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专题04 二次根式概念及其运算基础巩固+技能提升(解析版)

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专题04 二次根式概念及其运算基础巩固+技能提升【基础巩固】1．（2019·x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥B ．1≥xC ．1x >D ．1x ≤ 【答案】B.【解析】解：x -1≥0，解得：x ≥1故答案为：B.2．（2020·山西月考）计算：(21-=_____．【答案】13-【解析】解：原式=(2212113-⨯⨯=-故答案为：13-3．（2020·=______．【解析】原式==23---．4．（2020·有意义的实数x 的取值范围是__________． 【答案】x ≤3且x ≠0. 【解析】解：由题意得，3-x ≥0，x ≠0，解得x ≤3且x ≠0，故答案为x ≤3且x ≠0．m=__________．5．（青岛月考）若2,,4【答案】4.【解析】解：∵2，m，4为三角形三边，∴2＜m＜6，原式=|m-2|+|m-6|=m-2-（m-6）=m-2-m+6=4．故答案为4．6．（2020·=___________．【答案】=2.故答案为：27．（2020·浙江杭州市模拟）一个长方形的面积为，其中一边长为边为_________．【答案】3+【解析】解：由题意可得，另一边为(÷=3故答案为：3．8．（2019·威远县月考）当a ＜01a -=_______．【答案】1.【解析】解：∵a ＜0，1a -1a -=｜a -2｜-｜1-a ｜=2-a -1+a=1．故答案为：1．9．（2020·成都月考）若实数x ，y 满足3y =，则x y +的立方根为_______． 【答案】2.【解析】解：由题意得5-x=0，即x=5，y=3，∴x+y=8，故x+y 的立方根为2．10．（2020·四川月考）若24y x =-，则x 的取值范围是__________． 【答案】x ≥1且x ≠2.【解析】解：x -1≥0，2x -4≠0，∴x ≥1且x ≠2.故答案为：x ≥1且x ≠2.11．当a=__________和可以合并． 【答案】3.和和 ∴3a-2=a+4，解得：a=3故答案为：3．12．（2020·辽宁锦州市期中）数轴上，点A 1，点B 表示3，则AB 间的距离___________【答案】 2.【解析】解：两点之间的距离为：|3-1)|=－2，故答案为：－2．13．（2020·平远县期中）(101224-⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】3.【解析】解：原式=1(4)42---+-=3.2+ 【答案】0.【解析】原式=222-+=014．（2020·甘肃兰州市期中）计算（1）（2）﹣1））﹣（1﹣2．【答案】（1）3；（2）11. 【解析】解：（1）原式=（2）原式=()31112211211---=-+=15．（2019·广东月考）如图A ，B ，C 三点表示的数分别为a ，b ，c ．利用图形化简：a b -【答案】0.【解析】解：由已知得， b ＞a ＞c ，所以，a−b ＜0，c−b ＜0，a−c ＞0，原式=b a c b a c ---+-＝b a b c a c --++-＝0．故答案为：0．16()()2233+===+-互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．（1的有理化因式是________2的有理化因式是________． （2）将下列式子进行分母有理化：=________=________． （32013++． 【答案】（12；（21；（31．【解析】解：（17=，)221=，22，2．（25==1==．1．（3）原式)(12013=++++120131=++ 17．（2020·湖南广益月考）已知关于x 的方程12111x x -=--的解比2121kx k x x --=-的解多1，求2(k +的值．【答案】7+【解析】解：12111x x -=-- 解得：x =4经检验：x=4是原方程的解∵关于x 的方程12111x x -=--的解比2121kx k x x--=-的解多1 ∴x=4－1=3是2121kx k x x--=-的解，且符合分式有意义的条件 ∴3212313k k --=- 解得：k=2∴2(k +=24(237==++18．（2020·江苏南通月考）计算（1）|2||1-（2(-（3）（4）⎛÷ ⎝【答案】（12；（2）；（3）（4）7【解析】解：（1）原式=2413++-2=；（2）原式(=-(12=⨯-=（3）原式35525=⨯+⨯==；（4）原式2633⎛=⨯⨯+⨯÷ ⎝(=÷7=．19．（1）计算：⎛ ⎝（2)011-+-．【答案】（1）2；（2）1.【解析】解：（1）⎛- ⎝(=÷=2=；（2)0112--+-1=2132133⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ 1=．【技能提升】1. 计算（1×+）﹣（1×+ ）A ．12BC ．3D ．2【答案】B.【解析】解：设a原式＝（1﹣a ）（）﹣（1﹣a ）×a ＝﹣a 2a+a 2． 故答案为：B ．2. 若5x =-，则2102x x +-的值为（ ）A ．+1B ．C ．﹣13D ．1【答案】D.【解析】解：原式=（x+5）2-27=28-27=1故答案为：D ．3．