线性代数解法与技巧

了解高中数学中的线性代数问题的解题技巧线性代数是数学的一个分支，广泛应用于科学、工程和经济等领域。

在高中数学中，线性代数也是一门重要的课程，通过学习线性代数，不仅可以提高学生的数学思维能力，还可以帮助他们解决实际问题。

本文将介绍高中数学中线性代数问题的解题技巧，包括向量、矩阵和线性方程组的解法等。

一、向量的基本概念和运算向量是线性代数中的重要概念，它可以表示大小和方向。

在解决向量问题时，首先要了解向量的基本概念，包括向量的表示方法、向量的模长和方向角等。

其次，需要熟练掌握向量的运算法则，如向量的加法、减法、数量乘法和内积等。

通过灵活运用这些运算法则，可以简化向量计算过程，提高解题效率。

二、矩阵的基本概念和运算矩阵是线性代数中另一个重要的概念，它可以用来表示一组数。

在解决矩阵问题时，首先要了解矩阵的基本概念，包括矩阵的行、列、秩和转置等。

其次，需要掌握矩阵的运算法则，如矩阵的加法、减法、数量乘法和乘法等。

同时，矩阵的逆矩阵和行列式等相关概念和运算也是解决矩阵问题的关键。

掌握了这些基本概念和运算法则，可以更好地理解和解决与矩阵相关的数学问题。

三、线性方程组的解法线性方程组是线性代数中的重要问题之一，它可以用来描述多个线性方程的关系。

在解决线性方程组时，可以采用消元法、矩阵方法和向量方法等不同的解题技巧。

消元法是线性方程组解法中最常用的方法，将线性方程组转化为行阶梯形式，然后逐步消去未知数，得到解的过程。

矩阵方法通过将线性方程组转化为矩阵的形式，然后通过行初等变换或矩阵的逆矩阵等方法求解。

向量方法通过将线性方程组表示为向量的形式，通过向量之间的线性组合求解。

在解决线性方程组问题时，根据具体情况选择合适的解题方法，可以提高解题效率。

四、矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，它们对于理解矩阵的本质和性质有着重要的作用。

矩阵的特征值表示矩阵在某个方向上的伸缩因子，特征向量表示在相应特征值方向上的向量。

线性代数求解方法和技巧线性代数是数学中重要的一个分支，研究向量空间、线性变换和线性方程组等内容。

在实际问题中，我们常常需要用线性代数的方法来解决问题，因此掌握线性代数的求解方法和技巧对于理解和应用数学是非常重要的。

首先，我们讨论线性方程组的求解方法。

线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知数的次数都为1。

对于n个未知数和m个方程的线性方程组，我们有以下几种常用的求解方法：1. 列主元消元法：这是最常用的线性方程组求解方法之一。

它的基本思想是通过行变换将线性方程组化为一个三角形式，进而求解得到方程组的解。

在进行行变换时，要选择合适的列主元，即选择主元元素绝对值最大的一列作为主元素。

2. 矩阵求逆法：对于一个可逆的n阶方阵A，我们可以通过求A的逆矩阵来求解线性方程组Ax=b。

具体地，我们首先通过高斯消元法将方程组化为三角形式，然后根据三角形式的矩阵求逆公式来求解x。

3. LU分解法：对于一个n阶非奇异矩阵A，我们可以将其分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。

接着，我们可以通过LU分解来求解线性方程组Ax=b。

具体地，我们首先通过LU分解将方程组化为Lc=b和Ux=c两个方程组，然后依次求解这两个方程组得到x的值。

除了以上的求解方法，还有一些线性方程组的特殊情况和对应的求解方法：1. 齐次线性方程组：如果线性方程组右边的常数项都为0，即b=0，那么我们称为齐次线性方程组。

对于齐次线性方程组，其解空间是一个向量空间。

我们可以通过高斯消元法来求解齐次线性方程组，先将其化为三角形式，然后确定自由未知量的个数，最后确定解空间的基底。

2. 奇异线性方程组：如果线性方程组的系数矩阵A是奇异矩阵，即det(A)=0，那么我们称为奇异线性方程组。

对于奇异线性方程组，其解可能不存在，或者存在无穷多解。

我们可以通过计算矩阵A的秩来确定线性方程组的解的情况。

另外，在实际问题中，我们可能会遇到大规模的线性方程组，这时候求解方法和技巧还需要考虑到计算效率的问题。

线性代数规范型求解题技巧线性代数中，规范型求解题是一类非常常见和重要的问题。

规范型表示方程组具有特定形式的线性方程组。

下面将介绍一些求解规范型问题的基本技巧。

1. 基础技巧首先，我们需要将规范型方程组写成矩阵形式Ax=b 的形式。

A是一个m×n的矩阵，x是一个n维列向量，b 是一个m维列向量。

2. 求逆矩阵法如果矩阵A可逆，那么可以直接通过求逆矩阵的方法求解方程组。

具体地，我们可以通过x=A^(-1)b来求解x。

然而，这种方法只适用于方程的个数小于变量的个数的情况。

3. 列主元消元法如果矩阵A不可逆，我们可以通过列主元消元法来求解方程组。

这种方法首先将矩阵A转化为上三角矩阵，然后再通过回代的方式求解方程组。

具体步骤如下：1) 选择矩阵A的第一列的主元素，如果该主元素不为0，则进行下一步；否则，选择下一列为主元素。

2) 将主元行与第一行进行交换，使主元素移到第一行。

3) 通过消元操作，将第一列的其他元素消为0。

4) 将第一行移到第一列的位置，继续处理下一列。

5) 重复步骤1-4，直到矩阵A变成上三角矩阵。

6) 通过回代的方式求解方程组。

4. 高斯-约旦消元法高斯-约旦消元法是另一种求解规范型方程组的方法，它将矩阵A转化为简化行阶梯型形式。

具体步骤如下：1) 对矩阵A进行行初等变换，将其转化为上三角矩阵。

2) 对上三角矩阵进行回代，得到方程组的解。

5. LU分解法如果矩阵A可以进行LU分解，那么可以通过LU分解的方法求解方程组。

这里L是一个m×m的下三角矩阵，U是一个m×n的上三角矩阵。

具体步骤如下：1) 将矩阵A进行LU分解，得到LU=A。

2) 令y=Ux，将原方程组转化为Ly=b。

3) 通过回代的方式，求解Ly=b得到y。

4) 再通过回代的方式，求解Ux=y得到x。

6. 奇异值分解法如果矩阵A奇异值分解为A=UDV^T，那么可以通过奇异值分解的方法求解方程组。

其中，U是一个m×m的正交矩阵，D是一个m×n的对角矩阵，V是一个n×n 的正交矩阵。

线代矩阵求解题技巧线性代数是数学中的一个重要分支，广泛应用于科学和工程学科中。

矩阵求解是线性代数中的一个基本概念，它是解线性方程组、求特征值和特征向量等问题的重要工具。

下面将介绍一些线性代数矩阵求解的基本技巧。

1. 高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的常用方法之一。

该方法的基本思想是通过矩阵变换将线性方程组化为上三角形方程组或者行最简形式，从而得到方程组的解。

高斯消元法具体步骤如下：（1）将线性方程组写成增广矩阵的形式；（2）选取一个主元（通常选取主对角线上的元素），并通过一个变换将该元素下面的所有元素置零；（3）对主元元素下面的行执行类似的操作，直到所有元素都变为零或者上三角矩阵形式；（4）回代求解未知数。

