等腰三角形的性质1 (2)

等腰三角形的性质与定理等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。

在几何学中，等腰三角形具有一些独特的性质和定理。

本文将对等腰三角形的性质与定理进行详细的介绍。

一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形的定义：等腰三角形是指具有两条边的长度相等的三角形。

在等腰三角形ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。

等腰三角形的性质：1. 等腰三角形的底角（底边上的角）两个相等。

证明：由等腰三角形的定义可知，AB=AC，再加上三角形内角和为180度的性质，可得∠A+∠B+∠C=180度。

由于∠A=∠B=∠C，所以∠B+∠B+∠B=180度，即3∠B=180度，所以∠B=∠C=60度。

2. 等腰三角形的高（从顶点到底边的垂直线段）和斜边的中线相等。

证明：作等腰三角形ABC的高AD和BC的中线DE。

首先证明AD=DE。

由于三角形ABC是等腰三角形，所以∠A=∠B=∠C=60度。

又因为∠DAB和∠DEC是等腰三角形的底角，所以∠DAB=∠DEC=60度。

因此，由三角形内角和为180度的性质可知，∠DAB+∠BAD+∠BDA=180度，即60度+∠BAD+90度=180度，解得∠BAD=30度。

同理，∠DCE=30度。

再考虑三角形ABD和DEC，由于∠BAD=∠DCE=30度，∠DAB=∠DEC=60度，所以根据AA相似性质可知，∠ABD=∠DEC，故两个三角形相似。

根据相似三角形的性质，可得AD/DE=BD/EC=AB/DC=1/2。

又已知BD=DC，所以AD=DE。

3. 等腰三角形的对顶角（顶点所对的两边的角）相等。

证明：在等腰三角形ABC中，已知∠B=∠C，∠BAC是三角形内角和，即∠BAC+∠CAB+∠ABC=180度，即2∠B+∠ABC=180度，解得∠ABC=180度-2∠B。

