(课标通用)2019年中考数学总复习热点专项练2--方程与不等式(含答案)

2.3 一元二次方程及其应用一、解一元二次方程1．（2024安徽中考第15题）解方程：223-=x x2.（2019安徽中考第15题）解方程：(x−1)2=43．（2019安徽中考第16题）解方程：x2−2x＝4．二、一元二次方程根的判别式4．（2020安徽中考第5题）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2+1=2x B．x2+1=0C．x2−2x=3D．x2−2x=05．（2018安徽中考第7题）若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）A．−1B．1C．−2或2D．−3或16．（2022安徽中考第12题）若一元二次方程2x2−4x+m=0有两个相等的实数根，则m=．三、一元二次方程的实际应用7．（2017安徽中考第8题）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x，则x满足（）A.16(1+2x)=25B.25(1−2x)=16C.16(1+x)2=25D.25(1−x)2=168．（2015安徽中考第6题）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1.4（1＋x）＝4.5B．1.4（1＋2x）＝4.5C．1.4（1＋x）2＝4.5D．1.4（1＋x）＋1.4（1＋x）2＝4.5参考答案与解析一、解一元二次方程1．（2024安徽中考第15题）解方程：223x x -=【答案】13x =，21x =-【详解】解：∵223x x -=，∴223=0x x --，∴(3)(1)0x x -+=，∴13x =，21x =-．2.（2019安徽中考第15题）解方程：(x −1)2=4【答案】x 1＝3，x 2＝−1【详解】解：直接开平方，得 x −1= ±2，解得：x 1＝3，x 2＝−1．3．（2019安徽中考第16题）解方程：x 2−2x ＝4．【答案】x 1＝1+√5，x 2＝1−√5【详解】解：配方x 2−2x +1＝4+1∴（x −1）2＝5∴x ＝1±√5∴x 1＝1+√5，x 2＝1−√5．二、一元二次方程根的判别式4．（2020安徽中考第5题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A ．x 2+1=2xB ．x 2+1=0C ．x 2−2x =3D ．x 2−2x =0 【答案】A【详解】A.x 2+1=2x 变形为x 2−2x +1=0，此时△=4−4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A 正确；B.x 2+1=0中△=0−4=−4＜0，此时方程无实数根，故选项B 错误；C.x 2−2x =3整理为x 2−2x −3=0，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误；D.x 2−2x =0中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D错误.故选：A.5．（2018安徽中考第7题）若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）A．−1B．1C．−2或2D．−3或1【答案】A【详解】解：x(x+1)+ax=0，△x2+(a+1)x=0，由方程有两个相等的实数根，可得△=（a+1）2−4×1×0=0，解得：a1=a2=−1，故选A．6．（2022安徽中考第12题）若一元二次方程2x2−4x+m=0有两个相等的实数根，则m=．【答案】2【详解】解：由题意可知：a=2，b=−4，c=m△=b2−4ac=0，△16−4×2×m=0，解得：m=2．故答案为：2．三、一元二次方程的实际应用7．（2017安徽中考第8题）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x，则x满足（）A.16(1+2x)=25B.25(1−2x)=16C.16(1+x)2=25D.25(1−x)2=16【答案】D【详解】第一次降价后的而价格为25（1−x），第一次降价后的而价格为25(1−x)2，则，25(1−x)2=16,故选答案D.8．（2015安徽中考第6题）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1.4（1＋x）＝4.5B．1.4（1＋2x）＝4.5C．1.4（1＋x）2＝4.5D．1.4（1＋x）＋1.4（1＋x）2＝4.5【答案】C【详解】解：设2015年与2016年这两年的平均增长率为x，由题意得：1.4（1+x）2=4.5，故选C．。

中考数学总复习《二元一次方程组》专项测试卷(附答案)一、单选题(共12题；共24分)1．方程组 {y =2x 3x +y =15,的解是（ ） A ．{x =3y =6,B ．{x =4y =3, C ．{x =4y =8,D ．{x =2y =3,2．以下是方程3x +2y =12的一个解的是（ ）A ．{x =−1y =2B ．{x =2y =−1C ．{x =2y =3D ．{x =3y =23．如图，在某张桌子上放相同的木块， R =32 ， S =96 ，则桌子的高度是（ ）A ．63B ．58C ．60D ．644．已知{x =1，y =−2是关于x ，y 的二元一次方程ax +y =1的一个解，那么a 的值为（ ） A ．3B ．1C ．-1D ．-35．已知关于x 、y 的方程组 {x +y =1−ax −y =3a +5 ，满足 x ≥12y ，则下列结论：①a ≥−2 ；②a =−53时， x =y ；③当 a =−1 时，关于x 、y 的方程组{x +y =1−ax −y =3a +5 的解也是方程 x +y =2 的解；④若 y ≤1 ，则 a ≤−1 ，其中正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．一个长方形的长减少3cm ，宽增加2cm ，就成为一个正方形，并且长方形的面积与正方形的面积相等.如果设这个长方形的长为xcm ，宽为ycm ，那么所列方程组正确的是（ ）A ．{x +3=y −2(x +3)(y −2)=xyB ．{x −3=y +2(x −3)(y +2)=xyC ．{3−x =y +2(3−x)(y +2)=xyD ．{x −2=y +3(x −2)(y +3)=xy7．若 |b +2|+(a −3)2=0 ，则 b a 的值为（ ）A ．﹣bB ．−18C ．﹣8D ．88．已知关于 x,y 的二元一次方程组 {3x +y =−4m +2x −y =6 的解满足 x +y <3 ，则m 的取值范围是（ ） A ．m >−52B ．m <−52C ．m >52D ．m <529．已知关于x ，y 的二元一次方程ax +b =y ，当x 取不同值时，对应y 的值分别如下表所示：x … －1 0 1 2 3 … y…321－1…A ．x <0B ．x >0C ．x <2D ．x >210．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2（见下页）．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y 的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是{3x +2y =19x +4y =23，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为A ．{2x +y =114x +3y =27B ．{2x =y =114x +3y =22C ．{3x +2y =19x +4y =23D ．{2x +y =64x +3y =2711．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为（ ） A ．54B ．45C ．27D ．7212．用代入消元法解方程组 {3x −y =2，①y =1−2x ，② 时，把②代入①，得（ ）A ．3x-1-2x= 2B ．3x-（1-2x ）= 2C ．3x+（1-2x ）=2D ．3（1-2x ）-y=2二、填空题(共6题；共6分)13．若 (a −1)2+|b −2|=5 ，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为 14．如图，将长方形ABCD 分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形．若灰色长方形的长与宽之比为5：3，则AD ：AB=15．为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品（必须保证买两种），共花35元．毽子单价3元，跳绳单价5元，关于购买毽子和跳绳两种体育用品的数量购买的方案共有种．16．如果√x−2+（2y+1）2=0，那么xy=17．方程x2-y2=31的正整数解为。

初三数学总复习辅导资料2方程与不等式一、方程与方程组 二、不等式与不等式组知识结构及内容： 1.几个概念2.一元一次方程 （一）方程与方程组3.一元二次方程4.方程组5.分式方程6.应用1.概念：方程、方程的解、解方程、方程组、方程组的解2.一元一次方程：解方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化一（未知项系数不能为零）例题：.解方程：（1） 3131=+-x x （2）x x x -=--+22132 解：（3） 关于x 的方程mx+4=3x+5的解是x=1，则m= 。

解：3.一元二次方程： （1） 一般形式：()002≠=++a c bx ax（2）解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法求根公式()002≠=++a c bx ax ()042422≥--±-=ac b aac b b x 例题：①、解下列方程：（1）x 2－2x ＝0； （2）45－x 2＝0；（3）(1－3x )2＝1； （4）(2x ＋3)2－25＝0.（5）（t －2）（t +1）=0； （6）x 2＋8x －2＝0(7 )2x 2－6x －3＝0； （8）3（x －5）2＝2（5－x ）解：② 填空：（1）x 2＋6x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；（2）x 2－8x ＋（ ）＝（x － ）2； （3）x 2＋23x ＋（ ）＝（x ＋ ）2 （3）判别式△＝b ²－4ac 的三种情况与根的关系当0>∆时 ，当0=∆时 当0<∆时没有实数根。

