广西南宁二中下学期高中数学模拟试题

广西壮族自治区南宁市二中2024学年高三3月教学质量监测联考数学试题试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭2．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.83．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a 的最小值为（ ） A ．24()27B ．34()27C ．44()27D ．54()274．函数()2xx e f x x=的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是（ ）A ．(1,2]B ．(2,3]C ．(2,5]D ．(3,5]6．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．1,e 2⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,2e e ⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭7．已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．已知椭圆2222:1x y C a b+=的短轴长为2，焦距为1223F F ，、分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]1,2B ．2,3⎡⎤⎣⎦C ．2,4⎡⎤⎣⎦D ．[]1,49．函数()cos2xf x x =的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知0x >，a x =，22xb x =-，ln(1)c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<11．已知函数13()4sin 2,0,63f x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈π ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,...,n x x x x ，且123...n x x x x <<<<，则123122...2n n x x x x x -+++++=（ ）A ．503πB ．21πC ．1003πD ．42π12．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ） A ．147B ．294C ．882D ．1764二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

南宁二中高二年级下学期数学测试题（一）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1.五位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A.．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种解析：5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25=32种，选D 。

2. 10)1(xx -的展开式中x 8的系数是 ( )A.．-10 B ．15 C ．10 D ．-15 答案：A.3.设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）A.．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的考查，充分调动了立体几何中的基本元素关系．解析：对于A.、B 、D 均可能出现//l β，而对于C 是正确的．4. 在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有 A.36个 B.24个 C.18个 D.6个解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有33A 种方法（2）3个数字中有一个是奇数，有1333C A ，故共有33A ＋1333C A ＝24种方法，故选B5.若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=a 平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值为（ ）A.8或－2B.6或－4C.4或－6D.2或－8 答案：A.6.若四棱锥的各个侧面与底面所成的二面角的大小都相等，则这个棱锥的底面是（ ）A.圆内接四边形B.圆外切四边形C.菱形D.正方形 答案B7. 抛物线24x y =的焦点到准线的距离是（ ）A.81 B.41C.2D.4 答案：A8.正四面体S －A.BC 中，D 为SC 的中点，则BD 与SA.所成角的余弦值是A. 2B. 3C. 6D. 6 答案D9.从单词”equ a tion”选取5个不同的字母排成一排，含有”qu” （其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有（ ）A.120个B.480个C.720个D.840个 答案B10.球面上有三个点，任意两点的球面距离等于大圆周长的16，经过这三个点的小圆周长为4π，那么球的半径为（ ）A. 43B.23C.2D. 3答案B11.已知球的表面积为20π，球面上有A.、B 、C 三点，如果A.B =A.C =2，BC =32，则球心到平面A.BC 的距离为（ ）A.3B.2C.1D.2 答案C12.设O 为坐标原点，A.、B 为抛物线24y x =上两点，F 为抛物线的焦点，λλ(FB AF =∈R ），则=⋅OB OA （ ）A.－3B.3C.－3λD.3λ答案A.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13. 103)21(xx -的展开式中，有理项的项数共有________项.答案：214.如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；②P 在直线1BC 上运动时，直线A.P 与平面A.CD 1所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线 其中真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号） 答案： ①③④15. 已知直线y = kx －1与双曲线x 2－y 2=1的左支交于A.、B 两点，则k 的取值范围为 答案：)1,2(--．16. 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有______________种（用数字作答）. 答案：264三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17. （本小题满分10分）答案：（1）略（2）arctan 5518.（本小题满分12分）已知四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，CD AB //，1==CD AD ，3=PA ，︒=∠120BAD ，︒=∠90ACB ．（I ）求证：⊥BC 平面PAC ；（II ）求二面角D —PC —A.的大小. 答案：（1）略（2）arctan219. （本题满分12分）已知动圆过定点(2,0)，且与直线x ＝－2相切． (1)求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2)是否存在直线l ，使l 过点(0,2)，并与轨迹C 交于P ，Q 两点，且满足OP u u u r ·OQ u u u r＝0？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)如图，设M 为动圆圆心，F (2，0)，过点M 作直线x ＝－2的垂线，垂足为N ， 由题意知：|MF |＝|MN |，即动点M 到定点F 与到定直线x ＝－2的距离相等， 由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中F (2,0)为焦点，x ＝－2为准线，所以动圆圆心轨迹C 的方程为y 2＝8x .A BCDP(2)由题可设直线l 的方程为x ＝k (y －2)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k (y －2)y 2＝8x，得y 2－8ky ＋16k ＝0，Δ＝(－8k )2－4×16k >0，解得k <0或k >1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8k ，y 1y 2＝16k ，由OP u u u r ·OQ u u u r＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即k 2(y 1－2)(y 2－2)＋y 1y 2＝0， 整理得：(k 2＋1)y 1y 2－2k 2(y 1＋y 2)＋4k 2＝0，代入得16k (k 2＋1)－2k 2·8k ＋4k 2＝0，即16k ＋4k 2＝0，解得k ＝－4或k ＝0(舍去)， 所以直线l 存在，其方程为x ＋4y －8＝0.20.（本题满分12分）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线23ax =与双曲线交于P 、Q 两点．（I ）若152||=PQ ，8||1=PF ，求双曲线的方程；（II ）若点P 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，求双曲线的离心率的取值范围． 解：（I ）不妨设点P 在第一象限，由条件及152||=PQ 可知，点P 的坐标为)15,23(a， 代入12222=-by a x ，解得122=b ， ……（2分）又8||1=PF ，∴7)15(82322=-=+c a①，又12222==-b a c ②， 联立①、②，解得4,2==c a ，或576,574-==c a （舍去）， ……（5分） ∴双曲线方程为112422=-y x ． ……（6分） （II ）由双曲线的第二定义可得a c a ex PF p -=-=23||2， 又P 到左准线的距离为c a a 223+， ……（8分）依题意有c a a a c 22323+>-02532532>--⇒+>⇒e e ee ， ……（10分） 解得31-<e （舍去）或2>e ，所以双曲线离心率的取值范围是),2(+∞．……（12分）（21）（本小题满分12分）如图，设F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点，直线l 为其左准线，直线l 与x 轴交于点P ，线段MN 为椭圆的长轴，已知MF PM MN 2,8==；（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点P 的直线与椭圆相交于不同两点A.、B（3）求△ABF 面积的最大值。

2024届广西南宁市部分名校高考模拟数学试卷一、单选题(★★) 1. 已知是等比数列，，，则（）A．10B．C．6D．(★) 2. 若复数是纯虚数，则实数（）A．1B．C．D．0(★) 3. 如图，有三个相同的正方形相接，若，，则（）A．B．C．D．(★★★) 4. 已知正方形的四个顶点都在椭圆上，椭圆的两个焦点分别在边和上，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．(★★★) 5. 小明爬楼梯每一步走1级台阶或2级台阶是随机的，且走1级台阶的概率为，走2级台阶的概率为．小明从楼梯底部开始往上爬，在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了3步的概率是（）A．B．C．D．(★★★) 6. 已知圆，点在线段（）上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径作圆，则圆的面积的最大值为（）.A．B．C．D．(★★★)7. 《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（）A．B．C．D．(★★★★) 8. 若函数存在零点，则的最小值为（）A．B．C．D．二、多选题(★★) 9. 锐角三角形中，角，，所对应的边分别是，，，下列结论一定成立的有（）.A．B．C．若，则D．若，则(★★★) 10. 已知定义在上的奇函数，对，，且当时，，则（）A．B．有个零点C．在上单调递增D．不等式的解集是(★★★) 11. 已知正方体的棱长为2，过棱的中点作正方体的截面，下列说法正确的是（）A．该正方体外接球的表面积是B．若截面是正六边形，则直线与截面垂直C．若截面是正六边形，则直线与截面所成角的正弦值的3倍为2D．若截面过点，则截面周长为三、填空题(★★) 12. 集合子集的个数是 ______________ ．(★★★) 13. 设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则 _____ .(★★★★) 14. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 __________ .四、解答题(★★) 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)证明：；(2)记边AB和BC上的高分别为和，若，判断的形状．(★★★) 16. 已知函数，其中 .（1）求函数的单调区间；（2）对任意，都有，求实数的取值范围.(★★★) 17. 如图，在中，，，．将绕旋转得到，，分别为线段，的中点．(1)求点到平面的距离；(2)求平面与平面所成锐角的余弦值．(★★★★) 18. 已知双曲线：过点，离心率为.(1)求的方程；(2)过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值.(★★★★) 19. 夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若前一天选择绿豆汤，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而前一天选择银耳羹，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．(1)求该同学第2天选择绿豆汤的概率；(2)记该同学第天选择绿豆汤的概率为，证明：为等比数列；(3)求从第1天到第10天中，该同学选择绿豆汤的概率大于选择银耳羹概率的天数．。

