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2024北师大版数学九年级下册2.4.2《二次函数的应用》教案一. 教材分析《二次函数的应用》是北师大版数学九年级下册第2章第4节的内容，本节课主要让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材通过引入生活中的实例，让学生体会二次函数的实际意义，进而掌握二次函数的图象和性质，为解决实际问题打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图象和性质有了初步了解。
但学生在应用二次函数解决实际问题方面还存在一定的困难，因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生运用二次函数解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.了解二次函数在实际生活中的应用，体会二次函数的实际意义。
2.掌握二次函数的图象和性质，提高运用二次函数解决实际问题的能力。
3.培养学生的数学思维能力和创新能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际生活中的应用，二次函数的图象和性质。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数模型，运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入生活中的实例，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.启发式教学法：在教学过程中，教师引导学生发现问题、分析问题、解决问题，培养学生的数学思维能力。
3.合作学习法：学生分组讨论，共同完成任务，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助教学。
2.实例素材：准备一些与生活相关的实例，用于引导学生探究。
3.练习题库：准备适量的练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的实际问题，如抛物线形的跳板、足球运动的轨迹等，引导学生关注二次函数在实际生活中的应用。
2.呈现（10分钟）介绍二次函数的图象和性质，通过课件演示，让学生直观地了解二次函数的图象特征。
同时，教师引导学生联系实际问题，理解二次函数的实际意义。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，选取实例进行分析，将实际问题转化为二次函数模型。
北师大版九年级数学下册：第二章 2.4.2《二次函数的应用》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章2.4.2《二次函数的应用》主要介绍了二次函数在实际生活中的应用。
通过本节课的学习，学生能够理解二次函数在实际问题中的作用，掌握二次函数解决实际问题的方法，提高解决实际问题的能力。
教材内容主要包括两个方面：一是二次函数在几何中的应用，如抛物线的性质；二是二次函数在实际生活中的应用，如最值问题、利润问题等。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题，因此在教学过程中，需要引导学生将实际问题抽象成二次函数模型，并运用二次函数的知识解决实际问题。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际问题中的作用，提高解决实际问题的能力。
2.掌握二次函数解决实际问题的方法，能够将实际问题转化为二次函数模型。
3.培养学生的抽象思维能力和实际问题解决能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数的知识解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解二次函数在实际问题中的应用。
2.案例分析法：分析典型例题，让学生掌握二次函数解决实际问题的方法。
3.小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作精神和解决问题的能力。
4.启发式教学法：引导学生主动思考，提高学生的抽象思维能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数在实际问题中的应用。
2.典型例题：挑选具有代表性的例题，让学生进行分析。
3.练习题：准备适量的练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如抛物线形状的物体，引入二次函数在实际问题中的应用。
提问：这些实际问题能否用我们学过的二次函数来解决？2.呈现（10分钟）呈现典型例题，让学生进行分析。
2.4 （2）二次函数的应用——最大利润问题一、教学目标经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.二、教学重点和难点重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值三、教学过程(一)情景导入服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？(二)巩固训练1.某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？2.某果园有100棵橙子树，平均每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．（1）果园增种多少棵橙子树时，果园橙子的总产量最多？（2）增种多少棵橙子树时，可以使果园橙子的总产量在60420个以上？（要求学生画出二次函数的图象，并根据图象回答问题）(三)变式训练1.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系:ｗ=－2ｘ＋80.设这种产品每天的销售利润为ｙ(元).(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式.(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?2．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？3.某省有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．（1）设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式．（2）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出P与x之间的函数关系式．（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元？（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）4．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。
北师大版九年级数学下册：第二章 2.4.2《二次函数的应用》精品教案一. 教材分析《二次函数的应用》是北师大版九年级数学下册第二章第四节的一部分。
