【原创】高考数学复习第六节 指数与指数函数

第六节指数与指数函数1．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn＝na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．②负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的性质①a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．2．指数函数的图象与性质[小题体验]1．函数f(x)＝2a x＋1－1(a＞0，且a≠1)恒过定点________．答案：(－1,1)2．已知0.2m＜0.2n，则m______n(填“＞”或“＜”)．答案：＞3．计算：(a 2·5a 3)÷(a ·10a 9)＝________.答案：a 651．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a ＞1或0＜a ＜1.[小题纠偏]1．化简a 3b 23ab 2⎝⎛⎭⎫a 14b 124a 13-b13(a ＞0，b ＞0)的结果为________．答案：a b2．若函数y ＝(a －1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 答案：(1,2)考点一 指数幂的化简与求值基础送分型考点——自主练透 [题组练透]化简与求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－(0.01)0.5； (2)56a ·b －2·⎝⎛⎭⎫－3a 12-b －1÷⎝⎛⎭⎫4a 23·b －3； (3)⎝⎛⎭⎫a 23·b －112-·a12-·b136a ·b 5.解：(1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫49－⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52ab －3÷(4a ·b －3)＝－54ab －3÷(ab )＝－54a ·b＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.(3)原式＝a13-b 12·a 12-b13a 16b56＝a ·b ＝1a.[谨记通法]指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．考点二 指数函数的图象及应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领]1．(2019·苏州调研)若a ＞1，b ＜－1，则函数f (x )＝a x＋b 的图象经过第________象限．解析：∵a ＞1，∴y ＝a x的图象过第一、第二象限，且是单调增函数，经过(0,1)，f (x )＝a x ＋b 的图象可看成把y ＝a x 的图象向下平移－b (－b ＞1)个单位得到的，故函数f (x )＝a x＋b 的图象经过第一、三、四象限． 答案：一、三、四 2．已知f (x )＝|2x －1|. (1)求f (x )的单调区间； (2)比较f (x ＋1)与f (x )的大小．解：(1)由f (x )＝|2x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≥0，1－2x，x ＜0，可作出函数f (x )的图象如图所示．因此函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)在同一坐标系中，分别作出函数f (x )、f (x ＋1)的图象，如图所示． 由图象知，当2－1＝1－2，即x 0＝log 223时，两图象相交，由图象可知，当x ＜log 223时，f (x )＞f (x ＋1)；当x ＝log 223时，f (x )＝f (x ＋1)；当x ＞log 223时，f (x )＜f (x ＋1)．[由题悟法]指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．[即时应用]1．若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 解析：作出曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．答案：[－1,1]2．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|. (1)作出该函数的图象； (2)由图象指出函数的单调区间．解：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1，x ≥－1，3x ＋1，x ＜－1，其图象由两部分组成：一部分是：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x(x ≥0)――→向左平移1个单位y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1(x ≥－1)； 另一部分是：y ＝3x (x ＜0)――→向左平移1个单位y ＝3x ＋1(x ＜－1)，函数图象如图所示．(2)由图象知函数的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是(－1，＋∞)． 考点三 指数函数的性质及应用题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]高考常以填空题的形式考查指数函数的性质及应用，常见的命题角度有： (1)比较指数式的大小； (2)简单的指数不等式；(3)指数型函数的性质．[题点全练]角度一：比较指数式的大小1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是________(用“＞”表示)．解析：因为函数y ＝0.6x 是减函数，0＜0.6＜1.5，所以1＞0.60.6＞0.61.5， 即b ＜a ＜1.因为函数y ＝1.5x在(0，＋∞)上是增函数， 0．6＞0，所以1.50.6＞1.50＝1， 即c ＞1.综上，c ＞a ＞b . 答案：c ＞a ＞b角度二：简单的指数不等式 2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3， 因为0＜12＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a ＜1， 所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)． 答案：(－3,1)角度三：指数型函数的性质 3．(1)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R)满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．(2)如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a ＞0，a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值为14，则a 的值为________．解析：(1)函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R)的图象关于直线x ＝a 对称，由f (1＋x )＝f (1－x )得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故a ＝1，则f (x )＝2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ≥，21－xx ＜，由复合函数的单调性得f (x )在[1，＋∞)上单调递增，故m ≥1，所以实数m 的最小值等于1.(2)令a x＝t ，则y ＝a 2x＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a ＞1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a .