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四年级奥数思维训练专题-容斥原理专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
例1：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析：只答对第一题的有25－15=10人。
至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
试一试1：一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。
两种报纸都没有订阅的有多少人？例2：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析：至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，两科竞赛都参加：28＋27－31=24人。
试一试2：一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。
问这两种棋都会下的有多少人？例3：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析：从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。
因此，是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100－33=67个。
试一试3：在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？。
容斥问题（一）容斥问题涉及到一个重要的原理——包含与排除原理，也称为容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。
这一讲我们先介绍容斥原理1对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质a分类与性质b分类（如图1），那么，具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。
例1．一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的有9人，两种报纸都订阅的有5人。
（1）订阅报纸的总人数有多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？例2．一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？例3．在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个？例4．艺术节那天，学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有23幅画不是五年级的，有21幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。
其他年级参展的画共有多少幅？练习与思考1.将边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图6），已知重叠的部分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？2．二（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人？3．有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹竖笛的有56名，两样都不会的有4名，两样都会的有多少名？4．某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖的，两项比赛都没获奖的有多少人？5．四（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加航模水组，有19人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加？6．在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都答错。
容斥原理1、某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？2、某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？3、四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．（6级）4、五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．（6级）5、光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？（6级）6、新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有多少人？7、五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数．8、六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项．其中，爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人．问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？9、在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕．2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕．问：三种都带了的有几人？只带了一种的有几个？9、盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要．10、全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有6个人数学不及格，那么，数学成绩优秀的有几个学生？有几个人既会游泳，又会滑冰？11、在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的人数多3个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多4人；50个人没有摘草莓；11个人摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有60人摘了李子.如果参与采摘水果的总人数是100，你能回答下列问题吗？①有人摘了山莓；②有人同时摘了三种水果；③有人只摘了山莓；④有人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；⑤有人只摘了草莓.12、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A 、B 、C 、D 、E 五个小组，若参加A 组的有15人，参加B 组的人数仅次于A 组，参加C 组、D 组的人数相同，参加E 组的人数最少，只有4人．那么，参加B 组的有多少人？13、五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个．其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？