新人教版初中数学九年级上册《第二十一章一元二次方程：21.2.3因式分解法》公开课导学案_1

第二十一章一元二次方程本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)，一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题．其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容．方程是科学研究中重要的数学思想方法，也是后续内容学习的基础和工具，本章是对一元一次方程知识的延续和深化，同时为二次函数的学习做好准备．联系一元二次方程和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，让学生进一步体会“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”．本章是中考考查的重点内容，主要考查一元二次方程的解及其解法、一元二次方程根与系数的关系、建立一元二次方程模型解决实际问题．【本章重点】一元二次方程的解法及应用．【本章难点】1．一元二次方程根与系数的关系的应用．2．利用一元二次方程解决实际问题．【本章思想方法】1．体会和掌握转化法，如：在解一元二次方程时，利用转化法将一元二次方程转化为一元一次方程．2．掌握建模思想，如：在利用一元二次方程解决实际问题时，根据题意建立适当的一元二次方程，将实际问题转化为数学模型．21.1一元二次方程1课时21.2解一元二次方程4课时21.3实际问题与一元二次方程1课时21.1一元二次方程一、基本目标【知识与技能】1．理解一元二次方程及相关概念．2．掌握一元二次方程的一般形式．3．了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．【过程与方法】从实际问题中建立方程模型，体会一元二次方程的概念．【情感态度与价值观】通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】1．一元二次方程的概念及其一般形式．2．判断一个数是不是一元二次方程的解．【教学难点】能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P1～P4的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．解决下列问题：问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？【解析】设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)_cm__，宽为__(50－2x)_cm__.列方程，得__(100－2x )(50－2x )＝3600__， 化简，整理，得__x 2－75x ＋350＝0__.①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【解析】全部比赛的场数为__4×7＝28(场)__.设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他__(x －1)__个队各赛一场．因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共__12x (x －1)__场．列方程，得__12x (x －1)＝28__.化简、整理，得 __x 2－x －56＝0__.②归纳总结：方程①②的共同特点是：方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数，并且未知数的最高次数是__2__.2．一元二次方程的定义：等号两边都是__整式__，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．3．一元二次方程的一般形式是__ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__.其中__ax 2__是二次项，__a __是二次项系数，__bx __是一次项，__b __是一次项系数，__c __是常数项．环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】判断下列方程，哪些是一元二次方程？ (1)x 3－2x 2＋5＝0； (2)x 2＝1；(3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋35；(4)2(x ＋1)2＝3(x ＋1)； (5)x 2－2x ＝x 2＋1； (6)ax 2＋bx ＋c ＝0.【互动探索】(引发学生思考)要判断一个方程是一元二次方程，那么它应该满足哪些条件？【解答】(2)(3)(4)是一元二次方程．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个方程是不是一元二次方程，首先看方程等号两边是不是整式，然后移项，使方程的右边为0，再观察左边是否只有一个未知数，且未知数的最高次数是否为2.【例2】将方程2x ⎝⎛⎭⎫12－x ＋2＝5(x －1)化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数． 【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程的一般形式是怎样的？【解答】去括号，得x－2x2＋2＝5x－5.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：2x2＋4x－7＝0.其中二次项系数是2，一次项系数是4，常数项是－7.【互动总结】(学生总结，老师点评)将一元二次方程化成一般形式时，通常要将二次项化负为正，化分为整．【例3】下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的解？－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4.【互动探索】(引发学生思考)你能类比判断一个数是一元一次方程的解的方法判断一元二次方程的解吗？【解答】将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的解．【互动总结】(学生总结，老师点评)要判断一个数是否是方程的解，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．若相等，则这个数是方程的解，若不相等，则这个数不是方程的解．【活动2】巩固练习(学生独学)1．下列方程是一元二次方程的是(D)A．ax2＋bx＋c＝0 B．3x2－2x＝3(x2－2)C．x3－2x－4＝0 D．(x－1)2＋1＝02．已知x＝2是一元二次方程x2－2mx＋4＝0的一个解，则m的值为(A)A．2B．0C．0或2D．0或－2【教师点拨】将x＝2代入x2－2mx＋4＝0得，4－4m＋4＝0.再解关于m的一元一次方程即可得出m的值．3．把一元二次方程(x＋1)(1－x)＝2x化成二次项系数大于0的一般式是__x2＋2x－1＝0__，其中二次项系数是__1__，一次项系数是__2__，常数项是__－1__.【活动3】拓展延伸(学生对学)【例4】求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．【互动探索】(引发学生思考)已知关于x的方程，且含有字母系数，要证明该方程是一元二次方程，则该方程的二次项系数必须满足什么条件？【证明】m2－8m＋17＝m2－8m＋42＋1＝(m－4)2＋1.∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0，∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．【互动总结】(学生总结，老师点评)要证明不论m 取何值，该方程都是一元二次方程，只需证明二次项系数恒不为0，即m 2－8m ＋17≠0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧必须满足的三要素⎩⎪⎨⎪⎧ 是整式方程只有一个未知数未知数的最高次数是2一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)2．判断一个数是否是一元二次方程解的方法：将这个数分别代入方程的左右两边，如果“左边＝右边”，则这个数是方程的解；如果“左边≠右边”，则这个数不是方程的解．请完成本课时对应练习！21.2解一元二次方程21.2.1配方法(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．2．理解并掌握直接开方法、配方法解一元二次方程的方法．【过程与方法】1．通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．2．通过把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程解一元二次方程．【情感态度与价值观】通过对一元二次方程解法的探索，体会“降次”的基本思想，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程．【教学难点】把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的形式．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P5～P9的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地，对于方程x2＝p：(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，x1＝__p__，x2＝__－p __.(2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝__0__；(3)当p＜0时，方程__无实数根__.2．用直接开平方法解下列方程：(1)(3x ＋1)2＝9; x 1＝23，x 2＝－43.(2)y 2＋2y ＋1＝25. y 1＝4，y 2＝－6. 3．(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2； (2)x 2－x ＋__14__＝(x －__12__)2；(3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋ __1__)2.4．一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x ＋n )2＝p 的形式，那么就有：(1)当p >0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，x 1＝，x 2＝；(2)当p ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝__－n __； (3)当p ＜0时，方程__无实数根__. 