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2.3 一元二次方程及其应用一、解一元二次方程1．（2024安徽中考第15题）解方程：223-=x x2.（2019安徽中考第15题）解方程：(x−1)2=43．（2019安徽中考第16题）解方程：x2−2x＝4．二、一元二次方程根的判别式4．（2020安徽中考第5题）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2+1=2x B．x2+1=0C．x2−2x=3D．x2−2x=05．（2018安徽中考第7题）若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）A．−1B．1C．−2或2D．−3或16．（2022安徽中考第12题）若一元二次方程2x2−4x+m=0有两个相等的实数根，则m=．三、一元二次方程的实际应用7．（2017安徽中考第8题）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x，则x满足（）A.16(1+2x)=25B.25(1−2x)=16C.16(1+x)2=25D.25(1−x)2=168．（2015安徽中考第6题）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1.4（1＋x）＝4.5B．1.4（1＋2x）＝4.5C．1.4（1＋x）2＝4.5D．1.4（1＋x）＋1.4（1＋x）2＝4.5参考答案与解析一、解一元二次方程1．（2024安徽中考第15题）解方程：223x x -=【答案】13x =，21x =-【详解】解：∵223x x -=，∴223=0x x --，∴(3)(1)0x x -+=，∴13x =，21x =-．2.（2019安徽中考第15题）解方程：(x −1)2=4【答案】x 1＝3，x 2＝−1【详解】解：直接开平方，得 x −1= ±2，解得：x 1＝3，x 2＝−1．3．（2019安徽中考第16题）解方程：x 2−2x ＝4．【答案】x 1＝1+√5，x 2＝1−√5【详解】解：配方x 2−2x +1＝4+1∴（x −1）2＝5∴x ＝1±√5∴x 1＝1+√5，x 2＝1−√5．二、一元二次方程根的判别式4．（2020安徽中考第5题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A ．x 2+1=2xB ．x 2+1=0C ．x 2−2x =3D ．x 2−2x =0 【答案】A【详解】A.x 2+1=2x 变形为x 2−2x +1=0，此时△=4−4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A 正确；B.x 2+1=0中△=0−4=−4＜0，此时方程无实数根，故选项B 错误；C.x 2−2x =3整理为x 2−2x −3=0，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误；D.x 2−2x =0中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D错误.故选：A.5．（2018安徽中考第7题）若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）A．−1B．1C．−2或2D．−3或1【答案】A【详解】解：x(x+1)+ax=0，△x2+(a+1)x=0，由方程有两个相等的实数根，可得△=（a+1）2−4×1×0=0，解得：a1=a2=−1，故选A．6．（2022安徽中考第12题）若一元二次方程2x2−4x+m=0有两个相等的实数根，则m=．【答案】2【详解】解：由题意可知：a=2，b=−4，c=m△=b2−4ac=0，△16−4×2×m=0，解得：m=2．故答案为：2．三、一元二次方程的实际应用7．（2017安徽中考第8题）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x，则x满足（）A.16(1+2x)=25B.25(1−2x)=16C.16(1+x)2=25D.25(1−x)2=16【答案】D【详解】第一次降价后的而价格为25（1−x），第一次降价后的而价格为25(1−x)2，则，25(1−x)2=16,故选答案D.8．（2015安徽中考第6题）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1.4（1＋x）＝4.5B．1.4（1＋2x）＝4.5C．1.4（1＋x）2＝4.5D．1.4（1＋x）＋1.4（1＋x）2＝4.5【答案】C【详解】解：设2015年与2016年这两年的平均增长率为x，由题意得：1.4（1+x）2=4.5，故选C．。
中考数学总复习《二元一次方程组》专项测试卷(附答案)一、单选题(共12题；共24分)1．方程组 {y =2x 3x +y =15,的解是（ ） A ．{x =3y =6,B ．{x =4y =3, C ．{x =4y =8,D ．{x =2y =3,2．以下是方程3x +2y =12的一个解的是（ ）A ．{x =−1y =2B ．{x =2y =−1C ．{x =2y =3D ．{x =3y =23．如图，在某张桌子上放相同的木块， R =32 ， S =96 ，则桌子的高度是（ ）A ．63B ．58C ．60D ．644．已知{x =1，y =−2是关于x ，y 的二元一次方程ax +y =1的一个解，那么a 的值为（ ） A ．3B ．1C ．-1D ．-35．已知关于x 、y 的方程组 {x +y =1−ax −y =3a +5 ，满足 x ≥12y ，则下列结论：①a ≥−2 ；②a =−53时， x =y ；③当 a =−1 时，关于x 、y 的方程组{x +y =1−ax −y =3a +5 的解也是方程 x +y =2 的解；④若 y ≤1 ，则 a ≤−1 ，其中正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．一个长方形的长减少3cm ，宽增加2cm ，就成为一个正方形，并且长方形的面积与正方形的面积相等.如果设这个长方形的长为xcm ，宽为ycm ，那么所列方程组正确的是（ ）A ．{x +3=y −2(x +3)(y −2)=xyB ．{x −3=y +2(x −3)(y +2)=xyC ．{3−x =y +2(3−x)(y +2)=xyD ．{x −2=y +3(x −2)(y +3)=xy7．若 |b +2|+(a −3)2=0 ，则 b a 的值为（ ）A ．﹣bB ．−18C ．﹣8D ．88．已知关于 x,y 的二元一次方程组 {3x +y =−4m +2x −y =6 的解满足 x +y <3 ，则m 的取值范围是（ ） A ．m >−52B ．m <−52C ．m >52D ．m <529．已知关于x ，y 的二元一次方程ax +b =y ，当x 取不同值时，对应y 的值分别如下表所示：x … －1 0 1 2 3 … y…321－1…A ．x <0B ．x >0C ．x <2D ．x >210．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2（见下页）．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y 的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是{3x +2y =19x +4y =23，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为A ．{2x +y =114x +3y =27B ．{2x =y =114x +3y =22C ．{3x +2y =19x +4y =23D ．{2x +y =64x +3y =2711．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为（ ） A ．54B ．45C ．27D ．7212．用代入消元法解方程组 {3x −y =2，①y =1−2x ，② 时，把②代入①，得（ ）A ．3x-1-2x= 2B ．3x-（1-2x ）= 2C ．3x+（1-2x ）=2D ．3（1-2x ）-y=2二、填空题(共6题；共6分)13．若 (a −1)2+|b −2|=5 ，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为 14．如图，将长方形ABCD 分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形．若灰色长方形的长与宽之比为5：3，则AD ：AB=15．为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品（必须保证买两种），共花35元．毽子单价3元，跳绳单价5元，关于购买毽子和跳绳两种体育用品的数量购买的方案共有种．16．如果√x−2+（2y+1）2=0，那么xy=17．方程x2-y2=31的正整数解为。
初三数学总复习辅导资料2方程与不等式一、方程与方程组 二、不等式与不等式组知识结构及内容： 1.几个概念2.一元一次方程 （一）方程与方程组3.一元二次方程4.方程组5.分式方程6.应用1.概念：方程、方程的解、解方程、方程组、方程组的解2.一元一次方程：解方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化一（未知项系数不能为零）例题：.解方程：（1） 3131=+-x x （2）x x x -=--+22132 解：（3） 关于x 的方程mx+4=3x+5的解是x=1，则m= 。
解：3.一元二次方程： （1） 一般形式：()002≠=++a c bx ax（2）解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法求根公式()002≠=++a c bx ax ()042422≥--±-=ac b aac b b x 例题：①、解下列方程：（1）x 2－2x ＝0； （2）45－x 2＝0；（3）(1－3x )2＝1； （4）(2x ＋3)2－25＝0.（5）（t －2）（t +1）=0； （6）x 2＋8x －2＝0(7 )2x 2－6x －3＝0； （8）3（x －5）2＝2（5－x ）解：② 填空：（1）x 2＋6x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；（2）x 2－8x ＋（ ）＝（x － ）2； （3）x 2＋23x ＋（ ）＝（x ＋ ）2 （3）判别式△＝b ²－4ac 的三种情况与根的关系当0>∆时 ，当0=∆时 当0<∆时没有实数根。
当△≥0时 有两个实数根例题．①．（无锡市）若关于x 的方程x 2＋2x ＋k ＝0有两个相等的实数根，则k 满足( )A.k ＞1B.k ≥1C.k ＝1D.k ＜1 ②（常州市）关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x 根的情况是（ ） （A ）有两个不相等实数根 （B ）有两个相等实数根 （C ）没有实数根 （D ）根的情况无法判定③．（浙江富阳市）已知方程022=++q px x 有两个不相等的实数根，则p 、q 满足的关系式是（ ）A 、042>-q pB 、02>-q pC 、042≥-q pD 、02≥-q p （4）根与系数的关系：x 1＋x 2=ab-，x 1x 2=a c例题： （浙江富阳市）已知方程011232=-+x x 的两根分别为1x 、2x ，则2111x x + 的值是（ ）A 、112 B 、211 C 、112- D 、211-4.方程组：−−−−→−−−−→代入消元代入消元加减消元加减消元三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程 二元(三元)一次方程组的解法：代入消元、加减消元例题：解方程组⎩⎨⎧=-=+.82,7y x y x解 解方程组20328x y x y -=⎧⎨+=⎩解解方程组：11233210x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ 解解方程组：128x y x y -=⎧⎨+=⎩解解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝93（x ＋y ）＋2x ＝33解5.分式方程：分式方程的解法步骤：（1） 一般方法：选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验 （2） 换元法例题：①、解方程：211442-=+-x x 的解为 065422=++-x x x 根为 ②、当使用换元法解方程03)1(2)1(2=-+-+x x x x 时，若设1+=x x y ，则原方程可变形为（ ）A ．y 2＋2y ＋3＝0B ．y 2－2y ＋3＝0C ．y 2＋2y －3＝0D ．y 2－2y －3＝0（3）、用换元法解方程433322=-+-xx x x 时，设x x y 32-=，则原方程可化为（ ） （A ）043=-+y y （B ）043=+-y y （C ）0431=-+y y （D ）0431=++yy 6.应用：（1）分式方程（行程、工作问题、顺逆流问题） （2）一元二次方程（增长率、面积问题） （3）方程组实际中的运用例题：①轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.（提示：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度）解：②乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城.已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/时，结果两辆车同时到达C城.求两车的速度解③某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）解④已知等式 (2A-7B) x+(3A-8B)=8x+10对一切实数x都成立，求A、B的值解⑤某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元.捐款情况如下表：2 3表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.若设捐款2元的有x名同学,捐款3元的有y名同学,根据题意,可得方程组A、272366x yx y+=⎧⎨+=⎩B、2723100x yx y+=⎧⎨+=⎩C、273266x yx y+=⎧⎨+=⎩D、2732100x yx y+=⎧⎨+=⎩解⑥已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数. 解⑦一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.解：1几个概念（二）不等式与不等式组2不等式3不等式（组）1.几个概念：不等式（组）、不等式（组）的解集、解不等式（组）2.不等式：（1）怎样列不等式：1．掌握表示不等关系的记号2．掌握有关概念的含义，并能翻译成式子．(1)和、差、积、商、幂、倍、分等运算．(2)“至少”、“最多”、“不超过”、“不少于”等词语．例题：用不等式表示：①a为非负数，a为正数，a不是正数解：②(2)8与y的2倍的和是正数；(3)x与5的和不小于0；(5)x的4倍大于x的3倍与7的差；解：（2）不等式的三个基本性质不等式的性质1：如果a>b ，那么a ＋c>b ＋c ，a －c>b －c推论：如果a ＋c>b ，那么a>b －c 。
第1课时方程（组）与不等式（组）问题类型之一 根据图表信息列方程(组)或不等式解决问题 在具体的生活中根据图示得到方程或不等式，由此解决实际问题，根本在于得到数量之间的关系。
1.（•河北省）如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是 g ．【解析】由天平的平衡得到巧克力和果冻重量之间的数量关系设每块巧克力的重量为x 克，每块果冻的重量为y 克，由题意列方程组得：⎩⎨⎧=+=5023y x yx ，解方程组即可。
2.（•济南市）教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同．请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格．【答案】解：设康乃馨每支x 元，水仙花每支y 元由题意得：3192218x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：54x y =⎧⎨=⎩ 第三束花的价格为353417x y +=+⨯= 答：第三束花的价格是17元．3.（•济南市）某厂工人小王某月工作的部分信息如下： 信息一：工作时间：每天上午8∶20~12∶00，下午14∶00~16∶00，每月25元；信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．生产产品件数与所用时间之间的关系见下表： 生产甲产品件数(件)生产乙产品件数(件)所用总时间(分)10 10 350 3020850信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元． 根据以上信息，回答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？（2）小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？【解析】通过表格当中的信息，我们可以利用列方程组来求出生产甲、乙两种产品的时间，然后利用列函数关系式表示出小王得到的总钱数，然后利用一次函数的增减性求出钱数的最大值.【答案】（1）解：设生产一件甲种产品需x 分，生产一件乙种产品需y 分，由题意得：10103503020850x y x y +=⎧⎨+=⎩即353285x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解这个方程组得：1520x y =⎧⎨=⎩ ∴生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分．（2）解：设生产甲种产品用x 分，则生产乙种产品用(25860)x ⨯⨯-分，则生产甲种产品15x 件，生产乙种产品2586020x ⨯⨯-件．258601.5 2.81520x xw ⨯⨯-∴=⨯+⨯总额 120000.1 2.820xx -=+⨯0.116800.14x x=+-0.041680x =-+又6015x ≥，得900x ≥由一次函数的增减性，当900x =时w取得最大值，此时0.0490016801644w =-⨯+=（元）此时 甲有9006015=（件），乙有：25860900120009005552020⨯⨯--==（件）类型之二 借助方程组合或不等式（组）解决方案问题 借助二元一次方程组和一元一次不等式（组）求解方案问题是中考一种新题型，考察了同学们综合运用方程组和不等式深入的分析、比较、归纳和说理的能力.4.（·济南市）某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．（1）设租用甲种汽车x 辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案．4.【答案】解：（1）由租用甲种汽车x 辆，则租用乙种汽车(8-x)辆由题意得：4030(8)2901020(8)100x x x x +-⎧⎨+-⎩≥≥解得：56x ≤≤即共有2种租车方案：第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆； 第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆． （2）第一种租车方案的费用为520003180015400⨯+⨯=元； 第二种租车方案的费用为620002180015600⨯+⨯=元 ∴第一种租车方案更省费用．5.（·宜宾市）暑假期间,小明到父亲经营的小超市参加社会实践活动.一天小明随父亲从银行换回来58张,共计200元的零钞用于顾客付款时找零.细心的小时清理了一下,发现其中面值为1元的有20张,面值为10元的有7张,剩下的均为2元和5元的钞票.你能否用所学的数学方法算出2元和5元的钞票的各有多少张吗?请写出演算过程.【答案】解：设面值为2元的有x 张，设面值为5元的有y 张，依题意得2520012071058207x y x y +=-⨯-⨯⎧⎨+=--⎩解得1615x y =⎧⎨=⎩经检验，符合题意答：面值为2元的有16张，面值为5元的有15张.6.（•重庆市）为支持四川抗震救灾，重庆市A 、B 、C 三地现在分别有赈灾物资100吨，、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D 、E 两县。
