基于图论模型的城市交巡警平台优化调度问题研究摘要本文以某城市公路网及分布在公路路口处的交巡警服务平台为背景，主要利用图论模型中的相关知识，综合研究该市警力资源的评价、优化和调度问题，依次解决了题目中的两个大问题及其子问题。
图论模型在本次建模中居于核心地位。
在问题一中，首先，对于划分交巡警服务平台范围的子问题，本文考虑到快速出警和任务均衡的不同需求，分别按实际需求设计出“基于最短路模型的速度优先型”、“基于二次规划模型的任务均衡优先型”和“折衷型”的三种划分方法。
具体而言，“速度优先型”中使用SPFA 算法来求解最短路径；“任务均衡优先型”中引入衡量任务分配均衡度的指标，将原问题转化为一个优化问题，使用lingo求解二次规划模型；而“折衷型”划分方案是对“速度优先型”的改进，将各路口的发案率加到与它相连的边的边权中。
这三种划定管辖范围的方案适应实际工作中的不同需要，相辅相成，各有特色。
第二，对于合理调度平台警力来快速封锁A区域的子问题，本文通过设计一种专门的权值函数，将问题转换为二分图带权最优匹配问题，从而使用KM算法进行求解。
第三，对于确定需要增加平台个数和位置的子问题，利用由“折衷方案”里得到的不同路口的警车最短到达时间分布，在四个不能在3分钟内赶到的区域内分别安排一个服务平台即可改善出警耗时。
在问题二中，首先，对于全市交巡警平台评价和改进的子问题，本文通过对各评价指标绘制伪彩色图的方式，将评价指标转化为图像，从而直观地观察图像颜色的分布来评价当前交巡警平台配置方案的优缺点，并在此基础上给出了优化方案。
第二，对于求解追捕方案的子问题，本文认为追捕的关键是将罪犯围困在一定的区域之中，为确定罪犯的具体方位，本文设定一个随时变化的集合以表示罪犯所可能到达的所有路口，同时定义内部点和边界点。
追捕的目标是使警察在一定时间内能够赶到所有的边界点并使得包围圈尽量小，解决方法是先构造二分图匹配模型，再将原问题归结为优化问题，最后利用匈牙利算法求解得到最大匹配数。
通过求解该模型，得到了警方追捕的调动方案图像，并且得知要将罪犯完全包围至多需要10.8分钟。
本文中使用的图论建模方法起到了两种作用：一是图论提供了将具体问题抽象为数学模型的形式化描述工具；二是图论中的一些经典模型和算法，如二分图匹配模型与KM、匈牙利算法、最短路模型与Dijkstra、SPFA算法，可以直接用到模型求解的过程中。
关键词：图论模型、最短路建模、二分图匹配、规划模型一、问题重述随着社会的进步与发展，城市交巡警服务平台的设计与规划问题日益重要，在交通要道和重要部位设置一套完善而合理的调度分配方案可以解决警务资源有限难题。
需要解决的问题主要集中在如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源。
根据附件中提供的某城市交通网络与平台设置情况，本文着力解决以下两个主要问题。
问题一，首先，根据该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况，在满足所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警到达事发地的条件下（警车的时速为60km/h），为各交巡警服务平台分配管辖范围。
之后，要解决的是交巡警服务平台警力合理的调度方案问题。
对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。
实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，设计出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。
另外，实际上现有交巡警服务平台的工作量存在着不均衡和有些地方出警时间过长的情况，预计要在该区内再增加2至5个平台，本文解决的任务是确定需要增加平台的具体个数和位置。
问题二，首先，根据设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究全市六个区现有交巡警服务平台设置方案的合理性。
之后，还要解决一个最佳围堵方案问题。
在该市第32个结点即P处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。
为了快速搜捕嫌疑犯，要求设计出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。
二、问题分析本次建模以某城市公路网及分布在公路路口处的交巡警服务平台为背景，综合研究该市警力资源的评价、优化和调度问题。
在第一问中，需要对A区的交巡警服务平台进行辖区划分、调度和优化；第二问中，则要求对全市服务平台进行评价和优化，以及在突发情况出现时对警力进行合理调度。
下面对本次建模的核心思想进行介绍。
2.1 图论建模本次建模所研究问题涉及面广，较为琐碎。
然而仔细研究后可以发现，这些问题所涉及的对象无外乎两类：结点（路口及交巡警服务平台）和边（公路）。
因此，它们可以使用图论模型进行统一描述。
设图G(V,E)表示本次建模所涉及的公路网，v i∈V代表了公路的一个路口。
由于交巡警服务平台总在路口处，故其组成的集合V s⊆V。
(v i,v j)∈E代表了v i到v j之间有一条公路，用w ij表示它的边权，用来表示该段公路的长度（下文中有的简写为(v i,v j,w ij)∈E）本次建模的所有模型是在图G的基础上进行描述的。
图论建模在本次建模中居于核心地位。
它在解决问题中的作用有二：一是图论提供了将具体问题抽象为数学模型的形式化描述工具；二是图论中的一些经典模型和算法，如二分图匹配模型与KM、匈牙利算法、最短路模型与Dijkstra、SPFA算法，可以直接用到模型求解的过程中。