当△≥0时 有两个实数根例题．①．（无锡市）若关于x 的方程x 2＋2x ＋k ＝0有两个相等的实数根，则k 满足( )A.k ＞1B.k ≥1C.k ＝1D.k ＜1 ②（常州市）关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x 根的情况是（ ） （A ）有两个不相等实数根 （B ）有两个相等实数根 （C ）没有实数根 （D ）根的情况无法判定③．（浙江富阳市）已知方程022=++q px x 有两个不相等的实数根，则p 、q 满足的关系式是（ ）A 、042>-q pB 、02>-q pC 、042≥-q pD 、02≥-q p （4）根与系数的关系：x 1＋x 2=ab-，x 1x 2=a c例题： （浙江富阳市）已知方程011232=-+x x 的两根分别为1x 、2x ，则2111x x + 的值是（ ）A 、112 B 、211 C 、112- D 、211-4.方程组：−−−−→−−−−→代入消元代入消元加减消元加减消元三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程 二元(三元)一次方程组的解法：代入消元、加减消元例题：解方程组⎩⎨⎧=-=+.82,7y x y x解 解方程组20328x y x y -=⎧⎨+=⎩解解方程组：11233210x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ 解解方程组：128x y x y -=⎧⎨+=⎩解解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝93（x ＋y ）＋2x ＝33解5.分式方程：分式方程的解法步骤：（1） 一般方法：选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验 （2） 换元法例题：①、解方程：211442-=+-x x 的解为 065422=++-x x x 根为 ②、当使用换元法解方程03)1(2)1(2=-+-+x x x x 时，若设1+=x x y ，则原方程可变形为（ ）A ．y 2＋2y ＋3＝0B ．y 2－2y ＋3＝0C ．y 2＋2y －3＝0D ．y 2－2y －3＝0（3）、用换元法解方程433322=-+-xx x x 时，设x x y 32-=，则原方程可化为（ ） （A ）043=-+y y （B ）043=+-y y （C ）0431=-+y y （D ）0431=++yy 6.应用：（1）分式方程（行程、工作问题、顺逆流问题） （2）一元二次方程（增长率、面积问题） （3）方程组实际中的运用例题：①轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.（提示：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度）解：②乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城.已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/时，结果两辆车同时到达C城.求两车的速度解③某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）解④已知等式 (2A-7B) x+(3A-8B)=8x+10对一切实数x都成立，求A、B的值解⑤某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元.捐款情况如下表：2 3表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.若设捐款2元的有x名同学,捐款3元的有y名同学,根据题意,可得方程组A、272366x yx y+=⎧⎨+=⎩B、2723100x yx y+=⎧⎨+=⎩C、273266x yx y+=⎧⎨+=⎩D、2732100x yx y+=⎧⎨+=⎩解⑥已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数. 解⑦一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.解：1几个概念（二）不等式与不等式组2不等式3不等式（组）1.几个概念：不等式（组）、不等式（组）的解集、解不等式（组）2.不等式：（1）怎样列不等式：1．掌握表示不等关系的记号2．掌握有关概念的含义，并能翻译成式子．(1)和、差、积、商、幂、倍、分等运算．(2)“至少”、“最多”、“不超过”、“不少于”等词语．例题：用不等式表示：①a为非负数，a为正数，a不是正数解：②(2)8与y的2倍的和是正数；(3)x与5的和不小于0；(5)x的4倍大于x的3倍与7的差；解：（2）不等式的三个基本性质不等式的性质1：如果a>b ，那么a ＋c>b ＋c ，a －c>b －c推论：如果a ＋c>b ，那么a>b －c 。

第1课时方程（组）与不等式（组）问题类型之一 根据图表信息列方程(组)或不等式解决问题 在具体的生活中根据图示得到方程或不等式，由此解决实际问题，根本在于得到数量之间的关系。

1.（•河北省）如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是 g ．【解析】由天平的平衡得到巧克力和果冻重量之间的数量关系设每块巧克力的重量为x 克，每块果冻的重量为y 克，由题意列方程组得：⎩⎨⎧=+=5023y x yx ，解方程组即可。

2.（•济南市）教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同．请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格．【答案】解：设康乃馨每支x 元，水仙花每支y 元由题意得：3192218x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：54x y =⎧⎨=⎩ 第三束花的价格为353417x y +=+⨯= 答：第三束花的价格是17元．3.（•济南市）某厂工人小王某月工作的部分信息如下： 信息一：工作时间：每天上午8∶20~12∶00，下午14∶00~16∶00，每月25元；信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．生产产品件数与所用时间之间的关系见下表： 生产甲产品件数(件)生产乙产品件数(件)所用总时间(分)10 10 350 3020850信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元． 根据以上信息，回答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？（2）小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？【解析】通过表格当中的信息，我们可以利用列方程组来求出生产甲、乙两种产品的时间，然后利用列函数关系式表示出小王得到的总钱数，然后利用一次函数的增减性求出钱数的最大值.【答案】（1）解：设生产一件甲种产品需x 分，生产一件乙种产品需y 分，由题意得：10103503020850x y x y +=⎧⎨+=⎩即353285x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解这个方程组得：1520x y =⎧⎨=⎩ ∴生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分．（2）解：设生产甲种产品用x 分，则生产乙种产品用(25860)x ⨯⨯-分，则生产甲种产品15x 件，生产乙种产品2586020x ⨯⨯-件．258601.5 2.81520x xw ⨯⨯-∴=⨯+⨯总额 120000.1 2.820xx -=+⨯0.116800.14x x=+-0.041680x =-+又6015x ≥，得900x ≥由一次函数的增减性，当900x =时w取得最大值，此时0.0490016801644w =-⨯+=（元）此时 甲有9006015=（件），乙有：25860900120009005552020⨯⨯--==（件）类型之二 借助方程组合或不等式（组）解决方案问题 借助二元一次方程组和一元一次不等式（组）求解方案问题是中考一种新题型，考察了同学们综合运用方程组和不等式深入的分析、比较、归纳和说理的能力.4.（·济南市）某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．（1）设租用甲种汽车x 辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案．4.【答案】解：（1）由租用甲种汽车x 辆，则租用乙种汽车(8-x)辆由题意得：4030(8)2901020(8)100x x x x +-⎧⎨+-⎩≥≥解得：56x ≤≤即共有2种租车方案：第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆； 第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆． （2）第一种租车方案的费用为520003180015400⨯+⨯=元； 第二种租车方案的费用为620002180015600⨯+⨯=元 ∴第一种租车方案更省费用．5.（·宜宾市）暑假期间,小明到父亲经营的小超市参加社会实践活动.一天小明随父亲从银行换回来58张,共计200元的零钞用于顾客付款时找零.细心的小时清理了一下,发现其中面值为1元的有20张,面值为10元的有7张,剩下的均为2元和5元的钞票.你能否用所学的数学方法算出2元和5元的钞票的各有多少张吗?请写出演算过程.【答案】解：设面值为2元的有x 张，设面值为5元的有y 张，依题意得2520012071058207x y x y +=-⨯-⨯⎧⎨+=--⎩解得1615x y =⎧⎨=⎩经检验，符合题意答：面值为2元的有16张，面值为5元的有15张.6.（•重庆市）为支持四川抗震救灾，重庆市A 、B 、C 三地现在分别有赈灾物资100吨，、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D 、E 两县。

提分专练(二)解方程(组)与不等式(组) |类型1| 解二元一次方程组1.解方程组:①-- ②2.[ 0 8·常州]解方程组- ①- ②3.已知关于x,y的方程组8--8的解满足x>0,y>0,求实数a的取值范围.|类型2| 解一元二次方程4.解方程:x2+2x=3.5.[ 0 8·兰州]解方程:3x2-2x-2=0.6.先化简,再求值:(x-1)÷-1,其中x为方程x2+3x+2=0的根.7.当x满足条件---时,求出方程x2-2x-4=0的根.8.[ 0 8·毕节]先化简,再求值:---÷,其中a是方程a2+a-6=0的解.|类型3| 解分式方程9.[ 0 8·绵阳] 解分式方程: - - +2=- .10.解方程: - - =- -1.11.[ 0 ·泰州] 解分式方程: - +- =1.|类型4| 解一元一次不等式(组)12.解不等式:2(x-6)+ ≤ x-5,并将它的解集在数轴上表示出来.图T2-113.[ 0 8·湖州]解不等式-≤ 并把它的解集表示在数轴上.14.[ 0 8·北京]解不等式组:-15.[ 0 8·宁夏]解不等式组:-- ①-- ②参考答案1.解:①+②得4x=4,∴x=1.将x=1代入①,得y=2.∴原方程组的解为2.解:①+②得:3x=6,∴x=2.将x=2代入①,得y=-1,∴-3.解:8 ①--8 ②①×3,得15x+6y=33a+54,③②×2,得4x-6y=24a-16,④③+④,得19x=57a+38,解得x=3a+2.把x=3a+2代入①,得5(3a+2)+2y=11a+18, 解得y=-2a+4,∴原方程组的解是-∵x>0,y>0,∴0 ⑤-0 ⑥由⑤得a>-,由⑥得a<2,∴a的取值范围是-<a<2.4.解:x1=-3,x2=1.5.解:移项,得3x2-2x=2,配方,得3x-2=,解得x1=,x2=-.6.解:原式=(x-1)÷--=(x- ·-=-x-1.2当x=-1时,原分式无意义,所以x=-1舍去.当x=-2时,原式=1.7.解:由---解得2<x<4.解方程x2-2x-4=0,得x1=1+,x2=1-.∵2<<3,∴3<1+<4,符合题意;-2<1-<-1,不符合题意,舍去.∴x=1+.8.解:---÷=---÷=--·=,由a2+a-6=0,得(a+3)(a-2)=0, 解得a=-3或a=2,∵0 -0∴a≠±2且a≠0 ∴a=-3,当a=-3时,原式==--=.9.解:方程两边同时乘以x-2,得x-1+2(x-2)=-3, 去括号,得x-1+2x-4=-3,移项,得x+2x=2,合并同类项,系数化为1,得x=,经检验,x=是原分式方程的解,故原分式方程的解为x=.10.解:化为整式方程得2-2x=x-2x+4,解得x=-2,经检验x=-2是分式方程的解.11.解:去分母,得(x+1)2-4=x2-1,去括号,得x2+2x+1-4=x2-1,移项、合并同类项,得2x=2,系数化为1,得x=1.经检验,x=1是分式方程的增根,故原分式方程无解.12.解:2(x-6)+ ≤ x-5,2x-12+ ≤ x-5,x≥-3.解集在数轴上表示如图所示:13.解:不等式的两边同乘以2,得3x- ≤ 移项,合并同类项,得3x≤6解得x≤ .这个不等式的解集在数轴上表示如图所示:14.解:不等式3(x+1)>x-1的解集为x>-2; 不等式>2x的解集为x<3.∴原不等式组的解集为-2<x<3.15.解:由不等式①得x-3x+ ≥x-3x≥ -3,-2x≥x≤-1;由不等式②得2(x-3)-10<5(x+1),2x-6-10<5x+5,2x-5x<5+6+10,-3x<21,x>-7.∴原不等式组的解集为-7<x≤-1.。

