高中数学 正弦函数y=sinx的图像及图像变换课后练习一 新人教A版必修4

课后训练1．函数y＝cos x与y＝－cos x的图象( )A．只关于x轴对称B．只关于原点对称C．关于原点、x轴对称D．关于原点、坐标轴对称2．函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的大致图象是( ) 3．方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内( )A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根4．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝32交点的个数是( )A．0B．1C．2D．35．函数y＝sin|x|的图象是( )6．函数y＝sin x的图象和y＝cos x的图象在[0,2π]内的交点坐标为__________．7．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是__________．8．用“五点法”画函数y＝－2＋sin x(x∈[0,2π])的简图．9．求函数y10．作出函数y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：①sin x＞0；②sin x＜0．(2)直线y＝12与y＝－sin x的图象有几个交点？参考答案1答案：C2答案：B 解析：由五点法作图可知选B ．3答案：C 解析：在同一坐标系中作函数y ＝|x |及函数y ＝cos x 的图象，如图所示．发现有2个交点，所以方程|x |＝cos x 有2个根． 4答案：C 解析：画出y ＝32与y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象可得有2个交点．5答案：B 解析：y ＝sin|x |＝sin ,0,sin(),0.x x x x ≥⎧⎨-<⎩作出y ＝sin|x |的简图知选B ．6答案：π4⎛ ⎝⎭和5π,4⎛ ⎝⎭解析：在同一坐标系内画出图象即可．7答案：1＜k ＜3 解析：f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝3sin ,[0,π],sin ,[π,2π].x x x x ∈⎧⎨-∈⎩如图，则k 的取值范围是1＜k ＜3．8答案：9答案：解：由1sin 0,2cos 0,x x ⎧-≥⎪⎨⎪≥⎩ 得1sin ,2ππ2π2π,.22x k x k k Z ⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤≤+∈⎪⎩∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，即函数y ＝的定义域为ππ2π,2π62k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )．答案：解：利用五点法作图．(1)根据图象可知图象在x 轴上方的部分sin x ＞0，在x 轴下方的部分sin x ＜0． 所以①当x ∈(－π，0)时，sin x ＞0； ②当x ∈(0，π)时，sin x ＜0． (2)画出直线y ＝12，得知有两个交点．。

1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质考试标准知识导图学法指导1.本节内容以三角函数的图象及其性质为主，因此在学习过程中应先学会作图，然后利用图象研究函数的性质．2．深刻理解五点的取法，特别是非正常周期的五点．3．注意所有的变换是图象上的点在移动，是x 或y 在变化而非ωx .4．运用整体代换的思想，令ωx ＋φ＝t ，借助y ＝sin t ，y ＝cos t 的图象和性质研究函数y ＝sin(ωx ＋φ)，y ＝cos(ωx ＋φ)的图象和性质．第1课时 正弦函数、余弦函数的图象正弦曲线与余弦曲线及其画法状元随笔 1.关于正弦函数y ＝sin x 的图象(1)正弦函数y ＝sin x ，x∈[2k π，2(k ＋1)π]，k∈Z 的图象与x ∈[0,2π]上的图形一致，因为终边相同角的同名三角函数值相等．(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法. 该方法作图较精确，但较为烦琐．(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法． 提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x 轴、y 轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的任意五点．( )(2)正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2上的图象相同．( )(3)正弦函数、余弦函数的图象分别向左、右无限延伸．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )A ．在x ∈[2k π，2(k ＋1)π](k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点解析：画出y ＝sin x 的图象，根据图象可知A ，B ，D 三项都正确． 答案：C3．下列图象中，是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )解析：函数y ＝－sin x 的图象与函数y ＝sin x 的图象关于x 轴对称，故选D. 答案：D4．用“五点法”作函数y ＝cos 2x ，x ∈R 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是________________．解析：令2x ＝0，π2，π，3π2和2π，得x ＝0，π4，π2，34π，π.答案：0，π4，π2，34π，π类型一 用“五点法”作三角函数的图象例1 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝sin x ＋12，x ∈[0,2π]；(2)y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]． 【解析】 (1)按五个关键点列表：(2)列表：作函数图象需要先列表再描点，最后用平滑曲线连线． 方法归纳作形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )，x ∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练1 画出函数y ＝3＋2cos x 的简图． 解析：(1)列表，如下表所示(2)利用五点作图法画简图．类型二 正、余弦函数曲线的简单应用 例2 根据正弦曲线求满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的取值范围． 【解析】 在同一坐标系内作出函数y ＝sin x 与y ＝－32的图象，如图所示．观察在一个闭区间[0,2π]内的情形，满足sin x ≥－32的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π，所以满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的范围是{x 0≤x ≤43π或5π3≤x ≤2π}.或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π在同一坐标系内作y ＝sin x 与y ＝－32的图象，利用图象求x 的范围. 方法归纳利用三角函数图象解sin x >a (或cos x >a )的三个步骤 (1)作出直线y ＝a ，y ＝sin x (或y ＝cos x )的图象． (2)确定sin x ＝a (或cos x ＝a )的x 值． (3)确定sin x >a (或cos x >a )的解集．[注意] 解三角不等式sin x >a ，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x ∈[0,2π]范围内x 的取值范围，然后根据终边相同角的同名三角函数值相等，写出原不等式的解集．跟踪训练2 根据余弦曲线求满足cos x ≤12的x 的取值范围．解析：作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为[π3＋2k π，5π3＋2k π]，k ∈Z .在同一坐标内作y ＝cos x 与y ＝12的图象，利用图象求x 的范围.1.4.1-2.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列对函数y ＝cos x 的图象描述错误的是( ) A ．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴只有一个交点解析：观察余弦函数的图象知：y ＝cos x 关于y 轴对称，故C 错误． 答案：C2．下列各点中，不在y ＝sin x 图象上的是( ) A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1 D ．(π，1) 解析：y ＝sin x 图象上的点是(π，0)，而不是(π，1)． 答案：D3．不等式sin x >0，x ∈[0,2π]的解集为( ) A ．[0，π] B ．(0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2解析：由y ＝sin x 在[0,2π]的图象可得． 答案：B 4．点M ⎝⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：点M 在y ＝sin x 的图象上，代入得－m ＝sin π2＝1，∴m ＝－1.答案：C5．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同解析：根据正弦曲线的作法过程，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分) 6．下列叙述正确的有________．(1)y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； (2)y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称； (3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围．解析：分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象观察可知(1)(2)(3)均正确．答案：(1)(2)(3)7．关于三角函数的图象，有下列说法： (1)y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象关于y 轴对称； (2)y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图象相同；(3)y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； (4)y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称． 其中正确的序号是________．解析：对(2)，y ＝cos(－x )＝cos x ，y ＝cos|x |＝cos x ，故其图象相同； 对(4)，y ＝cos(－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确． 答案：(2)(4)8．直线y ＝12与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点坐标是________．解析：令sin x ＝12，则x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π，又∵x ∈[0,2π]，故x ＝π6或56π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，12三、解答题(每小题10分，共20分)9．利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图． 解析：(1)取值列表：(2)10．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0,2π]． 解析：函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3. [能力提升](20分钟，40分)11．已知函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π解析：依题意，由余弦函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0和点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0成中心对称，可得y ＝2cosx (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成的封闭图形的面积为2π×2＝4π.答案：D12．函数y ＝2cos x －2的定义域是________． 解析：要使函数有意义，只需2cos x －2≥0，即cos x ≥22.由余弦函数图象知(如图)，所求定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z 13．利用“五点法”作出y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，52π的图象．解析：列表如下：14．利用图象变换作出下列函数的简图：(1)y＝1－cos x，x∈[0,2π]；(2)y＝|sin x|，x∈[0,4π]．解析：(1)首先用“五点法”作出函数y＝cos x，x∈[0,2π]的简图，再作出y＝cos x，x∈[0,2π]的简图关于x轴对称的简图，即y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图，将y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y＝1－cos x，x∈[0,2π]的简图，如图所示．(2)首先用“五点法”作出函数y＝sin x，x∈[0,4π]的简图，再将该简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方，即得到y＝|sin x|，x∈[0,4π]的简图，如图所示．。

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1。

4.2 正弦函数、余弦函数的性质（二）一、A组1.函数y=|sin x｜的一个单调增区间是（）A.B。

C。

D.解析：画出y=|sin x｜的图象即可求解。

故选C。

答案:C2.(2016·福建三明一中月考)y=cos（-π≤x≤π)的值域为（)A. B.［-1，1]C. D.解析：因为-π≤x≤π,所以—.所以—≤cos≤1，y=cos(-π≤x≤π）的值域为。