14、某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为10、15、20人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？图形中的重叠问题1、 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？2、把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？3、两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？4、 如图，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．图32厘米4厘米图35、一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．6、三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？7、如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？8、如图所示，A 、B 、C 分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A 与B 、B 与C 的公共部分的面积分别为8、7，A 、B 、C 这三张纸片的公共部分为3．求A 与C 公共部分的面积是多少？容斥原理在数论问题中的应用1、 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？2、 在自然数1100~中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？3、 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？4、 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?CB A105、求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．5、以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？7、分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.8、在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有个．9、在从1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个？10、50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名?11、有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3， (2000)然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？12、写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？13、在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔；（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；（3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；（4）其他标签号均奖1支铅笔．那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?14、在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成________段．15、一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出段．16、一根1.8米长的木棍，从左端开始每隔2厘米画一个刻度，涂完后再从左端开始每隔3厘米画一个刻度，再从左端每隔5厘米画一个刻度，再从左端每隔7厘米画一个刻度，涂过按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？容斥原理中的最值问题1、将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？2、如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?3、某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？4、某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有人．5、60人中有23的人会打乒乓球，34的人会打羽毛球，45的人会打排球，这三项运动都会的人有22人，问：这三项运动都不会的最多有多少人？6、图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?7、甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?8、在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？恰好被1个人浇过的花最多有多少盆？9、甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?。
容斥原埋在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。
例1、桌上有两张圆纸片A、B.假设圆纸片A的面积为30平方厘米，圆纸片B的面积为20平方厘米.这两张圆纸片重叠部分的面积为10平方厘米.则这两张圆纸片覆盖桌面的面积由容斥原理的公式（1）可以算出为：｜A∪B｜=30＋20-10＝40（平方厘米）。
例2、求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数。
分析解这类问题时首先要知道在一串连续自然数中能被给定整数整除的数的个数规律是：在n个连续自然数中有且仅有一个数能被n整除.根据这个规律我们可以很容易地求出在1至100中能被3整除的数的个数为33个，被7整除的数的个数为14个，而其中被3和7都能整除的数有4个，因而得到解：设A=｛在1～100的自然数中能被3整除的数｝，B＝｛在1～100的自然数中能被7整除的数｝，则A∩B=｛在1～100的自然数中能被21整除的数｝。
∵100÷3＝33…1，∴｜A｜＝33。
∵100÷7＝14…2，∴｜B｜=14。
∵100÷21＝4…16，∴｜A∩B｜=4。
由容斥原理的公式（1）：｜A∪B｜＝33＋14-4=43。
答：在1～100的自然数中能被3或7整除的数有43个。
例3、求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析如果在1～100的自然数中去掉5的倍数、6的倍数，剩下的数就既不是5的倍数也不是6的倍数，即问题要求的结果。
解：设A＝｛在1～100的自然数中5的倍数的数｝，B=｛在1～100的自然数中6的倍数的数｝，数.为此先求｜A∪B｜。
∵100÷50=20，∴｜A｜=20又∵100÷6＝16…4，∴｜B｜=16∵100÷30＝3…10，∴｜A∩B｜=3，｜A∪B｜=｜A｜+｜B｜-｜A∩B｜=20＋16-3＝33。
1、先包含——A ＋B 重叠部分A ∩B 计算了2次，多加了1次；2、再排除——A ＋B －A ∩B小学奥数总复习第七讲《容斥原理》练习容斥原理1：两量重叠问题计算公式：A ∪B=A ＋B-A ∩B说明：A ∪B 读作：“A 并B ”，表示A 、B 情况的总和。
A ∩B 读作：“A 交B ”，表示A 、B 的公共部分。