2. LU分解LU分解是将一个矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积的方法。

这个方法通常用于解决多次使用相同矩阵求解线性方程组的场景。

LU分解的具体步骤如下：（1）设一个n阶方阵A，将其分解为A=LU；（2）通过高斯消元法将A化为上三角矩阵U；（3）构造下三角矩阵L，使得A=LU成立。

3. 矩阵的逆和伴随矩阵对于一个可逆矩阵A，可以通过求解逆矩阵来求解线性方程组。

设A为n阶可逆方阵，若存在一个n阶矩阵B，满足AB=BA=I，那么B称为A的逆矩阵，记作A^(-1)。

逆矩阵可以通过伴随矩阵来求解。

对于n阶矩阵A，它的伴随矩阵记作adj(A)，它的定义为adj(A)=det(A)·A^(-1)，其中det(A)是A的行列式。

逆矩阵的求解可以通过以下步骤：（1）求解矩阵A的行列式det(A)；（2）求解矩阵A的伴随矩阵adj(A)；（3）求解矩阵A的逆矩阵A^(-1)，即A^(-1)=adj(A)/det(A)。

4. 特征值和特征向量特征值和特征向量在矩阵求解中起着重要作用。

设A 是一个n阶方阵，若存在一个非零向量X，满足AX=kX，其中k为常数，则k为A的一个特征值，X为对应的特征向量。

常见的线性代数求解方法
1.列主元消去法
列主元消去法是一种经典的求解线性方程组的方法。

它通过将
方程组转化为上三角矩阵的形式来求解。

这个方法的关键在于选取
主元的策略。

一种常见的选取主元的策略是选择当前列中绝对值最
大的元素作为主元，然后进行消去操作，直到将矩阵转化为上三角
矩阵。

2.高斯-约当消去法
高斯-约当消去法是另一种常见的线性方程组求解方法。

它通
过消去矩阵的下三角部分来将线性方程组转化为上三角矩阵的形式。

这个方法也需要选择主元，常见的选择策略是选取当前行中绝对值
最大的元素作为主元，然后进行消去操作。

3.LU分解法
LU分解法是将矩阵分解为一对矩阵的乘积的方法。

这个方法的思想是先将矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵，然后通过求解上三角矩阵和下三角矩阵的两个方程组来求解原始的线性方程组。

4.Jacobi迭代法
Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。

它通过将原始的线性方程组转化为一个对角矩阵和另一个矩阵的乘积的形式，然后通过迭代求解这个对角矩阵和另一个矩阵的方程组来逼近线性方程组的解。

5.Gauss-Seidel迭代法
Gauss-Seidel迭代法是另一种迭代求解线性方程组的方法。

它与Jacobi迭代法类似，但是在每一次迭代中，它使用前一次迭代得到的部分解来更新当前的解。

这个方法通常比Jacobi迭代法收敛得更快。

以上是一些常见的线性代数求解方法。

每种方法都有其特点和适用范围，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解线性方程组的问题。

线性方程组的解法与应用在数学中，线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组，它是研究线性代数的基础。

线性方程组的解法和应用非常广泛，可以用于解决实际生活和工作中的各种问题。

本文将介绍线性方程组的解法以及一些应用案例。

一、线性方程组的解法线性方程组的解法主要有三种：图解法、代入法和消元法。

下面将详细介绍这三种方法。

1. 图解法图解法是线性方程组最直观的解法之一。

通过在坐标系中画出方程组表示的直线或者平面，可以确定方程组的解。

举个例子，考虑一个包含两个未知数的线性方程组：方程一：2x + 3y = 7方程二：4x - y = 1我们可以将方程一化简为 y = (7 - 2x) / 3，方程二化简为 y = 4x - 1。

然后在坐标系中画出这两条直线，它们的交点即为方程组的解。

2. 代入法代入法是一种逐步代入的解法。

通过将已知的某个变量表达式代入到另一个方程中，逐步求解未知数的值。

仍以前述的线性方程组为例，我们可以将方程二中的 y 替换为 (7 - 2x) / 3，代入方程一中：2x + 3((7 - 2x) / 3) = 7通过化简方程，我们可以得到 x 的值，然后再将 x 的值代入到方程二中，求出 y 的值。

3. 消元法消元法是一种通过不断消去未知数来求解方程组的解法。

通过变换或者利用消元的规律，将方程组转化为更简单的形式，从而获得解。

考虑一个包含三个未知数的线性方程组为例：方程一：2x + 3y - z = 10方程二：4x - y + z = 2方程三：x + 2y + z = 3可以使用消元法将这个方程组转化为上三角形式，即方程组的右上方是零。

通过对方程组进行一系列的变换，可以得到转化后的方程组：方程一：2x + 3y - z = 10方程二：-7y + 5z = -18方程三：4y + 5z = -1一旦方程组转化为上三角形式，可以通过回代法依次求解未知数。

二、线性方程组的应用线性方程组的求解方法在现实生活中有着广泛的应用。

线性代数的基本解法介绍线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间和线性变换的代数结构和性质。

在数学、物理学、计算机科学等领域都有广泛的应用。

本文将介绍线性代数中常见的基本解法，包括行列式、矩阵运算、向量空间、线性方程组等内容。

行列式行列式是线性代数中重要的概念，它可以判断矩阵的可逆性以及线性方程组的解情况。

行列式的计算可以通过数值法和性质法两种方法进行。

数值法通过将矩阵转化为上三角矩阵或下三角矩阵，利用对角元素相乘得到行列式的值。

性质法则利用行列式的一系列性质进行计算，包括行列互换、行加倍等。

矩阵运算矩阵运算在线性代数中非常重要，包括矩阵的加法、减法、乘法等。

矩阵加法和减法主要通过对应位置元素的相加或相减来实现。

矩阵乘法则需要注意行和列的对应关系，具体的计算方法是将矩阵的行与另一个矩阵的列进行内积运算，得到最终的矩阵。

向量空间向量空间是线性代数中的一个基本概念，它由一组满足一定条件的向量组成。

向量空间具有封闭性、线性组合和线性相关性等特性。

通过研究向量空间的性质，可以对向量进行分析和运算。

线性方程组的解可以表示为向量空间的交集。

线性方程组线性方程组是线性代数中的核心问题之一，它表示为多个线性方程组成的方程组。

求解线性方程组可以通过消元法、矩阵法、逆矩阵等方法。

消元法通过逐步消去未知数来求解，最终得到唯一解、无穷解或无解。

矩阵法则通过转化为矩阵形式，利用矩阵的性质求解。

逆矩阵则需要判断方程组的系数矩阵是否可逆，若可逆则可以求解出唯一解。

总结线性代数的基本解法包括行列式、矩阵运算、向量空间和线性方程组等。

行列式可以判断矩阵的可逆性和解的情况；矩阵运算可以进行不同矩阵的加法、减法和乘法；向量空间具有封闭性和线性相关性等特性；线性方程组的解可以通过消元法、矩阵法和逆矩阵等方法求解。

