概率统计(分层抽样)

初中概率与统计知识点整理概率与统计是数学中的一个重要分支，主要研究随机现象的规律性和数量关系。

初中阶段的概率与统计主要包括概率的基本概念、概率的计算方法、抽样调查、数据的整理与分析等内容。

下面将对初中概率与统计的知识点进行整理。

一、概率的基本概念1.随机事件：不确定性的事件称为随机事件，用大写字母A、B、C等表示。

2.样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合称为样本空间，用Ω表示。

3.事件的概率：事件A发生的可能性大小称为事件A的概率，用P(A)表示，0≤P(A)≤14.必然事件和不可能事件：概率为1的事件称为必然事件，概率为0的事件称为不可能事件。

5.互斥事件和对立事件：互斥事件指两个事件不可能同时发生，对立事件指两个事件至少有一个发生。

二、概率的计算方法1.古典概型：指每次试验结果只有有限种可能且各结果发生的概率相等的情况。

2.几何概率：指通过几何方法计算概率，如在长方形中随机取点计算概率。

3.组合方法：根据有放回或无放回以及是否考虑顺序进行组合的计算方法。

三、抽样调查1.抽样方法：包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、整群抽样等。

3.抽样误差：由于采样方法、样本数量不足等导致的偏差称为抽样误差。

四、数据的整理与分析1.数据的度量：包括中心位置度量（如均值、中位数）、离散程度度量（如极差、方差）和分布形状度量（如偏度、峰度）等。

2.统计图表：包括直方图、饼图、折线图、箱线图等。

3.数据的描述性分析：通过数据的度量和统计图表，描述数据的特征和规律。

以上是初中概率与统计的主要知识点整理，希望对您的学习有所帮助。

在学习过程中，要注重理解概念，掌握计算方法，提高数据整理与分析的能力，培养科学思维和统计思维，不断强化应用能力，为今后的学习打下扎实的基础。

祝您学习进步！。

概率与统计复习一、典型问题与方法（一）随机抽样：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样简单随机抽样：各个个体被抽中的机会都相等，不放回抽取，常有抽签法、随机数法。

系统抽样：用简单随机抽样确定一个个体，再按一定规则（加间隔）抽取。

分层抽样的比较：已知总体内部组成结构，各层按比例抽取。

例1．1．为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是（）A．1000名运动员是总体B．每个运动员是个体C．抽取的100名运动员是样本D．样本容量是1002．一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同.若m=6，则在第7组中抽取的号码是3．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（）A．30人，30人，30人B．30人，45人，15人C．20人，30人，10人D．30人，50人，10人4．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②. 则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法基础训练1．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是( )．A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样2．某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级2007名学生中抽取50名进行抽查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（）A. 不全相等B. 均不相等C. 都相等D. 无法确定3．有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为()A.5，10，15，20B.2，6，10，14C.2，4，6，8D.5，8，11，144．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)。

第1讲概率与统计(小题)热点一随机抽样1．随机抽样的各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的．2．系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同．3．分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例．例1(1)(2019·汉中联考)某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如下表所示：不喜欢喜欢男性青年观众3010女性青年观众3050现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n等于()A．12 B．16 C．20 D．24(2)(2019·上饶联考)某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为________．跟踪演练1(1)(2019·漳州质检)某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002，…，599,600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号为()A ．522B ．324C ．535D ．578(2)(2019·合肥质检)某工厂生产的A ，B ，C 三种不同型号的产品数量之比为2∶3∶5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A ，B ，C 三种产品中抽出样本容量为n 的样本，若样本中A 型产品有10件，则n 的值为( ) A ．15 B ．25 C ．50 D ．60 热点二 用样本估计总体1．频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. 3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数 频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数． (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等．(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．4．对于其他的统计图表，要注意结合问题背景分析其所表达的意思，进而解决所给问题． 例2 (1)(2019·厦门质检)下图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是( )A ．2018年3月的销售任务是400台B ．2018年月销售任务的平均值不超过600台C ．2018年第一季度总销售量为830台D ．2018年月销售量最大的是6月份(2)(2019·临沂质检)已知8位学生的某次数学测试成绩的茎叶图如图，则下列说法正确的是( )A ．众数为7B ．极差为19C．中位数为64.5 D．平均数为64跟踪演练2(1)已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断错误的是()A．乙班的理科综合成绩强于甲班B．甲班的文科综合成绩强于乙班C．两班的英语平均分分差最大D．两班的语文平均分分差最小(2)(2019·黄冈模拟)学校为了了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：将阅读时间不低于30分钟的学生称为“阅读霸”，则下列命题正确的是()A．抽样表明，该校约有一半学生为阅读霸B．该校只有50名学生不喜欢阅读C．该校只有50名学生喜欢阅读D．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸热点三变量间的相关关系、统计案例高考中解决变量间的相关关系问题时需注意：(1)回归直线一定过样本点的中心(x，y)．(2)随机变量K2的观测值k越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大．例3(1)(2019·皖江联考)某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温x (℃) 18 13 10 －1 用电量y (度)24343864由表中数据得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中b ^＝－2，预测当温度为－5 ℃时，用电量的度数约为( )A ．64B ．66C ．68D ．70(2)某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如下表：使用智能手机不使用智能手机总计 学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀16 2 18 总计201030附表：P (K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828经计算K 2的观测值k ＝10，则下列选项正确的是( ) A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响 D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响跟踪演练3 (1)(2019·长春质检)某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量(单位：厘米)，上图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，下图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为y ^＝1.16x －30.75，以下结论中不正确的为( )A ．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B ．15名志愿者身高和臂展成正相关关系C ．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D ．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米(2)(2019·泸州模拟)随着国家二胎政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二胎生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．非一线城市一线城市 总计 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计5842100附表：P (K 2≥k 0)0.100 0.050 0.010 0.001 k 02.7063.8416.63510.828由K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )计算得，K 2的观测值k ＝100×(45×22－20×13)258×42×35×65≈9.616，参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”真题体验1．(2019·全国Ⅰ，文，6)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生2．(2018·全国Ⅰ，文，3)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半3．(2018·全国Ⅲ，文，14)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．押题预测1．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值(单位：℃)数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是( )A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10 ℃的月份有5个D ．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势 2．给出如下列联表患心脏病 患其他病 总 计 高血压 20 10 30 非高血压 30 50 80 总 计5060110P (K 2≥10.828)≈0.001，P (K 2≥6.635)≈0.010，参照公式k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，得到的正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“高血压与患心脏病无关”B ．有99%以上的把握认为“高血压与患心脏病有关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“高血压与患心脏病无关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“高血压与患心脏病有关” 3．某设备的使用年数x 与所支出的维修总费用y 的统计数据如下表：使用年数x (单位：年) 2 3 4 5 6 维修总费用y (单位：万元)1.54.55.56.57.5根据上表可得线性回归方程为y ^＝1.4x ＋a ^.若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用________年．A 组 专题通关1．(2019·河北省五个一名校联盟联考)经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为1∶3∶6，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中中年人数为12人，则n 等于( ) A ．30 B ．40 C ．60D ．802．某校李老师本学期负责高一甲、乙两个班的数学课，两个班都是50个学生，如图反映的是两个班的本学期5次数学测试中的班级平均分对比情况，根据图中信息，下列结论不正确的是( )A ．甲班的数学平均成绩高于乙班B ．乙班的数学成绩没有甲班稳定C ．下次测试乙班的数学平均分高于甲班D ．在第1次测试中，甲、乙两个班总平均分为783．(2019·全国Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( ) A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.84．某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2 400名学生中抽取30人进行调查．现将2 400名学生随机地从1～2 400编号，按编号顺序平均分成30组(1～80号，81～160号，…，2 321～2 400号)，若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是( ) A ．416 B ．432 C ．448 D ．4645．(2019·郑州质检)若1,2,3,4，m (m ∈R )这五个数的平均数等于其中位数，则m 等于( ) A ．0或5 B ．0或52 C ．5或52 D ．0或5或526．(2019·长春质检)下列命题：①在线性回归模型中，相关指数R 2表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，R 2越接近于1，表示回归效果越好；②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；③在线性回归方程y ^＝－0.5x ＋2中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ^平均减少0.5个单位；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．(2019·衡水质检)某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]之间，其得分的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是( )A ．得分在[40,60)之间的共有40人B ．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5C ．估计得分的众数为55D ．这100名参赛者得分的中位数为658．(2019·济宁模拟)如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．则上述判断正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．39．(2019·广东天河区普通高中测试)为保证树苗的质量，林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度(单位：cm)，其茎叶图如图所示，则下列描述正确的是( )A ．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐B ．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐C ．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐D ．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐10．利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好该项运动，得出2×2列联表，由计算可得K 2≈8.806.P (K 2≥k 0)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828参照附表，得到的正确结论是( )A ．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B ．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”11．已知变量x ，y 之间的线性回归方程为y ^＝－0.7x ＋10.3，且变量x ，y 之间的一组数据如下表所示，则下列说法中错误的是( )x 6 8 10 12 y6m32A.变量x ，y 之间呈现负相关关系 B ．可以预测当x ＝20时，y ^＝－3.7 C ．m ＝4D ．由表格数据知，该回归直线必过点(9,4)12．(2019·江淮质检)为了了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )A ．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B ．是否倾向选择生育二胎与性别有关C ．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D ．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数13．(2019·河南省九师联盟质检)为了了解世界各国的早餐饮食习惯，现从由中国人、美国人、英国人组成的总体中用分层抽样的方法抽取一个容量为m 的样本进行分析．若总体中的中国人有400人、美国人有300人、英国人有300人，且所抽取的样本中，中国人比美国人多10人，则样本容量m ＝________.14．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40,100]内，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为________．15．(2019·成都模拟)节能降耗是企业的生存之本，树立一种“点点滴滴降成本，分分秒秒增效益”的节能意识，以最好的管理，来实现节能效益的最大化．为此某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润：年号1 2 3 4 5 年生产利润y (单位：千万元)0.70.811.11.4预测第8年该国企的生产利润约为________千万元．参考公式及数据：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2；a ^＝y －b ^x ，∑i ＝15(x i －x )(y i－y )＝1.7， i ＝15(x i －x )2＝10.根据该折线图，下列结论正确的是________(填序号)． ①月接待游客量逐月增加；②年接待游客量逐年增加； ③各年的月接待游客量髙峰期大致在7,8月份；④各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳．B 组 能力提高17.(2019·葫芦岛模拟)近日，据媒体报道称，“杂交水稻之父”袁隆平及其团队培育的超级杂交稻品种“湘两优900(超优千号)”再创亩产世界纪录，经第三方专家测产，该品种的水稻在实验田内亩产1 203.36公斤．中国工程院院士袁隆平在1973年率领科研团队开启了杂交水稻王国的大门，在数年的时间内就解决了十多亿人的吃饭问题，有力回答了世界“谁来养活中国”的疑问.2012年，在袁隆平的实验田内种植了A ，B 两个品种的水稻，为了筛选出更优的品种，在A ，B 两个品种的实验田中分别抽取7块实验田，如图所示的茎叶图记录了这14块实验田的亩产量(单位：10 kg)，通过茎叶图比较两个品种的平均数及方差，并从中挑选一个品种进行以后的推广，有如下结论：①A 品种水稻的平均产量高于B 品种水稻，推广A 品种水稻；②B 品种水稻的平均产量高于A 品种水稻，推广B 品种水稻；③A 品种水稻的产量比B 品种水稻更稳定，推广A 品种水稻；④B 品种水稻的产量比A 品种水稻更稳定，推广B 品种水稻；其中正确结论的编号为( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④18．(2019·南昌模拟)已知具有线性相关的五个样本点A 1(0,0)，A 2(2,2)，A 3(3,2)，A 4(4,2)，A 5(6,4)，用最小二乘法得到回归直线l 1：y ^＝b ^x ＋a ^，过点A 1，A 2的直线l 2：y ＝mx ＋n ，那么下列说法中，正确的有________．(填序号) ①m >b ^，a ^>n ； ②直线l 1过点A 3；③∑i ＝15(y i －b ^x i －a ^)2≥∑i ＝15 (y i －mx i －n )2； ④∑i ＝15|y i －b ^x i －a ^|≥∑i ＝15|y i －mx i －n |.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2= ∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2，a ^＝y －b ^x。