环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学) 【例1】用配方法解下列关于x 的方程： (1)2x 2－4x －8＝0； (2)2x 2＋3x －2＝0.【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的实质和关键点是什么？ 【解答】(1)移项，得2x 2－4x ＝8. 二次项系数化为1，得x 2－2x ＝4.配方，得x 2－2x ＋12＝4＋12，即(x －1)2＝5. 由此可得x －1＝±5， ∴x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5. (2)移项，得2x 2＋3x ＝2.二次项系数化为1，得x 2＋32x ＝1.配方，得⎝⎛⎭⎫x ＋342＝2516. 由此可得x ＋34＝±54，∴x 1＝12，x 2＝－2.【互动总结】(学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次方程进行变形，转化为开平方所需要的形式，配方法的一般步骤可简记为：一移，二化，三配，四开．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．若x 2－4x ＋p ＝(x ＋q )2，则p 、q 的值分别是( B ) A ．p ＝4，q ＝2 B ．p ＝4，q ＝－2 C ．p ＝－4，q ＝2D ．p ＝－4，q ＝－22．用直接开平方法或配方法解下列方程： (1)3(x －1)2－6＝0 ； (2)x 2－4x ＋4＝5； (3)9x 2＋6x ＋1＝4； (4)36x 2－1＝0； (5)4x 2＝81； (6)x 2＋2x ＋1＝4. (1)x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2. (2)x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5. (3)x 1＝－1，x 2＝13.(4)x 1＝16，x 2＝－16.(5)x 1＝92，x 2＝－92.(6)x 1＝1，x 2＝－3.【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy )z 的值．【互动探索】(引发学生思考)一个数的平方是正数还是负数？一个数的算术平方根是正数还是负数？几个非负数相加的和是正数还是负数？【解答】由已知方程，得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0， 即(x －2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0， ∴x ＝2，y ＝－3，z ＝－2. ∴(xy )z ＝[2×(－3)]－2＝136.【互动总结】(学生总结，老师点评)若几个非负数相加等于0，则这几个数都等于0. 环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一移项→二化简→三配方→四开方请完成本课时对应练习！21.2.2 公式法(第2课时)一、基本目标 【知识与技能】1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念． 2．会熟练运用公式法解一元二次方程． 【过程与方法】复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．【情感态度与价值观】在一元二次方程求根公式的推导过程中，激发学生兴趣，了解解决问题多样性． 二、重难点目标 【教学重点】求根公式的推导及用公式法解一元二次方程． 【教学难点】一元二次方程求根公式的推导．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P9～P12的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．用配方法解下列方程： (1)x 2－5x ＝0； x 1＝0，x 2＝5. (2)2x 2－4x －1＝0. x 1＝1＋62，x 2＝1－62. 2．如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它的两根？ x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a.【教师点拨】因为前面解具体数字的一元二次方程已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定．(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0.当b 2－4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x ＝－b ±b 2－4ac2a就得到方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的__求根公式__. (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫__公式法__.(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2__个实数根，也可能__没有__实数根． (5)一般地，式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝__b 2－4ac __.当Δ__>__0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根；当Δ__＝__0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根；当Δ__<__0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根．4．不解方程，判断方程根的情况． (1)16x 2＋8x ＝－3； (2)9x 2＋6x ＋1＝0； (3)2x 2－9x ＋8＝0； (4)x 2－7x －18＝0.解：(1)没有实数根． (2)有两个相等的实数根． (3)有两个不相等的实数根． (4)有两个不相等的实数根．【教师点拨】将方程化为一般形式，再用判别式进行判断． 环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学) 【例1】用公式法解下列方程： (1)2x 2＋1＝3x ； (2)2x (x －1)－7x ＝2.【互动探索】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的步骤是怎样的？ 【解答】(1)原方程整理，得2x 2－3x ＋1＝0. 其中a ＝2，b ＝－3，c ＝1，则Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1>0. ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－(－3)±12×2，即x 1＝12，x 2＝1.(2)原方程整理，得2x 2－9x －2＝0. 其中a ＝2，b ＝－9，c ＝－2，则Δ＝b 2－4ac ＝(－9)2－4×2×(－2)＝97>0. ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－(－9)±972×2，即x 1＝9＋974，x 2＝9－974.【互动总结】(学生总结，老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值；(2)求出Δ＝b 2－4ac 的值；(3)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a ；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－b2a；当Δ<0时，方程没有实数根．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( B ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有一个实数根 D ．没有实数根2．如果方程5x 2－4x ＝m 没有实数根，那么m 的取值范围是__m ＜－45__.3．用公式法解下列方程：(1)2x 2－6x －1＝0； (2)2x 2－2x ＋1＝0； (3)5x ＋2＝3x 2.解：(1)x 1＝3＋112，x 2＝3－112.(2)方程没有实数根． (3)x 1＝2，x 2＝－13.【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，试判断方程(a ＋b )x 2＋2cx ＋(a ＋b )＝0的根的情况．【互动探索】(引发学生思考)三角形的三边满足什么关系？是怎样根据一元二次方程的系数判断根的情况？【解答】∵a 、b 、c 分别是三角形的三边，∴a ＋b ＞0，c ＋a ＋b ＞0，c －a －b ＜0，∴Δ＝(2c )2－4(a ＋b )·(a ＋b )＝4(c ＋a ＋b )(c －a －b )<0，故原方程没有实数根．【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是掌握三角形三边的关系，即两边之和大于第三边，以及运用根的判别式Δ＝b 2－4ac 判断方程的根的情况．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．一元二次方程根的情况⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根Δ<0⇔方程没有实数根2．当Δ≥0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的实数根为x ＝－b ±b 2－4ac2a.请完成本课时对应练习！21.2.3因式分解法(第3课时)一、基本目标【知识与技能】1．掌握用因式分解法解一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．【过程与方法】通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．【情感态度与价值观】了解因式分解法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度，培养学生的应用意识和创新能力．二、重难点目标【教学重点】运用因式分解法解一元二次方程．【教学难点】选择适当的方法解一元二次方程．