10-3.二项式定理

2020高中数学复习学案第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布3 二项式定理【要点梳理·夯实知识基础】1．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C r n an －r b r ＋…＋C n n b n(n ∈N ＋)． 这个公式所表示的规律叫做二项式定理，等式右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，其中的系数C r n (r ＝0,1,2，…，n )叫做 二项式系数 .式中的 C r n an －rb r 叫做二项展开式的 通项 ，用T r ＋1表示，通项是展开式的第 r ＋1 项，即T r ＋1＝C r n an －r b r (其中0≤r ≤n ，r ∈N ，n ∈N ＋)． 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n ＋1 .(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为 n . (3)字母a 按 降幂 排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按 升幂 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到 C n －1n ，C nn .3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“ 等距离 ”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －m n .(2)增减性与最大值：二项式系数C r n，当r <n ＋12时，二项式系数是递增的；当r >n ＋12时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，那么其展开式中间两项T n2＋1的二项式系数最大． 当n 是奇数时，那么其展开式中间两项T n ＋12和T n ＋12＋1的二项式系数相等且最大．(3)各二项式系数的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1 . 【学练结合】[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)C k n an －k b k是(a ＋b )n 的展开式中的第k 项．( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(4)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× [小题查验]1．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7D ．6解析：B [令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.]2．(教材改编)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．120解析：B [二项式系数之和2n ＝64，所以n ＝6，T k ＋1＝C k 6·x 6－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝C k 6x 6－2k，当6－2k ＝0，即当k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.]3．(2018·全国Ⅲ卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80解析：C [T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝C r 52r x 10－3r ，由10－3r ＝4，得r ＝2，所以x 4的系数为C 25×22＝40.]4．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 展开式的二项式系数之和为128，则展开式中x 2的系数为( )A ．－21B ．－35C ．35D ．21解析：C [由已知得2n ＝128，n ＝7，所以T r ＋1＝C r 7x 2(7－r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 7(－1)r x 14－3r，令14－3r ＝2，得r ＝4，所以展开式中x 2的系数为C 47(－1)4＝35.故选C.]5.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x n 的展开式中，第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的第4项为 ________ .解析：由题意得C 2n ＝C 6n ，所以n ＝8.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 8展开式的第4项为T 4＝C 38⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3x 5＝56x 2. 答案：56x 2【考点探究·突破重点难点】考点一 二项展开式的特定项或系数问题(多维探究)[命题角度1] 求展开式中的某一项1.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－2x 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 8的展开式中x 4的常数项为( ) A ．32 B ．34 C ．36D ．38解析：D [⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－2x 4的展开式的通项为T k ＋1＝C k 4·(x 3)4－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝C k 4(－2)k x 12－4k，令12－4k ＝0，解得k ＝3， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 8的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8·x 8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8·x 8－2r ， 令8－2r ＝0，得r ＝4，所以所求常数项为C 34(－2)3＋C 48＝38.][命题角度2] 求展开式中的系数或二项式系数2．(1＋x )(1－x )5的展开式中x 4的系数是( ) A ．－35 B ．－5 C ．5D ．35解析：B [(1－x )5展开式的通项是T r ＋1＝C r 5(－x )r ＝(－1)r C r 5x r ，所以(1－x )5展开式中x 4的系数是(－1)4C 45＝5，x 3项的系数是(－1)3C 35＝－10，所以(1＋x )(1－x )5的展开式中x 4项的系数是1×5＋1×(－10)＝－5，故选B.][命题角度3] 由已知条件求n 的值或参数的值3．若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝ ________ .解析：⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ·x －r 2＝C r 5a 5－r ·x 10－5r 2，令10－52r ＝5，得r ＝2，所以C 25a 3＝－80，解得a ＝－2.答案：－2 【解题规律方法】与二项展开式有关问题的解题策略(1)求展开式中的第n 项，可依据二项式的通项直接求出第n 项．(2)求展开式中的特定项，可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可．(3)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.[跟踪训练](1)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：C [因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40，x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80.所以x 3y 3的系数为80－40＝40.故选C.] (2)若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －23x n (n ∈N ＋)展开式的二项式系数和为32，则其展开式的常数项为( )A ．80B ．－80C ．160D ．－160解析：B [根据二项式系数和的性质，可知2n ＝32，解得n ＝5，所以⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －23x n的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·(x )5－r⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23x r ＝(－2)r C r 5x 5－r 2－r 3，令5－r 2－r 3＝0，解得r ＝3，所以其展开式的常数项为(－2)3C 35＝－80，故选B.]考点二 二项式系数的性质或各项系数的和(师生共研)[典例] (1)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 11的展开式中，系数最大的项为第 ________项．(2)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为 ________ .[解析] (1)依题意可知T r ＋1＝C r 11(－1)r x 22－3r,0≤r ≤11，r ∈Z ，二项式系数最大的是C 511与C 611.当r ＝6时，T 7＝C 611x 4，故系数最大的项是第七项．(2)令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9，令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9，所以有(2＋m )9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或－3.[答案] (1)七 (2)1或－3 [互动探究]本例(2)变为：若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为 ________ .解析：令x ＝2，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(4＋m )9，令x ＝0，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝(m ＋2)9，所以有(4＋m )9(m ＋2)9＝39，即m 2＋6m ＋5＝0，解得m ＝－1或－5.答案：－1或－5 【解题方法指导】(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.[跟踪训练](1)已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．1D ．20解析：D [令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，再令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0，又易知a 1＝C 910×21×(－1)9＝－20，所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20.](2)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为 ________ .解析：令x ＝1，得各项系数的和为4n ，而各项的二项式系数的和等于2n ，根据已知，得方程4n ＋2n ＝72，解得n ＝3.所以二项展开式的通项T r ＋1＝C r 3(x )3－r⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝3r C r 3x 32－32r ，显然当r ＝1时，T r ＋1是常数项，值为3C 13＝9. 答案：92020高中数学复习学案第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布3 二项式定理检测一、选择题1．C 1n ＋2C 2n ＋4C 3n ＋…＋2n －1C n n 等于( D ) A ．3n B ．2·3n C.3n2－1D.3n －12解析：因为C 0n ＋2(C 1n ＋2C 2n ＋4C 3n ＋…＋2n －1C n n )＝(1＋2)n ，所以C 1n ＋2C 2n ＋4C 3n ＋…＋2n －1C n n ＝3n －12.2．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5的展开式中x 的系数为( B )A ．5B ．10C ．20D ．40解析：∵T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 5x 10－3r，令10－3r ＝1，得r ＝3，∴x 的系数为C 35＝10.3．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n的展开式的各项系数和为243，则展开式中x 7的系数为( B )A ．5B ．40C ．20D ．10解析：由题意，二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n 的展开式中各项的系数和为243，令x ＝1，则3n＝243，解得n ＝5，所以二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(x 3)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝2r C r 5x 15－4r ，令15－4r ＝7，得r ＝2，则T 3＝22C 25x 15－4×2＝40x 7，即x 7的系数为40，故选B.4．1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数之和为( C )A ．2n －1B ．2n －1C ．2n ＋1－1D ．2n解析：令x ＝1，得1＋2＋22＋ (2)＝1×(2n ＋1－1)2－1＝2n ＋1－1.5．(3－2x －x 4)(2x －1)6的展开式中，含x 3项的系数为( C )A ．600B ．360C ．－600D ．－360解析：由二项展开式的通项公式可知，展开式中含x 3项的系数为3×C 3623(－1)3－2×C 2622(－1)4＝－600.6．已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( B )A ．1B ．243C ．121D ．122解析：令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，① 令x ＝－1，得－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243，② ①＋②，得2(a 4＋a 2＋a 0)＝－242， 即a 4＋a 2＋a 0＝－121.①－②，得2(a 5＋a 3＋a 1)＝244， 即a 5＋a 3＋a 1＝122.所以|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝122＋121＝243.故选B. 7．在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 2 01510的展开式中，x 2的系数为( C )A ．10B ．30C ．45D ．120解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 2 01510＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋1x 2 01510＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x 2 015＋…＋C 1010⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2 01510，所以x 2只出现在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45.故选C. 二、填空题8．(x 2－1x )8的展开式中x 7的系数为－56.(用数字作答)解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ·(－1x )r ＝(－1)r C r 8x 16－3r，令16－3r ＝7，得r ＝3，故x 7的系数为－C 38＝－56. 9．若二项式(x －23x)n 的展开式中仅有第6项的二项式系数最大，则其常数项是13_440.解析：∵二项式(x －23x)n 的展开式中仅有第6项的二项式系数最大，∴n＝10，∴T r ＋1＝C r 10(x )10－r(－23x )r ＝(－2)r C r 10·x 30－5r6 ，令30－5r 6＝0，解得r ＝6，∴常数项是(－2)6C 610＝13 440.10．若(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3的系数为20，则a ＝－14.解析：(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3的系数为C 25·22＋a ·C 35·23＝20，∴40＋80a ＝20，解得a ＝－14.11．在(x ＋4x －4)5的展开式中，x 3的系数是180.解析：(x ＋4x －4)5＝(－4＋x ＋4x )5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－4)5－r·(x ＋4x )r ，r ＝0,1,2,3,4,5，(x ＋4x )r 的展开式的通项T k ＋1＝C k r x r －k (4x )k ＝4k C k r xr －2k ，k ＝0,1，…，r .令r －2k ＝3，当k ＝0时，r ＝3；当k ＝1时，r ＝5.∴x 3的系数为40×C 03×(－4)5－3×C 35＋4×C 15×(－4)0×C 55＝180.12．在(x ＋x )6⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 5的展开式中，x 4y 2项的系数为( C )A ．200B ．180C ．150D ．120解析：(x ＋x )6展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x )6－r x r＝C r 6，令6＋r2＝4，得r ＝2，则T 3＝C 26＝15x 4.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1y r ＝C r 5y －r ，令r ＝2可得T 3＝C 25y －2＝10y －2.故x 4y 2项的系数为15×10＝150.13．已知(2x －1)4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，则a 2＝( B )A ．18B ．24C ．36D ．56解析：∵(2x －1)4＝[(2x －2)＋1]4＝[1＋(2x －2)]4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，∴a 2＝C 24·22＝24，故选B.14．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 4项的系数为－48.解析：令x ＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为1－a ＝2，得a ＝－1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中x 4项的系数即是⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中的x 3项与x 5项系数的和．又⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－1)r ·25－r ·x 5－2r，令5－2r ＝3，得r ＝1，令5－2r ＝5，得r ＝0，将r ＝1与r ＝0分别代入通项，可得x 3项与x 5项的系数分别为－80与32，故原展开式中x 4项的系数为－80＋32＝－48.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．已知(1＋ax ＋by )5(a ，b 为常数，a ∈N *，b ∈N *)的展开式中不含字母x 的项的系数和为243，则函数f (x )＝sin2x ＋b 2sin (x ＋π4)，x ∈[0，π2]的最小值为2.解析：令x ＝0，y ＝1，得(1＋b )5＝243，解得b ＝2.因为x ∈[0，π2]，所以x＋π4∈[π4，3π4]，则sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[1，2]，所以f (x )＝sin2x ＋b 2sin (x ＋π4)＝sin2x ＋2sin x ＋cos x ＝2sin x ·cos x ＋2sin x ＋cos x＝sin x＋cos x＋1sin x ＋cos x≥2(sin x ＋cos x )·1sin x ＋cos x＝2，当且仅当sin x ＋cos x ＝1时取“＝”，所以f (x )的最小值为2.。

第3讲 二项式定理基础知识整合1．二项式定理的内容(1)(a ＋b )n ＝□01C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)． (2)第r ＋1项，T r ＋1＝□02C r n an －r b r . (3)第r ＋1项的二项式系数为□03C r n (r ＝0,1，…，n )． 2．二项式系数的性质(1)0≤r ≤n 时，C r n 与C n －r n 的关系是□04相等． (2)二项式系数先增后减中间项最大且n 为偶数时第□05n2＋1项的二项式系数最大，最大为□06C n2n ，当n 为奇数时第□07n －12＋1或n ＋12＋1项的二项式系数最大，最大为□08C n －12n 或C n ＋12n .(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝□092n ，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝□102n －1，C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝□112n －1.1．注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题．2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同． 3．切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念．1．(2020·东莞调研测试)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 26的展开式的常数项为( )A ．±15B ．15C ．±20D ．－20答案 B解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 26的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2r ＝C r 6·(－1)r ·x 6－3r .令6－3r ＝0，求得r ＝2，∴展开式的常数项是C 26＝15，故选B.2．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24答案 A解析 解法一：(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为1×C 34＋2C 14＝12.故选A.解法二：∵(1＋2x 2)(1＋x )4＝(1＋2x 2)(1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋x 4)，∴x 3的系数为1×4＋2×4＝12.故选A.3．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6答案 B解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＝8.4．(x －y )(x ＋y )5的展开式中x 2y 4的系数为( ) A ．－10 B ．－5 C ．5 D ．10答案 B解析 (x ＋y )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·x 5－r ·y r ，令5－r ＝1，得r ＝4，令5－r ＝2，得r ＝3，∴(x －y )(x ＋y )5的展开式中x 2y 4的系数为C 45×1＋(－1)×C 35＝－5.故选B.5．设(5x －x )n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，M －N ＝240，则展开式中x 3的系数为( )A ．500B ．－500C ．150D ．－150答案 C解析 由题意可得N ＝2n ，令x ＝1，则M ＝(5－1)n ＝4n ＝(2n )2.∴(2n )2－2n ＝240,2n ＝16，n ＝4.