提分专练(二)解方程(组)与不等式(组) |类型1| 解二元一次方程组1.解方程组:①-- ②2.[ 0 8·常州]解方程组- ①- ②3.已知关于x,y的方程组8--8的解满足x>0,y>0,求实数a的取值范围.|类型2| 解一元二次方程4.解方程:x2+2x=3.5.[ 0 8·兰州]解方程:3x2-2x-2=0.6.先化简,再求值:(x-1)÷-1,其中x为方程x2+3x+2=0的根.7.当x满足条件---时,求出方程x2-2x-4=0的根.8.[ 0 8·毕节]先化简,再求值:---÷,其中a是方程a2+a-6=0的解.|类型3| 解分式方程9.[ 0 8·绵阳] 解分式方程: - - +2=- .10.解方程: - - =- -1.11.[ 0 ·泰州] 解分式方程: - +- =1.|类型4| 解一元一次不等式(组)12.解不等式:2(x-6)+ ≤ x-5,并将它的解集在数轴上表示出来.图T2-113.[ 0 8·湖州]解不等式-≤ 并把它的解集表示在数轴上.14.[ 0 8·北京]解不等式组:-15.[ 0 8·宁夏]解不等式组:-- ①-- ②参考答案1.解:①+②得4x=4,∴x=1.将x=1代入①,得y=2.∴原方程组的解为2.解:①+②得:3x=6,∴x=2.将x=2代入①,得y=-1,∴-3.解:8 ①--8 ②①×3,得15x+6y=33a+54,③②×2,得4x-6y=24a-16,④③+④,得19x=57a+38,解得x=3a+2.把x=3a+2代入①,得5(3a+2)+2y=11a+18, 解得y=-2a+4,∴原方程组的解是-∵x>0,y>0,∴0 ⑤-0 ⑥由⑤得a>-,由⑥得a<2,∴a的取值范围是-<a<2.4.解:x1=-3,x2=1.5.解:移项,得3x2-2x=2,配方,得3x-2=,解得x1=,x2=-.6.解:原式=(x-1)÷--=(x- ·-=-x-1.2当x=-1时,原分式无意义,所以x=-1舍去.当x=-2时,原式=1.7.解:由---解得2<x<4.解方程x2-2x-4=0,得x1=1+,x2=1-.∵2<<3,∴3<1+<4,符合题意;-2<1-<-1,不符合题意,舍去.∴x=1+.8.解:---÷=---÷=--·=,由a2+a-6=0,得(a+3)(a-2)=0, 解得a=-3或a=2,∵0 -0∴a≠±2且a≠0 ∴a=-3,当a=-3时,原式==--=.9.解:方程两边同时乘以x-2,得x-1+2(x-2)=-3, 去括号,得x-1+2x-4=-3,移项,得x+2x=2,合并同类项,系数化为1,得x=,经检验,x=是原分式方程的解,故原分式方程的解为x=.10.解:化为整式方程得2-2x=x-2x+4,解得x=-2,经检验x=-2是分式方程的解.11.解:去分母,得(x+1)2-4=x2-1,去括号,得x2+2x+1-4=x2-1,移项、合并同类项,得2x=2,系数化为1,得x=1.经检验,x=1是分式方程的增根,故原分式方程无解.12.解:2(x-6)+ ≤ x-5,2x-12+ ≤ x-5,x≥-3.解集在数轴上表示如图所示:13.解:不等式的两边同乘以2,得3x- ≤ 移项,合并同类项,得3x≤6解得x≤ .这个不等式的解集在数轴上表示如图所示:14.解:不等式3(x+1)>x-1的解集为x>-2; 不等式>2x的解集为x<3.∴原不等式组的解集为-2<x<3.15.解:由不等式①得x-3x+ ≥x-3x≥ -3,-2x≥x≤-1;由不等式②得2(x-3)-10<5(x+1),2x-6-10<5x+5,2x-5x<5+6+10,-3x<21,x>-7.∴原不等式组的解集为-7<x≤-1.。
中考复习—方程、不等式一．试题（共49小题）1x 的取值范围是( ) A ．2x B ．2xC ．2x ≠D ．2x ≠−2．若代数式有意义，则x 的取值范围是( ) A ．2xB ．0xC ．0x 且2x ≠D ．2x ≠3．下列是最简二次根式的是( )AB C D4( )A ．B ．C D5−( )A B ．−C D ．−6．下列计算正确的是( )A =B 123= C = D ．=7．已知m ，n 是一元二次方程2310x x ++=+( ) A ．13B ．3C ．3−D ．328．计算的结果是9．已知x ，y 都是实数， 且3y =，则3x 的值 ．10．计算：（12⨯−（2）021|1)()2π−−+．11．计算：（1；（2）12．化简：．2−．13．《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛:古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是()A．5352x yx y+=⎧⎨+=⎩B．5352x yx y+=⎧⎨+=⎩C．5352x yx y=+⎧⎨=+⎩D．5253x yx y=+⎧⎨=+⎩14．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组() A．119(8)(10)13x yx y y x=⎧⎨+−+=⎩B．119(10)(8)13x yy x x y=⎧⎨+−+=⎩C．911(8)(10)13x yx y y x=⎧⎨+−+=⎩D．911(10)(8)13x yy x x y=⎧⎨+−+=⎩15．在我国古典数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”翻译成现代汉语就是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？如果设长木长x尺、绳长y尺，则可以列出方程组()A．4.5112x yx y−=⎧⎪⎨−=⎪⎩B．4.5112x yx y−=⎧⎪⎨−=⎪⎩C．4.5112y xx y−=⎧⎪⎨−=⎪⎩D．4.5112y xx y−=⎧⎪⎨−=⎪⎩16．我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有x 人，物价是y 钱，则下列方程正确的是( )A ．8(3)7(4)x x −=+B ．8374x x +=−C ．3487y y −+=D ．3487y y +−=17．若m n >，则下列不等式中正确的是( ) A ．22m n −<−B ．1212m n −<−C ．1122m n −>−D ．0n m −>18．如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是( )A ．1xB ．1x >C ．1x −<D ．11x −<19．解不等式组342,22,x x x −<⎧⎨+⎩①②请按下列步骤完成解答：（1）解不等式①，得 ； （2）解不等式②，得 ；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集是 ．20．解不等式组：()223235x x x x ⎧+>+⎪⎨+<⎪⎩①②，并写出它的所有整数解．21．已知1x =是方程1322m x x −=−−的解，那么实数m 的值为( ) A ．2−B ．2C ．4−D ．422．将关于x 的分式方程3121x x =−去分母可得( ) A ．332x x −= B ．312x x −= C ．31x x −= D ．33x x −=23．解方程13311xx x+=−−去分母，两边同乘(1)x −后的式子为( )A ．133(1)x x +=−B ．13(1)3x x +−=−C ．133x x −+=−D ．13(1)3x x +−=24．方程32122x x x =−−−的解是 ． 25．若关于x 的方程32122x mx x −=−−的解为正数，则m 的取值范围是( ) A ．23m >−B ．43m <C ．23m >−且0m ≠D ．43m <且23m ≠26．如果关于x 的分式方程211x mx −=+的解是负数，那么实数m 的取值范围是( ) A ．1m <−B ．1m >−且0m ≠C ．1m >−D ．1m <−且2m ≠−27．已知关于x 的分式方程122m xx x+=−−的解是非负数．则m 的取值范围是( ) A ．2mB ．2mC ．2m 且2m ≠−D ．2m <且2m ≠−28．某校八年级学生去距离学校120km 的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发1h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车的速度是x /km h ，所列方程正确的是( ) A ．1201201 1.5x x +=B ．1201201 1.5x x −=C ．1201201.51x x =− D ．1201201.51x x =+ 29．为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程．课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x 千克，依题意所列方程正确的是( ) A ．960060000.41.5x x −= B ．960060000.41.5x x −=C ．600096000.41.5x x−= D ．600096000.41.5x x−= 30．甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x 千米，则可列出方程为( ) A ．912112x x −=+ B ．129112x x −=+ C ．912112x x −=+ D ．129112x x −=+ 31．近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a 为全程10千米的普通道路，路线b 包含快速通道，全程7千米，走路线b 比路线a 平均速度提高40%，时间节省10分钟，求走路线a 和路线b 的平均速度分别是多少？设走路线a 的平均速度为x 千米/小时，依题意，可列方程为( ) A ．10710(140%)60x x −=+ B ．10710(140%)x x −=+ C ．71010(140%)60x x −=+D ．71010(140%)x x−=+32．某校学生去距离学校12km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是( ) A ．0.2/km minB ．0.3/km minC ．0.4/km minD ．0.6/km min33．某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，一部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2倍，求大型客车的速度． 34．解方程：2320x x −+=． 35．解方程：2650x x −+=． 36．（1）解方程：2220x x +−=； （2）解不等式组：32251x x x +>−⎧⎨−<⎩．37．关于x 的一元二次方程232302x x −+=根的情况，下列说法中正确的是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．无法确定38．关于x 的一元二次方程280x mx +−=的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根D ．没有实数根39．关于x 的一元二次方程2220x x m −+−=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )A ．32m <B ．3m >C ．3mD ．3m <40．若关于x 的一元二次方程2230kx x −+=有两个实数根，则k 的取值范围是( ) A ．13k <B ．13kC ．13k <且0k ≠ D ．13k且0k ≠ 41．关于x 的一元二次方程22210x ax a ++−=的根的情况是( )A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．实数根的个数与实数a 的取值有关42．若关于x 的方程22(1)40x m x m −+++=两根的倒数和为1，则m 的值为 ． 43．已知1x ，2x 是方程2220x kx +−=的两个实数根，且12(2)(2)10x x −−=，则k 的值 ． 44．已知a 、b 是方程2340x x +−=的两根，则243a a b ++−= ．45．已知关于x 的一元二次方程22220x mx m m ++−+=有两个不相等的实数根1x 、2x ，且12122x x x x ++⋅=，则实数m = ．46．如图，老李想用长为70m 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD ，并在边BC 上留一个2m 宽的门（建在EF 处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为2640m 的羊圈？（2）羊圈的面积能达到2650m 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．47．某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x 人，则可得到方程( ) A ．(1)36x x ++= B ．2(1)36x += C ．1(1)36x x x +++=D ．2136x x ++=48．根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x ，根据题意可列方程( )A ．43903.89(1)53109.85x +=B ．243903.89(1)53109.85x +=C ．243903.8953109.85x =D ．243903.89(1)53109.85x +=49．如图，在长为100m ，宽为50m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是23600m ，则小路的宽是( )A．5m B．70m C．5m或70m D．10m方程、不等式2024参考答案与试题解析一．试题（共49小题）1x 的取值范围是( ) A ．2xB ．2xC ．2x ≠D ．2x ≠−【解答】解：式子20x ∴−，解得2x ． 故选：A ．2．若代数式2x −有意义，则x 的取值范围是( ) A ．2xB ．0xC ．0x 且2x ≠D ．2x ≠【解答】解：根据二次根式有意义得：0x ， 分式有意义，得20x −≠，解得2x ≠． 综上所述，x 的取值范围是0x 且2x ≠． 故选：C ．3．下列是最简二次根式的是( )AB C D【解答】解：A =B ．C ．，符合题意；D ．=故选：C ．4( )A ．B ．CD【解答】解：A 、与B 、不是同类二次根式，故此选项不符合题意；C 、2=，而2不是同类二次根式，故此选项不符合题意；D 、故选：A ．5−( )A B ．−C D ．−【解答】解：原式63=−⨯=−=故选：C ．6．下列计算正确的是( )A =B 123= C = D ．=【解答】解：A 意；B 、==，故本选项计算错误，不符合题意；C 、=，故本选项计算正确，符合题意；D 、=故选：C ．7．已知m ，n 是一元二次方程2310x x ++=+( ) A ．13B ．3C ．3−D ．32【解答】解：m ，n 是一元二次方程2310x x ++=的两根， 3m n ∴+=−，1mn =， 0m ∴<，0n <，∴11331m n n m n m mn +−=−=−−=−=−=．故选：B ．8．计算【解答】解：原式=9．已知x ，y 都是实数， 且3y =，则3x 的值 8 ． 【解答】解： 由题意得20x −，2x −小于等于 0 ， 解得，2x =， 则3y =，38x ∴=，故答案为： 8 ．10．计算：（12⨯−（2）021|1)()2π−−+．【解答】解：（1=−==（2）021|1)()2π−−+114−+2+．11．计算：（1；（2）4【解答】解：（1+=−=（2）3=2=．12．化简：．2−．【解答】解：（1）原式62=⨯==−；（2）原式12−12=−212=−10=−．13．《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛:古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是()A．5352x yx y+=⎧⎨+=⎩B．5352x yx y+=⎧⎨+=⎩C ．5352x y x y =+⎧⎨=+⎩D ．5253x y x y =+⎧⎨=+⎩【解答】解：由题意得：5352x y x y +=⎧⎨+=⎩，故选：B ．14．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意得方程组( ) A ．119(8)(10)13x yx y y x =⎧⎨+−+=⎩B ．119(10)(8)13x yy x x y =⎧⎨+−+=⎩C ．911(8)(10)13x y x y y x =⎧⎨+−+=⎩D ．911(10)(8)13x y y x x y =⎧⎨+−+=⎩【解答】解：依题意，得911(10)(8)13x yy x x y =⎧⎨+−+=⎩．故选：D ．15．在我国古典数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”翻译成现代汉语就是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？如果设长木长x 尺、绳长y 尺，则可以列出方程组( )A ． 4.5112x y x y −=⎧⎪⎨−=⎪⎩B ． 4.5112x y x y −=⎧⎪⎨−=⎪⎩ C ． 4.5112y x x y −=⎧⎪⎨−=⎪⎩ D ． 4.5112y x x y −=⎧⎪⎨−=⎪⎩【解答】解：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺， 4.5y x ∴−=；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺， 112x y ∴−=．∴根据题意可列方程组 4.5112y x x y −=⎧⎪⎨−=⎪⎩． 故选：C ．16．我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有x 人，物价是y 钱，则下列方程正确的是( )A ．8(3)7(4)x x −=+B ．8374x x +=−C ．3487y y −+=D ．3487y y +−=【解答】解：设共有x 人，根据题意可得：8x −37=x +4， 设物价是y 钱，根据题意可得： 3487y y +−=． 故选：D ．17．若m n >，则下列不等式中正确的是( ) A ．22m n −<−B ．1212m n −<−C ．1122m n −>−D ．0n m −>【解答】解：A ．由m n >，得22m n −>−，那么A 错误，故A 不符合题意． B ．由m n >，得22m n −<−，推断出1212m n −<−，那么B 正确，故B 符合题意． C ．由m n >，得1122m n −<−，那么C 错误，故C 不符合题意．D ．由m n >，得0n m −<，那么D 错误，故D 不符合题意．故选：B ．18．