二次函数压轴题最短路径问题

26. （12分）（2015*天水）在平面直角坐标系屮，已知y= - 2x?+bx+c （b、c为常数）的顶2点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（（），・1）,点C的坐标为（4, 3）,直角顶点B在第四象限.（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式.（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC±并沿AC方向滑动距离为返时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点.（3）在（2）的情况卜，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q, 取BC的屮点N,试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由.考点：二次函数综合题.分析：（1）先求出点B的处标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）如答题图2,设顶点P在直线AC±并沿AC方向滑动距离迈吋，到达P'，作P，M lly轴，PMIIx轴，交于M点，根据白线AC的斜率求得AP' PM是等腰直角三角形，进而求得抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，从而求得平移后的解析式，进而求得为x轴的交点，与直线AC的交点，即可证得结论；（3）如答图3所示，作点B关于直线AC的对称点B',由分析可知，当B，、Q、F （AB 屮点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B‘ F的长度.解答：解：（1）丁等腰直角三角形ABC的顶点A的处标为（0, - 1）, C的坐标为（4, 3）二点B的坐标为（4, - 1）.•••抛物线过A （0,・1）, B （4,・1）两点，「c二 _]-2><16+4b+c二-1 'I 2解得：b=2, c= - 1,•••抛物线的函数表达式为：y=・-X2+2X - 1.2（2）如答题图2,设顶点P在直线AC ±并沿AC方向滑动距离返时，到达P'，作P，Mlly轴,PMIIx轴,交于M点，•.•点A的坐标为(0, - 1),点C的坐标为(4, 3),・•・直线AC的解析式为y=x- 1,丁直线的斜率为1,PM是等腰直角三角形，•••PP' =V2,.-.P/ M=PM=1,.•.抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位,T+2X-1=4(X-2)2+B•••平移后的抛物线的解析式为y=-^ (x-3) ?+2,令y=0, 则F("2+2,解得X[ = l, X=52,•••平移后的抛物线与x轴的交点为(1, 0), (5, 0), 丨尸一1&-3)2+2 (x=i ( x=3解｛ 2 ,得』或］［尸x-l 1尸°1应二平移后的抛物线与AC的交点为(1, 0),•••平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点(1, 0).(3)如答图3,取点B关于AC的对称点B',易得点B'的坐标为(0, 3), BQ=B, Q, 取AB中点F, 连接QF, FN, QB',易得FNIIPQ,且FN二PQ,•••四边形PQFN为平行四边形./.NP=FQ.••.NP+BQ二FQ+B，Q>FB^ =^22+42=2Vl-.•.当B'、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2馅.点评：本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图彖与性质、待定系数法、一次函数、儿何变换（平移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴対称-最短路线问题等知识点，考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，试题难度较大.28. （12分）（2015*西宁）如图，在平面直角坐标系xOy屮，以M为顶点的抛物线与x轴分别相交于B, C两点，抛物线上一点A的横处标为2,连接AB, AC,正方形DEFG的一边GF在线段BC上，点D, E在线段AB, AC ±, AK丄x轴于点K,交DE于点H,下表给出了这条抛物线X• • •-204810• • •y r0595P• • •（1）求出这条抛物线的解析式；（2）求正方形DEFG的边长；（3）请问在抛物线的对称轴上是否存在点P,在x轴上是否存在点Q,使得四边形ADQP 的周长最小？若存在，请求出P, Q两点的处标；若不存在，请说明理由.考点：二次函数综合题.分析：(1)利用已知表格中数据结合顶点式直接求出抛物线解析式即可；(2)百先得出四边形HEFK为矩形，再利用△ADE S/X ABC,得出正方形DEFG的边长;(3)首先求岀AB所在直线解析式，进而得出D点坐标，再求出直线A' D'的解析式得出Q'的坐标即可.解答：解：(1)由图表可得：抛物线的顶点坐标为：(4, 9),设函数解析式为：y=a (x - 4) 2+9 (a*0),把点(0, 5)代入尸a (x-4) 2+9,解得：a=-X4・••函数解析式为:y=--i (x-4) 2+9；(2)设正方形DEFG的边长为m,VAK±x$fll,・•・ ZAKC=90°,J ZDEF=ZEFG=90°,・・・四边形HEFK为矩形，.e.HK=EF=m,•・•点A在抛物线尸・* (x・4) ?+9上，横坐标为2,y= - — (x - 4) 2+9=8,4・••点A的坐标为:(2, 8),・•・AK=8,・•・AH=AK・HK=8・m,由题意可得:B ( - 2, 0), C (10, 0),・・・BC=12,•・・DE〃BC,A AADE^AABC,・AH_ DE••---- — -- 9AK BC•in•• ----- —-- 98 12…m=-——・・・正方形的边长为：単5(3)存在，理由：过顶点M作抛物线的对称轴直线1： x=4,设点A关于直线1： x=4对称点为A' , A'点的坐标为：(6, 8), ・•・设AB所在直线解析式为：y=kx+b,.(8=2k+b••(0=_2k+b，解得•・产◎[b二4・・・AB所在肓线解析式为：y=2x+4,•・・D在直线AB上，DG=—,5・・・点D的纵坐标为:単，5由2x+4=—,5解得：x=2，5・••点D的坐标为：G，竽)，5 5设点D关于x轴对称点为D',则D'(辛，-单)，5 5连接A' D z交对称轴于点P,交x轴于点Q,连接AP, DQ, 则四边形ADQP的周长最小，设总线A' D'的解析式为：尸k' x+b',[6k， +b，二8•••舍出二-学15 5K 7 解得：心・・・直线A' D f的解析式为：尸学X-卑，7 7当x=4 时，y=—x4 -—,・・・P (4, —),7 7 7 7当y=0 时，x=-,2・・・Q点坐标为：(号，0).。

二次函数典型例题——最短路径1、已知抛物线2:(1)1C y x m x =-++的顶点在坐标轴．．．上． （1）求m 的值；（2）0>m 时，抛物线C 向下平移n （n > 0）个单位后与抛物线C 1：c bx ax y ++=2关于y 轴对称，且1C 过点（n ，3），求C 1的函数关系式； （3）03<<-m 时，抛物线C 的顶点为M ，且过点P （1，y 0）问在直线1-=x 上是否存在一点Q 使得△QPM 的周长最小，如果存在，求出点Q 的坐标， 如果不存在，请说明理由．（1）m 的值=1，-1，-3；（2）C 1的函数关系式：22y x x =+;（3）Q 的坐标4(1,)3-.2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21124y x =+的顶点为M ，直线2y x =，点()0P n ，为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线分别交抛物线21124y x =+和直线2y x =于点A ，点B .⑴直接写出A ，B 两点的坐标（用含n 的代数式表示）；⑵设线段AB 的长为d ，求d 关于n 的函数关系式及d 的最小值，并直接写出此时线段OB 与线段PM 的位置关系和数量关系；(3)已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为整数且0a ≠），对一切实数x 恒有x ≤y ≤2124x +，求a ，b ，c 的值. 解：(1)21(2)4A n n +，，()B n n ，. (2) d =AB =A B y y -=2124n n -+.∴ d =2112()48n -+=2112()48n -+∴ 当14n =时，d 取得最小值18.当d 取最小值时，线段OB 与线段PM 的位置 关系和数量关系是OB ⊥PM 且OB =PM . (如图10)(3) ∵ 对一切实数x 恒有 x ≤y ≤2124x +， ∴ 对一切实数x ，x ≤2ax bx c ++≤2124x +都成立. (0a ≠) ① 图10xy111APBMO3、已知关于x 的一元二次方程()0312=-+--m x m x ．（1）求证：不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若直线()31+-=x m y 与函数m x y +=2的图象1C 的一个交点的横坐标为2，求关于x 的一元二次方程()0312=-+--m x m x 的解．（3）在（2）的条件下，将抛物线()312-+--=m x m x y 绕原点旋转︒180，得到图象2C ，点P 为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别与图象1C 、2C 交于N M 、两点，当线段MN 的长度最小时，求点P 的坐标．解：（1）证明：()[]()3412----=∆m m124122+-+-=m m m 1362+-=m m()432+-=m∵不论m 取何值时，()032≥-m ∴()0432>+-m ，即0>∆∴不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）将2=x 代入方程()0312=-+--m x m x ，得3=m再将3=m 代入，原方程化为022=-x x ， 解得2,021==x x ． （3）将3=m 代入得抛物线：x x y 22-=，将抛物线x x y 22-=绕原点旋转︒180得到的图象2C 的解析式为：x x y 22--=．设()0,x P则()3,2+x x M ，()x x x N 2,2--()()25212322232222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=---+=x x x x x x MN∴当21-=x 时，MN 的长度最小，此时点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-0,21（昌平）27．已知抛物线2y ax bx c =++经过原点O 及点A （-4，0）和点B （-6，3）． （1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如图1，将直线2y x =沿y 轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C ，平移后的直线与y 轴交于点D ，求直线CD 的解析式；（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD 距离最短的点的坐标及该最短距离．yx图1BACD O yx图2CD O解：（1）∵ 抛物线经过()0,0，()4,0- ，()6,3-三点，∴ 01640,366 3.c a b a b =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ ………………………………………… 1分解得 1410a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，． …………………………… 2分∴ 抛物线的解析式为214y x x =+．∵()()22211144421444y x x x x x =+=++-=+-∴抛物线的顶点坐标为()2,1-- ……………3分 （2）设直线CD 的解析式为2y x m =+，根据题意，得2124x x x m +=+， …………… 4分 化简整理，得2440x x m --=，由16160m ∆=+=，解得1m =-， ……………… 5分∴直线CD 的解析式为21y x =- ．（3）点的坐标为()2,7， …………………………… 6分． ……………………… 7分。

