动态非线性压电驱动机电耦合动力学系统建模及其宽带高精度位移控制系统

压电驱动器非线性机电耦合动力学求解与验证李 冲 许立忠 邢继春燕山大学,秦皇岛,066004摘要:基于压电非线性效应和位移非线性效应建立了压电驱动器非线性机电耦合动力学方程,应用L i n zT e d ‐P o i n c a r é法对弱非线性自由振动㊁接近共振时受迫振动及亚谐波振动响应方程进行推导,比较了压电驱动器在非线性及线性条件下响应的区别,使用四阶R u n g e ‐K u t t a 数值法和实验对理论推导进行了验证㊂结果表明:在两种非线性效应中,压电非线性对压电驱动器振动响应的影响是主要的;非线性数值解与解析解吻合较好,实验频率更接近非线性共振频率㊂关键词:压电驱动器;非线性的;机电耦合动力学;L i n zT e d ‐P o i n c a r é法中图分类号:T H 113.1 D O I :10.3969/j.i s s n .1004‐132X.2015.24.002S o l u t i o na n dV a l i d a t i o no fN o n ‐l i n e a rE l e c t r o m e c h a n i c a l ‐c o u p l e dD y n a m i c s f o rP i e z o e l e c t r i cA c t u a t o r L i C h o n g X uL i z h o n g X i n g Ji c h u n Y a n s h a nU n i v e r s i t y ,Q i n h u a n gd a o ,He b e i ,066004A b s t r a c t :O nt h eb a s i so fn o n ‐l i n e a r p i e z o e l e c t r i cef f e c ta n dn o n ‐l i n e a rd i s pl a c e m e n te f f e c t ,t h e n o n ‐l i n e a r e l e c t r o m e c h a n i c a l ‐c o u p l e dd y n a m i c e q u a t i o n s o f p i e z o e l e c t r i c a c t u a t o rw e r e e s t a b l i s h e d .A p -p l y i n g L i n zT e d ‐P o i n c a r ém e t h o d ,r e s p o n s e e qu a t i o n s o fw e a kn o n l i n e a r f r e e v i b r a t i o n ,f o r c e v i b r a t i o n n e a r t o n a t u r a l f r e q u e n c y ,s u b h a r m o n i c v i b r a t i o nw e r e d e d u c e d .A n d t h e c o m p a r i s o nb e t w e e nn o n ‐l i n e -a r r e s p o n s e a n d l i n e a r r e s p o n s ew a s i n v e s t i g a t e d .U s i n g t h e f o u r t ho r d e rR u n g e ‐K u t t a a n d e x p e r i m e n -t a lm e t h o d ,t h e t h e o r e t i c a l d e r i v a t i o nw a s v e r i f i e d .R e s u l t s s h o w ,i n t h e t w o t y pe s of n o n ‐l i n e a r e f f e c t s ,t h e i m p a c t o f p i e z o e l e c t r i c n o n ‐l i n e a r e f f e c t o na c t u a t o r i s p r i m a r y .N u m e r i c a l r e s u l t s a gr e ew e l lw i t h a n a l y t i c a l s o l u t i o n s ,a n d t e s t i n g f r e q u e n c i e s a r e c l o s e t on o n ‐l i n e a r r e s o n a n c e f r e q u e n c i e s .K e y wo r d s :p i e z o e l e c t r i ca c t u a t o r ;n o n ‐l i n e a r ;e l e c t r o m e c h a n i c a l ‐c o u p l e d d y n a m i c s ;L i n z T e d ‐P o i n c a r ém e t h o d收稿日期:20141104基金项目:国家自然科学基金资助项目(51275441);河北省研究生创新资助项目(00302‐6370001)0 引言近年来,以形状记忆合金㊁电致伸缩材料㊁磁致伸缩材料和压电材料主导的智能材料获得了迅速发展,其中的压电材料成为学者研究的焦点[1],适应于各场合的各类微型驱动装置层出不穷㊂D r a ga n 等[2]由千足虫的爬行得到启发,利用两个U 形压电双晶片,研制了一台低频压电电机;T o -ya m a [3]将设计的球形压电超声电机作为相机作动器用在管状探测机器人上;T o m o a k i [4]研制了一台定子体积只有1mm 3的微型超声电机,成为最小的压电电机之一;赵淳生团队研发的压电超声电机首次用于 嫦娥三号”探测器,实现了其在月球上的完美着陆[5]㊂叠堆型压电驱动器在承受较大压力的同时能输出较大位移,一直受到学者的青睐㊂陈维山等[6]利用20个压电叠堆驱动器设计和制造了一台利用径向弯曲模态的行波压电电机,其最大转速㊁最大转矩分别为146r /m i n ㊁1.0N ㊃m ;O l i -v e r [7]提出一种利用8个5mm×5mm×50mm的压电驱动器进行传动的谐波压电电机,该电机堵转转矩为0.75N ㊃m ;笔者利用2个5mm×5mm×20mm 的压电驱动器设计了一种机电集成压电谐波传动系统[8],该传动系统将压电驱动㊁谐波传动和活齿传动集成为一体,具有传动比大㊁输出转矩大和寿命长等优点㊂压电驱动器的动力学特性将会对驱动力和输出位移产生重要影响,不少学者对叠堆压电驱动器进行了动力学分析㊂V a h i d 等[9]通过有限元方法对三自由度锥形压电驱动装置进行了动力学建模与分析;王光庆[10]对压电叠堆式发电装置进行了建模与仿真分析㊂然而研究者对压电的非线性动力学分析主要集中在压电片与梁或板的层叠结构上[11‐13],对于使用率较高的叠堆型压电驱动器却未曾见到相关研究㊂因此,本文在压电非线性效应和位移非线性效应的基础上对压电驱动器进行机电耦合动力学建模,运用L i n zT e d ‐P o i n c a r é法(L ‐P 法)对驱动器弱非线性自由振动㊁接近共㊃5723㊃压电驱动器非线性机电耦合动力学求解与验证李 冲 许立忠 邢继春Copyright ©博看网. All Rights Reserved.振时受迫振动和亚谐波振动进行分析与求解,最后通过四阶R u n g e‐K u t t a数值法对文中的动力学推导进行验证㊂1 非线性压电效应由于压电陶瓷磁滞效应的存在,使其在通入激励信号后产生的应力和应变呈非线性变化,故考虑非线性时的压电应变方程为[14]S3=S33T3+d33E3+12d333E23+K333T3E3(1)式中,S33为压电材料弹性柔度系数,m2/N;d33为压电应变常数,m/V;T3为压电驱动器预应力,P a;E3为电场强度,E3=U/l p;l p为压电片厚度,mm;U为驱动信号,U= U p‐p(1+c o sωt)/2;U p‐p为驱动电压峰峰值,V;ω为驱动信号频率,r a d/s;d333为二次非线性压电系数;K333为机电耦合矩阵中的元素㊂当T3=0时,式(1)化简为S3=d33U l p+12d333(U l p)2(2)根据力和应力的关系式σp=F p/A p和广义胡克定律σp=c33S3,可得压电驱动器末端非线性输出力为F p=c33A p U2l2p(2d33l p+d333U)(3)式中,c33为弹性刚度系数;A p为驱动器横截面积㊂2 非线性动力学方程2.1 机电耦合动力学模型考虑压电材料的位移非线性效应,引入量纲一小参数ε,则无激励时驱动器的非线性轴向应力为σp=c33(εy+εε2y+εε3y)(4)其中,εy为无激励信号时压电堆内轴向应变,且εy=∂v/∂y,v和y分别为压电堆的轴向振动位移和纵坐标㊂对压电驱动器施加激励信号时,设激励力幅值与小参数ε同数量级,则驱动器总的内力为F=A pσp+ε∫y0(F p/l n p)d y(5)式中,l n