概率与统计知识点总结一、概率的基本概念概率，简单来说，就是衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。

比如抛硬币，正面朝上的概率是 05，意思是在大量重复抛硬币的实验中，正面朝上的次数大约占总次数的一半。

随机事件，就是在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。

比如掷骰子得到的点数就是随机事件。

必然事件，就是在一定条件下必然会发生的事件。

比如太阳从东方升起，这就是必然事件。

不可能事件，就是在一定条件下不可能发生的事件。

比如在地球上，水往高处流就是不可能事件。

概率的取值范围在 0 到 1 之间。

0 表示事件不可能发生，1 表示事件必然发生。

二、古典概型古典概型是一种最简单、最基本的概率模型。

它具有两个特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等。

计算古典概型中事件 A 的概率公式为：P(A) ＝ A 包含的基本事件个数／基本事件的总数。

例如，一个袋子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机摸出一个球是红球的概率，基本事件总数是 8（5 个红球＋ 3 个白球），红球的个数是 5，所以摸到红球的概率就是 5/8。

三、几何概型与古典概型不同，几何概型中的基本事件个数是无限的。

比如在一个时间段内等可能地到达某一地点，或者在一个区域内等可能地取点。

几何概型的概率计算公式是：P(A) ＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）／试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。

举个例子，在区间0, 10中随机取一个数，这个数小于 5 的概率就是 5/10 ＝ 05。

四、条件概率条件概率是在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

记事件 A 在事件 B 发生的条件下发生的概率为 P(A|B)。

计算公式为：P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B) ，其中 P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。

比如说，已知今天下雨，明天也下雨的概率就是一个条件概率。

概率抽样的名词解释概率抽样是一种统计学方法，旨在通过随机抽样来代表总体，从而进行统计推断。

它是基于概率理论的框架下进行的一种抽样方法。

本文将对概率抽样的定义、原理、常见的抽样方法以及其在实际应用中的重要性进行深入阐述。

一、概率抽样的定义和原理概率抽样是指在进行样本抽取时，通过使用概率理论和统计学原理，按照一定的随机性进行抽样的方法。

其目的是保证抽出的样本对于总体的代表性，从而可以通过对样本的研究状况，推断出总体的特征。

概率抽样的基本原理是每个个体被抽中的概率是已知的，并且每个个体被抽中是相互独立的。

二、常见的抽样方法1. 简单随机抽样：该方法是一种基本的抽取方法，以随机的方式从总体中抽取相同大小的样本。

简单随机抽样可以保证样本具有较高的代表性，但是在复杂的总体中抽取时有一定的困难。

2. 系统抽样：该方法是将总体中的个体按照一定顺序排列，并根据所设定的抽样间隔，从排列中按照固定规则抽取样本。

系统抽样相对简单，并且适用于总体中个体的数量是已知的情况。

3. 分层抽样：该方法将总体按照某些特征划分为多个层次，然后在每个层次中进行简单随机抽样。

分层抽样能够更好地保证样本的代表性，尤其适用于总体的特征分布不均匀的情况。

4. 整群抽样：该方法将总体划分为多个相似的群体，然后仅随机抽取部分群体进行研究。

整群抽样适用于群体内个体的特征相似、群体间特征差异较大的情况。

三、概率抽样在实际应用中的重要性概率抽样在实际应用中具有重要的意义。

首先，通过概率抽样得到的样本可以准确地代表总体，从而使得对总体特征的推断具有可靠性。

其次，概率抽样能够提供精确的抽样误差估计，帮助研究人员评估样本的可靠性。

此外，概率抽样还可以为后续的数据分析提供基础，如建立回归模型、计算置信区间等。

然而，概率抽样也存在一些限制和挑战。

首先，进行概率抽样需要对总体有一定的了解和描述，而在实际应用中，总体的特征可能是复杂而多样的，这给抽样带来困难。

其次，概率抽样可能会因为抽样误差、非响应率等问题导致样本的偏倚。

概率抽样名词解释解释概率抽样又称随机抽样，即在抽样时，母体中每一个抽样单位被选人样本的概率相同。

随机抽样具有健全的统计理论基础，可用概率理论加以解释，是一种客观而科学的抽样方法。

一般而言，概率抽样调查的基本组织形式分为单阶段抽样和多阶段抽样两大类。

单阶段抽样是指只需一次的抽样过程，它有以下四种：简单随机抽样、等距抽样、分层抽样、整群抽样。

多阶段抽样是指将总体分层、再逐层抽取样本的过程。

多阶段抽样在总体特别大时使用。

不管哪种随机抽样，样本必须始终被看作总体的近似而不是总体自身。

概率抽样是一种数理统计学上的专业化术语。

它是指根据随机性理论在单位样本量中抽取同样数目的样本作为研究对象。

理论上讲，每个样本被抽中的概率相等，这样就保证了抽选样本中没有掺杂所谓的人为因素。

概率抽样是定量研究中的基本抽样方式，也是定量研究效度的体现方式概率抽样的具体抽样方法还有很多。

简单随机抽样法、系统抽样法以及分层抽样法等。

总体而言，建立在数学概率理论基础上的概率抽样方法有着无可避免的自然科学化的倾向。

在一般情况下的定性研究中。

研究者较少使用这种抽样方式选取研究对象。

但它所依据的是大数定律,而且能计算和控制抽样误差,因此可以正确地说明样本的统计值在多大程度上适合于总体,根据样本调查的结果可以从数量上推断总体,也可在一定程度上说明总体的性质,特征.概率抽样主要分为简单随机抽样,系统抽样,分类抽样,整群抽样,多阶段抽样等类型.现实生活中绝大多数抽样调查都采用概率抽样方法来抽取样本。