容斥原理2：三量重叠问题计算公式： A ∪B ∪C= A ＋B ＋C －A ∩B －B ∩C －A ∩C －A ∩B ∩C说明：A ∪B ∪读作：“A 并B 并C ”，表示A 、B 、C 情况的总和。
A ∩B ∩C 读作：“A 交B 交C ”，表示A 、B 、C 的公共部分。
1、有两块一样长的木板，各长130厘米，中间钉在一起后成了一块长木板，中间钉在一起的重叠部分时10厘米，长木板的长度是多少？2、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。
中间重叠部分长11厘米。
这两块木板各长多少厘米？3、老师出了两道数学题，在40人中，做对第一题的有31人，做对第二题的有28人，每人至少做对一道，两道题都做对的有几人？4、三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种，已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。
问两项比赛都参加的有几人？5、某班共有42人，参加美术小组的有11人，参加陶艺小组的有15人，有6人两个小组都参加。
这个班既没参加美术小组也没参加陶艺小组的有多少人？6、三（2）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸，三(1)班有学生多少人？7、校运动会上，四个年级共有118人参加跑步比赛。
其中一、二年级共有70人参加，一、三年级共有65人参加，二、三年级共有59人参加。
问:四年级有多少学生参加跑步比赛？8、某校三年级共有三个班级128名学生，一班和二班共有89人，二班和三班共有87人。
三年级各班有多少名学生？A ∩C A ∩B ∩C B ∩C A ∩B 图中小圆表示A 的个数，中圆表示B 的个数，大圆表示C 的个数 1、先包含——A ＋B ＋C 重叠部分A ∩B 、 B ∩C 、 A ∩C 重叠了2次， A ∩B ∩C 重叠了3次。
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
原理一：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
（A∪B = A+B - A∩B)原理二：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C 类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）两根完全相同的木条，各长100厘米，将两根木条中间钉在一起后成了一根长木条，中间钉在一起的重叠部分长10厘米，现在这根长木条的长度是多少？（思维潜能P86）（中环杯培训题）解析：两根木条钉在一起，其中一根木条10厘米的部分将另一根木条10厘米的部分遮住了，那么在统计总长时这遮住的10厘米需要扣除。
步骤：100+100－10=190（厘米）难度系数：A某班共有36人，参加书法小组的有12人，参加折纸小组的有14人，有5人两个小组都参加。
这个班既没参加书法小组，也没参加折纸小组的有多少人？（思维潜能P86）（中环杯培训题）解析：图中长方形的覆盖面积表示全班的人数，即36人。
图中两个圆形分别表示折纸小组的人数与书法小组的人数，则两个圆圈的覆盖面积表示至少参加一个小组的总人数，其余部分则表示即没有参加书法小组也没有参加折纸小组的人数。
步骤：12+14－5=21（人）36－21=15（人）植树节某校除一年级外，其他四个年级共有120人参加了植树活动。
七、包含与排除—容斥原理解题思路：1、AB总数=A数+B数—AB公共部分2、ABC总数=A数+B数+C数—AB公共部分—AC公共部分—BC公共部分+ABC公共部分1、在一次数学和英语考试中,有22人至少一科是优秀,其中15人数学优秀,18人英语优秀。
两科都是优秀的有几人？2、有30名运动员,他们至少会摔跤和柔道中的一项,已知22会摔跤,18人会柔道,两项都会的有多少人？3、六（1）班开设数学和英语兴趣小组,参加数学组的16人,参加英语组的20人,两个组都参加的5人。
这两个小组一共有多少人？4、调查40名教师的爱好,喜欢游泳的25人,喜欢跑步的20人,10人这两项都不喜欢。
两项都喜欢的有几名？5、六（2）共有55人,报考能力竞赛考试,有15人参加数学,22人参加英语,都参加的有6人。
两个都不参加的有多少人？6、六（3）班有25人喜欢红色,18人喜欢黄色,10人两种颜色都喜欢,12人两种颜色都不喜欢。
这个班有多少人？7、将四条长16厘米,宽为2厘米的小长方形,如图放在桌子上。
桌面被盖住的面积是多少？8、六（5）班有50人,不会骑自行车的23人,不会滑旱冰的35人,9、六（4）班某次考试共三道数学题,做对第一题的38人,做对第二题的41人,做对第三题的27人。
一、二题都做对的32人,一、三题都对的21人,二、三题都对的20人,三道都对的17人。
没有全错的人。
全班共有多少人？10、六（6）有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加篮球队,10人参加排球队。
没有人同时参加三个队,每人至少参加了一个队。
有6人同时参加足球和篮球队,2人同时参加篮球和排球队,同事参加足球和排球队的有多少人？11、几个小朋友去冷饮店,每人至少要了一样冷饮。
其中6人要冰棍,6人要汽水,4人要雪碧,冰棍和汽水都要的3人,冰棍和雪碧都要的1人,汽水和雪碧都要的1人。
三样都要的1人。
共有几个人？12、某工厂工程师不超过50人,其中会法语的有3分之2,会日语的有9分之4,两种语言都会的有5分之2,两种语言都不会的有多少人？13、六（7）班有46人,其中40人会骑自行车,38人会打篮球,35人会打羽毛球,27人会游泳。
四年级奥数专题-容斥原理专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,也叫容斥原理.即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分.容斥原理：对n 个事物,如果采用不同的分类标准,按性质a 分类与性质b 分类（如图）,那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab .例1：一个班有48人,班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手.又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手.最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手.求这个班语文、数学作业都完成的人数.分析 完成语文作业的有37人,完成数学作业的有42人,一共有37＋42=79人,多于全班人数.这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次,在统计做完数学作业的人数时又算了一次,这样就多算了一次.所以,这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人.练 习 一1,五年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成绩.其中语文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人.语文、数学都优秀的有多少人？Nab NbNa2,四年级一班有54人,订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人,订《小学生优秀作文》的有45人,每人至少订一种读物,订《数学大世界》的有多少人？3,学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其中两种乐器都会演奏的有8人.