二次函数之最短路径问题例1.(广东)已知二次函数y=x 2-2mx+m 2-1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式； （2）如图，当m=2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC+PD 最短若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．例2.（甘肃兰州）如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为(-3，0)、(0，4)，抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点B ，且顶点在直线x ＝52上．(1)求抛物线对应的函数关系式；(2)若把△ABO 沿x 轴向右平移得到△DCE ，点A 、B 、O 的对应点分别是D 、C 、E ，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接BD ，已知对称轴上存在一点P 使得△PBD 的周长最小，求出P 点的坐标；例3.如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．例4.（湖南郴州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大求出此时点P的坐标；（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．例5.（辽宁）如图16，在平面直角坐标系中，直线33y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线223(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点．（1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．例6.(山西)综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x 2+2x+3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求直线AC 的解析式及B 、D 两点的坐标；（2）点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线l ∥AC 交抛物线于点Q ，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出M 点的坐标．A O xyBFCA O xyBFC例7.如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P 是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小求出此时点P的坐标和△PDE的周长；（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN=90°若存在，请直接写出点P的坐标．例8.（德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．练习:(烟台)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．例10.已知抛物线y=ax2+bx+1经过点A（1，3）和点B（2，1）。

二次函数压轴题——线段问题解析类型一：距离最值常见模型1. “变动的两线段之和的最小值”时大都应用“两点之间的连线中，线段最短”这一模型．2. “变动的两线段之差的最大值”时大都应用“三角形两边之差小于第三边”这一模型．1. 如图，抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的图象过点A (4，0)，B (－4，－4)，且抛物线与y 轴交于点C ，连接AB ，BC ，AC .(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线对称轴上的点，求△PBC 周长的最小值及此时点P 的坐标；答案：(1)y =−14x 2+12x +2;（2）2√13+6√22.如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点N ，过A 点的直线l ：y ＝kx +n 与y 轴交于点C ，与抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 的另一个交点为D ，已知A （﹣1，0），D （5，﹣6），P 点为抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 上一动点（不与A 、D 重合）．（1）求抛物线和直线l 的解析式；（2）当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过P 点作PE ∥x 轴交直线l 于点E ，作PF ∥y 轴交直线l 于点F ，求PE +PF 的最大值；答案（1）y=−x2+3x+4 ;（2）当x＝2时，其最大值为18；3.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E．求DE的最大值；【解答】解：（1）y=−x2−4x−3;（2）44.如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；答案（1）y=−x2+2x+3;（2）p(1,2),√10+3√25.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；答案：（1）y=−12x2+x+72;（2）32√56．直线132y x=-与抛物线2y x bx c=-++相交于A(),4m-和B（4，n）两点，点P是抛物线位于线段AB上方异于点A，B的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，交线段AB于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）在P点运动过程中，线段PQ的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由；答案（1）y=−x2+52x+5;（2）P(1,132),最大值9类型二距离和差积关系利用坐标的几何意义求距离1.已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；（Ⅲ）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．【解答】解：（Ⅰ）（1，﹣4）；（Ⅱ）3√2−1（Ⅲ）42.抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3，0)，B(1，0)，交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合)，过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；(3)在抛物线对称轴上是否存在点M，使|MA－MC|最大？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．答案(1)y=x2−4x+3 (2)94；(3)存在.M(2，－3)3.抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．答案（1）14x2+12x−2 ;（2）58。

常考二次函数综合题整理 题型一最短路径问题1、如图，抛物线y=﹣12x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．【变式】如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；题型二最大面积（线段最长）问题2、已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？并求出这个最大值．3、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH△x轴于点H，与BC交于点M，连接PC，求线段PM的最大值.【变式】如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图，过点P作PE△y轴于点E，连接AE．求△PAE面积S的最大值；题型三 存在点构成等腰三角形问题4、如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.5、如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A （1，0），B （3，0），交y 轴于点C ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）直线x=m 分别交直线BC 和抛物线于点M ，N ，当△BMN 是等腰三角形时，直接写出m 的值．【变式】已知二次函数y=ax 2+bx ﹣3a 经过点A （﹣1，0）、C （0，3），与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC 、BC 、DB ，求证：△BCD 是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,2C -，点A 的坐标是()2,0，P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线1x =-.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在第二象限内，且14PE OD =，求PBE ∆的面积． （3）在（2）的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的下方，是否存在点M ，使BDM ∆是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题型四 存在点构成直角三角形问题6、如图，抛物线2y ax bx 4=+-经过()A 3,0-，()B 5,4-两点，与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC ．()1求抛物线的表达式；()2求证：AB 平分CAO ∠；()3抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得ABM V 是以AB 为直角边的直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．●题型四存在点构成等腰直角三角形问题7、已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE△x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．●题型四存在点构成平行四边形问题8、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．()B-，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点.0,5（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标.【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．9、如图，已知抛物线y=12x2+bx+c与直线AB：y=12x+12相交于点A（1，0）和B（t，52），直线AB交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）设点M是抛物线对称轴上一点，点N在抛物线上，以点A、B、M、N为顶点的四边形是否可能为矩形？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由．10、如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．11、如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使△BQC=△BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．12、如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于△ACB 的2倍时，请直接写出点M的坐标【变式】如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE△BC 于E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE 长度的最大值；（3）如图2，设AB 的中点为F ，连接CD ，CF ，是否存在点D ，使得△CDE 中有一个角与△CFO 相等？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题型七 存在点使三角形相似问题13、如图，以D 为顶点的抛物线y=﹣x 2+bx+c 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．14、如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣12x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【变式】抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（32，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求△ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE△AC，当△DCE 与△AOC相似时，求点D的坐标．【变式】如图，抛物线y=12x2+bx+c与直线y=12x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ△PA交y轴于点Q，问：是否存在点P 使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型七二次函数与圆结合问题15、如图，△E的圆心E（3，0），半径为5，△E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与△E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．16、如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上，并过点B（0，1），直线n：y=﹣x+与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，过B点的直线BE与直线n相交于点E（﹣7，7）．（1）求抛物线m的解析式；（2）P是l上的一个动点，若以B，E，P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标；（3）抛物线m上是否存在一动点Q，使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+53x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．【变式】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B （点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP△x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.。

第十四讲二次函数--主从联动（瓜豆原理）求最值必备知识点一、轨迹为线段引例：如图，P 是直线BC 上一动点，连接AP ，取AP 中点Q ，当点P 在BC 上运动时，Q点轨迹是？【分析】当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A 、Q 向BC 作垂线，垂足分别为M 、N ，在运动过程中，因为AP=2AQ ，所以QN 始终为AM 的一半，即Q 点到BC 的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．【引例】如图，△APQ 是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ ，当点P 在直线BC 上运动时，求Q点轨迹？知识导航【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）二、轨迹为圆引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．【模型总结】为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．例题演练1．如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是抛物线上一动点．（1）求二次函数的表达式．（2）当点P不与点A、B重合时，作直线AP，交直线BC于点Q，若△ABQ的面积是△BPQ面积的4倍，求点P的横坐标．（3）如图②，当点P在第一象限时，连接AP，交线段BC于点M，以AM为斜边向△ABM外作等腰直角三角形AMN，连接BN，△ABN的面积是否变化？如果不变，请求出△ABN的面积；如果变化，请说明理由．2．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c 经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．（1）求抛物线解析式；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积的，求此时点M的坐标；（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B 上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．求FD长度的取值范围．3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（1，0），点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P在第二象限的抛物线上，连接PC、PO，线段PO交线段BC于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）若△PCE的面积为S1，△OCE的面积为S2，当时，求点P的坐标；（3）已知点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接BN，点H在x轴上，当∠HCB＝∠NBC 时，①求满足条件的所有点H的坐标②当点H在线段AB上时，点Q是平面直角坐标系内一点，保持QH＝，连接BQ，将线段BQ绕着点Q顺时针旋转90°，得到线段QM，连接MH，请直接写出线段MH的取值范围．4．如图，抛物线y＝﹣x2﹣3x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）若以点C为圆心，1为半径的圆上有一动点P，连接BP，点Q为线段BP上一点，且BQ＝BP，求线段OQ的最大值；为线段BP上一点，且BQ＝BP，求线段OQ的最大值；（2）若点D为抛物线上一点且横坐标为﹣3，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为半径的圆上，求DE+EF的最小值；（3）若以点B为圆心，3为半径作圆，与x轴的正半轴交于点H，点M是⊙B上的一动点，连接AM，以AM为直角边向下作等腰Rt△MAN，且∠MAN＝90°，连接NH，求线段NH长度的取值范围．。

二次函数压轴题专题一最短路径问题——和最小知识梳理最短路径就是无论在立体图形还是平面图形中，两点间的最短距离，常涉及以下 两个方面：1、两点之间，线段最短；2、垂线段最短。

常用思考的方式：1、把立体转化为平面；2、通过轴对称寻找对称点。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

例题导航例1：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小.例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M,则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。

证明：由平移的性质，得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE 中，∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。

