八年级数学上册全册分层练习合集(含答案)

11.1 与三角形有关线段11.1.1 三角形边1.通过具体实例,认识三角形概念及其基本要素.2.学会三角形表示及根据“是否有边相等”对三角形进行分类.3.掌握三角形三边关系.阅读教材P2～4,完成预习内容.知识探究(一)三角形1.定义：由不在____________三条线段首尾________所组成图形叫做三角形.2.有关概念如图,线段AB,BC,CA是三角形________,点A,B,C是三角形________,∠A,∠B,∠C是相邻两边组成角,叫做三角形________,简称三角形角.3.表示方法：顶点是A,B,C三角形,记作“________”,读作“____________”.(1)三角形表示方法中“△”代表“三角形”,后边字母为三角形三个顶点,字母顺序可以自由安排,即△ABC,△ACB,△BAC,△BCA,△CAB,△CBA为同一个三角形.(二)三角形分类1.等边三角形：三条边都________三角形.2.等腰三角形：有两边________三角形,其中相等两条边叫做________,另一边叫做________,两腰夹角叫做________,腰和底边夹角叫做________.3.不等边三角形：三条边都________三角形.4.三角形按边相等关系分类三角形⎩⎪⎨⎪⎧ 三角形 三角形⎩⎪⎨⎪⎧ 三角形 三角形等边三角形是特殊等腰三角形,即底边和腰相等等腰三角形.(三)三角形三边关系1.三角形任意两边之和________第三边.2.推论：由于a ＋b>c,根据不等式性质,得c －b<a,即三角形两边之差________第三边.3.利用三角形________,可以确定在已知两边三角形中,第三边取值范围,以及判断任意三条线段能否构成三角形.自学反馈1.小强用三根木棒组成下列图形,其中符合三角形概念是( )2.下列长度三条线段能否组成三角形？为什么？(1)3,4,8 (________)；(2)2,5,6 (________)；(3)5,6,10 (________)；(4)5,6,11 (________).问题：判断三条线段能否组成三角形,是否一定要检验三条线段中任何两条和都大于第三条？根据你刚才解题经验,你有没有更简便判断方法？用较短两条线段之和与最长线段比较,若和大,能组成三角形；反之,则不能.活动1小组讨论例1若三角形两边长分别是2和7,第三边长为奇数,求第三边长.解：设第三边长为x,根据两边之和大于第三边,得x＜2＋7,即x＜9.根据两边之差小于第三边,得x>7－2,即x>5.∴x值大于5小于9.又∵它是奇数,∴x只能取7.例2用一根长为18厘米细铁丝围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边2倍,那么各边长是多少？(2)能围成有一边长为4厘米等腰三角形吗？解：(1)设底边长为x厘米,则腰长为2x厘米.则x＋2x＋2x＝18.解得x＝3.6.∴三边长分别为3.6厘米,7.2厘米,7.2厘米.(2)①当4厘米长为底边,设腰长为x厘米,则4＋2x＝18.解得x＝7.∴等腰三角形三边长为7厘米,7厘米,4厘米；②当4厘米长为腰长,设底边长为x厘米,则4×2＋x＝18.解得x＝10.∵4＋4<10,∴此时不能构成三角形,即可围成等腰三角形,且三边长分别为7厘米,7厘米和4厘米.活动2跟踪训练1.现有两根木棒,它们长度分别为20 cm和30 cm,若不改变木棒长度,要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取( )A.10 cm木棒B.20 cm木棒C.50 cm木棒D.60 cm木棒2.已知等腰三角形两边长分别为3和6,则它周长为( )A.9B.12C.15D.12或153.若五条线段长分别是1 cm,2 cm,3 cm,4 cm,5 cm,则以其中三条线段为边可构成________个三角形.4.若等腰三角形两边长分别为3和7,则它周长为________；若等腰三角形两边长分别为3和4,则它周长为________.5.找一找,图中有多少个三角形,并把它们写下来.活动3课堂小结1.三角形表示方法,三角形基本要素.2.三角形按边分类.3.三角形三边关系,如何判断三条线段能否组成三角形.【预习导学】知识探究(一)1.同一条直线上顺次相接 2.边顶点内角3.△ABC 三角形ABC (二)1.相等 2.相等腰底边顶角底角 3.不相等 4.不等边等腰底边和腰不相等等腰等边(三)1.大于 2.小于 3.三边关系自学反馈1.C2.(1)不能(2)能(3)能(4)不能【合作探究】活动2跟踪训练1.B2.C3.34.17 10或115.图中有5个三角形.分别是△ABE.△DEC.△BEC.△ABC.△DBC.11.1.2 三角形高.中线与角平分线1.认识三角形高.中线与角平分线.2.会画一个三角形高.中线与角平分线.阅读教材P4～5,完成预习内容.知识探究1.从三角形一个顶点向它对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间线段叫做____________.2.在三角形中,连接一个顶点与它对边中点线段,叫做这个________________.三角形三条中线交点叫做三角形________.3.在三角形中,一个内角平分线与它对边相交,这个角顶点与交点之间线段叫________________.自学反馈1.三角形高：如图1,从△ABC顶点A向它所对边BC所在直线画垂线,垂足为D,所得线段AD叫做△ABC边BC上________.AD是△ABC高,则AD⊥________.2.三角形中线：如图2,连接△ABC顶点A和它所对边BC中点D,所得线段AD叫做△ABC边BC上________.AD是△ABC中线,则BD＝________.3.三角形角平分线：如图3,∠BAC平分线AD,交∠BAC对边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC________.AD是△ABC角平分线,则∠BAD ＝________.活动1小组讨论1.用工具准确画出三角形高.如图,线段AD是△ABC中BC边上高.注意：标明垂直记号和垂足字母.回忆并演示“过一点画已知直线垂线”画法.分别在下列锐角三角形.直角三角形.钝角三角形中画出所有高,观察高与三角形位置关系.由作图可得出如下结论：(1)三角形三条高线相交于1点；(2)锐角三角形三条高线相交于三角形内部；(3)钝角三角形三条高线相交于三角形外部；(4)直角三角形三条高线相交于三角形直角顶点.2.画三角形中线.如图,线段AD是△ABC中BC边上中线.分别在下列锐角三角形.直角三角形.钝角三角形中画出所有中线,观察中线与三角形位置关系.由作图可得出如下结论：(1)三角形三条中线相交于1点；(2)锐角三角形三条中线相交于三角形内部；(3)钝角三角形三条中线相交于三角形内部；(4)直角三角形三条中线相交于三角形内部.3.画三角形角平分线.如图,线段AD是△ABC一条角平分线,图中∠BAD＝∠CAD.分别在下列锐角三角形.直角三角形.钝角三角形中画出所有角平分线,观察角平分线与三角形位置关系.由作图可得出如下结论：(1)三角形三条角平分线相交于1点；(2)锐角三角形三条角平分线相交于三角形内部；(3)钝角三角形三条角平分线相交于三角形内部；(4)直角三角形三条角平分线相交于三角形内部.活动2跟踪训练1.一个三角形三条高交点是三角形一个顶点,则这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定2.如图,AD是△ABC高,AE是△ABC角平分线,AF是△ABC中线,则图中相等角是________________________________,相等线段是________.3.三角形角平分线与角平分线有什么区别？高与垂线呢？4.一个三角形有几条高？几条中线？几条角平分线？活动3课堂小结1.三角形高.中线.角平分线概念及画法.2.运用三角形高.中线.角平分线可得到相等线段和相等角.【预习导学】知识探究1.三角形高2.三角形中线重心3.三角形角平分线自学反馈1.高BC2.中线CD3.角平分线∠CAD【合作探究】活动2跟踪训练1.B2.∠BAE和∠CAE,∠ADB和∠ADC BF和CF3.三角形角平分线是线段,角平分线是射线；高是线段,垂线是直线.4.一个三角形有3条高,3条中线,3条角平分线.11.1.3 三角形稳定性1.通过观察和实际操作得到三角形具有稳定性,四边形没有稳定性.2.了解稳定性与不稳定性在生产.生活中广泛应用.阅读教材P6～7,完成预习内容.知识探究三角形________稳定性,四边形________稳定性.自学反馈1.下列图中具有稳定性有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.人站在晃动公共汽车上,若你分开两腿站立,则需伸出一只手去抓住栏杆才能站稳,这是利用了________________________.3.下列设备,没有利用三角形稳定性是( )A.活动四边形衣架B.起重机C.屋顶三角形钢架D.索道支架活动1小组讨论1.如图,盖房子时,在窗框未安装好之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,为什么要这样做呢？(防止窗框变形)2.动手操作探究三角形稳定性.(1)三根木条用钉子钉成一个三角形木架,然后扭动它,它形状会改变吗？(不会)(2)四根木条用钉子钉成一个四边形木架,然后扭动它,它形状会改变吗？(会)(3)在四边形木架上再钉一根木条,将它一对顶点连接起来,然后扭动它,它形状会改变吗？(不会)从上面实验过程中你能得出什么结论？与同学交流.解：三角形木架形状不会改变,四边形木架形状会改变,这就是说,三角形具有稳定性,四边形没有稳定性.第一个三角形不变形,第二个四边形变形,当在四边形木架上再钉一根木条,然后扭动它,不变形.通过对比得出三角形具有稳定性结论.还有什么发现？解：还可以发现,斜钉一根木条四边形木架形状不会改变.原因是斜钉一根木条后,四边形变成两个三角形,由于三角形有稳定性,所以斜钉一根木条四边形木架形状不会改变.现在你知道为什么窗框未安装好之前,要先在窗框上斜钉一根木条了吧.其实就是利用了三角形稳定性.3.四边形不稳定性应用四边形不稳定性是我们常常需要克服,那么四边形不稳定性在生活中有没有应用价值呢？如果有,你能举出实例吗？活动2跟踪训练1.下列图形中哪些具有稳定性？判断一个图形是否稳定,关键是看图形中是否都是三角形.2.如图,桥梁斜拉钢索是三角形结构,主要是为了( )A.节省材料,节约成本B.保持对称C.利用三角形稳定性D.美观漂亮3.如图,工人师傅砌门时,常用木条EF和EG固定门框ABCD,使其不变形,这种做法根据是( )A.两点之间线段最短B.矩形对称性C.矩形四个角都是直角D.三角形稳定性活动3课堂小结运用三角形稳定性和四边形不稳定性解释其在生活中应用.【预习导学】知识探究具有没有自学反馈1.C2.三角形稳定性3.A【合作探究】活动2跟踪训练1.图(1),(4),(6)具有稳定性.2.C3.D11.2.2 三角形外角1.探索并了解三角形外角两条性质.2.利用学过定理论证这些性质.3.利用三角形外角性质解决与其有关实际问题.阅读教材P14～15,完成预习内容.1.如图1,把△ABC一边BC延长,得到∠ACD.像这样,三角形一边与另一边延长线组成角,叫做____________.图1如图2,一个三角形有________个外角.每个顶点处有________个外角.图22.如图1,△ABC中,∠A＝80°,∠B＝40°,∠ACD是△ABC一个外角,则∠ACD＝________.试猜想∠ACD与∠A,∠B关系是____________.3.试结合图形写出证明过程：证明：过点C作CM∥AB,延长BC到D.则∠1＝∠A(两直线平行,内错角相等),∠2＝∠B(两直线平行,同位角相等),所以∠1＋∠2＝∠A＋∠B,即________＝∠A＋∠B.知识探究一般地,由三角形内角和定理可以推出：三角形外角等于与它不相邻________________. 自学反馈1.判断下列∠1是哪个三角形外角：2.求下列各图中∠1度数.活动1小组讨论1.如图∠1＋∠2＋∠3＝？解：∠1＋∠BAC＝180°,∠2＋∠ABC＝180°,∠3＋∠ACB＝180°,三个式子相加得到：∠1＋∠2＋∠3＋∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝540°.而∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°,所以∠1＋∠2＋∠3＝360°.2.结论：三角形外角和是360°.活动2跟踪训练1.求下列各图中∠1度数.2.求下列各图中∠1和∠2度数.3.已知三角形各外角比为2∶3∶4,求它每个外角度数？4.如图,AB∥CD,∠A＝40°,∠D＝45°,求∠1和∠2.活动3课堂小结三角形外角性质：1.三角形一个外角等于与它不相邻两个内角和.2.三角形外角和是360°.【预习导学】1.三角形外角 6 22.120°∠A＋∠B＝∠ACD3.∠ACD知识探究两个内角和自学反馈1.略.2.略.【合作探究】活动2跟踪训练1.∠1＝90°∠1＝80°∠1＝95°.2.略.3.设三个外角度数分别为2x.3x.4x,由三角形外角和为360°,得2x＋3x＋4x＝360°.解得x＝40°.所以三个外角度数分别为80°,120°,160°.4.∠1＝40°,∠2＝85°.11.3 多边形及其内角和11.3.1 多边形1.了解多边形及有关概念.2.理解正多边形及其有关概念.阅读教材P19～20,完成预习内容.知识探究1.在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成封闭图形叫做________.如果一个多边形由n条线段组成,那么这个多边形叫做________.(一个多边形由几条线段组成,就叫做几边形.)2.相邻两边组成角叫做____________,多边形边与它邻边延长线组成角叫做____________.3.连接多边形不相邻两个顶点线段,叫做________________.4.各个角都相等,各条边都相等多边形叫做________.自学反馈1.下列图形不是凸多边形是( )2.n边形有________条边,________个顶点,________个内角.在多边形概念中,要分清以下几个方面：(1)在平面内；(2)若干线段不在同一直线上；(3)首尾顺次相接；(4)所形成封闭图形.活动1小组讨论1.请列出生活中一些多边形,并指出其特征.解：房屋顶是三角形,因为三角形有稳定性；螺母底面为六边形,是为了方便安装和拆卸；黑板为四边形,是为了满足教学使用；等等.生活中存在很多多边形,它们形状都是为了与生活相适应.2.多边形内角.外角及对角线.(1)多边形相邻两边组成角叫做多边形内角.(2)多边形边与它邻边延长线组成角叫做多边形外角.(3)连接多边形不相邻两个顶点线段叫做多边形对角线.(4)多边形用表示它各顶点大写字母来表示,表示多边形必须按顺序书写,可按顺时针或逆时针顺序.(5)正多边形各个角都相等,各条边都相等.(如下图所示)判断一个n边形是正n边形条件：(1)各边相等,(2)各角相等.3.合作探究,完成下表,将你思路与同学交流.分享.多边形边数(n) 四边形五边形六边形…n边形从一个顶点作对角线条数 1 2 3 …n－3从一个顶点作对角线得2 3 4 …n－2三角形个数对角线总条数 2 5 9 …活动2跟踪训练1.下列不是凸多边形是( )2.下列图形中∠1是外角是( )3.下列说法正确是( )A.一个多边形外角个数与边数相同B.一个多边形外角个数是边数二倍C.每个角都相等多边形是正多边形D.每条边都相等多边形是正多边形活动3课堂小结1.多边形及其内角.外角.对角线.2.正多边形概念.【预习导学】知识探究1.多边形n边形2.多边形内角多边形外角3.多边形对角线4.正多边形自学反馈1.D2.n n n【合作探究】活动2跟踪训练1.C2.D3.B11.3.2 多边形内角和通过探索多边形内角和与外角和,让学生尝试从不同角度寻求解决问题方法,并能有效地解决问题.阅读教材P21～23,完成预习内容.问题1：你知道三角形内角和是多少度吗？解：三角形内角和等于180°.问题2：你知道任意一个四边形内角和是多少度吗？学生展示探究成果方法1：分成2个三角形180°×2＝360°方法2：分割成4个三角形180°×4－360°＝360°方法3：分割成3个三角形180°×3－180°＝360°从一个顶点出发和各顶点相连,把四边形问题转化为三角形问题.问题3：你知道五边形内角和是多少度吗？问题4：你知道六边形.七边形内角和分别是多少度吗？知识探究列表探索n边形内角和公式：____________.自学反馈1.十二边形内角和是________.2.一个多边形当边数增加1时,它内角和增加________.3.一个多边形内角和是720°,则此多边形共有________个内角.4.如果一个多边形内角和是1 440°,那么这是________边形.活动1小组讨论问题1：小明家有一张六边形地毯,小明绕各顶点走了一圈,回到起点A,他身体旋转了多少度？求六边形外角和等于多少度,用六个平角减去六边形内角和即可得出.问题2：n边形外角和等于多少度？探索发现：n边形外角和等于360°.活动2跟踪训练1.(1)八边形内角和等于________度；(2)九边形内角和等于________度；(3)十边形内角和等于________度.2.一个多边形内角和等于1 800°,这个多边形是________边形.3.七边形外角和为________.4.正多边形一个外角等于20°,则这个正多边形边数是________.5.内角和与外角和相等多边形是________边形.活动3课堂小结通过三角形向四边形.五边形…转化,体会转化思想在几何中运用,体会从特殊到一般认识问题方法.【预习导学】知识探究(n－2)×180°自学反馈1.1 800°2.180°3.六4.十【合作探究】活动2跟踪训练1.(1)1 080 (2)1 260 (3)1 4402.十二3.360°4.185.四13.1 轴对称13.1.1 轴对称1.理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称概念.2.能识别简单轴对称图形及其对称轴.阅读教材P58～59,完成预习内容.知识探究11.如果________沿一直线折叠,________部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它________.2.把________沿着某一条直线折叠,如果它能够与另________重合,那么就说__________关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合点是对应点,叫做对称点.自学反馈11.如图所示图案中,是轴对称图形有____________.2.下列图形中,不是轴对称图形是( )A.角B.等边三角形C.线段D.直角梯形3.下图中哪两个图形放在一起可以组成轴对称图形________.4.轴对称与轴对称图形有什么区别与联系？区别为轴对称是指两个图形能沿对称轴折叠后重合,而轴对称图形是指一个图形两部分沿对称轴折叠后能完全重合.联系是都有对称轴.对称点和两部分完全重合特性.阅读教材P59～60,了解轴对称及轴对称图形性质,学生独立完成下列问题：知识探究21.经过线段________并且________这条线段直线,叫做这条线段垂直平分线；2.成轴对称两个图形________；3.如果两个图形关于某条直线对称,那么________是任何一对对应点所连线段__________；4.轴对称图形对称轴,是任何一对对应点所连线段__________.自学反馈2如图,△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称,点A′.B′.C′分别是点A.B.C对称点.(1)将△ABC和△A′B′C′沿MN折叠后,则有△ABC≌________,PA＝________,∠MPA＝________＝________度.(2)MN与线段AA′关系为________________.活动1小组讨论例1下列图形是轴对称图形吗？如果是,指出轴对称图形对称轴.①等边三角形②正方形③圆④菱形⑤平行四边形解：①②③④是轴对称图形；⑤不是轴对称图形.①等边三角形对称轴为三条中线所在直线；②正方形对称轴为两条对角线所在直线和两组对边中点所在直线；③圆对称轴为过圆心直线；④菱形对称轴为两条对角线所在直线.对称轴是条直线.例2指出下边哪组图形是轴对称,并指出对称轴.①任意两个半径相等圆；②正方形一条对角线把一个正方形分成两个三角形；③长方形一条对角线把长方形分成两个三角形.解：①两圆心所在直线和连接两圆心线段中垂线；②把正方形分成两个三角形那条对角线所在直线；③不是轴对称.是不是轴对称看是否能沿某条直线折叠后重合.例3如图,△ABC和△AED关于直线l对称,若AB＝2cm,∠C＝95°,则AE＝2cm,∠D＝95°.根据成轴对称两个图形全等.再根据全等性质得到对应线段相等,对应角相等.活动2跟踪训练1.等边三角形.直角三角形.等腰梯形和矩形,其中有且只有一条对称轴对称图形有________.2.请写出两个具有轴对称性汉字________.3.下列两个图形是轴对称关系有________.4.小强站在镜前,从镜中看到镜子对面墙上挂着电子表,其读数如图所示,则电子表实际时刻是________.5.数运算中会有一些有趣对称形式,如12×231＝132×21,仿照这一形式,写出下列等式,并演算：12×462＝________________,18×891＝________________.6.图中图形是常见安全标记,其中是轴对称图形是( )7.如图,在网格上是由个数相同白色方块与黑色方块组成一幅图案,请仿照此图案,在旁边网格中设计出一个轴对称图案(不得与原图案相同,黑.白方块个数要相同).活动3课堂小结1.可用折叠法判断是否为轴对称图形.2.多角度.多方法思考对称轴条数.3.对称轴是一条直线,一条垂直于对应点连线直线.4.轴对称是指两个图形位置关系,轴对称图形是指一个具有特殊形状图形.【预习导学】知识探究11.一个平面图形直线两旁对称轴2.一个图形一个图形这两个图形自学反馈11.A.B.C.D2.D3.C与D,B与F4.略.知识探究21.中点垂直于2.全等3.对称轴垂直平分线4.垂直平分线自学反馈2(1)△A′B′C′PA′∠MPA′90 (2)MN垂直平分AA′【合作探究】活动2跟踪训练1.等腰梯形2.木.林3.ABC4.21：055.264×21＝5 544198×81＝16 038 6.A7.图略.14.1 整式乘法14.1.1 同底数幂乘法1.掌握同底数幂乘法概念及其运算性质,并能运用其熟练地进行运算.2.能利用同底数幂乘法法则解决简单实际问题.阅读教材P95～96“探究及例1”,完成预习内容.知识探究1.同底数幂概念：把下列式子化成同底数幂.(－a)2＝________；(－a)3＝________；(x－y)2________(y－x)2；(x－y)3＝________(y－x)3.2.乘方意义：a n意义是________个________相____,我们把这种运算叫做乘方,乘方结果叫________,a叫做____,n是____.3.思考：根据幂意义解答：52×53＝________×________＝________；32×34＝________________＝3(6)；a3·a4＝(a·a·a)·(a·a·a·a)＝a(7)；总结法则：a m·a n＝________(m,n都是正整数),即同底数幂相乘,底数________,指数________.推广：a m·a n·a p＝________(m,n,p都是正整数).自学反馈计算：(1)103·102·104；(2)x5＋m·x2n＋1；(3)(－x)2·(－x)3；(4)(a＋2)2(a＋2)3.公式中底数a具有广泛性,也可代表一个式子,如(a＋2)就可以看作一个整体.活动1小组讨论例1计算：(1)(－x)6·x10；(2)－x6·(－x)10；(3)10 000×10m×10m＋3；(4)(x－y)3·(y－x)5.解：(1)原式＝x6·x10＝x16；(2)原式＝－x6·x10＝－x16；(3)原式＝104·10m·10m＋3＝102m＋7；(4)原式＝－(x－y)3(x－y)5＝－(x－y)8.应运用化归思想将之化为同底数幂相乘,运算时要先确定符号.例2已知a x＝2,a y＝3(x,y为整数),求a x＋y值.解：a x＋y＝a x·a y＝2×3＝6.a x＋y＝a x·a y,一般逆用公式可使计算简便.活动2跟踪训练1.计算：(1)a·a3·a5；(2)x·x2＋x2·x；(3)(－p)5·(－p)4＋(－p)6·p3；(4)(x＋y)2m(x＋y)m＋1；(5)(x－y)3(x－y)2(y－x)；(6)(－x)6x7·(－x)8.注意符号和运算顺序,第(1)小题中a指数1千万别漏掉了.2.已知x m＋n·x m－n＝x9求m值.左边进行同底数幂运算后再对比右边指数.3.已知a m＝3,a m＋n＝9,求a n值.联想上题解题思想,这题在以上基础上要用到一个整体思想,把a n看作一个整体.活动3课堂小结1.化归思想方法(也叫转化思想方法)是人们学习.生活.生产中常用方法.当我们遇到新问题时,就应该想方设法地把新问题转化为原来熟知问题,例如(－x)6·x10转化为x6·x10.2.联想思维方法：联想能力是五大思维能力之一,例如看到a m＋n 就要联想到a m·a n,它是公式逆用,可帮助求值.3.a·a3·a5计算中,不要把“a”指数1给漏掉了.【预习导学】知识探究1.a2－a3＝－2.n a 乘幂底数指数3.5×5 5×5×5 553×3×3×3×3×3 a m＋n不变相加a m＋n＋p 自学反馈(1)109.(2)x m＋2n＋6.(3)－x5.(4)(a＋2)5.【合作探究】活动2跟踪训练1.(1)a9.(2)2x3.(3)0.(4)(x＋y)3m＋1.(5)－(x－y)6.(6)x21. 2.4.5. 3.a n＝3.14.1.2 幂乘方1.理解幂乘方法则.2.运用幂乘方法则计算.阅读教材P96～97“探究及例2”,完成预习内容.知识探究乘方意义：52中,底数是________,指数是________,表示________；(52)3意义：____________.(1)根据幂意义解答：(52)3＝________________(根据幂意义)＝____________(根据同底数幂乘法法则)＝52×3.(a m)2＝________________＝________(根据a m·a n＝a m＋n).(a m)n＝________________(幂意义)＝________________(同底数幂相乘法则)＝________(乘法意义).(2)总结法则：(a m)n＝________(m,n都是正整数),即幂乘方,________不变,________相乘.通常我们在解决新问题时可将之转化为已知问题来解决.自学反馈计算：(1)(103)3；(2)(x2)3；(3)－(x m)5；(4)(a2)3·a5.遇到乘方与乘法混算应先乘方再乘法.活动1小组讨论例1计算：(1)[(－x)3]4；(2)(－24)3；(3)(－23)4；(4)(－a5)2＋(－a2)5.解：(1)原式＝(－x)12＝x12.(2)原式＝－212.(3)原式＝212.(4)原式＝a10－a10＝0.弄清楚底数才能避免符号错误,混合运算时首先确定运算顺序.例2若92n＝38,求n值.解：依题意,得(32)2n＝38,即34n＝38.∴4n＝8.∴n＝2.可将等式两边化成底数或指数相同数,再比较.例3已知a x＝3,a y＝4(x,y为整数),求a3x＋2y值.解：a3x＋2y＝a3x·a2y＝(a x)3·(a y)2＝33×42＝27×16＝432.利用a mn＝(a m)n＝(a n)m,可对式子进行灵活变形,从而使问题得到解决.活动2跟踪训练1.计算：(1)(－x3)5；(2)a6·(a2)3·(a4)2；(3)[(x－y)3]2；(4)x2x4＋(x2)3.第(3)小题要将(x－y)看作一个整体,在计算中先确定运算顺序再计算.2.填空：108＝(________)2；b27＝(________)9；(y m)3＝(________)m; p2n＋2＝(________)2.3.若x m x2m＝3,求x9m值.要将x3m看作一个整体.活动3课堂小结1.审题时,要注意整体与部分之间关系.2.公式(a m)n＝a mn逆用：a mn＝(a m)n＝(a n)m.【预习导学】知识探究5 2 2个5相乘3个52相乘(1)52×52×5252＋2＋2a m·a m a2m a m·a m·…·a m,\s\up6(n个)) am＋m＋…＋m,\s\up6(n个)) a mn (2)a mn底数指数自学反馈(1)109.(2)x6.(3)－x5m.(4)a11.【合作探究】活动2跟踪训练1.(1)－x15.(2)a20.(3)(x－y)6.(4)2x6.2.104b3y3p n＋13.27.14.1.3 积乘方1.理解积乘方法则.2.运用积乘方法则计算.阅读教材P97～98“探究及例3”,理解积乘方法则,完成预习内容.知识探究1.(1)x5·x2＝________,(x3)2＝________,(a3)2·a4＝________.(2)下列各式正确是( )A.(a5)3＝a8B.a2·a3＝a6C.x2＋x3＝x5D.x2·x2＝x42.(1)填空：(2×3)3＝________,23×33＝________.(－2×3)3＝________,(－2)3×33＝________.(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab)________个＝(a·a·…·a)________个·(b·b·…·b)________个＝________.(2)总结法则：(ab)n＝________(n是正整数),即积乘方等于积__________分别________,再把所得幂________.推广：(abc)n＝________.(n是正整数)积乘方法则推导实质是按从整体到部分顺序去思考.自学反馈计算：(1)(ab)4; (2)(－2xy)3；(3)(－3×102)3; (4)(2ab2)3.对于第(2).(3)小题中符号可以先取号再乘方,也可以－2.－3作为整体看作一个因式.活动1小组讨论例1一个正方体棱长为2×102毫米.(1)它表面积是多少？(2)它体积是多少？解：(1)6×(2×102)2＝6×(4×104)＝2.4×105.(2)(2×102)3＝8×106.结果用科学记数法表示时a×10n中a是整数位只有一位数.例2计算：(1)(x4·y2)3；(2)(a n b3n)2＋(a2b6)n；(3)[(3a 2)3＋(3a 3)2]2.解：(1)原式＝x 12y 6.(2)原式＝a 2n b 6n ＋a 2n b 6n ＝2a 2n b 6n .(3)原式＝(27a 6＋9a 6)2＝(36a 6)2＝1 296a 12.先乘方再乘除后加减运算顺序.例3 计算： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫99100 2 017×⎝ ⎛⎭⎪⎫10099 2 018； (2)0.12515×(215)3.解：(1)原式＝(99100×10099)2017×10099＝1×10099＝10099. (2)原式＝(18)15×(23)15＝(18×8)15＝1. 反用(ab)n ＝a n b n 可使计算简便.活动2 跟踪训练1.计算：(1)－(－3a 2b 3)4；(2)－(y 2)3·(x 3y 5)3·(－y)6；(3)(－b 2)3[(－ab 3)3]2；(4)(2a 2b)3－3(a 3)2b 3.可从里向外乘方也可从外向内乘方,但要注意符号问题.2.计算：(1)(－0.25)2017×(－4)2019；(2)－2100×0.5100×(－1)2017－12. 3.计算：(x 2y n )2·(xy)n －1＝________________,(4a 2b 3)n ＝________.在计算中如遇底数互为相反数指数相同,可反用积乘方法则使计算简便.活动3 课堂小结1.审题时,在研究问题结构时,可按整体到部分顺序去思考和把握.2.公式(ab)n＝a n b n(n为正整数)逆用：a n b n＝(ab)n(n为正整数).【预习导学】知识探究1.(1)x7x6a10(2)D2.(1)216 216 －216 －216 n n n a n b n(2)a n b n每一个因式乘方相乘a n b n c n自学反馈(1)a4b4.(2)－8x3y3.(3)－2.7×107.(4)8a3b6.【合作探究】活动2跟踪训练1.(1)－81a8b12.(2)－x9y27.(3)－a6b24.(4)5a6b3.2.(1)16.(2)12. 3.x n＋3y3n－14n a2n b3n14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式1.掌握平方差公式.2.会用平方差公式简化并计算解决简单实际问题.阅读教材P107～108“探究.思考与例1”,完成预习内容. 知识探究根据条件列式：。

八年级数学上册全册全套试卷练习（Word 版 含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画_____个三角形．【答案】10 【解析】【分析】以平面内的五个点为顶点画三角形，根据三角形的定义，我们在平面中依次选取三个点画出图形即可解答.【详解】解：如图所示，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形，故答案为：10．【点睛】本题考查的是几何图形的个数，我们根据三角形的定义，在画图的时候要注意按照一定的顺序，保证不重复不遗漏.2．如图，ABC 中，点D 在AC 的延长线上，E 、F 分别在边AC 和AB 上，BFE ∠与BCD ∠的平分线相交于点P ，若ABC ∠=70°FEC ∠=80°，则P ∠=______．【答案】85°【解析】【分析】根据四边形内角和等于360°，在四边形FECB 中∠B +∠BFE +∠FEC +∠BCE =360°，结合角平分线的定义计算即可得∠1-∠2=15°；再在四边形EFPC 中求出∠1-∠2+∠P =110°即可解答．【详解】解：∵∠BFE =2∠1，∠BCD =2∠2，又∵∠BFE +∠ABC +∠FEC +∠BCE =360°，ABC ∠=70°，FEC ∠=80°，∴2∠1+（180°-2∠2）+70°+80°=360°，∴∠1-∠2=15°；∵在四边形EFPC 中，∠PFE +∠FEC +∠P +∠PCE =360°，∴∠1+80°+（180°-∠2）+∠P =360°，∴∠1-∠2+∠P =100°，∴∠P =85°，故答案为：85°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和四边形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°和四边形内角和等于360°是解题的关键．3．如图，已知四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠BAC=64°，∠BCD+∠DCA=180°，那么∠BDC 为_________度.【答案】32【解析】【分析】过C 点作∠ACE=∠CBD ，根据三角形内角和为180°，以及等量关系可得∠ECD=∠BDC ，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD ，再根据三角形内角和为180°，以及等量关系可得∠BDC 的度数．【详解】过C 点作∠ACE=∠CBD ，∵∠BCD+∠DCA=180°，∠BCD+∠CBD+∠BDC=180°，∴∠ECD=∠BDC ，∵对角线BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，∴∠ABD=∠ACE ，∴∠BAC=∠CEB=64°，∴∠BDC=12∠CEB=32°． 故答案为：32．【点睛】 此题考查了三角形内角与外角，三角形内角和为180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和．4．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