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P12～P14的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．将下列各题因式分解：am＋bm＋cm＝__m(a＋b＋c)__；a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；a2＋2ab＋b2＝__(a＋b)2__；x2＋5x＋6＝__(x＋2)(x＋3)__；3x2－14x＋8＝__(x－4)(3x－2)__.2．按要求解下列方程：(1)2x2＋x＝0(用配方法)；(2)3x2＋6x－24＝0(用公式法)．解：(1)x 1＝0，x 2＝－12. (2)x 1＝2，x 2＝－4.3．对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做__因式分解法__.4．如果ab ＝0，那么a ＝0或b ＝0，这是因式分解法的根据．即：如果(x ＋1)(x －1)＝0，那么x ＋1＝0或 __x －1＝0__，即x ＝－1或__x ＝1__.环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生对学) 【例1】用因式分解法解下列方程： (1)x 2－3x －10＝0； (2)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34；(3)3x (2x ＋1)＝4x ＋2； (4)(x －4)2＝(5－2x )2.【互动探索】(引发学生思考)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 【解答】(1)因式分解，得(x ＋2)(x －5)＝0. ∴x ＋2＝0或x －5＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝5.(2)移项、合并同类项，得4x 2－1＝0. 因式分解，得(2x ＋1)(2x －1)＝0. ∴2x ＋1＝0或2x －1＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝12.(3)原方程可变形为3x (2x ＋1)－2(2x ＋1)＝0. 因式分解，得(2x ＋1)(3x －2)＝0. ∴2x ＋1＝0或3x －2＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝23.(4)移项，得(x －4)2－(5－2x )2＝0. 因式分解，得(1－x )(3x －9)＝0， ∴1－x ＝0或3x －9＝0， ∴x 1＝1，x 2＝3.【互动总结】(学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程的步骤：(1)将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0；(2)将方程左边进行因式分解，将一元二次方程转化成两个一元一次方程；(3)对两个一元一次方程分别求解．【活动2】 巩固练习(学生独学) 1．解方程： (1)x 2－3x －10＝0； (2)3x (x ＋2)＝5(x ＋2)； (3)(3x ＋1)2－5＝0； (4)x 2－6x ＋9＝(2－3x )2. 解：(1)x 1＝5，x 2＝－2. (2)x 1＝－2，x 2＝53.(3)x 1＝－1＋53，x 2＝5－13.(4)x 1＝－12，x 2＝54.2．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，求该三角形的周长．解：解x 2－12x ＋35＝0，得x 1＝5，x 2＝7.∵3＋4＝7，∴x ＝5，故该三角形的周长＝3＋4＋5＝12. 【活动3】 拓展延伸(学生对学) 【例2】已知9a 2－4b 2＝0，求代数式a b －b a －a 2＋b 2ab的值． 【互动探索】(引发学生思考)a 、b 的值能求出来吗？a 、b 之间有怎样的关系？怎样将a 、b 的值与已知代数式联系起来．【解答】原式＝a 2－b 2－a 2－b 2ab ＝－2ba .∵9a 2－4b 2＝0， ∴(3a ＋2b )(3a －2b )＝0， 即3a ＋2b ＝0或3a －2b ＝0， ∴a ＝－23b 或a ＝23b .当a ＝－23b 时，原式＝－2b－23b ＝3；当a ＝23b 时，原式＝－3.【互动总结】(学生总结，老师点评)要求a b －b a －a 2＋b 2ab 的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a 与b 的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，容易发生错误．本题注意不要漏解．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.请完成本课时对应练习！*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系(第4课时)一、基本目标【知识与技能】掌握一元二次方程的根与系数的关系．【过程与方法】利用求根公式得到一元二次方程的根，推导出根与系数的关系，体现了数学推理的严密性与严谨性．【情感态度与价值观】通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识，培养学生观察思考、归纳概括的能力．二、重难点目标【教学重点】理解一元二次方程的根与系数的关系．【教学难点】利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P15～P16的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．解下列方程，并填写表格：方程x1x2x1＋x2x1·x2x2－2x＝00220x2＋3x－4＝0－41－3－4x2－5x＋6＝0235 6(1)用语言描述你发现的规律：__一元二次方程的两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项__.(2)关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为x1、x2，请用式子表示x1、x2与p、q的关系：__x1＋x2＝－p，x1x2＝q__.2．解下列方程，并填写表格：(1)用语言描述你发现的规律：__两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比__.(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，请用式子表示x 1、x 2与a 、b 、c 的关系：__x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca__.3．求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x 2－6x －15＝0； (2)5x －1＝4x 2； (3)x 2＝4； (4)2x 2＝3x .解：(1)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝－15. (2)x 1＋x 2＝54，x 1x 2＝14.(3)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－4. (4)x 1＋x 2＝32，x 1x 2＝0.环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】x 1、x 2是方程2x 2－3x －5＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值： (1)x 1＋x 2 ； (2)1x 1＋1x 2；(3)x 21＋x 22； (4)x 21＋3x 22－3x 2.【互动探索】(引发学生思考)根据一元二次方程的根与系数的关系可考虑将所求代数式转化为两根之和与两根之积的关系．【解答】(1)x 1＋x 2＝32，(2)∵x 1x 2＝－52，∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－35.(3)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝294. (4)x 21＋3x 22－3x 2＝(x 21 ＋x 22 ) ＋(2x 22 －3x 2 )＝1214. 【互动总结】(学生总结，老师点评)解答这类问题一般先将求值式进行变形，使其含有两根的和与两根的积，再求出方程的两根的和与两根的积，整体代入即可求解．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积． (1)x 2－5x －3＝0； (2)9x ＋2＝x 2； (3)6x 2－3x ＋2＝0； (4)3x 2＋x ＋1＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝－3. (2)x 1＋x 2＝9，x 1x 2＝－2. (3)方程无解． (4)方程无解．2．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值． 解：另一根为2，m ＝2.【教师点拨】本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x ＝1代入方程先求m ，再求另一个根；另一种是利用根与系数的关系解答．3．若一元二次方程x 2＋ax ＋2＝0的两根满足：x 21 ＋x 22 ＝12，求a 的值．解：a ＝±4.【教师点拨】由x 21 ＋ x 22 ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝12，再整体代入方程的两根之和与两根之积得到答案．【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0，且方程两实根的积为5，求k 的值．【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程有根的条件是什么？一元二次方程两实根的积与什么有关？【解答】∵方程两实根的积为5，∴ ⎩⎨⎧Δ＝[－(k ＋1)]2－4⎝⎛⎭⎫14k 2＋1≥0，x 1x 2＝14k 2＋1＝5，∴k ≥32，k ＝±4.故当k ＝4时，方程两实根的积为5.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的值应满足Δ≥0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1、x 2和系数的关系如下： x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.请完成本课时对应练习！。