2023年高考数学模拟试卷 注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f a f b f c << B ．()()()f a f c f b << C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b <<2．已知52i 12i a =+-（a ∈R ），i 为虚数单位，则a =（ ）A ．3B ．3C ．1D ．53．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．163 B ．6 C ．203 D ．2235．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（ ） A ．6种 B ．12种 C ．24种 D ．36种6．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ） A ．—1 B ．—3 C ．1D ．27．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．5C ．6D ．78．M 、N 是曲线y=πsinx 与曲线y=πcosx 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( ) A ．πB ．2πC ．3πD ．2π9．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A ．210B ．2613 C ．1313 D ．131010．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（）A ．1B ．1或12 C ．32 D ．3±11．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ）A ．163iB ．6iC ．203iD ．2012．已知集合{}|1A x x =>-，集合(){}|20B x x x =+<，那么A B 等于（ ）A ．{}|2x x >- B ．{}1|0x x -<< C ．{}|1x x >- D ．{}|12x x -<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

南宁市2025届普通高中毕业班摸底测试数学2024.9.18（全卷满分150分，考试用时120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数()17z i i =−，则z =（ ） A ．7i −+B ．7i −−C ．7i +D ．7i −2．已知命题:0p x ∃>，32x x =，:q x ∀∈R ，40 x >，则（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p 和q ¬都是真命题 C ．p ¬和q 都是真命题D ．p ¬和q ¬都是真命题3．已知向量a ，b 满足222a b a b −−，且1b = ，则a b ⋅= （ ）A ．14 B ．14− C ．12 D ．12− 4．某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间[]50,100内，按分数分成5组：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误．．的是（ ）A ．成绩在[)80,90上的人数最多B ．成绩不低于70分的学生所占比例为70%C ．50名学生成绩的平均分小于中位数D ．50名学生成绩的极差为505．已知()1,0A −，()1,0B ，在x 轴上方的动点M 满足直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之积为2，则动点M 的轨迹方程为（ ）A ．()22102y x x −=> B ．()22102y x y −=> C ．()22102x y x −=> D ．()22102x y y −=> 6．已知函数()()ln f x x mx =−，若对0x ∀>，()0f x ≥，则实数m 的取值范围为（ ）A ．10,eB ．(]0,1C ．(]0,eD ．(20,e7．已知正三棱台111ABC A B C −的侧面积为6，113AB A B =，1AA =，则1AA 与平面ABC 所成角的余弦值为（ ）A B C D 8．设函数()f x ax =，()2222x g x x x =−+，当[]0,2x ∈时，曲线()y f x =与曲线()y g x =的图象依次交于A ，B ，C 不同的三点，且||||AB BC =，则a =（ ） A ．2B ．-2C ．1D ．-1二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。

一、单选题二、多选题1. 若，则（ ）A ．2B．C．D ．42. 在等差数列中，已知，且，则当取最大值时，（ ）A ．10B ．11C ．12或13D ．133. 已知数列和首项均为1，且，，数列的前n项和为，且满足，则（ ）A ．2019B．C ．4037D．4.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．5.曲线：，下列两个命题：命题甲：当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128；命题乙：当k =2n ，时，曲线围成的面积总大于4；下面说法正确的是（ ）A ．甲是真命题，乙是真命题B ．甲是真命题，乙是假命题C ．甲是假命题，乙是真命题D ．甲是假命题，乙是假命题6.在平行四边形中，，点M 在AB 边上，且，则等于（ ）A．B．C．D．7.在中，角的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是A．B．C．D．8. 若，，则（ ）A．B．C ．2D ．19. 在棱长为2的正方体中，，点M 为棱上一动点（可与端点重合），则（ ）A ．当点M 与点A 重合时，四点共面且B ．当点M 与点B重合时，C ．当点M为棱的中点时，平面D ．直线与平面所成角的正弦值存在最小值10. 学校为了了解本校学生上学的交通方式，在全校范围内进行了随机调查，将学生上学的交通方式归为四类方式：A —结伴步行，B —自行乘车，C —家人接送，D —其他方式.并把收集的数据整理分别绘制成柱形图和扇形图，下面的柱形图和扇形图只给出了部分统计信息，则根据图中信息，下列说法正确的是（ ）广西南宁市第二中学2023届高三高考考前模拟大演练数学（理）试题三、填空题四、解答题A ．扇形图中D 的占比最小B ．柱形图中A 和C 一样高C ．无法计算扇形图中A 的占比D ．估计该校学生上学交通方式为A 或C 的人数占学生总人数的一半11. 已知函数的图象关于点中心对称，则下列结论正确的是（ ）A．的最小正周期B．C．的图象关于直线对称D．的图象向左平移个单位长度后关于轴对称12. 在正方体中，M ，N ，P分别是面，面，面的中心，则下列结论正确的是（）A．B．平面C．平面D ．与所成的角是13. 将初始温度为的物体放在室温恒定为的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第次测量得到的物体温度记为，已知.已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为）.给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为__________：（填写模型对应的序号）①；②；③.在上述模型下，设物体温度从升到所需时间为，从上升到所需时间为，从上升到所需时间为，那么与的大小关系是________（用“”，“”或“”号填空）14. 在平面直角坐标系中，以双曲线，的右焦点为圆心，以实半轴为半径的圆与其渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是___________.15. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过点作x 轴的垂线交双曲线C 于P ，Q 两点，则双曲线C 的渐近线方程为____________；的面积为________．16.已知函数．(1)求的单调区间；(2)若对于任意的，恒成立，求证：．17. 已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)当时，记的最小值为，求证：．18. 椭圆的左､右焦点分别为是椭圆C上一点，且（1）求椭圆C的方程；（2）M，N是y轴上的两个动点(点M与点E位于x轴的两侧)，，直线EM交x轴于点P，求的值.19. 如图，在平面直角坐标系中，已知曲线C由圆弧和圆弧相接而成，两相接点均在直线上，圆弧的圆心是坐标原点O，半径为5，圆弧过点.（1）求圆弧的方程；（2）曲线C上是否存在点P，满足？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由.20. 已知函数是自然对数的底数).(1)求函数的单调区间;(2)若,当时,求函数的最大值;(3)若且,求证:.21. 人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点处正上空的点处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点西南方向的草从处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北15°方向上点处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为45°，拍摄羚羊的俯角为60°，假设A，B，C三点在同一水平面上．(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离的长度；(2)若此时猎豹到点处比到点处的距离更近，且开始以的速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东15°方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能?请说明原因．。

2023-2024学年广西南宁市高二下册期中考试数学模拟试题一、单选题1．已知集合{}29A x x =<，{}|15,B x x x =-<<∈N ，则A B = （）A ．()1,3-B ．()0,5C ．{}1,2D ．{}0,1,2【正确答案】D【分析】根据一元二次不等式的解法求得集合A ，再由集合交集的运算即可求解.【详解】集合{}{}2|9|33A x x x x =<=-<<，集合{}{}|15,0,1,2,3,4B x x x =-<<∈=N ，则{}0,1,2A B = ，故选：D.2．若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A ．1B ．5C ．7D ．25【正确答案】B【分析】利用复数四则运算，先求出z ，再计算复数的模．【详解】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故|5|z ==．故选：B ．3．设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：240ax y +-=与直线2l ：()120x a y +++=平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据直线平行的条件和充要条件的概念判断.【详解】解：当1a =时，1l ：240x y +-=，2l ：220x y ++=，124122-=≠，可得两直线平行；若1l 与2l 平行，则24112a a -=≠+，解得1a =或2(a =-舍)，故为充要条件，故选：C.4．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1144S =，则468a a a ++=（）A ．12B ．13C ．14D ．15【正确答案】A【分析】根据等差数列的求和公式由1144S =求出64a =，利用等差数列的性质可得答案.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，所以()1111161111442a a S a +===，所以64a =，所以4686312a a a a +==+.故选：A.5．函数321()4963f x x x x =+-+在区间[12]-，上的最小值为（）A ．563B ．203C ．43D ．3-【正确答案】C【分析】根据()f x 在[12]-，上单调性求出最值即可【详解】由329[]1()46,123f x x x x x =+-+∈-，可得2()89f x x x '=+-，令()0f x '=，解得1x =，当11x -<<，()0f x '<，()f x 单调递减；当12x <<，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 的极小值，也为最小值为14(1)49633f =+-+=，故选：C6．已知圆的方程为22680x y x y +--=，设该圆过点()3,5的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】先分析已知点与圆的位置关系，再判断出最长弦和最短弦的位置，然后利用三角形的面积公式即可求出四边形ABCD 的面积.【详解】解：圆心坐标是()3,4，半径是5，圆心到点()3,5的距离为1．所以点()3,5在圆内，最长弦为圆的直径由垂径定理得：最短弦BD 和最长弦（即圆的直径）AC 垂直，故最短弦的长为=，最长弦即直径，即10AC =，所以四边形ABCD 的面积为111022AC BD ⋅=⨯⨯=故选：B.7．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点，直线l 经过点F ，若点A (a ，0)，B (0，b )关于直线l 对称，则双曲线C 的离心率为（）A B ．12C1D 1【正确答案】C由点A (a ，0)，B (0，b )关于直线l 对称，可得直线l 为线段AB 的垂直平分线，利用中点公式和直线垂直的关系求得直线l 的方程，将F 的坐标代入，求得a ,b ,c 的关系式，进一步转化得到a ,c 的齐次关系式，转化为离心率e 的方程求解即得.还可以从AF BF =入手解决，更为简洁.【详解】解法一：由点A (a ，0)，B (0，b )关于直线l 对称，可得直线l 为线段AB 的垂直平分线，线段AB 的中点的坐标为,22a b ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的斜率为b a -，可得直线l 的方程为22b a a y x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭－，令y ＝0，可得2122b x a a -＝，由题意可得2122b c a a=-－，即有a (a ＋2c )＝b 2＝c 2－a 2，即c 2－2ac －2a 2＝0，由ce a＝，可得e 2－2e －2＝0，解得1e +＝(1e ＝)，故选：C ．解法二：由点A (a ，0)，B (0，b )关于直线l 对称，可知AF BF =,即a c +=,两边平方，并结合222b c a =-，整理可得c 2－2ac －2a 2＝0，下同解法一.本题考查双曲线的性质：离心率的求法.根据已知条件求得a ,b ,c 的关系，进而得到a ,c 的齐次关系，根据离心率的定义转化为离心率e 的方程求解，是求离心率的常用方法.8．已知a =，3eb =，ln 33c =，则（）A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b a c<<D ．b<c<a【正确答案】C【分析】构造函数()ln xf x x=，利用导数研究其单调性，再比较大小即可.