（2020·洛阳市月考）若要说明＝3m ”是错误的，则m 的值可以为_____（写出一个m 的值）．【答案】﹣1．（答案不唯一）【解析】解：∵＝3m ”是错误的，∴3m ＜0，∴m ＜0，∴m 的值可以为﹣1．故答案为：﹣1．（答案不唯一）4．（2020·上海市月考）已知x ，y 3=，则x y =_______________；【答案】81.0≥， ∴1102x -≥， ∴x ≥2；0≥， ∴1102x -≥， ∴x ≤2，∴x=2．当x=2时，此时y=9．综上所述：y x =81．故答案为：81．5．（2020·浙江杭州市月考）已知a 是实数，且满足(0a -=，则代数式2241a a -+的值是___________．【答案】1.【解析】解：∵(0a -=，∴a -3=0或2-a=0，∴a=3（舍）或a=2，∴原式=1，故答案为：1．6．（2020·，则x 的取值范围是_____．【答案】﹣5≤x≤0.∴050x x -≥⎧⎨+≥⎩，解得：﹣5≤x ≤0． 故答案为：﹣5≤x ≤0．7．（2020·渠县月考）若a 的倒数是的相反数是0，c 是－1的立方根，则c a b a b b c c a++---＝____________．【答案】【解析】解：由题意得：a=，b=0，c=-1 ∴c a b a b b c c a++---()01=++--=故答案为： 8．（2019·浙江月考）对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72 [72]=8 [8]=2 [2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．【答案】255.【解析】解：∵，，]=15，需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．9．（2019·孟津县月考）把根号外的因式移入根号内，得________【答案】a. 【解析】解：∵310a-≥，∴a ＜0， ∴原式=2311()aa a a a--⨯-=--=． 故答案为：a a-． 10．（2019·辽宁葫芦岛市期中）若32x -≤≤时，试化简：()22231025x x x x -+++-+．【答案】10-x.【解析】解：原式=2-x+x+3+5-x =10-x ． 11．（2020·上海市月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答：2m n ±a 、b ，使a b m +=，ab n =，使得22)a b m +=a b n =22()m n a b a b±=±=（a b >）．13242-． 76【解析】解：原式222(7)(6)276(76)76+-⨯⨯=-=．12．（2020·重庆市期中）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 22121212121(21)(21)(2)1---====++--，3232=+4343=-+5454=+（165=+ ；10099=+ ．（2121324310099++++++的值；（3）请利用材料提供的方法，1101+++的值．【答案】（110-）；（2）9；（3）12.【解析】解：（1==-==（2）原式=1)(100++++（3）原式(101++1012-+++. 13．先化简，再求值：2a 12a a +-+，其中a 1010=．如图是小亮与小芳的解答过程：（1）________=________()a 0<；（2）先化简，再求值：x +x 2020=-． 【答案】（1）小亮；-a ；（2）-x+4 ，2024. 【解析】解：（1）当a=1010时，1-a ＜0，-1，即小亮的计算是错误的．故答案为：小亮；-a ．（2）x +=x +22x x +-，∵x=-2020，∴原式=x-2x+4=-x+4=2024.14．阅读下列解题过程：1；-2…则：（1（2（3的大小．【答案】（13；10-（2（3.==；【解析】解：（13==-10（2）由题意可知：=．=，（3>><，故答案为：（13-，10-（2-15．（2020·==也成立，因此他认为一===2=是正确的． （1）你认为他的化简对吗？如果不对，请写出正确的化简过程；（2=成立的条件；（3=是否成立，如果成立，说明成立的条件． 【答案】（1）他的化简不对，正确化简过程见解析；（2）a≥0，b ＞0；（3）a≤0，b ＜0. 【解析】解：（1）他的化简不对，正确的化简过程为：=====2；（2=成立，则a≥0，b ＞0；（3）∵当﹣a≥0，﹣b ＞0=成立，当a≤0，b ＜0=成立． 16．（2020·四川成都期中）请计算下列各题． （1）已知x =，y =，若x 的小数部分为a ，y 的整数部分为b ，求ax by +的平方根．（2）已知a ，b ，c 数轴上对应的点如图所示，图中O 为原点，化简：2||b c +．【答案】（1）±1；（2）-2b.【解析】解：（1）2=，2=-， x 的小数部分为a ，y 的整数部分为b ，∴2-，b=0， ∴ax+by=1故ax+by 的平方根为±1. （2）原式=-a -（b -a ）-（b+c ）+c =-2b ．17．（2020·四川期中）先阅读下列的解答过程，然后作答：a 、b 使a b m +=，ab n =，这样22m +==)a b ==>．7m =，12n =；由于437+=，4312⨯=，即227+=312，27437212(43)23．由上述例题的方法化简：（1（2（3【答案】（1（2-；（3【解析】解：（1===（2====（3===18．（2020·高台县月考）化简、计算：（1．（2【答案】（1）；（2）6.