如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是( )A ．1xB ．1x >C ．1x −<D ．11x −<【解答】解：由不等式组解集的定义可知，数轴所表示的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是11x −<， 故选：D ．19．解不等式组342,22,x x x −<⎧⎨+⎩①②请按下列步骤完成解答：（1）解不等式①，得 2x < ； （2）解不等式②，得 ；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集是 ． 【解答】解：（1）解不等式①，得2x <； 故答案为：2x <．（2）解不等式②，得2x −； 故答案为：2x −；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）由图可知原不等式组的解集是22x −<． 故答案为：22x −<．20．解不等式组：()223235x x x x ⎧+>+⎪⎨+<⎪⎩①②，并写出它的所有整数解．【解答】解：解不等式①，得1x >−， 解不等式②，得3x <，在数轴上表示不等式①②的解集如下：∴原不等式组的解集是13x −<<， ∴它的所有整数解有：0，1，2．21．已知1x =是方程1322m x x −=−−的解，那么实数m 的值为( )A ．2−B ．2C ．4−D ．4【解答】解：将1x =代入方程，得：132112m −=−−， 解得：2m =． 故选：B ．22．将关于x 的分式方程3121x x =−去分母可得( ) A ．332x x −= B ．312x x −= C ．31x x −= D ．33x x −=【解答】解：3121x x =−， 去分母，得：3(1)2x x −=， 整理，得：332x x −=， 故选：A ． 23．解方程13311xx x+=−−去分母，两边同乘(1)x −后的式子为( ) A ．133(1)x x +=− B ．13(1)3x x +−=− C ．133x x −+=− D ．13(1)3x x +−=【解答】解：分式方程的两侧同乘(1)x −得：13(1)3x x −−=−． 故选：B ． 24．方程32122x x x =−−−的解是 76x = ．【解答】解：去分母得：232(22)x x =−−， 去括号得：2344x x =−+， 移项合并得：67x =， 解得：76x =， 检验：把76x =代入得：71222033x −=−=≠， 则76x =是分式方程的解． 故答案为：76x =． 25．若关于x 的方程32122x mx x −=−−的解为正数，则m 的取值范围是( ) A ．23m >−B ．43m <C ．23m >−且0m ≠D ．43m <且23m ≠【解答】解：32122x mx x −=−−，去分母得，24(1)3x x m −−=， 整理得，2443x x m −+=， 解得，432mx −=， 分式方程的解为正数， 430m ∴−>且4312m−≠， 43m ∴<且23m ≠． 故选：D ．26．如果关于x 的分式方程211x mx −=+的解是负数，那么实数m 的取值范围是( ) A ．1m <−B ．1m >−且0m ≠C ．1m >−D ．1m <−且2m ≠−【解答】解：将分式方程两边同乘(1)x +，去分母可得：21x m x −=+， 移项，合并同类项得：1x m =+， 原分式方程的解是负数， 10m ∴+<，且110m ++≠，解得：1m <−且2m ≠−， 故选：D ．27．已知关于x 的分式方程122m xx x+=−−的解是非负数．则m 的取值范围是( ) A ．2mB ．2mC ．2m 且2m ≠−D ．2m <且2m ≠−【解答】解：分式方程去分母得：2m x x +−=−， 解得：22mx −=， 由分式方程的解是非负数，得到202m −，且2202m−−≠， 解得：2m 且2m ≠−， 故选：C ．28．某校八年级学生去距离学校120km 的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发1h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车的速度是x /km h ，所列方程正确的是( ) A ．1201201 1.5x x+=B ．1201201 1.5x x−=C．1201201.51x x=−D．1201201.51x x=+【解答】解：设慢车的速度为x/km h，根据题意可列方程为：12012011.5x x−=．故选：B．29．为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程．课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是()A．960060000.41.5x x−=B．960060000.41.5x x−=C．600096000.41.5x x−=D．600096000.41.5x x−=【解答】解：由题意得：960060000.41.5x x−=．故选：A．30．甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为()A．912112x x−=+B．129112x x−=+C．912112x x−=+D．129112x x−=+【解答】解：乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，且甲工程队每个月修x千米，∴乙工程队每个月修(1)x+千米．根据题意得：912112x x−=+．故选：A．31．近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高40%，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为()A．10710(140%)60x x−=+B．10710(140%)x x−=+C．71010(140%)60x x−=+D．71010(140%)x x−=+【解答】解：走路线b的平均车速比走路线a能提高40%，且走路线a的平均速度为x千米/时，∴走路线b 的平均速度为(140%)x +千米/时．根据题意得：10710(140%)60x x −=+． 故选：A ．32．某校学生去距离学校12km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是( ) A ．0.2/km minB ．0.3/km minC ．0.4/km minD ．0.6/km min【解答】解：设学生的速度为x /km min ， 由题意可得：1212202x x−=， 解得：0.3x =，经检验：0.3x =是原方程的解，且符合题意； 20.6(/)x km min ∴=，故选：D ．33．某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，一部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2倍，求大型客车的速度．【解答】解：设大型客车的速度为x /km h ，则小型客车的速度为1.2?/x km h ， 根据题意得12分钟15=小时．故列方程为：727211.25x x −=． 解得：60x =．经检验，60x =是原方程的根． 答：大型客车的速度是60/km h ． 34．解方程：2320x x −+=． 【解答】解：2320x x −+=，(1)(2)0x x ∴−−=， 10x ∴−=或20x −=，11x ∴=，22x =．35．解方程：2650x x −+=．【解答】解：分解因式得：(1)(5)0x x −−=， 10x −=，50x −=，11x =，25x =．36．（1）解方程：2220x x +−=； （2）解不等式组：32251x x x +>−⎧⎨−<⎩．【解答】解：（1）2220x x +−=， 2a =，1b =，2c =−，224142(2)17b ac ∴−=−⨯⨯−=，124b x a −±−±∴==，∴1x =，2x =； （2）32251x x x +>−⎧⎨−<⎩①②，解不等式①得1x >−， 解不等式②得：3x <，∴不等式组的解集为：13x −<<．37．关于x 的一元二次方程232302x x −+=根的情况，下列说法中正确的是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．无法确定【解答】解：2a =，3b =−，32c =， 2491230b ac ∴−=−=−<， ∴方程没有实数根．故选：C ．38．关于x 的一元二次方程280x mx +−=的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根D ．没有实数根【解答】解：△2241(8)320m m =−⨯⨯−=+>， ∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．39．关于x 的一元二次方程2220x x m −+−=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )A ．32m <B ．3m >C ．3mD ．3m <【解答】解：关于x 的一元二次方程2220x x m −+−=有两个不相等的实数根， ∴△2(2)41(2)1240m m =−−⨯⨯−=−>，解得：3m <． 故选：D ．40．若关于x 的一元二次方程2230kx x −+=有两个实数根，则k 的取值范围是( ) A ．13k <B ．13kC ．13k <且0k ≠ D ．13k且0k ≠ 【解答】解：关于x 的一元二次方程2230kx x −+=， 0k ∴≠，方程有两个实数根， ∴△2(2)430k =−−⨯，解得13k， k ∴的取值范围是13k且0k ≠， 故选：D ．41．关于x 的一元二次方程22210x ax a ++−=的根的情况是( ) A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．实数根的个数与实数a 的取值有关 【解答】解：△22(2)41(1)a a =−⨯⨯− 22444a a =−+40=>．∴关于x 的一元二次方程22210x ax a ++−=有两个不相等的实数根．故选：C ．42．若关于x 的方程22(1)40x m x m −+++=两根的倒数和为1，则m 的值为 2 ． 【解答】解：设关于x 的方程22(1)40x m x m −+++=两根为α，β， 2(1)m αβ∴+=+，4m αβ=+，两根的倒数和为1， ∴111αβ+=，∴1αβαβ+=， ∴2(1)14m m +=+，解得2m =，经检验，2m =是分式方程的解， 当2m =时，原方程为2660x x −+=， △120=>， 2m ∴=符合题意，故答案为：2．43．已知1x ，2x 是方程2220x kx +−=的两个实数根，且12(2)(2)10x x −−=，则k 的值 7 ． 【解答】解：1x ，2x 是方程2220x kx +−=的两个实数根，122kx x ∴+=−，121x x ⋅=−， 121212(2)(2)2()412()4102kx x x x x x ∴−−=⋅−++=−−⨯−+=，解得7k =． 故答案为：7．44．已知a 、b 是方程2340x x +−=的两根，则243a a b ++−= 2− ． 【解答】解：a 是方程2340x x +−=的根， 2340a a ∴+−=， 234a a ∴=−+，a ，b 是方程2340x x +−=的两根，3a b ∴+=−，243a a b ∴++− 3443a a b =−+++− 1a b =++ 31=−+2=−．故答案为：2−．45．已知关于x 的一元二次方程22220x mx m m ++−+=有两个不相等的实数根1x 、2x ，且12122x x x x ++⋅=，则实数m = 3 ．【解答】解：原方程有两个不相等的实数根， ∴△22(2)41(2)0m m m =−⨯⨯−+>，2m ∴>．1x ，2x 是关于x 的一元二次方程22220x mx m m ++−+=的两个实数根， 122x x m ∴+=−，2122x x m m ⋅=−+， 12122x x x x ++⋅=，2222m m m ∴−+−+=，解得：10m =（不符合题意，舍去），23m =， ∴实数m 的值为3．故答案为：3．46．如图，老李想用长为70m 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD ，并在边BC 上留一个2m 宽的门（建在EF 处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为2640m 的羊圈？（2）羊圈的面积能达到2650m 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．【解答】解：（1）设矩形ABCD 的边AB xm =，则边7022(722)BC x x m =−+=−． 根据题意，得(722)640x x −=， 化简，得2363200x x −+=， 解得116x =，220x =，当16x =时，722723240()x m −=−=， 当20x =时，722724032()x m −=−=．答：当羊圈的长为40m ，宽为16m 或长为32m ，宽为20m 时，能围成一个面积为2640m 的羊圈；（2）答：不能，理由：由题意，得(722)650x x −=， 化简，得2363250x x −+=， △2(36)432540=−−⨯=−<， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到2650m ．47．某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x 人，则可得到方程( ) A ．(1)36x x ++= B ．2(1)36x += C ．1(1)36x x x +++=D ．2136x x ++=【解答】解：由题意得：1(1)36x x x +++=， 故选：C ．48．根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x ，根据题意可列方程( )A ．43903.89(1)53109.85x +=B ．243903.89(1)53109.85x +=C ．243903.8953109.85x =D ．243903.89(1)53109.85x +=【解答】解：设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x ， 根据题意得，243903.89(1)53109.85x +=， 故选：B ．49．如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是23600m，则小路的宽是()A．5m B．70m C．5m或70m D．10m【解答】解：设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为(1002)x m−，宽为(502)x m−的矩形，根据题意得：(1002)(502)3600x x−−=，整理得：2753500x x−+=，解得：15x=，270x=（不符合题意，舍去），∴小路的宽是5m．故选：A．。
重难点突破 含参类方程与不等式问题目 录题型01 根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围题型02 整式方程（组）与一元一次不等式组结合求参数的问题题型03 同解方程组题型04 根据二元一次方程组解满足的情况求参数题型05 二元一次方程组整数解问题题型06 利用相反数求二元一次方程组参数题型07 已知方程的解求参数题型08 根据一元二次方程根的情况求参数题型09 根据一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围题型10 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围题型11整式方程（组）与一元一次不等式结合求参数的问题题型01 根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围1．（2023·山东淄博·中考真题）已知x =1是方程m2−x −1x−2=3的解，那么实数m 的值为（ ）A ．−2B ．2C ．−4D ．42．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程ax +2=1−3x +2的解为负数，则a 的取值范围是（ ）A ．a <−1且a ≠−2B ．a <0且a ≠−2C ．a <−2且a ≠−3D ．a <−1且a ≠−33．（2023·山东日照·中考真题）若关于x 的方程xx−1−2=3m2x−2解为正数，则m 的取值范围是（ ）A ．m >−23B ．m <43C ．m >−23且m ≠0D ．m <43且m ≠234．（2023·四川巴中·中考真题）关于x 的分式方程x +mx−2+12−x =3有增根，则m = ．5．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x 的分式方程2x−1=mx 有正整数解，则整数m 的值是（ ）A ．3B ．5C ．3或5D ．3或4题型02 整式方程（组）与一元一次不等式组结合求参数的问题6．（2020·重庆·中考真题）若关于xx +3≤a的解集为x ≤a ；且关于y 的分式方程y−a y−2+3y−4y−2=1有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之积是（ ）A ．7B ．－14C ．28D ．－567．（2023·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组x +32≤42x−a ≥2，至少有2个整数解，且关于y 的分式方程a−1y−2+42−y =2有非负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是 ．8．（2024·重庆·模拟预测）已知关于x 的一元一次不等式组2(3−x )+1<−xx +a−2<0有解且最多5个整数解，且关于y 的分式方程y +ay−3−3=43−y 的解为正整数，则满足条件的所有整数a 的和为 ．9．（2024·重庆开州·二模）若关于x 的方程x +22−x+ax x−2=−2有正整数解，且关于y 的不等式组2y−43<22a−y−1≤0至少有两个整数解，则符合条件的所有整数a 的和为 ．10．（2024·四川成都·模拟预测）若整数a 使得关于x 的分式方程ax−122−x+3=xx−2有整数解，且使得二次函数y =(a−2)x 2+2(a−1)x +a +1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a 的值之和是．题型03 同解方程组11．（2020·广东·中考真题）已知关于x，y的方程组ax+23y=−103x+y=4与x−y=2x+by=15的解相同．（1）求a，b的值；（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．12．（2021·广东·二模）解关于x、y的方程组时，小明发现方程组ax+by=2x−y=8的解和方程组5x+2y=b2x+3y=−9的解相同．(1)求方程组的解；(2)求关于t的方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0的解．题型04 根据二元一次方程组解满足的情况求参数13．（2023·四川眉山·中考真题）已知关于x,y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x−y=4，则m 的值为（）A．0B．1C．2D．314．（2022·山东聊城·中考真题）关于x，y的方程组2x−y=2k−3x−2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（）A．