这个文艺组一共有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人.问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人,两题都答对的有15人,可以求出只答对第一题的有25－15=10人.又已知答对第二题的有23人,用只答对第一题的人数,加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人.所以,两题都答得不对的有36－33=3人.练习二1,五（1）班有40个学生,其中25人参加数学小组,23人参加科技小组,有19人两个小组都参加了.那么,有多少人两个小组都没有参加？2,一个班有55名学生,订阅《小学生数学报》的有32人,订阅《中国少年报》的有29人,两种报纸都订阅的有25人.两种报纸都没有订阅的有多少人？3,某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛,结果3人两项比赛都获奖了,有27人两项比赛都没有获奖.已知作文比赛获奖的有14人,问数学比赛获奖的有多少人？例3：某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科都没有参加的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数,应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人,再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人.练习三1,一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法语的有18人,两样都不会的有4人.两样都会的有多少人？2,一个俱乐部有103人,其中会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的有52人,这两种棋都不会下的有12人.问这两种棋都会下的有多少人？3,三年级一班参加合唱队的有40人,参加舞蹈队的有20人,既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人.这两队都没有参加的有10人.请算一算,这个班共有多少人？例4：在1到100的自然数中,既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中,减去5或6的倍数的个数.从1到100的自然数中,5的倍数有100÷5=20个,6的倍数有16个（100÷6=16……4）,其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）.因此,是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个,既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100－33=67个.练习四1,在1到200的全部自然数中,既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？2,在1到130的全部自然数中,既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？3,五（1）班做广播操,全班排成4行,每行的人数相等.小华排的位置是：从前面数第5个,从后面数第8个.这个班共有多少个学生？例5：光明小学举办学生书法展览.学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有24幅不是五年级的,有22幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有10幅,其他年级参展的书法作品共有多少幅？分析与解答：由题意知,24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数,22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数.24＋22=46幅,这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数,从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品,即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数,再除以2,即可求出其他年级参展作品的总数.（24＋22－10）÷2=18幅.练习五1,科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品,其中有110件不是一年级的,有100件不是二年级的,一、二年级参展的作品共有32件.其他年级参展的作品共有多少件？2,六（1）儿童节那天,学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品,其中有25幅画不是三年级的,有19幅画不是四年级的,三、四两个年级参展的画共有8幅.其他年级参展的画共有多少幅？3,实验小学举办学生书法展,学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品,其中有28幅不是五年级的,有24幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有20幅.一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅.一、二年级参展的书法作品共有多少幅？。
⼩学奥数精讲：容斥原理习题及答案⼩学奥数精讲：容斥原理习题及答案年级班姓名得分⼀、填空题1.⼀个班有45个⼩学⽣,统计借课外书的情况是:全班学⽣都借有语⽂或数学课外书.借语⽂课外书的有39⼈,借数学课外书的有32⼈.语⽂、数学两种课外书都借的有⼈.2.有长8厘⽶,宽6厘⽶的长⽅形与边长为5厘⽶的正⽅形,如图,放在桌⾯上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌⾯的⾯积是平⽅厘⽶.3.在1~100的⾃然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个.4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75⼈,既懂英语⼜懂俄语的20⼈,那么懂俄语的教师为⼈.5.六⼀班有学⽣46⼈,其中会骑⾃⾏车的17⼈,会游泳的14⼈,既会骑车⼜会游泳的4⼈,问两样都不会的有⼈.6.在1⾄10000中不能被5或7整除的数共有个.7.在1⾄10000之间既不是完全平⽅数,也不是完全⽴⽅数的整数有个.8.某班共有30名男⽣,其中20⼈参加⾜球队,12⼈参加蓝球队,10⼈参加排球队.已知没⼀个⼈同时参加3个队,且每⼈⾄少参加⼀个队,有6⼈既参加⾜球队⼜参加蓝球队,有2⼈既参加蓝球队⼜参加排球队,那么既参加⾜球队⼜参加排球队的有⼈.69.分母是1001的最简真分数有个.10.在100个学⽣中,⾳乐爱好者有56⼈,体育爱好者有75⼈,那么既爱好⾳乐,⼜爱好体育的⼈最少有⼈,最多有⼈.⼆、解答题11.某进修班有50⼈,开甲、⼄、丙三门进修课、选修甲这门课的有38⼈,选修⼄这门课有的35⼈,选修丙这门课的有31⼈,兼选甲、⼄两门课的有29⼈,兼选甲、丙两门课的有28⼈,兼选⼄、丙两门课的有26⼈,甲、⼄、丙三科均选的有24⼈.问三科均未选的⼈数?12.求⼩于1001且与1001互质的所有⾃然数的和.13.如图所⽰,A、B、C分别代表⾯积为8、9、11的三张不同形状的纸⽚,它们重叠放在⼀起盖住的⾯积是18,且A与B,B与C,C与A公共部分的⾯积分别是5、3、4,求A、B、C 三个图形公共部分(阴影部分)的⾯积.14.分母是385的最简真分数有多少个,并求这些真分数的和.———————————————答案——————————————————————1. 26从图中可以看出全班45⼈,借语⽂或数学课外读物的共39+32=71(⼈),超过全班⼈数71-45=26(⼈),这26⼈都借了语⽂、数学两种课外书。