答案：C3。

函数f（x）=3sin在下列区间内递减的是(）A。

B.［—π,0]C。

D.解析：令2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z可得2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z,∴函数f（x)的递减区间为，k∈Z。

从而可判断，∴在x∈时,f（x)单调递减.答案:D4。

函数f（x）=2sin（ω〉0）的最小正周期为4π,当f（x)取得最小值时，x的取值集合为(）A.B.C.D。

解析:∵T==4π，∴ω=。

∴f（x)=2sin。

由x-=2kπ-（k∈Z)，得x=4kπ-(k∈Z).答案:A5.已知函数f（x）=sin，x∈R,下列结论错误的是（)A.函数f（x)的最小正周期为2πB.函数f（x)在区间上是增函数C。

1.4三角函数的图象与性质1. 4.1正弦函数、余弦函数的图象［学习目标］1.了解利用单位圆中的正眩线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余眩曲线之I'可的联系.戸预习导学 /挑战自我，点点落实_____________________________________________________________［知识链接］1.在如图单位圆中，角G的正弦线、余弦线分别是什么？答sin a = MP；cosa = OM.2.设实数x对应的角的正弦值为y,则对应关系y=sinx就是一个函数，称为正弦函数；同样y=cosx也是一个函数，称为余弦函数，这两个函数的定义域是什么？答正弦函数和余弦函数的定义域都是R3.作函数图象最基本的方法是什么？其步骤是什么？答作函数图象最基本的方法是描点法，其步骤是列表、描点、连线.［预习导引］1.正弦曲线、余弦曲线正弦函数）^=sinx（xWR）和余弦函数y=cos x（x R）的图象分别叫正弦曲线和余弦曲线.2.“五点法”画图画正弦函数y=sin x, xe［0,2n］的图象，五个关键点是（0,0）,（申，1），（兀，。

），（器，一1），（2兀，0）；画余弦函数）；=cosx, X W［0,2TT］的图象，五个关键点是（0,1）, （J, 0）,（兀，—1）, （|兀，0）,（2n, 1）.3.正弦、余弦曲线的联系依据诱导公式cosx=sin(x+¥),要得到y=cosx的图彖，只需把y=sinx的图彖向左平移乡个单位长度即可.戸课堂讲义重点难点，个个击破__________________________________________________________ 要点一“五点法”作正弦、余弦函数的图象例1用“五点法”作出下列函数的简图.(1)y=sinx— 1, [0,2n]；(2)y=2+cosx, x 曰0,2TT].解⑴列表：X0兀27132兀sinx010-10sinx— 1-10-1-2-1描点连线，如图(2)列表:X0712兀 3 尹2兀COSX10-1012+cosx32123描点连线，如图规律方法作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点、”即y=sinx或y=cosx 的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点."五点法”是作简图的常用方法. 跟踪演练1⑴作出函数y=—sinx(0WxW27t)的简图；(2)作出函数y=yj 1 —cos~x的图彖. 解⑴列表：X07T2兀3兀T271sinx010-10—sinx0-1010⑵将y=y[\—co?x化为^=|sinx|,sin x(2kn WxW兀+2kn, Z：EZ),.—sin X(TI+2kjt<x W 2兀+2kn, A W Z)・其图象如图要点二正弦、余弦函数图象的应用例2⑴方程x2—cosx=0的实数解的个数是___________⑵方程sinx=lgx的解的个数是__________ .答案(1)2 (2)3解析(1)作函数y=cosx与歹=< 的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解.(2)用五点法画岀函数y=sin x, x^[0,2n]的图象，再依次向左、右连续平移2兀个单位，得到y=sinx 的图象.描出点(寻，-1), (1,0), (10,1)并用光滑曲线连接得到y=]gx^J图象，如图所示.由图象可知方程sinx=lgx的解有3个.规律方法利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数(或两函数图象的交点个数)求字母参数的范围问题.跟踪演练2函数/(x) = sin x+2|sin x|, X W ［0,2TT ］的图象与直线y=k 有.R 仅有两个不同的交 点，求《的取值范围.3sinx,炸［0,兀］, 解,/(x) = sinx+2|sinx|=1 . u —sinx, xt (7T, 2疋|・图象如图, 若使/(x)的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，根据图可得 «的取值范围是(1,3).要点三利用三角函数图象求函数的定义域 例3求函数夕=yj log2sin^— 1的定义域. 解为使函数有意义，需满足 呃佥TN 。

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象自主学习知识梳理1．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫做__________曲线和________曲线．(2)图象：如图所示．2．“五点法”画图 步骤： (1)列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 cos x1－11(2)描点：画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是________________________；画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________________．(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图． 3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向______平移π2个单位长度即可．自主探究已知0≤x ≤2π，结合正、余弦曲线试探究sin x 与cos x 的大小关系．对点讲练知识点一 利用“五点法”作正、余弦函数的图象例1 利用“五点法”画函数y ＝－sin x ＋1(0≤x ≤2π)的简图．回顾归纳作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．变式训练1利用“五点法”画函数y＝－1－cos x，x∈[0,2π]的简图．知识点二利用三角函数图象求定义域例2求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．回顾归纳一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．变式训练2求函数f(x)＝cos x＋lg(8x－x2)的定义域．知识点三利用三角函数的图象判断方程解的个数例3在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x的解的个数．回顾归纳三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．变式训练3求方程x2＝cos x的实数解的个数．1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一.课时作业一、选择题1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线x ＝π22．函数y ＝－cos x 的图象与余弦函数y ＝cos x 的图象( ) A ．只关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于原点、x 轴对称 D ．关于原点、坐标轴对称 3．如果x ∈[0,2π]，则函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域为( )A ．[0，π] B.⎣⎡⎦⎤π2，3π2C.⎣⎡⎦⎤π2，πD.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 4．在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭⎫5π4，7π4 5．已知函数y ＝2sin x ⎝⎛⎭⎫π2≤x ≤5π2的图象与直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积( )A ．4B ．8C ．4πD ．2π二、填空题6．函数y ＝cos x1＋sin x的定义域为____________．7．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是______________．8．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________．三、解答题9．利用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y ＝－sin x (0≤x ≤2π)；(2)y ＝1＋cos x (0≤x ≤2π)．10．分别作出下列函数的图象．(1)y ＝|sin x |，x ∈R ；(2)y ＝sin|x |，x ∈R .§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象答案知识梳理1．(1)正弦 余弦2．(2)(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0) (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1) 3．左 自主探究解 正、余弦曲线如图所示．由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π4时，sin x ＝cos x ，②当π4<x <5π4时，sin x >cos x .③当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，sin x <cos x .对点讲练例1 解 利用“五点法”作图 取值列表：x 0 π2π3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 121变式训练1 x0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x－2－1－1－2例2 解 由题意，x 满足不等式组⎩⎨⎧sin x >016－x 2≥0， 即⎩⎨⎧－4≤x ≤4sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．变式训练2 解 由⎩⎪⎨⎪⎧8x －x 2>0cos x ≥0，得⎩⎨⎧0<x <8cos x ≥0.画出y ＝cos x ，x ∈[0,3π]的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2∪⎣⎡3π2，5π2.例3 解 建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点⎝⎛⎭⎫1101，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．变式训练3 解 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解．课时作业 1．D2．C [结合图象易知．]3．C [∵sin x ≥0且－cos x ≥0，∴x ∈⎣⎡⎦⎤π2π.] 4．A[∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4.]5．C [数形结合，如图所示．y ＝2sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2的图象与直线y ＝2围成的封闭平面图形面积相当于由x ＝π2，x ＝5π2， y ＝0，y ＝2围成的矩形面积，即S ＝⎝⎛⎭⎫5π2－π2×2＝4π.]6.⎝⎛⎦⎤－π22k π，π2＋2k π (k ∈Z ) 解析 x 应满足：⎩⎪⎨⎪⎧1＋sin x ≠0⇒sin x ≠－1，cos x ≥0，综合正、余弦函数图象可知：－π2＋2k π<x ≤π2＋2k π. 7.⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋2π3 ，(k ∈Z ) 解析 由2cos x ＋1≥0，得cos x ≥－12，∴2k π－2π3x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .8.⎣⎡⎦⎤π4，5π4 解析 由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π] 与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示：观察图象得：π4≤x ≤5π4.9．解 利用“五点法”作图． (1)列表：(2)列表：10．解 (1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z )．其图象如图所示，(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (x ≥0)－sin x (x <0)，其图象如图所示，。