【解析】解：（1==4=+4（2=-(32)=6.=-= 19．（2020·广东佛山月考）先阅读，再解答:由222可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：==，请完成下列问题：1的有理化因式是_______；(2)=_____．（直接写结果）>或<）(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：)1+【答案】（1+1；（2）3+；（3）<；（4）2017.【解析】解：（11+1；（2333==+；（3=>（4）原式=) 120181+=)11=2018-1=2017．20．（2019·山西阳泉市模考）观察下列各式及证明过程：============（1 （2）针对上述各式反映的规律，写出用n （n 为正整数，且1n ≥）表示的等式．【答案】（1=验证见解析；（2=（n 为正整数，n ≥1）． 【解析】解：（1）猜着：11115456524⎛⎫-=⎪⎝⎭===（2=（n 为正整数，n ≥1）．21．（2020·河南南阳市月考）若x ，y 为实数，且y 12．求xyy x ++2－xyy x +-2的值．【解析】解：由题意得：x=14，y ＝12．x y y x ++2－x y y x +-2＝－当x ＝14，y ＝12．22．若a ，b 都是正整数，且a ＜b 是可以合并的二次根式，是否存在a ，b ，a ，b 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】当a ＝3，b ＝48；当a ＝12，b ＝27.， ∴当a=3，则b=48， 当a=12，则b=27．23．仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a ，b ，则面积为12ab ，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号．在222a b ab +≥中，若0a >，0b >代替a ，b 得，a b +≥2a b+≥（*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求函数的最大最小值．我们以“已知x 为实数，求2y =”为例给同学们介绍．解：由题知2y==>>，∴y=≥==时取等号，即当x=时，函数的最小值为总结：利用基本不等式0,0)2a ba b+≥>>求最值，若ab为定值，则+a b有最小值．请同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应x的取值．（1）若0x>，求函数22y xx=+的最小值；（2）若2x>，求12y xx=+-的最小值；（3）若0x≥，求函数y=的最小值．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题知42=222=++y x xx x，∵x>0，∴2x>0∴422=+≥y xx，当且仅当242=xx时取等号，即当x=1时，函数的最小值为4；（2）由题知11=2222=+-++--y x xx x，∴1222=-++≥-y xx，当且仅当12=2xx--时取等号，即当x=3时，函数的最小值为4；（3）由题知292=2+y∵x≥0，22+≥∴26=≥y 2 即x=1时，函数的最小值为6. 24．（2019·四川师范大学附属中学月考）阅读下列材料，然后回答问题．一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：===1)2=1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a +b =2，ab = -3 ，求 a 2 + b 2 ．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令 x =a +b ， y = ab ，则 a 2 + b 2 = (a + b)2 - 2ab = x 2- 2y = 4+ 6=10．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．（1+...+（2）已知 m 是正整数， ab 且 2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019 ．求 m ．（31=【答案】（1（2）2；（3）9.【解析】解：（1）原式2019=++2019++==（2）∵ab∴222(21),1a b m ab +==+=∵2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019∴222()18232019a b ++=∴2298a b +=∴24(21)100m +=∴251m =±-∵m 是正整数∴m=2．（31=得出21=20=∵2281=+=0≥≥9=．25．（2020·灌南县月考）已知a 满足2019a a -=．（1有意义，a 的取值范围是 ；则在这个条件下将2019a -去掉绝对值符号可得2019a -=（2）根据（1）的分析，求22019a -的值．【答案】（1）a ≥2020；a -2019；（2）2020.【解析】解：（1∴20200a -≥，∴2020a ≥；∴20190a -<， ∴20192019a a -=-；故答案为：2020a ≥；2019a -；（2）由（1）可知，∵2019a a -=，∴2019a a -=，2019=， ∴220202019a -=， ∴202019220a =-.。