21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2）x+2k+4=0的一个根,则k的值为．2. 解方程:2（x﹣3）=3x（x﹣3）．3.解下列方程:（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12.4.小华在解一元二次方程 x2－x＝0 时,只得出一个根 x＝1,则被漏掉的一个根是（）A．x＝4 B．x＝3C．x＝2 D．x＝05.我们已经学习了一元二次方程的四种解法:直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中任选一个,并选择你认为适当的方法解这个方程．①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.我选择______________________.6.解方程:(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.参考答案:1.-32.解:2（x﹣3）=3x（x﹣3）,移项得 2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0, 因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0, x﹣3=0或2﹣3x=0,解得:x1=3,x2=32．3.解:⑴x2+2x+2=0, (x+1)2=-1.此方程无解.⑵x2-4x-12=0,(x-2)2=16.x 1=6,x2=-2.4.D5.解:答案不唯一．若选择①,①适合公式法,x2－3x＋1＝0,∵a＝1,b＝－3,c＝1,∴b2－4ac＝9－4＝5＞0.∴x＝3±52.∴x1＝3＋52,x2＝3－52.若选择②,②适合直接开平方法,∵(x－1)2＝3,x－1＝±3,∴x1＝1＋3,x2＝1－ 3. 若选择③ ,③适合因式分解法,x2－3x＝0,因式分解,得 x(x－3)＝0.解得 x1＝0,x2＝3.若选择④,④适合配方法,x2－2x＝4,x2－2x＋1＝4＋1＝5,即(x－1)2＝5.开方,得x－1＝± 5.∴x1＝1＋5,x2＝1－ 5.5.提示:把(x2＋3)看作一个整体来提公因式,再利用平方差公式,因式分解. 解:设 x2＋3＝y,则原方程化为 y2－4y＝0.分解因式,得 y(y－4)＝0,解得 y＝0,或 y＝4.①当 y＝0 时,x2＋3＝0,原方程无解；②当 y＝4 时,x2＋3＝4,即 x2＝1.解得 x＝±1.所以原方程的解为 x1＝1,x2＝－1.。