【详解】设函数()()ln e x f x x x =>，则()21ln 0xf x x'-=<，则()f x 在()e,+∞上是减函数，又3e 3e <<<，则()()33e f f f >>，又因为ln1020fa ===，()3333ln e 3e e e f ==>，()ln 333f c ==，所以()()33e f f f b >>>，即b a c <<．故选：C.二、多选题9．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（）A ．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B ．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法C ．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法D ．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法【正确答案】ACD【分析】根据给定条件利用组合知识可以判断A 正确；不相邻问题利用插空法可以判断B 错误；相邻问题利用捆绑法可以判断C 正确；利用特殊位置法可以判断D 正确.【详解】对于A ，从六门课程中选两门的不同选法有2615C =种，A 正确；对于B ，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有4245480A A =种，B错误；对于C ，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有3434A A 144=种，C 正确；对于D ，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有554A 480=种，D 正确.故选：ACD.10．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项积为n T ，若1128a =，且78T T =，则下列命题正确的是（）A ．81a=B ．当且仅当8n =时，n T 取得最大值C ．12q =D ．()*121215N ,15n n a a a a a a n n -⋅=⋅∈< 【正确答案】ACD【分析】由等比数列各项积的意义判断A ，根据等比数列的通项公式结合A 求出公比判断C ，等比数列各项积的意义及所给条件判断B ，由等比数列通项公式、等差数列求和公式计算可判断D.【详解】因为78T T =，所以81a=，故A 正确；又181n a a q -=，即71128q =，解得12q =，故C 正确；由12q =知等比数列{}n a 为递减数列，且81a =，故n T 取得最大值为78T T =，故B 错误；因为(1)(15)121722121()n n n n n n nn a a a a qq q q--+++--⋅=== ，2(14)(15)(15)1515121471522212151()n n n n n n n n nn a a a aqq qq q-----+++----⋅==== 所以()*121215N ,15n n a a a a a a n n -⋅=⋅∈< 成立，故D 正确.故选：ACD11．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，点()2,1A 在C 上，P 为C 上的一个动点，则（）A ．C 的准线方程为=1x -B ．若()0,3M，则PM 的最小值为C ．若()3,5M ，则PMF △的周长的最小值为11D ．在x 轴上存在点E ，使得PEF ∠为钝角【正确答案】BC【分析】根据题意求出p ，即可求出准线，即可判断A ；设点()00,P x y ，00≥y ，则204x y =，根据两点的距离公式结合二次函数的性质即可判断B ；过点P 作PN 垂直于C 的准线，垂足为N ，连接MN ，再结合图象，即可求得PMF △的周长的最小值，即可判断C ；设(),0E t ，再判断0EF EP ⋅<是否有解即可判断D.【详解】A 选项：因为点()2,1A 在抛物线2:2C x py =上，所以222p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =，所以C 的准线方程为1y =-，故A 错误；B 选项：设点()00,P x y ，00≥y ，则204x y =，因为()0,3M ，所以()()222220000329188PM x y y y y =+-=-+=-+≥，当且仅当01y =时等号成立，所以minPM=B 正确；C 选项：过点P 作PN 垂直于C 的准线，垂足为N ，连接MN ，则PN PF =，易知()0,1F ，()3,5M ，所以5MF =，所以PMF △的周长为5611MF MP PF MF MP PN MF MN ++=++≥+=+=，当且仅当M ，P ，N 三点共线时等号成立，所以PMF△的周长的最小值为11，故C 正确；D 选项：设(),0E t ，则(),1EF t =- ，()00,EP x t y =-，所以()20000EF EP t x t y t x t y ⋅=--+=-+ ，因为点()00,P x y 在C 上，所以2004xy =，即2004x y =，所以222000042x x EF EP t x t t ⎛⎫⋅=-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以cos 0EF EP PEF EF EP⋅∠=≥⋅，故PEF ∠不可能为钝角，故D 错误.故选：BC.12．已知函数()()21e ln 2，xf xg x x ==+分别与直线y a =交于点A ，B ，则下列说法正确的（）A ．AB 的最小值为1ln 212+B ．a ∃∈R ，使得曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =在点B 处的切线平行C ．函数()()y f x g x =-的最小值小于2D ．若()()()2e 32x f x g x ->-，则e x <【正确答案】AB【分析】对于A ：根据题意整理可得121eln 2a AB a -=-，构建()()122e 1ln 0=a F a a a -->，利用导数求最值分析判断；对于B ：根据导数的几何意义分析可得122e 10a a -⋅-=，利用函数分析判断；对于C ：构建()()()G x f x g x =-，利用导数求其最值分析判断；对于D ：整理可得：()212e e 32ln 2x x x ⎛⎫->-+ ⎪⎝⎭，分类讨论处理即可.【详解】设()()12,,,,0A x a B x a a >，对于A 项：由题意可得()()12122e 1ln 2x f x a g x x a ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩，解得11221ln 2e a x a x -⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以12212e 1ln a A x a B x -=-=-，构建()()122e 1ln 0=a F a a a -->，则()122=e1a aF a -'-在()0,∞+上单调递增，且1=02F ⎛⎫' ⎪⎝⎭，当12a >时，102F ⎛⎫'> ⎪⎝⎭；当102a <<时，102F ⎛⎫< ⎪⎭'⎝；则()F a 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()111ln2022F a F ⎛⎫≥=+> ⎪⎝⎭，故12211eln 2112ln 2a AB x a x -=-=-≥+，即AB 的最小值为1ln 212+，故A 正确；对于B 项：∵()22e xf x '=，()1g x x'=，可得()ln 11ln 2e 22a a f x f a ⎛⎫''== ⎪⎝=⎭，()122121e e a a g x g --⎛⎫''== ⎪⎝⎭，即函数()2e xf x =在点()1,A x a 处切线的斜率为2a ，函数()1ln 2g x x =+在点()2,B x a 处切线的斜率为121ea -，令1212ea a -=，整理得122e 10a a -⋅-=，故原题意等价于方程122e 10a a -⋅-=有根，构建()122e1a h a a -=⋅-，故原题意等价于()122e1a h a a -=⋅-有零点，因为1122112e 1022h -⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，则()h a 有零点12，故B 正确；对于C 项：构建()()()21e ln 2xG x f x g x x =-=--，因为()212e xG x x'=-在()0,∞+上单调递增，且()122112e 2e 22e 10122G ⨯⎛⎫'=-=-=-> ⎪⎝⎭，)11242112e 2e 4220144G ⨯⎛⎫'=-=-=< ⎪⎝⎭，则存在011,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()020012e 0xG x x '=-=，整理得020001e,ln 22ln 2x x x x =+=-，当()00,x x ∈时，()0G x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0G x '>；则()G x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞单调递增，所以()()02000011111eln 2ln 2ln 22ln 222222x G x G x x x x ≥=--=++->+-=+-，（由于12x ≠，故等号取不到），又因为1ln202->，则12ln222+->，即函数()()y f x g x =-的最小值大于2，故C 错误；对于D 项，∵()()()2e 32x f x g x ->-，即()212e e 32ln 2xx x ⎛⎫->-+ ⎪⎝⎭整理得：()2e e ln 10xx x -+->，由ln x 可知：0x >，则有：当0e x <<时，则2e 0,ln 10,e 0x x x -<-<>，可得()2e e ln 10xx x -+-<；当e x =时，则2e 0,ln 10,e 0x x x -=-=>，可得()2e e ln 10xx x -+-=；当e x >时，则2e 0,ln 10,e 0x x x ->->>，可得()2e e ln 10xx x -+->；综上所述；若()()()2e 32x f x g x ->-，则e x >，故D 错误.故选：AB.方法定睛：利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号．(2)若探究极值点个数，则探求方程f ′(x )＝0在所给范围内实根的个数．(3)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解．(4)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较，从而得到函数的最值．三、填空题13．在代数式521x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为_____________．【正确答案】-5【分析】写出二项式定理的通项，化简后，使得x 的指数幂为0，即可求得k 的值.【详解】521x ⎫⎪⎭的展开式的通项为：()51552215521C C 1rrrr r r r T x xx --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令5502r -=，解得1r =，所以()11215C 15T +=-=-，521x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为5-.故-514．曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为__________．【正确答案】520x y -+=【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当=1x -时，=3y -，故点在曲线上．求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=．故520x y -+=．15．某班宣传小组有3名男生和2名女生.现从这5名同学中挑选2人参加小剧场演出，在已知抽取到有男生的条件下，2名都是男生概率是______.【正确答案】13【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解.【详解】设事件A 表示“有男生”，事件B 表示“两名都是男生”，则5222C 9()1C 10P A =-=，5223C 3()C 10P AB ==，故()()()31109310P AB P B A P A ===.故答案为.1316．已知函数()ln e xf x x x a =-有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围_________．【正确答案】1(0,)e【分析】等价于ln 1e xx a +=有两不等实根，则ln 1()e x x g x +=与y a=有两不同交点，再利用导数求出函数ln 1()e xx g x +=的单调区间即得解.【详解】解：由()ln e x f x x x a =-得()ln 1e x f x x a '=+-，因为函数()ln e x f x x x a =-有两个不同的极值点，所以方程0()ln 1e x f x x a '+-==有两不等实根，即ln 1e xx a +=有两不等实根，令ln 1()e x x g x +=，则ln 1()e xx g x +=与y a=有两不同交点，又21e (ln 1)e 11()(ln 1)e e xxx xx x g x x x-+'==--，令1()ln 1h x x x =--，则211()0h x x x '=--<在(0,)+∞上恒成立，所以1()ln 1h x x x=--在(0,)+∞上单调递减，又(1)1ln110h =--=，所以当(0,1)x ∈时，()0h x >，即11()(ln 1)0e x g x x x'=-->，所以()g x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，即11()(ln 1)0e x g x x x'=--<，所以()g x 单调递减；所以max 1()(1)eg x g ==，又(0,1)x ∈时，1()0e g =，所以当1(0,)e x ∈时，ln 1()0e x x g x +=<；(1,)x ∈+∞时，ln 1()0e xx g x +=>，所以为使ln 1()e xx g x +=与y a=有两不同交点，只需10ea <<．故1(0,)e四、解答题17．某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛.现从参赛的所有学生中，随机抽取200人的成绩（满分为100分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中a 的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的第50百分位数；(2)在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于70分的学生中随机抽取6人，查看他们的答题情况，再从这6人中随机抽取2人进行调查分析，求这2人中至少有1人成绩在[)60,70内的概率.