5．2 正弦函数的性质1．问题导航(1)“正弦函数y ＝sin x 在第一象限为增函数”的说法正确吗？为什么？ (2)正弦曲线是轴对称图形吗？若是，对称轴是什么？ (3)正弦曲线是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？ 2．例题导读P 29例2.通过本例学习，学会用五点法画出函数y ＝a sin x ＋b 的简图，并根据图像讨论它的性质．试一试：教材P 30习题1－5A 组T 2你会吗？1．2.正弦函数y ＝sin x 的图像关于点(k π，0)(k ∈Z )中心对称，关于直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )轴对称．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝sin x ，x ∈(－π，π]是奇函数．( )(2)函数y ＝a sin x (a ≠0)的最大值为a ，最小值为－a .( )(3)若x ＝x 0时，y ＝sin x 取最大值，则x ＝x 0是函数y ＝sin x 的对称轴．( ) 解析：(1)错误．因为定义域不关于原点对称．(2)错误．要对a 分大于0和小于0两种情况讨论，才能确定最大值与最小值． (3)正确．由正弦曲线可知，此说法是正确的． 答案：(1)× (2)× (3)√2．M 和m 分别是函数y ＝13sin x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( )A.23B ．－23C ．－43D ．－2解析：选D.因为M ＝y max ＝13－1＝－23，m ＝y min ＝－13－1＝－43，所以M ＋m ＝－23－43＝－2.3．若函数y ＝sin x 在[0，a ]上为增函数，则a 的取值范围为________．解析：由函数y ＝sin x 的图像可知，函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上为增函数，所以[0，a ]⊆⎣⎡⎦⎤0，π2，所以0<a ≤π2.答案：⎝⎛⎦⎤0，π2理解正弦函数的性质应关注三点(1)正弦函数不是定义域上单调函数．另外，说“正弦函数在第一象限内是增函数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．(2)正弦曲线是中心对称图形，对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，即正弦曲线与x 轴的交点．(3)正弦曲线是轴对称图形，对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，即过正弦曲线最高点或最低点并且垂直于x 轴的直线．画正弦函数的图像并讨论函数的性质利用五点法画出函数y ＝1＋2sin x 的简图，并根据图像讨论它的性质． (链接教材P 29例2) [解]解答此类问题的关键在于能正确利用五点法作出函数的简图，然后根据所画图像结合正弦函数的性质，从函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最大值与最小值这几个方面讨论函数的性质．1．(1)利用五点法画出函数y ＝－1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的简图，并根据图像讨论它的性质．(2)画出函数y ＝sin x －2(x ∈[0，2π])的简图，并根据图像和解析式讨论其性质．解：(1)y ＝－1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－1－2sin x .列表(观察图像得出y ＝－1＋2cos ⎛⎭⎫x ＋π的性质(见下表).(2)由图像及解析式可得该函数有以下性质： 定义域：[0，2π]； 值域：[－3，－1]；奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数； 周期性：不是周期函数；单调性：在区间⎣⎡⎦⎤0，π2与⎣⎡⎦⎤3π2，2π上是增加的，在区间⎣⎡⎦⎤π2，3π2上是减少的．最大值与最小值：当x ＝π2时，有最大值为1；当x ＝32π时，有最小值为－3.正弦函数的单调性(1)比较下列各组数的大小： ①sin π4与sin π8；②sin 4π7与sin 19π7.(2)求函数y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的递增区间．[解] (1)①因为0<π8<π4<π2，且y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增加的，所以sin π4>sin π8.②sin 19π7＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋5π7＝sin 5π7.因为π2<4π7<5π7<π，且y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上是减少的．所以sin 4π7>sin 5π7，即sin 4π7>sin 19π7.(2)由sin ⎝⎛⎭⎫x －π6>0得2k π<x －π6<π＋2k π(k ∈Z )得π6＋2k π<x <7π6＋2k π(k ∈Z )，①要求原函数的递增区间，只需求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的递减区间，令π2＋2k π≤x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )得2π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π(k ∈Z )，② 由①②可知2π3＋2k π≤x <76π＋2k π(k ∈Z )，所以原函数的递增区间为⎣⎡⎭⎫2π3＋2k π，7π6＋2k π(k ∈Z )．本例(2)条件不变，试求函数的递减区间．解：令⎩⎨⎧2k π<x －π6<π＋2k π（k ∈Z ），－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π（k ∈Z ），得2k π<x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，故π6＋2k π<x ≤2π3＋2k π(k ∈Z )， 所以原函数的递减区间为⎝⎛⎦⎤π6＋2k π，2π3＋2k π(k ∈Z )．方法归纳(1)利用正弦函数的单调性比较大小的步骤：①一定：利用诱导公式把角化到同一个单调区间上； ②二比：利用正弦函数的单调性比较大小．(2)解决有关正弦函数的单调性问题的主要理论依据： ①正弦函数的单调性；②复合函数的单调性：设函数y ＝f (μ)和μ＝g (x )在公共区间A 内是单调函数，那么函数y ＝f [g (x )]在A 内也是单调函数，并且若y ＝f (μ)和μ＝g (x )的单调性相同(反)，则y ＝f [g (x )]在A 内是增(减)函数，这个性质简记为“同增异减”．2．(1)比较下列各组数的大小；①sin ⎝⎛⎭⎫－π18与sin(－π10)；②sin 74与cos 53.(2)求函数y ＝－sin x 的单调区间．解：(1)①因为－π2<－π10<－π18<0，且y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，0上是增加的，所以sin ⎝⎛⎭⎫－π18>sin ⎝⎛⎭⎫－π10. ②因为cos 53＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋53，又π2<74<π2＋53<3π2，而y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，3π2上是减少的，所以sin 74>sin ⎝⎛⎭⎫π2＋53，即sin 74>cos 53.(2)因为－1<0，所以函数y ＝－sin x 的单调性与正弦函数y ＝sin x 的单调性相反．所以函数y ＝－sin x 的递增区间即函数y ＝sin x 的递减区间，为⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )；函数y ＝－sin x 的递减区间即函数y ＝sin x 的递增区间，为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )．故函数y ＝－sin x 的递增区间是⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )，递减区间是⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )．正弦函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝sin (x ＋7π)cos ⎝⎛⎭⎫52π－x ；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg (1＋sin x )；(3)f (x )＝sin x －sin 2x1－sin x.(链接教材P 30习题1－5 A 组T 6) [解] (1)f (x )＝sin []（x ＋π）＋6πcos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π2－x ＋2π＝sin(x ＋π)cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－sin x ·sin x ＝－sin 2x .其定义域为R ，又f (－x )＝－sin 2(－x )＝－sin 2x ＝f (x )， 所以f (x )为偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >0，1＋sin x >0⇒－1<sin x <1，得函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )， 所以函数f (x )是奇函数．(3)由1－sin x ≠0，得sin x ≠1，从而函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠π2＋2k π，k ∈Z ，不关于原点对称．所以函数f (x )是非奇非偶函数．方法归纳(1)判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间．如果是，再验证f (－x )是否等于－f (x )或f (x )，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．(2)在判断与正弦函数有关的奇偶性时，常用三角函数的诱导公式将函数解析式化简．3．(1)若函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎫x －π4是偶函数，则a ＝________．(2)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝2sin x －1；②f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )．解：(1)因为f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝f (－x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫－x ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎫－x －π4＝－a sin ⎝⎛⎭⎫x －π4－3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝3，a ＝－3⇒a ＝－3.故填－3.(2)①由2sin x －1≥0，即sin x ≥12得函数f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )，此定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称．所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．②因为1＋sin 2x >sin 2x ，所以1＋sin 2x >|sin x |≥－sin x ， 所以sin x ＋1＋sin 2x >0， 所以函数f (x )的定义域为R .f (－x )＝lg[sin(－x )＋1＋sin 2（－x ）] ＝lg(－sin x ＋1＋sin 2x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin x ＋1＋sin 2x＝－lg(sin x ＋1＋sin 2x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大的顺序排列为________． [解析] sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3)．因为0<π－3<1<π－2<π2.所以sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)． 即sin 3<sin 1<sin 2.[答案] sin 3<sin 1<sin 2[错因与防范] 解答本题常会得出错误的结论是sin 1<sin 2<sin 3，出错的原因在于没有考虑1，2，3是否在正弦函数的同一个单调区间上，正确的方法是，利用诱导公式转化到同一个单调区间上再进行大小比较．4．(1)比较cos 53，sin 103的大小．(2)①比较大小：sin π4与sin 2π3；②在锐角△ABC 中，比较sin A 与cos B 的大小．解：(1)因为cos 53＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋53，又π2<π2＋53<103<32π， 且y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，32π上是减函数，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋53>sin 103.即cos 53>sin 103.(2)①因为sin 2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin π3，且0<π4<π3<π2，y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增加的，所以sin π4<sin π3，即sin π4<sin 2π3.②因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且A ＋B >π2，所以A >π2－B ，且π2－B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.所以0<π2－B <A <π2.又因为y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增加的，所以sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ，即sin A >cos B ．1．下列两种说法：①y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z )上是增加的；②y ＝sin x 在第二象限内是减少的( )A ．均正确B ．①正确、②不正确C ．①不正确、②正确D ．都不正确解析：选B.单调性是针对某个取值区间而言的，所以①正确；②不正确，因为在第二象限，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．2．定义在R 上的奇函数f (x )的周期是π，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎫5π3的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32解析：选C.f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π3＝－sin π3＝－32.3．函数y ＝－2sin x 的递减区间是________．解析：因为－2sin x ≥0， 所以sin x ≤0，所以2k π－π≤x ≤2k π，k ∈Z ，所以函数的定义域是[2k π－π，2k π](k ∈Z )． 因为y ＝－2sin x 与y ＝sin x 的单调性相反，所以函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z )．答案：⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z ), [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．函数f (x )＝sin 4x ，x ∈R 的奇偶性为( ) A ．偶函数 B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 解析：选B.因为f (－x )＝sin[4(－x )]＝sin(－4x )＝－sin 4x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 4x 为奇函数．2.已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x ＋|a |－1，x ∈R 为奇函数，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1解析：选D.由题意，得f (0)＝0，即|a |－1＝0，所以a ＝±1，即当a ＝±1时，f (x )＝sin x 为R 上的奇函数．3.函数f(x)＝－sin 2x ＋sin x ＋1，x ∈R 的最小值为( ) A.54 B ．1 C ．0 D ．－1解析：选D.f (x )＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54，当sin x ＝－1时，f (x )min ＝－1. 4.函数y ＝4sin x ＋3在[－π，π]上的递增区间为( )A .⎣⎡⎦⎤－π，－π2B ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2C .⎣⎡⎦⎤－π，π2D ．⎣⎡⎦⎤π2，π解析：选B .y ＝sin x 的递增区间就是y ＝4sin x ＋3的增区间． 5.函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时的x 的值分别为( )A ．y ＝3，x ＝π2B ．y ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )C ．y ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )D ．y ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )解析：选C .当sin x ＝－1，即x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y 取最大值3. 6.函数y ＝sin |x |的图像关于________对称．解析：因为sin |－x |＝sin |x |，所以y ＝sin |x |是偶函数，其图像关于y 轴对称． 答案：y 轴7.函数y ＝2sin x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤2π3的值域是________．解析：利用图像解决．通过图像不难发现y ＝2sin x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，2π3的值域为(0，2]．答案：(0，2]8.cos 10°，sin 11°，sin 168°从小到大的排列顺序是________．解析：因为sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos (90°－80°)＝sin 80°，当0°≤x ≤90°时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，因此sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.答案：sin 11°<sin 168°<cos 10°9.若函数y ＝a －b sin x 的最大值是32，最小值是－12，求函数y ＝－4a sin bx 的最大值与最小值及周期．解：因为－1≤sin x ≤1，当b >0时，－b ≤b sin x ≤b . 所以a －b ≤a －b sin x ≤a ＋b ，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1，所以所求函数为y ＝－2sin x .当b <0时，b ≤b sin x ≤－b ，所以a ＋b ≤a －b sin x ≤a －b .所以⎩⎨⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，所以所求函数为y ＝－2sin (－x )＝2sin x . 所以y ＝±2sin x 的最大值是2，最小值是－2，周期是2π.10.判断函数f (x )＝lg 1－sin x1＋sin x的奇偶性．解：由1－sin x 1＋sin x>0得(1－sin x )(1＋sin x )>0，所以－1<sin x <1，所以x ≠k π＋π2(k ∈Z )．此函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称，且f (－x )＝lg 1－sin （－x ）1＋sin （－x ）＝lg 1＋sin x 1－sin x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x 1＋sin x －1＝－lg 1－sin x 1＋sin x ＝ －f (x )．所以函数f (x )＝lg 1－sin x1＋sin x为奇函数．[B.能力提升]1．已知奇函数f (x )在[－1，0]上是递减的，又α、β为锐角三角形两内角，则下列结论正确的是( )A ．f (cos α)>f (cos β)B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (sin α)>f (cos β)D ．f (sin α)<f (cos β)解析：选D.因为α、β为锐角三角形两内角，则0<π2－β<α<π2，所以0<sin ⎝⎛⎭⎫π2－β<sinα<1，即0<cos β<sin α<1.而已知奇函数f (x )在[－1，0]上是递减的，所以函数f (x )在[0，1]上也是递减的，所以f (cos β)>f (sin α)．2．函数y ＝2＋12sin x ，当x ∈[－π，π]时，( )A ．在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是减少的B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上是减少的 C ．在[0，π]上是增加的，在[－π，0]上是减少的D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增加的，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减少的 解析：选B.因为12>0，所以函数y ＝2＋12sin x 的单调性与正弦函数y ＝sin x 的单调性相同，类比正弦函数的单调性可知，函数y ＝2＋12sin x 在⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是减少的，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎡⎦⎤π2，π上是减少的．故选B. 3．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数．若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3＝________. 解析：由诱导公式可知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin x ， 由f (x )的最小正周期是π，知f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫2π3 ＝f ⎝⎛⎭⎫－π3. 由f (x )是偶函数知f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3. 又当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x . 所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. 所以f ⎝⎛⎭⎫5π3＝32. 答案：324．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则 f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________． 解析：因为f (x )是以4为周期的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫294＝f ⎝⎛⎭⎫8－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34，f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫8－76＝f ⎝⎛⎭⎫－76. 因为当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫34＝34×⎝⎛⎭⎫1－34＝316.因为当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ，所以f ⎝⎛⎭⎫76＝sin 7π6＝－12.又因为f (x )是奇函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34＝－316，f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76＝12. 所以f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝12－316＝516.答案：5165．已知3sin 2α＋2sin 2β＝2sin α，求sin 2α＋sin 2β的取值范围．解：由已知条件知sin 2β＝sin α－32sin 2α，所以0≤sin α－32sin 2α≤1， 解得0≤sin α≤23， 所以sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋sin α－32sin 2α ＝－12(sin α－1)2＋12，设sin α＝t ，t ∈⎣⎡⎦⎤0，23， y ＝－12(t －1)2＋12在⎣⎡⎦⎤0，23上是增函数， 所以当t ＝0时，y min ＝0，当t ＝23时，y max ＝49. 所以sin 2α＋sin 2β的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，49. 6．(选做题)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x . (1)当x ∈[－π，0]时，求f (x )的解析式；(2)画出函数f (x )在[－π，π]上的函数简图；(3)当f (x )≥12时，求x 的取值范围． 解：(1)若x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则－x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. 因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝sin(－x )＝－sin x .若x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π2，则π＋x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2. 因为f (x )是最小正周期为π的周期函数，所以f (x )＝f (π＋x )＝sin(π＋x )＝－sin x ，所以x ∈[－π，0]时，f (x )＝－sin x .(2)函数f (x )在[－π，π]上的函数简图，如图所示：(3)x ∈[0，π]，sin x ≥12，可得π6≤x ≤5π6，函数周期为π， 所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋5π6，k ∈Z .。