p为压电驱动器总长度㊂压电驱动器动力学模型如图1所示,假设各压电陶瓷片之间是理想黏结的,驱动器在整体上是一个连续杆,对图1中微元d y的受力在y向应用牛顿定律,可得压电驱动器非线性机电耦合动力学方程为ρp A p∂2v∂t2=A p c33∂2v∂y2[1+2ε∂v∂y+3ε(∂v∂y)2]+A p c33l n p(d33E3+12d333E23)(6)式中,ρp为压电叠堆的密度㊂图1 压电驱动器动力学模型令v(y,t)=ϕ(y)q(t),其中,ϕ(y)和q(t)分别为压电堆轴向振动的模态函数和时间响应函数,代入式(6)化简得q¨(t)-b1q(t)-b2εq2(t)-b3εq3(t)=εF0+εF1c o sωt+εF2c o s2ωt(7)b1=c33ϕ″ρpϕ,b2=2c33ϕ'ϕ″ρpϕ,b3=3c33(ϕ')2ϕ″ρpϕϕ=1l n p∫l n p0∑ϕi(y)d yϕ'=1l n p∫l n p0∑ϕ'i(y)d yϕ″=1l n p∫l n p0∑ϕ″i(y)d yF0=c33U p‐p(8l p d33+3d333U p‐p)16l3pF1=c33U p‐p(2l p d33+d333U p‐p)4l3pF2=c33d333U2p‐p16l3p式中,ϕi为第i阶模态函数㊂2.2 弱非线性自由振动当式(7)中激励信号U p‐p=0且ε充分小时,系统为弱非线性自由振动系统,此时系统中只存在位移非线性,没有压电非线性㊂由此可得弱非线性自由振动方程为q¨(t)+ω20q(t)-b2εq2(t)-b3εq3(t)=0(8)式中,ω0为线性系统的固有频率㊂采用L‐P法求解非线性方程,将式(8)的解q(t,ε)和振动频率ω展成ε的幂级数:q(t,ε)=q0(t)+εq1(t)+ε2q2(t)+ (9)ω2=ω20(1+εσ1+ε2σ2+ )(10)引入新的自变量κ=ωt,将原微分改为对κ的微分,并将式(9)和式(10)代入式(8)㊂令ε的同次幂的每项系数都为0,导出前二次的线性方程组为q¨0+q0=0q¨1+q1=-σ1q¨0+b2ω20q20+b3ω20q30q¨2+q2=-σ2q¨0-σ1q¨1+2b2ω20q0q1+3b3ω20q20qüþýïïïïï1(11)设压电驱动器的初始位移为δ0,初始速度为㊃6723㊃中国机械工程第26卷第24期2015年12月下半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.0,初始位移可根据线性系统受迫振动位移给出,这里不再列出具体过程㊂由初始条件和零次近似方程可得出零次近似解为q 0(t )=δ0c o s κ(12)将式(12)代入一次近似方程,同时为避免出现久期项,令c o s κ的系数为0,得出σ1=-3b 3δ20/(4ω2),故可得一次近似解为q1(t )=b 2δ202ω20+(b 3δ3032ω20-b 2δ203ω20)c o s κ-b 2δ206ω20c o s 2κ-b 3δ332ω2c o s 3κ(13)同理,将式(13)代入二次近似方程,令c o s κ的系数为0可求得σ2,对二次近似方程求解可得q 2(t )=ζ0+ζ1c o s κ+ζ2c o s 2κ+ζ3c o s 3κ+ζ4c o s 4κ+ζ5c o s 5κ(14)ζ0=-b 22δ303ω40-3b 2b 3δ4032ω40+3b 23δ44ω4ζ1=-67b 22δ30144ω40-b 2b 3δ46ω40+5b 23δ406ω40+23b 23δ51024ω40ζ2=b 22δ309ω40-b 2b 3δ4012ω40-b 23δ4012ω4ζ3=b 22δ3048ω40-3b 23δ50128ω40+b 2b 3δ432ω40ζ4=b 2b 3δ4096ω40 ζ5=b 23δ51024ω4忽略二阶以上高阶项,驱动器非线性近似解为q (t ,ε)=q 0(t )+εq1(t )+ε2q 2(t )(15)压电驱动器非线性系统振动频率ω与初始位移δ0间的关系为ω2=ω20[1-ε3b 3δ204ω20+ε2(3b 23δ40128ω40-b 2b 3δ32ω40+b 22δ203ω40)](16)2.3 接近共振时非线性受迫振动当U p ‐p ≠0时,式(7)即为接近共振时非线性机电耦合动力学方程,此时压电激励力的幅值与小参数ε同数量级,激励频率ω接近线性固有频率ω0,引入频方差εσ=ω2-ω20(σ为中间变量),将频方差和式(9)代入式(7),令ε的同次幂系数相等,导出下列近似方程组:q¨0+ω2q 0=0q ㊃1+ω2q 1=σq 0+b 2q 20+b 3q30+F 0+ F 1c o s ωt +F 2c o s 2ωt q ¨2+ω2q 2=σq 1+2b 2q 0q 1+3b 3q 20qüþýïïïïï1(17)设零次近似方程的解为q0(t )=A 0c o s ωt +B 0s i n ωt (18)式中,A 0㊁B 0为常系数㊂由初始条件得A 0=δ0,将式(18)代入一次方程,为避免久期项,令c o s ωt 和s i n ωt 的系数为0,可得3εb 3A 30+3εb 3A 0B 20+4A 0(ω2-ω20)+4εF 1=03εb 3A 20B 0+3εb 3B 30+4B 0(ω2-ω20)=}0(19)求解式(19),可得B 0=0,同时得出ω2=ω20-34εb 3δ20-1δ0εF 1(20)则压电驱动器接近共振时一次非线性近似解为q 1(t )=b 2δ20+2F 02ω2+(b 3δ3032ω2-b 2δ20+3F 0-F 23ω2)c o s ωt -b 2δ20+2F 26ω2c o s 2ωt -b 3δ3032ω2c o s 3ωt (21)将式(21)代入二次近似方程,同时为避免出现久期项,令c o s ωt 的系数为0,可得σ=[δ30(224b 22-144b 2b 3δ0+9b 23δ20)+48δ0F 0(8b 2-9b 3δ0)+16δ0F 2(4b 2+9b 3δ0)]/(6b 3δ30-64b 2δ20-194F 0+64F 2)(22)故可求解出二次近似方程的解为q2(t )=c 0+c 1c o s ωt +c 2c o s 2ωt +c 3c o s 3ωt +c 4c o s 4ωt +c 5c o s 5ωt (23)c 0=196ω4[b 2δ20(48σ+75b 3δ20-32b 2δ0-12b 3δ30)+48F 0(2σ-2b 2δ0+3b 3δ20)+8δ0F 2(4b 2+3b 3δ0)]c 1=c 0+13c 2+18c 3+115c 4+124c 5c 2=-1288ω4[b 2δ20(16σ-32b 2δ0+45b 3δ20)+48δ0F 0(3b 3δ0-2b 2)+16F 2(2σ+2b 2δ0-3b 3δ20)]c 3=13072ω4[δ30(12σb 3+64b 22+96b 23δ0+9b 23δ20)+32δ0F 0(4b 2+9b 3δ0)-96b 3δ2F 2]c 4=1480ω4(5b 2b 3δ40+8b 3δ20F 2) c 5=-b 23δ501024ω4忽略高阶项,将式(18)㊁式(21)和式(23)代入式(15),可得压电驱动器接近共振时的非线性近似解㊂2.4 亚谐波共振响应当固有频率ω0接近激励频率ω的1/3倍时,系统也会发生强烈的共振,这种现象为亚谐波响应㊂由于亚谐波响应是由较强的激励引起的,故激励力与ε不再是同数量级,其动力学方程变为q ¨(t )+[ω20-b 2εq (t )-b 3εq 2(t )]q (t )=F 0+F 1c o s ωt +F 2c o s 2ωt(24)设(ω0-ω/3)与ε同数量级,令(ω3)2=ω20+εσ1+ε2σ2(25)将式(9)和式(25)代入式(24),令ε同次幂系数相等,导出零次和一次近似方程为q ¨0+(ω3)2q0=F 0+F 1c o s ωt +F 2c o s 2ωt q ¨1+(ω3)2q 1=σ1q 0+b 2q 20+b 3qüþýïïïï30(26)㊃7723㊃压电驱动器非线性机电耦合动力学求解与验证李 冲 许立忠 邢继春Copyright ©博看网. All Rights Reserved.