八年级数学上册勾股定理练习题北师大版

北师大版八年级勾股定理练习题(含答案)勾股定理练习题一、基础达标:1. 下列说法正确的是（ ）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边,则a 2＋b 2＝c 2；B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边,则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边, 90=∠A ,则a 2＋b 2＝c 2；D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边, 90=∠C ,则a 2＋b 2＝c 2．2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ,则下列各式成立的是（ ）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+3． 如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1,2k （k >1）,那么它的斜边长是（ ）A 、2kB 、k+1C 、k 2－1D 、k 2+1 4. 已知a,b,c 为△ABC 三边,且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0,则它的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 5． 直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定 6． △ABC 中,AB ＝15,AC ＝13,高AD ＝12,则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 7.※直角三角形的面积为S ,斜边上的中线长为d ,则这个三角形周长为（ ）（A 2d （B d（C ）2d （D ）d8、在平面直角坐标系中,已知点P 的坐标是(3,4),则OP 的长为（ ）A ：3B ：4C ：5D ：79．若△ABC 中,AB=25cm,AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（ ）A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10．已知a 、b 、c 是三角形的三边长,如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形 11．斜边的边长为cm 17,一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 ．12. 等腰三角形的腰长为13,底边长为10,则顶角的平分线为＿＿. 13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200,则斜边长为 14．一个三角形三边之比是6:8:10,则按角分类它是 三角形． 15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13,它的周长为60,则它的面积是＿＿＿.16. 在Rt △ABC 中,斜边AB=4,则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____．17．若三角形的三个内角的比是3:2:1,最短边长为cm 1,最长边长为cm 2,则这个三角形三个角度数分别是 ,另外一边的平方是 ． 18．如图,已知ABC∆中,︒=∠90C ,15=BA ,12=AC ,以直角边BC 为直径作半圆,则这个半圆的面积是 ．19． 一长方形的一边长为cm 3,面积为212cm ,那么它的一条对角线长是 ．AB二、综合发展:1．如图,一个高4m 、宽3m 的大门,需要在对角线的顶点间加固一个木条,求木条的长．2、有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗？3.一个三角形三条边的长分别为cm 15,cm 20,cm 25,这个三角形最长边上的高是多少？4．如图,要修建一个育苗棚,棚高h=3m,棚宽a=4m,棚的长为12m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜,试求需要多少平方米塑料薄膜？AEB5．如图,有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m,高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声,它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢,它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图,,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处,过了2s 后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50m,这辆小汽车超速了吗？小汽车小汽车观测点答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案: D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3． 解析：设另一条直角边为x,则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程,可以求出x ．然后再求它的周长. 答案：C ．4．解析：解决本题关键是要画出图形来,作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部,有两种情况,分别求解. 答案：C.5． 解析: 勾股定理得到：22215817=-,另一条直角边是15,所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案: 260cm ．6． 解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+,c ,直角,斜,直角．7． 解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理,即是直角三角形．答案：直角． 8． 解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90,3． 9． 解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ,所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．10． 解析:长方形面积长×宽,即12长×3,长4=,所以一条对角线长为5． 答案：cm 5． 二、综合发展11． 解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ．12解析：因为222252015=+,所以这三角形是直角三角形,设最长边（斜边）上的高为xcm ,由直角三角形面积关系,可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅,∴12=x ．答案：12cm 13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积,需要求出它的另一边的长是多少,可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中,由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m 2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形,利用勾股定理求斜边的值是13m,也就是两树树梢之间的距离是13m,两再利用时间关系式求解. 答案：6.5s ．15．解析：本题和14题相似,可以求出BC的值,再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米,时间是2s,可得速度是20m/s=72km/h＞70km/h．答案：这辆小汽车超速了．。

北师大版八年级数学上【1】勾股定理练习题一、基础达标:1. 下列说法正确的是（）A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边， 90∠A，则a2＋b2＝c2；=D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边， 90∠C，则a2＋b2＝c2．=2. Rt△ABC的三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是（）A．cb+ D.+ C. ca<bba>a=+ B. c2c22+a=b3．如果Rt△的两直角边长分别为k2－1，2k（k >1），那么它的斜边长是（）A、2kB、k+1C、k2－1D、k2+14. 已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A．121B．120C．90D．不能确定6．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）A．42B．32C．42 或 32 D．37 或 337.※直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（）（A2d（B d（C）2d（D）d8、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为（ ）A ：3 B ：4 C ：5 D ：79．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（ ）A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10．已知a 、2(6)100a c --=则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是．12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿.13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是三角形．15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.16. 在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____．17．若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是，另外一边的平方是．18．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是．19． 一长方形的一边长为cm 3，面积为212cm ，那么它的一条对角线长是． 二、综合发展:1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AE 重合， AC B你能求出CD 的长吗？3.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m ，棚宽a=4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案: D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3．解析：设另一条直角边为x ，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然后再求它的周长.答案：C ．4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解.答案：C.5． 解析: 勾股定理得到：22215817=-，另一条直角边是15， 小汽车 小汽车 B C 观测点所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案:260cm ．6． 解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．7． 解析:本题由边长之比是6:8:10可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角．8． 解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90，3．9．解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．10． 解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5．答案：cm 5．二、综合发展11．解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ．12解析：因为222252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm 13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m 2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m ，也就是两树树梢之间的距离是13m ，两再利用时间关系式求解.答案：6.5s ．15．解析：本题和14题相似，可以求出BC 的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s ，可得速度是20m/s=72km/h ＞70km/h ．答案：这辆小汽车超速了．。

一、选择题1．如图所示，数轴上的点A所表示的数为a，则a的值是（）A．51-D．5-+C．51+B．512．如图，在4×4的正方形网格中，所有线段的端点都在格点处，则这些线段的长度是无理数的有（）A．1 条B．2条C．3条D．4条3．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，则CD＝（）A．2.1 B．1.4 C．3.2 D．2.44．下列各组数中是勾股数的是（）A．4，5， 6 B．1.5，2， 2.5 C．11，60， 61 D．1，3，25．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（）A．29 B．32 C．36 D．456．如图，小彬到雁江区高洞产业示范村参观，看到一个贴有大红“年”字的圆柱状粮仓非常漂亮，回家后小彬制作了一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱粮仓模型．如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（）A ．10πcmB ．20πcmC ．102cmD ．52cm 7．下列四组数中，是勾股数的是（ ） A ．5,12,13 B ．4,5,6 C ．2,3,4 D ．1,2,5 8．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A 的相对方向有一小虫P ，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A 处的最短距离是（ ）A ．73厘米B ．10厘米C ．82厘米D ．8厘米 9．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．若小正方形边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的面积等于（ ）A ．36B ．48C ．54D ．10810．如图，在Rt ABC 中，AB AC =，BAC 90∠=︒，点D ，E 为BC 上两点．DAE 45∠=︒，F 为ABC 外一点，且FB BC ⊥，FA AE ⊥，则下列结论： ①CE BF =；②222BD CE DE +=；③ADE 1S AD EF 4=⋅△；④222CE BE 2AE +=，其中正确的是( )A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②③ 11．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A 所代表的正方形的面积为（ ）A．514 B．8 C．16 D．6412．一根旗杆在离地面3米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，旗杆折断之前的高度是（）A．5米B．7米C．8米D．9米二、填空题13．将五个边长为2的正方形按如图所示放置，若A，B，C，D四点恰好在圆上，则这个圆的面积为________．（结果保留 ）14．如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为__________．15．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是______cm．16．已知一个直角三角形三边长的平方和是50，则斜边长为________．17．如图，长方体的底面边长分别为3cm和3cm，高为5cm，若一只蚂蚁从A点开始经过四个侧面爬行一圈到达B点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm．18．如图，长方体的长5BE cm =，宽3AB cm =，高6BC cm =，一只小蚂蚁从长方体表面由A 点爬到D 点去吃食物，则小蚂蚁走的最短路程是__________cm ．19．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A ，B ，C 均为格点，以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，交格线于点D ，则CD 的长为_____．20．如图，圆柱的底面半径为24，高为7π，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A 爬到点B 的最短路程是_____．三、解答题21．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1个单位长度，我们称每个小正方形的顶点为“格点”．（1）若格点C 在线段AB 右侧，且满足AC BC =，则当ABC ∆的周长最小时，ABC∆的面积等于 ．（2）若格点D 在线段AB 左侧，且满足AD BD ⊥，则ABD ∆的面积等于 (以上两问均直接写出结果即可）．22．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中∠DAB = 90°，求证：a 2+b 2=c 2．23．如图，在ABC 中，AB AC =，15BC =，D 是AB 上一点，9BD =，12CD =．（1）求证：CD AB ⊥；（2）求AC 的长．24．三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”（如图1，并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为,a b ，斜边长为c 的4个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理．25．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米． （1）这个梯子底端离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？26．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、 B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；（2）在直线l上找一点P(在答题纸上图中标出)，使PB+PC的长最短，这个最短长度的平方值是___．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可得出选项．【详解】解：BC＝BA22+=125∵数轴上点A所表示的数为a，∴a51故选：C．【点睛】本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图象是解此题的关键．2．B解析：B【分析】由勾股定理求出a、b、c、d，即可得出结果．【详解】∵223213+=d=2，+=，221417345+=22∴长度是无理数的线段有2条，故选B．【点睛】本题考查了勾股定理、无理数，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．3．B解析：B【分析】设CD=x，在Rt△ACD和Rt△ABC中，利用勾股定理列式表示出AC2，然后解方程即可．【详解】解：设CD=x，则BC=5+x，在Rt△ACD中，AC2=AD2-CD2=25-x2，在Rt△ABC中，AC2=AB2-BC2=64-（5+x）2，所以，25-x2=64-（5+x）2，解得x=1.4，即CD=1.4．故答案为：B．【点睛】本题考查了勾股定理，熟记定理并在两个三角形列出等式表示出AC2，然后列出方程是解题的关键．4．C解析：C【分析】根据勾股数的定义判断即可．【详解】解：A、42+52≠62，不是勾股数，故此选项不合题意；B、1.5， 2.5不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；C、112+602＝612，三个数都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；D 、3不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；故选：C ．【点睛】 此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足a 2+b 2＝c 2的三个正整数，称为勾股数． 5．D解析：D【分析】在Rt △ABD 及Rt △ADC 中可分别表示出BD 2及CD 2，在Rt △BDM 及Rt △CDM 中分别将BD 2及CD 2的表示形式代入表示出BM 2和MC 2，然后作差即可得出结果．【详解】解：在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，BD 2＝AB 2−AD 2，CD 2＝AC 2−AD 2，在Rt △BDM 和Rt △CDM 中，BM 2＝BD 2＋MD 2＝AB 2−AD 2＋MD 2，MC 2＝CD 2＋MD 2＝AC 2−AD 2＋MD 2，∴MC 2−MB 2＝（AC 2−AD 2＋MD 2）−（AB 2−AD 2＋MD 2）＝AC 2−AB 2＝45．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC 2和MB 2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．6．C解析：C【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC =A 'C ，且点C 为BB '的中点，∵AB =5cm ，BC =12×10=5cm ， ∴装饰带的长度=2AC =22222255102AB BC +=+=cm ，故选：C ．【点睛】本题考查平面展开-最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．7．A解析：A【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【详解】解：A. ∵5，12，13是正整数，且52+122=132，∴5，12，13是勾股数；B. ∵42+52≠62，∴4，5，6不是勾股数；C. ∵22+32≠42，∴2，3，4不是勾股数；D. ∵2，5不是正整数，∴1，2，5不是勾股数；故选A．【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数．8．B解析：B【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.【详解】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，作点A的对称点B，连接PB，则PB为所求，根据题意，得PC=8，BC=6，根据勾股定理，得PB=10，故选B.【点睛】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.9．C解析：C【分析】根据图形的特征先算出4个三角形的面积之和，再除以4，即可求解．【详解】由题意得：15×15-3×3=216，216÷4=54，故选C ．【点睛】本题主要考查“赵爽弦图”的相关计算，理清图形中的面积关系，是解题的关键． 10．A解析：A【分析】①利用全等三角形的判定得AFB ≌AEC ，再利用全等三角形的性质得结论；②利用全等三角形的判定和全等三角形的性质得FD DE =，再利用勾股定理得结论；③利用等腰三角形的性质得AD EF EF 2EG ⊥=，，再利用三角形的面积计算 结论；④利用勾股定理和等腰直角三角形的性质计算得结论．【详解】解：如图：对于①，因为BAC 90FA AE DAE 45∠∠=︒⊥=︒，，，所以CAE 90DAE BAD 45BAD ∠∠∠∠=︒--=︒-，FAB 90DAE BAD 45BAD ∠∠∠∠=︒--=︒-，因此CAE FAB ∠∠=．又因为BAC 90AB AC ∠=︒=，，所以ABC ACB 45∠∠==︒．又因为FB BC ⊥，所以FBA ACB 45∠∠==︒．因此AFB ≌()AEC ASA △，所以CE BF =．故①正确．对于②，由①知AFB ≌AEC ，所以AF AE =．又因为DAE 45FA AE ∠=︒⊥，，所以FAD DAE 45∠∠==︒，连接FD ， 因此AFD ≌()AED SAS △．所以FD DE =．在Rt FBD △中，因为CE BF =，所以222222BD CE BD BF FD DE +=+==．对于③，设EF 与AD 交于G ．因为FAD DAE 45AF AE ∠∠==︒=，，所以AD EF EF 2EG ⊥=，． 因此ΔADE 11S AD EG AD EF 24=⨯⨯=⨯⨯． 故③正确．对于④，因为CE BF =，又在Rt FBE △中，22222CE BE BF BE FE +=+= 又AEF △是以EF 为斜边的等腰直角三角形，所以22EF 2AE =因此，222CE BE 2AE +=．故④正确．故选A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的面积． 11．D解析：D【分析】设直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，由题意得222+=a b c ，代入得到2225289a +=，计算求出答案即可．【详解】如图，设直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，由题意得222+=a b c ，∴2225289a +=，∴字母A 所代表的正方形的面积264a =，故选：D ．．【点睛】此题考查以弦图为背景的证明，熟记勾股定理的计算公式、理解三个正方形的面积关系是解题的关键．12．C解析：C如图，由题意，AC ⊥BC ，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB ，求出AB 即可解决问题．【详解】解：如图，由题意，AC ⊥BC ，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB ．在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=3米，BC=4米， ∴2222AB AC BC 345=++=（米），∴旗杆折断之前的高度高度=AC+AB=3+5=8（米），故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确画出图形，运用勾股定理解决问题．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．【分析】根据题意得到圆心O 的位置设MO=x 根据AO2=DO2得到方程求出x 得到圆O 的半径从而求出面积【详解】解：由题意可得：多个小正方形排成轴对称图形∴圆心O 落在对称轴MN 上设MO=x ∵AO=DO ∴ 解析：1309π 【分析】根据题意得到圆心O 的位置，设MO=x ，根据AO 2=DO 2，得到方程，求出x ，得到圆O 的半径，从而求出面积．【详解】解：由题意可得：多个小正方形排成轴对称图形，∴圆心O 落在对称轴MN 上，设MO=x ，∵AO=DO ，∴AO 2=DO 2，即()2222163x x +=-+，解得：x=11 3，∴圆O的半径为21x+=130，∴圆O的面积为21303π⎛⎫⎪⎪⎝⎭=1309π，故答案为：1309π．【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，圆的性质，解题的关键是根据半径相等得到方程．14．7【分析】根据已知利用全等三角形的判定可得到△BCG≌△GJF从而得到正方形BEFG的面积=正方形ABCD的面积+正方形FHIJ的面积【详解】解：∵∠BGC+∠FGJ=90°∠GFJ+∠FGJ=90解析：7【分析】根据已知利用全等三角形的判定可得到△BCG≌△GJF，从而得到正方形BEFG的面积=正方形ABCD的面积+正方形FHIJ的面积．【详解】解：∵∠BGC+∠FGJ=90°，∠GFJ+∠FGJ =90°∴∠BGC =∠GFJ∵∠BCG=∠GJF，BG=GF∴△BCG≌△GJF∴CG=FJ，BC=GJ，∴BG2=BC2+CG2=BC2+FJ2∴正方形DEFG的面积=正方形ABCD的面积+正方形FHIJ的面积=4+3=7．【点睛】本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．15．13【分析】如图将容器侧面展开建立A关于的对称点根据两点之间线段最短可知的长度即为所求【详解】将圆柱沿A所在的高剪开展平如图所示则作A 关于的对称点连接则此时线段即为蚂蚁走的最短路径过B作于点则在中由【分析】如图，将容器侧面展开，建立A 关于MM '的对称点A '，根据两点之间线段最短可知A B '的长度即为所求．【详解】将圆柱沿A 所在的高剪开，展平如图所示，则10cm MM NN '='=，作A 关于MM '的对称点A '，连接A B '，则此时线段A B '即为蚂蚁走的最短路径，过B 作BD A A ⊥'于点D ，则5,''123312cm BD NE cm A D MN A M BE ===+-=+-=，在Rt A BD '中， 由勾股定理得2213cm A B A D BD ''=+=，故答案为：13．【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用相关知识是解题的关键．16．5【分析】设两直角边长分别为ab 斜边长为c 则根据题意列得即可求出答案【详解】设两直角边长分别为ab 斜边长为c 则∵三边长的平方和是∴∴解得c=5（负值舍去）故答案为：5【点睛】此题考查勾股定理正确掌握解析：5【分析】设两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，则222+=a b c ，根据题意列得2250c =即可求出答案.【详解】设两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，则222+=a b c ，∵三边长的平方和是50，∴22250a b c ++=，∴2250c =，解得c=5（负值舍去），故答案为：5.此题考查勾股定理，正确掌握勾股定理的计算公式是解题的关键.17．13【分析】要求长方体中两点之间的最短路径只需将长方体展开然后利用两点之间线段最短及勾股定理求解即可【详解】解：展开图如图所示：由题意在中AD=12cmBD=5cm蚂蚁爬行的最短路径长为：故答案为1解析：13【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，只需将长方体展开，然后利用两点之间线段最短及勾股定理求解即可．【详解】解：展开图如图所示：由题意，在Rt ADB中，AD=12cm，BD=5cm，∴蚂蚁爬行的最短路径长为：2222=+=+=，AB AD BD cm12513故答案为13．【点睛】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握求最短路径的方法是解题的关键．18．10【分析】将长方体展开可分三种情况求出其值最小者即为最短路程【详解】如图①：AD=；如图②：AD=；如图③：AD=；∴AD的最小值为故答案为：【点睛】本题依据两点之间线段最短考查了长方体的侧面展开解析：10【分析】将长方体展开，可分三种情况，求出其值最小者，即为最短路程．【详解】如图①：AD=22311130+=；如图②：AD=22+==；8610010如图③：AD=22+=；95106∴AD的最小值为10．故答案为：10．【点睛】本题依据“两点之间，线段最短”，考查了长方体的侧面展开图，解答时利用勾股定理进行分类讨论是解题的关键．19．【分析】由勾股定理求出AB再由勾股定理求出DE即可得出CD的长【详解】解：连接ABAD如图所示：∵AD＝AB＝∴DE＝∴CD＝故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理由勾股定理求出ABDE是解题的关键解析：37-【分析】由勾股定理求出AB，再由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．【详解】解：连接AB，AD，如图所示：∵AD＝AB＝222222+=，∴DE＝()22-=，2217-．∴CD＝37-．故答案为：37【点睛】本题考查了勾股定理，由勾股定理求出AB、DE是解题的关键．20．25π【分析】沿过A点和过B点的母线剪开展成平面连接AB则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程求出AC和BC的长根据勾股定理求出斜边AB即可【详解】解：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪解析：25π【分析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出AC和BC的长，根据勾股定理求出斜边AB即可．【详解】解：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB 的长是蚂蚁在圆柱表面从A 点爬到B 点的最短路程，AC ＝12×2π×24＝24π，∠C ＝90°，BC ＝7π， 由勾股定理得：AB ＝()()2222274AC BC ππ+=+＝25π．故答案为：25π．【点睛】考核知识点：勾股定理．把问题转化为求线段长度是关键．三、解答题21．（1）2.5；（2）2或2.5或1.5【分析】（1）根据格点C 在线段AB 右侧，且满足AC=BC ，画出周长最小的格点△ABC ，即可求出△ABC 的面积；（2）根据格点D 在线段AB 左侧，且满足AD ⊥BD ，分别画出格点△ABD ，即可得三角形的面积．【详解】解：（1）如图，△ABC 即为所求；△ABC 的面积为：1552⨯⨯=2.5， 故答案为：2.5；（2）如图点D 1，D 2，D 3 即为所求；△ABD 的面积分别为：12222， 1552， 1132⨯⨯=1.5， 故答案为：2或2.5或1.5．【点睛】此题主要考查了格点图形的性质，把握格点图形的定义，正确画出格点三角形是解决问题的关键．22．证明见解析．【分析】根据ACD ABC ABD BCD ABCD S SS S S =+=+四边形即可得证．【详解】如图，过点D 作DF BC ⊥，交BC 延长线于点F ，连接BD ，则DF CE =，由全等三角形的性质得：AC DE b ==，DF CE AC AE b a ∴==-=-，ACD ABC ABD BCD ABCD S S S S S =+=+四边形，11112222AC DE AC BC AD AB BC DF ∴⋅+⋅=⋅+⋅， 即221111()2222b bac a b a +=+⋅-， 整理得：222+=a b c ．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，掌握“面积法”是解题关键．23．（1）见解析；（2）AC 的长为12.5．【分析】(1)计算△BCD 各边的平方，看是否满足勾股定理的逆定理，依此判断直线的位置关系；(2)用方程思想，表达勾股定理计算即可.【详解】（1）证明：2222129225CD BD +=+=，2225BC =，222CD BD BC ∴+=，90CDB ∴∠=︒，CD AB ∴⊥；（2）设AB AC x ==，则9AD x =-，在Rt ACD 中，90ADC ∠=︒，222AD CD AC ∴+=，222(9)12x x ∴-+=，解得12.5x =，AC ∴的长为12.5．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理，逆定理并灵活运用是解题的关键. 24．见解析【分析】根据总面积=以c 为边的正方形的面积+2个直角边长为,a b 的三角形的面积=以b 为上底、(a+b)为下底、高为b 的梯形的面积+以a 为上底、(a+b)为下底、高为a 的梯形的面积，据此列式求解．【详解】 证明：总面积()()21112222S c ab a b b b a a b a =+⨯=++⋅+++⋅ 222c a b ∴=+【点睛】此题考查的是勾股定理的证明，用两种方法表示同一图形的面积是解题关键． 25．（1）7米；（2）不是【分析】（1）利用勾股定理直接求出边长即可；（2）梯子的顶端下滑了4米，则20a =米，利用勾股定理求出b 的值，判断是否梯子的底部在水平方向也滑动了4米．【详解】（1）如图，由题意得此时a ＝24米，c ＝25米，由勾股定理得222+=a b c ， ∴2225247b =-=（米）；（2）不是，如果梯子的顶端下滑了4米，此时20a =米，25c =米，由勾股定理，22252015b =-=（米），1578-=（米），即梯子的底部在水平方向滑动了8米．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握用勾股定理解直角三角形的方法． 26．（1）见解析；（2）图见解析，13【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用轴对称求最短路线求法得出P 点位置．【详解】（1）分别找到各点的对称点，顺次连接可得△A ′B ′C ′．（2）连接B 'C ，则B 'C 与l 的交点即是点P 的位置，求出PB +PC 的值即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）如图所示：连接B′C ，与直线l 交于点P ，此时PB+PC 最短，PB+PC＝PB'+PC＝B'C222313则这个最短长度的平方值是13．【点睛】本题考查了轴对称作图及最短路线问题，以及勾股定理，解答本题的关键是掌握轴对称的性质，难度一般．。

