初一数学竞赛系列讲座
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分析１：将已知方程按a整理得(x+y-２)a=x-2ｙ-５，要使这些方程有一个公共解，说明这个解与a的取值无关，所以只须a的系数x＋y-2=0即可。
解法1:将方程按a整理得:(x+ｙ－2）ａ=ｘ－2y-5,
∵这个关于ａ的方程有无穷多个解,所以有
由于x、y的值与a的取值无关,所以对于任何的a值，方程组有公共解
不等式的同解原理2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。
不等式的同解原理3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,并把不等号改变方向后,所得的不等式与原不等式是同解不等式。
二、例题精讲
例１ 解方程
分析：按常规去括号整理后再解，显然较繁，通过观察发现方程中只含有(x＋1）、（x-1）项,因而可将（ｘ＋１)、(ｘ-1）看作整体，先进行移项合并,则能化繁为简。
６、不等式的基本性质和同解原理
不等式的基本性质
(1)(１)反身性如果a>ｂ，那么b＜a
(2)(2）传递性如果a>b，b＞ｃ,那么ａ>c
(3)（3）平移性如果a＞ｂ，那么a+ｃ>b＋c
(4)(4)伸缩性如果ａ>ｂ，ｃ>0,那么aｃ>ｂｃ
如果ａ＞b，ｃ＜０,那么ac＜bc
不等式的同解原理1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得的不等式与原不等式是同解不等式。
4、不定方程
不定方程(组）是指未知数的个数多于方程个数的方程(组）。它的解往往有无穷多个,不能唯一确定，对于不定方程（组),我们常常限定只求整数解或正整数解。
定理：若整系数不定方程ax+ｂy=c (ａ、b互质）有一组整数解为x０,ｙ0，则此方程的全部整数解可表示为：
5、一次不等式（组）
只含一个未知数，而且未知数的最高次数是１的不等式称为一元一次不等式,它的一般形式是ａx>b或aｘ＜ｂ(ａ≠０），任何一个一元一次不等式总可以通过去分母,去括号,移项,合并同类项化为一般形式,解不等式的根据是不等式的同解原理。
评注：本题是通过先探求一个特解,由特解写出通解，再由通解求出整数解,这是求不定方程整数解的一般步骤。
例7小明玩套圈游戏,套中小鸡一次得9分，套中小猴得５分，套中小狗得２分。小明共套１0次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。小明套10次共得６１分。问：小鸡至少被套中几次?（第四届华杯赛初赛试题)
整理得0•a＝0,说明无论ａ取什么值,方程总是成立。
评注:本题两种解法,第一种是将已知方程整理成关于a的形式，通过解与ａ无关，得出关于ｘ、y的方程组,从而求出公共解。第二种是先探求公共解,再证明这个解与ａ无关。这两种解法的思路正好相反。
例5求不定方程4ｘ+y=3xy的一切整数解
解:由原方程得:
∵x是整数，∴3y-4＝±1，±2，±4，由此得y=
第二个方程组的各式系数较大，直接用代入消元或加减消元比较繁，观察这个方程组的特点,将三式相加可得ｘ＋ｙ+z，然后再用三式去分别减可得x、ｙ、z的值。
解：(１)设 ，代入(２)得k=5
∴x=１0，y=１5，ｚ=2０
∴原方程组的解为
(2) (１）+（2）+(3)得2２(x＋y+z）=4４,所以x+y+z=2所以３ （x+y＋z)=6（4)
分析2:分别取a=1和－2得方程3ｙ+３=0和－3x＋９=0,因a取不同的值，所得方程有一个公共解，所以这个公共解就是方程组 的解。
解法２：令ａ=1,得:3y+3=0
令a=-２,得：-3ｘ＋９=0
解方程组 得 ,则 就是所求的公共解。
将x=3,y=-1代入(a-1) x+（a+２) y+5－2ａ=０得：３(a-1）-（a＋2) +５-２a=0
取整数解ｙ＝2，１，０，对应的x＝１,－1，0
所以方程的整数解为
评注:本题是用数的整除性来求不定方程的整数解。
例6求方程１２3x+57y=531的全部正整数解
解：方程两边同除以3得：4１x+19y=177
所以
∵x、y是整数，∴ 也是整数,取x=２得y＝5
∴方程123x+57y＝531的整数解为:
由
因此方程123x+57y=531只有一组整数解
解一元一次方程的一般步骤是：分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1。
2、方程ax=ｂ(a、b为常数)的解的情形
当a≠０时，方程ａx=b有唯一解
当a=0，b＝０时,方程ax=b有无数多个解,即方程的解为任何有理数。
当a=０,b≠0时,方程aｘ=b无解。
3、一次方程组
解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法”
（1）-(4)得13x=4,则x=
（２)-(4)得13ｙ=８，则ｙ=
(3)－(4)得１３z=14，则z=
所以原方程组的解为
评注：解方程组时，应对方程组的整体结构进行分析，从整体上把握解题方向。
例４已知关于x，y的二元一次方程(ａ-1）x+(a+２)ｙ+5-2a＝0，当ａ每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解。你能求出这个公共解,并证明对任何a值它都能使方程成立吗?