新人教版九年级上册数学目录
第二十一章一元二次方程
21.1 一元二次方程
21.2解一元二次方程
21.2.1 配方法
21.2.2 公式法
21.2.3 因式分解法
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
21.3 实际问题与一元二次方程
第二十二章二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
22.1.2 二次函数??=??????的图象和性质
22.1.3 二次函数??=??(??-??)??+k的图象和性质
22.1.4 二次函数??=??????+bx+c的图象和性质22.2 二次函数与一元二次方程
22.3 实际问题与二次函数
第二十三章旋转
23.1 图形的旋转
23.2 中心对称
23.2.1 中心对称
23.2.2 中心对称图形
23.2.3 关于原点对称的点的坐标
第二十四章圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
24.1.2 垂直于弦的直径
24.1.3 弧、弦、圆心角
24.1.4 圆周角
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系24.3 正多边形和圆
24.4 弧长和扇形面积
第二十五章概率初步
25.1 随机事件与概率
25.1.1 随机事件
25.1.2 概率
25.2 用列举法求概率
25.3 用频率估计概率。

人教版九年级数学上册知识点总结第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

典型例题：1、已知关于x的方程（x21m-+（m-3）-1=0是一元二次方程，求m的值。

21.2 降次——解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a-.（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

（1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

新人教版九年级数学知识点归纳第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程一元二次方程是指一个等式中只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程。

它有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程；(4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足(a≠0)。

21.2 降次——解一元二次方程解一元二次方程的基本思想是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法：1.直接开平方法：用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=± m。

直接开平方法就是平方的逆运算，通常用根号表示其运算结果。

2.配方法：通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。

这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。

具体步骤如下：1) 转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）；2) 系数化1：将二次项系数化为1；3) 移项：将常数项移到等号右侧；4) 配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方；5) 变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式；6) 开方：左右同时开平方；7) 求解：整理即可得到原方程的根。

3.公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b^2-4ac的值，当b^2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=(b±√(b^2-4ac))/2a，就可得到方程的根。

