分别是复数z 1、z 2在复平面上对应的两点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] 由复数与向量的对应关系，|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|⇔|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，∴以OA →、OB →为邻边的平行四边形为矩形，∴∠AOB 为直角．故选B.二、填空题11．在复平面内，若复数z 满足|z ＋3|＋|z －3|＝10，则z 在复平面内对应的点的轨迹方程为____________．[答案] x 225＋y 216＝1 [解析] 根据模的几何意义，复数z 在复平面内对应的点到两定点(－3,0)、(3,0)的距离之和为定值10，故其轨迹是以(－3,0)、(3,0)为焦点的椭圆．∵2c ＝6,2a ＝10，∴b ＝4，从而其轨迹方程是x 225＋y 216＝1. 12．已知|z |＝1，则|1－3i －z |的最大值是________，最小值是________．[答案] 3 1[解析] 因为|z |＝1，所以z 在半径为1的圆上，|1－3i －z |＝|z －(－1＋3i )|即圆上一点到点(－1，3)的距离，d max ＝3，d min ＝1.13．已知z ＝1＋i ，设ω＝z －2|z |－4，则ω＝________.[答案] －(3＋22)＋i[解析] ∵z ＝1＋i ，∴|z |＝2，∴ω＝z －2|z |－4＝(1＋i )－22－4＝－(3＋22)＋i .14．设m ∈Z ，复数z ＝(2＋i )m 2－3(1＋i )m －2(1－i )，(1)若z 为实数，则m ＝________；(2)若z 为纯虚数，则m ＝________.[答案] (1)1或2 (2)－12[解析] (1)z ＝(2＋i )m 2－3(1＋i )m －2(1－i )＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i .由题意：m 2－3m ＋2＝0，即m ＝1或m ＝2时，z 是实数．(2)依题意⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0m 2－3m ＋2≠0解得m ＝－12，∴当m ＝－12时，z 是纯虚数． 三、解答题15．已知复数z 满足方程|2z －1＋i |＝|z ＋1|，求复数z 对应点的轨迹．[解析] 设z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )，则(2x －1)2＋(2y ＋1)2＝(x ＋1)2＋y 2，整理得(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋232＝109. ∴轨迹是以点⎝⎛⎭⎫1，－23为圆心，103为半径的圆． 16．已知点P 对应复数z 1，点Q 对应复数2z 1＋3－4i ，若P 在圆|z |＝2上运动，求Q 点的轨迹．[解析] 设Q 点对应复数为z .则z ＝2z 1＋3－4i ，∴z 1＝12(z －3＋4i ) ∵|z 1|＝2，∴⎪⎪⎪⎪12(z －3＋4i )＝2. 即|z －(3－4i )|＝4.∴Q 点的轨迹是以3－4i 对应点(3，－4)为圆心，半径为4的圆．17．若f (z )＝2z ＋z －3i .f (z ＋i )＝6－3i ，试求f (－z )．[解析] ∵f (z )＝2z ＋z －3i ，∴f (z ＋i )＝2(z ＋i )＋(z ＋i )－3i ＝2z ＋2i ＋z －i －3i ＝2z ＋z －2i ， 又f (z ＋i )＝6－3i ，∴2z ＋z －2i ＝6－3im 即2z ＋z ＝6－im设z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )，则z ＝a －bi .∴2(a －bi )＋(a ＋bi )＝6－i ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝6－b ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1， ∴z ＝2＋i ，∴f (－z )＝－2z －z －3i ＝－2(2＋i )－(2－i )－3i＝－6－4i .18．已知z 1，z 2∈C ，求证：(1)|z 1|－|z 2|≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|；(2)|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2.[证明] (1)如图所示，根据复数加、减法的几何意义，令z 1，z 2分别对应向量AB →，AD →，则向量AC →，DB →分别对应复数z 1＋z 2，z 1－z 2.∵|AB →|－|BC →|≤|AC →|≤|AB →|＋|BC →|，∴|z 1|－|z 2|≤|z 1＋z 2|≤|z 1|＋|z 2|. 