第一章勾股定理分节练习第1节探索勾股定理一、求边长问题. ★★★题型一：已知直角三角形的两边，求第三边.1、【基础题】求出下列两个直角三角形中x和y边的长度.、【基础题】（1）求斜边长为17 cm，一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积.（2）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是________.、【综合Ⅰ】已知一个等腰三角形的两腰长为5 cm，底边长6 cm，求这个等腰三角形的面积.、【综合Ⅰ】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米 B．10米C．12米D．14米、【综合Ⅰ】强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，求旗杆折断之前有多高、【综合Ⅱ】如图，某储藏室入口的截面是一个半径为 m的半圆形，一个长、宽、高分别是 m、1 m、 m的箱子能放进储藏室吗题型二：用“勾股定理 + 方程”来求边长.2、【综合Ⅱ】一个直角三角形的斜边为20 cm，且两直角边的长度比为3∶4，求两直角边的长.【综合Ⅱ】 如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，下端刚好接触地面，求旗杆AC 的高度.、【综合Ⅱ】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问趣，这个问题的意思是：如左下图，有一个边长是10尺的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边中点的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少【综合Ⅲ】如右上图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．【提高题】（2011年北京市竞赛题）两张大小相同的纸片，每张都分成7个大小相同的矩形，放置如图所示，重合的顶点记作A ，顶点C 在另一张纸的分隔线上，若BC ＝28，则AB 的长是 ______ ．类型三： “方程 ＋ 等面积” 求直角三角形斜边上的高.3、 直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为 （ ）.（A ）6 （B ） （C ）1320 （D ）1360二、面积问题. ★4、【基础题】求出左下图中A 、B 字母所代表的正方形的面积.、【综合Ⅰ】如右上图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干图形，使它们的面积之和等于最大正方形1的面积，尝试给出两种方案.、【综合Ⅰ】如左下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2.、【综合题】如右上图2，以Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）.（A ）9 （B ）3 （C ）49 （D ）295、【综合Ⅲ】如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则1S ＋2S ＋3S ＋4S ＝________三、证明问题6、【综合Ⅲ】1876年，美国总统加菲尔德利用右图验证了勾股定理，你能利用左下图验证勾股定理吗说一说这个方法和本节的探索方法的联系.7、【提高题】 如右上图，在Rt △ABC 中，∠A ＝ 90，D 为斜边BC 的中点，DE ⊥DF ，求证：222CF BE EF ＋＝.8、【提高题】 如图，AD 是△ABC 的中线，证明：）＋（＝＋22222CD AD AC AB第2节 一定是直角三角形吗9、【基础题】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示，这个零件符合要求吗并求出四边形ABCD 的面积.、【综合Ⅰ】如左下图，6个三角形分别标号，哪些三角形是直角三角形，哪些不是，请说明理由.、【综合Ⅰ】如右上图，在正方形ABCD 中，4＝AB ，2＝AE ，1＝DF ，图中有几个直角三角形，说明理由.10、【基础题】下列各组中，不能构成直角三角形三边长度的是 （ ）（A ）9，12，15 （B ）15，32，39 （C ）16，30，34 （D ）9，40，41、【基础题】（1）如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗（2）下表中第一列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的2倍、3倍、4倍、10倍还是勾股数吗任意正整数倍呢说说你的理由。

第1章检测卷勾股定理(时间:100分钟满分:120分)题号一二三总分得分一、选择题(每小题3分，共30分)1.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 ( )A.∠A+∠B=∠CB.∠A:∠B:∠C=1:2:3C.a²=c²−b²D. a:b:c=3:4:62.下列各组数中，不能作直角三角形三边长的是 ( )A.3,4,5B.5,12,13C.7,24,25D.7,9,133.若直角三角形的三边长为6，8，m，则m²的值为 ( )A.10B.100C.25D.100 或284.如图,D为△ABC的边BC上一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,则BC的长为( )A.13B.14C.15D.165.将一根长为25 cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12 cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外的长为h cm，则 h的取值范围是 ( )A.12≤h≤13B.11≤h≤12C.11≤h≤13D.10≤h≤126.如图,高速公路上有A,B两点相距10km,点 C,D 为两村庄,已知DA=4km,CB=6km. DA⊥AB于点A,CB ⊥AB于点B,现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是( )A. 4kmB. 5kmC.6kmD.7 km7.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草( )A.1B.2C.3D.48.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为 ( )A.0.7 米B.1.5米C.2.2 米D.2.4米9.在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔(kǔn)一尺，不合二寸，问门广几何?”意思是：如图，推开两扇门(AD 和BC)，门边缘 D，C 两点到门槛AB的距离是1 尺(1尺=10寸)，两扇门的间隙CD为2寸，那么门的宽度(两扇门的宽度和)AB为 ( )A.101 寸B.100寸C.52寸D.96寸10.如图，圆柱形容器高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B 处的最短距离为( )A.13cmB.12 cmC.16 cmD.20cm二、填空题(每小题3分，共15 分)11.三个正方形如图摆放，其中两个正方形的面积分别为S₁=25,S₂=144,则第三个正方形的面积为S₃=.12.如图,∠C=90°,AB=12,BC=3,CD=4,AD=13,则∠ABD=.13.一直角三角形的两边长分别为4和5，明明以第三边为正方形的一边，画了个正方形，则明明画的这个正方形的面积等于 .14.如图，每个小正方形的边长都为1，则△ABC的三边长a，b，c的大小关系是 .(用“>”连接)15.如图为一个三级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别是50cm，30cm，10cm，A 和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到 B 点，最短路线的长是 cm.三、解答题(本大题共8个小题，共75分)16.(8分)有一朵荷花，花朵高出水面1尺，一阵大风把它吹歪，使花朵刚好落在水面上，此时花朵离原位置的水平距离为3尺，此水池的水深有多少尺?17.(8分)如图所示的一块草坪，已知AD=12m,CD=9m,∠ADC=90°,AB=39m,BC=36m,求这块草坪的面积.18.(8 分)如图,在长方形ABCD 中,AB=3cm,AD=9cm,，将此长方形折叠,使点 B 与点 D 重合,折痕为 EF,求△ABE的面积.19.(9 分)如图,在△ABC中,D 是BC 上一点,若AB=10,BD=6,AD=8,AC=17.(1)求 DC 的长;(2)求△ABC的面积.20.(9分)如图,长方体中AB=BB′=2,AD=3,，一只蚂蚁从A点出发，在长方体表面爬到C′点，求蚂蚁怎样走最短，最短路径是多少.21.(10分)如图，牧童在A 处放羊，其家在B 处，A，B 到河岸的距离分别为AC=400m,BD=200m,C，D间的距离为800 m，牧童从A处把羊牵到河边饮水后再回家，试问：羊在何处饮水所走路程最短?在图中画出最短路径并求出最短路径的长度是多少.22.(11 分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm..若点 P 从点 A出发，以每秒2cm的速度沿A→C→B→A运动，设运动时间为ts(t⟩0).(1)当点P在AC上,且满足.PA=PB时，求t的值；(2)若点 P 恰好在∠BAC的平分线上，求t的值.23.(12分)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感，他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理.下面是小聪利用图1 证明勾股定理的过程.将两个全等的直角三角形按图1所示的方式摆放，其中∠DAB=90°.试说明：a²+b²=c².解：连接DB，过点D作DF⊥BC,，交 BC的延长线点于点 F，则DF=EC=b−a.因为S四边形ADCB =SACD+SABC=12b2+12ab,S四边形ADCB =SABD+SDCB=12c2+12a(b−a).所以12b2+12ab=12c2+12a(b−a).所以a²+b²=c².请参照上述方法，回答下面的问题.将两个全等的直角三角形按图2所示的方式摆放，其中∠DAB=90°.试说明：a²+b²=c².第1章检测卷勾股定理1. D2. D3. D4. B5. A6. C7. D8. C9. A 10. D 11.16912.90° 13.41或9 14. c>a>b 1 5.13016.解：设水深x尺，那么荷花径的长为(x+1)尺.由勾股定理得x²+3²=(x+1)².解得x=4.答：水池的水深有4 尺.17.解:如图,连接AC,则在Rt△ADC中,AC²=AD²+CD²=12²+9²=225,所以AC=15.在△ABC中,.AB²=1521.因为AC²+BC²=15²+36²=1521,所以AB²=AC²+BC².所以△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.所以SABC −SAcD=12AC⋅BC−12AD⋅CD=12×15×36−12×12×9=270-54=216(m²).答：这块草坪的面积是216平方米.18.解:因为四边形ABCD 是长方形,所以∠A=90°.设BE=x cm.由折叠的性质可得DE=BE=x cm.所以AE=AD-DE=(9-x) cm.在Rt△ABE中,BE²=AE²+AB²,所以x²=(9−x)²+3².解得x=5.所以DE=BE=5cm,AE=4 cm.所以SABE =12AB⋅AE=12×3×4=6(cm2).19.解:(1)因为在△ABD中,.AB=10,BD=6,AD=8,所以AB²=100,BD²+AD²=36+64=100.所以AB²=BD²+AD².所以△ABD是直角三角形.所以AD⊥BC,即∠ADC=90°.在Rt△ADC中,AD=8,AC=17,由勾股定理得DC²=17²−8²=225,所以DC=15.(2)SABC =12AD⋅BC=12AD⋅(BD+DC)=84.20.解:①如图1,把长方体沿.A→A′→D′→C′→C→D→A剪开，则成长方形ACC'A',宽为AA′=BB′=2,长为AD+DC=AD+AB=5.连接AC'，则点A，C，C'构成直角三角形，由勾股定理得AC′²= (AD+DC)²+DD′²=5²+2²=29.②如图2，把长方体沿. A→A ′→B ′→C ′→D ′→D→A 剪开，则成长方形ADC'B',宽为AD=3,长为 DD ′+D ′C ′=BB ′+AB =4.连接AC',则点A,D,C'构成直角三角形,由勾股定理得 AC ′²=AD²+(DD ′+D ′C ′)=3²+4²=25.因为25<29，所以最短路径是5.21.解:作点 B 关于 CD 的对称点 B',连接AB'交 CD 于点 P,连接PB,此时PA+PB 的值最小，最小值为AB'的长.过点 A 作AE⊥B'B 交B'B 的延长线于点 E.在 Rt△AED'中,因为AE=CD=800 m,B'E=AC +B'D =AC +BD=400+200=600(m),所以 AB ′²=AE²+B ′E²=800²+600².所以 AB ′=1000m.即最短路程的长度是1 000 m.22.解:(1)因为AB=5cm,BC =3cm,∠C=90°,所以由勾股定理得 AC²=AB²−BC²=5²−3²=16,所以 A C=4 cm.当PA=PB =2t cm 时,PC=(4-2t) cm.在 Rt△PCB 中,由勾股定理得 PC²+BC²=PB².即 (4−2t )²+3²=(2t )².解得 t =2516.所以PA=PB 时,t 的值为 2516.(2)当点 P 在∠BAC 的平分线上时,如图,过点 P 作 PE⊥AB 于点 E.此时BP=(7-2t) cm,PE=PC=(2t-4) cm,BE=5-4=1(cm),其中0<t<3.5.在 Rt△BEP 中,由勾股定理得 PE²+BE²=BP².即 (2t−4)²+1²=(7−2t )²,解得 t =83.当t=6时，点P 与点A 重合，也符合条件.所以点 P 恰好在∠BAC 的平分线上时，t 的值为 83或6.23.解:连接BD,过点B 作BF⊥DE,交DE 的延长线于点 F,易知BF=b-a.因为S CBED =S ABC +S ABD +S BDE =12ab +12c 2+ 12a (b−a ),S ACBED =S ACBE +S ADE =12b (a +b )+12ab,所以12ab +12c 2+12a (b−a )=12b (a +b )+12ab.所以 a²+b²=c².。