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(全册系列精选)华东师大初中数学九年级上册二次根式全章复习与巩固(提高)知识讲解

(全册系列精选)华东师大初中数学九年级上册二次根式全章复习与巩固(提高)知识讲解

《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】知识点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2()a =（0a ≥），如222112(2);();()33x x ===（0x ≥）. （2） 2a 中a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，2a 一定有意义.（3）化简2a 时，先将它化成a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）2a 与2()a 的异同不同点：2a 中a 可以取任何实数，而2()a 中的a 必须取非负数；2a =a ，2()a =a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 取非负数时，2a =2()a .3. 最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如222,,3,ab x a b +等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如2与8，由于8=22，2与8显然是同类二次根式. 知识点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则：类型 法则 逆用法则二次根式的乘法(0,0)a b ab a b ⨯=≥≥积的算术平方根化简公式：(0,0)ab a b a b =⨯≥≥二次根式的除法(0,0)a a a b b b=≥>商的算术平方根化简公式：(0,0)a aa b b b=≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd ⋅=.（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)49-⨯-≠-⨯-.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2).【答案】（1）;（2）.【解析】(1) 要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；(2) 要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三： 【变式】已知，求的值.【答案】根据二次根式的意义有将代入已知等式得2.（2016•柘城县校级一模）把1a a--中根号外的因式移到根号内的结果是( ). A ．a - B ．a - C ．a -- D ．a 【答案】A.【解析】由二次根式的意义知10a-> ，则0a <()211a a a a a--=-⨯-=-. 【总结升华】在利用二次根式性质化简时，要注意其符号，要明确a 是非负数，反过来将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数。

二次根式全章复习与巩固(基础)知识讲解1(完整资料).doc

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【最新整理，下载后即可编辑】《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质1.二次根式等式子，都形如(0)a a≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02叫做二次根式.要点诠释：二次根式a有意义的条件是0a≥，即只有被开方数0a≥时，式子a才是二次根式，a才有意义.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2=（0a ≥），如22212;;3x ===（0x ≥）.（2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 一定有意义.（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2. 3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.，与. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则：类型 法则 逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥ 积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法=(0,0)a aa b b b≥>商的算术平方根化简公式：(0,0)a aa b b b=≥> 要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd ⋅=.（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)49-⨯-≠-⨯-. 2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． 当________3x -在实数范围内有意义.【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥a .举一反三 【变式】①242x x =-成立的条件是 . ②2233x x x x--=--成立的条件是 .【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴≥2≤3x <)2．当0≤x <1时，化简21x x +-的结果是__________.【答案】 1.【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，所以21x x +-=x +1-x =1.【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即2a =a ，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三【变式】已知0a <，化简二次根式3a b -的正确结果是（ ）.A.aab --B. a ab -C.a abD.a ab -【答案】A.3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）. A.14 B. 48 C.a bD. 44a +【答案】A.【解析】选项B ：48=43；选项C ：有分母；选项D ：44a +=21a +，所以选A.【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式； （2）被开方数中不含能开方的因式或因数. 类型二、二次根式的运算4．下列计算错误的是（ ）. A. 14772= B. 60523= C. 9258a a a =D.3223=【答案】 D.【解析】选项A ： 14714727772⨯=⨯=⨯⨯= 故正确；选项B ：605605123423÷=÷==⨯=，故正确； 选项C925358a a a a a +=+=故正确；选项D ：32222-= 故错误.【总结升华】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，属于基础性考题. 举一反三【变式】计算：48(54453)833-+⨯ 【答案】243610-.5.化简20102011(32)(32)+⋅-.【答案与解析】201020102010=(32)(32)(32)(32)(32)(32)1(32)3 2.+⋅-⋅-⎡⎤=+⋅-⋅-⎣⎦=⋅-=-原式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.6已知2231,12x x x x =-+求.【答案与解析】2231,1=30,(1)133331=33x x x xx x x =+∴->∴=--+==原式当时，原式【总结升华】 化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论. 举一反三【变式】已知a b +=-3, ab =1,求abb a +的值.【答案】∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b11++)=-=3a b b a ab∴原式.。