又∵|AB →|－|AD →|≤|DB →|≤|AB →|＋|AD →|∴|z 1|－|z 2|≤|z 1－z 2|≤|z 1|＋|z 2|.故|z 1|－|z 2|≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|.(2)设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di ，则|z 1＋z 2|2＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋2ac ＋2bd ，|z 1－z 2|2＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2－2ac －2bd ，∴|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝(a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋2ac ＋2bd )＋(a 2＋b 2＋c 2＋d 2－2ac －2bd ) ＝2(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)＝2(a 2＋b 2)＋2(c 2＋d 2)＝2|z 1|2＋2|z 2|2，即|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2.。
选修 2-2 综合测试题2一、选择题1．在数学归纳法证明“1 a a2an 1 a n 1(a，N ) ”时，验证当 n1时，等式的左1 n1 a边为（ ）Ａ． 1Ｂ． 1aＣ． 1 aＤ． 1 a22．已知三次函数f ( x)1 x 3 (4 m 1)x 2(15m22m7) x 2 在 x ( ∞ ， ∞ ) 上是增函数，则 m 的3取值范围为（ ）Ａ． m 2 或 m4Ｂ． 4 m2Ｃ． 2 m 4 Ｄ．以上皆不正确3．设 f ( x)( axb)sin x(cxd )cos x ，若 f ( x) x cosx ，则 a ， b ， c ， d 的值分别为（ ）Ａ． 1，1，0， 0Ｂ． 1，0，1，0Ｃ． 0，1，0，1Ｄ． 1，0，0，14．已知抛物线 y ax2 bx c 通过点 P(11)， ，且在点 Q(2， 1) 处的切线平行于直线 yx 3，则抛物线方程为（ ）Ａ． y 3x211x 9Ｂ． y3x211x9Ｃ． y 3x211x 9Ｄ． y3x 2 11x92a n ，0≤ a n ≤1，26，则 a 2004 的值为（5．数列 a n满足 a n 11若 a 1）2a ≤ a n，7n，112Ａ．6Ｂ． 5Ｃ．3Ｄ．177776．已知 a ， b 是不相等的正数，x a b， ya b ，则 x ， y 的关系是（）2Ａ． x yＢ． yxＣ． x2 yＤ．不确定7．复数 zm 2i( m R) 不可能在（）1 2iＡ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限8．定义A B，B C， C D， D A 的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中（Ａ），（Ｂ）可能是下列（）的运算的结果Ａ． B D，A DＢ．B D，A CＣ．B C，A DＤ．C D，A D- 1 -9．用反证法证明命题“a， b N ，如果 ab 可被5整除，那么 a ， b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（）Ａ． a ， b 都能被5整除Ｂ． a ， b 都不能被 5 整除Ｃ． a 不能被5整除Ｄ． a ， b 有 1 个不能被 5 整除10．下列说法正确的是（）Ａ．函数Ｃ．函数y x 有极大值，但无极小值Ｂ．函数y x 既有极大值又有极小值Ｄ．函数y x 有极小值，但无极大值y x 无极值11．对于两个复数 1 3 i ， 1 3 i，有下列四个结论：① 1 ；② 1 ；③ 1 ；2 2 2 2④33 1）．其中正确的个数为（Ａ． 1 Ｂ． 2 Ｃ． 3 Ｄ． 412．设f ( x)在[ a，b]上连续，则 f ( x)在[ a，b]上的平均值是（）Ａ． f ( a) Ｂ． b Ｃ．1Ｄ．f (b) f (x)dx b f ( x) dx 1 b f ( x)dx2 a 2 a b a a二、填空题13．若复数z log2( x23x 3) i log 2 ( x 3) 为实数，则x 的值为．14．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）○●○○●○○○●○○○○●若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006 年圆中有实心圆的个数为．15．函数f ( x) ax36ax 2b(a0) 在区间 [ 1，2] 上的最大值为，最小值为29 ，则 a ， b 的值分3别为．16．由y2 4 x 与直线 y 2 x 4 所围成图形的面积为．三、解答题n n17．设n N且sin x cos x 1 ，求 sin x cos x 的值．