这部分内容主要让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材通过生动的例题和练习题，使学生掌握二次函数图像的特点，学会通过二次函数图像解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题。
因此，在教学过程中，教师需要帮助学生建立实际问题与二次函数之间的联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.让学生掌握二次函数图像的特点，了解二次函数在实际生活中的应用。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握二次函数图像的特点，学会通过二次函数图像解决实际问题。
2.教学难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，如何引导学生运用数学知识解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现数学问题，培养学生的数学思维。
2.利用多媒体辅助教学，展示二次函数图像，让学生更直观地了解二次函数的特点。
3.采用分组讨论的教学方法，鼓励学生合作交流，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生转化为二次函数问题。
2.准备多媒体教学课件，展示二次函数图像。
3.准备练习题，巩固学生对二次函数应用的掌握。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如抛物线运动、物体运动等，引导学生思考这些问题是否可以转化为二次函数问题。
让学生认识到二次函数在实际生活中的重要性。
2.呈现（10分钟）教师利用多媒体课件，展示二次函数图像的特点，如开口方向、顶点坐标、对称轴等。
同时，教师通过举例讲解，让学生了解如何从实际问题中提取二次函数的信息。
新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》导学案一、温故知新——请同学们根据题意写出下列各题的函数关系式。
1.正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式。
2.已知正方形的周长为20，若其边长增加x，面积增加y，求y与x之间的表达式。
3.已知正方形的周长是x，面积为y，求y与x之间的函数表达式。
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?第二段：【白天长课导学】一、学习目标与要求：1. 能根据题意列出函数关系式，并能通过配方求出最值。
二、定向导学、合作交流、教师精讲定向导学、合作交流、教师精讲摘记【合作探究一】一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间1.长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？【合作探究二】某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?课题：第二章§2-6-1 二次函数的应用课型：新授总第9课时－18模块五：当堂训练班级：九（）班姓名：一、解答题。
请根据本节课所学知识解答。
1．如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形DEGF的面积最大是多少？3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积。
4、如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏。
北师大版九年级数学下册：第二章 2.4.1《二次函数的应用》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》是学生在学习了二次函数的图象与性质之后，进一步运用二次函数解决实际问题的课程。
本节内容通过现实生活中的实例，让学生了解二次函数在实际问题中的应用，培养学生的数学应用能力。
教材内容主要包括：二次函数在实际问题中的运用，二次函数的综合应用等。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的图象与性质，对二次函数有一定的理解。
但学生在解决实际问题时，往往难以将数学知识与实际问题相结合。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生将二次函数知识运用到实际问题中，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够理解二次函数在实际问题中的运用，提高学生的数学应用能力。
2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生将数学知识运用到实际中的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的运用。
2.难点：如何将二次函数知识灵活运用到实际问题中。
五. 教学方法1.情境教学法：通过现实生活中的实例，引导学生理解二次函数在实际问题中的应用。
2.案例教学法：分析典型实例，让学生学会如何将二次函数知识运用到实际问题中。
3.小组合作学习：培养学生团队合作精神，提高学生的数学应用能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数在实际问题中的运用。
2.实例材料：收集一些实际问题，作为教学案例。
3.练习题：准备一些练习题，巩固学生对二次函数应用的理解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际问题，如：抛物线形的跳板、抛物线形的桥梁等，引导学生思考：这些实际问题与二次函数有什么关系？2.呈现（10分钟）呈现一个实际问题：小明家有一个抛物线形的菜园，菜园的顶点在原点，开口向上，对称轴为y轴。
已知菜园的面积为40平方米，问：菜园的最大宽度是多少？引导学生分析问题，明确需要运用二次函数的知识来解决。
2.4.1二次函数的应用
预习案
一、预习目标及范围：
1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．
2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．
预习范围：P46-47
二、预习要点
根据二次函数的一般形式求出最大值、最小值：
几何图形的几个面积公式是怎么样的？
三、预习检测
1.（2015六盘水）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（）
A. 60 m2
B. 63 m2
C. 64 m2
D. 66 m2
2.用长6 m的铝合金条制成“日”字型矩形窗户，使窗户的透光面积最大（如图），那么这个窗户的最大透光面积是（）
A. m2
B. 1 m2
C. m2
D. 3 m2
3. （2014绍兴）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=- (x-6)2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是__________________________.
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少?