考点04 二次根式(精讲)(解析版)

考点04 二次根式(精讲)(解析版)

考点04.二次根式（精讲）【命题趋势】二次根式在各地中考中，每年考查2道题左右，分值为8分左右，对二次根式的考查主要集中在对其取值范围、化简、计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察。

此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题。

【知识清单】1：二次根式的相关概念（☆☆）（1）二次根式的概念：形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式。

其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数。

注意：被开方数a 只能是非负数。

即要使二次根式a 有意义，则a ≥0。

（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。

（3）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式。

2：二次根式的性质与化简（☆☆☆）（1）二次根式的性质：1）双重非负性：a ≥0（a ≥0）；2）)0()(2≥=a a a ；32(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（2）二次根式的化简方法：1）利用二次根式的基本性质进行化简；2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。

（3）化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。

3：二次根式的的运算（☆☆☆）（1）加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并。

口诀：一化、二找、三合并。

（2）乘法法则:两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.（3）除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.（4）分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程。

人教数学八年级下册《二次根式》的巩固与提升分专题例谈 .docx

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初中数学试卷桑水出品《二次根式》的巩固与提升分专题例谈赵化中学 郑宗平在数式相关的题型中，含二次根式的题是同学们感到比较头疼的，特别是其综合解答题的正确率也比较低；二次根式涵盖知识点多，解答的技巧性强；不但在代数中占据很重要的位置，而且有时在几何计算中也常能发挥很关键的作用，二次根式是很能考查同学们在初中阶段的数学素养的；下面我“分类”例举的一部分题型是对二次根式的巩固与提升，让我们来共同探究. 一、善于挖掘隐含条件，准确的“移进”和“移出”. 例（ ）A.--D.分析：a 0≤的条件.这是因为根据二次根式的定义可知3a 0-≥，所以a 0≤==- C.例2.把(a 1- .分析：(a 1-101a>-的条件，所以1a 0->，可得a 1<，所以a 10-<；所以 ()a 11a -=--=(a 1-.点评：关于二次根式的根号内外的“移进”和“移出”，关键是要抓住二次根式的被开方数是非负数这个特点，先确定字母的隐含的取值范围，a 进行“移进”和“移出”的变形化简；这类题在考试中常出现在考题的填空和选择题中，是正确率比较低的热点考题. 追踪练习：1.把下列各式化简：①；②.2.把根号外的因式“移入”根号内：①...(x 1-；④.-二、利用二次根式中的算术平方根的双重非负数性[ )a 0≥有a 00≥]巧解题 例1.x y 、6y -，求1x y -的值？分析：根据式子有13x 03x 10-≥⎧⎨-≥⎩，从中可求得x 的值，进一步求得y 的值，使问题得以解决.