（先观察 n 1，2，3，4 时的值，归纳猜测sin n x cos n x 的值．）18．设关于x的方程x2(tan i ) x (2 i)0 ，（1）若方程有实数根，求锐角和实数根；- 2 -（2）证明：对任意πkπ (k Z ) ，方程无纯虚数根．219．设t0 ，点 P(t，0) 是函数 f (x) x 3ax 与 g( x) bx 2 c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切线．（1）用t表示a，b，c；（ 2）若函数y f (x) g ( x)在( 1，3)上单调递减，求 t 的取值范围．20．下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若 a b c，且 a b c0 ，则 b 2 ac3 ．a21．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为k(k0) ，且知当利率为0.012 时，存款量为 1.44 亿；又贷款的利率为 4.8% 时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x ， x (0 ，0.048) ，则当 x 为多少时，银行可获得最大收益？22．已知函数 f ( x)x，数列 a n 满足 a1 f ( x) ， a n 1f (a n ) ．( x 0)1 x2（1）求a2，a3，a4；（2）猜想数列an的通项，并予以证明．参考答案一、选择题： CCDAC,BABBBD二、填空题： 13、4， 14 、61， 15 、 2,3 16、917、解：当n 1 时， sin x cosx 1 ；当 n 2 时，有 sin 2 x cos 2 x 1 ；当 n 3 时，有 sin 3 x cos 3 x (sin x cos x)(sin 2 x cos 2 x sin xcos x) ，而 sin x cos x 1 ，∴1 2sin x cos x 1 ， sin xcos x 0 ．∴ sin3 x cos 3 x1 ．当 n 4 时，有 sin 4 x cos 4 x (sin 2 x cos2 x) 2 2sin 2 xcos 2 x 1 ．由以上可以猜测，当n N时，可能有sin n x cos n x( 1) n成立．18、解：（ 1）设实数根为a，则a2(tan i )a (2 i ) 0 ，即(a2a tan2) (a1)i 0 ．R ，那么a 2 ，a ， a 1，由于 a ， tan a tan tan 2 0 ．又 0 π，得πa 1 1 tan 1 2 ．4- 3 -（2）若有纯虚数根i(R ) ，使 ( i) 2 (tan)(i ) i (2 ) i 0 ，即 ( 2 2) ( tan 1) i0 ，22 ，由， tan R ，那么，0 由于2 2 0 无实数解．tan 1 0故对任意πZ ) ，方程无纯虚数根kπ (k219、解：（ 1）因为函数 f ( x) ， g (x) 的图象都过点 (t，0) ，所以 f (t ) 0 ，即 t 3 at 0 ．因为 t 0 ，所以 a t 2．g (t ) 0 ，即 bt 2 c 0 ，所以 c ab ．又因为 f ( x) ， g (x) 在点 (t，0) 处有相同的切线，所以 f (t )g (t ) ，而 f ( x) 3x 2 a ， g (x)2bx ，所以 3t 2 a 2bt ．将 a t 2代入上式得 b t ．因此c ab t 3．故a t2， b t ， c t 3．（2）y f (x)g (x) x3t 2 x tx 2t 3， y3x22tx t 2(3 x t )( x t ) ．当 y(3x t )( x t) 0 时，函数 y f ( x) g (x) 单调递减．由 y 0 ，若 t 0 ，则tt ；x3若 t 0 ，则 t x t ．3，t( 1，3) t ，( 13)，由题意，函数 y f ( x) g (x) 在 ( 1，3) 上单调递减，则 3 t或t 3．所以 t ≤9 或 t ≥ 3 ．又当 9 t 3时，函数y f (x) g( x)在( 1，3)上不是单调递减的．所以 t 的取值范围为∞， 9 3，∞．20、解：此命题是真命题．∵ a b c 0 ， a b c ，∴ a0 ， c 0 ．b 2ac 2 2 2 2 2要证a3 成立，只需证bac 3a ，即证 b ac 3a ，也就是证 ( a c) ac 3a ，即证 ( a c)(2 a c) 0 ．∵ a c 0 ， 2a c ( a c)a b a 0 ，∴ (a c)(2 ac) 0 成立，故原不等式成立．21、解：由题意，存款量 f (x) kx2，又当利率为0.012 时，存款量为 1.44 亿，即x 0.012 时，；由2，得，那么 2 ，银行应支付的利息y 1.44 1 . 4 4 k ·(0.012) k 10000 f ( x)1 0 0 0x 0g (x) x·f (x) 10000x 3 ，- 4 -设银行可获收益为 y ，则 y480x 2 10000x 3，由于 y960x 30000x 2，则 y0 ，即 960x30000x20 ，得 x 0 或 x 0.032 ．