中考复习—方程、不等式一．试题（共49小题）1x 的取值范围是( ) A ．2x B ．2xC ．2x ≠D ．2x ≠−2．若代数式有意义，则x 的取值范围是( ) A ．2xB ．0xC ．0x 且2x ≠D ．2x ≠3．下列是最简二次根式的是( )AB C D4( )A ．B ．C D5−( )A B ．−C D ．−6．下列计算正确的是( )A =B 123= C = D ．=7．已知m ，n 是一元二次方程2310x x ++=+( ) A ．13B ．3C ．3−D ．328．计算的结果是9．已知x ，y 都是实数， 且3y =，则3x 的值 ．10．计算：（12⨯−（2）021|1)()2π−−+．11．计算：（1；（2）12．化简：．2−．13．《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛:古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是()A．5352x yx y+=⎧⎨+=⎩B．5352x yx y+=⎧⎨+=⎩C．5352x yx y=+⎧⎨=+⎩D．5253x yx y=+⎧⎨=+⎩14．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组() A．119(8)(10)13x yx y y x=⎧⎨+−+=⎩B．119(10)(8)13x yy x x y=⎧⎨+−+=⎩C．911(8)(10)13x yx y y x=⎧⎨+−+=⎩D．911(10)(8)13x yy x x y=⎧⎨+−+=⎩15．在我国古典数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”翻译成现代汉语就是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？如果设长木长x尺、绳长y尺，则可以列出方程组()A．4.5112x yx y−=⎧⎪⎨−=⎪⎩B．4.5112x yx y−=⎧⎪⎨−=⎪⎩C．4.5112y xx y−=⎧⎪⎨−=⎪⎩D．4.5112y xx y−=⎧⎪⎨−=⎪⎩16．我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有x 人，物价是y 钱，则下列方程正确的是( )A ．8(3)7(4)x x −=+B ．8374x x +=−C ．3487y y −+=D ．3487y y +−=17．若m n >，则下列不等式中正确的是( ) A ．22m n −<−B ．1212m n −<−C ．1122m n −>−D ．0n m −>18．如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是( )A ．1xB ．1x >C ．1x −<D ．11x −<19．解不等式组342,22,x x x −<⎧⎨+⎩①②请按下列步骤完成解答：（1）解不等式①，得 ； （2）解不等式②，得 ；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集是 ．20．解不等式组：()223235x x x x ⎧+>+⎪⎨+<⎪⎩①②，并写出它的所有整数解．21．已知1x =是方程1322m x x −=−−的解，那么实数m 的值为( ) A ．2−B ．2C ．4−D ．422．将关于x 的分式方程3121x x =−去分母可得( ) A ．332x x −= B ．312x x −= C ．31x x −= D ．33x x −=23．解方程13311xx x+=−−去分母，两边同乘(1)x −后的式子为( )A ．133(1)x x +=−B ．13(1)3x x +−=−C ．133x x −+=−D ．13(1)3x x +−=24．方程32122x x x =−−−的解是 ． 25．若关于x 的方程32122x mx x −=−−的解为正数，则m 的取值范围是( ) A ．23m >−B ．43m <C ．23m >−且0m ≠D ．43m <且23m ≠26．如果关于x 的分式方程211x mx −=+的解是负数，那么实数m 的取值范围是( ) A ．1m <−B ．1m >−且0m ≠C ．1m >−D ．1m <−且2m ≠−27．已知关于x 的分式方程122m xx x+=−−的解是非负数．则m 的取值范围是( ) A ．2mB ．2mC ．2m 且2m ≠−D ．2m <且2m ≠−28．某校八年级学生去距离学校120km 的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发1h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车的速度是x /km h ，所列方程正确的是( ) A ．1201201 1.5x x +=B ．1201201 1.5x x −=C ．1201201.51x x =− D ．1201201.51x x =+ 29．为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程．课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x 千克，依题意所列方程正确的是( ) A ．960060000.41.5x x −= B ．960060000.41.5x x −=C ．600096000.41.5x x−= D ．600096000.41.5x x−= 30．甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x 千米，则可列出方程为( ) A ．912112x x −=+ B ．129112x x −=+ C ．912112x x −=+ D ．129112x x −=+ 31．近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a 为全程10千米的普通道路，路线b 包含快速通道，全程7千米，走路线b 比路线a 平均速度提高40%，时间节省10分钟，求走路线a 和路线b 的平均速度分别是多少？设走路线a 的平均速度为x 千米/小时，依题意，可列方程为( ) A ．10710(140%)60x x −=+ B ．10710(140%)x x −=+ C ．71010(140%)60x x −=+D ．71010(140%)x x−=+32．某校学生去距离学校12km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是( ) A ．0.2/km minB ．0.3/km minC ．0.4/km minD ．0.6/km min33．某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，一部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2倍，求大型客车的速度． 34．解方程：2320x x −+=． 35．解方程：2650x x −+=． 36．（1）解方程：2220x x +−=； （2）解不等式组：32251x x x +>−⎧⎨−<⎩．37．关于x 的一元二次方程232302x x −+=根的情况，下列说法中正确的是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．无法确定38．关于x 的一元二次方程280x mx +−=的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根D ．没有实数根39．关于x 的一元二次方程2220x x m −+−=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )A ．32m <B ．3m >C ．3mD ．3m <40．若关于x 的一元二次方程2230kx x −+=有两个实数根，则k 的取值范围是( ) A ．13k <B ．13kC ．13k <且0k ≠ D ．13k且0k ≠ 41．关于x 的一元二次方程22210x ax a ++−=的根的情况是( )A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．实数根的个数与实数a 的取值有关42．若关于x 的方程22(1)40x m x m −+++=两根的倒数和为1，则m 的值为 ． 43．已知1x ，2x 是方程2220x kx +−=的两个实数根，且12(2)(2)10x x −−=，则k 的值 ． 44．已知a 、b 是方程2340x x +−=的两根，则243a a b ++−= ．45．已知关于x 的一元二次方程22220x mx m m ++−+=有两个不相等的实数根1x 、2x ，且12122x x x x ++⋅=，则实数m = ．46．如图，老李想用长为70m 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD ，并在边BC 上留一个2m 宽的门（建在EF 处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为2640m 的羊圈？（2）羊圈的面积能达到2650m 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．47．某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x 人，则可得到方程( ) A ．(1)36x x ++= B ．2(1)36x += C ．1(1)36x x x +++=D ．2136x x ++=48．根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x ，根据题意可列方程( )A ．43903.89(1)53109.85x +=B ．243903.89(1)53109.85x +=C ．243903.8953109.85x =D ．243903.89(1)53109.85x +=49．如图，在长为100m ，宽为50m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是23600m ，则小路的宽是( )A．5m B．70m C．5m或70m D．10m方程、不等式2024参考答案与试题解析一．试题（共49小题）1x 的取值范围是( ) A ．2xB ．2xC ．2x ≠D ．2x ≠−【解答】解：式子20x ∴−，解得2x ． 故选：A ．2．若代数式2x −有意义，则x 的取值范围是( ) A ．2xB ．0xC ．0x 且2x ≠D ．2x ≠【解答】解：根据二次根式有意义得：0x ， 分式有意义，得20x −≠，解得2x ≠． 综上所述，x 的取值范围是0x 且2x ≠． 故选：C ．3．下列是最简二次根式的是( )AB C D【解答】解：A =B ．C ．，符合题意；D ．=故选：C ．4( )A ．B ．CD【解答】解：A 、与B 、不是同类二次根式，故此选项不符合题意；C 、2=，而2不是同类二次根式，故此选项不符合题意；D 、故选：A ．5−( )A B ．−C D ．−【解答】解：原式63=−⨯=−=故选：C ．6．下列计算正确的是( )A =B 123= C = D ．=【解答】解：A 意；B 、==，故本选项计算错误，不符合题意；C 、=，故本选项计算正确，符合题意；D 、=故选：C ．7．已知m ，n 是一元二次方程2310x x ++=+( ) A ．13B ．3C ．3−D ．32【解答】解：m ，n 是一元二次方程2310x x ++=的两根， 3m n ∴+=−，1mn =， 0m ∴<，0n <，∴11331m n n m n m mn +−=−=−−=−=−=．故选：B ．8．计算【解答】解：原式=9．已知x ，y 都是实数， 且3y =，则3x 的值 8 ． 【解答】解： 由题意得20x −，2x −小于等于 0 ， 解得，2x =， 则3y =，38x ∴=，故答案为： 8 ．