k≥8B．k>8C．k≤8D．k<815．（2023·四川泸州·中考真题）关于x，y的二元一次方程组2x+3y=3+ax+2y=6的解满足x+y>22，写出a的一个整数值．16．（2024·浙江宁波·模拟预测）若关于x，y的方程组2x−y=5kx+y=4k+3的解满足x−y≤5，则k的取值范围是．题型05 二元一次方程组整数解问题17．（2022·广东揭阳·模拟预测）如果关于x，y的方程组4x−3y=66x+my=26的解是整数，那么整数m的值为（ ）A．4，−4，−5，13B．4，−4，−5，−13C．4，−4，5，13D．−4，5，−5，1318．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）关于x，y的二元一次方程组kx+y=43x+y=0的解为整数，关于z的不等式组3z＞z−44z−2k−13≤1有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数k的和为（ ）A．6B．7C．11D．1219．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）已知关于x,y的二元一次方程组ax+2y=612x−y=1的解为整数，且关于z的方程z−a2−z3=1的解为非负数，求满足条件的所有整数a的和为（）A．2B．4C．9D．11题型06 利用相反数求二元一次方程组参数20．（2022·四川南充·二模）已知x、y满足方程组x+2y=2m−12x+y=5，且x与y互为相反数，则m的值为（）A．m=−2B．m=2C．m=−3D．m=321．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知关于x，y的方程组3x−5y=2ax−2y=a−5则下列结论中正确的是（）①当a=5时，方程组的解是x=10y=20；②当x，y的值互为相反数时，a=20；③当2x⋅2y=212时，a=14；④不存在一个实数a，使得x=y．A．①②④B．①②③C．②③④D．②③22．（2021·内蒙古包头·二模）若满足方程组4x+y=3m+32x−y=m−1的x与y互为相反数，则m的值为（）A．2B．−2C．11D．−11题型07 已知方程的解求参数23．（2023·湖南永州·中考真题）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为（）A．3B．−3C．7D．−724．（2021·浙江金华·中考真题）已知x=2y=m是方程3x+2y=10的一个解，则m的值是．25．（2023·江苏镇江·中考真题）若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根，则m的值为．26．（2023·四川内江·中考真题）已知a、b是方程x2+3x−4=0的两根，则a2+4a+b−3=．题型08 根据一元二次方程根的情况求参数27．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程x2−(2k−2)x+k2−1=0有两个实数根，则(k−1)2−(2−k )2的化简结果是（ ）A ．−1B ．1C ．−1−2kD ．2k−328．（2023·江苏连云港·中考真题）若关于x 的一元二次方程x 2−2x +m =0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．29．（2021·四川内江·中考真题）若关于x 的一元二次方程ax 2+4x−2=0有实数根，则a 的取值范围为 ．30．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x 的一元二次方程x 2+2x +3−k =0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若方程的两个根为α，β，且k 2=αβ+3k ，求k 的值．题型09 根据一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围31．（2023·广东潮州·二模）如果关于x 的不等式组6x−m ≥05x−n <0的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对(m,n )共有（ ）A ．42对B ．36对C ．30对D ．11对32．（2024·河南安阳·一模）已知不等式组2(x−1)>3x +12x <a，有四个整数解，则a 的取值范围为 ．33．（2023·四川宜宾·中考真题）若关于x+1>x +a①1≥52x−9②所有整数解的和为14，则整数a 的值为 ．题型10 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围34．（2023·湖北鄂州·中考真题）已知不等式组x−a >2x +1<b的解集是−1<x <1，则(a +b )2023=（ ）A ．0B ．−1C ．1D ．202335．（2023·湖北黄石·中考真题）若实数a 使关于x 的不等式组−2<x−1<3x−a >0的解集为−1<x <4，则实数a的取值范围为．36．（2023·山东聊城·≥x−23≥x的解集为x ≥m ，则m 的取值范围是 ．题型11 整式方程（组）与一元一次不等式结合求参数的问题37．（2022·四川泸州·中考真题）若方程x−3x−2+1=32−x 的解使关于x 的不等式(2−a )x−3>0成立，则实数a 的取值范围是 ．38．（2023·四川泸州·一模）已知方程3−a a−4−a =14−a ，且关于x 的不等式a ≤x <b 只有3个整数解，则b 的取值范围是 ．39．（2021·湖北荆州·中考真题）已知：a 是不等式5(a−2)+8<6(a−1)+7的最小整数解，请用配方法解关于x 的方程x 2+2ax +a +1=0．40．（2022·江苏苏州·一模）若不等式3x +2≤4x−1的最小整数解是方程23x−13mx =1的解，求m 的值．重难点突破 含参类方程与不等式问题解析目 录题型01 根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围题型02 整式方程（组）与一元一次不等式组结合求参数的问题题型03 同解方程组题型04 根据二元一次方程组解满足的情况求参数题型05 二元一次方程组整数解问题题型06 利用相反数求二元一次方程组参数题型07 已知方程的解求参数题型08 根据一元二次方程根的情况求参数题型09 根据一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围题型10 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围题型11整式方程（组）与一元一次不等式结合求参数的问题原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！题型01 根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围1．（2023·山东淄博·中考真题）已知x =1是方程m2−x −1x−2=3的解，那么实数m 的值为（ ）A ．−2B ．2C ．−4D ．4【答案】B 【分析】将x =1代入方程，即可求解．【详解】解：将x =1代入方程，得m2−1−11−2=3解得：m =2故选：B ．【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将x =1代入原方程中得到关于m 的方程．2．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程ax +2=1−3x +2的解为负数，则a 的取值范围是（ ）A ．a <−1且a ≠−2B ．a <0且a ≠−2C ．a <−2且a ≠−3D ．a <−1且a ≠−3【详解】解：去分母得：a =x +2−3，解得：x =a +1，∵分式方程ax +2=1−3x +2的解是负数，∴a +1<0，x +2≠0，即a +1+2≠0，解得：a <−1且a ≠−3，故选：D ．【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键．3．（2023·山东日照·中考真题）若关于x的方程xx−1−2=3m2x−2解为正数，则m的取值范围是（）A．m>−23B．m<43C．m>−23且m≠0D．m<43且m≠234．（2023·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程x+mx−2+12−x=3有增根，则m=．∴m =2x−5=−1，故答案为：−1．【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根．5．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x 的分式方程2x−1=mx 有正整数解，则整数m 的值是（ ）A ．3B ．5C ．3或5D ．3或4题型02 整式方程（组）与一元一次不等式组结合求参数的问题6．（2020·重庆·中考真题）若关于x x +3≤a的解集为x ≤a ；且关于y 的分式方程y−a y−2+3y−4y−2=1有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之积是（ ）A ．7B ．－14C ．28D ．－56【答案】A【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a 的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a 的值，求出之和即可．7．（2023·重庆·中考真题）若关于x的一元一次不等式组2≤42x−a≥2，至少有2个整数解，且关于y的分式方程a−1y−2+42−y=2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是．解得：a≥1且a≠5∴a的取值范围是1≤a≤6，且a≠5∴a可以取：1，3，∴1+3=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．8．（2024·重庆·模拟预测）已知关于x的一元一次不等式组2(3−x)+1<−xx+a−2<0有解且最多5个整数解，且关于y的分式方程y+ay−3−3=43−y的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为．故答案为：−20．9．（2024·重庆开州·二模）若关于x的方程x+22−x +axx−2=−2有正整数解，且关于y的不等式组2y−43<22a−y−1≤0至少有两个整数解，则符合条件的所有整数a的和为．故答案为：1．10．（2024·四川成都·模拟预测）若整数a使得关于x的分式方程ax−122−x +3=xx−2有整数解，且使得二次函数y=(a−2)x2+2(a−1)x+a+1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是．题型03 同解方程组11．（2020·广东·中考真题）已知关于x，y的方程组ax+23y=−103x+y=4与x−y=2x+by=15的解相同．（1）求a，b的值；（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．12．（2021·广东·二模）解关于x、y的方程组时，小明发现方程组ax+by=2x−y=8的解和方程组5x+2y=b2x+3y=−9的解相同．(1)求方程组的解；(2)求关于t的方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0的解．题型04 根据二元一次方程组解满足的情况求参数13．（2023·四川眉山·x,y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x−y=4，则m 的值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【分析】将方程组的两个方程相减，可得到x−y=m+3，代入x−y=4，即可解答．【详解】解：3x−y=4m+1①x+y=2m−5②，①−②得2x−2y=2m+6，∴x−y=m+3，代入x−y=4，可得m+3=4，解得m=1，故选：B．【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．14．（2022·山东聊城·中考真题）关于x，y的方程组2x−y=2k−3x−2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（）A．k≥8B．k>8C．k≤8D．k<8【答案】A【分析】由两式相减，得到x+y=k−3，再根据x与y 的和不小于5列出不等式即可求解．【详解】解：把两个方程相减，可得x+y=k−3，根据题意得：k−3≥5，解得：k≥8．所以k的取值范围是k≥8．故选：A．【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键．2，写出15．（2023·四川泸州·中考真题）关于x，y的二元一次方程组2x+3y=3+ax+2y=6的解满足x+y>2a的一个整数值．16．（2024·浙江宁波·模拟预测）若关于x，y的方程组2x−y=5kx+y=4k+3的解满足x−y≤5，则k的取值范围是．【答案】k≤3【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的解法，把方程组的解求出，即用k表示出x、y，代入不等式x−y≤5，转化为关于k的一元一次不等式，可求得k的取值范围．【详解】解：2x−y=5k①x+y=4k+3②由①+②可得：3x=9k+3，所以：x=3k+1③把③代入②得：3k+1+y=4k+3，解得：y=k+2，代入x−y≤5可得：3k+1−(k+2)≤5，解得：k≤3，故答案为：k≤3．题型05 二元一次方程组整数解问题17．（2022·广东揭阳·模拟预测）如果关于x，y的方程组4x−3y=66x+my=26的解是整数，那么整数m的值为（ ）A．4，−4，−5，13B．4，−4，−5，−13C．4，−4，5，13D．−4，5，−5，13318．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）关于x，y的二元一次方程组kx+y=43x+y=0的解为整数，关于z的不等式组3z＞z−44z−2k−13≤1有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数k的和为（ ）A．6B．7C．11D．1219．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）已知关于x,y的二元一次方程组12x−y=1的解为整数，且关于z的方程z−a2−z3=1的解为非负数，求满足条件的所有整数a的和为（）A．2B．4C．9D．11题型06 利用相反数求二元一次方程组参数20．（2022·四川南充·二模）已知x、y满足方程组x+2y=2m−12x+y=5，且x与y互为相反数，则m的值为（）A．m=−2B．m=2C．m=−3D．m=3【答案】A【分析】根据题意可得x+y=0，由方程组的解法可得3x+3y=2m+4，代入计算即可．【详解】解：x+2y=2m−1①2x+y=5②，①+②得，3x+3y=2m+4，即3（x+y）=2m+4，又∵x与y互为相反数，∴x+y=0，即2m+4=0，解得m=-2，故选：A．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法以及相反数的定义是正确解答的前提．21．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知关于x，y的方程组3x−5y=2ax−2y=a−5则下列结论中正确的是（）①当a=5时，方程组的解是x=10y=20；②当x，y的值互为相反数时，a=20；③当2x⋅2y=212时，a=14；④不存在一个实数a，使得x=y．A．①②④B．①②③C．②③④D．②③由题意得：x+y=12，把x=25−ay=15−a代入得：25-a+15-a =12，解得：a=14，本选项正确；④若x=y，则有−2x=2a−x=a−5，可得a=a-5，矛盾，故不存在一个实数a使得x=y，本选项正确．则正确的选项有②③④，故选：C．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．22．（2021·内蒙古包头·二模）若满足方程组4x+y=3m+32x−y=m−1的x与y互为相反数，则m的值为（）A．2B．−2C．11D．−11题型07 已知方程的解求参数23．（2023·湖南永州·中考真题）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为（）A．3B．−3C．7D．−7【答案】A【分析】把x=1代入2x+m=5再进行求解即可．【详解】解：把x=1代入2x+m=5得：2+m=5，解得：m=3．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤．24．（2021·浙江金华·中考真题）已知x=2y=m是方程3x+2y=10的一个解，则m的值是．【答案】2【分析】把解代入方程,得6+2m=10，转化为关于m的一元一次方程，求解即可．【详解】∵x=2y=m是方程3x+2y=10的一个解，∴6+2m=10，解得m=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一次方程求解是解题的关键．25．（2023·江苏镇江·中考真题）若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根，则m的值为．26．（2023·四川内江·中考真题）已知a、b是方程x2+3x−4=0的两根，则a2+4a+b−3=．【答案】−2【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得a+b=−3,a2+3a−4=0，从而得到a2+3a=4，然后代入，即可求解．【详解】解：∵a，b是方程x2+3x−4=0的两根，∴a+b=−3,a2+3a−4=0，∴a2+3a=4，∴a2+4a+b−3=a2+3a+a+b−3=4+(−3)−3=−2．故答案为：−2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．题型08 根据一元二次方程根的情况求参数27．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程x2−(2k−2)x+k2−1=0有两个实数根，则(k−1)2−(2−k)2的化简结果是（）A．−1B．1C．−1−2k D．2k−328．（2023·江苏连云港·中考真题）若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．【答案】m<1【分析】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，∴Δ=4−4m>0，解得：m<1．故答案为：m<1．29．（2021·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程ax2+4x−2=0有实数根，则a的取值范围为．30．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程x2+2x+3−k=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程的两个根为α，β，且k2=αβ+3k，求k的值．题型09 根据一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围31．（2023·广东潮州·二模）如果关于x的不等式组6x−m≥05x−n<0的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对(m,n)共有（ ）A．42对B．36对C．30对D．11对33．（2023·四川宜宾·中考真题）若关于x +1>x+a①1≥52x−9②所有整数解的和为14，则整数a的值为．综上，整数a的值为2或−1故答案为：2或−1．【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数的意义是解题的关键．题型10 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围34．（2023·湖北鄂州·中考真题）已知不等式组x−a>2x+1<b的解集是−1<x<1，则(a+b)2023=（ ）A．0B．−1C．1D．202335．（2023·湖北黄石·中考真题）若实数a使关于x的不等式组−2<x−1<3x−a>0的解集为−1<x<4，则实数a 的取值范围为．【答案】a≤−1/−1≥a【分析】根据不等式的性质解一元一次不等组，再根据不等式组的取值方法即可且求解．【详解】解：−2<x−1<3①x−a>0②，由①得，−1<x <4；由②得，x >a ；∵解集为−1<x <4，∴a ≤−1，故答案为：a ≤−1．【点睛】本题主要考查解不等式组，求不等式组解集，掌握解不等式组的方法，不等组的取值方法等知识是解题的关键．题型11 整式方程（组）与一元一次不等式结合求参数的问题37．（2022·四川泸州·中考真题）若方程x−3x−2+1=32−x 的解使关于x 的不等式(2−a )x−3>0成立，则实数a 的取值范围是 ．把x =1代入不等式(2−a )x−3>0得：2−a−3>0解得a <−1故答案为：a <−1【点睛】本题综合考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解题的关键是熟记相关运算法则．38．（2023·四川泸州·一模）已知方程3−a a−4−a =14−a ，且关于x 的不等式a ≤x <b 只有3个整数解，则b 的取值范围是 ．39．（2021·湖北荆州·中考真题）已知：a 是不等式5(a−2)+8<6(a−1)+7的最小整数解，请用配方法解关于x 的方程x 2+2ax +a +1=0．25 / 3140．（2022·江苏苏州·一模）若不等式3x +2≤4x−1的最小整数解是方程23x−13mx =1的解，求m 的值．。