略解：根据题意可知：13x 03x 10-≥⎧⎨-≥⎩ 解得：1x 3=；把1x 3=6y =-有：6y -，解得：y 6= 所以111x y 636183--⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭.例2.已知：2a 12a =，求20151ab 2⎛⎫⎪⎝⎭的值？分析：2a 2a 10-+=()2a 10-=，利用非负数的性质可求得ab 、的值.略解：2a 2a 10-+= ，进一步可得()2a 10-=0，()2a 10-≥∴ ()2a 10⎧-=⎪= ∴a 10a b 10-=⎧⎨++=⎩ 解得：a 1b 2=⎧⎨=-⎩∴()()20152015201511ab 121122⎛⎫⎡⎤=⨯⨯-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.例3.分析：本题显得比较抽象，似乎难以找到突破口，但题中有二次根式这一重要特点，所以抓住从被23a 0-≥，可求得a 0=. 略解：23a 0-≥，可得a 0≤ ；又∵a 0≥ ∴a 0= ∴原式32106+++=.点评：二次根式的算术平方根的双重非负数性是属于考试中的高频考点，这个知识点容易与其它知识点联姻构成有一定含金量的综合题，而双重非负数性在其中扮演的往往是关键角色，上面的几道例题就是要抓住算术平方根及其被开方数都是非负数的破题；比如很多同学对于例3这类题不知从何入手，但只要抓住本题是二次根式构建的，从被开方数是非负数这点入手，就可以隐藏在其中的a 的值挖出来，从而使问题得以解决. 追踪练习：1.已知y=2.已知a 40-,化简并求22222a ab a abb a b+-+-的值？ 3.若2m6m 9-+xy 的值？4.的值？5.已知2014a a -+，试求2a2014-的值？ 三、逆用()2aa 0=≥即()2a a 0=≥巧化简.例1.化简：+ 分析：根据题中式子可知,a 0b 0≥≥，∴,22a b==∴22a b -=-=,等，即逆用()2a a0=≥可以巧化简.略解：原式=()()222222⎛⎫-⎪+⎪⎪⎝⎭=22⎛⎫=ab⋅ab ab=ab ab--=a bab+-例2.分析：本题按常规可以把分母中根号化去，但若用()2a a=≥可以进行巧算，更简捷.分子分别有)231=，22253=-=-=.略解：原式=21==-=点评：逆用()2a a0=≥即()2a a0=≥来化简、计算或分解因式等往往能起到“四两破千斤”的作用.比如例2的计算化简（主要把分母中的根号化去，即分母有理化），按常规方法要分子和分母要同时乘以有理化因式，在计算中是容易出错的，但用()2a a0=≥进行巧算，可以做到快速准确.追踪练习：1.-.2.化简：⎫3.已知：y18=的值？a=计算或化简.例1.若0m1<<111m1m⎛⎫+⨯⎪+⎝⎭.分析：本题关键是含二次根号的部分化简.的221m2m+-可以借助因式分解的方法化成21mm⎛⎫-⎪⎝⎭a=来可将根号化去.略解：∵0m1<<2111mm mm m m-=-=-=∴原式=()()21m1m1m11m11m1m m1m m m11m1m+---⎛⎫⨯+⨯=⨯⨯=⎪++++⎝⎭.例2.若ab c、、为ABC的三边.分析：a的部分的正负情况是本题的关键，根据三角形三边之间的关系可以搞定.略解：∵a b c、、为ABC的三边∴,,a0b0c0>>>；a b c-<；b c a+>；c b a-<.∴,,,a b c0a b c0b c a0c b a0++>--<+->--<∴原式=a b c a b c b a c c b a+++--+-+---=a b c a b c b a c c b a++-+++-++--=2a2b4c-++例3.分析：双重二次根式的计算或化简往往是同学们感到比较抽象的.其实关键也是把被开方数部分化成“平方”的形式，本题比较抽象的是被开方数部分是两“项”，但我们若用“拆项”的技巧，可以使问题得以解决.也就是2532-=-=-，此时被开方数可以化成2a=来可将外层根号化去.===点评：a=也是属于考试中的高频考点，这个知识点更容易与其它知识点联姻构成的综合题，本专题的前面两道例题就这方面的题型. 《二次根式》一章“几乎所有”涉及计算或化a =的这个二次根式的性质.a 抓住这几个环节:首先想办法把被开方数写成2aa ；最后根据绝对值的代数意义[ 即 ()()a a 0a a a 0⎧≥⎪=⎨-≤⎪⎩ ] 来化简. 