§5 正弦函数的性质与图像 5．1 正弦函数的图像1．问题导航(1)用“五点法”作正弦函数图像的关键是什么？(2)利用“五点法”作y ＝sin x 的图像时，x 依次取－π，－π2，0，π2，π可以吗？(3)作正弦函数图像时应注意哪些问题？ 2．例题导读P 27例1.通过本例学习，学会用五点法画函数y ＝a sin x ＋b 在[0，2π]上的简图． 试一试：教材P 28练习题你会吗？1．正弦函数的图像与五点法(1)图像：正弦函数y ＝sin x 的图像叫作正弦曲线，如图所示．(2)五点法：在平面直角坐标系中常常描出五个关键点(它们是正弦曲线与x 轴的交点和函数取最大值、最小值时的点)：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线顺次将它们连接起来，得到函数y ＝sin x 在[0，2π]上的简图，这种画正弦曲线的方法为“五点法”．(3)利用五点法作函数y ＝A sin x (A >0)的图像时，选取的五个关键点依次是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，A ，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－A ，(2π，0)． 2．正弦曲线的简单变换函数y ＝sin x 与y ＝sin x ＋k 图像间的关系．当k >0时，把y ＝sin x 的图像向上平移k 个单位长度得到函数y ＝sin x ＋k 的图像； 当k <0时，把y ＝sin x 的图像向下平移|k |个单位长度得到函数y ＝sin x ＋k 的图像．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝sin x 的图像与y 轴只有一个交点．( )(2)函数y ＝sin x 的图像介于直线y ＝1与y ＝－1之间．( )(3)用五点法作函数y ＝－2sin x 在[0，2π]上的图像时，应选取的五个点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－2，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2，(2π，0)．( ) (4)将函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]位于x 轴上方的图像保持不变，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方即可得到函数y ＝|sin x |，x ∈[－π，π]的图像．( )解析：(1)正确．观察正弦函数的图像知y ＝sin x 的图像与y 轴只有一个交点．(2)正确．观察正弦曲线可知正弦函数的图像介于直线y ＝1与y ＝－1之间．(3)正确．在函数y ＝－2sin x ，x ∈[0，2π]的图像上起关键作用的五个点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－2，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2，(2π，0)． (4)正确．当x ∈[－π，π]时，y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥0，－sin x ，sin x <0，于是，将函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]位于x 轴上方的图像保持不变，把x 轴下方的图像翻折到x 轴上方即可得函数y ＝|sin x |，x ∈[－π，π]的图像．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像时，下列点不是关键点的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 C ．(π，0) D ．(2π，0)解析：选A.用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像，五个关键点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1，(2π，0)． 3．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．解析：0＋π2＋π＋3π2＋2π＝5π.答案：5π4．(1)正弦曲线在(0，2π]内最高点坐标为________，最低点坐标为________． (2)在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈(0，2π]与y ＝sin x ，x ∈(2π，4π]的图像形状________，位置________．(填“相同”或“不同”)解析：(1)由正弦曲线知，正弦曲线在(0，2π]内最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，最低点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1.(2)在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈(0，2π]与y ＝sin x ，x ∈(2π，4π]的图像，形状相同，位置不同．答案：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1 (2)相同 不同1．y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈R 的图像间的关系(1)函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像是函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像的一部分． (2)因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π]，k ∈Z 且k ≠0的图像与函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像形状完全一致，因此将y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)就可得到函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像．2．“几何法”和“五点法”画正弦函数图像的优缺点(1)“几何法”的实质是利用正弦线进行的尺规作图，这样作图较精确，但较为烦琐． (2)“五点法”的实质是在函数y ＝sin x 的一个周期内，选取5个分点，也是函数图像上的5个关键点：最高点、最低点及平衡点，这五个点大致确定了函数一个周期内图像的形状．(3)“五点法”是画三角函数图像的基本方法，在要求精确度不高的情况下常用此法，要切实掌握好．另外与“五点法”作图有关的问题经常出现在高考试题中．3．关于“五点法”画正弦函数图像的要点 (1)应用的前提条件是精确度要求不是太高． (2)五个点必须是确定的五点．(3)用光滑的曲线顺次连接时，要注意线的走向，一般在最高(低)点的附近要平滑，不要出现“拐角”现象．(4)“五点法”作出的是一个周期上的正弦函数图像，要得到整个正弦函数图像，还要“平移”．用五点法作正弦型函数的图像用五点法画函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图． (教材P 27例1)[解] 步骤：①列表：x 0 π2 π 3π22π sin x 0 1 0 －1 0 y －1 1 －1 －3 －1②描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－3，(2π，－1)． ③连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图，如图所示．方法归纳作形如函数y ＝a sin x ＋b ，x ∈[0，2π]的图像的步骤1．(1)函数f (x )＝a sin x ＋b ，(x ∈[0，2π])的图像如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝12sin x ＋1，x ∈[0，2π]B ．f (x )＝sin x ＋12，x ∈[0，2π]C ．f (x )＝32sin x ＋1，x ∈[0，2π]D ．f (x )＝32sin x ＋12，x ∈[0，2π](2)用五点法作出下列函数的简图． ①y ＝2sin x ，x ∈[0，2π]； ②y ＝2－sin x ，x ∈[0，2π]．解：(1)选A.将图像中的特殊点代入f (x )＝a sin x ＋b ，x ∈[0，2π]，不妨将(0，1)与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.5代入得⎩⎪⎨⎪⎧a sin 0＋b ＝1，a sin π2＋b ＝1.5，解得b ＝1，a ＝0.5，故f (x )＝12sin x ＋1，x ∈[0，2π]．(2)①列表：x 0 π2 π 3π22π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝2sin x 0 2 0 －2 0描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．②列表：x 0 π2π 3π2 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝2－sin x 2 1232描点并将它们用光滑的曲线连接，如图：利用正弦函数的图像求函数的定义域求函数f (x )＝lg (sin x )＋16－x 2的定义域． (教材P 30习题1－5 A 组T 4)[解] 由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，16－x 2≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，sin x >0，作出y ＝sin x 的图像，如图所示．结合图像可得：该函数的定义域为[－4，－π)∪(0，π)．方法归纳一些三角函数的定义域可以借助函数图像直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．有时利用图像先写出在一个周期区间上的解集，再推广到一般情况．2．求函数y ＝log 21sin x－1的定义域.解：为使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0⇔0<sin x ≤12.根据正弦曲线得，函数定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，2k π＋π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋5π6，2k π＋π，k ∈Z .利用正弦函数的图像确定方程解的个数在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图像，根据图像判断出方程sinx ＝lg x 的解的个数．(教材P 30习题1－5 A 组T 1(1))[解] 建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像，再依次向右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图像．作出y ＝lg x 的图像，如图所示．由图像可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．若本例中的函数y ＝lg x 换为y ＝x 2，则结果如何？解：在同一直角坐标系中画出函数y ＝x 2和y ＝sin x 的图像，如图所示．由图知函数y ＝x 2和y ＝sin x 和图像有两个交点，则方程x 2－sin x ＝0有两个根．方法归纳方程根(或个数)的两种判断方法(1)代数法：直接求出方程的根，得到根的个数．(2)几何法：①方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图像，利用对应函数的图像，观察与x 轴的交点个数，有几个交点原方程就有几个根．②转化为两个函数，分别作这两个函数的图像，观察交点个数，有几个交点原方程就有几个根．3．(1)函数y ＝2sin x 与函数y ＝x 的图像的交点有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 (2)研究方程10sin x ＝x (x ∈R )根的个数．解：(1)选B.在同一直角坐标系中作出函数y ＝2sin x 与y ＝x 的图像，由图像可以看出有3个交点．(2)如图所示，当x ≥4π时，x 10≥4π10>1≥sin x ；当x ＝52π时，sin x ＝sin 52π＝1，x10＝5π20，1>5π20，从而x >0时，有3个交点，由对称性知x <0时，有3个交点，加上x ＝0时的交点为原点，共有7个交点．即方程有7个根．思想方法数形结合思想的应用求满足下列条件的角的X 围．(1)sin x ≥12；(2)sin x ≤－22.[解] (1)利用“五点法”作出y ＝sin x 的简图，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作x 轴的平行线，在[0，2π]上，直线y ＝12与正弦曲线交于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，12两点．结合图形可知，在[0，2π]内，满足y ≥12时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π6≤x ≤5π6.因此，当x ∈R 时，若y ≥12，则x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z .(2)同理，满足sin x ≤－22的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪5π4＋2k π≤x ≤74π＋2k π，k ∈Z .[感悟提高] 形如sin x >a (<a )的不等式，求角x 的X 围，一般采用数形结合的思想来解题，具体步骤：(1)画出y ＝sin x 的图像，画直线y ＝a . (2)若解sin x >a ，则观察y ＝sin x 在直线y ＝a 上方的图像．这部分图像对应的x 的X围，就是所求的X 围．若解sin x <a ，则观察y ＝sin x 在直线y ＝a 下方的图像．这部分图像对应的x 的X 围，就是所求的X 围．1．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的大致图像是( )解析：选B.利用五点法画图，函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的图像一定过点(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2，(2π，1)，故B 项正确． 2．已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，b 在函数f (x )＝2sin x ＋1的图像上，则b ＝________． 解析：b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4＋1＝2. 答案：23．若函数f (x )＝2sin x －1－a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上有两个零点，则实数a 的取值X 围是________．解析：令f (x )＝0得2sin x ＝1＋a .作出y ＝2sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上的图像，如图所示． 要使函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上有两个零点，需满足3≤1＋a <2，所以3－1≤a <1. 答案：[3－1，1),[学生用书单独成册])[A.基础达标]1．关于正弦函数y ＝sin x 的图像，下列说法错误的是( ) A ．关于原点对称 B ．有最大值1C ．与y 轴有一个交点D ．关于y 轴对称解析：选D.正弦函数y ＝sin x 的图像如图所示．根据y ＝sin x ，x ∈R 的图像可知A ，B ，C 均正确，D 错误． 2．函数y ＝sin x 的图像与函数y ＝－sin x 的图像关于( ) A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：选A.在同一直角坐标系中画出函数y ＝sin x 与函数y ＝－sin x 在[0，2π]上的图像，可知两函数的图像关于x 轴对称．3．下列函数图像相同的是( ) A ．y ＝sin x 与y ＝sin(x ＋π)B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2与y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－xC ．y ＝sin x 与y ＝sin(－x )D ．y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x解析：选D.对A ，由于y ＝sin(x ＋π)＝－sin x ，故排除A ；对B ，由于y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，故排除B ；对C ，由于y ＝sin(－x )＝－sin x ，故排除C ；对D ，由于y＝sin(2π＋x )＝sin x ，故选D.4.函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )解析：选D .当x ＝－π2时，y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝1，故排除A 、B 、C ，选D . 5．函数y ＝x sin x 的部分图像是( )解析：选A .函数y ＝x sin x 的定义域为R ，令f (x )＝x sin x ，则f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，知f (x )为偶函数，排除B 、D ；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )>0，故排除C ，故选A.6．在[0，2π]上，满足sin x ≥22的x 的取值X 围为________．解析：在同一直角坐标系内作出y ＝sin x 和y ＝22的图像如图，观察图像并求出交点横坐标，可得到x 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34π7.函数y ＝sin x 的图像和y ＝x2π的图像交点个数是________． 解析：在同一直角坐标系内作出两个函数的图像如图所示：由图可知交点个数是3. 答案：38.已知sin x ＝m －1且x ∈R ，则m 的取值X 围是________． 解析：由y ＝sin x ，x ∈R 的图像知，－1≤sin x ≤1， 即－1≤m －1≤1，所以0≤m ≤2. 答案：0≤m ≤29.用“五点法”画出函数y ＝3－sin x (x ∈[0，2π])的图像． 解：(1)x 0 π2 π 32π2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝3－sin x 3 2 3 4 3(2)10.若函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点，求k 的取值X 围．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π，作出函数的图像如图：由图可知当1<k <3时函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点．[B.能力提升]1．若y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3，则函数的值域为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1 C ．(1，2]D ．[1，2]解析：选B.画出函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3的图像如图所示，可知y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1.2．设a >0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x(0<x <π)，下列结论正确的是( )A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值也无最小值解析：选B.f (x )＝sin x ＋a sin x ＝1＋asin x.因为0<x <π，所以0<sin x ≤1.所以1sin x≥1.所以1＋asin x≥a ＋1.所以f (x )有最小值而无最大值． 故选B.3．已知f (sin x )＝x 且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________．解析：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin x ＝12时，x ＝π6， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π6＝π6. 答案：π64．若x 是三角形的最小角，则y ＝sin x 的值域是________．解析：不妨设△ABC 中，0<A ≤B ≤C ，得0<A ≤B ，且0<A ≤C ，所以0<3A ≤A ＋B ＋C ，而A ＋B ＋C ＝π，所以0<3A ≤π，即0<A ≤π3. 若x 为三角形中的最小角，则0<x ≤π3， 由y ＝sin x 图像知y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤0，32 5．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图像，写出满足下列条件的x 的区间．①y >1；②y <1.(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]有两个交点，求a 的取值X 围． 解：列表如下：x －π －π2 0 π2π sin x 0 －1 0 1 01－2sin x 1 3 1 －1 1描点连线得：(1)由图像可知图像在y ＝1上方部分时y >1，在y ＝1下方部分时y <1，所以当x ∈(－π，0)时，y >1；当x ∈(0，π)时，y <1.(2)如图所示，当直线y ＝a 与y ＝1－2sin x 有两个交点时，1<a <3或－1<a <1. 所以a 的取值X 围是{a |1<a <3或－1<a <1}．6．(选做题)已知函数y ＝f (x )为奇函数，且是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上的减函数，f (1－sin α)＋f (1－sin 2α)<0，求α的取值X 围．解：由题意可知f (1－sin α)<－f (1－sin 2α)．因为f (x )是奇函数，所以－f (1－sin 2α)＝f (sin 2α－1)，所以f (1－sin α)<f (sin 2α－1)．又由f (x )是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上的减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－12<1－sin α<12，－12<sin 2α－1<12，1－sin α>sin 2α－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧12<sin α<32，12<sin 2α<32，sin 2α＋sin α－2<0， 解得22<sin α<1， 所以2k π＋π4<α<2k π＋π2(k ∈Z )或2k π＋π2<α<2k π＋3π4(k ∈Z )， 所以α的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋3π4(k ∈Z )．。