北师大版数学八年级上册第一章勾股定理专项练习（含答案）练习一1. 如图字母B 所代表的正方形的面积是 ( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 1942.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远 的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和 岸边的水平刚好相齐,河水的深度为( ). A.2m B.2.5cm C.2.25m D.3m3.△ABC 中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△A BC 的周长是( ) A.42 B.32 C.42或32 D.37或334、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一 个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A 、5B 、25C 、7D 、155. 直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( )A. ab=h 2B. a 2+b 2=2h 2C. a 1+b 1=h 1D. 21a +21b =21h6.已知，如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的动点，AC PE ⊥于E ，BD PF ⊥于F ，如果AB=3，AD=4，那么（ ） A.512=+PF PE ； B. 512＜PF PE +＜513； C. 5=+PF PE D. 3＜PF PE +＜47．（1）在Rt△ABC 中，∠C=90°．①若AB=41，AC=9，则BC=_______；②若AC=1.5，BC=2，则AB=______，△ABC 的面积为________．8.在布置新年联欢会的会场时,小虎准备把同学们做的拉花用上,•他搬来了一架高为2.5米的梯子,要想把拉花挂在高2.4米的墙上,•小虎应把梯子的底端放在距离墙________米处.9.在△ABC中，∠C=900,，BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从C 点出发，以每分20cm 的 速度沿CA-AB-BC 的路径再回到C 点，需要______分的时间.10.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ， A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的 食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是_________B16925第6题11.已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0， 则第三边长为＿＿＿＿＿＿.12.如图7所示,Rt△ABC 中,BC 是斜边,将△A BP 绕点A 逆时针旋转后,能与 △ACP′重合,如果AP=3,你能求出PP′的长吗?13.如图4为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的 长度至少需要多少米?14.如图2，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4米，高3米，长20米，棚的斜面 用塑料布遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积15．如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD 的面积．CBA D16.如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,•则这条小路的面积是多少?5米3米317、4个全等的直角三角形的直角边分别为a 、b ，斜边为c ．现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中 的道理吗？请试一试．b18. 如图3,长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M 在CH 上,且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点M,需要爬行的最短距离是多少?19．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70km/h ．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻 刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30m 处，过了2s •后，测得小汽车 与车速检测仪间距离为50m ．这辆小汽车超速了吗？小汽车观察点小汽车C A20．如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，长BC 为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想 一想，此时EC 有多长？BCB EF21.有一块三角形的花圃ABC,现可直接测得∠A=30,AC=40m,BC=25m,请你求出这 块花圃的面积.22.如图所示,△AB C 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于D,且AB+BC=18cm,若要求出CD •和AC 的长,还需要添加什么条件?DCA23.四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……．⑴记正方形ABCD 的边长为11 a ，按上述方法所作的正方形的边长依次为n a a a a ,,,,432 ，请求出432,,a a a 的值；⑵根据 以上规律写出n a 的表达式．24.已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC 长为3 p ，BB l 是∠ABC 的平分线交AC 于点B 1，过B 1作B 1B 2⊥AB 于点B 2，过B 2作B 2B 3∥BC 交AC 于点B 3，过B 3作B 3B 4⊥AB 于点B 4，过B 4作B 4B 5∥BC 交AC 于点B 5，过B 5作B 5 B 6⊥AB 于点B 6，…，无限重复以上操作．设b 0=BB l ，b 1=B 1B 2，b 2=B 2B 3，b 3=B 3B 4，b 4=B 4B 5，…，bn=BnBn +1，…．(1)求b 0，b 3的长；(2)求bn 的表达式(用含p 与n 的式子表示，其中n 是正整数)25、已知：在Rt△ABC 中，∠C＝900，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为S ，周长为l ． ⑴填表：⑵如果a ＋b －c ＝m ，观察上表猜想：S l＝__________(用含有m 的代数式表示)． ⑶证明⑵中的结论．26．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图（一）中四边形ABCD 就是一个“格点四边形”．（1）求图（一）中四边形ABCD 的面积；（2）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG ，使△EFG 的面积等于四边形ABCD 的面积且为轴对称图形．DCBA图（一） 图（二）练习二1. 有五组数：①25，7，24；②16，20，12；③9，40，41；④4，6，8；⑤32,42,52， 以各组数为边长，能组成直角三角形的个数为( ). A.1 B.2 C.3 D.42.三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( ) A.6 B.4.5 C.2.4 D.83.下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成 直角三角形的有（ ）A 、5组；B 、4组；C 、3组；D 、2组4.在同一平面上把三边BC=3，AC=4、AB=5的三角形沿最长边AB 翻折后得到 △ABC′，则CC′的长等于（ ） A 、125 ； B 、135 ； C 、56 ； D 、2455、下列说法中, 不正确的是 ( )A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形B. 三个角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形C. 三边长度之比为3:4:5的三角形是直角三角形D. 三边长度之比为5:12:13的三角形是直角三角形6、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能 构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A. CD 、EF 、GHB. AB 、EF 、GHC. AB 、CD 、GHD. AB 、CD 、EF7.如图4所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D 的面积的和是_______cm 2.7cmDCB A8．已知2条线段的长分别为3cm 和4cm ，当第三条线段的长为_______cm 时，这3条线段能组成一个直角三角形．9、在△ABC 中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是________．（第6题）10. 传说,古埃及人曾用＂拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________11．小芳家门前有一个花圃，呈三角形状，小芳想知道该三角形是不是一个直角三角形，请问她可以用什么办法来作出判断？你能帮她设计一种方法吗？12.给出一组式子:32+42=52,82+62=102,152+82=172,242+102=262……(1)你能发现上式中的规律吗?(2)请你接着写出第五个式子.13．观察下列各式，你有什么发现？32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41……这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？请你结合有关知识进行研究．如果132=b+c，则b、c的值可能是多少14．如图，是一块由边长为20cm的正方形地砖铺设的广场，一只鸽子落在点A 处，它想先后吃到小朋友撒在B、C处的鸟食，则鸽子至少需要走多远的路程？15．如图，在△ABC 中，AB=AC=13，点D 在BC 上，AD=12，BD=5，试问AD 平分∠BAC 吗？为什么？CAB16．如图，是一个四边形的边角料，东东通过测量，获得了如下数据：AB=3cm ，BC=12cm ，CD=13cm ，AD=4cm ，东东由此认为这个四边形中∠A 恰好是直角， 你认为东东的判断正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果 你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断∠A 是直角？DCA B17. 学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足a 2+b 2=c 2, 或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验!(1)画出任意一个锐角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是a=______mm;b=_______mm;较长的一条边长c=_______mm. 比较a 2+b 2=______c 2(填写’’>’’ , ”<’’, 或’’=’’); (2)画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是a=______mm;b=_______mm;较长的一条边长c=_______mm.比较a 2+b 2=______c 2(填写’’>’’ , ”<’’, 或’’=’’); (3)根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题,你猜想的结论是:_________________. 对你猜想22a b 与2c 的两个关系，利用勾股定理证明你的结论．(1)B A(2)CB A(3)CBA18.如图（1）所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图（2）所示．已知展开图中每个正方形的边长为1．（1）求在该展开图中可画出最长线段的长度？这样的线段可画几条？ （2）试比较立体图中BAC ∠与平面展开图中B A C '''∠的大小关系？AC B 第17题图(1) 第17题图(2) A ' C 'B ' 第17题图(1)A ' C 'B 'D ' 第17题图(2) A ' C 'B '练习一答案1.C2.A3.C4.C5.D6.A7．（1）①40；②2.5；1.58.0.7 9. 12 10.25dm11.22或13或5 12.PP′=3. 13. 7米 14. 100平方米 15．12.516.=∴EC=84-80=4(m),∴S 阴=4×60=240(m 2).17．由图可知，边长为a 、b 的正方形的面积之和等于边长为c 的正方形的面积18. 25cm19．超速，经计算的小汽车的速度为72km/h20．由条件可以推得FC=4，利用勾股定理可以得到EC=3cm ．21.提示:分锐角、钝角三角形两种情况:(1)S △ABC 2;(2)S △ABC 2.22.提示:可给特殊角∠A=∠BCD=30°,也可给出边的关系,如BC:AB=1:2等等. 23解：⑴11=a ;211222=+=a ()()222223=+=a ;2222224=+=a⑵12-=n n a∵12111==-a ;22122==-a ;22133==-a222144==-a ∴12-=n n a24．(1)b0=2p在Rt△B 1B 2中，b 1=P ．同理．b 2=3 p/2b 3=3p/4(2)同(1)得：b 4=(3 /2)2p ．∴bn=(3 /2)n-1(n 是正整数)．25、⑴填表：⑵S l ＝m 4⑶证明：∵a＋b －c ＝m ，∴a＋b ＝m ＋c ， ∴a 2＋2ab ＋b 2＝m 2＋c 2＋2mc ．∵a 2＋b 2＝c 2，∴2ab＝m 2＋2mc∴ab 2＝14m(m ＋2c) ∴S l ＝12ab a ＋b ＋c ＝14m(m ＋2c)m ＋c ＋c ＝m 426解：（1）方法一：S ＝12×6×4 ＝12方法二：S ＝4×6－12×2×1－12×4×1－12×3×4－12×2×3＝12 （2）（只要画出一种即可）练习二答案1.C2.D3.B4.D5.B6.B7.49 8．5cmcm 9. 108 10. 6,6,10 勾股定理的逆定理11．方法不惟一．如：•分别测量三角形三边的长a 、b 、c （a≤b≤c），然后计算是否有a 2+b 2=c 2，确定其形状12.(1)(n 2-1)2+(2n)2=(n 2+1)2(n>1).(2)352+122=372.13．•其中的一个规律为（2n+1）=2n （n+1）+[2n （n+1）+1]．当n=6时，2n （n+1）、[2n （n+1）+1]的值分别是84、•8514．AB=5cm ，BC=13cm ．•所以其最短路程为18cm15．AD 平分∠BAC．因为BD 2+AD 2=AB 2，所以AD⊥BC，又AB=AC ，所以结论成立16．不正确．增加的条件如：连接BD ，测得BD=5cm ．17.解：若△ABC 是锐角三角形，则有222a b c +>若△ABC 是钝角三角形，C ∠为钝角，则有222a b c +<．当△ABC 是锐角三角形时，a cb DC BA证明：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，设CD 为x ，则有BD ＝a x -根据勾股定理，得22222()b x AD c a x -==--即222222b x c a ax x -=-+-．∴2222a b c ax +=+∵0,0a x >>，∴20ax >．∴222a b c +>．当△ABC 是钝角三角形时，a cb D C BA证明：过B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于D ．设CD 为x ，则有222BD a x =-根据勾股定理，得2222()b x a x c ++-=．即2222a b bx c ++=．∵0,0b x >>，∴20bx >，∴222a b c +<．18解：（1如图（1）中的A C ''，在A C D '''Rt △中13C D A D ''''==，，由勾股定理得：A C ''∴==答：这样的线段可画4条（另三条用虚线标出）．（2）立体图中BAC ∠为平面等腰直角三角形的一锐角， 45BAC ∴∠=．在平面展开图中，连接线段B C ''，由勾股定理可得：A B B C ''''==又222A B B C A C ''''''+=，由勾股定理的逆定理可得A B C '''△为直角三角形． 又A B B C ''''=，A B C '''∴△为等腰直角三角形．45B A C '''∴∠=． 所以BAC ∠与B A C '''∠相等． D '。