解：
活动2：探究归纳
先将转化为，再将所求的问题用关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出，有时必须考虑。
北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第2.4节《二次函数的应用》主要介绍了二次函数在实际生活中的应用，包括二次函数图像的识别和利用二次函数解决实际问题。
这部分内容是学生在学习了二次函数的性质和图像后，对二次函数知识的进一步拓展，使学生能够将所学知识应用到实际生活中，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识和图像，对二次函数有一定的理解。
但学生在解决实际问题时，可能会对将理论知识和实际问题相结合感到困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将所学知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际生活中的应用；2.学会利用二次函数解决实际问题；3.提高学生的数学应用能力。
四. 教学重难点1.二次函数在实际生活中的应用；2.利用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题，引导学生思考；通过案例分析，使学生理解二次函数在实际生活中的应用；通过小组合作，让学生在讨论中解决问题，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的案例和问题；2.准备多媒体教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出二次函数的应用，例如：一个农场计划种植两种作物，种植面积为固定的10亩。
如果种植苹果树，每亩收益为2000元；如果种植梨树，每亩收益为3000元。
请问如何分配种植苹果树和梨树的面积，才能使总收益最大？2.呈现（10分钟）呈现教材中的案例，让学生了解二次函数在实际生活中的应用。
例如，教材中有一个关于抛物线形跳板的问题，通过二次函数来求解跳板的长度。
3.操练（10分钟）让学生根据教材中的案例，尝试解决实际问题。
例如，教材中有一个关于二次函数图像的问题，让学生根据图像信息，求解相关参数。
4.巩固（10分钟）通过小组合作，让学生解决一些实际问题。
2.4.2二次函数的应用预习案一、预习目标及范围：1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值.2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．预习范围：P48-49二、预习要点二次函数的最值问题和增减性：三、预习检测1.某商店经营衬衫,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间满足关系式y=–x2+24x+2 956，则获利最多为______元2. 某旅行社要组团去外地旅游,经计算所获利润y(元)与旅行团人员x(人)满足关系式y=–2x2+80x+28 400，要使所获营业额最大,则此旅行团有_______人.3.（兰州·中考）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.探究案一、合作探究活动内容1：活动1：小组合作二次函数y=a(x-h)2+k(a 0)，顶点坐标为（h,k）,则（1）a>0时，y有最小值（）；（2）当a<0时，y有最大值（）【探究】某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析，销售单价是多少时,可以获利最多?【解析】设销售单价为x (x≤13.5)元,那么销售量可以表示为 : 件;每件T恤衫的利润为: 元;所获总利润可以表示为: 元;即y=-200x2+3 700x-8 000=-200(x-9.25)2+9 112.5∴当销售单价为元时,可以获得最大利润,最大利润是元.活动2：探究归纳先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.活动内容2：典例精析例题2（武汉·中考）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式.(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？【解析】例题3（青海·中考）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克.（1）现该商场要保证每天盈利1 500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？二、随堂检测1.（株洲·中考）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-（x-2）2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A.4米B.3米C.2米D.1米2.（德州·中考）为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5 000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次性购买100个以上，则购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3 500元/个．乙商家一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式.（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？3.桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距离OA 1m处达到最大高度2.25m.如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外？4．（青岛·中考）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）参考答案预习检测：1.31002.203.0.5随堂检测1. 【解析】选A. 抛物线的顶点坐标为（2,4），所以水喷出的最大高度是4米.2. 【解析】（1）由题意可知，当x≤100时，购买一个需5 000元，故y1=5 000x当x>100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元但售价不得低于3 500元/个，所以x≤即100<x≤250时，购买一个需5 000-10(x-100)元，故y1=6 000x-10x2；当x>250时，购买一个需3 500元，故y1=3 500x;(2) 当0≤x≤100时，y1=5 000x≤500 000<1 400 000；当100<x≤250时，y1=6 000x-10x2=-10(x-300)2+900 000<1 400 000；∴由得到x=400由得到故选择甲商家，最多能购买400个太阳能路灯3. 【解析】建立如图所示的坐标系,根据题意得,点A(0,1.25),顶点B(1,2.25).设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-1)2+2.25.当y=0时,得点C(2.5,0);同理,点D(-2.5,0).根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m,才能使喷出的水流不致落到池外.4.解析：（1）由题意，得：w = (x－20)·y=(x－20)·(-10x+500)=-10x2+700x-10 000当时，w有最大值.答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意，得：解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40．答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元. （3）∵∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时，w≥2 000．∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2 000．设成本为P（元），由题意，得：P=20（-10x+500)=-200x+10 000, ∵k=-200＜0，∴P随x的增大而减小.∴当x = 32时，P最小＝3 600.答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少需要3 600元．。
