内蒙古呼和浩特市铁路局职工弟子五中2016-2017学年高

2016-2017学年内蒙古呼和浩特市铁路局职工弟子五中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．等差数列{a n}中，a6=5，a10=6，则公差d等于（）A．B．C．2 D．﹣2．在△ABC中，a=，A=，B=，则b等于（）A．1 B．2 C．D．3．已知等差数列{a n}中，a5+a12=16，a7=1，则a10的值是（）A．15 B．30 C．31 D．644．不等式的解集是（）A．{x|≤x≤2}B．{x|≤x＜2}C．{x|x＞2或x≤}D．{x|x≥} 5．等比数列{a n}中，S2=7，S6=91，则S4=（）A．28 B．32 C．35 D．496．关于x的不等式x2﹣ax+a＞0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．（0，2）C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（0，4）7．一等差数列的前n项和为210，其中前4项的和为40，后4项的和为80，则n的值为（）A．12 B．14 C．16 D．188．在△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则边b等于（）A．B．C．D．19．已知数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，a n=2a n+1，则a n=（）﹣1A．n2﹣1 B．n2﹣2n+2 C．2n﹣1 D．2n﹣1+110．已知函数f（x）=2x+（x＞0），则（）A．x=±1时，函数f（x）的最小值为4 B．x=±2时，函数f（x）的最小值为2 C．x=1时，函数f（x）的最小值为4 D．x=2时，函数f（x）的最小值为211．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且a2+ac=c2+ab，则∠C=（）A．B．C． D．12．实数x、y满足条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．1 B．﹣1 C．D．2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．在各项为正数的等比数列{a n}中，若a6=a5+2a4，则公比q=．14．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=，AB边上的高为，则=．=3a n+1（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n=．15．已知数列{a n}满足a1=1，a n+116．已知实数a，b满足1≤a+b≤3且﹣1≤a﹣b≤1，则4a+2b的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．（10分）A，B两地之间隔着一个水塘（如图），现选择另一点C，测得CA=10 km，CB=10km，∠CBA=60°求A、B两点之间的距离．18．（12分）已知等比数列{a n}中，，求其第4项及前5项和．19．（12分）若关于x的不等式ax2+3x﹣1＞0的解集是{x|＜x＜1}，（1）求a的值；（2）求不等式ax2﹣3x+a2+1＞0的解集．20．（12分）如图，围建一个面积为100m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙需维修），其余三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为56元/米，新墙的造价为200元/米，设利用的旧墙长度为x（单位：米），修建此矩形场地围墙的总费用y（单位：元）（1）将y表示为x的函数；（2）求当x为何值时，y取得最小值，并求出此最小值．21．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．22．（12分）已知等比数列{a n}中，a1=2，a3=18，等差数列{b n}中，b1=2，且a1+a2+a3=b1+b2+b3+b4＞20．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和S n．2016-2017学年内蒙古呼和浩特市铁路局职工弟子五中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．等差数列{a n}中，a6=5，a10=6，则公差d等于（）A．B．C．2 D．﹣【考点】等差数列的通项公式．【分析】直接由已知结合等差数列的通项公式得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a6=5，a10=6，得d=．故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．2．在△ABC中，a=，A=，B=，则b等于（）A．1 B．2 C．D．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理即可计算求值得解．【解答】解：在△ABC中，∵a=，A=，B=，∴由正弦定理可得：b===．故选：C．【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题．3．已知等差数列{a n}中，a5+a12=16，a7=1，则a10的值是（）A．15 B．30 C．31 D．64【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为的，∵a5+a12=16，a7=1，∴，解得a1=﹣27，d=．则a10=﹣27+9×=15．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．不等式的解集是（）A．{x|≤x≤2}B．{x|≤x＜2}C．{x|x＞2或x≤}D．{x|x≥}【考点】一元二次不等式的应用．【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．【解答】解：不等式，移项得：，即≤0，可化为：或解得：≤x＜2，则原不等式的解集为：≤x＜2故选B．【点评】此题考查了其他不等式的解法，考查了转化及分类讨论的数学思想，是高考中常考的题型．学生进行不等式变形，在不等式两边同时除以﹣1时，注意不等号方向要改变．5．等比数列{a n}中，S2=7，S6=91，则S4=（）A．28 B．32 C．35 D．49【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列中每相邻两项的和也成等比数列可得7，S4﹣7，91﹣S4成等比数列，故有（S4﹣7）2=7（91﹣S4），由此求得S4的值．【解答】解：∵正项等比数列{a n}中，若S2=7，S6=91，由于每相邻两项的和也成等比数列，∴S2 、S4﹣S2 、S6 ﹣S4成等比数列，即7，S4﹣7，91﹣S4成等比数列．∴=7（91﹣S4），解得S4=28，故选：A．