原则概率抽样的基本原则是：样本量越大，抽样误差就越小，而样本量越大，则成本就越高。

根据数理统计规律，样本量增加呈直线递增的情况下（样本量增加一倍，成本也增加一倍），而抽样误差只是样本量相对增长速度的平方根递减。

因此，样本量的设计并不是越大越好，通常会受到经济条件的制约。

原理概率抽样之所以能够保证样本对总体的代表性，其原理就在于它能够很好的按总体内在结构中所蕴含的各种随机事件的概率来构成样本，使样本成为总体的缩影。

抽样方法的灵魂——概率相等抽样方法是概率统计中的基础，熟知的有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，对于这三种抽样方法来说，它们的特点鲜明，一般情形下都比较容易判断.无论哪一种抽样方法，都在确保概率相等的条件下进行的，对此一定要清醒的认识到这一底线.许多问题都会围绕这一原理进行命题，我们在解题时要善于透过现象发现本质，不要被一些附加的条件所迷惑.这里收集了部分关于抽样方法的问题，以供大家学习.一、认清概率关系对于不同模型的下的抽样问题，无论如何表示，都要有“任尔东南西北风，概率相等在其中”这一理念，在此基础上通过题目中的条件，进行模型化归，论证这一结论.例1.(2014·高考湖南卷)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2＜p 3B ．p 2＝p 3＜p 1C ．p 1＝p 3＜p 2D ．p 1＝p 2＝p 3练习1.利用简单随机抽样，从n 个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( ) A.13 B.514 C.14 D.1027练习2.从2 019名学生中选取50名学生参加全国数学竞赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样法从2 019名学生中剔除19名学生，剩下的2 000名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率( )A.不全相等B.均不相等C.都相等，且为502 019D.都相等，且为140练习3.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是( )A.110，110B.310，15C.15，310D.310，310二、系统抽样中的等差数列系统抽样中等距抽样是常见的一种方法，这一方法在选取样本的过程中其实质就是已知等差数列中的公差（组距）和首项（第一组中抽取的样本），求其余各项（选取的样本）.理解了这一原理，将其与等差数列进行对应，无论是样本的选取，还是某一组中个体的寻找，都会变得很简单.例2.将参加英语口语测试的1 000名学生编号为000，001，002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000，001，002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个样本编号为________.练习1.某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查.现将800名学生从1到800进行编号.已知从33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是( )A.5B.7C.11D.13练习2.为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( )A.13B.19C.20D.51练习 3.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A.134石B.169石C.338石D.1 365石练习4.某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为________.练习5.从一群游戏的小孩中抽出k 人，一人一个苹果，让他们返回继续游戏，一段时间后，再从中任取m 人，发现其中有n 人曾分过苹果，则可估计这群小孩共有( )A.k ·n m 人B.k ·m n 人C.(k ＋m －n )人D.(k ＋m ＋n )人练习6.一个总体中有90个个体，随机编号0，1，2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1，2，3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定：如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是________.三、分层抽样之抽样比分层抽样因为各层的差异会抽取数目不同的个体，无论哪个层的选取，都需要坚守概率相等，在具体问题中表现为抽样比相同，这点是分层抽样的灵魂，无论是看整体还是在某一层中选取样本，这是我们抽样的理论依据，也是我们解题的法宝.例3.一个公司共有N名员工，下设一些部门，要采用等比例分层抽样的方法从全体员工中抽取样本容量为n的样本，已知某部门有m名员工，那么从该部门抽取的员工人数是________.练习1.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件.练习2.某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于()A.12B.18C.24D.36练习3.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.练习4.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10 000人中用分层抽样的方法抽取100人作进一步调查，则月收入在[2 500，3 000)(元)内应抽取________人.练习5.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人).学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________.练习6.某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()A.100B.150C.200D.250练习7.某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为()A.90B.100C.180D.300练习8.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )A.101B.808C.1 212D.2 012练习9.一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是27，则男运动员应抽取( ) A.18人 B.16人 C.14人 D.12人练习10.某工厂的三个车间在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为________.抽样方法是从总体中选取样本的可行性方法，方法的选择直接影响到样本的客观程度，对于三种抽样方法的共同特点和各自特征一定要熟悉，这样在具体的问题中才能选取合适方法，抓住问题的本质，快速准确的求解有关抽样问题.【题目选取】认清概率关系对于不同模型的下的抽样问题，无论如何表示，都要有“任尔东南西北风，概率相等在其中”这一理念，在此基础上通过题目中的条件，进行模型化归，论证这一结论.例1.(2014·高考湖南卷)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2＜p 3B ．p 2＝p 3＜p 1C ．p 1＝p 3＜p 2D ．p 1＝p 2＝p 3解析：选D .由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p 1＝p 2＝p 3．练习1.利用简单随机抽样，从n 个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( ) A.13 B.514 C.14 D.1027解析：选A.在简单随机抽样中无论哪一次抽取每个个体被抽到的概率都相等．练习2.从2 019名学生中选取50名学生参加全国数学竞赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样法从2 019名学生中剔除19名学生，剩下的2 000名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率( )A.不全相等B.均不相等C.都相等，且为502 019D.都相等，且为140解析：选C.从N 个个体中抽取M 个个体，则每个个体被抽到的概率都等于M N. 练习3.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是( )A.110，110B.310，15C.15，310D.310，310解析 在抽样过程中，个体a 每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为110，故选A. 答案 A二、系统抽样中的等差数列系统抽样中等距抽样是常见的一种方法，这一方法在选取样本的过程中其实质就是已知等差数列中的公差（组距）和首项（第一组中抽取的样本），求其余各项（选取的样本）.理解了这一原理，将其与等差数列进行对应，无论是样本的选取，还是某一组中个体的寻找，都会变得很简单.例2.将参加英语口语测试的1 000名学生编号为000，001，002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000，001，002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个样本编号为________.解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号为015，分段间隔数k ＝N n ＝1 00050＝20，由题意知抽出的这些号码是以15为首项，20为公差的等差数列，则抽取的第35个样本编号为15＋(35－1)×20＝695.答案 695练习1.某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查.现将800名学生从1到800进行编号.已知从33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是( )A.5B.7C.11D.13解析 把800名学生分成50组，每组16人，各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列，39在第3组.所以第1组抽到的数为39－32＝7.答案 B练习2.为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( )A.13B.19C.20D.51解析 由系统抽样的原理知，抽样的间隔为52÷4＝13，故抽取的样本的编号分别为7，7＋13，7＋13×2，7＋13×3，即7号，20号，33号，46号.∴样本中还有一位同学的编号为20.答案 C练习 3.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A.134石B.169石C.338石D.1 365石解析 由随机抽样的含义，该批米内夹谷约为28254×1 534≈169(石). 答案 B练习4.某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为________.解析 系统抽样的抽取间隔为305＝6.设抽到的最小编号为x ，则x ＋(6＋x )＋(12＋x )＋(18＋x )＋(24＋x )＝75，所以x ＝3.答案 3练习5.从一群游戏的小孩中抽出k 人，一人一个苹果，让他们返回继续游戏，一段时间后，再从中任取m 人，发现其中有n 人曾分过苹果，则可估计这群小孩共有( )A.k ·n m 人B.k ·m n 人C.(k ＋m －n )人D.(k ＋m ＋n )人解析 设这群小孩共有x 人，则k x ＝n m ，解得x ＝km n. 答案 B练习6.一个总体中有90个个体，随机编号0，1，2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1，2，3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定：如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是________.解析 由题意知m ＝8，k ＝8，则m ＋k ＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.答案 76三、分层抽样之抽样比分层抽样因为各层的差异会抽取数目不同的个体，无论哪个层的选取，都需要坚守概率相等，在具体问题中表现为抽样比相同，这点是分层抽样的灵魂，无论是看整体还是在某一层中选取样本，这是我们抽样的理论依据，也是我们解题的法宝.例3.一个公司共有N 名员工，下设一些部门，要采用等比例分层抽样的方法从全体员工中抽取样本容量为n 的样本，已知某部门有m 名员工，那么从该部门抽取的员工人数是________.解析 每个个体被抽到的概率是n N ，设这个部门抽取了x 个员工，则x m ＝n N ，∴x ＝nm N. 答案 nm N练习1.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件.解析 因为样本容量n ＝60，样本总体N ＝200＋400＋300＋100＝1 000，所以抽取比例为n N ＝601 000＝350.因此应从丙种型号的产品中抽取300×350＝18(件). 答案 18练习2.某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n 等于( )A.12B.18C.24D.36 解析 根据分层抽样方法知n 960＋480＝24960，解得n ＝36. 答案 D练习3.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.解析由题设，抽样比为804 800＝160.设甲设备生产的产品为x件，则x60＝50，∴x＝3 000.故乙设备生产的产品总数为4 800－3 000＝1 800.答案 1 800练习4.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10 000人中用分层抽样的方法抽取100人作进一步调查，则月收入在[2 500，3 000)(元)内应抽取________人.解析由频率分布直方图可得在[2 500，3 000)收入段共有10 000×0.000 5×500＝2 500人，按分层抽样应抽出2 500×10010 000＝25人.答案25练习5.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人).学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________.解析由分层抽样得1245＋15＝30120＋a，解得a＝30.答案30练习6.某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()A.100B.150C.200D.250解析法一由题意可得70n－70＝3 5001 500，解得n＝100.法二由题意，抽样比为703 500＝150，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，故n＝5 000×150＝100.答案A练习7.某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( )A.90B.100C.180D.300解析 设该样本中的老年教师人数为x ，由题意及分层抽样的特点得x 900＝3201 600，故x ＝180.答案 C练习8.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )A.101B.808C.1 212D.2 012解析 甲社区每个个体被抽到的概率为1296＝18，样本容量为12＋21＋25＋43＝101，所以四个社区中驾驶员的总人数N ＝10118＝808. 答案 B练习9.一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是27，则男运动员应抽取( ) A.18人 B.16人 C.14人 D.12人解析 ∵田径队共有运动员98人，其中女运动员有42人，∴男运动员有56人，∵每名运动员被抽到的概率都是27，∴男运动员应抽取56×27＝16(人)，故选B. 答案 B练习10.某工厂的三个车间在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为________.解析 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c .所以a ＋b ＋c 3＝b .所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的13.根据分层抽样的性质，可知第二车间生产的产品数占总数的13，即为13×3 600＝1 200. 答案 1 200抽样方法是从总体中选取样本的可行性方法，方法的选择直接影响到样本的客观程度，对于三种抽样方法的共同特点和各自特征一定要熟悉，这样在具体的问题中才能选取合适方法，抓住问题的本质，快速准确的求解有关抽样问题.。

