初一数学竞赛讲座4

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初一数学竞赛讲座(四)

有理数的有关知识

一、 知识要点

1、绝对值

x的绝对值x的意义如下：x=00xxxx，如果，如果

x是一个非负数，当且仅当x=0时，x=0

绝对值的几何意义是：一个数的绝对值表示这个数对应的数轴上的点到原点的距离；由此可得：ba表示数轴上a点到b点的距离。

2、倒数

1除以一个数(零除外)的商，叫做这个数的倒数。如果两个数互为倒数，那么这两个数的积等于1。

3、相反数

绝对值相同而符号相反的两个数互为相反数。两个互为相反数的数的和等于0。

二、 例题精讲

例1 化简 6312xxx

分析：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0求出零点，然后用零点分段法将绝对值去掉，从而达到化简的目的。

解：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0 分别求得：x= -1/2， x=3，

x=6 实用文档

01-3当21x时，原式= -(2x+1)+(x-3) - (x-6)= -2x+2

当321x时，原式= (2x+1)+(x-3) - (x-6)= 2x+4

当63x时，原式= (2x+1)-(x-3) - (x-6)= 10

当x≥6时，原式= (2x+1)-(x-3) + (x-6)= 2x-2

∴原式=时当，时当，时当，时当，6x 2-2x63 103 42 222121xxxxx

评注：用零点分段法，通过零点分段将绝对值去掉，从而化简式子，解决问题是解决含绝对值问题的基本方法。

例2 已知312351312xxxxx，求的最大值和最小值。(第六届迎春杯决赛试题)

分析：先解不等式，求出x的范围，然后利用绝对值的几何意义来求最大值和最小值。

解：解不等式2351312xxx得： 117x

117

31xx的几何意义是x到1的距离与x到-3的距离的差，从上图中可以看出：当x≤-3时这差取得最大值4，因117x，则实用文档

当117x时这差取得最小值1133.

评注：1、本题是采用数形结合的思想，用绝对值的几何意义来解题。

2、本题求得x的范围后，也可用零点分段法将31xx化简，然后求出最大值和最小值。

31xx=11732231 3 431xxxxxxx，当时当，

由上式可以看出：当x≤-3时取得最大值4，当117x时取得最小值1133

例3 解方程0 13.72811 1415926.3 yyxx

(第六届华杯赛决赛初一试题)

分析：两个非负数的和是0，这两个非负数必须都是0。

解：由原方程得

)2( 013.72811)1( 01415926.3yyxx

由(1)得：1415926.3xx

从而 x=x-3.1415926或x=3.1415926-x，所以x=1.5707963 实用文档

由(2)得：13.72811yy

从而 yyy13.7811y 13.72811或

所以 y=2001701或 y=6001151

于是，原方程的解是  60011515707963.1 20017015707963.1yxyx

评注：两个非负数的和是0，这两个非负数必须都是0是解题中常用的一个结论。本题中，求1415926.3xx中的x值也可以用绝对值的几何意义来解，1415926.3xx表示x到原点与到3.1415926的距离相等，因而x是原点与点3.1415926连结线段的中点，即x=1.5707963

例4 有理数cba,,均不为0，且.0cba设|,|||||||bacacbcbax试求代数式xx99192000之值。(第11届希望杯培训题)

分析：要求代数式xx99192000的值，必须求出x的值。根据 x的特征和已知条件，分析a与b+c,b与a+c，c与a+b的关系，从而求出x的值。

解：由cba,,均不为0，知baaccb,,均不为0．

∵.0cba ∴).(),(),(bacacbcba

即 ,1,1,1bacacbcba

又cba,,中不能全同号，故必一正二负或一负二正． 实用文档

所以bacacbcba||,||,||中必有两个同号，即其值为两个＋1，一个－1或两个－1，一个＋1．

∴ ,1||||||bacacbcba ∴ .1||||||bacacbcbax

因此，20009919xx.19022000991

例5已知a、b、c为实数，且514131accacbbcbaab，，

求cabcababc的值。(第8届希望杯试题)