【正确答案】(1)0.025a =，第50百分位数为75.6(2)45【分析】（1）根据频率分布直方图频率之和为1计算a ，再根据百分位数计算公式计算第50百分位数；（2）根据分层抽样确定各区间人数，然后利用古典概型概率计算公式计算概率.【详解】（1）由频率分布直方图可得，()0.0060.0120.01820.021101a ++⨯++⨯=，则0.025a =，前3组的频率和为()0.0060.0120.018100.36++⨯=，第4组频率为0.25，所以第50百分位数位于第4组[)70,80内，记第50百分位数为x ，则700.50.36100.25x --=，解得75.6x =，即第50百分位数为75.6；（2）由频率分布直方图可知，成绩在[)[)[)4050,5060,6070,,,内的频率分别为0.06,0.12,0.18，采用分层抽样的方法从样本中抽取的6人，成绩在[)40,50内的有1人，记为A ，成绩在[)50,60内的有2人，记为12B B ､，成绩在[)60,70内的有3人，记为123C C C ､､，则从成绩在[)40,70内的6人随机抽取2人，共有：121231112132122AB AB AC AC AC B C B C B C B C B C ､､､､､､､､､､23B C ､12132312C C C C C C B B ､､､，共有15种，2人中至少有1人成绩在[)60,70内，共有：12311121321222312AC AC AC B C B C B C B C B C B C C C ､､､､､､､､､､13C C ､23C C ，有12种，记事件A =“2人中至少有1人成绩在[)60,70内”，则()124155P A ==.18．如图所示，在ABC 中，,A ∠,B ∠C ∠的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos sin 0,b A B a B +=1a =，2c =.（1）求b 和sin C ；（2）如图，设D 为AC 边上一点，BD CD =ABD △的面积.【正确答案】(1)b ，7；（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到cos B 的值，再利用余弦定理，求出b ，根据正弦定理，求出sin C ；（2）根据正弦定理得到sin 1CBD ∠=，即2CBD π∠=，根据勾股定理得到BD =，根据三角形面积公式，求出ABD △的面积.【详解】（1）因为2sin cos sin 0b A B a B +=，所以在ABC 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得2sin sin cos sin sin 0B A B A B +=，因为sin sin 0A B ≠，所以2cos 10B +=，所以1cos 2B =-，又0B π<<，所以23B π=，由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-1142122⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭7=，所以b ，在ABC 中，由正弦定理sin sin c bC B=，所以sin sin c BC b=22sin 3π=7=；（2）在ABD △中，由正弦定理得，sin sin BD CCD CBD=∠，因为BD CD =sin sin C CBD =∠因为sin 7C =，所以sin 1CBD ∠=，而()0,CBD π∠∈所以2CBD π∠=，由BD CD =,BD=CD ，所以222)1)+=，所以12t =，所以2BD =，因为ABD ABC DBC ∠=∠-∠232ππ=-6π=，所以1sin 2ABD S AB BD ABD =⨯⨯∠112222=⨯⨯⨯4=.本题考查正弦定理边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.19．在数列{}n a 中，已知12a =，()*132N n n a a n +=+∈.(1)证明：数列{}1n a +为等比数列；(2)记13n n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使得4992000n S <的整数n 的最大值.【正确答案】(1)证明见解析(2)5【分析】（1）计算()1331111n n n n a a a a +++++==，113a +=，得到等比数列的证明.（2）确定31nn a =-，111123131n nn b +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，根据裂项相消法得到11114231n n S +=-⨯-，代入不等式计算得到答案.【详解】（1）132n n a a +=+，得()1131n n a a ++=+，()1331111n n n n a a a a +++++==，113a +=，故数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列；（2）13nn a +=，故31nn a =-，故()()113111231313131n n n n n n b ++⎛⎫==-⎪----⎝⎭，1223111111111111112313123131231314231n n n n S ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，4992000n S <，即111149942312000n +-⨯<-，即131001n +<，67310013<<，故5n ≤，故使得4992000n S <的最大整数为5.20．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为4的菱形，60,BCD AC ∠= 与BD 交于点O ，平面FBC ⊥平面,,,2ABCD EF AB FB FC EF ==∥.(1)求证：OE ⊥平面ABCD ；(2)若AE FC ⊥，点Q 为AE 的中点，求二面角Q BC A --的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)31111.【分析】（1）取BC 中点G ，连接,FG OG ，证明FG ⊥平面,ABCD OE FG ∥，则OE ⊥平面ABCD ；（2）以AC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴，OE 所在直线为z 轴建立空间坐标系，分别求平面QBC 和平面ABC 的法向量，将二面角Q BC A --的余弦值转化为两个法向量夹角余弦值的问题.【详解】（1）证明：如图，取BC 中点G ，连接,FG OG ，因为FB FC =，所以FG BC ⊥，又因为平面FBC ⊥平面ABCD ，平面FBC 平面ABCD BC =，FG ⊂平面FBC ，所以FG ⊥平面,ABCD ,O G 分别为,AC BC 中点，所以1,2OG AB OG AB =∥.因为1EF AB,EF //AB 2=，//,EF OG EF OG∴=所以四边形EFGO 为平行四边形，所以OE FG ∥，所以OE ⊥平面ABCD .（2）如图，以AC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴，OE 所在直线为z 轴建立空间坐标系，设()0,0,,(0)OE c c =>()()(),0,2,0,,2c A B C Q ⎫∴-⎪⎭()),,0,F c CF c CF AE c Q =⋅=∴⎭设平面QBC 的法向量()(),,,2,0,2,v x y z BC BQ ==--=⎭则00v BQ v BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2020y y z ⎧--=⎪-=，则(1,v =-.设平面ABC 的法向量()0,0,1n =，设二面角Q BC A --的平面角为,θθ为锐角，所以cos 11n v n v θ⋅==.二面角Q BC A --.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，四点(())()1234,1,1,,P P P P 中恰有三点在C上.(1)求C 的方程；(2)若圆2243x y +=的切线l 与C 交于点,A B ，证明.OA OB ⊥【正确答案】(1)22142x y +=(2)证明见解析【分析】（1）利用对称性可以判断C 经过3P ，4P 两点，2P 与3P 的纵坐标相同可以判断1P 在C 上，进而求出结果；（2）先讨论切线l 的斜率不存在时，求出OA OB ⊥，再讨论切线l 的斜率存在时，利用相切得到()22341m k =+，进而联立直线与椭圆可以判断OA OB ⊥，从而求出结果.【详解】（1）由34,P P 两点关于y 轴对称，可得C 经过34,P P 两点.2P 与3P 的纵坐标相同，且都位于第一象限，不可能都在C 上，所以2P 不在C 上，则22211,b a b ⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为22142x y +=.（2）证明：当切线l的斜率不存在时，得:l x =当:3l x =时，可得,A B ⎝⎭⎝⎭.03333OA OB ⋅=⨯-⨯= ，则OA OB ⊥.当:l x =时，同理可证.当切线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+.因为l 与圆2243x y +=相切，所以圆心()0,0到l3=，即()22341m k =+.联立22,1,42y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214240k x kmx m +++-=.设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222424,1212km m x x x x k k -+=-=++.()()()221212121212121OA OB x x y y x x kx m kx m k x x kmx x m ⋅=+=+++=+++()()222222212441212k m k m m k k+-=-+++22243412k m k -+-=+由()22341m k =+，得0OA OB ⋅= ，则OA OB ⊥.综上，若圆2243x y +=的切线l 与C 交于点,A B ，则OA OB ⊥.22．已知函数()22e xa f x x=，0a ≠.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()ln ln x xf x a -≤恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)见解析.(2)1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）分类讨论0a >，a<0两种情况，由导数得出单调性；（2）将()ln ln x xf x a -≤变形为ln 22e eln xxax x a≥，构造函数()e xu x x =，由其单调性得出2e x x a ≥，进而由导数得出2e xx的最大值，从而得出求实数a 的取值范围.【详解】（1）因为()22e x a f x x =，所以()()222222e 214e 2e xx x a x a x a f x x x --='=.当0a >时，由()0f x ¢>，得12x >，由()0f x '<，得12x <，且0x ≠，故()f x 的单调递增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为(),0∞-，10,2⎛⎫⎪⎝⎭；当a<0时，由()0f x ¢>，得12x <，且0x ≠，由()0f x '<，得12x >，故()f x 的单调递增区间为(),0∞-，10,2⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上，当0a >时，()f x 的单调递增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为(),0∞-，10,2⎛⎫⎪⎝⎭；当a<0时，()f x 的单调递增区间为(),0∞-，10,2⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）易知0x >，0a >.由()ln ln x xf x a -≤，可得2ln ln ln 2e xx x a aa ≥-=，所以22e ln xx x x a a ≥恒成立，即ln 22e e ln x x a x x a≥恒成立.设()e x u x x =，()0x >，则()()1e 0xu x x '=+>，所以()u x 在()0,∞+上单调递增.当0x >时，()0u x >，所以ln22e eln x xax x a≥恒成立等价于2l n xx a ≥恒成立，即2e xxa ≥对()0,x ∈+∞恒成立.设()2e x x v x =，0x >，()212e xxv x -'=.当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0v x '>；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0v x '<.所以()v x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 1122e v x v ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以12e a ≥，即a 的取值范围是1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.关键点睛：解决问题二时，关键在于将()ln ln x xf x a -≤整理成ln22e eln xxaxx a ≥的形式，构造函数()e x u x x =，由其单调性以及()2ln x u x u a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭得出2e x xa ≥，最后求出()2e x x v x =的最大值，得出a的取值范围.。

广西南宁市第二中学2024届高三下学期开学考试数学试
卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
【详解】
试题分析：（1）要证明直线和平面平行，只需在平面内找一条直线，与平面外的直线平行
即可，取中点，连结．可证明四边形为平行四边
形． 于是，∥，从而证明 面;（2）建立空间直
角坐标系，设点M的坐标，求两个半平面的法向量，然后利用已知二面角的余弦值列方程，
从而确定点M的位置，进而求三棱锥的体积.
试题解析：（1）证明 取中点，连结．在△中，
分别为的中点，
则∥，且．由已知∥，
，因此，∥，且．所以，四边形
为平行四边形． 于是，∥．又因为平面
，且平面，
所以∥平面，从而可证.
（2）按如图建立空间直角坐标系，点与坐标原点重合.设，则
，又，设，则
，即.
设是平面的法向量，则,
.
取，得，即得平面的一个法向量为
. 由题可知，是平面的一个法向量.因此，
，即点为中
点.此时，，为三棱锥的高，所以，
.