八年级数学第一章《勾股定理》复习练习一、选择题：1、下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，能构成直角三角形的是()A．3，5，6 B．2，4，5 C．6，7，8 D．1.5，2，2.52、如梯子的底端离建筑物5米，那么13 米长的梯子可以达到建筑物的高度是( ) A．12 米 B．13 米 C．14 米 D．15 米3、我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米4、若△A B C的三边长 a ，b ，c满足(a－b )2＋|a 2＋b2－c2|＝0，则△ABC是( ) A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形5、如图，有一个圆锥，高为8cm，底面直径为12cm.在圆锥的底边B点处有一只蚂蚁，它想吃掉圆锥顶部A处的食物，则它需要爬行的最短路程是( )A.8cmB.9cmC. 10cmD. 11cm6、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9 B．6 C．4 D．3二、填空题：7、测得一块三角形稻田的三边长分别是30m，40m，50m，则这块稻田的面积为______.8、《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为．9、在一棵树的10米高B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处(离树20米)的池塘边，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高________米.10、如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程(π取3)是 .11、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为 .12、如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为 .三、解答题：13、设一个直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边上的高为h，斜边长为c，试判断以c+h，a+b，h为边的三角形的形状14、已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，求BC的长15、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，求离开港口2小时后，两船相距多少海里？16、已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求四边形ABCD的面积.17、如图，小丽荡秋千，秋千架高2.4m，秋千座位离地0.4m，小红荡到最高时，座位离地0.8m.此时小红荡出的水平距离是多少？(荡到秋千架两边的最高点之间的距离)参考答案一、选择题：1、D2、 A3、A4、C5、 C6、 D二、填空题：7、600m28、x2+32=（10﹣x）29、1510、10 cm11、1.512、40m三、解答题：13、直角三角形14、2或215、40海里16、1817、2.4m。

北师大版八年级上册数学《勾股定理》必考题型专题练习1.判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长.（1）8，15，17；（2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．2. 蚂蚁沿图中所示的折线由点A爬到了点D，蚂蚁一共爬行了多少厘米？（图中小方格的边长代表1厘米）3. 一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160km，然后向正北方向航行了120km，这时它离出发点有多远？A CB4. 小明从家出发向正北方向走了150m，接着向正东方向走到离家250m远的地方．小明向正东方向走了多远？5. 如图，BC长为3cm，AB长为4cm，AF长为12cm．求正方形CDEF的面积.6. 一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7m．（1）这架云梯的顶端距地面有多高？（2）如果云梯的顶端下滑了4m，那么它的底部在水平方向也滑动了4m吗？7. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？8. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？9. 装修工人购买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如果电梯的长、宽、高分别是1.5m、1.5m，2.2m，那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米？你能估计出装修工人买的木条最少是多少米吗？提升练习：1. 如图所示，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O.若AC＝1，BD＝2，CD＝4，则AB＝________.2.如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA= °(点A,B,P是网格线交点).3. 如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．4. 已知：如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．求：BD的长．5.如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D.(1)求证:EC=BD.(2)若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.6. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 的中点，DE⊥DE，DE 、DF 分别交AC 、BC 、于E 、F ，求证：北师大版八年级上册数学《勾股定理》必考题型专题练习（答案版）1.判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长.（1）8，15，17； （2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．解：①82+152=172，能；②72+122≠152，不能；③122+152≠202，不能；④72+242=252，能．2. 蚂蚁沿图中所示的折线由点A 爬到了点D ，蚂蚁一共爬行了多少厘米？（图中小方格的边长代表1厘米）解：根据勾股定理分别求得AB=5cm ，BC=13cm ，CD=10cm ，222BF AE EF +=所以蚂蚁一共爬了5+13+10=28（cm ）．3. 一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160km ，然后向正北方向航行了120km ，这时它离出发点有多远？解：如图，A 为出发点，B 为正东方向航行了160km 的地点，C 为向正北方向航行了120km 的地点，故AB=160km ，BC=120km ．在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC 2= AB 2+BC 2=40000．所以AC=200km ．即这时它离出发点200km ．4. 小明从家出发向正北方向走了150m ，接着向正东方向走到离家250m 远的地方．小明向正东方向走了多远？解：如图,AB=150m ，AC=250m ，则BC 2= AC 2-BC 2=40000．所以BC=200 m ．答：小明向正东方向走了200m ．5. 如图，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，AF 长为12cm ．求正方形CDEF 的面积.解：在Rt △ACB 中，AC 2=AB 2+CB 2=32+42=25，在Rt △ACF 中，FC 2=AC 2+AF 2=25+144=169，A CB故正方形CDEF的面积为169．6. 一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7m．（1）这架云梯的顶端距地面有多高？解：如图，在Rt△ADE中，由勾股定理得AE2+DE2=AD2，即AE2+72=252，所以AE=24（m）.即这架云梯的顶端AE距地面有24 m高.（2）如果云梯的顶端下滑了4m，那么它的底部在水平方向也滑动了4m吗？解：梯子的底端在水平方向滑动了8m．理由：因为云梯的顶端A下滑了4m至点A′，所以A′E=AE－AA′=24－4=20（m）．在Rt△A′ED′中，由勾股定理得D′E2=A′D′2－A′E2=252－202，所以D′E=15（m）.所以DD′=ED′－ED=15－7=8（m），即梯子的底端在水平方向也滑动了8m．7. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？解：如图1，把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形.∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：∴AB2=BD2+AD2=152+202=625.8. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？解：如图2,把长方体的右侧表面剪开与上底面这个面所在的平面形成一个长方形，∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10.在Rt△ABD中，根据勾股定理得：∴AB2=BD2+AD2=252+102=725.9. 装修工人购买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如果电梯的长、宽、高分别是1.5m、1.5m，2.2m，那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米？你能估计出装修工人买的木条最少是多少米吗？解：如图，由勾股定理得AB2=1.52+1.52=4.5，∴BC≈3.06（米）；能放入电梯内的木条的最大长度大约是3.06米，估计装修工人买的木条最少是1.5米．提升练习：1. 如图所示，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O.若AC＝1，BD＝2，CD＝4，则AB＝________.2.如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA= °(点A,B,P是网格线交点).3. 如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．4. 已知：如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．求：BD的长．5.如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C 在直线m 上,分别过点A,B 作AE ⊥直线m 于点E,BD ⊥直线m 于点D.(1)求证:EC=BD.(2)若设△AEC 三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.6. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 的中点，DE⊥DE，DE 、DF 分别交AC 、BC 、于E 、F ，求证：222BF AE EF +=。

八年级数学上册《第一章勾股定理的应用》练习题-带答案(北师大版)一、选择题1.一艘轮船以16海里∕时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以12海里∕时从港口A出发向东南方向航行.离开港口1小时后，两船相距( )A.12海里B.16海里C.20海里D.28海里2.小明想知道学校旗杆(垂直地面)的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子拉直后，发现绳子下端拉开5m，且下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )A.6mB.8mC.10mD.12m3.一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需( ).A.6秒B.5秒C.4秒D.3秒4.如图，有一个由传感器控制的灯A装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至距该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光，请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？( )A.4 mB.3 mC.5 mD.7 m5.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( )A.8米B.10米C.12米D.14米6.将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是( )A.5≤h≤12B.5≤h≤24C.11≤h≤12D.12≤h≤247.如图，A，B两个村庄分别在两条公路MN和EF的边上，且MN∥EF，某施工队在A，B，C三个村之间修了三条笔直的路.若∠MAB＝65°，∠CBE＝25°，AB＝160km，BC＝120km，则A，C 两村之间的距离为( )A.250kmB.240kmC.200kmD.180km8.如图，O是Rt△ABC的角平分线的交点，OD∥AC，AC＝5，BC＝12，OD等于( )A.2B.3C.1D.1二、填空题9.如图，两阴影部分都是正方形，如果两正方形面积之比为1：2，那么，两正方形的面积分别为．10.如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．11.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行米．12.如图所示，由四个全等的直角三角形拼成的图中，直角边长分别为2，3，则大正方形的面积为________，小正方形的面积为________．13.如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是．14.等腰△ABC的底边BC＝8cm，腰长AB＝5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为秒.三、解答题15.如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，请算出旗杆的高度．16.如图①，一架梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5m，梯子滑动后停在DE的位置上.如图②所示，测得BD＝0.5m，求梯子顶端A下滑的距离.17.如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶50000米.飞机每小时飞行多少千米？18.如图所示，某公路一侧有A、B两个送奶站，C为公路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得AC＝8km，BC＝15km，AB＝17km，∠1＝30°，若有一人从C处出发，沿公路边向右行走，速度为2.5km/h，问：多长时间后这个人距B送奶站最近？19.如图，∠AOB＝90°，OA＝45cm，OB＝15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？20.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒(t＞0).(1)若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；(2)若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值.参考答案1.C.2.D.3.C4.A.5.B6.C.7.C.8.A.9.答案为：12，24．10.答案为：8．11.答案为：10．12.答案为：13，1.13.答案为：17m．14.答案为：7或25.15.解：设旗杆的高度为x米，根据勾股定理得x2＋52＝(x＋1)2解得：x＝12；答：旗杆的高度为12米．16.解：在Rt△ABC中，AB＝2.5m，BC＝1.5m故AC＝2m在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝(1.5＋0.5)＝2m 故EC＝1.5m故AE＝AC﹣CE＝2﹣1.5＝0.5m答：梯子顶端A下落了0.5m.17.解：如图，在Rt△ABC中，根据勾股定理可知BC＝3000(米).3000÷20＝150米/秒＝540千米/小时.所以飞机每小时飞行540千米.18.解：过B作BD⊥公路于D．∵82＋152＝172∴AC2＋BC2＝AB2∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°．∵∠1＝30°∴∠BCD＝180°﹣90°﹣30°＝60°．在Rt△BCD中∵∠BCD＝60°∴∠CBD＝30°∴CD＝0.5BC＝0.5×15＝7.5(km)．∵7.5÷2.5＝3(h)∴3小时后这人距离B送奶站最近．19.解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等即BC＝CA设AC为x，则OC＝45﹣x由勾股定理可知OB2＋OC2＝BC2又∵OA＝45，OB＝15把它代入关系式152＋(45﹣x)2＝x2解方程得出x＝25(cm)．答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm．20.解：(1)设存在点P，使得PA＝PB此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t在Rt△PCB中，PC2＋CB2＝PB2即：(4﹣2t)2＋32＝(2t)2解得：t ＝∴当t ＝时，PA ＝PB ；(2)当点P 在∠BAC 的平分线上时，如图1，过点P 作PE ⊥AB 于点E 此时BP ＝7﹣2t ，PE ＝PC ＝2t ﹣4，BE ＝5﹣4＝1在Rt △BEP 中，PE 2＋BE 2＝BP 2即：(2t ﹣4)2＋12＝(7﹣2t)2解得：t ＝83∴当t ＝83时，P 在△ABC 的角平分线上.。