因为， x(0，0.032) 时， y0 ，此时，函数y480x 2 10000x 3递增；x (0.032 ， 0.048) 时， y 0 ，此时，函数y480x 2 10000x 3递减；故当 x 0.032 时， y 有最大值，其值约为0.164亿．axx22、解：（ 1）由 a 12， f (x) ，得 a 2f (a 1 )1a21 x1 2 x 2 1211xx21x a 3 f (a 2 )a 2 a 21 2 x21221x2x 21xa 3 1 3x2a 4 f (a 3 )a 21231x3x 21x13x 2 x14x2，．（2）猜想： a nxN ) ，(n1 nx2证明：（ 1）当 n 1 时，结论显然成立；（2）假设当 nk 时，结论成立，即 a kx ；kx 21x那么，当 n k 1 时，由 a k 1f (a k )1 kx2x，1x 2 1 (k1)x2kx 21这就是说，当 nk1 时，结论成立；由（ 1），（ 2）可知， a nx 对于一切自然数 n( nN ) 都成立．1 nx 2- 5 -。
数学归纳法课后练习主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师题一：用数学归纳法证明：凸n 边形的对角线的条数为f (n )＝12n (n －3)(n ≥3)． 题二：求证：6)12)(1(21222++=+++n n n n ．题三：用数学归纳法证明不等式：1＋12＋13＋…＋1n ＜2n (n ∈N*)．题四：设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2，3，…(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式；(2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋2．题五：在数列}{n a 中，33,2111+==+n n n a a a a ，求数列}{n a 的通项公式．题六：数列{a n } 满足 S n ＝2n －a n (n ∈N *)．(1)计算 a 1，a 2，a 3，a 4并由此猜想通项 a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．题七：设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1a n(n ＝1,2，…)． (1)证明：a n ＞2n ＋1对一切正整数n 都成立；(2)令b n ＝a n n(n ＝1,2，…)，判断b n 与b n ＋1的大小，并说明理由． 题八：数列}{n a 中，)1(2,25211-==+n n n a a a a )(*∈N n ， 用数学归纳法证明：)(2*∈>N n a n ．题九：设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0．证明：{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1 ＝ n a 1a n ＋1．题十：是否存在常数a 、b 、c ，使等式2222(1)1223(1)()12n n n n an bn c +⋅+⋅+++=++对一切正整数n 都成立？ 证明你的结论．数学归纳法课后练习参考答案题一： 见详解．详解：证明：(1)∵三角形没有对角线，∴n ＝3时，f (3)＝0，命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥3)时，命题成立，即f (k )＝12k (k －3)，则当n ＝k ＋1时，凸k 边形由原来的k 个顶点变为k ＋1个顶点，对角线条数增加k －1条．∴f (k ＋1)＝f (k )＋k －1＝12k (k －3)＋k －1＝12(k ＋1)． ∴当n ＝k ＋1时命题成立，由 (1)，(2)可知对任何n ∈N 且n ≥3，命题恒成立．题二： 见详解．详解：(1)当n =1时，左端=1 ，右端=16)12)(11(1=++⋅，左端=右端，等式成立； (2)假设n =k 时，等式成立，即6)12)(1(21222++=+++k k k k ，则 6]1)1(2][1)1)[(1()1(6)12)(1()1(2122222+++++=++++=+++++k k k k k k k k k 所以，当n =k +1时，等式仍然成立．由(1)(2)可知，对于n ∀∈*N 等式依然成立．题三： 见详解．详解：证明：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2．左边＜右边，所以不等式成立，②假设n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即1＋12＋13＋ (1)＜2k ． 那么当n ＝k ＋1时，1＋ 12＋13＋…＋ 1k ＋1k ＋1 ＜2k ＋1k ＋1＝ 2k k ＋1＋1k ＋1＜k ＋(k ＋1)＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1＝2k ＋1． 