八年级上册数学全册全套试卷测试卷（含答案解析）一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F＝40°，则∠E＝_____度．【答案】80【解析】【详解】如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=12∠CPE=∠F+∠1，∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.故答案为80.2．一机器人以0.3m/s的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为__s．【答案】160.【解析】试题分析：该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用360°除以45°，即可求得正多边形的边数，即可求得周长，利用周长除以速度即可求得所需时间．试题解析：360÷45=8，则所走的路程是：6×8=48m，则所用时间是：48÷0.3=160s．考点：多边形内角与外角．3．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为__cm．【解析】【分析】底边可能是4，也可能是9，分类讨论，去掉不合条件的，然后可求周长.【详解】试题解析：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm．故填22．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答.4．已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是．【答案】12【解析】试题解析：根据题意，得（n-2）•180-360=1260，解得：n=11．那么这个多边形是十一边形．考点：多边形内角与外角．5．一个多边形的内角和与外角和的差是180°，则这个多边形的边数为_____．【答案】5【解析】【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列式求解即可【详解】解：设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°﹣360°＝180°，解得n＝5．故答案为5．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．6．三角形的三个内角度数比为1：2：3，则三个外角的度数比为_____．【答案】5:4:3【解析】试题解析：设此三角形三个内角的比为x，2x，3x，则x+2x+3x=180，x=30，∴三个内角分别为30°、60°、90°，相应的三个外角分别为150°、120°、90°，则三个外角的度数比为：150°：120°：90°=5：4：3，故答案为5：4：3．二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，CD 是ABC 的一条中线，E 为BC 边上一点且2,BE CE AE CD 、相交于,F 四边形BDFE 的面积为6，则ABC 的面积是（ ）A ．14B ．14.4C ．13.6D ．13.2【答案】B【解析】【分析】 连结BF ，设S △BDF ＝x ，则S △BEF ＝6－x ，由CD 是中线可以得到S △ADF ＝S △BDF ，S △BDC ＝S △ADC ，由BE ＝2CE 可以得到S △CEF ＝12S △BEF ，S △ABE ＝23S △ABC ，进而可用两种方法表示△ABC 的面积，由此可得方程，进而得解．【详解】解：如图，连接BF ，设S △BDF ＝x ，则S △BEF ＝6－x ，∵CD 是中线，∴S△ADF＝S△BDF＝x，S△BDC＝ S△ADC＝12△ABC，∵BE＝2CE，∴S△CEF＝12S△BEF＝12(6－x)，S△ABE＝23S△ABC，∵S△BDC＝ S△ADC＝12△ABC，∴S△ABC＝2S△BDC＝2[x＋32(6－x)]＝18－x，∵S△ABE＝23S△ABC，∴S△ABC＝32S△ABE＝32[2x＋ (6－x)]＝1.5x＋9，∴18－x ＝1.5x＋9，解得：x＝3.6，∴S△ABC＝18－x，＝18－3.6＝14.4，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积比等于底的比，熟练掌握这个结论记以及方程思想是解题的关键．8．已知△ABC的两条高分别为4和12，第三条高也为整数，则第三条高所有可能值为（）A．3和4 B．1和2 C．2和3 D．4和5【答案】D【解析】【分析】先设长度为4、12的高分别是a、b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，根据三角形面积公式，可求a=24S；b=212S；c=2Sh，结合三角形三边的不等关系，可得关于h的不等式，解不等式即可．【详解】设长度为4、12的高分别是a，b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，那么a=24S ；b=212S ；c=2S h∵a-b ＜c ＜a+b ， ∴24S -212S ＜c ＜24S +212S ， 即 3S ＜2S h ＜23S ， 解得3＜h ＜6，∴h=4或h=5，故选D.【点睛】主要考查三角形三边关系；利用三角形面积的表示方法得到相关等式是解决本题的关键.9．如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第8个图形中花盆的个数为（ ）A ．56B ．64C ．72D ．90【答案】D【解析】【分析】根据题意找出规律得到第n 个图形中花盆的个数为：（n+1）（n+2），然后将n=7代入求解即可.【详解】第1个图形的花盆个数为：（1+1）（1+2）；第2个图形的花盆个数为：（2+1）（2+2）=12；第3个图形的花盆个数为：（3+1）（3+2）=20；，第n 个图形的花盆个数为：（n+1）（n+2）；则第7个图形中花盆的个数为：（7+1）（7+2）=72.故选：C.【点睛】本题考查图形规律题，解此题的关键在于根据题中图形找到规律.10．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在ABC ∆处的'A 处，折痕为DE .如果A α∠=，'CEA β∠=，'BDA γ∠=，那么下列式子中正确的是（ ）A ．2γαβ=+B ．2γαβ=+C ．γαβ=+D ．180γαβ=--【答案】A【解析】【分析】【详解】 分析:根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD ，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论. 详解:由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD ，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故选A.点睛：本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.11．如图，将一张含有30角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若244∠=，则1∠的大小为（ ）A ．14B ．16C ．90α-D ．44α-【答案】A【解析】分析：依据平行线的性质，即可得到∠2=∠3=44°，再根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，进而得出结论．详解：如图，∵矩形的对边平行，∴∠2=∠3=44°，根据三角形外角性质，可得：∠3=∠1+30°，∴∠1=44°﹣30°=14°．故选A．点睛：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．12．一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．7 B．8 C．6 D．5【答案】B【解析】【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．【详解】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n-2）=3×360°解得n=8．故选：B．【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．在Rt△ABC中，∠BAC=90°AB=AC，分别过点B、C做经过点A的直线的垂线BD、CE，若BD=14cm，CE=3cm，则DE=_____【答案】11cm或17cm【解析】【分析】分两种情形画出图形，利用全等三角形的性质分别求解即可．【详解】解：如图，当D，E在BC的同侧时，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°，∵BD ⊥DE ，∴∠BDA ＝90°，∴∠BAD ＋∠DBA ＝90°，∴∠DBA ＝∠CAE ，∵CE ⊥DE ，∴∠E ＝90°，在△BDA 和△AEC 中，ABD CAE D EAB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BDA ≌△AEC （AAS ），∴DA ＝CE ＝3，AE ＝DB ＝14，∴ED ＝DA ＋AE ＝17cm ．如图，当D ，E 在BC 的两侧时，同法可证：BD ＝CE ＋DE ，可得DE ＝11cm ，故答案为：11cm 或17cm ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．14．如图,在△ABC 中，∠C=090,点D 在AB 上，BC=BD,DE ⊥AB 交AC 于点E ，△ABC 的周长为12，△ADE 的周长为6，则BC 的长为_______【解析】【分析】连接BE ，由斜边直角边判定Rt BDE ∆≅ Rt BCE ∆，从而DE CE =,再由△ABC 的周长 △ADE 的周长即可求得BC 的长．【详解】如图：连接BE ，DE ⊥AB ，090BDE ∴∠=，在Rt BDE ∆和Rt BCE ∆中，BE BE BD BC=⎧⎨=⎩， ∴Rt BDE ∆≅ Rt BCE ∆，DE CE ∴=,∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=2BC+AD+AE+DE=12，△ADE 的周长= AD+AE+DE =6，∴BC=3，故答案为3．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质以及和三角形有关的线段，连接BE 构造全等三角形是解答此题的关键.15．如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝5，∠ACB ＝80°，O 为△ABC 中一点，∠OAB ＝10°，∠OBA ＝30°，则线段AO 的长是_____．【答案】5【解析】【分析】作∠CAO 的平分线AD ，交BO 的延长线于点D ，连接CD ，由等边对等角得到∠CAB ＝∠CBA ＝50°，再推出∠DAB ＝∠DBA ，得到AD ＝BD ，然后可证△ACD ≌△BCD ，最后证△ACD ≌△AOD ，即可得AO ＝AC ＝5．解：如图，作∠CAO 的平分线AD ，交BO 的延长线于点D ，连接CD ，∵AC ＝BC ＝5，∴∠CAB ＝∠CBA ＝50°，∵∠OAB ＝10°， ∴∠CAD ＝∠OAD ＝1(CAB OAB)2∠-∠＝()150102︒︒-＝20°， ∵∠DAB ＝∠OAD+∠OAB ＝20°+10°＝30°，∴∠DAB ＝30°＝∠DBA ，∴AD ＝BD ，∠ADB ＝120°，在△ACD 与△BCD 中AC BC AD BD CD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCD （SSS ）∴∠CDA ＝∠CDB ，∴∠CDA ＝∠CDB ＝()1360ADB 2︒-∠＝()13601202︒︒-＝120°， 在△ACD 与△AOD 中CDA ADO 120AD ADCAD OAD ︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACD ≌△AOD （ASA ）∴AO ＝AC=5，故答案为5．【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解决本题的关键.16．如图，已知ABC △是等边三角形，点D 在边BC 上，以AD 为边向左作等边ADE ，连结BE ，作BF AE ∥交AC 于点F ，若2AF =，4CF =，则AE =________．【答案】27 【解析】【分析】证明△BAE ≌△CAD 得到ABE BAC ∠=∠，从而证得BEAF ，再得到AEBF 是平行四边形，可得AE=BF ，在三角形BCF 中求出BF 即可.【详解】作FH BC ⊥于H ，∵ABC 是等边三角形,2AF =，4CF =∴BC=AC=6 在HCF 中， CF=4, 060BCF ∠=030,2CFD CH ∴∠==2224212FH ∴=-=22241227BF BH FH ∴++=∵ABC 是等边三角形，ADE 是等边三角形∴AC=AB ，AD=AE ，060CAB DAE ∠=∠= CAD BAE ∴∠=∠CAD BAE ∴∆≅∆060ABE ACD ∴∠=∠=ABE BAC ∴∠=∠BE AF ∴∵BF AE∴AEBF 是平行四边形∴AE=BF= 27【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17．AD、BE是△ABC的高，这两条高所在的直线相交于点O，若BO=AC，则∠ABC=______.【答案】45°或135°【解析】【分析】分别讨论△ABC为锐角三角形时、∠A、∠B、∠C分别为钝角时和∠A为直角时五种情况，利用AAS证明△BOD≌△ACD，可得BD=AD，根据等腰直角三角形的性质即可得答案.【详解】①如图，当△ABC为锐角三角形时，∵AD、BE为△ABC的两条高，∴∠CAD+∠AOE=90°，∠CBE+∠BOD=90°，∵∠BOD=∠AOE，∴∠CAD=∠OBD，又∵∠ODB=∠ADC=90°，OB=AC，∴△BOD≌△ACD，∴AD=BD，∵AD⊥BC，∴∠ABC=45°，②如图，当∠B为钝角时，∵∠C+∠CAD=90°，∠O+∠CAD=90°，∴∠C=∠O，又∵∠ADC=∠ODB=90°，OB=AC，∴△BOD≌△ACD，∴BD=AD，∵AD⊥BC，∴∠ABD=45°，∴∠ABC=180°-45°=135°.③如图，当∠A为钝角时，同理可证：△BOD≌△ACD，∴AD=BD.∴∠ABC=45°，④如图，当∠C为钝角时，同理可证：△BOD≌△ACD，∴AD=BD.∴∠ABC=45°.⑤当∠B为直角时，点O、D、B重合，OB=0，不符合题意，当∠C为直角时，点O、C、D、E重合，CD=0，不符合题意，如图，当∠A为直角时，点A、E、O重合，∵OB=AC，∠CAB=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°.综上所述：∠ABC 的度数为45°或135°.故答案为：45°或135°【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：SSS 、AAS 、ASA 、SAS 、HL 等，注意：SAS 时，角必须是两边的夹角，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.灵活运用分类讨论的思想是解题关键.18．把两个三角板如图甲放置，其中90ACB DEC ∠=∠=︒，45A ∠=︒，30D ∠=︒，斜边12AB =，14CD =，把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15︒得到△11D CE （如图乙），此时AB 与1CD 交于点O ，则线段1AD 的长度为_________．【答案】10【解析】试题分析：如图所示，∠3=15°，∠1E =90°， ∴∠1=∠2=75°， 又∵∠B=45°，∴∠OF 1E =∠B+∠1=45°+75°=120° ∴∠1D FO=60° ∵∠C 11D E =30°，∴∠5=∠4=90°， 又∵AC=BC ，AB=12， ∴OA=OB=6 ∵∠ACB=90°，∴CO=12AB=6， 又∵C 1D =CD=14， ∴O 1D =C 1D -OC=14-6=8， 在Rt △A 1D O 中，222211A 6810D OA OD =+=+=点睛：本题主要考查的就是旋转的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质及判定以及勾股定理的应用.解决这个问题的关键就是首先根据三角形外角的性质以及旋转图形的性质得出△AO 1D 为直角三角形，然后根据直角三角形的性质得出AO 和O 1D 的长度，最后根据直角三角形的勾股定理得出答案.四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．如图所示，设甲、乙、丙、丁分别表示△ABC ，△ACD ，△EFG ，△EGH ．已知∠ACB ＝∠CAD ＝∠EFG ＝∠EGH ＝70°，∠BAC ＝∠ACD ＝∠EGF ＝∠EHG ＝50°，则叙述正确的是（ ）A ．甲、乙全等，丙、丁全等B ．甲、乙全等，丙、丁不全等C ．甲、乙不全等，丙、丁全等D ．甲、乙不全等，丙、丁不全等【答案】B【解析】【分析】 根据题意即是判断甲、乙是否全等，丙丁是否全等．运用判定定理解答．【详解】解：∵∠ACB=CAD=70°，∠BAC=∠ACD=50°，AC 为公共边，∴△ABC ≌△ACD ，即甲、乙全等；△EHG 中，∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG ，虽∠EFG=∠EGH=70°，∠EGF=∠EHG=50°，∴△EFG 不全等于△EGH ，即丙、丁不全等．综上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B 正确，故选：B ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，但考生需要有空间想象能力．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、HL ．找着∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG 是正确解决本题的关键．20．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出以下五个结论：①△PFA ≌△PEB ，②EF=AP ，③△PEF 是等腰直角三角形，④当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），S 四边形AEPF =12S △ABC ，上述结论中始终正确有 （ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，∴AP⊥BC，AP=PB，∠B=∠CAP=45°，∵∠APF+∠FPA=90°，∠ APF+∠BPE=90°，∴∠APF=∠BPE，在△BPE和△APF中，∠B=∠CAP， BP=AP，∠BPE =∠APF，∴△PFA≌△PEB；故①正确；∵△ABC是等腰直角三角形点P是BC的中点，∴AP=12 BC，又∵EF不一定是△ABC的中位线，∴EF≠AP，故结论②错误；∵△PFA≌△PEB，∴PE=PF，又∵∠EPF=90°，∴△PEF是等腰直角三角形，故③正确；∵△PFA≌△PEB，∴S△PFA =S△PEB，∴S四边形AEPF=S△APE+S△APF=S△APE+S△BPE=S△APB=12S△ABC，故结论④正确；综上，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），始终正确的有3个结论.故选：C.点睛：本题意旋转为背景考查了全等三角形的判定和性质，解题时需要运用等腰直角三角形的判定和性质，综合性较强，根据题意得出△PFA≌△PEB是解答此题的关键.21．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D，过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G，则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH，其中正确的是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP，再根据角平分线的定义∠ABP=12∠ABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；②先求出∠APB=∠FPB，再利用“角边角”证明△ABP和△FBP全等，根据全等三角形对应边相等得到AB=BF，AP=PF；③根据直角的关系求出∠AHP=∠FDP，然后利用“角角边”证明△AHP与△FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=AH；④根据PF⊥AD，∠ACB=90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根据等角对等边可得DG=AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH=GF，然后求出DG=GH+AF，有直角三角形斜边大于直角边，AF＞AP，从而得出本小题错误.【详解】解：①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线，∴∠ABP=12∠ABC，∠CAP=12（90°+∠ABC）=45°+12∠ABC，在△ABP中，∠APB=180°-∠BAP-∠ABP，=180°-（45°+12∠ABC+90°-∠ABC）-12∠ABC，=180°-45°- 12∠ABC-90°+∠ABC-12∠ABC，=45°，故本小题正确；②∵PF⊥AD，∠APB=45°（已证），∴∠APB=∠FPB=45°，∵∵PB为∠ABC的角平分线，∴∠ABP=∠FBP，在△ABP 和△FBP 中，APB FPB PB PBABP FBP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABP ≌△FBP （ASA ），∴AB=BF ，AP=PF ；故②正确；③∵∠ACB=90°，PF ⊥AD ，∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°，∴∠AHP=∠FDP ，∵PF ⊥AD ，∴∠APH=∠FPD=90°，在△AHP 与△FDP 中，90AHP FDP APH FPD AP PF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△AHP ≌△FDP （AAS ），∴DF=AH ，∵BD=DF+BF ，∴BD=AH+AB ，∴BD-AH=AB ，故③小题正确；④∵PF ⊥AD ，∠ACB=90°，∴AG ⊥DH ，∵AP=PF ，PF ⊥AD ，∴∠PAF=45°，∴∠ADG=∠DAG=45°，∴DG=AG ，∵∠PAF=45°，AG ⊥DH ，∴△ADG 与△FGH 都是等腰直角三角形，∴DG=AG ，GH=GF ，∴DG=GH+AF ，∵AF ＞AP ，∴DG=AP+GH 不成立，故本小题错误，综上所述①②③正确．故选:C.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系.22．已知等边△ABC中，在射线BA上有一点D，连接CD，并以CD为边向上作等边△CDE，连接BE和AE，试判断下列结论：①AE=BD；②AE与AB所夹锐夹角为60°；③当D在线段AB或BA延长线上时，总有∠BDE-∠AED=2∠BDC；④∠BCD=90°时，CE2+AD2=AC2+DE2，正确的序号有（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】由∠BCD=∠ACD+60°，∠ACE=∠ACD+60°可得∠BCD=∠ACE，利用SAS可证明△BCD≌△ACE，可得AE=BD，①正确；∠CBD=∠CAE=60°，进而可得∠EAD=60°，②正确，当∠BCD=90°时，可得∠ACD=∠ADC=30°，可得AD=AC，即可得CE2+AD2=AC2+DE2，④正确；当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，根据△BCD≌△ACE可得∠AEC=∠BDC，进而可得∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，即可证明∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED，即∠BDE-∠AED=2∠BDC，当点D在AB上时可证明∠BDE-∠AED=120°，③错误，综上即可得答案.【详解】∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，又∵AC=BC，CE=CD，∴△BCD≌△ACE，∴AE=BD，∠CBA=∠CAE=60°，∠AEC=∠BDC，①正确，∴∠BAE=120°，∴∠EAD=60°，②正确，∵∠BCD=90°，∠BCA=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴AC=AD，∵CE=DE，∴CE2+AD2=AC2+DE2，④正确，当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，∵∠AEC=∠BDC，∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED∴∠BDE-∠AED=2∠BDC，如图，当点D在AB上时，∵△BCD≌△∠ACE，∴∠CAE=∠CBD=60°，∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°，∴∠BDE-∠AED=∠DAE=120°，③错误故正确的结论有①②④，故选C.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握=，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将23．如图，在Rt△ABC中，AB AC△ADC绕点A顺时针旋转90︒后，得到△AFB，连接EF.列结论：+=①△ADC≌△AFB；②△ABE≌△ACD；③△AED≌△AEF；④BE DC DE 其中正确的是( )A．②④B．①④C．②③D．①③【答案】D【解析】解：∵将△ADC绕点A顺时针旋转90︒后，得到△AFB，∴△ADC≌△AFB，故①正确；②无法证明，故②错误；③∵△ADC≌△AFB，∴AF=AD，∠FAB=∠DAC．∵∠DAE=45°，∴∠BAE+∠DAC=45°，∠FA E=∠DAE=45°．在△FAE和△DAE中，∵AF=AD，∠FAE=∠DAE，AE=AE，∴△FAE≌△DAE，故③正确；④∵△ADC≌△AFB，∴DC=BF，∵△FAE≌△DAE，∴EF=ED，∵BF+BE＞EF，∴DC+BE＞ED ．故④错误．故选D ．24．如图，已知等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE ，AB=AC=4，∠BAC=∠EAD=90°，D 是射线BC 上任意一点，连接EC ．下列结论：①△AEC △ADB ；② EC ⊥BC ； ③以A 、C 、D 、E 为顶点的四边形面积为8；④当BD=时，四边形AECB 的周长为10524++;⑤ 当BD=32B 时,ED=5AB ；其中正确的有（ ）A ．5个B ．4个C ．3 个D ．2个【答案】B【解析】解：∵∠BAC =∠EAD =90°，∴∠BAD =∠CAE ，∵AB =AC ，AD =AE ，∴△AEC ≌△ADB ，故①正确； ∵△AEC ≌△ADB ，∴∠ACE =∠ABD =45°，∵∠ACB =45°，∴J IAO ECB =90°，∴EC ⊥BC ，故②正确； ∵四边形ADCE 的面积=△ADC 的面积+△ACE 的面积=△ADC 的面积+△ABD 的面积=△ABC 的面积=4×4÷2=8．故③正确；∵BD =2，∴EC =2，DC =BC -BD =422=32，∴DE 2=DC 2+EC 2，=(2222+=20，∴DE =25，∴AD =AE =252=10.∴AECB 的周长=AB +DC +CE +AE =442210+45210+，故④正确；当BD =32BC 时，CD =12BC ，∴DE 221322BC BC ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10BC 5．故⑤错误． 故选B ．点睛：此题是全等三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解答此题的关键．五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．△ABC 与△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，6．现将△DEF 与△ABC 按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC 保持不动，△DEF 运动，且满足点E 在边BC 上运动（不与B ，C 重合），边DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于点M ．在△DEF 运动过程中，若△AEM 能构成等腰三角形，则BE 的长为______．【答案】363【解析】【分析】分若AE ＝AM 则∠AME ＝∠AEM ＝45°；若AE ＝EM ；若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45°三种情况讨论解答即可；【详解】解：①若AE ＝AM 则∠AME ＝∠AEM ＝45°∵∠C ＝45°∴∠AME ＝∠C又∵∠AME ＞∠C∴这种情况不成立；②若AE ＝EM∵∠B ＝∠AEM ＝45°∴∠BAE+∠AEB ＝135°，∠MEC+∠AEB ＝135°∴∠BAE ＝∠MEC在△ABE 和△ECM 中，B BAE CENAE EII C ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ECM （AAS ），∴CE ＝AB 6，∵AC ＝BC 2AB ＝3∴BE ＝36；③若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45°∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE ＝45°∴AE 平分∠BAC∵AB ＝AC ，∴BE ＝12BC ＝3． 故答案为23﹣6或3．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键．26．如图，1AB A B =，1112A B A A =，2223A B A A =，3334A B A A =，…，当2n ≥，70A ∠=︒时，11n n n A A B --∠=__________．【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】先根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出121B A A ∠，232B A A ∠及343B A A ∠的度数，再找出规律即可得出11n n n A A B --∠的度数．【详解】解：∵在1ABA ∆中，70A ∠=︒，1AB A B =∴170BA A A ∠==︒∠∵1112A A A B =，1BA A ∠是121A A B ∆的外角∴12111211703522B A A A B A BA A ︒∠=∠===︒∠ 同理可得，2321217017.542B A A BA A ︒∠===︒∠，343131708.7582B A A BA A ︒∠===︒∠ ∴111702n n n n A A B ---︒∠=．故答案为：1702n -︒ 【点睛】 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据特殊情况找出规律是解题关键．27．如图，BD 是ABC 的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ，且交线段BC 于点E ，连结DE ，若50C ∠=︒，设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,，则y 关于x 的函数表达式为_____________．【答案】80y x =-【解析】【分析】根据题意，由等腰三角形的性质可得BD 是AE 的垂直平分线，进而得到AD ＝ED ，求出BED ∠的度数即可得到y 关于x 的函数表达式．【详解】∵BD 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥∴1122ABD EBD ABC x ∠=∠=∠=︒，90AFB EFB ∠=∠=︒ ∴1902BAF BEF x ∠=∠=︒-︒ ∴AB BE =∴AF EF =∴AD ED =∴DAF DEF ∠=∠∵180BAC ABC C ∠=︒-∠-∠，50C ∠=︒∴130BAC x ∠=︒-︒∴130BED BAD x ∠=∠=︒-︒∵CDE BED C ∠=∠-∠∴1305080y x x ︒=-︒-︒=︒-︒∴80y x =-，故答案为：80y x =-．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，三角形外角定理，角的和差倍分等相关知识，熟练运用角的计算是解决本题的关键．28．在△ABC 中，∠ACB＝90º，D、E 分别在 AC、AB 边上，把△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，点 F 恰好落在 BC 边上，若△CFD 与△BFE 都是等腰三角形，则∠BAC 的度数为_________．【答案】45°或60°【解析】【分析】根据题意画出图形，设∠BAC的度数为x，则∠B=90°-x，∠EFB =135°-x，∠BEF=2x-45°，当△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论，即可求解.【详解】∵∠ACB＝90º，△CFD是等腰三角形，∴∠CDF=∠CFD=45°，设∠BAC的度数为x，∴∠B=90°-x，∵△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，点 F 恰好落在 BC 边上，∴∠DFE=∠BAC=x，∴∠EFB=180°-45°-x=135°-x，∵∠ADE=∠FDE，∴∠ADE=（180°-45°）÷2=67.5°，∴∠AED=180°-∠ADE-∠BAC=180°-67.5° -x=112.5°-x，∴∠DEF=∠AED=112.5°-x，∴∠BEF=180°-∠AED-∠DEF=180°-（112.5°-x）-（112.5°-x）=2x-45°，∵△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论：①当FE=FB时，如图1，则∠BEF=∠B，∴90-x=2x-45，解得：x=45；②当BF=BE时，则∠EFB=∠BEF，∴135-x=2x-45，解得：x=60，③当EB=EF时，如图2，则∠B=∠EFB，∴135-x=90-x，无解，∴这种情况不存在.综上所述：∠BAC 的度数为：45°或60°.故答案是：45°或60°.图1 图2【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理，用代数式表示角度，并进行分类讨论，是解题的关键.29．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，按此做法继续下去，第2019个等腰三角形的底角度数是______________．【答案】2018180 2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第2019个三角形中以A2019为顶点的内角度数．【详解】解：∵在△CBA1中，∠B=20°，A1B=CB，∴∠BA1C=°180-2B=80°，∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1=12∠BA1C=12×80°；同理可得∠EA3A2=（12）2×80°，∠FA4A3=（12）3×80°，∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（12）n-1×80°．∴第2017个三角形中以A2019为顶点的底角度数是（12）2018×80°，故答案为：（12）2018×80°．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．30．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ADC=∠ABC=90°，在AB、AD上分别找一点F、E，连接CE、EF、CF，当△CEF的周长最小时，则∠ECF的度数为______．【答案】60°【解析】【分析】此题需分三步：第一步是作出△CEF的周长最小时E、F的位置（用对称即可）；第二步是证明此时的△CEF的周长最小（利用两点之间线段最短）；第三步是利用对称性求此时∠ECF的值.【详解】分别作出C关于AD、AB的对称点分别为C1、C2，连接C1C2，分别交AD，AB于点E、F再连接CE、CF此时△CEF的周长最小，理由如下：在AD、AB上任意取E1、F1两点根据对称性：∴CE=C1E，CE1=C1E1，CF=C2F，CF1=C2F1∴△CEF的周长= CE＋EF＋CF= C1E＋EF＋C2F= C1C2而△CE1F1的周长= CE1＋E1F1＋CF1= C1E1＋E1F1＋C2F1根据两点之间线段最短，故C1E1＋E1F1＋C2F1＞C1C2∴△CEF的周长的最小为：C1C2.∵∠A=60°，∠ADC=∠ABC=90°∴∠DCB=360°－∠A－∠ADC－∠ABC=120°∴∠C C1C2＋∠C C2C1=180°－∠DCB=60°根据对称性：∠C C1C2=∠E CD，∠C C2C1=∠F CB∴∠E CD＋∠F CB=∠C C1C2＋∠C C2C1=60°∴∠ECF=∠DCB－（∠E CD＋∠F CB）=60°故答案为：60°【点睛】此题考查的是周长最小值的作图方法（对称点），及周长最小值的证法：两点之间线段最短，掌握周长最小值的作图方法是解决此题的关键.六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（0，2）若在坐标轴上取C点，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】【分析】【详解】解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点B，C1，C2，C5，得到以A为顶点的等腰△ABC1，△ABC2，△ABC5；②以B为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点A，C3，C6，C7，得到以B为顶点的等腰△BAC3，△BAC6，△BAC7；③作AB 的垂直平分线，交x 轴于点C 4，得到以C 为顶点的等腰△C 4AB∴符合条件的点C 共7个故选C32．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D E 、是AB 边上两点，且CE 垂直平分,AD CD 平分,6BCE AC cm ∠=，则BD 的长为（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm【答案】A【解析】【分析】 根据CE 垂直平分AD ，得AC=CD ，再根据等腰在三角形的三线合一，得ACE ECD ∠=∠，结合角平分线定义和90ACB ︒∠=，得30ACE ECD DCB ︒∠=∠=∠=，则BD CD AC ==．【详解】∵CE 垂直平分AD∴AC=CD ＝6cm ，ACE ECD ∠=∠∵CD 平分BCE ∠∴BCD ECD ∠=∠∴30ACE ECD DCB ︒∠=∠=∠=∴60A ︒∠=∴30B BCD ︒∠==∠∴6CD BD AC cm ===故选：A【点睛】本题考查的知识点主要是等腰三角形的性质的“三线合一”性质定理及判定“等角对等边”，熟记并能熟练运用这些定理是解题的关键．33．如图所示，在ABC 中，AC BC =，90ACB ︒∠=，AD 平分BAC ∠，BE AD ⊥交AC 的延长线F ，E 为垂足．则有：①AD BF =；②CF CD =；③AC CD AB +=；④BE CF =；⑤2BF BE =，其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 利用全等三角形的判定定理及其性质以及等腰三角形的三线合一的性质逐项分析即可得出答案．【详解】解：∵AC BC =，90ACB ︒∠=∴45CAB ABC ︒∠=∠=∵AD 平分BAC ∠∴22.5BAE EAF ︒∠=∠=∵90EAF F FBC F ︒∠+∠=∠+∠=∴EAF FBC ∠=∠∴ADC BFC ≅∴AD=BF ，CF=CD ，故①②正确；∵CD=CF，∴AC+CD=AC+CF=AF∵67.5F ︒∠=∵18018067.54567.5ABF F CAB ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=∴AF=AB ，即AC+CD=AB ，故③正确；由③可知，三角形ABF 是等腰三角形，∵BE AD ⊥∴12BE BF = 若BE CF =，则30CBF ∠=︒与②中结论相矛盾，故④错误；∵三角形ABF 是等腰三角形，∵BE AD ⊥∴12BE BF = ∴BF=2BE ，故⑤正确；综上所述，正确的选项有4个．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理及其性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识点是解此题的关键．34．如图，Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，ABC ∠的平分线BE 和BAC ∠的外角平分线AD 相交于点P ，分别交AC 和BC 的延长线于E ，D .过P 作PF AD ⊥交AC 的延长线于点H ，交BC 的延长线于点F ，连接AF 交DH 于点G .下列结论：①45APB ∠=︒；②PB 垂直平分AF ；③BD AH AB -=；④2DG PA GH =+；其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A【解析】【分析】 ①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP ，再根据角平分线的定义∠ABP ＝12∠ABC ，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；②先求出∠APB ＝∠FPB ，再利用“角边角”证明△ABP 和△FBP 全等，根据全等三角形对应边相等得到AB ＝BF ，AP ＝PF ；③根据直角的关系求出∠AHP ＝∠FDP ，然后利用“角角边”证明△AHP 与△FDP 全等，根据全等三角形对应边相等可得DF ＝AH ；④求出∠ADG ＝∠DAG ＝45°，再根据等角对等边可得DG ＝AG ，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH ＝GF ，然后根据即可得到DG GH =+. 【详解】解：①∵∠ABC 的角平分线BE 和∠BAC 的外角平分线，∴∠ABP ＝12∠ABC ， ∠CAP ＝12（90°＋∠ABC ）＝45°＋12∠ABC ， 在△ABP 中，∠APB ＝180°−∠BAP−∠ABP ，＝180°−（45°＋12∠ABC ＋90°−∠ABC ）−12∠ABC ， ＝180°−45°−12∠ABC−90°＋∠ABC−12∠ABC ， ＝45°，故本小题正确；②∵PF ⊥AD ，∠APB ＝45°（已证），∴∠APB ＝∠FPB ＝45°，∵∵PB 为∠ABC 的角平分线，∴∠ABP ＝∠FBP ，在△ABP 和△FBP 中，APB FPB PB PBABP FBP ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ABP ≌△FBP （ASA ），∴AB ＝BF ，AP ＝PF ；∴PB 垂直平分AF ，故②正确；③∵∠ACB ＝90°，PF ⊥AD ，∴∠FDP ＋∠HAP ＝90°，∠AHP ＋∠HAP ＝90°，∴∠AHP ＝∠FDP ，∵PF ⊥AD ，∴∠APH ＝∠FPD ＝90°，在△AHP 与△FDP 中，90AHP FDP APH FPD AP PF ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△AHP ≌△FDP （AAS ），∴DF ＝AH ，∵BD ＝DF ＋BF ，∴BD ＝AH ＋AB ，∴BD−AH ＝AB ，故③小题正确；④∵AP ＝PF ，PF ⊥AD ，∴∠PAF ＝45°，∴∠ADG ＝∠DAG ＝45°，∴DG ＝AG ，∵∠PAF ＝45°，AG ⊥DH ，∴△ADG 与△FGH 都是等腰直角三角形，∴DG ＝AG ，GH ＝GF ，∴DG ＝GH ＋AF ，∴FG=GH,AF=2PA故2DG PA GH =+.综上所述①②③④正确．故选：A ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系．35．如图，已知AD 为ABC ∆的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE ∆，连接ED ，EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①DAE CBE ∠=∠；②CE DE ⊥；③BD AF =；④AED ∆为等腰三角形；⑤BDE ACE S S ∆∆=，其中正确的有( )A ．①③B ．①②④C ．①③④D ．①②③⑤【答案】D【解析】【分析】 ①根据等腰直角三角形的性质即可证明∠CBE ＝∠DAE ，再得到△ADE ≌△BCE ；②根据①结论可得∠AEC ＝∠DEB ，即可求得∠AED ＝∠BEG ，即可解题；③证明△AEF ≌△BED 即可；④根据△AEF ≌△BED 得到DE=EF, 又DE ⊥CF ，故可判断；⑤易证△FDC 是等腰直角三角形，则CE ＝EF ，S △AEF ＝S △ACE ，由△AEF ≌△BED ，可知S △BDE ＝S △ACE ，所以S △BDE ＝S △ACE ．【详解】①∵AD 为△ABC 的高线，∴CBE ＋∠ABE ＋∠BAD ＝90°，∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，∴∠ABE ＝∠BAE ＝∠BAD ＋∠DAE ＝45°，AE ＝BE ，∴∠CBE ＋∠BAD ＝45°，∴∠DAE ＝∠CBE ，故①正确；在△DAE 和△CBE 中，AE BE DAE CBE AD BC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；②∵△ADE ≌△BCE ，∴∠EDA ＝∠ECB ，∵∠ADE ＋∠EDC ＝90°，∴∠EDC ＋∠ECB ＝90°，∴∠DEC ＝90°，∴CE ⊥DE ；故②正确；③∵∠BDE ＝∠ADB ＋∠ADE ，∠AFE ＝∠ADC ＋∠ECD ，∴∠BDE ＝∠AFE ，∵∠BED ＋∠BEF ＝∠AEF ＋∠BEF ＝90°，∴∠BED ＝∠AEF ，在△AEF 和△BED 中，BDE AFE BED AEF AE BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AEF ≌△BED （AAS ），∴BD ＝AF故③正确；∵△AEF ≌△BED∴DE=EF, 又DE ⊥CF ，∴△DEF 为等腰直角三角形，故④错误；④∵AD ＝BC ，BD ＝AF ，。

八年级数学上册全册全套试卷练习（Word版含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）1．一个多边形内角和是一个四边形内角和的4倍，则这个多边形的边数是_________【答案】10【解析】【分析】【详解】解：本题根据题意可得：（n－2）×180°=4×360°，解得：n=10．故答案为：10 ．考点：多边形的内角和定理.2．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.【答案】8；【解析】【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数．【详解】∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，∴360°÷45°=8即该正多边形的边数是8．【点睛】本题主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等）．3．如图，△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC交AB、AC于E、F，若△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，O到AB的距离为4cm，△OBC的面积_____cm2．cm．【答案】242【解析】【分析】由BE=EO可证得EF∥BC，从而可得∠FOC=∠OCF，即得OF=CF；可知△AEF等于AB+AC，所以根据题中的条件可得出BC及O到BC的距离，从而能求出△OBC的面积．【详解】∵BE=EO，∴∠EBO=∠EOB=∠OBC，∴EF∥BC，∴∠FOC=∠OCB=∠OCF，∴OF=CF；△AEF等于AB+AC，又∵△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，∴可得BC=12cm，根据角平分线的性质可得O到BC的距离为4cm，∴S△OBC=12×12×4=24cm2．考点：1．三角形的面积；2．三角形三边关系．4．如图，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点O，则∠BOC＝_____度．【答案】35【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BAC+∠ABC＝∠ACE，∠BOC+∠OBC＝∠OCE，再根据角平分线的定义可得∠OBC＝12∠ABC，∠OCE＝1 2∠ACE，然后整理可得∠BOC＝12∠BAC．【详解】解：由三角形的外角性质，∠BAC+∠ABC＝∠ACE，∠BOC+∠OBC＝∠OCE，∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点O，∴∠OBC＝12∠ABC，∠OCE＝12∠ACE，∴12（∠BAC+∠ABC）＝∠BOC+12∠ABC，∴∠BOC＝12∠BAC，∵∠BAC＝70°，∴∠BOC＝35°，故答案为：35°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，要注意整体思想的利用．5．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE 的4个外角，若∠A=100°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ．【答案】280°【解析】试题分析：先根据邻补角的定义得出与∠EAB 相邻的外角∠5的度数，再根据多边形的外角和定理即可求解．解：如图，∵∠EAB+∠5=180°，∠EAB=100°，∴∠5=80°．∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360﹣80°=280°故答案为280°．考点：多边形内角与外角．6．将直角三角形（ACB ∠为直角）沿线段CD 折叠使B 落在B '处，若50ACB '︒∠=，则ACD ∠度数为________.【答案】20°.【解析】【分析】根据翻折的性质可知：∠BCD=∠B′CD，又∠BCD+∠B′CD=∠B′CB=∠ACB+∠ACB′=90°+50°=140°，继而即可求出∠BCD的值，又∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，继而即可求出∠ACD的度数．【详解】解：∵△B′CD时由△BCD翻折得到的，∴∠BCD=∠B′CD，又∵∠BCD+∠B′CD=∠B′CB=∠ACB+∠ACB′=90°+50°=140°，∴∠BCD=70°，又∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，∴∠ACD=20°．故答案为：20°．【点睛】本题考查翻折变换的知识，难度适中，解题关键是掌握折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为40cm2，则△BEF的面积是（）cm2．A．5B．10C．15D．20【答案】B【解析】【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．【详解】∵点E是AD的中点，∴S△ABE=12S△ABD,S△ACE=12S△ADC，∴S△ABE+S△ACE=12S△ABC=12×40=20cm2，∴S△BCE=12S△ABC=12×40=20cm2，∵点F是CE的中点，∴S△BEF=12S△BCE=12×20=10cm2.故选B.【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．8．已知△ABC的两条高分别为4和12，第三条高也为整数，则第三条高所有可能值为（）A．3和4 B．1和2 C．2和3 D．4和5【答案】D【解析】【分析】先设长度为4、12的高分别是a、b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，根据三角形面积公式，可求a=24S；b=212S；c=2Sh，结合三角形三边的不等关系，可得关于h的不等式，解不等式即可．【详解】设长度为4、12的高分别是a，b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，那么a=24S；b=212S；c=2Sh∵a-b＜c＜a+b，∴24S-212S＜c＜24S+212S，即3S ＜2S h ＜23S ， 解得3＜h ＜6，∴h=4或h=5，故选D.【点睛】 主要考查三角形三边关系；利用三角形面积的表示方法得到相关等式是解决本题的关键.9．如图，已知AB ∥CD ，直线AB ，CD 被BC 所截，E 点在BC 上，若∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝（ ）A ．65°B ．70°C ．75°D ．80°【答案】D【解析】【分析】 由平行线的性质可求得∠C ，在△CDE 中利用三角形外的性质可求得∠3．【详解】解：∵AB ∥CD ，∴∠C ＝∠1＝45°，∵∠3是△CDE 的一个外角，∴∠3＝∠C+∠2＝45°+35°＝80°，故选：D ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c ．10．下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形 【答案】C【解析】【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°．【详解】∵正三角形的内角=180°÷3=60°，360°÷60°=6，即6个正三角形可以铺满地面一个点，∴正三角形可以铺满地面；∵正方形的内角=360°÷4=90°，360°÷90°=4，即4个正方形可以铺满地面一个点，∴正方形可以铺满地面；∵正五边形的内角=180°－360°÷5=108°，360°÷108°≈3.3，∴正五边形不能铺满地面；∵正六边形的内角=180°－360°÷6=120°，360°÷120°=3，即3个正六边形可以铺满地面一个点，∴正六边形可以铺满地面．故选C．【点睛】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．11．如图，AB∥CD，DE⊥BE，BF、DF分别为∠ABE、∠CDE的角平分线，则∠BFD＝（）A．110°B．120°C．125°D．135°【答案】D【解析】【分析】【详解】如图所示，过E作EG∥AB．∵AB∥CD，∴EG∥CD，∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°．又∵DE⊥BE，BF，DF分别为∠ABE，∠CDE的角平分线，∴∠FBE+∠FDE=12（∠ABE+∠CDE）=12（360°﹣90°）=135°，∴∠BFD=360°﹣∠FBE﹣∠FDE﹣∠BED=360°﹣135°﹣90°=135°．故选D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．解决问题的关键是作平行线．12．如图，ABC △是一块直角三角板，90,30C A ∠=︒∠=︒，现将三角板叠放在一把直尺上，AC 与直尺的两边分别交于点D ，E ，AB 与直尺的两边分别交于点F ，G ，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）A ．40ºB ．50ºC ．60ºD ．70º【答案】D【解析】【分析】 依据平行线的性质，即可得到∠1＝∠DFG ＝40°，再根据三角形外角性质，即可得到∠2的度数．【详解】∵DF ∥EG ，∴∠1＝∠DFG ＝40°，又∵∠A ＝30°，∴∠2＝∠A +∠DFG ＝30°+40°＝70°，故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中△ABC 为含有45°角的三角板，直线AD 是等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点D 为另一块三角板DMN 的直角顶点，DM 、DN 分别交AB 、AC 于点E 、F ．则下列四个结论：①BD ＝AD ＝CD ；②△AED ≌△CFD ；③BE +CF ＝EF ；④S 四边形AEDF ＝14BC 2．其中正确结论是_____（填序号）．【答案】①②【解析】分析：根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD=BD，∠CAD=∠B=45°，故①正确；根据同角的余角相等求出∠CDF=∠ADE，然后利用“ASA”证明△ADE≌△CDF，判断出②，根据全等三角形的对应边相等，可得DE=DF=AF=AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得BE+CF＞EF，判断出③，根据全等三角形的面积相等，可得S△ADF=S△BDE，从而求出四边形AEDF的面积，判断出④.详解：∵∠B=45°，AB=AC∴点D为BC的中点，∴AD=CD=BD故①正确；由AD⊥BC，∠BAD=45°可得∠EAD=∠C∵∠MDN是直角∴∠ADF+∠ADE=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°∴∠ADE=∠CDF∴△ADE≌△CDF（ASA）故②正确；∴DE=DF，AE=CF，∴AF=BE∴BE+AE=AF+AE∴AE+AF＞EF故③不正确；由△ADE≌△CDF可得S△ADF=S△BDE∴S四边形AEDF=S△ACD=12×AD×CD=12×12BC×12BC=18BC2，故④不正确.故答案为①②.点睛：此题主要查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，以及三角形的三边关系，关键是灵活利用等腰直角三角形的边角关系和三线合一的性质.14．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为_____．【答案】12.5【解析】【分析】过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD 的面积与△ACE 的面积相等，根据S △ACE =12×5×5=12.5，即可得出结论． 【详解】如图，过A 作AE ⊥AC ，交CB 的延长线于E ，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC ，∴∠D=∠ABE ，又∵∠DAB=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB ，又∵AD=AB ，∴△ACD ≌△AEB （ASA ），∴AC=AE ，即△ACE 是等腰直角三角形，∴四边形ABCD 的面积与△ACE 的面积相等，∵S △ACE =12×5×5=12.5， ∴四边形ABCD 的面积为12.5，故答案为12.5．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题15．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8cm AC ，15cm BC =，点M 从A 点出发沿A C B →→路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B C A →→路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F .设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为______.【答案】235或7或8【解析】【分析】易证∠MEC＝∠CFN，∠MCE＝∠CNF．只需MC＝NC，就可得到△MEC与△CFN全等，然后只需根据点M和点N不同位置进行分类讨论即可解决问题．【详解】①当0≤t＜4时，点M在AC上，点N在BC上，如图①，此时有AM＝2t，BN＝3t，AC＝8，BC＝15．当MC＝NC即8−2t＝15−3t时全等，解得t＝7，不合题意舍去；②当4≤t＜5时，点M在BC上，点N也在BC上，如图②，若MC＝NC，则点M与点N重合，即2t−8＝15−3t，解得t＝235；当5≤t＜233时，点M在BC上，点N在AC上，如图③，当MC＝NC即2t−8＝3t−15时全等，解得t＝7；④当233≤t＜232时，点N停在点A处，点M在BC上，如图④，当MC＝NC即2t−8＝8，解得t＝8；综上所述：当t等于235或7或8秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等．故答案为：235或7或8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及分类讨论的思想，可能会因考虑不全面而出错，是一道易错题．16．如图，△ABC中，AC＝BC＝5，∠ACB＝80°，O为△ABC中一点，∠OAB＝10°，∠OBA ＝30°，则线段AO的长是_____．【答案】5【解析】【分析】作∠CAO的平分线AD，交BO的延长线于点D，连接CD，由等边对等角得到∠CAB＝∠CBA＝50°，再推出∠DAB＝∠DBA，得到AD＝BD，然后可证△ACD≌△BCD，最后证△ACD≌△AOD，即可得AO＝AC＝5．【详解】解：如图，作∠CAO的平分线AD，交BO的延长线于点D，连接CD，∵AC＝BC＝5，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，∵∠OAB＝10°，∴∠CAD ＝∠OAD ＝1(CAB OAB)2∠-∠＝()150102︒︒-＝20°， ∵∠DAB ＝∠OAD+∠OAB ＝20°+10°＝30°，∴∠DAB ＝30°＝∠DBA ，∴AD ＝BD ，∠ADB ＝120°，在△ACD 与△BCD 中 AC BC AD BD CD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCD （SSS ）∴∠CDA ＝∠CDB ，∴∠CDA ＝∠CDB ＝()1360ADB 2︒-∠＝()13601202︒︒-＝120°， 在△ACD 与△AOD 中 CDA ADO 120AD ADCAD OAD ︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACD ≌△AOD （ASA ）∴AO ＝AC=5，故答案为5．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解决本题的关键.17．如图，在△ABC 中，AC=AB ，∠BAC=90°，D 是AC 边上一点，连接BD ，AF ⊥BD 于点F ，点E 在BF 上，连接AE ，∠EAF=45°，连接CE ，AK ⊥CE 于点K ，交DE 于点H ，∠DEC=30°，HF=32，则EC=______【答案】6【解析】【分析】延长AF 交CE 于P ，证得△ABH ≌△APC 得出AH=CP ，证得△AHF ≌△EPF 得出AH=EP ，得出EC=2AH，解30°的直角三角形AFH求得AH，即可求得EC的长．【详解】如图，延长AF交CE于P，∵∠ABH+∠ADB=90°，∠PAC+∠ADB=90°，∴∠ABH=∠PAC，∵AK⊥CE，AF⊥BD，∠EHK=∠AHF，∴∠HEK=∠FAH，∵∠FAH+∠AHF=90°，∠HEK+∠EPF=90°，∴∠AHF=∠EPF，∴∠AHB=∠APC，在△ABH与△APC中，ABE PACAB ACAHB APC∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ABH≌△APC（ASA），∴AH=CP，在△AHF与△EPF中，90AHF EPFAFH EFPAF EF∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△AHF≌△EPF（AAS），∴AH=EP，∠CED=∠HAF，∴EC=2AH，∵∠DEC=30°，∴∠HAF=30°，∴AH=2FH=2×32=3，∴EC=2AH=6．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．18．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点．∠MDN＝90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF＝EF；⑤S四边形AEDF＝14AD2，其中正确结论是_____（填序号）【答案】①②③【解析】【分析】先由ASA证明△AED≌△CFD，得出AE＝CF，DE＝FD；再由全等三角形的性质得到BE+CF＝AB，由勾股定理求得EF与AB的值，通过比较它们的大小来判定④的正误；先得出S四边形AEDF＝S△ADC＝12AD2，从而判定⑤的正误．【详解】解：∵Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点，∴∠C＝∠BAD＝45°，AD＝BD＝CD，∵∠MDN＝90°，∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF．在△AED与△CFD中，EAD CAD CDADE CDF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AED≌△CFD（ASA），∴AE＝CF，ED＝FD．故①②正确；又∵△ABD≌△ACD，∴△BDE≌△ADF．故③正确；∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF，ED＝FD，∴BE+CF＝BE+AE＝AB2BD，∵EF＝2ED，BD＞ED，∴BE+CF＞EF．故④错误；∵△AED≌△CFD，△BDE≌△ADF，∴S四边形AEDF＝S△ADC＝12AD2．故⑤错误．综上所述，正确结论是①②③．故答案是：①②③．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①△PFA≌△PEB，②EF=AP，③△PEF是等腰直角三角形，④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），S四边形AEPF=12S△ABC，上述结论中始终正确有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，∴AP⊥BC，AP=PB，∠B=∠CAP=45°，∵∠APF+∠FPA=90°，∠ APF+∠BPE=90°，∴∠APF=∠BPE，在△BPE和△APF中，∠B=∠CAP， BP=AP，∠BPE =∠APF，∴△PFA≌△PEB；故①正确；∵△ABC是等腰直角三角形点P是BC的中点，∴AP=12 BC，又∵EF不一定是△ABC的中位线，∴EF≠AP，故结论②错误；∵△PFA≌△PEB，∴PE=PF，又∵∠EPF=90°，∴△PEF是等腰直角三角形，故③正确；∵△PFA≌△PEB，∴S△PFA =S△PEB，∴S四边形AEPF=S△APE+S△APF=S△APE+S△BPE=S△APB=12S△ABC，故结论④正确；综上，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），始终正确的有3个结论.故选：C.点睛：本题意旋转为背景考查了全等三角形的判定和性质，解题时需要运用等腰直角三角形的判定和性质，综合性较强，根据题意得出△PFA≌△PEB是解答此题的关键.20．如图，在△ABC中，∠ABC=45°， BC=4，以AC为直角边，点A为直角顶点向△ABC的外侧作等腰直角三角形ACD，连接BD，则△DBC的面积为( ) .A．8 B．10 C．42D．82【答案】A【解析】【分析】将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，根据旋转的性质得到AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°，过D点作DF⊥BC，证△EBC≌BFD，可得DF=BC=4，再用三角形面积公式即可得出答案.【详解】解：如下图所示，将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，根据旋转的性质可知EC=BD，AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE=45°，又∵∠ABC=45°，∴∠EBC=90°，∵∠BDF+∠DBF=90°，∠ECB+∠DBF=90°，∴∠BDF=∠ECB在△EBC和△BFD中EBC=BFD=90ECB=BDFEC=BD⎧∠∠⎪∠∠⎨⎪⎩∴△EBC≌△BFD（AAS）∴DF=BC=4∴△DBC的面积=11BC DF=44=822⋅⨯⨯故选A.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，是一道综合性较强的题，难度较大，关键是正确的作出辅助线构造全等三角形.21．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt△AB C≌Rt△A′B′C′的是( )A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°【答案】B【解析】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°A选项：AB=A′B′=5，BC=B′C′=3，符合直角三角形全等的判定条件HL，∴A选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；B选项：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，不符合符合直角三角形全等的判定条件，∴B选项不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；C 选项符合Rt △ABC 和Rt △A′B′C 全等的判定条件SAS ；∴C 选项能使Rt △ABC ≌Rt △A′B′C′；D 选项符合Rt △ABC 和Rt △A′B′C 全等的判定条件ASA ，∴D 选项能使Rt △ABC ≌Rt △A′B′C′；故选：B ．点睛：此题主要考查学生对直角三角全等的判定的理解和掌握，解答此题不仅仅是掌握直角三角形全等的判定，还要熟练掌握其它判定三角形全等的方法，才能尽快选出此题的正确答案．22．如图，ABC △中，60BAC ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=︒．下列结论：①120BEC ∠=︒；②DB DE =；③2BDE BCE ∠=∠．其中所有正确结论的序号有（ ）．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】 分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB ，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 的延长线于G ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG ，再求出∠BDF=∠CDG ，然后利用“角边角”证明△BDF 和△CDG 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD ，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB ，根据等角对等边可得BD=DE ，判断②正确，再求出B ，C ，E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE ，判断③正确．详解：∵60BAC ∠=︒，∴18060120ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，∴12EBC ABC ∠=∠，12ECB ACB ∠=∠， ∴11()1206022EBC ECB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，∴180()18060120 BEC EBC ECB∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，故①正确．如图，过点D作DF AB⊥于F，DG AC⊥的延长线于G，∵BE、CE分别为ABC∠、ACB∠的平分线，∴AD为BAC∠的平分线，∴DF DG=，∴36090260120FDG∠=︒-︒⨯-︒=︒，又∵120BDC∠=︒，∴120BDF CDF∠+∠=︒，120CDG CDF∠+∠=︒．∴BDF CDG∠=∠，∵在BDF和CDG△中，90BFD CGDDF DGBDF CDG∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴BDF≌()CDG ASA，∴DB CD=，∴1(180120)302DBC∠=︒-︒=︒，∴30DBC DBC CBE CBE∠=∠+∠=︒+∠，∵BE平分ABC∠，AE平分BAC∠，∴ABE CBE∠=∠，1302BAE BAC∠=∠=︒，根据三角形的外角性质，30DEB ABE BAE ABE∠=∠+∠=∠+︒，∴DEB DBE∠=∠，∴DB DE=，故②正确．∵DB DE DC==，∴B、C、E三点在以D为圆心，以BD为半径的圆上，∴2BDE BCE∠=∠，故③正确，综上所述，正确结论有①②③，故选：D ．点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．23．如图所示，在Rt ABC ∆中，E 为斜边AB 的中点，ED AB ⊥，且:1:7CAD BAD ∠∠=，则BAC ∠=( )A ．70B ．45C ．60D ．48【答案】D【解析】 根据线段的垂直平分线，可知∠B=∠BAD ，然后根据直角三角形的两锐角互余，可得∠BAC+∠B=90°，设∠CAD=x ，则∠BAD=7x ，则x+7x+7x=90°，解得x=6°，因此可知∠BAC=∠CDA+∠BAD=6°+42°=48°. 故选：D.点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质求角的关系，根据比例关系设出未知数，然后根据角的关系列方程求解是解题关键.24．如图，Rt ACB 中，90ACB ︒∠=，ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P ，过P 作PF AD ⊥交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ，则下列结论：①135APB ︒∠=；②PF PA =；③AH BD AB +=；④S 四边形23ABDE S ABP =，其中正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】【分析】 根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可．【详解】解：∵在△ABC 中，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°∵AD 、BE 分别平分∠BAC 、∠ABC ，∴∠BAD=12CAB ∠，∠ABE=12ABC ∠ ∴∠BAD+∠ABE=111+=()45222CAB ABC CAB ABC ∠∠∠+∠=︒ ∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE ）=135°，故①正确；∴∠BPD=45°，又∵PF ⊥AD ，∴∠FPB=90°+45°=135°∴∠APB=∠FPB又∵∠ABP=∠FBPBP=BP∴△ABP ≌△FBP （ASA ）∴∠BAP=∠BFP ，AB=AB ，PA=PF ，故②正确；在△APH 与△FPD 中∵∠APH=∠FPD=90°∠PAH=∠BAP=∠BFPPA=PF∴△APH ≌△FPD （ASA ），∴AH=FD ，又∵AB=FB∴AB=FD+BD=AH+BD ，故③正确；连接HD ，ED ，∵△APH ≌△FPD ，△ABP ≌△FBP ∴APH FPD S S =，ABP FBP S S =，PH=PD ，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD∴HD ∥EP ，∴EPH EPD S S =∵ABP BDP AEP EPD ABDE S S SS S =+++四边形 ()ABP AEP EPHPBD S S S S =+++ ABP APH PBDS S S =++ ABP FPD PBD SS S =++ ABP FBP S S =+2ABP S =故④错误，∴正确的有①②③，故答案为：B．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定两个三角形全等．五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）∥，25．如图所示，ABC为等边三角形，P是ABC内任一点，PD AB，PE BC++=____cm．PF AC∥，若ABC的周长为12cm，则PD PE PF【答案】4【解析】【分析】先说明四边形HBDP是平行四边形，△AHE和△AHE是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可．【详解】∥解：∵PD AB，PE BC∴四边形HBDP是平行四边形∴PD=HB∵ABC为等边三角形,周长为12cm∴∠B=∠A=60°,AB=4∥∵PE BC∴∠AHE=∠B=60°∴∠AHE=∠A=60°∴△AHE 是等边三角形∴HE=AH∵∠HFP=∠A=60°∴∠HFP=∠AHE=60°∴△AHE 是等边三角形，∴FP=PH∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm故答案为4cm ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．26．等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm ，则三角形的面积为__________【答案】4【解析】如图，根据30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，可由等腰三角形的顶角为30°，腰长是4cm ，可求得BD=12AB =4×12=2，因此此三角形的面积为：S=12AC•BD=12×4×2=8×12=4（cm 2）．故答案是：4．27．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 和点A 在直线BC 的同侧，,82,38BD BC BAC DBC =∠=︒∠=︒，连接,AD CD ，则ADB ∠的度数为__________．【答案】30°【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出ABD ∠的度数，然后作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DB ，∠BEA =∠BDA ，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC ，从而可证△EBC 是等边三角形，可得∠BEC =60°，EB=EC ，进一步即可根据SSS 证明△AEB ≌△AEC ，可得∠BEA 的度数，问题即得解决．【详解】解：∵AB AC =，82BAC ∠=︒，∴180492BAC ABC ︒-∠∠==︒， ∵38DBC ∠=︒，∴493811ABD ∠=︒-︒=︒，作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DBA =11°，∠BEA =∠BDA ，∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，∵BD=BC ，∴BE=BC ，∴△EBC 是等边三角形，∴∠BEC =60°，EB=EC ，又∵AB=AC ，EA=EA ，∴△AEB ≌△AEC （SSS ），∴∠BEA =∠CEA =1302BEC ∠=︒， ∴∠ADB =30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，作点D 关于直线AB 的对称点E ，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．28．如图，在直角坐标系中，点()8,8B -，点()2,0C -，若动点P 从坐标原点出发，沿y 轴正方向匀速运动，运动速度为1/cm s ，设点P 运动时间为t 秒，当BCP ∆是以BC 为腰的等腰三角形时，直接写出t 的所有值__________________．【答案】2秒或46秒或14秒【解析】【分析】分两种情况：PC 为腰或BP 为腰.分别作出符合条件的图形，计算出OP 的长度，即可求出t 的值．【详解】解：如图所示，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，作BE ⊥y 轴于点E ，分别以点B 和点C 为圆心，以BC 长为半径画弧交y 轴正半轴于点F ，点H 和点G∵点B （-8，8），点C （-2，0），∴DC=6cm ，BD=8cm ，由勾股定理得：BC=10cm∴在直角三角形COG 中，OC=2cm ，CG=BC=10cm ，∴2210246(cm)-=，当点P 运动到点F 或点H 时，BE=8cm ，BH=BF=10cm ，∴EF=EH=6cm∴OP=OF=8-6=2（cm ）或OP=OH=8+6=14（cm ），故答案为：2秒，6秒或14秒．【点睛】本题综合考查了勾股定理和等腰三角形在平面直角坐标系中的应用，通过作图找出要求的点的位置，利用勾股定理来求解是本题的关键．29．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，则BC的长是 ______cm．【答案】8．【解析】【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．【详解】解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，作EF∥BC于F，∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠DBC=∠D=60°，∴△BDM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BD=5，DE=3，∴EM=2，∵△BDM为等边三角形，∴∠DMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠ENM=90°，∴∠NEM=30°，∴NM=1，∴BN=4，∴BC=2BN=8（cm），故答案为8．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．30．如图，已知AB AC =，AD 平分BAC ∠，60DEB EBC ∠=∠=︒，若3BE =，3DE =，则BC =____________．【答案】33+【解析】【分析】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，作DF ∥BC 于点F.由已知条件推出△BEM 是等边三角形，△FDE 是等边三角形，在△DNM 中求出NM 的长度，即可求出BC 的长度.【详解】如图，延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，作DF ∥BC 于点F ，∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN ⊥BC ，BN=CN ，∵60DEB EBC ∠=∠=︒，∴△BEM 是等边三角形，∴△FDE 是等边三角形，∵3BE =，3DE =33DM =-∵△BEM 是等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN ⊥BC ，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴13322NM DM ==，∴3333322BN BM NM -+=-=-=， ∴233BC BN ==+.【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线构造等边三角形.六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．如图,ABC ∆中,3AC DC ==，BD 垂直BAC ∠的角平分线于D ,E 为AC 的中点,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( )A ．1.5B ．3C ．4.5D ．9【答案】C【解析】【分析】 首先证明两个阴影部分面积之差=S △ADC ，然后由DC ⊥AC 时，△ACD 的面积最大求出结论即可．【详解】延长BD 交AC 于点H ．设AD 交BE 于点O ．∵AD ⊥BH ，∴∠ADB =∠ADH =90°，∴∠ABD +∠BAD =90°，∠H +∠HAD =90°．∵∠BAD =∠HAD ，∴∠ABD =∠H ，∴AB =AH ．∵AD ⊥BH ，∴BD =DH ．∵DC =CA ，∴∠CDA =∠CAD ．∵∠CAD +∠H =90°，∠CDA +∠CDH =90°，∴∠CDH =∠H ，∴CD =CH =AC ．∵BD =DH ，AC =CH ，∴S △CDH =12S △ADH 14=S △ABH ．∵AE=EC，∴S△ABE14=S△ABH，∴S△CDH=S△ABE．∵S△OBD﹣S△AOE=S△ADB﹣S△ABE=S△ADH﹣S△CDH=S△ACD．∵AC=CD=3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为12⨯3×392=．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．32．在一个33⨯的正方形网格中，A，B是如图所示的两个格点，如果C也是格点，且ABC是等腰三角形，则符合条件的C点的个数是（）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解析】【分析】根据题意、结合图形，画出图形即可确定答案.【详解】解：根据题意，画出图形如图：共8个.故答案为C.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，根据题意、画出符合实际条件的图形是解答本题的关键.33．如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，则下列结论：①AP⊥BC；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】【分析】 根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP 平分∠BAC ，根据等腰三角形“三线合一”的性质判断出①正确；根据HL 证明Rt △APR ≌Rt △APS ，即可判断②正确；根据等边对等角的性质可得∠APQ =∠PAQ ，根据三角形外角的性质得到然后得到∠PQC =2∠PAC =60°=∠BAC ，然后根据同位角相等两直线平行可得QP ∥AB ，从而判断出③正确，④由③易证△QPC 是等边三角形，得到PQ =PC ，等量代换得到BP =PQ ，用HL 证明Rt △BRP ≌Rt △QSP ，即可得到④正确．【详解】∵△ABC 是等边三角形，PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，且PR =PS ，∴P 在∠A 的平分线上．∵AB =AC ，∴AP ⊥BC ，故①正确；∵PA =PA ，PR =PS ，∴Rt △APR ≌Rt △APS ，∴AS =AR ，故②正确；∵AQ =PQ ，∴∠APQ =∠PAQ ，∴∠PQC =2∠PAC =60°=∠BAC ，∴PQ ∥AR ，故③正确； 由③得：△PQC 是等边三角形，∴△PQS ≌△PCS ，∴PQ =PC ．又∵AB =AC ，AP ⊥BC ，∴BP =PC ，∴BP =PQ ．∵PR =PS ，∴Rt △BRP ≌Rt △QSP ，故④也正确．∵①②③④都正确．故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．34．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，5AB =,将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段EF 的长为（ ）A ．52B ．125C ．4D ．53【解析】 【分析】先利用折叠的性质证明出△ECF 是一个等腰直角三角形，因此EF=CE ，然后再根据文中条件综合得出S △ABC =12AC∙BC=12AB∙CE ，求出CE 进而得出答案即可. 【详解】根据折叠性质可知：CD=AC=3，BC=B C '=4，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B 'CF ，CE ⊥AB ， ∴∠DCE+∠B 'CF=∠ACE+∠BCF ，∵∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，又∵CE ⊥AB ，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴EF=CE ， 又∵S △ABC =12AC∙BC=12AB∙CE ， ∴AC∙BC=AB∙CE ， ∵3AC =，4BC =，5AB =,∴125CE =， ∴EF 125=. 所以答案为B 选项.【点睛】本题主要考查了直角三角形与等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.35．如图，在△ABC 中，BI ，CI 分别平分∠ABC，∠ACB，过I 点作DE∥BC，交AB 于D ，交AC 于E ，给出下列结论：①△DBI 是等腰三角形；②△ACI 是等腰三角形；③AI 平分∠BAC；④△ADE 周长等于AB ＋AC ．其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④【答案】C【解析】【分析】 根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排除法求解．①∵IB平分∠ABC，∴∠DBI=∠CBI．∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∴∠DBI=∠DIB，∴BD=DI，∴△DBI是等腰三角形．故本选项正确；②∵∠BAC不一定等于∠ACB，∴∠IAC不一定等于∠ICA，∴△ACI不一定是等腰三角形．故本选项错误；③∵三角形角平分线相交于一点，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴AI平分∠BAC．故本选项正确；④∵BD=DI，同理可得EI=EC，∴△ADE的周长=AD+DI+EI+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC．故本选项正确；其中正确的是①③④．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记三角形的角平分线相交于一点是解题的关键．36．如图，平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)，若在x轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】由点A、B的坐标可得到2，然后分类讨论：若AC=AB；若BC=AB；若CA=CB，确定C点的个数．【详解】∵点A、B的坐标分别为(2，2)、B(4，0)．∴2，如图，①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点(含B点)，即(0，0)、(4，0)，∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；③若CA=CB，作AB的垂直平分线与x轴有1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有。