《勾股定理--动点问题》一、单选题1．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝90°，若P 是AC 上的一个动点，则AP+BP+CP 的最小值是（ ）A ．14.8B ．15C ．15.2D ．162．如图，Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AB ＝25cm ，AC ＝7cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度运动，设运动时间为ts ，当△APB 为等腰三角形时，t 的值为（ ）A ．62596或252B ．252或24或12C ．62596或24或12D ．62596或252或243．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，连接AC ，∠BAC ＝45°，∠CAD ＝30°，CD ＝2，点P 是四边形ABCD 边上的一个动点，若点P 到AC 的距离为3，则点P 的位置有（ ）A ．4处B ．3处C ．2处D ．1处4．如图，在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，则DE+DF ＝（ ）A ．5B ．8C ．13D ．4.85．已知Rt △BCE 和Rt △ADE 按如图方式摆放，∠A ＝∠B ＝90°，A 、E 、B 在一条直线上，AD ＝3，AE ＝4，EB ＝5，BC ＝12，M 是线段AD 上的动点，N 是线段BC 上的动点，MN 的长度不可能是（ ）A ．9B ．12C ．14D ．16二、填空题6．如图，已知∠AOM＝45°，OA=2，点B是射线OM上的一个动点．当△AOB为等腰三角形时，线段OB的长度为 ．7．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝6，BC＝8，P是BC边上的一动点（P不与点B、C重合），∠B＝∠APE，边PE与AC交于点D，当△APD为等腰三角形时，则PB的长为 ．8．如图，在△ABC中，OA＝4，OB＝3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是 ．9．如图，在三角形△ABC中，∠A＝45°，AB＝8，CD为AB边上的高，CD＝6，点P为边BC上的一动点，P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，连接P1P2，则线段P1P2长度的取值范围是 ．三、解答题10．如图，∠AOB＝90°，点C在OA边上，OA＝36cm，OB＝12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C 点相遇，求BC的长度？11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm．点P从点A出发沿AB方向以1cm/s 的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒．（1）求BC的长；（2）当t＝2时，求P，Q两点之间的距离；（3）当AP＝CQ时，求t的值？12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm，点P从点A沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B，点Q从点B沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．（1）求BC的长；（2）运动几秒后，△PBQ是等腰三角形；（3）运动过程中，直线PQ能否平分△ABC的周长，若能，求出t的值，若不能，请说明理由．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC移动至点C，设运动时间为t秒．（1）求BC的长；（2）在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t，使得点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．14．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？15．某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练．已知：△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3；机器人从点C出发，沿着△ABC边按C→B→A→C的方向匀速移动到点C停止；机器人移动速度为每秒1个单位，移动至拐角处调整方向需要0.5秒（即在B、A处拐弯时分别用时0.5秒）．设机器人所用时间为t秒时，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）．（1）点C到AB边的距离是 ；（2）是否存在这样的时刻，使△PBC为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．16．如图1，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．（1）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE；（2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD．17．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长；（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？18．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求AC的长及斜边AB上的高；（2）①当点P在AC延长线上运动时，CP的长为 ；（用含t的代数式表示）②若点P在∠ABC的角平分线上，则t的值为 ；（3）在整个运动中，直接写出△ABP是等腰三角形时t的值．度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求AC的长．（2）求斜边AB上的高．（3）①当点P在BC上时，PC的长为 ．（用含t的代数式表示）②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为 ．（4）在整个运动过程中，直接写出△PBC是等腰三角形时t的值．答案一、单选题1．【思路点拨】利用勾股定理求出AC，根据垂线段最短，求出BP的最小值即可解决问题．【解题过程】解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=AB2+BC2=62+82=10，∵AP+BP+PC＝BP+AC＝BP+10，根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP的值最小，最小值BP=AB⋅BCAC =245= 4.8，∴AP+BP+CP的最小值＝10+4.8＝14.8，故选：A．2．【思路点拨】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【解题过程】解：∵∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，∴BC＝24cm．①当BP＝BA＝25时，∴t=252．②当AB＝AP时，BP＝2BC＝48cm，∴t＝24．③当PB＝PA时，PB＝PA＝2t cm，CP＝（24﹣2t）cm，AC＝7cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，∴（2t）2＝72+（24﹣2t）2，解得t=62596．综上，当△ABP为等腰三角形时，t=252或24或62596，3．【思路点拨】根据勾股定理，可以求得AC、AD、BC和AB的长，然后即可得到点D到AC的距离和点B到AC 的距离，从而可以得到满足条件的点P有几处，本题得以解决．【解题过程】解：∵∠CAD＝30°，CD＝2，∠D＝90°，∴AC＝4，AD=AC2−C D2=42−22=23，∴在Rt△ADC中，斜边AC上的高是：AD⋅CDAC =23×24=3，∵AC＝4，∠B＝90°，∠BAC＝45°，∴AB＝BC＝22，∴在Rt△ABC中，斜边AC上的高是：BC⋅ABAC =22×224=2，∵3＜2，点P是四边形ABCD边上的一个动点，点P到AC的距离为3，∴点P的位置在点D处，或者边BC上或者边AB上，即满足条件的点P有3处，故选：B．4．【思路点拨】连接CD，过C点作底边AB上的高CG，根据S△ABC＝S△ACD+S△DCB不难求得DE+DF的值．【解题过程】解：连接CD，过C点作底边AB上的高CG，∵AC＝BC＝5，AB＝8，∴BG＝4，CG=BC2−B G2=52−42=3，∵S△ABC＝S△ACD+S△DCB，∴AB•CG＝AC•DE+BC•DF，∴8×3＝5×（DE+DF）∴DE+DF＝4.8．故选：D．5．【思路点拨】根据已知条件易求AB＝9，AD∥BC，再确定MN的最大值及最小值可求出MN的取值范围，进而可求解．【解题过程】解：∵AE＝4，EB＝5，∴AB＝AE+EB＝4+5＝9，∵∠DAE＝∠B＝90°，∴∠DAE+∠B＝180°，∴AD∥BC，当M点与A点重合，N点与C点重合时，如图，∵∠B＝90°，BC＝12，∴MN=AB2+BC2=92+122=15；当M点与A点重合，N点与B点重合时，如图，MN＝AB＝9，∴9≤MN≤15，∴MN的长度不可能是16，故选：D．二、填空题6．【思路点拨】分三种情况，当OB＝AB，OA＝AB，OA＝OB时，由等腰三角形的性质可求出答案．【解题过程】解：当△AOB为等腰三角形时，分三种情况：①如图，OB＝AB，∴∠O＝∠OAB，∵∠AOM＝45°，∴∠ABO＝90°，∴OB＝1；②如图，OA＝OB=2；③如图，OA＝AB，∴∠O＝∠ABO＝45°，∴∠A＝90°，∴OB=OA2+AB2=2+2=2．综上所述，OB的长为1或2或2．故答案为：1或2或2．7．【思路点拨】需要分类讨论：①当AP＝PD时，易得△ABP≌△PCD．②当AD＝PD时，根据等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形的面积公式求得答案．③当AD＝AP时，点P与点B重合．【解题过程】解：①当AP＝PD时，则△ABP≌△PCD，则PC＝AB＝6，故PB＝2．②当AD＝PD时，∴∠PAD＝∠APD，∵∠B＝∠APD＝∠C，∴∠PAD＝∠C，∴PA＝PC，过A作AG⊥BC于G，∴CG＝4，∴AG=AC2−C G2=62−42=25，过P作PH⊥AC于H，∴CH＝3，设PC＝x，∴S△APC=12AG•PC=12AC•PH，∴5x＝3×PH，x，∴PH=53∵PC2＝PH2+CH2，∴x2＝（5x）2+9，3（负值舍去），解得：x=92∴PC=9，2∴PB=7；2③当AD＝AP时，点P与点B重合，不合题意．．综上所述，PB的长为2或72故答案为：2或7．28．【思路点拨】分为三种情况：①PQ＝BP，②BQ＝QP，③BQ＝BP，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求解．【解题过程】解：∵OA＝8，OB＝6，C点与A点关于直线OB对称，∴BC＝AB=42+32=5，分为3种情况：①当PB＝PQ时，∵C点与A点关于直线OB对称，∴∠BAO＝∠BCO，∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BPQ＝∠BCO，∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ＝∠BCO+∠CBP，∴∠APQ＝∠CBP，在△APQ与△CBP中，{∠QAP=∠PCB∠APQ=∠CBP，QP=PB∴△APQ≌△CBP（AAS），∴PA＝BC，此时OP＝5﹣4＝1；②当BQ＝BP时，∠BPQ＝∠BQP，∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BAO＝∠BQP，根据三角形外角性质得：∠BQP＞∠BAO，∴这种情况不存在；③当QB＝QP时，∠QBP＝∠BPQ＝∠BAO，∴PB＝PA，设OP＝x，则PB＝PA＝4﹣x，在Rt△OBP中，PB2＝OP2+OB2，∴（4﹣x）2＝x2+32，解得：x=7；8∵点P在AC上，∴点P在点O左边，此时OP=7．8．∴当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是1或78故答案为：1或7．89．【思路点拨】如图，连接AP1，AP，AP2，作AH⊥BC于H．证明△P1AP2是等腰直角三角形，推出P1P2=2 PA，求出PA的取值范围即可解决问题．【解题过程】解：如图，连接AP1，AP，AP2，作AH⊥BC于H．∵P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，∴AP＝AP1＝AP2，∠PAB＝∠BAP1，∠PAC＝∠CAP2，∵∠BAC＝45°，∴∠P1AP2是等腰直角三角形，∴P1P2=2AP2=2PA．∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°，∴AD＝DC＝6，∴AC＝62＞AB，∵AB＝8，∴BD＝2，BC=BD2+CD2=4+36=210，∵S△ABC=12•BC•AH=12•AB•CD，∴AH=8×6210=12510，∵12105≤PA≤62，∴2455≤P1P2≤12．故答案为2455≤P1P2≤12．三、解答题10．解：∵点P、Q同时出发，且速度相同，∴BC＝CA，设BC＝xcm，则CA＝xcm，∵OA＝36cm∴OC＝（36﹣x）cm，∵∠AOB＝90°∴OB2+OC2＝BC2，∴122+（36﹣x）2＝x2，解得：x＝20，∴BC＝20cm．11．解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm，∴BC=AC2−A B2=24cm．（2）如图，连接PQ，BP＝7﹣2＝5，BQ＝6×2＝12，在直角△BPQ中，由勾股定理得到：PQ=BP2+BQ2=13（cm）；（3）设t秒后，AP＝CQ．则t＝24﹣6t，．解得 t=247秒，AP＝CQ．答：P、Q两点运动24712．解：（1）由勾股定理得，BC=AC2−A B2=252−72=24（cm）；（2）∵△PBQ是等腰三角形，∠B＝90°，∴BP＝BQ，则7﹣1×t＝6t，解得t＝1，∴运动1秒后，△PBQ是等腰三角形；（3）假设直线PQ能平分△ABC的周长，则BP+BQ=12(AB+BC+AC)=12(7+24+25)=28（cm），则7﹣1×t+6t＝28，解得t=215，当t=215时，点Q的运动路程为6×215=25.2＞24，∴直线PQ不能平分△ABC的周长．13．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=AB2−A C2=102−62=8（cm）；（2）存在，理由如下：如图，当点P恰好运动到∠BAC平分线上时，点P到直线AB的距离与点P到点C的距离相等，由已知可得：BP＝2tcm，PC＝BC﹣BP＝（8﹣2t）cm，连接AP，过点P作PE⊥AB于E，如图所示：则PE＝PC＝（8﹣2t）cm，在△AEP与△ACP中，{∠PAE=∠PAC∠AEP=∠C=90°AP=AP，∴△AEP≌△ACP（AAS），∴AE＝AC＝6cm，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4（cm），在Rt△BEP中，由勾股定理得：BP2＝BE2+PE2，即（2t）2＝42+（8﹣2t）2，解得：t=52，即当t的值为52时，点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等．14．解：（1）∵运动时间为4秒，∴BQ＝2×4＝8（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣1×4＝12（cm），在Rt△PQB中，根据勾股定理得：PQ=BQ2+BP2=82+122=413（cm）；（2）设运动时间为t秒，则BQ＝2t（cm），BP＝（16﹣t）（cm），根据题意得：2t＝16﹣t，解得：t=163，即出发163秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；（3）当点Q在CA边上，且△CQB形成直角三角形时，过点B作CA的垂线，垂足即为点Q．在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC=AB2+BC2=162+122=20（cm），根据三角形面积公式可得：BQ=AB⋅BCAC =12×1620=485（cm），在Rt△BCQ中，根据勾股定理得：CQ=BC2−B Q2=122−(485)2=365（cm），（12+365）÷2＝9.6（秒），当点Q运动到点A时，△CQB也形成直角三角形，（12+20）÷2＝16（秒）．∴当点Q在边CA上运动时，出发9.6或16秒钟后，△CQB能形成直角三角形．15．解：（1）△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∵AB＝5，BC＝3，∵52＝AC2+32，∴AC＝4，∴点C到AB边的距离=AC⋅BCAB =3×45= 2.4；故答案为：2.4；（2）存在，使△PBC为等腰三角形时，P在AB上或在AC上，当P在AB上时，①BC＝BP，如图1，∵BP＝t﹣0.5﹣3，∴t﹣0.5﹣3＝3，解得：t＝6.5；②CB＝CP，如图2，过点C作CD⊥AB于D，则BD＝PD，由（1）知：CD＝2.4，∵BC＝3，∴BD=32−2．42=1.8，∴BP＝3.6，∴t＝3.6+3+0.5＝7.1；③PB＝CP，如图3，∴∠B＝∠PCB，∵∠ACP+∠PCB＝∠A+∠B＝90°，∴∠ACP＝∠A，∴AP＝CP＝BP＝2.5，∴t＝2.5+0.5+3＝6；当P在AC上，如图4，CB＝CP＝3，∴t＝3+5+0.5+0.5+4﹣3＝10．综上所述，t的值为6.5或7.1或6或10．16．解：（1）∵AC⊥CB，AC＝15，AB＝25∴BC＝20，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠EAD，∵AC⊥CB，DE⊥AB，∴∠EDA＝∠ECA＝90°，∵AE＝AE，∴△ACE≌△ADE（AAS），∴CE＝DE，AC＝AD＝15，设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10在Rt△BED中∴x2+102＝（20﹣x）2，∴x＝7.5，∴CE＝7.5．（2）①当AD＝AC时，△ACD为等腰三角形∵AC＝15，∴AD＝AC＝15．②当CD＝AD时，△ACD为等腰三角形∵CD＝AD，∴∠DCA＝∠CAD，∵∠CAB+∠B＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠BCD，∴BD＝CD，∴CD＝BD＝DA＝12.5，③当CD＝AC时，△ACD为等腰三角形，如图1中，作CH⊥BA于点H，则12•AB•CH=12•AC•BC，∵AC＝15，BC＝20，AB＝25，∴CH＝12，在Rt△ACH中，AH=AC2−C H2=9，∵CD＝AC，CH⊥BA，∴DH＝HA＝9，∴AD＝18．17．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴有勾股定理得AC＝8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm∴出发2秒后，则CP＝2cm，那么AP＝6cm．∵∠C＝90°，∴由勾股定理得PB＝210cm∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝6+10+210=（16+210）cm；（2）如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，∵BP平分∠ABC，∴PD＝PC．在Rt△BPD与Rt△BPC中，{PD=PCBP=BP，∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），∴BD＝BC＝6 cm，∴AD＝10﹣6＝4 cm．设PC＝x cm，则PA＝（8﹣x）cm在Rt△APD中，PD2+AD2＝PA2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴当t＝3秒时，AP平分∠CAB；（3）若P在边AC上时，BC＝CP＝6cm，此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；若P在AB边上时，有两种情况：①若使BP＝CB＝6cm，此时AP＝4cm，P运动的路程为12cm，所以用的时间为12s，故t＝12s时△BCP为等腰三角形；②若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，根据勾股定理求得BP＝7.2cm，所以P运动的路程为18﹣7.2＝10.8cm，∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；③若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC ∴PA＝PB＝5cm∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．∴t＝6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形．18．解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP=AC2+PC2=164=241．答：AP的长为241．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB=64+256=320=85若BA＝BP，则 2t＝85，解得t＝45；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为45、16、5．（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：则∠AED＝∠PED＝90°，∴∠PED＝∠ACB＝90°，∴PD平分∠APC，∴∠EPD＝∠CPD，又∵PD＝PD，∴△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，解得：t＝5；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：同①得：△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，解得：t＝11；综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．19．解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，由勾股定理得：AC＝4．设斜边AB上的高为h，∵12AB•h=12AC•BC，∴5h＝3×4，∴h＝2.4．∴AC的长为4，斜边AB上的高为2.4；（2）已知点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，①当点P在CB上时，点P运动的长度为：AC+CP＝2t，∵AC＝4，∴CP＝2t﹣AC＝2t﹣4．故答案为：2t﹣4．②若点P在∠ABC的角平分线上，则：设PM＝PC＝y，则AP＝4﹣y，在Rt△APM中，AM2+PM2＝AP2，∴22+y2＝（4﹣y）2，解得y=32，(4−32)÷2=54，即若点P在∠ABC的角平分线上，则t的值为54．故答案为：54．（3）当AB作为底边时，如图所示：∵APAM =AP2.5=54，∴AP＝3.125，此时t＝3.125÷2＝1.5625；当AB作为腰时，如图所示：AP1＝AB＝5，此时t＝5÷2＝2.5；AP2＝2AC＝8，此时t＝4，综上，t的值为1.5625或2.5或4．20．解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC=AB2−B C2=102−62=8；（2）设边AB上的高为h则S△ABC =12AC⋅BC=12AB⋅h，∴12×6×8=12×10⋅h，∴h=245，答：斜边AB上的高为245；（3）①当点P在BC上时，点P运动的长度为AB+BP＝2t，则PC＝BC﹣BP＝6﹣（2t﹣10）＝6﹣2t+10＝16﹣2t；②当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，如图：∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，∴PD＝PC，有①知，PC＝16﹣2t，BP＝2t﹣10，∴PD＝16﹣2t，在Rt△ACP和Rt△ADP中，{AP=APPD=PC，∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），∴AD＝AC＝8，又∵AB＝10，∴BD＝2，在Rt△BDP中，由勾股定理得：22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，解得：t=20．3．故答案为：①16﹣2t；②203（4）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AB上，①当点P在线段AB上时，若BC＝BP，则点P运动的长度为AP＝2t，∵AP＝AB﹣BP＝10﹣6＝4，∴2t＝4，∴t＝2；②若PC＝BC，如图，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴AB•CH＝AC•BC，∴10CH＝8×6，∴CH=245，在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH=BC2−C H2=62−(245)2=185= 3.6，∴BP＝2BH＝7.2，∴点P运动的长度为：AP＝AB﹣BP＝10﹣7.2＝2.8，∴2t＝2.8，∴t＝1.4；③若PC＝PB，如图所示，过点P作PQ⊥BC于点Q，则BQ＝CQ=12×BC＝3，∠PQB＝90°，∴∠ACB＝∠PQB＝90°，∴PQ∥AC，∴PQ为△ABC的中位线，∴PQ=12×AC=12×8＝4，在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP=BQ2+PQ2=32+42=5，点P运动的长度为AP＝2t，AP＝AB﹣BP＝10﹣5＝5，∴2t＝5，∴t＝2.5．综上，t的值为1.4或2或2.5．。

图6北师大版八年级数学第一章勾股定理测试题(1)一、填空题（每小题5分，共25分）：1．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm 、8cm ，那么这个直角三角形斜边上的高为_________________． 2．．三角形的两边长分别为3和5,要使这个三角形是直角三角形,则第三条边长是_______． 3．△ABC 中，AB=10，BC=16,BC 边上的中线AD=6，则AC=___________．4．将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中（如图1）,设筷子露在杯子外面的长度是为hcm ，则h 的取值范围是_____________．5．如图2所示，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠墙AC 上,这时梯子下端B 与墙角C 距离为1。