展开式中第r ＋1项T r ＋1＝C r 4·(5x )4－r ·(－x )r ＝(－1)r ·C r 4·54－r ·x 4－r 2.令4－r2＝3，即r ＝2，此时C 24·52·(－1)2＝150. 6．(2019·浙江高考)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．答案 162 5解析 由二项展开式的通项公式可知T r ＋1＝C r 9·(2)9－r ·x r ，r ∈N,0≤r ≤9，当为常数项时，r ＝0，T 1＝C 09·(2)9·x 0＝(2)9＝16 2. 当项的系数为有理数时，9－r 为偶数，可得r ＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.核心考向突破考向一 求展开式中的特定项或特定项系数例1 (1)⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为( ) A ．153 B ．－153 C ．17 D ．－17答案 C 解析T r ＋1＝C r 18x18－r ⎝⎛⎭⎪⎫－13x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13r C r 18·x 18－32r ，令18－32r ＝15，解得r ＝2，所以含x 15的项的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－132C 218＝17.(2)(2019·山东枣庄模拟)若(x 2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12 C ．1 D ．2答案 D解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 10·x 10－2r ，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4的系数为C 310；令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x6的系数为C 210，所以(x 2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为C 310－a C 210＝30，解得a ＝2.故选D.(3)(2019·天津高考)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －18x 38的展开式中的常数项为________．答案 28解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －18x 38的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8()2x 8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18x 3r ＝C r 828－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－18r ·x 8－4r . 令8－4r ＝0，得r ＝2，∴展开式中的常数项为T 3＝C 2826⎝ ⎛⎭⎪⎫－182＝28.求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将T r ＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出r .(3)代回通项公式得所求．[即时训练] 1.(2019·广州调研)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 9的展开式中x 3的系数为( )A ．－212 B ．－92 C.92 D.212答案 A解析 二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x 9－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，所以展开式中x 3的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 39＝－18×9×8×73×2×1＝－212.故选A. 2．(2020·河南信阳摸底)(x 2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －25的展开式的常数项是( )A ．5B ．－10C ．－32D ．－42答案 D解析 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －25的展开式的通项为C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 5－r ·(－2)r ＝C r 5(－2)r·x r －52，故(x 2＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －25的展开式的常数项是C 15·(－2)＋C 55(－2)5＝－42.故选D. 3．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －x 29的展开式中x 3的系数为94，则a ＝________.答案 4解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax－x 29的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 9－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2r＝(－1)r ·a 9－r·2－r 2·C r 9·x 32r －9.令32r －9＝3，得r ＝8，则(－1)8·a ·2－4·C 89＝94，解得a ＝4. 精准设计考向，多角度探究突破 考向二 二项式系数与各项的系数问题 角度1 二项展开式中系数的和例2 (1)(2019·郑州一中测试)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为( )A ．－1B ．1C ．27D ．－27答案 A解析 由题意，得C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n＝8，即n ＝3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 3的展开式的系数之和为(1－2)3＝－1，故选A.(2)已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6＋a 7x 7，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝________，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝________，a 2＋a 4＋a 6＝________.答案 126 2187 1092 解析 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝1，得－1＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7.①又a 7＝C 77(－2)7＝(－2)7，∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝－1－a 0－a 7＝126. 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37＝2187.② ①＋②2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1093， ∴a 2＋a 4＋a 6＝1092.赋值法的应用(1)对形如(ax＋b)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1.(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1.(3)一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为12[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为12[g(1)－g(－1)]．[即时训练] 4.(2019·东北三校联考)若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝( )A ．0B ．1C ．32D ．－1答案 A解析 由(1－x )5的展开式的通项公式T r ＋1＝(－1)r C r 5x r ，可得a 1，a 3，a 5为负数，a 0，a 2，a 4为正数，故有|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝(1－1)5＝0.故选A.5．(2019·郑州一测)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x 2的系数为________．答案 90解析 令x ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n ＝4n ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以4n 2n ＝2n＝32，解得n ＝5.二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝C r 53r x 5－32r ，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 2532＝90. 角度2 二项式系数的最值问题例3 (1)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8答案 B解析 由题意，得a ＝C m 2m ，b ＝C m 2m ＋1， 则13C m 2m ＝7C m 2m ＋1，∴13·(2m )！m ！·m ！＝7·(2m ＋1)！m ！·(m ＋1)！，∴7·(2m ＋1)m ＋1＝13，解得m ＝6，经检验m ＝6为原方程的解，故选B.(2)(2019·安徽马鞍山模拟)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( )A ．3B ．5C ．6D ．7答案 D解析 根据⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n ＝20，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r 20·(3x )20－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝(3)20－r ·C r20·x 20－4r3，要使x 的指数是整数，需r 是3的倍数，∴r ＝0,3,6,9,12,15,18，∴x 的指数为整数的项共有7项．故选D.求二项式系数最大项(1)如果n 是偶数，那么中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎫第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋1项的二项式系数最大．(2)如果n 是奇数，那么中间两项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n ＋12项与第⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．[即时训练] 6.已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29答案 D解析 因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，所以根据二项式系数和的相关公式可知，奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.7．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．180B ．120C ．90D ．45答案 A解析 由只有第6项的二项式系数最大，可知n ＝10，于是展开式的通项为T r ＋1＝C r 10(x )10－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝2r C r 10·x 5－5r 2，令5－5r2＝0，得r ＝2，所以展开式中的常数项是22C 210＝180.故选A.角度3 项的系数的最值问题例4 (1)(2020·承德摸底)若(1＋2x )6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )A.112<x <15 .16<x <15 C.112<x <23 .16<x <25答案 A解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧C 162x >C 06，C 162x >C 26(2x )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >112，0<x <15，即112<x <15.(2)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n 的展开式中第6项系数最大，则不含x 的项为( )A ．210B ．10C ．462D ．252答案 A解析 ∵第6项系数最大，且项的系数为二项式系数，∴n 的值可能是9,10,11.设常数项为T r ＋1＝C r n x 3(n －r )x －2r ＝C r n x3n －5r， 则3n －5r ＝0，其中n ＝9,10,11，r ∈N ， ∴n ＝10，r ＝6，故不含x 的项为T 7＝C 610＝210.求展开式系数最大项如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即得．[即时训练] 8.(2020·宜昌高三测试)已知(x 23＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解 令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n . 又展开式中二项式系数和为2n ， ∴22n 2n ＝2n＝32，n ＝5.(1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，∴T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223. (2)设展开式中第k ＋1项的系数最大， 则由T k ＋1＝C k 5(x 23)5－k (3x 2)k ＝3k C k5x 10＋4k 3，得⎩⎪⎨⎪⎧3k C k 5≥3k －1C k －15，3k C k 5≥3k ＋1C k ＋15，∴72≤k ≤92，∴k ＝4， ∴第5项系数最大，即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(x 23)(3x 2)4＝405x 263. 考向三 二项式定理的应用例5 (1)(2019·潍坊模拟)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512020＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12答案 D解析 由于51＝52－1，(52－1)2020＝C 020********－C 12020522019＋…－C 20192020521＋1，又由于13能整除52，所以只需13能整除1＋a ，0≤a <13，a ∈Z ，所以a ＝12.(2)0.9910的第一位小数为n 1，第二位小数为n 2，第三位小数为n 3，则n 1，n 2，n 3分别为( )A ．9,0,4B ．9,4,0C ．9,2,0D ．9,0,2答案 A解析0.9910＝(1－0.01)10＝C010×110×(－0.01)0＋C110×19×(－0.01)1＋C210×18×(－0.01)2＋…＝1－0.1＋0.0045＋…≈0.9045.二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.[即时训练]9.1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010除以88的余数是()A ．－1B ．1C ．－87D ．87答案 B解析 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110×889＋…＋C 910×88＋1.∵前10项均能被88整除，∴余数是1.10．1.028的近似值是________(精确到小数点后三位)． 答案 1.172解析 1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18×0.02＋C 28×0.022＋C 38×0.023≈1.172.学科素养培优（二十二）二项式定理破解三项式问题1．(2020·柳州摸底)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60答案 C解析 由二项展开式通项易知T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，对于二项式(x 2＋x )3，由T t ＋1＝C t 3(x 2)3－t ·x t ＝C t 3x 6－t ，令t ＝1，所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.2.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式中的常数项为________(用数字作答)． 答案6322解析 解法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝132x 5·[(x ＋2)2]5＝132x 5(x ＋2)10. 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5项的系数，即C 510·(2)5. 所以所求的常数项为C 510·(2)532＝6322.解法二：要得到常数项，可以对5个括号中的选取情况进行分类：①5个括号中都选取常数项，这样得到的常数项为(2)5.②5个括号中的1个选x 2，1个选1x ，3个选2，这样得到的常数项为C 1512C 14C 33(2)3.③5个括号中的2个选x 2，2个选1x ，1个选2，这样得到的常数项为C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 232.因此展开式的常数项为(2)5＋C 1512C 14C 33(2)3＋C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 232＝6322. 答题启示二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．对点训练1．(x 2－x ＋1)10的展开式中x 3的系数为( ) A ．－210 B ．210 C ．30 D ．－30答案 A解析 (x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910x 2(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以展开式中x 3的系数为－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210.故选A.2.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－23的展开式中x 2的系数是________(用数字作答)． 答案 15解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，所以T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 6(－1)r x 6－2r，令6－2r ＝2，解得r ＝2，所以展开式中x 2的系数是C 26(－1)2＝15.课时作业1．(2019·长沙一模)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 6的展开式中( )A ．不含x 9项B ．含x 4项C ．含x 2项D ．不含x 项答案 D解析 T r ＋1＝(－1)r C r 6x 12－2r x －r ＝(－1)r C r 6x12－3r，故x 的次数为12,9,6,3,0，－3，－6.选D.2．(2020·河北保定期末)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1x 6的展开式中，有理项共有( )A ．1项B ．2项C ．3项D ．4项答案 D解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·(－1)r ·36－r ·x 6－32r ，令6－32r 为整数，求得r ＝0,2,4,6，共计4项．3．(2020·广东普宁一中期末)若⎝⎛⎭⎪⎫x 6＋1x x n 的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 6＋1x x n 的展开式的通项公式为C r n (x 6)n －r ·(x －32)r ＝C r n x 6n －152r ，r ＝0,1,2，…，n ，则依题设，由6n －152r ＝0，得n ＝54r ，∴n 的最小值等于5.故选C.4．(2019·广东广州模拟)已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x n 的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x 项的系数是( )A ．－84B ．－14C ．14D ．84答案 A解析 由二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x n的展开式中所有二项式系数的和是128，得2n ＝128，即n ＝7，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 7，则T r ＋1＝C r 7·(2x 2)7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·27－r·C r 7·x 14－3r .令14－3r ＝－1，得r ＝5.∴展开式中含1x 项的系数是－4×C 57＝－84.故选A.5．在(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)(n ∈N *)的展开式中一次项系数为( ) A ．C 2nB ．C 2n ＋1C ．C n －1n D.12C 3n ＋1 答案 B解析 1＋2＋3＋…＋n ＝n ·(n ＋1)2＝C 2n ＋1. 6．(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112 D ．168答案 D解析 因为(1＋x )8的展开式中x 2的系数为C 28，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为C 24，所以x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.故选D.7．(2019·福州模拟)设n 为正整数，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 3n 的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为( )A ．－112B ．112C ．－60D ．60答案 B解析 依题意，得n ＝8，所以展开式的通项公式T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3r ＝C r 8x 8－4r(－2)r ，令8－4r ＝0，解得r ＝2，所以展开式中的常数项为T 3＝C 28(－2)2＝112.故选B.8．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40答案 D解析 令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r . 令5－2r ＝1，得r ＝2.令5－2r ＝－1，得r ＝3.∴展开式的常数项为(－1)2×23·C 25＋(－1)3· 22·C 35＝80－40＝40.9．(2019·江西九校联考)已知(2x －1)4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，则a 2＝( )A ．18B ．24C ．36D ．56答案 B解析 (2x －1)4＝[1＋2(x －1)]4，故a 2(x －1)2＝C 24[2(x －1)]2＝4C 24(x －1)2，a 2＝4C 24＝24.10．(2020·黄冈质检)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝( )A ．284B ．356C ．364D ．378答案 C解析 令x ＝0，则a 0＝1；令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36. ① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1. ②①②两式左右分别相加，得2(a 0＋a 2＋…＋a 12)＝36＋1＝730，所以a 0＋a 2＋…＋a 12＝365，又a 0＝1，所以a 2＋a 4＋…＋a 12＝364.11．