同理，∠ACB=180度-2∠C。

由于∠B=∠C，所以∠ABC=∠ACB。

因此，等腰三角形的对顶角相等。

二、等腰三角形的定理1. 等腰三角形底角的平分线是高和对称轴。

等腰三角形性质等腰三角形是初中数学中一个重要的概念，它具有许多特点和性质。

在本文中，我将为大家详细介绍等腰三角形的性质，并通过具体的例子来加深理解。

一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指两边长度相等的三角形。

它的性质有以下几点：1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边两侧的角）相等。

这是等腰三角形的最基本性质之一。

例如，我们可以考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。

根据定义，我们可以得出∠B=∠C。

这个性质可以通过实际测量角度来验证。

2. 顶角平分底边：等腰三角形的顶角（即顶点的角）平分底边。

这意味着顶角的两个角度与底边的两个角度相等。

例如，我们可以考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。

根据定义，我们可以得出∠A=∠B=∠C。

这个性质可以通过实际测量角度来验证。

3. 等腰三角形的高线：等腰三角形的高线是从顶点到底边中点的线段，它与底边垂直。

例如，我们可以考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。

我们可以通过实际绘制图形来验证高线的垂直性。

二、等腰三角形的应用等腰三角形的性质在数学中有广泛的应用。

下面，我将介绍一些常见的应用情况。

1. 判定等腰三角形：当我们遇到一个三角形，需要判断它是否为等腰三角形时，可以利用等腰三角形的性质进行判断。

例如，我们可以考虑一个三角形ABC，其中AB=AC。

根据等腰三角形的性质，我们可以得出∠A=∠B=∠C，从而判定这个三角形为等腰三角形。

2. 求等腰三角形的面积：当给定等腰三角形的底边长度和高线长度时，我们可以利用等腰三角形的性质求解其面积。

例如，我们可以考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，高线AD与底边BC垂直，且AD=h。

根据等腰三角形的性质，我们可以得出BC=2AD。

因此，等腰三角形的面积S=1/2×BC×h=AD×h。

三、等腰三角形的拓展等腰三角形的性质还可以进一步拓展到其他几何概念中。

1. 等腰梯形：等腰梯形是指两边平行且等长的梯形。

等腰三角形和高的关系1. 介绍等腰三角形是一种具有两边长度相等的三角形，其中的两个角也相等。

在等腰三角形中，高是指从顶点到底边的垂直距离。

本文将详细探讨等腰三角形和高之间的关系。

2. 等腰三角形的性质等腰三角形的性质有以下几点： - 两边长度相等； - 两个底角（底边两侧的角）相等； - 顶角（顶点处的角）与底角互补，即它们的和为180度； - 顶角的角平分线也是底边的高。

3. 高的定义和性质高是指从三角形的顶点到底边的垂直距离。

具体来说，等腰三角形的高是从顶点到底边的垂直线段。

高具有以下性质： - 高与底边垂直； - 高与底边的交点称为垂足； - 高将底边分为两个相等的线段； - 等腰三角形的高也是顶角的角平分线。

4. 等腰三角形和高的关系等腰三角形和高之间有着密切的关系。

下面我们将从不同的角度来探讨这个关系。

4.1 高的长度与底边长度的关系在等腰三角形中，高将底边分为两个相等的线段。

因此，高的长度与底边长度有直接的关系。

设等腰三角形的底边长度为a，高的长度为h，那么根据高的定义，我们可以得到以下关系：a=2ℎ从上述关系式可以看出，底边长度是高的两倍。

这意味着，底边越长，高也越长，而且它们之间的比例始终保持为2:1。

4.2 高与顶角的关系在等腰三角形中，高是顶角的角平分线。

这意味着高将顶角分成两个相等的角。

设等腰三角形的顶角为θ，高将顶角分成的两个角分别为α和β，那么根据角平分线的性质，我们可以得到以下关系：α=β=θ2从上述关系式可以看出，高将顶角分成两个相等的角，每个角的大小为顶角的一半。

4.3 高与底角的关系在等腰三角形中，高与底角互补，即它们的和为180度。

设等腰三角形的底角为θ，高与底角的大小为α，那么根据互补角的性质，我们可以得到以下关系：α+θ=180°从上述关系式可以看出，高与底角的大小之和为180度。

这意味着，底角越小，高就越大；底角越大，高就越小。

5. 应用示例示例1：已知等腰三角形的底边长度为10cm，求高的长度。

等腰三角形的性质及计算方法等腰三角形是指两条边相等的三角形。

在数学中，我们经常需要计算三角形的各种属性和特性。

本文将介绍等腰三角形的性质，并提供一些计算等腰三角形的方法。

一、等腰三角形的性质1. 两边相等：等腰三角形的两条边长度相等，即AB = AC。

这是等腰三角形最基本的性质。

2. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即两个基边所对的角）相等，即∠B = ∠C。

3. 顶角平分底角：等腰三角形的顶角（即顶点所对的角）平分底角，即∠A = ∠B = ∠C。

4. 等腰三角形的高：等腰三角形的高是从顶点向底边的垂直距离，记作h。

5. 等腰三角形的中线：等腰三角形的中线是连接底边中点与顶点的线段，记作AM。

二、等腰三角形的计算方法1. 计算等腰三角形的周长：等腰三角形的周长可以通过两边的长度和底边的长度来计算。

由于等腰三角形的两边相等，可以使用以下公式计算周长：周长 = AB + AC + BC = 2AB + BC。

2. 计算等腰三角形的面积：等腰三角形的面积可以通过高和底边的长度来计算。

使用以下公式计算面积：面积 = 1/2 * 底边长度 * 高 = 1/2 * BC * h。

3. 计算等腰三角形的高：若已知等腰三角形底边长度BC和两边的长度AB（或AC），可以使用勾股定理计算三角形的高。

假设底边的中点是M，则通过三角形的中线AM可以得到高h，并使用以下公式计算高：h = √(AB² - (1/2 * BC)²)。

4. 计算等腰三角形的底边长度：若已知等腰三角形的两边长度AB 和AC，可以使用以下公式计算底边的长度：BC = 2√(AB² - (1/2 * AC)²)。

5. 计算等腰三角形的顶角和底角：等腰三角形的顶角和底角相等，可以使用以下方法计算角度值：- 计算顶角的度数：∠A = ∠B = ∠C = 180度 / （3 - 1）= 90度。