掌握这些基本解法将有助于在实际问题中应用线性代数的知识。

线性代数行列式求解的技巧行列式是线性代数中的一个重要概念，它可以用于求解线性方程组的解、判断矩阵是否可逆等问题。

行列式的计算通常使用展开法、性质法等多种方法，以下是一些行列式求解的技巧。

1. 展开法展开法是求解行列式的一种常用方法，其基本思想是通过将行列式展开为一系列子行列式的和来计算。

行列式的展开可以按照某一行或某一列进行展开，通常选择具有最多零元素的行或列进行展开可以减少计算的复杂度。

例如，对于一个3阶行列式：A = |a11 a12 a13||a21 a22 a23||a31 a32 a33|我们可以选择第一行或者第一列进行展开，以第一列为例：A = a11|a22 a23| - a21|a12 a13| + a31|a12 a13||a32 a33| |a32 a33| |a22 a23|展开后的每一项都是一个2阶子行列式，可以通过直接计算或继续展开来求解。

展开法的优点是较为直观，但当行列式阶数较高时计算量巨大，不适合大规模行列式的计算。

2. 元素对应法则行列式的元素对应法则指的是对于一个n阶行列式，其每一项的元素都来自于不同行不同列的n个元素的乘积。

在计算中，可以通过指定元素的位置来构造行列式。

例如，对于一个3阶行列式：A = |a11 a12 a13||a21 a22 a23||a31 a32 a33|其中，a11来自于A的第一行第一列，a22来自于A 的第二行第二列，a33来自于A的第三行第三列。

通过这种方法，可以方便地构造行列式并进行计算。

3. 行变换法行变换法是求解行列式的一种简化计算的方法，通过对行进行一系列变换，将行列式化为三角形式或对角形式，从而简化计算。

常用的行变换包括行列式的行交换、行乘法、行加法等。

行交换可以通过直接交换行的位置得到，行乘法可以将某一行的元素乘以一个常数，行加法可以将某一行的元素乘以一个常数后加到另一行，行变换不改变行列式的值。

通过行变换后，可以使行列式的某些元素为零，使得计算行列式的展开或使用性质更加方便。

解答线性代数问题的五大数学思想方法线性代数是数学中一门重要的学科，它研究向量空间及其上的线性映射。

在解答线性代数问题时，有五种常用的数学思想方法，它们是：1. 向量空间思想向量空间思想是线性代数的核心概念，它通过引入向量、线性组合和线性相关性等概念，将问题抽象为向量空间中的运算和性质。

在解答线性代数问题时，我们可以利用向量空间的性质，如线性独立性和子空间的性质，对问题进行分析和推导。

2. 矩阵运算思想矩阵运算思想是解答线性代数问题的重要手段。

通过将向量和线性映射表示为矩阵形式，我们可以利用矩阵的运算法则，如矩阵的加法、乘法和转置等，对线性代数问题进行简化和求解。

3. 特征值和特征向量思想特征值和特征向量思想是线性代数中的重要概念，它们与线性映射的性质密切相关。

通过求解矩阵的特征值和特征向量，我们可以揭示线性映射的几何效应和特征，进而对线性代数问题进行深入分析和解答。

4. 线性方程组思想线性方程组思想是解答线性代数问题的基础方法。

通过建立线性方程组，我们可以通过消元法、矩阵求逆或矩阵行列式等方法，求解线性方程组的解，从而解答线性代数问题。

5. 内积和正交思想内积和正交思想是解答线性代数问题的重要工具和思想方法。

通过定义内积和正交的概念，我们可以利用内积的性质，如正交投影、正交分解和正交对角化等，对线性代数问题进行求解和分析。

综上所述，解答线性代数问题的五大数学思想方法包括向量空间思想、矩阵运算思想、特征值和特征向量思想、线性方程组思想以及内积和正交思想。

这些方法能够帮助我们深入理解线性代数的概念和性质，解答各类线性代数问题。

线性代数之行列式问题求解方法总结
在考研数学中，行列式是线性代数中最基本的知识点，也是线性代数必考知识点之一，是历年线性代数中非常基础和重要的知识点，是各位考生比较容易出错的一个知识点。

考研数学线性代数对行列式的的要求，不仅要会计算行列式，更要能够快速高效解决行列式的计算。

下面我总结了一些计算行列式的解法，希望对正在备考2020年考研和即将备考同学们有些帮助。

计算行列式的方法主要有：
（1）三角法：
一个行列式通过各种变换化简成上(下)三角，然后通过对角线相乘，得到行列式的值。

（2）利用行列式的性质
（3）加边法：
（4）把行列式各列各行都加到某一列或某一行：
只要行列式各行或各列加和相等，就可以把行列式各列各行都加到某一列或某一行，然后利用行列式的性质化简该行列式
（5）利用范德蒙行列式
（6）利用递推法
（7）按行列式的某行或某列展开
几个重要结论：
（1）主(次)对角行列式
题型一：利用行列式的性质
例1：
解：
题型二：把行列式各列各行都加到某一列或某一行例2：
解：。