参数(parameter)：描述总体特征的概括性数字度量，是研究者想要了解的总体的某种特征值。

所关心的参数主要有总体均值、标准差、总体比例等。

总体参数通常用希腊字母表示统计量(statistic)：用来描述样本特征的概括性数字度量，它是根据样本数据计算出来的一些量，是样本的函数。

所关心的样本统计量有样本均值(x)、样本标准差(s)、样本比例(p)等。

样本统计量通常用小写英文字母表示1、概率抽样：简单随机抽样（SRS）、系统抽样（SYS）、分层抽样（STS）、整群抽样（STS）、多阶段抽（MSS）简单随机抽样（SRS）特点：总体中每一个样本点均有相同机率被抽中、抽出某个样本后不影响另一个样本抽出的机率（独立性）、经常先列样本名册后用计算机产生随机数或随机表抽选放回和不放回：放回（重复）抽样；无放回（不重复）抽样系统抽样（SYS）等距抽样：将所有样本列册以序号排列，先随机抽取第一个样本，接着每隔Ｋ个样本抽取下一个样本；间隔K 的求法：Population size/ Sample size；常用于电话抽样（类似于简单随机抽样）分层抽样（STS）将总体区分为数个层（strata）：层之间互斥且周延、层内性质相近、层与层之间差异明显从每一层中简单随机抽取若干样本作为该层的代表，再将所有层总结集合整群抽样（STS）将总体区分为多个群集clusters：群集间互斥且周延、群集与群集间差异小、群集内类似总体随机抽取数个clusters将抽中的群集内每个样本均调查多阶段抽样（MSS）第一阶段：分群——整群抽样第二阶段：分层——分层抽样第三阶段……整群抽样的优点是实施方便、节省经费；整群抽样的缺点是往往由于不同群之间的差异较大，由此而引起的抽样误差往往大于简单随机抽样。

抽样方法优点缺点简单随机抽样操作简便易行，总体个数多时，工作量太大系统抽样操作便简易行，可以提高效率如不了解样本总体，抽出的样本有偏差分层抽样充分保证样本结构与总体的一致整体差异不明显时不适用，在使用时提高样本的代表性需要与其他抽样方法综合使用。

统计与概率知识点部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑统计与概率知识点一：统计1：简单随机抽样<1）总体和样本①在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．②把每个研究对象叫做个体．③把总体中个体的总数叫做总体容量．b5E2RGbCAP④为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，，，研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．p1EanqFDPw<2）简单随机抽样，也叫纯随机抽样。

就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。

特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同<概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。

简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。

通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。

DXDiTa9E3d<3）简单随机抽样常用的方法：①抽签法②随机数表法③计算机模拟法③使用统计软件直接抽取。

RTCrpUDGiT在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。

<4）抽签法:①给调查对象群体中的每一个对象编号；②准备抽签的工具，实施抽签；5PCzVD7HxA③对样本中的每一个个体进行测量或调查<5）随机数表法：2：系统抽样<1）系统抽样<等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。

第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。

K<抽样距离）=N<总体规模）/n<样本规模）jLBHrnAILg前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。

可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。

如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。

xHAQX74J0X<2）系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。

高二数学 概率与统计考试要求1．统计（1）随机抽样① 理解随机抽样的必要性和重要性．② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法． （2）总体估计① 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．② 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差． ③ 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释． ④ 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题． （3）变量的相关性① 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系． ② 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 不要求记忆线性回归方程系数公式()()()1122211,nniiiii i nniii i x ynx y xxyyb a y bxxnxxx-------===---∑∑∑∑用最小二乘法求线性回归方程系数公式：7．概率（1）事件与概率① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．② 了解两个互斥事件的概率加法公式． （2）古典概型①理解古典概型及其概率计算公式．②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． （3）随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． ②了解几何概型的意义．1．课本概念与定理详解(1)随机抽样①简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体数较少． ②系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多．③分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成．(2)众数、中位数、平均数①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．在直方图中取频率为0.5处的频数。

§10.2 抽样方法考情考向分析 在抽样方法的考查中，系统抽样，分层抽样是考查的重点，题型主要以填空题为主，属于中低档题．1．简单随机抽样(1)定义：一般地，从个体数为N 的总体中逐个不放回地取出n 个个体作为样本(n <N )，如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样． (2)最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数表法． 2．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本． (1)采用随机的方式将总体中的N 个个体编号；(2)将编号按间隔k 分段，当N n 是整数时，取k ＝N n ；当N n不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N ′能被n 整除，这时取k ＝N ′n，并将剩下的总体重新编号； (3)在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l ；(4)按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l ，l ＋k ，l ＋2k ，…，l ＋(n －1)k 的个体抽出． 3．分层抽样(1)定义：一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样，所分成的各个部分称为“层”． (2)分层抽样的应用范围：当总体由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．概念方法微思考三种抽样方法有什么共同点和联系？提示 (1)抽样过程中每个个体被抽取的机会均等．(2)系统抽样中在起始部分抽样时采用简单随机抽样；分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)简单随机抽样是一种不放回抽样．( √)(2)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．( ×)(3)系统抽样在第1段抽样时采用简单随机抽样．( √)(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．( ×)(5)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( ×)题组二教材改编2．[P52习题T1]某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是________．答案分层抽样法解析从全体学生中抽取100名宜用分层抽样法，按男、女学生所占的比例抽取．3．[P52习题T4]某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取_____名学生．答案15解析从高二年级中抽取的学生数与抽取学生总数的比为310，所以应从高二年级抽取学生人数为50×310＝15.4．[P52习题T2]某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是________．答案16解析从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13，所以样本中还有一个学生的学号是16.题组三易错自纠5．在一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则________．答案p1＝p2＝p3解析由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等．6．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件． 答案 1800解析 分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的产品有50件，则乙设备生产的产品有30件．在4800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品的总数为1800件．题型一 简单随机抽样1．某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生，6名女生，则下列命题正确的是________．(填序号) ①这次抽样中可能采用的是简单随机抽样； ②这次抽样一定没有采用系统抽样；③这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率； ④这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率． 答案 ①解析 利用排除法求解．这次抽样可能采用的是简单随机抽样，①正确；这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为1～20，女生编号为21～50，间隔为5，依次抽取1号，6号，…，46号便可，②错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，③和④均错误．2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________.答案 01解析 由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.3．利用简单随机抽样，从n 个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为________．答案514解析 由题意知9n －1＝13，得n ＝28，所以整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为1028＝514. 思维升华应用简单随机抽样应注意的问题(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．(2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．题型二 系统抽样例1(1)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________． 答案 4解析 由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，成绩落在区间[139,151]内的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．(2)某单位有840名职工，现采用系统抽样的方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为________． 答案 12解析 由84042＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为720－48020＝24020＝12. 引申探究1．若本例(2)中条件不变，若号码“5”被抽到，那么号码“55”________被抽到．(填“能”或“不能”) 答案 不能解析 若55被抽到，则55＝5＋20n ，n ＝2.5，n 不是整数．故不能被抽到．2．若本例(2)中条件不变，若在编号为[481,720]中抽取8人，则样本容量为________． 答案 28解析 因为在编号[481,720]中共有720－480＝240(人)，又在[481,720]中抽取8人， 所以抽样比应为240∶8＝30∶1，又因为单位职工共有840人，所以应抽取的样本容量为84030＝28.思维升华(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．(2)使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定． 跟踪训练1将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，则三个营区被抽中的人数依次为________． 答案 25,17,8解析 由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300，得k ≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495，得1034<k ≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17；第Ⅲ营区被抽中的人数为50－25－17＝8.题型三 分层抽样命题点1 求总体或样本容量例2(1)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝________. 答案 13解析 ∵360＝n120＋80＋60，∴n ＝13.(2)(2018·江苏省南京金陵中学模拟)某校共有教师200人，男学生1200人，女学生1000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为50人，那么n 的值为________． 答案 120解析 因为共有教师200人，男学生1200人，女学生1000人， 所以女学生占的比例为10002400＝512，女学生中抽取的人数为50人， 所以n ×512＝50，所以n ＝120.命题点2 求某层入样的个体数例3(1)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师的人数为________.答案 180解析 由题意，得抽样比为3201600＝15， ∴该样本中的老年教师的人数为900×15＝180.(2)我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣________人． 答案 108解析 由题意可知，这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×81008100＋7488＋6912＝300×810022500＝108.思维升华分层抽样问题类型及解题思路(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．(3)确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况．跟踪训练2 (1)某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人，高二1 200人，高三n 人中抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n ＝________. 答案 1040解析 分层抽样是按比例抽样的，所以81×12001000＋1200＋n＝30，解得n ＝1040.(2)(2018·如东模拟)下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如下表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为________． 答案 30解析 参与调查的总人数为150，由8∶n ＝40∶150， 得n ＝30.1．(2018·盐城调研)某单位有老年人20人，中年人120人，青年人100人，现用分层抽样的方法从所有人中抽取一个容量为n 的样本，已知从青年人中抽取的人数为10，则n ＝________. 答案 24解析 由分层抽样可得10n＝10020＋120＋100＝1024，故n ＝24.2．打桥牌时，将洗好的扑克牌(52张)随机确定一张为起始牌后，开始按次序搬牌，对任何一家来说，都是从52张总体中抽取一个13张的样本，则这种抽样方法是________． 答案 系统抽样解析 符合系统抽样的特点．3．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是________． 答案110，110解析 在抽样过程中，个体a 每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为110.4．将参加英语口语测试的1000名学生编号为000,001,002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000,001,002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个样本编号为________． 答案 695解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号为015，分段间隔数k ＝N n ＝100050＝20，由题意知抽出的这些号码是以15为首项，20为公差的等差数列，则抽取的第35个样本编号为15＋(35－1)×20＝695.5．某工厂的一、二、三车间在某月份共生产了3600双皮靴，在出厂前检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等差数列，则二车间生产的产品数为________．答案 1200解析 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，所以从二车间抽取的产品数占抽取产品总数的13，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占产品总数的13，所以二车间生产的产品数为3600×13＝1200.6．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为________． 答案 10解析 由系统抽样的特点知，抽取号码的间隔为96032＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人． 7．某电视台为了调查“爸爸去哪儿”节目的收视率，现用分层抽样的方法从4300人中抽取一个样本，这4300人中青年人1600人，且中年人人数是老年人人数的2倍，现根据年龄采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中青年人有320人，则抽取的样本中老年人的人数为________． 答案 180解析 设老年人有x 人，从中抽取y 人，则1 600＋3x ＝4 300，得x ＝900，即老年人有900人，则9001600＝y320，得y ＝180.8．某中学教务处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体1000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1000名学生从1到1000进行编号，求得间隔数k ＝20，即分50组每组20人．在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应抽取的号码是_____． 答案 157解析 根据系统抽样的特点可知，抽取出的编号成首项为17，公差为20的等差数列，所以第8组应抽取的号码是17＋(8－1)×20＝157.9．(2017·江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件． 答案 18解析 ∵样本容量总体个数＝60200＋400＋300＋100＝350，∴应从丙种型号的产品中抽取350×300＝18(件)．10．某高中在校学生有2000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山的比赛活动．每人都参与而且只能参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为________． 答案 36解析 根据题意可知，样本中参与跑步的人数为200×35＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×32＋3＋5＝36.11.200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号，分为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，若第5组抽取号码为22，则第8组抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．答案 37 20解析 将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件得，200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x 人，则40200＝x100，解得x ＝20.12．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是________． 答案 76解析 由题意知，m ＝8，k ＝8，则m ＋k ＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.13．某市教育主管部门为了全面了解2018届高三学生的学习情况，决定对该市参加2018年高三第一次全省统一考试(后称统考)的32所学校进行抽样调查．将参加统考的32所学校进行编号，依次为1到32，现用系统抽样法抽取8所学校进行调查，若抽到的最大编号为31，则最小编号是________． 答案 3解析 根据系统抽样的特点可知，总体分成8组，组距为328＝4，若抽到的最大编号为31，则最小编号是3.14．某校共有学生2 000名，各年级男、女学生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为________.答案 16解析 由题意，知二年级女生有380人，那么三年级的学生人数应该是2000－373－377－380－370＝500，即总体中各个年级的人数比为3∶3∶2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64×28＝16.15．某公司员工对户外运动分别持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多13人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人中有6人对户外运动持“喜欢”态度，有2人对户外运动持“不喜欢”态度，有3人对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有________人．答案 78解析 设持“喜欢”、“不喜欢”、“一般”态度的人数分别为6x,2x,3x ，由题意可得3x －2x ＝13，x ＝13，∴持“喜欢”态度的有6x ＝78(人)．16．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数减少1人，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除2个个体，求n . 解 总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量为n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ；分层抽样的比例是n 36，抽取的工程师人数为n 36×6＝n 6，技术员人数为n 36×12＝n 3，技工人数为n 36×18＝n 2， 所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为(n －1)时，总体容量剔除以后是34人，系统抽样的间隔为34n －1，因为34n －1必须是整数，所以n 只能取18，即样本容量n ＝18.。