亚谐波零次近似方程的解为q0(t )=B 0+B 1/3c o s ωt 3+B 1c o s ωt +B 2c o s 2ωt (27)B 0=9F 0ω2,B 1=-9F 18ω2,B 2=-9F 235ω2将式(27)中二次谐波项去掉后代入一次方程,为避免出现久期项,令c o s (ωt /3)的系数为零,得出3b 3B 21/3+3b 3B 1/3B 1+12b 3B 20+8b 2B 0+6b 3B 21+4σ1=0(28)求解式(28)可得B 1/3=9F 116ω2±43εb 3(ω20-ω29)-567F 21256ω4-324F 20ω4-24b 2F 0b 3ω2(29)压电驱动器亚谐波共振产生的条件是ω20≥(ω3)2(1+15309εb 3F 211024ω6+2187εb 3F 20ω6+162εb 2F 0ω4)ε≥0ω20<(ω3)2(1-15309|ε|b 3F 211024ω6-2187|ε|b 3F 20ω6-162|ε|b 2F 0ω4)ε<üþýïïïïïïïï0(30)由一次近似方程解出一次非线性近似解为q1(t )=9C 0ω2-3C 2/3ω2c o s 2ωt 3-9C 18ω2c o s ωt -3C 4/35ω2c o s 4ωt 3-3C 5/38ω2c o s 5ωt 3-9C 217ω2c o s 2ωt -3C 7/316ω2c o s 7ωt 3-9C 326ω2c o s 3ωt (31)式中,C 0㊁C 1㊁C 2为系数㊂忽略一阶以上各项,亚谐波共振非线性近似解表示为q (t ,ε)=q 0(t )+εq1(t )㊂3 算例求解与分析3.1 压电驱动器非线性输出特性本文采用5mm ×5mm ×20mm 的压电驱动器作为研究对象,参数如表1所示㊂将参数代入式(2)和式(3),可得驱动器输出应变和输出力随电场强度E 3变化曲线以及增压和减压时输出位移随电压的变化曲线,如图2所示㊂改变参数压电应变常数d 33和压电片厚度l p ,得到压电驱动器非线性应变随参数变化曲线,如图3所示㊂由图2和图3可知:表1 压电驱动器参数参数名lp(mm )d 33(p m /V )d 333(n m 2/V2)c 33(k N/mm 2)数值0.1700166.455.6(a )应变(b)输出力(c)输出位移图2 压电驱动器非线性输出曲线(a )d 33变化(b )l p 变化图3 压电驱动器应变随参数变化曲线(1)随着电场强度E 3的增大,线性应变和非线性应变之间的差值增大,在E 3=2V /μm 时,非线性应变比线性应变小22.8%㊂同理,非线性输出力和线性输出力之差也随E 3的增大而增大,在E 3=2V /μm 时,非线性输出力比线性输出力小25.8%㊂(2)参数d 33和l p 对压电驱动器非线性应变S 3都有较大影响,非线性应变S 3随d 33的增大而增大,随l p 的增大而减小,且S 3随d 33和l p 的变化幅度较均衡㊂(3)在增压过程中,非线性输出位移曲线向上凸起,减压过程中,非线性输出位移曲线向下凹㊂出现这种现象的原因是压电存在磁滞效应,使得电压下降时输出位移不能按照原路返回㊂3.2 非线性幅频特性取小参数ε=±0.2㊁初始位移δ0=0.6mm ㊁激励信号峰峰值U p ‐p =150V ,将ε和δ0代入式(16),得到前4阶弱非线性自由振动的固有频率,如表2所示㊂分别选取小参数ε㊁电压峰峰值U p ‐p ㊁压电应变常数d 33和弹性刚度系数c 33作为研究对象,分析参数改变时接近共振时幅频曲线㊃8723㊃中国机械工程第26卷第24期2015年12月下半月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.的变化情况,作出一阶幅频响应随参数变化图,见图4㊂表2 线性与非线性固有频率1阶2阶3阶4阶ω0(ε=0)(H z)340254121197065102062ω(ε=-0.2)(H z)339584115697042102040ω(ε=0.2)(H z)340924126697089102084|ω0-ω|/ω00.00200.00130.00020.0002 (a)小参数ε变化(b)电压峰峰值U p‐p变化(c)压电应变常数d33变化(d)弹性刚度系数c33变化图4 参数对接近共振幅频响应的影响由表2和图4可得:(1)当ε<0时,非线性固有频率ω小于线性固有频率ω0;当ε>0时,ω大于ω0;阶数相同时,ε<0或ε>0时|ω0-ω|的值恒定;随着频率阶数的增加,频率变化率|ω0-ω|/ω0变小,非线性现象减弱㊂(2)与线性系统相比,非线性共振不出现在ω=ω0处及其附近,而是出现在偏离ω0较远处㊂当ω恒定时,对应的振幅|δ0|可以取到3个值,这种现象即是非线性中的跳跃现象㊂幅频响应中的骨架线主导了频响曲线的形状,反映了不同激励下振幅与激励频率的关系,且F1越大时频响曲线偏离骨架线越远㊂(3)当ε增大时,频响曲线骨架线弯曲程度变大且向横轴靠近,相同频率对应的振幅值减小,共振曲线随骨架线变化趋势相同㊂(4)随着U p‐p改变,幅频骨架线没有发生变化,共振曲线偏离骨架线的程度发生变化,且U p‐p 越大,偏离程度越大㊂主要原因是U p‐p通过改变F1的值来影响共振曲线的,而骨架线不受F1的影响㊂(5)d33对幅频响应影响较小,随着d33的增大,骨架线无变化,共振曲线偏离骨架线程度增大㊂d33和U p‐p对幅频的影响都是通过改变F1的值实现的㊂(6)当c33增大时,频响骨架线连同共振曲线一同沿频率增大的方向平移;c33取不同值时,各频响曲线形状没有发生变化㊂可见,c33的改变使得线性固有频率发生了变化,进而使非线性频响曲线偏移㊂一般情况下,压电驱动器通常与弹簧或质量块固连作为一个系统进行工作㊂以弹簧为例,当压电驱动器与一个线径㊁中径和长度分别为0.5mm㊁5mm和15mm的压缩弹簧串联时,系统的固有频率会迅速下降,如表3所示㊂故压电驱动器与弹性元件配合使用时在频率较低时也可能发生共振㊂随着技术的不断提高,压电驱动器的性能也会有所提升,压电驱动器在高频激励下的驱动有望实现㊂本文中高频研究的价值一方面会在层叠片数较少的压电叠堆中得到应用,另一方面可在未来的压电驱动器中得到体现㊂表3 压电驱动器与弹簧系统固有频率H z1阶2阶3阶4阶ω0(ε=0)144.3378.6424.5695.8ω(ε=-0.2)143.2378.2424.1695.6 3.3 非线性动态响应比较取电压峰峰值U p‐p=150V,分别对非线性自由振动㊁接近共振时受迫振动及亚谐波共振时一阶线性与非线性响应进行对比,三种振动对应的激励频率分别为33958H z㊁33958H z和101874H z㊂非线性自由振动不存在激励信号,故只存在位移非线性;接近共振时受迫振动和亚谐波受迫振动存在位移非线性和压电非线性,故分4种情况:同时存在两种非线性㊁只存在位移非线性㊁只存在压电非线性㊁线性,进行对比分析,如图5所示㊂表4所示是接近共振时4种情况振幅最大与最小值对比㊂由图5和表4知:(1)三种振动形式中,线性振动的幅值始终大于非线性振动的幅值,非线性对接近共振时受迫振动影响最大,对亚谐波受迫振动影响最小㊂(2)在非线性自由振动中,非线性响应幅值比线性响应幅值小3.3%;在接近共振受迫振动中,两种非线性效应作用时非线性幅值与线性幅值差距最大,此时非线性幅值比线性幅值小10.8%;亚谐波受迫振动中,线性与非线性幅值变化不明显㊂㊃9723㊃压电驱动器非线性机电耦合动力学求解与验证 李 冲 许立忠 邢继春Copyright©博看网. All Rights Reserved.(a)非线性自由振动(b)接近共振受迫振动(c)亚谐波受迫振动图5 压电驱动器线性与非线性响应对比表4 接近共振时线性与非线性响应值比较两种非线性位移非线性压电非线性线性q m a x(mm)0.530.520.600.60 q m i n(mm)-1.70-1.90-1.70-1.90 (3)由表4知,当只考虑位移非线性时,非线性响应幅值比线性幅值小3.2%;而当只考虑压电非线性时,非线性幅值比线性幅值小8.0%;压电非线性是位移非线性影响力的2.5倍,故在压电驱动器中压电非线性的影响起主要作用㊂(4)在接近共振时受迫振动响应曲线中平衡位置不在零线处,这是由于激励信号是带偏置的余弦信号,偏置信号对接近共振受迫振动起了作用,而偏置对亚谐波受迫振动的作用却很弱㊂4 数值验证取电压峰峰值U p‐p=150V,激励频率分别为33958H z㊁33958H z和101874H z㊂采用MA T-L A B的四阶R u n g e‐K u t t a指令对式(8)㊁式(7)及式(24)进行数值求解,并将一阶数值结果与解析解进行对比㊂图6所示是非线性响应一阶数值解,其中,图6a是三种振动的相图,1㊁2㊁3分别代表非线性自由振动㊁接近共振时受迫振动及亚谐波受迫振动㊂由图6得出规律:(1)非线性振动相图曲线是由一系列椭圆曲线叠加而成,曲线呈闭合状,是外加激励频率与固有频率共同作用形成的周期运动㊂三种振动响应的相图收敛于闭合曲线,可见三种振动的动力学方程的解是收敛的,振幅是稳定的㊂(a)相图 (b)非线性自由振动(c)接近共振受迫振动(d)亚谐波受迫振动图6 非线性响应数值解(2)弱非线性自由振动时,数值解与解析解的相位相同,幅值最大误差为8.2%㊂(3)接近共振受迫振动时,数值解和解析解幅值和相位都存在误差㊂在一阶响应中,解析幅值比数值幅值小11.9%,相位随着时间的增加而增大,在0.1m s时相位差为0.15p㊂(4)在亚谐波振动中,数值解和解析解相位同步,幅值误差最大为13%㊂5 实验分析采用德国O p t o M E T公司V e c t o r类型的激光测振仪对压电驱动器压缩弹簧系统进行振动测试,如图7所示㊂图中,数据采集器对测试数据进行处理然后通过软件在电脑输出频谱,压电驱动电源为X MT三通道具有反馈的信号放大装置㊂实验时,对压电驱动器通入50H z具有正偏置的正弦激励信号,压电驱动器弹簧系统在激励作用下产生振动,通过P i c o S c o p e软件对振动波形频谱分析可得到共振频率,表5所示为实验测试频率与理论频率比较㊂由表5可知:实验频率与理论频率最大误差控制在10%以内,且实验频率与非线性频率更接近㊂图7 压电驱动器振动测试系统㊃0823㊃中国机械工程第26卷第24期2015年12月下半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.