追踪练习：1.计算：①(()211---+；②2. 实数m n 、 如图所示：请化简3. 1= a ？ 五、利用幂的运算法则、乘法公式等进行二次根式的计算或化简例.计算：1. ))2015201544； 2.(21-； 3..分析：本例的3道小题都是幂的运算法则、乘法公式在二次根式中的稍难运算的运用.1小题逆用积的乘方的法则和平方差公式进行计算；2小题可以把括号的其中两项看成一个整体，然后里利用完全平方公式计算；3小题抓住两个括号里的“项”相同．．和互为相反数．．．．．的特征，利用平方差公式可以进行简便运算.略解：1.原式)()()222201520152444151611⎡⎤⎡⎤==-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎣⎦；2.原式((2221116⎡==++==-⎣3.原式22235⎡⎡=+-=-=+-=⎣⎣点评：二次根式的运算中，以前学习过的法则、运算律以及乘法公式同样适用.本专题的三个例子都是同学们感到有一定难度的计算题，但是我们运用幂的运算法则、乘法公式使其运算过程大大简化了；运用幂的运算法则、乘法公式要注意两点：其一.运算式子有没有符合法则和公式的结构特征；其二.要有整体的思想. 追踪练习： 1.计算： ①.；②.2⎝⎭；③.2；④.(21；⑤.))2015201622；⑥. (11-. 2. .计算：22-.六、含二次根式的代数式的整数部分与小数部分例.已知a 是1-b 5的小数部分，c abc 的值？ 分析：由..,14014123<<<可得：,,61575823-<--<<<<.由此根据题中的条件可以分别确定题中a b c 、、的值. 略解：∵..,14014123<<<∴,,61575823-<--<<<< ∴,,a 5b 572c 2=-=-== ∴())()()()22abc 522522256450⎡⎤=-=--+=--=⎢⎥⎣⎦点评：含二次根式的代数式的值的整数部分与小数部分的确定，关键是确定根式部分值的范围，然后在此基础上确定整个代数式的值的范围，使其整数部分与小数部分得以确定；特别要注意其小数部分往往是一个含二次根式的式子，它是整个式子减去整数，比如上面b c 、的值的确定：,b 572c 2=-==，除非题有要求，小数部分不要写成一个近似的小数，而是一个含二次根式的式子，这正是这类题的“魅力”所在，是众命题人青睐和关注的原因. 追踪练习：1.若x y 、分别是822xy y -的值？2.已知a b 、分别为62a b -的值？3.5+a ，5的小数部分是b ，求ab 5b +的值？4.的整数部分为a ，小数部分为b ，求22a b +的值？5.已知x 是6y 2的小数部分，z 是)12-的整数部分，求22x z y z -的值？ 6. 周六，小华的妈妈和小华作了一个小游戏.小华的妈妈说：“你现在学习了二次根式，若m 表示n 表示它的小数部分，我这个钱包里的钱数是)m n ⋅元，你猜一下这个钱包的钱数是多少？若猜对了，钱包里的钱就由你支配.”你能运用数学知识帮小华获得支配权吗？ 七、整体代换·巧变求值.例1. 已知x 5y 5=-=+，求223x 5xy 3y ++的值？分析：从要求值的式子特征来看，若直接代入求值计算过程比较繁琐；若从223x 5xy 3y ++变形即()2223x 6xy 3y xy 3x y xy ++-=+-，从已知整体求出xy 和x y +的值，整体代入过程便变得简捷了. 略解：∵x 5y 5=-=+∴(((,xy 5525241x y 5510=-+=-=+=-++= ∴原式()22223x 6xy 3y xy 3x y xy 31013001299=++-=+-=⨯-=-= 例2.已知a b =2a b +的值.分析：从要求值的式子特征来看，是以ab 和a b +为架构的；恰巧a b 、互为倒数，所以我们可以先整体求出ab 和a b +的值，在此基础上求代数式的值便轻松了.11-m n略解：∵a b==∴()(,22ab1a b232434314==+==++=++-=2a b11961961196195++==--点评：上面两道题如果直接代入求值，计算量比较大，而且容易出错，通过观察已知和要求的值的式子，发现都可以变形和化简，若运用整体的代换的思想，“两头凑”，也就比较容易求出式子的值.