概率与统计常见题型一、随机抽样和用样本估计总体规律方法 (1)解答与抽样方法有关的问题的关键是深刻理解各种抽样方法的特点、适用围和实施步骤，熟练掌握系统抽样中被抽个体的确定方法，掌握分层抽样中各层人数的计算方法．(2)与频率分布直方图、茎叶图有关的问题，应正确理解图表中各个量的意义，通过图表掌握信息是解决该类问题的关键．(3)在做茎叶图或读茎叶图时，首先要弄清楚“茎”和“叶”分别代表什么，正确求出数据的众数和中位数；方差越小，数据越稳定．特别提醒：频率分布直方图中的纵坐标为频率组距，而不是频率值．1、交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )． A ．101B ．808C ．1 212D ．2 0122、如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为__________．3、如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．(注：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)二、变量的相关性和统计案例规律方法 解决线性回归问题的关键是：(1)正确理解计算b ^，a ^的公式并准确的计算，若对数据作适当的预处理，可避免对大数字进行运算；(2)分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．4、某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x /元 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y /件 90 848380 75 68(1)求回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 5、某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝b x ＋a ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2013年的粮食需求量．三、古典概型与几何概型规律方法 (1)解决古典概型问题的关键是①正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．②P (A )＝mn既是古典概型的定义，又是求概率的计算公式，应熟练掌握．(2)解决几何概型的关键是寻找试验的全部结果构成的区域和事件发生时构成的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．(3)若事件正面情况比较多、反面情况较少，则一般利用对立事件进行计算．对于“至少”、“至多”等事件的概率计算，往往用这种方法求解．6、如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )．A ．12－1π B ．1πC ．1－2πD ．2π第6题 第8题7、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )． A ．13B ．12C ．23D ．348、如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 部的概率等于( )．A ．14 B ．13C ．12 D ．23四、概率统计综合问题规律方法 1．抽样方法和概率问题的综合一般是从分层抽样开始，设置分层抽样中的一些计算问题，然后就分层抽样中各个层设置一个古典概型计算问题．虽然此类题目所考查的知识横跨两部分，但是分解开来后，并不难解决．由于此类题目多与实际问题联系紧密，题干较长，信息量大，且会有图表，因此要认真审题并要掌握解答题目所需的知识．要做到：(1)分层抽样中的公式运用要准确． ①抽样比＝样本容量个体总量＝各层样本容量各层个体总量.②层1的数量∶层2的数量∶层3的数量＝样本1的容量∶样本2的容量∶样本3的容量． (2)在计算古典概型概率时，基本事件的总数要计算准确． 2．频率分布与概率的综合主要有两种形式：(1)题目中给出了样本的频率分布表，它反映了样本在各个组的频数和频率，要求根据频率分布表画出频率分布直方图，并根据样本在各组的频数，设置分层抽样和概率计算等．(2)利用频率与概率的关系，频率近似于概率，给出某类个体中的一个个体被抽中的概率，从而求出样本容量及其他类个体的数量．在解决此类问题时，可将题目中所给概率作为此类个体被抽中的频率，从而求解． 9、近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a ＞0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值．(注：s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数)10、某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加5.已知近20年X 的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. (1)完成如下的频率分布表近20年六月份降雨量频率分布表降雨量 70 110 140 160 200 220 频率120420220(2)求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．五、数形结合思想——解决有关统计问题(1)通过频率分布直方图和频数条形图研究数据分布的总体趋势； (2)根据样本数据散点图确定两个变量是否存在相关关系．解答时注意的问题： (1)频率分布直方图中的纵坐标为频率组距，而不是频率值；(2)注意频率分布直方图与频数条形图的纵坐标的区别．11、为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185cm 之间的概率；(3)从样本中身高在180～190cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm 之间的概率．概率与统计练习：1．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )．A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差2．对某商店一个月每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )．A ．46,45,56 B ．46,45,53C ．47,45,56 D ．45,47,533．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( )．A ．16B ．13C ．23D ．454．袋中有五卡片，其中红色卡片三，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两，标号分别为1,2. (1)从以上五卡片中任取两，求这两卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一标号为0的绿色卡片，从这六卡片中任取两，求这两卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．5．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )(i＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )．A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170c m ，则可断定其体重必为58.79kg6．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次为( )．A ．①简单随机抽样法，②系统抽样法B ．①分层抽样法，②简单随机抽样法C ．①系统抽样法，②分层抽样法D ．①②都用分层抽样法7．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10,40)的频率为( )．分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) 频数234 542A ．0.35B ．0.45C ．0.55D ．0.658．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )．A ．π4B ．π－22C ．π6D ．4－π49．为了分析某同学在班级中的数学学习情况，统计了该同学在6次月考中的数学名次，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的中位数为__________．10．若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品，在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5 000件进行检测，结果发现有50件不合格品，计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表：分组 频数 频率[－3，－2)0.10 [－2，－1) 8(1,2]0.50 (2,3] 10 (3,4] 合计501.00(1)将上面表格补充完整；(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]的概率；(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品，据此估算这批产品中的合格品的件数．11．甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取5次，绘制成茎叶图如图：(1)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由； (2)若在茎叶图中的甲、乙预赛成绩中各任取1次成绩分别记为a 和b ，求满足a ＞b 的概率．1、解析：四个社区抽取的总人数为12＋21＋25＋43＝101，由分层抽样可知，9612＝N101，解得N ＝808.故选B.2、9 解析：由于组距为1，则样本中平均气温低于22.5 ℃的城市频率为0.10＋0.12＝0.22.平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，所以样本容量为110.22＝50. 而平均气温高于25.5 ℃的城市频率为0.18，所以，样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为50×0.18＝9.3、6.8 解析：∵x ＝8＋9＋10＋13＋155＝11，∴s 2＝8－112＋9－112＋10－112＋13－112＋15－1125＝6.8.4、解：(1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80，所以a ^＝y －b ^x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 000＝－202334x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋361.25，当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．5、解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，为此对数据预处理如下：年份－2006－4－2 0 24需求量－257 －21 －11 0 19 29对预处理后的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2，b ^＝－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29－42＋－22＋22＋42＝26040＝6.5，a ^＝y －b ^x ＝3.2. 由上述计算结果，知所求回归直线方程为y ^－257＝b ^(x －2 006)＋a ^＝6.5(x －2 006)＋3.2，即y ^＝6.5(x －2 006)＋260.2. ①(2)利用直线方程①，可预测2013年的粮食需求量为：6．5×(2 013－2 006)＋260.2＝6.5×7＋260.2＝305.7(万吨)≈306(万吨)．6、C 解析：设OA ＝OB ＝2R ，连接AB ，如图所示，由对称性可得，阴影的面积就等于直角扇形拱形的面积，S 阴影＝14π(2R )2－12×(2R )2＝(π－2)R 2，S 扇＝πR 2，故所求的概率是π－2R 2πR2＝1－2π.7、A 解析：记三个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，则事件A 包含“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P (A )＝39＝13.8、C 解析：由题意知，可设事件A 为“点Q 取自△ABE ”，构成试验的全部结果为矩形ABCD 所有点，事件A 为△ABE 的所有点，又因为E 是CD 的中点，所以S △ABE ＝12AD ×AB ，S 矩形ABCD ＝AD ×AB ，所以P (A )＝12.9、解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为： “厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值．因为x ＝13(a ＋b ＋c )＝200，所以s 2＝13×[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000.10、解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量 70 110 140 160 200 220 频率120 320420720320220(2)P (“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P (Y ＜490或Y ＞530)＝P (X ＜130或X ＞210)＝P (X ＝70)＋P (X ＝110)＋P (X ＝220)＝120＋320＋220＝310.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为310.11、解：(1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.(2)由统计图知，样本中身高在170～185cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185cm 之间的频率f ＝3570＝0.5，故由f 估计该校学生身高在170～185cm 之间的概率P 1＝0.5.(3)样本中身高在180～185cm 之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，样本中身高在185～190cm 之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，从上述6人中任取2人的树状图为：故从样本中身高在180～190cm 之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190cm 之间的可能结果数为9，因此，所求概率P 2＝915＝35. 练习答案：：1．D 解析：由s ＝x 1－x2＋x 2－x2＋…＋x n －x2n，可知B 样本数据每个变量增加2，平均数也增加2，但(x n －x )2不变，故选D.2．A 解析：由茎叶图可知中位数为46，众数为45，极差为68－12＝56.故选A.3．C 解析：此概型为几何概型，由于在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，因此总的几何度量为12，满足矩形面积大于20 cm 2的点在C 1与C 2之间的部分，如图所示．因此所求概率为812，即23，故选C.4．解：(1)标号为1,2,3的三红色卡片分别记为A ，B ，C ，标号为1,2的两蓝色卡片分别记为D ，E ，从五卡片中任取两的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10种．由于每一卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五卡片中任取两，这两卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，共3种．所以这两卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.(2)记F 为标号为0的绿色卡片，从六卡片中任取两的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．由于每一卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六卡片中任取两，这两卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(A ，F )，(B ，F )，(C ，F )，(D ，F )，(E ，F )，共8种．所以这两卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.5．D 选项中，若该大学某女生身高为170 cm ，则其体重约为：0.85×170－85.71＝58.79 kg.故D 不正确． 6．①中总体由差异明显的几部分构成，宜采用分层抽样法，②中总体中的个体数较少，宜采用简单随机抽样法，故选B.7．B 解析：样本数据落在区间[10,40)的频数为2＋3＋4＝9，故所求的频率为920＝0.45.8．D 解析：题目中⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的区域为如图所示的正方形，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此P ＝2×2－π4·222×2＝4－π4，故选D.9．18.5 解析：由茎叶图知中间两位数为18和19，所以中位数为18＋192＝18.5.10．解：(1)分组 频数 频率 [－3,－2) 5 0.10 [－2,－1) 8 0.16 (1,2] 25 0.50 (2,3] 10 0.20 (3,4]20.04合计50 1.00(2)由频率分布表知，(1,3]的概率约为0.50＋0.20＝0.70；(3)设这批产品中的合格品数为x 件，依题意有505 000＝20x ＋20，解得x ＝5 000×2050－20＝1 980.所以该批产品中的合格品件数估计是1 980件． 7．解：由茎叶图知甲乙两同学的成绩分别为： 甲：88 82 81 80 79乙：85 85 83 80 77 (1)方法一：派乙参赛比较合适，理由如下：甲的平均分=82x 甲，乙的平均分=82x 乙，甲、乙平均分相同；又甲的标准差的平方(即方差)s 2甲＝10，乙的标准差的平方(即方差)s 2乙＝9.6，s 2甲＞s 2乙，甲、乙平均分相同，但乙的成绩比甲稳定，所以派乙去比较合适．方法二：派乙参赛比较合适，理由如下：从统计学的角度看，甲获得85分以上(含85分)的概率P 1＝15，乙获得85分以上(含85分)的概率P 2＝25，甲的平均分=82x 甲，乙的平均分=82x 乙，平均分相同，所以派乙去比较合适． 方法三：派乙参赛比较合适，理由如下：从得82分以上(含82分)去分析，甲获得82分以上(含82分)的概率P 1＝25，乙获得82分以上(含82分)的概率P 2＝35，甲的平均分=82x 甲，乙的平均分=82x 乙，平均分相同，所以派乙去比较合适．(2)甲、乙预赛成绩中各任取1次成绩分别记为(a ，b )，有(88,85)，(88,85)，(88,83)，(88,80)，(88,77)，(82,85)，(82,85)，(82,83)，(82,80)，(82,77)，(81,85)，(81,85)，(81,83)，(81,80)，(81,77)，(80,85)，(80,85)，(80,83)，(80,80)，(80,77)，(79,85)，(79,85)，(79,83)，(79,80)，(79,77)共25种，满足a ＞b 的有(88,85)，(88,85)，(88,83)，(88,80)，(88,77)，(82,80)，(82,77)，(81,80)，(81,77)，(80,77)，(79,77)共11种．满足a ＞b 的概率为1125.。