又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去)．当0＜a ＜1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a .又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上单调递增，所以y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13(负值舍去)．综上，a ＝3或a ＝13.答案：(1)1 (2)3或134．(2019·启东中学高三检测)已知函数f (x )＝9x －2a ·3x＋3. (1)若a ＝1，x ∈[0,1]，求f (x )的值域； (2)当x ∈[－1,1]时，求f (x )的最小值h (a )；(3)是否存在实数m ，n ，同时满足下列条件：①n ＞m ＞3；②当h (a )的定义域为[m ，n ]时，其值域为[m 2，n 2]．若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝9x －2·3x＋3， 则f (x )＝(3x－1)2＋2.因为x ∈[0,1]，所以3x∈[1,3]，f (x )∈[2,6]．(2)令3x ＝t ，因为x ∈[－1,1]，故t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3，函数f (x )可化为g (t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2.当a ＜13时，h (a )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝289－2a 3；当13≤a ≤3时，h (a )＝g (a )＝3－a 2； 当a ＞3时，h (a )＝g (3)＝12－6a .综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a ＜13，3－a 2，13≤a ≤3，12－6a ，a ＞3.(3)因为n ＞m ＞3，h (a )＝12－6a 为减函数， 所以h (a )在[m ，n ]上的值域为[h (n )，h (m )]， 又h (a )在[m ，n ]上的值域为[m 2，n 2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧hn ＝m 2，h m ＝n 2，即⎩⎪⎨⎪⎧12－6n ＝m 2，12－6m ＝n 2，两式相减，得6(m －n )＝m 2－n 2＝(m ＋n )(m －n )， 所以m ＋n ＝6.而由n ＞m ＞3可得m ＋n ＞6，矛盾． 所以不存在满足条件的实数m ，n .[通法在握]应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略讨论．[演练冲关]已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常数且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1bx－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝b ·a x的图象过点A (1,6)，B (3,24)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ②②÷①得a 2＝4，又a ＞0且a ≠1，所以a ＝2，b ＝3， 所以f (x )＝3·2x.(2)由(1)知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立可转化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上恒成立．令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则g (x )在(－∞，1]上单调递减， 所以m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56，故所求实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·连云港调研)已知a ＝3π，b ＝e π，c ＝e 3，则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析：由y ＝e x是增函数，得b ＝e π＞c ＝e 3，由y ＝x π是增函数，得a ＝3π＞b ＝e π，故c ＜b ＜a .答案：c ＜b ＜a 2．已知函数y ＝ax －1＋3(a ＞0且a ≠1)图象经过点P ，则点P 的坐标为________．解析：当x ＝1时，y ＝a 0＋3＝4， ∴函数y ＝ax －1＋3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点(1,4)．∴点P 的坐标为(1,4)． 答案：(1,4)3．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象关于________对称．解析：因为g (x )＝21－x＝f (－x )，所以f (x )与g (x )的图象关于y 轴对称．答案：y 轴 4．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为________．解析：由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2， 因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.故f (x )的值域为[1,9]． 答案：[1,9]5．不等式2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________．解析：不等式2－x 2＋2x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，等价于x 2－2x ＜x ＋4，即x2－3x －4＜0，解得－1＜x ＜4. 答案：{x |－1＜x ＜4}6．(2019·徐州调研)若函数f (x )＝a x －1(a ＞1)在区间[2,3]上的最大值比最小值大a2，则a ＝________.解析：∵函数f (x )＝ax －1(a ＞1)在区间[2,3]上为增函数，∴f (x )max ＝f (3)＝a 2，f (x )min ＝f (2)＝a .由题意可得a 2－a ＝a 2，解得a ＝32.答案：32二保高考，全练题型做到高考达标 1．若函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________．解析：由题意知a ＞1，f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由y ＝a t (a ＞1)的单调性知a 3＞a 2， 所以f (－4)＞f (1)． 答案：f (－4)＞f (1)2．(2018·启东中学检测)满足⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －3＞16的x 的取值范围是________．解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －3＞16，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －3＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2， ∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在定义域上是减函数，∴x －3＜－2，故x ＜1. 答案：(－∞，1)3．已知实数a ，b 满足等式2 017a＝2 018b，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________个．