人教版高中数学选修1.1-平面直角坐标系 (2)ppt课件

[例1] (2012·湖北高考改编)设A是单位圆x2＋y2＝1上的任意一点，l是过 A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝ m|DA|(m>0，且m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.
求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标． [思路点拨] 设出点M的坐标(x，y)，直接利用条件求解．
曲线x1′6 2＋y′ 9 2＝1. 解：设变换为xy′ ′＝ ＝μλxy， ，λμ>>00， ，
代入方程x′2＋y′2＝
16
9
得λ12x62＋μ29y2＝1，与x42＋y92＝1 比较系数，
得 λ2 ＝1，μ2＝1，得 16 4 9 9
λ＝2，μ＝1.
∴xy′ ′＝ ＝y2x ，即将椭圆x42＋y92＝1 上所有点横坐标变为 的 2 倍，纵坐标不变，可得椭圆x1′6 2＋y′ 9 2＝1.
∴P(a，b)的轨迹方程是 a2＝2b＋1(0≤a≤ 2)．
2．△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，求A点 的轨迹方程． 解：取 B、C 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 轴，建立直角坐标系，则 D(0,0)，B(－2,0)，C(2,0) 设 A(x，y)为所求轨迹上任意一点， 则|AD|＝ x2＋y2， 又|AD|＝3， ∴ x2＋y2＝3，即 x2＋y2＝9(y≠0)． ∴A 点的轨迹方程为 x2＋y2＝9(y≠0)
2019/7/8
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6．求 4x2－9y2＝1 经过伸缩变换xy′ ′＝ ＝32yx 后的图形所对应
方程． 解：由伸缩变换xy′ ′＝ ＝32yx，
得：xy＝ ＝1312yx′ ′， ，
将其代入 4x2－9y2＝1，
得 4·(12x′)2－9·(13y′)2＝1.
整理得：x′2－y′2＝1.
பைடு நூலகம்
(a，b)的轨迹方程(其中|θ|≤π4)．
解：由已知可得ab＝ ＝ssiinn
θ＋cos θcos θ
θ
① ②
①2－2②；得 a2＝2b＋1.
∵|θ|≤π4，由 sin θ＋cos θ＝ 2sin(θ＋π4)，
知 0≤a≤ 2.
由 sin θ·cos θ＝12sin 2θ，知|b|≤12.
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
几何
2．平面直角坐标系中的伸缩变换
(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳
伸缩变换，这就是用
坐标研究 变换．
代数方法
几何
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y
平面直角坐标系中任意一点，在变换 φ：xy′ ′＝ ＝μλxyλμ＞ ＞00 作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 为平 直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
(3)代入法：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又 某已知曲线上，则可先列出关于x，y，y1，x1的方程组，利用x、y表示x1、 把x1、y1代入已知曲线方程即为所求．
(4)参数法：动点P(x，y)的横纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参 即得其轨迹方程．
1．二次方程 x2－ax＋b＝0 的两根为 sin θ，cos θ，求点 P
1．平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与 、曲线与
从而实现 方程 的结合．
数与形
建立联
(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标
方程表示问题中涉及的 元素，将几何问题转化为 几问何题；第二步：
过代数运算解决代数问题代；数第三步：把代数运算结果翻译成
结论．
4．已知△ABC中，BD＝CD， 求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋BD2)． 证明：以 A 为坐标原点 O，AB 所在直线为 x 轴，建立 平面直角坐系 xOy，则 A(0,0)． 设 B(a,0)，C(b，c)， 则 D(a＋ 2 b，2c)， 所以 AD2＋BD2 ＝a＋4 b2＋c42＋a－4 b2＋c42 ＝12(a2＋b2＋c2)， AB2＋AC2＝a2＋b2＋c2＝2(AD2＋BD2).
3．求证等腰梯形对角线相等． 已知：等腰梯形ABCD.求证：AC＝BD. 证明：取 B、C 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 建立如图所示的直角坐标系． 设 A(－a，h)，B(－b,0)， 则 D(a，h)，C(b,0)． ∴|AC|＝ b＋a2＋h2， |BD|＝ a＋b2＋h2. ∴|AC|＝|BD|， 即等腰梯形 ABCD 中，AC＝BD.
[例2] 已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰上的高．求证：B CE.
[思路点拨] 由于△ABC为等腰三角形，故可以BC为x轴，以BC中点为坐 原点建立直角坐标系，在坐标系中解决问题．
[证明] 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面 坐标系．
设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)． 则直线AC的方程为
因为 m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以 当 0<m<1 时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－ 1－m2，0)，( 1－m2，0)； 当 m>1 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－ m2－1)，(0， m2－1)．
求轨迹的常用方法 (1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等 关系，即可用求曲线方程的五个步骤直接求解． (2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写 轨迹方程．
∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为 x′2－y′2＝1
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
[解] 如图，设 M(x，y)，A(x0，y0)，则由
|DM|＝m|DA|(m>0，且 m≠1)，
可得 x＝x0，|y|＝m|y0|，
所以 x0＝x，|y0|＝m1 |y|.
①
因为 A 点在单位圆上运动，所以 x20＋y20＝1.②
将①式代入②式即得所求曲线
C
的方程为
x2
＋
y2 m
1(m>0，且 m≠1)．
y＝－hax＋h，
即：hx＋ay－ah＝0.
直线 AB 的方程为 y＝hax＋h，
即：hx－ay＋ah＝0.
由点到直线的距离公式：得|BD|＝ |a22a＋h|h2，
|CE|＝
|2ah| a2＋h2.
∴|BD|＝|CE|，即 BD＝CE.
建立平面直角坐标系的原则 根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形 有对称中心，选对称中心为原点，②如果图形有对称轴，可以选对称轴为 坐标轴，③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．
坐标伸缩变换 φ：xy′ ′＝ ＝μλxy
λ＞0 μ＞0 注意变换中的
数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变
即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐
伸缩变换 φ 可以求变换前和变换后的曲线方程．已知前
前后曲线方程也可求伸缩变换 φ.
5．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x42＋y92＝1 变
[例 3] 求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线 x2＋y2＝1 变成曲线x′ 9 2＋y′ 4 2＝1.
[思路点拨] 设出变换公式，代入方程，比较系数 得出伸缩变换．
[解] 设变换为xy′ ′＝ ＝μλxy， ，λμ>>00 ， 代入方程x′ 9 2＋y′ 4 2＝1， 得λ29x2＋μ24y2＝1.与 x2＋y2＝1 比较，将其变形为 λ92x2＋μ42y2＝1，比较系数得 λ＝3，μ＝2. ∴xy′ ′＝ ＝23yx ，即将圆 x2＋y2＝1 上所有点横坐标变 来的 3 倍，纵坐标变为原来的 2 倍，可得椭圆x′ 9 2＋y′ 4 2