线性方程组的8种解法专题讲解线性方程组是数学中常见的问题之一，解决线性方程组可以帮助我们求出方程组的解，从而解决实际问题。

本文将介绍线性方程组的8种常见解法。

1. 列主元消去法列主元消去法是解决线性方程组的常用方法。

该方法通过将方程组转化为阶梯型矩阵，然后进行回代求解，得到方程组的解。

这一方法适用于任意维度的线性方程组。

2. 高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的经典方法之一。

该方法将方程组转化为阶梯型矩阵，并通过变换矩阵的方式使得主元为1，然后进行回代求解，得到方程组的解。

高斯消元法适用于任意维度的线性方程组。

3. 高斯-约当消元法高斯-约当消元法是对高斯消元法的改进。

该方法在高斯消元法的基础上，通过变换矩阵的方式使得主元为0，然后进行回代求解，得到方程组的解。

高斯-约当消元法适用于任意维度的线性方程组。

4. 矩阵分解法矩阵分解法是一种将线性方程组转化为矩阵分解形式，从而求解线性方程组的方法。

常见的矩阵分解方法有LU分解、QR分解等。

这些方法可以有效地降低求解线性方程组的计算复杂度。

5. 特征值分解法特征值分解法是一种将线性方程组转化为特征值和特征向量的形式，从而求解线性方程组的方法。

通过求解方程组的特征值和特征向量，可以得到方程组的解。

特征值分解法适用于具有特殊结构的线性方程组。

6. 奇异值分解法奇异值分解法是一种将线性方程组转化为奇异值分解形式，从而求解线性方程组的方法。

通过奇异值分解，可以得到方程组的解。

奇异值分解法适用于具有特殊结构的线性方程组。

7. 迭代法迭代法是一种通过逐步逼近方程组的解来求解线性方程组的方法。

常见的迭代法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。

迭代法的优点是可以适应各种规模的线性方程组。

8. 数值求解法数值求解法是一种通过数值计算的方式来求解线性方程组的方法。

常见的数值求解法有牛顿法、梯度下降法等。

数值求解法可以处理复杂的线性方程组。

以上是线性方程组的8种常见解法。

第一部分 行列式一、行列式的概念(1) 二阶与三阶行列式的对角线法则 (2) n 阶行列式的定义(3) 余子式、代数余子式的定义【测试题】四阶行列式中含有1123a a 的项是__________二、数字型行列式的计算计算数字型行列式的常见思路有：(1) 如果在行列式的某一行（列）中，零的个数比较多，可按该行（列）展开；(2) 利用行列式的性质，将行列式某行（列）中尽可能多的元素化为零，然后再按该行（列）展开（课本P.18例7的第二种解法）；(3) 三角形法：利用行列式的性质，将给定的行列式化为上（下）三角形行列式（课本P.12例7、例8、例9）；(4) 递推法或数学归纳法（课本P.15例11，P.18例12）； (5) 利用范德蒙行列式；(6) 利用拉普拉斯定理（同济第五版的线性代数没有介绍该定理，不作为期末考试要求）． 【测试题】1．计算下列各行列式（k D 为k 阶行列式）： (1) 11n aD a=O，其中对角线上的元素都是a ，未写出的元素都是0；(2) n x a aa x aD a a x=L L M M M L ；(3) 1111(1)()(1)()1111nn n n n n n a a a n a a a n D a a a n −−−+−−−−=−−LL M M M L L；(4) 11211nnn nna b a b D c d c d =ONNO，其中未写出的元素都是0．2．设3521110513132413D −−=−−−−，D 的(,)i j 元的余子式和代数余子式依次记作ij M 和ij A ，求11121314A A A A +++及11213141M M M M +++．3．四阶行列式1122433440000000a b a b D b a b a =的值等于__________(A) 12341234a a a a b b b b −；(B) 12341234a a a a b b b b +；(C) 12123434()()a a b b a a b b −−； (D) 23231414()()a a b b a a b b −−．三、抽象型行列式的计算 【测试题】1．设12312,,,,αααββ均为4维列向量，且已知4阶行列式1231,,,m αααβ=，1223,,,n ααβα=，则4阶行列式32112,,,αααββ+=__________(A) m n +； (B) ()m n −+； (C) n m −； (D) m n −．2．若1112132122233132331a a a D a a a a a a ==，则1111121312121222331313233423423423a a a a D a a a a a a a a −=−=−__________ 3．设A 为3阶矩阵，12A =，求：(1) 1*(2)3A A −−；(2) *1(3)2A A −−． 4．设A 为n 阶（实）矩阵，且满足Tn A A E =．如果0A <，求行列式A E +的值． 5．设4阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为1111,,,2345，求行列式1B E −−的值．四、行列式等于零的判定设A 为n 阶方阵，则与“0A =”等价的说法有： (1) A 是奇异矩阵；(2) A 是降秩矩阵，即()R A n <； (3) n 元齐次线性方程组0Ax =有非零解；(4) A 的列（行）向量组中至少存在一个列（行）向量可以由其余1n −个列（行）向量线性表示；(5) A 的列（行）向量组线性相关； (6) A 至少有一个特征值等于零． 【测试题】1．设A 为n 阶矩阵，且0A =，则下列各选项中正确的是__________ (A) A 中必有一列（行）的元素全等于零； (B) A 中必有两列（行）的元素对应成比例；(C) A 的列（行）向量组中必有一个列（行）向量可以由其余的列（行）向量线性表示； (D) A 的列（行）向量组中任意一个列（行）向量都可以由其余的列（行）向量线性表示．2．设A 为m n ×矩阵，B 为n m ×矩阵，则下列各选项中正确的是__________ (A) 当m n >时，必有行列式0AB ≠； (B) 当m n >时，必有行列式0AB =； (C) 当n m >时，必有行列式0AB ≠；(D) 当n m >时，必有行列式0AB =．第二部分 矩阵一、矩阵的概念及运算1．矩阵的概念（方阵、行矩阵、列矩阵、同型矩阵、零矩阵、单位阵、对角阵、对称阵、纯量阵、伴随矩阵、可逆矩阵、奇异矩阵、非奇异矩阵、满秩矩阵、降秩矩阵、正交阵等） 2．矩阵的运算 矩阵的加法 数乘矩阵 矩阵的乘法* 矩阵的转置*方阵的幂方阵的行列式*说明：重点复习带*号的矩阵运算． 3．行列式与矩阵的区别【测试题】1．设A 和B 均为n 阶矩阵，k 为正整数，则下列各选项中正确的是__________（可以多选） (A) A B A B +=+； (B) AB BA =； (C) AB BA =； (D) 111()A B A B −−−+=+； (E) 111()AB A B −−−=(F) 111()kA A k−−=； (G) 111[()]()()T T T AB A B −−−=； (H) T T A B A B +=+；(I) TTA BA B +=+； (J) ()kkk AB A B =⋅．2．设A 和B 均为n 阶矩阵，且AB O =，则下列各选项中正确的是__________(A) A O =或B O =； (B) A B O +=； (C) 0A =或0B =； (D) 0A B +=． 3．设,,A B C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位阵，则下列各选项中正确的是__________(A) 22()()A B A B A B +−=−； (B) 222()AB A B =； (C) 由AC BC =一定可以推出A B =；(D) 22()()A E A E A E −=+−．4．设A 是m 阶矩阵，B 是n 阶矩阵，已知A a =，B b =，若分块矩阵3O A C B O ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，则C =__________ (A) 3ab −； (B) 3mab ；(C) (1)3mn m ab −； (D) (1)(1)3m nm ab +−；二、伴随矩阵设n 阶方阵()ij n n A a ×=，其中2n ≥，则对于A 的伴随矩阵*A 有以下结论：(1) 定义：1121112222*12n n nnnn A A A A A A A A A A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠L L M M M L ，其中ij A 为元素ij a 的代数余子式（,1,2,,i j n =L ）； (2) **A A AA A E ==； (3)1*n A A−=，故当A 可逆时，*A 也可逆；(4) 若||0A ≠，则1*1A A A −=，*1A A A −=，1**11()()A A A A−−==； (5) **()()T TA A =；(6) *,(),()1,()1,0,() 2.n R A n R A R A n R A n =⎧⎪==−⎨⎪≤−⎩当当当【测试题】1．设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵，对于A 的伴随矩阵*A ，必有**()A =__________ (A) 1n AA −； (B) 1n AA +； (C) 2n AA −； (D) 2n AA +．2．设A 为(3)n n ≥阶矩阵，对于A 的伴随矩阵*A 和常数(0,1)k k ≠±，必有*()kA =__________(A) *kA ； (B) 1*n kA −；(C) *n k A ；(D) 1*k A −．3．设A 和B 均为(2)n n ≥阶矩阵，**,A B 分别为A 和B 的伴随矩阵，对于分块矩阵A O C OB ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，C 的伴随矩阵*C =__________(A) **A A O OB B ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠； (B) **B B O O A A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠； (C) **A B O OB A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠； (D) **B A O O A B ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠． 4．设3阶矩阵a b b A b a b b b a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，若A 的伴随矩阵*A 的秩等于1，则必有__________(A) a b =或20a b +=；(B) a b =且20a b +≠； (C) a b ≠且20a b +=；(D) a b ≠且20a b +≠． 5．设100120123A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，对于A 的伴随矩阵*A ，求1*()A −和*1()A −．