4.因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

21.3 实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展。

From the perspective of solving ns。

第二十一章一元二次方程3.建立一元二次方程实际问题的数学模型;方程解与实际问题解的区别.课题21.1 一元二次方程 课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的.(2)掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式,能将一个一元二次方程化为一般形式. (3)理解一元二次方程的根的概念,会判断一个数是否是一个一元二次方程的根.2.过程与方法(1)通过根据实际问题列方程,向学生渗透知识来源于生活.(2)通过观察,思考,交流,获得一元二次方程的概念及其一般形式和其他三种特殊形式. (3)经历观察,归纳一元二次方程的概念,一元二次方程的根的概念. 3.情感、态度与价值观通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.教学 重难点重点:一元二次方程的概念,一般形式和一元二次方程的根的概念.难点:通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念.教学活动设计二次设计课堂导入参加一次集会,如果有x 个人,每两人之间都握一次手,共握了21次手,请你列出符合上述条件的方程,并判断方程是什么类型?探索新知 合作探究探究课本问题2 分析:1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思?2.全部比赛场数是多少?若设应邀请x 个队参赛,如何用含x 的代数式表示全部比赛场数?整理所列方程后观察:(1)方程中未知数的个数和次数各是多少?(2)下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些?4x+3=0;x 2+2x-4=0;x 2+y-4=0;x 2-75x+350=0;+2x-6=0 概念归纳:1.一元二次方程定义:分析:首先它是整式方程,然后未知数的个数是1,最高次数是2. 2.一元二次方程的一般形式: 分析:(1)为什么规定a ≠0?(2)方程左边各项之间的运算关系是什么?关于x 的一元二次方程ax 2-bx-c=0(a ≠0)的各项分别是什么?各项系数是什么?3.特殊形式:ax 2+bx=0(a ≠0);ax 2+c=0(a ≠0);ax 2=0(a ≠0).探索新知合作探究课本例题分析:类比一元一次方程的去括号,移项,合并同类项,进行同解变形,化为一般形式后再写出各项系数,注意方程化为一般形式后,其中的“-”是性质符号负号,不是运算符号减号.一元二次方程的根的概念1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念.2.下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗?(1)x2-64=0;(2)x2+1=0;(3)x2-3x=0;(4)x2+2x+1=0.4.思考:一元一次方程一定有一个根,一元二次方程呢?5.排球邀请赛问题中,所列方程x2-x=56的根是8和-7,但是答案只能有一个,应该是哪个?归纳:1.一元二次方程根的情况.2.一元二次方程的解要满足实际问题.当堂训练1.课本练习2.补充:(1)在下列方程中,一元二次方程的个数是( )①3x2+7=0;②ax2+bx+c=0;③(x-2)(x+5)=x2-1;④3x2-=0(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个(2)关于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次方程,则a范围为.(3)已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为.归纳小结1.一元二次方程的概念及其一般形式,能将一个一元二次方程化为一般形式,并正确指出其各项系数.2.一元二次方程的根的概念,能判断一个数是否是一个一元二次方程的根.板书设计21.1一元二次方程教学反思课题21.2.1 配方法 课时 1课时 上课时间教学目标1.知识与技能(1)使学生知道形如x 2=a (a ≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解. (2)使学生知道直接开平方法求一元二次方程的解的依据是数的开平方. (3)使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解. 2.过程与方法在学习与探究中使学生体会“化归”“换元”与“分类讨论”的数学思想及运用类比进行学习的方法.3.情感、态度与价值观使学生在学习中体会愉悦与成功感,感受数学学习的价值.教学 重难点重点:使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解.难点:探究(x-m )2=a 的解的情况,培养分类讨论的意识.教学活动设计二次设计课堂导入一个正方形花坛的面积为8,若设其边长为x ,根据正方形的面积可列出怎样的方程?用怎样的方法可以求出所列方程的解呢?探索新知 合作探究上面我们已经讲了x 2=8,根据平方根的意义,直接开平方得x=±2,如果x 换元为2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?(学生分组讨论)老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x ,那么2t+1=±2,即2t+1=2,2t+1=-2,方程的两根为t 1=-,t 2=--.【例1】 解方程x 2+4x+4=1.【例2】 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m 2提高到14.4 m 2,求每年人均住房面积增长率.当堂训练1.方程3x 2+9=0的根为( )(A )3 (B )-3 (C )±3 (D )无实数根2.若8x 2-16=0,则x 的值是 .3.如果a ,b 满足+b 2-12b+36=0,那么ab 的值是 .归纳小结本节课应掌握:应用直接开平方法解形如x 2=p (p ≥0),那么x=±,应用直接开平方法解形如(mx+n )2=p (p ≥0),那么mx+n=±,达到降次转化之目的.板书设计第1课时 直接开平方法将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程:(1)一元二次方程x 2=p (p ≥0)(2)(mx+n )2=p (p ≥0)教学反思课题21.2.1 配方法 课时 第2课时 上课时间 教学目标1.知识与技能理解配方法,会对一元二次方程进行配方. 2.过程与方法(1)通过自主学习,会用配方法解简单数字系数的一元二次方程. (2)发现不同方程的转化方式,用已有的知识来解决问题. 3.情感、态度与价值观通过配方法的探究活动,培养学生勇于探索的学习习惯,感受数学的严谨性和数学结论的确定性.教学 重难点 重点:用配方法解数字系数的一般一元二次方程. 难点:配方的过程.教学活动设计 二次设计课堂 导入 1.比一比,谁做的快?用直接开平方法解下列一元二次方程.(1)2x 2=8;(2)(x+3)2-25=0;(3)9x 2+6x+1=4.2.你能解这个方程吗? x 2+6x+4=0探索新知 合作探究 自学指导1.完全平方公式你还记得吗?2.试一试,将下列各式进行配方.3.试比较上面式子,二次项的系数有什么共同点?等号左边,一次项的系数和常数导入(老师点评)总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评).(1)移项;(2)化二次项系数为1;(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方;(4)原方程变形为(x+m)2=n的形式;(5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解.探索新知合作探究对于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学们独立完成下面这个问题.问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0)且b2-4ac≥0,试推导它的两个根x1=,x2=.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子x=就得到方程的根,这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.(2)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.续表探索新知合作探究(3)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等实数根即x1=, x2=;当b2-4ac=0时,方程有两个相等实数根即x1=x2=;当b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.当堂训练用公式法解下列方程.(1)2x2-4x-1=0;(2)5x+2=3x2;(3)(x-2)(3x-5)=0;(4)4x2-3x+1=0.教学活动设计二次设计课堂导入(学生活动)解下列方程.(1)2x2+x=0(用配方法);(2)3x2+6x=0(用公式法).老师点评:(1)配方法将方程两边同除以2后,x前面的系数应为,的一半应为,因此,应加上2,同时减去2.(2)直接用公式求解.探索新知合作探究(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项?(2)等式左边的各项有没有共同因式?(学生先答,老师解答)上面两个方程中都没有常数项;左边都可以因式分解:2x2+x=x(2x+1),3x2+6x=3x(x+2).因此,上面两个方程可以写成:(1)x(2x+1)=0;(2)3x(x+2)=0.