10．计算：（12⨯−（2）021|1)()2π−−+．【解答】解：（1=−==（2）021|1)()2π−−+114−+2+．11．计算：（1；（2）4【解答】解：（1+=−=（2）3=2=．12．化简：．2−．【解答】解：（1）原式62=⨯==−；（2）原式12−12=−212=−10=−．13．《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛:古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是()A．5352x yx y+=⎧⎨+=⎩B．5352x yx y+=⎧⎨+=⎩C ．5352x y x y =+⎧⎨=+⎩D ．5253x y x y =+⎧⎨=+⎩【解答】解：由题意得：5352x y x y +=⎧⎨+=⎩，故选：B ．14．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意得方程组( ) A ．119(8)(10)13x yx y y x =⎧⎨+−+=⎩B ．119(10)(8)13x yy x x y =⎧⎨+−+=⎩C ．911(8)(10)13x y x y y x =⎧⎨+−+=⎩D ．911(10)(8)13x y y x x y =⎧⎨+−+=⎩【解答】解：依题意，得911(10)(8)13x yy x x y =⎧⎨+−+=⎩．故选：D ．15．在我国古典数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”翻译成现代汉语就是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？如果设长木长x 尺、绳长y 尺，则可以列出方程组( )A ． 4.5112x y x y −=⎧⎪⎨−=⎪⎩B ． 4.5112x y x y −=⎧⎪⎨−=⎪⎩ C ． 4.5112y x x y −=⎧⎪⎨−=⎪⎩ D ． 4.5112y x x y −=⎧⎪⎨−=⎪⎩【解答】解：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺， 4.5y x ∴−=；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺， 112x y ∴−=．∴根据题意可列方程组 4.5112y x x y −=⎧⎪⎨−=⎪⎩． 故选：C ．16．我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有x 人，物价是y 钱，则下列方程正确的是( )A ．8(3)7(4)x x −=+B ．8374x x +=−C ．3487y y −+=D ．3487y y +−=【解答】解：设共有x 人，根据题意可得：8x −37=x +4， 设物价是y 钱，根据题意可得： 3487y y +−=． 故选：D ．17．若m n >，则下列不等式中正确的是( ) A ．22m n −<−B ．1212m n −<−C ．1122m n −>−D ．0n m −>【解答】解：A ．由m n >，得22m n −>−，那么A 错误，故A 不符合题意． B ．由m n >，得22m n −<−，推断出1212m n −<−，那么B 正确，故B 符合题意． C ．由m n >，得1122m n −<−，那么C 错误，故C 不符合题意．D ．由m n >，得0n m −<，那么D 错误，故D 不符合题意．故选：B ．18．如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是( )A ．1xB ．1x >C ．1x −<D ．11x −<【解答】解：由不等式组解集的定义可知，数轴所表示的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是11x −<， 故选：D ．19．解不等式组342,22,x x x −<⎧⎨+⎩①②请按下列步骤完成解答：（1）解不等式①，得 2x < ； （2）解不等式②，得 ；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集是 ． 【解答】解：（1）解不等式①，得2x <； 故答案为：2x <．（2）解不等式②，得2x −； 故答案为：2x −；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）由图可知原不等式组的解集是22x −<． 故答案为：22x −<．20．解不等式组：()223235x x x x ⎧+>+⎪⎨+<⎪⎩①②，并写出它的所有整数解．【解答】解：解不等式①，得1x >−， 解不等式②，得3x <，在数轴上表示不等式①②的解集如下：∴原不等式组的解集是13x −<<， ∴它的所有整数解有：0，1，2．21．已知1x =是方程1322m x x −=−−的解，那么实数m 的值为( )A ．2−B ．2C ．4−D ．4【解答】解：将1x =代入方程，得：132112m −=−−， 解得：2m =． 故选：B ．22．将关于x 的分式方程3121x x =−去分母可得( ) A ．332x x −= B ．312x x −= C ．31x x −= D ．33x x −=【解答】解：3121x x =−， 去分母，得：3(1)2x x −=， 整理，得：332x x −=， 故选：A ． 23．解方程13311xx x+=−−去分母，两边同乘(1)x −后的式子为( ) A ．133(1)x x +=− B ．13(1)3x x +−=− C ．133x x −+=− D ．13(1)3x x +−=【解答】解：分式方程的两侧同乘(1)x −得：13(1)3x x −−=−． 故选：B ． 24．方程32122x x x =−−−的解是 76x = ．【解答】解：去分母得：232(22)x x =−−， 去括号得：2344x x =−+， 移项合并得：67x =， 解得：76x =， 检验：把76x =代入得：71222033x −=−=≠， 则76x =是分式方程的解． 故答案为：76x =． 25．若关于x 的方程32122x mx x −=−−的解为正数，则m 的取值范围是( ) A ．23m >−B ．43m <C ．23m >−且0m ≠D ．43m <且23m ≠【解答】解：32122x mx x −=−−，去分母得，24(1)3x x m −−=， 整理得，2443x x m −+=， 解得，432mx −=， 分式方程的解为正数， 430m ∴−>且4312m−≠， 43m ∴<且23m ≠． 故选：D ．26．如果关于x 的分式方程211x mx −=+的解是负数，那么实数m 的取值范围是( ) A ．1m <−B ．1m >−且0m ≠C ．1m >−D ．1m <−且2m ≠−【解答】解：将分式方程两边同乘(1)x +，去分母可得：21x m x −=+， 移项，合并同类项得：1x m =+， 原分式方程的解是负数， 10m ∴+<，且110m ++≠，解得：1m <−且2m ≠−， 故选：D ．27．已知关于x 的分式方程122m xx x+=−−的解是非负数．则m 的取值范围是( ) A ．2mB ．2mC ．2m 且2m ≠−D ．2m <且2m ≠−【解答】解：分式方程去分母得：2m x x +−=−， 解得：22mx −=， 由分式方程的解是非负数，得到202m −，且2202m−−≠， 解得：2m 且2m ≠−， 故选：C ．28．某校八年级学生去距离学校120km 的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发1h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车的速度是x /km h ，所列方程正确的是( ) A ．1201201 1.5x x+=B ．1201201 1.5x x−=C．1201201.51x x=−D．1201201.51x x=+【解答】解：设慢车的速度为x/km h，根据题意可列方程为：12012011.5x x−=．故选：B．29．为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程．课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是()A．960060000.41.5x x−=B．960060000.41.5x x−=C．600096000.41.5x x−=D．600096000.41.5x x−=【解答】解：由题意得：960060000.41.5x x−=．故选：A．30．甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为()A．912112x x−=+B．129112x x−=+C．912112x x−=+D．129112x x−=+【解答】解：乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，且甲工程队每个月修x千米，∴乙工程队每个月修(1)x+千米．根据题意得：912112x x−=+．故选：A．31．近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高40%，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为()A．10710(140%)60x x−=+B．10710(140%)x x−=+C．71010(140%)60x x−=+D．71010(140%)x x−=+【解答】解：走路线b的平均车速比走路线a能提高40%，且走路线a的平均速度为x千米/时，∴走路线b 的平均速度为(140%)x +千米/时．根据题意得：10710(140%)60x x −=+． 故选：A ．32．某校学生去距离学校12km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是( ) A ．0.2/km minB ．0.3/km minC ．0.4/km minD ．0.6/km min【解答】解：设学生的速度为x /km min ， 由题意可得：1212202x x−=， 解得：0.3x =，经检验：0.3x =是原方程的解，且符合题意； 20.6(/)x km min ∴=，故选：D ．33．某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，一部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2倍，求大型客车的速度．【解答】解：设大型客车的速度为x /km h ，则小型客车的速度为1.2?/x km h ， 根据题意得12分钟15=小时．故列方程为：727211.25x x −=． 解得：60x =．经检验，60x =是原方程的根． 答：大型客车的速度是60/km h ． 34．解方程：2320x x −+=． 【解答】解：2320x x −+=，(1)(2)0x x ∴−−=， 10x ∴−=或20x −=，11x ∴=，22x =．35．解方程：2650x x −+=．【解答】解：分解因式得：(1)(5)0x x −−=， 10x −=，50x −=，11x =，25x =．36．（1）解方程：2220x x +−=； （2）解不等式组：32251x x x +>−⎧⎨−<⎩．【解答】解：（1）2220x x +−=， 2a =，1b =，2c =−，224142(2)17b ac ∴−=−⨯⨯−=，124b x a −±−±∴==，∴1x =，2x =； （2）32251x x x +>−⎧⎨−<⎩①②，解不等式①得1x >−， 解不等式②得：3x <，∴不等式组的解集为：13x −<<．37．关于x 的一元二次方程232302x x −+=根的情况，下列说法中正确的是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．无法确定【解答】解：2a =，3b =−，32c =， 2491230b ac ∴−=−=−<， ∴方程没有实数根．故选：C ．38．