考点：1、直线和平面平行的判定；2、面面垂直的判定；3、二面角和三棱锥的体积. 17．(1)82.5。

南宁2023～2024学年度下学期高三校二模数学试题（答案在最后）一、单选题1.已知集合{}20A x x =+>，{}220B x x x =--<，则A B = （）A.{}21x x -<< B.{}22x x -<< C.{}11x x -<< D.{}12x x -<<2.已知{}n a 为等差数列，237a a +=，4622a a +=，则8a 等于（）A.21B.17C.23D.203.直线l ：2x y +=，圆C ：222220x y x y +---=.则直线l 被圆C 所截得的弦长为（）A.2B.4C.4.若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为（）A.16B.20C.28D.405.已知函数()()sin 2f x x ϕ=+（π2ϕ<）图象的一个对称中心为π,06⎛⎫⎪⎝⎭，则（）A.()f x 在区间ππ,83⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增B.5π6x =是()f x 图象的一条对称轴C.()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为1,2⎡-⎢⎣⎦D.将()f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y 轴对称6.设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()14P A =，()13P B =，()12P A B = ，则()P B A =（）A.14B.13C.16D.1127.在ABC △中，120ACB ︒∠=，2BC AC =，D 为ABC △内一点，AD CD ⊥，120BDC ∠=︒，则tan ACD ∠=（）A. B.332D.328.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，c 是双曲线C 的半焦距，点A 是圆222x y c +=上一点，线段FA 与双曲线C 的右支交于点B .若FA a =，2FA FB =，则双曲线C 的离心率为（）A.72 B.332D.372二、多选题9.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[)80,90内的学生成绩方差为12，成绩位于[)90,100内的同学成绩方差为10.则（）参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m 、x 、21s ；n 、y 、22s .记样本平均数为ω，样本方差为2s ，()()2222212m n s s x s y m n m n ωω⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++.A.0.004a =B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.2510.如图，在直角三角形ABC 中，AB BC ==，AO OC =，点P 是以AC 为直径的半圆弧上的动点，若BP xBA yBC =+，则（）A.1122BO BA BC=+ B.1CB BO ⋅=C.BP BC ⋅最大值为1+ D.B ，O ，P 三点共线时2x y +=11.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，AB BC ⊥，P ，Q 分别为棱BC ，11A C 上的动点，且BP BC λ= ，111C Q C A λ=，()0,1λ∈，则（）A.存在λ使得1PQ A B ⊥B.存在λ使得//PQ 平面11ABB AC.若1BB ，11B C 长度为定值，则12λ=时三棱锥1B A PQ -体积最大D.当12λ=时，直线PQ 与1A B所成角的余弦值的最小值为3三、填空题12.在(61-的展开式中，x 的系数为______（用数字作答）13.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c)222sin a b c ab C +-=，且1c =，则ABC △面积的最大值为______.14.若直线1y ax =+与曲线ln y b x =+相切，则ab 的取值范围为______.四、解答题15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()112n S n n =+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足21,2,n n n n a n a a b n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求{}n b 的前2n 项和2n T .16.如图所示，圆台12O O 的轴截面11A ACC 为等腰梯形，111224AC AA AC ===，B 为底面圆周上异于A ，C 的点，且AB BC =，P 是线段BC 的中点.（1）求证：1//C P 平面1A AB .（2）求平面1A AB 与平面1C CB 夹角的余弦值.17.某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为23，摸到2分球的概率为13.（1）若学生甲摸球2次，其总得分记为X ，求随机变量X 的分布列与期望；（2）学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励.已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率.18.已知函数()21sin 2f x x x ax =-+.（1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）①求证：()f x 有且仅有一个极值点；②当[]1π,1a ∈--时，设()f x 的极值点为0x ，若()212sin 22g x x x x =-+-.求证：()()00f x g x ≥19.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点分别为1F ，2F ，双曲线C 的虚轴长为2，有一条渐近线方程为33y x =.如图，点A 是双曲线C 上位于第一象限内的点，过点A 作直线l 与双曲线的右支交于另外一点B ，连接AO 并延长交双曲线左支于点P ，连接1PF 与2PF ，其中l 垂直于12F PF ∠的平分线m ，垂足为D .（1）求双曲线C 的标准方程；（2）求证：直线m 与直线OA 的斜率之积为定值；（3）求APBAPDS S △△的最小值.南宁2023～2024学年度下学期高三校二模数学试题参考答案1.D 【详解】由220x x --<，即()()120x x +-<，解得12x -<<，所以{}{}22012B x x x x x =--<=-<<，又{}{}202A x x x x =+>=>-，所以{}12A B x x =-<< .故选：D2.D 【详解】设{}n a 的公差为d ，因为237a a +=，4622a a +=，所以1111273522a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩，解得113a d =-⎧⎨=⎩，所以81717320a a d =+=-+⨯=，故选：D.3.B 【详解】圆C 的标准方程为()()22114x y -+-=，直线l 过圆心()1,1C ，所以直线l 被圆C 所截得的弦长等于直径长度4.故选：B.4.C 【详解】第一步，先分组，分为一组2人，另一组4人，有1124C C 8=种；分为每组各3人，有122422C C 6A =种，分组方法共有14种.第二步，将两组志愿者分配到两个服务站共有22A 2=种.所以，总的分配方案有14228⨯=种.故选：C5.D 【详解】由题意可得π2π6k ϕ⨯+=（k ∈Z ），解得ππ3k ϕ=-+（k ∈Z ），又π2ϕ<，故π3ϕ=-，即()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；对A ：当ππ,83x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π7ππ2,3123x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，由函数sin y x =在7ππ,123⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不为单调递增，故()f x 在区间ππ,83⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不为单调递增，故A 错误；对B ：当5π6x =时，π4π233x -=，由4π3x =不是函数sin y x =的对称轴，故5π6x =不是()f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ2,336x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，则()11,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故C 错误；对D ：将()f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得5πππsin 22sin 2cos 21232y x x x ⎛⎫⎛⎫=+⨯-=+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D.6.B 【详解】因为()()()()P A B P A P B P AB =+- ，即()111243P AB =+-，解得()112P AB =，又因为()()()P B P AB P AB =+，即()11312P AB =+，解得()14P AB =，且()14P A =，可得()()314P A P A =-=，所以()()()114334P AB P B A P A===.故选：B.7.B 【详解】在Rt ADC △中，设ACD θ∠=（π02θ<<），令AC x =（0x >），则2CB x =，cos CD x θ=，在BCD △中，可得120BCD θ∠=︒-，60CBD θ∠=-︒，由正弦定理sin sin BC CD CDB CBD =∠∠，()cos sin 60x θθ==-︒22=可得tan 2θ=，即tan 2ACD ∠=.故选：B.8.A 【详解】设双曲线左焦点为1F ，如图：FA a =，2FA FB = ，可得12FB a =，由双曲线的定义字115222F B a a a =+=，在1ABF △中，22222211251644AF BF AB a a a =-=-=，在1AF F △中，22211||F FAF AF =+，即2222467c a a a =+=，可得2c e a ==.故选：A.9.BCD 【详解】对于A 选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，则()23762102001a a a a a a ++++⨯==，解得0.005a =，A 错；对于B 选项，前两个矩形的面积之和为()2310500.250.5a a a +⨯==<，前三个矩形的面积之和为()237101200.60.5a a a a ++⨯==>，设计该年级学生成绩的中位数为m ，则()70,80m ∈，根据中位数的定义可得()0.25700.0350.5m +-⨯=，解得77.14m ≈，所以，估计该年级学生成绩的中位数约为77.14，B 对；对于C 选项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为62859587.56262a aa a a a⨯+⨯=++分，C 对；对于D 选项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为()()22311287.5851087.59530.2544⎡⎤⎡⎤+-++-=⎣⎦⎣⎦，D 对.故选：BCD.10.ACD 【详解】因为AO OC =，即O 为AC 的中点，所以1122BO BA BC =+，故A 正确；如图建立平面直角坐标，则()0,0B，)C，(A，,22O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以()CB =，,22BO ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则0122CB BO ⋅=+⨯=- ，故B 错误；又2AC ==，所以圆O 的方程为2222122x y ⎛⎛-+-= ⎝⎭⎝⎭，设22cos ,sin 22P θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，π3π,44θ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则22cos ,sin 22BP θθ⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭，又)BC =，所以22cos 0sin 122BP BC θθθ⎫⎛⎫⋅=++⨯+=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π3π,44θ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，所以cos 2θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦θ⎡∈-⎣，所以0,1BP BC ⎡⋅∈⎣，故BP BC ⋅ 最大值为1C 正确；因为B ，O ，P 三点共线，所以//BP BO，又22,22BO ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，22cos ,sin 22BP θθ⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭，所以sin cos 2222θθ⎛⎫⎛⎫⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin cos θθ=，所以π4θ=，所以BP = ，又)BC = ，(BA = ，且BP xBA yBC=+，即())x y=+=，所以==所以11x y =⎧⎨=⎩，所以2x y +=，故D 正确.