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第1讲 函数与方程的思想「思想方法解读」 函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题．如求数列中的项或最值、求不等式中的参量、求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题，往往都可利用函数思想，构建函数将其转化为函数问题．方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题．如变量的取值X 围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量等问题.热点题型探究热点1 函数与方程思想在不等式中的应用例 1 (1)(2019·某某昌吉市教育共同体高三月考)若关于x 的不等式1＋a cos x ≥23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x 在R 上恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－13B.13C.23 D ．1答案 B解析 1＋a cos x ≥23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝23(2cos 2x －1)，令cos x ＝t ∈[－1,1]，并代入不等式，则问题转化为不等式4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1,1]上恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋3a －5≤0，4－3a －5≤0⇒－13≤a ≤13.故选B.(2)已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，使x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值X 围为( )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 D解析 因为x ∈[2,16]，所以f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，即为m (x －2)＋(x －2)2＞0恒成立．构造函数g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2，则此函数在区间[1,4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧g 1＞0，g4＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋x －22＞0，4x －2＋x －22＞0，解得x ＜－2或x ＞2.(3)(2019·某某省某某市高三一模)若函数f (x )＝e x－e －x＋sin2x ，则满足f (2x 2－1)＋f (x )>0的x 的取值X 围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 B ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)答案 B解析 函数f (x )＝e x －e －x ＋sin2x 的定义域为R ，且满足f (－x )＝e －x －e x＋sin(－2x )＝－(e x －e －x＋sin2x )＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数；又f ′(x )＝e x ＋e －x＋2cos2x ≥2＋2cos2x ≥0恒成立，∴f (x )为R 上的单调增函数；又f (2x 2－1)＋f (x )>0，得f (2x 2－1)>－f (x )＝f (－x )，∴2x 2－1>－x ，即2x 2＋x －1>0，解得x <－1或x >12，所以x 的取值X 围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.故选B.函数与不等式的相互转化，把不等式问题转化为函数问题，借助函数的图象和性质可解决相关的问题．常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，从而研究函数性质破解问题．1．若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x，则有( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0 D ．x －y ≥0答案 B解析 把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y ，构造函数f (t )＝2t －5－t，其为R 上的增函数，所以有x ≤－y ，故选B.2．已知a ，b ，c 依次为方程2x＋x ＝0，log 2x ＝2和log 12 x ＝x 的实根，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a答案 D解析 由log 2b ＝2，得b ＝4，由2x ＋x ＝0，log 12 x ＝x ，得2x＝－x ，log 2x ＝－x ，在同一坐标系中分别作出函数y ＝2x，y ＝－x ，y ＝log 2x 的图象(图略)，观察交点的横坐标，可得b ＞c ＞a .3．(2019·某某某某一中高三二模)已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，则a 的取值X 围是( )A ．[1，＋∞)B ．[－1,4)C ．[－1，＋∞)D ．[－1,6]答案 C解析 不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，等价于a ≥y x－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2，对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，令t ＝yx，则1≤t ≤3，∴a ≥t －2t 2在[1,3]上恒成立，令s ＝－2t 2＋t ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋18，∴t ＝1时，s max ＝－1，∴a ≥－1，a 的取值X 围是[－1，＋∞)，故选C.热点2 函数与方程思想在数列中的应用例2 (1)(2019·某某市第十三中学高三质检)已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x )＝4f (x ＋2)，当x ∈[0，2)时，设f (x )在[2n －2,2n )上的最大值为a n (n ∈N *)，且{a n }的前n 项和为S n ，若S n <k 对任意的正整数n 均成立，则实数k 的取值X 围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ C ．