分析:设出未知数，列出不定方程，然后求不定方程的正整数解。
解:设套中小鸡x次，套中小猴y次，套中小狗z次,根据题意得
我们求这个方程组的正整数解。
消去z得：7x+3y=41，于是
则x< ，从而ｘ的值只能是1，2,3，4，5
解:移项，得
合并，得
去括号,移项,可解得x＝-5
评注:本题是整体处理思想的应用。
例2解关于ｘ的方程
解：原方程整理得:(4m-3)x＝4mn-３m
故当4m-３≠０时,即
当4m-3=0时,即
此时，若
若
综上所述,当 ;
当 ;
当
评注:含参方程必须对参数进行讨论。
例3解方程组(1) (2)
分析:第一个方程组的(1)式是一个连比式，对于连比式常用连比设ｋ法来解决。
初一数学竞赛系列讲座
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————————————————————————————————日期：
ﻩ
初一数学竞赛系列讲座(8)
解一次方程(组）与一次不等式（组）
一、知识要点
1、一元一次方程
方程中或者不含分母，或者分母中不含未知数,将它们经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为最简形式ax＝b(a≠0)，它只含有一个未知数,并且未知数的次数是1，系数不等于0,我们把这一类方程叫做一元一次方程。
解法1:将方程按a整理得:(x+ｙ－2）ａ=ｘ－2y-5,
∵这个关于ａ的方程有无穷多个解,所以有
由于x、y的值与a的取值无关,所以对于任何的a值，方程组有公共解
不等式的同解原理2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。
不等式的同解原理3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,并把不等号改变方向后,所得的不等式与原不等式是同解不等式。
二、例题精讲
例１ 解方程
分析：按常规去括号整理后再解，显然较繁，通过观察发现方程中只含有(x＋1）、（x-1）项,因而可将（ｘ＋１)、(ｘ-1）看作整体，先进行移项合并,则能化繁为简。
６、不等式的基本性质和同解原理
不等式的基本性质
(1)(１)反身性如果a>ｂ，那么b＜a
(2)(2）传递性如果a>b，b＞ｃ,那么ａ>c
(3)（3）平移性如果a＞ｂ，那么a+ｃ>b＋c
(4)(4)伸缩性如果ａ>ｂ，ｃ>0,那么aｃ>ｂｃ
如果ａ＞b，ｃ＜０,那么ac＜bc
不等式的同解原理1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得的不等式与原不等式是同解不等式。
4、不定方程
不定方程(组）是指未知数的个数多于方程个数的方程(组）。它的解往往有无穷多个,不能唯一确定，对于不定方程（组),我们常常限定只求整数解或正整数解。
定理：若整系数不定方程ax+ｂy=c (ａ、b互质）有一组整数解为x０,ｙ0，则此方程的全部整数解可表示为：
5、一次不等式（组）
只含一个未知数，而且未知数的最高次数是１的不等式称为一元一次不等式,它的一般形式是ａx>b或aｘ＜ｂ(ａ≠０），任何一个一元一次不等式总可以通过去分母,去括号,移项,合并同类项化为一般形式,解不等式的根据是不等式的同解原理。
评注：本题是通过先探求一个特解,由特解写出通解，再由通解求出整数解,这是求不定方程整数解的一般步骤。
例7小明玩套圈游戏,套中小鸡一次得9分，套中小猴得５分，套中小狗得２分。小明共套１0次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。小明套10次共得６１分。问：小鸡至少被套中几次?（第四届华杯赛初赛试题)
整理得0•a＝0,说明无论ａ取什么值,方程总是成立。
评注:本题两种解法,第一种是将已知方程整理成关于a的形式，通过解与ａ无关，得出关于ｘ、y的方程组,从而求出公共解。第二种是先探求公共解,再证明这个解与ａ无关。这两种解法的思路正好相反。