关于x 的一元二次方程280x mx +−=的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根D ．没有实数根【解答】解：△2241(8)320m m =−⨯⨯−=+>， ∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．39．关于x 的一元二次方程2220x x m −+−=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )A ．32m <B ．3m >C ．3mD ．3m <【解答】解：关于x 的一元二次方程2220x x m −+−=有两个不相等的实数根， ∴△2(2)41(2)1240m m =−−⨯⨯−=−>，解得：3m <． 故选：D ．40．若关于x 的一元二次方程2230kx x −+=有两个实数根，则k 的取值范围是( ) A ．13k <B ．13kC ．13k <且0k ≠ D ．13k且0k ≠ 【解答】解：关于x 的一元二次方程2230kx x −+=， 0k ∴≠，方程有两个实数根， ∴△2(2)430k =−−⨯，解得13k， k ∴的取值范围是13k且0k ≠， 故选：D ．41．关于x 的一元二次方程22210x ax a ++−=的根的情况是( ) A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．实数根的个数与实数a 的取值有关 【解答】解：△22(2)41(1)a a =−⨯⨯− 22444a a =−+40=>．∴关于x 的一元二次方程22210x ax a ++−=有两个不相等的实数根．故选：C ．42．若关于x 的方程22(1)40x m x m −+++=两根的倒数和为1，则m 的值为 2 ． 【解答】解：设关于x 的方程22(1)40x m x m −+++=两根为α，β， 2(1)m αβ∴+=+，4m αβ=+，两根的倒数和为1， ∴111αβ+=，∴1αβαβ+=， ∴2(1)14m m +=+，解得2m =，经检验，2m =是分式方程的解， 当2m =时，原方程为2660x x −+=， △120=>， 2m ∴=符合题意，故答案为：2．43．已知1x ，2x 是方程2220x kx +−=的两个实数根，且12(2)(2)10x x −−=，则k 的值 7 ． 【解答】解：1x ，2x 是方程2220x kx +−=的两个实数根，122kx x ∴+=−，121x x ⋅=−， 121212(2)(2)2()412()4102kx x x x x x ∴−−=⋅−++=−−⨯−+=，解得7k =． 故答案为：7．44．已知a 、b 是方程2340x x +−=的两根，则243a a b ++−= 2− ． 【解答】解：a 是方程2340x x +−=的根， 2340a a ∴+−=， 234a a ∴=−+，a ，b 是方程2340x x +−=的两根，3a b ∴+=−，243a a b ∴++− 3443a a b =−+++− 1a b =++ 31=−+2=−．故答案为：2−．45．已知关于x 的一元二次方程22220x mx m m ++−+=有两个不相等的实数根1x 、2x ，且12122x x x x ++⋅=，则实数m = 3 ．【解答】解：原方程有两个不相等的实数根， ∴△22(2)41(2)0m m m =−⨯⨯−+>，2m ∴>．1x ，2x 是关于x 的一元二次方程22220x mx m m ++−+=的两个实数根， 122x x m ∴+=−，2122x x m m ⋅=−+， 12122x x x x ++⋅=，2222m m m ∴−+−+=，解得：10m =（不符合题意，舍去），23m =， ∴实数m 的值为3．故答案为：3．46．如图，老李想用长为70m 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD ，并在边BC 上留一个2m 宽的门（建在EF 处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为2640m 的羊圈？（2）羊圈的面积能达到2650m 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．【解答】解：（1）设矩形ABCD 的边AB xm =，则边7022(722)BC x x m =−+=−． 根据题意，得(722)640x x −=， 化简，得2363200x x −+=， 解得116x =，220x =，当16x =时，722723240()x m −=−=， 当20x =时，722724032()x m −=−=．答：当羊圈的长为40m ，宽为16m 或长为32m ，宽为20m 时，能围成一个面积为2640m 的羊圈；（2）答：不能，理由：由题意，得(722)650x x −=， 化简，得2363250x x −+=， △2(36)432540=−−⨯=−<， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到2650m ．47．某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x 人，则可得到方程( ) A ．(1)36x x ++= B ．2(1)36x += C ．1(1)36x x x +++=D ．2136x x ++=【解答】解：由题意得：1(1)36x x x +++=， 故选：C ．48．根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x ，根据题意可列方程( )A ．43903.89(1)53109.85x +=B ．243903.89(1)53109.85x +=C ．243903.8953109.85x =D ．243903.89(1)53109.85x +=【解答】解：设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x ， 根据题意得，243903.89(1)53109.85x +=， 故选：B ．49．如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是23600m，则小路的宽是()A．5m B．70m C．5m或70m D．10m【解答】解：设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为(1002)x m−，宽为(502)x m−的矩形，根据题意得：(1002)(502)3600x x−−=，整理得：2753500x x−+=，解得：15x=，270x=（不符合题意，舍去），∴小路的宽是5m．故选：A．。

重难点突破 含参类方程与不等式问题目 录题型01 根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围题型02 整式方程（组）与一元一次不等式组结合求参数的问题题型03 同解方程组题型04 根据二元一次方程组解满足的情况求参数题型05 二元一次方程组整数解问题题型06 利用相反数求二元一次方程组参数题型07 已知方程的解求参数题型08 根据一元二次方程根的情况求参数题型09 根据一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围题型10 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围题型11整式方程（组）与一元一次不等式结合求参数的问题题型01 根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围1．（2023·山东淄博·中考真题）已知x =1是方程m2−x −1x−2=3的解，那么实数m 的值为（ ）A ．−2B ．2C ．−4D ．42．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程ax +2=1−3x +2的解为负数，则a 的取值范围是（ ）A ．a <−1且a ≠−2B ．a <0且a ≠−2C ．a <−2且a ≠−3D ．a <−1且a ≠−33．（2023·山东日照·中考真题）若关于x 的方程xx−1−2=3m2x−2解为正数，则m 的取值范围是（ ）A ．m >−23B ．m <43C ．m >−23且m ≠0D ．m <43且m ≠234．（2023·四川巴中·中考真题）关于x 的分式方程x +mx−2+12−x =3有增根，则m = ．5．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x 的分式方程2x−1=mx 有正整数解，则整数m 的值是（ ）A ．3B ．5C ．3或5D ．3或4题型02 整式方程（组）与一元一次不等式组结合求参数的问题6．（2020·重庆·中考真题）若关于xx +3≤a的解集为x ≤a ；且关于y 的分式方程y−a y−2+3y−4y−2=1有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之积是（ ）A ．7B ．－14C ．28D ．－567．（2023·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组x +32≤42x−a ≥2，至少有2个整数解，且关于y 的分式方程a−1y−2+42−y =2有非负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是 ．8．（2024·重庆·模拟预测）已知关于x 的一元一次不等式组2(3−x )+1<−xx +a−2<0有解且最多5个整数解，且关于y 的分式方程y +ay−3−3=43−y 的解为正整数，则满足条件的所有整数a 的和为 ．9．（2024·重庆开州·二模）若关于x 的方程x +22−x+ax x−2=−2有正整数解，且关于y 的不等式组2y−43<22a−y−1≤0至少有两个整数解，则符合条件的所有整数a 的和为 ．10．（2024·四川成都·模拟预测）若整数a 使得关于x 的分式方程ax−122−x+3=xx−2有整数解，且使得二次函数y =(a−2)x 2+2(a−1)x +a +1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a 的值之和是．题型03 同解方程组11．（2020·广东·中考真题）已知关于x，y的方程组ax+23y=−103x+y=4与x−y=2x+by=15的解相同．（1）求a，b的值；（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．12．（2021·广东·二模）解关于x、y的方程组时，小明发现方程组ax+by=2x−y=8的解和方程组5x+2y=b2x+3y=−9的解相同．(1)求方程组的解；(2)求关于t的方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0的解．题型04 根据二元一次方程组解满足的情况求参数13．（2023·四川眉山·中考真题）已知关于x,y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x−y=4，则m 的值为（）A．0B．1C．2D．314．（2022·山东聊城·中考真题）关于x，y的方程组2x−y=2k−3x−2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（）A．k≥8B．k>8C．k≤8D．k<815．（2023·四川泸州·中考真题）关于x，y的二元一次方程组2x+3y=3+ax+2y=6的解满足x+y>22，写出a的一个整数值．16．（2024·浙江宁波·模拟预测）若关于x，y的方程组2x−y=5kx+y=4k+3的解满足x−y≤5，则k的取值范围是．题型05 二元一次方程组整数解问题17．（2022·广东揭阳·模拟预测）如果关于x，y的方程组4x−3y=66x+my=26的解是整数，那么整数m的值为（ ）A．4，−4，−5，13B．4，−4，−5，−13C．4，−4，5，13D．−4，5，−5，1318．