例：如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。

作法：作点B 关于直线 a 的对称点点C,连接AC 交直线a 于点D ，则点D 为建抽水站的位置。

证明：在直线 a 上另外任取一点E ，连接AE.CE.BE.BD,··CDA BEa∵点B.C 关于直线 a 对称,点D.E 在直线 a 上，∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC在△ACE 中，AE+EC ＞AC, 即 AE+EC ＞AD+DB所以抽水站应建在河边的点D 处，常见问题归纳“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）．如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．当点P 为直线AB ′与直线l 的交点时，PA ＋PB 最小．【方法归纳】①如图所示，在直线l 上找一点B 使得线段AB 最小．过点A 作AB ⊥l ，垂足为B ，则线段AB 即为所求．②如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．过点B 作关于直线l 的对称点B ′，BB ′与直线l 交于点P ，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．③如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点C ，D 使得PC ＋CD ＋PD 最小．过点P 分别作关于AO ，BO 的对称点E ，F ，连接EF ，并与AO ，BO 分别交于点C ，D ，此时PC ＋CD ＋PD 最小，则点C ，D 即为所求．④如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点E ，F 使得DE ＋EF ＋CF 最小．分别过点C ，D 作关于AO ，BO 的对称点D ′，C ′，连接D ′C ′，并与AO ，BO 分别交于点E ，F ，此时DElBAllllBAOBOB＋EF ＋CF 最小，则点E ，F 即为所求．⑤如图所示，长度不变的线段CD 在直线l 上运动，在直线l 上找到使得AC ＋BD 最小的CD 的位置．分别过点A ，D 作AA ′∥CD ，DA ′∥AC ，AA ′与DA ′交于点A ′，再作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接A ′B ′与直线l 交于点D ′，此时点D ′即为所求．⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P 为抛物线（y ＝14x 2）上的一点，点A （0，1）在y轴正半轴．点P 在什么位置时PA ＋PB 最小？过点B 作直线l ：y ＝－1的垂线段BH ′，BH ′与抛物线交于点P ′，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．二次函数中最短路径例题例1．（13广东）已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式； （2）如图，当m ＝2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC ＋PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．BOB Oll练习1．（11菏泽）如图，抛物线y ＝12x 2＋bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．练习2．（12滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．例2．（14海南）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线经过A （－1，0），C （0，5）两点，与x 轴另一交点为B ．已知M （0，1），E （a ，0），F （a ＋1，0），点P 是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a ＝1时，求四边形MEFP 的面积的最大值，并求此时点P 的坐标；（3）若△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．【思路点拨】 （1）由对称轴为直线x ＝2，可以得出顶点横坐标为2，设二次函数的解析式为y ＝a （x －2）2＋k ，再把点A ，B 的代入即可求出抛物线的解析式；（2）求四边形MEFP 的面积的最大值，要先表示出四边形MEFP 面积．直接求不好求，可以考虑用割补法来求，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，由S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME 即可得出； （3）四边形PMEF 的四条边中，线段PM ，EF 长度固定，当ME ＋PF 取最小值时，四边形PMEF 的周长取得最小值．将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得到点M 1（1，1），作点M 1关于x 轴的对称点M 2（1，－1），连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小． 【解题过程】解：（1）∵对称轴为直线x ＝2，∴设抛物线解析式为y ＝a （x －2）2＋k ．将A （－1，0），C （0，5）代入得：⎩⎨⎧9a ＋k ＝04a ＋k ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－1k ＝9，∴y ＝－（x －2）2＋9＝－x 2＋4x ＋5．（2）当a ＝1时，E （1，0），F （2，0），OE ＝1，OF ＝2．设P （x ，－x 2＋4x ＋5），如答图2，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，则PN ＝x ，ON ＝－x 2＋4x ＋5，∴MN ＝ON －OM ＝－x 2＋4x ＋4．S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME ＝12（PN ＋OF ）•ON －12PN•MN －12OM •OE ＝12（x ＋2）（－x 2＋4x ＋5）－12x •（－x 2＋4x ＋4）－12×1×1＝－x 2＋92x ＋92 ＝－（x －94）2＋15316 ∴当x ＝94时，四边形MEFP 的面积有最大值为15316，此时点P 坐标为（94，15316）． （3）∵M （0，1），C （0，5），△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，∴点P 的纵坐标为3．令y ＝－x 2＋4x ＋5＝3，解得x ＝2±6．∵点P 在第一象限，∴P （2＋6，3）．四边形PMEF 的四条边中，PM 、EF 长度固定，因此只要ME ＋PF 最小，则PMEF 的周长将取得最小值． 如答图3，将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得M 1（1，1）；作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2（1，－1）；连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小．设直线PM 2的解析式为y ＝mx ＋n ，将P （2＋6，3），M 2（1，－1）代入得：⎩⎨⎧(2＋6)m ＋n ＝3m ＋n ＝－1，解得：m ＝46－45 ，n ＝46＋45，∴y ＝46－45x －46＋45．当y ＝0时，解得x ＝6＋54．∴F （6＋54，0）．∵a ＋1＝6＋54，∴a ＝6＋14． ∴a ＝6＋14时，四边形PMEF 周长最小．图1 图2练习3．（11眉山）如图，在直角坐标系中，已知点A （0，1），B （﹣4，4），将点B 绕点A 顺时针方向90°得到点C ；顶点在坐标原点的拋物线经过点B ． （1）求抛物线的解析式和点C 的坐标；（2）抛物线上一动点P ，设点P 到x 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，试说明d 2＝d 1＋1；（3）在（2）的条件下，请探究当点P 位于何处时，△PAC 的周长有最小值，并求出△PAC 的周长的最小值．例4．（14福州）如图，抛物线y ＝12(x -3)2-1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D 了． （1）求点A ，B ，D 的坐标； （2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．【思路点拨】（1）由顶点式直接得出点D 的坐标，再令y ＝0，得12(x -3)2-1＝0解出方程，即可得出点A ，B 的坐标；（2）设HD 与AE 相交于点F ，可以发现△HEF 与△ADF 组成一个“8字型”．对顶角∠HFE ＝∠AFD ，只要∠FHE ＝∠FAD 即可．因为∠EHF ＝90°，只需证明∠EAD ＝90°即可．由勾股定理的逆定理即可得出△ADE 为直角三角形，得∠FHE ＝∠FAD ＝90°即可得出结论；（3）先画出图形．因为PQ 为⊙E 的切线，所以△PEQ 为直角三角形，半径EQ 长度不变，当斜边PE 最小时，PQ 的长度最小．设出点P 的坐标，然后表示出PE ，求出PE 的最小值，得到点P 的坐标，再求出点Q 的坐标即可．【解题过程】解：（1）顶点D 的坐标为（3，-1）．令y ＝0，得12 (x -3)2-1＝0，解得x 1＝3＋2，x 2＝3-2．∵点A 在点B 的左侧，∴A 点坐标(3-2，0)，B 点坐标（3+2，0）．（2）过D 作DG ⊥y 轴，垂足为G ．则G （0，-1），GD ＝3．令x ＝0，则y ＝72，∴C 点坐标为（0，72）．∴GC ＝72-(-1) ＝ 92．设对称轴交x 轴于点M ．∵OE ⊥CD ，∴∠GCD ＋∠COH ＝90︒．∵∠MOE ＋∠COH ＝90︒，∴∠MOE ＝∠GCD ．又∵∠CGD ＝∠OMN ＝90︒，∴△DCG ∽△EOM ． ∴CG OM ＝DGEM ，即923＝3EM ．∴EM ＝2，即点E 坐标为(3，2)，ED ＝3． 由勾股定理，得AE 2＝6，AD 2＝3，∴AE 2＋AD 2＝6＋3＝9＝ED 2． ∴△AED 是直角三角形，即∠DAE ＝90︒．设AE 交CD 于点F ．∴∠ADC ＋∠AFD ＝90︒．又∵∠AEO ＋∠HFE ＝90︒， ∴∠AFD ＝∠HFE ，∴∠AEO ＝∠ADC ．（3）由⊙E 的半径为1，根据勾股定理，得PQ 2＝EP 2－1．要使切线长PQ 最小，只需EP 长最小，即EP 2最小．设P 坐标为（x ，y ），由勾股定理，得EP 2＝(x －3)2＋(y －2)2．∵y ＝12 (x －3)2－1，∴(x －3)2＝2y ＋2．∴EP 2＝2y ＋2＋y 2－4y ＋4＝(y －1)2＋5．当y ＝1时，EP 2最小值为5．把y ＝1代入y ＝12(x －3)2－1，得12(x －3)21＝1，解得x 1＝1，x 2＝5．又∵点P 在对称轴右侧的抛物线上，∴x 1＝1舍去．∴点P 坐标为(5，1)．此时Q 点坐标为（3，1）或(195，135)．例5．（14遂宁）已知：直线l ：y ＝﹣2，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是y 轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，点P 是抛物线上任意一点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，求证：PO ＝PQ ．（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i ）如图②，过原点作任意直线AB ，交抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 于点A 、B ，分别过A 、B 两点作直线l 的垂线，垂足分别是点M 、N ，连结ON 、OM ，求证：ON ⊥OM ． （ii ）已知：如图③，点D （1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F ，使得FD ＋FO 取得最小值？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【解题过程】解：（1）由题意，得⎩⎨⎧－b 2a ＝0－1＝c 0＝4a ＋2b ＋c ，解得：⎩⎨⎧a ＝14b ＝0c ＝－1，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2－1； （2）如图①，设P （a ，14a 2﹣1），就有OE ＝a ，PE ＝14a 2﹣1，∵PQ ⊥l ，∴EQ ＝2，∴QP ＝14a 2＋1．在Rt △POE 中，由勾股定理，得PO ＝a 2＋(14a 2－1)2＝14a 2＋1，∴PO ＝PQ ； （3）（i ）如图②，∵BN ⊥l ，AM ⊥l ，∴BN ＝BO ，AM ＝AO ，BN ∥AM ，∴∠BNO ＝∠BON ，∠AOM ＝∠AMO ，∠ABN ＋∠BAM ＝180°．∵∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＝180°，∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝180°，∴∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＋∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝360°，∴2∠BON ＋2∠AOM ＝180°， ∴∠BON ＋∠AOM ＝90°，∴∠MON ＝90°，∴ON ⊥OM ；（ii ）如图③，作F ′H ⊥l 于H ，DF ⊥l 于G ，交抛物线与F ，作F ′E ⊥DG 于E ，∴∠EGH ＝∠GHF ′＝∠F ′EG ＝90°，FO ＝FG ，F ′H ＝F ′O ，∴四边形GHF ′E 是矩形，FO ＋FD ＝FG ＋FD ＝DG ，F ′O ＋F ′D ＝F ′H ＋F ′D ，∴EG ＝F ′H ，∴DE ＜DF ′，∴DE ＋GE ＜HF ′＋DF ′，∴DG ＜F ′O ＋DF ′，∴FO ＋FD ＜F ′O ＋DF ′，∴F 是所求作的点．∵D （1，1），∴F 的横坐标为1，∴F （1，54）．l。