三、可逆矩阵1．设A 为n 阶（实）方阵，则与“A 为可逆矩阵”等价的说法有： (1) 存在与A 同阶的方阵B ，使得AB E =（或BA E =）成立； (2) A 是非奇异矩阵，即0A ≠； (3) A 是满秩矩阵，即()R A n =； (4) A 可以表示为一些初等矩阵的乘积；(5) n 元齐次线性方程组0Ax =只有零解（不存在非零解）； (6) A 的列（行）向量组线性无关； (7) A 的列（行）向量组是nR 的一个基； (8) A 的特征值都不等于零；(9) TA A 为正定矩阵（不作为期末考试要求）．2．求逆矩阵的方法 (1) 伴随矩阵法：1*1AA A−=（最适合于2阶可逆矩阵）． 设a b A c d ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠可逆，则1*11d b A A c a A ad bc −−⎛⎞==⎜⎟−−⎝⎠(2) 初等行（列）变换法（适合于3阶或更高阶的可逆矩阵）：y 若(,)~(,)rA E E X ，则1AX −=；y若~c A E E X ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，则1A X −=； 需要特别注意的是，在进行初等行变换时，绝对不能同时进行初等列变换．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． (3) 特殊分块矩阵的逆矩阵设n 阶方阵A 和s 阶方阵B 都可逆，则111A O A O O B OB −−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠；111O A O B B O AO −−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠； 11111A O A O C B B CA B −−−−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠(4) 定义法：给定矩阵方程()f A O =，求A 或A 的多项式的逆矩阵． 【测试题】1．求3201022112320121−−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎜⎟⎝⎠逆矩阵． 2．设n 阶矩阵,,A B C 满足ABC E =，则下列各选项中正确的是__________ (A) ACB E =；(B) BAC E =；(C) BCA E =；(D) CBA E =．3．设11,,,A B A B A B −−++均为n 阶可逆矩阵，则111()A B −−−+=__________(A) 11A B −−+；(B) A B +；(C) 1()A A B B −+； (D) 1()A B −+．4．设n 阶矩阵A 满足24A A E O +−=，求1()A E −−．四、矩阵方程最基本的矩阵方程形如：AX B =和XA B =，其中,A B 为已知矩阵，且A 可逆，X 为未知矩阵，这两个矩阵方程的解分别为1X A B −=和1X BA −=．对于一般的矩阵方程，设法利用矩阵的运算法则及恒定变形，将所给的矩阵方程化为上述基本形式之一，再进行求解．常见解法：(1) 课本P.45例12；(2) 课本P.65例3． 【测试题】已知,A B 为3阶矩阵，且满足124A B B E −=−，其中E 为3阶单位阵．(1) 证明：矩阵2A E −可逆；(2) 若120120002B −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，求矩阵A ．五、列满秩矩阵设m n ×矩阵A 为列满秩阵，即()R A n =，则有以下结论：(1) A 的行最简形矩阵为n m nE O ×⎛⎞⎜⎟⎝⎠； (2) 若AB C =，则()()R B R C =；(3) 若AB O =，则B O =（矩阵乘法的消去律）； (4) A 的列向量组一定线性无关；(5) 若m n >，则A 的行向量组也线性无关．【测试题】设m n ×矩阵A 的秩()R A m n =<，E 为m 阶单位阵，则下列各选项中正确的是__________(A) A 的任意m 个列向量线性无关； (B) A 的任意一个m 阶子式都不等于零； (C) 若矩阵B 满足BA O =，则B O =；(D) A 通过初等行变换必可以化为()(,)m m n m E O ×−的形式．六、正交矩阵1．与“A 为正交阵”等价的说法有：(1) T A A E =（或TAA E =）； (2) A 可逆且1T AA −=；(3) A 的行（列）向量组两两正交，且都是单位向量． 2．正交阵的性质 (1) 若A 为正交阵，则1T AA −=也是正交阵，且1A =±；(2) 若,A B 为正交阵，则AB 也是正交阵．【测试题】设,A B 是n 阶正交阵，则下列各选项中不正确的是__________ (A) A B +是正交阵； (B) AB 是正交阵；(C) 1A −是正交阵；(D) 若1A =−，则1λ=−是A 的特征值．七、矩阵的初等变换与初等矩阵（口诀：左行右列） 【测试题】1．设111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，212223111213311132123313a a a B a a a a a a a a a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟+++⎝⎠，1010100001P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠， 2100010101P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则下列各选项中正确的是__________(A) 12APP B =；(B) 21AP P B =；(C) 12PP A B =；(D) 21P P A B =．2．设11121314212223243132333441424344a a a a a a a a A a a a a a a a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，14131211242322213433323144434241a a a a a a a a B a a a a a a a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，100010********000P ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠， 21000001001000001P ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则1B −=__________ (A) 112A PP −； (B) 112P A P −； (C) 112PP A −； (D) 121P A P −．八、矩阵的秩 1．矩阵的秩的概念矩阵的秩等于最高阶非零子式的阶数，也等于行阶梯形矩阵非零行的行数． 规定零矩阵的秩等于零．2．矩阵的秩的性质（课本P.69至P.70） 【测试题】1．设A 为m n ×矩阵，B 为n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩等于r ，矩阵C AB =的秩等于1r ，则下列各选项中正确的是__________ (A) 1r r >；(B) 1r r <；(C) 1r r =；(D) r 与1r 的关系视乎B 而定．2．(3)n n ≥阶矩阵1111a a a aa a A aa a a a a⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠L L L M M M M L ，若矩阵A 的秩为1n −，则a =__________(A) 1； (B) 11n −； (C) 1−； (D) 11n −．九、行阶梯形矩阵vs.行最简形矩阵第三部分 线性方程组一、线性方程组的解的判定【测试题】设123123123(1)0(1)3(1)x x x x x x x x x λλλλ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，问λ取何值时，此方程组有唯一解、无解或有无限多解？并在有无限多解时求其同解．（试用两种方法求解本题）二、齐次线性方程组的通解（基础解系） 【测试题】1．写出一个以1222341001x c c −⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟=+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠为通解的齐次线性方程组．2．求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为12(0,1,2,3),(3,2,1,0)TTξξ==． 3．设n 阶矩阵A 的各行元素之和均等于零，且()1R A n =−，求0Ax =的通解．三、非齐次线性方程组的通解 【测试题】1．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知123,,ηηη是它的三个解向量，且123(2,3,4,5),(1,2,3,4)T T ηηη=+=，求该方程组的通解．2．设矩阵1234(,,,)A a a a a =，其中234,,a a a 线性无关，1232a a a =−．向量1234b a a a a =+++，求该方程组的通解．3．已知12,ββ是线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是对应的齐次线性方程组0Ax =的基础解系，12,k k 是任意常数，则Ax b =的通解是__________(A) 1211221()2k k ββααα−+++； (B) 1211212()2k k ββααα++−+；(C) 1211221()2k k ββαββ−+++； (D) 1211212()2k k ββαββ++−+．第四部分 向量组一、线性方程组的四种等价形式y一般形式 11112211211222221122,,.n n n nm m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L Ly向量方程的形式1112111212222212n n m m mn n m a a a x b a a a x b a a a x b ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠L L L L M M L ，简记为Ax b =． y增广矩阵的形式 11121121222212n n m m mnm a a a b a a a b a a a b ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠L L M M M M L ，简记为(,)A b ． y向量组线性组合的形式 1112112122221212n n n m m mn m a a a b a a a b x x x a a a b ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+++=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠L M M M M ， 若12(,,,)n A a a a =L ，则可简记为1122n n x a x a x a b +++=L ．