奥数容斥问题奥数容斥问题是数学竞赛中一个经典的计数原理问题。
通过运用容斥原理，我们可以解决集合之间的重复计数问题。
本文将介绍奥数容斥问题的定义、原理和应用，并通过具体的例题进行说明。
首先，让我们来了解奥数容斥问题的定义。
在组合数学中，容斥原理用于计算多个集合的交集和并集的元素个数。
具体而言，在包含多个集合的问题中，容斥原理帮助我们消除了重复计数的问题。
接下来，我们将详细介绍奥数容斥问题的原理。
假设有n个集合A_1, A_2, ..., A_n，我们的目标是计算它们的并集以及交集中元素的个数。
利用容斥原理，我们可以先计算每个集合的元素个数，再根据交集的元素个数进行加减运算，以消除重复计数的影响。
具体而言，假设A表示所有集合的并集，A_1, A_2, ..., A_n 分别表示这些集合。
根据容斥原理，我们可以得出以下公式：|A_1 ∪ A_2 ∪ ... ∪ A_n| = |A_1| + |A_2| + ... + |A_n| - |A_1 ∩ A_2| - |A_1 ∩ A_3| - ... - |A_(n-1) ∩ A_n| + ... + (-1)^(n-1) |A_1 ∩ A_2 ∩ ... ∩A_n|其中，|X| 表示集合 X 的元素个数。
上述公式中，第一项表示每个集合的元素个数之和，第二项表示两个集合的交集元素个数之和，第三项表示三个集合的交集元素个数之和，以此类推。
交替的符号(-1)^(n-1) 用于保证加减运算的正确性。
了解了奥数容斥问题的定义和原理之后，下面我们将通过一个具体的例题来说明其应用。
例题：某班级共有60名学生，其中30人会打乒乓球，40人会弹钢琴，20人既会打乒乓球又会弹钢琴。
请问至少会其中一项技能的学生有多少人？解析：我们可以定义集合 A 表示会打乒乓球的学生，集合 B 表示会弹钢琴的学生。
根据题目给出的信息，我们有 |A| = 30，|B| = 40，|A ∩ B| = 20。
容斥原理(一）【例题分析】例1. 有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方形。
如图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？分析与解：阴影部分是直角三角形,是两个图形的重叠部分，它的面积是：（平方厘米)方法一：（平方厘米）方法二:（平方厘米）方法三：(平方厘米）答：盖住桌面的面积是67平方厘米。
例2. 六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小组的有17人，参加航模小组的有14人，两组都参加的有多少人？分析与解：把17人和14人相加，是把两组都参加的人算了两次，所以减去总人数，就是两组都参加的人数（人）。
也可以这样解：(人）或(人）答：两组都参加的有5人。
例3。
六一班有学生46人,其中会骑自行车的有19人,会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？分析与解：先求出46人中会骑车或会游泳的有多少人,从中减去会骑车或会游泳的人数，剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。
（人)（人）答：既不会骑车又不会游泳的有9人。
例4. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组,参加美术小组有20人，参加音乐小组有24人,参加手工小组有31人,同时参加美术和音乐两个小组有5人,同时参加音乐和手工两个小组有6人,同时参加美术和手工两个小组的有7人,三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？分析与解：图中的5、6、7人都是两两重叠的部分，图中的3人是三个重叠的部分，要从三个组的总人数中减去重复多余的部分.（人）答：这个年级参加课外小组的有60人。
例5。
某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀,其他人至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况,请你算出全班人数.短跑投掷跳远跑跳跑投跳投三项19 21 20 9 10 6 3分析与解:根据题意画出如下图要求全班有多少人，先要求出跑、跳、投至少有一项达到优秀的人数,加上三项都未达到优秀的,就是全班人数。
容斥原理在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
例1一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类或B类元素个数”的总和。
试一试：某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？（并说一说你的想法。
）容斥原理（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数1、某艺术团的小演奏家们每人都至少会演奏小提琴和钢琴中的一种。
他们中有32人会拉小提琴，27人会弹钢琴，小提琴和钢琴都能演奏的有11人。
这个团共有多少个小演奏家？2、一个班有学生42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且全班每人至少参加一个队。
问：这个班两队都参加的有多少人？3、京华小学五年级学生采集标本。
采集昆虫标本的有25人，采集植物标本的有19人，两种标本都采集的有8人。
全班学生共有40人，没有采集标本的有多少人？4、有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂日语，有75人懂英语，83人懂日语。
容斥原理一、知识梳理容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
二、例题精讲例1.一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
例2.某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？例3.某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？例4.在1到60的自然数中，既不是4的倍数也不是5的倍数的数有多少个？例 5.光明小学举办学生书法展览。
学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？三、课堂小测6.五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？7.五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。
那么，有多少人两个小组都没有参加？8.一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。
问这两种棋都会下的有多少人？9.科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。
其他年级参展的作品共有多少件？10.四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？11.某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖。
小学四年级奥数题：容斥问题
容斥原理是四年级奥数中的难题之一，那么这类型的题目应该如何解决呢下面就是小编为大家整理的容斥的四年级奥数题目，希望对大家有所帮助!