北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》教学设计1一. 教材分析《二次函数的应用》是北师大版九年级数学下册第2章“函数、方程与不等式”的第4节内容。
本节课的主要内容是让学生掌握二次函数在实际生活中的应用，学会用二次函数解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握二次函数的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题与二次函数联系起来，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数在实际生活中的应用，学会用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生将现实问题转化为数学问题的能力，提高学生的数学建模能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维，使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际生活中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，以及如何利用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，让学生理解和掌握二次函数的应用。
同时，运用讨论法、案例分析法等教学方法，提高学生的参与度和积极性。
六. 教学准备1.教材：《北师大版九年级数学下册》。
2.教学课件：根据教学内容制作的课件。
3.练习题：针对本节课内容设计的练习题。
4.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实际问题，如抛物线形的跳板，引导学生思考如何用数学模型来描述这个问题。
让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）呈现教材中的例题，讲解二次函数在实际生活中的应用。
通过例题，让学生了解如何将实际问题转化为二次函数问题，以及如何利用二次函数解决实际问题。
2.2.3二次函数的图像与性质一、教学目标1.经历探索二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的作法和性质的过程. 2.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.3.能够作出y=a （x-h ）2和y=a （x-h ）2+k 的图象，并能理解它与y=ax 2的图象的关系.理解a ，h 和k 对二次函数图象的影响.4.能够正确说出y=a （x-h ）2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 二、课时安排 1课时 三、教学重点能够作出y=a （x-h ）2和y=a （x-h ）2+k 的图象，并能理解它与y=ax 2的图象的关系.理解a ，h 和k 对二次函数图象的影响.四、教学难点正确说出y=a （x-h ）2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 五、教学过程 （一）导入新课 1.函数 2132y x =+ 的图象的顶点坐标是 ；开口方向是 ；最 值是 .2.函数y=-2x 2+3的图象可由函数 的图象向 平移 个单位得到.3.把函数y=-3x 2的图象向下平移2个单位可得到函数__________的图象. （二）讲授新课探究一：在同一坐标系中画出下列函数的图象：2223 ; 3 2 ; 3(1).y x y x y x ==+=-思考：它们的图象之间有什么关系？明确：23y x =的图像向上平移两个单位得到232y x =+的图像，向左平移一个单元得到23(1)y x =-。
函数y=ax 2与y=a(x-h)2的图象关系：2 (0)y ax a =≠的图像向右平移h （h ﹥0）个单位(向左平移︱h ︱（h ﹤0）个单位) 函数y=a （x-h ）2的图象，探究二：画出二次函数y=3（x-1）2+2的图象，并与二次函数y=3x 2的图象进行比较，说明它们之间的关系.明确：23y x =的图像向上平移两个单位得到232y x =+的图像，向右平移一个单元得到y=3（x-1）2+2。
（三）探究归纳平移规律：2y ax =的图像向上（下）平移k 个单位得到2y ax k =+；2y ax =的图像向右（左）平移k 个单位得到2()y a x h =-；2y ax =的图像向上平移k 个单位得到2y ax k =+；2y ax =的图像向上（下）平移k 个单位再向左（右）平移h 个单位得到2()y a x h k =-+；（四）归纳小结1.y=a(x-h)2+k 的图象的特征.（五）随堂检测1.（无锡·中考）下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1)的是( ). A.y=(x －2)2+1 B.y=(x+2)2+1 C.y=(x －2)2－3 D.y=(x+2)2－32．（西宁·中考）将抛物线22(1)y x =-向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为 _______________.3．（襄樊·中考）将抛物线 212y x =-先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式为____________．4．（宁夏·中考）把抛物线 2y x =- 向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ）A. 2(1)3y x =--+B. 2(1)3y x =-++C. 2(1)3y x =---D. 2(1)3y x =-+-5．（荆州·中考）若把函数y=x 的图象用E （x ，x ）记，函数y=2x+1的图象用E （x ，2x+1）记，…,则 E （x ，221x x -+）可以由E （x,2x ）怎样平移得到？ （ ） A.向上平移１个单位 B.向下平移１个单位 C.向左平移１个单位 D.向右平移１个单位 【答案】1.选C.根据以直线x=2为对称轴可知选项A ，C 符合，再根据图象经过点(0，1)知选项C 符合.2. 2y 2x =3. 21322y x x =-++或21(1)22y x =--+ 4. 选B 5. 选D.六．板书设计2.2.3二次函数的图像与性质七、作业布置 课本P38练习1、2 练习册相关练习 八、教学反思。
2.4.2二次函数的应用
预习案
一、预习目标及范围：
1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值.