追踪练习：1.若x2=2x4x6--的值？2. 已知：,11a b22==，求：①.22a ab b-+的值；②.a bb a+的值.3.已知：x y y z--=222x y z xy xzyz++---的值？八、稍复杂的含二次根式的代数式值的大小比较例..分析：我们采用“倒数法”，倒数值大的反而小，问题便可以解决.略解：设m n==m n====>∴m n>∴11m n<点评：平时我们常用“近似数法”、“平方法”和“比差法”等来比较含二次根式的代数式值的大小，但稍微复杂的，这些方法就不管用了，所以必须突破常规才能解决问题.比如本题采用“倒数法”，通过分母有理化分别求出原式的倒数值，比较其倒数的大小，从而比较原式值的大小.追踪练习：1.比较大小：()--（填“>”或“<”或“=”）2.()（填“>”或“<”或“=”）3.的大小.4.设a＞b＞c＞d＞0且，x y z===x、y、z的大小关系．九、解含无理系数的方程（组）和不等式（组）例1.解x1>+分析：本题关键是未知数的系数含有无理数，在系数化为1的时候要特别注意系数的正负情况，同时要注意将结果中分母中的根号化去，即分母有理化.略解：由x1+得x1>∴(1x1>∵1∴x=∴x1=-例2.解方程组：2y++分析：解二元一次方程组的方法消元.关键是本题未知数的系数含有无理数，这种特点的方程组若采用代入消元法，过程较为繁琐，一般采用加减法消元.略解：①3y+=③③-②得：y=将y=+=解得：x=∴原方程组的解是xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点评：解含无理系数的方程（组）和不等式（组）都要注意结果要把分母中的根号化去（即分母有理化），解含无理系数的方程（组）一般采用加减法更简捷，而解含无理系数的不等式（组）要注意的是系数化为1时系数的正负性.追踪练习：1.1>+；2.解方程组：11+==十、几何计算中的二次根式运算或化简例1.若一个矩形的的周长为cm，一边长为cm，求另一边长和此矩形的面积？分析：根据矩形的的周长可以先求出两邻边的和（即长与宽的和），再用两邻边的和减去已知的一边长；根据矩形的面积公式可求得矩形的面积.略解：根据题意和矩形的周长公式可知另一边为：1111122222-==⨯⨯==矩形的面积为：66=-=故矩形另一边长为(cm，而矩形的面积为2cm例2.如图，在方格纸中的小正方形的面积为1，ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，小刚通过观察探究得出如下结论：①.△ABC 的形状是等腰三角形；②.△ABC的周长是③.△ABC 的面积是5；④.点C 到AB⑤.直线EF 是线段BC 的垂直平分线.你认为刚观察的结论正确的序号有 .解析：结合图形和已知条件可以求出方格纸中的小正方形的边长为1，再根据勾股定理可计算出ABC 的三边长分别为，故①正确，②错误；ABC 的面积由间接计算得到：11333122422⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故③错误；利用三角形的等积法：1AB h 42⋅=h 4=，解得h 故④正确；根据垂直平分线的判定并结合图象可知EF 是线段BC 的垂直平分线，⑤正确.故选①④⑤.点评：几何的相关计算中往往要通过二次根式的计算或化简来解决不在少数，是中考和各类考试的热点考题；这类题型把二次根式的计算或化简和勾股定理即其它几何知识很好结合在一起考察，是数形结合等思想方法较好体现.追踪练习：1.如图在四边形ABCD 中，,,1AB BC DC BC AE CD BC 4⊥⊥==求四边形ABCD 的周长和面积？2.如图一块长方形场地ABCD 的长AB 与宽AD 1，DE ⊥AC于点E ，BF ⊥AC 于点F ，连结BE 、DF ；现计划在四边形DEBF 区域内 （阴影部分）种植花草，求四边形DEBF 与长方形ABCD 的面积之比.3.已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中，B C 、 两点在第二象限内，OA 与x 轴的夹角为60°，求出点B 点坐标.。