[A.基础达标]1．以下对于正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )A ．在x ∈[2k π，2k π＋2π]，k ∈Z 上的图象形状相同，只是位置不同B ．关于x 轴对称C ．介于直线y ＝1和y ＝－1之间D ．与y 轴仅有一个交点解析：选B.观察y ＝sin x 图象可知A 、C 、D 正确，且关于原点中心对称，故选B.2．用“五点法”作函数y ＝cos 2x ，x ∈R 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是( )A ．0，π2，π，3π2，2π B ．0，π4，π2，3π4，π C ．0，π，2π，3π，4π D ．0，π6，π3，π2，2π3 解析：选B.令2x ＝0，π2，π，3π2和2π，得x ＝0，π4，π2，3π4，π，故选B. 3．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )解析：选D.可以用特殊点来验证．x ＝0时，y ＝－sin 0＝0，排除A 、C.当x ＝3π2时，y ＝－sin 3π2＝1，排除B.4．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝32的交点个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．0解析：选B.作出两个函数的图象如图所示，可知交点的个数为2.5．(2015·舒城中学调研)如图所示，函数y ＝cos x ·|sin x||cos x|⎝⎛⎭⎪⎫0≤x＜3π2且x≠π2的图象是( )解析：选C.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ，0≤x＜π2或π≤x＜32π，－sin x ，π2＜x ＜π，结合选项知C 正确．6．用五点法画出y ＝2sin x 在[0,2π]内的图象时，应取的五个点为________．解析：可结合函数y ＝sin x 的五个关键点寻找，即把相应的五个关键点的纵坐标变为原来的2倍即可．答案：(0,0)，(π2，2)，(π，0)，(3π2，－2)，(2π，0) 7．若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是________．解析：由正弦函数图象得－1≤sin x ≤1，所以－1≤2m ＋1≤1，所以m ∈[－1,0]．答案：[－1,0]8．在[0,2π]上满足cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ≤－32的x 的取值范围是________． 解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ≤－32，所以－sin x ≤－32，所以sin x ≥32.又因为0≤x ≤2π，结合如图所示的图象可得π3≤x ≤2π3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 9．用“五点法”画出y ＝cos(7π2－x )，x ∈[0,2π]的简图． 解：由诱导公式得y ＝cos(7π2－x )＝－sin x ， (1)列表：。