专题15二次函数中最短路径问题【做题思路】：一般在二次函数中，会求PA+PC的最小值，且点P为动点；对于这类问题，首先将动点所在直线作为“河”，根据“将军饮马问题”的作图步骤，作出图形。

【做题步骤】：①首先找出“河”：动点所在直线就是“河”；②选出其中一个特殊定点，做关于“河”的对称点；③连接对称点与另一个定点；④连线与河的交点即为动点所在位置，连线长度即为最短路径长（可以用两点之间距离公式）；【变换类型】求一个三角形的周长最短：周长就是三条线段相加，其中有一条线段是确定的，两条线段长随着动点运动而变化，那么只需要求出与动点相连两定点的线段最小值即可，也就是求两个线段的最小值。

【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】1．直线y ＝23x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC ＋PD 值最小时点P 的坐标为（ ）A ．(－3，0)B ．(－6，0)C ．(－52，0) D ．(－32，0) 2．如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M，N 分别是AB，BC 边上的中点，则MP+PN 的最小值是（ ）A ．12B ．1C D ．23．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （2，3），点B （﹣2，1），在x 轴上存在点P 到A ，B 两点的距离之和最小，则P 点的坐标是 ．4．如图，A （3,4），B （0,1），C 为x 轴上一动点，当△ABC 的周长最小时，则点C 的坐标为_________．1．如图，已知直线y=12x+1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y= 12x 2+bx+c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）．在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM ﹣MC|的值最大，求出点M 的坐标__________.2．如图，抛物线y=﹣x 2﹣2x+3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，M 点在抛物线的对称轴上，当点M 到点B 的距离与到点C 的距离之和最小时，点M 的坐标为_____．3．如图，已知直线1y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1,0)．在抛物线的对称轴上找一点M ，使AM MC -的值最大，求出点M 的坐标___阅读材料：例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值．P （x ，0）是x 轴上P 与点A （0，1P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA ＋PB 的最小值．设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA ＝PA′，因此，求PA ＋PB 的最小值，只需求PA′＋PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，所以PA′＋PB 的最小值为线段A′B 的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB ＝3，所以A′B＝．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）P （x ，0）与点A （1，1）、点B 的距离之和．（填写点B 的坐标）（2）代数式已知()()1,2,7,4A B ，M ，N 是x 轴上两动点（M 在N 左边），3MN =，请在x 轴上画出当AM MN NB ++的值最小时，M ，N 两点的位置．1.如图1，抛物线2y ax bx =+与x 轴交于点A ，对称轴与抛物线交于点()2,2B -，与x 轴交于点C .（1）求抛物线的解析式．（2）点D 是y 轴上的动点，求DAB ∆的最小周长．（3）如图2，点P 是抛物线上一个动点，,PA PO 分别与BC 交于点,M N ．①若动点P 在第一象限，问MC NC -的值是否发生变化．若不变，求出其值；若发生变化，请说明理由． ②若动点P 在第二象限，请给出①中类似的关于MC 与NC 长的结论（不必证明）．2．已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -,、()0,2C -．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）在对称轴上是否存在一点P ，使得PBC ∆的周长最小．若存在请求出点P 的坐标．若不存在请说明理由．3．如图，已知直线33y x =-分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =++经过A 、B 两点，点C 是抛物线与x 轴的另一个交点（与A 点不重合）.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上求一点P ，使ABP ∆的周长最小，并求出最小周长和P 点的坐标；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使ABM ∆为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M 的坐标.4．如图，一元二次方程x 2+2x，3=0的两根x 1，x 2，x 1，x 2）是抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点C，B 的横坐标，且此抛物线过点A，3，6，， ，1）求此二次函数的解析式；，2）设此抛物线的顶点为P ，对称轴与线段AC 相交于点G ，则P 点坐标为 ，G 点坐标为 ， ，3）在x 轴上有一动点M ，当MG+MA 取得最小值时，求点M 的坐标．5．如图，以D 为顶点的抛物线2y ax 2x c =++交x 轴于点A ，(6,0)B ，交y 轴于点(0,6)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC 上有一点P ，使PO PA +的值最小，求点P 的坐标；（3）在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形与BCD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线y=12x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A(一1，0)． (1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； (2)判断△ABC 的形状，证明你的结论；(3)点M 是x 轴上的一个动点，当△DCM 的周长最小时，求点M 的坐标．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A，，1，0，B，3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．，1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；，2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；，3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A，P，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线2(0)y ax x a =≠经过点3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点C . （Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标； （Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 9．如图，直线43y x =与抛物线268y x x =-+交于A ，B 两点（其中点A 在点B 的左侧），与抛物线的对称轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，点B 的坐标为()6,8，在抛物线的对称轴上找一点F ，使35BF CF +的值最小，求满足条件的点F 的坐标．试卷第11页，总11页。

二次函数常见压轴题题目类型 一：定值问题1.如图，直线1y x =+与抛物线222y x mx m m =-++交于A,B 两点（点A 在点B 的左边）。

求证：无论m 为何值，AB 的长总为定值。

2.如图，抛物线243y x x =-+与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C,将直线BC 沿y 轴向上平移交抛物线于点M,N ，交y 轴于点P ，求PM PN -的值。

3.如图，已知直线()90y kx k k =-＜与抛物线223y x x =--交于A,B 两点，与x 轴交于点P ，过点A 作AC ⊥x 轴于点C,过点B 作BD ⊥x 于点D ，求证：PD PC ⋅为定值。

4.如图，抛物线的顶点坐标为C （0,8），并且经过A （8,0），点P 是抛物线上点A,C 间的一个动点（含端点），过点P 作直线8y =的垂线，垂足为点F,点D ，E 的坐标分别为（0,6），（4,0），连接PD,PE,DE 。

（1）求抛物线的解析式（2）猜想并探究：对于任意一点P ，PD 与PF 的差是否为固定值，如果是，请求出此定值，如果不是，请说明理由。

二．二次函数与角度问题1.如图，抛物线232y x x =-+-与x 交于A,B 两点，与y 轴交于点C ，点P 在抛物线上，∠ACB=∠BCP ，求点P 的坐标物线，且DM 平分∠OME,求点E 的坐标。

3.抛物线2y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C,点P 在抛物线上，且位于x 轴的下方。

（1）如图1，若点P （1,3-），B （4,0），①求该抛物线的解析式；②若D 是抛物线上的一点，满足∠DPO=∠POB ，求点D 的坐标（2）如图2，在（1）中的抛物线解析式不变的条件下，已知直线PA 、PB 与y 轴分别交于E 、F 两点，点P 运动时，OE+OF 是否为定值？若是，试求出改定值；若不是，请说明理由。

物线第四象限上一点，∠PCB=∠ACO ，求点P 的坐标5.如图，过点（1,4-）的抛物线与x 轴交于点()10,(30)A B -，，,与y 轴交于点C 。

专题15二次函数中最短路径问题【做题思路】：一般在二次函数中，会求PA+PC的最小值，且点P为动点；对于这类问题，首先将动点所在直线作为“河”，根据“将军饮马问题”的作图步骤，作出图形。

【做题步骤】：①首先找出“河”：动点所在直线就是“河”；②选出其中一个特殊定点，做关于“河”的对称点；③连接对称点与另一个定点；④连线与河的交点即为动点所在位置，连线长度即为最短路径长（可以用两点之间距离公式）；【变换类型】求一个三角形的周长最短：周长就是三条线段相加，其中有一条线段是确定的，两条线段长随着动点运动而变化，那么只需要求出与动点相连两定点的线段最小值即可，也就是求两个线段的最小值。