表5 实验测试频率与理论频率比较1阶2阶3阶4阶线性频率(H z)144.3378.6424.5695.8非线性频率(H z)143.2378.2424.1695.6实验频率(H z)130.1372.9432.2683.3实验与线性误差(%)9.841.510.311.80实验与非线性误差(%)9.151.400.211.77 6 结论针对压电驱动器存在非线性效应,在压电驱动器非线性机电耦合动力学模型基础上,对弱非线性自由振动㊁接近共振时受迫振动及亚谐波共振方程进行了推导,分析了压电驱动器在非线性及线性条件下响应的区别,并对理论推导进行了验证㊂结果表明:①激励电压越大时压电驱动器非线性输出特性越显著,且增压和减压过程输出位移随电压变化路径不同;②非线性位移效应使固有频率发生变化,使共振峰值左偏,非线性压电效应使振幅较小;③小参数ε对非线性共振峰值左偏影响最大,c33只改变共振频率不改变峰值;④数值解验证了解析解的正确性,实验验证了非线性频率更接近实际共振频率㊂研究结果为利用压电驱动器进行各种压电传动系统设计和实验提供了理论基础㊂参考文献:[1] L i u X i u j u a n,Z h o u K e c h a o,Z h a n g X i a o y o n g,e ta l.D e v e l o p m e n t,M o d e l i n g a n d A p p l i c a t i o no fP i e z o e-l e c t r i cF i b e rC o m p o s i t e s[J].T r a n s a c t i o n so fN o n-f e r r o u sM e t a l sS o c i e t y o fC h i n a(E ng l i s hE d i t i o n),2013,23(1):98‐107.[2] D r a g a n A,B r y a nB,S h a s h a n kP.M i l l i p e d e‐i n s p i r e dL o c o m o t i o n t h r o u g h N o v e lU‐S h a p e dP i e z o e l e c t r i cM o t o r s[J].S m a r t M a t e r i a l sa n dS t r u c t u r e s,2014,23(3),037001.[3] T o y a m aS.S p h e r i c a lU l t r a s o n i c M o t o r f o rP i p e I n-s p e c t i o nR o b o t[J].A p p l i e d M e c h a n i c sa n d M a t e r i-a l s,2012,186:3‐11.[4] T o m o a k iM.M i c r o U l t r a s o n i c M o t o rU s i n g a O n eC u b i cM i l l i m e t e rS t a t o r[J].S e n s o r sa n d A c t u a t o r sA:P h y s i c a l,2014,213:102‐107.[5] 沈大雷.南航助 嫦娥”完美登月[N].中国教育报,2013‐12‐18(8).[6] C h e n W e i s h a n,L i uY i n g x i a n g,Y a n g X i a o h u i,e t a l.R i n g‐t y p eT r a v e l i n g W a v eU l t r a s o n i c M o t o rU s i n gaR a d i a l B e n d i n g M o d e[J].I E E E T r a n s.U l t r a s o n.F e r r o e l e c t r.F r e q.C o n t r o l,2014,61(1):197‐202.[7] O l i v e rB.H a r m o n i cP i e z o d r i v e‐m i n i a t u r i z e dS e r v oM o t o r[J].M e c h a t r o n i c s,2000,10(4):545‐554.[8] L iC h o n g,X i n g J i c h u n,X uL i z h o n g.C o u p l e dV i b r a-t i o no f D r i v i n g S e c t i o n sf o ra n E l e c t r o m e c h a n i c a lI n t e g r a t e d H a r m o n i c P i e z o d r i v e S y s t e m[J].A I PA d v a n c e s,2014,4(3):031320.[9] V a h i d H,T e g o e h T.D y n a m i c M o d e l i n g o f3‐D O FP y r a m i d a l‐s h a p e d p i e z o‐d r i v e n M e c h a n i s m[J].M e c h a n i s m a n d M a c h i n e T h e o r y,2013,70:225‐245.[10] 王光庆.压电叠堆式发电装置的建模与仿真分析[J].中国机械工程,2009,20(19):2298‐2304.W a n g Q i n g g u a n g.M o d e l i n g a n dS i m u l a t i o n o f aP i-e z o e l e c t r i c S t a c k e dG e n e r a t o r[J].C h i n aM e c h a n i c a lE n g i n e e r i n g,2009,20(19):2298‐2304.[11] S h a h r o k h H‐H,I m a n N,M a h m o o dF,e t a l.N o n-l i n e a rF r e e V i b r a t i o no fP i e z o e l e c t r i c N a n o b e a m sI n c o r p o r a t i n g S u r f a c eE f f e c t s[J].S m a r t M a t e r i a l sa n dS t r u c t u r e s,2014,23(3):035012.[12] E b r a h i m i F,R a s t g o oA.N o n l i n e a rV i b r a t i o nA n a l-y s i so fP i e z o‐t h e r m o‐e l e c t r i c a l l y A c t u a t e d F u n c-t i o n a l l y G r a d e dC i r c u l a rP l a t e s[J].A r c h i v eo fA p-p l i e d M e c h a n i c s,2011,81(3):361‐383. [13] 郭抗抗,曹树谦.考虑材料非线性时压电发电悬臂梁的主共振响应分析[J].振动与冲击,2014,33(19):8‐16.G u oK a n g k a n g,C a o S h u q i a n.P r i m a r y R e s o n a n c e o fC a n t i l e v e r e dP i e z o e l e c t r i cE n e r g y H a r v e s t e r sC o n-s i d e r i n g N o n l i n e a r i t i e s o f P i e z o e l e c t r i c M a t e r i a l[J].J o u r n a l o fV i b r a t i o na n dS h o c k,2014,33(19):8‐16.[14] T a nP i n g,T o n g L i y o n g.A O n e‐d i m e n s i o n a lM o d e lf o rN o n‐l i n e a rB e h a v i o u r o fP i e z o e l e c t r i cC o m p o s i t eM a t e r i a l s[J].C o m p o s i t eS t r u c t u r e s,2002,58(4):551‐561.(编辑 苏卫国)作者简介:李 冲,男,1988年生㊂燕山大学机械工程学院博士研究生㊂主要研究方向为机电集成压电谐波传动系统㊂许立忠(通信作者),男,1962年生㊂燕山大学机械工程学院教授㊁博士研究生导师㊂邢继春,男,1983年生㊂燕山大学机械工程学院讲师㊂㊃1823㊃压电驱动器非线性机电耦合动力学求解与验证 李 冲 许立忠 邢继春Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