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象课后篇巩固探究1.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是()解析y=sin(-x)=-sin x,x∈[0,2π]的图象可看作是由y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于x轴对称得到的,故选B.答案B2.已知cos x=-,且x∈[0,2π],则角x等于()A. B.C. D.解析如图:由图象可知,x=.答案A3.已知f(x)=sin,g(x)=cos,则f(x)的图象()A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y轴对称C.向左平移个单位,得g(x)的图象D.向右平移个单位,得g(x)的图象解析由诱导公式,得f(x)=sin=cos x,所以f(x)=sin=cos x的图象向右平移个单位,得到g(x)的图象.答案D4.函数y=-x cos x的部分图象是()解析令y=f(x),因为f(x)的定义域为R,f(-x)=-(-x)cos(-x)=x cos x=-f(x),所以函数y=-x cos x是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除A,C选项;因为当x∈0,时,y=-x cos x<0,所以排除B选项.答案D5.方程sin x=的根的个数是()A.7B.8C.9D.10解析在同一平面直角坐标系中作出y=sin x与y=的图象(如图所示),由图象,得两函数的图象有7个不同交点,即方程sin x=的根的个数是7,故选A.答案A6.当x∈[0,2π]时,满足sin≥-的x的取值范围是()A. B.C. D.解析由sin≥-,得cos x≥-.画出y=cos x,x∈[0,2π],y=-的图象,如图所示.∵cos=cos=-,∴当x∈[0,2π]时,由cos x≥-,可得x∈.答案C7.导学号68254032在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是()A. B.C. D.解析当x=时,sin=1>=0,故排除选项C,D,当<x<时,sin x<0,|cos x|>0,故排除选项B.答案A8.函数y=的定义域是.解析要使函数有意义,只需2cos x-≥0,即cos x≥.由余弦函数图象知(如图),所求定义域为,k∈Z.答案,k∈Z9.函数y=2sin x与函数y=x图象的交点有个.解析在同一平面直角坐标系中作出函数y=2sin x与y=x的图象可见有3个交点.答案310.函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则实数k 的取值范围为.解析f(x)=的图象如图所示,故由图象知1<k<3.答案(1,3)11.设0≤x≤2π,且|cos x-sin x|=sin x-cos x,则x的取值范围为.解析因为|cos x-sin x|=sin x-cos x,所以sin x≥cos x,由y=sin x,y=cos x在[0,2π]上的图象,得≤x≤.答案12.利用正弦曲线,写出函数y=2sin x的值域是.解析y=2sin x的部分图象如图.当x=时,y max=2,当x=时,y min=1,故y∈[1,2].答案[1,2]13.利用“五点法”画出函数y=2-sin x,x∈[0,2π]的简图.解(1)取值列表如下:(2)描点连线,图象如图所示:14.导学号68254033用“五点法”作出函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题:(1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间.①y>1;②y<1.(2)若直线y=a与y=1-2sin x,x∈[-π,π]的图象有两个交点,求a的取值范围.解列表如下:描点、连线得:(1)由图象可知图象在直线y=1上方部分时y>1,在直线y=1下方部分时y<1,所以当x∈(-π,0)时,y>1;当x∈(0,π)时,y<1.(2)如图所示,当直线y=a与y=1-2sin x有两个交点时,1<a<3或-1<a<1,所以a的取值范围是{a|1<a<3或-1<a<1}.。