【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】1．直线y＝23x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（）A．(－3，0)B．(－6，0)C．(－52，0)D．(－32，0)【答案】C【解析】【分析】【详解】作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．直线y=23x+4与x轴、y轴的交点坐标为A（﹣6，0）和点B（0，4），因点C、D分别为线段AB、OB的中点，可得点C（﹣3，2），点D（0，2）．再由点D′和点D关于x轴对称，可知点D′的坐标为（0，﹣2）．设直线CD′的解析式为y=kx+b，直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），所以2=-3k+b-2=b⎧⎨⎩，解得：4k=-3b=-2⎧⎪⎨⎪⎩，即可得直线CD′的解析式为y=﹣43x﹣2．令y=﹣43x﹣2中y=0，则0=﹣43x﹣2，解得：x=﹣32，所以点P的坐标为（﹣32，0）．故答案选C．考点：一次函数图象上点的坐标特征；轴对称-最短路线问题．2．如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M，N 分别是AB，BC 边上的中点，则MP+PN 的最小值是（ ）A ．12B ．1C D ．2【答案】B 【解析】 【分析】先作点M 关于AC 的对称点M′，连接M′N 交AC 于P ，此时MP+NP 有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1． 【详解】 解：如图，作点M 关于AC 的对称点M′，连接M′N 交AC 于P ，此时MP+NP 有最小值，最小值为M′N 的长． ∵菱形ABCD 关于AC 对称，M 是AB 边上的中点， ∴M′是AD 的中点， 又∵N 是BC 边上的中点， ∴AM′∥BN ，AM′=BN ， ∴四边形ABNM′是平行四边形， ∴M′N=AB=1，∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP 的最小值为1， 故选B ．3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （2，3），点B （﹣2，1），在x 轴上存在点P 到A ，B 两点的距离之和最小，则P 点的坐标是 ．【答案】（﹣1，0）．【解析】试题分析：作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，求出C的坐标，设直线BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐标代入求出k、b，得出直线BC的解析式，求出直线与x轴的交点坐标即可．试题解析: 作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，，A点的坐标为（2，3），B点的坐标为（﹣2，1），，C（2，﹣3），设直线BC的解析式是：y=kx+b，把B、C的坐标代入得：21 {23k bk b-+=+=-解得1 {1 kb=-=-．即直线BC的解析式是y=﹣x﹣1，当y=0时，﹣x﹣﹣1=0，解得：x=﹣1，，P点的坐标是（﹣1，0）．考点：1.轴对称-最短路线问题；2.坐标与图形性质．4．如图，A（3,4），B（0,1），C为x轴上一动点，当△ABC的周长最小时，则点C的坐标为_________．【答案】305⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】 【分析】先作出点B 关于x 轴的对称点'B ，连接'AB 交x 轴于点C,再用待定系数法求出直线'AB 的解析式，进而求出点C 的坐标即可. 【详解】先作出点B 关于x 轴的对称点'B ，连接'AB 交x 轴于点C,则点'B 的坐标为(0,1)-由两点之间线段最短可知，'AB 的长即为AC BC +的长，因为AB 是定值，所以此时△ABC 的周长最小 设直线'AB 的解析式为y kx b =+ 将(3,4),'(0,1)A B -代入解析式得341k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得531k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴直线'AB 的解析式为513y x =- 当0y = 时，5103x -=，解得35x = ∴点3(,0)5C故答案为：305⎛⎫ ⎪⎝⎭，.【点睛】本题主要考查周长的最小值，能够作出点B 的对称点，掌握待定系数法是解题的关键.1．如图，已知直线y=12x+1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y= 12x 2+bx+c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）．在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM ﹣MC|的值最大，求出点M 的坐标__________.【答案】31-22（，） 【解析】分析:易得点A，0，1），那么把A，B 坐标代入y=12x 2+bx+c 即可求得函数解析式,然后求出对称轴,找到C 关于对称轴的对称点B ，连接AB 交对称轴的一点就是M ．应让过AB 的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M 坐标．详解: ，1）将A，0，1，，B，1，0）坐标代入y=12x 2+bx+c, 得1102c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩, 解得321b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解折式为y=12x 2-32x+1， ∴抛物线的对称轴为x=32， ∵B，C 关于x=32对称， ∴MC=MB，要使|AM -MC|最大，即是使|AM -MB|最大，由三角形两边之差小于第三边得，当A，B，M 在同一直线上时|AM -MB|的值最大． 易知直线AB 的解析式为y=-x+1∴由132y x x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩， 得3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴M，32，-12，， 点睛: 本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，直线和抛物线的交点,求两条线段和或差的最值，要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点．2．如图，抛物线y=﹣x 2﹣2x+3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，M 点在抛物线的对称轴上，当点M 到点B 的距离与到点C 的距离之和最小时，点M 的坐标为_____．【答案】（﹣1，2）． 【解析】 【分析】因为点B 关于对称轴的对称点为点A ，连接AC ，设直线AC 与对称轴x =，1的交点为M ，则此时MB +MC 的值最小，再求得点M 的坐标即可， 【详解】∵抛物线y =，x 2，2x +3与x 轴交于A ，B 两点，令y =0，得，，x 2，2x +3=0，解得，x =，3或x =1，∴点A ，，3，0，，C ，0，3，，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，把A ，，3，0，，C ，0，3）分别代入直线y =kx +b ，得，303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得，13k b =⎧⎨=⎩，∴直线AC 解析式为y =x +3， 设直线AC 与对称轴x =，1的交点为M ，则此时MB +MC 的值最小， 把x =，1代入直线y =x +3得，y =2，∴M ，，1，2，，即当点M 到点B 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为（﹣1，2，，故答案为，，1，2，，【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，轴对称﹣最短路线问题，求得直线AC 的解析式是解答本题的关键， 3．如图，已知直线1y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1,0)．在抛物线的对称轴上找一点M ，使AM MC -的值最大，求出点M 的坐标___【答案】31,22⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】 找到C 关于对称轴的对称点B ，连接AB 交对称轴的一点就是M ．应让过AB 的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M 坐标．【详解】解：将A （0，1）、B （1，0）坐标代入212y x bx c =++ 1102c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩ 解得321b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解折式为213-122y x x =+ ∴抛物线的对称轴为x ＝32，∵B 、C 关于x=32对称， ∴MC=MB ， 要使|AM -MC|最大，即是使|AM -MB|最大，由三角形两边之差小于第三边得，当A 、B 、M 在同一直线上时|AM -MB|的值最大．易知直线AB 的解析式为y=-x+1321x y x ⎧=⎪∴⎨⎪=-+⎩ ∴3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 故答案为：31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了抛物线与直线的问题，求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点．阅读材料：例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值．P （x ，0）是x 轴上P 与点A （0，1P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA ＋PB 的最小值．设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA ＝PA′，因此，求PA ＋PB 的最小值，只需求PA′＋PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，所以PA′＋PB 的最小值为线段A′B 的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB ＝3，所以A′B＝．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）P（x，0）与点A（1，1）、点B 的距离之和．（填写点B的坐标）（2）代数式【答案】（1）B（2，3）或（2，－3）；（2）10．【解析】试题分析：（1（2P （x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，再根据在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．试题解析：（1的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，±3）的距离之和，故答案为：B（2，3）或（2，－3）；（2∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，∵A（0，7），B（6，1），∴A′（0，﹣7），A′C=6，A B'==，故答案为：10．BC=8，∴10考点：1．轴对称-最短路线问题；2．坐标与图形性质；3．探究型．已知()()1,2,7,4A B ，M ，N 是x 轴上两动点（M 在N 左边），3MN =，请在x 轴上画出当AM MN NB ++的值最小时，M ，N 两点的位置．【答案】见解析【解析】【分析】作点A 关于x 轴的对称点()1,2'-A ，再将点B 向左平移3个单位得到点B '，连接A B ''，与x 轴的交点即为点M ，将A '向右平移3个单位得到点C ，连接CB ，与x 轴的交点即为N ．点M ，N 即为所求．【详解】如图，作点A 关于x 轴的对称点()1,2'-A ，再将点B 向左平移3个单位得到点B '，连接A B ''，与x 轴的交点即为点M ，将A '向右平移3个单位得到点C ，连接CB ，与x 轴的交点即为N ．点M ，N 即为所求．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质和最短路线问题，准确计算是解题的关键．1.如图1，抛物线2y ax bx =+与x 轴交于点A ，对称轴与抛物线交于点()2,2B -，与x 轴交于点C .（1）求抛物线的解析式．