时间复杂度的计算

数据结构--时间复杂度的算法前前⾔what is O?:"O"是数学符号，它的严格定义是"若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则T(n)=O(f(n))表⽰存在正的常数C和n0 ,使得当n≥n0时都满⾜0≤T(n)≤C?f(n)。

"⽤容易理解的话说就是这两个函数当整型⾃变量n趋向于⽆穷⼤时，两者的⽐值是⼀个不等于0的常数。

前⾔算法很重要，但是⼀般情况下做移动开发并不经常⽤到，所以很多同学早就将算法打了个⼤礼包送还给了⽼师了，况且很多同学并没有学习过算法。

这个系列就让对算法头疼的同学能快速的掌握基本的算法。

过年放假阶段玩了会游戏NBA2K17的⽣涯模式，没有⽐赛的⽇⼦也都是训练，⽽且这些训练都是⾃发的，没有⼈逼你，从早上练到晚上，属性也不涨，但是如果⽇积⽉累，不训练和训练的⼈的属性值就会产⽣较⼤差距。

这个突然让我意识到了现实世界，要想成为⼀个球星（技术⼤⽜）那就需要⽇积⽉累的刻意训练，索性放下游戏，接着写⽂章吧。

1.算法的效率虽然计算机能快速的完成运算处理，但实际上，它也需要根据输⼊数据的⼤⼩和算法效率来消耗⼀定的处理器资源。

要想编写出能⾼效运⾏的程序，我们就需要考虑到算法的效率。

算法的效率主要由以下两个复杂度来评估：时间复杂度：评估执⾏程序所需的时间。

可以估算出程序对处理器的使⽤程度。

空间复杂度：评估执⾏程序所需的存储空间。

可以估算出程序对计算机内存的使⽤程度。

设计算法时，⼀般是要先考虑系统环境，然后权衡时间复杂度和空间复杂度，选取⼀个平衡点。

不过，时间复杂度要⽐空间复杂度更容易产⽣问题，因此算法研究的主要也是时间复杂度，不特别说明的情况下，复杂度就是指时间复杂度。

2.时间复杂度时间频度⼀个算法执⾏所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运⾏测试才能知道。

但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。

最大公约数的三种算法复杂度分析时间计算1.辗转相除法（欧几里得算法）辗转相除法是一种基于递归的算法，它通过不断地用两个数中较大的数除以较小的数，直到两个数相等为止。

这时，较小的数就是最大公约数。

例如，求解49和28的最大公约数：-49÷28=1 (21)-28÷21=1 (7)-21÷7=3 0所以最大公约数为7辗转相除法的时间复杂度分析如下：设两个数中较大的数为a，较小的数为b，a mod b 的结果为r。

- 最好情况：当b能够整除a时，时间复杂度为O(loga)，因为每次递归时a和b的值都会减少至原来的一半。

-最坏情况：当a和b互质时，时间复杂度为O(a/b)。

例如，当a=2n 时，每次递归的b的值都会减少至1- 平均情况：时间复杂度是O(logab)的。

2.更相减损术更相减损术是一种基于减法的算法，它通过不断地用两个数中较大的数减去较小的数，直到两个数相等为止。

这时，较小的数就是最大公约数。

例如，求解49和28的最大公约数：-28-21=7-21-7=14-14-7=7所以最大公约数为7更相减损术的时间复杂度分析如下：设两个数中较大的数为a，较小的数为b。

- 最好情况：当a和b的差值为1时，时间复杂度为O(logb)，因为每次减法操作后的差值都会减少一半。

-最坏情况：当a和b互质时，时间复杂度为O(a-b)。

例如，当a=2n 时，每次减法操作的差值都会减少至1-平均情况：时间复杂度为O(a-b)的。

3. Stein算法（二进制法）Stein算法是一种基于位运算的算法，它通过在两个数中同时除去2的因子，直到两个数都变为奇数。

然后，继续用较小的数减去较大的数，直到两个数相等为止。

这时，较小的数就是最大公约数的2的因子。

例如，求解49和28的最大公约数：-49÷2=24-28÷2=14-24÷2=12现在两个数都是奇数，继续减法操作：-7-12=-5-12-7=5所以最大公约数为5Stein算法的时间复杂度分析如下：设两个数中较大的数为a，较小的数为b。