这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n ∈N *都成立．题四： （1）a 2＝3，a 3＝4，a 4＝5，a n ＝n ＋1(n ≥1)；（2）见详解．详解：(1)由a 1＝2，得a 2＝a 12－a 1＋1＝3，由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4，由a 3＝4，得a 4＝a 32－3a 3＋1＝5，由此猜想a n 的一个通项公式：a n ＝n ＋1(n ≥1)．(2)证明：用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立．②假设当n ＝k 时不等式成立，即a k ≥k ＋2，那么，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1≥k ＋3，也就是说，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2．根据①和②，对于所有n ≥1，都有a n ≥n ＋2． 题五： 53+=n a n ． 详解：,73,632121===a a ,93,8323==a a 猜想53+=n a n ．下面用数学归纳法证明：（1）当n =1时，215131=+=a ，猜想成立． （2）假设当n =k 时猜想成立，则13333533(1)535k k k a k a a k k +⋅+===+++++． 当n =k +1时猜想也成立．综合（1）（2），对n ∈*N 猜想都成立．题六： (1)a 1＝1，a 2＝32， a 3＝74，a 4＝158，猜想 a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)；（2）见详解． 详解：(1)a 1＝1，a 2＝32， a 3＝74，a 4＝158，由此猜想 a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)． (2)证明：当n ＝1时，a 1＝1, 结论成立．假设 n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1， 那么 n ＝k ＋1(k ∈N *)时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1．∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k，这表明 n ＝k ＋1 时，结论成立． 根据(1)和(2)，可知猜想对任何n ∈N * 都成立．∴a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)．题七： （1）见详解；（2）b n ＋1＜b n ．详解：(1)证明：当n ＝1时，a 1＝2＞2×1＋1，不等式成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＞2k ＋1成立．那么当n ＝k ＋1时，a k ＋12＝a k 2＋1a k 2＋2＞2k ＋3＋1a k 2＞2(k ＋1)＋1． ∴当n ＝k ＋1时，a k ＋1＞2(k ＋1)＋1成立．综上， a n ＞2n ＋1对一切正整数n 都成立．(2)∵b n ＋1b n ＝a n ＋1n ＋1a n n＝()1＋1a n 2· n n ＋1＜⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋1· n n ＋1＝2(n ＋1)n (2n ＋1)n ＋1 ＝2n (n ＋1)2n ＋1＝()n ＋122－14n ＋12＜1． 故b n ＋1＜b n ．题八： 见详解． 详解：(1) 当n = 1时，2251>=a ，不等式成立． (2)假设当n = k 时等式成立，即)(2*∈>N k a k ， 则2)1(2221--=-+k k k a a a 0)1(2)2(2>--=k k a a ，21>∴+k a ． ∴当n = k +1时， 不等式也成立．综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立．题九： 见详解．详解：证明：先证必要性．设数列{a n }的公差为d ．若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎫()1a 1－1a 2＋()1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a n ＋1＝1d · a n ＋1－a 1a 1a n ＋1 ＝ n a 1a n ＋1． 再证充分性．(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N *都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3① 两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d ．