- 使用正弦函数计算角度的弧度值：sin(∠A) = sin(∠B) = sin(∠C) = (1/2 * BC) / AB。

专题：等腰三角形的性质与判定※题型讲练考点一等腰三角形的性质定理1：“等边对等角”1．等腰三角形的性质定理：(1)性质定理1：等腰三角形的两个相等(该定理可以简写成“”)．注意：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线(顶角平分线、底边上的高) ．【例1】(1)已知等腰三角形的一个外角是100°，则其底角的度数是50°或80°．(2)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD＝___18°_____．(3)如图，在△ABC中，D在BC上，若AD＝BD，AB＝AC＝CD，则∠BAC的度数是108°．(4)如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：∠BAF＝∠ACF．变式训练1：1．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角为60°或120°．2．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数度数是50°．3．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，延长CA到点E，使AE=AD，求证：ED⊥BC．考点二等腰三角形的性质定理2：“三线合一”(2)性质定理2：等腰三角形的的角平分线、底边上的、底边上的互相重合，简写成“”．【例2】(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD ＝35°，则∠C的度数为___55°_____．(2)如图，△ABC的周长为32，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为24，则AD的长为____8___．(3)如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm，S△ABC＝48cm2，AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E，则DE等于___4.8____．变式训练2：1．如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD=20°，则∠ACE的度数是___35°___．2．如图，△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，作∠EAB ＝∠BAD，AE边交CB的延长线于点E，延长AD到点F，使AF＝AE，连接CF．试证明：BE＝CF．考点三等腰三角形的判定定理：“等角对等边”1．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“”)．【例2】(1)如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形的个数为( D )A．3个B．4个C．5个D．6个(2)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．(3)如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于点E，EF∥AC交AB于点F．求证：AF＝FB．变式训练3：1．如图，在△ABC中，BP平分∠CBA，AP平分∠CAB，且DE∥AB，若CB＝12，AC＝18，则△CDE的周长是____30____．2．如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD．考点四等腰三角形的综合问题【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB 、BC 、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．※课后练习1．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( D )A．过顶点的直线B．腰上的高所在的直线C．顶角的角平分线D．底边的垂直平分线2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC 的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝(B) A．30°B．45°C．60°D．90°3．如图所示，已知AB＝AC＝BD，那么∠1和∠2之间的关系是(D)A．∠1＝2∠2 B．2∠1－∠2＝180°C．∠1＋3∠2＝180°D．3∠1－∠2＝180°4．已知等腰三角形中有一个内角为70°，则该等腰三角形的顶角度数为70°或40°．5．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4 cm，则CD等于____4 cm ___．6．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F．若AF=3，BF=5，则CE的长度为11．7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A(2，4)，在坐标轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则所有符合条件的点P有8 个．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在AC，AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB．则∠A的度数为45°．9．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE 交AD于F，交AC于E．(1)若BE平分∠ABC，试判断△AEF的形状，并说明理由；(2)若AE＝AF，请证明BE平分∠ABC．10．如图，AD是∠BAC的平分线，AB=AC+DC．求证：∠C=2∠B．证明：在AB上截取AE=AC，连接DE．∵AB=AC+DC，AE=AC，∴BE=DC．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD=∠CAD，∴△AED≌△ACD( SAS )．∴DE=DC=BE，∠AED=∠C，∴∠B=∠EDB．∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠AED=2∠B，∴∠C=2∠B．11．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过点D 分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．(1)当点D在BC的什么位置时，DE=DF?请给出证明．(2)过点C作AB边上的高CG，请问DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系?并加以证明．解：(1)当D为BC的中点时，DE=DF．∵D为BC的中点，∴BD=CD．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，∴△BED≌△CFD( AAS )，∴DE=DF．(2)CG=DE+DF．连接AD，∵S△ABC=S△ADB+S△ADC，AB×CG=AB×DE+AC×DF，又∵AB=AC，∴CG=DE+DF．12．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，CB于点D，E，图1，图2，图3是旋转得到的三种图形．(1)以图2为例证明：PD=PE；(2)△PBE能否构成等腰三角形？若能，求出∠PEB的度数；若不能，请说明理由．。