因为两个因式乘积要等于0,至少其中一个因式要等于0,也就是(1)x=0或2x+1=0,所以x1=0,x2=-.(2)3x=0或x+2=0,所以x1=0,x2=-2.因此,我们可以发现,上述两个方程中,其解法都不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.【例1】解方程:(1)4x2=11x;(2)(x-2)2=2x-4.【例2】已知9a2-4b2=0,求代数式--的值.当堂训练用因式分解法解下列方程(1)(x-3)2-2x+6=0;(2)4(x-3)2-25x2=0;(3)(x+1)2-8(x+1)+16=0.归纳小结本节课要掌握:板书设计21.2.3因式分解法教学反思x 1+x 2= ;x 1x 2= ;(3)-4x 2+x+2=0,x 1+x 2= ;x 1x 2= ;(4)5x 2+kx-6=0,x 1+x 2=;x 1x 2= .2.已知方程6x 2+kx-5=0的一个根为1,求它的另一个根及k 的值. 3.利用根与系数的关系,求一元二次方程3x 2-3x-1=0的两个根的 (1)平方和;(2)倒数和. 归纳小结1.易错点(1)代入公式前,先确定a ,b ,c 的符号; (2)代入公式时,注意系数前的符号;(3)应用根与系数的关系前,确保一元二次方程有实根. 2.常见的与两根有关的代数式变形(1)+=(x 1+x 2)2-2x 1x 2;(2)(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2;(3)+=.板书设计*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学反思课题 21.3 实际问题与一元二次方程 课时第1课时上课时间教学1.知识与技能续表探索新知合作探究④“应如何设计四周边衬的宽度?”是要求四周边衬的宽度,除了根据上下边衬与左右边衬的宽度比,设上下边衬宽与左右边衬宽.还可以根据正中央的长方形长与宽的比为9∶7,设正中央的长方形的长为9x cm,宽为7x cm.尝试列出方程.⑤方程的两个根都是正数,但是它们不都是问题的解,需要根据它们的值的大小来确定哪个更合乎实际,这种取舍选择更多的要考虑问题的实际意义.当堂训练1.从正方形铁片,截去2 cm宽的一条长方形,余下的面积是48 cm2,则原来的正方形铁片的面积是( )(A)8 cm (B)64 cm(C)8 cm2(D)64 cm22.如图,是长方形鸡场平面示意图,一边靠墙,另外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为35 m,所围的面积为150 m2,则此长方形鸡场的长、宽分别为.3.有一张长方形的桌子,长6尺,宽3尺,有一块台布的面积是桌面面积的2倍,并且铺在桌面上时,各边垂下的长度相同,求台布的长和宽各是多少?(精确到0.1尺)4.在一块长12 m,宽8 m的长方形平地中央,划出地方砌一个面积为8 m2的长方形花台,要使花坛四周的宽地宽度一样,则这个宽度为多少?归纳小结1.在实际生活中有许多类似几何图形的问题,可以用一元二次方程作为数学模型来分析和解决.2.对于比较复杂的问题,可以通过设间接未知数的方法来列方程.板书设计第1课时传播类、面积类问题1.传播问题2.面积类问题教学反思课题21.3实际问题与一元二次方程课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.(2)能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.2.过程与方法(1)经历将实际问题抽象为数学问题的过程,探索问题中的数量关系,并能用一元二次方程对之进行描述.(2)体验解决问题的多样性,发展实践应用意识.3.情感、态度与价值观通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识的应用价值,提高学生学习数学的兴趣.教学重难点重点:列一元二次方程解实际问题.难点:发现问题中的等量关系.教学活动设计二次设计课堂导入月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系.每盆植3株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?探索新知合作探究(学生活动)请同学们独立完成下面的题目.问题:某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡,一种贺年卡平均每天可售出500张,每张盈利0.3元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,调查发现,如果这种贺年卡的售价每降低0.1元,那么商场平均每天可多售出100张,商场要想平均每天盈利120元,每张贺年卡应降价多少元?老师点评:总利润=每件平均利润×总件数.设每张贺年卡应降价x元,则每件平均利润应是(0.3-x)元,总件数应是500+×100经分析一种贺年卡原来平均每天可售出500张,每张盈利0.3元,为了减少库存降价销售,并知每降价0.1元,便可多售出100张,为了达到某个目的,每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其他东西,量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系.【例1】某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡,甲种贺年卡平均每天可售出500张,每张盈利0.3元,乙种贺年卡平均每天可售出200张,每张盈利0.75元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,调查发现,如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元,那么商场平均每天可多售出100张;如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元,那么商场平均每天可多售出34张.如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元,那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大.探索新知合作探究(学生活动)【例2】两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元,生产1 t乙种药品的成本是6 000元,随着生产技术的进步,现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元,生产1 t乙种药品的成本是3 600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?老师点评:绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5 000-3 000)÷2=1 000元,乙种药品成本的年平均下降额为(6 000-3 600)÷2=1 200元,显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.当堂训练新华商场销售甲、乙两种冰箱,甲种冰箱每台进货价为2 500元,市场调研表明:当销售价为2 900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台.乙种冰箱每台进货价为2 000元,市场调研表明:当销售价为2 500元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低45元时,平均每天就能多售出4台,商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元,那么两种冰箱的定价应各是多少?归纳小结1.平均变化率:若增长(或降低)前的数量为a,以后每次的平均增长(或降低)率为x,则第二次增长(或降低)后的数量为a(1+x)2(或a(1-x)2).2.销售问题:总利润=每个利润×销售量.板书设计第2课时平均增长率、销售类问题教学反思第二十二章二次函数应用.产量增加x 倍,那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x 的值而确定,y 与x 之间的关系应怎样表示?思考:函数y=6x 2,m=n 2-n ,y=20x 2+40x+40有什么共同特点?在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的.一般地,形如y=ax 2+bx+c (a ,b ,c 是常数,a ≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x 是自变量,a ,b ,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.当堂训练1.(口答)下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=5x+1 (2)y=4x 2-1 (3)y=2x 3-3x 2 (4)y=5x 4-3x+1 2.课本P29练习第1,2题. 归纳小结 1.叙述二次函数的定义.2.联系生活实际,编一道二次函数应用题,并写出函数关系式.板书设计22.1.1 二次函数教学反思课题 22.1.2 二次函数y=ax 2的图象和性质课时 1课时 上课时间教学目标 1.知识与技能能够用描点法作出函数y=ax 2的图象,并根据图象认识和理解其性质. 2.过程与方法使学生经历、探索二次函数y=ax 2图象性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯. 3.情感、态度与价值观在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中,体会数形结合与转化,体会数学内在的美感. 教学 重难重点:使学生理解抛物线的有关概念,会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象.难点:用描点法画出二次函数y=ax 2的图象以及探索二次函数性质.点教学活动设计二次设计课堂导入1.