习题一
有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一个记号，每隔4厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断。
问绳子共被剪成了多少段。
解答：1-180中，3的倍数有60个，4的倍数有45个，而既是3的倍数又是4的倍数的数一定是12的倍数，这样的数有180÷12=15个。
注意到180厘米处无法标上记号，所以标记记号有：(60-1)+(45-1)-(15-1)=89，绳子被剪成90段。
习题二
有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一个记号，每隔4厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断。
问绳子共被剪成了多少段。
解答：1-180中，3的倍数有60个，4的倍数有45个，而既是3的倍数又是4的倍数的数一定是12的倍数，这样的数有180÷12=15个。
注意到180厘米处无法标上记号，所以标记记号有：(60-1)+(45-1)-(15-1)=89，绳子被剪成90段。
七、包含与排除—容斥原理
解题思路：1、AB总数=A数+B数—AB公共部分
2、ABC总数=A数+B数+C数—AB公共部分—AC公共部分—BC公共部分+ABC公共部分
1、在一次数学和英语考试中，有22人至少一科是优秀，其中15人数学优秀，18人英语优秀。
两科都是优秀
的有几人？
2、有30名运动员，他们至少会摔跤和柔道中的一项，已知22会摔跤，18人会柔道，两项都会的有多少人？
3、六（1）班开设数学和英语兴趣小组，参加数学组的16人，参加英语组的20人，两个组都参加的5人。
这两个小组一共有多少人？
4、调查40名教师的爱好，喜欢游泳的25人，喜欢跑步的20人，10人这两项都不喜欢。
两项都喜欢的有几
名？
5、六（2）共有55人，报考能力竞赛考试，有15人参加数学，22人参加英语，都参加的有6人。
两个都不
参加的有多少人？
6、六（3）班有25人喜欢红色，18人喜欢黄色，10人两种颜色都喜欢，12人两种颜色都不喜欢。
这个班有
多少人？
7、将四条长16厘米，宽为2厘米的小长方形，如图放在桌子上。
桌面被盖住的面积是多少？
8、六（5）班有50人，不会骑自行车的23人，不会滑旱冰的35人，两样都会的4人。
两样都不会的有多少
人？
9、六（4）班某次考试共三道数学题，做对第一题的38人，做对第二题的41人，做对第三题的27人。
一、
二题都做对的32人，一、三题都对的21人，二、三题都对的20人，三道都对的17人。
没有全错的人。
全班共有多少人？
10、六（6）有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加篮球队，10人参加排球队。
没有人同时参加三
个队，每人至少参加了一个队。
有6人同时参加足球和篮球队，2人同时参加篮球和排球队，同事参加足球和排球队的有多少人？
11、几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮。
其中6人要冰棍，6人要汽水，4人要雪碧，冰棍和汽水
都要的3人，冰棍和雪碧都要的1人，汽水和雪碧都要的1人。
三样都要的1人。
共有几个人？
12、某工厂工程师不超过50人，其中会法语的有3分之2，会日语的有9分之4，两种语言都会的有5分之
2，两种语言都不会的有多少人？
13、六（7）班有46人，其中40人会骑自行车，38人会打篮球，35人会打羽毛球，27人会游泳。
这个班至
少有几人四项运动都会？
14、六年级要选若干名学生去参加全国竞赛，其中参加数学的人数占总人数的3分之2，参加英语竞赛的占总
人数4分之3，两科都参加的有45人。
只参加数学竞赛的有多少人？
6cm
15、求右图阴影部分的面积。
（π取3）。