基于机电一体化耦合动力学模型的伺服控制系统研究的开题报告一、研究背景与意义机电一体化耦合动力学模型是描述机电系统动力学特性的基本理论模型，对于提高机电系统运动精度、控制效率和能耗效益有着重要作用。

伺服控制系统作为机电一体化系统的核心部分，在机器人、机床、风力发电等领域有广泛应用，其稳定性、响应速度和准确度直接影响机电系统的性能。

因此，研究机电一体化耦合动力学模型下的伺服控制系统，对于推动机电系统智能化和高效化发展具有重要意义。

二、研究内容与方法本研究将基于机电一体化耦合动力学模型，探究伺服控制系统的建模、控制算法及其优化方法。

具体研究内容如下：1. 机电一体化系统的耦合动力学建模方法，包括系统结构分析、动力学方程推导和状态空间描述。

2. 伺服控制系统的设计原则和控制算法，包括经典PID控制算法、先进控制算法和自适应控制算法等，以提高系统稳定性和响应速度。

3. 伺服控制系统的参数调节优化方法，包括参数调度、参数辨识、自适应控制以及优化算法等，以提高系统的控制性能。

为了完成以上研究内容，将采用理论分析和数值模拟相结合的方法，建立机电一体化耦合动力学模型并验证其准确性，针对不同控制算法进行仿真实验以验证控制策略的有效性，并研究控制参数对系统性能的影响。

三、研究预期成果与意义经过本研究的探索，预期取得以下成果：1. 基于机电一体化耦合动力学模型的伺服控制系统建模方法和控制算法。

2. 伺服控制系统参数调节优化的理论方法及仿真实验验证结果。

3. 在机电一体化耦合动力学模型下，探究伺服控制系统的相互作用影响，提高系统运动精度和响应速度。

本研究有助于推动机电一体化系统的应用和智能化发展，提高机电系统的运动精度和控制效率，为工业生产和社会经济发展做出贡献。

压电微动台数据驱动迭代前馈补偿与自适应抑振王雯雯;赖磊捷;李朋志;朱利民【期刊名称】《光学精密工程》【年(卷),期】2024(32)6【摘要】为消除压电驱动柔性微定位平台高精控制对平台不确定动力学模型的依赖性,提出了一种数据驱动无模型迭代前馈补偿和自适应陷波滤波结合的控制方法来提高平台的跟踪性能。

首先,建立了数据驱动无模型迭代前馈控制器,提高系统对噪声和其他干扰的鲁棒性,同时,证明了在无模型迭代前馈作用下,连续参考输入跟踪误差的有界性和闭环系统的稳定性;其次,构建了自适应陷波滤波器来消除平台谐振的影响,对误差信号进行快速傅里叶变换,并设计谐振频率在线提取算法,实现对陷波滤波器参数的在线实时整定,来进一步提升轨迹跟踪精度;最后,利用所设计的无模型迭代前馈控制器和自适应陷波滤波器对压电微动台进行轨迹跟踪实验。

实验结果表明:在跟踪三角波信号时,与单独比例-积分(Proportional Integral,PI)控制和结合自适应陷波滤波器的PI控制相比较,最大跟踪误差分别减小78.25%和70.83%,能够有效提升平台的稳定性和跟踪精度。

【总页数】10页(P833-842)【作者】王雯雯;赖磊捷;李朋志;朱利民【作者单位】上海工程技术大学机械与汽车工程学院;格鲁斯特大学计算与工程学院 L502RH;中国科学院长春光学精密机械与物理研究所;上海交通大学机械与动力工程学院机械系统与振动国家重点实验室【正文语种】中文【中图分类】TP273【相关文献】1.压电驱动二维超精密微动工作台定位补偿系统的研究2.基于Duhem前馈逆补偿的压电陶瓷迟滞非线性\r自适应滑模控制3.精密机械结构的自适应压电分流阻尼抑振4.基于前馈补偿的振动台粒子群迭代学习控制算法5.压电式二维微动工作台的迟滞补偿与解耦控制因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

基于DSP+FPGA的PMSM控制系统设计与实现扈宏杰;侯腾;林大鹏【摘要】为解决电动六自由度并联运动平台大功率永磁同步电动缸的驱动控制问题,设计了一种基于DSP+ FPGA的高集成控制系统;阐述了主控板、电源功率板及驱动电路的设计方法,并对基于空间矢量脉宽调制技术的控制算法实现进行了详细介绍;实验结果表明,在负载波动条件下,系统具有良好的实时性、鲁棒性,抗干扰能力强;基于DSP+FPGA的控制系统兼具通用性与拓展性,为大功率永磁同步伺服电机控制系统的设计提供了一种有效方法,在工程领域具有广阔的应用前景.【期刊名称】《计算机测量与控制》【年(卷),期】2015(023)011【总页数】3页(P3654-3656)【关键词】永磁同步电机;矢量控制;DSP;FPGA;SVPWM【作者】扈宏杰;侯腾;林大鹏【作者单位】北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院,北京100191;北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院,北京100191;北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院,北京100191【正文语种】中文【中图分类】TM351电动六自由度平台能够实现空间六个自由度的运动，广泛应用于飞行模拟器等动态模拟试验中［1］。

为达到较好的模拟效果，伺服控制系统需要具有良好的响应速度与控制精度。

采用永磁同步电机的电动缸体积小、功率密度大，利用高能永磁体替代传统电励磁电机的励磁绕组，电枢绕组利用充分、转矩脉动小，逐步取代传统液压传动，成为平台驱动的新型元件。

永磁同步电机是一个具有强耦合关系的非线性、多变量、高阶次的复杂系统，传统单片机已不能满足其控制要求［2］。

设计了一种由DSP及FPGA组成高性能控制系统，既利用DSP强大的高速运算能力，实现两通道永磁同步电机矢量控制算法的快速计算，缩短控制周期，同时利用FPGA进行数据采样，减轻DSP负担，提高系统的整体控制性能。

利用智能功率模块IPM设计驱动电路，将功率开关和驱动电路集成在一起，同时嵌入过电压、过电流和过热等故障检测电路，有效保证系统安全运行的同时，大大减小系统体积。

压电悬臂梁机电耦合系统的建模及动力学特性分析张梦倩;宋汉文【摘要】基于压电能量采集器中最为经典的压电悬臂梁模型展开研究.考虑悬臂梁的阵型信息和轴向应变分布,这导致与梁耦合的压电片的电边界条件复杂.分别基于均匀电场分布和均匀电位移分布的两种不同电边界条件,深入探讨压电悬臂梁的机电耦合原理和耦合特性,并建立机电耦合系统的数学模型;在传统一阶能量采集电路的基础上,在电路中加入电感,建立二阶电路,并改进数学模型;对于加入电感后的模型,2阶电路可以与其耦合的n自由度机械系统共同构成一个n+1自由度系统,从而可对耦合系统进行系统整体的仿真分析,同时深入研究不同电路元件对系统采集效率的影响,发现电感的加入可极大提高系统能量采集效率.%Cantilever beams with piezoelectric ceramic layers have been frequently used as piezoelectric vibration energy harvesters. The most classical piezoelectric cantilever model d31 of the piezoelectric energy harvesters (PEH) is studied in this paper. The exact analytical solution of the cantilever PEH is presented based on Euler-Bernoulli beam assumption. The influence of dynamic mode shape and strain distribution of the cantilever PEH is considered. The mathematical model of the cantilever PEH is established and the electro-mechanical coupling principle and characteristics are deeply analyzed with the two boundary conditions of uniformly distributed electric field and uniformly distributed electric displacement respectively. Based on the traditional PEH of order one, an inductance is added to the circuit to establish a second order circuit and improve the mathematical model. In the improved model, a new system with n+1 DOFs is obtained bycombining the second order circuit with the n-DOF oscillatory system so that the global simulation of the coupled system can be realized. In addition, the influence of different elements of the circuit is analyzed. It is found that the added inductance can greatly increase the energy-harvesting efficiency of the PEH.【期刊名称】《噪声与振动控制》【年(卷),期】2017(037)002【总页数】7页(P7-12,22)【关键词】振动与波;压电悬臂梁;机电耦合模型;系统仿真;功率优化【作者】张梦倩;宋汉文【作者单位】同济大学航空航天与力学学院,上海 200092;同济大学航空航天与力学学院,上海 200092【正文语种】中文【中图分类】O32随着微电子（MEMS）技术的飞速发展，新型微能量采集器得到高度重视。