等腰三角形的性质定理(2)
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一）即AD⊥BC
即时演练将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗
因为图中的三角尺是等腰三角形.当重锤线经过三角尺斜边（底边）的中点时，重锤线
（底边上的中线）与底边上的高叠合（等腰三
角形三线合一），即三角尺的斜边与重锤线垂
直，可以确定三角尺的斜边与横梁是水平的。

否则梁就不是水平。

思考及时练习，巩固
所学
例题讲解例4 已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰
三角形ABC，使底边BC=a，底边BC=a，底边BC
上的高线长为h.
作法如图：
1、作线段BC=a；
2、作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点
D；
3、在直线 MN 上截取DA=h，连结AB、AC。

△ABC就是所求作的等腰三角形。

听课讲解课本例题
即时演练如图，已知∠α和线段a,用直尺和圆规作一个等腰三角形，使它的顶角等于∠α，底边
上的中线等于a。

1. 以线段a为半径,A为顶点画弧交AM,AM于做练习及时练习，巩固
所学。

八年级数学等腰三角形知识点整理及重点题型梳理一、等腰三角形含义：有两条边相等的三角形。

常见题：已知两边长和第三边，求周长。

例题：两条边长分别为3和4，求周长，注意：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

二、 等腰三角形的性质：1.等边对等角，例如：已知AB=AC ，∠B=∠C 等腰三角形的性质：2等腰△的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）。