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）关于x，y的二元一次方程组kx+y=43x+y=0的解为整数，关于z的不等式组3z＞z−44z−2k−13≤1有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数k的和为（ ）A．6B．7C．11D．1219．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）已知关于x,y的二元一次方程组ax+2y=612x−y=1的解为整数，且关于z的方程z−a2−z3=1的解为非负数，求满足条件的所有整数a的和为（）A．2B．4C．9D．11题型06 利用相反数求二元一次方程组参数20．（2022·四川南充·二模）已知x、y满足方程组x+2y=2m−12x+y=5，且x与y互为相反数，则m的值为（）A．m=−2B．m=2C．m=−3D．m=321．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知关于x，y的方程组3x−5y=2ax−2y=a−5则下列结论中正确的是（）①当a=5时，方程组的解是x=10y=20；②当x，y的值互为相反数时，a=20；③当2x⋅2y=212时，a=14；④不存在一个实数a，使得x=y．A．①②④B．①②③C．②③④D．②③22．（2021·内蒙古包头·二模）若满足方程组4x+y=3m+32x−y=m−1的x与y互为相反数，则m的值为（）A．2B．−2C．11D．−11题型07 已知方程的解求参数23．（2023·湖南永州·中考真题）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为（）A．3B．−3C．7D．−724．（2021·浙江金华·中考真题）已知x=2y=m是方程3x+2y=10的一个解，则m的值是．25．（2023·江苏镇江·中考真题）若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根，则m的值为．26．（2023·四川内江·中考真题）已知a、b是方程x2+3x−4=0的两根，则a2+4a+b−3=．题型08 根据一元二次方程根的情况求参数27．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程x2−(2k−2)x+k2−1=0有两个实数根，则(k−1)2−(2−k )2的化简结果是（ ）A ．−1B ．1C ．−1−2kD ．2k−328．（2023·江苏连云港·中考真题）若关于x 的一元二次方程x 2−2x +m =0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．29．（2021·四川内江·中考真题）若关于x 的一元二次方程ax 2+4x−2=0有实数根，则a 的取值范围为 ．30．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x 的一元二次方程x 2+2x +3−k =0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若方程的两个根为α，β，且k 2=αβ+3k ，求k 的值．题型09 根据一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围31．（2023·广东潮州·二模）如果关于x 的不等式组6x−m ≥05x−n <0的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对(m,n )共有（ ）A ．42对B ．36对C ．30对D ．11对32．（2024·河南安阳·一模）已知不等式组2(x−1)>3x +12x <a，有四个整数解，则a 的取值范围为 ．33．（2023·四川宜宾·中考真题）若关于x+1>x +a①1≥52x−9②所有整数解的和为14，则整数a 的值为 ．题型10 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围34．（2023·湖北鄂州·中考真题）已知不等式组x−a >2x +1<b的解集是−1<x <1，则(a +b )2023=（ ）A ．0B ．−1C ．1D ．202335．（2023·湖北黄石·中考真题）若实数a 使关于x 的不等式组−2<x−1<3x−a >0的解集为−1<x <4，则实数a的取值范围为．36．（2023·山东聊城·≥x−23≥x的解集为x ≥m ，则m 的取值范围是 ．题型11 整式方程（组）与一元一次不等式结合求参数的问题37．（2022·四川泸州·中考真题）若方程x−3x−2+1=32−x 的解使关于x 的不等式(2−a )x−3>0成立，则实数a 的取值范围是 ．38．（2023·四川泸州·一模）已知方程3−a a−4−a =14−a ，且关于x 的不等式a ≤x <b 只有3个整数解，则b 的取值范围是 ．39．（2021·湖北荆州·中考真题）已知：a 是不等式5(a−2)+8<6(a−1)+7的最小整数解，请用配方法解关于x 的方程x 2+2ax +a +1=0．40．（2022·江苏苏州·一模）若不等式3x +2≤4x−1的最小整数解是方程23x−13mx =1的解，求m 的值．重难点突破 含参类方程与不等式问题解析目 录题型01 根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围题型02 整式方程（组）与一元一次不等式组结合求参数的问题题型03 同解方程组题型04 根据二元一次方程组解满足的情况求参数题型05 二元一次方程组整数解问题题型06 利用相反数求二元一次方程组参数题型07 已知方程的解求参数题型08 根据一元二次方程根的情况求参数题型09 根据一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围题型10 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围题型11整式方程（组）与一元一次不等式结合求参数的问题原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！题型01 根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围1．（2023·山东淄博·中考真题）已知x =1是方程m2−x −1x−2=3的解，那么实数m 的值为（ ）A ．−2B ．2C ．−4D ．4【答案】B 【分析】将x =1代入方程，即可求解．【详解】解：将x =1代入方程，得m2−1−11−2=3解得：m =2故选：B ．【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将x =1代入原方程中得到关于m 的方程．2．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程ax +2=1−3x +2的解为负数，则a 的取值范围是（ ）A ．a <−1且a ≠−2B ．a <0且a ≠−2C ．a <−2且a ≠−3D ．a <−1且a ≠−3【详解】解：去分母得：a =x +2−3，解得：x =a +1，∵分式方程ax +2=1−3x +2的解是负数，∴a +1<0，x +2≠0，即a +1+2≠0，解得：a <−1且a ≠−3，故选：D ．【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键．3．（2023·山东日照·中考真题）若关于x的方程xx−1−2=3m2x−2解为正数，则m的取值范围是（）A．m>−23B．m<43C．m>−23且m≠0D．m<43且m≠234．（2023·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程x+mx−2+12−x=3有增根，则m=．∴m =2x−5=−1，故答案为：−1．【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根．5．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x 的分式方程2x−1=mx 有正整数解，则整数m 的值是（ ）A ．3B ．5C ．3或5D ．3或4题型02 整式方程（组）与一元一次不等式组结合求参数的问题6．（2020·重庆·中考真题）若关于x x +3≤a的解集为x ≤a ；且关于y 的分式方程y−a y−2+3y−4y−2=1有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之积是（ ）A ．7B ．－14C ．28D ．－56【答案】A【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a 的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a 的值，求出之和即可．7．（2023·重庆·中考真题）若关于x的一元一次不等式组2≤42x−a≥2，至少有2个整数解，且关于y的分式方程a−1y−2+42−y=2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是．解得：a≥1且a≠5∴a的取值范围是1≤a≤6，且a≠5∴a可以取：1，3，∴1+3=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．8．（2024·重庆·模拟预测）已知关于x的一元一次不等式组2(3−x)+1<−xx+a−2<0有解且最多5个整数解，且关于y的分式方程y+ay−3−3=43−y的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为．故答案为：−20．9．（2024·重庆开州·二模）若关于x的方程x+22−x +axx−2=−2有正整数解，且关于y的不等式组2y−43<22a−y−1≤0至少有两个整数解，则符合条件的所有整数a的和为．故答案为：1．10．（2024·四川成都·模拟预测）若整数a使得关于x的分式方程ax−122−x +3=xx−2有整数解，且使得二次函数y=(a−2)x2+2(a−1)x+a+1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是．题型03 同解方程组11．（2020·广东·中考真题）已知关于x，y的方程组ax+23y=−103x+y=4与x−y=2x+by=15的解相同．（1）求a，b的值；（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．12．（2021·广东·二模）解关于x、y的方程组时，小明发现方程组ax+by=2x−y=8的解和方程组5x+2y=b2x+3y=−9的解相同．(1)求方程组的解；(2)求关于t的方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0的解．题型04 根据二元一次方程组解满足的情况求参数13．（2023·四川眉山·x,y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x−y=4，则m 的值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【分析】将方程组的两个方程相减，可得到x−y=m+3，代入x−y=4，即可解答．【详解】解：3x−y=4m+1①x+y=2m−5②，①−②得2x−2y=2m+6，∴x−y=m+3，代入x−y=4，可得m+3=4，解得m=1，故选：B．【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．14．（2022·山东聊城·中考真题）关于x，y的方程组2x−y=2k−3x−2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（）A．k≥8B．k>8C．k≤8D．k<8【答案】A【分析】由两式相减，得到x+y=k−3，再根据x与y 的和不小于5列出不等式即可求解．【详解】解：把两个方程相减，可得x+y=k−3，根据题意得：k−3≥5，解得：k≥8．所以k的取值范围是k≥8．故选：A．