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，利用了等比数列中每相邻两项的和也成等比数列，属基础题．6．关于x的不等式x2﹣ax+a＞0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．（0，2）C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（0，4）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】由题意和二次函数的性质列出不等式，求出a的取值范围．【解答】解：因为不等式x2﹣ax+a＞0恒成立（a≠0）恒成立，所以△=a2﹣4a＜0，解得0＜a＜4，故选：D．【点评】本题考查利用二次函数的性质解决恒成立问题，注意开口方向，属于基础题．7．一等差数列的前n项和为210，其中前4项的和为40，后4项的和为80，则n的值为（）A．12 B．14 C．16 D．18【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意可得a1+a2+a3+a4=40．a n+a n﹣1+a n﹣2+a n﹣3=80．两式相加可得a1+a n=30，而S n===210，代入解之即可．【解答】解：设等差数列为{a n}，由题意可得a1+a2+a3+a4=40．a n+a n﹣1+a n﹣2+a n﹣3=80．两式相加可得a1+a n+a2+a n﹣1+a3+a n﹣1+a4+a n﹣3=120由等差数列的性质可得4（a1+a n）=120，所以a1+a n=30．所以S n===210，解得n=14．故选B．【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题．8．在△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则边b等于（）A．B．C．D．1【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：由余弦定理可得：b2=12+22﹣2×1×2cos60°=3，解得b=．故选：C．【点评】本题考查了余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，a n=2a n﹣1+1，则a n=（）A．n2﹣1 B．n2﹣2n+2 C．2n﹣1 D．2n﹣1+1【考点】数列递推式．【分析】由数列递推式得到数列{a n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，求出数列{a n+1}的通项后可得a n．【解答】解：由a n=2a n﹣1+1，得a n+1=2（a n﹣1+1）（n≥2），∵a1=1，∴a1+1=2，∴数列{a n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列．则．即．故选：C．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．10．已知函数f（x）=2x+（x＞0），则（）A．x=±1时，函数f（x）的最小值为4 B．x=±2时，函数f（x）的最小值为2 C．x=1时，函数f（x）的最小值为4 D．x=2时，函数f（x）的最小值为2【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，∴f（x）≥2×=4，当且仅当x=1时取等号．∴函数f（x）的最小值为4．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且a2+ac=c2+ab，则∠C=（）A．B．C． D．【考点】余弦定理的应用．【分析】由题意b2=ac，结合余弦定理求出，cosC即可得到C的值．【解答】解：a、b、c成等比数列，所以b2=ac，所以a2+b2=c2+ab，由余弦定理可知cosC=C=故选A【点评】本题是基础题，考查等比数列，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．12．实数x、y满足条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．1 B．﹣1 C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，将z=x﹣y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z 的纵截距，由几何意义可得．【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=x﹣y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距，则过点（0，1）时，z=x﹣y取得最小值，则z=0﹣1=﹣1，故选B．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．在各项为正数的等比数列{a n}中，若a6=a5+2a4，则公比q=2．【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据等比数列的通项公式化简a6=a5+2a4，列出关于q的方程，由各项为正数求出q的值．【解答】解：由a6=a5+2a4得，a4q2=a4q+2a4，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1，又各项为正数，则q=2，故答案为：2．【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意公比的符号，属于基础题．14．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=，AB边上的高为，则=2．【考点】余弦定理．【分析】根据AB及边上的高表示出三角形面积，再利用三角形面积公式表示出三角形面积，两者相等得到c2=ab，利用余弦定理表示出cosC，把cosC及c2= ab代入，整理即可求出所求式子的值．【解答】解：∵C=，AB边上的高为，=c••=absinC，即=ab，∴S△ABC整理得：c2=ab，由余弦定理得：cosC=，即==﹣，整理得：=2，故答案为：2【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．=3a n+1（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n= 15．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1（3n+1﹣2n﹣3）．【考点】数列的求和．+t=3（a n+t），求得t=，运用等比数列的通项公式，可得数列【分析】可设a n+1{a n}的通项，再由数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，化简即可得到所求和．【解答】解：由a1=1，a n+1=3a n+1，可设a n+1+t=3（a n+t），即a n+1=3a n+2t，可得2t=1，即t=，则a n+1+=3（a n+），可得数列{a n+}是首项为，公比为3的等比数列，即有a n+=•3n﹣1，即a n=•3n﹣1﹣，可得数列{a n}的前n项和S n=（1+3+32+…+3n﹣1）﹣n=•﹣n=（3n+1﹣2n﹣3）．