第一章《三角函数》综合练习一、选择题1.已知角α的终边经过点0p （-3，-4），则)2cos(απ+的值为（ ）A.54-B.53C.54D.53-2.半径为πcm ，圆心角为120︒所对的弧长为（）A .3πcmB .23πcmC .23πcm D .223πcm 3.函数12sin[()]34y x π=+的周期、振幅、初相分别是（ ）A .3π，2-，4πB .3π，2，12πC .6π，2，12πD .6π，2，4π4.sin y x =的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，然后把图象沿x 轴向右平移3π个单位，则表达式为（ ） A .1sin()26y x π=-B .2sin(2)3y x π=-C .sin(2)3y x π=-D .1sin()23y x π=-5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图像( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于点(π3，0)对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称6.如图，曲线对应的函数是 （ ） A ．y=|sin x | B ．y=sin|x |C ．y=－sin|x |D ．y=－|sin x |7．函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是（）A ．2B ．0C ．41 D ．68．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x －π6(x ∈[0，π])的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，11π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，11π12 9.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如右图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><，则（ ）A.4=AB.1ω=C.6πϕ= D.4=B10.已知1cos()63πα+=-，则sin()3πα-的值为（）A .13B .13-C .233D .233-11.已知α、β是第二象限的角，且βαcos cos >，则 （ ）A.βα<;B.βαsin sin >；C.βαtan tan >；D.以上都不对12.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于( )A. 1B.22C. 0D.22-二、填空题13．函数x x f cos 21)(-=的定义域是______________ 14．若sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则sin αcos α的值是_____________.15、函数])32,6[)(6cos(πππ∈+=x x y 的值域是 ． 16．函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是__________.三、解答题17.已知α是第二象限角，sin()tan()()sin()cos(2)tan()f πααπαπαπαα---=+--．（1）化简()f α； （2）若31sin()23πα-=-，求()f α的值．18.已知tan 3α=，求下列各式的值： （1）4sin cos 3sin 5cos αααα-+ ；（2）212sin cos cos ααα+．19．（1）画出函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π － 2x 在一个周期的函数图像；（2）求出函数的对称中心和对称轴方程．20．已知y ＝a －b cos3x (b >0)的最大值为32，最小值为－12.(1)判断其奇偶性．(2)求函数y ＝－4a sin(3bx )的周期、最大值，并求取得最大值时的x ；21．已知函数45)62sin(21++=πx y (1)求函数的单调递增区间； (2)写出y=sinx 图象如何变换到15sin(2)264y x π=++的图象第一章《三角函数》综合练习答案一、选择题1-5 CDCBB 6-10 CBBCA 11-12 BB 二、填空题13、5[2,2],33k k k Z ππππ++∈14、31015、1[]216、13k << 17. 解析：（1）sin (tan )1()sin cos (tan )cos f ααααααα-==---；（2）若31sin()23πα-=-，则有1cos 3α=-，所以()f α=3。