【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键．2，写出15．（2023·四川泸州·中考真题）关于x，y的二元一次方程组2x+3y=3+ax+2y=6的解满足x+y>2a的一个整数值．16．（2024·浙江宁波·模拟预测）若关于x，y的方程组2x−y=5kx+y=4k+3的解满足x−y≤5，则k的取值范围是．【答案】k≤3【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的解法，把方程组的解求出，即用k表示出x、y，代入不等式x−y≤5，转化为关于k的一元一次不等式，可求得k的取值范围．【详解】解：2x−y=5k①x+y=4k+3②由①+②可得：3x=9k+3，所以：x=3k+1③把③代入②得：3k+1+y=4k+3，解得：y=k+2，代入x−y≤5可得：3k+1−(k+2)≤5，解得：k≤3，故答案为：k≤3．题型05 二元一次方程组整数解问题17．（2022·广东揭阳·模拟预测）如果关于x，y的方程组4x−3y=66x+my=26的解是整数，那么整数m的值为（ ）A．4，−4，−5，13B．4，−4，−5，−13C．4，−4，5，13D．−4，5，−5，13318．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）关于x，y的二元一次方程组kx+y=43x+y=0的解为整数，关于z的不等式组3z＞z−44z−2k−13≤1有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数k的和为（ ）A．6B．7C．11D．1219．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）已知关于x,y的二元一次方程组12x−y=1的解为整数，且关于z的方程z−a2−z3=1的解为非负数，求满足条件的所有整数a的和为（）A．2B．4C．9D．11题型06 利用相反数求二元一次方程组参数20．（2022·四川南充·二模）已知x、y满足方程组x+2y=2m−12x+y=5，且x与y互为相反数，则m的值为（）A．m=−2B．m=2C．m=−3D．m=3【答案】A【分析】根据题意可得x+y=0，由方程组的解法可得3x+3y=2m+4，代入计算即可．【详解】解：x+2y=2m−1①2x+y=5②，①+②得，3x+3y=2m+4，即3（x+y）=2m+4，又∵x与y互为相反数，∴x+y=0，即2m+4=0，解得m=-2，故选：A．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法以及相反数的定义是正确解答的前提．21．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知关于x，y的方程组3x−5y=2ax−2y=a−5则下列结论中正确的是（）①当a=5时，方程组的解是x=10y=20；②当x，y的值互为相反数时，a=20；③当2x⋅2y=212时，a=14；④不存在一个实数a，使得x=y．A．①②④B．①②③C．②③④D．②③由题意得：x+y=12，把x=25−ay=15−a代入得：25-a+15-a =12，解得：a=14，本选项正确；④若x=y，则有−2x=2a−x=a−5，可得a=a-5，矛盾，故不存在一个实数a使得x=y，本选项正确．则正确的选项有②③④，故选：C．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．22．（2021·内蒙古包头·二模）若满足方程组4x+y=3m+32x−y=m−1的x与y互为相反数，则m的值为（）A．2B．−2C．11D．−11题型07 已知方程的解求参数23．（2023·湖南永州·中考真题）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为（）A．3B．−3C．7D．−7【答案】A【分析】把x=1代入2x+m=5再进行求解即可．【详解】解：把x=1代入2x+m=5得：2+m=5，解得：m=3．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤．24．（2021·浙江金华·中考真题）已知x=2y=m是方程3x+2y=10的一个解，则m的值是．【答案】2【分析】把解代入方程,得6+2m=10，转化为关于m的一元一次方程，求解即可．【详解】∵x=2y=m是方程3x+2y=10的一个解，∴6+2m=10，解得m=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一次方程求解是解题的关键．25．（2023·江苏镇江·中考真题）若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根，则m的值为．26．（2023·四川内江·中考真题）已知a、b是方程x2+3x−4=0的两根，则a2+4a+b−3=．【答案】−2【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得a+b=−3,a2+3a−4=0，从而得到a2+3a=4，然后代入，即可求解．【详解】解：∵a，b是方程x2+3x−4=0的两根，∴a+b=−3,a2+3a−4=0，∴a2+3a=4，∴a2+4a+b−3=a2+3a+a+b−3=4+(−3)−3=−2．故答案为：−2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．题型08 根据一元二次方程根的情况求参数27．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程x2−(2k−2)x+k2−1=0有两个实数根，则(k−1)2−(2−k)2的化简结果是（）A．−1B．1C．−1−2k D．2k−328．（2023·江苏连云港·中考真题）若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．【答案】m<1【分析】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，∴Δ=4−4m>0，解得：m<1．故答案为：m<1．29．（2021·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程ax2+4x−2=0有实数根，则a的取值范围为．30．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程x2+2x+3−k=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程的两个根为α，β，且k2=αβ+3k，求k的值．题型09 根据一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围31．（2023·广东潮州·二模）如果关于x的不等式组6x−m≥05x−n<0的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对(m,n)共有（ ）A．42对B．36对C．30对D．11对33．（2023·四川宜宾·中考真题）若关于x +1>x+a①1≥52x−9②所有整数解的和为14，则整数a的值为．综上，整数a的值为2或−1故答案为：2或−1．【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数的意义是解题的关键．题型10 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围34．（2023·湖北鄂州·中考真题）已知不等式组x−a>2x+1<b的解集是−1<x<1，则(a+b)2023=（ ）A．0B．−1C．1D．202335．（2023·湖北黄石·中考真题）若实数a使关于x的不等式组−2<x−1<3x−a>0的解集为−1<x<4，则实数a 的取值范围为．【答案】a≤−1/−1≥a【分析】根据不等式的性质解一元一次不等组，再根据不等式组的取值方法即可且求解．【详解】解：−2<x−1<3①x−a>0②，由①得，−1<x <4；由②得，x >a ；∵解集为−1<x <4，∴a ≤−1，故答案为：a ≤−1．【点睛】本题主要考查解不等式组，求不等式组解集，掌握解不等式组的方法，不等组的取值方法等知识是解题的关键．题型11 整式方程（组）与一元一次不等式结合求参数的问题37．（2022·四川泸州·中考真题）若方程x−3x−2+1=32−x 的解使关于x 的不等式(2−a )x−3>0成立，则实数a 的取值范围是 ．把x =1代入不等式(2−a )x−3>0得：2−a−3>0解得a <−1故答案为：a <−1【点睛】本题综合考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解题的关键是熟记相关运算法则．38．（2023·四川泸州·一模）已知方程3−a a−4−a =14−a ，且关于x 的不等式a ≤x <b 只有3个整数解，则b 的取值范围是 ．39．（2021·湖北荆州·中考真题）已知：a 是不等式5(a−2)+8<6(a−1)+7的最小整数解，请用配方法解关于x 的方程x 2+2ax +a +1=0．25 / 3140．（2022·江苏苏州·一模）若不等式3x +2≤4x−1的最小整数解是方程23x−13mx =1的解，求m 的值．。

第二单元 方程与不等式第5讲 一次方程(组)命题点1 等式的性质1．(2018·河北T7·3分)有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是(A)命题点2 一次方程(组)的概念及解法2．(2015·河北T11·2分)利用加减消元法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝－10，①5x －3y ＝6，② 下列做法正确的是(D)A ．要消去y ，可以将①×5＋②×2B ．要消去x ，可以将①×3＋②×(－5)C ．要消去y ，可以将①×5＋②×3D ．要消去x ，可以将①×(－5)＋②×23．(2011·河北T19·8分)已知⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3是关于x ，y 的二元一次方程3x ＝y ＋a 的解，求(a ＋1)(a －1)＋7的值．解：∵⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3是关于x ，y 的二元一次方程3x ＝y ＋a 的解，∴23＝3＋a.∴a ＝ 3.∴(a ＋1)(a －1)＋7＝a 2－1＋7＝3－1＋7＝9. 命题点3 一次方程(组)的应用4．(2016·河北T22·9分)已知n 边形的内角和θ＝(n －2)×180°.(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n ；若不对，说明理由；(2)若n 边形变为(n ＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x. 解：(1)甲对，乙不对．理由：∵θ＝360°，∴(n －2)×180°＝360°. 解得n ＝4.∵θ＝630°，∴(n －2)×180°＝630°.解得n ＝112.∵n 为整数，∴θ不能取630°. (2)依题意，得(n －2)×180°＋360°＝(n ＋x －2)×180°. 解得x ＝2.重难点1 一次方程(组)的解法(2017·广州)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，①2x ＋3y ＝11.②【自主解答】 解：方法一：由①，得x ＝5－y.③把③代入②，得2(5－y)＋3y ＝11.解得y ＝1. 把y ＝1代入③，得x ＝5－1＝4.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.方法二：由①，得y ＝5－x.③把③代入②，得2x ＋3(5－x)＝11.解得x ＝4. 把x ＝4代入③，得y ＝5－4＝1.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.