2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．
预习范围：P48-49
二、预习要点
二次函数的最值问题和增减性：
增减性
三、预习检测
1.某商店经营衬衫,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间满足关系式y=–x2+24x+2 956，则获利最多为______元
2. 某旅行社要组团去外地旅游,经计算所获利润y(元)与旅行团人员x(人)满足关系式y=–2x2+80x+28 400，要使所获营业额最大,则此旅行团有_______人.
3.（兰州·中考）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)，顶点坐标为（h,k）,则
（1）a>0时，y有最小值（）；
（2）当a<0时，y有最大值（）
【探究】某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.
请你帮助分析，销售单价是多少时,可以获利最多?
【解析】设销售单价为x (x≤13.5)元,那么
销售量可以表示为 : 件;
每件T恤衫的利润为: 元;
所获总利润可以表示为: 元;
即y=-200x2+3 700x-8 000=-200(x-9.25)2+9 112.5
∴当销售单价为元时,可以获得最大利润,
最大利润是元.
活动2：探究归纳
先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.
活动内容2：典例精析
例题2（武汉·中考）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．
(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.
(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式.
(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
【解析】
例题3（青海·中考）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克.
（1）现该商场要保证每天盈利1 500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？
二、随堂检测
1.（株洲·中考）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-（x-2）2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A.4米
B.3米
C.2米
D.1米
2.（德州·中考）为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5 000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次性购买100个以上，则购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3 500元/个．乙商家一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.
（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式.
（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？
3.桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距离OA 1m处达到最大高度2.25m.
如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外？
4．（青岛·中考）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
（成本＝进价×销售量）
参考答案
预习检测：
1.3100
2.20
3.0.5
随堂检测
1. 【解析】选A. 抛物线的顶点坐标为（2,4），所以水喷出的最大高度是4米.
2. 【解析】（1）由题意可知，
当x≤100时，购买一个需5 000元，故y1=5 000x
当x>100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元但售价不得低于3 500元/
个，所以x≤5 000 3 500
100250 10
-
+=
即100<x≤250时，购买一个需5 000-10(x-100)元，故y1=6 000x-10x2；当x>250时，购买一个需3 500元，故y1=3 500x;
21 5 000x,y 6 000x 10x ,3 500x,⎧⎪=-⎨⎪⎩所以 0x 100100x 250x 250
≤≤<≤> 2500080%4000.y x x =⨯=
(2) 当0≤x ≤100时，y 1=5 000x ≤500 000<1 400 000；
当100<x ≤250时，
y 1=6 000x -10x 2=-10(x -300)2+900 000<1 400 000；
∴由35001400000x = 得到x=400
由40001400000x = 得到350400x =<
故选择甲商家，最多能购买400个太阳能路灯
3. 【解析】建立如图所示的坐标系,根据
题意得,点A(0,1.25),顶点
B(1,2.25).
设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-1)2+2.25.
当y=0时,得点C(2.5,0);同理,点D(-2.5,0).
根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m,
才能使喷出的水流不致落到池外.
4.解析：（1）由题意，得：w = (x －20)·y
=(x －20)·(-10x+500)
=-10x 2+700x-10 000 当352b x a
=-= 时，w 有最大值. 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
（2）由题意，得：2
1070010 000 2 000.x x -+-=
解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40．
答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元. （3）∵10
a=-<0
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2 000．
∵x≤32，
∴当30≤x≤32时，w≥2 000．
设成本为P（元），由题意，得：P=20（-10x+500)=
-200x+10 000, ∵k=-200＜0，∴P随x的增大而减小.
∴当x = 32时，P最小＝3 600.
答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少需要3 600元．。