人教版数学八年级上册全册全套试卷练习（Word版含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，△AEF是直角三角形，∠AEF=900，B为AE上一点，BG⊥AE于点B，GF∥BE，且AD＝BD＝BF，∠BFG＝60０，则∠AFG的度数是___________。

【答案】20°【解析】根据平行线的性质，可知∠A=∠AFG，∠EBF=∠BFG＝60０，然后根据等腰三角形的性质，可知∠BDF=2∠A，∠A+∠AFB=3∠A=∠EBF，因此可得∠AFG=20°.故答案为：20°.2．△ABC的两边长为4和3，则第三边上的中线长m的取值范围是_______．【答案】17 22m<<【解析】【分析】作出草图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，然后根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之和小于第三边求出AE的取值范围，便不难得出m的取值范围．【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，AD DEADB EDCBD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE=AB，∵AB=3，AC=4，∴4-3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，∴1722m<<．故答案为：1722m<<．【点睛】本题主要考查倍长中线法构造全等三角形和三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握倍长中线法构造全等三角形.3．若（a﹣4）2+|b﹣9|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_______．【答案】22【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b再根据等腰三角形和三角形三边关系分情况讨论求解即可．【详解】解：根据题意得，a-4=0，b-9=0，解得a=4，b=9，①若a=4是腰长，则底边为9，三角形的三边分别为4、4、9，不能组成三角形，②若b=9是腰长，则底边为4，三角形的三边分别为9、9、4，能组成三角形，周长=9+9+4=22．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握非负数的非负性质和三角形三边关系.4．∠A=65º，∠B=75º，将纸片一角折叠，使点C•落在△ABC外，若∠2=20º，则∠1的度数为 _______.【答案】100°【解析】【分析】先根据三角形的内角和定理可出∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；再根据折叠的性质得到∠C′=∠C=40°，再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，即可得到∠3+∠4=80°，然后利用平角的定义即可求出∠1．【详解】如图，∵∠A=65°，∠B=75°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，∴∠C′=∠C=40°，而∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，∠2=20°，∴∠3+20°+∠4+40°+40°=180°，∴∠3+∠4=80°，∴∠1=180°-80°=100°．故答案是：100°．【点睛】考查了折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形的内角和定理以及外角性质．5．如图，△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC交AB、AC于E、F，若△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，O到AB的距离为4cm，△OBC的面积_____cm2．cm．【答案】242【解析】【分析】由BE=EO可证得EF∥BC，从而可得∠FOC=∠OCF，即得OF=CF；可知△AEF等于AB+AC，所以根据题中的条件可得出BC及O到BC的距离，从而能求出△OBC的面积．【详解】∵BE=EO，∴∠EBO=∠EOB=∠OBC，∴EF∥BC，∴∠FOC=∠OCB=∠OCF，∴OF=CF；△AEF等于AB+AC，又∵△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，∴可得BC=12cm，根据角平分线的性质可得O到BC的距离为4cm，∴S△OBC=1×12×4=24cm2．2考点：1．三角形的面积；2．三角形三边关系．6．如图，已知长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若长方形纸片的一组对边与直角三角形的两条直角边相交成∠1，∠2，则∠2-∠1=____.【答案】90°【解析】【分析】【详解】如图：∵∠2+∠3=180°，∴∠3=180°﹣∠2．∵直尺的两边互相平行，∴∠4=∠3，∴∠4=180°﹣∠2．∵∠4+∠1=90°，∴180°﹣∠2+∠1=90°，即∠2﹣∠1=90°．故答案为90°.二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于215°，则∠BOD的度数为()A．20°B．35°C．40°D．45°【答案】B【解析】【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．【详解】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°=4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=505°，∵五边形OAGFE内角和=（5-2）×180°=540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，∴∠BOD=540°-505°=35°，故选：B．【点睛】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．8．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】设这个多边形的边数为x，根据题意可得：x-=⨯+，180(2)2360180x=.解得：7故选A.9．一个多边形的每个内角都等于120°, 则此多边形是( )A．五边形B．七边形C．六边形D．八边形【答案】C【解析】【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于360°，再用360°除以外角的度数即可得到边数．∵多边形的每一个内角都等于120°，∴多边形的每一个外角都等于180°﹣120°=60°，∴边数n =360°÷60°=6．故选C ．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是解答本题的关键．10．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )A ．2cm ，3cm ，5cmB ．7cm ，4cm ，2cmC ．3cm ，4cm ，8cmD ．3cm ，3cm ，4cm【答案】D【解析】【详解】A ．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A 错误；B ．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B 错误；C ．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C 错误；D ．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D 正确．故选D ．11．已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．【详解】设第三边为x ，根据三角形的三边关系，得：4-1＜x ＜4+1，即3＜x ＜5，∵x 为整数，∴x 的值为4．三角形的周长为1+4+4=9．故选C.【点睛】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．12．在ΔABC 中，AB 3=，AC 5=，第三边BC 的取值范围是( )A ．10BC 13<<B ．4BC 12<< C ．3BC 8<<D ．2BC 8<<【答案】D【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边的边长的取值范围．【详解】∵AB=3，AC=5，∴5-3<BC<5+3，即2<BC<8，故选D.【点睛】考查了三角形三边关系，一个三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握三角形的三边关系是解题关键.三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ，下列四个结论：①EF =BE +CF ；②∠BOC =90°+12∠A ； ③点O 到△ABC 各边的距离相等；④设OD =m ，AE +AF =n ，则AEF S mn ∆=．其中正确的结论是____．（填序号）【答案】①②③【解析】【分析】由在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，根据角平分线的定义与三角形的内角和定理，即可求出②∠BOC =90°+12∠A 正确；由平行线的性质和角平分线的定义可得△BEO 和△CFO 是等腰三角形可得①EF =BE +CF 正确；由角平分线的性质得出点O 到△ABC 各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形的面积求法，设OD=m ，AE+AF=n,则△AEF 的面积=12mn ，④错误. 【详解】在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12∠ACB ，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠OBC+∠OCB=90°-12∠A ， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=90°，故②∠BOC =90°+12∠A 正确； 在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC=∠EOB ，∠OCB=∠OCF ，∵EF ∥BC ，∴∠OBC=∠EOB ，∠OCB=∠FOC ，∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF ，∴BE=OE,CF=OF,∴EF=OE+OF=BE+CF ，即①EF =BE +CF 正确； 过点O 作OM ⊥AB 于M ，作ON ⊥BC 于点N ，连接AO ，∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴ON=OD=OM=m ，即③点O 到△ABC 各边的距离相等正确；∴S △AEF=S △AOE+ S △AOF=12AE·OM+12AF·OD=12OD·（AE+AF ）=12mn ，故④错误； 故选①②③【点睛】此题主要考查角平分线的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质.14．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8cm AC ，15cm BC =，点M 从A 点出发沿A C B →→路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B C A →→路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F .设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为______.【答案】235或7或8【解析】【分析】易证∠MEC＝∠CFN，∠MCE＝∠CNF．只需MC＝NC，就可得到△MEC与△CFN全等，然后只需根据点M和点N不同位置进行分类讨论即可解决问题．【详解】①当0≤t＜4时，点M在AC上，点N在BC上，如图①，此时有AM＝2t，BN＝3t，AC＝8，BC＝15．当MC＝NC即8−2t＝15−3t时全等，解得t＝7，不合题意舍去；②当4≤t＜5时，点M在BC上，点N也在BC上，如图②，若MC＝NC，则点M与点N重合，即2t−8＝15−3t，解得t＝235；当5≤t＜233时，点M在BC上，点N在AC上，如图③，当MC＝NC即2t−8＝3t−15时全等，解得t＝7；④当233≤t＜232时，点N停在点A处，点M在BC上，如图④，当MC＝NC即2t−8＝8，解得t＝8；综上所述：当t等于235或7或8秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等．故答案为：235或7或8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及分类讨论的思想，可能会因考虑不全面而出错，是一道易错题．15．如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，若BE交AD于点F，则∠AFE的大小为_____（度）．【答案】60【解析】【分析】根据△ABC为等边三角形得到AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°，再利用BD＝CE证得△ABD≌△BCE，得到∠BAD＝∠CBE，再利用内角和外角的关系即可得到∠AFE＝60°.【详解】∵△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°，在△ABD和△BCE中，AB BCABD BCEBD CE=⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝,∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠ABF+∠CBE＝∠ABC＝60°，∴∠ABF+∠BAD＝60°，∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∴∠AFE＝60°，故答案为：60．【点睛】此题考查三角形全等的判定定理及性质定理，题中证明三角形全等后得到∠BAD＝∠CBE，再利用外角和内角的关系求∠AFE是解题的关键.16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，交AD于F，FG∥BC，FH∥AC，下列结论：①AE＝AF；②AF＝FH；③AG＝CE；④AB＋FG＝BC，其中正确的结论有________________．(填序号)【答案】①②③④【解析】①正确.∵∠BAC＝90°∴∠ABE+∠AEB=90°∴∠ABE=90°-∠AEB∵AD⊥BC∴∠ADB=90°∴∠DBE+∠BFD=90°∴∠DBE=90-∠BFD∵∠BFD=∠AFE∴∠DBE=90°-∠AFE∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠DBE∴90°-∠AEB=90°-∠AFE∴∠AEB=∠AFE∴AE=AF②正确.∵∠BAC=90°∴∠BAF+∠DAC=90°∴∠BAF=90°-∠DAC∵AD⊥BC∴∠ADC=90°∴∠C+∠DAC=90°∴∠C=90°-∠DAC∴∠C=∠BAF∵FH ∥AC∴∠C=∠BHF∴∠BAF=∠BHF在△ABF 和△HBF 中ABE CBE BAF BHF BF BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△HBF∴AF=FH③正确.∵AE=AF ，AF=FH∴AE=FH∵FG ∥BC ，FH ∥AC∴四边形FHCG 是平行四边形∴FH=GC∴AE=GC∴AE+EG=GC+EG∴AG=CE④正确.∵四边形FHCG 是平行四边形∴FG=HC∵△ABF ≌△HBF∴AB=HB∴AB+FG=HB+HC=BC故正确的答案有①②③④.17．如图，在△ABC 中，AC=AB ，∠BAC=90°，D 是AC 边上一点，连接BD ，AF ⊥BD 于点F ，点E 在BF 上，连接AE ，∠EAF=45°，连接CE ，AK ⊥CE 于点K ，交DE 于点H ，∠DEC=30°，HF=32，则EC=______【答案】6【解析】【分析】延长AF交CE于P，证得△ABH≌△APC得出AH=CP，证得△AHF≌△EPF得出AH=EP，得出EC=2AH，解30°的直角三角形AFH求得AH，即可求得EC的长．【详解】如图，延长AF交CE于P，∵∠ABH+∠ADB=90°，∠PAC+∠ADB=90°，∴∠ABH=∠PAC，∵AK⊥CE，AF⊥BD，∠EHK=∠AHF，∴∠HEK=∠FAH，∵∠FAH+∠AHF=90°，∠HEK+∠EPF=90°，∴∠AHF=∠EPF，∴∠AHB=∠APC，在△ABH与△APC中，ABE PACAB ACAHB APC∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ABH≌△APC（ASA），∴AH=CP，在△AHF与△EPF中，90AHF EPFAFH EFPAF EF∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△AHF≌△EPF（AAS），∴AH=EP，∠CED=∠HAF，∴EC=2AH，∵∠DEC=30°，∴∠HAF=30°，∴AH=2FH=2×32=3，∴EC=2AH=6．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．18．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，CB=CD，AC=6，则四边形ABCD的面积是_________.【答案】18．【解析】【分析】根据已知线段关系，将△ACD绕点C逆时针旋转90°，CD与CB重合，得到△CBE，证明A、B、E三点共线，则△ACE是等腰直角三角形，四边形面积转化为△ACE面积．【详解】∵CD=CB，且∠DCB=90°，∴将△ACD绕点C逆时针旋转90°，CD与CB重合，得到△CBE，∴∠CBE=∠D，AC=EC，∠DCA=∠BCE．根据四边形内角和360°，可得∠D+∠ABC=180°，∴∠CBE+∠ABC=180°，∴A、B、E三点共线，∴△ACE是等腰直角三角形，∴四边形ABCD面积=△ACE面积= 12AC2=18．故答案为：18．【点睛】本题考查了旋转的性质以及转化思想，解决这类问题要结合已知线段间的数量关系和位置关系进行旋转，使不规则图形转化为规则图形．四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF,给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A【解析】 试题解析：∵BF ∥AC ，∴∠C=∠CBF ， ∵BC 平分∠ABF ，∴∠ABC=∠CBF ，∴∠C=∠ABC ， ∴AB=AC ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴BD=CD ，AD ⊥BC ，故②③正确，在△CDE 与△DBF 中，{C CBFCD BD EDC BDF∠=∠=∠=∠，∴△CDE ≌△DBF ，∴DE=DF ，CE=BF ，故①正确；∵AE=2BF ，∴AC=3BF ，故④正确．故选A ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．相似三角形的判定与性质．20．如图，在▱ABCD 中，AD =2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中①∠DCF =123,1x x ==-∠BCD ；②EF =CF ；③S △BEC =2S △CEF ；④∠DFE =3∠AEF ．一定成立的是（）A ．①②B ．①③④C ．①②③D ．①②④【答案】D【解析】①∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ， ∵在?ABCD 中，AD=2AB ，∴AF=FD=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠FCB ，∴∠DCF=∠BCF ，∴∠DCF=12∠BCD ，故此选项正确；延长EF ，交CD 延长线于M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A=∠MDF ，∵F 为AD 中点，∴AF=FD ，在△AEF 和△DFM 中，∠A ＝∠FDMAF ＝DF ∠AFE ＝∠DFM ，∴△AEF ≌△DMF （ASA ），∴FE=MF ，∠AEF=∠M ，∵CE ⊥AB ，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF ，∴FC=FM ，故②正确；③∵EF=FM ，∴S △EFC=S △CFM ，∵MC ＞BE ，∴S △BEC ＜2S △EFC故S △BEC=2S △CEF 错误；④设∠FEC=x ，则∠FCE=x ，∴∠DCF=∠DFC=90°-x ，∴∠EFC=180°-2x ，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x ，∵∠AEF=90°-x ，∴∠DFE=3∠AEF ，故此选项正确．故正确的有：①②④．故选D.21．如图在ABC △中，P ，Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR AB ⊥，PS AC ⊥，垂足分别是R ，S ，AQ PQ =，PR PS =，下面三个结论：①AS AR =；②PQ AB ∥；③BRP △≌CSP △．其中正确的是（ ）．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】A【解析】连接AP ，由题意得，90ARP ASP ∠=∠=︒， 在Rt APR 和Rt APS 中，AP AP PR PS =⎧⎨=⎩， ∴△APR ≌()APS HL ，∴AS AR =，故①正确．BAP SAP ∠=∠，∴2SAB BAP SAP SAP ∠=∠+∠=∠，在AQP △中，∴AQ PQ =，∴QAP APQ ∠=∠，∴22CQP QAP APQ QAP SAP ∠=∠+∠=∠=∠，∴PQ AB ∥，故②正确； 在Rt BRP 和Rt CSP 中，只有PR PS =，不满足三角形全等的条件，故③错误．故选A ．点睛：本题主要考查三角形全等的判定方法以及角平分线的判定和平行线的判定，准确作出辅助线是解决本题的关键.22．如图，在Rt△ABC 中，∠CBA=90°，∠CAB 的角平分线AP 和∠ACB 外角的平分线CF 相交于点D ，AD 交CB 于点P ，CF 交AB 的延长线于点F ，过点D 作DE⊥CF 交CB 的延长线于点G ，交AB 的延长线于点E ，连接CE 并延长交FG 于点H ，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF -CG=CA ；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG；其中正确的有（ ）A．①②④B．①②③C．①②④⑤D．①②③⑤【答案】D【解析】试题解析：①利用公式：∠CDA=12∠ABC=45°，①正确；②如图：延长GD与AC交于点P'，由三线合一可知CG=CP'，∵∠ADC=45°，DG⊥CF，∴∠EDA=∠CDA=45°，∴∠ADP=∠ADF，∴△ADP'≌△ADF（ASA），∴AF=AP'=AC+CP'=AC+CG，故②正确；③如图：∵∠EDA=∠CDA，∠CAD=∠EAD，从而△CAD≌△EAD，故DC=DE，③正确；④∵BF⊥CG，GD⊥CF，∴E为△CGF垂心，∴CH⊥GF，且△CDE、△CHF、△GHE均为等腰直角三角形，∴CD，故④错误；⑤如图：作ME⊥CE交CF于点M，则△CEM为等腰直角三角形，从而CD=DM，CM=2CD，EM=EC，∵∠MFE=∠CGE，∠CEG=∠EMF=135°，∴△EMF≌△CEG（AAS），∴GE=MF，∴CF=CM+MF=2CD+GE，故⑤正确；故选D点睛：本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形垂心的定义和性质、全等三角形的判定与性质等多个知识点，技巧性很强，难度较大，要求学生具有较高的几何素养．对于这一类多个结论的判断型问题，熟悉常见的结论及重要定理是解决问题的关键，比如对第一个结论的判定，若熟悉该模型则可以秒杀．23．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )A．两条直角边对应相等B．有两条边对应相等C．斜边和一锐角对应相等D．一条直角边和斜边对应相等【答案】B【解析】根据全等三角形的判定SAS，可知两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，故A不正确；根据一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理HL，能判定全等；若两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理SAS，也能判全等，但是有两边对应相等，没说明是什么边对应，故不能判定，故B正确．根据全等三角形的判定AAS，可知斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等，故C不正确；根据直角三角形的判定HL，可知一条直角边和斜边对应相等两直角三角形全等，故D不正确.故选B.点睛：此题主要考查了直角三角形全等的判定，解题时利用三角形全等的判定SSS，SAS，ASA，AAS，HL，直接判断即可.24．在ABC 中，2,72A B ACB ∠=∠∠≠︒，CD 平分ACB ∠，P 为AB 的中点，则下列各式中正确的是（ ）A ．AD BC CD =-B ．AD BC AC =- C ．AD BC AP =-D ．AD BC BD =-【答案】B【解析】【分析】 可在BC 上截取CE=CA ，连接DE ，可得△ACD ≌△ECD ，得DE=AD ，进而再通过线段之间的转化得出线段之间的关系．【详解】解：∵∠A=2∠B ， ∴∠A ﹥∠B ∴BC ﹥AC∴可在BC 上截取CE=CA ，连接DE(如图)，∵CD 平分ACB ∠，∴∠ACD=∠BCD又∵CD=CD，CE=CA∴△ACD ≌△ECD ，∴AD=ED ，∠CED=∠A=2∠B又 ∠CED=∠B+∠BDE∴∠B=∠BDE∴AD=DE=BE ，∴BC=BE+EC=AD+AC所以AD=BC-AC故选：B若A 选项成立，则CD=AC ，∴∠A=∠CDA=∠CDE=∠CED=2∠B=2∠EDB∴∠CDA+∠CDE+∠EDB=180°即5∠EDB=180°∴∠EDB=36°∴∠A=72°， ∠B=36°∴∠ACB=72°与已知∠ACB ≠72°矛盾，故选项A 不正确;假设C 选项成立，则有AP=AC ，作∠BAC 的平分线，连接FP ，∴△CAF ≌△PAF ≌△PBF ，∴∠CFA=∠AFP=∠PFB=60°∠B=30°， ∠ACB=90°当∠ACB=90°时，选项C 才成立，∴当∠ACB ≠72°时，选项C 不一定成立；假设D 选项成立，则AD=BC-BD由图可知AD=BA-BD∴AB=BC∴∠A=∠ACB=2∠B∴∠A+∠ACB+∠B=180°∴∠B=36°，∠ACB=72这与已知∠ACB ≠72°矛盾，故选项D 不成立．故选：B【点睛】本题考查的是考查的是利用角的平分线的性质说明线段之间的关系．,,五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形（1）如图，在ABC ∆中，25,105A ABC ∠=︒∠=︒，过B 作一直线交AC 于D ，若BD 把ABC ∆分割成两个等腰三角形，则BDA ∠的度数是______．（2）已知在ABC ∆中，AB AC =，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC ∆分割成两个等腰三角形，则A ∠的最小度数为________．【答案】130︒ 1807︒⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】 （1）由题意得：DA=DB ，结合25A ∠=︒，即可得到答案；（2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD ，CD=AD ，②当AD=BD ，AC=CD ，③AB=AC ，当AD=BD=BC ，④当AD=BD ，CD=BC ，分别求出A ∠的度数，即可得到答案．【详解】（1）由题意得：当DA=BA ，BD=BA 时，不符合题意，当DA=DB 时，则∠ABD=∠A=25°，∴∠BDA=180°-25°×2=130°．故答案为：130°；（2）①如图1，∵AB=AC ，当BD=AD ，CD=AD ，∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD ，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴4∠B=180°，∴∠BAC=90°．②如图2，∵AB=AC ，当AD=BD ，AC=CD ，∴∠B=∠C=∠BAD ，∠CAD=∠CDA ，∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B ，∴∠BAC=3∠B ，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴∠BAC=108°．③如图3，∵AB=AC ，当AD=BD=BC ，∴∠ABC=∠C ，∠BAC=∠ABD ，∠BDC=∠C ，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC ，∴∠ABC=∠C=2∠BAC ，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴5∠BAC=180°，∴∠BAC=36°．④如图4，∵AB=AC ，当AD=BD ，CD=BC ，∴∠ABC=∠C ，∠BAC=∠ABD ，∠CDB=∠CBD ，∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC ，∴∠ABC=∠C=3∠BAC ，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴7∠BAC=180°，∴∠BAC=180 ()7︒．综上所述，∠A的最小度数为：180 ()7︒．故答案是：180 ()7︒．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，根据等腰三角形的性质，分类讨论，是解题的关键．26．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个．【答案】4【解析】【分析】以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P1、P3，以A为圆心，AO为半径画弧交x轴于点P4，作OA的垂直平分线交x轴于P2．【详解】解：如图，使△AOP是等腰三角形的点P有4个．故答案为4．【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键．27．在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，∆为等腰三角形，符合条件的C点有∠=︒，在x轴或y轴上取点C，使得ABCABO36__________个．【答案】8【解析】【分析】观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．【详解】解：如下图所示，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与x轴和y轴各有两个交点，但其中一个会与点B重合，故此时符合条件的点有3个；若以点B为圆心，以AB为半径画弧，同样与x轴和y轴各有两个交点，但其中一个与点A重合，故此时符合条件的点有3个；线段AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴各有一个交点，此时符合条件的点有2个．∴符合条件的点总共有：3＋3＋2=8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案．28．如图，己知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，…在射线OM 上，112A B A ∆，223A B A ∆，334A B A ∆，…均为等边三角形，若12OA =，则556A B A ∆的边长为________.【答案】32【解析】【分析】根据底边三角形的性质求出130∠=︒以及平行线的性质得出112233////A B A B A B ，以及22122A B B A =，得出332212244A B A B B A ===，441288A B B A ==，551216A B B A =⋯进而得出答案．【详解】解：△112A B A 是等边三角形，1121A B A B ∴=，341260∠=∠=∠=︒，2120∴∠=︒，30MON ∠=︒，11801203030∴∠=︒-︒-︒=︒，又360∠=︒，5180603090∴∠=︒-︒-︒=︒，130MON ∠=∠=︒，1112OA A B ∴==，212A B ∴= ，△223A B A 、△334A B A 是等边三角形，111060∴∠=∠=︒，1360∠=︒，41260∠=∠=︒，112233////A B A B A B ∴，1223//B A B A ， 16730∴∠=∠=∠=︒，5890∠=∠=︒，22122242A B B A =∴==，33232B A B A =，33312428A B B A ∴===，同理可得:444128216A B B A ===，⋯∴△1n n n A B A +的边长为2n ，∴△556A B A 的边长为5232=．故答案为：32．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及30°直角三角形的性质，根据已知得出33124A B B A =，44128A B B A =，551216A B B A =进而发现规律是解题关键．29．如图，已知，点E 是线段AB 的中点，点C 在线段BD 上，8BD =，2DC =，线段AC 交线段DE 于点F ，若AF BD =，则AC =__________.【答案】10.【解析】【分析】延长DE 至G ，使EG=DE ，连接AG ，证明BDE AGE ∆≅∆，而后证明AFG ∆、CDF ∆是等腰三角形，即可求出CF 的长，于是可求AC 的长.【详解】解：如图，延长DE 至G ，使EG=DE ，连接AG ，∵点E是线段AB的中点，∴AE=BE,∴在BDE∆和AGE∆中，BE AEBED AEGDE EG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴BDE AGE∆≅∆,∴AG=BD, BDE AGE∠=∠,∵AF=BD=8,∴AG=AF,∴AFG AGE∠=∠∵AFG DFC∠=∠,∴BDE DFC∠=∠,∴FC=DC,∴FC=2,∴AC=AF+FC=8+2=10.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质，能利用中点条件作辅助线构造全等三角形是解题的关键.30．如图，△ABC 中， AB=11 ， AC= 5 ，∠ BAC 的平分线 AD 与边 BC 的垂直平分线 CD 相交于点 D ，过点 D 分别作 DE⊥AB ，DF⊥AC ，垂足分别为 E 、F ，则 BE 的长为_____．【答案】3【解析】【分析】连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．【详解】如图，连接CD，BD，∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF=DE ，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE ，∴AE=AF ，∵DG 是BC 的垂直平分线，∴CD=BD ，在Rt △CDF 和Rt △BDE 中，CD BD DF DE ⎧⎨⎩＝＝，∴Rt △CDF ≌Rt △BDE （HL ），∴BE=CF ，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE ，∵AB=11，AC=5， ∴BE=12（11-5）=3． 故答案为：3．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．如图，ABC ∆中，60BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：①DE DF =；②DE DF AD +=；③DM 平分EDF ∠；④2AB AC AE +=，其中正确的是（ ）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=12AD，DF=12AD，从而可证明②正确；③若DM平分∠EDF，则∠EDM=90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，从而可证明④．【详解】解：如图所示：连接BD、DC．①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ED=DF．∴①正确．②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD=30°．∵DE⊥AB，∴∠AED=90°．∵∠AED=90°，∠EAD=30°，∴ED=12 AD．同理：DF=12AD ． ∴DE+DF=AD ．∴②正确． ③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．假设MD 平分∠EDF ，则∠ADM=30°．则∠EDM=90°，又∵∠E=∠BMD=90°，∴∠EBM=90°．∴∠ABC=90°．∵∠ABC 是否等于90°不知道，∴不能判定MD 平分∠EDF ，故③错误．④∵DM 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ．在Rt △BED 和Rt △CFD 中DE DF BD DC ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD ．∴BE=FC ．∴AB+AC=AE-BE+AF+FC又∵AE=AF ，BE=FC ，∴AB+AC=2AE ．故④正确．综上所述，①②④正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．32．如图所示，把多块大小不同的30角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB 的一条直角边与x 轴重合且点A 的坐标为()2,0，30ABO ∠=︒，第二块三角板的斜边1BB 与第一块三角板的斜边AB 垂直且交x 轴于点1B ，第三块三角板的斜边12B B 与第二块三角板的斜边1BB 垂直且交y 轴于点2B ，第四块三角板斜边23B B 与第三块三角板的斜边12B B 垂直且交x 轴于点3B ，按此规律继续下去，则点2018B 的坐标为（ ）A ．()20182(3),0-⨯ B ．()20180,2(3)-⨯ C ．()20192(3),0⨯ D ．()20190,2(3)-⨯ 【答案】D【解析】【分析】 计算出OB 、OB 1、 OB 2的长度，根据题意和图象可以发现题目中的变化规律，从而可以求得点B 2018的坐标．【详解】解：由题意可得，OB = 2242-= 23，OB 1= 3 OB= 233⨯ = 22(3)⨯，OB 2= 3 OB 1= 32(3)⨯，…∵2018÷4=504…2，∴点B 2018在y 轴的负半轴上，∴点B 2018的坐标为()20190,2(3)-⨯．故答案为：D ．【点睛】本题考查规律型：点的坐标规律及含30度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．33．如图，在ABC ∆中，120BAC ︒∠=，点,E F 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，边BC 分别与DE 、DF 相交于点,H G ，且,DE AB DF AC ⊥⊥，连接AD 、AG 、AH ，现在下列四个结论：①60EDF ︒∠=，②AD 平分GAH ∠，③B ADF ∠=∠，④GD GH =.则其中正确的结论有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】【分析】利用,DE AB DF AC ⊥⊥及四边形的内角和即可得到①正确；；根据三角形内角和与线段的垂直平分线性质得到∠BAH+∠GAC=60︒，无条件证明∠GAD=∠HAD,故②错误；由等量代换得B ADF ∠≠∠，故③错误；利用三角形的内角和与对顶角相等得到GD GH ≠，故④错误.【详解】∵,DE AB DF AC ⊥⊥，∴∠DEA=∠DFA=90︒，∵120BAC ︒∠=,∴∠EDF=360︒-∠DEA-∠DFA-∠BAC=60︒，故①正确；∵120BAC ︒∠=，∴∠B+∠C=60︒，∵点,E F 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，,DE AB DF AC ⊥⊥，∴BH=AH ，AG=CG ，∴∠BAH=∠B ，∠GAC=∠C ，∴∠BAH+∠GAC=60︒，∵无条件证明∠GAD=∠HAD,∴AD 不一定平分GAH ∠，故②错误；∵∠ADF+∠DAF=90︒，∠B=∠BAH,90BAH DAF ∠+∠≠,∴B ADF ∠≠∠，故③错误；∵90B BHE ∠+∠=，30B ∠≠ ，∴ 60BHE ∠≠，∴60DHG ∠≠，∴DHG HDG ∠≠∠,∴GD GH ≠，故④错误，故选：A.【点睛】此题考查线段的垂直平分线的性质，利用三角形的内角和，四边形的内角和求角度，利用对顶角相等，等角对等边推导边的关系.34．如图，△ABC 、△CDE 都是等腰三角形，且CA ＝CB , CD ＝CE ,∠ACB ＝∠DCE ＝α,AD ,BE 相交于点O ，点M ,N 分别是线段AD ,BE 的中点，以下4个结论:①AD ＝BE ;②∠DOB ＝180°－α;③△CMN 是等边三角形；④连OC ,则OC 平分∠AOE .正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 ①根据全等三角形的判定定理得到△ACD ≌△BCE （SAS ），由全等三角形的性质得到AD=BE ；故①正确；②设CD 与BE 交于F ，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BEC ，得到∠DOE=∠DCE=α，根据平角的定义得到∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确； ③根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠CBE ，AD=BE ，AC=BC 根据线段的中点的定义得到AM=BN ，根据全等三角形的性质得到CM=CN ，∠ACM=∠BCN ，得到∠MCN=α，推出△MNC 不一定是等边三角形，故③不符合题意；④过C 作CG ⊥BE 于G ，CH ⊥AD 于H ，根据全等三角形的性质得到CH=CG ，根据角平分线的判定定理即可得到OC 平分∠AOE ，故④正确．【详解】解：①∵CA=CB ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=α，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ，∴∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ；故①正确；②设CD 与BE 交于F ，∵△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC=∠BEC ，∵∠CFE=∠DFO ，∴∠DOE=∠DCE=α，∴∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确；③∵△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD=∠CBE ，AD=BE ，AC=BC又∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点，∴AM=12AD，BN=12BE，∴AM=BN，在△ACM和△BCN中AC BCCAM CBNAM BN⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝∴△ACM≌△BCN（SAS），∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，又∠ACB=α，∴∠ACM+∠MCB=α，∴∠BCN+∠MCB=α，∴∠MCN=α，∴△MNC不一定是等边三角形，故③不符合题意；④过C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，∴∠CHD=∠ECG=90°，∵∠CEG=∠CDH，CE=CD，∴△CGE≌△CHD（AAS），∴CH=CG，∴OC平分∠AOE，故④正确，故选：B．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理，此题综合性比较强，有一定的代表性．35．如图，∠AOB＝30º，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R。