解析：设2 017a＝2 018b＝t ，如图所示，由函数图象，可得若t ＞1，则有a ＞b ＞0；若t ＝1，则有a ＝b ＝0；若0＜t ＜1，则有a ＜b ＜0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．答案：24．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x ＞1，－3a x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，2－3a ＜0，－3a＋1≥a 1，解得23＜a ≤34.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤23，345．(2019·苏州中学检测)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋1的值域为________．解析：令u ＝x 2＋1，可得f (u )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 是减函数，而u ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)，∴函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋1的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，136．(2019·无锡调研)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋6的单调递增区间是________．解析：设u (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5，对称轴为x ＝1， 则u (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上单调递减，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－2x ＋6在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．答案：(－∞，1)7．已知函数f (x )＝a －x(a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增， 所以1a＞1，解得0＜a ＜1. 答案：(0,1)8．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式变形为m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2.答案：(－1,2) 9．化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－3π0＋3748；(2)3a 72·a －3÷3a －3·a －1.解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫259＋10.12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(2)原式＝3a 72·a-23÷3a-23·a-12＝3a 72÷3a-12＝a ÷a ＝a ＝a .10．(2018·苏州调研)已知函数f (x )＝3x＋λ·3－x(λ∈R)． (1)若f (x )为奇函数，求λ的值和此时不等式f (x )＞1的解集； (2)若不等式f (x )≤6对x ∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)函数f (x )＝3x ＋λ·3－x的定义域为R. 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0对∀x ∈R 恒成立，即3－x＋λ·3x ＋3x ＋λ·3－x ＝(λ＋1)(3x ＋3－x)＝0对∀x ∈R 恒成立， 所以λ＝－1.由f (x )＝3x－3－x＞1，得(3x )2－3x－1＞0， 解得3x ＞1＋52或3x＜1－52(舍去)，所以不等式f (x )＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＞log 31＋52.(2)由f (x )≤6，得3x ＋λ·3－x ≤6，即3x＋λ3x ≤6.令t ＝3x∈[1,9]，则问题等价于t ＋λt≤6对t ∈[1,9]恒成立，即λ≤－t 2＋6t 对t ∈[1,9]恒成立，令g (t )＝－t 2＋6t ，t ∈[1,9]，因为g (t )在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减， 所以当t ＝9时，g (t )有最小值g (9)＝－27，所以λ≤－27，即实数λ的取值范围为(－∞，－27]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．当x ∈[1,2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x(a ＞0)的图象有交点，则a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12·22≥a 2，即1＜a ≤2；当0＜a ＜1时，如图②所示，需满足12·12≤a 1，即12≤a ＜1.综上可知，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22．(2018·南京调研)已知二次函数f (x )＝mx 2－2x －3，关于实数x 的不等式f (x )≤0的解集为[－1，n ]．(1)当a ≥0时，解关于x 的不等式ax 2＋n ＋1＞(m ＋1)x ＋2ax ； (2)是否存在实数a ∈(0,1)，使得关于x 的函数y ＝f (a x )－3a x ＋1在x ∈[1,2]上的最小值为－92？若存在，求实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由f (x )＝mx 2－2x －3≤0的解集为[－1，n ]知，关于x 的方程mx 2－2x －3＝0的两根为－1和n ，且m ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋n ＝2m ，－n ＝－3m，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.所以原不等式可化为(x －2)(ax －2)＞0.①当a ＝0时，原不等式化为(x －2)×(－2)＞0，解得x ＜2；②当0＜a ＜1时，原不等式化为(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＞0，且2＜2a ，解得x ＞2a或x ＜2；③当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，解得x ∈R 且x ≠2；④当a ＞1时，原不等式化为(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＞0，且2＞2a ，解得x ＜2a或x ＞2.综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ＜2}；当0＜a ≤1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞2a或x ＜2；当a ＞1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞2或x ＜2a .(2)假设存在满足条件的实数a ， 由(1)知f (x )＝x 2－2x －3，y ＝f (a x )－3a x ＋1＝a 2x －(3a ＋2)a x －3.令a x ＝t ，a 2≤t ≤a ， 则y ＝t 2－(3a ＋2)t －3， 此函数图象的对称轴为t ＝3a ＋22， 因为a ∈(0,1)，所以a 2＜a ＜1,1＜3a ＋22＜52，所以函数y ＝t 2－(3a ＋2)t －3在[a 2，a ]上单调递减，所以当t ＝a 时，y 取得最小值，最小值为y ＝－2a 2－2a －3＝－92，解得a ＝－32(舍去)或a ＝12.故存在满足条件的a ，a 的值为12.。