故选：ACD 11.BCD 【详解】如图，由题意可建立如图所示的空间直角坐标系1B xyz -，设BC a =，1BB b =，则由题：()10,0,0B ，()10,2,0A ，()1,0,0C a ，()0,2,A b ，()0,0,B b ，所以()10,2,A B b =- ，()1,2,0C A a =- ，()11,0,0BC B C a == ，()10,0,B B b =，又BP BC λ= ，111C Q C A λ= ，()0,1λ∈，所以()111,0,B P B B BP B B BC a b λλ=+=+=，即(),0,P a b λ，()11111,2,0OQ OC C Q OC C A a a λλλ=+=+=-，即(),2,0Q a a λλ-，所以()2,2,PQ a a b λλ=--，对A ，由上()()212,2,0,2,40PQ A B a a b b b λλλ⋅=---=--<，故A 错误；对B ，由题意()11,0,0B C a =是平面11ABB A 的一个法向量，()()22112,2,,0,02PQ B C a a b a a a λλλ⋅=--⋅=-，故当12λ=时221120PQ B C a a λ⋅=-= ，此时//PQ 平面11ABB A ，故B 正确；对C ，由上()1,2,A P a b λ=- ，()2,2,PQ a a b λλ=-- ，()10,2,A B b =- ，设平面1A BP 的一个法向量为(),,m x y z = ，则11m A B m A P⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，所以112020m A B y bz m A P ax y bz λ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取2z =，则()0,,2m b = ，设点Q 到平面1A BP 的距离为d ，则由()0,1λ∈得PQ m d m λ-⋅===，又由题意可知11122A BPa S A B BP λ==△，故()112211123323312B A PQ A BPababa abV S dλλλλλ-⎛⎫-⎪--⎝⎭==⨯-=-+△，因为1BB，11B C长度为定值，所以ab为定值，故当12λ=时，三棱锥1B A PQ-体积最大，故C正确；对D，设直线PQ与1A B所成角为θ，由上当12λ=时211cosPQ A BPQ A Bθ⋅==3==，当且仅当224bb=即b=时等号成立，故D对.故选：BCD.12.15【详解】由二项式的展开式的通项公式，得(()626611rr rr r rC C x-=-，令12r=，则2r=，所以系数为()226115C-=，故答案为：15.13.24【详解】因为)222sina b c ab C+-=，所以由余弦定理2222cosab C a b c=+-，得cos sinCab C=，所以sin C C=，又22sin cos1C C+=，()0,πC ∈，则22sin3C=，1cos3C=，所以由余弦定理以及基本不等式得：222222412cos2333ab ab aba b ab C a b ab=+-=+-≥-=，即34ab ≤，当且仅当32a b ==时等号成立，所以122sin234ABCS ab C==≤△，即ABC△面积的最大值为4，故答案为：4.14.31,e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【详解】函数lny b x=+的导数为1yx'=，设切点为()00,1x ax+，所以1ax=，则01ax=，即1xa=又因为()00,1x ax+在lny b x=+上，所以001lnax b x+=+，所以0ln 2b x +=，即ln 2b a -=，所以2ln b a =+，所以()2ln 2ln ab a a a a a =+=+（0a >），令()2ln g a a a a =+，()12ln ln 3g a a a a a'=++⋅=+，令()0g a '>，可得31e a >，令()0g a '<，可得310ea <<，所以()g a 在310,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在31,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()3333333min 1211231ln e e e e e e e g a g ⎛⎫==+=-=-⎪⎝⎭.当a 趋近正无穷时，()g a 趋近正无穷.所以ab 的取值范围为：31,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.15.【详解】（1）当1n =时，111a S ==.当2n ≥时，()()1111122n n n a S S n n n n n -=-=+--=，当1n =时，也符合n a n =.综上，n a n =.（2）由21111,,222,2,n n n n n n n n a a n n b b n n +⎧⎧⎛⎫-⎪⎪ ⎪+=⇒=⎝⎭⎨⎨⎪⎪⎩⎩为奇数为奇数为偶数为偶数则()()21321242n n n T b b b b b b -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+2421111111112222335572121nn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()14141144122114213n n n n n +--⎛⎫=-+=+ ⎪+-+⎝⎭，故{}n b 的前2n 项和1244213n n n T n +-=++.16.【详解】（1）取AB 的中点H ，连接1A H ，PH ，如图所示，因为P 为BC 的中点，所以//PH AC ，12PH AC =.在等腰梯形11A ACC 中，11//A C AC ，1112A C AC =，所以11//HP AC ，11HP A C =，所以四边形11ACPH 为平行四边形，所以11//C P A H ，又1A H ⊂平面1A AB ，1C P ⊄平面1A AB ，所以1//C P 平面1A AB .（2）因为AB BC =，故2O B AC ⊥，以直线2O A ，2O B ，21O O 分别为x ，y ，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，在等腰梯形11A ACC 中，111224AC AA AC ===，此梯形的高为2211132AC A C h AA -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.因为1112A C AC =，11//A C AC ，则()20,0,0O ，()2,0,0A ，(13A ，()0,2,0B ，()2,0,0C -，(13C -，所以(11,3BC =-- ，()2,2,0BC =-- ，()2,2,0AB =-，(11,2,3A B =-- .设平面1A AB 的法向量为(),,m x y z =，则220,230,x y x y z -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩令1y =，得31,1,3m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ .设平面1C CB 的法向量为(),,n a b c = ，则20,220,a b a b ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩令a =，得)1n =- .设平面1A AB 与平面1C CB 的夹角为θ，则1cos cos ,7m n m n m nθ⋅====.17.【详解】（1）由题意知学生甲摸球2次总得分X 的取值为2，3，4，则()2242339P X ==⨯=，()122143C 339P X ==⨯⨯=，()1114339P X ==⨯=，所以X 的分布列为：X 234P494919所以()44182349993E X =⨯+⨯+⨯=.（2）记m A =“甲最终得分为m 分”，8,9,10m =；B =“乙获得奖励”.()192214C 339P A =⨯⨯=，()228224C 39P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭.当甲最终得9分时，乙获得奖励需要最终得10分，则()5559511C 33P B A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当甲最终得8分时，乙获得奖励需要最终得10分或9分，则()545518551211C C 113333P B A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯=⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；故()()()()()()()989988P B P A B P A B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯557414148161193933729⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即乙获得奖励的概率为16729.18.【详解】（1）()cos f x x x a =-+'，令()()f x h x '=，当1a =时，()21sin 2f x x x x =-+，()cos 1h x x x =-+，∵()1sin 0h x x =+≥'，故()h x 在R 上单调递增，又()00h =，∴(),0x ∈-∞，()()0f x h x '=<，()f x 在(),0-∞上单调递减，()0,x ∈+∞，()()0f x h x '=>，()f x 在()0,+∞上单调递增，∴()f x 的最小值为()00f =.（2）①由（1）知，()()cos h x f x x x a =-'=+，∵()1sin 0h x x =+≥'，故()h x 在R 上单调递增，即()f x '在R 上单调递增，又()()22cos 20f a a --=--+<'，()()22cos 20f a a '-=-->，∴()()220f a f a '--⋅-<'，∴()f x '存在唯一的变号零点0x ，即()f x 有且仅有一个极值点0x .②由①知：()f x 有且仅有一个极值点0x 且()000cos 0f x x x a '=-+=，则00cos a x x =-当[]1π,1a ∈--时，()010f a =-+≤'，()ππ10f a =++≥'，由①知：00πx ≤≤，要证()()00f x g x ≥，只需证：()()()2200000000011sin 2sin 2022F x f x g x x x ax x x x ⎛⎫=-=-+--+-≥ ⎪⎝⎭，而00cos a x x =-，那么()0000023sin cos F x x x x x =-+（00πx ≤≤）.∴()000022cos sin F x x x x '=--，令()()00P x F x ='，则()0000sin cos P x x x x '=-，设()()00S x P x ='，则()000sin S x x x ='，又[]00,πx ∈，所以()00S x '≥，∴()0S x 在[]0,π上单调递增，即()0P x '在[]0,π上单调递增，又()00P '=，∴()00P x '≥，∴()0P x 在[]0,π上单调递增，即()0F x '在[]0,π上单调递增，又()00F '=，∴()00F x '≥，∴()0F x 在[]0,π上单调递增，∴()()000F x F ≥=，综上所述，[]1π,1a ∈--时，()()00f x g x ≥.19.【详解】（1）因为虚轴长为2，即22b =，所以1b =.又因为有一条渐近线方程为3y x =，所以a =所以双曲线C 的标准方程为2213x y -=；（2）由题意，点A 与点P 关于原点对称.设()00,A x y ，则()00,P x y --.由题意可知直线m 的斜率存在，设直线m 的斜率为k ，记直线m 的方向向量为()1,a k =，又直线m 为12F PF ∠的平分线，则1212PF a PF aPF PF ⋅⋅= .因为220013x y -=，0x >，所以103PF x ===同理203PF x =+ ，又()1002,PF x y =- ，()2002,PF x y =+，代入1212PF a PF aPF PF ⋅⋅=-⋅+⋅=003x ky =.所以0013OA y k k k x ⋅=⋅=，即直线OA 与直线m 的斜率之积为定值；（3）由（2）可知003x ky =.又00x >，00y >，所以0k >，将003x ky =代入220013x y -=，0x >得，0x =y =，所以A⎛⎫，P⎛⎫- ⎝，3k>.设直线m 的方程为ykx n =+，将P ⎛⎫-⎝代入y kx n =+得n =所以直线m的方程为y kx =+3k >.由点到直线距离公式得，AD ==.又直线AB 的斜率为1k-，设直线AB 的方程为x ky t =-+，将A ⎛⎫代入x ky t =-+得t =，所以直线AB的方程为x ky =-+.将其与2213x y -=（0x >）联立得()22222733031k k y y k +-+=-.设()11,A x y ，()22,B x y ，则212y y +=，()()2122273331k y y k k +=--.由120y y <得21,33k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3221261k AB y +=-=所以()()()()()()2222222222222313131333133112APB APD k k k AB S S AD k k k k k+++==≥==--⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭△△，当且仅当22331k k -=-，即21k =时等号成立，所以当且仅当1k =时，APBAPDS S △△的最小值为3.。