同学们可以回想一下,一次函数的性质是如何研究的?(先画出一次函数的图象,然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以,应先研究什么? (可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质,应先研究二次函数的图象)3.一次函数的图象是什么?二次函数的图象是什么?探索新知合作探究一、举例【例题】画二次函数y=ax2的图象.提问:观察这个函数的图象,它有什么特点?让学生观察、思考、讨论、交流,归结为它有一条对称轴,且对称轴和图象有一个交点.抛物线概念:像这样的曲线通常叫做抛物线.顶点概念:抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.二、探究规律1.在同一直角坐标系中,画出函数y=x2与y=-x2的图象,观察并比较两个图象,你发现有什么共同点?又有什么区别?2.在同一直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=-2x2的图象,观察并比较这两个函数的图象,你能发现什么?3.将所画的四个函数的图象作比较,你又能发现什么?对于1,在学生画函数图象的同时,教师要指导中下水平的学生,讲评时,要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点.两个函数图象的共同点以及它们的区别,可分组讨论、交流,让学生发表不同的意见,达成共识,两个函数的图象都是抛物线,都关于y轴对称,顶点坐标都是(0,0),区别在于函数y=x2的图象开口向上,函数y=-x2的图象开口向下.对于2,教师要继续巡视,指导学生画函数图象,两个函数的图象的特点;教师可引导学生类比1得出.对于3,教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论:四个函数的图象都是抛物线,都关于y轴对称,顶点坐标都是(0,0).探索新知合作探究三、归纳、概括函数y=x2,y=-x2,y=2x2,y=-2x2是函数y=ax2的特例,由它们图象的共同特点,可猜想:函数y=ax2的图象是一条,它关于对称,它的顶点坐标是.如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质,应如何分类?为什么?先让学生观察图,回答以下问题;(1)x A,x B大小关系如何?是否都小于0?(2)y A,y B大小关系如何?板书设计22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质教学反思同,函数y=2x 2的图象的顶点坐标是(0,0),而函数y=2x 2+1的图象的顶点坐标是(0,1).问题6:你能由函数y=2x 2的性质,得到函数y=2x 2+1的一些性质吗?当堂训练1.先在同一直角坐标系中画出函数y=2x 2-2与函数y=2x 2的图象,再作比较,说说它们有什么联系和区别? 2.在同一直角坐标系中,函数y=-x 2+2图象与函数y=-x 2的图象有什么关系?3.你能说出函数y=-x 2+2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?这个函数图象有哪些性质? 归纳小结 1.在同一直角坐标系中,函数y=ax 2+k 的图象与函数y=ax 2的图象的关系.2.函数y=ax 2+k 的性质.板书设计第1课时 二次函数y=ax 2+k 的图象和性质教学反思课题22.1.3 二次函数y=a (x-h )2+k 的图象和性质课时 第2课时 上课时间教学目标 1.知识与技能(1)会用描点法画出y=a (x-h )2的图象.(2)掌握形如y=a (x-h )2的二次函数图象的性质,并会应用.(3)理解二次函数y=a (x-h )2与y=ax 2之间的联系. 2.过程与方法让学生经历作图、观察、比较、归纳、应用的学习过程,让学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.3.情感、态度与价值观在教学中渗透美的教育(对称美),渗透数形结合的思想,让学生在数学活动中体验成功的喜悦.教学 重难点 重点:会用描点法画出二次函数y=a (x-h )2的图象,理解二次函数y=a (x-h )2的性质,理解二次函数y=a (x-h )2的图象与二次函数y=ax 2的图象的关系.难点:理解二次函数y=a (x-h )2的图象与二次函数y=ax 2的图象的相互关系.教学活动设计二次设计课堂导入1.在同一直角坐标系内,画出二次函数y=-x 2,y=-x 2-1的图象,并回答:(1)两条抛物线的位置关系、对称轴、开口方向和顶点坐标. (2)说出它们所具有的公共性质.2.你能说出二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x 2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标吗?这两个函数的图象之间有什么关系? 3.引出课题:二次函数y=a (x-h )2的图象和性质.探索新知 合作探究画出二次函数y=-(x+1)2,y=-(x-1)2的图象,并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性. 先列表:x … -4-3-2-11234… y=-(x+1)2 … … y=-(x-1)2……描点并画图.续表探索新知 合作探究1.观察图象,填表:函数 开口方向顶点 对称轴 最值 增减性y=-(x+1)2y=-(x-1)22.请在图上把抛物线y=-x 2也画上去(草图).①抛物线y=-(x+1)2,y=-x 2,y=-(x-1)2的形状大小 .②把抛物线y=-x 2向左平移 个单位,就得到抛物线y=;把抛物线y=-x 2向右平移 个单位,就得到抛物线y=-(x-1)2.当堂训练 1.抛物线y=2(x+3)2的开口 ;顶点坐标为 ;对称轴是 ;当x>-3时,y ;当x=-3时,y 有 值是 .2.抛物线y=m (x+n )2向左平移2个单位后,得到的函数关系式是y=-4(x-4)2,则m= ,n= .3.若将抛物线y=2x 2+1向下平移2个单位后,得到的抛物线解析式为 .归纳小结1.在同一直角坐标系中,函数y=a (x-h )2的图象与函数y=ax 2的图象有什么联系和区别?2.你能说出函数y=a (x-h )2图象的性质吗?板书设计第2课时 二次函数y=a (x-h )2的图象和性质教学反思探索新知合作探究二、做一做问题3:在坐标系中,你能再画出函数y=2(x-1)2-2的图象,并将它与函数y=2(x-1)2的图象作比较吗?教学要点1.在学生画函数图象时,教师巡视指导;2.对“比较”两字做出解释,然后让学生进行比较.问题4:你能说出函数y=-(x-1)2+2的图象与函数y=-x2的图象的关系,由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?(函数y=-(x-1)2+2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向右平移1个单位再向上平移2个单位得到的,其开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标是(1,2))当堂训练1.已知函数y=6x2,y=6(x-3)2+3和y=6(x+3)2-3.(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象;(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;(3)试说明,分别通过怎样的平移,可以由抛物线y=6x2得到抛物线y=6(x-3)2+3和抛物线y=6(x+3)2-3;(4)试讨论函数y=6(x+3)2-3的性质.2.不画图象,直接说出函数y=-2x2-5x+7的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.3.函数y=2(x-h)2+k的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?归纳小结1.通过本节课的学习,你学到了哪些知识?还存在什么困惑?2.谈谈你的学习体会.板书设计第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质教学反思课题22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)会画二次函数y=ax2+bx+c的图象.(2)熟记二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标与对称轴公式.(3)用配方法求二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标与对称轴.2.过程与方法对二次函数的研究,是从简单到复杂的过程,发展学生的推理能力,会用二次函数的对称轴,顶点坐标,解决一些简单的问题.3.情感、态度与价值观学习过程中,既训练了学生的抽象能力,语言表达能力,又培养了学生的合作意识,运用数学知识解决问题的能力.教学重难点重点:用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标.难点:理解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质以及它的对称轴.教学活动设计二次设计课堂导入1.你能说出函数y=-4(x-2)2+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?2.函数y=-4(x-2)2+1的图象与函数y=-4x2的图象有什么关系?3.函数y=-4(x-2)2+1具有哪些性质?4.不画出图象,你能直接说出函数y=x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?5.你能画出函数y=x2-6x+21的图象,并说明这个函数具有哪些性质吗?探索新知合作探究一、由以上第4个问题的解决,我们已经知道函数y=x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.根据这些特点,可以采用描点作图的方法作出函数y=x2-6x+21的图象,进而观察得到这个函数的性质.。