八年级上册数学 全册全套试卷测试卷（含答案解析） 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，C 在直线BE 上，∠=︒,∠A m ABC 与ACE ∠的角平分线交于点1A ，则1A =_____︒；若再作11A BE A CE ∠∠、的平分线，交于点2A ；再作22A BE A CE ∠∠、的平分线，交于点3A ；依此类推，10A ∠= _________︒．【答案】（2m ） （1024m ） 【解析】【分析】 根据“角平分线定义”和“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”求出规律，直接利用规律解题．【详解】解：∵∠A 1=∠A 1CE-∠A 1BC=12∠ACE-12∠ABC=12（∠ACE-∠ABC ）=12∠A=2m °． 依此类推∠A 2=224m m ︒︒=，∠A 3=328m m ︒︒=，…，∠A 10=1021024m m ︒︒=． 故答案为：()2m ；()1024m ． 【点睛】此题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及角平分线的定义，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．2．如图，BE 平分∠ABC，CE 平分外角∠ACD，若∠A＝42°，则∠E＝_____°．【答案】21°【解析】根据三角形的外角性质以及角平分线的定义可得．解：由题意得：∠E =∠ECD −∠EBC =12∠ACD −12∠ABC =12∠A =21°.故答案为21°.3．一机器人以0.3m/s 的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为__s ．【答案】160.【解析】试题分析：该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用360°除以45°，即可求得正多边形的边数，即可求得周长，利用周长除以速度即可求得所需时间．试题解析：360÷45=8，则所走的路程是：6×8=48m ，则所用时间是：48÷0.3=160s ．考点：多边形内角与外角．4．一个多边形的内角和与外角和的差是180°，则这个多边形的边数为_____．【答案】5【解析】【分析】根据多边形的内角和公式（n ﹣2）•180°与外角和定理列式求解即可【详解】解：设这个多边形的边数是n ，则（n ﹣2）•180°﹣360°＝180°，解得n ＝5．故答案为5．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．5．如图，七边形ABCDEFG 中，AB ，ED 的延长线交于点O ，若l ∠，2∠，3∠，4∠的外角和等于210，则BOD ∠的度数为______．【答案】30【解析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE 的内角和，则可求得∠BOD ．【详解】1∠、2∠、3∠、4∠的外角的角度和为210，12342104180∠∠∠∠∴++++=⨯，1234510∠∠∠∠∴+++=，五边形OAGFE 内角和()52180540=-⨯=，1234BOD 540∠∠∠∠∠∴++++=，BOD 54051030∠∴=-=．故答案为：30【点睛】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．6．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=__．【答案】40°【解析】【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠6+∠7的度数，进而得出答案．【详解】如图所示：∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°，∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，∴∠6+∠7=140°，∴∠5=180°-（∠6+∠7）=40°．故答案为40°．主要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解题关键．二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，ABC ∆中，100ABC ∠=︒，且AEF AFE ∠=∠，CFD CDF ∠=∠，则EFD ∠ 的度数为( )A ．80°B ．60°C ．40°D ．20°【答案】C【解析】【分析】 连接FB ，根据三角形内角和和外角知识，进行角度计算即可．【详解】解：如图连接FB ，∵AEF AFE ∠=∠，CFD CDF ∠=∠，∴AEF AFE EFB EBF ∠=∠=∠+∠，CFD CDF BFD FBD ∠=∠=∠+∠∴AFE CFD EFB EBF BFD FBD ∠+∠=∠+∠+∠+∠，即AFE CFD EFD EBD ∠+∠=∠+∠，又∵180AFE EFD DFC ∠+∠+∠=︒，∴2180EFD EBD ∠+∠=︒，∵100ABC ∠=︒，∴180100=402EFD ︒-︒∠=︒， 故选：C ．【点睛】此题考查三角形内角和和外角定义，掌握三角形内角和为180°，三角形一个外角等于不相邻两内角之和是解题关键．8．如图，在ABC ∆中，A α∠=．ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠，...，6A BC ∠与6A CD ∠的平分线相交于点7A ，得7A ∠，则7A ∠=（ ）A ．32αB ．64αC ．128αD ．256α 【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的性质及外角的性质可得11122A A α∠=∠=，同理可得2212A α∠=，3312A α∠=，由此可归纳出12n n A α∠=，易知7A ∠. 【详解】 解：ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A1111,22A BC ABC ACD ACD ∴∠=∠∠=∠ 111ACD A BC A ∠=∠+∠ 11122ACD ABC A ∴∠=∠+∠ ACD ABC A ∠=∠+∠ 111222ACD ABC A ∴∠=∠+∠ 11122A A α∴∠=∠= 同理可得21211112222A A αα∠=∠=⨯=，3231122A A α∠=∠=，…，由此可知12n n A α∠=，所以7712128A αα∠==. 故选：C.【点睛】 本题考查了角平分线的性质及图形的规律探究，灵活的利用角平分线的性质及外角的性质确定角的变化规律是解题的关键.9．如图，在△ABC 中，点M 、N 是∠ABC 与∠ACB 三等分线的交点．若∠A ＝60°，则∠BMN 的度数为( )A ．45°B ．50°C ．60°D ．65°【答案】B【解析】分析：过点N 作NG ⊥BC 于G ，NE ⊥BM 于E ，NF ⊥CM 于F ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NG=NF ，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出MN 平分∠BMC ，然后根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角的三等分求出∠MBC+∠MCB 的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠BMC 的度数，从而得解． 详解：如图，过点N 作NG ⊥BC 于G ，NE ⊥BM 于E ，NF ⊥CM 于F ，∵∠ABC 的三等分线与∠ACB 的三等分线分别交于点M 、N ，∴BN 平分∠MBC ，CN 平分∠MCB ，∴NE=NG ，NF=NG ，∴NE=NF ，∴MN 平分∠BMC ，∴∠BMN=12∠BMC ， ∵∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−60°=120°，根据三等分,∠MBC+∠MCB=23 (∠ABC+∠ACB)=2 3×120°=80°. 在△BMC 中,∠BMC=180°−(∠MBC+∠MCB)=180°−80°=100°.∴∠BMN=12×100°=50°；故选：B.点睛：本题考查了三角形的内角和定理：三角形内角和为180°；角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.熟记性质和定理是解本题的关键.10．在下列图形中，正确画出△ABC的AC边上的高的图形是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】△ABC的AC边上的高的就是通过顶点B作的AC所在直线的垂线段，根据定义即可作出判断．【详解】解：△ABC的AC边上的高的就是通过顶点B作的AC所在直线的垂线段．根据定义正确的只有C．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的高线的定义，理解定义是关键．11．如图，直线a∥b，若∠1＝50°，∠3＝95°，则∠2的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．55°【答案】C【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到∠4的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．【详解】解：如图，根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+∠4，∴∠4=∠3-∠1=95°-50°=45°，∵a ∥b ，∴∠2=∠4=45°．故选C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．12．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】A【解析】设这个多边形的边数为x ，根据题意可得： 180(2)2360180x -=⨯+，解得：7x =.故选A.三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图,在△ABC 中，∠C=090,点D 在AB 上，BC=BD,DE ⊥AB 交AC 于点E ，△ABC 的周长为12，△ADE 的周长为6，则BC 的长为_______【答案】3【解析】【分析】连接BE ，由斜边直角边判定Rt BDE ∆≅ Rt BCE ∆，从而DE CE =,再由△ABC 的周长 △ADE 的周长即可求得BC 的长．【详解】如图：连接BE ，DE ⊥AB ，090BDE ∴∠=，在Rt BDE ∆和Rt BCE ∆中，BE BE BD BC =⎧⎨=⎩， ∴Rt BDE ∆≅ Rt BCE ∆，DE CE ∴=,∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=2BC+AD+AE+DE=12，△ADE 的周长= AD+AE+DE =6，∴BC=3，故答案为3．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质以及和三角形有关的线段，连接BE 构造全等三角形是解答此题的关键.14．如图，已知点I 是△ABC 的角平分线的交点．若AB ＋BI ＝AC ，设∠BAC ＝α，则∠AIB ＝______（用含α的式子表示）【答案】1206α︒-【解析】【分析】 在AC 上截取AD=AB ，易证△ABI ≌△ADI ，所以BI=DI ，由AB ＋BI ＝AC ，可得DI=DC ，设∠DCI=β，则∠ADI=∠ABI=2β，然后用三角形内角和可推出β与α的关系，进而求得∠AIB.【详解】解：如图所示，在AC 上截取AD=AB ，连接DI ，点I 是△ABC 的角平分线的交点所以有∠BAI=∠DAI ，∠ABI=∠CBI ，∠ACI=∠BCI ，在△ABI 和△ADI 中，AB=AD BAI=DAI AI=AI ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABI ≌△ADI （SAS ）∴DI=BI又∵AB ＋BI ＝AC ，AB+DC=AC∴DI=DC∴∠DCI=∠DIC设∠DCI=∠DIC=β则∠ABI=∠ADI=2∠DCI=2β在△ABC 中，∠BAC+2∠ABI+2∠DCI=180°，即42180ββ︒++=a ， ∴180=3066β︒︒=--a a 在△ABI 中，180︒∠=-∠-∠AIB BAI ABI121802αβ︒=-- 1=23160028αα︒︒⎛⎫--- ⎪⎝⎭ =1206α︒-【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形角度计算，利用截长补短构造全等三角形是解题的关键.15．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为48和36，求△EDF 的面积________.【答案】6【解析】【分析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．【详解】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DN，∵DE=DG，∴DG=DM，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵DG=DM， DN⊥AC，∴MN=NG，∴△DMN≌△DNG，∵△ADG和△AED的面积分别为48和36，∴S△MDG=S△ADG-S△ADM=48-36=12，∴S△DEF=12S△MDG=1212=6，故答案为：6【点睛】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求是解题关键．16．如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)【答案】0；4；8；12【解析】【分析】此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP 或AC＝BN进行计算即可．【详解】解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，∵AC＝2，∴BP＝2，∴CP＝6−2＝4，∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）；②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB≌△NBP，这时BC＝PN＝6，CP＝0，因此时间为0秒；③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，∵AC＝2，∴BP＝2，∴CP＝2＋6＝8，∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）；④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB≌△NBP，∵BC＝6，∴BP＝6，∴CP＝6＋6＝12，点P的运动时间为12÷1＝12（秒），故答案为：0或4或8或12．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．17．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝56°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为_____度．【答案】112．【解析】【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO＝28°，利用等腰三角形两底角相等求出∠ABC，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA＝OB，再根据等边对等角求出∠OBA，然后求出∠OBC，再根据等腰三角形的性质可得OB＝OC，然后求出∠OCE，根据翻折变换的性质可得OE＝CE，然后利用等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【详解】如图，连接OB、OC，∵OA平分∠BAC，∠BAC＝56°，∴∠BAO＝12∠BAC＝12×56°＝28°，∵AB＝AC，∠BAC＝56°，∴∠ABC＝12（180°﹣∠BAC）＝12×（180°﹣56°）＝62°，∵OD垂直平分AB，∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠BAO＝28°，∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝62°﹣28°＝34°，由等腰三角形的性质，OB＝OC，∴∠OCE＝∠OBC＝34°，∵∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，∴OE ＝CE ，∴∠OEC ＝180°﹣2×34°＝112°．故答案是：112．【点睛】考查了翻折变换，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，三角形的内角和定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．18．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的边长分别为5和12，则b 的面积为_________________.【答案】169【解析】解：由于a 、b 、c 都是正方形，所以AC =CD ，∠ACD =90°；∵∠ACB +∠DCE =∠ACB +∠BAC =90°，即∠BAC =∠DCE ，∠ABC =∠CED =90°，AC =CD ，∴△ACB ≌△DCE ，∴AB =CE ，BC =DE ； 在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC 2=AB 2+BC 2=AB 2+DE 2，即S b =S a +S c =22512 =169． 故答案为：169．点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 相交于点O ，给出四个条件：①OB=OC ；②∠EBO=∠DCO ；③∠BEO=∠CDO ；④BE=CD ．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC 是等腰三角形的方法有（ ）A ．2种B ．3种C ．4种D ．6种【答案】C【分析】①②：求出OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可的等腰三角形；①③：证△EBO≌△DCO，得出∠EBO=∠DCO，求出∠ACB=∠ABC即可；②④：证△EBO≌△DCO，推出OB=OC，求出∠ABC=∠ACB即可；③④：证△EBO≌△DCO，推出∠EBO=∠DCO，OB=OC，求出∠OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可．【详解】解：有①②，①③，②④，③④，共4种，①②，理由是：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵∠EBO=∠DCO，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形；①③，理由是：∵在△EBO和△DCO中BEO CDOEOB DOC OB OC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBO≌△DCO，∴∠EBO=∠DCO，∵∠OBC=∠OCB（已证），∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，即AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；②④，理由是：∵在△EBO和△DCO中BEO CDOEOB DOC BE CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBO≌△DCO，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，即AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；理由是：∵在△EBO和△DCO中BEO CDOEOB DOCBE CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBO≌△DCO，∴∠EBO=∠DCO，OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，即AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；故选C．20．如图，已知 AD 为△ABC 的高线，AD=BC，以 AB 为底边作等腰 Rt△ABE，连接 ED，EC，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；④S△BDE=S△ACE，其中正确的有（）A．①③B．①②④C．①②③④D．②③④【答案】C【解析】【分析】①易证∠CBE=∠DAE，即可求证：△ADE≌△BCE；②根据①结论可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解题；③证明△AEF≌△BED即可；④易证△FDC是等腰直角三角形，则CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE=S△ACE，所以S△BDE=S△ACE．【详解】∵AD为△ABC的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，∵Rt△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE，在△DAE和△CBE中，AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；故①正确；②∵△ADE ≌△BCE ，∴∠EDA=∠ECB ，∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE ⊥DE ；故②正确；③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，∴∠BDE=∠AFE ，∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF ，在△AEF 和△BED 中，BDE AFE BED AEF AE BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△AEF ≌△BED （AAS ），∴BD=AF ；故③正确；④∵AD=BC ，BD=AF ，∴CD=DF ，∵AD ⊥BC ，∴△FDC 是等腰直角三角形，∵DE ⊥CE ，∴EF=CE ，∴S △AEF =S △ACE ，∵△AEF ≌△BED ，∴S △AEF =S △BED ，∴S △BDE =S △ACE ．故④正确；综上①②③④都正确，故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BFE ≌△CDE 是解题的关键．21．如图，△ABC 中，AB ⊥BC ，BE ⊥AC ，∠1=∠2，AD =AB ，则下列结论不正确的是A ．BF =DFB ．∠1=∠EFDC ．BF >EFD ．FD ∥BC【答案】B【解析】【分析】 根据余角的性质得到∠C =∠ABE ，∠EBC =∠BAC ．根据SAS 推出△ABF ≌△ADF ，根据全等三角形的性质得到BF =DF ，故A 正确；由全等三角形的性质得到∠ABE =∠ADF ，等量代换得到∠ADF =∠C ，根据平行线的判定得到DF ∥BC ，故D 正确；根据直角三角形的性质得到DF ＞EF ，等量代换得到BF ＞EF ；故C 正确；根据平行线的性质得到∠EFD =∠EBC =∠BAC =2∠1，故B 错误．【详解】∵AB ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴∠C +∠BAC =∠ABE +∠BAC =90°，∴∠C =∠ABE ．同理：∠EBC =∠BAC ．在△ABF 与△ADF 中，∵12AD AB AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△ADF ，∴BF =DF ，故A 正确， ∵△ABF ≌△ADF ，∴∠ABE =∠ADF ，∴∠ADF =∠C ，∴DF ∥BC ，故D 正确；∵∠FED =90°，∴DF ＞EF ，∴BF ＞EF ；故C 正确；∵DF ∥BC ，∴∠EFD =∠EBC ．∵∠EBC =∠BAC =∠BAC =2∠1，∴∠EFD =2∠1，故B 错误． 故选B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，证得△ABF ≌△ADF 是解题的关键．22．如图，在等腰△ABC 中，90ACB ︒∠=，8AC =，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =,连接DE 、DF 、EF 在此运动变化的过程中，下列结论：(1)DEF 是等腰直角三角形；(2)四边形CDFE 不可能为正方形，（3）DE 长度的最小值为4；（4）连接CF ，CF 恰好把四边形CDFE 的面积分成1：2两部分，则CE =13或143其中正确的结论个数是A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】【分析】连接CF，证明△ADF≌△CEF，根据全等三角形的性质判断①，根据正方形的判定定理判断②，根据勾股定理判断③，根据面积判断④．【详解】连接CF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45，CF=AF=FB；∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF(SAS)；∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；∵∠AFD+∠CFD=90∘，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90∘，又∵EF=DF∴△EDF是等腰直角三角形(故(1)正确).当D. E分别为AC、BC中点时,四边形CDFE是正方形(故(2)错误).由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时,DE最小,此时142DF BC== .∴242DE DF=故(3)错误).∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CDFE=S△AFC,∵CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分∴S△CEF：S△CDF=1:2 或S△CEF：S△CDF=2:1即S△ADF：S△CDF=1:2 或S△ADF：S△CDF=2:1当S△ADF：S△CDF=1:2时，S△ADF=13S△ACF=111684323⨯⨯⨯=又∵S△ADF=1422AD AD ⨯⨯=∴2AD=16 3∴AD=83(故(4)错误).故选：A.【点睛】本题考查了全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理，掌握全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理是解题的关键.23．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90︒，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD 于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：①AE=AF；②AM⊥EF；③AF=DF；④DF=DN，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】试题解析：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，∴∠BAD=45°=∠CAD，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°，∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，∴AF=AE，故①正确；∵M为EF的中点，∴AM⊥EF，故②正确；过点F作FH⊥AB于点H，∵BE平分∠ABC，且AD⊥BC，∴FD=FH＜FA，故③错误；∵AM⊥EF，∴∠AMF=∠AME=90°，∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，在△FBD和△NAD中{FBD DANBD ADBDF ADN∠∠∠∠＝＝＝∴△FBD≌△NAD，∴DF=DN，故④正确；故选C．24．如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以M,N为圆心,大于12MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是( )①AD平分∠BAC；②作图依据是S.A．S；③∠ADC=60°；④点D在AB的垂直平分线上A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的∠平分线；②根据作图的过程可以判定出AD的依据；③利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质求∠ADC的度数；④利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点在AB的中垂线上.解：如图所示，①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的∠平分线；故①正确；②根据作图的过程可知，作出AD的依据是SSS；故②错误；③∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CBA=60°.又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=12∠CAB=30°，∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°.故③正确；④∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上.故④正确；故选C.“点睛”此题主要考查的是作图-基本作图，涉及到角平分线的作法以及垂直平分线的性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC的度数是解题的关键.五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=12BC，则△ABC的顶角的度数为_____．【答案】30°或150°或90°【解析】试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．解：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=12×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为30°或150°或90°．点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．26．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形（1）如图，在ABC ∆中，25,105A ABC ∠=︒∠=︒，过B 作一直线交AC 于D ，若BD 把ABC ∆分割成两个等腰三角形，则BDA ∠的度数是______．（2）已知在ABC ∆中，AB AC =，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC ∆分割成两个等腰三角形，则A ∠的最小度数为________．【答案】130︒ 1807︒⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意得：DA=DB ，结合25A ∠=︒，即可得到答案；（2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD ，CD=AD ，②当AD=BD ，AC=CD ，③AB=AC ，当AD=BD=BC ，④当AD=BD ，CD=BC ，分别求出A ∠的度数，即可得到答案．【详解】（1）由题意得：当DA=BA ，BD=BA 时，不符合题意，当DA=DB 时，则∠ABD=∠A=25°，∴∠BDA=180°-25°×2=130°．故答案为：130°；（2）①如图1，∵AB=AC ，当BD=AD ，CD=AD ，∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD ，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴4∠B=180°，∴∠BAC=90°．②如图2，∵AB=AC ，当AD=BD ，AC=CD ，∴∠B=∠C=∠BAD ，∠CAD=∠CDA ，∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B ，∴∠BAC=3∠B ，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴∠BAC=108°．③如图3，∵AB=AC ，当AD=BD=BC ，∴∠ABC=∠C ，∠BAC=∠ABD ，∠BDC=∠C ，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC ，∴∠ABC=∠C=2∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴5∠BAC=180°，∴∠BAC=36°．④如图4，∵AB=AC，当AD=BD，CD=BC，∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠CDB=∠CBD，∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，∴∠ABC=∠C=3∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴7∠BAC=180°，∴∠BAC=180 ()7︒．综上所述，∠A的最小度数为：180 ()7︒．故答案是：180 ()7︒．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，根据等腰三角形的性质，分类讨论，是解题的关键．27．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5，M，N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为5，则∠AOB的度数为_____．【答案】30°．【解析】【分析】如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O P''、P' P''交OB、OA于M、N，则可证明此时△PMN周长的最小，由轴对称性，可证明△P'O P''为等边三角形，∠AOB=12∠P'O P''=30°.【详解】解：如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O 、P' 交OB、OA于M、N，由轴对称△PMN周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"∴由两点之间线段最短可知，此时△PMN周长的最小∴P'P"=5由对称OP=OP'=OP"=5∴△P'OP"为等边三角形∴∠P'OP"=60∵∠P'OB=∠POB，∠P"OA=∠POA∴∠AOB=12∠P'O P''=30°.故答案为30°.【点睛】本题是动点问题的几何探究题，考查最短路径问题，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质.28．如图,A,B,C三点在同一直线上,分别以AB,BC（AB>BC）为边,在直线AC的同侧作等边ΔABD和等边ΔBCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN. 以下结论：①AE=DC，②MN//AB，③BD⊥AE，④∠DPM=60°，⑤ΔBMN是等边三角形.其中正确的是__________（把所有正确的序号都填上）.【答案】①②④⑤【解析】【分析】①由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为60°，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等即可得结论；②由①中三角形ABE与三角形DBC全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA 可得出三角形EMB与三角形CNB全等，利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN为等边三角形；可得∠BMN=60°，进行可得∠BMN=∠ABD，故MN//AB，从而可判断②，⑤正确；③无法证明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；④由①得∠EAB=∠CDB，根据三角形内角和和外角的性质可证得结论.【详解】①∵等边△ABD和等边△BCE，∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，∴∠ABE=∠DBC=120°，在△ABE和△DBC中，∵AB DBABE DBC BE BC⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE=DC，故①正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠AEB=∠DCB，又∠ABD=∠EBC=60°，∴∠MBE=180°-60°-60°=60°，即∠MBE=∠NBC=60°，在△MBE和△NBC中，∵AEB DCBEB CBMBE NBC∠∠∠⎧⎪⎪⎩∠⎨＝＝＝，∴△MBE≌△NBC（ASA），∴BM=BN，∠MBE=60°，则△BMN为等边三角形，故⑤正确；∵△BMN为等边三角形，∴∠BMN=60°,∵∠ABD=60°,∴∠BMN=∠ABD，∴MN//AB，故②正确；③无法证明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；④由①得∠EAB=∠CDB，∠APC+∠PAC+∠PCA=180°，∴∠PAC+∠PCA=∠PDB+∠PCB=∠DBA=60°，∵∠DPM =∠PAC+∠PCA∴∠DPM =60°，故④正确，故答案为：①②④⑤.【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．29．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD ＝DF，M为EF的中点，DM＝3，BM＝4，则五边形ABEFD的面积是_____．【答案】12【解析】【分析】延长BM至G，使MG＝BM，连接FG、DG，证明△BME≌△GMF（SAS），得出FG＝BE，∠MBE＝∠MGF，证出AB＝FG，证明△DAB≌△DFG（SAS），得出DB＝DG，由等腰三角形的性质即可得DM⊥BM，由五边形ABEFD的面积＝△DBG的面积，可求解．【详解】延长BM 至G ，使MG ＝BM ＝4，连接FG 、DG ，如图所示：∵M 为EF 中点，∴ME ＝MF ，在△BME 和△GMF 中，BM MG BME GMFME MF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BME ≌△GMF （SAS ），∴FG ＝BE ，∠MBE ＝∠MGF ，S △BEM ＝S △GFM ，∴FG ∥BE ，∴∠C ＝∠GFC ，∵∠A +∠C ＝180°，∠DFG +∠GFC ＝180°，∴∠A ＝∠DFG ，∵AB ＝BE ，∴AB ＝FG ，在△DAB 和△DFG 中，AB FG A DFGAD DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAB ≌△DFG （SAS ），∴DB ＝DG ，S △DAB ＝S △DFG ，∵MG ＝BM ，∴DM ⊥BM ，∴五边形ABEFD 的面积＝△DBG 的面积＝12×BG ×DM ＝12×8×3＝12， 故答案为：12．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定由性质，证明三角形全等是解题的关键．30．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，按此做法继续下去，第2019个等腰三角形的底角度数是______________．【答案】2018180 2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第2019个三角形中以A2019为顶点的内角度数．【详解】解：∵在△CBA1中，∠B=20°，A1B=CB，∴∠BA1C=°180-2B∠=80°，∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1=12∠BA1C=12×80°；同理可得∠EA3A2=（12）2×80°，∠FA4A3=（12）3×80°，∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（12）n-1×80°．∴第2017个三角形中以A2019为顶点的底角度数是（12）2018×80°，故答案为：（12）2018×80°．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=30°，在下列结论中：①△ABD≌△ACD；②2DE=2DF=AD；③△ADE≌△ADF；④4BE=4CF=AB．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】由等边三角形的性质可得BD=DC，AB=AC，∠B=∠C=60°，利用SAS可证明△ABD≌△ACD，从而可判断①正确；利用ASA可证明△ADE≌△ADF，从而可判断③正确；在Rt△ADE与Rt△ADF中，∠EAD=∠FAD=30°，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得2DE=2DF=AD，从而可判断②正确；同理可得2BE=2CF=BD，继而可得4BE=4CF=AB，从而可判断④正确，由此即可得答案.【详解】∵等边△ABC中，AD是BC边上的高，∴BD=DC，AB=AC，∠B=∠C=60°，在△ABD与△ACD中90AD ADADB ADCDB DC=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACD，故①正确；在△ADE与△ADF中60EAD FADAD ADEDA FDA∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ADE≌△ADF，故③正确；∵在Rt△ADE与Rt△ADF中，∠EAD=∠FAD=30°，∴2DE=2DF=AD，故②正确；同理2BE=2CF=BD，∵AB=2BD ，∴4BE=4CF=AB ，故④正确，故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30度的直角三角形的性质、全等三角形的判定等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.32．已知∠AOB =30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点构成的三角形是 （ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形 【答案】C【解析】【分析】根据题意，作出相应的图形，然后对相应的角进行标记；本题先证明P 1，O ，P 2三点构成的三角形中1260POP ∠=︒，然后证边12OP OP OP ==，得到P 1，O ，P 2三点构成的三角形为等腰三角形，又因为该等腰三角形有一个角为60︒，故得证P 1，O ，P 2三点构成的三角形是等边三角形。

15．1.2 分式的基本性质 第1课时 分式的基本性质1．下列分式从左到右变形正确的是( ) A.x y ＝x 2y 2 B.x y ＝x 2xy C.x y ＝x ＋a y ＋a D.x y ＝xc yc(c≠0) 2．若分式2a a ＋b中a ，b 的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值( ) A ．是原来的20倍 B ．是原来的10倍 C ．是原来的110D ．不变 3．与分式－a －a ＋b的值相等的是( ) A.a a ＋b B ．－a a ＋b C.a a －b D ．－a a －b 4．填空：＝（ 4b ）2ab 2； ＝10x 5x ＋5y ；（ a 2＋a ）ab＝ .5．不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含“－”号：－（x ＋1）5x ＋3＝ ，－3x －5y ＝ ，a －4b＝ ． 6．如果3（2a －1）5（2a －1）＝35成立，则a 的取值范围是 ． 7．不改变分式的值，使下列分式中分子和分母的最高次项的系数为正数：(1)7x －x 2＋102－x2；(2)1－x 23＋2x ＋5x2；(3)－m 3－m 2－m 2＋m.8．已知x 2－3x －4＝0，则代数式x x 2－x －4的值是( ) A ．3 B ．2 C.13 D.129．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数化为整数．(1)a ＋13b 25a －2b ； (2)0.03a －0.2b 0.08a ＋0.5b .10. 某市的生产总值从2016年到2018年持续增长，每年的增长率都为p.求2018年该市的生产总值与2016年、2017年这两年生产总值之和的比．若p ＝8%，这个比值是多少？(结果精确到0.01)11. 阅读下列解题过程，然后解题．题目：已知x a －b ＝y b －c ＝z c －a(a ，b ，c 互不相等)，求x ＋y ＋z 的值． 解：设x a －b ＝y b －c ＝z c －a＝k ， 则x ＝k(a －b)，y ＝k(b －c)，z ＝k(c －a)，∴x＋y ＋z ＝k(a －b ＋b －c ＋c －a)＝k·0＝0，∴x＋y ＋z ＝0.依照上述方法解答下列问题：已知y ＋z x ＝z ＋x y ＝x ＋y z ，其中x ，y ，z 均不为0，且x ＋y ＋z≠0，求x ＋y －z x ＋y ＋z的值．参考答案 【知识管理】 1．不等于0 分式2．不变【归类探究】例1 D例2 (1)6a ＋4b 8a －3b (2)16x ＋5y 10x －12y例3 (1)2m 5n (2)－3a 2c b (3)－z x 2y 2 (4)－2xz 3y【当堂测评】1. C2.D3.y【分层作业】1．D 2.D 3.C 4.4b x ＋y a 2＋a5．－x ＋15x ＋3 3x 5y －a 4b 6.a≠127．(1)x 2－7x －10x 2－2 (2)－x 2－15x 2＋2x ＋3 (3)m 3＋m 2m 2－m8．D 9.(1)15a ＋5b 6a －30b (2)3a －20b 8a ＋50b10．0.56 11. 13。

第2课时　分式方程的应用1．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是( )A.＝B.＝C.＝D.＝600x ＋50450x 600x －50450x 600x 450x ＋50600x 450x －502．A ，B 两地相距180 km ，新修的高速公路开通后，在A ，B 两地间行驶的长途客车的平均车速提高了50%，而从A 地到B 地的时间缩短了1 h ．若设原来的平均车速为x km/h ，则根据题意可列方程为( )A.－＝1B.－＝1180x 180（1＋50%）x 180（1＋50%）x 180xC.－＝1D.－＝1180x 180（1－50%）x 180（1－50%）x 180x3．一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u (蜡烛到凸透镜中心的距离)、像距v(像到凸透镜中心的距离)和凸透镜的焦距f 满足关系＋＝，若u ＝24 cm ，v ＝8 cm ，则该凸透镜的1u 1v 1f焦距f ＝__ __．4．A ，B 两种型号的机器加工同一种零件，已知A 型机器比B 型机器每小时多加工20个零件，A 型机器加工400个零件所用的时间与B 型机器加工300个零件所用的时间相同．求A 型机器每小时加工零件的个数．5．济宁市在“五城同创”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合作，两队又共同工作了36天完成．求乙工程队单独完成这项工作需要多少天．6．[2016·聊城]为加快城市群的建设与发展，在A ，B 两城市间新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的120 km 缩短至114 km ，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快110 km ，运行时间仅是现行时间的，求建成后的城际铁路在A ，B 两地的运行时25间．7．“汉十”高速铁路襄阳段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该13项工程．(1)若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？(2)若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少要施工多少天才能完成该项工程？参考答案【归类探究】例1　排球的单价为50元，篮球的单价为80元．例2　公司应选择甲工程队，付工程队费用 30 000 元．【当堂测评】1．D 2.B 3.＝60x ＋845x 【分层作业】1．A 2.A 3.6 cm4．A 型机器每小时加工零件80个．5．乙工程队单独完成这项工作需要80天．6．建成后的城际铁路在A ，B 两地的运行时间为0.6 h.7．(1)乙队单独施工需要30天完成．(2)乙队至少要施工18天才能完成该项工程．。