例5求不定方程4ｘ+y=3xy的一切整数解
解:由原方程得:
∵x是整数，∴3y-4＝±1，±2，±4，由此得y=
第二个方程组的各式系数较大，直接用代入消元或加减消元比较繁，观察这个方程组的特点,将三式相加可得ｘ＋ｙ+z，然后再用三式去分别减可得x、ｙ、z的值。
解：(１)设 ，代入(２)得k=5
∴x=１0，y=１5，ｚ=2０
∴原方程组的解为
(2) (１）+（2）+(3)得2２(x＋y+z）=4４,所以x+y+z=2所以３ （x+y＋z)=6（4)
分析2:分别取a=1和－2得方程3ｙ+３=0和－3x＋９=0,因a取不同的值，所得方程有一个公共解，所以这个公共解就是方程组 的解。
解法２：令ａ=1,得:3y+3=0
令a=-２,得：-3ｘ＋９=0
解方程组 得 ,则 就是所求的公共解。
将x=3,y=-1代入(a-1) x+（a+２) y+5－2ａ=０得：３(a-1）-（a＋2) +５-２a=0
取整数解ｙ＝2，１，０，对应的x＝１,－1，0
所以方程的整数解为
评注:本题是用数的整除性来求不定方程的整数解。
例6求方程１２3x+57y=531的全部正整数解
解：方程两边同除以3得：4１x+19y=177
所以
∵x、y是整数，∴ 也是整数,取x=２得y＝5
∴方程123x+57y＝531的整数解为:
由
因此方程123x+57y=531只有一组整数解
解一元一次方程的一般步骤是：分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1。
2、方程ax=ｂ(a、b为常数)的解的情形
当a≠０时，方程ａx=b有唯一解
当a=0，b＝０时,方程ax=b有无数多个解,即方程的解为任何有理数。
当a=０,b≠0时,方程aｘ=b无解。
3、一次方程组
解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法”
（1）-(4)得13x=4,则x=
（２)-(4)得13ｙ=８，则ｙ=
(3)－(4)得１３z=14，则z=
所以原方程组的解为
评注：解方程组时，应对方程组的整体结构进行分析，从整体上把握解题方向。
例４已知关于x，y的二元一次方程(ａ-1）x+(a+２)ｙ+5-2a＝0，当ａ每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解。你能求出这个公共解,并证明对任何a值它都能使方程成立吗?
分析:设出未知数，列出不定方程，然后求不定方程的正整数解。
解:设套中小鸡x次，套中小猴y次，套中小狗z次,根据题意得
我们求这个方程组的正整数解。
消去z得：7x+3y=41，于是
则x< ，从而ｘ的值只能是1，2,3，4，5
解:移项，得
合并，得
去括号,移项,可解得x＝-5
评注:本题是整体处理思想的应用。
例2解关于ｘ的方程
解：原方程整理得:(4m-3)x＝4mn-３m
故当4m-３≠０时,即
当4m-3=0时,即
此时，若
若
综上所述,当 ;
当 ;
当
评注:含参方程必须对参数进行讨论。
例3解方程组(1) (2)
分析:第一个方程组的(1)式是一个连比式，对于连比式常用连比设ｋ法来解决。
初一数学竞赛系列讲座
———————————————————————————————— 作者:
————————————————————————————————日期：
ﻩ
初一数学竞赛系列讲座(8)
解一次方程(组）与一次不等式（组）
一、知识要点
1、一元一次方程
方程中或者不含分母，或者分母中不含未知数,将它们经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为最简形式ax＝b(a≠0)，它只含有一个未知数,并且未知数的次数是1，系数不等于0,我们把这一类方程叫做一元一次方程。
