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中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析一、二次函数1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【解析】【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），, 解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+3，∴-k+3=0，得：k=3，∴直线AC解析式为：y=3x+3.（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，∴S△CGE=S△CGO=×=2，①若点E在x轴正半轴上，设直线CG：y=k1x+3，∴k1+3=4 得：k1=1，∴直线CG解析式：y=x+3，∴F（-3，0），∵E（m，0），∴EF=m-（-3）=m+3，∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐标为（1，0）.②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，∴EF=-3-m=1-（-3）=4，解得：m=-7 即E（-7，0），综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，∴t-1-e=3e+3，∴t=4e+4=，②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，∴MN=PM=3e+3，∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），解得：e=−，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．2．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．（1）求抛物线的解析式；（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113+113+3）点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.【解析】【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝12CD＝CE．利用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，求解即可得出点Q的坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），∵x12+x22﹣x1x2＝13，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，∴m2+3（m+1）＝13，即m2+3m﹣10＝0，解得m1＝2，m2＝﹣5．∵OA＜OB，∴抛物线的对称轴在y轴右侧，∴m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接BE、OE．∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，EC＝ED，∴BE＝12CD＝CE．令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵C（0，﹣3），∴OB ＝OC ，又∵BE ＝CE ，OE ＝OE ，∴△OBE ≌△OCE （SSS ），∴∠BOE ＝∠COE ，∴点E 在第四象限的角平分线上，设E 点坐标为（m ，﹣m ），将E （m ，﹣m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3，得m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m ＝1132±， ∵点E 在第四象限，∴E 点坐标为（113+，﹣113+）； （3）过点Q 作AC 的平行线交x 轴于点F ，连接CF ，则S △ACQ ＝S △ACF ．∵S △ACQ ＝2S △AOC ，∴S △ACF ＝2S △AOC ，∴AF ＝2OA ＝2，∴F （1，0）．∵A （﹣1，0），C （0，﹣3），∴直线AC 的解析式为y ＝﹣3x ﹣3．∵AC ∥FQ ，∴设直线FQ 的解析式为y ＝﹣3x +b ，将F （1，0）代入，得0＝﹣3+b ，解得b ＝3，∴直线FQ 的解析式为y ＝﹣3x +3．联立22333y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩， 解得11312x y =-⎧⎨=⎩，2223x y =⎧⎨=-⎩， ∴点Q 的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．3．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则3k bb+=⎧⎨=⎩，解得：33kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值. （2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11(,)4C y ，23(,)4D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.【答案】（1）2(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y < 【解析】 【分析】 （1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)又∵(0,5)B 在抛物线上，∴25(0)41b b =--++，解得2b =∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时，得15=x ，21x =- ∴(5,0)A代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为5y x =-+解方程组415y xy x=+⎧⎨=-+⎩，得45215xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点421(,)55E，(0,1)F∵点M在AOB∆内，∴45b<<当点,C D关于抛物线对称轴（直线x b=）对称时，1344b b-=-，∴12b=且二次函数图象的开口向下，顶点M在直线41y x=+上综上：①当12b<<时，12y y>；②当12b=时，12y y=；③当1425b<<时，12y y<.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.6．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，抛物线y＝a （x﹣2）2﹣2经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B；点P是抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2上一动点，且点P在x轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D，过点D作PD的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D′（不与点D重合），连接PD′，设点P的横坐标为m：（1）①直接写出a的值；②直接写出抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；（2）当抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点时，设△PDD′与△OAB重叠部分图形周长为L：①求PDDD'的值；②直接写出L与m之间的函数关系式；（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、D、D′为顶点的四边形是菱形？直接写出h 的值．