人教版数学八年级上册全册全套试卷练习（Word版含答案）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．（1）如图1，在Rt△ABC 中，AB AC=，D、E是斜边BC上两动点，且∠DAE=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF.（1）试说明：△AED≌△AFD；（2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF的度数和DE的长；（3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D是斜边BC所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE2的长.【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130【解析】试题分析：()1由ABE AFC≌，得到AE AF=，BAE CAF∠=∠，45,EAD∠=45,BAE CAD∴∠+∠=45,CAF CAD∴∠+∠=即45.DAF∠=EAD DAF∠=∠，从而得到.AED AFD≌()2由△AED AFD≌得到ED FD=，再证明90DCF∠=︒，利用勾股定理即可得出结论.()3过点A作AH BC⊥于H,根据等腰三角形三线合一得，14.2AH BH BC===1DH BH BD=-=或7,DH BH BD=+=求出AD的长，即可求得2DE.试题解析：()1ABE AFC≌，AE AF=，BAE CAF∠=∠，45,EAD∠=90,BAC∠=45,BAE CAD∴∠+∠=45,CAF CAD∴∠+∠=即45.DAF∠=在AED和AFD中，{AF AEEAF DAEAD AD，=∠=∠=.AED AFD∴≌()2AED AFD≌，ED FD∴=，,90.AB AC BAC =∠=︒45B ACB ∴∠=∠=︒， 45ACF ，∠=︒ 90.BCF ∴∠=︒设.DE x =,9.DF DE x CD x ===- 3.FC BE ==222,FC DC DF +=()22239.x x ∴+-=解得： 5.x = 故 5.DE =()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，14.2AH BH BC === 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+= 22217AD AH DH =+=或65. 22234DE AD ==或130.点睛：D 是斜边BC 所在直线上一点,注意分类讨论.2．如图，AB=12cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC=BD=9cm ，点P 在线段AB 上以3 cm/s 的速度，由A 向B 运动，同时点Q 在线段BD 上由B 向D 运动．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当运动时间t=1（s ），△ACP 与△BPQ 是否全等？说明理由，并直接判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；（2）将 “AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”改为“∠CAB=∠DBA ”，其他条件不变．若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能使△ACP 与△BPQ 全等. （3）在图2的基础上延长AC ，BD 交于点E ，使C ，D 分别是AE ，BE 中点，若点Q 以（2）中的运动速度从点B 出发，点P 以原来速度从点A 同时出发，都逆时针沿△ABE 三边运动，求出经过多长时间点P 与点Q 第一次相遇．【答案】（1）△ACP ≌△BPQ ，理由见解析；线段PC 与线段PQ 垂直（2）1或32（3）9s 【解析】 【分析】（1）利用SAS 证得△ACP ≌△BPQ ，得出∠ACP=∠BPQ ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP ≌△BPQ ，分两种情况：①AC=BP ，AP=BQ ，②AC=BQ ，AP=BP ，建立方程组求得答案即可．（3）因为V Q ＜V P ，只能是点P 追上点Q ，即点P 比点Q 多走PB+BQ 的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得． 【详解】（1）当t=1时，AP=BQ=3，BP=AC=9， 又∵∠A=∠B=90°，在△ACP 与△BPQ 中，AP BQ A B AC BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BPQ （SAS ）， ∴∠ACP=∠BPQ ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°， ∠CPQ=90°，则线段PC 与线段PQ 垂直. （2）设点Q 的运动速度x,①若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BP ，AP=BQ ，912tt xt=-⎧⎨=⎩， 解得31t x =⎧⎨=⎩， ②若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BQ ，AP=BP ，912xtt t =⎧⎨=-⎩解得632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上所述，存在31t x =⎧⎨=⎩或632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等.（3）因为V Q ＜V P ，只能是点P 追上点Q ，即点P 比点Q 多走PB+BQ 的路程， 设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，∵AC=BD=9cm ，C ，D 分别是AE ，BD 的中点； ∴EB=EA=18cm. 当V Q =1时， 依题意得3x=x+2×9， 解得x=9； 当V Q =32时， 依题意得3x=32x+2×9， 解得x=12.故经过9秒或12秒时P 与Q 第一次相遇. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算.3．如图，在△ABC 中，∠ABC 为锐角，点D 为直线BC 上一动点，以AD 为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE ，∠DAE ＝90°，AD ＝AE ．（1）如果AB ＝AC ，∠BAC ＝90°．①当点D 在线段BC 上时，如图1，线段CE 、BD 的位置关系为___________，数量关系为___________②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由． （2）如图3，如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90°，点D 在线段BC 上运动．探究：当∠ACB 多少度时，CE ⊥BC ？请说明理由．【答案】（1）①垂直，相等．②都成立，理由见解析；（2）45°，理由见解析【解析】 【分析】（1）①根据∠BAD=∠CAE ，BA=CA ，AD=AE ，运用“SAS ”证明△ABD ≌△ACE ，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE 、BD 之间的关系； ②先根据“SAS ”证明△ABD ≌△ACE ，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；（2）先过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，画出符合要求的图形，再结合图形判定△GAD ≌△CAE ，得出对应角相等，即可得出结论． 【详解】（1）：（1）CE 与BD 位置关系是CE ⊥BD ，数量关系是CE=BD ． 理由：如图1，∵∠BAD=90°-∠DAC ，∠CAE=90°-∠DAC ， ∴∠BAD=∠CAE ． 又 BA=CA ，AD=AE ， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ） ∴∠ACE=∠B=45°且 CE=BD ． ∵∠ACB=∠B=45°，∴∠ECB=45°+45°=90°，即 CE ⊥BD ． 故答案为垂直，相等； ②都成立，理由如下： ∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°， ∴∠BAC ＋∠DAC ＝∠DAE ＋∠DAC ， ∴∠BAD ＝∠CAE ， 在△DAB 与△EAC 中，AD AE BAD CAE AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△DAB ≌△EAC ， ∴CE ＝BD ，∠B ＝∠ACE ，∴∠ACB ＋∠ACE ＝90°，即CE ⊥BD ； （2）当∠ACB ＝45°时，CE ⊥BD （如图）．理由：过点A 作AG ⊥AC 交CB 的延长线于点G ，则∠GAC ＝90°，∵∠ACB ＝45°，∠AGC ＝90°﹣∠ACB ， ∴∠AGC ＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，在△GAD与△CAE中，AC AGDAG EACAD AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△GAD≌△CAE，∴∠ACE＝∠AGC＝45°，∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝45°＋45°＝90°，即CE⊥B C．4．探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△ABC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝°．②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE 的度数．【答案】（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由见解析；（2）①50；②∠DCE＝85°．【解析】【分析】（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①由（1）可得∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X，然后根据∠A＝40°，∠X＝90°，即可求解；（3）②由∠A＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADE+∠AEB的值，然后根据∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC，求出∠DCE的度数即可.【详解】（1）如图，∠BDC ＝∠BAC+∠B+∠C ，理由是： 过点A 、D 作射线AF ，∵∠FDC ＝∠DAC+∠C ，∠BDF ＝∠B+∠BAD ， ∴∠FDC+∠BDF ＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B ， 即∠BDC ＝∠BAC+∠B+∠C ； （2）①如图（2），∵∠X ＝90°， 由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX ＝∠X ＝90°， ∵∠A ＝40°， ∴∠ABX+∠ACX ＝50°， 故答案为：50；②如图（3），∵∠A ＝40°，∠DBE ＝130°， ∴∠ADE+∠AEB ＝130°﹣40°＝90°， ∵DC 平分∠ADB ，EC 平分∠AEB ，∴∠ADC ＝12∠ADB ，∠AEC ＝12∠AEB ， ∴∠ADC+∠AEC ＝1(ADB AEB)2∠+∠＝45°，∴∠DCE ＝∠A+∠ADC+∠AEC ＝40°+45°＝85°． 【点睛】本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.5．综合与实践：我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是，乐乐发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等. （1）请你用所学知识判断乐乐说法的正确性.如图，已知ABC ∆、111A B C ∆均为锐角三角形，且11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠. 求证：111ABC A B C ∆∆≌.（2）除乐乐的发现之外，当这两个三角形都是______时，它们也会全等. 【答案】（1）见解析；（2）钝角三角形或直角三角形. 【解析】 【分析】（1）过B 作BD ⊥AC 于D ，过B 1作B 1D 1⊥B 1C 1于D 1，得出∠BDA=∠B 1D 1A 1=∠BDC=∠B 1D 1C 1=90°，根据SAS 证△BDC ≌△B 1D 1C 1，推出BD=B 1D 1，根据HL 证Rt △BDA ≌Rt △B 1D 1A 1，推出∠A=∠A 1，根据AAS 推出△ABC ≌△A 1B 1C 1即可．（2）当这两个三角形都是直角三角形时，直接利用HL 即可证明；当这两个三角形都是钝角三角形时，与（1）同理可证. 【详解】（1）证明：过点B 作BD AC ⊥于D ，过1B 作1111B D A C ⊥于1D ，则11111190BDA B D A BDC B D C ∠=∠=∠=∠=︒. 在BDC ∆和111B D C ∆中，1C C ∠=∠，111BDC B D C ∠=∠，11BC B C =，∴111BDC B D C ∆∆≌， ∴11BD B D =.在Rt BDA ∆和111Rt B D A ∆中，11AB A B =，11BD B D =，∴111Rt Rt (HL)BDA B D A ∆∆≌， ∴1A A ∠=∠.在ABC ∆和111A B C ∆中，1C C ∠=∠，1A A ∠=∠，11AB A B =，∴111(AAS)ABC A B C ∆∆≌.（2）如图，当这两个三角形都是直角三角形时，∵11AB A B =，11BC B C =，190C C ∠==∠︒. ∴Rt ABC ∆≌111Rt A B C ∆（HL ）；∴当这两个三角形都是直角三角形时，它们也会全等；如图，当这两个三角形都是钝角三角形时，作BD ⊥AC ，1111B D A C ⊥，与（1）同理，利用AAS 先证明111BDC B D C ∆∆≌，得到11BD B D =， 再利用HL 证明111Rt Rt BDA B D A ∆∆≌，得到1A A ∠=∠， 再利用AAS 证明111ABC A B C ∆∆≌；∴当这两个三角形都是钝角三角形时，它们也会全等； 故答案为：钝角三角形或直角三角形. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法.二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）6．如图，在△ABC 中，AB=BC=AC=20 cm ．动点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点P ，点Q 的速度都是2 cm/s ，当点P 第一次到达B 点时，P ，Q 两点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （s ）．（1）∠A=______度；（2）当0＜t ＜10，且△APQ 为直角三角形时，求t 的值； （3）当△APQ 为等边三角形时，直接写出t 的值．【答案】（1）60；（2）103或203；（3）5或20 【解析】 【分析】(1)根据等边三角形的性质即可解答；（2）需分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况进行解答；（3）需分以下两种情况进行解答：①由∠A=60°，则当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形；②当P 于B 重合，Q 与C 重合时，△APQ 为等边三角形. 【详解】 解：（1）60°． （2）∵∠A=60°，当∠APQ=90°时，∠AQP=90°－60°=30°． ∴QA=2PA ． 即2022 2.t t -=⨯ 解得 10.3t =当∠AQP=90°时，∠APQ=90°－60°=30°． ∴PA=2QA ． 即2(202)2.t t -= 解得 20.3t =∴当0＜t ＜10，且△APQ 为直角三角形时，t 的值为102033或． （3）①由题意得：AP=2t ，AQ=20-2t ∵∠A=60°∴当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形 ∴2t=20-2t ，解得t=5②当P 于B 重合，Q 与C 重合，则所用时间为：4÷2=20 综上，当△APQ 为等边三角形时，t=5或20． 【点睛】本题考查了等边三角形和直角三角形的判定以及动点问题，解答的关键在于正确的分类讨论以及对所学知识的灵活应用.7．（问题情境）学习《探索全等三角形条件》后，老师提出了如下问题：如图①，△ABC 中，若AB=12，AC=8，求BC 边上的中线AD 的取值范围．同学通过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE.根据SAS 可证得到△ADC ≌△EDB ，从而根据“三角形的三边关系”可求得AD 的取值范围是 ．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.（直接运用）如图②，AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，AF是ACD的边CD上中线.求证：BE=2AF.（灵活运用）如图③，在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥DF，DE交AC于点E，DF交AB于点F，连接EF，试判断以线段AE、BF、EF为边的三角形形状，并证明你的结论.【答案】（1）2＜AD＜10；（2）见解析（3）为直角三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据△ADC≌△EDB，得到BE=AC=8，再根据三角形的构成三角形得到AE的取值，再根据D为AE中点得到AD的取值；（2）延长AF到H，使AF=HF，故△ADF≌△HCF，AH=2AF，由AB⊥AC，AD⊥AE，得到∠BAE+∠CAD=180°，又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，根据∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，得到∠ACH+∠CAD=180°，故∠BAE= ACH，再根据AB=AC，AD=AE即可利用SAS证明△BAE≌△ACH，故BE=AH,故可证明BE=2AF.（3）延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，证明△DBF≌△DAG，故得到FD=GD，BF=AG,由DE⊥DF，得到EF=EG,再求出∠EAG=90°，利用勾股定理即可求解.【详解】（1）∵△ADC≌△EDB，∴BE=AC=8，∵AB=12，∴12-8＜AE＜12+8，即4＜AE＜20，∵D为AE中点∴2＜AD＜10；（2）延长AF到H，使AF=HF，由题意得△ADF≌△HCF，故AH=2AF，∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE+∠CAD=180°，又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，∵∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，∴∠ACH+∠CAD=180°，故∠BAE= ACH，又AB=AC，AD=AE∴△BAE≌△ACH（SAS），故BE=AH,又AH=2AF∴BE= 2AF.（3）以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形，理由如下：延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，由题意得△DBF≌△ADG，∴FD=GD，BF=AG,∵DE⊥DF，∴DE垂直平分GF,∴EF=EG,∵∠C=90°，∴∠B+∠CAB=90°，又∠B=∠DAG，∴∠DAG +∠CAB=90°∴∠EAG=90°，故EG2=AE2+AG2，∵EF=EG, BF=AG∴EF2=AE2+BF2，则以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形.【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，根据垂直平分线与勾股定理进行求解.8．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段．．．．叫做这个三角形的三分线.（1）图①是顶角为36︒的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36︒的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）；（2）图③是顶角为45︒的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45︒的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数.（3）ABC 中，30B ∠=︒，AD 和DE 是ABC 的三分线，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，设c x ∠=︒，则x 所有可能的值为_________.【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）20或40.【解析】【分析】(1)作底角的平分线，再作底边的平行线，即可得到三分线；(2)过底角定点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和一个直角三角形，然后再构造一个等腰直角三角形，即可.(3)根据题意，先确定30°角然后确定一边为BA ，一边为BC ，再固定BA 的长，进而确定D 点，分别考虑AD 为等腰三角形的腰和底边，画出示意图，列出关于x 的方程，即可得到答案. 【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：（3）①当AD=AE 时，如图4，∵DE CE =，c x ∠=︒，∴∠EDB=x °，∴∠ADE=∠AED=2x °，∵AD BD =，∴∠BAD=∠B=30°，∴30+30=2x+x ，解得：x=20；②当AD=DE 时，如图5，∵DE CE =，c x ∠=︒，∴∠EDB=x °，∴∠DAE=∠AED=2x °，∵AD BD =，∴∠BAD=∠B=30°，∴30+30+2x+x=180，解得：x=40.③当AE=DE 时，则∠EAD=∠EDA=1802(90)2x x -=-， ∴∠ADC=∠EDA+∠EDC=(90-x)+x=90°又∵∠ADC=30+30=60°，∴这种情况不存在.∴x 所有可能的值为20或40.故答案是：20或40图4 图5【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理的综合应用，分类讨论，画出图形，是解题的关键.9．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的高，D是AM上的点，以CD为一边，在CD的下方作等边△CDE，连结BE．（1）填空：∠ACB=____；∠CAM=____；（2）求证：△AOC≌△BEC；（3）延长BE交射线AM于点F，请把图形补充完整，并求∠BFM的度数；（4）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，设直线BE与直线AM的交点为F．∠BFM 的大小是否发生变化？若不变，请在备用图中面出图形，井直接写出∠BFM的度数；若变化，请写出变化规律．【答案】（1）60°，30°；（2）答案见解析；（3）60°；（4）∠BFM＝60°．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质即可进行解答；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；（3）补全图形，由△ADC≌△BEC得∠CAM=∠CBE=30°,由三角形内角和定理即可求得∠BFM的度数；（4）画出相应图形，可知当点D在线段AM的延长线上且在BC下方时，如图，可以得出△ACD≌△BCE，进而得到∠CBE=∠CAD=30°，据此得出结论．【详解】(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°；∴线段AM为BC边上的高，∴∠CAM=12∠BAC=30°，故答案为60，30°；（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE.在△ADC和△BEC中，AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE(SAS)；（3）补全图形如下：由（1）（2）得∠CAM=30°，△ADC≌△BEC，∴∠CBE=∠CAM=30°，∵∠BMF=90°，∴∠BFM=60°；（4）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，画出图形如下：∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠CBE=∠CAD=30°，又∵∠AMC=∠BMO，∴∠AOB=∠ACB=60°.即动点D在射线AM上时,∠AOB为定值60°.【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.解题时注意：全等三角形的对应角相等，等边三角形的三个内角都相等，等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.10．如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=α（0°<α<60°），点A关于射线CP 的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE.（1）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；（2）在α（0°<α<60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小；（3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明.=︒-；（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；（3）【答案】（1）∠DBC60αBD=2AE+CE，证明见解析.【解析】【分析】（1）如图1，连接CD，由轴对称的性质可得AC=DC，∠DCP=∠ACP=α，由△ABC是等边︒+，BC=DC，然后利用三角形的三角形可得AC=BC，∠ACB=60°，进一步即得∠BCD=602α内角和定理即可求出结果；（2）设AC、BD相交于点H，如图2，由轴对称的性质可证明△ACE≌△DCE，可得∠CAE=∠CDE，进而得∠DBC=∠CAE，然后根据三角形的内角和可得∠AEB=∠BCA，即可作出判断；（3）如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，先利用三角形的外角性质得出=︒，进而得△CME是等边三角形，可得∠MCE=60°，ME=CE，然后利用角的和差∠BEC60关系可得∠BCM=∠DCE，再根据SAS证明△BCM≌△DCE，于是BM=DE，进一步即可得出线段AE，BD，CE之间的数量关系.【详解】解：（1）如图1，连接CD，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AC=DC，∠DCP=∠ACP=α，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，︒+，BC=DC，∴∠BCD=602α∴∠DBC =∠BDC ()1806021806022BCD αα︒-︒+︒-∠===︒-；（2）∠AEB 的大小不会发生变化，且∠AEB =60°.理由：设AC 、BD 相交于点H ，如图2，∵点A 关于射线CP 的对称点为点D ，∴AC=DC ，AE=DE ，又∵CE=CE ，∴△ACE ≌△DCE （SSS ），∴∠CAE =∠CDE ，∵∠DBC =∠BDC ，∴∠DBC =∠CAE ，又∵∠BHC =∠AHE ，∴∠AEB =∠BCA =60°， 即∠AEB 的大小不会发生变化，且∠AEB =60°；（3）AE ，BD ，CE 之间的数量关系是：BD =2AE +CE .证明：如图3，在BD 上取一点M ，使得CM=CE ，∵∠BEC =∠BDC +∠DCE =6060αα︒-+=︒，∴△CME 是等边三角形，∴∠MCE =60°，ME=CE ，∴60260BCM BCD MCE DCE ααα∠=∠-∠-∠=︒+-︒-=，∴∠BCM =∠DCE ，又∵BC=DC ，CM=CE ，∴△BCM ≌△DCE （SAS ），∴BM=DE ，∵AE=DE ，∴BD=BM+ME+DE =2DE+ME =2AE+CE .【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和轴对称的性质等知识，熟练掌握并运用上述知识解题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．观察下列各式:()()2111,x x x -+=-()()23 111,x x x x -++=-()()324 111,x x x x x -+++=-()()4325 1 11,x x x x x x -++++=-······()1根据规律()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=(其中n 为正整数) ;()()3029282(51)5555251-+++++()3计算：201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-++-+--++ 【答案】（1）1n x -；（2）311-5；（3）2020213-- 【解析】【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，即可得到结果；（2）根据一般性结果，将n=31，x=5代入（1）中即可；（3）将代数式适当变形为（1）的形式，根据前面总结的规律即可计算出结果.【详解】（1）根据上述规律可得()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=1n x -，故填：1n x -；（2）由（1）可知()3029282(51)555551-+++++=311-5()3 201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-+⋅+-+-+-+=201920182011732[(2)1](2)(2)(2)(2)(2)(2)13⎡⎤---+-+-+⋯+-+--+⎣⎦-+ =2020(2)13--- =2020213-- 【点睛】本题考查整式的乘法，能根据题例归纳总结出一般性规律是解题关键，（3）中能对整式适当变形是解题关键，但需注意变形时要为等量变形.12．阅读下列解题过程，再解答后面的题目.例题：已知224250x y y x ++-+=，求x y +的值. 解：由已知得22(21)(44)0x x y y -++++=即22(1)(2)0x y -++=∵2(1)0x -≥，2(2)0y +≥ ∴有1020x y -=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩∴1x y +=-.题目：已知22464100x y x y +-++=，求xy 的值. 【答案】-32【解析】【分析】 先将左边的式子写成两个完全平方的和的形式，根据非负数的性质求出x 、y 的值，再代入求出xy 的值．【详解】解：将22464100x y x y +-++=，化简得22694410x x y y -++++=，即()()223210x y -++=．∵()230x -≥，()2210y +≥，且它们的和为0，∴3x = ，12y， ∴12233xy ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，解题的关键是将左边的式子写成两个完全平方的和的形式．13．阅读理解：把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：234234，3939…等，都是连接数，其中，234234称为六位连接数，3939称为四位连接数．（1）请写出一个六位连接数 ，它 （填“能”或“不能”）被13整除．（2）是否任意六位连接数，都能被13整除，请说明理由．（3）若一个四位连接数记为M ，它的各位数字之和的3倍记为N ，M ﹣N 的结果能被13整除，这样的四位连接数有几个？【答案】（1）证明见解析（2）abcabc 能被13整除（3）这样的四位连接数有1919，2525，3131，一共3个【解析】分析：（1）根据六位连接数的定义可知123123为六位连接数，再将123123进行因数分解，判断得出它能被13整除；（2）设abcabc 为六位连接数，将abcabc 进行因数分解，判断得出它能被13整除； （3）设xyxy 为四位连接数，用含x 、y 的代数式表示M 与N ，再计算M ﹣N ，然后将13M N -表示为77x +7y +3413x y +，根据M ﹣N 的结果能被13整除以及M 与N 都是1～9之间的整数，求得x 与y 的值，即可求解．详解：（1）123123为六位连接数；∵123123=123×1001=123×13×77，∴123123能被13整除；（2）任意六位连接数都能被13整除，理由如下：设abcabc 为六位连接数．∵abcabc =abc ×1001=abc ×13×77，∴abcabc 能被13整除；（3）设xyxy 为四位连接数，则M =1000x +100y +10x +y =1010x +101y ，N =3（x +y +x +y ）=6x +6y ，∴M ﹣N =（1010x +101y ）﹣（6x +6y ）=1004x +95y ，∴13M N -=10049513x y +=77x +7y +3413x y +．∵M ﹣N 的结果能被13整除，∴3413x y +是整数．∵3x +4y 取值范围大于3小于63，所以能被13整除的数有13，26，39，52，∴x =1，y =9；x =2，y =5；x =3，y =1；x =8，y =7；x =9，y =3；x =5，y =6；x =6，y =2；满足条件的四位连接数的3131，2525，6262，9393，8787，5656，1919共7个． 点睛：本题考查了因式分解的应用，整式的运算，理解“连接数”的定义是解题的关键．14．对于任意两个数a 、b 的大小比较，有下面的方法：当0a b ->时，一定有a b >；当0a b -=时，一定有a b =；当0a b -<时，一定有a b <．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．请根据以上材料完成下面的题目：（1）已知：228A x y y =+，8B xy =，且A B >，试判断y 的符号；（2）已知：a 、b 、c 为三角形的三边，比较222a c b +-和2ac 的大小．【答案】（1）y ＞0；（2）222a c b +-＜2ac【解析】【分析】（1）根据题意得到22880x y y xy +->，因式分解得到22(2)0y x ->，进而得到y 的符号即可；（2）将222a c b +-和2ac 作差，结合已知及三角形的两边之和大于第三边可求．【详解】解：（1）因为A ＞B ，所以A-B ＞0，即22880x y y xy +->，∴222(44)2(2)0y x x y x +-=->，因为2(2)0x -≥，∴y ＞0（2）因为a 2−b 2＋c 2−2ac ＝a 2＋c 2−2ac−b 2＝（a−c ）2−b 2＝（a−c−b ）（a−c ＋b ）， ∵a ＋b ＞c ，a ＜b ＋c ，所以（a−c−b ）（a−c ＋b ）＜0，所以a 2−b 2＋c 2−2ac 的符号为负．∴222a c b +-＜2ac【点睛】本题考查了作差法比较两个式子的大小以及因式分解，解题的关键是理解题中的“求差法”比较两个数的大小，并熟练掌握因式分解的方法．15．（观察）1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，…，47×3=141，48×2=96，49×1=49．（发现）根据你的阅读回答问题：（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为 ；（2）设参与上述运算的第一个因数为a ，第二个因数为b ，用等式表示a 与b 的数量关系是 ．（类比）观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n ，…，56×4，57×3，58×2，59×1．猜想mn 的最大值为 ，并用你学过的知识加以证明．【答案】（1）625；（2）a+b=50； 900；证明见解析.【解析】【分析】发现：（1）观察题目给出的等式即可发现两数相乘，积的最大值为625；（2）观察题目给出的等式即可发现a与b的数量关系是a＋b＝50；类比：由于m＋n＝60，将n＝60−m代入mn，得mn＝−m2＋60m＝−（m−30）2＋900，利用二次函数的性质即可得出m＝30时，mn的最大值为900．【详解】解：发现：（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为625．故答案为625；（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是a+b=50．故答案为a+b=50；类比：由题意，可得m+n=60，将n=60﹣m代入mn，得mn=﹣m2+60m=﹣（m﹣30）2+900，∴m=30时，mn的最大值为900．故答案为900．【点睛】本题考查了因式分解的应用，配方法，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．某市2018年平均每天的垃圾处理量为40万吨/天，2019年平均每天的垃圾排放量比2018年平均每天的垃圾排放量多100万吨；2019年平均每天的垃圾处理量是2018年平均每天的垃圾处理量的2. 5倍. 若2019年平均每天的垃圾处理率是2018年平均每天的垃圾处理率的1. 25倍.（注： 垃圾处理量垃圾处理率垃圾排放量）（1）求该市2018年平均每天的垃圾排放量；（2）预计该市2020年平均每天的垃圾排放量比2019年平均每天的垃圾排放量增加10%. 如果按照创卫要求“城市平均每天的垃圾处理率不低于90%”，那么该市2020年平均每天的垃圾处理量在2019年平均每天的垃圾处理量的基础上，至少还需要増加多少万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求？【答案】（1）100；（2）98.【解析】【分析】（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x万吨，根据题意列方程求出x的值即可；（2）设设2020年垃圾的排放量还需要増加m万吨，根据题意列出不等式，解得m的取值范围即可得到答案.【详解】（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x 万吨，40 2.540 1.25100x x⨯=⨯+， 解得：x=100，经检验，x=100是原分式方程的解，答：2018年平均每天的垃圾排放量为100万吨.（2）由（1）得2019年垃圾的排放量为200万吨，设2020年垃圾的排放量还需要増加m 万吨，40 2.5200(110%)m ⨯+⨯+≥90%， m ≥98，∴至少还需要増加98万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求.【点睛】此题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意，找到各量之间的关系是解题的关键.17．阅读下面的解题过程：已知2113x x =+，求241x x +的值。

人教版八年级上册数学 全册全套试卷测试卷（含答案解析）一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

【答案】45︒【解析】【分析】根据三角形内角与外角的关系可得2M MAB ∠∠∠=+由角平分线的性质可得MAB MAO ∠∠=根据三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=︒易得∠M 的度数。

【详解】在ABM 中，2∠是ABM 的外角∴2M MAB ∠∠∠=+由三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=︒∵BOA 90∠=︒∴OBA OAB 90∠∠+=︒∵MA 平分BAO ∠∴BAO 2MAB ∠∠=由三角形内角与外角的关系可得12BAO BOA 90BAO ∠∠∠∠∠+=+=︒+ ∵12∠∠=∴2290BAO ∠∠=︒+又∵2M MAB ∠∠∠=+∴222M 2MAB 2M BAO ∠∠∠∠∠=+=+∴90BAO 2M BAO ∠∠∠︒+=+2M 90∠=︒M 45∠=︒【点睛】本题考查三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和。

2．如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠COB =____．【答案】105°．【解析】【分析】先根据直角三角形的特殊角可知：∠ECD=45°，∠BDC=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】如图，∠ECD=45°，∠BDC=60°，∴∠COB=∠ECD+∠BDC=45°+60°=105°．故答案为：105°．【点睛】此题考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质是解题的关键．3．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.【答案】8；【解析】【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数．【详解】∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，∴360°÷45°=8即该正多边形的边数是8．【点睛】本题主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等）．4．已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是．【答案】12【解析】试题解析：根据题意，得（n-2）•180-360=1260，解得：n=11．那么这个多边形是十一边形．考点：多边形内角与外角．5．已知等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长是____________【答案】11或13【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：有两种情况：①腰长为3，底边长为5，三边为：3，3，5可构成三角形，周长=3+3+5=11；②腰长为5，底边长为3，三边为：5，5，3可构成三角形，周长=5+5+3=13．故答案为：11或13．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．6．如图所示，小明从A 点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样下去，他第一次回到出发地A 点时，（1）左转了____次；（2）一共走了_____米．【答案】11 120【解析】∵360÷30=12，∴他需要走12−1=11次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米.故答案为11，120.二、八年级数学三角形选择题（难）7．把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中C 90∠=，F 90∠=，D 30∠=，A 45∠=，则12∠∠+等于( )A．270B．210C．180D．150【答案】B【解析】【分析】利用三角形的外角等于不相邻的两内角和，和三角形内角和为180︒，可解出答案.【详解】如图，AB与DE交于点G，AB与EF交于点H，∵∠1=∠A+∠DGA，∠2=∠B+∠FHB，∠DGA=∠BGE，∠FHB=∠AHE，在三角形GEH中，∠BGE+∠AHE =180︒-∠E=120︒,∴∠1+∠2=∠A+∠B+∠BGE+∠AHE=90︒+120︒=210.【点睛】本题考查了三角形的外角性质,内角和定理,熟练掌握即可解题.8．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）．A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cmC．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm【答案】B【解析】【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．【详解】A．∵2+3=5，∴不能组成三角形，故本选项错误；B．∵5+6=11＞10，∴能组成三角形，故本选项正确；C．∵1+1=2＜3，∴不能组成三角形，故本选项错误；D．∵3+4=7＜9，∴不能组成三角形，故本选项错误．故选B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．9．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（）A．4B．5C．6D．9【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系可判断x的取值范围，进而可得答案.【详解】解：由三角形三边关系定理得7－2＜x＜7+2，即5＜x＜9．因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，故选C．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，属于基础题型，掌握三角形的三边关系是解题的关键.10．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）A．15°B．20°C．25°D．30°【答案】C【解析】根据角平分线的定义和三角形的外角的性质即可得到∠D=12∠A．解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∴∠1=12∠ACE，∠2=12∠ABC，又∠D=∠1﹣∠2，∠A=∠ACE﹣∠ABC，∴∠D=12∠A=25°．故选C．11．如图，若∠A =27°，∠B =45°，∠C =38°，则∠DFE 等于（ ）A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．125︒【答案】A【解析】【分析】 根据三角形外角的性质三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AEB=∠A+∠C=65°，∠DFE=∠B+∠AEC ，进而可得答案．【详解】解：∵∠A=27°，∠C=38°，∴∠AEB=∠A+∠C=65°，∵∠B=45°，∴∠DFE=65°+45°=110°，故选：A ．【点睛】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．12．如图，ABC △是一块直角三角板，90,30C A ∠=︒∠=︒，现将三角板叠放在一把直尺上，AC 与直尺的两边分别交于点D ，E ，AB 与直尺的两边分别交于点F ，G ，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）A ．40ºB ．50ºC ．60ºD ．70º【答案】D【解析】【分析】依据平行线的性质，即可得到∠1＝∠DFG＝40°，再根据三角形外角性质，即可得到∠2的度数．【详解】∵DF∥EG，∴∠1＝∠DFG＝40°，又∵∠A＝30°，∴∠2＝∠A+∠DFG＝30°+40°＝70°，故选D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．在ABC中给定下面几组条件：①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°；②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°；③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°；④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°．若根据每组条件画图，则ABC能够唯一确定的是___________（填序号）.【答案】①③④【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【详解】解：①符合全等三角形的判定定理SAS，即能画出唯一三角形，正确；②根据BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°不能画出唯一三角形，如图所示△ABC和△BCD，错误；③符合全等三角形的判定定理HL，即能画出唯一三角形，正确；④∵∠ABC为钝角，结合②可知，只能画出唯一三角形，正确.故答案为：①③④．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定方法；解答此题的关键是要掌握三角形全等判定的几种方法即可，结合已知逐个验证，要找准对应关系．14．如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)【答案】0；4；8；12【解析】【分析】此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP 或AC＝BN进行计算即可．【详解】解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，∵AC＝2，∴BP＝2，∴CP＝6−2＝4，∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）；②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB≌△NBP，这时BC＝PN＝6，CP＝0，因此时间为0秒；③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，∵AC＝2，∴BP＝2，∴CP＝2＋6＝8，∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）；④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB≌△NBP，∵BC＝6，∴BP＝6，∴CP＝6＋6＝12，点P的运动时间为12÷1＝12（秒），故答案为：0或4或8或12．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．15．如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A 时，点F运动的路径长是________．【答案】8【解析】【分析】作FG⊥BC于点G，DE’⊥AB于点E’，易证E点和E’点重合，则∠FGD=∠DEP=90°；由∠EDB+∠PDF=90°可知∠EDP+∠GFD=90°，则易得∠EPD=∠GDF，再由PD=DF易证△EPD≌△GDF，则可得FG=DE，故F点的运动轨迹为平行于BC的线段，据此可进行求解.【详解】解：作FG⊥BC于点G，DE’⊥AB于点E’，由BD=4、BE=2与∠B=60°可知DE⊥AB，即∠∵DE’⊥AB，∠B=60°，∴BE’=BD×1=2，2∴E点和E’点重合，∴∠EDB=30°，∴∠EDB+∠PDF=90°，∴∠EDP+∠GFD=90°=∠EDP+∠DPE，∴∠DPE=∠GFD∵∠DEP=∠FGD=90°，FD=GP，∴△EPD≌△GDF，∴FG=DE，DG=PE，∴F点运动的路径与G点运动的路径平行，即与BC平行，由图可知，当P点在E点时，G点与D点重合，∵DG=PE，∴F点运动的距离与P点运动的距离相同，∴F点运动的路径长为：AB-BE=10-2=8，故答案为8.【点睛】通过构造垂直线段构造三角形全等，从而确定F点运动的路径，本题有一些难度.16．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CDE＝55°．如图，则∠EAB的度数为_________【答案】35°【解析】【分析】过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得AE是∠BAD的平分线，然后求出∠AEB，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．【详解】过点E作EF⊥AD于F．∵DE平分∠ADC，∴CE=EF．∵E是BC的中点，∴CE=BE，∴BE=EF，∴AE是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠FAE．∵∠B=∠C=90°，∴∠CDA+∠DAB=180°，∴2∠CDE+2∠EAB=180°，∴∠CDE+∠EAB=90°，∴∠EAB=90°－∠CDE=90°－55°=35°．故答案为：35°．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，角平分线的判定，熟记性质并作辅助线是解题的关键．17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°， AB=AC=22，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，则DE=__________．【答案】53【解析】分析：根据等腰直角三角形的性质得45B ACB∠=∠=，把△ABD 绕点A逆时针旋转90得到△ACF,连接,EF如图，根据旋转的性质得,,AD AF BAD CAF=∠=∠45,ABD ACF∠=∠=接着证明45,EAF∠=然后根据“SAS”可判断△ADE≌△AFE，得到DE=FE，由于90ECF ACB ACF∠=∠+∠=，根据勾股定理得222CE CF EF+=，设,DE EF x==则3CE x=-，则()22231,x x-+=由此即可解决问题．详解：90BAC AB AC∠==，，∴45B ACB∠=∠=，把△ABD绕点A逆时针旋转90得到△ACF,连接,EF如图,则△ABD≌△ACF,,,45,AD AF BAD CAF ABD ACF=∠=∠∠=∠=∵45DAE∠=，∴45BAD CAE∠+∠=，∴45,CAF CAE∠+∠=即45,EAF∠=∴∠EAD=∠EAF，在△ADE和△AFE中AE AEEAD EAFAD AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△AFE，∴DE =FE ，∵90ECF ACB ACF ∠=∠+∠=，∴222CE CF EF +=，Rt △ABC 中，∵22AB AC ==，∴224BC AB AC =+=，∵1BD =，设,DE EF x == 则3CE x =-，则有()22231,x x -+=解得：5.3x =∴5.3DE = 故答案为5.3点睛：本题属于全等三角形的综合题，涉及三角形旋转，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合性较强，难度较大.18．如图，在△ABC 和△ADC 中，下列论断：①AB ＝AD ；②∠ABC ＝∠ADC ＝90°；③BC ＝DC ．把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出＿个真命题．【答案】2【解析】根据题意，可得三种命题，由①②⇒③，根据直角三角形全等的判定HL 可证明，是真命题；由①③⇒②，能证明∠ABC=∠ADC ，但是不能得出一定是90°，是假命题；由②③⇒①，根据SAS 可证明两三角形全等，再根据全等三角形的性质可证明，故是真命题.因此可知真命题有2个.故答案为：2.点睛：仔细审题，将其中的两个作为题设，另一个作为结论，可得到三种情况，然后根据全等三角形的判定定理和性质可判断出是否是真命题.四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．如图，已知在正方形ABCD 中，点E F 、分别在BC CD 、上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，给出下列结论：①BE DF =； ② 15DAF ∠=;③AC 垂直平分EF ; ④BE DF EF +=．其中结论正确的共有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【解析】试题分析：四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD ，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF 等边三角形，∴AE=EF=AF ，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF （故①正确）．∠BAE=∠DAF ，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°（故②正确），∵BC=CD ，∴BC ﹣BE=CD ﹣DF ，即CE=CF ，∵AE=AF ，∴AC 垂直平分EF ．（故③正确）． 设EC=x ，由勾股定理，得EF=x ，CG=x ，AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x ， ∴AC=， ∴AB=， ∴BE=﹣x=， ∴BE+DF=x ﹣x≠x ．（故④错误）．∴综上所述，正确的有3个．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质．20．如图，△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S ，若AQ =PQ ，PR =PS ，下面四个结论：①AS =AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△QSP ；④AP 垂直平分RS ．其中正确结论的序号是（ ）．A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【答案】C【解析】【分析】 如图，连接AP,根据HL 判定△APR 和△APS 全等，即可说明①正确；由△APR 和△APS全等可得∠RAP=∠PAC，再根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，得到∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出OP//AB，即②正确；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等；连接RS，与AP交于点D，先证△ARD≌△ASD，即RD=SD；运用等腰三角形的性质即可判定.【详解】解：如图，连接AP∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS∴△APR≌△APS∴AS=AR，∠RAP=∠PAC即①正确；又∵AQ=PQ∴∠QAP=∠QPA∴∠QPA=∠BAP∴OP//AB，即②正确.在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等,故③错误.如图，连接PS∵△APR≌△APS∴AR=AS，∠RAP=∠PAC∴AP垂直平分RS，即④正确；故答案为C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键21．如图，，，，点D、E为BC边上的两点，且，连接EF、BF则下列结论：≌；≌；；，其中正确的有( )个．A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】【分析】根据∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定①正确；由△AED≌△AEF得AF=AD,由，得∠FAB=∠CAD，又AB=AC, 利用SAS证明≌,判定②正确；先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定③正确；先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，进而得出∠EBF=90°，判定④正确．【详解】‚解：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°．在△AED与△AEF中，，∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；②∵△AED≌△AEF,∴AF=AD,∵,∴∠FAB=∠CAD,∵AB=AC，∴≌，②正确；③∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD，即∠CAD=∠BAF．在△ACD与△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD=BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE=EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正确；④由③知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°，∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．④正确．故答案为D．【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度．22．如图，AD是△ABC的外角平分线，下列一定结论正确的是（）A．AD+BC=AB+CD，B．AB+AC=DB+DC,C．AD+BC＜AB+CD，D．AB+AC＜DB+DC【答案】D【解析】【分析】在BA的延长线上取点E,使AE=AC,连接ED,证△ACD≌△AED,推出DE=DC,根据三角形中任意两边之和大于第三边即可得到AB+AC＜DB+DC.【详解】解: 在BA的延长线上取点E, 使AE=AC,连接ED,∵AD是△ABC的外角平分线，∴∠EAD=∠CAD,在△ACD和△AED中,AD ADEAD CADAC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△AED(SAS)∴DE=DC,在△EBD中,BE＜BD+DE,∴AB+AC＜DB+DC故选:D.【点睛】本题主要考查三角形全等的证明,全等三角形的性质,三角形的三边关系,作辅助线构造以AB、AC、DB、DC的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点.23．如图所示，在Rt ABC∆中，E为斜边AB的中点，ED AB⊥，且:1:7CAD BAD∠∠=，则BAC∠=( )A．70B．45C．60D．48【答案】D【解析】根据线段的垂直平分线，可知∠B=∠BAD，然后根据直角三角形的两锐角互余，可得∠BAC+∠B=90°，设∠CAD=x，则∠BAD=7x，则x+7x+7x=90°，解得x=6°，因此可知∠BAC=∠CDA+∠BAD=6°+42°=48°.故选：D.点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质求角的关系，根据比例关系设出未知数，然后根据角的关系列方程求解是解题关键.24．如图，Rt ABC∆中，90C=∠，3,4,5,AC BC AB===AD平分BAC∠．则:ACD ABDS S∆∆=（）A．3:4B．3:5C．4:5D．2:3【答案】B【解析】 如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，由角平分线的性质可得出DE=CD ，由全等三角形的判定定理HL 得出△ADC ≌△ADE ，故可得出AE=AC=3，由AB=5求出BE=2，设CD=x ，则DE=x ，BD=4﹣x ，再根据勾股定理知DE 2+BE 2=BD 2，即x 2+22=（4﹣x ）2，求出x=32，进而根据等高三角形的面积，可得出：S △ACD ：S △ABD =CD ：BD=12×32×3：12×32×5=3：5．故选：B ．点睛：本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．如图，在四边形ABCD 中，BC CD = ，对角线BD 平分ADC ∠，连接AC ，2ACB DBC ∠=∠，若4AB =，10BD =，则ABC S =_________________．【答案】10【解析】【分析】由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD ∥BC ，然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD ，可得CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE 的长和BCF CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明△BCF ≌△CDE ，可得CF=DE ，再根据三角形的面积公式计算即得结果．【详解】解：∵BC CD =，∴∠CBD =∠CDB ，∵BD 平分ADC ∠，∴∠ADB =∠CDB ，∴∠CBD =∠ADB ，∴AD ∥BC ，∴∠CAD =∠ACB ，∵2ACB DBC ∠=∠，2ADC BDC ∠=∠，∠CBD =∠CDB ，∴ACB ADC ∠=∠，∴CAD ADC ∠=∠，∴CA=CD ，∴CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，则152DE BD ==，12BCF ACB ∠=∠， ∵12BDC ADC ∠=∠，ACB ADC ∠=∠，∴BCF CDE ∠=∠， 在△BCF 和△CDE 中，∵BCF CDE ∠=∠，∠BFC =∠CED =90°，CB=CD ，∴△BCF ≌△CDE （AAS ），∴CF=DE =5，∴11451022ABC S AB CF =⋅=⨯⨯=． 故答案为：10．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．26．在锐角三角形ABC 中．BC=32，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC ．若M ，N 分别是边BD ，BC 上的动点，则CM ＋MN 的最小值是____．【答案】4【解析】【分析】过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M′，过点M′作M′N′⊥BC 于N′，则CE 即为CM+MN 的最小值，再根据32ABC=45°，BD 平分∠ABC 可知△BCE 是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，∵BC=32，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴CE=BC•cos45°=32×22=4．∴CM+MN的最小值为4．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．27．如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推，若OA1＝3，则a2=_______，a2019=_______.【答案】6； 3×22018.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1=6，得出a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而得出答案．【详解】解：如图，∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=3，∴A 2B 1=3，∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a 2=2a 1=6，a 3=4a 1，a 4=8a 1，a 5=16a 1，以此类推：a 2019=22018a 1=3×22018故答案是：6；3×22018．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a 2=2a 1=6，a 3=4a 1，a 4=8a 1，a 5=16a 1…进而发现规律是解题关键．28．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 和点A 在直线BC 的同侧，,82,38BD BC BAC DBC =∠=︒∠=︒，连接,AD CD ，则ADB ∠的度数为__________．【答案】30°【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出ABD ∠的度数，然后作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DB ，∠BEA =∠BDA ，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC ，从而可证△EBC 是等边三角形，可得∠BEC =60°，EB=EC ，进一步即可根据SSS 证明△AEB ≌△AEC ，可得∠BEA 的度数，问题即得解决．【详解】解：∵AB AC =，82BAC ∠=︒，∴180492BAC ABC ︒-∠∠==︒， ∵38DBC ∠=︒，∴493811ABD ∠=︒-︒=︒，作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DBA =11°，∠BEA =∠BDA ，∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，∵BD=BC ，∴BE=BC ，∴△EBC 是等边三角形，∴∠BEC =60°，EB=EC ，又∵AB=AC ，EA=EA ，∴△AEB ≌△AEC （SSS ），∴∠BEA =∠CEA =1302BEC ∠=︒， ∴∠ADB =30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，作点D 关于直线AB 的对称点E ，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．29．如图，在直角坐标系中，点()8,8B -，点()2,0C -，若动点P 从坐标原点出发，沿y 轴正方向匀速运动，运动速度为1/cm s ，设点P 运动时间为t 秒，当BCP ∆是以BC 为腰的等腰三角形时，直接写出t 的所有值__________________．【答案】2秒或46秒或14秒【解析】【分析】分两种情况：PC 为腰或BP 为腰.分别作出符合条件的图形，计算出OP 的长度，即可求出t 的值．【详解】解：如图所示，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，作BE ⊥y 轴于点E ，分别以点B 和点C 为圆心，以BC 长为半径画弧交y 轴正半轴于点F ，点H 和点G∵点B （-8，8），点C （-2，0），∴DC=6cm ，BD=8cm ，由勾股定理得：BC=10cm∴在直角三角形COG 中，OC=2cm ，CG=BC=10cm ，∴2210246(cm)-=，当点P 运动到点F 或点H 时，BE=8cm ，BH=BF=10cm ，∴EF=EH=6cm∴OP=OF=8-6=2（cm ）或OP=OH=8+6=14（cm ），故答案为：2秒，6秒或14秒．【点睛】本题综合考查了勾股定理和等腰三角形在平面直角坐标系中的应用，通过作图找出要求的点的位置，利用勾股定理来求解是本题的关键．30．如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，将△ABC绕点B旋转α（0＜α＜60°）到△A′BC′，边AC和边A′C′相交于点P，边AC和边BC′相交于Q.当△BPQ为等腰三角形时，则α＝__________.【答案】20°或40°【解析】【分析】过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，根据旋转可得△ABC≌△A'BC'，则BD=BE，进而得到BP平分∠A'PC，再根据∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，可得∠CBQ=∠C'PQ=θ，即可得出∠BPQ=12（180°-∠C'PQ）=90°-12θ，分三种情况讨论，利用三角形内角和等于180°，即可得到关于θ的方程，进而得到结果．【详解】如图，过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，由旋转可得，△ABC≌△A'BC'，则BD=BE，∴BP平分∠A'PC，又∵∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，∴∠CBQ=∠C'PQ=θ，∴∠BPQ=12（180°-∠C'PQ）=90°-12θ，分三种情况：①如图所示，当PB=PQ时，∠PBQ=∠PQB=∠C+∠QBC=30°+θ，∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB=180°，∴90°-12θ+2×（30°+θ）=180°，解得θ=20°；②如图所示，当BP=BQ 时，∠BPQ=∠BQP ，即90°-12θ=30°+θ， 解得θ=40°； ③当QP=QB 时，∠QPB=∠QBP=90°-12θ， 又∵∠BQP=30°+θ，∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP=2（90°-12θ）+30°+θ=210°＞180°（不合题意）， 故答案为：20°或40°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及旋转的性质的运用，解决问题的关键是利用全等三角形对应边上高相等，得出BP 平分∠A'PC ，解题时注意分类思想的运用．六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．已知：如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F ，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE ；③AF=BF ；④DF=EF ，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④【答案】C【解析】【分析】 根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可．【详解】选取①②:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 ={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，是一道开放性的题目，能培养学生分析问题的能力．32．平面直角坐标系中，已知A （2，0），B （0，2）若在坐标轴上取C 点，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】【分析】【详解】解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点B，C1，C2，C5，得到以A为顶点的等腰△ABC1，△ABC2，△ABC5；②以B为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点A，C3，C6，C7，得到以B为顶点的等腰△BAC3，△BAC6，△BAC7；③作AB的垂直平分线，交x轴于点C4，得到以C为顶点的等腰△C4AB∴符合条件的点C共7个故选C33．在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A（3，﹣52）和B（3，﹣112）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C（﹣2，﹣9），则C点对称点的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣32）C．（﹣32，﹣9）D．（﹣2，﹣1）【答案】A【解析】【分析】先利用点A和点B的坐标特征可判断图形的对称轴为直线y=-4，然后写出点C关于直线y=-4的对称点即可．【详解】解：∵A（3，﹣52）和B（3，﹣112）是图形上的一对对称点，∴点A与点B关于直线y＝﹣4对称，∴点C（﹣2，﹣9）关于直线y＝﹣4的对称点的坐标为（﹣2，1）．故选：A．【点睛】本题考查了坐标与图形的变化，需要注意关于直线对称：关于直线x=m对称，则两点的纵坐标相同，横坐标和为2m；关于直线y=n对称，则两点的横坐标相同，纵坐标和为2n．34．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为(1，0)、(2，3)，若顶点C 落在坐标轴上，则符合条件的点C有( )个.A．9 B．7 C．8 D．6【答案】C【解析】【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若CA=CB，②若BC=BA，③若AC=AB）讨论，通过画图就可解决问题．【详解】①若CA=CB，则点C在AB的垂直平分线上．∵A（1，0），B（2，3），∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点C1，C2．②若BC=BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有3个交点（A点除外）C3，C4，C5；③若AC=AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点C6，C7，C8，C9．而C8（0，-3）与A、B在同一直线上，不能构成三角形，故此时满足条件的点有3个．综上所述：符合条件的点C的个数有8个．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解答本题的关键．35．如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=3，则EP＋CP的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由等边三角形的性质得，点B，C关于AD对称，连接BE交AD于点P，则EP+CP=BE最小，又BE=AD，所以EP+CP的最小值是3.故选B.点睛：本题主要考查了等边三角形的性质和轴对称的性质，求一条定直线上的一个动点到定直线的同旁的两个定点的距离的最小值，常用的方法是，①确定两个定点中的一个关于定直线的对称点；②连接另一个定点与对称点，与定直线的交点就是两线段和的值最小时，动点的位置.36．如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）A．2B．1+22C．2D2-1【答案】B 【解析】第一次折叠后，等腰三角形的底边长为12；2，腰长为12，所以周长为112212222++=+.故答案为B.七、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）37．下列四个多项式，可能是2x 2＋mx －3 (m 是整数)的因式的是A ．x －2B ．2x ＋3C ．x ＋4D ．2x 2－1【答案】B【解析】【分析】将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案.【详解】因为m 是整数，∴将2x 2＋mx －3分解因式：2x 2＋mx －3=（x-1）（2x+3）或2x 2＋mx －3=（x+1）（2x-3），故选：B.【点睛】此题考查因式分解，根据二次项和常数项将多项式分解因式是解题的关键.38．已知三角形三边长为a 、b 、c ，且满足247a b -=， 246b c -=-， 2618c a -=-，则此三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．无法确定【答案】A【解析】解：∵a 2﹣4b =7，b 2﹣4c =﹣6，c 2﹣6a =﹣18，∴a 2﹣4b +b 2﹣4c +c 2﹣6a =7﹣6﹣18，整理得：a 2﹣6a +9+b 2﹣4b +4+c 2﹣4c +4=0，即（a ﹣3）2+（b ﹣2）2+（c ﹣2）2=0，∴a =3，b =2，c =2，∴此三角形为等腰三角形．故选A ．点睛：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解．39．下列运算正确的是A ．532b b b ÷=B ．527()b b =C ．248·b b b =D ．2·22a a b a ab -=+（） 【答案】A【解析】选项A ， 532b b b ÷=，正确；选项B ， ()25b =10b ，错误；选项C ， 24·b b =6b ，错误；选项D ， 2·22a a b a ab -=-，错误.故选A.40．下列计算正确的是（ ）A ．224a a a +=B ．352()a a =C ．527a a a ⋅=D ．2222a a -=【答案】C【解析】【详解】解：A. 222a a 2a +=，故A 错误；B. ()326a a =，故B 错误；C. 527a a a ⋅=，正确；D. 2222a a a -=，故D 错误；故选C41．已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边的长度，且满足a 2－b 2=c （a －b ），则△ABC 是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】C【解析】【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b ，即可确定出三角形形状．【详解】已知等式变形得：（a+b ）（a-b ）-c （a-b ）=0，即（a-b ）（a+b-c ）=0，∵a+b-c≠0，∴a-b=0，即a=b ，则△ABC 为等腰三角形．故选C ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．42．下列从左到右的变形，是因式分解的是( )A ．()()23x 3x 9x -+=-B ．()()()()y 1y 33y y 1+-=-+C ．()24yz 2y z z 2y 2z zy z -+=-+ D ．228x 8x 22(2x 1)-+-=-- 【答案】D【解析】【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．【详解】根据因式分解的定义得：从左边到右边的变形，是因式分解的是228x 8x 22(2x 1)-+-=--.其他不是因式分解:A,C 右边不是积的形式，B 左边不是多项式.故选D.。