第二单元 方程与不等式第5讲 一次方程(组)命题点1 等式的性质1．(2018·河北T7·3分)有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是(A)命题点2 一次方程(组)的概念及解法2．(2015·河北T11·2分)利用加减消元法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝－10，①5x －3y ＝6，② 下列做法正确的是(D)A ．要消去y ，可以将①×5＋②×2B ．要消去x ，可以将①×3＋②×(－5)C ．要消去y ，可以将①×5＋②×3D ．要消去x ，可以将①×(－5)＋②×23．(2011·河北T19·8分)已知⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3是关于x ，y 的二元一次方程3x ＝y ＋a 的解，求(a ＋1)(a －1)＋7的值．解：∵⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3是关于x ，y 的二元一次方程3x ＝y ＋a 的解，∴23＝3＋a.∴a ＝ 3.∴(a ＋1)(a －1)＋7＝a 2－1＋7＝3－1＋7＝9. 命题点3 一次方程(组)的应用4．(2016·河北T22·9分)已知n 边形的内角和θ＝(n －2)×180°.(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n ；若不对，说明理由；(2)若n 边形变为(n ＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x. 解：(1)甲对，乙不对．理由：∵θ＝360°，∴(n －2)×180°＝360°. 解得n ＝4.∵θ＝630°，∴(n －2)×180°＝630°.解得n ＝112.∵n 为整数，∴θ不能取630°. (2)依题意，得(n －2)×180°＋360°＝(n ＋x －2)×180°. 解得x ＝2.重难点1 一次方程(组)的解法(2017·广州)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，①2x ＋3y ＝11.②【自主解答】 解：方法一：由①，得x ＝5－y.③把③代入②，得2(5－y)＋3y ＝11.解得y ＝1. 把y ＝1代入③，得x ＝5－1＝4.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.方法二：由①，得y ＝5－x.③把③代入②，得2x ＋3(5－x)＝11.解得x ＝4. 把x ＝4代入③，得y ＝5－4＝1.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.方法三：①×3－②，得x ＝4.把x ＝4代入①，得y ＝1.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.方法四：②－①×2，得y ＝1.把y ＝1代入①，得x ＝4.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.【变式训练1】解方程：x ＋x －12＝1－x ＋23. 解：6x ＋3(x －1)＝6－2(x ＋2)．6x ＋3x ＋2x ＝3＋6－4. 11x ＝5. x ＝511., 教师提示切入点1：利用代入消元法，消去x. 切入点2：利用代入消元法，消去y. 切入点3：利用加减消元法，消去y. 切入点4：利用加减消元法，消去x.方法指导在对二元一次方程组进行消元时，要根据方程组的特点灵活选择代入消元法或加减消元法： (1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者－1时，选用代入消元法较合适； (2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法较合适；(3)当两个方程中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法较合适； (4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法较合适．易错提示利用加减消元法解方程时，将方程的两边同乘一个适当的数时，不要漏乘其中任何一项． 重难点2 一次方程(组)的实际应用(2017·海南)在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参加运土，已知5辆甲种车和2辆乙种车一次共运土64立方米，3辆甲种车和1辆乙种车一次共运土36立方米，求甲、乙两种车每辆一次分别运土多少立方米．【自主解答】 解：方法一：设甲种车每辆一次运土x 立方米，乙种车每辆一次运土y 立方米，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝64，3x ＋y ＝36.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝12. 答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．方法二：设甲种车每辆一次运土x 立方米，则乙种车每辆一次运土(36－3x)立方米，由题意，得 5x ＋2(36－3x)＝64，解得x ＝8.则36－3x ＝12.答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．方法三：设乙种车每辆一次运土x 立方米，则甲种车每辆一次运土36－x3立方米，由题意，得5×36－x 3＋2x ＝64，解得x ＝12.则36－x 3＝8.答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．方法四：设甲种车每辆一次运土x 立方米，则乙种车每辆一次运土64－5x 2立方米，由题意，得3x ＋64－5x 2＝36，解得x ＝8.则64－5x 2＝12.答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．方法五：设乙种车每辆一次运土x 立方米，则甲种车每辆一次运土64－2x5立方米，由题意，得3×64－2x 5＋x ＝36，解得x ＝12.则64－2x 5＝8.答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．【变式训练2】 (2018·长沙)随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5 200元．(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？ 解：(1)设打折前甲品牌粽子每盒x 元，乙品牌粽子每盒y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ＝600，50×0.8x ＋40×0.75y ＝5 200，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40，y ＝120. 答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．(2)80×40＋100×120－80×0.8×40－100×0.75×120＝3 640(元)． 答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3 640元．, 教师提示切入点1：设甲种车每辆一次运土x 立方米，乙种车每辆一次运土y 立方米，根据题意所述的两个等量关系列方程组，解方程组即可得出答案．切入点2：设甲种车每辆一次运土x 立方米，由等量关系：3甲＋1乙＝36得出乙种车每辆一次运土(36－3x)立方米，再根据等量关系：5甲＋2乙＝64列方程，解方程即可得出答案．切入点3：设乙种车每辆一次运土x 立方米，由等量关系：3甲＋1乙＝36得出甲种车每辆一次运土36－x3立方米，再根据等量关系：5甲＋2乙＝64列方程，解方程即可得出答案．切入点4：设甲种车每辆一次运土x 立方米，由等量关系：5甲＋2乙＝64得出乙种车每辆一次运土64－5x2立方米，再根据等量关系：3甲＋1乙＝36列方程，解方程即可得出答案．(转下页)Ｋ(接上页),切入点5：设乙种车每辆一次运土x 立方米，由等量关系：5甲＋2乙＝64得出甲种车每辆一次运土\f(64－2x,5)立方米，再根据等量关系：3甲＋1乙＝36列方程，解方程即可得出答案．,方法指导)列方程(组)的关键是寻找等量关系．寻找等量关系常用的方法有：(1)抓住不变量； (2)找关键词；(3)画线段图或列表格； (4)运用数学公式．当题中含有多个等量关系时，列方程组可降低难度．一般情况，一个等量关系只能用一次．Ｋ1．(2017·永州)若x ＝1是关于x 的方程2x －a ＝0的解，则a 的值是(B)A ．－2B ．2C ．－1D ．12．(2018·河北中考预测)若a ，b 互为倒数，则关于x 的方程－2abx ＋3＝0的解是(C)A ．x ＝0B ．x ＝－32C ．x ＝32D ．任意数3．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧26x ＋29y ＝3，①29x ＋26y ＝－3，②下列四种方法中，最简便的是(D)A ．代入消元法B ．①×29－②×26，先消去xC ．①×26－②×29，先消去yD ．①＋②，再利用代入消元法4．(2018·桂林)若|3x －2y －1|＋x ＋y －2＝0，则x ，y 的值为(D)A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1 5．(2018·石家庄裕华区一模)如图，嘉淇同学拿20元钱正在和售货员对话，且一个笔记本比1支笔贵3元，请你仔细看图，1个笔记本和1支笔的单价分别为(A)A ．5元，2元B ．2元，5元C ．4.5元，1.5元D ．5.5元，2.5元6．(2018·河北考试说明)装有一些液体的长方体玻璃容器，水平放置在桌面上时，液体的深度为6 cm ，其正面如图1所示，将容器倾斜，其正面如图2所示，已知液体部分正面的面积保持不变，当AA 1＝4 cm 时，BB 1＝(B)A ．10 cmB ．8 cmC ．6 cmD ．4 cm7．(2018·枣庄)若二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，3x －5y ＝4的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b ，则a －b ＝74．8．(2018·攀枝花)解方程：x －32－2x ＋13＝1.解：去分母，得3(x －3)－2(2x ＋1)＝6.去括号，得3x －9－4x －2＝6. 移项，得－x ＝17.系数化为1，得x ＝－17.9．(2018·嘉兴)用消元法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝5，①4x －3y ＝2②时，两位同学的解法如下：解法一：由①－②，得3x ＝3.解法二：由②，得3x ＋(x －3y)＝2，③ 把①代入③，得3x ＋5＝2.(1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有错误，请在错误处打“×”； (2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答． 解：(1)解法一中的解题过程有错误， 由①－②，得3x ＝3“×”． 应为由①－②，得－3x ＝3.(2)由①－②，得－3x ＝3，解得x ＝－1.把x ＝－1代入①，得－1－3y ＝5，解得y ＝－2.故原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.10．(2018·唐山路北区二模)某市对供水范围内的居民用水实行“阶梯收费”，具体收费标准如下表：(1)求a 的值；(2)若该户居民四月份所缴水费为71元，求该户居民四月份的用水量． 解：(1)由题意，得10a ＝23，解得a ＝2.3. 答：a 的值为2.3.(2)设该户居民四月份的用水量为x 立方米，∵用水22立方米时，水费为22×2.3＝50.6<71， ∴用水量x>22.∴22×2.3＋(x －22)×(2.3＋1.1)＝71，解得x ＝28. 答：该户居民四月份的用水量为28立方米．11．(2018·唐山丰润区一模)已知⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝k ，x －y ＝4k ＋3，如果x 与y 互为相反数，那么(C)A ．k ＝0B ．k ＝－34C ．k ＝－32D ．k ＝3412．(2018·扬州)对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b ＝2a ＋b ，例如3⊗4＝2×3＋4＝10.(1)求2⊗(－5)的值；(2)若x ⊗(－y)＝2，且2y ⊗x ＝－1，求x ＋y 的值． 解：(1)∵a ⊗b ＝2a ＋b ，∴2⊗(－5)＝2×2＋(－5)＝4－5＝－1. (2)∵x ⊗(－y)＝2，且2y ⊗x ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，4y ＋x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝79，y ＝－49.∴x ＋y ＝79－49＝13.13．(2018·河北中考预测)如图，已知数轴上一枚硬币恰好与原点O 相切，将这枚硬币沿数轴向右无滑动滚动一周，点O 恰好到达点A 处．(1)将这枚硬币从点A 开始沿坐标轴向左滚动两周，到达点B ，则点B 对应的数是－3；(2)将这枚硬币从表示数a 的点C 处开始，先向左滚动1周，得到点D ，再向右滚动5周得到点E ，最后向左滚动2周得到点F.若点D ，E ，F 所代表的数字之和为8，求a 的值．解：根据题意，点C 表示的数为a ，向左滚动1周得到点D ，则点D 表示的数为a －3，再向右滚动5周得到点E ，则点E 表示的数为a －3＋3×5，再向左滚动2周得到点F ，则点F 表示的数为a －3＋3×5－3×2，∴a －3＋(a －3＋15)＋(a －3＋15－6)＝8，解得a ＝－73.14．【数学文化】(2018·宜昌)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，是古代的一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．解：设1个大桶可以盛酒x 斛，1个小桶可以盛酒y 斛，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋y ＝3，x ＋5y ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1324，y ＝724. 答：1个大桶可以盛酒1324斛，1个小桶可以盛酒724斛．。
2023年中考数学二轮《方程与不等式》专题练习-人教版（含答案）一、选择题（共16题）1.在数轴上表示不等式﹣2≤x ＜4，正确的是（ ） A.B.C. D.2.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A. B.C.D.3.用配方法解方程2237x x +=时，方程可变形为（ ）A.273724x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.274324x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C.271416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D.2725416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4.若2211m m m m m --=--，则m 等于（ ） A.1- B.0 C.1-或1 D.1-或25.对于任意的实数x ，代数式259x x -+的值是一个（ ） A.整数B.非负数C.正数D.不能确定6.关于x 的一元一次方程3xy -2=4的解为2，则y 的值是（ ） A.y = 1B.y =-2C.y =-6D.y =-57.已知下列方程：①2x ＋3y ＝0；①x ＋3＝7；①y 2－y ＋1＝0；①3x ＝7x ＋2；①2x －3＝4x ；①73y ＝3.其中属于一元一次方程的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个8.不等式组的解集在数轴上表示为（ ）.A. B. C. D.9.在平面直角坐标系中，若点(),1P a a -在第一象限内，则a 的取值范围在数轴上表示为（ ）A. B.C. D.10.下列方程组的解为31x y =⎧⎨=⎩的是① ①A.224x y x y -=⎧⎨+=⎩ B.253x y x y -=⎧⎨+=⎩ C.32x y x y +=⎧⎨-=⎩ D.2536x y x y -=⎧⎨+=⎩ 11.已知a 、b 、c 都是实数，则关于三个不等式：a >b 、a >b +c 、c <0的逻辑关系的表述，下列正确的是( ) .A.因为a >b 、c <0所以a >b +cB.因为a >b +c ，c <0，所以a >bC.因为a >b +c ，所以a >b ，c <0D.因为a >b 、a >b +c ，所以c <012.下列方程中，有实数根的方程是( ) A.4y 10+=B.2x x 10++=C.x 1x 1x 1=-++x -13.下列方程变形中，正确的是（ ） A.方程3x ﹣2＝2x +1，移项，得3x ﹣2x ＝﹣1+2B.方程3﹣x ＝2﹣5（x ﹣1），去括号，得3﹣x ＝2﹣5x ﹣1C.方程23t ＝32，未知数系数化为1，得t ＝1D.方程2x+3＝x ，去分母得x +6＝2x14.下列一元二次方程中，两根分别为5和－7的是( ) A.7)50()(x x ++= B.7)50()(x x =－－ C.7)50()(x x +-=D.7)50()(x x +=－15.方程组3455792x y x y +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩的解是（ ）A.20.25x y =⎧⎨=-⎩B. 5.54x y =-⎧⎨=⎩C.10.5x y =⎧⎨=⎩D.10.5x y =-⎧⎨=-⎩16.如果二次函数22y x x t =++与一次函数y x =的图像两个交点的横坐标分别为m 、n ，且1m n <<，则t 的取值范围是（ ）A.2t >-B.2t <-C.14t >D.14t <二、综合题（共10题）17.用不等式表示：x 的4倍大于x 的3倍与7的差：__________.18.把分式方程311xx x -=+化成整式方程，去分母后的方程为______________________ 19.关于x 的方程（2m ﹣1）x 2+mx+2=0是一元二次方程，则m 的取值范围是_____. 20.一项工程，甲单独完成要10天，乙单独完成要15天，则由甲先做5天，然后甲、乙合做余下的部分还要_____天完成.21.买一些4分、8分、1角的邮票共15张，用币100分最多可买1角的______张。