高二下学期教学质量调研数学试题一、单选题1．已知，，则直线的斜率为（ ） ()3,2A ()4,1B -AB A ．B ．C ．D ．717-177-【答案】B【分析】利用两点的斜率公式求解.【详解】因为，，所以线的斜率为. ()3,2A ()4,1B -AB 211347k -==+故选：B.2．已知空间四边形ABCD 中，，，，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为OA a = OB b =OC c = BC 中点，则（ ）．MN =A ．B ．121232a b c -+ 211322a b c -++C ．D ．111222a b c +- 221332a b c +- 【答案】B【分析】利用空间向量的线性运算即可求出结果．【详解】如图，连接，则，ON ()1223MN ON OM OB OC OA =-=+-= 211322a b c -++故选：B ．3．已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3C ．6D ．9【答案】C【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知，即，解得. ||122A pAF x =+=1292p =+6p =故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 4．已知在等差数列中，，，则（ ） {}n a 4820a a +=712a =4a =A ．12 B ．10 C ．6 D ．4【答案】C【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，即可求解作答.【详解】在等差数列中，，得，公差， {}n a 648220a a a =+=610a =762d a a =-=所以. 46210226a a d =-=-⨯=故选：C5．点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）()3,0221169x y -=A ．B ．C ．D ．95856545【答案】A【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，220169x y -=340x y ±=结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：. ()3,0340x y +=95d ==故选：A.6．已知平面向量，满足 ，，且，则与的夹角为（ ） a b ||1a = ||2b = ()a b a +⊥ a bA ．B ．C ．D ．56π6π23π3π【答案】C【分析】由向量垂直得数量积，再由向量的数量积的定义求得夹角．a b ⋅【详解】∵，∴，∴， ()a b a +⊥ 2()0a b a a a b +⋅=+⋅=1a b ⋅=- ∴， 1cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅=-=<>=<> ，∴．1cos ,2a b <>=- ,a b <> 23π=故选：C ．【点睛】本题考查求向量的夹角，考查平面向量数量积的定义，解题关键是掌握向量垂直与数量积的关系．7．如图，正方形的边长为5，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方ABCD ABCD E F G H 形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形，依此方法EFGH EFGH I J K L IJKL一直继续下去.则从正方形开始，连续10个正方形的面积之和等于（ ）ABCDA ．B ．1015012⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1012512⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．D ．10251122⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1015012⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】将正方形面积按作法次序排成一列得数列，再确定该数列为等比数列，借助等比数列{}n a 前n 项和公式求解作答.【详解】依题意，将正方形面积按作法次序排成一列得数列，， {}n a 125a =，因此，即数列是等比数列，112n n a a +={}n a 公比， 12q =所以前10个正方形的面积之和. 101010110125[1()](1)1250[1(]11212a q S q --===---故选：A8．已知圆，过直线在第一象限内一动点P 作圆O 的两条切线，切点分别22:2O x y +=:24l x y +=是A ，B ，直线AB 与两坐标轴分别交于M ，N 两点，则面积的最小值为（ ） OMN A A ． B ．1CD ．212【答案】B【解析】根据圆的切线方程可以求出直线AB 的方程，最后利用基本不等式进行求解即可. 【详解】设，则， ()00,P x y ()0000240,0x y x y +=>>设，， ()11 ,A x y ()22,B x y 当时， ，所以切线方程为：11,00x y ≠≠111111OA PA PA PA y xk k k k x y ⋅=-⇒⋅=-⇒=-PA，而，化简为：，显然当或时也适合，所以1111()()x y y x x y -=--22112x y +=112x x y y +=10x =10y =切线方程为，同理，PA 112x x y y +=22:2PB x x y y +=将P 的坐标代入上述直线方程，则有，1010202022x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩于是直线AB 的方程为，002x x y y +=因此，，02,0M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭020,N y ⎛⎫⎪⎝⎭的面积为， OMN A 220000001224441222422S x y x y x y =⋅⋅=≥==⋅+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时取等号.所以面积的最小值为1. 002x y =0012x y =⎧⎨=⎩OMN A 故选：B二、多选题9．下列说法错误的是（ ）A ．直线必过定点2(1)(3)750m x m y m ++-+-=()1,3B ．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为 ()2,3A --5x y +=-C ．经过点，倾斜角为的直线方程为()1,1P θ()1tan 1y x θ-=-D ．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为10kx y k ---=()3,1M -()3,2N 1322k -≤≤【答案】BCD【分析】A 选项由含参直线方程过定点的求法计算即可；B 选项没有考虑直线过原点的情况，故错误；C 选项，由倾斜角与斜率的关系即可判断；D 选项计算出端点值后，由线段MN 与y 轴相交判断斜率的范围应取端点值两侧，故错误.【详解】A 选项，直线方程变形为，令，解得(25)2370x y m x y +-+-+=2502370x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，即原直线必过定点，A 正确；1,3x y ==(1,3)B 选项，当直线l 过原点时，也满足在两坐标轴上的截距相等，此时直线l 的方程为，B320x y -=不正确； C 选项，当时，无意义，故C 不正确； π2θ=tan θD 选项，直线经过定点，当直线经过M 时，斜率为，当直线10kx y k ---=(1,1)-1(1)1312k --==---经过N 点时，斜率为，由于线段MN 与y 轴相交，故实数k 的取值范围为或2(1)3312k --==-12k ≤-，D 不正确. 32k ≥故选：BCD.10．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，q {}n a n S {}n a n 1418a a +=2312a a +=则下列说法正确的是（ ） A ． B ．数列是公差为2的等差数列 2q ={}lg n a C ． D ．数列是等比数列8254S ={}2n S +【答案】AD【解析】利用等比数列通项公式求解，，进而求得，，，从而判断各选项.1a q lg n a n S 2n S +【详解】由等比数列通项公式得， 14223311(1)18()12a a a a a q q a q ⎧+=⎪⎨+=⋅+=⋅+=⎪⎩解得，或，122a q =⎧⎨=⎩11612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩又公比为整数，故，，故A 选项正确；q 122a q =⎧⎨=⎩112n nn a q a -=⋅=，故数列是公差为的等差数列，故B 选项错误；lg lg 2lg 2n n a n =={}lg n a lg 2，故，故C 选项错误；11(1)221n n n a q S q +-==--9822510S =-=，故为等比数列，即D 选项正确；122n n S ++={}2n S +故选：AD.11．如图，在正方体中，为的中点，为的中点，下列判断正确的是1111ABCD A B C D -E 1DD F 11C D （ ）A ．平面B ．平面平面1//B F BCE 11ADC B ⊥1A BE C ．异面直线与所成角的余弦值为 D ．若，则1A B CE 131AB =1116A B BE V -=【答案】BD【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，设出正方体的棱长，利用坐标法计算判断ABC ；利用等体积法求出体积判断D 作答.【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令正方体的棱长为1，1111ABCD A B C D -则，，，，，，，1(0,0,1)A (1,0,0)B (1,1,0)C (0,1,0)D 1(0,1,2E 1(1,0,1)B 1(,1,1)2F 对于A ，，设是平面的法向量，111(,1,0),(0,1,0),(1,0,22B F BC CE =-==- (,,)p x y z = BCE 则，令，得，因此，与不垂直， 0102p BC y p CE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1x =(1,0,2)p = 1102p B F ⋅=-≠ p 1B F 所以与平面不平行，A 错误；1B F BCE 对于B ，，设是平面的法向量，111(1,0,1),(0,1,)2A B A E =-=- 111(,,)n x y z = 1A BE 则，令，则，又，， 1111110102A B n x z A E n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩11y =(2,1,2)n = (0,1,0)AD = 1(1,0,1)AB =设是平面的法向量，则，令，得，222(,,)m x y z = 11ADC B 122200AB m x z AD m y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩21z =(1,0,1)m =- 于是，即，所以平面平面，B 正确； 12120n m ⋅=-⨯+⨯=n m ⊥ 11ADC B ⊥1A BE 对于C ，， 异面直线与所成角的余弦值为：11(1,0,1),(1,0,)2A B CE =-=- 1A B CEC 错误； 111|||cos ,|||||A B CE A B CE A B CE ⋅〈〉== 对于D ，，则有，D 正确.1AB =11111111111113326A B BE E A B B A B B V V S BC --==⋅=⨯⨯⨯⨯=A 故选：BD12的椭圆称为“黄金椭圆”.对于下列说法正确的是（ ） A ．椭圆是黄金椭圆2211612x y +=B ．在中，，，且点在以，为焦点的黄金椭圆上，则的周长为ABC A ()2,0B -()2,0C A B C ABC A 6+C ．过黄金椭圆的右焦点作垂直于长轴的垂线，交椭圆于，两点，()222210x ya b a b +=>>(),0F c A B 则)1AB a =-D ．设，是黄金椭圆的两个焦点，则椭圆上满足的点1F 2F ()2222:10x y C a b a b +=>>C 1290F PF ∠=︒P不存在 【答案】BCD【分析】求出椭圆离心率判断A ；求出焦点的周长判断B ；借助方程组求出弦长判断C ；求ABC A 出与0的关系判断D 作答.2221212||||||PF PF F F +-【详解】对于A ，椭圆的长半轴长，半焦距，离心率，A2211612x y +=4a =2c=12c e a ==错误；对于B ，黄金椭圆半焦距，则长半轴长，因此焦点的周长为2c=1ca e===ABC A B 正确；226a c +=+对于C ，由得，则，C 正22221x c x yab =⎧⎪⎨+=⎪⎩2||b y a =222222(||22)1)b ac AB a a a a a -===-⋅=确；对于D ，黄金椭圆焦距，，当且仅当21)c a =21212||||||||()2PF PF PF PF a +⋅≤=12||||PF PF a==时取等号，则222221212121212||||||(||||)||2||||PF PF F F PF PF F F PF PF +-=+--⋅，)())2222221241222220a a PF PF a a a =--⋅≥-=>即不是直角，因此黄金椭圆上满足的点不存在，D 正确.12F PF ∠C 1290F PF ∠=P 故选：BCD三、填空题13．空间中点关于轴的对称点,点,则,连线的长度为___________. ()3,3,1A x A '()1,1,5B -A 'B【答案】【分析】写出点关于轴的对称点,再利用两点距离公式求解. A x A '【详解】由题意可得,(3,3,1)A '=--=故答案为:.【点睛】本题考查了空间中的点对称以及两点间的距离问题,属于简单题.14．已知点是椭圆上的一点，且位于第一象限内，以点及焦点、为顶点的三角P 22154x y +=P 1F 2F 形的面积等于1，则点的坐标为______. P【答案】 【分析】求出椭圆的焦距，利用给定的面积求出点P 的纵坐标即可作答.【详解】椭圆的焦点，，设点，22154x y +=12(1,0),(1,0)F F -12||2F F =0000(,)(0,0)P x y x y >>依题意，，又，于是，1212001||12PF F S F F y y =⋅==A 2200154x y +=0x =所以点的坐标为. P故答案为： 15．圆与圆的公共弦的长为_________．2240x y +-=2244120x y x y +-+-=【答案】【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在2240x y +-=直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长.【详解】将圆与圆的方程作差可得， 2240x y +-=2244120x y x y +-+-=20x y -+=所以，两圆相交弦所在直线的方程为， 20x y -+=圆的圆心为原点，半径为， 2240x y +-=O 2r =原点到直线的距离为 O 20x y -+=d ==所以，两圆的公共弦长为=故答案为：16．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方：将1，2，…，9填入方格内使三行、三列、两条对角线的三个数之和都等于15，如图所示.一般地，将连续的正整数1，2，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数2n n n ⨯的和相等，这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上数的和为，例如，，n n n N 315N =434N =，……，那么______.565N =n N =【答案】.()212n n +【分析】首先根据题意得到，再利用等差数列求和即可. ()2112n N n n=+++ 【详解】由题知：， ()31129153N =++⋯+=， ()411216343N =+++=…， ()511225653N =+++=………，所以. ()()()222211212112n N n n n n n n n ++==+++=⨯故答案为：()212n n +【点睛】本题主要考查等差数列的求和，熟记公式为解题关键，属于简单题.四、解答题17．如图，已知的顶点为，，，ABC A (2,4)A (0,2)B -(2,3)C -求：（1）AB 边所在直线的方程；（2）AB 边上的高线CH 所在直线的方程.【答案】（1）AB 边所在直线的方程是；（2）.320x y --=370x y +-=【分析】（1）由AB 的坐标可得斜率，由点斜式方程可写出方程，化为一般式即可； （2）由垂直关系可得高线的斜率，由高线过点C ，同（1）可得. 