二、线性方程组、矩阵、向量组的相互关系三、向量组的线性组合n 元线性方程组Ax b = 其中A 是m n ×矩阵矩阵(,)A b向量组12:,,,n A a a a L及向量b是否存在解？()(,)R A R A b =是否成立？向量b 能否由向量组A线性表示？无解 ()(,)R A R A b < NO 有解 ()(,)R A R A b = YES（x 的分量就是线性组合的系数）唯一解()(,)R A R A b n ==（未知数个数）表达式唯一 无穷解()(,)R A R A b n =<（未知数个数）表达式不唯一矩阵方程矩阵 向量组AX B =有解 ()(,)R A R A B =向量组B 可以由向量组A 线性表示AX B =，BX A =都有解()()(,)R A R B R A B ==向量组B 与向量组A 等价，特别地，向量组与自己的最大无关组等价，于是有限向量组中成立的结论可推广到一般的情形．线性方程组矩阵向量组0Ax =只有零解()R A =A 的列向量的个数A 的列向量组线性无关0Ax =与0Bx =同解~rA B即A 能通过初等行．变换．．化为B y矩阵A 的行向量组．．．．与矩阵B 的行向量组．．．．等价（P.84）y矩阵A 的列向量组．．．．与矩阵B 的列向量组．．．．有相同的线性关系（P. 93例11）【测试题】1．设有向量组12321:2,1,11054A a a a α−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠，及向量11b β⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，问,αβ为何值时，(1) 向量b 不能由向量组A 线性表示；(2) 向量b 能由向量组A 线性表示，且表示式唯一； (3) 向量b 能由向量组A 线性表示，且表示式不唯一．2．设向量β可由向量组12,,,m αααL 线性表示，但不能由向量组()Ⅰ：121,,,m ααα−L 线性表示，记向量组()Ⅱ：121,,,,,m αααβ−L 则下列各选项中正确的是__________ (A) m α不能由()Ⅰ线性表示，也不能由()Ⅱ线性表示； (B) m α不能由()Ⅰ线性表示，但可由()Ⅱ线性表示； (C) m α可由()Ⅰ线性表示，也可由()Ⅱ线性表示； (D) m α可由()Ⅰ线性表示，但不能由()Ⅱ线性表示．四、向量组的线性相关性n 元齐次线性方程组0Ax =（其中A 是m n ×矩阵）矩阵A向量组12:,,,n A a a a L是否存在非零解？()R A n <是否成立？是否线性相关？只有零解()R A n =（列向量的个数）线性无关 存在非零解()R A n <（列向量的个数）线性相关（x 的分量就是线性组合的系数）1．设向量组12:,,,n A a a a L ，则与“向量组A 线性相关”等价的说法有：(1) 存在不全为零的实数12,,,n k k k L ，使得11220n n k a k a k a +++=L （零向量）成立； (2) n 元齐次线性方程组0Ax =有非零解； (3) ()R A n <（列向量的个数）；(4) A 的列向量组中至少存在一个列向量可以由其余1n −个列向量线性表示．2．设向量组12:,,,n A a a a L ，则与“向量组A 线性无关”等价的说法有：(1) 如果11220n n k a k a k a +++=L （零向量）成立，则必有120n k k k ====L ； (2) n 元齐次线性方程组0Ax =只有零解； (3) ()R A n =（列向量的个数）；(4) A 的列向量组中任意一个列向量都不能由其余1n −个列向量线性表示． 3．课本P.89定理5【测试题】1．已知123(,,)2R a a a =，234(,,)3R a a a =，证明：(1) 1a 能由23,a a 线性表示；(2) 4a 不能由123,,a a a 线性表示．2．设向量组12:,,,r A αααL 可由向量组12:,,,s B βββL 线性表示，则下列各选项中正确的是__________(A) 当r s <时，向量组B 必线性相关； (B) 当r s >时，向量组B 必线性相关； (C) 当r s <时，向量组A 必线性相关；(D) 当r s >时，向量组A 必线性相关． 3．设12,,,s αααL 均为n 维向量，则下列各选项中不正确的是__________(A) 若对任意一组不全为零的系数12,,,s k k k L ，都有11220s s k k k ααα+++≠L ，则12,,,s αααL 线性无关；(B) 若12,,,s αααL 线性相关，则对任意一组不全为零的系数12,,,s k k k L ，都有11220s s k k k ααα+++=L ；(C) 12,,,s αααL 线性无关的充分必要条件是12(,,,)s R s ααα=L ； (D)12,,,s αααL 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关．4．设112b a a =+，223b a a =+，334b a a =+，441b a a =+，证明向量组1234,,,b b b b 线性相关．五、向量组的秩【测试题】求矩阵11221021512031311041A ⎛⎞⎜⎟−⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示．第五部分 方阵的特征值和特征向量一、向量的内积、长度及正交性1．向量内积的性质（对称性、线性性质、非负性、施瓦兹不等式） 2．向量长度的性质（非负性、齐次性、三角不等式） 3．向量的正交性的性质 y 两两正交的非零向量组一定线性无关； y施密特正交化过程．4．正交矩阵的性质（参阅矩阵部分）二、特征值和特征向量的概念、性质及计算（特征值和特征向量这两个概念只针对方阵而言） 特征多项式 A E λ−（以λ为未知数的一元n 次多项式） 特征方程 0A E λ−=关于方阵的特征值和特征向量有以下结论： (1) 特征值就是特征方程0A E λ−=的根．(2) 特征方程在复数范围内一定有解，根的个数等于方程的次数（重根按重数计算），因此n阶矩阵A 在复数范围内有n 个特征值．(3) 设n 阶矩阵()ij n n A a ×=的特征值为12,,,n λλλL ，则121122n nn a a a λλλ+++=+++L L ，12n A λλλ=L ．(4) 设i λ是矩阵A 的一个特征值，则由()0i A E x λ−=求得的任意一个非零解i p 都是A 对应于特征值i λ的特征向量（若i λ为实数，则i p 可取实向量；若i λ为复数，则i p 可取复向量）．(5) 对应于特征值i λ的特征向量并不唯一（有无限多个），()0i A E x λ−=的任意一个基础解系都可以作为这无限多个特征向量的最大无关组．(6) 一般来说，对应于特征值i λ的线性无关的特征向量最多只有()i n R A E λ−−个，与特征值i λ的重数没有直接关系．(7) 对应于不同特征值的特征向量线性无关．(8) n 阶矩阵最多只有n 个线性无关的特征向量（因为向量空间nR 的维数等于n ）． (9) 若λ是A 的特征值，则k λ是k A 的特征值；()ϕλ是()A ϕ的特征值（其中01()m m a a a ϕλλλ=+++L 是λ的多项式，01()m m A a E a A a A ϕ=+++L 是矩阵A的多项式）（参阅课本P.120例8）． (10) TA 与A 有相同的特征值．(11) n 阶零矩阵O 的特征值只能等于0．特别地，若A 是n 阶对称阵，λ是A 的k 重特征值，则 y ()R A E n k λ−=−，从而对应于特征值λ恰有k 个线性无关的特征向量；y 对应于不同特征值的特征向量两两正交；yn 阶对称阵恰有n 个线性无关的特征向量．【测试题】 1．矩阵3113A −⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠的特征值为__________2．设n 阶矩阵,A B 满足()()R A R B n +<，证明,A B 有公共特征值，有公共特征向量． 3．已知3阶矩阵A 的特征值为1,2,3−，求*32A A E ++．4．设12(,,,)Tn a a a a =L ，10a ≠，T A aa =，证明0λ=是n 阶矩阵A 的1n −重特征值．三、方阵的相似对角化1．关于n 阶方阵的相似对角化，有以下结论：(1) n 阶方阵A 可以相似对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量； (2) 如果n 阶方阵A 的n 个特征值各不相同，则A 可以相似对角化； (3) 对称矩阵一定可以相似对角化．2．n 阶方阵A 相似对角化的一般步骤：(i) 求出A 的所有互不相等的特征值12,,,s λλλL （s n ≤），它们的重数依次为12,,,s k k k L（121s k k k +++=L ）．(ii) 如果s n =，则A 可以相似对角化，转入第(iv)步；否则转入第(iii)步．(iii) 如果对每一个i k 重特征值i λ，()i i R A E n k λ−=−都成立，则A 可以相似对角化，转入第(iv)步；否则A 不能相似对角化，算法结束．(iv) 对每一个i k 重特征值i λ，求()0i A E x λ−=的基础解系，得i k 个线性无关的特征向量，转入第(v)步．因为121s k k k +++=L ，所以一共可以得到n 个线性无关的特征向量． (v) 这n 个线性无关的特征向量构成可逆矩阵P ，满足1P AP −=Λ．注意Λ中对角元的排列次序应与P 中列向量的排列次序相对应．特别地，对称阵对角化的步骤参阅课本P.125．3．若方阵,A B 相似，则(1) 方阵,A B 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值； (2) 方阵,A B 的多项式()A ϕ与()B ϕ也相似；(3) 特别地，若有可逆矩阵P ，使得1P AP −=Λ为对角阵，则1k k P A P −=Λ，1()()P A P ϕϕ−=Λ，因为12kkkk n λλλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟Λ=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠O，12()()()()n ϕλϕλϕϕλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟Λ=⎜⎟⎜⎟⎝⎠O ，所以可以通过()ϕΛ计算方便地计算A 的多项式()A ϕ； (4) 特别地，若()ϕλ是A 的特征多项式，则()A O ϕ=（零矩阵）． 【测试题】1．设矩阵20131405A x ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠可相似对角化，求x ．2．已知111p ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠是矩阵2125312A a b −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠的一个特征向量． (1) 求参数,a b 及特征向量p 所对应的特征值； (2) 问A 能不能相似对角化？并说明理由．3．设3阶对称阵A 的特征值为16λ=，233λλ==，与特征值16λ=对应的特征向量为1(1,1,1)T p =，求矩阵A ．。