（2）点D 是y 轴上的动点，求DAB ∆的最小周长．（3）如图2，点P 是抛物线上一个动点，,PA PO 分别与BC 交于点,M N ．①若动点P 在第一象限，问MC NC -的值是否发生变化．若不变，求出其值；若发生变化，请说明理由． ②若动点P 在第二象限，请给出①中类似的关于MC 与NC 长的结论（不必证明）．【答案】（1）2122y x x =-；（2）；（3）①MC NC －的值不发生变化，4MC NC －＝，理由见解析；②当点P 在第二象限时，有4NC MC －＝．【解析】【分析】（1）将表达式写为顶点式，再利用待定系数法求解即可；（2）取A 关于y 轴的对称点A '，连接BA '与y 轴交于点D ，此时ABD △的周长最小，再利用勾股定理计算即可； （3）①设()21,242P m m m m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，利用待定系数法求出直线PO 、直线PA 的表达式，从而求出MC 、NC 计算即可；②以①为基础求出MC 、NC 计算即可．【详解】解：（1）由题意，点()2,2B -是顶点，解析式可写为()222y a x =--， 又∵抛物线经过原点，∴420a -=， ∴12a =，∴解析式为()21222y x =--，即2122y x x =-； （2）由21202x x -=，得0x =，或4x =， ∴()4,0A ，如图，取()4,0A 关于y 轴的对称点()4,0A '-，连接BA '与y 轴交于点D ，此时CD A D '=，∴CD BD A D BD A B ''+=+=，由“两点之间线段最短”可知，此时ABD △的周长最小，最小周长等于AB A B '+==（3）①MC NC －的值不发生变化，理由如下： 设()21,242P m m m m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，直线PO 为y kx =，直线PA 为y k x n '=+， 将P 点坐标代入直线PO ，得：2122km m m =-， ∴122k m =-， ∴直线PO 为122y m x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 当2x =时，4y m =-，∴4NC m =-，将点,P A 的坐标代入直线PA ，得：212240m m mk n k n ⎧-=+⎪⎨⎪+='⎩'，解得：12k m '=，2n m =-， ∴直线PA 为122y mx m =-， 当2x =时，2y m m m =-=-，∴MC m =，∴4MC NC －＝，∴MC NC －的值不发生变化，4MC NC －＝；②当点P 在第二象限时，有4NC MC －＝，理由如下：以①为基础，当点P '在第二象限时，0m ＜，直线P O '为122y m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线P A '为122y mx m =-， ∴P O '与BC 的交点为()2,4N m -，P A '与BC 的交点为()2,M m -，∴(4)NC m =--，MC m =-，∴4NC MC －＝．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，一次函数及轴对称，熟练掌握待定系数法求表达式是解题的关键．2．已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -,、()0,2C -．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）在对称轴上是否存在一点P ，使得PBC ∆的周长最小．若存在请求出点P 的坐标．若不存在请说明理由．【答案】（1）224233y x x =+-；（2）存在，P(-1，43-) 【解析】【分析】 （1）将点()30A -,，()0,2C -和对称轴公式代入即可求出a 、b 、c 的值，从而求出结论； （2）点A 、B 关于直线1x =-对称，连接AC 交直线1x =-于点P ，由对称的性质可得此时△PBC 的周长=PB ＋PC ＋BC= PA ＋PC ＋BC=AC ＋BC ，根据两点之间线段最短即可求出此时△PBC 的周长最小，利用待定系数法求出直线AC 的解析式，即可求出结论．【详解】解：（1）函数()20y ax bx c a =++≠过点()30A -,，()0,2C -，且对称轴为1x =-， 则：129302b a a b c c ⎧-=-⎪⎪-+=⎨⎪=-⎪⎩解得：23432a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩224233y x x ∴=+- （2）答：存在点A 、B 关于直线1x =-对称，连接AC 交直线1x =-于点P ，∴PA=PB此时△PBC 的周长=PB ＋PC ＋BC= PA ＋PC ＋BC=AC ＋BC根据两点之间线段最短可得此时△PBC 的周长最小设直线AC 为1y kx b =+，代入()30A -,和()0,2C -得：11302k b b -+=⎧⎨=-⎩， 解得：1232k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 为：223y x =-- 将1x =-代入223y x =--中， 24(1)233y =-⨯--=- ∴P （-1，43-）【点睛】此题考查的是求二次函数的解析式和轴对称性质的应用，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式和轴对称的性质是解决此题的关键．3．如图，已知直线33y x =-分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =++经过A 、B 两点，点C 是抛物线与x 轴的另一个交点（与A 点不重合）.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上求一点P ，使ABP ∆的周长最小，并求出最小周长和P 点的坐标；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使ABM ∆为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M 的坐标.【答案】（1）223y x x =+- ；(2) ；（3）存在，1(1M -，2(1,M -，3(1,0)M -，4(1,1)M --.【解析】【分析】（1）由直线解析式可求得A 、B 两点的坐标，根据待定系数法可求得抛物线解析式；（2）连接BC ，直线BC 与对称轴的交点即为点P.求出直线BC 的解析式，求出点P 的坐标，即可求解.（3）分MA=AB ，MB=AB ，MB=MA 三种情况进行讨论.【详解】解：（1）直线y 3x 3x ,y A,B =-分别交轴轴于两点()()1,0,0,3A B 可得∴-，把A ，B 两点的坐标分别代入2y x bx c =++得：10233b c b c c ++==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩解得 ∴抛物线的解析式为223y x x =+- (2)连接BC ，直线BC 与对称轴的交点即为点P.易求直线BC 的解析式为3y x =--，抛物线对称轴为直线1x =-，当P(-1，-2)（3）存在，理由如下：抛物线的对称轴为：()1,M 1,m :x =--假设存在满足题意讨论：①当MA=AB 时，∵OA=1，OB=3:AB m ∴==解得((12,1,M M --,②当MB=AB 时， 34:0,6m m ===-解得（不合题意） ()31,0M -,③当MB=MA :1m 解得==- ()41,1M --, 故共存在四个点 ((()()1234,1,,1,0,1,1ΔABM M M M M -----使为等腰三角形.【点睛】考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质等，注意分类讨论思想在解题中的应用.4．如图，一元二次方程x2+2x，3=0的两根x1，x2，x1，x2）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点C，B的横坐标，且此抛物线过点A，3，6，，，1）求此二次函数的解析式；，2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点G，则P点坐标为，G点坐标为，，3）在x轴上有一动点M，当MG+MA取得最小值时，求点M的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=12x2+x，32，，2，抛物线顶点P的坐标为（﹣1，，2，，G点坐标为（﹣1，2，，，3，M点坐标为（0，0，【解析】【分析】，1）可先根据一元二次方程求出x1，x2的坐标，也就求出了B，C两点的坐标，然后可用交点式的二次函数通式来设二次函数的解析式，根据已知的A点的坐标求出二次函数的解析式．，2）根据（1）二次函数解析式可得出顶点P的坐标和对称轴的解析式，G点就是直线AC与抛物线对称轴的交点，可先根据A，C的坐标，用待定系数法求出AC所在直线的解析式，然后将P点的横坐标代入求得的一次函数的解析式中即可求出G的坐标．，3）本题的关键是先确定M点的位置，可先做A关于x轴的对称点A′然后连接A′C，与x轴的交点就是点M，那么可根据A′，C两点的坐标求出A′C所在直线的解析式，又已知了M在x轴上即可求出M点的坐标．【详解】解：（1）解方程x2+2x，3=0得x1=，3，x2=1，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：C，，3，0，，B，1，0，，设抛物线的解析式为y=a，x+3，，x，1，，∵A，3，6）在抛物线上，∴6=a，3+3，•，3，1，，∴a=1 2，∴抛物线解析式为y=12x2+x，32，，2）由y=12x 2+x，32=12，x+1，2，2， ∴抛物线顶点P 的坐标为（﹣1，，2），对称轴方程为x=，1，设直线AC 的解析式为y=kx+b，∵A，3，6，，C，，3，0）在该直线上，∴3630k b k b +⎧⎨-+⎩＝＝ , 解得：k=1,b=3,∴直线AC 的解析式为：y=x+3，将x=，1代入y=x+3得y=2，∴G 点坐标为（﹣1，2，，，3）作A 关于x 轴的对称点A′，3，，6，，连接A′G，A′G 与x 轴交于点M 即为所求的点．设直线A′G 的解析式为y=kx+b，∴362k b k b +-⎧⎨-+⎩＝＝ ，解得：02b k ⎧⎨-⎩＝＝ ， ∴直线A′G 的解析式为y=，2x ，令x=0，则y=0，∴M 点坐标为（0，0，，【点睛】考查了用待定系数法求一次函数与二次函数解析式的方法．确定M 点的位置是解题的关键．5．如图，以D 为顶点的抛物线2y ax 2x c =++交x 轴于点A ，(6,0)B ，交y 轴于点(0,6)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC 上有一点P ，使PO PA +的值最小，求点P 的坐标；（3）在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形与BCD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21262y x x =-++；（2）点P 的坐标为1824,77⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）存在，当Q 的坐标为(0,0)或(18,0)时，以A ，C ，Q 为顶点的三角形与BCD 相似．【解析】【分析】（1）将点B 和点C 的坐标代入二次函数解析式中即可求出结论；（2）先求出点A 的坐标，利用待定系数法求出BC 的解析式，作点O 关于BC 的对称点O ′，连接AO ′交BC 于点P ，连接OP ，O ′B ，根据两点之间线段最短，此时PO PA +最小，求出点O ′的坐标，利用待定系数法求出AO ′的解析式，联立方程即可求出结论；（3）求出顶点D 的坐标，利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式求出CD 、BC 、CD 和AC ，根据勾股定理的逆定理证出△BCD 是直角三角形，然后根据相似三角形的对应情况分类讨论，根据相似三角形的性质列出比例式即可求出结论．