【详解】（1），， (2,4),(0,2)A B - 4(2)320AB k --∴==-由点斜式方程可得， (2)3(0)y x --=-化为一般式可得； 320x y --=（2）由（1）可知，3AB k =故AB 边上的高线CH 所在直线的斜率为，13-又AB 边上的高线CH 所在直线过点， (2,3)C -所以方程为，13(2)3y x -=-+化为一般式可得.370x y +-=【点睛】本题考查直线一般式方程的求解，从点斜式出发是解决问题的关键，属基础题. 18．已知在平行六面体中，，，且1111ABCD A B C D -2AB =13AA =1AD =113DAB BAA DAA π∠=∠=∠=.(1)求的长；1DB (2)求向量与夹角的余弦值.1DB AB【答案】【分析】（1）用空间的一个基底表示向量，再利用空间向量数量积的运算律求解1{,,}AB AD AA1DB 作答.（2）利用（1）中信息，结合空间向量的夹角公式计算作答.【详解】（1）在平行六面体中，为空间的一个基底， 1111ABCD A B C D -1{,,}AB AD AA 因为，，且，2AB =13AA =1AD =113DAB BAA DAA π∠=∠=∠=则，11πππ321cos 1,23cos 3,13cos 3332AB AD AB AA AD AA ⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯= ，111DB DA AB BB AB AD AA =++=-+所以1||DB ===（2）由（1）知，，则，11DB AB AD AA =-+ 22112136DB AB AB AB AD AB AA ⋅=-⋅+⋅=-+=又与夹角的余弦值1DB = 1DB AB111cos ,||||DB DB D B AB AB B A ⋅〈〉===19．北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛22110025x y +=物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点到点）.已知y 360,5⎛⎫⎪⎝⎭C B观测点A 的坐标，当航天器与点A 距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令.()6,0(1)求航天器变轨时点的坐标；C (2)求航天器降落点与观测点A 之间的距离. B 【答案】(1) ()6,4(2)3【分析】（1）设出点，利用的距离和椭圆方程可求出点的坐标； C ,A C C （2）根据抛物线经过的点求出方程，解出降落点的坐标，可得答案. 【详解】（1）设，由题意，，(),C x y 4AC =4=又，联立解得或（舍），当时， ， 22110025x y +=6x =10x =6x =4y =故的坐标为.C ()6,4（2）由题意设抛物线的方程为，2y mx n =-+因为抛物线经过点，，()6,4C 360,5⎛⎫⎪⎝⎭所以，，解得，即；365n =546363m =-+445m =2436455y x =-+令可得或（舍），即； 0y =9x =9x =-()9,0B 所以，||||||3AB OB OA =-=所以航天器降落点与观测点A 之间的距离为3.B 20．数列{an }的前n 项和为Sn ，Sn =2n 2+n ,,数列{b n }满足an =4log 2bn +3, . *n ∈N *n ∈N （1）求an 和bn 的通项公式； （2）求数列{an·bn }的前n 项和Tn .【答案】（1），bn =2n-1, （2）41n a n =-N n +∈(45)25,nn T n n N +=-⋅+∈【详解】试题分析：第一问利用数列的项与和的关系，，先求出当时的关11,2{,1n n n S S n a S n --≥==2n ≥系式，再去验证时是否成立，从而确定出最后的结果，将代入题中所给的式子，化1n =41n a n =-简求得，所以数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项积所构成的新数列，利12n n b -={}n n a b ⋅用错位相减法求得其和．试题解析：（1）由Sn=2n 2+n ，可得当时， 2n ≥()()()221221141n n n a S S n n n n n -=-⎡⎤⎣⎦=+--+-=-当时，符合上式，所以1n =13a =41n a n =-由an =4log 2bn ＋3可得=4log 2bn ＋3，解得．41n -1*2,n n b n N -=∈（2）()1412n n n a b n -=-⋅∴ ①1231372112152...(41)2n n T n -=+⋅+⋅+⋅++-⋅②①-②可得∴．*5(45)2,n n T n n N =+-⋅∈【解析】求数列的通项公式，错位相减法求和．【思路点睛】该题考查的是数列的综合问题，在求数列的通项公式时，需要应用数列的项与和{}n a 的关系，在求解的过程中，需要对时对的式子是否成立，求数列的通项公式时需要1n =2n ≥{}n b 对指对式的互化要熟练掌握，第二问，在对数列进行求和时，应用错位相减法求和，而应用错位相减法对数列求和的步骤是比较关键的，需要加强．21．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，111ABC A B C -11BCC B 11BCC B ⊥11ABB A ，M ，N 分别为，AC 的中点．2AB BC ==11A B(1)求证：平面；MN ∥11BCC B (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．条件①：； AB MN ⊥条件②：．BM MN =注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面平面，从而可证平AB K ,MK NK //MKN 11BCC B //MN 面.11BCC B （2）选①②均可证明平面，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可1BB ⊥ABC 求线面角的正弦值.【详解】（1）取的中点为，连接， AB K ,MK NK 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 111ABC A B C -11ABB A 而，则，11,B M MA BK KA ==1//MK BB 而平面，平面，故平面， MK ⊄11BCC B 1BB ⊂11BCC B //MK 11BCC B 而，则，同理可得平面， ,CN NA BK KA ==//NK BC //NK 11BCC B 而平面，,,NK MK K NK MK =⊂ MKN 故平面平面，而平面，故平面， //MKN 11BCC B MN ⊂MKN //MN 11BCC B （2）因为侧面为正方形，故，11BCC B 1CB BB ⊥而平面，平面平面， CB ⊂11BCC B 11CBB C ⊥11ABB A 平面平面，故平面， 11CBB C ⋂111ABB A BB =CB ⊥11ABB A 因为，故平面， //NK BC NK ⊥11ABB A 因为平面，故，AB ⊂11ABB A NK AB ⊥若选①，则，而，， AB MN ⊥NK AB ⊥NK MN N = 故平面，而平面，故，AB ⊥MNK MK ⊂MNK AB MK ⊥所以，而，，故平面，1AB BB ⊥1CB BB ⊥CB AB B ⋂=1BB ⊥ABC 故可建立如所示的空间直角坐标系，则，()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M 故， ()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===设平面的法向量为，BNM (),,n x y z = 则，从而，取，则，0n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 020x y y z +=⎧⎨+=⎩1z =-()2,2,1n =-- 设直线与平面所成的角为，则 AB BNM θ.42sin cos ,233n AB θ===⨯ 若选②，因为，故平面，而平面， //NK BC NK ⊥11ABB A KM ⊂MKN 故，而，故， NK KM ⊥11,1B M BK NK ===1B M NK =而，，故， 12B B MK ==MB MN =1BB M MKN ≅A A 所以，故， 190BB M MKN ∠=∠=︒111A B BB ⊥而，，故平面，1CB BB ⊥CB AB B ⋂=1BB ⊥ABC 故可建立如所示的空间直角坐标系，则，()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M 故， ()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===设平面的法向量为，BNM (),,n x y z =则，从而，取，则，00n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 020x y y z +=⎧⎨+=⎩1z =-()2,2,1n =-- 设直线与平面所成的角为，则AB BNM θ.42sin cos ,233n AB θ===⨯22．已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切， A 2229x y ++=（）B 2221x y -+=（）C A B (1)求圆心的轨迹方程C ;E (2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明B k E M N 、MN x P MN PB的值是定值.【答案】(1)()221113x y x ∞-=∈+，，(2)证明见解析【分析】（1）根据圆C 与圆A 、圆B 外切，得到<4，再利用双曲线的定义求解；2CA CB -=（2）设直线为，联立，利用弦长公式求得()()()11222y k x M x y N x y =-，，，，()22213y k x y x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩MN，再根据线段MN 的垂直平分线，得到点P 的坐标求解. 【详解】（1）解：因为圆C 与圆A 、圆B 外切， 设C 点坐标，圆C 半径为，x y （，）r 则，， 3CA r =+1CB r =+所以<4，2CA CB -=所以点C 的轨迹是双曲线的一支，又，，，242c c ==，221a a ==，2223b c a =-=所以其轨迹方程为；()221113x y x ∞-=∈+，，（2）设直线为，()()()11222y k x M x y N x y =-，，，，联立，消去y 得：，()22213y k x y x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩()222234430k x k x k -+--=所以， ()2122212243433k x x k k x x k ⎧-+=⎪-⎪⎨-+⎪=⎪-⎩设MN 中点坐标为G ，则， 2222633k k G k k ⎛⎫⎪--⎝⎭，， 22663+==-k k 直线GP 的方程为:， 22261233k k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，228003k y P k ⎛⎫= ⎪-⎝⎭当时，，所以， 22823k PB k =--所以=1.2222663823+-=--k MN k PBk k。

一、单选题二、多选题1. 设是第四象限角，且 ，则等于（ ）A．B．C．D．2.设，则（ ）A．B．C．D．3. 已知集合M ，N 是实数集R 的子集，若，且，则符合条件的集合M 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44. 设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（ ）A．B．C．D．5. 如图，在棱长为的正方体中，是底面正方形的中心，点在上，点在上，若，则（）A．B．C．D．6. 已知函数，则对任意实数x ，函数的值域是（ ）A．B．C．D．7. 我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度服从正态分布，若在内的概率为，则他速度超过的概率为A．B．C．D．8. 若复数，为的共轭复数，则复数的虚部为（ ）A ．B．C．D．9. 在正方体中，为的中点，为的中点，则（ ）A．B．C ．平面D ．平面10. 如图，在三棱锥中，，，，为的中点，点是棱上一动点，则下列结论正确的是（ ）广西南宁市第二中学2023届高三高考考前模拟大演练数学（文）试题广西南宁市第二中学2023届高三高考考前模拟大演练数学（文）试题三、填空题四、解答题A．三棱锥的表面积为B ．若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为C ．若与平面所成角的正弦值为，则二面角的正弦值为D ．的取值范围为11.设等差数列的前项和为，，且，则（ ）A．是等比数列B．是递增的等差数列C ．当时，的最大值为28D ．，，12. 已知双曲线：（，）的一条渐近线的方程为，且过点，椭圆：（）的焦距与双曲线的焦距相同，且椭圆的左右焦点分别为，过的直线交于（），两点，则下列叙述正确的是（ ）A ．双曲线的离心率为2B．双曲线的实轴长为C．点的横坐标的取值范围为D．点的横坐标的取值范围为13. 核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”．它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同：现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为（空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳），乙地种植的核桃空壳率为，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的，，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是______．14. 已知向量，，且，则__________．15.已知函数，若对任意的，函数在上为增函数，则的取值范围为_________．16. 如图，在体积为的四棱柱中，底面ABCD是正方形，是边长为2的正三角形．(1)求证：平面平面．(2)求与平面所成角的正弦值．17. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线C的切线，记两切线的交点为P，求面积的最小值.18. 数列的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.19. 已知椭圆的左焦点为F，C上任意一点M到F的距离最大值和最小值之积为3，离心率为.(1)求C的方程；(2)若过点的直线l交C于A，B两点，且点A关于x轴的对称点落在直线上，求n的值及面积的最大值.20. 已知椭圆的左顶点为，过右焦点且平行于轴的弦．(1)求的内心坐标；(2)是否存在定点，使过点的直线交于，交于点，且满足？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．21.如图，已知△ABC与△ADC关于直线AC对称，把△ADC绕点A逆时针旋转，得到△AFE，若B，C，E，F四点共线，且，.(1)求BC；(2)求△ADE的面积.。