八年级上册数学全册全套试卷练习（Word版含答案）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（a，0），B（0，b），且满足a2+b2+4a﹣8b+20＝0．（1）求a，b的值；（2）点P在直线AB的右侧；且∠APB＝45°，①若点P在x轴上（图1），则点P的坐标为；②若△ABP为直角三角形，求P点的坐标．【答案】（1）a＝﹣2，b＝4；（2）①（4，0）；②P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【解析】【分析】（1）利用非负数的性质解决问题即可．（2）①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．②分两种情形：如图2中，若∠ABP=90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．如图3中，若∠BAP=90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．分别利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】（1）∵a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0∴（a+2）2+（b﹣4）2＝0∴a＝﹣2，b＝4．（2）①如图1中，∵∠APB＝45°，∠POB＝90°，∴OP＝OB＝4，∴P（4，0）．故答案为（4，0）．②∵a＝﹣2，b＝4∴OA＝2OB＝4又∵△ABP为直角三角形，∠APB＝45°∴只有两种情况，∠ABP＝90°或∠BAP＝90°①如图2中，若∠ABP＝90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．∴∠PCB＝∠BOA＝90°，又∵∠APB＝45°，∴∠BAP＝∠APB＝45°，∴BA＝BP，又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°，∴∠ABO＝∠BPC，∴△ABO≌△BPC（AAS），∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，∴P（4，2）．②如图3中，若∠BAP＝90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．∴∠PDA＝∠AOB＝90°，又∵∠APB＝45°，∴∠ABP＝∠APB＝45°，∴AP＝AB，又∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠DPA+∠DAP＝90°，∴∠BAD＝∠DPA，∴△BAO≌△APP（AAS），∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4，∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2，∴P（2，﹣2）．综上述，P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是（直接写结论，不需证明）；(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．(3)如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出三角形DEF的周长．【答案】（1）EF=BE+DF．（2）成立，理由见解析；（3）10.【解析】【分析】（1）如图1，延长FD到G，使得DG=DC,先证△ABE≌△ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，进一步根据题意得∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.(2)如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，证得△ABE≌△ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再结合题意得到∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.（3）如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，先证△AEB≌△CGB，得到BE=BG，∠ABE=∠CBG，结合已知条件得∴∠CBF+∠CBG=45°，再证明△EBF≌△GBF，得到EF=FG，最后求三角形的周长即可.【详解】解答：（1）解：如图1，延长FD到G，使得DG=DC在△ABE和△ADG中，∵DC DGB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAFAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为：EF=BE+DF．（2）解：结论EF=BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG在△ABE和△ADG中，∵DG BEB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAF AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，在△AEB与△CGB中，∵AE CGA BOG AF BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB≌△CGB（SAS），∴BE=BG，∠ABE=∠CBG．∵∠EBF=45°，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=45°，∴∠CBF+∠CBG=45°．在△EBF与△GBF中，∵BE BGEBF GBF BF BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBF≌△GBF（SAS），∴EF=GF，∴△DEF的周长=EF+ED+CF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=10．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键.但本题分为三问，难度不断增加，对提升思维能力大有好处.3．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点.(1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ∆，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标；(2)如图2，若点A 的坐标为()23,0-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ∆.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式2253m n +-的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；(3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ∆，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3-3）EN=12(EM-ON)，证明见详解. 【解析】【分析】 （1）作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ≅，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标；（2）作DP ⊥OB 于点P ，可以证明AOB BPD ≅，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值，从而可以求出结论2253m n +-3-（3）作BH ⊥EB 于点B ，由条件可以得出∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ≅，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=12(EM-ON).【详解】（1）如图（1）作CQ ⊥OA 于Q,∴∠AQC=90°,△为等腰直角三角形，∵ABC∴AC=AB,∠CAB=90°,∴∠QAC+∠OAB=90°,∵∠QAC+∠ACQ=90°,∴∠ACQ=∠BAO,又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,≅(AAS),∴AQC BOA∴CQ=AO,AQ=BO,∵OA=2,OB=4,∴CQ=2,AQ=4,∴OQ=6,∴C(-6,-2).(2)如图（2）作DP⊥OB于点P,∴∠BPD=90°,△是等腰直角三角形，∵ABD∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°,∵∠OBD+∠BDP=90°,∴∠ABO=∠BDP,又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,≅∴AOB BPD∴AO=BP,∵BP=OB-PO=m-(-n)=m+n,∵A ()23,0-,∴OA=23,∴m+n=23,∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时，AO=BP=m+n=23,∴整式2253m n +-的值不变为3-.（3）()12EN EM ON =- 证明：如图（3）所示，在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长，交x 轴于H.∵OBM 为等边三角形，∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°,∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°,∵OE=OB,∴OE=OM=BM,∴∠3=∠EMO=15°,∴∠BEM=30°,∠BME=45°,∵OF⊥EB,∴∠EOF=∠BME,∴ENO BGM ≅,∴BG=EN,∵ON=MG,∴∠2=∠3,∴∠2=15°,∴∠EBG=90°,∴BG=12EG, ∴EN=12EG, ∵EG=EM-GM,∴EN=12(EM-GM), ∴EN=12(EM-ON).【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理的运用.4．探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△ABC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝°．②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE 的度数．【答案】（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由见解析；（2）①50；②∠DCE＝85°．【解析】【分析】（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①由（1）可得∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X，然后根据∠A＝40°，∠X＝90°，即可求解；（3）②由∠A＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADE+∠AEB的值，然后根据∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC，求出∠DCE的度数即可.【详解】（1）如图，∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：过点A、D作射线AF，∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①如图（2），∵∠X＝90°，由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ABX+∠ACX＝50°，故答案为：50；②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC＝12∠ADB，∠AEC＝12∠AEB，∴∠ADC+∠AEC＝1(ADB AEB)2∠+∠＝45°，∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．【点睛】本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.5．操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．【答案】（1）见解析；（2）70°；（3）2【解析】【分析】（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE即可．（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．（3）同法可证△BAD≌△CAE，推出EC=BD=4，由∠BEC=∠BAC=120°，推出∠FCE=30°即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，∴∠EAD＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）解：如图1中，设AC交BE于O．∵∠ABC＝∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABO＝∠ECO，∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠BAO＝70°，即∠BEC＝70°．（3）解：如图2中，∵∠CAB＝∠EAD＝120°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠BAD＝∠ACE，BD＝EC＝4，同理可证∠BEC＝∠BAC＝120°，∴∠FEC＝60°，∵CF⊥EF，∴∠F＝90°，∴∠FCE＝30°，∴EF＝12EC＝2.【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．【解析】试题分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．试题解析：(1)如图①②(共有2种不同的分割法)．(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D.在△DBC中，①若∠C是顶角，如图，则∠CBD＝∠CDB＝90°－12x，∠A＝180°－x－y.故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋12x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，即180°－x－y＝y－1902x⎛⎫-⎪⎝⎭，∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－34∠C.②若∠C是底角，第一种情况：如图，当DB＝DC时，∠DB C＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，∴∠ABC＝3∠C.若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C.若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．第二种情况：如图，当BD ＝BC 时，∠BDC ＝x ，∠ADB ＝180°－x ＞90°，此时只能有AD ＝BD ，∴∠A ＝∠ABD ＝12∠BDC ＝12∠C ＜∠C ，这与题设∠C 是最小角矛盾． ∴当∠C 是底角时，BD ＝BC 不成立．综上所述，∠ABC 与∠C 之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C 或∠ABC＝3∠C 或∠ABC＝180°－3∠C 或∠ABC＝90°，∠C 是小于45°的任意锐角．点睛：本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．7．如图，在ABC ∆中，CE 为三角形的角平分线，AD CE ⊥于点F 交BC 于点D （1）若9628BAC B ︒︒∠=∠=，，直接写出BAD ∠= 度（2）若2ACB B ∠=∠，①求证：2AB CF =②若 ,CF a EF b ==，直接写出BD CD= （用含 ,a b 的式子表示）【答案】（1）34；（2）①见详解；②2b a b- 【解析】【分析】 （1）由三角形内角和定理和角平分线定义即可得出答案；（2）①证明B BCE ∠=∠，得出BE=CE ，过点A 作//AH BC 交CE 与点H ，则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠，得出AH=AC ，H EAH ∠=∠，得出AE=HE ，由等腰三角形的性质可得出HF=CF，即可得出结论；②证明AHF DCF ≅，得出AH=DC ，求出HF=CF=a ，HE=HF-EF=a-b ，CE=a+b ，由 //AH BC 得出AH AE a b BC BE a b-==+，进而得出结论． 【详解】 解：（1）∵9628BAC B ︒︒∠=∠=，，∴180962856ACB ∠=︒-︒-︒=︒，∵CE 为三角形的角平分线，∴1282ACE ACB ∠=∠=︒， ∵AD CE ⊥，∴902862CAF ∠=︒-︒=︒，∴966234BAD ∠=︒-︒=︒．故答案为：34；（2）①证明：∵22ACB B BCE ∠=∠=∠∴B BCE ∠=∠∴BE CE =过点A 作//AH BC 交CE 与点H ，如图所示：则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠∴AH=AC ，H EAH ∠=∠∴AE=HE∵AD CE ⊥∴HF=CF∴AB=HC=2CF ；②在AHF △和DCF 中，H DCF HF CFAFH DFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AHF DCF ≅∴AH=DC∵ ,CF a EF b == ∴ HF CF a ==，由①得 AE HE HF EF a b ==-=-， BE CE a b ==+∵ //AH BC∴AH AE a b BC BE a b -==+ ∴CD a b BC a b -=+ ∴2BD b CD a b=-． 故答案为：2b a b -． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、三角形的角平分线定理等，掌握以上知识点是解此题的关键．8．知识背景：我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定.在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题.问题：如图1，ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，以AD 为腰作等腰ADE ，且满足90DAE ∠=︒，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ，试探究BC 与CF 之间的数量关系.图1发现：（1）BC 与CF 之间的数量关系为 .探究：（2）如图2，当点D 是线段BC 上任意一点（除B 、C 外）时，其他条件不变，试猜想BC 与CF 之间的数量关系，并证明你的结论.图2拓展：（3）当点D 在线段BC 的延长线上时，在备用图中补全图形，并直接写出BCF 的形状.备用图【答案】（1）BC CF =；（2）BC CF =，证明见解析；（3）画图见解析，等腰直角三角形.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得BC CF =；（2）由等腰直角三角形的性质可得()ABD ACE SAS ∴≌，再根据全等三角形的性质及等角对等边即可证明；（3）作出图形，根据等腰三角形性质易证()ABD ACE SAS ∴≌，进而根据角度的代换，得出结论．【详解】解：（1）BC CF =.∵△ABC 是等腰三角形，且90BAC ∠=︒，AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=︒.90DAE ∠=︒，DAE BAC ∴=∠∠，DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠，BAD CAE ∴∠=∠.ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，AD AE ∴=.在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴≌，45ACE B ∴∠=∠=︒.45ACB =︒∠，90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，90B F ∴∠+∠=︒，45F ∴∠=︒，B F ∴∠=∠，BC CF ∴=.（2）BC CF =. 证明：ABC 是等腰三角形，且90BAC ∠=︒，AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=︒.90DAE ∠=︒，DAE BAC ∴=∠∠，DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠，BAD CAE ∴∠=∠.ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，AD AE ∴=.在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴≌，45ACE B ∴∠=∠=︒.45ACB =︒∠，90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒， 90B F ∴∠+∠=︒，45F ∴∠=︒，B F ∴∠=∠，BC CF ∴=.（3）BCF 是等腰直角三角形.提示：如图，ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=︒，AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=︒.90DAE ∠=︒，DAE BAC ∴=∠∠，DAE DAC BAC DAC ∴∠+∠=∠+∠，BAD CAE ∴∠=∠.ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，AD AE ∴=.在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴≌，45ACE B ∴∠=∠=︒.45ACB =︒∠，90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，90B BFC ∴∠+∠=︒，45BFC ∴∠=︒，B BFC ∴∠=∠，BCF∴是等腰三角形，∠=︒，BCF90∴是等腰直角三角形.BCF【点睛】本题考查等腰三角形及全等三角形的性质，熟练运用角度等量代换及等腰三角形的性质是解题的关键．9．如图1，△ABD，△ACE都是等边三角形，（1）求证：△ABE≌△ADC；（2）若∠ACD=15°，求∠AEB的度数；（3）如图2，当△ABD与△ACE的位置发生变化，使C、E、D三点在一条直线上，求证：AC∥BE．【答案】(1)见解析(2) ∠AEB=15°(3) 见解析【解析】试题分析：（1）由等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，即可得∠DAC=∠BAE，利用SAS即可判定△ABE≌△ADC；（2）根据全等三角形的性质即可求解；（3）由（1）的方法可证得△ABE≌△ADC，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可得∠AEB=∠ACD =60°，即可得∠AEB=∠EAC，从而得AC∥BE．试题解析：（1）证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形∴AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE，在△ABE和△ADC中，∴，∴△ABE≌△ADC；（2）由（1）知△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∵∠ACD=15°，∴∠AEB=15°；（3）同上可证：△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，又∵∠ACD=60°，∴∠AEB=60°，∵∠EAC=60°，∴∠AEB=∠EAC，∴AC∥BE．点睛：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，证得△ABE≌△ADC 是解决本题的关键.=. 10．已知ABC为等边三角形，E为射线AC上一点，D为射线CB上一点，AD DE=时，AD是ABC的中线吗？请说明（1）如图1，当点E在AC的延长线上且CD CE理由；AB BD AE之间的数量关系，请说明理（2）如图2，当点E在AC的延长线上时，写出,,由；（3）如图3，当点D在线段CB的延长线上，点E在线段AC上时，请直接写出AB BD AE的数量关系.,,+=，理由详见【答案】（1）AD是ABC的中线，理由详见解析；（2）AB BD AE=+.解析；（3）AB AE BD【解析】【分析】（1）利用△ABC是等边三角形及CD=CE可得∠CDE=∠E=30°，利用AD=DE，证明∠CAD=∠E =30°，即可解决问题．（2）在AB上取BH=BD，连接DH，证明AHD≌△DCE得出DH=CE，得出AE=AB+BD，（3）在AB上取AF=AE，连接DF，利用△AFD≌△EFD得出角的关系，得出△BDF是等腰三角形，根据边的关系得出结论AB=BD+AE．【详解】（1）解：如图1，结论：AD是△ABC的中线．理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，∵CD=CE，∴∠CDE=∠E，∵∠ACD=∠CDE+∠E=60°，∴∠E=30°，∵DA=DE，∴∠DAC=∠E=30°，∵∠BAC=60°，∴∠DAB=∠CAD，∵AB=AC，∴BD=DC，∴AD是△ABC的中线．（2）结论：AB+BD=AE，理由如下：如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，∵BH=BD，∠B=60°，∴△BDH为等边三角形，AB-BH=BC-BD，∴∠BHD=60°，BD=DH，AH=DC，∵AD=DE，∴∠E=∠CAD，∴∠BAC-∠CAD=∠ACB-∠E∴∠BAD=∠CDE，∵∠BHD=60°，∠ACB=60°，∴180°-∠BHD=180°-∠ACB,∴∠AHD=∠DCE，∴在△AHD和△DCE，BAD CDEAHD DCEAD DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AHD≌△DCE（AAS），∴DH=CE，∴BD=CE，∴AE=AC+CE=AB+BD．（3）结论：AB=BD+AE，理由如下：如图3，在AB上取AF=AE，连接DF，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°，∴△AFE是等边三角形，∴∠FAE=∠FEA=∠AFE=60°，∴EF∥BC，∴∠EDB=∠DEF，∵AD=DE，∴∠DEA=∠DAE，∴∠DEF=∠DAF，∵DF=DF，AF=EF，在△AFD和△EFD中，AD DEDF DFAF EF=⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴△AFD≌△EFD（SSS）∴∠ADF=∠EDF，∠DAF=∠DEF，∴∠FDB=∠EDF+∠EDB，∠DFB=∠DAF+∠ADF，∵∠EDB=∠DEF，∴∠FDB=∠DFB，∴DB=BF，∵AB=AF+FB，∴AB=BD+AE．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等找出对应的线段．三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．若一个整数能表示成22a b +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22521=+.再如，()222222M x xy y x y y =++=++（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”. （1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；（2）已知224412S x y x y k =++-+（x ，y 是整数，是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个2200-0=值，并说明理由.（3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”．.【答案】（1）8、29是完美数（2）S 是完美数（3）mn 是完美数【解析】【分析】（1）利用“完美数”的定义可得；（2）利用配方法，将S 配成完美数，可求k 的值（3）根据完全平方公式，可证明mn 是“完美数”；【详解】(1) 22228,8+=∴是完美数；222925,29=+∴是完美数 (2) ()222)2313S x y k =++-+-（ 13.k S ∴=当时，是完美数(3) 2222,m a b n c d 设=+=+,则()()()()222222mn a bc d ac bd ad bc =++=++- 即mn 也是完美数.【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．12．一个四位正整数m 各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m 的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m 为“半期数”；把四位数m 的各位上的数字依次轮换后得到新的四位数m′，设m′＝abcd ，在m′的所有可能的情况中，当|b+2c ﹣a ﹣d|最小时，称此时的m′是m 的“伴随数”，并规定F （m′）＝a 2+c 2﹣2bd ；例如：m ＝2365，则m′为：3652，6523，5236，因为|6+10﹣3﹣2|＝11，|5+4﹣6﹣3|＝0，|2+6﹣5﹣6|＝3，0最小，所以6523叫做2365的“伴随数”，F （5236）＝52+32﹣2×2×6＝10． （1）最大的四位“半期数”为 ；“半期数”3247的“伴随数”是 ．（2）已知四位数P ＝abcd 是“半期数”，三位数Q ＝2ab ，且441Q ﹣4P ＝88991，求F （P'）的最大值．【答案】（1）4192，7324；（2）42.【解析】【分析】（1）根据“半期数”的定义分析最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192，分析3247的所有可能为，2473，4732，7324．根据题意|b +2c ﹣a ﹣d |最小的数是7324，所以3247的“伴随数”是：7324．（2）根据定义可知a +b =5，c +d =11．再根据441Q ﹣4P =88991，可以算出P 的值，从而求出F （P '）的最大值．【详解】解；（1）根据题意可得最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192．∵3247的所有可能为，2473，4732，7324．∵|4+14﹣2﹣3|=13，|7+6﹣4﹣2|=7，|3+4﹣7﹣4|=4， 4最小，所以7324为3247的“伴随数”．故答案为4192；7324．（2）∵P 为“半期数”∴a +b =5，c +d =11，∴b =5﹣a ，d =11﹣c ，∴P =1000a +100（5﹣a ）+10c +11﹣c =900a +9c +511．∵Q =200+10a +c ，∴441Q ﹣4P =88991，∴441（200+10a +c ）﹣4（900a +9c +511）=88991 化简得：2a +c =7①当a =1时，c =5，此时这个四位数为1456符合题意；②当a =2时，c =3，此时这个四位数为2338不符合题意，舍去；③当a =3时，c =1，不符合题意，舍去；综上所述：这个四位数只能是1456，则P '可能为4561，5614，6145．∵|5+12﹣4﹣1|=12，|6+2﹣5﹣4|=1，|1+8﹣6﹣5|=2，1最小，所以5614为P 的“伴随数”，∴F （5614）=a 2+c 2﹣2bd =25+1﹣2×6×4=﹣22；F （4561）=a 2+c 2﹣2bd =16+36﹣2×5×1=42；F （6145）=a 2+c 2﹣2bd =36+16﹣2×1×5=42；∴F （P '）的最大值为42．【点睛】解决本道题的关键是理解好半期数的定义：一个四位正整数m 各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m 的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m 为“半期数”，然后根据当|b +2c ﹣a ﹣d |最小时，称此时的m '是m 的“伴随数”来确定伴随数．13．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式, 我们把这样的变形方法叫做多项式2ax bx c ++的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：21124x x ++＝222111111()()2422x x ++-+＝21125()24x +- ＝115115()()2222x x +++-＝(8)(3)x x ++ 根据以上材料，解答下列问题： （1）用多项式的配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式；（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式2340x x --进行分解因式的解答过程：老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“ ”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：（3）求证：x ，y 取任何实数时，多项式222416x y x y +--+的值总为正数．【答案】（1）2(4)17x +- ；（2）(5)(8)x x +-；（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据配方法，可得答案；（2）根据配方法，可得平方差公式，再根据平方差公式，可得答案；（3）根据交换律、结合率，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案． 试题解析：解：（1）281x x +-=2228441x x ++--=2(4)17x +-（2）2340x x --=222333()()40222x x -+-- =23169()24x -- =313313()()2222x x -+-- =(5)(8)x x +- （3）证明：222416x y x y +--+=22214411x x y y -++-++=22(1)(2)11x y -+-+∵2(1)x -≥0，2(2)y -≥0，∴22(1)(2)110x y -+-+>．∴x ，y 取任何实数时，多项式222416x y x y +--+的值总是正数．点睛：本题考查了配方法，利用完全平方公式：a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2配方是解题关键．14．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式2x 4x m -+有一个因式是()x 3+，求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式为()x n +，得()()2x 4x m x 3x n -+=++则()22x 4x m x n 3x 3n -+=+++ {n 34m 3n +=-∴=．解得：n 7=-，m 21=- ∴另一个因式为()x 7-，m 的值为21-问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式22x 3x k +-有一个因式是()2x 5-，求另一个因式以及k 的值．【答案】()4,x + 20.【解析】【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，二次三项式2x 4x m -+的二次项系数是1，因式是()x 3+的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式.所求的式子22x 3x k +-的二次项系数是2，因式是()2x 5-的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．【详解】解：设另一个因式为()x a +，得()()22x 3x k 2x 5x a +-=-+则()222x 3x k 2x 2a 5x 5a +-=+-- {2a 535a k -=∴-=-解得：a 4=，k 20=故另一个因式为()x 4+，k 的值为20【点睛】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．15．阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（2+1）（2﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=（28﹣1）（28+1）=216﹣1请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=_____．（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=_____．（3）化简：（m +n ）（m 2+n 2）（m 4+n 4）（m 8+n 8）（m 16+n 16）．【答案】232﹣1 32312-； 【解析】【分析】（1）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；（2）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；（3）分m=n 与m≠n 两种情况，化简得到结果即可．【详解】（1）原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=232-1； （2）原式=12（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=32312-； （3）（m+n ）（m 2+n 2）（m 4+n 4）（m 8+n 8）（m 16+n 16）．当m≠n 时，原式=1m n -（m-n ）（m+n ）（m 2+n 2）（m 4+n 4）（m 8+n 8）（m 16+n 16）=3232m n m n--； 当m=n 时，原式=2m•2m 2…2m 16=32m 31．【点睛】此题考查了平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．已知分式 A =2344(1)11a a a a a -++-÷-- （1）化简这个分式；（2）当 a ＞2 时，把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B ，问：分式 B 的值较原来分式 A 的值是变大了还是变小了？试说明理由；（3）若 A 的值是整数，且 a 也为整数，求出符合条件的所有 a 值的和．【答案】（1）22a a +-；（2）原分式值变小了，见解析；（3）11 【解析】【分析】（1）根据分式混合运算顺序和运算法则化简即可得；（2）根据题意列出算式2622a a A B a a ++-=--+，化简可得16(2)(2)A B a a -=-+，结合a 的范围判断结果与0的大小即可得；（3）由24122a A a a +==+--可知，2a -=±1、±2、±4，结合a 的取值范围可得． 【详解】 解：（1）A=2344(1)11a a a a a -++-÷-- =221311(2)a a a a ---⨯-- =2(2)(2)11(2)a a a a a +--⨯-- =22a a +-； （2）变小了，理由如下： ∵22a A a +=-， ∴62a B a +=+，∴261622(2)(2)a a A B a a a a ++-=-=-+-+； ∵2a >，∴20a ->，24a +>，∴0A B ->，∴分式的值变小了；（3）∵A 是整数，a 是整数， 则24122a A a a +==+--， ∴21a -=±、2±、4±，∵1a ≠，∴a 的值可能为：3、0、4、6、-2；∴3046(2)11++++-=；∴符合条件的所有a 值的和为11．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．17．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当0a >，0b >时，∵2()20a b a ab b -=-+≥，∴2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号．请利用上述结论解决以下问题：(1)当0x >时，1x x +的最小值为_______；当0x <时，1x x+的最大值为__________． (2)当0x >时，求2316x x y x++=的最小值． (3)如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2，-2；（2）11；（3）25【解析】【分析】（1）当x ＞0时，按照公式ab a=b 时取等号）来计算即可；x ＜0时，由于-x ＞0，-1x＞0，则也可以按照公式ab a=b 时取等号）来计算；（2）将2316x x y x++=的分子分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，四边形ABCD 的面积用含x 的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】解：（1）当x ＞0时，12x x +≥= 当x ＜0时，11x x x x ⎛⎫+=--- ⎪⎝⎭∵12x x --≥= ∴12x x ⎛⎫---≤- ⎪⎝⎭∴当0x >时，1x x +的最小值为2；当0x <时，1x x+的最大值为-2； （2）由2316163x x y x x x++==++ ∵x ＞0，∴163311y x x =++≥= 当16x x= 时，最小值为11； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD∴x ：9=4：S △AOD∴：S △AOD =36x∴四边形ABCD 面积=4+9+x+361325x ≥+= 当且仅当x=6时取等号，即四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大．18．阅读理解：把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将2131x x --表示成部分分式？设分式2131x x --=11m n x x +-+，将等式的右边通分得：(1)(1)(1)(1)m x n x x x ++-+-=()(1)(1)m n x m n x x ++-+-，由2131x x --= ()(1)(1)m n x m n x x ++-+-得：31m n m n +=-⎧⎨-=⎩，解得：12m n =-⎧⎨=-⎩，所以2131x x --=1211x x --+-+． （1）把分式1(2)(5)x x --表示成部分分式，即1(2)(5)x x --=25m n x x +--，则m = ，n = ；（2）请用上述方法将分式43(21)(2)x x x -+-表示成部分分式． 【答案】（1）13-，13；（2）21212x x ++-． 【解析】【分析】仿照例子通分合并后，根据分子的对应项的系数相等，列二元一次方程组求解.【详解】 解：(1)∵()()()522525m n x m n m n x x x x +--+=----， ∴0521m n m n +=⎧⎨--=⎩， 解得：1313m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. (2)设分式()()43212x x x -+-=212m n x x ++-将等式的右边通分得：()()()()221212m x n x x x -+++-=()()()22212m n x m n x x +-++-， 由()()43212x x x -+-=()()()22212m n x m n x x +-++-，得2423m n m n +=⎧⎨-+=-⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩. 所以()()43212x x x -+-=21212x x ++-.19．小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司，合做需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元，若只选一个公司单独完成，从节约开支角度考虑，小明家是选甲公司、还是乙公司请你说明理由．【答案】从节约开支角度考虑，应选乙公司单独完成【解析】试题分析：需先算出甲乙两公司独做完成的周数．等量关系为：甲6周的工作量+乙6周的工作量=1；甲4周的工作量+乙9周的工作量=1；还需算出甲乙两公司独做需付的费用．等量关系为：甲做6周所需钱数+乙做6周所需钱数=5.2；甲做4周所需钱数+乙做9周所需钱数=4.8．试题解析：解：设甲公司单独完成需x 周，需要工钱a 万元，乙公司单独完成需y 周，需要工钱b 万元．依题意得：661491x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：1015x y =⎧⎨=⎩． 经检验：1015x y =⎧⎨=⎩是方程组的根，且符合题意． 又6() 5.2101549 4.81015a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯=⎪⎩，解得：64a b =⎧⎨=⎩． 即甲公司单独完成需工钱6万元，乙公司单独完成需工钱4万元．答：从节约开支角度考虑，应选乙公司单独完成．点睛：本题主要考查分式的方程的应用，根据题干所给的等量关系求出两公司单独完成所需时间和工钱，然后比较应选择哪个公司．20．“绿色环保，健康出行”新能源汽车越来越占领汽车市场，以“北汽”和“北汽 新能源 EV500”为例，分别在某加油站和某充电站加油和充电的电费均为 300 元，而续 航里程之比则为 1∶4．经计算新能源汽车相比燃油车节约 0.6 元/公里．（1）分别求出燃油车和新能源汽车的续航单价（每公里费用）；（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的小区及用户将享受 0.48 元/度的优惠专用电费．以新能源 EV500 为例，充电 55 度可续航 400 公里，试计算每公里所需电费， 并求。

