流体静力学no3

1 bh 3 1 × 1 .5 × 2 3 Ic h2 12 2 y D = yc + = ( h1 + ) + = 2 + 12 = 2 .17 m 2 h2 yc A 2 × 1 .5 × 2 ( h1 + ) ⋅ bh 2 2
（二）图解法 适用范围： 规则受压平面上的静水总压力及其作用点的求解
γ (h1 + h2 )
h2 b
总压力大小为压强分布图的体积：
备注：梯形形心坐标： h ( a + 2b ) 3 a+b a上底，b下底
P = 1 [γh1 + γ ( h1 + h2 )] ⋅ b ⋅ h2 = 58 .8kN 2
作用线通过压强分布图的形心：
y D = h1 +
h2 γh1 + 2γ ( h1 + h2 ) 3 γh1 +γ ( h1 + h2 )
结论： 1 、当平面面积A与形心淹没深度不变时，平面上 的总压力大小与平面倾角θ无关； 2、 压力作用点的位置与受压面倾角θ无关，并且 压心总是在形心之下。随受压面淹没深度的增 加，总压力作用点靠近受压面形心。只有当受压 面 位置为水平放置时，压心与形心才重合。 3、总压力的方向沿受压面的内法线方向 4、多数工程问题中，受压面是具有纵向对称轴的 平面，总压力作用点位于纵向对称轴上，不需计 算xD。
h2
γ h2
作用在平面壁上的各点压强大小随位置而变化；作用在曲面 壁上的各点压强大小不仅随位置变化，而且方向也变化。
二、平面上的液体静压力
（一）解析法
o
自由液面 θ y yc yD x C D M dP
1、 作用力的大小

h hc h p
C D N y
x
P =
∫ dP
=γ sin θ y c ⋅ A
三、液体作用在潜体和浮体上的总压力 潜体：潜没于液体中任意位置而保持平衡，即悬 浮的物体。 浮体：上浮至水面呈漂浮状态的物体。 1、水平分力Px=0 2、铅垂分力Pz= ρgV ，方向向上，浮力 液体作用于潜体（或浮体）上的总压力，只有铅 垂向上的浮力，大小等于所排开的液体重量，作用 线通过潜体的几何中心。这就是Archimedes原理。
三角形
c b a y x
x
h
梯形
c b y c
h
圆
r x
πr 2
r
1 4 πr 4
例
一铅直矩形闸门，已知h1=1m，h2=2m，宽b=1.5m，求总 压力及其作用点。 b yc y D
C D
A P B
h1 h2
P = p c A = γ h c A = γ ( h1 +
h2 ) ⋅ bh 2 2
= 9800 × (1 + 2 ) × 1 . 5 × 2 = 58800 N = 58 . 8 kN 2
二、压力体 1、定义
曲面到自由液面（或自由液面的延伸面）之间的铅垂柱体 压力体体积的组成： 底面为受压曲面 顶面为受压曲面边界线所封闭的面积在自由液面或其 延长面上的投影面 中间是通过受压曲面边界线所做的铅直投射面
2、压力体的种类
实压力体：压力体和液体在同侧 ，Pz方向向下。 虚压力体：压力体和液体在异侧 ，Pz方向向上。 压力体叠加（虚实重合）
= γ hc A = p c A
结论：潜没于液体中的 任意形状平面的静水总 压力P，大小等于受压面 面积A与其形心点的静压 强pc之积。
2、总压力作用点（压心）
则有
yD =
γ sin θ ⋅ I o
P
Ic Io = = yc + yc A yc A
式中：Io——面积A绕ox轴的惯性矩。 Ic——面积A绕其与ox轴平行的形心轴的惯性矩。
第六节 液体作用在平面上的总压力
一、静水压强图示（压强分布图） 静水压强分布图绘制原则： 1、根据基本方程式 p=γh 绘制静水压强大小； 2、静水压强垂直于作用面且为压应力； 3、在受压面承压的一侧，以一定比例尺的矢量 线段表示压强的大小和方向。
h1 h γh h2
γ h1 γ h1
h1
γ h2
γ h1
= 2.17 m
第七节 液体作用在曲面上的总压力
一、曲面上的总压力 • 水平分力Px
O(y)
A'
x
A h dPz
Px
Az
F Z
E
dP dPx
E (dA)z
B
F (dA) x
Px =
∫ dP
x
=
∫
Az
γ hdA z = γ h c Az = p c AZ
• 垂直分力Pz
O(y)
B' Pz
A'
x
A
E
例 一弧形闸门如图，宽b=4m，φ=45°，弧半径 r=2m。求闸门所受总压力？ 解：1、水平分力
φ h
Px = ρghC ⋅ AZ
r
h 1 = ρg ⋅ bh = ρgb( r sin φ ) 2 = 39200 N 2 2
PZ = ρgV = 1000 × 9.8 × 2.28 = 22344 N
常见图形的A、yC及IxC值
几何图形名称 面积A
y
矩形
形心坐标yC 对通过形心轴的惯性矩IxC
c b y
x
h
bh
1 bh 2
1 h( a + b) 2
1 h 2 2 h 3
h a + 2b ( ) 3 a+b
1 bh 3 12 1 bh 3 36
1 3 a 2 + 4ab + b 2 ) h ( 36 a+b
h
dPx
dP
dPz
E (dA)z
F
B
Z
F (dA) x
Pz =
∫
Ax
γ hdA x = γ
∫
Ax
hdA x = γ V AB B ′A ′ = γ V p
式中：Vp ——压力体体积
二向曲面上的总压力大小是平面汇交力系的合力
P= P +P
2 x
2 z
总压力作用线与水平面夹角 （方向） P tan α = z Px 过Px作用线（通过AZ压强分布图形心）和Pz作用线（通过 压力体的形心）的交点，作与水平面成α角的直线就是总 压力作用线，该线与曲面的交点即为总压力作用点。
2、铅垂分力
1 2 1 2 V = b( πr − h ) = 2.28 m3 8 2
方向向上
3、合力大小 4、方向
2 2 P = Px + PZ = 45121 N
PZ tan α = PX
与水平方向夹角α=30 °
静水总压力大小------等于压强分布图的体积 总压力的作用点------总压力作用线通过压强分布 图的形心，该作用线与受压面的交点便是总压力 的作用点（压心D）。
例
用图解法计算解析法中例1的总压力大小与压心位置。
γ h1
解：作出矩形闸门上的压强分布图
γh1 γ (h1 + h2 )
B
A
h1 h2