假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＝k －1a 1a k，② 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1，③ 将②代入③，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k ． 将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后，得a k ＋1＝a 1＋kd ．由数学归纳法原理知，对一切n ∈N *，都有a n ＝a 1＋(n －1)d ．所以{a n }是公差为d 的等差数列．题十： 存在a =3，b =11，c =10．详解：把n =1, 2 , 3代入得方程组2442449370a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得31110a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 猜想：等式2222(1)1223(1)(31110)12n n n n n n +⋅+⋅+++=++对一切n N *∈都成立，下面用数学归纳法证明： (1) 当n =1时，由上面的探求可知等式成立． (2) 假设n =k 时等式成立，即2222(1)1223(1)(31110)12k k k k k k +⋅+⋅+++=++则222222(1)1223(1)(1)(2)(31110)(1)(2)12k k k k k k k k k k +⋅+⋅++++++=+++++2(1)(35)(2)(1)(2)12k k k k k k +=+++++(1)(2)[(35)12(2)]12k k k k k ++=+++2(1)(2)[3(1)11(1)10]12k k k k ++=++++． 所以当n = k +1时，等式也成立． 综合（1）（2），对n N *∈等式都成立．。
目录：数学选修2-2
第一章 导数及其应用 [基础训练A组]
第一章 导数及其应用 [综合训练B组]
第一章 导数及其应用 [提高训练C组]
第二章 推理与证明 [基础训练A组]
第二章 推理与证明 [综合训练B组]
第二章 推理与证明 [提高训练C组]
第三章 复数 [基础训练A组]
第三章 复数 [综合训练B组]
第三章 复数 [提高训练C组]
（数学选修2-2）第一章 导数及其应用
[基础训练A组]
一、选择题
1．若函数()yfx在区间(,)ab内可导，且0(,)xab则000()()limhfxhfxhh
的值为（ ）
A．'0()fx B．'02()fx C．'02()fx D．0
2．一个物体的运动方程为21tts其中s的单位是米，t的单位是秒，
那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）
A．7米/秒 B．6米/秒
C．5米/秒 D．8米/秒
3．函数3yxx=+的递增区间是（ ）
A．),0( B．)1,(
C．),( D．),1(
4．32()32fxaxx,若'(1)4f,则a的值等于（ ）
A．319 B．316
C．313 D．310
5．函数)(xfy在一点的导数值为0是函数)(xfy在这点取极值的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．必要非充分条件
6．函数344xxy在区间2,3上的最小值为（ ）
A．72 B．36
C．12 D．0
二、填空题
1．若3'0(),()3fxxfx，则0x的值为_________________；
2．曲线xxy43在点(1,3) 处的切线倾斜角为__________；
3．函数sinxyx的导数为_________________；
4．曲线xyln在点(,1)Me处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；
5．函数5523xxxy的单调递增区间是___________________________。
三、解答题
1．求垂直于直线2610xy并且与曲线3235yxx相切的直线方程。
2．求函数()()()yxaxbxc的导数。
3．求函数543()551fxxxx在区间4,1上的最大值与最小值。
4．已知函数23bxaxy，当1x时，有极大值3；
（1）求,ab的值；（2）求函数y的极小值。
新课程高中数学测试题组
（数学选修2-2）第一章 导数及其应用
[综合训练B组]
一、选择题
1．函数()323922yxxxx=---<<有（ ）
A．极大值5，极小值27
B．极大值5，极小值11
C．极大值5，无极小值
D．极小值27，无极大值
2．若'0()3fx，则000()(3)limhfxhfxhh（ ）
A．3 B．6
C．9 D．12
3．曲线3()2fxxx=+-在0p处的切线平行于直线41yx=-，则0p点的坐标为（ ）
子曰：学而不思则罔，思
而
不
学
则
殆
。