第十二章 分式和分式方程 12．1 第1课时 分式及其基本性质知识点 1 分式的概念1．2017·贺州 下列式子中是分式的是( ) A.1π B.x 3 C.1x －1D.252．下列各式中，哪些是分式，哪些是整式？ ①2019x ；②a π；③－x －3x ；④x 2＋y ；⑤1＋y x －y ；⑥2m 2m .知识点 2 分式有(无)意义的条件3．已知分式1x ＋2，当分母x ＋2≠________，即x ≠________时，分式有意义；反之，当x ＝________时，分式无意义．4．当x ________时，分式xx －5有意义；当x ______时，分式x ＋2x －1无意义．5．x 取何值时，下列分式有意义：(1)x ＋22x －3； (2)6（x ＋3）|x |－12； (3)x ＋6x 2＋1.知识点 3 分式的值为0的条件6．已知分式x －2x ＋1，当分子x －2＝________，且分母x ＋1≠________时，分式的值为0，故分式x －2x ＋1的值为0的条件是________．7．若分式x －yx －1的值为0，则x ，y 需要满足的条件为________．8．对于分式x －a3x －2，当x ＝a 时( )A ．分式的值为0B ．若a ≠23，则分式的值为0C ．分式无意义D ．若a ＝－23，则分式无意义9．当a 取何值时，下列分式的值为0? (1)2a －1a ＋2； (2)|a |－1a 2＋1； (3)|a |－1a －1.知识点 4 分式的基本性质10．填空：(1)b a ＝（ ）am (m ≠0)；(2)（ ）3xy 2＝1xy ；(3)xy ＋x x 2＝y ＋1（ ）. 11．下列各式从左到右的变形不正确的是( ) A ．－－5x 3y ＝5x －3y B.－y －6x ＝y6xC.3x －4y＝－3x 4y D.－23y ＝－23y12．下列式子从左到右的变形一定正确的是( ) A.a b ＝a ＋m b ＋m B.a b ＝acbc C.ak bk ＝a b D.a b ＝a 2b2 13．教材“做一做”变式下列各分式中，与分式xx ＋y的值相等的是( ) A.－x －x －y B.x x －y C ．－x x －y D ．－x y －x14．如果把5x x ＋y 的x 与y 都扩大为原来的10倍，那么这个代数式的值( )A. 不变B. 扩大为原来的50倍C. 扩大为原来的10倍D. 缩小为原来的11015．若等式x x ＋1＝x 2x 2＋x成立，则x 必须满足________．16．不改变分式的值，把分式0.1x ＋0.2y0.3＋y的分子、分母的各项系数都化为整数，得________．17．按要求做题．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正．① 1－3x －x －2；②－x 2－2x ＋3x －1.18．2017·武汉洪山区校级模拟 下列关于分式的判断，正确的是( ) A ．当x ＝2时，x ＋1x －2的值为0B ．无论x 为何值，3x 2＋1的值总为正数C ．无论x 为何值，3x ＋1不可能得整数值D ．当x ≠3时，x －3x有意义19．2018·莱芜若x ，y 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是( ) A .2＋x x －y B .2y x 2 C .2y 33x 2 D .2y 2（x －y ）220．请写出一个同时满足下列条件的分式：(1)分式的值不可能为0；(2)分式有意义时，x 的取值范围是x ≠2；(3)当x ＝0时，分式的值为－1.你所写的分式是________．21．已知甲车用v km /h 的速度跑完AB 两地的路程用了2小时，乙车每小时比甲车慢5 km ，则乙车跑完AB 两地的路程需要________小时．22．已知x ＝－2时，分式x －b x ＋a 无意义，当x ＝4时此分式的值为0.求分式2ba 2－ab 的值．23．王老师在黑板上出了一道题：分式2x ＋6x 2－9和2x －3是不是同一分式？为什么？小强、小明两位同学是这样回答的：小强说：因为2x ＋6x 2－9＝2（x ＋3）（x ＋3）（x －3）＝2x －3，所以分式2x ＋6x 2－9和2x －3是同一分式．小明说：2x －3＝2（x ＋3）（x ＋3）（x －3）＝2x ＋6x 2－9，所以分式2x －3和2x ＋6x 2－9是同一分式．你同意他们的说法吗？若不同意，请说出你的理由．24．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：83＝6＋23＝2＋23＝223 .我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：x －1x ＋1，x 2x －1这样的分式就是假分式；再如：3x ＋1，2xx 2＋1这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式)．如：x －1x ＋1＝（x ＋1）－2x ＋1＝1－2x ＋1；再如：x 2x －1＝x 2－1＋1x －1＝（x ＋1）（x －1）＋1x －1＝x ＋1＋1x －1.解决下列问题：(1)分式2x 是________分式(填“真”或“假”)；(2)假分式x －1x ＋2可化为带分式________的形式；(3)如果分式2x －1x ＋1的值为整数，那么x 的整数值为________．教师详解详析1．C2．解：分式：①③⑤⑥.整式：②④.3．0 －2 －2 [解析] 分式有意义的条件是分母不等于0，分式无意义的条件是分母等于0.4．≠5 ＝1 [解析] xx －5有意义，则x －5≠0，解得x ≠5；分式x ＋2x －1无意义，则x －1＝0，解得x ＝1.5．解：(1)要使x ＋22x －3有意义，则2x －3≠0，解得x ≠32，即当x ≠32时，x ＋22x －3有意义．(2)要使6（x ＋3）|x |－12有意义，则|x |－12≠0，解得x ≠±12，即当x ≠±12时，6（x ＋3）|x |－12有意义．(3)要使x ＋6x 2＋1有意义，则x 2＋1≠0，x 取任意实数时，x ＋6x 2＋1均有意义．6．0 0 x ＝2 [解析] 分式的值为0的条件是分子等于0，且分母不等于0. 7．x ＝y 且x ≠1 [解析] 由题意，得x －y ＝0且x －1≠0，解得x ＝y 且x ≠1. 8．B9．解：(1)∵分式2a －1a ＋2的值为0，∴2a －1＝0且a ＋2≠0，解得a ＝12.∴当a ＝12时，分式2a －1a ＋2的值为0. (2)∵分式|a |－1a 2＋1的值为0，∴|a |－1＝0且a 2＋1≠0，解得a ＝±1.∴当a ＝±1时，分式|a |－1a 2＋1的值为0. (3)∵分式|a |－1a －1的值为0，∴|a |－1＝0且a －1≠0.解得a ＝－1.∴当a ＝－1时，分式|a |－1a －1的值为0. 10．(1)bm (2)3y (3)x 11．A 12．C13．A [解析] －x －x －y ＝－x －（x ＋y ）＝xx ＋y.故选A.14．A [解析] 分别用10x 和10y 去代换原分式中的x 和y ，得5×10x 10x ＋10y ＝10×5x10（x ＋y ）＝5xx ＋y，可见新分式与原分式的值相等．故选A. 15．x ≠－1且x ≠0 [解析] 当x ≠－1时，等号左边的分式有意义．分式的分子、分母同时乘(或除以)的相同的数或整式不能为0，故x ≠0.16.x ＋2y 3＋10y [解析] 要想将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，可将分式的分子、分母同乘10，即0.1x ＋0.2y 0.3＋y ＝10（0.1x ＋0.2y ）10（0.3＋y ）＝x ＋2y3＋10y.17．解：①3x －1x ＋2；②－x 2＋2x －3x －1.18．B [解析] A 项，当x ＝2时，分母x －2＝0，分式无意义，故A 错误；B 项，分母x 2＋1≥1，因而3x 2＋1的值一定是正数，故B 项正确；C 项，当x ＋1＝1或x ＋1＝－1时，3x ＋1的值是整数，故C 项错误；D 项，当x ＝0时，分母x ＝0，分式无意义，故D 项错误．19．D [解析] 根据分式的基本性质，可知若x ，y 的值均扩大为原来的3倍，A 项，2＋3x 3x －3y ≠2＋x x －y ，错误；B 项，6y 9x 2≠2y x 2，错误；C 项，54y 327x 2≠2y 33x 2，错误；D 项，18y 29（x －y ）2＝2y 2（x －y ）2，正确．故选D.20．答案不唯一，如2x －2等 21.2v v －5 [解析] 由题意，得AB 两地的路程为2v km ，则乙车跑完AB 两地的路程需要2vv －5小时． 22．解：根据题意得－2＋a ＝0，4－b ＝0，解得a ＝2，b ＝4，故2b a 2－ab ＝84－8＝－2.23．解：不同意.2x －3和2x ＋6x 2－9不是同一分式．理由如下： 在分式2x －3中，分母x －3≠0，即x ≠3. 在分式2x ＋6x 2－9中，分母x 2－9≠0，即x ≠±3.∵两个分式中的x 的取值范围不同， ∴2x －3和2x ＋6x 2－9不是同一分式． 24．(1)真 (2)1－3x ＋2(3)0，－2，2，－4 [解析]2x －1x ＋1＝2x ＋2－3x ＋1＝2－3x ＋1.所以当x ＋1的值为3或－3或1或－1时，分式的值为整数．解得x ＝2或x ＝－4或x ＝0或x ＝－2.第2课时 分式的约分知识点 1 分式的约分1．(1)分式a 3a 中，分子与分母的公因式是________，约去公因式得________；(2)a 2－16a 2＋8a ＋16＝______________(分子、分母分解因式) ＝________．(约去公因式的结果) 2．下列等式中，不成立的是( ) A.2xy 26x 2y ＝y 3x B.x 2－y 2x －y ＝x －y C.x 2－2xy ＋y 2x －y ＝x －yD.xy x 2－xy ＝y x －y3．约分：(1)4x 2y6xy 2z ＝________；(2)y －x （x －y ）3＝________；(3)1－4x 22＋4x ＝________．4．若长方形的面积是x 2－6x ＋9，长方形的长是x 2－9，则长方形的宽是________． 5．将下列分式约分：(1)10a 3bc－5a 2b 3c 2； (2)－2a （a ＋b ）3b （a ＋b ）；(3)（a －x ）2（x －a ）3； (4)x 2－25x 2－10x ＋25.知识点 2 最简分式6．2017·睢宁县期中下列分式是最简分式的是( ) A.1－x x －1 B.x －1x 2－1 C.2x x 2＋1D.42x7．下列分式：4x －34x ，x 2－1x 4－1，x 2＋xy ＋y 2x ＋y ，a 2＋3ab ab －3b 2，3x －y3x ＋y ，最简分式有________个．8．下列分式中，哪些是最简分式，那些不是最简分式？如果不是最简分式，请你将其化成最简分式．(1)12ab ；(2)x ＋y x 2＋y 2；(3)2x －y y 2－4x 2；(4)m 2－2m ＋11－m 2.知识点 3 分式的化简求值9．若x ＝2019，则x 2－1x ＋1的值是________．10．化简m 2－163m －12得______________；当m ＝－1时，原式的值为__________．11．若x 2＋x －2＝0，则5x 2＋x －1的值为________．12．若a ＝2b ≠0，则a 2－b 2a 2－ab 的值为________．13．先化简，再求值： (1)mn ＋n 2m 2－n 2，其中m ＝3，n ＝4；(2)x 2－4x 2＋4x ＋4，其中x ＝3.14．化简16a 2－b 24a ＋b 时，小明、小华两位同学的化简过程如下：小明：16a 2－b 24a ＋b ＝（4a ＋b ）（4a －b ）4a ＋b＝4a －b ；小华：16a 2－b 24a ＋b ＝（16a 2－b 2）（4a －b ）（4a ＋b ）（4a －b ）＝4a －b .对于他俩的解法，你的看法是( )A ．都正确B ．小明正确，小华不正确C ．小华正确，小明不正确D ．都不正确15．已知x 2－3x ＋1＝0，则xx 2－x ＋1的值是( )A.12 B ．2 C.13D ．3 16．分式ax 2－25ay 2bx －5by 化为最简分式为__________．17．若2x ＋3y ＝0，则x －3yx ＋3y＝________．18．已知x －y ＝xy ，则分式2x －5xy －2yy －2xy －x的值是________．19．指出下列解题过程是否存在错误，若存在，请加以改正并写出正确的答案． 题目：当x 为何值时，分式x 2－1（x ＋1）（x －2）有意义？解：x 2－1（x ＋1）（x －2）＝（x －1）（x ＋1）（x ＋1）（x －2）＝x －1x －2.由x －2≠0，得x ≠2.所以当x ≠2时，分式x 2－1（x ＋1）（x －2）有意义．20．2017·东台市月考约分：(1)2a （a －1）8ab 2（1－a ）； (2)（x ＋y ）2－10（x ＋y ）＋25（x ＋y ）2－25.21．已知x ＋y ＝2，x －y ＝12，求2x 2－2y 2x 2＋2xy ＋y 2的值．22．请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式． x 2－4xy ＋4y 2；x 2－4y 2；x －2y .23．“约去”指数：如33＋1333＋23＝3＋13＋2，53＋2353＋33＝5＋25＋3，…你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想：a3＋b3a3＋（a－b）3＝a＋ba＋（a－b），试说明此猜想的正确性．[供参考：x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)]教师详解详析1．(1)a a 2 (2)（a －4）（a ＋4）（a ＋4）2 a －4a ＋42．B [解析] 因为x 2－y 2x －y ＝（x ＋y ）（x －y ）x －y ＝x ＋y ，故知选项B 不成立，因此选B .3．(1)2x 3yz (2)－1（x －y ）2 (3)1－2x 2[解析] (1)4x 2y 6xy 2z ＝2x 3yz；(2)y －x （x －y ）3＝－（x －y ）（x －y ）3＝－1（x －y ）2； (3)1－4x 22＋4x ＝（1＋2x ）（1－2x ）2（1＋2x ）＝1－2x 2.4.x －3x ＋3 [解析] x 2－6x ＋9x 2－9＝（x －3）2（x ＋3）（x －3）＝x －3x ＋3. 5．解：(1)10a 3bc －5a 2b 3c 2＝－2a b 2c .(2)－2a （a ＋b ）3b （a ＋b ）＝－2a3b .(3)（a －x ）2（x －a ）3＝（x －a ）2（x －a ）3＝1x －a. (4)x 2－25x 2－10x ＋25＝（x ＋5）（x －5）（x －5）2＝x ＋5x －5. 6．C7．4 [解析] x 2－1x 4－1＝x 2－1（x 2－1）（x 2＋1）＝1x 2＋1，故x 2－1x 4－1不是最简分式；4x －34x ，x 2＋xy ＋y 2x ＋y ，a 2＋3ab ab －3b 2，3x －y3x ＋y是最简分式．8．解：(1)(2)是最简分式；(3)(4)不是最简分式．(3)2x －y y 2－4x 2＝2x －y －（2x －y ）（2x ＋y ）＝－12x ＋y ； (4)m 2－2m ＋11－m 2＝（m －1）2－（m ＋1）（m －1）＝－m －1m ＋1.9．2018 [解析] x 2－1x ＋1＝（x ＋1）（x －1）x ＋1＝x －1＝2019－1＝2018.10.m ＋43 1 [解析] m 2－163m －12＝（m ＋4）（m －4）3（m －4）＝m ＋43 .当m ＝－1时，原式＝－1＋43＝1. 11．5 [解析] ∵x 2＋x －2＝0， ∴x 2＋x ＝2，∴原式＝52－1＝5.12.32 [解析] ∵a ＝2b ≠0，∴a 2－b 2a 2－ab ＝（a ＋b ）（a －b ）a （a －b ）＝a ＋b a ＝2b ＋b 2b ＝32. 13．解：(1)mn ＋n 2m 2－n 2＝n （m ＋n ）（m ＋n ）（m －n ）＝n m －n . 当m ＝3，n ＝4时，原式＝43－4＝－4.(2)x 2－4x 2＋4x ＋4＝（x ＋2）（x －2）（x ＋2）2＝x －2x ＋2. 当x ＝3时，原式＝15.14．B15．A [解析] ∵x 2－3x ＋1＝0，∴x 2＝3x －1， ∴原式＝x 3x －1－x ＋1＝12.16.a （x ＋5y ）b[解析] 原式＝a （x 2－25y 2）b （x －5y ）＝a （x －5y ）（x ＋5y ）b （x －5y ）＝a （x ＋5y ）b .17．－3 [解析] 由已知2x ＋3y ＝0，得3y ＝－2x ，则x －3y x ＋3y ＝x －（－2x ）x －2x ＝3x－x＝－3. 18．1 [解析] 2x －5xy －2y y －2xy －x ＝2（x －y ）－5xy －（x －y ）－2xy ＝2xy －5xy－xy －2xy＝1.19．[解析] 已知中没有明确指出x ＋1≠0，故x ＋1仍有可能为0，所以原式的分子、分母不能同时除以x ＋1，这是产生错误的根源．解：存在错误，分式的分子、分母同除以可能为零的代数式(x ＋1)，扩大了x 的取值范围．正解：由(x ＋1)(x －2)≠0，得x ＋1≠0且x －2≠0，所以x ≠－1且x ≠2.即当x ≠－1且x ≠2时，分式x 2－1（x ＋1）（x －2）有意义．20．解：(1)2a （a －1）8ab 2（1－a ）＝－14b 2.(2)（x ＋y ）2－10（x ＋y ）＋25（x ＋y ）2－25＝[（x ＋y ）－5]2[（x ＋y ）＋5][（x ＋y ）－5]＝x ＋y －5x ＋y ＋5.21．[解析] 先化简，再将已知条件整体代入即可． 解：2x 2－2y 2x 2＋2xy ＋y 2＝2（x ＋y ）（x －y ）（x ＋y ）2＝2（x －y ）x ＋y ，将x ＋y ＝2，x －y ＝12代入2（x －y ）x ＋y ，得原式＝2×122＝12.22．解：答案不唯一，如x 2－4xy ＋4y 2x 2－4y 2＝（x －2y ）2（x ＋2y ）（x －2y ）＝x －2yx ＋2y .23．证明：∵a 3＋b 3a 3＋（a －b ）3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）（a ＋a －b ）（a 2－a 2＋ab ＋a 2－2ab ＋b 2） ＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）（a ＋a －b ）（a 2－ab ＋b 2） ＝a ＋ba ＋（a －b ），∴a 3＋b 3a 3＋（a －b ）3＝a ＋b a ＋（a －b ）正确．12.2 第1课时 分式的乘法知识点 分式的乘法1．(1)x 2y ·y x ＝（ ）·（ ）（ ）·（ ）＝________；(2)x x －2·x －2x 2＝（ ）·（ ）（ ）·（ ）＝________． 2．计算a 2b 3·2b 23a 2的结果是( )A.2a 3B.2b 3C.2bD.23b 3．计算x 2－y 2x 2－6x ＋9·2x －6x ＋y 的结果是( )A.x －y x －3B.2x －3C.2x －2y x －3D.2x －y x －3 4．下列计算中错误的是( ) A.8y 23x 2·3x 4y 3＝2xyB.x 2－4x 2－6x ＋9·x ＋3x ＋2＝x －2x ＋3C.x 2－4x x ＋3·x ＋3x －4＝xD.3x x －y ·2y x －y ＝6xy x 2－2xy ＋y 25．化简2x ＋2y 5a 2b ·10ab 2x 2－y 2的结果为________．6．计算：2a a ＋b ·a 2－b 22ab ·1a －b＝________．7．化简2x ＋2y 5a 2b ·10ab 2x 2－y 2·a (x －y )的结果为________．8．计算：(1)－m 2n 3x ·－6xy5mn 2；(2)x －2x ＋3·x 2－9x 2－4x ＋4.9．计算：m 2n 2p ·⎝⎛⎭⎫－np 22m ＝________．10．计算：(1)(－x y )·(－y x )2·x 2y ；(2)x ＋1x ·(2x x ＋1)2.11．已知x －3y ＝0，求2x ＋yx 2－2xy ＋y 2·(x －y )的值．12．请你先化简，再从－1，0，1，2中选取一个使原式有意义且你又喜欢的数代入求值：m 3－m 2m 2－m ·m ＋11－m 2.13．在学习了分式的乘法之后，老师给出了这样一道题，计算：(a＋1a)(a2＋1a2)(a4＋1a4)(a8＋1a8)·(a2－1)，同学们都感到无从下手，小明将a2－1变形为a(a－1a)，然后用平方差公式很轻松地得出结论．知道他是怎么做得吗？请你写出解题过程．教师详解详析1．(1)x 2 y y x x (2)x x －2 x －2 x 2 1x2．D3．C [解析] 原式＝（x ＋y ）（x －y ）（x －3）2·2（x －3）x ＋y ＝2x －2yx －3.故选C.4．B [解析] x 2－4x 2－6x ＋9·x ＋3x ＋2＝（x －2）（x ＋2）（x －3）2·x ＋3x ＋2＝（x －2）（x ＋3）（x －3）2＝x 2＋x －6x 2－6x ＋9.5.4b ax －ay6.1b [解析] 原式＝2a a ＋b ·（a ＋b ）（a －b ）2ab ·1a －b ＝1b. 7．4b [解析] 原式＝2（x ＋y ）5a 2b ·10ab 2（x ＋y ）（x －y ）·a(x －y)＝4b.8．解：(1)－m 2n 3x ·－6xy 5mn 2＝（－m 2n ）（－6xy ）3x·5mn 2＝6m 2nxy 15mn 2x ＝2my5n .(2)原式＝x －2x ＋3·（x ＋3）（x －3）（x －2）2＝x －3x －2.9．－mp2n10．解：(1)原式＝－x y ·y 2x 2·x 2y ＝－x 3y 2x 2y 2＝－x.(2)原式＝x ＋1x ·4x 2（x ＋1）2＝4xx ＋1.11．解：原式＝2x ＋y （x －y ）2·(x －y)＝2x ＋y x －y .当x －3y ＝0时，x ＝3y ，所以原式＝6y ＋y3y －y ＝7y 2y ＝72. 12．[解析] 原式有意义时，m 不等于－1，0，1.解：m 3－m 2m 2－m ·m ＋11－m 2＝m 2（m －1）m （m －1） ·m ＋1（1－m ）（1＋m ）＝m 1－m ，要使原式有意义，只能取m ＝2，将m ＝2代入m1－m得其值为－2.13．解：原式＝a(a －1a )(a ＋1a )(a 2＋1a 2)(a 4＋1a 4)(a 8＋1a 8)＝a(a 2－1a 2)(a 2＋1a 2)(a 4＋1a 4)(a 8＋1a 8)＝a(a 4－1a 4)(a 4＋1a 4)(a 8＋1a 8)＝a(a 8－1a 8)(a 8＋1a 8)＝a(a 16－1a 16)＝a 17－1a15.第2课时 分式的除法知识点 1 分式的除法1．(1)x y ÷1x ＝xy ·________＝________；(2)1x －1÷x x 2－1＝1x －1·________＝________． 2．2018·藁城模拟 若3－2x x －1÷( )＝1x －1，则( )中的式子为( )A ．－3B ．3－2xC ．2x －3 D.13－2x3．计算：(1)3x －6x 2－4÷x ＋2x 2＋4x ＋4； (2)2x －x 2x ÷(x 2－4)．4．化简：(xy －x 2)÷x 2－2xy ＋y 2xy ÷x 2x －y.5．上海到北京的航线全程为s 千米，乘飞机需要a 小时．而上海到北京的铁路全长为m 千米，乘火车需要b 小时．那么飞机的平均速度是火车的平均速度的多少倍？知识点 2 分式的乘除混合运算 6．计算a ÷a b ·ba 的结果是( )A ．aB ．a 2 C.1a 2 D.b 2a 7．下列式子计算后的结果等于1a3的是( )A ．a ·1a 2÷a 2 B ．a ÷⎝⎛⎭⎫1a 2÷a 2 C ．a ÷1a 2·a 2 D ．a ÷⎝⎛⎭⎫1a 2·a 2 8．计算：(1)8x 2y 4·(－3x 4y 3)÷(－x 2y 2)；(2)b 2a ＋b ÷a a 2－b 2·a 2a －b .9．使式子x ＋3x －3÷x ＋5x －4有意义的x 的值是( )A ．x ≠3且x ≠－5B ．x ≠3且x ≠4C ．x ≠4且 x ≠－5D ．x ≠3，x ≠4且x ≠－510．2018·邢台期末 给定一列分式：x 3y ，－x 5y 2，x 7y 3，－x 9y 4……(其中x ≠0)，用任意一个分式做除数，去除它后面一个分式得到的结果是________；根据你发现的规律，试写出第9个分式________．11．许老师讲完了分式的乘除一节后，给同学们出了这样一道题：若x ＝－2019，求代数式x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2x x 3＋x 2＋x ·1x ＋2的值．一会儿，小明说：“老师，这道题目中的x ＝－2019是多余的．”请你判断小明的说法是否正确．12．小明在做习题“计算：16mn 2·()÷⎝⎛⎭⎫－8m 2n 33”时，由于不小心，“”处的代数式被污损看不清楚了，他翻开书，得知后面的答案为“5mn 2”，则“”处的代数式为________．教师详解详析1．(1)x x 2y (2)x 2－1x x ＋1x2．B [解析] ∵3－2x x －1÷( )＝1x －1，∴3－2x x －1÷1x －1＝3－2xx －1×(x －1)＝3－2x . ∴( )中式子为3－2x .3．解：(1)原式＝3（x －2）（x －2）（x ＋2）·（x ＋2）2x ＋2＝3.(2)原式＝2x －x 2x ·1x 2－4＝x （2－x ）x ·1（x ＋2）（x －2）＝－1x ＋2.4．解：原式＝－x(x －y)·xy（x －y ）2·x －y x 2＝－y. 5．解：s a ÷m b ＝s a ·b m ＝bs am.答：飞机的平均速度是火车的平均速度的bsam 倍．6．D [解析] 原式＝a·b a ·b a ＝b 2a.7．A [解析] A 项，原式＝1a ·1a 2＝1a 3，符合要求；B 项，原式＝a÷⎝⎛⎭⎫1a 2·1a 2＝a÷1a 4＝a·a 4＝a 5，不符合要求；C 项，原式＝a·a 2·a 2＝a 5，不符合要求；D 项，原式＝a÷1＝a ，不符合要求．8．解：(1)原式＝8x 2y 4·(－3x 4y 3)·(－2x 2y )＝12x.(2)原式＝b 2a ＋b ·（a ＋b ）（a －b ）a ·a 2a －b ＝ab 2.9．D [解析] 由题意，得x －3≠0，x －4≠0，x ＋5≠0，解得x ≠3，x ≠4，x ≠－5. 10．－x 2y x 19y911．解：小明的说法正确． 因为x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2x x 3＋x 2＋x ·1x ＋2＝ （x ＋2）（x －2）x 2＋x ＋1·x （x 2＋x ＋1）x （x －2）·1x ＋2＝1，即当x ≠0且x ≠±2时，分式的值都是1，所以小明的说法是正确的． 12．－5m 26n[解析] 5m n 2·⎝⎛⎭⎫－8m 2n 33÷16mn 2＝5m n 2·⎝⎛⎭⎫－8m 2n 33·116mn 2＝－8m 2n 3·5m 3×16mn 2·n 2＝－5m 26n .12.3 第1课时 分式的加减知识点 1 同分母分式的加减1．(1)1a ＋2a ＝（ ）＋（ ）a ＝________；(2)a ＋3a ＋2－a －1a ＋2＝（ ）－（ ）a ＋2＝________； (3)a a －5＋55－a ＝a a －5－________＝（ ）a －5＝________． 2．2017·大连 计算3x （x －1）2－3（x －1）2的结果是( )A.x （x －1）2B.1x －1C.3x －1D.3x ＋13．下列计算正确的是( ) A.1a ＋1a ＝12aB.1（a －b ）2＋1（b －a ）2＝0C.m －n a －m ＋n a ＝0D.1a －b ＋1b －a ＝0 4．计算：(1)2a －1a ＋1a ＝________；(2)x 2x －2＋42－x ＝________； (3)a ＋b a －b －a b －a －b a －b ＝________． 5．填空：1a 2－1＋________＝a －2a 2－1；________－32xy ＝42xy. 6．2018·宣化模拟若y ＝－x ＋3，且x ≠y ，则x 2x －y ＋y 2y －x 的值为________．7．计算：(1)2x x －2－3x －2x －2；(2)a 2－1a 2－2a ＋4a －52a －a 2.知识点 2 分式的通分8．将分式1a ＋b ，a a 2－b 2，bb －a 通分时，应选的公分母是( )A ．(a 2－b 2)(a ＋b )(a －b )B ．(a 2－b 2)(a ＋b )C ．(a 2－b 2)(b －a )D ．a 2－b 2 9．将b 3a ，－ab2c 通分可得__________．10．通分：(1)a 2b ，25a 2b 2c ； (2)1x 2－x ，－1x 2－2x ＋1.知识点 3 异分母分式的加减11．(1)1a ＋1b ＝（ ）ab ＋a （ ）＝a ＋b （ ）；(2)1x －1－1x ＝（ ）x （x －1）－x －1（ ）＝1（ ）. 12．分式1x ＋1x （x －1）的化简结果为( )A ．x B.1x 2 C.1x －1 D.xx －113．化简a b －b a －a 2＋b 2ab 的结果是( )A ．0B ．－2bC ．－2b a D.2ba14．计算：a a ＋2－4a 2＋2a＝________．15．某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树m 棵，实际每小时植树的棵数比原计划每小时植树的棵数多10棵，那么实际比原计划提前了________小时完成任务．(用含m 的代数式表示)16．下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题． 解：2x ＋2－x －6x 2－4＝2（x －2）（x ＋2）（x －2）－x －6（x ＋2）（x －2）…第一步＝2(x －2)－x ＋6…第二步 ＝2x －4－x ＋6…第三步 ＝x ＋2.…第四步小明的解法从第__________步开始出现错误，正确的化简结果是__________． 17．计算：(1)a ＋b ab －b ＋cbc ；(2)2x －2－8x 2－4；(3)x 2－2x ＋1x 2－1＋2x ＋1.18．计算：a a ＋b －c ＋b b －c ＋a ＋c c －a －b＝________．19．甲、乙两人同时从A 地出发到B 地，如果甲的速度v 保持不变，而乙先用12v 的速度到达中点，再用2v 的速度到达B 地，那么下列结论中正确的是( )A ．甲、乙同时到达B 地 B ．甲先到达B 地C ．乙先到达B 地D ．谁先到达B 地与速度v 有关20．已知3x －5（x －3）（x ＋1）＝a x －3＋bx ＋1，则a 2＋b 2的值是________．21．某水果店原来苹果的进价为a 元/千克(a ＞2)，每千克加价2元售出，现在苹果的进价上涨了b 元/千克，该水果店打算在原零售价的基础上再上涨b 元/千克，那么：(1)原来苹果的利润率是多少？ (2)现在苹果的利润率是多少？ (3)苹果的利润率是提高了还是降低了？22．(1)计算11－x ＋11＋x的值；(2)通过以上计算请你用一种你认为比较简便的方法计算m 的值：m ＝11－x ＋11＋x＋21＋x 2＋41＋x 4.23．教材复习题B 组第2题变式我们把分子为1的分数叫做单位分数，如12，13，14，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如12＝13＋16，13 ＝14＋112，14＝15＋120，… (1)根据对上述式子的观察，你会发现15＝1□＋1○，请写出□，○所表示的数(□＜○)；(2)进一步思考，单位分数1n ＝1△＋1☆，(n 是不小于2的正整数)请写出△，☆所表示的式子(△＜☆)，并对等式加以验证．教师详解详析1．(1)1 2 3a (2)a ＋3 a －1 4a ＋2(3)5a －5 a －5 1 2．C3．D [解析] 1a ＋1a ＝2a ，故A 选项错误；1（a －b ）2＋1（b －a ）2＝2（a －b ）2，故B 选项错误；m －n a －m ＋n a ＝（m －n ）－（m ＋n ）a ＝－2n a ，故C 选项错误；1a －b ＋1b －a ＝1a －b －1a －b＝0，故D 选项正确． 4．(1)2 (2)x ＋2 (3)2aa －b5.a －3a 2－1 72xy [解析] a －2a 2－1－1a 2－1＝a －2－1a 2－1＝a －3a 2－1；42xy ＋32xy ＝72xy. 6．3 [解析] 由y ＝－x ＋3，得x ＋y ＝3，原式＝x 2x －y －y 2x －y ＝x 2－y 2x －y ＝（x ＋y ）（x －y ）x －y ＝x ＋y ＝3.7．解：(1)原式＝2x －（3x －2）x －2＝－x ＋2x －2＝－1.(2)原式＝a 2－1－4a ＋5a 2－2a ＝（a －2）2a （a －2）＝a －2a .8．D 9.2bc 6ac ，－3a 2b6ac[解析] ∵两个分式的分母分别为3a ，2c ， ∴各系数的最小公倍数为3×2＝6. 又∵a ，c 的最高次数为1，∴最简公分母为6ac .将b 3a ，－ab 2c 通分可得2bc 6ac ，－3a 2b 6ac . 10．解：(1)a 2b ＝5a 3bc 10a 2b 2c ，25a 2b 2c ＝410a 2b 2c .(2)1x 2－x ＝x －1x （x －1）2，－1x 2－2x ＋1＝－xx （x －1）2. 11．(1)b ab ab (2)x x (x －1) x (x －1)12．C [解析] 原式＝x －1x （x －1）＋1x （x －1）＝x －1＋1x （x －1）＝x x （x －1）＝1x －1.13．C [解析] 原式＝a 2－b 2－a 2－b 2ab ＝－2ba.14.a －2a [解析] a a ＋2－4a 2＋2a ＝a a ＋2－4a （a ＋2）＝a 2a （a ＋2）－4a （a ＋2）＝a 2－4a （a ＋2）＝（a ＋2）（a －2）a （a ＋2）＝a －2a .15.2400m （m ＋10）[解析] 根据题意，得240m －240m ＋10＝240（m ＋10）m （m ＋10）－240m m （m ＋10）＝2400m （m ＋10）.16．二1x －2 [解析] 2x ＋2－x －6x 2－4＝2（x －2）（x ＋2）（x －2）－x －6（x ＋2）（x －2）＝2（x －2）－（x －6）（x ＋2）（x －2）＝2x －4－x ＋6（x ＋2）（x －2）＝x ＋2（x ＋2）（x －2）＝1x －2.于是可得，小明的解法从第二步开始出现错误，正确的化简结果是1x －2.17．解：(1)原式＝c （a ＋b ）abc －a （b ＋c ）abc ＝（ac ＋bc ）－（ab ＋ac ）abc ＝bc －ab abc ＝c －aac .(2)原式＝2（x ＋2）（x －2）（x ＋2）－8（x －2）（x ＋2）＝2（x ＋2）－8（x －2）（x ＋2）＝2（x －2）（x －2）（x ＋2）＝2x ＋2.(3)原式＝（x －1）2（x ＋1）（x －1）＋2x ＋1＝x －1x ＋1＋2x ＋1＝x ＋1x ＋1＝1.18．1 [解析] a a ＋b －c ＋b b －c ＋a ＋c c －a －b ＝a a ＋b －c ＋b a ＋b －c －ca ＋b －c ＝a ＋b －c a ＋b －c＝1.19．B [解析] 设从A 地到B 地的距离为2s ，因为甲的速度v 保持不变，∴甲所用的时间为2s v .∵乙先用12v 的速度到达中点，再用2v 的速度到达B 地，∴乙所用的时间为s 12v ＋s 2v ＝2s v ＋s 2v >2sv ，∴甲先到达B 地．故选B .20．5 [解析]a x －3＋bx ＋1＝（a ＋b ）x ＋（a －3b ）（x －3）（x ＋1）＝3x －5（x －3）（x ＋1），所以⎩⎨⎧a ＋b ＝3，a －3b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，所以a 2＋b 2＝5. 21．解：(1)原来苹果的利润率是2a .(2)现在苹果的利润率是2＋ba ＋b.(3)2＋b a ＋b －2a ＝ab －2b a （a ＋b ）＝b （a －2）a （a ＋b ）＞0， 因此苹果的利润率提高了．22．解：(1)原式＝1＋x ＋1－x 1－x 2＝21－x 2. (2)原式＝21－x 2＋21＋x 2＋41＋x 4＝41－x 4＋41＋x 4＝81－x 8.23．解：(1)15＝16＋130，所以□＝6，○＝30. (2)△＝n ＋1，☆＝n(n ＋1)， 可得1n ＝1n ＋1＋1n （n ＋1），右边＝n n （n ＋1）＋1n （n ＋1）＝n ＋1n （n ＋1）＝1n＝左边，所以等式成立．12.3 第2课时 分式的混合运算知识点 1 分式的加减运算 1．化简1x ＋1－1x －1的结果是( )A.2x 2－1 B ．－2x 2－1 C.2x x 2－1 D ．－2x x 2－1 2．化简2x x 2＋2x －x －6x 2－4的结果为( )A.1x 2－4B.1x 2＋2xC.1x －2 D.x －6x －23．甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地到乙地按每小时v 千米的速度行驶，可按时到达；若每小时多行驶a 千米，则可提前________小时到达(填写最简结果)．4．计算：(1)x x 2－4－12x －4；(2)9x －3－x －3；(3)1x －x x －1＋1x 2－x .知识点 2 分式的混合运算5．(1)计算y a －xy ÷a 时，应先算________法，得________，再算________法，结果为________．(2)计算(a －b 2a )·aa －b 时，应先算________法，得________，再算________法，结果为________．6．化简x －4x 2－9÷⎝⎛⎭⎫1－1x －3的结果是( )A ．x －4B ．x ＋3 C.1x －3 D.1x ＋37．当m ＝－5时，分式⎝⎛⎭⎫m ＋2－5m －2·2m －43－m 的值是________． 8．计算：a a －2÷(1＋4a 2－4)＝________．9．计算：(1)⎝⎛⎭⎫x x －1－1x 2－x ÷(x ＋1)；(2)⎝⎛⎭⎫a a ＋2＋1a 2－4÷a －1a ＋2；(3)a －b a ＋2b ÷a 2－b 2a 2＋4ab ＋4b 2－1.10．计算：(1)(a ＋2－5a －2)·2a －43－a ；(2)(x 2x －1－x ＋1)÷4x 2－4x ＋11－x .11．2017·南通 先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫m ＋2－5m －2·2m －43－m ，其中m ＝－12.12．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫a a －b －1÷ba 2－b 2，其中a ＝1＋π，b ＝1－π.13．计算⎝⎛⎭⎫1－11－a ⎝⎛⎭⎫1a 2－1的结果为( ) A ．－a ＋1a B.a －1a C.a1－a D.a ＋11－a14．一项工作，甲单独完成需a 小时，乙单独完成需b 小时，则甲、乙两人合作完成需要( )A.⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 小时B.1ab 小时 C.1a ＋b 小时 D.ab a ＋b小时 15．教材复习题C 组第1题变式已知1x －1y ＝5，则分式2x ＋3xy －2y x －2xy －y 的值为( )A ．1B ．5 C.137 D.13316．(1)化简：(3a ＋1＋a ＋3a 2－1)÷aa －1；(2)若(1)中a 为正整数，分式的值也为正整数，请直接写出所有符合条件的a 的值．17．教材习题A 组第2题变式先化简⎝⎛⎭⎫1－1x －1÷x 2－4x ＋4x 2－1，再从不等式2x －1＜6的正整数解中选一个适当的数代入求值．18．若5x ＋4x 2＋x －2＝A x －1＋Bx ＋2，求A ，B .19．在数学运算中，同学们发现一类特殊的等式．例如：2＋21＝2×21，3＋32＝3×32，4＋43＝4×43，5＋54＝5×54，… (1)特例验证：请再写出一个具有上述特征的等式：________． (2)猜想结论：用含n (n 为正整数)的式子表示上述等式为：________．(3)证明推广：(2)中的等式一定成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由．教师详解详析1．B [解析]1x ＋1－1x －1＝x －1（x ＋1）（x －1）－x ＋1（x ＋1）（x －1）＝x －1－x －1（x ＋1）（x －1）＝－2（x ＋1）（x －1）＝－2x 2－1.2．C [解析] 原式＝2x ＋2－x －6（x ＋2）（x －2）＝2（x －2）－（x －6）（x ＋2）（x －2）＝x ＋2（x ＋2）（x －2）＝1x －2.3.sa v （v ＋a ） [解析] s v －s v ＋a ＝s v ＋sa －s v v （v ＋a ）＝sav （v ＋a ）.4．解：(1)原式＝2x －（x ＋2）2（x ＋2）（x －2）＝12x ＋4.(2)原式＝9－（x ＋3）（x －3）x －3＝18－x 2x －3.(3)原式＝x －1x （x －1）－x 2x （x －1）＋1x （x －1）＝x －1－x 2＋1x （x －1） ＝－x （x －1）x （x －1）＝－1.5．(1)除 y a －xay 减 y 2－x ay(2)减 a 2－b 2a ·aa －b乘 a ＋b6．D [解析] x －4x 2－9 ÷⎝⎛⎭⎫1－1x －3＝x －4（x ＋3）（x －3） ÷x －3－1x －3＝x －4（x ＋3）（x －3） ·x －3x －4＝1x ＋3. 7．4 [解析] 原式＝m 2－4－5m －2 ·2（m －2）－（m －3）＝（m ＋3）（m －3）（m －2） ·2（m －2）－（m －3）＝－2(m＋3)．当m ＝－5时，原式＝－2×(－5＋3)＝－2×(－2)＝4.8.a ＋2a [解析] 原式＝a a －2÷a 2－4＋4a 2－4＝a a －2·（a ＋2）（a －2）a 2＝a ＋2a . 9．解：(1)原式＝⎣⎡⎦⎤x 2x （x －1）－1x 2－x ·1x ＋1＝x 2－1x （x －1）·1x ＋1＝1x.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2－2a （a ＋2）（a －2）＋1（a ＋2）（a －2） ·a ＋2a －1＝（a －1）2（a ＋2）（a －2） ·a ＋2a －1＝a －1a －2. (3)原式＝a －b a ＋2b ·（a ＋2b ）2（a ＋b ）（a －b ）－1＝a ＋2b a ＋b －1＝a ＋2b －（a ＋b ）a ＋b ＝ba ＋b .10．解：(1)原式＝a 2－4－5a －2·2a －43－a ＝()a ＋3()a －3a －2·2()a －23－a ＝－2(a ＋3)＝－2a －6.(2)原式＝x 2－（x 2－2x ＋1）x －1÷（2x －1）21－x ＝2x －1x －1·1－x （2x －1）2＝－12x －1.11．解：⎝⎛⎭⎫m ＋2－5m －2 ·2m －43－m ＝m 2－4－5m －2 ·2（m －2）3－m ＝－（m ＋3）（m －3）m －2·2（m －2）m －3＝－2(m ＋3)．把m ＝－12代入，得原式＝－2×⎝⎛⎭⎫－12＋3＝－5. 12．解：⎝⎛⎭⎫a a －b －1÷ba 2－b2＝⎝⎛⎭⎪⎫a a －b －a －b a －b ·（a ＋b ）（a －b ）b＝b a －b·（a ＋b ）（a －b ）b＝a ＋b .当a ＝1＋π，b ＝1－π时， 原式＝1＋π＋1－π＝2.13．A [解析] 原式＝1－a －11－a ·1－a 2a 2＝－a 1－a ·（1－a ）（1＋a ）a 2＝－a ＋1a . 14．D [解析] 1÷⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝1÷a ＋b ab ＝aba ＋b(时)． 15．A [解析] 将已知等式整理，得y －xxy＝5，即x －y ＝－5xy ，则原式＝2（x －y ）＋3xy x －y －2xy ＝－10xy ＋3xy－5xy －2xy＝1.16．解：(1)原式＝4a a 2－1·a －1a ＝4a ＋1. (2)由分式的值为正整数可得：a ＋1的值为1或2或4，解得a ＝0或a ＝1或a ＝3.因为a 为正整数，所以a ≠0；当a ＝1时，分式无意义，所以a ≠1，所以a 的值为3.17．解：⎝⎛⎭⎫1－1x －1÷x 2－4x ＋4x 2－1＝x －2x －1·（x ＋1）（x －1）（x －2）2＝x ＋1x －2.∵2x －1＜6，∴2x ＜7，∴x ＜72.由题意，知x ≠±1且x ≠2，所以正整数x 只能取3. 把x ＝3代入上式，得原式＝3＋13－2＝4.18．解：∵A x －1＋Bx ＋2＝A （x ＋2）＋B （x －1）（x －1）（x ＋2）＝Ax ＋2A ＋Bx －B（x －1）（x ＋2）＝（A ＋B ）x ＋（2A －B ）x 2＋x －2，∴5x ＋4x 2＋x －2＝（A ＋B ）x ＋（2A －B ）x 2＋x －2，比较得⎩⎨⎧A ＋B ＝5，2A －B ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝2.19．解：(1)6＋65＝6×65.(2)n ＋1＋n ＋1n ＝(n ＋1)·n ＋1n .(3)等式成立，证明如下： 左边＝n 2＋n n ＋n ＋1n ＝n 2＋2n ＋1n ，右边＝（n ＋1）2n ＝n 2＋2n ＋1n .∴左边＝右边，等式成立．12.4 分式方程知识点 1 分式方程的有关概念 1．下列方程不是分式方程的是( ) A.x －3x ＝1 B.x x ＋1＋1x －1＝1C.3x ＋4y ＝2D.12－x －23＝x 2．已知x ＝2是分式方程kx x －1－2k x ＝2的解，那么k 的值为( )A ．2B ．1C ．0D ．－1 知识点 2 解分式方程3．2018·衡水模拟 在解分式方程3x －1＋x ＋21－x＝2时，去分母后变形正确的是( )A ．3－(x ＋2)＝2(x －1)B ．3－x ＋2＝2(x －1)C ．3－(x ＋2)＝2D ．3＋(x ＋2)＝2(x －1)4．2018·哈尔滨 方程12x ＝2x ＋3的解为( )A ．x ＝－1B ．x ＝0C ．x ＝35D ．x ＝15．2018·安国期末 分式方程6x －1＝x ＋5x （x －1）有增根，则增根为( )A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x ＝1或x ＝0D ．x ＝－56．2017·齐齐哈尔模拟 若关于x 的分式方程x x －2＝2＋ax －2的解为正数，则a 的取值范围是( )A ．a ＞4B ．a ＜4C ．a ＜4且a ≠2D ．a ＜2且a ≠07．当x ＝________时，分式x ＋3x －1的值等于2. 8．若分式2x －1与3x ＋3的值相等，则x ＝_______________.9．在解分式方程x x －3＝2＋3x －3时，雷希同学的解法如下：解：方程两边同时乘(x －3)，得x ＝2＋3，……① 解得x ＝5，……②经检验，x ＝5是原方程的解．……③。

14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式01 基础题知识点1 平方差公式几何意义1.将图甲中阴影部分小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形面积关系得到数学公式是(a ＋b)·(a－b)＝a 2－b2.2.如图1，从边长为a 正方形纸片中剪去一个边长为b 小正方形，再沿着线段AB 剪开，把剪成两张纸片拼成如图2等腰梯形.图1 图2(1)设图1中阴影部分面积为S 1，图2中阴影部分面积为S 2，请直接用含a ，b 代数式表示S 1，S 2；(2)请写出上述过程所揭示乘法公式.解：(1)S 1＝a 2－b 2，S 2＝12(2b ＋2a)(a －b)＝(a ＋b)(a －b). (2)(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2.知识点2 直接利用平方差公式计算3.在下列多项式乘法中，可以用平方差公式进行计算是(B ) A .(x ＋1)(1＋x) B .(12a ＋b)(b －12a)C .(－a ＋b)(a －b)D .(x 2－y)(x ＋y 2)4.下列计算正确是(C )A .(a ＋3b)(a －3b)＝a 2－3b 2B .(－a ＋3b)(a －3b)＝－a 2－9b 2C .(－a －3b)(a －3b)＝－a 2＋9b 2D .(－a －3b)(a ＋3b)＝a 2－9b 25.计算：(1)(1－12a)(1＋12a)＝1－14a 2； (2)(－x －2y)(2y －x)＝x 2－4y 2.6.计算：(1)(14a －1)(14a ＋1)； 解：原式＝116a 2－1. (2)(－3a －12b)(3a －12b)； 解：原式＝(－12b)2－(3a)2＝14b 2－9a 2. (3)(－3x 2＋y 2)(y 2＋3x 2)；解：原式＝(y 2)2－(3x 2)2＝y 4－9x 4.(4)(x ＋2)(x －2)(x 2＋4).解：原式＝(x 2－4)(x 2＋4)＝x 4－16.知识点3 利用平方差公式解决问题7.若x 2－y 2＝20，且x ＋y ＝－5，则x －y 值是(C )A .5B .4C .－4D .以上都不对8.利用平方差公式直接写出结果：5013×4923＝2_49989.(1)1 007×993；解：原式＝(1 000＋7)×(1 000－7)＝1 0002－72＝999 951.(2)2 016×2 018－2 0172.解：原式＝(2 017－1)×(2 017＋1)－2 0172＝2 0172－1－2 0172＝－1.10.(宁波中考)先化简，再求值：(x ＋1)(x －1)＋x(3－x)，其中x ＝2.解：原式＝x 2－1＋3x －x 2＝3x －1.当x ＝2时，原式＝3×2－1＝5.02 中档题11.若(2x ＋3y)(mx －ny)＝9y 2－4x 2，则(B )A .m ＝2，n ＝3B .m ＝－2，n ＝－3C .m ＝2，n ＝－3D .m ＝－2，n ＝312.计算(x 2＋14)(x ＋12)(x －12)结果为(B ) A .x 4＋116 B .x 4－116 C .x 4－12x 2＋116 D .x 4－18x 2＋11613.两个正方形边长之和为5，边长之差为2，那么用较大正方形面积减去较小正方形面积，差是10.14.若(x ＋3)(x －3)＝x 2－mx －n ，则m ＝0，n ＝9.(1)(－x －y)(x －y)；解：原式＝(－y)2－x 2＝y 2－x 2.(2)(a ＋2b)(a －2b)－12b(a －8b)； 解：原式＝a 2－(2b)2－12ab ＋4b 2 ＝a 2－12ab. (3)(2x －y)(y ＋2x)－(2y ＋x)(2y －x).解：原式＝4x 2－y 2－(4y 2－x 2)＝4x 2－y 2－4y 2＋x 2＝5x 2－5y 2.16.先化简，再求值：(1)(a ＋b)(a －b)＋2a 2，其中a ＝1，b ＝2；解：原式＝a 2－b 2＋2a 2＝3a 2－b 2.当a ＝1，b ＝2时，原式＝3－(2)2＝1.(2)(北京中考)已知2a 2＋3a －6＝0，求式子3a(2a ＋1)－(2a ＋1)(2a －1)值.解：原式＝6a 2＋3a －4a 2＋1＝2a 2＋3a ＋1，∵2a 2＋3a －6＝0，∴2a 2＋3a ＝6.∴原式＝7.17.解方程：(3x)2－(2x ＋1)(3x －2)＝3(x ＋2)(x －2).解：9x2－(6x2－4x＋3x－2)＝3(x2－4)，9x2－6x2＋4x－3x＋2＝3x2－12，x＝－14.03综合题18.(1)(百色中考)观察下列各式规律：(a－b)(a＋b)＝a2－b2(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4…可得到(a－b)(a2 016＋a2 015b＋…＋ab2 015＋b2 016)＝a2_017－b2_017；(2)猜想：(a－b)(a n－1＋a n－2b＋…＋ab n－2＋b n－1)＝a n－b n(其中n为正整数，且n≥2)；(3)利用(2)猜想结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2.解：原式＝13[2－(－1)][29＋28×(－1)＋27×(－1)2＋…＋21×(－1)8＋(－1)9＋1]＝13[2－(－1)][29＋28×(－1)＋27×(－1)2＋…＋21×(－1)8＋(－1)9]＋1＝13(210－1)＋1＝342.。