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n …＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝( )A ．63B ．64C ．31D ．32答案 A解析 逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n …＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝63.故选A.12.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x －4y 7的展开式中不含x 的项的系数之和为( )A ．－43C 37C 34－47B ．－43C 27C 24＋47C ．－47D ．47答案 A解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x －4y 7＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x －4y 7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 7－r ·(－4y )r，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 7－r 的展开式的通项公式为M k ＋1＝C k 7－r ·x 7－r －4k 3，0≤k ≤7－r,0≤r ≤7，k ，r 均为整数，令7－r ＝4k3，解得k ＝0，r ＝7或k ＝3，r＝3，则不含x 的项的系数之和为(－4)7＋C 37C 34·(－4)3＝－43C 37C 34－47.故选A.13．(2019·绍兴模拟)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________.答案 －2解析 由已知可得⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5展开式的通项公式为C r 5(ax 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5a 5－rx 20－5r 2，则由展开式中x 5的系数是－80，令20－5r 2＝5，得r ＝2，即C 25a 3＝－80，解得a ＝－2.14．已知(1－2x )n 展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1－2x )n (1＋x )的展开式中含x 2项的系数为________．答案 70解析 因为奇数项的二项式系数之和为2n －1，所以2n －1＝64，n ＝7，因此(1－2x )n (1＋x )的展开式中含x 2项的系数为C 27(－2)2＋C 17(－2)＝70.15．(2020·上海浦东新区摸底)已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则n ＝________，展开式中的第五项为________．答案 8358x解析 二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式中，前三项的二项式系数之和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝1＋n ＋n (n －1)2＝37，则n ＝8，故展开式中的第五项为C 48·124x ＝358x .16．(2019·唐山模拟)S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余数为________．答案 7解析 依题意S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1＝9×(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2.∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是正整数，∴S 被9除的余数为7.17．(2019·福州段考)已知(x －3x )n 的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512.(1)求展开式中的所有有理项；(2)求(1－x )3＋(1－x )4＋…＋(1－x )n 的展开式中x 2的系数．解 (1)∵(x －3x )n 的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512， ∴2n －1＝512＝29， ∴n －1＝9，解得n ＝10.∴T r ＋1＝C r 10(x )10－r (－3x )r ＝(－1)r C r 10x 10－r 2＋r 3＝(－1)r C r10x 5－r 6(r ＝0,1，…，10)．由5－r6∈Z ，得r ＝0,6.∴展开式中的所有有理项为T 1＝C 010x 5＝x 5，T 7＝C 610x 4＝210x 4.(2)展开式中x 2的系数为C 23＋C 24＋…＋C 210＝(C 34－C 33)＋(C 35－C 34)＋…＋(C 311－C 310)＝C 311－C 33＝164.18．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x n 的展开式中前三项的系数成等差数列． (1)求n 的值；(2)求展开式中系数最大的项．解 (1)由题设，得C 0n ＋14·C 2n ＝2×12·C 1n ， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，n ＝1(舍去)． (2)设第r ＋1项的系数最大，则⎩⎨⎧12r C r 8≥12r ＋1C r ＋18，12r C r 8≥12r －1C r －18.即⎩⎨⎧18－r ≥12(r ＋1)，12r ≥19－r，解得2≤r ≤3.又第1项系数为120C 08＝1，第9项系数为128C 88＝1256， 所以系数最大的项为T 3＝7x 5，T 4＝7x 72.。

第3讲二项式定理最新考纲 1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.知识梳理1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)；(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即C k n＝C n－kn增减性二项式系数C k n 当k＜n＋12(n∈N*)时，是递增的当k＞n＋12(n∈N*)时，是递减的二项式系数最大值当n为偶数时，中间的一项2Cnn取得最大值当n为奇数时，中间的两项12Cnn-与12Cnn+取最大值(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)C k n a n－k b k是二项展开式的第k项.()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.()(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.()解析 二项式展开式中C k n an －k b k是第k ＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A.C m nB.C m ＋1nC.C m －1nD.(－1)m －1C m －1n解析 (x －y )n 展开式中第m 项的系数为C m －1n (－1)m －1.答案 D3.(选修2－3P35练习T1(3)改编)C 02 017＋C 12 017＋C 22 017＋…＋C 2 0172 017C 02 016＋C 22 016＋C 42 016＋…＋C 2 0162 016的值为( ) A.2 B.4C.2 017D.2 016×2 017 解析 原式＝22 01722 016－1＝22＝4.答案 B4.(2017·瑞安市质检)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________. 解析 展开式通项为T r ＋1＝C r 9x2(9－r )⎝⎛⎭⎪⎫－12x r＝(－1)r 12r C r 9x 18－3r(其中r ＝0，1，…，9) ∴T 4＝(－1)3123C 39x 9，故第4项的二项式系数为C 39＝84，第4项的系数为 (－1)3123C 39＝－212. 答案 84 －2125.(2017·石家庄调研)(1＋x )n 的二项式展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝________.解析 (1＋x )n 的二项式展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以n2＋1＝6，n ＝10. 答案 106.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为________. 解析T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k ⎝⎛⎭⎪⎫－2x 3k ＝C k 5(－2)k x 10－5k.令10－5k ＝0，则k ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40.答案 40考点一 求展开式中的特定项或特定项的系数【例1】 已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n的展开式中，第6项为常数项. (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项. 解 (1)通项公式为T k ＋1＝C k n xn －k3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x －k 3＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x n －2k 3. 因为第6项为常数项，所以k ＝5时，n －2×53＝0，即n ＝10. (2)令10－2k3＝2，得k ＝2， 故含x 2的项的系数是C 210⎝⎛⎭⎪⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意⎩⎪⎨⎪⎧10－2k 3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N ，令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ， ∵k ∈N ，∴r 应为偶数.∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为454x 2，－638，45256x －2.规律方法 (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项. (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 【训练1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A.10B.20C.30D.60(2)(2016·全国Ⅰ卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________(用数字作答). (3)(2014·全国Ⅰ卷)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________(用数字作答). 解析 (1)法一 (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.法二 (x 2＋x ＋y )5表示5个x 2＋x ＋y 之积.∴x 5y 2可从其中5个因式中选两个因式取y ，两个取x 2，一个取x .因此x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.(2)由(2x ＋x )5得T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (x )r ＝ 25－r C r 5x 5－r 2，令5－r2＝3得r ＝4，此时系数为10.(3)(x －y )(x ＋y )8＝x (x ＋y )8－y (x ＋y )8，∵x (x ＋y )8中含x 2y 7的项为x ·C 78xy 7，y (x ＋y )8中含x 2y 7的项为y ·C 68x 2y 6. 故(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为C 78－C 68＝C 18－C 28＝－20.答案 (1)C (2)10 (3)－20考点二 二项式系数的和与各项的系数和问题 【例2】 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.解 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， ∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102； x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.规律方法 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.【训练2】 (1)(2017·岳阳模拟)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( ) A.－27C 39B.27C 39C.－9C 49D.9C 49(2)(2017·义乌调研)(1－3x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝( ) A.1 024B.243C.32D.24解析 (1)令x ＝1得2n＝512，所以n ＝9，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x 9的展开式的通项为T r ＋1＝C r 9(3x 2)9－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 9·39－r x 18－3r，令18－3r ＝0得r ＝6，所以常数项为T 7＝(－1)6C 69·33＝27C 39.(2)令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024. 答案 (1)B (2)A考点三 二项式定理的应用【例3】 (1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除； (2)用二项式定理证明2n >2n ＋1(n ≥3，n ∈N *). 证明 (1)∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除. (2)当n ≥3，n ∈N *.2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n －1n ＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C n －1n ＋C n n ＝2n ＋2>2n ＋1，∴不等式成立.规律方法(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项.而求近似值则应关注展开式的前几项.(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.(3)由于(a＋b)n的展开式共有n＋1项，故可通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的.【训练3】求S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数.解S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2.∵C09×98－C19×97＋…＋C89是整数，∴S被9除的余数为7.[思想方法]1.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.[易错防范]1.通项T k＋1＝C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式的第k＋1项，而不是第k项，这里k＝0，1，…，n.2.区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正.3.切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念.基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2016·四川卷)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A.－15x 4 B.15x 4 C.－20i x 4D.20i x 4解析 (x ＋i)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r i r (r ＝0，1，2，…，6)，令r ＝2，得含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A.答案 A2.(2017·台州市调研)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋366的展开式的第二项的系为－3，则a 的值为( ) A.53 B.－1C.3D.113解析∵T r ＋1＝C r 6(ax )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫36r ＝C r 6a 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫36r x 6－r， ∴第二项的系数为C 16a 5·36＝－3，∴a ＝－1. 答案 B3.(2017·漳州模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为( ) A.－7B.7C.－28D.28解析 依题意有n2＋1＝5，∴n ＝8.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式的通项公式T k ＋1＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－k C k 8x 8－43k ，令8－43k ＝0得k ＝6，故常数项为T 7＝(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 68＝7.答案 B4.(2015·湖北卷)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29B.210C.211D.212解析 由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10.则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A. 答案 A5.(2016·海口调研)若(x 2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13 B.12C.1D.2解析 依题意，注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 10·x10－2r ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当r ＝3时)、x 6(当r ＝2时)项的系数分别为C 310、C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，选D.答案 D6.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于( ) A.63B.64C.31D.32解析 逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.故选A.答案 A7.(2017·宁波十校联考)设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…a 5x 5，那么(a 1＋a 3＋a 5)2－(a 0＋a 2＋a 4)2的值为( ) A.32B.－32C.243D.－243解析 ∵(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，∴令x ＝1，有a 0＋a 1＋…＋a 5＝1，再令x ＝－1，有a 0－a 1＋…－a 5＝35＝243，∴(a 1＋a 3＋a 5)2－(a 0＋a 2＋a 4)2＝－(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3＋a 5)(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3－a 5)＝－243. 答案 D8.(2017·九江模拟)(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为( ) A.－210B.210C.30D.－30解析 (x 2－x ＋1)10＝[(x 2－x )＋1]10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10(x 2－x )10－r ，对于(x 2－x )10－r 的通项公式为T r ′＋1＝(－1)r ′C r ′10－r x20－2r －3r ′.令20－2r －r ′＝3，根据0≤r ′≤10－r ，r ，r ′∈N ，解得⎩⎨⎧r ＝8，r ′＝1或⎩⎨⎧r ＝7，r ′＝3，∴(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为C 810C 12(－1)＋C 710C 33(－1)＝－90－120＝－210.答案 A 二、填空题9.(2016·北京卷)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________(用数字作答).解析 (1－2x )6的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6(－2x )k ＝C k 6(－2)k ·x k ，令k ＝2得x 2的系数为C 26(－2)2＝60.答案 6010.(2016·山东卷)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________(用数字作答).解析 ⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ·x －r 2＝C r 5a 5－r ·x 10－5r 2，令10－52r ＝5，得r ＝2，所以C 25a 3＝－80，解得a ＝－2. 答案 －211.若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________(用数字作答).解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T k ＋1＝C k 5(1＋x )5－k ·(－1)k ，T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10. 答案 1012.若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 0＝________；a 2＋a 4＋…＋a 12＝________(用数字作答).解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1，∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，得a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364. 答案 1 36413.(2017·乐清检测)(2x －1)(3－2x )5的展开式中，含x 次数最高的项的系数是________(用数字作答).解析 (3－2x )5的展开式的通项公式：T r ＋1＝C r 535－r (－2x )r ，令r ＝5，可得(2x －1)(3－2x )5的展开式中，含x 次数最高的项的系数为2×(－2)5＝－64. 答案 －64能力提升题组(建议用时：15分钟)14.设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a 能被13整除，则a ＝( )A.0B.1C.11D.12解析 ∵512 016＋a ＝(52－1)2 016＋a ＝C 02 016·522 016－C 12 016·522 015＋C 22 016·522 014＋…－C 2 0152 016·52＋1＋a 能被13整除，且0≤a <13，∴1＋a 能被13整除，故a ＝12.答案 D15.(2017·青岛模拟)已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( )A.5B.6C.7D.8 解析 由二项式定理知a n ＝C n －110(n ＝1，2，3，…，n ).又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项.∴a 6＝C 510，则k 的最大值为6.答案 B16.在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( )A.45B.60C.120D.210解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.答案 C17.(2017·宁波月考)已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中x 的系数为________.解析 由已知得4n 2n ＝64，所以n ＝6.展开式的通项为T r ＋1＝3r C r 6x3－r ，令3－r ＝1得r ＝2，所以x 的系数为9C 26＝135.答案 13518.(2017·绍兴调研)已知f (x )＝(2x －3)n 展开式的二项式系数和为512，且(2x －3)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a n (x －1)n .(1)a 2的值为________；(2)a1＋a2＋a3＋…＋a n的值为________.解析(1)由f(x)＝(2x－3)n展开式的二项式系数和为512，可得2n＝512，∴n＝9.∵(2x－3)9＝[－1＋2(x－1)]9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，∴a2＝C29·(－1)7·22＝－144.(2)在(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9中，令x＝1，可得a0＝－1.再令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a n＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a n＝2.答案(1)－144(2)2。