概率与统计中的常见问题解答概率与统计是一门研究随机事件和数据分析的重要学科。

在学习和应用概率与统计的过程中，人们常常会遇到一些疑问和困惑。

本文将针对一些常见问题进行解答，帮助读者更好地理解和应用概率与统计的知识。

问题一：什么是概率？解答：概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用0到1之间的实数表示。

在概率论中，我们假设所有可能的结果构成了一个样本空间，而事件则是样本空间的子集。

概率可以通过频率、古典概型、主观概率等方法进行计算和推断。

问题二：如何计算概率？解答：概率的计算方法有多种，根据问题的不同可以采用不同的计算方式。

对于离散型随机变量，可以使用概率质量函数（probability mass function）进行计算；对于连续型随机变量，可以使用概率密度函数（probability density function）进行计算。

此外，还可以利用排列组合、条件概率、贝叶斯公式等方法进行概率的计算。

问题三：什么是统计？解答：统计是通过对收集的样本数据进行分析和推断，以了解总体特征和作出相应的判断。

统计学包括描述统计和推断统计两个方面。

描述统计主要涉及数据的收集、整理、概括和呈现，如均值、中位数、方差等；推断统计则是利用统计学原理对样本数据进行分析，从而对总体做出推断。

问题四：如何进行随机抽样？解答：随机抽样是统计学中重要的方法之一，它能够保证样本的代表性，使得对总体的推断更加准确。

常见的随机抽样方法有简单随机抽样、分层抽样、整群抽样等。

简单随机抽样是从总体中随机选择一定数量的样本，分层抽样则是将总体划分为若干层，然后从每层中随机选取样本。

问题五：什么是假设检验？解答：假设检验是统计学中一种重要的推断方法，用于判断总体参数是否符合特定的假设。

假设检验的基本思想是通过收集样本数据，计算统计量并与假设的理论值进行比较，最终得出对假设的判断。

常见的假设检验方法有单样本假设检验、双样本假设检验、方差分析等。

高中数学概率与统计知识点总结概率与统计是高中数学中的重要内容，为了帮助大家更好地理解和掌握这一部分知识，下面将对高中数学概率与统计的主要知识点进行总结和梳理。

一、概率基本概念概率是指事件发生的可能性大小，通常用一个介于0到1之间的数表示。

在计算概率时，我们需要先确定样本空间，即所有可能的结果组成的集合，并且需要利用概率公式进行计算。

1.1 样本空间与事件样本空间是指一个随机试验中所有可能结果组成的集合。

样本空间中的元素称为样本点。

事件是指样本空间的子集，即某些样本点的集合。

1.2 子事件与互斥事件子事件是指事件的子集，即由某些样本点组成的事件。

互斥事件是指两个事件不可能同时发生的事件。

1.3 事件的概率事件A的概率表示为P(A)，计算方式为事件A的样本点数除以样本空间的样本点数。

概率的取值范围在0到1之间，且所有可能事件的概率之和为1。

二、概率计算方法概率的计算方法主要包括古典概型、频率概率和条件概率等几种常用方法。

2.1 古典概型古典概型适用于随机试验的样本点数有限且相等的情况。

在古典概型中，事件A的概率计算公式为P(A) = m/n，其中m为事件A中样本点的个数，n为样本空间中样本点的总个数。

2.2 频率概率频率概率适用于大量重复试验的情况。

频率概率是指事件A发生的频率，计算公式为P(A) = lim(N→∞) (m/N)，其中m为事件A发生的次数，N为试验进行的总次数。

2.3 条件概率条件概率是指在一个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。

条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

三、排列与组合排列与组合是概率与统计中常用的计数方法，用于求解事件发生的可能性个数。

3.1 排列排列是指将若干个不同的元素按照一定的顺序排列的方式。

排列的计算公式为A(n, m) = n!/(n-m)!，其中n为元素个数，m为选取的元素个数。

概率统计汇编一、题型一：统计1．（2024·上海黄浦·二模）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为（）A ．2515500300C C +B ．2515500300C C ⋅C ．2020500300C C +D ．2020500300C C ⋅2．（2024·上海虹口·二模）给出下列4个命题：①若事件A 和事件B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋂=；②数据2,3,6,7,8,10,11,13的第70百分位数为10；③已知y 关于x 的回归方程为0.50.7y x =-+，则样本点()2,1-的离差为0.7-；④随机变量X 的分布为01230.20.20.30.3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其数学期望[] 1.6E X =.其中正确命题的序号为（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④3．（2024·上海金山·二模）下列说法不正确的是（）．A ．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14B ．若随机变量X 服从正态分布2(3,)N σ，且(4)0.7P X ≤=，则(34)0.2P X <<=C ．若线性相关系数r 越接近1，则两个变量的线性相关程度越高D ．对具有线性相关关系的变量x 、y ，且回归方程为0.3y x m =-，若样本点的中心为(,2.8)m ，则实数m 的值是4-4．（2024·上海普陀·二模）为了提高学生参加体育锻炼的积极性，某校本学期依据学生特点针对性的组建了五个特色运动社团，学校为了了解学生参与运动的情况，对每个特色运动社团的参与人数进行了统计，其中一个特色运动社团开学第1周至第5周参与运动的人数统计数据如表所示.周次x 12345参与运动的人数y3536403945若表中数据可用回归方程 2.3(118,N)y x b x x =+≤≤∈来预测，则本学期第11周参与该特色运动社团的人数约为.（精确到整数）5．（2024·上海嘉定·二模）数据1、2、3、4、5的方差为21s ，数据3、6、9、12、15的方差为22s ，则2221s s =．6．（2024·上海奉贤·二模）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[]0,200(]200,400(]400,6001（优）318252（良）6x143（轻度污染）5564（中度污染）63(1)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，请根据表中的数据判断：一天中到该公园锻炼的人次是否与该市当天的空气质量有关？（规定显著性水平0.05α=）人次≤400人次>400总计空气质量好空气质量不好总计附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，()2 3.8410.05P χ≥≈.7．（2024·上海虹口·二模）某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：质量差（单位：mg ）5457606366件数（单位：件）52146253(1)求样本质量差的平均数x ；假设零件的质量差()2,X N μσ ，其中216σ=，用x 作为μ的近似值，求()5668P X <<的值；(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的34来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件.（i ）求抽取的零件为废品的概率；（ii ）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.参考数据：若随机变量()2,X N μσ ，则()()()0.6827,220.9545,330.9973P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<≤+≈-<≤+≈-<≤+≈.8．（23-24高三下·上海浦东新·期中）某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下：[)0,200，[)200,400，[)400,600，…，[]1000,1200（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.(1)若该店当天总共有1350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800元；(2)若利用分层随机抽样的方法从消费不少于800元的客户中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少；(3)为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案.方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用；方案二：消费金额每满1000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为13，且每次抽奖互不影响.中奖1次当天消费金额可打9折，中奖2次当天消费金额可打6折，中奖3次当天消费金额可打3折.若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000元，请帮助他选择合适的促销方案并说明理由.二、题型二：统计案例9．（2024·上海徐汇·二模）为了研究y 关于x 的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：x 12345y0.50.911.11.5若已求得一元线性回归方程为 0.34y ax=+，则下列选项中正确的是（）A ． 0.21a=B ．当8x =时，y 的预测值为2.2C ．样本数据y 的第40百分位数为1D ．去掉样本点(3,1)后，x 与y 的样本相关系数r 不会改变10．（2024·上海闵行·二模）某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表：不吸烟者吸烟者总计不患慢性气管炎者121162283患慢性气管炎者134356总计134205339假设0H ：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.通过计算统计量2χ，得27.468χ≈，根据2χ分布概率表:2( 6.635)0.01P χ≥≈，2( 5.024)0.025P χ≥≈，2( 3.841)0.05P χ≥≈，2( 2.706)0.1P χ≥≈.给出下列3个命题，其中正确的个数是（）①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于5%；②有99%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关；③2χ分布概率表中的0.05、0.01等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11．（23-24高三下·上海浦东新·期中）通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图.若去掉图中右下方的点A 后，下列说法正确的是（）A ．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关B ．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变C ．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大D ．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小12．（2024·上海金山·二模）为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下图所示列联表：药物疾病合计未患病患病服用m 50m-50未服用80m-30m -50合计8020100取显著性水平0.05α=，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则m (40,m m ≥∈N )的最小值为．(参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++；参考值：2( 3.841)0.05P χ≥≈）13．（2024·上海长宁·二模）收集数据，利用22⨯列联表，分析学习成绩好与上课注意力集中是否有关时，提出的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中（填：有关或无关）14．（2024·上海徐汇·二模）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如表.（单位：个）未患病者患病者合计未服用中草药甲291645服用中草药甲46955合计7525100(1)若规定显著性水平0.05α=，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效；(2)已知中草药乙对该疾病的治疗有效率数据如下：对未服用过中草药甲的患者治疗有效率为12，对服用过中草药甲的患者治疗有效率为34.若用频率估计概率，现从患此疾病的人员中随机选取2人（分两次选取，每次1人，两次选取的结果独立）使用中草药乙进行治疗，记治疗有效的人数为X ，求X 的分布和数学期望.附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，n a b c d=+++.α0.1000.0500.0100.001xα 2.706 3.841 6.63510.82815．（2024·上海青浦·二模）垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表：男生女生总计A等级402060B等级202040总计6040100(1)根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平0.05α=）？附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++，()2 3.8410.05Pχ≥≈．(2)为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢3局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为23，主持人B提问甲赢的概率为12，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A提问．（i）求比赛只进行3局就结束的概率；（ii）设X为结束比赛时甲赢的局数，求X的分布和数学期望()E X．16．（2024·上海崇明·二模）某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示．不吸烟者吸烟者总计不患慢性气管炎者120160280患慢性气管炎者154560总计135205340(1)是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？(2)常用()(|)|(|)P B A L B A P B A =表示在事件A 发生的条件下事件B 发生的优势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人，A 表示“选到的人是吸烟者”，B 表示“选到的人患慢性气管炎者”请利用样本数据，估计()|L B A 的值；(3)现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，不吸烟者的人数X 的数学期望．附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，2( 3.841)0.05P χ≥≈．17．（2024·上海嘉定·二模）据文化和旅游部发布的数据显示，2023年国内出游人次达48.91亿次，总花费4.91万亿元．人们选择的出游方式不尽相同，有自由行，也有跟团游．为了了解年龄因素是否影响出游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于等于14岁，小于40岁）和中老年组（大于等于40岁）．现在S 市随机抽取170名成年市民进行调查，得到如下表的数据：青壮年中老年合计自由行6040跟团游2050合计(1)请补充22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为年龄与出游方式的选择有关；(2)用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量X 表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求X 的分布和数学期望．α0.100.050.025P2.7063.8415.024三、题型三：概率18．（2024·上海普陀·二模）从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为A 、B ，白球标记为C ，则它的一个样本空间可以是（）A ．{},AB BC B ．{},,AB AC BC C ．{},,,AB BA BC CB D ．{},,,,AB BA AC CA CB 19．（2024·上海长宁·二模）某运动员8次射击比赛的成绩为：9.6、9.7、9.5、9.9、9.4、9.8、9.3、10.0；已知这组数据的第x 百分位为m ，若从这组数据中任取一个数，这个数比m 大的概率为0.25，则x 的取值不可能是（）A ．65B ．70C ．75D ．8020．（2024·上海黄浦·二模）某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为.21．（2024·上海嘉定·二模）小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件A 表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件B 表示“两家选择景点不同”，则概率()P B A =．