中考数学重点复习----二次方程题型专项练习（含答案解析）1.（2022·重庆）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x ，根据题意，下列方程正确的是（ ）A ．2625(1)400x −=B ．2400(1)625x +=C ．2625400x =D ．2400625x =【答案】B【分析】第一年共植树400棵，第二年植树400（1+x ）棵，第三年植树400（1+x ）²棵，再根据题意列出方程即可．【详解】第一年植树为400棵，第二年植树为400（1+x ）棵，第三年400（1+x ）²棵，根据题意列出方程：2400(1)625x +=．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的常规应用题，解决此类题目要多理解、练习增长率相关问题．2.（2022·重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．()22001242x +=B ．()22001242x −= C ．()20012242x += D ．()20012242x −= 【答案】A【分析】平均增长率为x ，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，∴可列方程为：()22001242x +=，故选：A ． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．3.（2022·新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x ，则根据题意，可列方程为（ ）A ．8(12)11.52x +=B ．28(1)11.52x ⨯+=C ．28(1)11.52x +=D ．()28111.52x += 【答案】C【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x ，则第二个月的销售额是8(1+)x 万元，第三个月的销售额为28(1+)x 万元，即可得．【详解】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x ，则第二个月的销售额是8(1+)x 万元，第三个月的销售额为28(1+)x 万元，∴28(1+)=11.52x 故选C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够求出第二个月的销售额和第三个月的销售额．4.（2022·山东泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株楼后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（ ）A ．()316210x x −=B ．()316210x −=C ．()316210x x −=D ．36210x =【答案】A【分析】设这批椽的数量为x 株，则一株椽的价钱为3（x −1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：∵这批椽的数量为x 株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x −1）文，依题意得：3（x −1）x ＝6210，故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5.（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）A ．14B ．11C ．10D ．9【答案】B【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，由题意可得()11144x x x +++=，然后求解即可．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，由题意可得： ()11144x x x +++=，解得：1211,13x x ==−（舍去），故选B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．6．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．()50712833.6x +=B ．()50721833.6x ⨯+=C ．()25071833.6x +=D ．()()250750715071833.6x x ++++= 【答案】C【分析】根据题意，业务量由507亿件增加到833.6亿件，2020年快递业务量为833.6亿件，逐年分析即可列出方程．【详解】设从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x ，2018年我国快递业务量为：507亿件，2019年我国快递业务量为：507507x +=507(1)x +亿件，2020年我国快递业务量为：507(1)x ++2507(1)=507(1)x x x ++， 根据题意，得：()25071833.6x += 故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．7.（2021·福建中考真题）某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，那么，符合题意的方程是（ ）A ．()0.6310.68x +=B ．()20.6310.68x +=C ．()0.63120.68x +=D ．()20.63120.68x += 【答案】B【分析】设年平均增长率为x ，根据2020年底森林覆盖率＝2018年底森林覆盖率乘()21x +，据此即可列方程求解．【详解】解：设年平均增长率为x ，由题意得：()20.6310.68x +=，故选：B ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，列出方程即可．8.（2021·湖北襄阳市·中考真题）随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为x ，下面所列方程正确的是（ ）A ．()2500014050x +=B ．()2405015000x +=C ．()2500014050x −= D ．()2405015000x −= 【答案】C【分析】根据题意找到对应的等量关系：2年前的生产成本×（1-下降率）²=现在的生产成本，把相关的数据带入计算即可.【详解】设这种药品的成本的年平均下降率为x ，根据题意得：()25000-x =40501故选：C.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能从题意中找到对应的等量关系.9.（2020·广西河池?中考真题）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：1x（x﹣1）＝36，2化简，得x2﹣x﹣72＝0，解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），答：参加此次比赛的球队数是9队．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．10.（2022·浙江杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注x>），则x=_________（用百册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（0分数表示）．【答案】30%【分析】由题意：2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可．x>），则2020年新注册用户数为100【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为x（0（1+x）万，2021年的新注册用户数为100（1+x）2万户，依题意得100（1+x）2=169，解得：x1=0.3，x2=-2.3（不合题意舍去），∴x=0.3=30%，故答案为：30%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11.（2021·江苏盐城市·中考真题）劳动教育己纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为________．【答案】2x+=300(1)363【分析】此题是平均增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），结合本题，如果设平均每年增产的百分率为x，根据“粮食产量在两年内从300千克增加到363千克”，即可得出方程．【详解】解：设平均每年增产的百分率为x；第一年粮食的产量为：300（1+x）；第二年粮食的产量为：300（1+x）（1+x）＝300（1+x）2；依题意，可列方程：300（1+x）2＝363；故答案为：300（1+x）2＝363．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．12．（2021·四川宜宾市·中考真题）据统计，2021年第一季度宜宾市实现地区生产总值约652亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值960亿元，设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x，则可列方程__________．【答案】()2+=6521960x【分析】⨯+平均增长率2)=第三季度地区生产总值，按照数量根据题意，第一季度地区生产总值(1关系列方程即可得解．【详解】⨯+平均增长率2)=第三季度地区生产总值解：根据题意，第一季度地区生产总值(1列方程得：()2+=，x6521960故答案为：()2+=．x6521960【点睛】本题主要考查了增长率的实际问题，熟练掌握相关基本等量关系是解决本题的关键．13．（2021·山东枣庄市·中考真题）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程260x x n−+=的两个根，则n的值为______．【答案】8或9【分析】分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得．【详解】解：由题意，分以下两种情况：（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于x 的方程260x x n −+=的一个根， 因此有24640−⨯+=n ，解得8n =，则方程为2680x x −+=，解得另一个根为2x =，此时等腰三角形的三边长分别为2,4,4，满足三角形的三边关系定理；（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于x 的方程260x x n −+=有两个相等的实数根， 因此，根的判别式3640n ∆=−=，解得9n =，则方程为2690x x −+=，解得方程的根为123x x ==，此时等腰三角形的三边长分别为3,3,4，满足三角形的三边关系定理；综上，n 的值为8或9，故答案为：8或9．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理．14.（2022·四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？【答案】(1)20% (2)18个【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ，根据2019年投入资金2(1)x ⨯+=2021年投入的总资金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．【解析】(1)解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ，根据题意得：21000(1)1440x +=，解这个方程得，10.2x =，2 2.2x =−，经检验，0.220%x ==符合本题要求．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．(2)设该市在2022年可以改造y 个老旧小区，由题意得：80(115%)1440(120%)y ⨯+≤⨯+，解得181823y ≤． ∵y 为正整数，∴最多可以改造18个小区．答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．15.（2022·湖北宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加%m ．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%2m ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m 的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？【答案】(1)4月份再生纸的产量为500吨(2)m 的值20(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元【分析】（1）设3月份再生纸产量为x 吨，则4月份的再生纸产量为()2100x −吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可；（2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y ，5月份再生纸的产量为a 吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；【解析】(1)解：设3月份再生纸产量为x 吨，则4月份的再生纸产量为()2100x −吨， 由题意得：()2100800x x +−=，解得：300x =，∴2100500x −=，答：4月份再生纸的产量为500吨；(2)解：由题意得：500(1%)10001%6600002m m ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭， 解得：%20%m =或% 3.2m =−（不合题意，舍去）∴20m =，∴m 的值20；(3)解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y ，5月份再生纸的产量为a 吨， 21200(1)(1)(125%)1200(1)y a y y a +⋅+=+⨯+⋅∴()2120011500y += 答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．16.（2021·湖南张家界市·中考真题）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？【答案】（1）10%；（2）13.31万【分析】（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x，根据题意列出等式解出x即可；（2）直接利用（1）中求出的月平均增长率计算即可．【详解】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为x，由题意得：210(1)12.1x+=，解得：110%x=，221 10x=−（不合题意，舍去），答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%．（2）12.1(110%)13.31⨯+=（万人），答：六月份的参观人数为13.31万人．【点睛】本题考查了二次函数和增长率问题，解题的关键是：根据题目条件列出等式，求出增长率，再利用增长率来预测．17．（2021·山东东营市·中考真题）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水箱亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．【答案】（1）20%；（2）能【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x ，依题意列出关于x 的一元二次方程，求解即可；（2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可．【详解】解：（1）设亩产量的平均增长率为x ，根据题意得：()270011008x +=，解得：10.220%x ==，2 2.2x =−（舍去），答：亩产量的平均增长率为20%．（2）第四阶段的亩产量为()1008120%1209.6⨯+=（公斤），∵1209.61200>，∴他们的目标可以实现．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握2次变化的关系式是解决本题的关键．18.（2021·辽宁本溪市·中考真题）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x 元，每星期销售量为y 个．（1）请直接写出y （个）与x （元）之间的函数关系式；（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y =-2x +220；（2）当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元；（3）当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【分析】（1）根据题意中销售量y （个）与售价x （元）之间的关系即可得到结论；（2）根据题意列出方程（-2x +220）（x -40）=2400，解方程即可求解；（3）设每星期利润为w 元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题．【详解】（1）由题意可得，y =100-2（x -60）=-2x +220；（2）由题意可得，（-2x +220）（x -40）=2400，解得，170x =，280x =，∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．