第 43 卷第 3 期2023 年 6 月振动、测试与诊断Vol. 43 No. 3Jun.2023 Journal of Vibration，Measurement & Diagnosis尺蠖式压电线性作动器设计及实验研究∗柏德恩1，邓少龙1，李云涛2，沈刚1，朱真才1（1.中国矿业大学机电工程学院　徐州， 221116） （2.上海航天控制技术研究所　上海， 201109）摘要针对空间环境下小型抓取操作机构对新型作动器的使用需求，考虑压电作动器具有耐温范围宽、无电磁干扰及断电自锁等特点，仿照昆虫尺蠖的行走方式设计一种新型压电线性作动器。

首先，利用柔性铰链式位移放大机构放大压电陶瓷（Pb⁃Zr⁃Ti，简称PZT）叠堆的输出位移，以增大线性作动器的移动步长及对导轨的夹紧变形量，将多个压电陶瓷叠堆器件分为3组，分别作为尺蠖式压电线性作动器的2个夹持单元和1个推进单元的激励源，以获得较大的驱动力并进一步增大作动器的移动步长；其次，借助有限元仿真分析软件，研究压电陶瓷叠堆力电耦合行为的预测方法，并实验验证该方法的可行性；然后，简化柔性铰链式位移放大机构，提出放大倍数的数值分析方法，对位移放大机构在压电陶瓷叠堆作动方向上的刚度进行仿真分析，并验证放大倍数的数值分析方法的准确性；最后，基于设计的线性作动器开展实验研究。

结果表明：位移放大机构对压电陶瓷叠堆输出位移的放大倍数为7.3，处于理论值与仿真值之间；在激励电压频率为5 Hz时，作动器的最大空载移动速度为413 μm/s；作动器的最大推动力为16 N，对应的驱动速度为19 μm/s。

以上研究结果能为小型抓取操作机构的智能驱动提供技术支持。

关键词尺蠖式；压电作动器；压电陶瓷叠堆；位移放大；断电自锁中图分类号TH122引言压电作动器利用压电材料的逆压电效应将电能转化为机械能，实现运动的输出，广泛应用于机器人［1⁃2］、精密仪器［3⁃5］、纳米级定位台［6⁃7］、多自由度指向平台［8⁃9］及生物工程［10⁃11］等领域。

专利名称：压电位移驱动器的控制系统专利类型：发明专利
发明人：陈巍,梁元博,罗栋
申请号：CN201811538884.0
申请日：20181214
公开号：CN111324050A
公开日：
20200623
专利内容由知识产权出版社提供
摘要：本发明提供了一种压电位移驱动器的控制系统，其包括FPGA控制电路、功率放大电路、压电位移驱动器以及自感知反馈电路；FPGA控制电路根据预期位移信号和反馈的实际位移信号生成控制电压信号，输入至所述功率放大电路；功率放大电路将控制电压信号进行功率放大形成驱动电压输入至压电位移驱动器；自感知反馈电路与压电位移驱动器连接并将压电位移驱动器作为感应器，根据压电位移驱动器的位移量生成相应的实际位移信号反馈至FPGA控制电路。

本发明的控制系统是基于压电陶瓷自感知探测进行闭环反馈，可以使系统响应速度加快，性能提高，并使系统的体积、重量减小。

申请人：深圳先进技术研究院
地址：518055 广东省深圳市南山区西丽大学城学苑大道1068号
国籍：CN
代理机构：深圳市铭粤知识产权代理有限公司
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第 37 卷第 4 期2024 年4 月振 动 工 程 学 报Journal of Vibration EngineeringVol. 37 No. 4Apr. 2024超磁致伸缩致动器非线性动力学的分数阶时滞反馈控制闫洪波1，付鑫1，汪建新1，于均成1，马庆振1，杨伯军2（1.内蒙古科技大学机械工程学院，内蒙古包头 014010；2.河北工业大学国家技术创新方法与实施工具工程技术研究中心，天津 300131）摘要: 设计了一种分数阶时滞反馈控制器，用于控制单自由度的超磁致伸缩致动器（GMA）的非线性动态响应。

考虑到预压碟形弹簧机构引入的几何非线性因素影响，建立了GMA系统的非线性数学模型。

利用平均法求解系统在含分数阶时滞反馈控制策略下主共振的幅频响应方程，根据Routh‑Hurwitz准则得到系统的稳定性条件。

通过数值模拟研究GMA系统中关键结构参数对幅频响应特性的影响，以及主共振峰值和系统稳定性随每个时滞反馈参数变化的特性规律；通过分岔图和Lyapunov指数图得到外激励幅值对系统混沌运动的影响；最后调节时滞反馈增益和分数阶次抑制系统的混沌运动。

结果表明，时滞反馈增益和分数阶次能够有效抑制系统的主共振峰值和不稳定区域，可以将系统响应从混沌运动调整为稳定的周期运动，提高系统的稳定性。

关键词: 几何非线性；超磁致伸缩致动器；混沌；时滞反馈；稳定性中图分类号: O322； TB381 文献标志码: A 文章编号: 1004-4523（2024）04-0632-13DOI：10.16385/ki.issn.1004-4523.2024.04.010引言超磁致伸缩材料（Giant Magnetostrictive Mate‑rial，GMM）作为一种新型功能材料，广泛应用于能量采集、微位移驱动、精密定位控制等领域［1‑7］。

以GMM棒为核心器件制作的超磁致伸缩致动器（Gi‑ant Magnetostrictive Actuator，GMA）在外部激励磁场作用下，通过改变GMM棒长度，以输出轴力的形式推动输出刚性杆运动，实现位移和力的输出。

第1章绪论1.1 概述近年来，随着纳米技术的迅猛发展，在光学工程、微电子制造、航空航天技术、超精密机械制造、微机器人操作、地震测量、生物、医学及遗传工程等技术领域的研究都迫切需要亚微米级、微／纳米级的超精密驱动。

传统的驱动器技术功率\质量比低，必须远离驱动点安装，而且驱动器高速运转后需要减速装置变速，致使传动系统复杂、结构累赘。

显然，传统技术已不能满足工业领域发展的需求。

近年来国际上开始了压电精密驱动技术的研究。

压电材料在驱动时具有纳米级的稳定输出位移精度。

并且压电驱动线性好、控制方便、分辨率高、频率响应好、不发热、无磁干扰、无噪声等[1]。

同时，压电驱动器能实现体积小、质量轻、大功率密度的特点。

因此压电型精密微驱动技术已成为国内外的重点研究方向。

因此采用全新的驱动器——超声波电机来驱动位移机构。

超声波电机原理和结构完全不同于传统电磁式电机，没有绕阻和磁场部件，不是通过电磁相互作用来传递能量，而是直接由压电陶瓷材料实现机电能量转换的新型电机，其结构简单，具有单位体积出力大、响应性能优良等特点。

磁式电机已经存在100多年了。

在这种电机在工业上占据支配地位的同时，它的改革需要新的材料和设计的出现。

一个毫米级转子的电磁电动机用在手表上，可能需要一个直经为1cm的永磁铁。

这种压电超声电动机尺寸独立，因此在微小电动机的应用上得到了更多关注[2]。

1.2 超声波电机20世纪40年代，人们就知道了超声波电机的工作原理，但直到80年代，随着具有高转换效率的压电陶瓷材料的出现，以及电力电子技术的发展，才逐步研制出各种类型的超声波电机。