11.1 与三角形有关线段11.1.1 三角形边01基础题知识点1三角形概念1.一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形,其中符合三角形概念是(D)2.如图所示,∠BAC对边是(C)A.BDB.DCC.BCD.AD3.如图所示.(1)图中共有多少个三角形？(2)写出其中以EC为边三角形；(3)若有一个公共角两个三角形称为一对“共角三角形”,则以∠B为公共角“共角三角形”有哪些？解：(1)图中共有5个三角形.(2)△ACE,△DCE,△BCE.(3)△DBE与△CBE,△CBA与△CBE,△DBE与△CBA.知识点2三角形分类4.下列关于三角形按边分类图示中,正确是(D)5.下列说法正确是(B)A.所有等腰三角形都是锐角三角形B.等边三角形属于等腰三角形C.不存在既是钝角三角形又是等腰三角形三角形D.一个三角形里有两个锐角,则一定是锐角三角形6.如图,图中三角形被木板遮住了一部分,这个三角形是(D)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能知识点3三角形三边关系7.已知a,b,c是三角形三边长,则下列不等式中不成立是(B)A.a＋b＞cB.a－b＞cC.b－c＜aD.b＋c＞a8.(岳阳中考)下列长度三根小木棒能构成三角形是(D)A.2 cm,3 cm,5 cmB.7 cm,4 cm,2 cmC.3 cm,4 cm,8 cmD.3 cm,3 cm,4 cm9.(崇左中考)如果一个三角形两边长分别为2和5,那么第三边长可能是(C)A.2B.3C.5D.810.(怀化中考改编)等腰三角形两边长分别为4 cm和8 cm,求它周长.解：若4 cm边长为腰,8 cm边长为底,4＋4＝8,由三角形三边关系知,该等腰三角形不存在；若8 cm边长为腰,4 cm边长为底,则满足三角形三边关系,且等腰三角形周长为：8＋8＋4＝20(cm).02中档题11.如图,图中三角形个数是(C)A.3B.4C.5D.612.下列长度三条线段能组成三角形是(A)A.5,6,10B.5,6,11C.3,4,8D.4a,4a,8a(a＞0)13.已知三角形两边长为6和8,则第三边长x取值范围是(C)A.x>2B.x<14C.2<x<14D.2≤x≤1414.有四条线段,长分别为3 cm.5 cm.7 cm.9 cm,如果用这些线段组成三角形,可以组成3个三角形.15.已知三角形两边长分别为2 cm和7 cm,最大边长为a cm,则a取值范围是7≤a＜9.16.(大庆中考)如图,①是一个三角形,分别连接这个三角形三边中点得到图形②,再连接图②中间小三角形三边中点得到图③,按这样方法进行下去,第n个图形中共有三角形个数为(4n－3).17.(教材P3例题改编)用一条长为25 cm绳子围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边长2倍,那么三角形各边长是多少？(2)能围成有一边长是6 cm等腰三角形吗？为什么？解：(1)设底边长为x cm,则腰长为2x cm,根据题意,得2x＋2x ＋x＝25.解得x＝5.∴三角形三边长分别为：10 cm,10 cm,5 cm.(2)若长为6 cm边是腰,则底边长为：25－6×2＝13 cm.∵6＋6<13,∴不能围成三角形,即长为6 cm边不能为腰长；若长为6 cm边是底边,则腰长为：(25－6)÷2＝9.5,满足三角形三边关系.综上所述,能围成底边长是6 cm等腰三角形,且三角形三边长分别为9.5 cm,9.5 cm,6 cm.18.已知a,b,c是△ABC三边长.(1)若a,b,c满足|a－b|＋|b－c|＝0,试判断△ABC形状；(2)若a,b,c满足(a－b)(b－c)＝0,试判断△ABC形状；(3)化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|.解：(1)∵|a－b|＋|b－c|＝0,∴a－b＝0且b－c＝0.∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形.(2)∵(a －b)(b －c)＝0,∴a －b ＝0或b －c ＝0.∴a ＝b 或b ＝c.∴△ABC 为等腰三角形.(3)∵a,b,c 是△ABC 三边长,∴a －b －c ＜0,b －c －a ＜0,c －a －b ＜0.∴原式＝－a ＋b ＋c －b ＋c ＋a －c ＋a ＋b＝a ＋b ＋c.03 综合题19.已知等腰三角形周长为20 cm ,设腰长为x cm .(1)用含x 代数式表示底边长；(2)腰长x 能否为5 cm ,为什么？(3)求x 范围.解：(1)底边长为(20－2x) cm .(2)若腰长为5 cm ,则底边长为20－2×5＝10(cm ).∵5＋5＝10,不满足三角形三边关系,∴腰长不能为5 cm .(3)根据题意,得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，20－2x>0.解得0<x<10. 由三角形三边关系,得x ＋x>20－2x.解得x>5.综上所述,x 范围是5<x<10.11.1.2 三角形高.中线与角平分线11.1.3 三角形稳定性01 基础题知识点1 三角形高1.如果一个三角形两边上高交点在三角形内部,那么这个三角形是(A )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形2.如图,AD⊥BC于D,那么图中以AD为高三角形有6个.3.如图,△ABC中,∠C＝90°.(1)指出图中BC,AC边上高；(2)画出AB边上高CD；(3)若BC＝3,AC＝4,AB＝5,求AB边上高CD长.解：(1)BC边上高是AC,AC边上高是BC.(2)如图所示.(3)∵S△ABC＝12A C·BC＝12AB·CD,∴3×4＝5CD.∴CD＝2.4.知识点2三角形中线4.如图,D.E分别是△ABC边AC.BC中点,那么下列说法中不正确是(D)A.DE是△BCD中线B.BD是△ABC中线C.AD＝DC,BE＝ECD.AD＝EC,DC＝BE5.三角形一边上中线把原三角形一定分成两个(B)A.形状相同三角形B.面积相等三角形C.直角三角形D.周长相等三角形6.三角形三条中线相交于一点,这个点一定在三角形内部,这个点叫做三角形重心.7.如图,AD是△ABC一条中线,若BD＝3,则BC＝6.知识点3三角形角平分线8.如图所示,AD是△ABC角平分线,AE是△ABD角平分线.若∠BAC ＝80°,则∠EAD度数是(A)A.20°B.30°C.45°D.60°9.如图所示,∠1＝∠2,∠3＝∠4,则下列结论正确有(C)①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC.A.4个B.3个C.2个D.1个10.如图,D是△ABC中BC边上一点,DE∥AC交AB于点E,若∠EDA＝∠EAD,试说明AD是△ABC角平分线.证明：∵DE∥AC,∴∠EDA＝∠CAD.∵∠EDA＝∠EAD,∴∠CAD＝∠EAD.∴AD是△ABC角平分线.知识点4三角形稳定性11.如图,工人师傅砌门时,常用木条EF固定长方形门框ABCD,使其不变形,这样做根据是(C)A.两点之间线段最短B.两点确定一条直线C.三角形具有稳定性D.长方形四个角都是直角12.如图所示是一幅电动伸缩门图片,电动门能伸缩几何原理是四边形不稳定性.02中档题13.下列有关三角形说法：①中线.角平分线.高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于一点；④三条高必在三角形内.其中正确是(B)A.①②B.①③C.②④D.③④14.如图,在△ABC中,AB＝5厘米,BC＝3厘米,BM为中线,则△ABM 与△BCM周长之差是2厘米.15.如图,六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF,要使框架稳固且不活动,至少还需要添3根木条.16.(原创题)如图是甲.乙.丙三位同学折纸示意图,你能分析出他们各自折纸意图吗？简述你判断理由.解：甲折出是BC边上高AD,由图可知∠ADC＝∠ADC′,∴∠ADC＝90°,即AD为BC边上高.乙折出是∠BAC平分线AD,由图可知∠CAD＝∠C′AD,即AD平分∠BAC.丙折出是BC边上中线AD,由图可知CD＝BD,∴AD是BC边上中线.17.如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,BC＝12,AC＝8,AD＝6,BE 长为多少？解：∵S △ABC ＝12BC·AD＝12×12×6＝36, 又∵S △ABC ＝12AC·BE , ∴12×8×BE ＝36,即BE ＝9. 18.如图,AD 是∠CAB 平分线,DE ∥AB,DF ∥AC,EF 交AD 于点O.请问：DO 是∠EDF 平分线吗？如果是,请给予证明；如果不是,请说明理由.解：DO 是∠EDF 平分线.证明：∵AD 是∠CAB 平分线,∴∠EAD ＝∠FAD.∵DE ∥AB,DF ∥AC,∴∠EDA ＝∠FAD,∠FDA ＝∠EAD.∴∠EDA ＝∠FDA,即DO 是∠EDF 平分线.19.如图,网格小正方形边长都为1,在△ABC 中,标出三角形重心位置,并猜想重心将中线分成两段线段之间关系.解：如图所示,AB 与AC 两边中线交点D 即为重心.重心将每条中线分成1∶2两部分,BD ＝2ED,CD ＝2DF.03 综合题20.(娄底中考改编)如图,已知在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°,点D 沿BC 自B 向C 运动(点D 与点B.C 不重合),作BE ⊥AD 于E,CF ⊥AD 于F,在D 点运动过程中,试判断BE ＋CF 值是否发生改变？解：由S △ABC ＝S △ACD ＋S △ABD ,得 12AB·BC＝12AD·CF＋12AD·BE＝12AD·(CF＋BE). ∵△ABC 面积不变,且点D 由点B 运动到点C,AD 长度逐渐变大, ∴BE ＋CF 值逐渐减小.11.2.2 三角形外角01 基础题知识点1 认识外角1.如图所示,∠ACD 是△ABC 一个外角.2.如图,以∠AOD 为外角三角形是△AOB 和△COD .知识点2 三角形内角和定理推论 3.若三角形一个外角等于和它相邻内角,则这个三角形是(B )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.都有可能4.如图,在△ABC中,点D在CB延长线上,∠A＝70°,∠ABD＝120°,则∠C等于(B)A.40°B.50°C.60°D.70°5.如图,∠A＝65°,∠B＝45°,则∠ACD＝110°.6.已知△ABC三个内角度数之比是1∶2∶3,则三个外角对应度数之比是5∶4∶3.7.求出图中x值.解：由图知x＋80＝x＋(x＋20).解得x＝60.知识点3三角形内角和定理推论与平行线性质.三角形角平分线8.(红河中考)如图,AB∥CD,∠D＝∠E＝35°,则∠B度数为(C)A.60°B.65°C.70°D.75°9.(昆明中考)如图,在△ABC中,∠A＝50°,∠ABC＝70°,BD平分∠ABC,则∠BDC度数是(A)A.85°B.80°C.75°D.70°10.(温州中考)如图,直线AB,CD被BC所截,若AB∥CD,∠1＝45°,∠2＝35°,则∠3＝80度.02中档题11.(内江中考)将一副直角三角板如图放置,使含30°角三角板直角边和含45°角三角板一条直角边在同一条直线上,则∠1度数为(A)A.75°B.65°C.45°D.30°12.(乐山中考改编)如图,CE是△ABC外角∠ACD平分线,若∠B＝35°,∠ACE＝60°,则∠A＝85°.13.把一块直尺与一块三角板如图放置,若∠1＝60°,则∠2＝150°.14.如图,∠α＝125°,∠1＝50°,则∠β度数是105°.15.如图,已知D是△ABC边BC延长线上一点,DF交AC于点E,∠A＝35°,∠ACD＝83°.(1)求∠B度数；(2)若∠D＝42°,求∠AFE度数.解：(1)∵∠ACD是△ABC一个外角,∠A＝35°,∠ACD＝83°, ∴∠B＝∠ACD－∠A＝48°.(2)∵∠AFE是△BDF一个外角,∠B＝48°,∠D＝42°,∴∠AFD＝∠B＋∠D＝48°＋42°＝90°.11.3 多边形及其内角和11.3.1 多边形01基础题知识点1多边形及其相关概念1.下面图形是多边形是(D)A B C D2.若从一个多边形一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是(A)A.十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形3.从n边形一个顶点出发作对角线,可以把这个n边形分成9个三角形,则n等于(C)A.9B.10C.11D.124.画出下列多边形所有对角线.解：如图所示.知识点2正多边形5.下列说法：①等腰三角形是正多边形；②等边三角形是正多边形；③长方形是正多边形；④正方形是正多边形.其中正确个数为(B)A.1B.2C.3D.46.一个正多边形周长是100,边长为10,则正多边形边数n＝10.02中档题7.过多边形一个顶点可以引2017条对角线,则这个多边形边数是(D)A.2017B.2018C.2019D.20208.如图,把边长为12等边三角形纸板剪去三个小等边三角形,得到正六边形,则剪去小等边三角形边长为(D)A.1B.2C.3D.49.如图所示,将多边形分割成三角形,图1中可分割出2个三角形；图2中可分割出3个三角形；图3中可分割出4个三角形,由此你能猜测出,n边形可以分割出(n－1)个三角形.10.若过n边形一个顶点有2m条对角线,m边形没有对角线,k边形有k条对角线,则(n－k)m＝12.11.一个四边形截去一个角后就一定是三角形吗？画出所有可能图形.解：不一定,如图所示：03综合题12.(1)如图1,O为四边形ABCD内一点,连接OA,OB,OC,OD,可以得到几个三角形？它与边数有何关系？(2)如图2,点O在五边形ABCDEAB边上,连接OC,OD,OE,可以得到几个三角形？它与边数有何关系？(3)如图3,过点A作六边形ABCDEF对角线,可以得到几个三角形？它与边数有何关系？解：(1)4个,与边数相等.(2)4个,三角形个数等于边数减1.(3)4个,三角形个数等于边数减2.11.3.2 多边形内角和01基础题知识点1多边形内角和公式1.一个六边形内角和等于(D)A.180°B.360°C.540°D.720°2.(北京中考)内角和为540°多边形是(C)3.在四边形ABCD中,若∠A＋∠C＋∠D＝280°,则∠B度数为(A)A.80°B.90°C.170°D.20°4.(衡阳中考)正多边形一个内角是150°,则这个正多边形边数为(C)A.10B.11C.12D.135.求如图所示图形中x值：解：(1)根据图形可知：x＝360－150－90－70＝50.(2)根据图形可知：x＝180－[360－(90＋73＋82)]＝65.(3)根据图形可知：x＋x＋30＋60＋x＋x－10＝(5－2)×180.解得x＝115.6.已知两个多边形内角和之和为 1 800°,且两多边形边数之比为2∶5,求这两个多边形边数.解：设两多边形边数分别为2n和5n,则它们内角和分别为(2n－2)×180°和(5n－2)×180°,则(2n－2)×180°＋(5n－2)×180°＝1 800°,解得n＝2.2n＝4,5n＝10.答：这两个多边形边数分别为4,10.知识点2多边形外角和7.(泉州中考)七边形外角和为(B)A.180°B.360°C.900°D.1 260°8.(来宾中考)如果一个正多边形一个外角为30°,那么这个正多边形边数是(C)A.6B.11C.12D.189.(南通中考)若一个多边形外角和与它内角和相等,则这个多边形是(B)A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形10.将一个n边形变成n＋1边形,其内角和增加180°,外角和不变.11.若一个多边形每个外角都等于与它相邻内角12,求这个多边形边数.解：设这个多边形边数为n,由题意,得(n－2)×180°＝2×360°.解得n＝6.所以这个多边形边数为6.02中档题12.不能作为正多边形内角度数是(D)A.120°B.108°C.144°D.145°13.(广安中考)若一个正n边形每个内角为144°,则这个正n边形所有对角线条数是(C)A.7B.10C.35D.7014.(毕节中考)如图,一个多边形纸片按图示剪法剪去一个内角后,得到一个内角和为2 340°新多边形,则原多边形边数为(B)A.13B.14C.15D.1615.(十堰中考)如图所示,小华从A点出发,沿直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米,又向左转24°,…,照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走路程是(B)A.140米B.150米C.160米D.240米16.(益阳中考)将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形,那么这两个多边形内角和之和不可能是(D)A.360°B.540°C.720°D.900°17.(安徽中考)如图,正六边形ABCDEF,P是BC边上一动点,过P 作PM∥AB交AF于M,作PN∥CD交DE于N,则∠MPN＝60°.18.(河北中考)如图,在同一平面上,将边长相等正三角形.正方形.正五边形.正六边形一边重合并叠在一起,则∠3＋∠1－∠2＝24°.19.多边形内角和与某一个外角度数总和为1 350°,求多边形边数.解：设这个外角度数为x°,多边形边数为n.由题意,得(n－2)×180＋x＝1 350.解得x＝1 710－180n.∵0＜x＜180,∴0＜1 710－180n＜180.解得8.5＜n＜9.5.又∵n为正整数,∴n＝9.故多边形边数是9.20.(河北中考)已知n边形内角和θ＝(n－2)×180°.(1)甲同学说,θ能取360°；而乙同学说,θ也能取630°.甲.乙说法对吗？若对,求出边数n；若不对,请说明理由；(2)若n边形变为(n＋x)边形,发现内角和增加了360°,用列方程方法确定x.解：(1)甲对,乙不对.理由：∵θ＝360°,∴(n－2)×180＝360,解得n＝4.∵θ＝630°,∴(n －2)×180＝630,解得n ＝112.∵n 为整数,∴θ不能取630°.(2)依题意得(n －2)×180＋360＝(n ＋x －2)×180,解得x ＝2. 03 综合题21.(1)如图1.2,试研究其中∠1.∠2与∠3.∠4之间数量关系； (2)如果我们把∠1.∠2称为四边形外角,那么请你用文字描述上述关系式；(3)用你发现结论解决下列问题：如图3,AE.DE 分别是四边形ABCD 外角∠NAD.∠MDA 平分线,∠B ＋∠C ＝240°,求∠E 度数.图1 图2 图3解：(1)∵∠3.∠4.∠5.∠6是四边形四个内角, ∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°. ∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6). ∵∠1＋∠5＝180°,∠2＋∠6＝180°, ∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6). ∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.(2)四边形任意两个外角和等于与它们不相邻两个内角和. (3)∵∠B ＋∠C ＝240°, ∴∠MDA ＋∠NAD ＝240°.∵AE.DE 分别是∠NAD.∠MDA 平分线,∴∠ADE ＝12∠MDA,∠DAE ＝12∠NAD.∴∠ADE ＋∠DAE ＝12(∠MDA ＋∠NAD)＝120°.∴∠E ＝180°－(∠ADE ＋∠DAE)＝60°.13.1 轴对称 13.1.1 轴对称01 基础题 知识点1 轴对称图形1.(常州中考)下列“慢行通过,注意危险,禁止行人通行,禁止非机动车通行”四个交通标志图(黑白阴影图片)中为轴对称图形是(B )2.(天津中考)在一些美术字中,有汉字是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形是(A )3.(天津中考)下列标志中,可以看作是轴对称图形是(D )4.下列英文字母中不是轴对称图形是(A )5.(青海中考)以下图形,对称轴数量小于3是(D )知识点2成轴对称6.下列图形中,△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称是(B)7.如图所示：其中,轴对称图形有甲.乙.丙.丁,与甲成轴对称图形有丁.知识点3轴对称及轴对称图形性质8.如图,若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称,BB′交MN于点O,则下列说法中,不一定正确是(B)A.AC＝A′C′B.AB∥B′C′C.AA′⊥MND.BO＝B′O9.如图是一个风筝图案,它是轴对称图形,量得∠B＝30°,则∠E 度数为30°.10.如图,∠A＝30°,∠C′＝60°,△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,则∠B＝90°.02中档题11.(泰安中考)下列四个图形：其中是轴对称图形,且对称轴条数为2图形个数是(C)A.1B.2C.3D.412.下列平面图形一定是轴对称图形有(C)①线段；②角；③三角形；④等腰三角形；⑤平行四边形；⑥长方形；⑦圆.A.7个B.6个C.5个D.4个13.(南充中考)如图,直线MN是四边形AMBN对称轴,点P是直线MN上点,下列说法错误是(B)A.AM＝BMB.AP＝BNC.∠MAP＝∠MBPD.∠ANM＝∠BNM14.(天水中考)如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在C′处,折痕为EF,若AB＝1,BC＝2,则△ABE和△BC′F周长之和为(C)A.3B.4C.6D.815.黑体汉字中“中”“田”“日”等都是轴对称图形,请至少再写出三个具有这种特征汉字：答案不唯一,如“目”“天”“合”等.16.请在如图所示这组符号中,找出它们所蕴含内在规律,然后在横线上设计一个恰当图形.17.如图所示,每组两个图形均全等,哪一组中右边图形与左边图形成轴对称？并找出一对对称点.解：(1).(3)成轴对称,对称点略.18.在下图中,画出你认为是轴对称图形所有对称轴.解：如图所示.19.如图,l是该轴对称图形对称轴.(1)试写出图中两组对应相等线段：AC＝BD,AE＝BE,CF＝DF,AO ＝BO等；(2)试写出两组对应相等角：∠BAC＝∠ABD,∠ACD＝∠BDC等；(3)线段AB.CD都被直线l垂直平分.03综合题20.如图,点P在∠AOB内,M,N分别是点P关于AO,BO对称点,MN 分别交AO,BO于点E,F,若△PEF周长等于20 cm,求MN长.解：∵M,N分别是点P关于AO,BO对称点,∴ME＝PE,PF＝NF.又∵△PEF周长为20 cm,即PE＋EF＋PF＝20 cm.∴ME＋EF＋FN＝20 cm,即MN＝20 cm.14.1 整式乘法14.1.1 同底数幂乘法01基础题知识点1直接运用法则计算1.下列各项中,两个幂是同底数幂是(D)A .x 2与a 2B .(－a)5与a 3C .(x －y)2与(y －x)2D .－x 2与x 32.(重庆中考)计算a 3·a 2正确是(B )A .aB .a 5C .a 6D .a 93.(呼伦贝尔中考)化简(－x)3(－x)2,结果正确是(D )A .－x 6B .x 6C .x 5D .－x 54.(福州中考)下列算式中,结果等于a 6是(D )A .a 4＋a 2B .a 2＋a 2＋a 2C .a 2·a 3D .a 2·a 2·a 25.计算：103×104×10＝108.6.计算： (1)a·a 9；解：原式＝a 1＋9＝a 10.(2)x 3n ·x 2n －2；解：原式＝x 3n ＋2n －2＝x 5n －2.(3)(－12)2×(－12)3.解：原式＝(－12)2＋3＝(－12)5＝－125.知识点2 灵活运用法则计算 7.若27＝24·2x ,则x ＝3.8.(大庆中考)若a m ＝2,a n ＝8,则a m ＋n ＝16. 02 中档题9.式子a 2m ＋3不能写成(C )A.a2m·a3B.a m·a m＋3C.a2m＋3D.a m＋1·a m＋210.已知a2·a x－3＝a6,那么x值为7.11.若8×23×32×(－2)8＝2x,则x＝19.12.计算：(1)－x2·(－x)4·(－x)3；解：原式＝－x2·x4·(－x3)＝x2·x4·x3＝x9.(2)(m－n)·(n－m)3·(n－m)4.解：原式＝－(n－m)·(n－m)3·(n－m)4＝－(n－m)1＋3＋4＝－(n－m)8.13.已知4x＝8,4y＝32,求x＋y值.解：4x·4y＝8×32＝256＝44,而4x·4y＝4x＋y, ∴x＋y＝4.03综合题14.计算：(－2)2 017＋(－2)2 016.解：原式＝(－2)×(－2)2 016＋(－2)2 016＝(－2＋1)×(－2)2 016＝－22 016.14.1.2 幂乘方01基础题知识点1直接运用法则计算1.(自贡中考)(x4)2等于(B)A.x6B.x8C.x16D.2x42.(吉林中考)计算(－a3)2结果正确是(D)A.a5B.－a5C.－a6D.a63.在下列各式括号内,应填入b4是(C)A.b12＝( )8B.b12＝( )6C.b12＝( )3D.b12＝( )24.化简a4·a2＋(a3)2结果是(C)A.a8＋a6B.a6＋a9C.2a6D.a125.计算：(1)(102)8；解：原式＝102×8＝1016.(2)(x m)2；解：原式＝x m×2＝x2m.(3)[(－a)3]5；解：原式＝(－a)3×5＝(－a)15＝－a15.(4)－(x2)m.解：原式＝－x2×m＝－x2m.知识点2灵活运用法则计算6.已知a＝－33,b＝(－3)3,c＝(23)4,d＝(22)6,则下列a,b,c,d四者关系判断,正确是(A)A.a＝b,c＝dB.a＝b,c≠dC.a≠b,c＝dD.a≠b,c≠d7.已知：10m＝3,10n＝2,求(1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n值.解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27.(2)102n＝(10n)2＝22＝4.(3)103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.02中档题8.如果(9n)2＝312,那么n值是(B)A.4B.3C.2D.19.已知(a m)n＝3,则(a n)m＝3,(a n)3m＝27,a4mn＝81.10.计算：(1)5(a3)4－13(a6)2；解：原式＝5a12－13a12＝－8a12.(2)7x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2；解：原式＝－7x16＋5x16－x16＝－3x16.(3)[(x＋y)3]6＋[(x＋y)9]2.解：原式＝(x＋y)18＋(x＋y)18＝2(x＋y)18.11.(1)已知x2n＝3,求(x3n)4值；(2)已知2x＋5y－3＝0,求4x·32y值.解：(1)(x3n)4＝x12n＝(x2n)6＝36＝729.(2)∵2x＋5y－3＝0,∴2x＋5y＝3.∴4x·32y＝(22)x·(25)y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.03综合题12.若a m＝a n(a＞0且a≠1,m,n是正整数),则m＝n.你能利用上面结论解决下面问题吗？试试看,相信你一定行！ (1)如果2×8x ×16x ＝222,求x 值； (2)如果(27x )2＝38,求x 值. 解：(1)∵2×8x ×16x ＝21＋3x ＋4x ＝222, ∴1＋3x ＋4x ＝22. 解得x ＝3.(2)∵(27x )2＝36x ＝38, ∴6x ＝8,解得x ＝43.14.1.3 积乘方01 基础题知识点1 直接运用法则计算 1.(泉州中考)(x 2y)3结果是(D )A .x 5y 3B .x 6yC .3x 2yD .x 6y 32.(株洲中考)下列等式错误是(D )A .(2mn)2＝4m 2n 2B .(－2mn)2＝4m 2n 2C .(2m 2n 2)3＝8m 6n 6D .(－2m 2n 2)3＝－8m 5n 53.(青岛中考)计算a·a 5－(2a 3)2结果为(D )A .a 6－2a 5B .－a 6C .a 6－4a 5D .－3a 64.计算： (1)(2ab)3； 解：原式＝23·a 3·b 3 ＝8a 3b 3. (2)(－3x)4；解：原式＝(－3)4·x 4 ＝81x 4. (3)(x m y n )2；解：原式＝(x m )2·(y n )2 ＝x 2m y 2n . (4)(－3×102)4. 解：原式＝(－3)4×(102)4 ＝81×108 ＝8.1×109.知识点2 灵活运用法则计算5.填空：45×(0.25)5＝(4×0.25)5＝15＝1.6.如果5n ＝a,4n ＝b,那么20n ＝ab.7.计算：(－25)2 017×(52)2 017.解：原式＝[(－25)×52]2 017＝(－1)2 017＝－1.02 中档题8.如果(a m b n )3＝a 9b 12,那么m,n 值等于(B )A .m ＝9,n ＝4B .m ＝3,n ＝4C .m ＝4,n ＝3D .m ＝9,n ＝69.一个立方体棱长是1.5×102 cm ,用a ×10n cm 3(1≤a ≤10,n 为正整数)形式表示这个立方体体积为3.375×106cm 3.10.计算： (1)[(－3a 2b 3)3]2；解：原式＝[(－3)3×(a 2)3×(b 3)3]2 ＝(－27a 6b 9)2＝729a 12b 18.(2)(－2xy 2)6＋(－3x 2y 4)3； 解：原式＝64x 6y 12－27x 6y 12 ＝37x 6y 12.(3)(－14)2 017×161 008；解：原式＝(－14)×(14)2 016×42 016＝(－14)×(14×4)2 016＝(－14)×1＝－14.(4)(0.5×323)199×(－2×311)200.解：原式＝(0.5×323)199×(－2×311)199×(－2×311)＝(－1)×(－2×311)＝611. 11.已知n 是正整数,且x 3n ＝2,求(3x 3n )3＋(－2x 2n )3值. 解：(3x 3n )3＋(－2x 2n )3 ＝33×(x 3n )3＋(－2)3×(x 3n )2 ＝27×8＋(－8)×4 ＝184. 03 综合题初中数学上册精品12.已知2n ＝a,5n ＝b,20n ＝c,试探究a 2,b,c 之间有什么关系. 解：∵20n ＝(22×5)n ＝22n ×5n ＝(2n )2×5n ＝a 2b,且20n ＝c,∴c ＝a 2b.14.2 乘法公式 14.2.1 平方差公式01 基础题知识点1 平方差公式几何意义1.将图甲中阴影部分小长方形变换到图乙位置,你根据两个图形面积关系得到数学公式是(a ＋b)·(a－b)＝a 2－b2.2.如图1,从边长为a 正方形纸片中剪去一个边长为b 小正方形,再沿着线段AB 剪开,把剪成两张纸片拼成如图2等腰梯形.图1 图2(1)设图1中阴影部分面积为S 1,图2中阴影部分面积为S 2,请直接用含a,b 代数式表示S 1,S 2；(2)请写出上述过程所揭示乘法公式. 解：(1)S 1＝a 2－b 2,S 2＝12(2b ＋2a)(a －b)＝(a ＋b)(a －b).(2)(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2.知识点2 直接利用平方差公式计算3.在下列多项式乘法中,可以用平方差公式进行计算是(B ) A .(x ＋1)(1＋x) B .(12a ＋b)(b －12a)C .(－a ＋b)(a －b)D .(x 2－y)(x ＋y 2)4.下列计算正确是(C )A .(a ＋3b)(a －3b)＝a 2－3b 2B .(－a ＋3b)(a －3b)＝－a 2－9b 2C .(－a －3b)(a －3b)＝－a 2＋9b 2D .(－a －3b)(a ＋3b)＝a 2－9b 25.计算：(1)(1－12a)(1＋12a)＝1－14a 2；(2)(－x －2y)(2y －x)＝x 2－4y 2. 6.计算：(1)(14a －1)(14a ＋1)；解：原式＝116a 2－1.(2)(－3a －12b)(3a －12b)；解：原式＝(－12b)2－(3a)2＝14b 2－9a 2.(3)(－3x 2＋y 2)(y 2＋3x 2)； 解：原式＝(y 2)2－(3x 2)2＝y 4－9x 4. (4)(x ＋2)(x －2)(x 2＋4).解：原式＝(x 2－4)(x 2＋4)＝x 4－16. 知识点3 利用平方差公式解决问题7.若x 2－y 2＝20,且x ＋y ＝－5,则x －y 值是(C )A .5B .4C .－4D .以上都不对8.利用平方差公式直接写出结果：5013×4923＝2_49989.9.计算： (1)1 007×993；解：原式＝(1 000＋7)×(1 000－7) ＝1 0002－72 ＝999 951.(2)2 016×2 018－2 0172.解：原式＝(2 017－1)×(2 017＋1)－2 0172 ＝2 0172－1－2 0172 ＝－1.10.(宁波中考)先化简,再求值：(x ＋1)(x －1)＋x(3－x),其中x ＝2.解：原式＝x 2－1＋3x －x 2＝3x －1. 当x ＝2时,原式＝3×2－1＝5. 02 中档题11.若(2x ＋3y)(mx －ny)＝9y 2－4x 2,则(B )A .m ＝2,n ＝3B .m ＝－2,n ＝－3C .m ＝2,n ＝－3D .m ＝－2,n ＝312.计算(x 2＋14)(x ＋12)(x －12)结果为(B )A .x 4＋116 B .x 4－116C .x 4－12x 2＋116 D .x 4－18x 2＋11613.两个正方形边长之和为5,边长之差为2,那么用较大正方形面积减去较小正方形面积,差是10.14.若(x ＋3)(x －3)＝x 2－mx －n,则m ＝0,n ＝9. 15.计算：(1)(－x －y)(x －y)； 解：原式＝(－y)2－x 2 ＝y 2－x 2.(2)(a ＋2b)(a －2b)－12b(a －8b)；解：原式＝a 2－(2b)2－12ab ＋4b 2＝a 2－12ab.(3)(2x －y)(y ＋2x)－(2y ＋x)(2y －x). 解：原式＝4x 2－y 2－(4y 2－x 2) ＝4x 2－y 2－4y 2＋x 2 ＝5x 2－5y 2.16.先化简,再求值：(1)(a ＋b)(a －b)＋2a 2,其中a ＝1,b ＝2； 解：原式＝a 2－b 2＋2a 2＝3a 2－b 2. 当a ＝1,b ＝2时,原式＝3－(2)2＝1.(2)(北京中考)已知2a 2＋3a －6＝0,求式子3a(2a ＋1)－(2a ＋1)(2a －1)值.解：原式＝6a 2＋3a －4a 2＋1 ＝2a 2＋3a ＋1,∵2a2＋3a－6＝0,∴2a2＋3a＝6.∴原式＝7.17.解方程：(3x)2－(2x＋1)(3x－2)＝3(x＋2)(x－2).解：9x2－(6x2－4x＋3x－2)＝3(x2－4),9x2－6x2＋4x－3x＋2＝3x2－12,x＝－14.03综合题18.(1)(百色中考)观察下列各式规律：(a－b)(a＋b)＝a2－b2(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4…可得到(a－b)(a2 016＋a2 015b＋…＋ab2 015＋b2 016)＝a2_017－b2_017；(2)猜想：(a－b)(a n－1＋a n－2b＋…＋ab n－2＋b n－1)＝a n－b n(其中n为正整数,且n≥2)；(3)利用(2)猜想结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2.解：原式＝13[2－(－1)][29＋28×(－1)＋27×(－1)2＋ (21)(－1)8＋(－1)9＋1]＝13[2－(－1)][29＋28×(－1)＋27×(－1)2＋…＋21×(－1)8＋(－1)9]＋1＝13(210－1)＋1＝342.14.3 因式分解14.3.1 提公因式法01基础题知识点1因式分解定义1.下列式子是因式分解是(C)A.x(x－1)＝x2－1B.x2－x＝x(x＋1)C.x2＋x＝x(x＋1)D.x2－x＝(x＋1)(x－1)2.(滨州中考)把多项式x2＋ax＋b分解因式,得(x＋1)(x－3)则a,b值分别是(B)A.a＝2,b＝3B.a＝－2,b＝－3C.a＝－2,b＝3D.a＝2,b＝－3知识点2提公因式法因式分解3.多项式8m2n＋2mn公因式是(A)A.2mnB.mnC.2D.8m2n4.(自贡中考)多项式a2－4a分解因式,结果正确是(A)A.a(a－4)B.(a＋2)(a－2)C.a(a＋2)(a－2)D.(a－2)2－45.把多项式m2(a－2)＋m(2－a)因式分解,结果正确是(C)A.(a－2)(m2－m)B.m(a－2)(m＋1)C.m(a－2)(m－1)D.m(2－a)(m－1)6.用提公因式法因式分解：(1)3x3＋6x4；解：原式＝3x3(1＋2x).(2)4a3b2－10ab3c；解：原式＝2ab2(2a2－5bc).(3)－3ma3＋6ma2－12ma；解：原式＝－3ma(a2－2a＋4).(4)6p(p＋q)－4q(p＋q).解：原式＝2(p＋q)(3p－2q).02中档题7.(威海中考)若m－n＝－1,则(m－n)2－2m＋2n值是(A)A.3B.2C.1D.－18.小玉同学在计算34.3×17.1＋82.5×17.1－26.8×17.1＋10×17.1＝17.1×(34.3＋82.5－26.8＋10)＝1_710.9.(株洲中考)把多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋n),则m ＝6,n＝1.10.两位同学将一个二次三项式分解因式,一位同学因看错了一次项系数而分解成(x－1)(x－9),另一位同学因看错了常数项而分解成(x－2)(x－4),则这个二次三项式为x2－6x＋9.11.将下列各式分解因式：(1)x4＋x3＋x；解：原式＝x(x3＋x2＋1).(2)x(x－y)＋y(y－x)；解：原式＝x(x－y)－y(x－y)＝(x －y)(x －y) ＝(x －y)2.(3)6x(a －b)＋4y(b －a)； 解：原式＝6x(a －b)－4y(a －b) ＝2(a －b)(3x －2y). (4)(a 2－ab)＋c(a －b)； 解：原式＝a(a －b)＋c(a －b) ＝(a ＋c)(a －b). (5)4q(1－p)3＋2(p －1)2. 解：原式＝4q(1－p)3＋2(1－p)2 ＝2(1－p)2(2q －2pq ＋1). 03 综合题12.△ABC 三边长分别为a,b,c,且a ＋2ab ＝c ＋2bc,请判断△ABC 是等边三角形.等腰三角形还是直角三角形？说明理由.解：△ABC 是等腰三角形,理由： ∵a ＋2ab ＝c ＋2bc, ∴(a －c)＋2b(a －c)＝0. ∴(a －c)(1＋2b)＝0. 故a ＝c 或1＋2b ＝0. 显然b ≠－12,故a ＝c.∴此三角形为等腰三角形.15.1 分式 15.1.1 从分数到分式01 基础题知识点1 分式概念1.设A.B 都是整式,若AB表示分式,则(C )A .A.B 都必须含有字母 B .A 必须含有字母C .B 必须含有字母D .A.B 都必须不含有字母2.下列各式中,是分式是(C )A .35B .x 2－x ＋23C .x －13x 2＋4D .12x ＋23 3.列式表示下列各量：(1)王老师骑自行车用了m 小时到达距离家n 千米学校,则王老师平均速度是nm 千米/小时；若乘公共汽车则可少用0.2小时,则公共汽车平均速度是nm －0.2千米/小时；(2)某班在一次考试中,有m 人得90分,有n 人得80分,那么这两部分人合在一起平均分是90m ＋80nm ＋n分.4.下列式子中,哪些是分式？哪些是整式？ －3b a 2,－a 2b 3,1x －1,13(a 2＋2ab ＋b 2),2x 2x ,a π. 解：分式：－3b a 2,1x －1,2x 2x ；整式：－a 2b 3,13(a 2＋2ab ＋b 2),a π.知识点2 分式有无意义条件5.若代数式1x －3在实数范围内有意义,则实数x 取值范围是(C )A .x ＜3B .x ＞3C .x ≠3D .x ＝36.(贺州中考)分式2x ＋2无意义,则x 取值范围是(B )A .x ≠－2B .x ＝－2C .x ≠2D .x ＝27.下列分式中字母满足什么条件时,分式有意义？ (1)5x ； (2)x ＋3x －3； (3)3x 2x ＋4； (4)1a －b ； (5)3m ＋2n 2m －n ； (6)1a 2－2a ＋1. 解：(1)x ≠0. (2)x ≠3. (3)x ≠－2. (4)a ≠b. (5)n ≠2m. (6)a ≠1.知识点3 分式值8.若分式－x －3x ＋2值为0,则x 值是(A )A .－3B .－2C .0D .39.已知a ＝1,b ＝2,则aba －b值是(D )A .12B .－12C .2D .－210.若分式x 2－1x －1值为零,则x 值为(C )A .0B .1C .－1D .±111.当x ＜5时,分式1－x ＋5值为正；当x 为任意实数时,分式－4x 2＋1值为负.02 中档题12.当x 为任意实数时,下列分式一定有意义是(C ) A .x x ＋1 B .4x C .x －1x 2＋1 D .x x 2－1 13.(天水中考)已知分式（x －1）（x ＋2）x 2－1值为0,那么x 值是(B )A .－1B .－2C .1D .1或－214.某市对一段全长1 500米道路进行改造.原计划每天修x 米,为了尽量减少施工对城市交通所造成影响,实际施工时,每天修路比原计划2倍还多35米,那么修这条路实际用了1 5002x ＋35天.15.当x ＝2时,分式x －kx ＋m 值为0,则k.m 必须满足条件是k ＝2且m ≠－2.16.若分式x －3x 2值为负数,则x 取值范围是x<3且x ≠0.17.若3a ＋1值是一个整数,则整数a 可以取哪些值？解：依题意,得a ＋1＝±1或a ＋1＝±3, ∴整数a 可以取0,－2,2,－4.18.当x 取何值时,分式6－2|x|（x ＋3）（x －1）满足下列要求：(1)值为零； (2)无意义； (3)有意义.解：(1)由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧6－2|x|＝0，（x ＋3）（x －1）≠0，解得x ＝3,∴当x ＝3时分式值为0.(2)解(x ＋3)(x －1)＝0,得x ＝－3或x ＝1, ∴当x ＝－3或x ＝1时,分式无意义.(3)由(2)可知,当x ≠－3且x ≠1时,分式有意义. 19.(绥化中考)自学下面材料后,解答问题.分母中含有未知数不等式叫做分式不等式.如：x －2x ＋1＞0；2x ＋3x －1＜0等.那么如何求出它们解集呢？根据我们学过有理数除法法则可知：两数相除,同号得正,异号得负.其字母表达式为：(1)若a ＞0,b ＞0,则a b ＞0；若a ＜0,b ＜0,则ab ＞0；(2)若a ＞0,b ＜0,则a b ＜0；若a ＜0,b ＞0,则ab＜0.反之：①若ab ＞0,则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，b ＜0；②若ab ＜0,则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0b ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0b ＞0.根据上述规律,求不等式x －2x ＋1＞0解集.解：由题中规律可知⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，x ＋1＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，x ＋1＜0，∴x ＞2或x ＜－1. 03 综合题20.分式1x 2－2x ＋m 不论x 取何实数总有意义,求m 取值范围.解：∵x 2－2x ＋m ＝x 2－2x ＋1－1＋m ＝(x －1)2＋m －1,(x －1)2≥0,∴当m －1>0时,(x －1)2＋m －1值不可能为零. ∴当m>1时,不论x 取何实数,1x 2－2x ＋m 总有意义.15.1.2 分式基本性质01 基础题知识点1 分式基本性质1.使得等式47＝4×m7×m成立m 取值范围为(D )A .m ＝0B .m ＝1C .m ＝0或m ＝1D .m ≠02.根据分式基本性质填空：(1)8a 2c 12a 2b ＝2c （3b ）； (2)2x x ＋3＝（2x 2）x 2＋3x. 3.不改变分式值使下列分式分子和分母都不含“－”号： (1)－3x －y ；(2)－2a a －b ；(3)2m －3n 2；(4)－a 3b .解：(1)3x y .(2)2a b －a .(3)－2m 3n 2.(4)－a 3b.4.不改变分式值,把下列各式分子.分母中各项系数都化为整数： (1)0.2x ＋y 0.02x －0.5y； 解：原式＝（0.2x ＋y ）×50（0.02x －0.5y ）×50＝10x ＋50yx －25y .(2)13x ＋14y 12x －13y . 解：原式＝（13x ＋14y ）×12（12x －13y ）×12＝4x ＋3y6x －4y .知识点2 约分5.下列分式中最简分式是(C ) A .a －b b －a B .a 3＋a 4a 2 C .a 2＋b 2a ＋b D .1－a －a 2＋2a －16.(来宾中考)当x ＝6,y ＝－2时,代数式x 2－y 2（x －y ）2值为(D )A .2B .43C .1D .127.约分： (1)－16x 2y 320xy 4；解：原式＝4xy 3·（－4x ）4xy 3·5y ＝－4x5y .(2)ab 2＋2bb；解：原式＝b （ab ＋2）b ＝ab ＋2.(3)x 2－4xy ＋2y； 解：原式＝（x ＋2）（x －2）y （x ＋2）＝x －2y .(4)a 2＋6a ＋9a 2－9.解：原式＝（a ＋3）2（a ＋3）（a －3）＝a ＋3a －3.知识点3 通分8.分式y 2x 7与15x4最简公分母是(A )A .10x 7B .7x 7C .10x 11D .7x 119.(1)分式1ab 2.53a 2c 最简公分母是3a 2b 2c,通分为3ac 3a 2b 2c .5b23a 2b 2c；(2)分式1a 2－1.2a 2－a 最简公分母是a(a ＋1)(a －1),通分为a a （a ＋1）（a －1）.2（a ＋1）a （a ＋1）（a －1）.10.通分： (1)x 2y 与23xy 2； 解：最简公分母是6xy 2. x 2y ＝x·3xy 2y·3xy ＝3x 2y 6xy 2, 23xy 2＝2×23xy 2×2＝46xy 2.(2)n －2,n ＋3； 解：最简公分母是(n －2)(n ＋3). 2n n －2＝2n （n ＋3）（n －2）（n ＋3）＝2n 2＋6n n 2＋n －6, 3n n ＋3＝3n （n －2）（n ＋3）（n －2）＝3n 2－6n n 2＋n －6. (3)4a 5b 2c ,3c 10a 2b ,5b －2ac 2. 解：4a 5b 2c ＝8a 3c 10a 2b 2c 2,3c 10a 2b ＝3bc 310a 2b 2c 2, 5b －2ac 2＝－25ab 310a 2b 2c 2. 02 中档题11.(淄博中考)下列运算错误是(D )A .（a －b ）2（b －a ）2＝1B .－a －b a ＋b＝－1 C .0.5a ＋b 0.2a －0.3b ＝5a ＋10b 2a －3b D .a －b a ＋b ＝b －ab ＋a12.分式xy x ＋y中x,y 值都扩大到原来2倍,则分式值(A )A .扩大到原来2倍B .不变C .缩小到原来12D .缩小到原来1413.化简：(1)5m 3n 215m 2n 3＝m 3n ；(2)y －x x 2－y 2＝－1x ＋y .14.通分：(1)x 2－4,4－2x； 解：1x 2－4＝22（x ＋2）（x －2）,34－2x ＝－3（x ＋2）2（x ＋2）（x －2）. (2)x －y,2y 2x ＋y；解：x －y ＝（x －y ）（x ＋y ）x ＋y ＝x 2－y 2x ＋y ,2y 2x ＋y ＝2y 2x ＋y. (3)29－3a ,a －1a 2－9,9a 2－6a ＋9. 解：29－3a ＝2（3－a ）（a ＋3）3（a －3）2（a ＋3）,a －1a 2－9＝（a －1）·3（a －3）（a ＋3）（a －3）·3（a －3） ＝3（a －1）（a －3）3（a －3）2（a ＋3）, 9a 2－6a ＋9＝9·3（a ＋3）（a －3）2·3（a ＋3）＝27（a ＋3）3（a －3）2（a ＋3）. 15.(广东中考)从三个代数式：①a 2－2ab ＋b 2,②3a －3b,③a 2－b 2中任意选择两个代数式构造成分式,然后进行化简,并求当a ＝6,b ＝3时该分式值.解：共有六种计算方法和结果,分别是：。

拓展资源：分层练习根据本班学生实际情况可在教学过程中选择下述内容补充或拓展.(1)基础训练1.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）. A.3x y =- B.3y x =- C.12x y += D.2212x y x += 2.若函数23y x b =+-是正比例函数，则b = .3.某学生的家离学校2km ，他以16km/min 的速度骑车到学校，写出他与学校的距离s （km ）和骑车的时间t(min)的函数关系式为 ，s 是t 的 函数.(2)提高训练4.如图,在三角形ABC 中,∠B 与∠C 的平分线交于点P,设∠A=x ,∠BPC=y ,当∠A 变化时,求y 与x 之间的函数关系式,并判断y 是不是x 的一次函数.5.将长为13.5cm ，宽为8cm 的长方形白纸，按照图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为1.5cm.（1）求5张白纸粘合后的长度；（2）设x 张白纸粘合后的总长度为y cm ，求y 与x 之间的函数关系式.(3)知识拓展6.现从A ，B 向甲、乙两地运送蔬菜，A ，B 两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A 到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B 地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨． P A B C13.58（1）设A地到甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：运往甲地(单位：吨) 运往乙地(单位：吨)A xB（2）设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式．（3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？答案:1. C.2. 23b =.3. 126s t =-，（012t ≤≤）；一次函数.4. 1902y x =+，(0180)x <<；y 是x 的一次函数.5. 61.5cm ；13.5 1.5(1)12 1.5y x x x =--=+.6.（1）（2）由题意，得5030146015451W x x x x =+-+-+-（）（）（）整理得，51275W x =+．（3）∵A ，B 到两地运送的蔬菜为非负数，∴0,140,150,10.x x x x ≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩ 解不等式组，得114x ≤≤在51275W x =+中，W 随x 增大而增大， ∴当x 最小为1时，W 有最小值 1280元．运往甲地(单位：吨) 运往乙地(单位：吨) A x 14x - B 15x - 1x -。