卢卡斯定理的时间复杂度卢卡斯定理是数论中的一个重要定理，用于求解模线性方程的解。

它的时间复杂度即为我们在使用这个定理时所需的计算时间。

本文将围绕卢卡斯定理的时间复杂度展开讨论，重点介绍其计算过程，分析时间复杂度的来源，并探讨如何优化计算效率。

我们来回顾一下卢卡斯定理的表述。

卢卡斯定理是中国剩余定理的一个特例，用于求解形如x ≡ b (mod mi)的模线性方程。

其中，x 表示待求解的未知数，b表示给定的常数，mi表示给定的模数。

卢卡斯定理的表述如下：若mi是互质的正整数序列，mi = m1 * m2 * ... * mk，其中gcd(mi, mj) = 1 (1 ≤ i, j ≤ k，且i≠j)，则对于给定的常数b和模数mi，存在唯一解x0，满足x0 ≡ b (mod mi)。

为了求解模线性方程的解，我们需要进行以下步骤：1. 对于给定的mi，首先计算mi的质因数分解。

这一步骤的时间复杂度为O(log(mi))，其中log表示以2为底的对数。

2. 对于每个mi，计算mi的欧拉函数φ(mi)。

欧拉函数的计算时间复杂度为O(log(mi))，其中log表示以2为底的对数。

3. 对于每个mi，计算mi的逆元mi_inv。

逆元的计算时间复杂度为O(log(mi))，其中log表示以2为底的对数。

4. 对于给定的常数b和模数mi，计算x0 ≡ b (mod mi)的解。

这一步骤的时间复杂度为O(log(mi))，其中log表示以2为底的对数。

求解模线性方程的时间复杂度为O(log(mi))。

在实际应用中，mi的取值通常较小，因此时间复杂度一般较低。

然而，在某些情况下，mi的取值可能会很大，导致时间复杂度的增加。

为了优化计算效率，我们可以采用以下方法：1. 使用快速幂算法计算mi的质因数分解和欧拉函数。

快速幂算法是一种高效的指数运算算法，能够在O(log(mi))的时间复杂度内完成计算。

2. 使用扩展欧几里德算法计算mi的逆元。

二叉树的复杂度计算公式二叉树是一种常见的数据结构，它在计算机科学中扮演着非常重要的角色。

在实际应用中，我们经常需要对二叉树的复杂度进行计算。

二叉树的复杂度计算涉及到许多方面，如平均时间复杂度、最坏时间复杂度、空间复杂度等。

在接下来的内容中，我们将介绍二叉树的复杂度计算公式，详细说明各种复杂度的计算方法。

二叉树的基本概念二叉树是一种树形结构，它由节点和边组成，每个节点最多有两个子节点。

在二叉树中，每个节点都有一个值，用来存储数据。

节点之间通过边相连，形成一个层次结构。

二叉树的一个特点是，每个节点最多有两个子节点，一个称为左子节点，另一个称为右子节点。

1.平均时间复杂度平均时间复杂度是指对于具有相同大小输入的所有可能输入实例，算法的期望运行时间。

在计算平均时间复杂度时，我们通常采用平均情况分析的方法。

平均时间复杂度的计算公式如下所示：T(n)=Σ(Ti)/N其中，T(n)表示算法的平均运行时间，Ti表示第i个输入实例的运行时间，N表示所有可能输入实例的个数。

2.最坏时间复杂度最坏时间复杂度是指在最坏情况下，算法的运行时间。

在计算最坏时间复杂度时，我们通常采用最坏情况分析的方法。

最坏时间复杂度的计算公式如下所示：T(n) = max{Ti}其中，T(n)表示算法的最坏运行时间，Ti表示第i个输入实例的运行时间，max{}表示所有输入实例中的最大值。

3.空间复杂度空间复杂度是指在运行算法时所需的内存空间大小。

空间复杂度的计算公式如下所示：S(n)=Σ(Si)/N其中，S(n)表示算法的空间复杂度，Si表示第i个输入实例的内存空间大小，N表示所有可能输入实例的个数。

总结二叉树作为一种常见的数据结构，在计算机科学中应用广泛。

对于二叉树的复杂度计算，我们可以通过平均时间复杂度、最坏时间复杂度和空间复杂度等指标来评估算法的性能。

掌握二叉树复杂度计算的方法，有助于我们更好地分析和优化算法，在实际应用中取得更好的性能表现。

时间、空间复杂度例题（原创版）目录1.引言2.时间复杂度和空间复杂度的定义3.例题解析3.1 例题一3.2 例题二4.总结正文【引言】在计算机科学中，时间复杂度和空间复杂度是衡量算法效率的重要指标。