5米，梯子滑动后停在DE 上的位置上，如图3，测得DB 的长0。

5米,则梯子顶端A 下落了________米．二、选择题（每小题5分，共25分）：6．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）． A ．a=9 b=41 c=40 B ．a=b=5 C=52C ．a ：b ：c=3:4： 5D ．a=11 b=12 c=157．若△ABC 中，AB=13，AC=15,高AD=12,则BC 的长是（ ）． A ．14 B ．4 C ．14或4 D ．以上都不对 8． 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小小正方形拼成的一个大正方形（如图4所示），如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2)(b a +的值为（ ）．A ．13B ．19C ．25D ．1699． 如图5,四边形ABCD 中,AB=3cm,BC=4cm ，CD=12cm ，DA=13cm ，且∠ABC=900，则四边形ABCD 的面积是（ ）．A ．84B ．30C ．251D ．无法确定 10．如图6，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C /处，B C /交AD 于E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．6 三、解答题（此大题满分50分）：11．(7分）在ABC Rt ∆中，∠C=900． （1)已知15,25==b c ，求a;（2)已知060,12=∠=A a ，求b 、c ．12．(7分）阅读下列解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边,且满足442222b a c b c a -=-，试判定△ABC 的形状．解：∵ 442222b a c b c a -=-， ①∴ ))(()(2222222b a b a b a c -+=-, ② ∴ 222b a c +=, ③∴ △ABC 为直角三角形．问：（1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号______；（2）错误的原因是___________________________;（3）本题正确的结论是_______________________________． 13．（7分）细心观察图7，认真分析各式，然后解答问题： 21)1(2=+ 211=S 31)2(2=+ 222=S41)3(2=+ 233=S┉┉ ┉┉（1) 用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律；(2）推算出OA 10的长；(3）求出210232221S S S S ++++ 的值．图1图2图3图4图5图714．（7分）已知直角三角形的周长是62 ，斜边长2，求它的面积．15．（7分）小东拿着一根长竹杆进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果杆比城门高1米，当他把杆斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问杆长多少米？16．（7分）小明向西南方向走40米后，又走了50米，再走30米回到原地．小明又走了50米后向哪个方向走的？再画出图形表示17．（8分）如图8，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=300，点A处有一所中学，AP=160米,假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否回受到噪声的影响?说明理由．如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时,那么学校受影响的时间为多少秒？北师大版八年级数学（勾股定理）自测题(2）一、选择题（共4小题，每小题4分，共16分.在四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合要求一项的字母代号填在题后括号内。

勾股定理经典题目一．填空题（共20小题）1．如图，C为线段BD上一动点，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．请用含x的代数式表示AC+CE的长，根据上述方法，求出的最小值为．2．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝2cm，点P从B点出发以1cm/s的速度沿CB延长线运动，运动时间为t秒．以AP为斜边在其上方构造等腰直角△APD．当t＝1秒时，则CD＝cm，当D运动的路程为4cm时，则P运动时间t＝秒．3．如图△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形，∠BAD＝∠CAE＝90°，下列说法正确的是：①CD＝BE；②DC⊥BE；③DE2+BC2＝2BD2+EC2；④F A平分∠DFE；⑤取BC的中点M，连MA，则MA⊥DE．4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1﹣S2+S3+S4等于．5．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延长BC至D使CD＝BC，连接AD，且AD＝4，点P为线段AC上一动点，连接BP．则2BP+AP的最小值为．6．如图，以AB为斜边的Rt△ABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且边EF恰好经过点N．若S3＝S4＝5，则S1+S5＝．（注：图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如S3表示△ABC的面积）7．如图，长方体的长为15厘米，宽为10厘米，高为20厘米，点B到点C的距离是5厘米．一只小虫在长方体表面从A爬到B的最短路程是．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝，点D在AB上，将△ACD沿CD折叠，点A落在点A1处，A1C与AB相交于点E，若A1D∥BC，则A1D的长是．9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝，以BC为斜边作等腰Rt△BCD，连接AD，则线段AD的长为．10．如图，在正方形网格中，△ABC的每一个顶点都在格点上，AB＝5，点D是AB边上的动点（点D不与点A，B重合），将线段AD沿直线AC翻折后得到对应线段AD1，将线段BD沿直线BC翻折后得到对应线段BD2，连接D1D2，则四边形D1ABD2的面积的最小值是．11．七巧板被誉为“东方魔板”．小明利用七巧板（如图1）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形，则该凸六边形（如图2）的周长是．12．在8×8的格子纸上，1×1小方格的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点（位置如图）．若一个格点P使得△PBC与△P AC的面积相等，就称P点为“好点”．那么在这张格子纸上共有个“好点”．13．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D 是斜边AB的中点，则CD＝AB，运用：如图2，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED连接BE，CE，DE，则CE的长为．14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC 外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、ND，则图中阴影部分的面积之和等于．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点E为边CD上一点，将△ADE沿AE所在直线翻折，得到△AFE，点F恰好是BC的中点，M为AF上一动点，作MN⊥AD于N，则BM+AN的最小值为．16．如图，长方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的边长为1．正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段CF的长的最小值为．17．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是尺．18．图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为cm．19．图中所示是一条宽为1.5m的直角走廊，现有一辆转动灵活的手推车，其矩形平板面ABCD的宽AB为1m，若要想顺利推过（不可竖起来或侧翻）直角走廊，平板车的长AD不能超过m．20．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是．二．解答题（共20小题）21．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，D在BC上且∠BAD＝15°，E是线段AD上的一点，现以CE为直角边，C为直角顶点，在CE的下方作等腰直角△ECF，连接BF．（1）求证：∠CBF＝∠CAD；（2）点E在线段AD上运动，当CE＝5时，求BF的长；（3）如图2，连接DF，当E运动到使∠ACE＝30°时，求△DEF的面积．22．问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°则：AC＝AB．（1）如图1，连接AB边上中线CF，试说明△ACF为等边三角形；（2）如图2，在（1）的条件下，点D是边CB延长线上一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB 的内部，连接BE，EF．试说明EF⊥AB；（3）如图3，在（1）的条件下，若D为BC中点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．已知AC＝2，试求△BDE的面积．23．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠DCB＝30°，CD＝2，AD＝3．点E，F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，已知点F的移动速度是点E移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG，设E点移动距离为x（0＜x＜6）（1）AB＝；BC＝．（2）当3≤x＜6时，求△EG与四边形ABCD重叠部分面积y与x之间的关系式．（3）如图2，当点F到达C点时，将等边△EFG绕点E逆时针旋转α°（0＜α＜180），直线EF分别与直线CD、直线AD交于点M、N．是否存在这样的α，使△DMN为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段DM的长度：若不存在，请说明理由．24．已知△ABC是等边三角形，点D，E分别为边AB，AC上的点，且有AE＝DB，连接DE，DC．（1）如图1，若AB＝6，∠DEC＝90°，求△DEC的面积．（2）M为DE中点，当D，E分别为AB、AC的中点时，判定CD，AM的数量关系并说明理由．（3）如图2，M为DE中点，当D，E分别为AB，AC上的动点时，判定CD，AM的数量关系并说明理由．25．（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连接BD、CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝7cm，BC＝3cm，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD的长．甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算．（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，求CD的长度．26．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形沿AC折叠，使点B与点E重合，AD与EC相交于点F．（1）求证：AF＝CF；（2）求△AEF的面积．27．在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点D、E、C三点在同一条直线上，连接BD．（1）如图1，求证：△ADB≌△AEC（2）如图2，当∠BAC＝∠DAE＝90°时，试猜想线段AD，BD，CD之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC＝∠DAE＝120°时，请直接写出线段AD，BD，CD之间的数量关系式为：（不写证明过程）28．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD 并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝度；（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2．29．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．30．在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB，垂足为点D，M为线段DB上一动点（不包括端点），点N在直线AC左上方且∠NCM＝135°，CN＝CM，如图①（1）求证：∠ACN＝∠AMC（2）记△ANC的面积为S1，记△ABC的面积为S2．求证：（3）延长线段AB到点P，使BP＝BM，如图②．探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M，AN＝CP始终成立？（写出探究过程）31．（1）观察猜想如图①，点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则△ADB和△EAC是否全等？（填是或否），线段AB、AC、BD、CE之间的数量关系为．（2）问题解决如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝6，AB＝6，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD的长．（3）拓展延伸如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝5，AD＝，DC＝DA，CG⊥BD于点G，求CG的长，32．如图，AC平分钝角∠BAE交过B点的直线于点C，BD平分∠ABC交AC于点D，且∠BAD+∠ABD＝90°．（1）求证：AE∥BC；（2）点F是射线BC上一动点（点F不与点B，C重合），连接AF，与射线BD相交于点P．（ⅰ）如图1，若∠ABC＝45°，AF⊥AB，试探究线段BF与CF之间满足的数量关系；（ⅱ）如图2，若AB＝10，S△ABC＝30，∠CAF＝∠ABD，求线段BP的长．33．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，GE．①求证：四边形BCGE是垂美四边形；②若AC＝4，AB＝5，求GE的长．34．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．过射线AD上一点M作BM的垂线，交直线AC于点N．（I）如图1，点M在AD上，若∠N＝15°，BC＝2，则线段AM的长为；（2）如图2，点M在AD上，求证：BM＝NM；（3）若点M在AD的延长线上，则AB，AM，AN之间有何数量关系？直接写出你的结论，不证明．35．在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°（1）如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF①求证：△AED≌△AFD；②当BE＝3，CE＝7时，求DE的长；（2）如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD＝3，BC＝9时，求DE的长．36．如图1所示，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，连接AM、AN．（1）求证：△AMN的周长＝BC；（2）若AB＝AC，∠BAC＝120°，试判断△AMN的形状，并证明你的结论；（3）若∠C＝45°，AC＝3，BC＝9，如图2所示，求MN的长．37．如图，已知正方形ABCD，AB＝8，点E是射线DC上一个动点（点E与点D不重合），连接AE，BE，以BE为边在线段AD的右侧作正方形BEFG，连结CG．（1）当点E在线段DC上时，求证：△BAE≌△BCG；（2）在（1）的条件下，若CE＝2，求CG的长；（3）连接CF，当△CFG为等腰三角形时，求DE的长．38．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC 的左侧，连接AE．（1）求证：AE＝BD；（2）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系；（3）过点C作CF⊥DE交AB于点F，若BD：AF＝1：2，CD＝，求线段AB的长．39．如图，在△ABC中，∠ABC＝15°，AB＝，BC＝2，以AB为直角边向外作等腰直角△BAD，且∠BAD＝90°；以BC为斜边向外作等腰直角△BEC，连接DE．（1）按要求补全图形；（2）求DE长；（3）直接写出△ABC的面积．40．如图，已知在ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M在△ABC内，AM平分∠BAC．点E与点M在AC 所在直线的两侧，AE⊥AB，AE＝BC，点N在AC边上，CN＝AM，连接ME、BN；（1）根据题意，补全图形；（2）ME与BN有何数量关系，判断并说明理由；（3）点M在何处时BM+BN取得最小值？请确定此时点M的位置，并求出此时BM+BN的最小值．参考答案一．填空题（共20小题）1．13；2．4；8；3．①②④⑤；4．6；5．4；6．5；7．25厘米；8．2；9．或；10．5.5；11．4+8；12．8；13．；14．48；15．；16．2﹣；17．25；18．（3+3）；19．（）；20．；二．解答题（共20小题）21．；22．；23．；6；24．；25．；26．；27．CD＝AD+BD；28．45；29．；30．；31．是；AB+AC＝BD+CE；32．；33．；34．；35．；36．；37．；38．；39．；40．；。

2023-2024学年八年级数学上册《第一章勾股定理的应用》同步练习题附带答案-北师大版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．梯子的底端离建筑物6米，10米长的梯子可以到达建筑物的高度是（）A．6米B．7米C．8米D．9米2．一个长方形抽屉长3cm，宽4cm，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm3．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）A．8m B．10m C．16m D．18m4．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（）A．4尺B．4.55尺C．5尺D．5.55尺5．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积41，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．25 B．41 C．62 D．816．如图，斜坡BC的长度为4米．为了安全，决定降低坡度，将点C沿水平距离向外移动4米到点A，使得斜坡AB的长度为4√3米，则原来斜坡的水平距离CD的长度是（）米．A．2 B．4 C．2√3D．67．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）A．20km B．14km C．11km D．10km8．如图，OP=1，过点P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=√2；再过点P，作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=√3；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2…依此法继续作下去，得OP2021=（）A．√2023B．√2022C．√2021D．√2020二、填空题9．一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距海里．10．如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB(∠ACB=90°)，于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路AB.某学习实践小组通过测量可知，AC的长约为6米，BC的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行米．11．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是尺．12．如图，一个长方体铁盒的长，宽，高分别是8 cm，6 cm，24 cm，-根长28 cm的木棒完全装进这个盒子里.（填“能”或“不能”）13．如图，山坡上，树甲从点A处折断，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4m，BC ＝10m，已知两棵树的水平距离为6m，则树甲原来高．三、解答题14．如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上，他先拉住风筝线，垂直于地面，发现风筝线多出1米；把风筝线沿直线BC向后拉5米，风筝线末端刚好接触地面，求风筝距离地面的高度AB.15．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．16．某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）.如图（2），已知云梯最多只能伸长到15m（即AB=CD=15m），消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m（即BE=12m）高的B处救人后，还要从15m（即DE=15m）高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE点B在DE上，OE的长即为消防车的高3m）17．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的长；（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？18．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．（1）求监测点A与监测点B之间的距离；（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由．参考答案1．C2．B3．C4．B5．D6．A7．D8．B9．3010．411．3.7512．不能13．(4+6√5)m14．解：设AB＝x米，则AC＝（x＋1）米由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5米在Rt△ABC中AB2+BC2=AC2即x2+52=(x+1)2解得x＝12答：风筝距离地面的高度AB为12米.15．解：如图设旗杆高度为x米，则AC=AD=x(m)，AB=(x−2)(m)而BC=8m 在Rt△ABC中AB2+BC2=AC2，即(x−2)2+82=x2解得：x=17(m)即旗杆的高度为17m．16．解：在 Rt △ABO 中∵∠AOB =90° AB =15m ，OB =12−3=9 （m ） ∴AO =√AB 2−OB 2=√152−92=12 （m ）在 Rt △COD 中∵∠COD =90°，CD =15m ，OD =15−3=12 （m ） ∴OC =√CD 2−OD 2=√152−122=9 （m ）∴AC =OA −OC =3 （m ）答：消防车从原处向着火的楼房靠近的距离 AC 为 3m .17．（1）解：∵AC=15km ，BC=20km ，AB=25km152+202=252∴△ACB 是直角三角形，∠ACB=90°∵12AC ×BC=12AB ×CD∴CD=AC ×BC ÷AB=12（km ）．故修建的公路CD 的长是12km ；（2）解：在Rt △BDC 中，BD= √BC 2−CD 2=16（km ）一辆货车从C 处经过D 点到B 处的路程=CD+BD=12+16=28（km ）． 故一辆货车从C 处经过D 点到B 处的路程是28km ．18．（1）解：在RtΔABC 中，AC =300km ，BC =400km ∴AB =√AC 2+BC 2=√3002+4002=500（km ）答：监测点A 与监测点B 之间的距离为500km ；（2）解：海港C 受台风影响理由：∵∠ACB =90°，CE ⊥AB∴S ΔABC =12AC ⋅BC =12CE ⋅AB ∴300×400=500CE∴CE =240km∵以台风中心为圆心周围260km 以内为受影响区域∴海港C 会受到此次台风的影响以C 为圆心，260km 长为半径画弧，交AB 于D ，F则DE =EF =260km 时，正好影响C 港口在RtΔCDE 中∵ED =√CD 2−CE 2=√2602−2402=100（km ）∴DF =200km∵台风的速度为25千米/小时∴200÷25=8（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为8小时．。

北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》测试卷（含答案）一、选择题（共8 小题，4*8=32）1. 在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )A ．5B ．6C ．7D ．82. 在ΔABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别是a，b，c，若∠A+∠C ＝90°,则下列等式中成立的是( )A ．a2＋b2 ＝2c2B ．b2＋c2 ＝a2C ．a2＋c2 ＝b2D ．c2－a2 ＝b23. 若ΔABC 的三边a ，b，c 满足(a－b)2＋|a2＋b2－c2 | ＝0，则ΔABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形4. 如图，在某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O 同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12 海里/小时的速度航行，二号舰以16 海里/小时的速度航行，离开港口 1.5 小时后它们分别到达相距30 海里的A ，B 两点，则二号舰航行的方向是( )A ．南偏东30°B ．北偏东30°C ．南偏东60°D ．南偏西60°5. 一架250cm 的梯子斜靠在墙上，这时梯足与墙的终端距离为70cm，如果梯子顶端沿墙下滑40cm，那么梯足将向外滑动( )A. 150cmB. 90cmC. 80cmD. 40cm6. 如图，长为12 cm 的橡皮筋放置在直线l 上，固定两端A 和B ，把中点C 竖直向上拉升4.5 cm 至点D 处，则拉长后橡皮筋的长为( )A ．20 cmB ．18 cmC ．16 cmD ．15 cm67. 如图所示，圆柱高8 cm，底面圆的半径为π cm，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃蜂蜜，则要爬行的最短路程是( )A ．20 cmB ．10 cmC ．14 cmD ．无法确定8. 有下面的判断：①△ABC 中，a2＋b2≠c2 ，则ΔABC 不是直角三角形。