22．（2024·上海崇明·二模）某学习小组共有10名学生，其中至少有2名学生在同一月份的出生的概率是．（默认每月天数相同，结果精确到0.001）23．（2024·上海闵行·二模）ChatGPT 是OpenAI 研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT 对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT 的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT ，小张和ChatGPT 各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个.(1)求小张能全部回答正确的概率；(2)求一个问题能被ChatGPT 回答正确的概率；(3)在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT 答对题数的期望与方差.24．（2024·上海静安·二模）某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm ），按照区间[)160,165，[)165,170，[)170,175，[)175,180，[]180,185分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）.(1)求身高不低于170cm 的学生人数；(2)将身高在[)170,175，[)175,180，[]180,185区间内的学生依次记为A ，B ，C 三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．①求从这三个组分别抽取的学生人数；②若要从6名学生中抽取2人，求B 组中至少有1人被抽中的概率．25．（2024·上海杨浦·二模）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图：(1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数；(2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率；(3)根据工人完成生产任务的工作时间，两种生产方式优秀与合格的人数填入下面的2×2列联表：第一种生产方式第二种生产方式总计优秀合格总计根据上面的2×2列联表，判断能否有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异？（22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.其中n a b c d =+++，()2 3.8410.05P χ≥≈）.四、题型四：随机变量及其分布26．（2024·上海奉贤·二模）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（）．A ．甲与乙相互独立B ．乙与丙相互独立C ．甲与丙相互独立D ．乙与丁相互独立27．（2024·上海杨浦·二模）某区高三年级3200名学生参加了区统一考试.已知考试成绩X 服从正态分布()2100,N σ（试卷满分为150分）.统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为（）A ．350B ．400C ．450D ．50028．（2024·上海松江·二模）已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ，且(35)0.3P X ≤≤=，则(5)P X >=.29．（2024·上海普陀·二模）已知()2~4,2X N ，若(0)0.02P X <=，则(48)P X <<=.30．（2024·上海徐汇·二模）同时抛掷三枚相同的均匀硬币，设随机变量1X =表示结果中有正面朝上，X 0=表示结果中没有正面朝上，则[]D X =.31．（23-24高三下·上海浦东新·期中）某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类选修课的选修人数之比为6:3:1，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为.32．（2024·上海静安·二模）某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有i （i =0，1，2）个次品的概率如下：一批产品中有次品的个数i012概率0.30.50.2则各批产品通过检查的概率为．（精确到0.01）33．（2024·上海静安·二模）某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩X 服从正态分布2(100,)N σ（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间[80,120]的学生人数约为．34．（2024·上海虹口·二模）已知随机变量()50,X B p ~，且[]20E X =，则[]D X =.35．（2024·上海黄浦·二模）随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，若()2 2.50.36P X <≤=，则()|2|0.5P X ->=.36．（2024·上海青浦·二模）从1,2,3,4,5中任取2个不同的数字，设“取到的2个数字之和为偶数”为事件A ，“取到的2个数字均为奇数”为事件B ，则(|)P B A =．37．（2024·上海青浦·二模）设随机变量ξ服从正态分布(21)N ,，若(3)(12)P a P a ξξ<-=>-，则实数=a ．38．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知随机变量X 服从正态分布()295,N σ，若(75115)0.4P X ≤≤=，则()115P X >=.39．（2024·上海松江·二模）某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为1p 、2p 、3p ，假定1p 、2p 、3p 互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立.(1)计划依次派甲乙丙进行闯关，若13p 4=，223p =，312p =，求该小组比赛胜利的概率；(2)若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目X 的分布，并求X 的期望()E X ；(3)已知1231p p p >>>，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出.40．（2024·上海普陀·二模）张先生每周有5个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件A 为“张先生驾车从左侧直行车道通行”.(1)某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事件B 为“大货车从中间直行车道通行”，求()P A B ⋂；(2)用X 表示张先生每周工作日出行事件A 发生的次数，求X 的分布及期望[]E X .41．（2024·上海黄浦·二模）某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格.组别[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]频数926655347(1)该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放2个随机红包，不合格的发放1个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为20500.80.2⎛⎫⎪⎝⎭.若从这200个成年市民中随机选取1人，记X （单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求X 的分布及数学期望；(2)已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%，该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比.42．（2024·上海金山·二模）有标号依次为1，2，…，n (2n ≥，n ∈N )的n 个盒子，标号为1号的盒子里有3个红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从n 1-号盒子里取出2个球放入n 号盒子为止．(1)当2n =时，求2号盒子里有2个红球的概率；(2)设n 号盒子中红球个数为随机变量n X ，求3X 的分布及()3E X ，并猜想()n E X 的值（无需证明此猜想）．43．（2024·上海长宁·二模）盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球；(1)从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；(2)从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X ，求X 的分布、期望与方差；参考答案一、题型一：统计1．（2024·上海黄浦·二模）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为（）A ．2515500300C C +B ．2515500300C C ⋅C ．2020500300C C +D ．2020500300C C ⋅【答案】B【分析】由分层抽样先求出初中部和高中部应抽取的学生，再由组合数公式和分步计数原理即可得出答案.【详解】该校初中部和高中部分别有500和300名学生，所以初中部应抽取50054040258008⨯=⨯=名学生，高中部应抽取30034040158008⨯=⨯=名学生，所以不同的抽样结果的种数为2515500300C C ⋅.故选：B.2．（2024·上海虹口·二模）给出下列4个命题：①若事件A 和事件B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋂=；②数据2,3,6,7,8,10,11,13的第70百分位数为10；③已知y 关于x 的回归方程为0.50.7y x =-+，则样本点()2,1-的离差为0.7-；④随机变量X 的分布为01230.20.20.30.3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其数学期望[] 1.6E X =.其中正确命题的序号为（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④【答案】C【分析】根据互斥事件的定义判断A ；根据百分位数的定义判断B ；根据离差的定义判断C ；根据期望公式判断D.【详解】对于①：因为事件A 和事件B 互斥，所以()0P A B = ，故①错误；对于②：因为870% 5.6⨯=，所以第70百分位数为从小到大排列的第6个数，即可为10，故②正确；对于③：因为0.50.7y x =-+，当2x =时0.520.70.3y =-⨯+=-，所以样本点()2,1-的离差为()10.30.7---=-，故③正确；对于④：[]00.210.220.330.3 1.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，故④错误.故选：C3．（2024·上海金山·二模）下列说法不正确的是（）．A ．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14B ．若随机变量X 服从正态分布2(3,)N σ，且(4)0.7P X ≤=，则(34)0.2P X <<=C ．若线性相关系数r 越接近1，则两个变量的线性相关程度越高D ．对具有线性相关关系的变量x 、y ，且回归方程为0.3y x m =-，若样本点的中心为(,2.8)m ，则实数m 的值是4-4．（2024·上海普陀·二模）为了提高学生参加体育锻炼的积极性，某校本学期依据学生特点针对性的组建了五个特色运动社团，学校为了了解学生参与运动的情况，对每个特色运动社团的参与人数进行了统计，其中一个特色运动社团开学第1周至第5周参与运动的人数统计数据如表所示.周次x 12345参与运动的人数y3536403945若表中数据可用回归方程 2.3(118,N)y x b x x =+≤≤∈来预测，则本学期第11周参与该特色运动社团的人数约为.（精确到整数）【答案】57【分析】由已知求出样本点的中心的坐标，代入线性回归方程，再取11x =求解．【详解】1234535x ++++==，3536403945395y ++++==，把(3,39)代入 2.3y x b =+，得39 2.3332.1b =-⨯=．可得线性回归方程为 2.332.1y x =+．把11x =代入 2.332.1y x =+，可得 2.31132.157.457y =⨯+=≈．故答案为：57．5．（2024·上海嘉定·二模）数据1、2、3、4、5的方差为21s ，数据3、6、9、12、15的方差为22s ，则2221s s =．【答案】9【分析】由两组数据满足的一次函数关系，得方差间的关系，即可得结果.【详解】数据1、2、3、4、5依次记为()1,2,3,4,5i x i =，数据3、6、9、12、15依次记为()1,2,3,4,5i y i =，则有3i i y x =，所以22219s s =，即22219s s =.故答案为：96．（2024·上海奉贤·二模）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[]0,200(]200,400(]400,6001（优）318252（良）6x143（轻度污染）5564（中度污染）63(1)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，请根据表中的数据判断：一天中到该公园锻炼的人次是否与该市当天的空气质量有关？（规定显著性水平0.05α=）人次≤400人次>400总计空气质量好空气质量不好总计附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，()2 3.8410.05Pχ≥≈.7．（2024·上海虹口·二模）某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：质量差（单位：mg ）5457606366件数（单位：件）52146253(1)求样本质量差的平均数x ；假设零件的质量差()2,X N μσ ，其中216σ=，用x 作为μ的近似值，求()5668P X <<的值；(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的34来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件.（i ）求抽取的零件为废品的概率；（ii ）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.参考数据：若随机变量()2,X N μσ ，则()()()0.6827,220.9545,330.9973P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<≤+≈-<≤+≈-<≤+≈.【答案】(1)60x =，()56680.8186P X <<≈(2)（i ）0.015；（ii ）0.8【分析】（1）先求出x ，再利用正态曲线的对称性求解；（2）（i ）利用全概率公式求解；（ii ）利用条件概率公式求解．【详解】（1）由题意可知54557216046632566360100x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==，则~(60,16)X N ，所以()()56686046042P X P X <<=-<<+⨯()()112222P X P X μσμσμσμσ=-<≤++-<≤+110.68270.95450.818622≈⨯+⨯=；（2）（i ）设事件A 表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，事件1B 表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，事件2B 表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，则13()4P B =，21()4P B =，1(|)0.016P A B =，2(|)0.012P A B =，8．（23-24高三下·上海浦东新·期中）某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下：[)0,200，[)200,400，[)400,600，…，[]1000,1200（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.(1)若该店当天总共有1350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800元；(2)若利用分层随机抽样的方法从消费不少于800元的客户中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少；(3)为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案.方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用；方案二：消费金额每满1000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为13，且每次抽奖互不影响.中奖1次当天消费金额可打9折，中奖2次当天消费金额可打6折，中奖3次当天消费金额可打3折.若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000元，请帮助他选择合适的促销方案并说明理由.。