2．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
y＝ax
a>1
0<a<1
值域
(_0_，__＋__∞__)
过定点_(0_,_1_)
当 x>0 时， y>1 ； 当 x>0 时，0<y<1 ；x<0
性质 x<0 时，_0_<_y_<_1_ 时，_y_>_1_
在区间(－∞，＋ 在区间(－∞，＋∞)上是
解析：由 0<a2－1<1，得 1<a2<2，所以 1<|a|< 2，即－ 2<a< －1 或 1<a< 2. 答案：(－ 2，－1)∪(1， 2)
3．已知 0.2m<0.2n，则 m______n(填“>”或“<”)． 答案：>
4．(1)2 3×3 1.5×6 12＝________.
2 1
考点一 指数幂的化简与求值基础送分型考点——自主练透 [题组练透]
求值与化简：
(1)2350＋2－2·214
1 2
－(0.01)0.5；
(2)(易错题)56a
1 3
·b－2·－3a
1 2
b－1÷4a
2 3
·b－3
1 2
；
(3)a
2 3
·b－1
1 2
·a
1 2
·b
1 3
.
6 a·b5
解：(1)原式＝1＋14×49
1 1
1 5
(2)2a
3
b
2
－6a
2

2.结果要求 (1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示； (2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分 数指数幂表示； (3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能 既有分母又有负指数幂.
化简下列各式(其中各字母均为正数).
(1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂， 先化为分数指数幂以便用法则运算； (2)、(3)题目中给出的是分数指数幂，先看其是 否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下 去，如不符合应再创设条件去求.
1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法 (1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同； (2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性， 可确定y＝af(x)的值域.
2.与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 (1)求复合函数的定义域； (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调性； ( 4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”).
()
3.设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，f(2)＝4，则 ( )
A.f(－2)＞f(－1)
B.f(－1)＞f(－2)
C.f(1)＞f(2)
D.f(－2)＞f(2)
解析：由a－2＝4，a＞0，得a＝ ， ∴f(x)＝( )－|x|＝2|x|. 又∵|－2|＞|－1|，∴2|－2|＞2|－1|， 即f(－2)＞f(－1). 答案：A
4.已知
(a>0)，则log a＝
.
解析：
答案：3
5.函数y＝
的值域是
.
解析：∵3－2x－x2＝－(x2＋2x＋1－1)＋3
＝－(x＋1)2＋4≤4，
∴0<y＝
≤24＝16.

+
1

＝2 5，故D正确．
1
1 −2
4
3．已知a＞0，b＞0，化简：
8
5
解析：原式＝2 ×
3
3
−
3
2 ·2 · 2
3
3
−
102 · 2
1
·
4 −1
0.1
1
−1 · 3 −3 2
8
1+3
-1
＝2 ×10 ＝ .
2
5
3
4
3
＝___________．
2
4．计算：
167
－
9
10
27 −3
1
2
为 a ＋ a-1 ＝ 3 ， 所 以 +

1
−2
1
2
2
=+
−1
1
2
+ 2 = 5，且 > 0，所以 +
＝ 5 ， 故 C 错 误 ； 在 选 项 D 中 ， 因 为 a3 ＋ a-3 ＝ 18 ， 且 a>0 ， 所 以
+
1

2
＝a3＋a-3＋2＝20，所以a
1
2
3
4
−
8
+ 0.002
解析：原式＝
−
1
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
－10( 5－2)-1＋π0＝___________．
1
3 −2
−
＋5002
2
167
5－20＋1＝－ .
9
1
2
3
4
−
10
5−2
5+2