第1章《勾股定理》章节测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦（结果用含m的式子表示）是（ ）A．4m2−1B．4m2+1C．m2−1D．m2+12．如图，五个正方形放在直线MN上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正方形B、D 的面积之和为（）A．11B．14C．17D．203．观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每个方格的边长为1），如果将它们沿方格边线或对角线剪开后无缝拼接，不能拼成正方形的是（）A．B．C．D．4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )A．2.2米B．2.3米C．2.4米D．2.5米5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，AD为∠BAC的平分线，将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，则DE的长为（）A．2B．52C．5D．2546．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为92，则BD2的值为（）A．13B．12C．11D．107．图中不能证明勾股定理的是（）A． B．C．D．8．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是-2，AC=BC=BD=1，若以点A为圆心，AD的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧)，则点E表示的数为（）A．3B．−2+3C．−1+3D．−39．如图，一个底面周长为24cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为（）A．12cm B．13cm C．25cm D．26cm10．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI 的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，矩形AKJD的面积为S3，矩形KJEB的面积为S4，下列结论中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2；④S1S4＝S3S2，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理．小明在证题中用两种方法表示五边形的面积，分别是S1= ，S2= ．12．勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．（1）A，B间的距离 km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使CD=13，则AD 的长为 km．13．如图，图1是第七届国际数学教育大会（ICME−7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的OA1=A1A2=A2A3=⋅⋅⋅=A7A8=1，若S1代表△A1OA2的面积，S2代表△A2OA3的面积，以此类推，则S10的值为．14．把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图1）剪开，以下剪法中能够将剪成的若干块拼成一个大正方形的有（填写序号）．15．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点E是BC的中点，动点P从A 点出发以每秒1cm的速度沿A→C→B运动，设点P运动的时间是t秒，那么当t=，△APE的面积等于12．16．已知△ABC中，AC=8，AB=41，BC边上的高AG=5，D为线段AC上的动点，在BC上截取CE=AD，连接AE，BD，则AE+BD的最小值为．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AB=3，AC=5，AD=2，求证：AD⊥AB．18．（6分）如图，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程BC是多少？19．（8分）以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（5，12，13），（7，24，25）等．(1)根据上述三组勾股数的规律，写出第四组勾股数组；(2)用含n（n为正整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．20．（8分）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．(1) 求线段BG的长；(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．(1)如图（1），把△ABC沿直线DE折叠，使点A与点B重合，求BE的长；(2)如图（2），把△ABC沿直线AF折叠，使点C落在AB边上G点处，请直接写出BF的长．22．（8分）如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形如图2．（1）你能在3×3方格图（图3）中，连接四个格点（网格线的交点）组成面积为5的正方形吗？若能，请用虚线画出．（2）你能把十个小正方形组成的图形纸（图4），剪开并拼成正方形吗？若能，请仿照图2的形式把它重新拼成一个正方形．（3）如图，是由两个边长不等的正方形纸片组成的一个图形，要将其剪拼成一个既不重叠也无空隙的大正方形，则剪出的块数最少为________块．请你在图中画出裁剪线，并说明拼接方法．23．（8分）公元3世纪初，我国学家赵爽证明勾定理的图形称为“弦图”．1876年美国总统Garfeild用图1（点C、点B、点C′三点共线）进行了勾股定理的证明．△ACB与△BC′B′是一样的直角三角板，两直角边长为a，b，斜边是c．请用此图1证明勾股定理．拓展应用l：如图2，以△ABC的边AB和边AC为边长分别向外作正方形ABFH和正方形ACED，过点F、E分别作BC的垂线段FM、EN，则FM、EN、BC的数量关系是怎样？直接写出结论 ．拓展应用2：如图3，在两平行线m、n之间有一正方形ABCD，已知点A和点C分别在直线m、n 上，过点D作直线l∥n∥m，已知l、n之间距离为1，l、m之间距离为2．则正方形的面积是 ．答案解析一．选择题1．D【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，(2m)2+a2=(a+2)2，解得a=m2−1，∴弦是a+2=m2−1+2=m2+1，故选：D．2．C【分析】如图：由题意可得∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°,S=AB2=3,S C=DE2=5,S B=AC2,AAC=CE，再根据全等三角形和勾股定理可得S B=S C+S A=5+3=8，同理可得S D=S C+ S E=5+4=9，最后求正方形B、D的面积之和即可．【详解】解：如图：由题意可得：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°,S=AB2=3,S C=DE2=5,S B=AC2,AC=CEA∴∠BAC+∠ACB=90°,∠DCE+∠ACB=90°,∴∠BAC=∠DCE，∴△ABC≅△CDE,∴DE=BC,∵∠ABC=90°，∴AC2=BC2+AB2，∴AC2=DE2+AB2,即S B=S C+S A=5+3=8,同理：S=S C+S E=5+4=9;D∴S+S B=8+9=17．D故选C．3．C【分析】根据网格的特点分别计算阴影部分的面积即可求得拼接后的正方形的边长，根据网格的特点能否找到构成边长的格点即可求解．【详解】解：A. 阴影部分面积为4，则正方形的边长为2，故能拼成正方形，不符合题意；B.阴影部分面积为10，则正方形的边长为10，∵12+32=10，故能拼成正方形，不符合题意；C.阴影部分面积为11，则正方形的边长为11，根据网格的特点不能构造出11的边，故不能拼成正方形，符合题意D. 阴影部分面积为13，则正方形的边长为13，∵22+32=13，故能拼成正方形，不符合题意；故选C．4．A【分析】将梯子斜靠在墙上时，形成的图形看做直角三角形，根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，可以求出梯子的长度，再次利用勾股定理即可求出梯子底端到右墙的距离，从而得出答案.【详解】如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，AB2=AC2+BC2∴AB2=0.72+ 2.42= 6.25在Rt△A‘BD中，∵∠A’BD=90°，A’D=2米，BD2+A'D2=A'B2∴BD2+22= 6.25∴BD2= 2.25∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米即小巷的宽度为2.2米，故答案选A5．B【分析】根据勾股定理求得BC，进而根据折叠的性质可得AE=AC，可得BE=2，设DE=x，表示出BD,DE，进而在Rt△BDE中，勾股定理列出方程，解方程即可求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∴BC=AC2−A B2=52−32=4，∵将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，∴AE=AC，设DE=x，则DC=DE=x,BD=BC−CD=4−x，BE=AE−AB=5−3=2，在Rt△BDE中，BD2+BE2=DE2，即(4−x)2+22=x2，解得：x=52，即DE的长为52故选：B．6．A【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD即可．【详解】解：由折叠得，AB=AE，∠BAF=∠EAF，在△BAF和△EAF中，{AB=AE∠BAF=∠EAFAF=AF，∴△BAF≌△EAF(SAS)，∴BF=EF，∴AF⊥BE，又∵AF＝4，AB＝5，∴BF=AB2−A F2=3，在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，∴S△ADE =12AD⋅EF=12DG⋅h+12EG⋅h，即S△ADG +S△AEG=12AD⋅EF，∵S△AEG =12⋅GE⋅h=92，S△ADG=S△AEG，∴S△ADG +S△AEG=92+92=9，∴9=12AD⋅3，∴AD=6，∴FD=AD−AF=6−4=2，在Rt△BDF中，BF=3，FD=2，∴BD2=BF2+FD2=32+22=13，故选：A．7．A【分析】根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论a2+b2=c2，找出不能证明的那个选项．【详解】解：A选项不能证明勾股定理；B选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式(a+b)2=4×12ab+c2，可得a2+b2 =c2；C选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式(a+b)22=2×12ab+12c2，可得a2+b2=c2；D选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式c2+2×12ab=a2+b2+2×12ab，可得a2+b2=c2．故选：A．8．B【详解】根据勾股定理得：AB=2，AD=3，∴AE=3，∴OE=2−3，∴点E表示的数为−2+3．故答案为：B．9．B【分析】先将圆柱圆的侧面沿着点A所在的棱线剪开，得到长方形，得到AC=5cm,BC=242=12 cm，由此即可以利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路线AB的长.【详解】如图，沿着点A所在的棱线剪开，此时AC=5cm,BC=242=12cm，∴蚂蚁爬行的最短路线AB=AC2+BC2=52+122=13cm，故选：B.10．D【分析】利用正方形的性质证明△ABI≌△ADC，得出∠AIB=∠ACD，即可得出∠CNI=∠NAI，即可判断①，利用△ABI≌△ADC，即可求出△ABI的面积，即可判断②，由勾股定理和S3+S4=S▱ABED，即可判断③，由③S1-S4=S3-S2，两边平方，根据勾股定理可得AC2−B C2=AK2−B K2，然后计算S12+S42−(S22+S32)=0，即可判断④．【详解】解：∵四边形ACHI和四边形ABED为正方形，∴AI=AC，AD=AB，∠CAI=∠BAD=90°，∵∠BAI=∠BAC+∠CAI，∠DAC=∠BAC+∠BAD，∴∠BAI=∠DAC，∴△ABI≌△ADC（SAS），∴∠AIB=∠ACD，∵∠CNI=∠CAI=90°，∴BI⊥CD，故①正确；∵S△ACD=S△AIB=12×AI×AC，S正方形ACHI=S1=AI×AC，∴S1：S△ACD=2：1，故②正确；∵S1=AC2，S2=BC2，S3+S4=S正方形ADEB=AB2，AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3+S4，∴S1-S4=S3-S2，故③正确；∵ S1-S4=S3-S2，∴S12+S42−2S1S4=S22+S32−2S2S3，∵S1=AC2，S2=BC2，S3=AK•KJ= AK•AB，S4=BK•KJ=BK•AB，∴S12+S42=AC4+AB2BK2，S22+S32=BC4+AK2AB2，∵AB2=AC2+ BC2，AC2=AK2+CK2,BC2=BK2+CK2，∴AC2−A K2=BC2−B K2，即AC2−B C2=AK2−B K2，∴S12+S42−(S22+S32)=AC4+AB2BK2−(BC4+AK2AB2)=AC4−B C4+AB2(BK2−A K2)=(AC2+BC2)(AC2−B C2)−A B2(AC2−B C2) =AB2(AC2−B C2)−AB2(AC2−B C2)=0，∴S1•S4=S2•S3，故④正确，二．填空题11．c2+ab a2+b2+ab【详解】解：如图所示：S1=c2+12ab×2=c2+ab，S2=a2+b2+12ab×2=a2+b2+ab．故答案为c2+ab，a2+b2+ab．12． 20 13【分析】（1）根据两点的纵坐标相同即可得出AB的长度；（2）过C作AB的垂线交AB于点E，连接AD，构造方程解出即可．【详解】（1）根据A、B两点的纵坐标相同，得AB=12−（−8）=20故答案为：20（2）如图：设AD=a，根据点A、B的纵坐标相同，则AE=12，CE=1−（−17）=18由ΔADE是直角三角形，得：（CE−CD）2+AE2=a2∴52+122=a2故答案为：13 13．102【分析】利用勾股定理依次计算出OA2=2，OA3=3，OA4=4=2，.. OA n=n，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答求得S10即可．【详解】由题意得：OA2=OA12+A1A22=12+12=2，OA3=OA22+A2A32=12+(2)2=3，OA4=OA32+A3A42=12+(3)2=4=2,∴OAn=n，∴OA10=10，∴S10=12OA10⋅A10A11=12×10×1=102，故答案为：102．14．①③【分析】设小正方形的边长为1，则5个小正方形的面积为5，进而可知拼成的大正方形的边长为5，再根据所画虚线逐项进行拼接，看哪种剪法能拼成边长为5的正方形即可．【详解】解：按照①中剪法，在外围四个小正方形上分别剪一刀然后放到相邻的空处，可拼接成边长为5的正方形，符合题意；如下图所示，按照③中剪法，通过拼接也可以得到边长为5的正方形，符合题意；按照②中剪法，无法拼接成边长为5的正方形，不符合题意；故选①③．故答案为：①③．15．3或18或22【分析】分当点P在线段AB上运动时，当点P在线段BC上运动且在点E的右边时和当点P在线段BC上运动且在点E的左边时三种情况讨论，即可求出t的值．【详解】解：∵∠C=90°，BC＝16cm，AC＝12cm，∴AB=AC2+BC2=162+122=20，∵点E是BC的中点，∴CE＝BE=12BC＝8cm，S△ACE=S△ABE=12S△ABC=12×12×12×16=48cm2．当点P在线段AC上运动时，∵△APE的面积等于12，即S△APE =14S△ACE，∴AP=14AC=3，∴t=3÷1=3秒；当点P在线段BC运动时上且在点E的右边时，，如图2所示，同理可知BP=14BE=2cm，∴t=(12+8+2)÷1=22秒；当点P在线段BC上运动且在点E的左边时，如图3所示，同理可知CP=12CE=2cm，∴t=(12+8−2)÷1=18秒；故答案为∶3或18或22．16．13【分析】通过过点A 作GC 的平行线AN ，并在AN 上截取AH =AC ，构造全等三角形，得到当B ，D ，H 三点共线时，可求得AE +BD 的最小值；再作垂线构造矩形，利用勾股定理求解即可．【详解】如图，过点A 作GC 的平行线AF ，并在AF 上截取AH =AC ，连接DH ，BH ．则∠HAD =∠C ．在△ADH 和△CEA 中，{AD =CE ，∠HAD =∠C ，AH =CA ，∴△ADH≌△CEA(SAS)，∴DH =AE ，∴AE +BD =DH +BD ，∴当B ，D ，H 三点共线时，DH +BD 的值最小，即AE +BD 的值最小，为BH 的长．∵AG ⊥BG ，AB =41，AG =5，∴在Rt △ABG 中，由勾股定理，得BG =AB 2−A G 2=(41)2−52=4．如图，过点H 作HM ⊥GC ，交GC 的延长线于点M ，则四边形AGMH 为长方形，∴HM =AG =5，GM =AH =AC =8，∴在Rt △BMH 中，由勾股定理，得BH =BM 2+HM 2=(4+8)2+52=13．∴AE+BD的最小值为13．故答案为：13．三．解答题17．证明：如图，延长AD至点E，使得AD=DE，连接CE，∵AD为BC边上的中线，∴BD=DC，又∵AD=DE,∠ADB=∠EDC，∴△ABD≌△ECD，∴AB=EC=3，∠BAD=∠E，又∵AE=2AD=4,AC=5，∴AC2=AE2+CE2，∴∠E=90°∴∠BAD=∠E=90°∴AD⊥AB．18．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，∴BC=AC，设BC=AC=x m，则OC=（8-x）m，在Rt△BOC中，∵OB2+OC2=BC2，．∴32+（8-x）2=x2，解得x=7316∴机器人行走的路程BC为73m．1619．（1）解：第一组勾股数的第一个数为3=2×1+1，第二个数为4=2×1×(1+1)，第三个数为4=2×(1+1)+1，第二组勾股数的第一个数为5=2×2+1，第二个数为12=2×2×(2+1)，第三个数为12=2×2×(2+1)+1，第三组勾股数的第一个数为7=2×3+1，第二个数为24=2×3×(3+1)，第三个数为25=2×3×(3+1)+1，所以第四组勾股数组的第一个数为2×4+1=9，第二个数为2×4×(4+1)=40，第三个数为2×4×(4+1)+1=41，∴第四组勾股数组为(9,40,41)；（2）解：由（1）可知：第n组勾股数为(2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1)，证明：∵(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2=4n4+8n3+8n2+4n+1，(2n2+2n+1)2=(2n2+2n+1)(2n2+2n+1)=4n4+4n3+2n2+4n3+4n2+2n+2n2+2n+1=4n4+8n3+8n2+4n+1∴(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)220．解：（1）如图，连接BG．在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝BC2+GC2＝42+32＝5（dm），即线段BG的长度为5dm；（2）①把ADEH展开，如图此时总路程为(3+3+5)2+42＝137②把ABEF展开，如图此时的总路程为(3+3+4)2+52＝125＝55③如图所示，把BCFGF展开，此时的总路程为(3+3)2+(5+4)2＝117由于117＜125<137，所以第三种方案路程更短，最短路程为117．21．（1）解：∵直线DE是对称轴，∴AE=BE，∵AC=6,BC=8，设AE=BE=x，则CE=8−x在Rt△ACE中，∠C=90°，∴AC2+CE2=AE2，∴62+(8−x)2=x2，，解得x=254∴BE=254（2）解：∵直线AF是对称轴，∴AC=AG，CF=CG，∵AC=6,BC=8，设CF=CG=x，则BF=8−x，∴在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=AC2+BC2=62+82=10，∴BG=AB−AG=4，在Rt△BGF中，∠BGF=90°，∴GF2+BG2=BF2，∴x2+42=(8−x)2，解得x=3，∴BF=8−3=5．22．解：（1）能，如图所示，正方形ABCD即为所求；（2）能，如图所示，正方形ABCD即为所求；（3）如图所示，在AB上截取AM＝BE，连接DM、MF，DM、FM即为裁剪线，将△DAM拼接△DCH处，使DA与DC重合，将△MEF拼接至△HGF处，使ME和HG重合，EF与FG 重合，得到正方形DMFH，∴剪出的块数最少为5块，故答案为：5．23．如图：∵点C、点B、点B′三点共线，∠C＝∠C′＝90°，∴四边形ACC′B′是直角梯形，∵△ACB与△BC′B′是一样的直角三角板，∴Rt△ACB≌Rt△BC′B′，∴∠CAB＝∠C′BB′，AB＝BB′，∴∠CBA+∠C′BB’＝90°∴△ABB′是等腰直角三角形，，所以S梯形ACC′B′＝（AC+B′C′）•CC′÷2＝(a+b)22S △ACB ＝12AC ⋅BC =12ab ，S △BC ′B ′＝12ab ，S △ABB ′＝12c 2，所以(a +b)22=12ab +12ab +12c 2，a 2+2ab+b 2＝ab+ab+c 2，∴a 2+b 2＝c 2；拓展1．过A 作AP ⊥BC 于点P ，如图2，则∠BMF ＝∠APB ＝90°，∵∠ABF ＝90°，∴∠BFM+∠MBF ＝∠MBF+∠ABP ，∴∠BFM ＝∠ABP ，在△BMF 和△ABP 中，{∠BFM =∠ABP ∠BMF =∠APB =900BF =AB，∴△BMF ≌△ABP （AAS ），∴FM ＝BP ，同理，EN ＝CP ，∴FM+EN ＝BP+CP ，即FM+EN ＝BC ，故答案为FM+EN ＝BC ；拓展2．过点D 作PQ ⊥m ，分别交m 于点P ，交n 于点Q ，如图3，则∠APD ＝∠ADC ＝∠CQD ＝90°，∴∠ADP+∠DAP ＝∠ADP+∠CDQ ＝90°，∴∠DAP ＝∠CDQ ，在△APD 和△DQC 中，{∠DAP =∠CDQ ∠APD =∠DQC AD =DC，∴△APD ≌△DQC （AAS ），∴AP ＝DQ ＝2，∵PD ＝1，∴AD 2＝22+12＝5，∴正方形的面积为 5，故答案为5．。