它们可以帮助我们了解算法在运行时所需的时间和空间资源，从而更好地选择合适的算法来解决实际问题。

本文将通过两个例题来介绍时间复杂度和空间复杂度的概念及其计算方法。

【时间复杂度和空间复杂度的定义】时间复杂度表示算法在运行时所需的时间资源，通常用大 O 符号（O）表示，它描述了输入规模（n）与所需执行时间的关系。

空间复杂度则表示算法在运行时所需的空间资源，也用大 O 符号表示，它描述了输入规模（n）与所需空间的关系。

【例题解析】例题一：计算一个数组中两个数之和等于目标值的问题。

问题描述：给定一个整数数组 nums 和目标值 target，判断数组中是否存在两个数 a 和 b，使得 a + b = target。

算法：使用哈希表存储数组中的元素及其对应的索引。

遍历数组，对于每个元素，计算 target 与当前元素的差值，然后在哈希表中查找是否存在该差值，如果存在，则返回 true，否则将当前元素及其索引存入哈希表。

时间复杂度：O(n)，其中 n 为数组的长度。

因为需要遍历整个数组。

空间复杂度：O(n)，因为需要使用哈希表存储数组中的元素及其对应的索引。

例题二：计算一个矩阵中两个数之和等于目标值的问题。

问题描述：给定一个二维整数数组 matrix，目标值 target，判断矩阵中是否存在两个数 a 和 b，使得 a + b = target。

算法：使用哈希表存储矩阵中的元素。

遍历矩阵，对于每个元素，计算 target 与当前元素的差值，然后在哈希表中查找是否存在该差值，如果存在，则返回 true，否则将当前元素及其所在的行和列存入哈希表。

时间复杂度：O(n^2)，其中 n 为矩阵的行数或列数。

因为需要遍历整个矩阵。

算法时间复杂度怎么算一、概念时间复杂度是总运算次数表达式中受n的变化影响最大的那一项(不含系数)比如：一般总运算次数表达式类似于这样：a*2^n+b*n^3+c*n^2+d*n*lg(n)+e*n+fa ！=0时，时间复杂度就是O(2^n);a=0,b<>0 =>O(n^3);a,b=0,c<>0 =>O(n^2)依此类推eg:(1) for(i=1;i<=n;i++) //循环了n*n次，当然是O(n^2)for(j=1;j<=n;j++)s++;(2) for(i=1;i<=n;i++)//循环了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2，因为时间复杂度是不考虑系数的，所以也是O(n^2)for(j=i;j<=n;j++)s++;(3) for(i=1;i<=n;i++)//循环了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,当然也是O(n^2) for(j=1;j<=i;j++)s++;(4) i=1;k=0;while(i<=n-1){k+=10*i; i++; }//循环了n-1≈n次，所以是O(n)(5) for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=i;j++)for(k=1;k<=j;k++)x=x+1;//循环了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(这个公式要记住哦)≈(n^3)/3，不考虑系数，自然是O(n^3)另外，在时间复杂度中，log(2,n)(以2为底)与lg(n)(以10为底)是等价的，因为对数换底公式：log(a,b)=log(c,b)/log(c,a)所以，log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉系数，二者当然是等价的二、计算方法1.一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。

递归时间复杂度计算公式
摘要：
1.递归时间复杂度计算的基本概念
2.递归时间复杂度的分类
3.递归时间复杂度计算的具体方法
4.递归时间复杂度在实际问题中的应用
正文：
一、递归时间复杂度计算的基本概念
在计算机科学中，递归是一种函数调用自身的技术。