【详解】解：（1）将点B 和点C 的坐标代入2y ax 2x c =++中，得036126a c c =++⎧⎨=⎩解得：126a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为21262y x x =-++；（2）把y=0代入21262y x x =-++中，得 210262=-++x x 解得：x 1=-2，x 2=6，∴点A 的坐标为（-2,0）设直线BC 的解析式为y=kx ＋b将点B 和点C 的坐标代入，得066k b b =+⎧⎨=⎩解得：16k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线BC 的解析式为6y x =-+作点O 关于BC 的对称点O ′，连接AO ′交BC 于点P ，连接OP ，O ′B根据对称可得PO=PO ′，OB=O ′B此时PO PA +='+PO PA =O A '根据两点之间线段最短，此时PO PA +最小∵OB=OC=6，∠BOC=90°∴∠OBC=45°∴∠OBO ′=90°∵OB= O ′B =6∴点O ′的坐标为（6,6）设直线AO ′的解析式为y=mx ＋n将点A 和点O ′的坐标代入，得0266m n m n =-+⎧⎨=+⎩解得：3432m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线AO ′的解析式为33y x 42=+ 联立63342y x y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩解得：187247x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点P 的坐标为1824,77⎛⎫ ⎪⎝⎭ （3）∵21262y x x =-++=()21282--+x ∴点D 的坐标为（2,8）∴======CD BCBD =AC∴CD 2＋BC 2=80=BD 2∴△BCD 为直角三角形，且∠BCD=90°点Q 在点A 左侧时，△QAC 为钝角三角形，∴△QAC 不可能与△BCD 相似∴点Q 必在点A 右侧，设点Q 的坐标为（q ，0），则AQ=q －（-2）=q ＋2∵tan ∠CAO=632==CO AO ，tan ∠BDC=3==BC CD ∴∠CAO=∠BDC当△CQA ∽△BCD 时， ∴=AC AQ BD CD= 解得：q=0∴点Q 的坐标为（0,0）；当△QCA ∽△BCD 时， ∴=AC AQ CD BD=解得：q=18∴点Q 的坐标为（18,0）；综上：点Q 的坐标为(0,0)或(18,0)．【点睛】此题考查的是二次函数、一次函数和图形的综合大题，掌握利用待定系数法求出二次函数解析式、一次函数解析式、两点之间线段最短、联立方程求交点坐标、相似三角形的判定及性质和锐角三角函数的性质是解决此题的关键． 6．如图，抛物线y=12x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A(一1，0)． (1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)判断△ABC 的形状，证明你的结论；(3)点M 是x 轴上的一个动点，当△DCM 的周长最小时，求点M 的坐标．【答案】（1）213222y x x =--, D (32, 258-);（2）△ABC 是直角三角形,证明见解析; （3）M （2441，0）. 【解析】 试题分析：，1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；，2）根据勾股定理的逆定理，可得答案；，3）根据轴对称的性质，两点之间线段最短，可得M 点是对称轴与BC 的交点，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．试题解析：(1)∵点A (−1,0)在抛物线22y x bx =+-上， ∴()()2111202b ⨯-+⨯--=， 解得 32b =-， ∴抛物线的解析式为213 2.22y x x =-- ∵221313252()22228y x x x =--=--， ∴顶点D 的坐标为325,.28⎛⎫- ⎪⎝⎭ (2)△ABC 是直角三角形，理由如下：当x =0时，y =−2，∴C (0,−2)，则OC =2.当y =0时, 21320.22x x --= ∴121,4,x x =-= 则B (4,0)，∴OA =1，OB =4，∴AB =5.222222225,5,20AB AC OA OC BC OC OB ==+==+=，∴222AC BC AB +=，∴△ABC 是直角三角形；(3)由题意A. B 两点关于对称轴对称，故直线BC 与对称轴的交点即为点M .由B (4,0),C (0,−2)设直线BC :y =kx −24k −2=0，1.2k = 所以直线1: 2.2BC y x =- 当32x =时,1352.224y =⨯-=- 所以35,.24M ⎛⎫- ⎪⎝⎭7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A，，1，0，B，3，0）两点，与y轴交于点C，点D 是该抛物线的顶点．，1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；，2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；，3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】，1）抛物线解析式为y=，x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3，，2）点M的坐标为（0，3，，，3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，，139，，【解析】分析：（1）设交点式y=a，x+1，，x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C，0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；，2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′，-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；，3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a，x+1，，x，3，，即y=ax2，2ax，3a，∴，2a=2，解得a=，1，∴抛物线解析式为y=，x2+2x+3，当x=0时，y=，x2+2x+3=3，则C，0，3，，设直线AC的解析式为y=px+q，把A，，1，0，，C，0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3，，2，∵y=，x2+2x+3=，，x，1，2+4，∴顶点D的坐标为（1，4，，作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′，，3，0，，∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3，，，3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=，13x+b，把C，0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=，13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209，，过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，直线PC 的解析式可设为y=，x+b，把A，，1，0）代入得13+b=0，解得b=，13， ∴直线PC 的解析式为y=，13x，13， 解方程组2231133y x x y x ⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得10x y =-⎧⎨=⎩或103139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P 点坐标为（103，，139，. 综上所述，符合条件的点P 的坐标为，73，209，或，103，，139，. 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．8．在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线2(0)y ax x a =≠经过点3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点C .（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标；（Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为2122y x x =-;抛物线的对称轴为直线x ;P 点坐标为9(0,)4-;（Ⅲ）存在，Q点坐标为或(-，理由见解析【解析】【分析】（Ⅰ）将3)A -点代入二次函数的解析式，即可求出a ，再根据对称轴的公式即可求解.（Ⅱ）先求出B 点胡坐标，要求PA PB +胡最小值，只需找到B 关于轴的对称点1B ，则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ，根据待定系数法求出AB 1的解析式，令y=0，即可求出P 点的坐标.（Ⅲ）设点Q 的坐标，并求出△AOQ 面积，从而得到△AOQ 面积，根据Q 点胡不同位置进行分类，用m 及割补法求出面积方程，即可求解.【详解】（Ⅰ）∵2(0)2y ax x a =-≠经过点3)A -，∴232a-=⨯-12a=，∴抛物线的解析式为212y x x=-，∵212222bxa=-=-=⨯，∴抛物线的对称轴为直线x=.（Ⅱ）∵点(0,0)O，对称轴为x=，∴点O关于对称轴的对称点B点坐标为.作点B关于轴的对称点1B，得1(B-，设直线AB1的解析式为y kx b=+，把点3)A-，点1(B-代入得3bb⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得94kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴944y x=--.∴直线94y x=-与y轴的交点即为P点.令0x=得9y4=-，∵P点坐标为9(0,)4-.（Ⅲ）∵3)A-，//AC x轴，∴AC=3OC=，∴11322AOCS OC AC∆=⋅=⋅=又∵13AOC AOQS S∆∆=，∴3AOQ AOCS S∆∆==设Q点坐标为21(,)2m m，如图情况一，作QR CA⊥，交CA延长线于点R，∵2AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=梯形，∴(211113332222m m m ⎛⎫⋅++-- ⎪ ⎪⎭⎝2132m ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭化简整理得2180m -=，解得1m =，2m =-如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ，∵AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=梯形∴221111m)3()222222m m m ⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3()2m m --+=，化简整理得2180m -=，解得1m =，2m =-∴Q 点坐标为或(-，∴抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=.【点睛】主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.9．如图，直线43y x =与抛物线268y x x =-+交于A ，B 两点（其中点A 在点B 的左侧），与抛物线的对称轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，点B 的坐标为()6,8，在抛物线的对称轴上找一点F ，使35BF CF +的值最小，求满足条件的点F 的坐标．【答案】233,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】 作B 点关于对称轴的对称点B′，过点B '作B M BC '⊥于点M ，交对称轴于点F ，连接BF ，设抛物线的对称轴与x 轴交于点E ．再通过解直角三角形求出NF 的长，进而即可找出点F 的坐标．【详解】解：如图，作点B 关于对称轴的对称点B '，交抛物线对称轴于点N ，过点B '作B M BC '⊥交直线BC 于点M ，交对称轴于点F ，连接BF ，设抛物线的对称轴与x 轴交于点E ．易得抛物线268y x x =-+的对称轴为直线3x =．∵直线BC 的解析式为43y x =， ∴点C 的坐标为()3,4．∵FM BC ⊥， ∴3tan tan 4OE FCM OCD CE ∠=∠==． ∴3sin 5FM FCM FC ∠==，即35FM CF =． ∵B 、B '关于对称轴对称，∴BF B F '=． ∴35BF CF B F FM '+=+．当点B '、F 、M 三点共线且B M FM '⊥时，B F FM '+的值最小，∵点B 的坐标为()6,8，抛物线对称轴为直线3x =，∴点B '的坐标为()0,8．又∵B M BC '⊥，∴NB F FCM '∠=∠． ∴3tan 4NF NB F B N '∠=='． ∴9tan 4NF B N NB F ''=⋅∠=． ∴点F 的纵坐标为：923844-=． ∴点F 的纵坐标为233,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、解直角三角形、轴对称的性质，以及坐标与图形，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，注意寻找F 点的位置是关键，此处在直角三角形中利用了角的三角函数值寻找到点F 的位置．。