2.2 评价指标本次建模有很多问题都是评价、优化或调度问题，这些问题都要求建立定量的评价指标，以便对当前状况做出评价，分析对比两种策略的优劣，本文使用的评价指标主要有如下三种：①平均警车到达时间avgT:表示研究区域内任何一个路口出现紧急情况时，警车到达平均所需的时间。
显然，该值越小，出现突发情况时多数路口警车将会更快到达，方案也就越优。
②最长警车到达时间maxT:表示区域内警车开到所有路口耗时间中的最长时间。
它指出了离服务平台最远的路口在遇到紧急情况时警车赶到所需的时间，该值越小越好。
③任务均衡度S2：定义为各交巡警服务平台辖区内各路口发案率之和的均方偏差。
该值越小，表明各服务平台所承担的任务量越均衡。
三、问题假设和符号说明3.1 问题假设1）由于城市内的交通公路不长，本文中假设重大紧急事件均发生在路口处，不发生在公路上或是公路外。
2）假设警车的车速是恒定不变的，车速不受交通灯的影响，车速保持在60km/h。
3）假设所有公路路面上均保持通畅，不会发生堵车及其他交通事故。
4）假设当发生紧急事件时，警车总能沿着最短路径到达事故现场。
3.2 符号说明符号含义G(V, E) 公路图。
V表示路口集合，E表示连接两个路口的公路集合L min(v i,v j)v i到v j最短路的长度V s交巡警服务平台的结点集合avgT 警察平均到达时间maxT 警察最慢到达的时间S2任务均衡度b j第j个路口的发案率w ij路口i到路口j的距离四、模型建立与求解在这一节中，依据“问题分析”部分提出的建模思路，我们对题目的问题一和问题二分别进行建模求解。
4.1 问题一的求解问题一需要解决三个子问题。
第一，应给A区各交巡警服务平台划定管辖范围。
第二，解决在发生突发事件时，如何安排警力封锁进出该区的13条交通要道的问题。
第三，针对现有交巡警服务平台工作量不均衡和某些地区出警时间过长的问题，确定如何增加服务平台。
使用相应的图论模型，可以很方便地求解以上三个子问题。
4.1.1 划定平台管辖范围如“问题分析”部分所述，划定平台管辖范围主要有两个依据：一是要做到快速出警，即任一地区出现突发事件，警察应能在最快的时间内赶到（尽量在3分钟之内）。
二是要做到任务均衡，即应尽量使各服务平台工作量平均，避免某些平台工作量很大，另一些却无事可做的情况。
通常，快速出警与任务均衡这两个指标是相互矛盾的。
一般而言，不同地区的实际情况不同，对于这两个指标的需求各有侧重。
因此，有必要按实际需求划分为“速度优先型”、“任务均衡优先型”和“折衷型”三种，下面分别进行建模求解。
●“速度优先型”的范围划分——基于最短路模型记A区的公路网为无向图G(V,E),v i∈V代表各街道口，e i=(v j,v k,w jk)∈E 表示从v i到v j的一条路径。
那么，从v i到v j的最短路径可以表示为：L min(v i,v j)=min{L(R ij)}=min{w it1+w t1t2+⋯+w tn−1t n+w tn j},记第i个交巡警平台为v i s∈V，那么在此种速度优先型的范围划分策略下，若第j个路口划分给了第m个平台管辖，则必有：L min(v j,v m s)=min1≤i≤M{L min(v j,v i s)}①，M为交巡警平台个数。
求解上式的关键是求解所有路口和服务平台间的最短路径L min(v j,v i s)。
求解最短路径有多种方法，在这里使用SPFA算法来进行求解。
它可以一次性地求解某个结点v i到其他所有结点v j的最短路径长度。
相较于经典的Dijkstra算法，SPFA 的时间复杂度为O(e),而Dijkstra算法的时间复杂度为O(n2)，显然当图为稀疏时，SPFA算法更有优势，求v k到其他各结点最短路的算法描述如下：Step1：初始化s⃗=[s i]N，s i={0i=k∝i≠k，其中N为图中的结点个数，队列que=[k]。
Step2：判断队列que是否为空，如果为空，则跳至Step4。
否则从que的队首弹出一个元素，记为t。
Step3：遍历所有与v t相邻的结点v p，如果s p>s t+w tp，则将s p更新为s t+w tp，同时将p压入que的队尾，跳至Step2继续执行。
Step4：输出s⃗，s⃗的第i项即为v k到v i的最短距离。
求出所有结点之间的最短路径之后，代入①式，便可找到各交巡警平台的管辖范围，其详细信息见附录。
同时，由题可知警车的速度为60km/h，因此也可求出各路口在发生突发情况后，警察到达所需的最短时间。
为了衡量此种策略下各交巡警平台工作量的大小，本文将平台辖区内的所有路口的发案率进行加和，以此作为交巡警平台工作量的度量。
图1 速度优先策略下不同路口警车最短到达时间图图2 速度优先策略下不同服务平台工作量相对值图表1 速度优先策略下服务平台分配方案的统计指标警察平均到达时间（avgT）最慢到达时间（maxT）任务均衡程度（S2）由上面的结果可以看出，速度优先策略下警察的平均到达时间非常优秀，平均仅需1分钟左右便可到达现场。
然而，各服务平台的任务均匀度并不好，有些任务很重，另一些任务却较少。
另外，我们注意到即使是在速度优先的策略下，有些路口也是不能在3分钟之内到达的。
这样的结点有6个，在上图1中用红圈表示，它们的相关信息如下表所示：表2 6个路口的坐标位置及最短到达时间表路口编号X坐标Y坐标最短到达时间（min）28 243 328 4.751829 246 337 5.700538 371 330 3.405939 371 333 3.682261 335 395 4.190292 444 360 3.6013在后面的章节中，这些点所在的区域是增加服务平台的重要考虑因素。