[2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞答案 B解析 由题意，得当x ∈[0,1)时，1≤f (x )≤54；当x ∈[1,2)时，22≤f (x )≤1，所以当x ∈[0,2)时，f (x )的最大值为54；又由f (x ＋2)＝14f (x )，所以当x ∈[2,4)时，f (x )的最大值为54×14；当x ∈[4,6)时，f (x )的最大值为54×⎝ ⎛⎭⎪⎫142，…，所以当x ∈[2n －2,2n )时，f (x )的最大值a n ＝54×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，由等比数列的前n 项和公式，得S n ＝54⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝53－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n <53.若S n <k 对任意的正整数n 均成立，则k ≥53，故选B.(2)(2019·某某师X 大学附属中学高三模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，若对于任意的n ∈N *都有1≤x (S n －4n )≤3恒成立，则实数x 的取值X 围是________． 答案 [2,3]解析 由题设可得S n ＝4n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4n ＋23－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，则S n －4n ＝23－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，不等式1≤x (S n －4n )≤3可化为1≤x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ≤3，即32×11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ≤x ≤92×11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，则问题转化为求⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 的最大值和最小值．由于n ∈N *，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 的最大值和最小值分别为14和－12，则32×11－14≤x ≤92×11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即2≤x ≤3. (3)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则数列{a n }的公差d ＝________，nS n 的最小值为________．答案 23－49解析 由题意知10a 1＋45d ＝0,5a 1＋60d ＝25， 解得d ＝23，a 1＝－3.所以nS n ＝n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1＋n n －12d ＝n 3－10n 23，设f (x )＝x 3－10x 23(x ＞0)，则f ′(x )＝13x (3x －20)，令f ′(x )＝0，解得x ＝203(x ＝0舍去)，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，203时，f (x )单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫203，＋∞时，f (x )单调递增．所以当x ＝203时，f (x )取得极小值．取n ＝6，得f (6)＝－48，取n ＝7，得f (7)＝－49，故nS n 的最小值为－49.数列的通项与前n 项和是自变量为整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题．常涉及最值问题或参数X 围问题，解决问题的关键是利用函数的单调性来研究最值问题．1．(2019·某某省天河区高三年级摸底考试)已知数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，设＝abn ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋(n∈N *)，则当T n <2019时，n 的最大值是( )A ．9B ．10C ．11D ．12答案 A解析 ∵{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＝2n －1，∵{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，∴b n ＝2n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋＝ab 1＋ab 2＋…＋abn ＝a 1＋a 2＋a 4＋…＋a 2n －1＝(2×1－1)＋(2×2－1)＋(2×4－1)＋…＋(2×2n －1－1)＝2(1＋2＋4＋…＋2n －1)－n ＝2×1－2n1－2－n ＝2n ＋1－n －2，∵T n <2019，∴2n ＋1－n －2<2019，得n ≤9.则当T n <2019时，n 的最大值是9.故选A.2．(2019·某某市高三第三次质量检测)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，若集合M ＝{n |n (n ＋1)≥t (a n ＋1)，n ∈N *}中有3个元素，则实数t 的取值X 围是________．答案 1＜t ≤54解析 由题意，因为数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 即数列{a n ＋1}是以2为首项，公比为2的等比数列，所以a n ＋1＝2n，得a n ＝2n－1. 因为n (n ＋1)≥t (a n ＋1)，化简可得t ≤n n ＋12n，记f (x )＝x x ＋12x， f ′(x )＝2x ＋12x－x 2＋x2xln 22x 2＝[2x ＋1－x 2＋x ln 2]2x.当x ≥3时，f ′(x )＜0，此时f (x )是单调递减的． 故当n ≥3时，f ′(n )＜0，此时f (n )也是单调递减的；f (1)＝1，f (2)＝32，f (3)＝32，f (4)＝54；当n ≥5，f (n )＜54.因为集合M ＝{n |n (n ＋1)≥t (a n ＋1)，n ∈N *}中有3个元素，故只需找出f (n )＝n n ＋12n中最大的三个数，而f (2)，f (3)，f (4)是最大的三个数，故集合M 中的这三个元素只能是2,3,4.所以1＜t ≤54.3．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为________．答案212解析 根据数列的递推关系式a n ＋1－a n ＝2n ，可利用累加法求解其通项公式，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2[1＋2＋…＋(n －1)]＋33＝n 2－n ＋33. 所以a n n ＝33n ＋n －1，设f (x )＝33x ＋x －1，令f ′(x )＝－33x2＋1＞0，则f (x )在(33，＋∞)上是单调递增的，在(0，33)上是单调递减的，因为n ∈N *，所以当n ＝5或6时，a nn有最小值．又因为a 55＝535，a 66＝636＝212，所以a n n 的最小值为a 66＝212.热点3 函数与方程思想在解析几何中的应用例 3 (2019·某某八校高三联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的点到右焦点F (c,0)的最大距离是2＋1，且1，2a,4c 成等比数列．