注意：只有等腰三角形才有三线合一。

[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且BD=DC=AD ，求：△ABC 各角的度数．D CAB3. 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．4. [例2]求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么 这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）． 求证：AB=AC ． 证明：∵AD ∥BC ，∴∠1=∠B （两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠C （两直线平行，内错角相等）．又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C ， ∴AB=AC （等角对等边）． 练习：已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ． 求证：AB=AD ．证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC （两直线平行，内错角相等）． 又∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD=∠DBC ， ∴∠ABD=∠ADB ， ∴AB=AD （等角对等边）．[例3]如图（1），标杆AB 的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C•向地面上与点B 距离相等21EDABDCAB的D 、E 两点拉两条绳子，使得D 、B 、E 在一条直线上，量得DE=4米，•绳子CD 和CE 要多长？(1)EDCA B (2)分析：这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题． 一、复习知识要点1．有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．2．三角形按边分类：三角形()⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形正三角形 3．等腰三角形是轴对称图形，其性质是：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．4．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 二、例题例：如图，五边形ABCDE 中AB=AE ，BC=DE ，∠ABC=∠AED ，点F 是CD 的中点．•求证：AF ⊥CD.分析：要证明AF ⊥CD ，而点F 是CD 的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，•于是连接AC 、AD ，证明AC=AD ，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．证明：连接AC 、AD 在△ABC 和△AED 中()()()AB AE ABC AED BC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知已知已知 ∴△ABC ≌△AED （SAD ）∴AC=AD （全等三角形的对应边相等） 又∵△ACD 中AF 是CD 边的中线（已知）EDCABF ∴AF ⊥CD （等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合） 三、练习 （一）、选择题1．等腰三角形的对称轴是（ ）A ．顶角的平分线B ．底边上的高C ．底边上的中线D ．底边上的高所在的直线2．等腰三角形有两条边长为4cm 和7cm ，则该三角形的周长是（ ） A ．17cm B ．22cm C ．18cm 或15cm D ．18cm 3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．30° B ．50° C ．60° D ．40° 4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40° C ．40° D ．80°5．如图1，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．108°E DCABHFG如图1答案:1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 如图2 （二）、填空题6．等腰△ABC 的底角是60°，则顶角是________度． 7．等腰三角形“三线合一”是指___________．8．等腰三角形的顶角是n °，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________．9．如图2，△ABC 中AB=AC ，EB=BD=DC=CF ，∠A=40°，则∠EDF•的度数是_____． 10．△ABC 中，AB=AC ．点D 在BC 边上（1）∵AD 平分∠BAC ，∴_______=________；________⊥_________； （2）∵AD 是中线，∴∠________=∠________；________⊥________； （3）∵AD ⊥BC ，∴∠________=∠_______；_______=_______．11．△ABC 中，∠A=65°，∠B=50°，则AB ：BC=_________．12．已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，要使AD•∥BC ，•则△ABC•的边一定满足________． 13．△ABC 中，∠C=∠B ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，•AE=•2cm ，•且DE•∥BC ，•则AD=________． 答案:6．60 7．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 8．（90+12n ）° 9．70° 10．略 11．1 12．AB=AC 13．2cm 14．30海里 （三）、解答题15．如图，CD 是△ABC 的中线，且CD=12AB ，你知道∠ACB 的度数是多少吗？由 此你能得到一个什么结论？请叙述出来与你的同伴交流．DCAB16．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，求证：∠ABC=∠ADC.DCAB17．如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，• 求证：△DBE 是等腰三角形．ED CABF答案:15．∠ACB=90°．结论：若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形16．连接BD ，∵AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB ．∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ． ∴∠ABC=∠ADC 17．证明∠D=∠BED等边三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=12AB ． ABDC AB分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD ．[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m ，∠A=30°，立柱BD 、DE 要多长？分析：观察图形可以发现在Rt △AED 与Rt △ACB 中，由于∠A=30°，所以DE=12AD ，BC=12AB ，又由D 是AB 的中点，所以DE=14AB ． [例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高． 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高． 求：CD 的长．分析：观察图形可以发现，在Rt △ADC 中，AC=2a ，而∠DAC 是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD ．等边三角形一、复习知识要点1．三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．2．等边三角形的性质：•等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°3．等边三角形的判定方法：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．4．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．D C AEBDCA二、练习（一）、选择题1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF•的形状是（）A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形DA B F21EDCAB4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状答案：1．C 2．D 3．A 4．C 5．B（二）、填空题6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．7．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，•则CD•的长度是_______．答案：6．60° 7．60°8．三；三边的垂直平分线 9．1cm （三）、解答题10．已知D 、E 分别是等边△ABC 中AB 、AC 上的点，且AE=BD ，求BE 与CD•的夹角是多少度？ 11．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC•于点D ， •求证：•BC=3AD.D CAB12．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ；③判断△CFH•的形状并说明理由．EDABHF13．如图，点E 是等边△ABC 内一点，且EA=EB ，△ABC 外一点D 满足BD=AC ，且BE 平分∠DBC ，求∠BDE 的度数．（提示：连接CE ）EDCA答案：10．60°或120°11．∵AB=AC ，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∴在Rt △ADC 中CD=•2AD ，•∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°， ∴∠B=∠BAD ，∴AD=BD ，∴BC=3AD 12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD ． 又∵BC=AC ，CE=CD ， ∴△BCE ≌△ACD ； ②证明△BCF ≌△ACH ； ③△CFH 是等边三角形．13．连接CE ，先证明△BCE ≌△ACE 得到∠BCE=∠ACE=30°，再证明△BDE•≌△BCE 得到∠BDE=∠BCE=30° Ⅲ、随堂练习，变式训练练习1：请同学们做课本51页的练习第一题，同时教师在黑板上补充一下题目： 求等腰三角形个角度数：（1）在等腰三角形中，有一个角的度数为36°. （2）在等腰三角形中，有一个角的度数为110°.学生思考，练习，教师指导，并给出答案，之后引导学生对以上这种类型的题目存在的规律进行归纳总结。