10．3 二 项 式 定 理班级 姓名一、学习目标：①能用计数原理证明二项式定理．②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 二、学习建议：1．注意区分“项”“项数”“系数”“二项式系数”等概念的区别． 2．牢牢抓住二项展开式的通项公式，并能推出二项式系数的性质． 三、自主预习1．()n a a a +++ 21()m b b b +++ 21展开后的项数有 ． 2．()10cz by ax ++展开式中8xyz 的系数为3．⎝⎛⎭⎫x ＋a x5(x ∈R)展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于 ( )A ．－1 B.12 C ．1 D ．24．在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．知识链接1．二项式定理(a ＋b)n ＝__________________________________________(n ∈N *)，右边的多项式叫做(a ＋b )n的二项展开式，其中各项系数C k n (k ＝0,1，…，n )叫做展开式的______________，第k ＋1项T k ＋1＝__________(其中0≤k ≤n ，k ∈N ，n ∈N *)叫做二项展开式的通项公式． 二项展开式的特点：(1)项数：共有________项； (2)(a ＋b )n 的展开式中各项次数均为n 次， (3)注意区分“项”“项数”“系数”“二项式系数”等概念的区别．5．()10y x -的展开式中二项式系数最大的项是第 项；最大的项是第 项．6． 已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则(1)a 1＋a 2＋…＋a 7＝________； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝________； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝________； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝________. 知识链接2．二项式系数的性质 (1)对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，事实上这一性质直接由公式______________得到．(2)增减性 ∵C k n ＝n －k ＋1kC k －1n ，∴当k ＜_______时，二项式系数逐渐增大，由对称性知后半部分是逐渐减小的． (3)最大值当n 为偶数时，中间一项(第__________项)的二项式系数最大，最大值为____________． 当n 为奇数时，中间两项(第________项和第________项)的二项式系数相等， 且同时取得最大值，最大值为____________或______________．(4)各项二项式系数和C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝_________.(5)奇数项的二项式系数的和________偶数项的二项式系数的和，即_______________________＝2n －1.四、课堂互助区例1 已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n展开式的前三项系数成等差数列．则 (1)n ＝________；(2)展开式的一次项是________；(3)展开式中的有理项是______________．[点评] 求二项展开式中的指定项，一般是利用 进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，求出对应的序号 ，代回通项公式即可．例2．求⎝⎛⎭⎫2x －1x 10的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．[点评] 注意区别展开式中二项式系数与系数，利用通项公式建立不等式是解题的关键．例3．()1002z y x +-的展开式中系数的和是 ；不含y 的项的系数的和是 ；各项系数的绝对值的和是 ； ※关于y 的一次项的系数的和是[点评] 求关于展开式中系数和问题，往往根据展开式的特点赋给其中字母一些 的数，如 ，…五、课堂小结：1．二项式定理内容的核心是 ，求常数项、有理项和系数最大的项等特定项时，要根据 列出关于 的方程和不等式求解即可．2．求解二项展开式各项系数和的有关问题时，通常是通过给字母赋值（如 ）． 3．注意二项式系数与项的系数两个概念的不同．六、当堂巩固区1．(2－x )8展开式中不含．．x 4项的系数的和为 A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 ( )2．若nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+31的展开式中存在常数项，则n 的值可以是 （ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 143．261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为_________.4．求()102y x -展开式中的系数最大项和最小项．10．3 二 项 式 定 理班级 姓名一、学习目标：①能用计数原理证明二项式定理．②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 二、学习建议：1．注意区分“项”“项数”“系数”“二项式系数”等概念的区别． 2．牢牢抓住二项展开式的通项公式，并能推出二项式系数的性质． 三、自主预习1．()n a a a +++ 21()m b b b +++ 21展开后的项数有 ．2．()10cz by ax ++展开式中8xyz 的系数为 819110abc C C 3．⎝⎛⎭⎫x ＋a x 5(x ∈R)展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于 ( ) A ．－1 B.12C ．1D ．2利用⎝⎛⎭⎫x ＋a x 5展开式的通项公式构建方程有C r 5x 5－r a r x －r ＝C r 5x 5－2r a r ＝10x 3⇒r ＝1，a ＝2，选D. 4．在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．本题涉及二项式定理的有关知识．这在高考考纲中是B 级要求．二项式展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 20x20－r ·(43y )r ＝C r 20·(43)r x 20－r y r (0≤r ≤20)．要使系数为有理数，则r 必为4的倍数，所以r 可为0、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项． 知识链接1．二项式定理(a ＋b)n ＝__________________________________________(n ∈N *)，右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，其中各项系数C k n (k ＝0,1，…，n )叫做展开式的______________，第k ＋1项T k ＋1＝__________(其中0≤k ≤n ，k ∈N ，n ∈N *)叫做二项展开式的通项公式．二项展开式的特点：(1)项数：共有________项； (2)(a ＋b )n 的展开式中各项次数均为n 次， (3)注意区分“项”“项数”“系数”“二项式系数”等概念的区别．5．()10y x -的展开式中二项式系数最大的项是第 项；最大的项是第 项．6． 已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则(1)a 1＋a 2＋…＋a 7＝________； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝________； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝________； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝________. [解析] 令x ＝1则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1，① 令x ＝－1则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37，②(1)令x ＝0，则a 0＝(1－0)7＝1，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2， (2)(①－②)÷2得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1094.(3)(①＋②)÷2得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1093.(4)方法一：∵(1－2x )7的展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零，∴||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1093－(－1094)＝2187. 方法二：||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7可看作(1＋2x )7展开式中的各项的系数和，∴||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7＝37＝2187. 知识链接2．二项式系数的性质 (1)对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，事实上这一性质直接由公式______________得到． (2)增减性 ∵C kn ＝n －k ＋1kC k －1n ，∴当k ＜_______时，二项式系数逐渐增大，由对称性知后半部分是逐渐减小的． (3)最大值当n 为偶数时，中间一项(第__________项)的二项式系数最大，最大值为____________． 当n 为奇数时，中间两项(第________项和第________项)的二项式系数相等， 且同时取得最大值，最大值为____________或______________． (4)各项二项式系数和C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝_________.(5)奇数项的二项式系数的和________偶数项的二项式系数的和，即_______________________＝2n －1.四、课堂互助区例1 已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n展开式的前三项系数成等差数列．则 (1)n ＝________；(2)展开式的一次项是________；(3)展开式中的有理项是______________． [解析] (1)因为前三项系数成等差数列，所以C 0n ＋C 2n ⎝⎛⎭⎫122＝2C 1n·12，∴1＋n n －1 2×14＝n ， 整理得n 2－9n ＋8＝0，n 1＝1(舍)，n 2＝8，所以n ＝8.(2)∵T r ＋1＝C r 8(x 12)8－r ·⎝⎛⎭⎫12r x －r 4，∴T r ＋1＝⎝⎛⎭⎫12r C r 8x 4－34r ，由展开式的一次项得4－3r 4＝1，有r ＝4. ∴T 5＝⎝⎛⎭⎫124C 48x ＝116×8×7×6×54×3×2×1x ＝358x . ∴展开式的一次项为358x . (3)当4－3r4∈Z 时，T r ＋1为有理项，∵0≤r ≤8且r ∈Z ，∴x ＝0,4,8符合要求．故有理项有3项，分别是T 1＝x 4，T 5＝358，T 9＝1256x －2. [点评] 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，求出对应的序号 r ，代回通项公式即可．例2．求⎝⎛⎭⎫2x －1x 10的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项． [解答] (1)由二项式系数的性质知，(2x －1x)2n 的展开式中第6项的二项式系数最大，即C 510＝252. ∴T 6＝C 510(2x )5⎝⎛⎭⎫－1x5＝－C 510·25＝－8064. (2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大，∵T r ＋1＝C r 10·(2x )10－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 10·210－r ·x 10－2r ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ C r 10·210－r ≥C r －110·210－r ＋1，C r 10·210－r ≥C r ＋110·210－r －1，得⎩⎪⎨⎪⎧ C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110，即⎩⎪⎨⎪⎧11－r ≥2r ，2 r ＋1 ≥10－r ，解得83≤r ≤113， ∵r ∈Z ，∴r ＝3.故系数的绝对值最大的是第4项，第四项为T 4＝－C 310·27·x 4＝－15360x 4. [点评] 注意区别展开式中二项式系数与系数，利用通项公式建立不等式是解题的关键．例3．()1002z y x +-的展开式中系数的和是 0 ；不含y 的项的系数的和是 2100；各项系数的绝对值的和是 4100 ；※关于y 的一次项的系数的和是 299[点评] 求关于展开式中系数和问题，往往根据展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数，如1,0，－1，…五、课堂小结：1．二项式定理内容的核心是通项公式，求常数项、有理项和系数最大的项等特定项时，要根据 通项公式列出关于r 方程和不等式求解即．2．求解二项展开式各项系数和的有关问题时，通常是通过给字母赋值（如 ）． 3．注意二项式系数与项的系数两个概念的不同．六、当堂巩固区1．(2－x )8展开式中不含．．x 4项的系数的和为 A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 ( B )[解析] (2－x )8展开式中所有．．项的系数的和为(2－1)8＝1，又由通项得含x 4项(最后一项)的系数为(－1)8＝1，所以展开式中不含．．x 4项的系数的和为1－1＝0，2．若nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+31的展开式中存在常数项，则n 的值可以是 （ A ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 14 3．261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为_________. 【答案】-54．求()102y x -展开式中的系数最大项和最小项．。

第3讲二项式定理一、知识梳理1．二项式定理(1)定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)．(2)通项：第k＋1项为T k＋1＝C k n a n－k b k．(3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C k n(k＝0，1，2，…，n)．2．二项式系数的性质常用结论1．两个常用公式(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.2．二项展开式的三个重要特征(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.3．三个易错点(1)二项式定理中，通项公式T k ＋1＝C k n a n －k b k是展开式的第k ＋1项，不是第k 项． (2)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在T k ＋1＝C k n a n －k b k 中，C k n 是该项的二项式系数，该项的系数还与a ，b 有关．(3)二项式系数的最值与指数n 的奇偶性有关．当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．二、习题改编1．(选修2-3P31例2(1)改编)(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数为________．解析：T k ＋1＝C k 5(2x )k ＝C k 52k x k ，当k ＝2时，x 2的系数为C 25·22＝40.答案：402．(选修2-3P31例2(2)改编)若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．解析：二项式系数之和2n＝64，所以n ＝6，T k ＋1＝C k 6·x6－k ·⎝⎛⎭⎫1x k＝C k 6x 6－2k ，当6－2k ＝0，即当k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.答案：203．(选修2-3P41B 组T5改编)若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为________．解析：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.答案：8一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a ＋b )n 的展开式中的第r 项是C r n an －r b r.( ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)在(a ＋b )n 的展开式中，每一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(4)通项T r ＋1＝C r n an －r b r 中的a 和b 不能互换．( ) (5)(a ＋b )n 展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×二、易错纠偏 常见误区|Ｋ(1)混淆“二项式系数”与“系数”致误；(2)配凑不当致误．1．在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n，的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________．解析：由题意得2n ＝32，所以n ＝5.令x ＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1. 答案：－12．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝________．解析：因为(1＋x )10＝[2－(1－x )]10，所以其展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r 210－r ·C r 10(1－x )r，令r ＝8，得a 8＝4C 810＝180.答案：1803．(x ＋1)5(x －2)的展开式中x 2的系数为________．解析：(x ＋1)5(x －2)＝x (x ＋1)5－2(x ＋1)5展开式中含有x 2的项为－20x 2＋5x 2＝－15x 2.故x 2的系数为－15.答案：－15求二项展开式的特定项或系数(师生共研)(1)在⎝⎛⎭⎫x －12x 5的展开式中，x 2的系数为________．(2)在二项式⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中，若常数项为－10，则a ＝________．【解析】 (1)⎝⎛⎭⎫x －12x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝⎛⎭⎫－12x r＝⎝⎛⎭⎫－12rC r 5x 5－3r 2，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 25⎝⎛⎭⎫－122＝52.(2)⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ×⎝⎛⎭⎫1x r＝C r 5a 5－r x 10－5r 2，令10－5r 2＝0，得r ＝4，所以C 45a5－4＝－10，解得a ＝－2. 【答案】 (1)52(2)－2求二项展开式中的特定项的系数问题的步骤(1)利用通项将T k ＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k .(3)代回通项得所求．1.⎝⎛⎭⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54B ．54C ．－1516D ．1516解析：选D.T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r⎝⎛⎭⎫－12x r ＝⎝⎛⎭⎫－12rC r 6x12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4，所以常数项为⎝⎛⎭⎫－124C 46＝1516. 2.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x 10的展开式中所有的有理项为________． 解析：二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 10⎝⎛⎭⎫－12kx10－2k3，由题意10－2k3∈Z ，且0≤k ≤10，k∈N .令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ，因为k ∈N ，所以r 应为偶数．所以r可取2，0，－2，即k 可取2，5，8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为454x 2，－638，45256x －2.答案：454x 2，－638，45256x －2二项式系数与各项系数和问题(师生共研)(1)在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64∶1，则x 3的系数为( )A ．15B ．45C ．135D ．405(2)若(1－x )9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 9|＝( ) A ．1 B ．513 C ．512D ．511【解析】 (1)由题意知4n 2n ＝64，得n ＝6，展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫3x r ＝3r C r 6x 6－3r 2，令6－3r2＝3，得r ＝2，则x 3的系数为32C 26＝135.故选C. (2)令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝－1，得|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511.【答案】 (1)C (2)D“赋值法”普遍应用于恒等式，是一种处理与二项式相关问题的比较常用的方法．对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可．1.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )A ．63x B ．4x C ．4x 6xD ．4x或4x 6x 解析：选A.令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和为2n ，即8<2n<32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x . 2．若(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 9x 9，x ∈R ，则a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29的值为( ) A ．