线性代数解方程组的方法
解线性方程组的方法：第一种消元法；第二种克拉姆法则；第三种逆矩阵法；第四种增光矩阵法；第五种计算机编程，随便用个软件，譬如Matlab，输入密令；目前这5中教为适用，适合一切齐次或者非齐次线性方程组。

第一种消元法,此法最为简单，直接消掉只剩最后一个未知数，再回代求余下的未知数，但只适用于未知数个数等于方程的个数，且有解的情况；
第二种克拉姆法则，如果行列式不等于零，则用常数向量替换系数行列式中的每一行再除以系数行列式就是解；
第三种逆矩阵法，同样要求系数矩阵可逆，直接建立AX=b与线性方程组的关系，X=A^-1.*b就是解；
第四种增光矩阵法，利用增广矩阵的性质(A,b)通过线性行变换，化为简约形式,确定自由变量,（各行中第一个非零元对应的未知数除外余下的就是自由变量）,对自由变量进行赋值,求出其它未知数，然后写成基础解析的形式。

第五种计算机编程，随便用个软件，譬如Matlab，输入密令。

高等代数方法总结高等代数方法总结一、线性代数方法1.矩阵分解与运算：（1）LU分解法：将n阶矩阵A拆解为下三角矩阵L和上三角矩阵U，LU分解的思想就是计算LU矩阵，并利用LU矩阵求普通方程组的解，LU分解法可以将求解多元一次线性方程组的问题看成求解n次一元方程组的问题。

（2）QR分解法：基本思想是将m阶矩阵A拆解为正交矩阵Q和上三角矩阵R，QR 分解法可以用来求多元一次线性方程组的解，可以将求解多元一次线性方程组的问题看成求解n次一元方程组的问题。

（3）特征值分解法：特征值分解法是一种常用的数值分解法，它利用特征值与特征向量之间的关系，将一个非对称实矩阵分解为三个实对称矩阵的乘积，利用特征值分解法可以快速求解矩阵的迹、行列式、逆矩阵等。

2.矩阵求解：（1）追赶法：追赶法是一种求解线性方程组的常用数值方法，它利用矩阵的上三角部分和下三角部分的特点，将多元一次线性方程组拆分成n次一元方程，由上至下迭代求解。

（2）高斯消元法：高斯消元法是指一种利用矩阵运算求解n元一次方程组的方法，它通过将线性方程组中的变量一个接一个消元，把原来的多元一次方程组转变成只有一个未知数的一元方程组，采用逐个消元的方法来求解线性方程组的解。

（3）Cholesky分解法：Cholesky分解法是一种应用广泛的数值分解法，它将一个实(或者复)对称正定矩阵分解为下三角矩阵乘上其转置的乘积，由此可以利用Cholesky分解法来快速求解线性方程组的解。