分析：直接对已知条件式进行处理有点困难，根据已知条件式的结构特征，可以将它们两边取倒数。

解：由已知条件可知a≠0，b≠0，c≠0，对已知三式取倒数得：

511 411 311accbba，，

三式相加除以2得：6111cba

因为6111cbaabccabcab，所以cabcababc=61

例6 求方程132xx的实数解的个数。(1991年祖冲之杯数学邀请赛试题)

分析：1可以化成：32xx，于是32xx32xx

由绝对值的性质：若ab≤0，则baba可得(x-2) (x-3)≤0

从而求得x 实用文档

解：原方程可化为：32xx32xx

则 (x-2) (x-3)≤0，所以0302 0302xxxx或，所以2≤x≤3

因此原方程有无数多个解。

评注：本题很巧妙地将“1”代换成32xx，然后可利用绝对值的性质来解题。在解数学竞赛题时，常常要用到“1”的代换。

例7 求关于x的方程1)a(0 012 ax的所有解的和。

解：由原方程得 ax12 ，∴ax12

∵0

从而，x1=3+a， x2=3-a， x3=1+a， x4=1-a

∴x1+x2+x3+x4=8，即原方程所有解的和为8

例8 已知：的值，求，且1012422xxxaaxxx。

分析：直接求值有困难，但我们发现将已知式和待求式倒过来能产生xx1，通过将xx1整体处理来求值。

解：∵axxxaaxxx110122，，且

即aaaxxaxx1111 111

而22222224211111111aaaaxxxxxxx 实用文档

∴aaxxx2112242

评注：本题通过将xx1整体处理来解决问题，整体处理思想是一种常用的数学思想。

例9 解方程组222222121212yyzxxyzzx (1984年江苏省苏州市初中数学竞赛试题)

解：观察得，x=y=z=0为方程组的一组解。当xyz≠0时，将原方程组各方程两边取倒数得：

)3( 112)2( 112)1( 112222yzxyzx (1)+(2)+(3)得：2221113222yxzzyx

∴01111113222111222222zyxzyxzyx

∴0111111zyx ∴x=y=z=1

故原方程组的解为：111

000zyxzyx或

评注：本题在对方程组中的方程两边取倒数时，不能忘了x=y=z=0实用文档

这组解。否则就会产生漏解。

三、 三、巩固练习

选择题

1、若的值是，则aaa12( )

A、1 B、-1 C、1或-1 D、以上都不对

2、方程132xx的解的个数是( ) (第四届祖冲之杯数学邀请赛试题)

A、0 B、1 C、2 D、3 E、多于3个

3、下面有4个命题：

①存在并且只存在一个正整数和它的相反数相同。

②存在并且只存在一个有理数和它的相反数相同。

③存在并且只存在一个正整数和它的倒数相同。

④存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同。

其中正确的命题是：（ ）

（A）①和② （B）②和③

（C）③和④ （D）④和①

4、两个质数的和是49，则这两个质数的倒数和是( )

A、4994 B、9449 C、4586 D、8645

5、设y=ax15+bx13+cx11-5(a、b、c为常数)，已知当x=7时，y=7，则x= -7时，y的值等于( ) 实用文档

A、-7 B、-17 C、17 D、不确定

6、若a、c、d是整数，b是正整数，且满足a+b=c，b+c=d，c+d=a，则a+b+c+d的最大值是( )

A、-1 B、0 C、1 D、-5

填空题

7、设a<0，且x≤21

,xxaa则=

8、a、b是数轴上两个点，且满足a≤b。点x到a的距离是x到b的距离的2倍，则x=

9、 若236ma与互为相反数，则ma

10、计算：100321132113211211

11、若a是有理数，则|)|(||||)(aaaa的最小值是＿＿＿.

12、有理数cba,,在数轴上的位置如图所示，化简

._____|1||||1|||ccabba

解答题

13、化简：325xx

14、已知200222110112baba，求

15、若abc≠0，求ccbbaa的所有可能的值

16、X是有理数，求22195221100xx的最小值。