29 B ．29－1 C ．39D ．39－1解析：选D.(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝2，得a 0＋a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29＝39，所以a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29＝39－1.故选D.多项式的展开式问题(多维探究) 角度一 几个多项式的和的展开式问题在(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )11的展开式中，x 2项的系数是( )A ．55B ．66C ．165D ．220【解析】 展开式中x 2项的系数是C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 211＝C 34＋C 24＋…＋C 211＝…＝C 312，所以x 2项的系数是C 312＝220.故选D. 【答案】 D几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并．通常要用到方程或不等式的知识求解．角度二 几个多项式的积的展开式问题(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．24(2)(2020·南昌模拟)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝________．【解析】 (1)展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34＋2C 14＝4＋8＝12.(2)(ax ＋1)6的展开式中x 2项的系数为C 46a 2，x 项的系数为C 56a ，由(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，可得－C 46a 2＋C 56a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以a ＝25. 【答案】 (1)A (2)25求解形如(a ＋b )m (c ＋d )n 的展开式问题的思路(1)若m ，n 中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a ＋b )2·(c ＋d )n ＝(a 2＋2ab ＋b 2)(c ＋d )n ，然后分别求解．(2)观察(a ＋b )(c ＋d )是否可以合并，如(1＋x )5·(1－x )7＝[(1＋x )(1－x )]5(1－x )2＝(1－x 2)5(1－x )2.(3)分别得到(a ＋b )m ，(c ＋d )n 的通项，综合考虑．角度三 三项展开式的定项问题(1)(x 2－x ＋1)10的展开式中x 3项的系数为( )A ．－210B ．210C ．30D ．－30(2)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60【解析】 (1)(x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910x 2(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以含x 3项的系数为：－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210.(2)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为T k ＋1＝C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x 6－k ，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C.【答案】 (1)A (2)C三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解．(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形．1．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n ∈N *)，若a 0＋a 1＋…＋a n ＝62，则log n 25等于________．解析：令x ＝1可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋22＋23＋ (2)＝2（2n －1）2－1＝2n ＋1－2＝62，解得n ＝5，所以log n 25＝2.答案：22．在⎝⎛⎭⎫x －1x (2x －1)6的展开式中，x 3的系数是_________________________________． (用数字作答)解析：由题意得，⎝⎛⎭⎫x －1x (2x －1)6的展开式中含x 3的项为x C 46(2x )2(－1)4＋⎝⎛⎭⎫－1x C 26(2x )4(－1)2＝－180x 3，所以展开式中x 3的系数为－180.答案：－1803．在⎝⎛⎭⎫2＋x －x 2 0182 01712的展开式中，x 5项的系数为________． 解析：T r ＋1＝C r 12(2＋x )12－r ·⎝⎛⎭⎫－x 2 0182 017r，要出现x 5项，则r ＝0，T 1＝(2＋x )12，所以x 5项的系数为22C 1012＝4C 1012＝264.答案：264[基础题组练]1.⎝⎛⎭⎫2x 2－x 43的展开式中的常数项为( ) A ．－3 2 B ．3 2 C ．6D ．－6解析：选D.通项T r ＋1＝C r 3⎝⎛⎭⎫2x 23－r(－x 4)r ＝C r 3(2)3－r ·(－1)r x －6＋6r ，当－6＋6r ＝0，即r ＝1时为常数项，T 2＝－6，故选D.2．(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中x 4的系数为( ) A ．50 B ．55 C ．45D ．60解析：选B.(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中x 4的系数是C 45＋C 46＋C 47＝55.故选B. 3．(2020·四川成都实验外国语学校二诊)已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋33x n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33x n 的各项系数的和为(1＋3)n ＝4n，二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33x n的各项二项式系数的和为2n，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，所以4n 2n ＝2n＝64，n ＝6.故选C.4．在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( ) A ．－5 B ．－15 C ．－25D ．25解析：选B.因为(1－x )5＝(－x )5＋5x 4＋C 35(－x )3＋…，所以在(1－x )5·(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为5－2C 35＝－15.故选B.5．1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数之和为( ) A ．2n －1 B ．2n －1 C ．2n ＋1－1D ．2n解析：选C.令x ＝1，得1＋2＋22＋…＋2n ＝1×（2n ＋1－1）2－1＝2n ＋1－1.6．(2020·湖南岳阳二模)将多项式a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0分解因式得(x －2)(x ＋2)5，则a 5＝( )A ．8B ．10C ．12D ．1解析：选A.(x －2)(x ＋2)5＝(x 2－4)·(x ＋2)4，所以(x ＋2)4的展开式中x 3的系数为C 14·21＝8，所以a 5＝8.故选A.7．(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x －15展开式中的常数项是( )A ．12B ．－12C ．8D ．－8解析：选B.⎝⎛⎭⎫1x －15展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫1x 5－r(－1)r ＝(－1)r C r 5xr －5，当r －5＝－2或r －5＝0，即r ＝3或r ＝5时，展开式的常数项是(－1)3C 35＋2(－1)5C 55＝－12.故选B.8.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．21 C ．31D ．51解析：选D.因为⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15＝⎣⎡⎦⎤（x ＋1）＋1x 5＝C 05(x ＋1)5＋C 15(x ＋1)4·1x＋C 25(x ＋1)3·⎝⎛⎭⎫1x 2＋C 35(x ＋1)2·⎝⎛⎭⎫1x 3＋C 45(x ＋1)1·⎝⎛⎭⎫1x 4＋C 55⎝⎛⎭⎫1x 5. 所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式中的常数项为C 05·C 55·15＋C 15·C 34·13＋C 25·C 13·12＝51.故选D. 9．已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( )A ．1B ．243C ．121D ．122解析：选B.令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，① 令x ＝－1，得－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243，② ①＋②，得2(a 4＋a 2＋a 0)＝－242， 即a 4＋a 2＋a 0＝－121.①－②，得2(a 5＋a 3＋a 1)＝244， 即a 5＋a 3＋a 1＝122.所以|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝122＋121＝243.故选B. 10．(2020·海口调研)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B ．12C ．1D ．2解析：选D.由题意得⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T k ＋1＝C k 10·x 10－k ·⎝⎛⎭⎫1x k＝C k 10x 10－2k ，⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当k ＝3时)，x 6(当k ＝2时)项的系数分别为C 310，C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，故选D.11．若(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( ) A ．2nB ．3n －12C ．2n ＋1D ．3n ＋12解析：选D.设f (x )＝(1＋x ＋x 2)n ， 则f (1)＝3n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ，① f (－1)＝1＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2n ，②由①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝f (1)＋f (－1)， 所以a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝f （1）＋f （－1）2＝3n ＋12.12．已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A ．39B ．310C ．311D ．312解析：选D.对(x ＋2)9＝ a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9两边同时求导，得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝312，故选D.13．(x y －y x )4的展开式中，x 3y 3项的系数为________．解析：二项展开式的通项是T k ＋1＝C k 4(x y )4－k ·(－y x )k ＝(－1)k C k 4x 4－k 2y 2＋k 2，令4－k 2＝2＋k 2＝3，解得k ＝2，故展开式中x 3y 3的系数为(－1)2C 24＝6. 答案：614.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x >0)的展开式中的常数项为________． 解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x >0)可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 10，因而T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫1210－r (x )10－2r ，令10－2r ＝0，则r ＝5，故展开式中的常数项为C 510·⎝⎛⎭⎫125＝6322. 答案：6322 15．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则n ＝________，展开式中的第五项为________． 解析：二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的二项式系数之和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝1＋n ＋n （n －1）2＝37，则n ＝8，故展开式中的第五项为C 48·124·x ＝358x . 答案：8 358x 16．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝________．解析：(x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，所以a ＝C m 2m .同理，b ＝C m ＋12m ＋1. 因为13a ＝7b ，所以13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1.所以13·（2m ）！m ！m ！＝7·（2m ＋1）！（m ＋1）！m ！. 所以m ＝6.答案：6[综合题组练]1．已知C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n 的值等于( )A ．64B ．32C ．63D ．31解析：选C.因为C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n＝729，所以(1－4)n ＝36，所以n ＝6，因此C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n －1＝26－1＝63，故选C.2．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12解析：选D.512 018＋a ＝(52－1)2 018＋a ＝C 02 018522 018－C 12 018522 017＋…＋C 2 0172 018×52×(－1)2 017＋C 2 0182 018×(－1)2 018＋a .因为52能被13整除，所以只需C 2 0182 018×(－1)2 018＋a 能被13整除，即a ＋1能被13整除，所以a ＝12.3．已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是________．解析：由二项式定理知，a n ＝C n －110(n ＝1，2，3，…，11)．又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a 6＝C 510，则k 的最大值为6.答案：64．设a ＝⎠⎛012x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的常数项为________． 解析：a ＝⎠⎛012x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6＝⎝⎛⎭⎫x 2－1x 6，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r C r 6x 12－3r ， 令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为(－1)4C 46＝15.答案：155．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)因为a 0＝C 07＝1，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094. (3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093. (4)因为(1－2x )7的展开式中a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， 所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.6．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的系数成等差数列．(1)求n ；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项．解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ， 由已知得2×12C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ， 解得n ＝8(n ＝1舍去)．(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝2－r C r 8x 4－3r 4 (r ＝0，1，…，8)，要求有理项，则4－3r4必为整数，即r＝0，4，8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝358x，T9＝1256x2.(3)设第r＋1项的系数为a r＋1最大，则a r＋1＝2－r C r8，则a r＋1a r＝2－r C r82－（r－1）C r－18＝9－r2r≥1，a r＋1 a r＋2＝2－r C r82－（r＋1）C r＋18＝2（r＋1）8－r≥1，解得2≤r≤3.当r＝2时，a3＝2－2C28＝7，当r＝3时，a4＝2－3C38＝7，因此，第3项和第4项的系数最大，故系数最大的项为T3＝7x52，T4＝7x74.。

学科：数学教学内容：二项式定理【高考导航】二项式定理在高考中每年一道题，题型为以下几种：求展开式某一项或某一项的系数；求所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和；二项式某一项为字母，求这个字母的值；求近似值的问题.试题难度不大，与教材习题相当.因此，二项式定理一节内容的学习或复习要重视基础，对二项式定理的展开式、通项公式、二项式系数的性质等弄清原理，熟练掌握，不必追求难解题.【学法点拨】本节内容是初中所学多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式乘方的展开式，是培养观察，归纳能力的好题材，二项式定理是以公式形式表现二项式的正整数幂的展开式在指数、项数、系数等方面内在联系的重要定理，应在(a ＋b)2、(a ＋b)2、（a＋b ）2的展开式的了解基础上，归纳掌握好二项式定理.通项公式T 1+r ＝C rr n r n b a-(r ＝0，1，2，…，n)集中体现了二项式展开式中的指数、项数、系数的变化，是二项式定理的核心它是求展开式的某些项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）以及系数的重要公式.二项式系数C r n (r ＝0，1，2，…，n)是一组仅与二项式的次数n 有关的n ＋1个组合数，而与a 、b 无关，它不包括a 、b 本身（或a 、b 的某次幂）的系数.只有当求某指定项的系数时，才包括a 、b 的系数，称展开式中的某一项的系数，当二项式两项本身的系数都是1时，展开式的二项式系数就是展开式各项的系数，但当二项式的两项本身的系数不为1时，这两者就不同了，要在把握概念的基础上掌握好二项式系数的性质及应用.【基础知识必备】 一、必记知识精选1.二项式定理：(a ＋b)n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋…＋C r n an －r b r＋…＋C n n b n(n∈N *)2.通项公式：T r ＋1＝C r n a n －r b r3.二项式系数性质：(1)距两端等距离的二项式系数相等，即C k n ＝C k n n -.(2)二项式系数的中间项或中间两项的二项式系数最大. 当n 为偶数时，中间一项（即第2n＋1项）的二项式系数最大;当n为奇数时，中间两项（即第21+n和第21+n＋1项）的二项式系数最大.(3)在二项展开式中各项的二项式系数和为2n，即：C0 n ＋C1n＋C2n＋…＋C nn＝2n.(4)在二项展开式中，奇数项二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和，都等于2n－1，即C0 n ＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.二、重点难点突破掌握二项式定理及其通项公式是本节的重点，会求二项展开式、展开式的中间项等指定项，会求二项式系数，指定项系数等.这些都是二项式定理的灵活运用，是本节的难点.突破难点的关键是准确熟练地写出二项展开式及通项公式.(a＋b)n的展开式具有如下性质：1.展开式的项数：共n＋1项.2.展开式的每一项的指数：a与b的指数之和为n，即二项展开式各项的次数等于二项式的次数n，字母a的指数依次降幂排列，指数由n逐次减1直到0，字母b按升幂排列，指数从0起逐项加1到n.3.二项式系数的特征：每一项的系数为一组合数，第r＋1项的系数为C rn.学习二项式定理时，还应注意：1.二项式定理从左到右的使用为展开，从右到左的使用可以化简、求和和证明.这个公式的逆用功能不可忽视.2.对于通项公式是相对于(a＋b)n标准形式而言的，对于(a－b)n的展开式的通项T r＋1＝(－1)rC rna n－rb r，它是第r＋1项而不是第r项，公式中的a，b位置不能颠倒.利用通项公式可求展开式的特定项.3.应用二项式定理时，要有目标意识，同时要处理好“一般”与“特殊”的关系，注意变形的技巧以及等价转化的数学思想方法.三、易错点和易忽略点导析本节易错点是在审题时，观察不仔细，不能发现差异，或将二项式系数与某项系数混淆，现举例说明.【例1】如果(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，那么a1＋a2＋…＋a7的值等于（）A.－2B.－1C.0D.2错解：令f(x)＝(1－2x)7，则f(1)＝(1－2)7＝a0＋a1＋…＋a7＝－1.∴选择B.正确解法：令f(x)＝(1－2x)7，则f(1)＝(1－2)7＝a0＋a1＋…＋a7＝f(1)＝－1.又令x＝O，得a0＝1.∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－a0＝－2.故选A.错解分析：错因在于审题失误，未注意到式子a1＋a2＋…＋a7中没有a0，致使赋值x＝1后便认为是所求，因此，解此类问题要仔细观察，克服粗心大意.【例2】求C111＋C211＋C311＋…＋C1111的值.错解：原式＝211.正确解法： C 111＋C 211＋…＋C 1111＝211－C 011＝2048－1＝2047.错解分析：忽略了二项式系数的和是指C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n，或者是审题未发现缺少C 011而出现失误.【例3】 求(x ＋x1－1)5展开式中的常数项. 错解：∵(x ＋x 1－1)5＝[(x ＋x1)－1]5， ∴展开式的通项为T r ＋1＝C r5(x ＋x 1)5－r (－1)r，而(x ＋x1)5－r 的展开式中的通项为T ′k ＋1＝C kr -5²x5－r －k(x1)k ＝C kr -5x 5－r －2k . 欲求常数项，令5－r －2k ＝0，即r ＋2k ＝5且0≤r≤5，0≤k≤5－r. ∴有三组解⎩⎨⎧==2,1k r 或⎩⎨⎧==1,3k r 或⎩⎨⎧==.0,5k r ∴所求常数项为C 15C 24(－1)，C 35C 12(－1)3和C 55C 00(－1)5，即－30，－20和－1.正确解法一：∵（x ＋x 1－1）5＝[(x ＋x 1)－1]5， ∴通项为T r ＋1＝C r 5(x ＋x1)5－r ²(－1)r（0≤r ≤5） 当r ＝5时，T 6＝C 55(－1)5＝－1； 当0≤r ＜5时，(x ＋x1)5－r的通项为 T ′k ＋1＝C k r -5x5－r －k²(x1)k ＝C k r -5x 5－r －2k (0≤k≤5－r). ∵0≤r ≤5，且r∈Z .∴r 只能取1或3相应的k 值分别为2或1.∴常数项为C 15C 24(－1)＋C 35C 12(－3)3＋(－1)＝－51.正确解法二：由于本题只有5次，也可以直接展开，即 [(x ＋x 1)－1]5＝(x ＋x 1)5－5(x ＋x 1)4＋10(x ＋x 1)3－10(x ＋x 1)2＋5(x ＋x 1)－1. 