故答案为：（3n+1﹣2n﹣3）．【点评】本题考查数列的求和方法：分组求和，同时考查构造等比数列求数列通项公式的方法，考查运算能力，属于中档题．16．已知实数a，b满足1≤a+b≤3且﹣1≤a﹣b≤1，则4a+2b的取值范围为[2，10] ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，令t=4a+2b，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令t=4a+2b，得．由图可知，当直线过A（0，1）时t有最小值为2；当直线过B（2，1）时t有最大值为4×2+2×1=10．故答案为：[2，10]．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．（10分）（2016秋•呼和浩特期中）A，B两地之间隔着一个水塘（如图），现选择另一点C，测得CA=10km，CB=10km，∠CBA=60°求A、B两点之间的距离．【考点】解三角形的实际应用．【分析】过C作CD⊥AB于D，使用勾股定理依次解出BD，CD，AD，则AB=AD+BD．【解答】解：过C作CD⊥AB于D∵∠CBA=60°，∴BD=5km，CD=5km．在Rt△ACD中，AD==25km．∴AB=AD+BD=30km．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查勾股定理的运用，属于中档题．18．（12分）（2014秋•市北区校级期末）已知等比数列{a n}中，，求其第4项及前5项和．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】设公比为q，由已知得，解得，a1=8，由此利用等比数列的通项公式和前n项和公式能求出其第4项及前5项和．【解答】解：设公比为q，…（1分）由已知得…②即…②÷①得，…（7分）将代入①得a1=8，…（8分）∴，…（10分）…（12分）【点评】本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．19．（12分）（2013秋•吉林期中）若关于x的不等式ax2+3x﹣1＞0的解集是{x|＜x＜1}，（1）求a的值；（2）求不等式ax2﹣3x+a2+1＞0的解集．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）根据不等式的解集，即可得到方程ax2+3x﹣1=0的两个根为和1，根据韦达定理可以求得a的值；（2）根据（1）的结果，可以得到不等式2x2+3x﹣5＜0，求出方程2x2+3x﹣5=0的根，从而得到不等式的解集．【解答】解：（1）依题意，可知方程ax2+3x﹣1=0的两个实数根为和1，∴+1=﹣且×1=，解得a=﹣2，∴a的值为﹣2；（2）由（1）可知，不等式为﹣2x2﹣3x+5＞，即2x2+3x﹣5＜0，∵方程2x2+3x﹣5=0的两根为x1=1，x2=﹣，∴不等式ax2﹣3x+a2+1＞0的解集为{x|﹣＜x＜1}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，要注意一元二次不等式和一元二次方程以及一元二次函数之间的联系，注意根与方程系数之间的关系一般运用韦达定理进行解决．属于基础题．20．（12分）（2016春•太原期末）如图，围建一个面积为100m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙需维修），其余三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为56元/米，新墙的造价为200元/米，设利用的旧墙长度为x（单位：米），修建此矩形场地围墙的总费用y（单位：元）（1）将y表示为x的函数；（2）求当x为何值时，y取得最小值，并求出此最小值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）由题意得矩形场地的另一边长为米，根据旧墙的维修费用为56元/米，新墙的造价为200元/米，求得长度．得出y关于x的函数表达式；（2）利用基本不等式求出y的最小值，运用等号成立的条件，求出x的值．【解答】解：（1）由题意得矩形场地的另一边长为米，∴y=56x+（x+2•﹣2）×200=256x+﹣400（x＞0）．（2）由（1）得y=256x+﹣400≥2﹣400=6000，当且仅当256x=时，等号成立，即当x=米时，y取得最小值6000元．【点评】本题是函数模型在实际问题中的应用，考查函数的解析式和最值的求法，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．21．（12分）（2016•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC 的周长．【解答】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC （sinAcosB +sinBcosA ）=sinC ，整理得：2cosCsin （A +B ）=sinC ， ∵sinC ≠0，sin （A +B ）=sinC∴cosC=， 又0＜C ＜π， ∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a 2+b 2﹣2ab•， ∴（a +b ）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a +b ）2﹣18=7， ∴a +b=5，∴△ABC 的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．22．（12分）（2012•西区模拟）已知等比数列{a n }中，a 1=2，a 3=18，等差数列{b n }中，b 1=2，且a 1+a 2+a 3=b 1+b 2+b 3+b 4＞20． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式a n ； （Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】等比数列的通项公式；等差数列的前n 项和．【分析】（1）根据等比数列的性质，有a 1a 3=a 22，可得a 2的值，结合题意，a 1+a 2+a 3=b 1+b 2+b 3+b 4＞20，可得a 2的值，由等比数列的通项公式，可得答案， （2）由（1）可得，结合等差数列的性质，可得b n 的通项公式，由等差数列的Sn 公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）因为a 1a 3=a 22，所以a 2=±6（2分）又因为a1+a2+a3＞20，所以a2=6，故公比q=3所以a n=2•3n﹣1（Ⅱ）设{b n}公差为d，所以b1+b2+b3+b4=4b1+6d=26（8分）由b1=2，可知d=3，b n=3n﹣1（10分）所以（12分）【点评】本题考查等差数列与等比数列的性质，注意两种常见数列的性质的异同，要区分讨论．。