1961年，Bulova钟表公司首次尝试利用弹性振动获得动力，利用电磁力激振音叉，利用其往复运动拨动钟表齿轮。

这种钟表走时准确，每月只有一分钟的误差，打破了当时的纪录，引起了轰动。

1964年，苏联基辅理工学院(Kiev Politechnical Institute)的vrinenko设计了第一个压电旋转电机。

基于径向基神经网络的压电作动器建模与控制范家华;马磊;周攀;刘佳彬;周克敏【摘要】针对压电作动器(piezoelectric actuator, PEA)的率相关迟滞非线性特性,构建了Hammerstein模型对压电作动器建模.采用径向基(radial basis function, RBF)神经网络模型表征迟滞非线性,利用自回归历遍模型(auto-regres-sive exogenous, ARX)表征频率的影响,并对模型参数进行了辨识.此模型可以在信号频率在1∼300 Hz范围内时,较好地描述压电作动器的迟滞特性,建模相对误差为1.99%∼4.08%.采用RBF神经网络前馈逆补偿控制,结合PI反馈的复合控制策略实现跟踪控制,控制误差小于2.98%,证明了控制策略的有效性.%For the rate-dependent hysteresis nonlinearity of piezoelectric actuators, a Hammerstein model is established. Using a radial-basis-function (RBF) neural network to represent the hysteresis nonlinearity, an auto-regressive exogenous (ARX) model to represent the impact of frequency, and parameter identification is also accomplished. The proposed model describes the hysteresis characteristics of frequency ranged from 1 to 300 Hz of the signals, and the relative error is 1.99%∼4.08%. A compound control strategy with RBF neural network feedforward inverse compensation and PI feedback is utilized for position tracking control, and the relative error less than 2.98%. Validity of the control strategy is proved by experimental results.【期刊名称】《控制理论与应用》【年(卷),期】2016(033)007【总页数】7页(P856-862)【关键词】率相关;迟滞;RBF神经网络;压电作动器;Hammerstein模型【作者】范家华;马磊;周攀;刘佳彬;周克敏【作者单位】西南交通大学电气工程学院系统科学与技术研究所，四川成都611756;西南交通大学电气工程学院系统科学与技术研究所，四川成都611756;西南交通大学电气工程学院系统科学与技术研究所，四川成都611756;西南交通大学电气工程学院系统科学与技术研究所，四川成都611756;路易斯安那州立大学电气工程与计算机科学系，美国巴吞鲁日70803【正文语种】中文【中图分类】TP271压电作动器[1-3]具有能量密度大、响应速度快、精度高等优点，适用于精密定位与跟踪、微机械操作、精密流量控制、结构振动主动控制等领域.由于其在输入输出关系上存在复杂的率相关迟滞非线性特性[4]，不仅使系统的控制精度降低，还会使系统的稳定性变差甚至造成振荡，妨碍了其在更广阔领域中的应用.常用的迟滞非线性系统建模方法主要有3种，包括：1）物理模型，基于材料本身的物理机制，如Jiles-Atherton模型[5]、Stoner-Wohlfarth模型[6]、Duhem模型[7]；2）算子模型，利用迟滞算子表征系统的特性，例如：Preisach模型[8]、Prandtl-Ishlinskii（PI）模型[9]、 Krasnoselskii-Pokrovskii模型[10]；3）智能模型，利用系统的输入输出数据结合计算智能方法建模，如模糊树模型[11]、支持向量机模型[12]、人工神经网络模型[13-14]等.此外，还有Bouc-Wen模型[15]这样的半物理模型，利用多项式函数建模的函数模型[16]，以及通过改进经典迟滞模型的新模型，比如modified Prandtl-Ishlinskii（MPI）模型[17].上述方法所考虑的模型都是率无关的，为了拟合频率对迟滞非线性系统的影响，有分离式和整体式两类率相关的建模方法.分离式把系统的迟滞和率相关特性分别由不同的模块完成，比如Hammerstein模型[18]、Wiener模型[19]、三明治模型[20]等；整体式对系统不做分离，直接把频率或能表征频率的参数引入模型中，建立整体模型[21-22].其中Hammerstein模型的进展较大，如文献[18]和文献[23]分别使用Bouc-Wen模型和MPI模型实现Hammerstein模型的静态非线性部分，结合ARX模型实现的动态线性部分，在压电作动器的建模中取得了较理想的效果. 迟滞非线性系统的控制方法主要包括逆补偿控制[24]，以及不直接求逆[25]和迟滞线性化[26]等方法.逆补偿控制是最主要的方法，通过构建迟滞系统的逆模型抵消系统的迟滞特性.但是因为难以建立精确的模型而且环境中存在扰动和噪声，使得控制时还需要结合其它控制方法.本文采用RBF神经网络模型和ARX模型组成Hammerstein模型，用来描述压电作动器的率相关迟滞非线性特性.实验结果表明模型结构简单，参数易辨识，能较好地描述1～300Hz频率范围内压电作动器的特性.使用神经网络逆补偿控制结合PI反馈控制的复合控制策略，实验结果表明这种策略控制精度高，泛化能力强.为了说明此类智能结构的率相关迟滞非线性特性，给本文的压电作动器输入不同频率的正弦信号，采集相应的输出信号，结果如图1所示.如表1所示，使用相对误差RE定量表示系统的非线性，可见随着系统输入输出信号频率的增大，迟滞特性越来越强.2.1 Hammerstein模型（Hammersteinmodel）本文使用Hammerstein模型[27]建立压电作动器的模型，如图2所示，由RBF神经网络模型实现静态非线性模块N，用ARX模型实现动态线性模块G（z）.研究发现，当信号的频率较低（0～5Hz）时，迟滞环基本没有变化.可以认为压电作动器仅表现了迟滞特性，是率无关的，可以用静态非线性模块实现.当输入输出信号频率增大后，再由一个高阶常微分方程实现动态线性模块，表征率相关特性. 2.2 径向基神经网络模型（RBFneuralnetworkmodel）RBF神经网络能够逼近任意的非线性函数，具有泛化能力强、学习收敛速度快等优点，且无局部极小，广泛应用于非线性系统辨识中.但是使用神经网络有个前提，系统的输入输出必须满足一对一映射或多对一映射的关系.而压电作动器的输入输出具有多值映射的特点，很难直接使用RBF神经网络去逼近迟滞非线性.因此需引入一个迟滞因子来拓展神经网络的输入空间[28-29]，使神经网络的输入与输出之间形成多对一映射.如图3所示，输入空间由一维拓展到两维.虽然迟滞环的运动曲线较为复杂，但是通过研究发现其运动规律有个特点：不同迟滞环的运动轨迹很接近，在到达极值点前后，总是沿着类似的曲线上升或下降.如果使用形状相似且容易用数学语言描述的曲线来代替迟滞环，即构造迟滞因子来描述系统的迟滞特性，可以有效简化计算.本文使用PI模型来构建迟滞因子，如图4所示，是该模型的基本Play算子.式（1）是对Play算子的数学描述，rh是算子的阈值，y0是算子的初值.通过叠加一系列不同阈值和权值的Play算子，可以有效拟合迟滞特性，如式（2）所示，是迟滞正因子的数学描述.其中：y0=［y01，y02，………，y0n］T是Play 算子的初始值向量，wh=［wh0，wh1，………，whn］T是权值向量，rh=［rh0，rh1，………，rhn］T是阈值向量.上述参数的辨识方法可参照文献[17].2.3 自回归历遍模型（Auto-regressive exogenous model）自回归历遍（ARX）模型可以看作是一种有理传递函数模型，用于实现压电作动器的Hammerstein模型的动态线性部分，表征压电作动器的率相关特性. ARX模型表达式为其中：y（t）是输出项，u（t）是输入项，e（t）为误差项，A（z）=1+a1z-1+a2z-2+………+anz-n，B（z）= 1+b1z-1+b2z-2+………+bmz-m，z-1为单位延迟算子.ARX模型写成传递函数形式为不同于物理模型，算子模型和智能模型都是直接使用系统的输入输出数据进行建模.