方法三：①×3－②，得x ＝4.把x ＝4代入①，得y ＝1.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.方法四：②－①×2，得y ＝1.把y ＝1代入①，得x ＝4.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.【变式训练1】解方程：x ＋x －12＝1－x ＋23. 解：6x ＋3(x －1)＝6－2(x ＋2)．6x ＋3x ＋2x ＝3＋6－4. 11x ＝5. x ＝511., 教师提示切入点1：利用代入消元法，消去x. 切入点2：利用代入消元法，消去y. 切入点3：利用加减消元法，消去y. 切入点4：利用加减消元法，消去x.方法指导在对二元一次方程组进行消元时，要根据方程组的特点灵活选择代入消元法或加减消元法： (1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者－1时，选用代入消元法较合适； (2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法较合适；(3)当两个方程中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法较合适； (4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法较合适．易错提示利用加减消元法解方程时，将方程的两边同乘一个适当的数时，不要漏乘其中任何一项． 重难点2 一次方程(组)的实际应用(2017·海南)在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参加运土，已知5辆甲种车和2辆乙种车一次共运土64立方米，3辆甲种车和1辆乙种车一次共运土36立方米，求甲、乙两种车每辆一次分别运土多少立方米．【自主解答】 解：方法一：设甲种车每辆一次运土x 立方米，乙种车每辆一次运土y 立方米，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝64，3x ＋y ＝36.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝12. 答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．方法二：设甲种车每辆一次运土x 立方米，则乙种车每辆一次运土(36－3x)立方米，由题意，得 5x ＋2(36－3x)＝64，解得x ＝8.则36－3x ＝12.答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．方法三：设乙种车每辆一次运土x 立方米，则甲种车每辆一次运土36－x3立方米，由题意，得5×36－x 3＋2x ＝64，解得x ＝12.则36－x 3＝8.答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．方法四：设甲种车每辆一次运土x 立方米，则乙种车每辆一次运土64－5x 2立方米，由题意，得3x ＋64－5x 2＝36，解得x ＝8.则64－5x 2＝12.答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．方法五：设乙种车每辆一次运土x 立方米，则甲种车每辆一次运土64－2x5立方米，由题意，得3×64－2x 5＋x ＝36，解得x ＝12.则64－2x 5＝8.答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．【变式训练2】 (2018·长沙)随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5 200元．(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？ 解：(1)设打折前甲品牌粽子每盒x 元，乙品牌粽子每盒y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ＝600，50×0.8x ＋40×0.75y ＝5 200，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40，y ＝120. 答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．(2)80×40＋100×120－80×0.8×40－100×0.75×120＝3 640(元)． 答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3 640元．, 教师提示切入点1：设甲种车每辆一次运土x 立方米，乙种车每辆一次运土y 立方米，根据题意所述的两个等量关系列方程组，解方程组即可得出答案．切入点2：设甲种车每辆一次运土x 立方米，由等量关系：3甲＋1乙＝36得出乙种车每辆一次运土(36－3x)立方米，再根据等量关系：5甲＋2乙＝64列方程，解方程即可得出答案．切入点3：设乙种车每辆一次运土x 立方米，由等量关系：3甲＋1乙＝36得出甲种车每辆一次运土36－x3立方米，再根据等量关系：5甲＋2乙＝64列方程，解方程即可得出答案．切入点4：设甲种车每辆一次运土x 立方米，由等量关系：5甲＋2乙＝64得出乙种车每辆一次运土64－5x2立方米，再根据等量关系：3甲＋1乙＝36列方程，解方程即可得出答案．(转下页)Ｋ(接上页),切入点5：设乙种车每辆一次运土x 立方米，由等量关系：5甲＋2乙＝64得出甲种车每辆一次运土\f(64－2x,5)立方米，再根据等量关系：3甲＋1乙＝36列方程，解方程即可得出答案．,方法指导)列方程(组)的关键是寻找等量关系．寻找等量关系常用的方法有：(1)抓住不变量； (2)找关键词；(3)画线段图或列表格； (4)运用数学公式．当题中含有多个等量关系时，列方程组可降低难度．一般情况，一个等量关系只能用一次．Ｋ1．(2017·永州)若x ＝1是关于x 的方程2x －a ＝0的解，则a 的值是(B)A ．－2B ．2C ．－1D ．12．(2018·河北中考预测)若a ，b 互为倒数，则关于x 的方程－2abx ＋3＝0的解是(C)A ．x ＝0B ．x ＝－32C ．x ＝32D ．任意数3．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧26x ＋29y ＝3，①29x ＋26y ＝－3，②下列四种方法中，最简便的是(D)A ．代入消元法B ．①×29－②×26，先消去xC ．①×26－②×29，先消去yD ．①＋②，再利用代入消元法4．(2018·桂林)若|3x －2y －1|＋x ＋y －2＝0，则x ，y 的值为(D)A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1 5．(2018·石家庄裕华区一模)如图，嘉淇同学拿20元钱正在和售货员对话，且一个笔记本比1支笔贵3元，请你仔细看图，1个笔记本和1支笔的单价分别为(A)A ．5元，2元B ．2元，5元C ．4.5元，1.5元D ．5.5元，2.5元6．(2018·河北考试说明)装有一些液体的长方体玻璃容器，水平放置在桌面上时，液体的深度为6 cm ，其正面如图1所示，将容器倾斜，其正面如图2所示，已知液体部分正面的面积保持不变，当AA 1＝4 cm 时，BB 1＝(B)A ．10 cmB ．8 cmC ．6 cmD ．4 cm7．(2018·枣庄)若二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，3x －5y ＝4的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b ，则a －b ＝74．8．(2018·攀枝花)解方程：x －32－2x ＋13＝1.解：去分母，得3(x －3)－2(2x ＋1)＝6.去括号，得3x －9－4x －2＝6. 移项，得－x ＝17.系数化为1，得x ＝－17.9．(2018·嘉兴)用消元法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝5，①4x －3y ＝2②时，两位同学的解法如下：解法一：由①－②，得3x ＝3.解法二：由②，得3x ＋(x －3y)＝2，③ 把①代入③，得3x ＋5＝2.(1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有错误，请在错误处打“×”； (2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答． 解：(1)解法一中的解题过程有错误， 由①－②，得3x ＝3“×”． 应为由①－②，得－3x ＝3.(2)由①－②，得－3x ＝3，解得x ＝－1.把x ＝－1代入①，得－1－3y ＝5，解得y ＝－2.故原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.10．(2018·唐山路北区二模)某市对供水范围内的居民用水实行“阶梯收费”，具体收费标准如下表：(1)求a 的值；(2)若该户居民四月份所缴水费为71元，求该户居民四月份的用水量． 解：(1)由题意，得10a ＝23，解得a ＝2.3. 答：a 的值为2.3.(2)设该户居民四月份的用水量为x 立方米，∵用水22立方米时，水费为22×2.3＝50.6<71， ∴用水量x>22.∴22×2.3＋(x －22)×(2.3＋1.1)＝71，解得x ＝28. 答：该户居民四月份的用水量为28立方米．11．(2018·唐山丰润区一模)已知⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝k ，x －y ＝4k ＋3，如果x 与y 互为相反数，那么(C)A ．k ＝0B ．k ＝－34C ．k ＝－32D ．k ＝3412．(2018·扬州)对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b ＝2a ＋b ，例如3⊗4＝2×3＋4＝10.(1)求2⊗(－5)的值；(2)若x ⊗(－y)＝2，且2y ⊗x ＝－1，求x ＋y 的值． 解：(1)∵a ⊗b ＝2a ＋b ，∴2⊗(－5)＝2×2＋(－5)＝4－5＝－1. (2)∵x ⊗(－y)＝2，且2y ⊗x ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，4y ＋x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝79，y ＝－49.∴x ＋y ＝79－49＝13.13．(2018·河北中考预测)如图，已知数轴上一枚硬币恰好与原点O 相切，将这枚硬币沿数轴向右无滑动滚动一周，点O 恰好到达点A 处．(1)将这枚硬币从点A 开始沿坐标轴向左滚动两周，到达点B ，则点B 对应的数是－3；(2)将这枚硬币从表示数a 的点C 处开始，先向左滚动1周，得到点D ，再向右滚动5周得到点E ，最后向左滚动2周得到点F.若点D ，E ，F 所代表的数字之和为8，求a 的值．解：根据题意，点C 表示的数为a ，向左滚动1周得到点D ，则点D 表示的数为a －3，再向右滚动5周得到点E ，则点E 表示的数为a －3＋3×5，再向左滚动2周得到点F ，则点F 表示的数为a －3＋3×5－3×2，∴a －3＋(a －3＋15)＋(a －3＋15－6)＝8，解得a ＝－73.14．【数学文化】(2018·宜昌)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，是古代的一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．解：设1个大桶可以盛酒x 斛，1个小桶可以盛酒y 斛，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋y ＝3，x ＋5y ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1324，y ＝724. 答：1个大桶可以盛酒1324斛，1个小桶可以盛酒724斛．。