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点M (m,0)，某某数m 的取值X 围．解 (1)由已知，得⎩⎨⎧a ＋c ＝2＋1，1·4c ＝2a 2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意得F (1,0)，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－2＝0，y ＝k x －1，消去y 可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋2k2.可得线段AB 的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2.当k ＝0时，直线MN 为y 轴，此时m ＝0；当k ≠0时，直线MN 的方程为y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，化简得ky ＋x －k21＋2k2＝0.令y ＝0，得m ＝k 21＋2k2. 所以m ＝k 21＋2k 2＝11k 2＋2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 综上所述，实数m 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12.解析几何中的X 围问题是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的关键是抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数的性质来使问题得以解决．(2019·某某中学高三一调)已知焦点在y 轴上的抛物线C 1过点(2,1)，椭圆C 2的两个焦点分别为F 1，F 2，其中F 2与C 1的焦点重合，过点F 1与C 2的长轴垂直的直线交C 2于A ，B 两点，且|AB |＝3，曲线C 3是以坐标原点O 为圆心，以|OF 2|为半径的圆．(1)求C 2与C 3的标准方程；(2)若动直线l 与C 3相切，且与C 2交于M ，N 两点，求△OMN 的面积S 的取值X 围． 解 (1)由已知，设抛物线C 1的方程为x 2＝2py (p >0)， 则4＝2p ，解得p ＝2，即C 1的标准方程为x 2＝4y .则F 2(0,1)，不妨设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2a 2＋x 2b 2＝1，y ＝－1，得x ＝±b 2a ，所以|AB |＝2b2a＝3，又a 2＝b 2＋1，所以a ＝2，b ＝3， 故C 2的标准方程为y 24＋x 23＝1.易知|OF 2|＝1，所以C 3的标准方程为x 2＋y 2＝1.(2)因为直线l 与C 3相切，所以圆心O 到直线l 的距离为1.所以S ＝12×|MN |×1＝|MN |2.当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝±1，易知两种情况所得到的△OMN 的面积相等．由⎩⎪⎨⎪⎧y 24＋x 23＝1，x ＝1得y ＝±263.不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，263，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－263，则|MN |＝463，此时S ＝|MN |2＝263.当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ， 则|m |1＋k2＝1，即m 2＝k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 24＋x 23＝1，y ＝kx ＋m得(3k 2＋4)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0，所以Δ＝36k 2m 2－4(3k 2＋4)(3m 2－12)＝48(4＋3k 2－m 2)＝48(2k 2＋3)>0恒成立． 设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )， 则x M ＋x N ＝－6km 3k 2＋4，x M x N ＝3m 2－123k 2＋4.所以S ＝|MN |2＝121＋k2x M ＋x N2－4x M x N＝121＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－6km 3k 2＋42－4×3m 2－123k 2＋4 ＝121＋k 2·482k 2＋33k 2＋4＝2 3 1＋k 22k 2＋33k 2＋4. 令3k 2＋4＝t (t ≥4)，则k 2＝t －43，所以S ＝2332t 2－t －1t 2＝233－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2－1t＋2， 令1t ＝m ′，则m ′∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14， 易知y ＝－m ′2－m ′＋2在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上单调递减，所以32≤S <263.综上，△OMN 的面积S 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，263.。
高考数学思想与方法专题第1讲函数与方程思想1．函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2．和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.1.用函数最值思想求参数的取值范围【例1】关于x的不等式2²32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为.解：设t=3x，则t∈［1,3］，原不等式可化为a2–a–3＞–2t2+t,t∈［1,3］.等价于a2–a–3大于f(t)=–2t2+t在［1,3］上的最大值.答案：(–∞,–1)∪(2,+∞)【例2】． (江西卷)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(０，12］成立，则a 的最小值是( ).Ａ. ０ Ｂ. －２ Ｃ. －52Ｄ. －３解析：与x 2＋ax ＋1≥0在Ｒ上恒成立相比，本题的难度有所增加. 思路分析：１. 分离变量，有a ≥－(x ＋1x )，x ∈(０，12］恒成立.右端的最大值为－52，故选Ｃ.2. 看成关于a 的不等式，由f (0)≥0，且f (12)≥0可求得a 的范围.3. 设f (x )＝x 2＋ax ＋1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4. f (x )＝x 2＋1，g (x )＝－ax ，则结合图形(象)知原问题等价于f (12)≥g (12)，即a ≥－52. 5. 利用选项，代入检验，Ｄ不成立，而Ｃ成立.故选Ｃ. 答案：Ｃ点评：思路１～４具有函数观点，可谓高屋建瓴.思路５又充分利用了题型特点.【例3】. 设f(x)＝lg 1243++x x a，如果当x ∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a 的取值范围。