（3）设该网店每星期的销售利润为w 元，由题意可得w =（-2x +220）（x -40）=223008800−+−x x ， 当752b x a=−=时，w 有最大值，最大值为2450， ∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数模型，利用二次函数的性质解决最值问题．19.（2020·重庆中考真题）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A 、B 两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A 、B 两个品种各种植了10亩．收获后A 、B 两个品种的售价均为2.4元/kg ，且B 品种的平均亩产量比A 品种高100千克，A 、B 两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）求A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A 、B 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a %和2a %．由于B 品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a %，而A 品种的售价保持不变，A 、B 两个品种全部售出后总收人将增加20%9a ，求a 的值． 【答案】（1）A 品种去年平均亩产量是400、B 品种去年平均亩产量是500千克；（2）10．【解析】【分析】（1）设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 、y 千克，根据题意列出方程组，解方程组即可得到答案；（2）根据题意分别表示A 品种、B 品种今年的收入，利用总收入等于A 品种、B 品种今年的收入之和，列出一元二次方程求解即可得到答案．【详解】（1）设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 、y 千克，由题意得1002.410 2.41021600y x x y =+⎧⎨⨯+⨯=⎩， 解得400500x y =⎧⎨=⎩． 答：A ．B 两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克（2）根据题意得：()()()20244001%241%50012%216001%9a a a a ⎛⎫⨯+++⨯+=+ ⎪⎝⎭． 令a %=m ，则方程化为：()()()20244001241500122160019m m m m ⎛⎫⨯+++⨯+=+ ⎪⎝⎭． 整理得10m 2-m =0，解得：m 1=0（不合题意，舍去），m 2=0.1所以a %=0.1，所以a =10，答：a 的值为10．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，掌握列方程或方程组解应用题的方法与步骤是解题的关键．20.（2020·江苏宿迁?中考真题）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x （元/千克） 5560 65 70 销售量y （千克） 70 60 50 40（1）求y （千克）与x （元/千克）之间的函数表达式；（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）2180y x =+﹣；（2）60元/千克或80元/千克；（3）70元/千克；800元【解析】【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；（2）依题意可列出关于销售单价x 的方程，然后解一元二次方程组即可；（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．【详解】解：（1）设y 与x 之间的函数表达式为y kx b =+（0k ≠），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：55706060k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：2180k b =−⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数表达式为2180y x =−+；（2）由题意得：()()502180600x x −−+=，整理得214048000x x −+=：，解得126080x x ==，，答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克；（3）设当天的销售利润为w 元，则：()()502180w x x =−−+22(70)800x =−+﹣，∵﹣2＜0，∴当70x =时，w 最大值=800．答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．21.（2019•广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．【答案】（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．（2）2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．【解析】（1）1.5×4=6（万座）．答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据题意，得：6（1+x）2=17.34，解得：x1=0.7=70%，x2=–2.7（舍去）．答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．。
课时训练(七)一元一次不等式(组)及其应用(限时:35分钟)|夯实基础|1.[2019·广安]若m>n,下列不等式不一定成立的是()A.m+3>n+3B.-3m<-3nC.>D.m2>n22.[2019·陇南]不等式2x+9≥ (x+2)的解集是()A.x≤B.x≤-3C.x≥D.x≥-33.[2018·益阳]不等式组211-2的解集在数轴上表示正确的是 ()图K7-14.[2019·德州]不等式组2(-112-1-2的所有非负整数解的和是()A.10B.7C.6D.05.[2019·南充]若关于x的不等式2x+a≤1只有2个正整数解,则a的取值范围为 ()A.-5<a<-3B.- ≤a<-3C.-5<a≤-3D.- ≤a≤-36.[2019·聊城]若不等式组12-1无解,则m的取值范围为()A.m≤2B.m<2C.m≥2D.m>27.[2019·重庆B卷]某次知识竞赛共有20题,答对一题得10分,答错或不答扣5分,小华得分超过120分,他至少要答对的题的个数为()A.13B.14C.15D.168.[2019·绵阳]红星商店计划用不超过4200元的资金购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件,据市场行情,销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元,两种商品均售完.若所获利润大于750元,则该店进货方案有()A.3种B.4种C.5种D.6种9.[2019·株洲]若a 为有理数,且2-a 的值大于1,则a 的取值范围为 . 10.[2019·益阳]不等式组-1 0 -的解集为 .11.[2019·大庆]已知x=4是不等式ax -3a -1<0的解,x=2不是不等式ax -3a -1<0的解,则实数a 的取值范围是 . 12.[2019·包头]已知不等式组 2 9 - 1 - 1的解集为x>-1,则k 的取值范围是 .13.[2019·宜宾]若关于x 的不等式组-2-12 - 2- 有且只有两个整数解,则m 的取值范围是 .14.[2018·山西]2018年国内航空公司规定:旅客乘机时,免费携带行李箱的长,宽,高之和不超过115 cm .某厂家生产符合该规定的行李箱,已知行李箱的宽为20 cm,长与高的比为8∶11,则符合此规定的行李箱的高的最大值为cm .15.(1)解不等式:4(x -1)-12<x.(2)[2019·新疆]解不等式组: 2 ( -2 ①22 -②并把解集在数轴上表示出来.16.若不等式组2112(-的整数解是关于x的方程2x-4=ax的解,求a的值.17.[2019·荆州]为拓宽学生视野,促进书本知识与生活实践的深度融合,荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动.在此次活动中,若每位老师带队14名学生,则还剩10名学生没老师带;若每位老师带队15名学生,就有一位老师少带6名学生.现有甲、乙两种大型客车,它们的载客量和租金如表所示:2名老师.(1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人?(2)既要保证所有师生都有车坐,又要保证每辆车上至少要有2名老师,可知租车总辆数为辆.(3)学校共有几种租车方案?最少租车费用是多少? |拓展提升|18.[2019·镇江]下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组2(2-1 -0的解集的是()图K7-219.[2019·重庆B卷]若数a使关于x的不等式组-21(--2(1-有且仅有三个整数解,且使关于y的分式方程1-2-11-=-3的解为正数,则所有满足条件的整数a的值之和是() A.-3 B.-2 C.-1 D.1【参考答案】1.D2.A3.A4.A [解析]解不等式5x +2>3(x -1),得x>-2;解不等式12x -1≤ -2x ,得x ≤ ; ∴不等式组的解集为-2<x ≤ .∴不等式组的非负整数解为0,1,2,3,4,这些非负整数解的和为10. 故选A .5.C [解析]解不等式2x +a ≤1 得:x ≤1-2, 不等式有两个正整数解,一定是1和2, 根据题意得:2≤1-2<3,解得:-5<a ≤-3. 故选C .6.A [解析]解不等式1 < 2-1,得x>8,当4m ≤8时,原不等式组无解,∴m ≤2 故选A . 7.C [解析] 设小华答对的题的个数为x 题,则答错或不答的题的个数为(20-x )题,可列不等式10x -5(20-x )>120,解得x>142,即他至少要答对的题的个数为15题.故选C . 8.C [解析]设该店购进甲种商品x 件,则购进乙种商品(50-x )件, 根据题意,得:0 100( 0- 200 10 20( 0- 0解得:20≤x<25,∵x 为整数,∴x=20,21,22,23,24, ∴该店进货方案有5种. 9.a<1 10.x<-311.a ≤-1 [解析]因为x=4是不等式ax -3a -1<0的解,所以4a -3a -1<0,a<1, 因为x=2不是不等式ax -3a -1<0的解, 所以2a -3a -1≥0 所以a ≤-1,所以a ≤-1.12.k ≤-2 [解析] 解2x +9>-6x +1得x>-1.解x -k>1得x>k +1.∵不等式组的解集为x>-1,∴k +1≤-1,解得k ≤-2.13.-2≤m<1 [解析]-2-1 ① 2 - 2- ② 解不等式①得:x>-2, 解不等式②得:x ≤2 ,∴不等式组的解集为-2<x ≤2,∵不等式组只有两个整数解, ∴0≤2 <1,解得:-2≤m<1,故答案为-2≤m<1.14.55 [解析] 设长为8x cm,高为11x cm,由题意可得20+8x +11x ≤11 解得:x ≤ .∴11x ≤ .15.解:(1)化简4(x -1)-12<x 得4x -4-12<x , ∴3x<92,∴x<2,∴原不等式的解集为x<2.(2)解不等式①,得:x<2. 解不等式②,得:x>1.所以,不等式组的解集为:1<x<2. 在数轴上表示如图所示:16.解:解不等式组得-1 -所以不等式组的解集为-3<x<-1, 则满足条件的整数解为-2,把x=-2代入方程2x -4=ax ,得-4-4=-2a ,解得a=4.17.[解析] (1)设参加此次研学活动的老师有x 人,学生有y 人,根据“若每位老师带队14名学生,则还剩10名学生没老师带;若每位老师带队15名学生,就有一位老师少带6名学生” 即可得出关于x ,y 的二元一次方程组,解之即可得出结论.(2)利用租车总辆数(至少)=师生人数÷ 结合每辆客车上至少要有2名老师,即可得出租车总辆数为8辆.(3)设租35座客车m 辆,则需租30座的客车(8-m )辆,根据8辆车的座位数不少于师生人数及租车总费用不超过3000元,即可得出关于m 的一元一次不等式组,解之即可得出m 的取值范围,结合m 为正整数即可得出租车方案数.设租车总费用为w 元,根据租车总费用= 00×租用35座客车的数量+ 20×租用30座客车的数量,即可得出w 关于m 的函数关系式,再利用一次函数的性质即可解决最值问题.解:(1)设参加此次研学活动的老师有x 人,学生有y 人, 依题意,得: 1 10 1 - 解得: 1 2答:参加此次研学活动的老师有16人,学生有234人.(2)8 [解析] ∵每辆车上至少要有2名老师,∴客车总数不超过8辆,又要保证所有师生都有车坐,∴客车总数不能小于2 1= 0 (取整为8)辆,综合起来可知租车总辆数为8辆.故答案为:8.(3)设租35座客车m 辆,则需租30座的客车(8-m )辆, 依题意,得: 0(8- 2 1 00 20(8- 000解得:2≤m ≤ 12.∵m 为正整数,∴m=2,3,4,5,∴共有4种租车方案. 设租车总费用为w 元,则w=400m +320(8-m )=80m +2560, ∵80>0,∴w 的值随m 值的增大而增大, ∴当m=2时,w 取得最小值,最小值为2720. ∴学校共有4种租车方案,最少租车费用是2720元. 18.B [解析]由x +2>a 得x>a -2,A .由数轴知x>-3,则a=-1,∴-3x -6<0,解得x>-2,与数轴不符;B .由数轴知x>0,则a=2,∴3x -6<0,解得x<2,与数轴相符合;C .由数轴知x>2,则a=4,∴7x -6<0,解得x<,与数轴不符;D .由数轴知x>-2,则a=0,∴-x -6<0,解得x>-6,与数轴不符;故选B . 19.A [解析] 第一部分:解一元一次不等式组 -2 1( - ①-2 (1- ② 解不等式①,得:x ≤ 解不等式②,得:x> 2 11. 因为有且仅有三个整数解, 所以三个整数解分别为:3,2,1. 所以2 11的范围为0≤2 11<1,解得-2. ≤a<3.第二部分:求分式方程1-2-11-=-3的解,得y=2-a ,根据分式方程的解为正数和分式方程的分母不能为零,得0 1 即 2-0 2- 1解得:a<2且a ≠1. 第三部分:根据第一部分a 的范围和第二部分a 的范围,找出a 的公共范围:-2. ≤a<2且a ≠1所以满足条件的整数a 为-2,-1,0. 它们的和为:-2-1+0=-3. 故选A .。
中考数学方程(组)和不等式(组)试题(含答案)题型归纳以下是为您推荐的中考数学方程(组)和不等式(组)试题(含答案)，希望本篇文章对您学习有所帮助。
中考数学方程(组)和不等式(组)试题(含答案)一、选择题1(山西省2分)分式方程的解为A. B. C. D.【答案】B。
【考点】解分式方程。
【分析】观察可得最简公分母是2 ( +3)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解：方程的两边同乘2 ( +3)，得 +3=4 ，解得 =1.检验：把 =1代入2 ( +3)=80。
原方程的解为： =1。
故选B。
2.(山西省2分)五一节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折(标价的80%)销售，售价为2080元.设该电器的成本价为元，根据题意，下面所列方程正确的是A. B.C. D.【答案】A。
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程。
【分析】设该电器的成本价为元，根据按成本价提高30%后标价，再打8折(标价的80%)销售，售价为2080元可列出方程： (1+30%)80%=2080。
故选A。
3.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分)不等式组_+20 _-20的解集在数轴上表示正确的是【答案】B。
【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集。
【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)。
解不等式组得到﹣2不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来(向右画;向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个。
在表示解集时，要用实心圆点表示;，要用空心圆点表示。
据此观察在数轴上的表示。
故选B。
4.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分)如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是A、2.5秒B、3秒C、3.5秒D、4秒【答案】D。
2019-2020年湖北省中考数学各地区模拟试题分类（武汉市专版）（二）——《方程与不等式》一．选择题1．（2020•武汉模拟）方程4x2＝81的一次项系数为（）A．4 B．0 C．81 D．﹣81 2．（2020•武汉模拟）我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，裁一张边长为1的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF＝EB，类似地，在AB上折出点M，使AM＝AF，表示方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段是（）A．线段BM B．线段AM C．线段BE D．线段AE 3．（2020•青山区模拟）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：今有甲种袋子中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙种袋子中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲种袋子比乙种袋子轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可建立方程为（）A．B．C．D．4．（2020•武汉模拟）如果m、n是一元二次方程x2+x＝4的两个实数根，那么多项式2n2﹣mn﹣2m的值是（）A．16 B．14 C．10 D．6 5．（2020•武汉模拟）关于x的方程2x2+3x﹣7＝0的根的情况，正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根6．（2020•武汉模拟）将关于x的一元二次方程x（x+2）＝5化成一般式后，a、b、c的值分别是（）A．1，2，5 B．1，﹣2，﹣5 C．1，﹣2，5 D．1，2，﹣5 7．（2020•武汉模拟）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根，则x1+x2+x1x2的值是（）A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．1 8．（2020•武汉模拟）栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？歌谣大意是：一群乌鸦落在一片树上，如果三个乌鸦落在一棵树上，那么就有五个乌鸦没有树可落；如果五个乌鸦落在一棵树上，那么就有一棵树没有落乌鸦，请问乌鸦和树各多少？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（）A．B．C．D．9．（2020•硚口区模拟）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）A．B．C．D．10．