第二册等腰三角形的性质引言等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。

在初中数学中，我们已经学过了等腰三角形的一些基本性质。

然而，在本文档中，我们将会讨论第二册等腰三角形的性质，也就是涉及到了更多高级的概念和推论。

让我们一起探索吧！性质一：底角相等第一个性质是当两条边相等时，等腰三角形的底角也相等。

也就是说，如果等腰三角形的两条边相等，那么底边对应的底角也相等。

推论一：底角相等的三角形是等腰三角形根据上面的性质一，我们可以得出一个推论：如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形一定是等腰三角形。

因此，当我们需要判断一个三角形是否是等腰三角形时，只需要判断两个角是否相等即可。

性质二：等腰三角形的高线在等腰三角形中，我们可以轻松地画出高线，也就是从顶点到底边的垂直线段。

更重要的是，我们会发现等腰三角形的高线还具有以下性质： 1. 三角形的高线是等腰三角形的一条对称轴； 2. 等腰三角形的高线将底边平分，也就是将底边划分为两个相等的线段； 3. 等腰三角形的高线和底边之间的夹角是直角。

推论二：高线上的点到底边的距离相等根据上面的性质二，我们可以得出推论：等腰三角形上的高线任意一点到底边的距离都是相等的。

这是因为高线将底边平分，所以高线上的任意一点到底边的距离都相等。

性质三：等腰三角形的两个底角相等除了底角相等的性质一外，等腰三角形还具有一个重要的性质：等腰三角形的两个底角相等。

也就是说，如果等腰三角形的两条边相等，那么两个底角也相等。

性质四：等腰三角形的对称轴在等腰三角形中，高线是一条对称轴。

这意味着，如果我们以高线为轴将等腰三角形折叠，折叠后的两个部分完全重合。

性质五：等腰三角形的顶角等腰三角形的顶角是除底角外的另一个角，也就是不等的那个角。

与底角相比，顶角较为特殊，它决定了等腰三角形的大小和形状。

性质六：等腰三角形的中线等腰三角形的中线是指从顶点到底边中点的线段。

中线具有以下性质： 1. 等腰三角形的中线等于底边； 2. 等腰三角形的中线平分顶角。

等腰三角形的性质等腰三角形是指两个角度相等的三角形，其中两个边相等，而另一个边则为底边。

等腰三角形是一种特殊的三角形，在几何学中常常出现。

在这里，我们将介绍等腰三角形的性质，包括定义、角度、边、周长和面积等方面。

一、等腰三角形的定义等腰三角形是一种具有两个相等边的三角形，也就是说，在等腰三角形中，两个角度相等，两个边也是相等的。

二、等腰三角形的角度1.等腰三角形的两个底角度数相等。

2.等腰三角形的顶角为两个底角之角平分线。

证明：如图，设三角形ABC为等腰三角形，其中AB=AC，角A的度数为x。

因为三角形ABC为等腰三角形，所以AB=AC。

根据等边三角形的性质得，角B=角C。

角D是角B和角C的平分线，所以∠ABD=∠CBD。

又因为∠B=∠C，所以∠ABD+∠CBD=2∠B或2∠C。

由此可得，∠A的角平分线经过点D。

三、等腰三角形的边1.等腰三角形的两条边相等。

2.等腰三角形的底边是其他两边的一半。

3. 等腰三角形中，若一边被平分，则此边上的底角也被平分。

证明：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A的角平分线经过点D，且BE与AC相交于点F。

因为AD是∠A的角平分线，所以∠ABD=∠CBD。

因为由AE||BC，所以∠FBC=∠ACB=∠ABE。

因为∠ABD=∠CBD，所以AB=BD，AC=CD。

因为AE||BC，所以∠AEB=∠BAC，∠AED=∠BDC。

因为AE=ED，BD=DC，所以由对位角相等可得∠AFB=∠ACB=∠BAE，∠BEF=∠BCE。

又因为∠FBE=∠FCE,所以与∠BAE和∠BCE成对顶角的∠EAF和∠ECF也相等。

由此可得，若一边被平分，则此边上的底角也被平分。

四、等腰三角形的周长等腰三角形的周长就是三条边的和。