3.矩阵运算：（1）矩阵的加法、减法：矩阵相加(减)是指两个矩阵同位置元素相加(减)，可以将矩阵加减运算看作是两个一维数组的加减运算。

（2）矩阵的乘法：矩阵相乘是指两个矩阵的乘积，可以看作是两个一维数组的乘积。

（3）矩阵的幂运算：矩阵的乘方是指将一个矩阵乘以自身一次或多次，可以用来求解方程组的迭代解，也可以用来计算矩阵的特征值和特征向量。

二、拓扑学方法1.网络拓扑：网络拓扑是指网络元素的相互位置关系，即描述一个网络的链路结构。

线性代数方程组的解法关键词：线性代数方程组；高斯消元法；列主元消元法；三角分解法；杜立特尔分解法；迭代法；雅可比迭代法；高斯-赛德尔迭代法1引言目前，解线性代数方程组在计算机上常用的的方法大致把它分为两类：“直接法”与“迭代法”.在线性代数中曾指出阶线性代数方程组有唯一的解，并且可以用克拉默法则求方程组的解，初次看来问题已经解决，但从使用效果看并不是这样的.因为求阶线性代数方程组，如果用克拉默法则，需要计算个阶行列式，每个阶行列式为项之和，每项又是个元素的乘积，所以计算中仅乘法次数就高达次，当较大时，它的计算量是非常惊人的.因为现在所碰到的很多问题都需要很大的计算量，故需要好用的算法来求解.先来回顾一下回代过程和迭代过程.(1)是一个三角形方程组，当有唯一解时，可以用反推的方式求解，也就是先从第个方程解得， (2)然后代入第个方程，可得到， (3)如此继续下去，假设已得到，， , ,代进第个方程即得的计算， (4)上述求解的过程叫做回代过程.定义1[1] (向量的范数) 若向量的某个实值函数满足1.是非负的，即且的充要条件是 ;2.是齐次的，即 ;3.三角不等式，即对，总是有.那么上向量的范数（或模）就是 .下面给几个最常遇到的向量范数.向量的“1”范数：(5)向量的“2”范数：(6)向量的范数：(7)例1设求 , , .解由式（5）,（6）及（7）知.定义2若矩阵的某个实值函数满足1.是非负的，即且的充要条件是 ;2.是齐次的，即 ;3.三角不等式，即对总有;1.矩阵的乘法不等式，即对总有，那么称为上矩阵的范数（或模）.表 1是矩阵几个常用算子范数的定义与算式.表 1范数名称记号定义计算公式“1”范数（又名列模）“2”范数（又名谱模）“”范数（又名行模）的极限就是方程组的解向量，这时候在给定允许的误差内，只要适当的大,就可以作为方程组在满足精度要求条件下的近似解.这种求近似解的方法就是解线性方程组的一类基本的迭代解法，其中称为迭代矩阵，公式（9）称迭代公式（或迭代过程）,由迭代公式得到的序列叫做迭代序列.如果迭代的序列是收敛的，则称为迭代法收敛；如果迭代的序列是不收敛，则称它是迭代法发散.定理3设 .如果约化主元素，则可以利用高斯消元的方法把方程组约化成三角形方程组来求解，其计算公式如下：（1）消元计算：对依次计算（2）回代计算：3用高斯消元法与列主元消元法解线性代数方程组（重点）！3.1 高斯消元法解方程组用高斯消元的方法求线性代数方程组的解的整个计算过程可分为两个环节，也就是利用按照次序消去未知数的方法，把原来的方程组转化成跟它同解的三角形方程组（这个转化的过程叫消元过程），再通过回代过程求三角形方程组的解，最终得到原来方程组的解.其中按照方程的顺进行消元的高斯消元法，又叫顺序消元法.3.2列主元消元法解方程组列主元消元法实际上是一种行交换的消元法，它跟顺序消元法比较而言，主要特点是在进行第次消元前，不管的值是否等于零，都在子块的第一列中选择一个元，使，并将中的第行元与第行元互相变换（相当于交换同解方程组中的第个方程），然后再进行消元计算得到结果.注：列主元素法的精度虽然稍低于全主元素法[1]，但它计算简单，相对比全主元素法它的工作的量大大减少，并且从计算经验和理论分析都可以表明，它与全主元素法同样拥有很好的值稳定性，列主元素法是求解中小型浓密型方程组的最好的方法之一.4用三角分解法解线性代数方程组4.1 矩阵的三角分解定义4把一个阶矩阵分解成两个三角矩阵相乘的形式称为矩阵的三角分解.常见的矩阵三角分解是其中是下三角形的矩阵,是上三角形的矩阵.定理5[1]（矩阵三角分解基本定理）设 .若的顺序主子式，那么存在唯一的杜利特尔分解其中是单位下三角形矩阵，为非奇异的上三角形矩阵.如果是单位下三角形的矩阵，是上三角形的矩阵，那么把这种分解法称为杜利特尔分解法，其中杜利特尔分解法是这种三角分解的一种特例，下面主要介绍利用杜利特尔分解法来求方程组的解.4.2 用杜利特尔分解法解线性代数方程组用杜利特尔分解法解方程组的步骤可以把它归纳为（1）实现分解，也就是1.按算式（11）（12）依次计算的第一行元与的第一列元；1.对按算式（13）（14）依次计算的第行元与的第列元.（2）求解三角形方程组，即按算式依次计算 .（3）求解三角形方程组，即按算式依次计算.利用杜利特尔分解法解方程组与高斯消元法是相似的，它重要的优点是：在利用分解，解有相同的系数矩阵的方程组时,用杜利特尔分解法非常方便，只用两个式子就可以得到方程组的解.5用迭代法解线性代数方程组用迭代法求方程组的解，需要考虑迭代过程的收敛性，在下面的讨论中，都假设方程组的系数矩阵的对角阵是不为零的.5.1 用雅可比迭代法解方程组对于一般线性方程组，如果从第个方程解出，就可以把它转化成等价的方程组. （15）从而可以得到对应的迭代公式（16）这就是解一般方程组的分量形式的雅可比(Jacobi)迭代公式.如果把它改成（17）并把系数矩阵表示成（18）其中则可以看出式的左右两端分别是向量和的第个分量，故因为可逆，所以于是就可以得到是雅可比迭代的公式.其中（称为雅可比迭代矩阵）， .5.2 用高斯-赛德尔迭代法解方程组高斯-赛德尔迭代法也是常用的迭代法，设线性代数方程组为，则高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为（19）其中迭代法（19）就称为高斯-赛德尔迭代法.通过雅可比迭代法类似的途径，就可以得到矩阵的表达式其中（称为高斯-赛德尔迭代矩阵）， .高斯-赛德尔迭代法与雅可比迭代法都有算式简单、容易在计算机上实现等优点，但是用计算机来计算时，雅可比迭代法需要两组工作单元用来寄存与的量，而高斯赛-德尔迭代法只需一组工作单元存放或的分量.对于给定的线性方程组，用这两种方法求解可能都收敛或者都不收敛，也可能一个收敛另一个不收敛，两种方法的收敛速度也不一样.5.3 迭代法的收敛条件与误差分析定义6[1]矩阵全部的特征值的模的最大值，叫做矩阵的谱半径，记作 ,即.定理7[1]对任意初始向量迭代过程收敛的充要条件是；当时，越小，那么其收敛的速度是越快的.由定理7可知，用雅可比迭代法求解时，其迭代的过程是收敛的，而用高斯-赛德尔迭代法来求解,其迭代的过程是发散的.在不同条件下，收敛的速度是不同的，对同一矩阵，一种方法是收敛的，一种方法发散.第 7 页。