北师大版八年级上册数学第一章《勾股定理》测试卷（含答案）一．选择题1．下列线段不能构成直角三角形的是（）A．5，12，13B．2，3，C．4，7，5D．1，，2．下列各组数中，能构成直角三角形的三边的长度是（）A．3，5，7B．，，C．0.3，0.5，0.4D．5，22，233．如图，某公园处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角∠AOB走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”AB．他们踩伤草坪，仅仅少走了（）A．4m B．6m C．8m D．10m4．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A．600米B．800米C．1000米D．不能确定5．传说，古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为m的绳子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为n的直角三角形，那么这个直角三角形的面积用含m和n的式子可表示为（）A．B．C．D．6．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝12，则EF的长是（）A．7B．8C．7D．77．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（）cm．A．14B．15C．16D．178．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．2022B．2021C．2020D．19．下列各组数中，不是勾股数的是（）A．6，8，10B．9，41，40C．8，12，15D．5k，12k，13k（k为正整数）10．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D 重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2二．填空题11．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为．12．如图，已知一根长8m的竹竿在离地3m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部有m．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD是边AC上的高，CD＝2，则BD＝．14．将一副三角尺如图所示叠放在一起，如果AB＝10cm，那么AF＝cm．15．若△ABC的三边a、b、c，其中b＝1，且（a﹣1）2+|c﹣|＝0，则△ABC的形状为．16．如图，已知在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2＝．17．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为．18．请写出两组勾股数：、．19．如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入元．20．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm．三．解答题21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N，求证：AN2﹣BN2＝AC2．22．如图，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，点E是AD的中点，求CE的长．23．如图，将Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到Rt△ADE，连接BE，延长DE、BC 相交于点F，则有∠BFE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形．（1）判断△ABE的形状，并证明你的结论；（2）用含b代数式表示四边形ABFE的面积；（3）求证：a2+b2＝c2．24．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．25．如图，在数轴上作出表示的点（不写作法，要求保留作图痕迹）．26．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．27．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c 根据你发现的规律，请写出（1）当a＝19时，求b、c的值；（2）当a＝2n+1（n为正整数）时，求b、c的值；（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、52+122＝169＝132，故是直角三角形，不符合题意；B、22+（）2＝9＝32，故是直角三角形，不符合题意；C、42+52＝41≠72，故不是直角三角形，符合题意；C、12+（）2＝（）2，故是直角三角形，不符合题意．故选：C．2．解：A、∵32+52＝34≠72，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误；B、∵（）2+（）2＝7≠（）2 ，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误；C、∵（0.3）2+（0.4）2＝0.25＝（0.5）2，∴以这三个数为长度的线段，能构成直角三角形，故选项正确；D、∵52+222＝509≠232，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误．故选：C．3．解：在Rt△AOB中，AB＝＝10m，∴AO+BO﹣AB＝6+8﹣10＝4m．即少走了4m．故选：A．4．解：根据题意得：如图：OA＝40×20＝800m．OB＝40×15＝600m．在直角△OAB中，AB＝＝1000米．故选：C．5．解：设这个直角三角形的两直角边分别为a，b，由题意可得，，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝（m﹣n）2﹣n2＝m2﹣2mn，∴这个直角三角形的面积＝ab＝．故选：A．6．解：∵AE＝5，BE＝12，即12和5为两条直角边长时，小正方形的边长＝12﹣5＝7，∴EF＝；故选：C．7．解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴AP+PC＝A′P+PC＝A′C，∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm+4cm＝12cm，在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝＝15cm，故选：B．8．解：由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积＝1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2022．故选：A．9．解：A、62+82＝102，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；B、92+402＝412，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；C、82+122≠152，不能构成直角三角形，故不是勾股数；D、（5k）2+（12k）2＝（13k）2，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；故选：C．10．解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．二．填空题11．解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO＝AB+AC＝3+4＝7，所以，KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，因此，矩形KLMJ的面积为10×11＝110．故答案是：110．12．解：由图形及题意可知，AB2+BC2＝AC2设旗杆顶部距离底部有x米，有32+x2＝52，得x＝4，故答案为4．13．解：由已知得：AD＝AC﹣CD＝8，AB＝10，∵BD是高，∴△ADB是直角三角形，∴BD2+AD2＝AB2，∴BD＝＝6．14．解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB＝5，∵FC∥DE，∴∠AFC＝∠D＝45°，由勾股定理得，AF＝＝5（cm），故答案为：5．15．解：∵（a﹣1）2+|c﹣|＝0，∴a﹣1＝0，c﹣＝0，解得a＝1，c＝，∵12+12＝（）2，∴△ABC的形状为等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形．16．解：S1＝π（）2＝πAC2，S2＝πBC2，所以S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝2π．故答案为：2π．17．解：在Rt△ADC中，∵CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，∴AC＝10m，（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．∴S＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（m2）．阴影故答案是：96m218．解：两组勾股数是：3、4、5；6、8、10；故答案为：3、4、5；6、8、10．19．解：连接BD，在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，S 四边形ABCD ＝S △BAD +S △DBC ＝，＝＝36． 所以需费用36×200＝7200（元）．故答案为：720020．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm ，宽为（2+3）×3dm ， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ，由勾股定理得：x 2＝82+[（2+3）×3]2＝172，解得x ＝17．故答案为：17．三．解答题21．证明：∵MN ⊥AB 于N ，∴BN 2＝BM 2﹣MN 2，AN 2＝AM 2﹣MN 2∴BN 2﹣AN 2＝BM 2﹣AM 2，又∵∠C ＝90°，∴AM 2＝AC 2+CM 2∴BN 2﹣AN 2＝BM 2﹣AC 2﹣CM 2，又∵BM ＝CM ，∴BN 2﹣AN 2＝﹣AC 2，即AN 2﹣BN 2＝AC 2．22．解：在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∴，∵CD ＝12，AD ＝13，∵AC 2+CD 2＝52+122＝169，AD 2＝169，∴AC 2+CD 2＝AD 2，∴∠C ＝90°，∴△ACD 是直角三角形，∵点E 是AD 的中点，∴CE ＝．23．（1）△ABE 是等腰直角三角形，证明：∵Rt △ABC 绕其锐角顶点A 旋转90°得到在Rt △ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAE ＝∠BAC +∠CAE ＝∠CAE +∠DAE ＝90°，又∵AB ＝AE ，∴△ABE 是等腰直角三角形；（2）∵四边形ABFE 的面积等于正方形ACFD 面积，∴四边形ABFE 的面积等于：b 2．（3）∵S 正方形ACFD ＝S △BAE +S △BFE即：b 2＝c 2+（b +a ）（b ﹣a ），整理：2b 2＝c 2+（b +a ）（b ﹣a ）∴a 2+b 2＝c 2．24．解：（1）△ABC 为直角三角形，理由：由图可知，，BC ＝，AB ＝＝5，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC是直角三角形；（2）设AB边上的高为h，由（1）知，，BC＝，AB＝5，△ABC是直角三角形，∴＝，即＝h，解得，h＝2，即AB边上的高为2．25．解：所画图形如下所示，其中点A即为所求；．26．解：如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则有CD＝14﹣x，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，∴152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，解之得：x＝9，∴AD＝12，∴S＝BC•AD＝×14×12＝84．△ABC27．解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1∵a＝19，a2+b2＝c2，∴192+b2＝（b+1）2，∴b＝180，∴c＝181；（2）通过观察知c﹣b＝1，∵（2n+1）2+b2＝c2，∴c2﹣b2＝（2n+1）2，（b+c）（c﹣b）＝（2n+1）2，∴b+c＝（2n+1）2，又c＝b+1，∴2b+1＝（2n+1）2，∴b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1；（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，当n＝7时，2n+1＝15，112﹣111＝1，但2n2+2n＝112≠111，∴15，111，112不是一组勾股数．。

第 1 页八年级上北师大版第一章勾股定理测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列各组中，不能构成直角三角形的是 （ ）.（A ）9，12，15 （B ）15，32，39 （C ）16，30，32 （D ）9，40，412. 如图1，直角三角形ABC 的周长为24，且AB ：BC=5：3，则AC= （ ）.（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）123. 已知：如图2，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为 （ ）.（A ）9 （B ）3 （C ）49 （D ）29 4. 如图3，在△ABC 中，AD ⊥BC 及D ，AB=17，BD=15，DC=6，则AC 的长为（ ）.（A ）11 （B ）10 （C ）9 （D ）85. 若三角形三边长为a 、b 、c ，且满足等式ab c b a 2)(22=-+，则此三角形是（ ）.（A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）直角三角形6. 直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为 （ ）.（A ）6 （B ）8.5 （C ）1320 （D ）1360 7. 高为3，底边长为8的等腰三角形腰长为 （ ）.（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）68. 一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，则这只蚂蚁再沿边长爬行一周需 （ ）.（A ）6秒 （B ）5秒 （C ）4秒 （D ）3秒9. 我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形及中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图1所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 、b ，则2)(b a + 的值为 （ ）.（A ）49 （B ）25 （C ）13 （D ）1 10. 如图5所示，在长方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且BE=12，BF=16，则由点E 到F 的最短距离为 （ ）.（A ）20 （B ）24 （C ）28 （D ）32二、填空题（每小题3分，共30分）第 2 页11. 写出两组直角三角形的三边长 .（要求都是勾股数） 12. 如图6（1）、（2）中，（1）正方形A 的面积为 .（2）斜边x= .4AB =，分别 13. 如图7，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ．14. 四根小木棒的长分别为5cm ，8cm ，12cm ，13cm ，任选三根组成三角形，其中有个直角三角形.15. 如图8，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现直角边沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且及AE 重合，则CD 的长为 ．三、简答题（50分）16.（8分）如图9，AB=4，BC=3，CD=13，AD=12，∠B=90°，求四边形ABCD 的面积.17.（8分）如图10，方格纸上每个小正方形的面积为1个单位.（1）在方格纸上，以线段AB 为边画正方形并计算所画正方形的面积，解释你的计算方法.（2）你能在图上画出面积依次为5个单位、10个单位、13个单位的正方形吗？18.（8分）如图11，这是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m 的半圆，其边缘AB=CD=20m ，点E 在CD 上，CE=2m ，一滑行爱好者从A 点到E 点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数）19.（8分）如图12，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶50000米.飞机每小时飞行多少千米？20.（8分）如图13（1）所示为一个无盖的正方体纸盒，现将其展开成平面图，如图13（2）所示.已知展开图中每个正方形的边长为1.（1）求该展开图中可画出最长线段的长度，并求出这样的线段可画几条.///C B A ∠的大（2）试比较立体图中∠ABC 及平面展开图中小关系.21.（8分）如图14，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米.（1）这个梯子底端离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，则梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？ 22.（8分）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m m ，8．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．1. 我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形及中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图1第 3 页 图1所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 、b ，则2)(b a 的值为 （ ）.（A ）1（B ）12（C ）13（D ）252. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是 （ ）. （A ）532、 （B ）1086、 （C ）222543、、 （D ）1、2、33. 如图2，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AD 是底边上的高.若AB=5cm ，BC=6cm ，则AD= cm.4. 正方体的棱长为2cm ，用经过A 、B 、C 三点平面截这个正方体，所得截面的周长是 cm.5. 如图4，这是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m 的半圆，其边缘AB=CD=20m ，点E 在CD 上，CE=2m ，一滑行爱好者从A 点到E 点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数）6. 为了打击索马里海盗，保护各国商船顺利通行，我海军某部奉命前往某海域执行保航任务.某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45°并距该岛20海里的B 处待命.位于该岛正西方向C 出的某外国商船招到海盗袭击，船长发现在其北偏东60°方向有我军护航舰（图5），便发出紧急求救信号.我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援.该船舰需要多少分钟可以达到商船所在位置处？（结果精确到个位）。