统计1：简单随机抽样（1）总体和样本①在统计学中, 把研究对象的全体叫做总体．②把每个研究对象叫做个体．③把总体中个体的总数叫做总体容量．④为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，，，研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．（2）简单随机抽样，也叫纯随机抽样。

就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。

特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。

简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。

通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。

（3）简单随机抽样常用的方法：①抽签法②随机数表法③计算机模拟法③使用统计软件直接抽取。

在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。

（4）抽签法:①给调查对象群体中的每一个对象编号；②准备抽签的工具，实施抽签；③对样本中的每一个个体进行测量或调查（5）随机数表法：2：系统抽样（1）系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。

第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。

K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。

可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。

如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。

（2）系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。

因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。

更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。

3：分层抽样（1）分层抽样（类型抽样）：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。

概率与统计1.抽样：(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法) ：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（n ≦N ），如果每次抽取使总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样（2）系统抽样：从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的原则，聪每部分中抽取一个个体，得到所需的样本，这种方法称为系统抽样 适用总体中的个体数较多(3)分层抽：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样。

主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中的个体有明显差异。

如（1）某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95。

为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，把这种抽样记为A ；某中学高中一年级有12名女排运动员，要从中选取3人调查学习负担的情况，把这种抽样记为B ，那么完成上述两项调查应分别采用的抽样方法：A 为_______， B 为_____ 。

2.用样本估计总体：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，即用样本平均数估计总体平均数（即总体期望值――描述一个总体的平均水平）；用样本方差估计总体方差（方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差或标准差越小，表示这个样本或总体的波动越小，即越稳定）。

一般地，样本容量越大，这种估计就越精确。

总体估计要掌握：(1)“表”(频率分布表)；（2）“图”(频率分布直方图)。

提醒：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率。

中位数:一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。

统计与概率知识点汇总高中统计与概率知识点汇总一、简单随机抽样1．总体和样本在统计学中,把研究对象的全体叫做总体．把每个研究对象叫作个体．把总体中个体的总数叫做总体容量．为了研究总体的有关性质，通常从总体中随机提取一部分：，，，研究，我们表示它为样本．其中个体的个数称作样本容量．2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。

就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。

特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。

简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。

通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。

3．直观随机抽样常用的方法：（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。

在直观随机抽样的样本容量设计中，主要考量：①总体变异情况；②容许误差范围；③概率确保程度。

（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；（2）准备工作分组的工具，实行分组（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查基准：恳请调查你所在的学校的学生搞讨厌的体育活动情况。

5．随机数表法：基准：利用随机数Amancey所在的班级中提取10十一位同学出席某项活动。

1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位展开排序，再排序出来样本距离，然后按照这一紧固的样本距离提取样本。

第一个样本使用直观随机抽样的办法提取。

k（抽样距离）=n（总体规模）/n（样本规模）前提条件：总体中个体的排序对于研究的变量来说，应当就是随机的，即为不存有某种与研究变量有关的规则原产。

可以在调查容许的条件下，从相同的样本已经开始样本，对照几次样本的特点。

如果存有显著差别，表明样本在总体中的原产成某种循环性规律，且这种循环和样本距离重合。

系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。

因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。

更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。