由x ＋x 1；的对称性知，只有在x ＋x1的偶数次幂中的展开式中才会出现常数项且是各自的中间项，∴常数项为－5C 24－10C 12－51.正确解法三： (x ＋x 1－1)5＝(x ＋x 1－1)(x ＋x 1－1)(x ＋x 1－1)²(x＋x 1－1)(x ＋x1－1).按多项式乘法的规律，常数可从五个因式中都选取－1相乘为(－1)5;或从五个因式中选定一因式中取x ，一因式取x1，另三个因式中取(－1)，为C 15C 14(－1)3;或从五个因式某二因式中取x ，另二因式中取x1，余下一个因式中取－1，所得式为C 25C 23(－1)，所以常数项为 (－1)5＋ C 15C 14(－1)3＋C 25C 23(－1)＝－51.错解分析：错解一是出现了C 00这个无意义的数，原因是解题不严密造成的，在考虑(x ＋x1 )5－r的展开式时，用的是二项式定理，但没有注意到二项式定理只对n ∈N *适用.当r ＝5时，5－r ＝0，此特殊情况应特殊处理.二是概念的理解错误，同一展开式只能有一个常数项，不可能有两个或多个常数项.【综合应用创新思维点拨】 一、学科内综合思维点拨二项式定理经常与数列、不等式以及极限等知识综合组题.【例1】 已知(x34-＋x)n的展开式中第5、6、7项的系数依次成等差数列，求展开式中的常数项.思维入门指导：第5、6、7项的系数就是此三项的二项式系数，由此可求出次数n 的值.解：第5、6、7项的系数分别为C 4n 、C 5n 、C 6n ，依题意有2C 5n ＝C 4n ＋C 6n (n≥6)，即2²!5)!5(!-n n ＝!4)!4(!-n n ＋!6)!6(!-n n .所以，n 2－21n ＋98＝0.∴n ＝7或n ＝14.(1)当n ＝7时，设展开式中的常数项为T r ＋1，则T r ＋1＝C r7(x4-)7－r²xr＝C r 7x387-r .令7r －28＝0，得r ＝4.所以T 5＝C 47＝35. (2)当n ＝14时，仿上可得T 9＝C 814＝3003.综上，当n ＝7时，常数项为35，当n ＝14时，常数项为3003.点拨：对幂指数未知的二项式中求特定项的问题，一般要由题设先求出n 值，然后再求特定项.在求特定项时，往往利用通项公式将问题转化为解方程或不等式组来求出r 值.【例2】 求证：对n∈N，33n－26n －1可被676整除. 证明：当n ＝0时，原式＝0，可被676整除； 当n ＝1时，原式＝0，也可被676整除；当n ≥2时，原式＝27n－26n －1＝(26＋1)n－26n －1＝(26n＋C 1n 26n －1＋…＋C 2-n n262＋C 1-n n 26＋1)－26n －1＝26n＋C 1n 26n －1＋…＋C 2-n n 262上式中每一项都含有262这个因数，故可被262＝676整除.综上述，对一切自然数，33n－26n －1可被676整除. 点拨：此题n ＝0与n ＝1应单独处理，易被忽略.【例3】 设a n ＝1＋q ＋q 2＋…＋q n －1(n∈N *，q≠±1)，A n ＝C 1n ＋C 2n a 2＋…＋C nn a n .求证：A n ＝q-11[2n －(1＋q)n]. 证明：∵q≠1，∴a n ＝qq n--11.∴A n ＝C 1n a 1＋C 2n a 2＋…＋C nn a n＝q q --11C 1n ＋q q --112C 2n ＋…＋qq n --11C n n ＝q-11[(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n )－(C 0n ＋qC 1n ＋q 2C 2n ＋…＋q n C n n )] ＝q-11[2n －(1＋q)n]. 点拨：本题逆用了二项式定理及C 0n ＋C 1n ＋…＋C nn ＝2n，这些重要的数学模型常常运用于解题过程中.二、学科间综合思维点拨【例4】 一个螺旋桨在某种情况下转动，它所消耗的功率P （单位：马力）和螺旋桨的直径D （单位：米）的关系是P ＝6D 5，已知D ＝3.11，求P （精确到100马力）.解：∵D＝3.11，∴P＝6³(3.11)5＝6³(3＋0.11)5＝6［35＋C 15²34²0.11＋C 2532(0.11)2＋…＋C 55(0.11)5］.在精确100马力的要求下，第三项及其以后的各项可以略去不计，∴P ≈6³[35＋C 1534³O .11]＝6³(243＋44.55)＝1725.3≈170O，即所消耗功率约为1700马力.点拨：在进行估算求值时，经常使用二项式定理，特别地当h 很小、n 较大时，（1＋h ）n≈1＋nh 是工业计算中经常使用的粗算公式.三、应用思维点拨【例5】 某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％.如果人口增长率为1％，那么耕地年均每年只能减少多少公顷?(精确到1公顷，粮食单产＝耕地面积总产量，人均粮食占有量＝人口数总产量)解：设耕地平均每年至多减少x 公顷，该地区现有人口P 人，粮食单产M 吨/公顷，依题意有：104%)11()1010%)(221(+-+P x M ≥PM 410⨯(1＋10%).解得x≤103[1－22.1)01.01(1.110+]＝103[1－22.11.1(C 010＋C 110³0.01＋C 210³0.012＋…)] ≈103[1－22.11.1³1.1045]≈4(公顷). 答：耕地每年至多只能减少4公顷.点拨：本题应用了指数，二项式定理的基础知识.【例6】 今天是星期天，从今天起22000天后的第一天是星期几?解：22000＝6666³4＝4(7＋1)666＝4(7666＋C 16667665＋…＋C 6656667＋1)＝28(7665＋C 16667664＋…＋C 665666)＋4.能被7整除，所以22000被7整除，所以22000被7除余数为4.又因为今天星期天，所以4天后的第一天应为星期五.四、创新思维点拨【例7】已知a 、b 为正整数，且a 1＋b1＝1，试证明：对每一个n ∈N *，都有(a ＋b)n －a n －b n≥22n－2n ＋1.思维入门指导：本题创新点在于综合性强，要灵活地运用二项式定理的展开式和不等式的均值定理.证明：由a 1＋b1＝1，得x ＝a ＋b ≥2ab ，即ab －2ab ≥0，∴a b≥4.① 而(a ＋b)n－a n－b n＝C 1n an －1b ＋ ＋C 2n an －2b 2＋…＋C 1-n n abn －1＝C 1n abn －1＋C 2n a 2bn －2＋…＋C 1-n n an －1b ＝C 1n(211--+n n ab b a )＋C 2n (22222--+n n b a b a )＋…＋C 1-n n (211b a ab n n --+)≥(C 1n ＋C 2n ＋…＋C 1-n n )nn b a .②将①代入②得(a ＋b)n－a n－b n≥(C 1n ＋C 2n ＋…＋C 1-n n )n4＝[(1＋1)n－C 0n －C n n ]²2n＝(2n －2)²2n＝22n －2n ＋1.∴命题成立.点拨：本题考查了C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝2n及a 、b∈R ＋时有2ba ≥ab 及逆向思维的数学思想方法.五、高考思维点拨【例8】（2003，河南、江苏，4分）(x 2－x21)9展开式中x 9的系数是________. 解：由通项公式，得T r ＋1＝C r9(x 2)9－r(－21x －1)r ＝(－21)r C r 9x 18－3r . 令18－3r ＝9得r ＝3， ∴系数为(－21)3C 39＝－221. 点拨：本题考查二项式定理中通项公式的运用.【例9】 (1999，全国理，5分)若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值是（ ）A.1B.－1C.0D.2思维入门指导：注意到(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)，故可使用赋值法求解，也可以用二项式定理直接求出a 0，a 1，a 2，a 3，a 4，然后求解.解法一：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4. 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4. ∴(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4) ＝(2＋3)4(－2＋3)4. ＝(－1)4＝1.故选A.解法二：(2x ＋3)4＝C 04(3)4＋C 14(2x)(3)3＋C 24(2x)2(3)2＋C 34(2x)3²3＋C 44(2x)4，∴a 0＝C 04(3)4＝9，a 1＝C 142(3)3＝243，a 2＝C 2422(3)2＝72，a 3＝C 34²233＝323，a 4＝C 44²24＝16.∴(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2 ＝972－(563)2＝9409－9408＝1. 点拨：显然解法一显得巧妙. 六、经典类型题思维点拨【例10】 求二项式(x 2＋x21)10展开式中的常数项.思维入门指导：应用通项公式，依据x 0＝1，求r 的值. 解：展开式中第r ＋1项为：T r ＋1＝C r 10(x 2)10－r (x 21)r ＝C r10x r 520-²(21)r .令20－25r ＝0，得r ＝8.∴T 9＝C 810(21)8＝25645. 点拨：对T r ＋1表达式进行化简变形时，要注意指数运算法则的正确使用. 【例11】 若n 为正奇数，求7n＋C 1n ²7n －1＋C 2n ²7n －2＋…＋C 1-n n ²7被9除所得的余数.思维入门指导：注意逆用二项式定理.解：由二项式定理可知，原式＝(7＋1)n－1＝(9－1)n－1＝9n－C 1n ²9n －1＋C 2n ²9n －2－…＋(－1)n －1C 1-n n ²9＋(－1)n－1.∵n 为正奇数，∴除以9的余数为－2＋9＝7.点拨：余数应满足0≤r ＜9，r∈N，不能是负整数，且题目中已知式比(7＋1)n的展开式少最后一项，不要忽略.【例12】 在(ax ＋1)7的展开式中，x 3项的系数是x 2项的系数与x 4项的系数的等差中项，若a ＞1，求a 的值.解：∵T r ＋1＝C r7(ax)7－r，依题意，得2C 47a 3＝C 37a 4＋C 57a 2，即5a 2－10a ＋3＝0.又∵a＞1，∴a＝1＋510. 【例13】 求(x －3x )9展开式中的有理项.思维入门指导：展开式中的有理项，就是通项公式中x 的指数为整数的项.解：∵T r ＋1＝C r9(x21)9－r(－x 1)r ＝(1－)rC r 9x27r-，令627r -∈Z，即4＋63r-∈Z ，用r ＝0，1，2，…，9进行检验，得r ＝3或r ＝9. 当r ＝3时，627r -＝4，T 4＝(－1)3C 39x 4＝－84x 4; 当r ＝9时，627r -＝3，T 10＝(－1)9C 99x 3＝－x 3. ∴二项式(x －3x )9的展开式中的有理项是T 4＝－84x 4，T 10＝－x 3. 【例14】 已知（1－2x ＋3x 2）7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14， (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14;(2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.解：(1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a 13＋a 14＝27＝128. ①(2)令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 14＝67. ②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 13)＝27－67＝－279808， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝－139904. 七、探究性学习点拨【例15】 求证：在（p ＋q ）n（p ＞0，q ＞0）的展开式中，(1)T k ＋1是最大项的充要条件是T k ＋1≥T k ，且T k ＋1≥T k ＋2；(2)首项是最大项的充要条件是T 1≥T 2；(3)末项是最大项的充要条件是T n ＋1＞T n .证明：(1)在(p ＋q)n的展开式中，T k ＝C 1-k n p 1+-k n q 1-k ，T k ＋1＝C k n p k n -q k ，T k ＋2＝C 1+k n p1--k n q 1+k ，则 k k T T 1+＝111-+---k k n k n k k n k n qp C q p C ＝k k n 1+-²p q ， ∴kk T T 1+的值随k 的增大而减小，随k 减小而增大. 故从kk T T 1+≥1可知，对一切k ′＜k ，有 '+k k T T 1＝k k T T 1+²1-k k T T ²21--k k T T ²…²'+'Tk Tk 1＞1. 即若T k ＋1≥T k ，则T k ＋1大于T k 以前的任何一项.同理，21++k k T T ＝kn k --1²q p .21++k k T T 的值随k 的增大而增大，随大的减小而减小. 故从21++k k T T ≥1可知对一切k ″＞k ＋2，则有 "+Tk T k 1＝21++k k T T ²32++k k T T ²43++k k T T ²…²"-"Tk Tk 1＞1. 即若T k ＋1≥T k ＋2，则T k ＋1大于T k ＋2以后的每一项.故T k ＋1是展开式中的最大项，必须且只须T k ＋1≥T k ，T k ＋1≥T k ＋2. (2)当k ＝0时，最大项是首项，其充要条件是T 1≥T 2. (3)当k ＝n 时，最大项是末项，其充要条件是T n ＋1≥T n .【强化练习题】A 卷：教材跟踪练习题 (100分 60分钟) 一、选择题(每题5分，共50分)1.二项式(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( )A.－27C 610B.27C 410C.－9C 610D.9C 4102.(2x －x1)6的展开式中，常数项是（ ）A.－20B.20C.－160D.1603.当n ∈N *且n ≥2时，1＋2＋22＋…＋24n －1＝5p ＋q （其中p ，q 为非负整数，且0≤q≤5），则q 的值为（ ）A.0B.1C.2D.与n 有关4.39＋C 29²37＋C 49²35＋C 69²33＋C 89²31－C 19²38－C 39²36－C 59²34－C 79²32的值是（ ） A.0 B.49C.512D.513 5.设二项式(3²3x ＋x1)n的展开式中的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为S ，若p ＋S ＝272，则n 等于（ ）A.4B.5C.6D.86.(x ＋1)4²(x －1)5的展开式中，x 4的系数为（ ）A.－40B.10C.40D.45 7.已知(x ＋31x)n展开式中各项系数和大于8，且小于32，则展开式系数最大的项是（ ）A.6²3xB.x1- C.4x 7D.4x1-或4x 78.设(2－x)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8＋a 9x 9，则a 8＋a 9＝（ ）A.17B.19C.8D.512 9.已知(2x 2＋31x )n (n∈N *)的展开式中含有常数项，则n 的最小值是（ ）A.4B.5C.9D.1010.已知(ax ＋1)2n和(x ＋a)2n ＋1的展开式中x n的系数相等，a ∈R ，且a ≠0，则a 与1的大小关系是（ ）A.a ≤1B.a ≥1C.a ＜1D.a ＞1 二、填空题（每题5分，共20分）11.在(x 2－x21)9的展开式中，第4项的二项式系数是______，最后一项的系数是______. 12.4141被7除所得的余数是________.13.(1－3a ＋2b)5展开式中不含b 的项系数之和是________.14.(ax ＋1)9与(x ＋2a)8的展开式中，x 3的系数相等，则1＋a ＋a 2＋…＋a 100＝______(a ＞0).三、解答题（每题10分，共30分）15.已知(a ＋31b)n的展开式中的第4项与第2项系数的比是15：1，求展开式的倒数第3项.16.在二项式(x ＋421x )n的展开式中，前3项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.17.已知m 、n∈N *，f （x ）＝（1＋x ）m＋（1＋x ）n的展开式中x 项的系数为19，求f(x)的展开式中x 2的系数的最小值，并求此时展开式中x 3项的系数.B 卷：综合应用创新练习题 （90分 60分钟） 一、学科内综合题（每题10分，共20分）1.若(1－2x)5的展开式中的第二项小于第一项，不小于第三项，求实数x 的取值范围.2.已知a 为实常数，且(a x ＋x1)6展开式的常数项为2³104，求证lg a 是方程f(x)＝ 6x 3＋7x 2－3x －1＝0的根.二、应用题（10分）3.某公司的股票今天的指数为2，以后每天的指数都比上一天的指数增加0.2％，则100天以后这家公司的股票指数约为多少？（精确到0.001）三、创新题（34分）（一）教材变型题（10分）4.（P 113习题10.4第4题变型）在（2－x ）2的展开式中，设x 2的系数为a n (n ＝2，3，…)，求222a＋332a＋442a＋…＋nn a2的值.（二）一题多解（10分）5.试求(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)100展开式中x 3项的系数. （三）一题多变(14分)6.设函数f(x)是定义在R 上的一个给定函数，函数g(x)＝C 0n f(n0)²(1－x)n＋C 1n f(n1)x(1－ x)n －1＋…＋C n n f(nn )x n (1－x)0（其中x≠0，且x≠1）. (1)当f(x)＝1时，求g(x)；(2)当f(x)＝x 时，求g(x). 四、高考题（共26分）7.（2002，上海春招，8分）若在(5x －x1)n的展开式中，第4项是常数项，则n ＝______. 8.(2001，上海理，9分)在代数式(4x 2－2x －5)(1＋21x )5的展开式中，常数项为________ .9.(1995，上海，9分)若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋…＋1(n∈N *)，且a ：b ＝3：1，那么n ＝______ .加试题：竞赛趣味题(每题5分，共10分)1.要使n 位数11…1是11的倍数，n 应满足怎样的条件?2.(1998，浙江省夏令营试题)设n∈N *，要使∑=-+nk kn k n C 019是11的倍数，则n 满足怎样的条件？【课堂内外】“博弈”浅谈早在距今2000多年的中国战国时，曾有一个流传后世的典故，在著名军事家孙膑的帮助下，齐国大将田忌以“下驷对上驷，上驷对中驷，中驷对下驷”的策略，在平均劣势下，赢得了对国王的赛马胜利.“田忌赛马”的故事，用现代术语来说就是一个典型的博弈问题，博弈思想的种子出自中国，却在西方开花结果，并成为当代应用最广泛的数学分支之一.现代的博弈论，主要研究决策主体的行为在直接相互作用时，人们如何进行决策，以及这种决策如何达到均衡的问题，在博弈论的分析中，一定场合中的每个对弈者在决定采取何种行动时，都有策略地，有目的的行事，考虑到他的决策及对其他人的影响，通过选择最佳行动方案，来寻求收益或效用的最大化.1950至1953年间，就读于普林斯顿大学数学系的纳什发表了4篇对博弈论的发展有划时代意义的论文.证明了非合作博弈均衡——纳什均衡的存在.纳什的研究方法实际上很简单，他设计了一个3个人的“竞选游戏”.让3个参加游戏的人在不同条件下选择自己最有利的“代理人”，而其结果显示，当3个人互不结盟，互不对抗的条件下，所选出的“代理人”对各自利益的影响最坏.因此，某种程度的合作或结盟，才能使各自利益最大化.尽管现代博弈论是由美籍匈牙利数学家冯²诺伊曼和经济学家奥斯卡²摩根斯坦在1944年创立的，但通过这个“游戏”，纳什奠定了自己在博奕论中的大师地位.在英文中，博奕论也可以翻译为“游戏理论”，而在实际生活中，确实有许多游戏都反映了博奕论的思想.如扑克、下棋、赛马，甚至赌博，都有博奕的影子.例如最简单的幼儿游戏“石头、剪子、布”中，我们的问题是：对方如何行动，而我又将如何应对才能最佳？这实际上就涉及了博弈论的核心问题，即博弈论是以对方的行为作为自己决策的依据，并寻求最佳结果.社会生活的许多现象，都带有相互竞争与合作的特征.如股市，庄家和散户之间也可以算是一种博弈.如果你在股市博弈中加入了散户一方，你的对手就是拥有控盘能力的庄家.因此，当你与大多数散户一样做出入市的决定，你的对手的应招就是打压股价，在你无奈而退时，对手却抬高股价.散户与庄家都在追求各自利益的最大化.这就展开了博弈.在更大的范围内，国际政治格局中的战略结盟与敌对等等，无一不是搏弈，可以说，博弈在当代世界中无处不在.参考答案A卷1.D 点拨：T r+1=C r10x10-r(-3)r,令10-r=6,得r=4,∴x6的系数为9C410.2.C3.A 点拨：由于1+2+22+…+24n-1=24n-1, ∴问题化归为求24n-1被5除的余数.∵24n-1=16n-1=（1+15）n-1=C 1n ²15+C 2n ²152+…+C nn ²15n，即除以5的余数为0.∴选A.4.D 点拨：原式=（3-1）9+1=513.5.A 点拨：依题意4n +2n =272，∴2n=16，∴n=4.6.D 点拨：含x 4项的系数为C 44C 15（-1）1+C 24C 25（-1）2+C 04C 35（-1）3=45.7.A 点拨：本题中展开式各项系数和就是二项式系数和2n ，∴8＜2n＜32.∴3＜n ＜5. ∴n=4，而系数最大的项是中项T 3=C 24(x )2(x -)2=6x 31.8.A 点拨：a 8+a 9＝C 89²2²（-1）8+（-1）=17.9.B 点拨：T r+1=C r n (2x 2)n-r²x -3r=2n-rC r n x2n-5r.令2n-5r=0，则n 的最小值是5.10.C 点拨：(ax+1)2n中x n系数为C n n 2a n，(x+a)2n+1中x n 的系数为a n+1,∴C n n 2a n=C 112++n n ²a n+1(a≠0).∴a=1122++n n nn C C =!!)!2(n n n ∙²)!12(!)!1(+∙+n n n =121++n n =1-12+n n＜1.∴a ＜1.二、11.84,-5121点拨:第4项的二项式系数为C 39=84. 最后一项是第10项，系数为C 99(-21)9=-5121.12.6 点拨：4141=（42-1）41=4241-C 1414240+…+C 4041²42=1，∴4141被7除所得余数是-1+7=6.13.-32 点拨：令b=0；a=1，得不含b 的项系数之和是（1-3）5=-32. 14.100101101101838)3(8∙-- 点拨:(ax+1)9展开式中x 3的系数是C 69a 3，(x+2a)8中x 3的系数C 58(2a)5,∴C 69a 3=C 58(2a)5(a ＞0).∴a=83. ∴1+a+…+a 100=aa--11101=831)83(1101--=100101101101838)3(8∙--. 三、15.解：由C 3n :C 1n =15:1得（n-1）（n-2）=90.解得n=11.∴倒数第3项为T 10=55ab -3.16.解:展开式前三项的系数为1,2n ,8)1(-n n ,依题意,1+8)1(-n n =n.解得n=8或n=1(舍).∴T r+1=rrC 821²x 4-34r.设T r+1项是有理项,则⎩⎨⎧==.8,,2,1,0,4 r k r∴r=0,4,8.∴展开式中的有理项是T 1=x 4,T 5=835x,T 9=22561x. 17.解:f(x)展开式中x 项的系数为C 1m +C 1n ,∴m+n=19.f(x)展开式中x 2项的系数为C 2m +C 2n=2)1(-m m +2)1(-n n =n 2-19n+171=(n-219)2+4323. 当n=9或n=10时，x 2项的系数最小，最小值是81，此时，m=10或m=9.∴x 7项的系数为C 79+C 710=156.B 卷一、1.解：依题意，T 2＜T 1，T 2≥T 3，∴⎪⎩⎪⎨⎧-≥--.)2()2(,1)2(2251515x C x C x C ＜化简得⎪⎩⎪⎨⎧≥--.4010,1102x x x ＜解得-101＜x≤0为所求. 2.解：T 4=C 36a 3=20a 3,∴20a 3=2³104.∴a=10.于是lg a =lg 10=21. ∴f(21)=6³(21)3+7³(21)2-3³(21)-1=0. ∴21即lg a 是方程f(x)=0的根. 二、3.解：2(1+0.2%)100=2[C 0100+C 11000.002+C 2100(0.002)2+…]=2(1+0.2+0.O198+…)≈2.4396=2.440.∴100天后这家公司的股票指数为2.440. 点拨：此题属增长率问题.三、(一)4.解:a n =C 2n 2n-2=2)1(-n n ²2n-2, 而n n a 2=222)1(2-∙-n n n n =)1(8-n n =8(11-n -n1), ∴原式=8[(1-21)+(21-31)+…+(11-n -n 1)]=8(1-n 1)-8-n8. 点拨：裂项法求数列的前n 项之和.（二）5.解法一：各展开式中x 3项的系数分别为C 33C 34，C 35，…，C 3100，则x 3的系数为C 33+C 34+C 35+…+C 3100=C 44+C 34+C 35+…+C 3100=C 45+C 35+…+C 3100=…=C 4101=4082925.解法二：（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）100=)1(1])1(1[)1(983x x x +-+-+=x x x 3101)1()1(+-+.因此x 3的系数为(1+x)101展开式中x 4的系数，即C 4101=4082925.点拨：解法一使用了组合数性质C m n +C 1+m n =C m n 1+较为麻烦，解法二较简便.（三）6.