因此不需要求解模型的物理结构和相应参数，使得模型解析较为容易，利于逆模型的求解计算.3.1 数据预处理（Data preprocessing）以压电作动器为代表这一类智能结构，精度都是微米级甚至更高.因此环境中噪声和扰动对迟滞系统的影响较大，除了可以使用光学减振平台进行振动隔离外，后期的滤波降噪等数据处理也是不可少的.本文使用FIR滤波器对1Hz时的输出数据进行了处理，使得输出的波形更为平滑，有效减少了噪声和扰动的影响.3.2 模型辨识（Model identification）系统的静态非线性模块，使用输入输出信号频率为1Hz时的数据，确定相应的输入信号x、迟滞输入信号f（x）以及输出信号y.本文建立了一个标准的3层的RBF神经网络，隐层使用径向基函数，输出层为隐层输出的线性加权和.通过使用MATLAB神经网络工具箱，调用new rb函数进行训练，本文中神经网络的期望均方误差取为0，散布常数取为30.再使用gensim函数将训练好的模型提取为Simulink模块，建立相应的RBF神经网络模型框图，以便后续和dSPACE连接.系统的动态线性模块，输入压电作动器1～300Hz的正弦扫描信号，得到系统输入x（k）、系统输出y（k），基于已经得到的RBF神经网络模型，确定中间变量v（k）.调用MATLAB里的ARX语句进行函数辨识，以v（k）作为输入，y（k）作为输出.关于ARX函数的阶次选择[30]，可以依据AIC准则（Akaike’s information criterion），本文确定为两阶时效果最好，辨识结果如下：3.3 模型验证（Modelvalidation）输入信号是电压为90V，频率范围为1～300Hz，包括单一频率和复合频率的正弦信号.同时给压电作动器和其Hammerstein模型相同的输入信号，采集相应的输出信号.实际测量和仿真的结果具体如图5所示，通过比较检验所建模型的有效性.3.4 检测标准（Detection criterion））使用相对误差（relativeerror，RE）和均方根误差（rootmean squareerror，RMSE）作为检测的标准，如式（6）-（7）所示.N是数据个数，x是模型输出，y 是实际输出.使用RE和RMSE对压电作动器的建模效果进行定量的描述，不同频率信号误差数值参见表2.从图5和表2可以看出，所提出的模型能够有效地描述压电作动器的率相关迟滞非线性特性，均方根误差最大为1.2657µm，相对误差在1.99%～4.08%之间.相比于别的方法，这种模型所需要的数据量少，结构简单，容易辨识并实现.关于压电作动器的控制器设计，如果只使用PID前馈控制，效果较差，难以满足控制要求；直接使用逆模型控制能够较好地消除迟滞特性，但是对环境的适应能力较差.因此本文使用直接逆补偿控制，结合PI反馈控制的复合控制策略，先构建RBF逆模型和ARX逆模型，再确定相应的PI控制器参数.如图6所示，是压电作动器的控制器原理图.N-1是RBF神经网络逆模型，W（z）是G（z）的逆模型.x是参考输入信号，y是实际输出信号，e是输入输出信号的差值，反馈输入PI控制器中.把相应的Hammerstein逆模型串联放在作动器模型前面，在逻辑层次上的意义是：对输入信号进行补偿，以补偿后的信号作为压电作动器的实际输入，使作动器的输出达到理想输出.4.1 RBF神经网络逆模型（RBFneuralnetwork inversemodel）构建逆模型的步骤与构建正模型类似，使用输入输出信号频率为1Hz时的数据.如图7所示，将输出信号y作为逆模型的输入信号，确定相应的流经迟滞逆因子的数据h（y），将输入信号x作为逆模型的输出信号.利用new rb函数和gensim函数确定相应的逆模型.迟滞逆因子具有和迟滞正因子相反的运动特性，对迟滞正因子求解析逆即可得到迟滞逆因子如式（8）所示，是对迟滞逆因子的数学描述，y′0=［y′01y′02………y′0n］T是迟滞逆因子的初始值向量，是阈值向量和权值向量.4.2 ARX逆模型（ARX inversemodel）理想的ARX逆模型应是W（z）=G-1（z），但是由工程学角度可知，无论是G （z）还是W（z）必须是严格正则的系统.因此逆模型可取为式（9）.如果系统的采样频率足够高，W（z）和G-1（z）会非常接近，本文取为10KHz.4.3 PI反馈控制（PIfeedback control）为了提高控制精度，引入PI反馈控制，其中PI控制器参数的选取采用Ziegler-Nichols工程整定法.然而得到的PI控制器参数，其效果不一定是最优的，仍需要根据实际情况进行微调.实验设备如图8所示.压电作动器型号为芯明天公司的PSt150/7/60VS12，行程范围58.83µm，驱动电压为0～150V.配套的压电陶瓷伺服功率放大器装有低压功率放大模块XE-505.00.电涡流传感器型号是远东测振公司的85745型，分辨率为8mV/µm.dSPACE半实物仿真平台是一个标准组件系统，包含DS1006（处理器）、DS2002（A/D）、DS2103（D/A）等多块板卡.信号流程如下：在上位机上搭建迟滞系统的Simulink模型，下载到dSPACE平台中，发出控制信号给压电陶瓷伺服功率放大器.然后流向压电作动器，产生相应的位移，由电涡流传感器测量压电作动器的位移.最后传给dSPACE平台，再由上位机进行后续的数据处理和分析.5.1 控制效果（Control results）根据前文提出的控制策略，设计了实时的跟踪控制实验.输入幅值为20µm，频率范围在1～300Hz内的正弦信号，包括单一频率和复合频率.采集相应的压电作动器输出信号，和理想信号进行对比，如图9所示.图9 是实时跟踪控制实验的效果，检测的标准同样使用相对误差RE和均方根误差RMSE来定量表示，不同频率信号（包括单一频率和复合频率）的误差数值参见表3.由图9和表3的结果可以看出，提出的控制策略基本抵消了压电作动器的迟滞非线性特性和率相关特性，从而对不同频率的输入信号进行有效地跟踪.由此可知，本文所建Hammerstein模型能够有效拟合压电作动器的率相关迟滞非线性. 5.2 与MPI建模方法的比较（Comparisonwith MPImodelingmethod）文献[23]中提出了一种基于MPI逆模型前馈结合PI反馈控制的方法，对压电作动器进行控制.本文在同一个压电作动器上复现了该控制策略以进行比较.但是受限于算子模型的局限性，使得MPI模型的泛化能力不强，也没有考虑原始数据中环境噪声的影响.本文使用FIR算法对原始数据进行优化，使用RBF神经网络模型进行建模，有效加强了迟滞模型的泛化能力，在高频阶段控制精度明显提高.如图10所示，是两种方法的相对误差RE的比较.针对压电作动器的率相关迟滞非线性，本文建立了基于RBF神经网络和ARX函数的Hammerstein模型，并给出了模型的原理和辨识方法.结果表明模型的频率泛化能力较好，能有效描述压电作动器在1～300Hz频率范围内的迟滞环.提出了基于RBF神经网络逆补偿控制，结合PI反馈控制的复合控制策略，实时跟踪幅值为20µm的单一频率和复合频率正弦信号.压电作动器输出和参考输入的均方根误差不超过0.9757µm，控制误差不超过2.98%.表现出良好的跟踪精度，实时性较好，证明了控制策略是有效的.[1]MAO Jianqin，LILin，ZHANG Zhen，etal.Dynamicsand Controlof IntelligentStructures[M].Beijing：Science Press，2013.（毛剑琴，李琳，张臻，等.智能结构动力学与控制[M].北京：科学出版社，2013.）[2]YANG Dazhi.IntelligentMaterialand IntelligentSystem[M].Tianjin：Tianjin University Press，2002.（杨大智.智能材料与智能系统[M].天津：天津大学出版社，2002.）[3]LIChuntao，TAN Yonghong.Modeling and control fornonlinearsystemswith hysteresis[J].Control Theory&Applications，2005，22（2）：281-287.（李春涛，谭永红.迟滞非线性系统的建模与控制[J].控制理论与应用，2005，22（2）：281-287.）[4]CUIYuguo，SUN Baoyuan，DONGWeijie，etal.Causes forhysteresisand nonlinearity ofpiezoelectric ceramic actuators[J].Opticsand Precision Engineering，2003，11（3）：270-275.（崔玉国，孙宝元，董维杰，等.压电陶瓷执行器迟滞与非线性成因分析[J].光学精密工程，2003，11（3）：270-275.）[5]JILESDC，ATHERTOND L.Theory of ferromagnetic hysteresis[J]. 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