二次函数之最短路径问题例1.(广东)已知二次函数y=x 2-2mx+m 2-1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC+PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．例2.（甘肃兰州）如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为(-3，0)、(0，4)，抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点B ，且顶点在直线x ＝52上．(1)求抛物线对应的函数关系式；(2)若把△ABO 沿x 轴向右平移得到△DCE ，点A 、B 、O 的对应点分别是D 、C 、E ，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接BD ，已知对称轴上存在一点P 使得△PBD 的周长最小，求出P 点的坐标；例3.如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．例4.（湖南郴州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．例5.（辽宁）如图16，在平面直角坐标系中，直线y=x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线2(0)y ax c a=+≠经过A B C，，三点．（1）求过A B C，，三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使ABP△为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得MBF△的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．xx例6.(山西)综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．例7.如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN=90°？若存在，请直接写出点P的坐标．例8.（德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．练习:(烟台)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点，其中A、B 两点的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．例10.已知抛物线y=ax2+bx+1经过点A（1，3）和点B（2，1）。

中考二次函数压轴题解题技巧在解题过程中，我们需要借助函数解析式来表示动点坐标。

首先，我们可以设定动点P在某条直线上，其坐标为（t，f(t)）。

然后，我们可以通过计算两个线段的长度，利用代数式证明它们相等。

这种方法适用于各种类型的线段相等问题，如求证两个三角形的周长相等等。

2.求解“定三角形内一点到三边距离之和〞的问题：对于定三角形内的一个点P，我们可以利用动点的方法来求解其到三边距离之和。

具体来说，我们可以将点P的坐标表示为（x，y），然后通过计算P到三条边的距离，再将它们相加，得到定理的结论。

这种方法适用于各种类型的定三角形内点距离之和问题。

3.求解“定直线与定点之间的距离〞的问题：对于一个定点A和一条定直线L，我们可以利用点到直线的距离公式来求解它们之间的距离。

具体来说，我们可以设定一个动点P在直线L上，然后计算点P到点A的距离，即可得到定点与定直线之间的距离。

这种方法适用于各种类型的定直线与定点之间的距离问题。

4.求解“定点到定线段的最短距离〞的问题：对于一个定点A和一条定线段BC，我们可以利用点到线段的最短距离公式来求解它们之间的最短距离。

具体来说，我们可以设定一个动点P在线段BC上，然后计算点A到线段BP和线段CP的距离，取其中较小值即可得到定点到定线段的最短距离。

这种方法适用于各种类型的定点到定线段的最短距离问题。

5.求解“动三角形内一点到三边距离之和〞的问题：对于一个动三角形ABC内的一个点P，我们可以利用动点的方法来求解其到三边距离之和。

具体来说，我们可以将点P的坐标表示为（x，y），然后通过计算P到三条边的距离，再将它们相加，得到结论。

这种方法适用于各种类型的动三角形内点距离之和问题。

1.证明两线段相等的方法：首先确定两线段的距离类型（点点距离、点轴距离或点线距离），然后利用距离公式计算出两线段的长度，并进行化简，从而证明它们相等。

2.平行于y轴的动线段长度的最大值问题：对于平行于y轴的线段，可以利用端点的函数图象解析式，将两个端点的纵坐标表示为含有字母t的代数式。

二次函数之最短路径问题例1.(广东)已知二次函数y=x 2-2mx+m 2-1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC+PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．例2.（甘肃兰州）如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为(-3，0)、(0，4)，抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点B ，且顶点在直线x ＝52上． (1)求抛物线对应的函数关系式；(2)若把△ABO 沿x 轴向右平移得到△DCE ，点A 、B 、O 的对应点分别是D 、C 、E ，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接BD ，已知对称轴上存在一点P 使得△PBD 的周长最小，求出P 点的坐标；例3.如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．例4.（湖南郴州）已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣1，0）、B （2，0）、C （0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图一，点P 是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时点P 的坐标；（3）如图二，设线段AC 的垂直平分线交x 轴于点E ，垂足为D ，M 为抛物线的顶点，那么在直线DE 上是否存在一点G ，使△CMG 的周长最小？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．例5.（辽宁）如图16，在平面直角坐标系中，直线y =x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)y ax c a =+≠经过A B C ，，三点．（1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．xx例6.(山西)综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．例7.如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN=90°？若存在，请直接写出点P的坐标．例8.（德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．练习:(烟台)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．例10.已知抛物线y=ax2+bx+1经过点A（1，3）和点B（2，1）。

中考压轴题专练（一）——二次函数综合考点一：距离之和最小问题 1.如图，抛物线y =21x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值． 解：（1）b =23-解析式y =21x 2-23x -2. 顶点D (23, -825).（2）当x = 0时y = -2, ∴C （0，-2），OC = 2。

∴B (4,0) ∴OA = 1, OB = 4, AB = 5. △ABC 是直角三角形.（3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′（0，2），OC ′=2，连接C ′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD 的值最小。

解法一：设抛物线的对称轴交x 轴于点E .∵ED ∥y 轴, ∴∠OC ′M =∠EDM ,∠C ′O M =∠DEM ∴△C ′O M ∽△DEM . ∴EDC O EM OM '=∴825223=-m m ，∴m =4124． 解法二：设直线C ′D 的解析式为y = kx + n ,则⎪⎩⎪⎨⎧-=+=825232n k n ，解得n = 2, 1241-=k .∴21241+-=x y . ∴当y = 0时， 021241=+-x ， 4124=x . ∴4124=m .2.（2016河池第26题）在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．解析：（1）当223y x x =--+中y =0时，有2230x x --+=，解得：1x =﹣3，2x =1，∵A 在B 的左侧，∴A （﹣3，0），B （1，0）．当223y x x =--+中x =0时，则y =3，∴C （0，3）． ∵223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点D （﹣1，4）．（3）设直线AC 的解析式为y =ax +c ，则有：330c a c =⎧⎨-+=⎩，解得：13a c =⎧⎨=⎩，∴直线AC 的解析式为y =x +3．假设存在，设点F （m ，m +3），△AFP 为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：①当∠P AF =90°时，P （m ，﹣m ﹣3），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴2323m m m --=--+，解得：m 1=﹣3（舍去），m 2=2，此时点P 的坐标为（2，﹣5）；②当∠AFP =90°时，P （2m +3，0）∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴20(23)2(23)3m m =-+-++，解得：m 3=﹣3（舍去），m 4=﹣1，此时点P 的坐标为（1，0）；③当∠APF =90°时，P （m ，0），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴2023m m =--+，解得：m 5=﹣3（舍去），m 6=1，此时点P 的坐标为（1，0）．综上可知：在抛物线上存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形，点P 的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．3.（2016铜仁第25题）如图，抛物线21y ax bx =+-（a ≠0）经过A （-1，0），B （2，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点P 在抛物线的对称轴上，当△ACP 的周长最小时，求出点P 的坐标；（3） 点N 在抛物线上，点M 在抛物线的对称轴上，是否存在以点N 为直角顶点的Rt △DNM 与Rt △BOC 相似，若存在，请求出所有符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）由于抛物线21y ax bx =+- （a ≠0）经过A （-1，0），B （2，0）两点，因此把A 、B 两点的坐标代入21y ax bx =+- （a ≠0），可得：104210a b a b --=⎧⎨+-=⎩；解方程组可得：1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故抛物线的解析式为：211122y x x =--，∵211122y x x =--=2119()228x --，所以D 的坐标为（12，98-）． （2）如图1，设P （12，k ），∵211122y x x =--，∴C （0，－1），∵A （-1，0），B （2，0），∴A 、B 两点关于对称轴对称，连接CB 交对称轴于点P ，则△ACP 的周长最小．设直线BC 为y =kx +b ，则：201k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：121k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BC 为：112y x =-．当x =12时，11122y =⨯-=34-，∴P （12，34-）； （3）存在．如图2，过点作NF ⊥DM ，∵B （2，0），C （0，﹣1），∴OB =2，OC =1，∴tan ∠OBC =12OC OB =，tan ∠OCB =OBOA=2，设点N （m ，211122m m --），∴FN =|m ﹣12|，FD =|21191228m m --+|=|2111228m m -+|，∵Rt △DNM 与Rt △BOC 相似，∴∠MDN =∠OBC ，或∠MDN=∠OCB；①当∠MDN=∠OBC时，∴tan∠MDN=FNFD=12，∴21121112228mm m-=-+，∴m=12（舍）或m=92或m=72-，∴N（92，558）或（72-，558）；②当∠MDN=∠OCB时，∴tan∠MDN=FNFD=2，∴2122111228mm m-=-+，∴m=12（舍）或m=32或m=12-，∴N（32，58-）或（12-，58-）；∴符合条件的点N的坐标（92，558）或（72-，558）或（32，58-）或（12-，58-）．考点：二次函数综合题；相似三角形的判定与性质；分类讨论；压轴题．4．（2016湘西州第26题）如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大？若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）如图1所示；∵BD⊥DE，∴∠BDE=90°．∴∠BDC+∠EDO=90°．又∵∠ODE+∠DEO=90°，∴∠BDC=∠DE0．在△BDC和△DOE中，，∴△BDC≌△DEO．。

二次函数与线段和、周长最值问题此类问题主要涉及最短路径问题的如下三种题型:例：如图，平面直角坐标系中有两点A（3，4)，B(1,0)试在y轴上找到一点P使得PA+PB 的值最小。

例:1。

已知，抛物线与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，—4，与y轴的交点C的纵坐标为3.⑴求该抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PA+PC值最小？若存在，求出PA+PC的最小值；若不存在，请说明理由。

⑶在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长值最小？若存在，求出△PAC周长的最小值；若不存在,请说明理由。

⑷在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长值最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由.2。

如图，直线5+-=x y 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C,抛物线c bx x y ++-=2与直线5+-=x y 交于B 、C 两点.已知点D 的坐标为（0,3）.⑴求该抛物线的解析式；⑵点M 、N 分别是直线BC 和x 轴上的动点，则当△DMN 的周长最小时，求点M ，N 的坐标,并写出△DMN 周长的最小值.3。

如图,二次函数)0(2>++=a c bx ax y 图像的顶点为D ，与x 轴的交点为A （—1,0),B(3，0)，与y 轴负半轴交于点C.⑴若△ABD 为等腰直角三角形,求该抛物线的解析式； ⑵在⑴的条件下，抛物线与直线4-45x y =交于M 、N 两点(点M 在点N 的左侧），动点P 从M 点出发，先到达抛物线对称轴上的某点E ，再到达x 轴上的某点F ，最后运动到点N ，若使点P 运动的总路径最短，求点P 运动的总路径的长.。