解：（1）∵f(x)=1，∴g(x)=C 0n (1-x)n+C 1n x(1-x)n-1+…+C nn x n=[(1-x)+x]n=1.(2)∵f(x)=x,∴g(x)=C 0n n 0(1-x)n +C 1n n 1x(1-x)n-1+C 2n n 2x 2(1-x)n-2+…+C n n nn x n . ∵C k nn k =)!(!!k n k n -²n k =)]!1()1[()!1()!1(-----k n k n =C 11--k n , ∴g(x)=C 01-n x(1-x)n-1+C 11-n x 2(1-x)n-2+…+C 11--n n x n=x[C 01-n (1-x)n-1+C 11-n x(1-x)n-2+…+C 11--n n xn-1]=x[(1-x)+x]n-1=x. 点拨:用C k n =nk C 11--k n 使二项式系数的下标统一. 四、7.18 点拨:∵T 4=C 3n (5x )n-3(x1)3=C 3n (-1)3x 18-n 为常数项, ∴令518-n =0.∴n=18. 8.15 点拨：(4x 2-2x-5)(1+21x)5=(4x 2-2x-5)(1+5²21x+10²41x+1061x+5²81x+101x),∴常数项为4x 2²5²21x -5³1=15.9.11 点拨：由二项式定理可得a=C 3n ，b=C 2n . ∵a:b=3:1，∴C 3n :C 2n =3:1.解得n=11.点拨：上述三道高考题考查了二项式定理，通项公式及组合数的计算等.加试题：1. 11111个n =9110-n =91[(11-1)n -1]. 因为9与11互质，因此若91[(11-1)n -1]是11的倍数，只须（11-1）n-1是11的倍数，而(11-1)n-1=11n-C 1n ²11n-1+…+(-1)n-1²11+(-1)n-1，因此，n 为偶数时，n 位数11…1才是11的倍数. 2.解：∑=+n k kn C 019n-k=91∑=+nk k n C 019n+1-k=91(∑+=+101n k k n C 9n+1-k -1)=91[(9+1)n+1-1]=91101-+n .即知n应满足的条件是n 为奇数.学科：数学教学内容：二项式定理【课前复习】温故——会做了，学习新课才会有保障1．（a＋b）2＝_______，（a＋b）3＝_______．2．______________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．3．mnC＝_________＝_________＝_________．4．mnC＝_________，mn1C+＝_________．5．若要证明数列{a n}的单调递减性，需证出_________．答案：1．a2＋2ab＋b2a3＋3a2b＋3ab2＋b32．从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数3．mmmnAA!)1()2)(1(mmnnnn+---)!(!!mnmn-4．1CCC--+mnmnmnn5．a n＋1<a n或a n－1＞a n知新——先看书，再来做一做1．二项式定理：（a＋b）n＝_________．2．二项展开式的特征：1°_________ 2°_________ 3°_________3．二项展开式的通项公式：_________．4．二项展开式的系数_________，项的系数_________．5．二项式系数的性质：1°_________ 2°_________ 3°_________【学习目标】1．掌握二项式定理，能正确应用二项式定理展开一个二项式；2．能准确写出通项公式，并用通项公式解决有关问题；3．能利用二项式系数的性质证明有关组合数恒等式；4．会利用二项式系数的性质进行有关的计算；5．能利用二项式定理求余数问题、近似值问题，能利用二项式定理证明整除及其他问题．【基础知识精讲】课文全解本节内容主要有二项式定理及二项式系数的性质两部分．1．二项式定理（a＋b）n＝nnnnrnnnnnnnnbababababa0222221110CCCCC+++++---（n∈N*）这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做（a ＋b ）n的二项展开式． 二项展开式有如下特点： （1）项数：共有n ＋1项．（2）系数：依次为n n r n n n n C ,C ,,C ,C ,C 210 ，这里r n C （r ＝0，1，2，…n ）称为二项式系数．二项式系数与二项展开式系数是有区别的．（3）指数：an －r b r指数和为n ；a 的指数由n 依次递减到0，b 的指数依次从0递增到n ．2．二项式定理中，当用－b 代替b 时，成为（a －b ）n，（a －b ）n＝222110C C C b a b a a n n n n n n --+-－…＋（－1）r r r n r n b a -C ＋…＋（－1）n nn C b n当a ＝1，b ＝x 时，得二项展开式公式特例（1＋x ）n＝1＋1C n x ＋2C n x 2＋…＋r n C x r ＋…＋nn C x n *)(N n ∈这两个式子在解题中经常直接运用． 3．对通项要注意以下几点：T r ＋1＝rn C a n －r b r 称为二项展开式的通项公式．（1）它表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，此项也随之确定． （2）公式表示二项展开式中的第r ＋1项，而不是第r 项． （3）公式中a 、b 的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n ．另外，要注意展开式的第r ＋1项的二项式系数rn C 与第r ＋1项的系数是不同的概念，如在（1＋2x ）7的展开式中，第四项是T 4＝37C 1（7－3）（2x ）3，其二项式系数是37C ＝35，而第四项的系数是37C 23＝280．4．当a 的绝对值与1相比很小时，常用近似公式（1＋a ）n≈1＋na ．因为这时展开式的后面部分23322n n n n n a C a C a C +++ 很小，可以忽略不计．类似地，有（1－a ）n ≈1－na ．但使用这两公式应注意a 的条件，以及对计算精确度的要求．5．二项展开式的系数可以由下表求出． （a ＋b ）11 1 （a ＋b ）2 1 2 1 （a ＋b ）3 1 3 3 1 （a ＋b ）4 1 4 6 4 1 … …其中边上各数都是1，除1以外，每个数都等于它“肩上”两数之和．当n 较小时，用它写出（a ＋b ）n展开式更为方便．以上结果是由我国宋代数学家杨辉首先发现的（公元1261年），所以称之为杨辉三角． 6．二项式系数的性质（1）在二项展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即rn n r n n n n n n n n n n ---====C C ,,C C ,C C ,C C 22110（2）二项展开式的中间项二项式系数最大．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大，这项是第2n ＋1项，它的二项式系数2C n n 最大；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，这两项是第21+n 项和第21+n＋1项，它们的二项式系数2121CC+-=nnnn最大．（3）系数和（a＋b）n＝Cn a n＋1Cn a n－1b＋2Cn a n－2b2＋…＋rnC a n－r b r＋…＋nnC b n令a＝1，b＝1，则有Cn＋1Cn＋2Cn＋…＋nnC＝2n，令a＝1，b＝－1，则有Cn－1Cn＋2Cn－…＋（－1）n－11C-nn＋（－1）nnnC＝0即Cn＋2Cn＋4Cn＋…＝1Cn＋3Cn＋5Cn＋…．由此可得：①二项式系数和为2n；②各奇数项二项式系数和等于各偶数项二项式系数和，都等于2n－1．问题全解1．如何处理一般与特殊的关系？一般是事物的共性，具有普遍性；特殊是事物的个性，具有典型性．一般与特殊的互相转化是数学中的重要方法．在推导二项式定理时，由（a＋b）2，（a＋b）3，（a＋b）4展开后，观察展开式各项中a，b幂的升降及系数变化，归纳出对于任意正整数n时（a＋b）n的展开式，再用数学归纳法证明．这种由特殊到一般再论证的方法是人类由愚昧走向文明进行科学探索的必由途径．在得到二项式定理研究其系数性质时，依次给a，b赋值“取特例”的方法，则是由一般到特殊转化的过程．通常利用赋予公式中a与b的不同的具体值，来解决与组合数有关的证明、求系数和等问题．应用时要有强烈的“目标”意识，恰当处理“一般”与“特殊”的关系． ［例1］已知（2x＋1）200＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a200x200，求：（1）a0＋a1＋a2＋…＋a200；（2）a0＋a2＋a4＋…＋a200；（3）a1＋a2＋…＋a200．策略：通过观察可知，通过赋值可得各系数和，故采取赋值法，本题主要考查二项式的各项系数的和的概念及分析问题、解决问题的能力．解：（1）令x＝1，代入原展开式得，（2＋1）200＝a0＋a1＋a2＋…＋a200于是a0＋a1＋a2＋…＋a200＝3200①（2）令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a200＝（－2＋1）200＝1②①＋②得2（a0＋a2＋a4＋…＋a200）＝3200＋1于是a0＋a2＋a4＋…＋a200＝213200+（3）令x＝0得a0＝1，由①式得a1＋a2＋a3＋…＋a200＝3200－1评注：“赋值法”是解决二项展开式中系数和的基本思路，也是证明有关组合数恒等式的方法．本题中a0＋a2＋a4＋…＋a200也叫展开式中的偶次项系数和．应注意奇数项、偶数项，奇次项、偶次项等概念的区别． 2．杨辉三角有何作用？由“杨辉三角”可以直观地看出二项式系数的性质，当二项式的次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数，较为简便；当二项式次数较大时，则直接用二项式定理展开．因此，要求能熟记n≤7时的二项式系数． ［例2］（x＋1）4－4（x＋1）3＋6（x＋1）2－4（x＋1）＋1等于（）A．x4B．－x4C．1 D．－1策略：由（x＋1）按降幂排列，且由杨辉三角知，1、4、6、4、1恰为4C、14C、24C、34C、44C，故考虑二项式定理．解：（x ＋1）4－4（x ＋1）3＋6（x ＋1）2－4（x ＋1）＋1＝04C （x ＋1）4－14C （x ＋1）3＋24C （x ＋1）2－14C （x ＋1）＋44C＝［（x ＋1）－1］4＝x 4答案：A评注：由杨辉三角得到二项式系数，在写二项展开式时，也有较大的方便，注意其应用． 3．二项展开式的通项公式有何作用？通项公式T r ＋1＝rn C a n －r b r （r ＝0，1，…，n ）集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化，是二项式定理的核心．它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数以及数、式的整除方面有着广泛的应用．使用时应注意：①通项公式是表示“r ＋1”项，而不是第r 项； ②通项公式中a 和b 的位置不能颠倒；③展开式中第r ＋1项的二项式系数rn C 与第r ＋1项的系数不同，具体求各项系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，避免出差错．④通项公式中含有a ，b ，n ，r ，T r ＋1五个元素，只要知道其中四个元素，就可以求出第五个元素．在有关二项式定理的问题中，常常遇到知道这五个元素的若干个（或它们之间的关系），求另外几个元素的问题．这类问题一般是利用通项公式，把问题归结为解方程（组）或不等式（组），这里要注意n 为正整数，r 为非负数，且r ≤n ．［例3］求（3x x -）9展开式中的有理项．策略：先明确求展开式中的哪几项，进而求出这些项． 解：展开式中的有理项即通项公式中x 的指数为整数的项．T r ＋1＝r9C ²（21x ）9－r ²（－31x ）r ＝（－1）rr 9C ²627r x-令627r -∈Z ，即4＋63r-∈Z ，且0≤r ≤9∴r ＝3或r ＝9当r ＝3时，627r-＝4，T 4＝（－1）339C ²x 4＝－84x 4当r ＝9时，627r-＝3，T 10＝（－1）999C x 3＝－x 3评注：r 的取值范围在此题中也起着重要作用，应注意． 4．组合思想在二项式定理中有何妙用？用组合思想方法理解（a ＋b ）n的展开式中a n －r b r的系数rn C 的意义：为了得到（a ＋b ）n 展开式a n －r b r 的系数，可以考虑在 个n b a b a b a )())((+++这n 个括号中取r 个b ，则这种取法种数rn C 即为a n －r b r 的系数．这种思想方法对于求多项展开式中某一项的系数及“构造法”证明某些恒等式都有很大的帮助．［例4］求（1＋2x －3x 2）5展开式中x 3的系数．策略：由于无三项展开式的公式，则将三项式转化为二项式的展开式，然后求x 3的系数．。

二项式定理二项式定理的定义二项式定理的证明二项展开式的通项二项式系数的性质知识内容」、定义：0 1 4 2 °°r n *_C n a -C n_b -C n_--亠亠-亠Cn' （nWN ），这一公式表示（a 亠b）n的定理叫做二项式定理，其中公式右边的多项式叫做（a - b）n的二项展开式；上述二项展开式中各项的系数=0,1,2，…，“）叫做二项式系数，第r 项叫做二项展开式的通项，用T「“表示；T「+ =C；a"丄匕「叫做二项展开式的通项公式.- 二项展开式的特点与功能1.二项展开式的特点项数：二项展开式共n・1 （二项式的指数+1）项；指数：二项展开式各项的第一字母a依次降幕（其幕指数等于相应二项式系数的下标与上标的差），第二字母b依次升幕（其幕指数等于二项式系数的上标），并且每一项中两个字母的系数之和均等于二项式的指数n ；系数：各项的二项式系数下标等于二项式指数；上标等于该项的项数减去 1 （或等于第二字母b的幕指数；2.二项展开式的功能注意到二项展开式的各项均含有不同的组合数，若赋予a, b不同的取值，则二项式展开式演变成一个组合恒等式•因此，揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的母函数”，它是解决组合多项式问题的原始依据.又注意到在（a ■ b）b的二项展开式中，若将各项中组合数以外的因子视为这一组合数的系数，则易见展开式中各组合数的系数依次成等比数列•因此，解决组合数的系数依次成等比数列的求值或证明问题，二项式公式也是不可或缺的理论依据.二项式系数的性质1对称性：在二项展开式中，与首末两项等距离”的两项的二项式系数相等.2单调性：二项式系数（数列）在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间（项）取得最n大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数C孑最大；当n为奇数时, 二项展3 4开式中间两项的二项式系数n丄n 1C n2，C n2相等，且最大.0 1 2 n n组合总数公式：C n C n C C ^2即二项展开式中各项的二项式系数之和等于一分为二”的考察：二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和,【例【解(x -丄)5=C 5x5(^)°X X1411C5X (-)CX13(;)C4114X ()-5X515C5X (；)例题练习1. 二项式定理及其展开式1求（X • —）5的展开式.x5 31 1 1=x +5x +10x+10—+5 = + 厂Xxx【例2】0. 9915的近似值（精确到0.001 ）是【解析】 5 5 20. 991 =(1-0 . 009) =1-5 >0. 009+10 X0.009)…~-0.045+0 . 00081 ~056【例3】求证：(1 ) n n」_1 能被(n -1)2整除(n • N , n _ 3);【证明】为利用二项式定理，对n n丄中的底数n变形为两数之和（或差）.n _3，且n^N , 二=[1 亠(n—1)]"丄于是有n n—1 =[1 - (n —1)] n丄-1+C n 丄(n —1) + C ・丄(n —2) +... +C n 亠(n —1= C」(n —1丄(n —2 j +... +仁("—1注意至U n _3 ，且n 三N，故1 • C n丄■ C n丄n 一1 ]亠…B . 14C . ->8D . 28【分析】对于多项展开式中某一项的总数的寻求, 化整为零”为基本方法之一,8(x _1)(x M )= x 8 8■(x -1) _(X 1) 8 8二 x(1 - x) _(1 - x)8 . .，又(1 - x)的展开式中x 4的系数为D .-21【分析】考虑求和转化，原式54(1 -X ) [1 _(1 -X )] 5(1 -X )一(1 -X )1 一(1 _因此由()式知n n 1 _1能被(n _1)2整除;2. 二项式系数【例4】 在(x_1)(x.1)8的展开式中X 5的系数是()的系数为C 84 5 43原展开式中X 的系数为C 8 -C 8二C 8「C8 =14，应选B .【例5】 设k =1,2, 3,4, 5，则(x ■ 2)5的展开式中x k 的系数不可能是()A .10B . 40C .50D . 80【分析】立足于二项展开式的通项公式： T — =C ；x 5丄2「(r =0,1,2， (5)•••当 k=1 时，r=4, x 1 的系数为 C 5 24 =80 ; 当 k=2 时，r=3, x 2 的系数为 C 5-2 3 = 80 ；当k=3时，r=2, x 3的系数为C 5 2 2 =40 ； 当k=4时，r=1, x 4的系数为c 5 21 ". •综上可知应选C .【点评】关于二项展开式中某一项的问题，一般要利用二项展开式的通项公式.【例6】 在(1 -X )5 (—x)6 • (1 —X )7 • (1 —X )8的展开式中，x 3的项的系数为()A .74 B . 121又(1-X )5的展开式中x 4系数为C 5 , (1-X )9的展开式中x 4系数为C 944原展开式中X 3项的系数为C 5_C9=：「121，应选D .=nC 」n_1〜n 1■CnJ nM )已知(一二【例(n • N “)的展开式中奇数项的二项式系数之和等于512，试求:•所求二项式系数最大的项为63丁6(2)设第r+1项系数的绝对值 c ； .2丄最大,则有厂 rC10C 1010 !r! (10 _r)!10 !r! (10 —r)! r ：和1 1--------- >- 10 _r 2 11 r2r1一: 2r(r —1)! (11解之得-<r i 11，注意到r •33N ，故得r=3•所求系数绝对值最大的项为T 4 二一15 x 2(3 )由通项公式的特征可知，系数最大的项应在项数为奇数的项内，即在 又r 取偶数0, 2, 4, 6, 8, 10时，相应的各项系数分别为 r 取偶数的各项内0 0C102,C1022,C 102_4,C102,C即分别为1,竺,1054845110256 2由此可知，系数最大的项为第5 项(r=4)，即 T 55 105 3----- x 8(1 )二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项；(3)系数最大的项.【解析】由题意得+C 2+C "十 (2)丄=512nnn• •• n =1030 _5 r•二项展开式的通项公式为 T r 八=c ；丄-1)" 2丄.x 6 (r =0,1,2,…10 )(1 ) I n =10 , •二项展开式共11项•••二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大5-_C 10 2•第4项系数的绝对值最大-r)!1 .—>r —2.2」>C 十2丄虻C 10 Ur 兰 10)r「丄 _£r 1 )-C 8 10 10 2，C10_102105 32点评：(1)解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认(2)这里(.x1 103）10展开式中系数绝对值最大的项，实际上是 2 J x(、_x .1)102；』x展开式中系数最大的（3）本题解法一题两制”：对于（2），我们运用一般方法进行推导；对于（ 3） ，我们运用认知、列举、比较的方法导出目标•当指数n 数值较小3）的解法颇为实用.【例 8】 设(4x _1 ) 200 - a 0-.3 x -.-a 2x 211 a200 X200，求【解析】令 f(x) =(4x _ 1 ) 200 =a 0■ a 1x - a 2x2亠.亠a 200200x①注意到这里n=200，故展开式中各二项式系数的和 0 C2002002 C 亠 •亠 C200 200 C 200 = 2②展开式中各项系数的和a 0 a 1 a 2 ■■■■200：|l ，a③注意到 f (1) =a 0- a 1- a 2・a 3…-a199'a 200, f ( 一1) = a 0-a 199亠a200.f ⑴ _ f ( _1) =2®• a 3 亠-亠)1a 1 - a 3 a 5 川…什a^[ f ⑴ 一 f( -1)]21 200(3 -52200)④仿③得a 0亠a 2亠a 4亠'亠a200（3 2°°2200t-5)，又a ° 二 f(0)二 1827」八一2200=：1( 3 200 -5 200) 一12⑤解法一（直面原式）：f(-1)二a 。

§10.3　二项式定理考试要求　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识梳理1．二项式定理二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n b n (n ∈N *)二项展开式的通项T k ＋1＝C k n a n －k b k ，它表示展开式的第k ＋1项二项式系数C k n(k ＝0,1，…，n )2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：当n 是偶数时，中间的一项2C n n 取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项12C n n -与12C n n +相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a ＋b )n 的展开式的各二项式系数的和等于2n .常用结论1．两个常用公式(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n ＝2n .(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.2．二项展开式的三个重要特征(1)字母a 的指数按降幂排列由n 到0.(2)字母b 的指数按升幂排列由0到n .(3)每一项字母a 的指数与字母b 的指数的和等于n .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k na n －kb k 是(a ＋b )n 的展开式的第k 项．(　×　)(2)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．(　√　)(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　×　)(4)(a ＋b )n 的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数不同．(　×　)教材改编题1．(x －1)10的展开式的第6项的系数是( )A ．C 610B ．－C 610C ．C 510D ．－C 510答案　D解析　T 6＝C 510x 5(－1)5，所以第6项的系数是－C 510.2．(多选)已知(a ＋b )n 的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案　ABC解析　∵(a ＋b )n 的展开式中第5项的二项式系数C 4n 最大，∴n ＝7或n ＝8或n ＝9.3．在(1－2x )10的展开式中，各项系数的和是________．答案　1解析　令x ＝1可得各项系数的和为(1－2)10＝1.题型一　通项公式的应用命题点1　形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式的特定项例1　(1)(2022·烟台模拟)(1－2x )8展开式中x 项的系数为( )A ．28B ．－28C ．112D ．－112答案　C解析　(1－2x )8展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 8(－2x )k ＝28(-2)C k k kx .要求x 项的系数，只需k 2＝1，解得k ＝2，所以x 项系数为(－2)2C 28＝4×8×72×1＝112.(2)(2022·德州模拟)若n ∈Z ，且3≤n ≤6，则(x ＋1x 3)n 的展开式中的常数项为______．答案　4解析　(x ＋1x 3)n 的通项公式为T k ＋1＝C k n x n －k (1x 3)k ＝C k n x n －4k ，因为3≤n ≤6，令n －4k ＝0，解得n ＝4，k ＝1，所以(x ＋1x 3)n 的展开式中的常数项为4.命题点2　形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式问题例2　(1)(2022·泰安模拟)(x 3－2)(x ＋1x )6的展开式中x 6的系数为( )A ．6 B ．10 C ．13 D ．15答案　C解析　由于(x ＋1x )6的展开式的通项为T k ＋1＝36-26C k kx ，令6－3k 2＝3，求得k ＝2；令6－3k 2＝6，求得k ＝0，故(x 3－2)(x ＋1x )6的展开式中x 6的系数为C 26－2C 06＝15－2＝13.