递归时间复杂度是指在计算过程中所需要的基本运算次数，通常用来衡量算法的效率。

递归时间复杂度与递归深度有关，递归深度是指函数调用自身的层数。

二、递归时间复杂度的分类
递归时间复杂度可以分为两类：一类是递归的时间复杂度为O(f(n))，另一类是递归的时间复杂度为O(g(n))。

其中，O(f(n)) 表示随着n 的增大，时间复杂度会无限增大；O(g(n)) 表示时间复杂度是一个常数，与n 无关。

三、递归时间复杂度计算的具体方法
递归时间复杂度计算的具体方法通常采用主定理。

主定理的内容是：若递归函数的时间复杂度为O(f(n))，则递归函数的时间复杂度为O(f(n))。

若递归函数的时间复杂度为O(g(n))，则递归函数的时间复杂度为O(g(n))。

四、递归时间复杂度在实际问题中的应用
递归时间复杂度在实际问题中的应用非常广泛，例如在计算阶乘、汉诺塔
等问题中都会涉及到递归时间复杂度的计算。

通过计算递归时间复杂度，我们可以更好地了解算法的效率，为选择合适的算法提供依据。

递归时间复杂度计算公式（原创实用版）目录1.递归时间复杂度计算的基本概念2.递归时间复杂度的分类3.递归时间复杂度计算的方法和示例4.递归时间复杂度在实际问题中的应用正文一、递归时间复杂度计算的基本概念在计算机科学中，递归是一种函数调用自身的技术。

递归时间复杂度是指评估递归算法执行时间与问题规模之间关系的一种方法。

递归时间复杂度可以帮助我们在解决实际问题时，预测算法的运行速度，从而选择更加合适的算法。

二、递归时间复杂度的分类递归时间复杂度分为三种：O(1)、O(logn) 和 O(2^n)。

1.O(1)：表示递归时间复杂度为一常数，即不论问题规模如何变化，算法执行时间都保持不变。

2.O(logn)：表示递归时间复杂度与问题规模 logn 成正比。

随着问题规模的增大，算法执行时间增长速度逐渐降低。

3.O(2^n)：表示递归时间复杂度与问题规模 2^n 成正比。

随着问题规模的增大，算法执行时间呈指数级增长。

三、递归时间复杂度计算的方法和示例计算递归时间复杂度的方法通常是基于递归的深度和宽度进行分析。

下面以一个简单的递归问题为例，介绍计算递归时间复杂度的方法。

问题：计算一个数的阶乘。

解：假设 f(n) 表示 n 的阶乘，那么 f(n)=n*f(n-1)。

这是一个典型的递归问题。

在计算其时间复杂度时，需要考虑递归的深度和宽度。

假设问题规模为 n，当 n=1 时，f(1)=1，这是一个基本情况。

当 n>1 时，我们需要计算 n*f(n-1)，在计算 f(n-1) 时，需要遍历 n-1 个基本情况。

因此，在计算 f(n) 时，需要遍历 n 个基本情况和 n-1 个基本情况，总共需要遍历 n*(n-1) 个基本情况。

由于递归的时间复杂度与基本情况的数量成正比，因此，该问题的时间复杂度为 O(n)。

四、递归时间复杂度在实际问题中的应用在实际问题中，我们通常希望使用时间复杂度较低的算法来解决问题。

例如，在计算一个数的阶乘时，我们可以使用循环而非递归来提高算法的执行速度。

时间复杂度，也称为时间复杂度分析，是一种研究解决算法问题所需
计算时间和存储空间的方法。

它是计算机程序性能评估的标准，也是
算法效率分析的主要工具。

设计算法的人花费的精力通常以时间复杂
度的概念来衡量，即努力使时间复杂度最低。

主定理是一种算法复杂度分析方法，它可以在考虑算法的其他参数时，很容易推出该算法的时间复杂度的上界. 主定理是一种综合运用三个不
同的参数(量规格、时间规格和空间规格)来估算算法复杂度并可获得关于算法执行时间、内存消耗等统计信息的完美技巧。

其中，'量规格'是指数据规模n的变化，而'时间规格'是指算法执行时间T(n)的变化，而'空间规格'是指算法所需空间S(n)的变化。

如果一个算
法是在量规格Θ(f(n)) 的情况下在时间规格Θ(g(n))和空间规格Θ(h(n))
中完成的，则可以用主定理对其进行求解，结果为Θ(f(n) * g(n) + h(n))。

这就是主定理的定义，该定理将算法的量规格、时间规格和空间规格
综合考虑，由此可以计算得出算法的最大执行时间或最小存储空间。

因此，主定理是一种有效的衡量算法性能的方式，在很多实际应用中，可以通过主定理快速计算出该算法的执行时间或空间开销，为我们提
供了较好的帮助。