周长=AB+AC+BC=2AB+BC五、等腰三角形的面积等腰三角形的面积可以通过底边和高来求解。

公式：S=1/2×底边长度×高定理：等腰三角形的面积公式假设等腰三角形ABC中，AB=AC，h是海拔线，则面积公式为：S=1/2×AB×h证明：如图，对等腰三角形ABC，做高BD。

等腰三角形的性质
等腰三角形性质：1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。

2.
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三
线合一”）。

1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。

2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三
角形三线合一”）。

3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。

7.一般的等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的
对称轴。

但等边三角形（特殊的等腰三角形）有三条对称轴。

每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。

8.等腰三角形中腰长的平方等于底边上高的平方加底的一半的平方（勾股定理）。

9.等腰三角形的腰与它的高的关系：腰大于高；腰的平方等于高的平方加底的一半的
平方
1、等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；
3、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也
相等。

（等角对等边）
感谢您的阅读，祝您生活愉快。

等腰三角形性质等腰三角形是一种特殊的三角形，具有以下性质：1.两个底角相等；2.底边的中线、高及顶角平分线三线合一；3.等边三角形各内角都等于60°。

这些性质可以用来解决有关三角形的边、角的证明及计算问题，也可以用来进行有关线段、角的证明及计算问题。

本节的重难点在于对等腰三角形性质的掌握与灵活应用，利用性质，结合三角形有关知识及全等三角形判定及性质解决相关问题是本节研究的重点。

例如，对于等腰三角形中的一个问题：证明等腰三角形两腰的中线相等。

我们可以考虑证明△ABD≌△ACE，而∠A为公共角，AB=AC，所以只需证明AD=AE即能达到证明目的。

通过推导可以得出BD=CE。

又例如，对于等腰三角形中的一个问题：一个外角为100°，求三内角度数。

我们可以利用三角形内角和及等腰三角形性质等边对等角，但要注意外角是顶角的外角还是底角的外角，在两种不同位置时，求得的结果不一样，需要进行两种情况的分别求解。

还有一个例子是：在△ABC中，AC＞AB。

求证：∠B＞∠C。

这是三角形中边角之间不等关系的一个重要结论：三角形中，若边不相等，则较大的边所对的角也较大。

这一结论可帮助我们利用边的不等关系，证明角的不等关系。

最后一个例子是：在△ABC中，∠B=2∠C，AD为角平分线。

求证AB+BD=AC。

我们可以采用补短法来完成，即延长AB至E，使BD=BE下只需证AE=AC即可。

证一：延长AB至E，使BE=BD，则有AE=AB+BD。

由于BE=BD，所以∠XXX∠EBD，而∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E=2∠C。

因此，∠E=∠C。

在△ABE和△ACD中，∠EAD=∠CAD，AD=AD，因此△AED≌△ACD，从而AE=AC。

所以，AB+BD=AC。

证二：由于∠B=2∠C＞∠C，所以AC＞AB。

在AC上取AF=AB，然后证明FC=BD。

连接DF作桥梁，证明XXX。

由于∠B=2∠C＞∠C，所以∠1=∠2.因此，△ABD≌△AFD，从而BD=FD。