（2020•武汉模拟）某生产车间共90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使1个螺栓配套2个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套，设生产螺栓x人，生产螺帽y人，由题意列方程组（）A．B．C．D．11．（2020•江汉区校级一模）若关于x的不等式2x﹣a≤0的正整数解是1，2，3，则a的取值范围是（）A．6＜a＜7 B．7＜a＜8 C．6≤a＜7 D．6≤a＜8 12．（2020•武汉模拟）关于x的方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤3 B．m≥3 C．m≤3且m≠2 D．m＜3 13．（2020•武汉模拟）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（）A．3（x﹣2）＝2x+9 B．3（x+2）＝2x﹣9C．+2＝D．﹣2＝二．填空题14．（2020•武汉模拟）已知3是一元二次方程x2+m＝0的一个根，则该方程的另一个根是．15．（2020•武汉模拟）如果关于x的一元二次方程mx2+4x﹣1＝0没有实数根，那么m的取值范围是．16．（2020•武汉模拟）已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点，…，第n行有n个点，容易发现，三角形点阵中前4行的点数和是10．若三角形点阵中前a行的点数之和为300，则a的值为．17．（2020•武汉模拟）一元二次方程x（x﹣5）＝0的根为．18．（2020•武汉模拟）为响应全民阅读活动，某校面向社会开放图书馆．自开放以来，进馆人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆872人次．若进馆人次的月增长率相同，为求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程为．19．（2020•武汉模拟）若x＝1为方程x2﹣m＝0的一个根，则m的值为．20．（2020•武昌区校级模拟）已知﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是三．解答题21．（2020•硚口区模拟）解方程：3（2x+3）＝11x﹣6．22．（2020•武汉模拟）解一元二次方程：x2+2x﹣1＝0．23．（2020•武汉模拟）已知3是一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根，求a的值和方程的另一根．24．（2020•硚口区模拟）为了抓住武汉园博园元宵灯会的商机，某商店决定购进A、B两种艺术纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元，若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元．（1）求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过765元，那么该商店共有几种进货方案？25．（2019•江夏区校级模拟）商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A 型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）商场决定用不超过14000元从厂家购进A、B两种型号的空气净化器共10台，且B 型空气净化器的台数少于A型空气净化器的台数的2倍，问商场有几种进货方案？如果这10台空气净化器在进价的基础上都加价50%销售并售完，采用上面哪一方案利润最大．（3）为了增大B型空气净化器的销量，电器商社决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天电器商社销售B型空气净化器的利润为3200元，请问电器商社应将B型空气净化器的售价定为多少元？26．（2019•东西湖区模拟）某商店计划一次购进两种型号的手机共110部，销售一部A型手机比销售一部B型手机获得的利润多50元，销售相同数量的A型手机和B型手机获得的利润分别为3000元和2000元，其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍，且商店最多购进B型手机50台．（1）求每部A型手机和B型手机的销售利润分别为多少元？（2）设购进B型手机n部，销售手机的总利润为y元，怎么进货才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜70）元．若商店保持两种手机的售价不变，请设计出手机销售总利润最大的进货方案．27．（2019•武汉一模）母亲节前夕，某淘宝店主从厂家购进A、B两种礼盒．已知A、B两种礼盒的单价比为2：3，单价和为200元（1）求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？（2）该店主进这两种礼盒花费不超过9720元，B种礼盒的数量是A种礼盒数量的2倍多1个，且B种礼盒的数量不低57个，共有几种进货方案？28．（2019•青山区模拟）为迎接军运会，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，某体育器材公司有A，B两种型号的健身器可供选择．（1）体育器材公司2017年每套A型健身器的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2019年每套售价为1.6万元，求每套A型健身器年平均下降率n；（2）2019年市政府经过招标，决定年内采购并安装劲松公司A，B两种型号的健身器材共80套，采购专项费总计不超过112万元，不少于110万元．采购合同规定：每套A型健身器售价为1.6万元，每套B型健身器售价为1.5（1﹣n）万元．①有几种采购方案？②安装完成后，若每套A型和B型健身器一年的养护费分别是购买价的a%（5≤a≤8）和10%．市政府计划支出W万元进行养护．问每年养护费的最低费用为多少？29．（2019•硚口区模拟）某公司根据市场需求销售A、B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等．（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？（2）该公司计划用不超过9.8万元购进A，B两种型号的净水器共50台，其中A型、B 型净水器每台售价分别为2500元、2180元，设A型净水器为x台．①求x的取值范围．②若公司决定从销售A型净水器的利润中每台捐献a（100＜a＜150）元给贫困村饮水改造爱心工程，求售完这50台净水器后获得的最大利润．参考答案一．选择题1．解：方程4x2＝81的一般形式是4x2﹣81＝0，它的一次项系数是0，故选：B．2．解：设AM＝AF＝x，由题意知EF＝BE＝，在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，即1+（）2＝（x+）2，整理得x2+x﹣1＝0，即AM为方程x2+x﹣1＝0的一个正数根．故选：B．3．解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，依题意，得：．故选：C．4．解：∵n是一元二次方程x2+x＝4的根，∴n2+n＝4，即n2＝﹣n+4，∵m、n是一元二次方程x2+x＝4的两个实数根，∴m+n＝﹣1，mn＝﹣4，∴2n2﹣mn﹣2m＝2（﹣n+4）﹣mn﹣2m＝﹣2（m+n）﹣mn+8＝2+4+8＝14．故选：B．5．解：由题意可知：△＝9+4×2×7＞0，故选：A．6．解：方程整理得：x2+2x﹣5＝0，则a，b，c的值分别是1，2，﹣5，故选：D．7．解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根，∴x1+x2+x1x2＝3+2＝5．故选：C．8．解：设诗句中谈到的鸦为x只，树为y棵，则可列出方程组为：．故选：D．9．解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：，故选：D．10．解：设生产螺栓x人，生产螺帽y人，根据总人数可得方程x+y＝90；根据生产的零件个数可得方程2×15x＝24y，可得方程组：．故选：C．11．解：解不等式2x﹣a≤0，得：x≤，∵不等式2x﹣a≤0的正整数解是1，2，3，∴3≤＜4，解得：6≤a＜8，故选：D．12．解：当m﹣2＝0，即m＝2时，方程变形为2x+1＝0，解得x＝﹣；当m﹣2≠0，则△＝22﹣4（m﹣2）≥0，解得m≤3且m≠2，综上所述，m的范围为m≤3．故选：A．13．解：设有x辆车，则可列方程：3（x﹣2）＝2x+9．故选：A．二．填空题（共7小题）14．解：将x＝3代入方程，得：9+m＝0，则m＝﹣9，∴方程为x2﹣9＝0，解得x＝±3，∴方程的另一个根为﹣3，故答案为：﹣3．15．解：根据题意得m≠0且△＝42﹣4m×（﹣1）＜0，解得m＜﹣4．故答案为：m＜﹣4．16．解：依题意，得：1+2+3+…+a＝300，整理，得：a2+a﹣600＝0，解得：a1＝24，a2＝﹣25（不合题意，舍去）．故答案为：24．17．解：方程x（x﹣5）＝0，可得x＝0或x﹣5＝0，解得：x1＝0，x2＝5，故答案为：x1＝0，x2＝518．解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：200+200（1+x）+200（1+x）2＝872，故答案为：200+200（1+x）+200（1+x）2＝872．19．解：将x＝1代入x2﹣m＝0，m＝1，故答案为：1．20．解：设方程的另一根为a，∵﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，∴﹣3+a＝4，解得a＝7，故答案为：7．三．解答题（共9小题）21．解：3（2x+3）＝11x﹣6，6x+9＝11x﹣6，9+6＝11x﹣6x，15＝5x，x＝3．22．解：方程变形得：x2+2x＝1，配方得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2，开方得：x+1＝±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．23．解：将x＝3代入x2﹣2x+a＝0中得32﹣6+a＝0，解得a＝﹣3，将a＝﹣3代入x2﹣2x+a＝0中得：x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，所以a＝﹣3，方程的另一根为﹣1．24．解：（1）设A、B两种纪念品的价格分别为x元和y元，则，解得．答：A、B两种纪念品的价格分别为10元和5元．（2）设购买A种纪念品t件，则购买B种纪念品（100﹣t）件，则750≤5t+500≤765，解得50≤t≤53，∵t为正整数，∴t＝50，51，52，53，即有四种方案．第一种方案：购A种纪念品50件，B种纪念品50件；第二种方案：购A种纪念品51件，B种纪念品49件；第三种方案：购A种纪念品52件，B种纪念品48件；第四种方案：购A种纪念品53件，B种纪念品47件．25．解：（1）设每台B型空气净化器的进价为x元，则每台A型净化器的进价为（x+300）元，根据题意得：，解得：x＝1200，经检验，x＝1200是原方程的根，∴x+300＝1500．答：每台B型空气净化器的进价为1200元，每台A型空气净化器的进价为1500元．（2）设A型空气净化器购进x台，则B型空气净化器（10﹣x）台．由1500x+1200（10﹣x）≤14000和10﹣x＜2x解得x的范围＜x≤，可取4，5，6三种方案．当x＝6时，y最大＝6900元．（3）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得：（x﹣1200）（4+）＝3200，整理得：（x﹣1600）2＝0，解得：x1＝x2＝1600．答：电器商社应将B型空气净化器的售价定为1600元．26．解：（1）设每部A型手机的销售利润为x元，每部B型手机的销售利润为y元，根据题意，得：，答：每部A型手机的销售利润为150元，每部B型手机的销售利润为100元；（2）设购进B型手机n部，则购进A型手机（110﹣n）部，则y＝150（110﹣n）+100n＝﹣50n+16500，其中，110﹣n≤2n，即n≥36，∴y关于n的函数关系式为y＝﹣50n+16500 （36≤n≤50）；∵﹣50＜0，∴y随n的增大而减小，∵n≥36，且n为整数，∴当n＝37时，y取得最大值，最大值为﹣50×37+16500＝14650（元），答：购进A型手机73部、B型手机37部时，才能使销售总利润最大；（3）设购进B型手机n部，则购进A型手机（110﹣n）部，根据题意，得：y＝150（110﹣n）+（100+m）n＝（m﹣50）n+16500，其中，36≤n≤50（n为整数），①当30＜m＜50时，y随n的增大而减小，∴当n＝37时，y取得最大值，即购进A型手机73部、B型手机37部时销售总利润最大；②当m＝50时，m﹣50＝0，y＝16500，即商店购进B型电脑数量满足36≤n≤50的整数时，均获得最大利润；③当50＜m＜70时，y随n的增大而增大，∴当n＝50时，y取得最大值，即购进A型手机60部、B型手机50部时销售总利润最大．27．解：（1）设A种礼盒单价为x元，B种礼盒单价为y元，依据题意得：，答：A种礼盒单价为80元，B种礼盒单价为120元；（2）设购进A种礼盒a个，B种礼盒（2a+1）个，依据题意可得：，解得：28≤a≤30，∵a的值为整数，∴a的值为：28、29、30，∴共有三种进货方案．28．解：（1）依题意列方程，2.5（1﹣n）2＝1.6（1﹣n）2＝1﹣n＝±1﹣n＝或1﹣n＝﹣解得，n＝或n＝∵0＜n＜1∴n＝．（2）①设采购A型号健身器材x套，采购B型号健身器材则（80﹣x）套，采购专项总费用为y元．依题意，y＝1.6x+1.5（1﹣n）（80﹣x）．把n＝代入上式得，y＝1.6x+1.2（80﹣x）整理得，y＝0.4x+96．由题意，110≤y≤112∴110≤0.4x+96≤112．解得，35≤x≤40．又∵x应为整数∴x＝35，36，37，38，39，40．故有6套方案．②依题意，W＝1.6•a%x+1.2×10%（80﹣x）整理得，W＝（1.6•a%﹣0.12）x+9.6．∵5≤a≤8∴﹣0.04≤1.6•a%﹣0.12≤0.0008故当a＝5时，即W＝﹣0.04x+9.6时应有W的最小值．又∵﹣0.04＜0∴W随x的增大而减小∴当x＝40时，由W的最小值为8．答：（1）年平均下降率为．（2）①有6种方案．②每年养护费的最低费用为8万元．29．解：（1）设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为（m﹣200）元，根据题意得：，解得：m＝2000，经检验，m＝2000是分式方程的解，∴m﹣200＝1800．答：A型净水器每台的进价为2000元，B型净水器每台的进价为1800元；（2）①根据题意得：2000x+1800（50﹣x）≤98000，解得：x≤40∴x的取值范围为：0≤x≤40且为x整数；②总利润w＝（2500﹣2000）x+（2180﹣1800）（50﹣x）﹣ax＝（120﹣a）x+19000，∵100＜a＜150，∴i）．当100＜a＜120时，120﹣a＞0，w随x增大而增大，∴当x＝40时，w取最大值，最大值为（120﹣a）×40+19000＝23800﹣40a，ii）．当a＝120时，w为一个定值w＝0+19000＝19000，iii）当120＜a＜150时，120﹣a＜0，w随x的增大而减小，∴当x＝0时，w取最大值，其最大值为：（120﹣a）×0+19000＝19000，综上，当100＜a＜120时，19000＜23800﹣40a＜19800，∴售完这50台净水器后获得的最大利润为23800﹣40a．。
热点专项练(二) 方程与不等式
类型一 解不等式或不等式组
1.(2017·浙江舟山)小明解不等式≤1的过程如图.请指出他解答过程中错误步骤的序号,
并写出正确的解答过程.
解:去分母,得3(1+x)-2(2x+1)≤1. ①
去括号,得3+3x-4x+1≤1. ②
移项,得3x-4x≤1-3-1. ③
合并同类项,得-x≤-3. ④
两边都除以-1,得x≤3. ⑤
解错误的是①②⑤,正确解答过程如下:
去分母,得3(1+x)-2(2x+1)≤6,
去括号,得3+3x-4x-2≤6,
移项,得3x-4x≤6-3+2,
合并同类项,得-x≤5,
两边都除以-1,得x≥-5.
2.(2018·山东日照)实数x取哪些整数时,不等式2x-1>x+1与x-1≤7-x都成立?
解解不等式组
解不等式①,得x>2.
解不等式②,得x≤4.
所以不等式组的解集为2
类型二 列方程(组)解应用题
3.(2018·湖南张家界)列方程解应用题:《九章算术》中有“盈不足术”的问题,原文如下:“今有
共買羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.问人数、羊價各幾何?”题意是:若干人共同出资买羊,
每人出5元,则差45元;每人出7元,则差3元.求人数和羊价各是多少?
解设买羊的有x人,则羊价为(5x+45)元.
根据题意,得5x+45=7x+3.
解得x=21.
5×21+45=150(元).
答:买羊人有21人,羊价为150元.
4.(2018·山东聊城)建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程.某工程公司承建的一段路基工
程的施工土方量为120万立方,原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150
天完成.由于特殊情况需要,公司抽调甲队外援施工,由乙队先单独施工40天后甲队返回,两队又共
同施工了110天,这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方.
(1)问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方?
(2)在抽调甲队外援施工的情况下,为了保证150天完成任务,公司为乙队新购进了一批机械来提高
效率,那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务?
解(1)设甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为x万立方,y万立方,
由题意得解得
答:甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为0.42万立方,0.38万立方.
(2)设乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高m万立方才能保证按时完成任务,由题意
得150m≥120-103.2,
解得m≥0.112.
答:乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高0.112万立方才能保证按时完成任务.
类型三 一元二次方程的应用
5.(2017·安徽合肥模拟)某种商品的标价为400元/件,经过两次降价后的价格为324元/件,并且
两次降价的百分率相同.
(1)求该种商品每次降价的百分率.
(2)若该种商品进价为300元/件,两次降价共售出此种商品100件,为使两次降价销售的总利润不
少于3 210元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少件?
解(1)设该种商品每次降价的百分率为x%,
依题意得400×(1-x%)2=324,
解得x=10或x=190(舍去).
答:该种商品每次降价的百分率为10%.
(2)设第一次降价后售出该种商品m件,则第二次降价后售出该种商品(100-m)件,
第一次降价后的单件利润为400×(1-10%)-300=60(元);
第二次降价后的单件利润为324-300=24(元).
依题意得60m+24×(100-m)=36m+2400≥3210,解得m≥22.5.
所以m≥23.
答:为使两次降价销售的总利润不少于3210元,第一次降价后至少要售出该种商品23件.