课后集训基础达标1.用“五点法”画y=sinx,x ∈［0,2π］的简图时，正确的五个点应是（ ）A.（0，0），（2π，1），（π，0）,(π23,-1),(2π,0) B.（0，0），（-2π，1），（-π，0）,(-π23,1),(-2π,0)C.（0，1），（2π，0），（π，-1）,(π23,0),(2π,1)D.（0，-1），（-2π，0），（π，1）,(π23,0),(2π,-1)答案：A2.下列函数图象相同的是（ ）A.y=sinx 与y=sin(π+x)B.y=sin(x-2π)与y=sin(2π-x) C.y=sinx 与y=sin(-x) D.y=sin(2π+x)与y=sinx解析：A 中y=sin(π+x)=-sinx B 中y=sin(x-2π)=-sin(2π-x) C 中y=sin(-x)=-sinx只有D 中sin(2π+x)=sinx 答案：D3.不等式cosx ＜0,x ∈［0,2π］的解集为( )A.（2π，23π）B.［2π，23π］C.（0，2π）D.（2π，2π）答案：A4.在［0，π2］上，满足sinx≥21的x 取值范围是（ ）A.［0，6π］B.［6π，65π］C.［6π，32π］ D.［65π，π］解析：在同一坐标系内作出y=sinx 与y=21的图象.答案：B5.函数y=-cosx 的图象与余弦函数图象（ ）A.关于x 轴对称B.关于原点对称C.关于原点和x 轴对称D.关于原点和坐标轴对称解析：在同一坐标系中作出y=cosx 与y=-cosx 的图象（如右图），由图象知：y=cosx 与y=-cosx 的图象关于x 轴对称且关于原点对称. 答案：C6.y=1+sinx,x ∈［0,2π的图象与y=23交点的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：如下图y=1+sinx,x ∈［0,2π］的图象，与y=23的图象有两个交点.答案：C 综合运用7.若函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，如下图，则这个封闭图形的面积为（ ）A.4B.8C.2πD.4π解析：观察图形，由图象可知，图形S 1与S 2、S 3与S 4都是两个对称图形，有S 1=S 2、S 3=S 4.因此函数y=2cosx 的图象与直线y=2所围成的图形面积，可以等积的转化为求矩形OABC 的面积. ∵|OA|=2,|OC|=π2,∴S 矩形OABC =2×π2=4π.答案：D8.方程cosx=lgx 的实根的个数是（ ）A.1B.2C.3D.无数个 解析：在同一坐标系中作y=cosx 与y=lgx 的图象（如下图），由图可知两图象有三个交点.故选C.答案：C9.如下图所示，函数y=cosx|tanx|(0≤x ＜23π且x≠2π)的图象是（ ）解析1：首先考虑函数的定义域x≠2π，故排除A.然后去掉绝对值符号: y=cosx·|tanx|=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<≤<-<≤.23sin 2sin ,20sin πππππx x x x x x于是可得答案为C.解法2：首先考虑函数定义域x≠2π，排除掉A.然后再利用特殊值检验的方法.当x=4π时，y=22. 故排除掉B 、D. 故选C. 答案：C 拓展探究 10.方程sinx=21a -在x ∈［3π,π］上有两个实数根，求a 的取值范围. 解析：本题主要考查利用数形结合的思想判断方程根的个数问题.首先作出y=sinx ，x ∈［3π,π］上的图象.然后再作出y=21a -的图象.由图象知：如果y=sinx 与y=21a-的图象有两个交点，方程sinx=21a -,x ∈［3π,π］就有两个实数根.解：设y 1=sinx,x ∈［3π,π］,y 2=21a -.y 1=sinx,x ∈［3π,π］的图象如右图. 由图象可知，当23≤21a-＜1，即-1＜a≤13-时，y=sinx,x ∈［3π,π］的图象与y=21a -的图象有两个交点，即方程sinx=21a -在x ∈［3π,π］上有两个实根. 备选习题11.与图中曲线对应的函数是（ ）A.y=sinxB.y=sin|x|C.y=-sin|x|D.y=-|sinx| 解析：排除法：A 不是；B 中y=sin|x|当x≥ 0时，y=sinx 也不符合；D 中y=-|sinx|≤0. ∴选C. 答案：C12.先将y=sinx-1的图象向左平移2π个单位长度，再向上平行移动1个单位长度，得到函数f(x)的图象，则f(x)=________________. 答案：cosx13.作出下列函数的简图: （1）y=2+cosx,x ∈［0,2π］; (2)y=-2sinx,x ∈［0,2π］-214.作函数y=xtan 1·sinx 的图象. 解析：本题实际考查解析式的化简及函数y=cosx 的图象.首先将函数解析式化简，然后作其图象.但要注意化简前、后的定义域不变. 解：当sinx≠0,即x≠kπ(k ∈Z ),cosx≠0,即x≠nπ+2π,n ∈Z 时，有y=1tanx·sinx=cosx ，即y=cosx(x≠kπ且x≠kπ+2π,k ∈Z ),其图象如下图15.函数y=|sinx|的图象可由函数y=sinx 的图象如何变化得到____________.答案：将y=sinx 的图象在x 轴上方部分保留，x 轴下方部分作关于x 轴的对称图象，组合而成16.函数f(x)=sinx+2|sinx|，x ∈［0,2π］的图象与直线y=k 有且仅有两个不同交点，求k 的取值范围.解析：目标——消去绝对值符号，因此，先分象限讨论. 解：f(x)=].2,(],,0[sin sin 3πππ∈∈⎩⎨⎧-x x x x如下图，由图象知1＜k ＜3.答案：1＜k＜3。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.4.1正弦函数、余弦函数的图象班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．函数y=-sin x,的简图是A. B.C. D.2．下列说法不正确的是A.y=sin x的图象与y=cos x的图象的形状完全一样，只是在坐标系中的位置不同B.y=sin x的图象介于直线y=±1之间C.y=cos x(0≤x≤2π)的图象的五个关键点是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)D.y=sin x与y=cos x的图象与x轴都有无数个公共点3．方程的解的个数是马鸣风萧萧马鸣风萧萧A.5B.6C.7D.84．若0≤sin α≤,且α∈[-2π,0),则α的取值范围是A.[-2π,-]∪[-,-π]B.[-2π+2kπ,-+2kπ]∪[-+2kπ,-π+2kπ](k∈Z)C.[0,]∪[,π]D.[2kπ,2kπ+]∪[2kπ+,2kπ+π](k∈Z)5．方程cos x=lg x的实根的个数是____.6．不等式2sin x-1≥0的解集为.7．若，且x∈R，则m的取值范围是 .8．根据y=cos x的图象解不等式：,x∈[0，2π].能力提升1．若函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且只有两个不同的交点，求k 的取值范围.2．画出函数在一个周期内的图像.马鸣风萧萧1.4.1正弦函数、余弦函数的图象详细答案【基础过关】 1．D 2．C【解析】A 、B 、D 正确.如图， 的图象的五个关键点应是（0，1)，，（π，−1），（2π，1）.故选C.3．C【解析】在同一坐标系中分别作出函数： ，的图象，如图，当 时，，故由图可知函数 ，的图象在y 轴左边有3个交点、右边有3个交点，再加上原点，共计7个交点，即方程的解的个数是7.故选C.4．A【解析】根据题意结合正弦函数图象可知,α满足[2kπ,2kπ+]∪[2k π+,2kπ+π](k ∈Z),∵α∈[-2π,0),∴α的取值范围是[-2π,-]∪[-,-π].故选A.5．3【解析】求方程cos x ＝lg x 的实根的个数等价于求函数y ＝cos x 与y ＝lg x 的图象的交点个数.如图所示，可得两图象的交点个数为3，即方程cos x ＝1g x 的实根的个数是3.马鸣风萧萧6．[2k π+,2k π+](k ∈Z )【解析】不等式等价于sin x ≥,由正弦函数的图象可知,不等式的解集为[2k π+,2k π+](k ∈Z ).【备注】要解决此类问题,应先找出不等式在一个周期内的解,然后再加上周期的整数倍即可.7．(]1,3,5⎡⎫--⋃-+⎪⎢⎣⎭∞∞【解析】由cosx ∈[―1，1]，x ∈R ， 得211132m m --≤≤+，即211,32211,32m m m m -⎧≥-⎪⎪+⎨-⎪≤⎪+⎩510,3230,32m m m m +⎧≥⎪⎪+⎨+⎪≥⎪+⎩12,532m 3,3m m m ⎧≥-<-⎪⎪⎨⎪≤->-⎪⎩或或所以m≤−3或15m ≥-. 8．函数cos y x =，[0,2]x π∈的图像 如图所示：根据图像可得不等式的解集为：5753663xx x ππππ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭或.【能力提升】1．3sin (0),()sin (2),x x f x x x πππ≤≤⎧=⎨-<≤⎩作出函数的图像如图：马鸣风萧萧由图可知当13k <<时函数()sin 2sin f x x x =+，[0,2]x π∈的图像与直线y k =有且只有两个不同的交点. 2．(1)列表如下：－(2)描点、连线如下图【解析】本题考查“五点法”作函数 的简图.先作变量代换,令 再用方程思想由 取来确定对应 的值,最后根据 的值描点,连线画出函数的图象.。

（同步复习精讲辅导）北京市2014-2015学年高中数学 正弦函数y=sinx 的图像及图像变换课后练习一 新人教A 版必修4题一题面：在同一个坐标系内画,sin y x y x =-=的图 题二题面：在同一个坐标系内画sin ,2x y x y ==的图. 题三题面：将函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图象，则ϕ等于( ) A ．12π-B ．3π-C ．3π D ．12π 题四题面：在同一个坐标系内画1()sin ,()f x x g x x==的图 题五题面：函数()y g x =过点(2，1)，则函数1()2y g x =的图像必过的点是 .题六题面：试述如何由y =31sin(2x +3π)的图象得到y =sin x 的图象.题七题面：函数2)62cos(-+=πx y 的图像F 按向量a 平移到F ’，F ’的解析式y =f (x )，当y =f (x )为奇函数时，向量a 可以等于( )A.)2,6(-πB.)2,6(πC.)2,6(--π D.)2,6(π-题八题面：已知电流I 与时间t 的关系式为sin()I A t ωϕ=+. (1)下图是sin()I A t ωϕ=+(ω＞0，||2πϕ<)在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()I A t ωϕ=+的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流sin()I A t ωϕ=+都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？课后练习详解题一答案：见详解 详解：题二答案：见详解 详解：题三 答案：C详解：函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)12(4sin π+=x y 的图象，故3πϕ= 题四答案：见详解 详解：题五答案：(4，1)详解：由题意: (2)1g =， 则1()2y g x =的图像必过的点是(4，1)题六答案：见详解. 详解：y =31sin(2x +3π)）（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y x y sin 313π=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的题七 答案：D详解：∵cos(2)26y x π=+-，所以将函数cos(2)26y x π=+-向左平移6π个单位 得到cos 2()2cos(2)2sin 221262y x x x πππ=++-=+-=--，再向上平移2个单位 得到 y = x ，是奇函数，所以由平面向量平行规律可知，(,2)6a π=-，故选D.题八答案：(1)300sin(150)6I t ππ=+(2)ω＝943详解： (1)由图可知 A ＝300设t 1＝－1900，t 2＝1180， 则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2(1180＋1900)＝175∴ ω＝2T π＝150π又当t ＝1180时，I ＝0，即sin(150π·1180＋ϕ)＝0，而||2πϕ<， ∴ ϕ＝6π. 故所求的解析式为300sin(150)6I t ππ=+.(2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150，(ω>0) ∴ω≥300π＞942，又ω∈N *，故最小正整数ω＝943.。

1.4.1-
2.1
基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列对函数y＝cos x的图象描述错误的是()
A．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴只有一个交点
的图象解不等式：－
32≤cos x ≤12
，x ∈[0,2π]∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为x |π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3
.
(0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，
kπ
，k∈Z.∈Z
sin x－π
2x∈
π
2，
5
2
π
的图象．π
2π
3π
22π010－
描点并用光滑的曲线连接起来．
．利用图象变换作出下列函数的简图：
[0,2π]；
”作出函数y＝cos x，x∈[0,2π]的简图，轴对称的简图，即y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图，将y＝－
y＝1－cos x，x∈[0,2π]的简图，如图所示．
作出函数y＝sin x，x∈[0,4π]的简图，再将该简图在轴的上方，即得到y＝|sin x|，x∈[0,4π]的简图，如图所示．。