(2)(2022·合肥模拟)二项式(2－x a )(1－2x )4的展开式中x 3项的系数是－70，则实数a 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4答案　D解析　因为(2－x a )(1－2x )4＝2×(1－2x )4－x a×(1－2x )4，(1－2x )4的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 4(－2x )k ＝(－2)k C k 4x k ，k ＝0,1,2,3,4，所以2×(1－2x )4展开式中x 3项的系数是2×(－2)3C 34＝－64，x a×(1－2x )4展开式中x 3项的系数是1a ×(－2)2C 24＝24a ，所以－64－24a＝－70，解得a ＝4.教师备选1．(2022·菏泽模拟)已知正整数n ≥7，若(x －1x )(1－x )n 的展开式中不含x 5的项，则n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案　D 解析　(1－x )n 的二项展开式中第k ＋1项为T k ＋1＝C k n(－1)k x k ，又因为(x －1x )(1－x )n ＝x (1－x )n －1x(1－x )n 的展开式不含x 5的项，所以x C 4n (－1)4x 4－1xC 6n (－1)6x 6＝0，C 4n x 5－C 6n x 5＝0，即C 4n ＝C 6n ，所以n ＝10.2．(2022·烟台模拟)在(x 2＋2x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( )A ．60B ．30C ．15D ．12答案　A解析　由(x 2＋2x ＋y )5＝[(x 2＋2x )＋y ]5，由通项公式可得T k ＋1＝C k 5(x 2＋2x )5－k y k ，∵要求x 5y 2的系数，故k ＝2，此时(x 2＋2x )3＝x 3·(x ＋2)3，其对应x 5的系数为C 1321＝6.∴x 5y 2的系数为C 25×6＝60.思维升华　(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．跟踪训练1　(1)(2021·北京)(x 3－1x )4的展开式中常数项为________．答案　－4解析　(x 3－1x )4的展开式的通项T k ＋1＝C k 4(x 3)4－k ·(－1x )k ＝(－1)k C k 4x 12－4k ，令k ＝3得常数项为T 4＝(－1)3C 34＝－4.(2)(2022·攀枝花模拟)(1－1x 2)(1＋2x )5的展开式中，含x 3的项的系数是( )A ．－112B ．－48C ．48D ．112答案　C解析　由(1－1x 2)(1＋2x )5＝(1＋2x )5－1x 2(1＋2x )5，(1＋2x )5展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5(2x )k ＝2k C k 5x k ，其中k ＝0,1,2,3,4,5，(1＋2x )5展开式中含x 3项的系数为23C 35＝80，1x 2(1＋2x )5展开式中含x 3项的系数为25C 5＝32，所以(1－1x 2)(1＋2x )5的展开式中，含x 3的项的系数为80－32＝48.题型二　二项式系数与项的系数的问题命题点1　二项式系数和与系数和例3　(1)(多选)(2022·十堰调研)在(3x －1x )n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则( )A ．二项式系数和为64B ．各项系数和为64C ．常数项为－135D ．常数项为135答案　ABD解析　在(3x －1x )n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，令x ＝1，得各项系数和为2n ，二项式系数和为2n ，则2×2n ＝128，得n ＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A ，B 正确；(3x －1x )6展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·(3x )6－k ·(－1x)k ＝36-626C (-1)3k kk k x -⋅⋅，令6－32k ＝0，得k ＝4，因此展开式中的常数项为T 5＝C 46·(－1)4·32＝135.故D 正确．(2)已知多项式(1－2x )＋(1＋x ＋x 2)3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，则a 1＝______，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝______.答案　1　23解析　根据题意，令x ＝1，则(1－2)＋(1＋1＋1)3＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝26，令x ＝0，a 0＝1＋1＝2，由于(1－2x )＋(1＋x ＋x 2)3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，a 1为展开式中x 项的系数，考虑一次项系数a 1＝－2＋C 13C 2×12＝1，所以a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝26－1－2＝23.命题点2　系数与二项式系数的最值问题例4　(y －2x 2)6的展开式中二项式系数最大的项为第________项，系数最大的项为________．答案　4　240x －8y 2解析　因为(y －2x2)6的展开式中二项式系数的最大值为C 36，所以二项式系数最大的项为第4项．因为(y －2x 2)6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·y 6－k (－2x 2)k ＝C k 6·(－2)k x －2k y 6－k ，所以展开式中系数最大的项为奇数项．展开式中第1,3,5,7项的系数分别为C 06·(－2)0，C 26·(－2)2，C 46·(－2)4，C 6·(－2)6，即1,60,240,64，所以展开式中系数最大的项为240x －8y 2.教师备选1．(多选)已知(1－2x )2 022＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 022x 2 022，下列命题中正确的是( )A ．展开式中所有项的二项式系数的和为22 022B ．展开式中所有奇次项系数的和为32 022－12C ．展开式中所有偶次项系数的和为32 022＋12D.a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 02222 022＝－1答案　ACD解析　选项A ，由二项式知，C 02 022＋C 12 022＋…＋C 2 022＝(1＋1)2 022＝22 022，A 正确；当x ＝1时，有a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 022＝1，当x ＝－1时，有a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 021＋a 2 022＝32 022，选项B ，由上可得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 021＝1－32 0222，B 错误；选项C ，由上可得a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2 022＝32 022＋12，C 正确；选项D ，令x ＝12可得a 0＋a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 02222 022＝0，又a 0＝1，所以a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 02222 022＝－1，D 正确．2．(多选)已知(x －3)8＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋…＋a 8(x －2)8，则下列结论正确的有( )A ．a 0＝1B ．a 6＝－28C.a 12＋a 222＋…＋a 828＝－255256D ．a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝128答案　ACD解析　对于A ，取x ＝2，得a 0＝1，A 正确；对于B ，(x －3)8＝[－1＋(x －2)]8展开式中第7项为C 68(－1)2(x －2)6＝28(x －2)6，即a 6＝28，B 不正确；对于C ，取x ＝52，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 828＝(52－3)8＝1256，则a12＋a222＋…＋a828＝1256－a0＝－255256，C正确；对于D，取x＝3，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7＋a8＝0，取x＝1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a7＋a8＝(－2)8＝256，两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝256，即a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝128，D正确．思维升华　赋值法的应用一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为12[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为12[g(1)－g(－1)]．跟踪训练2　(1)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|等于( )A．1 B．243C．121 D．122答案　B解析　令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.(2)(多选)(2022·济南模拟)在(2x－x)6的展开式中，下列说法正确的是( )A．常数项为160B．第4项的二项式系数最大C．第3项的系数最大D．所有项的系数和为64答案　BC解析　展开式的通项为T k＋1＝C k6·(2x)6－k·(－x)k＝26－k(－1)k·C k6x2k－6，由2k－6＝0，得k＝3，所以常数项为23(－1)3C36＝－160，A错误；展开式共有7项，所以第4项二项式系数最大，B正确；第3项的系数最大，C正确；令x＝1，得(2x－x)6＝1，所有项的系数和为1，D 错误．题型三　二项式定理的综合应用例5　(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 021＋a能被13整除，则a等于( )A．0 B．1 C．11 D．12答案　B解析　因为a∈Z，且0≤a≤13，所以512 021＋a＝(52－1)2 021＋a，2 02152－C2 021＋a，＝C02 021522 021－C12 021522 020＋C22 021522 019－…＋C2 020因为512 021＋a能被13整除，结合选项，所以－C2 021＋a＝－1＋a能被13整除，所以a＝1.(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是( )A．1.23 B．1.24C．1.33 D．1.34答案　D解析　1.056＝(1＋0.05)6＝C06＋C16×0.05＋C26×0.052＋C36×0.053＋…＋C6×0.056＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…＋0.056≈1.34.教师备选已知n为满足S＝n＋C127＋C227＋C327＋…＋C27(n≥3)能被9整除的正数n的最小值，则(x－1x)n 的展开式中，系数最大的项为( )A．第6项B．第7项C．第11项D．第6项和第7项答案　B解析　S＝n＋C127＋C227＋C327＋…＋C27＝n＋(1＋1)27－C027＝(9－1)9＋n－1＝9(98－C1997＋…＋C89)＋n－2，∵n≥3，∴S能被9整除的正数n的最小值是n－2＝9，∴n＝11.∴(x－1x)11的展开式中的通项公式为T k＋1＝C k11x11－k(－1x)k＝(－1)k C k11x11－2k，只考虑k为偶数的情况，由T5＝C411x3，T7＝C611x－1，T9＝C811x－5，可知系数最大的项为第7项．思维升华　二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.跟踪训练3　(1)设n为奇数，那么11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1除以13的余数是( )A．－3 B．2C．10 D．11答案　C解析　11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1＝C0n·11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11＋C n－2＝(11＋1)n－2＝12n－2＝(13－1)n－2＝C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13＋(－1)n·C n－2，因为n为奇数，则上式＝C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13－3＝[C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13－13]＋10，所以11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1除以13的余数是10.(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是( )A．0.940 B．0.941C．0.942 D．0.943答案　B解析　(0.99)6＝(1－0.01)6＝C06×1－C16×0.01＋C26×0.012－C36×0.013＋…＋C6×0.016＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016≈0.941.课时精练1．(2022·济南模拟)(x ＋1x)6的展开式中，含x 4项的系数为( )A ．4B ．6C ．10D ．15答案　B 解析　(x ＋1x)6的展开式通项为T k ＋1＝C k 6·x 6－k ·(1x)k ＝C k 6·x 6－2k ，令6－2k ＝4，解得k ＝1，因此，展开式中含x 4项的系数为C 16＝6.2．(2022·武汉部分重点中学联考)在(x 2－1x)n 的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是( )A.552B ．－552C ．－28 D ．28答案　B解析　展开式中，只有第7项的二项式系数最大，可得展开式有13项，所以n ＝12，展开式的通项为T k ＋1＝C k 12(x 2)12－k ·(－1x)k＝12-412-3121C (-1) 2kk k k x⎛⎫⎪⎝⎭，若为常数项，则12－43k ＝0，所以k ＝9 ，得常数项为T 10＝C 912(－1)9(12)12－9＝－2208＝－552.3．(2022·邯郸模拟)(x 2－x )(1＋x )6的展开式中x 3项的系数为( )A ．－9 B ．9C ．－21D ．21答案　A解析　展开式中x3项的系数为C16－C26＝－9.4．(2022·芜湖质检)已知(x－m)(x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，其中m为常数，若a4＝30，则a0等于( )A．－32 B．32C．64 D．－64答案　A解析　由多项式乘法知，第一个因式中x乘以(x＋2)5展开式中的x3项得一个x4项，第一个因式中的常数－m乘以(x＋2)5展开式中的x4项得另一个x4项，两项合并同类项得系数即为a4，所以a4＝C25×22－m×C15×2＝30，解得m＝1，再令x＝0，得a0＝－25＝－32.5．(2022·大连模拟)(ax－y)(x＋y)4的展开式中x3y2的系数为－2，则实数a的值为( )A．－13B．－1 C．1 D.13答案　D解析　化简得(ax－y)(x＋y)4＝ax·(x＋y)4－y·(x＋y)4，∵(x＋y)4的展开式的通项公式T k＋1＝C k4x4－k y k，当k＝2时，ax·(x＋y)4的展开式中x3y2的系数为C24a＝6a，当k＝1时，－y·(x＋y)4的展开式中x3y2的系数为－C14＝－4，综上，(ax－y)(x＋y)4的展开式中x3y2的系数为6a－4＝－2，∴a＝1 3 .6．已知在(2x－1)n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C1n＋C2n＋C 3n＋…＋C n的值为( )A．28B．28－1C．27D．27－1答案　B解析　设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知得，B－A＝38，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a n(－1)n＝(－3)n，即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即B－A＝(－3)n，∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8，由二项式系数性质可得C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n＝2n－C0n＝28－1.7．(多选)(2022·邯郸模拟)已知(5x－3x)n的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是( )A．2，n,10成等差数列B．各项系数之和为64C．展开式中二项式系数最大的项是第3项D．展开式中第5项为常数项答案　ABD解析　由(5x－3x)n的二项式系数之和为2n＝64，得n＝6，得2,6,10成等差数列，A正确；令x＝1，(5x－3x)6＝26＝64，则(5x－3x)6的各项系数之和为64，B正确；(5x－3x)6的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C不正确；(5x－3x)6的展开式中的第5项为C46(5x)2(－3x)4＝15×25×81为常数项，D正确．8．(多选)(2022·烟台模拟)已知(2－3x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则下列选项正确的是( ) A．a3＝－360B．(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝1C．a1＋a2＋…＋a6＝(2－3)6D．展开式中系数最大的为a2答案　BD解析　(2－3x)6的展开式通项为T k＋1＝C k6·26－k·(－3x)k＝C k6·(－3)k·26－k·x k，对于A，令k＝3，则a3＝C36×23×(－3)3＝－4803，A错误；对于B，令x＝1，则a0＋a1＋…＋a6＝(2－3)6；令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a6＝(2＋3)6，∴(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a6)(a0－a1＋a2－…＋a6)＝[(2－3)×(2＋3)]6＝1，B正确；对于C，令x＝0，得a0＝26，∴a1＋a2＋…＋a6＝(2－3)6－26，C错误；对于D，∵a0，a2，a4，a6为正数，a1，a3，a5为负数，又a0＝26＝64，a2＝C26×24×3＝720，a4＝C46×22×32＝540，a6＝33＝27，∴展开式中系数最大的为a2，D正确．9．(2021·天津)在(2x3＋1x)6的展开式中，x6的系数是________．答案　160解析　(2x3＋1x)6的展开式的通项为T k＋1＝C k6(2x3)6－k·(1x)k＝26－k C k6·x18－4k，令18－4k＝6，解得k＝3，所以x6的系数是23C36＝160.10．(2022·济宁模拟)已知(x－2x)n的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中x3项的系数是________．答案　84解析　依题意，2n＝128，解得n＝7，(x－2x)7的展开式的通项为T k＋1＝C k7x7－k·(－2x)k＝(－2)k C k7x7－2k(k∈N，k≤7)，由7－2k＝3得k＝2，所以所求展开式中x3项的系数是(－2)2C27＝4×7×62×1＝84.11．(2022·温州模拟)若(x ＋2x)n 的展开式中共有7项，则常数项为________(用数字作答)．答案　240解析　因为(x ＋2x)n 的展开式中共有7项，所以n ＋1＝7，可得n ＝6，所以(x ＋2x)6展开式的通项为T k ＋1＝1626C 2k k kkxx--＝3626C 2k k kx-令6－32k ＝0，可得k ＝4，所以常数项为C 4624＝15×16＝240.12．(2021·浙江)已知多项式(x －1)3＋(x ＋1)4＝x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 1＝________，a 2＋a 3＋a 4＝________.答案　5　10解析　(x －1)3展开式的通项T r ＋1＝C r 3x 3－r ·(－1)r ，(x ＋1)4展开式的通项T k ＋1＝C k 4x 4－k ，则a 1＝C 03＋C 14＝1＋4＝5；a 2＝C 13(－1)1＋C 24＝3；a 3＝C 23(－1)2＋C 34＝7；a 4＝C 3(－1)3＋C 4＝0.所以a 2＋a 3＋a 4＝3＋7＋0＝10.13．已知n 为正整数，若1.1510∈[n ，n ＋1)，则n 的值为( )A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案　C解析　因为1.155＝(1＋320)5＝C 05·(320)0＋C 15·(320)1＋C 25·(320)2＋C 35·(320)3＋C 45·(320)4＋C 5·(320)5＝1＋34＋940＋27800＋(5×320＋9400)(320)3＝2＋7800＋309400×(320)3，而2<2＋7800＋309400×(320)3<2＋7800＋278 000<2＋7800＋308 000＝2＋180<2.1，所以2<1.155<2.1，因此4<1.1510<4.41，又n 为正整数，1.1510∈[n ，n ＋1)，所以n ＝4.14．(2022·浙江Z20名校联盟联考)设(x －1)(2＋x )3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 1＝________，2a 2＋3a 3＋4a 4＝________.答案　－4　31解析　因为x ·C 03·23·x 0－C 13·22·x 1＝－4x ，所以a 1＝－4，对所给等式，两边对x 求导，可得(2＋x )3＋3(x －1)(2＋x )2＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3，令x ＝1，得27＝a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4，所以2a 2＋3a 3＋4a 4＝31.15．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，若(1－2x )2 022＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2＋…＋b 2 022x 2 022，数列{a n }的首项a 1＝b 12＋b 222＋…＋b 2 02222 022，a n ＋1＝S n ·S n ＋1，则S 2 022等于( )A ．－12 022B.12 022C ．2 022 D ．－2 022答案　A解析　令x ＝12，得(1－2×12)2 022＝b 0＋b 12＋b 222＋…＋b2 02222 022＝0.又因为b 0＝1，所以a 1＝b 12＋b 222＋…＋b 2 02222 022＝－1.由a n ＋1＝S n S n ＋1＝S n ＋1－S n ，得S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1＝1，所以1S n ＋1－1S n ＝－1，所以数列{1S n}是首项为1S1＝－1，公差为－1的等差数列，所以1Sn ＝－1＋(n －1)·(－1)＝－n ，n n所以S2 022＝－12 022.16．(多选)(2022·南京模拟)已知n∈N*，n≥2，p，q>0，p＋q＝1，设f(k)＝C k2n p k q2n－k，其中k∈N，k≤2n，则( )A.2n∑k＝0f(k)＝1 B.2n∑k＝0k f(k)＝2npqC．若np＝4，则f(k)≤f(8) D.n∑k＝0f(2k)<12<n∑k＝1f(2k－1)答案　AC解析　2n∑k＝0f(k)＝2n∑k＝0C k2n p k q2n－k＝(q＋p)2n＝1，A正确；k C k2n＝k(2n)！k！(2n－k)！＝2n×(2n－1)！(k－1)！[(2n－1)－(k－1)]！＝2n C k－12n－1，所以2n∑k＝0k f(k)＝2n∑k＝1k C k2n p k q2n－k＝2n∑k＝12n C k－12n－1p k q2n－k＝2npq2n∑k＝1C k－12n－1p k－1q2n－1－k＝2np 2n－1∑k＝0C k2n－1p k q2n－1－k＝2np(q＋p)2n－1＝2np≠2npq(除非p＝0)，B错；设f(m)是f(k)中最大项，Error!即Error!注意到C m2nC m－12n＝(2n)！m！(2n－m)！(2n)！(m－1)！(2n－m＋1)！mC m2n C m＋12n ＝m＋12n－m，又np＝4，不等式组可解为8－q≤m≤8＋p，所以m＝8，所以f(k)≤f(8)，C正确；例如n＝2时，p＝13，q＝23，n∑k＝0f(2k)＝(13)4＋6(13)2(23)2＋(23)4＝4181，n∑k＝1f(2k－1)＝4081，D错误．。