【答案】（1）①12；②y ＝212x ﹣2x ； （2）①1；②L ＝2(22)(02)21(221)4(24)2m m m m π⎧+<⎪⎨-++<<⎪⎩…； （3）h ＝±3 【解析】 【分析】（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中计算即可；②y ＝212x ﹣2x ； （2）将（0，0）代入y ＝a （x ﹣h ）2中，可求得a ＝12，y ＝12x 2，待定系数法求OB 、AB 的解析式，由点P 的横坐标为m ，即可表示出相应线段求解；（3）以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形，DD ′＝OA ，可知点D 的纵坐标为2，再由AD ＝OA ＝4即可求出h 的值． 【详解】解：（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中， 得：0＝a （0﹣2）2﹣2， 解得：a ＝12； ②y ＝212x ﹣2x ；． （2）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点，a ＝12； ∴y ＝12x 2， ∴A （4，0），B （2，﹣2），易得：直线OB 解析式为：y ＝﹣x ，直线AB 解析式为：y ＝x ﹣4 如图1，222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①221122,222PD m m m m DD m '⎛⎫=--== ⎪⎝⎭PD 2m 1DD 2m'∴== ②如图1，当0＜m ≤2时，L ＝OE +EF +OF ＝2(22)m m m m ++=+，当2＜m ＜4时，如图2，设PD ′交x 轴于G ，交AB 于H ，PD 交x 轴于E ，交AB 于F ，则222111,2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2211(4)23422PF m m m m m ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭，2222322m 22,PG m 22m 2422FH PH PF ===-+-=-+ ∵DD ′∥EGEG PE DD PD '∴=，即：EG •PD ＝PE •DD ′，得：EG •（2m ）＝（2m ﹣12m 2）•2m ∴EG ＝2m ﹣12m 2，EF ＝4﹣m ∴L ＝EG +EF +FH +GH ＝EG +EF +PG2212242222m m m m ⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭221m (221)m 42+=-+++ 2(22)m(0m 2)21m (221)m 4(2m 4)L ⎧+<⎪∴=⎨+-+++<<⎪⎩…；（3）如图3，∵OADD ′为菱形 ∴AD ＝AO ＝DD ′＝4， ∴PD ＝2，23PA =23h ∴=±【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法．7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1(a ≠0)交x 轴于A ，B (1，0)两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF ⊥x 轴，交抛物线于点F (1)求抛物线的解析式；(2)若点F 位于直线AD 的下方，请问线段EF 是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E 的坐标；若没有，请说明理由；(3)在平面直角坐标系内存在点G ，使得G ，E ，D ，C 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)4912，(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．【解析】【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）由函数图象上点的坐标特征：可设点E的坐标为（m，m+3），点F的坐标为（m，1 3m2+23m﹣1），由此得到EF＝﹣13m2+13m+4，根据二次函数最值的求法解答即可；（3）分三种情形①如图1中，当EG为菱形对角线时．②如图2、3中，当EC为菱形的对角线时，③如图4中，当ED为菱形的对角线时，分别求解即可．【详解】解：(1)将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为(﹣3，0)．设抛物线的解析式为y＝a(x﹣x1)(x﹣x2)，点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，∴y＝a(x+3)(x﹣1)．∵点C的坐标为(0，﹣1)，∴﹣3a＝﹣1，得a＝13，∴抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)设点E的坐标为(m，m+3)，线段EF的长度为y，则点F的坐标为(m，13m2+23m﹣1)∴y＝(m+3)﹣( 13m2+23m﹣1)＝﹣13m2+13m+4即y＝-13(m﹣12) 2+4912，此时点E的坐标为(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．理由：①如图1，当四边形CGDE为菱形时．∴EG 垂直平分CD ∴点E 的纵坐标y ＝132-+＝1， 将y ＝1带入y ＝x +3，得x ＝﹣2． ∵EG 关于y 轴对称， ∴点G 的坐标为(2，1)；②如图2，当四边形CDEG 为菱形时，以点D 为圆心，DC 的长为半径作圆，交AD 于点E ，可得DC ＝DE ，构造菱形CDEG 设点E 的坐标为(n ，n +3)， 点D 的坐标为(0，3)∴DE ＝22(33)n n ++-＝22n ∵DE ＝DC ＝4， ∴22n ＝4，解得n 1＝﹣22，n 2＝22．∴点E 的坐标为(﹣22，﹣22+3)或(22，22+3) 将点E 向下平移4个单位长度可得点G ，点G 的坐标为(﹣22，﹣22﹣1)(如图2)或(22，22﹣1)(如图3)③如图4，“四边形CDGE 为菱形时，以点C 为圆心，以CD 的长为半径作圆，交直线AD 于点E ，设点E 的坐标为(k ，k +3)，点C 的坐标为(0，﹣1)． ∴EC ＝22(0)(31)k k -+++＝22816k k ++． ∵EC ＝CD ＝4， ∴2k 2+8k +16＝16， 解得k 1＝0(舍去)，k 2＝﹣4． ∴点E 的坐标为(﹣4，﹣1) 将点E 上移1个单位长度得点G ． ∴点G 的坐标为(﹣4，3)．综上所述，点G 的坐标为(2，1)，(﹣22，﹣22﹣1)，(22，22﹣1)，(﹣4，3)．【点睛】本题考查二次函数综合题、轴对称变换、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-. （1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或 【解析】 【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果． （3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论． 【详解】（1）证明：∵()()()222454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥ ∴抛物线与x 轴总有交点.（2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知，方程的两根为：257m m x （）-±-=即1216x x m =-=-+， 由题意，有 3<-m 6<5+1<?m 3∴<(3)解：令 x = 0， y =6m -+ ∴ M （0，6m -+）由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0）， 它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -）， 由题意，可得：6166m m m 或-+=-+=- 56m m ∴==或 【点睛】本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．9．如图，菱形ABCD 的边长为20cm ，∠ABC ＝120°，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 从点A 出发，以4cm /s 的速度，沿A →B 的路线向点B 运动；过点P 作PQ ∥BD ，与AC 相交于点Q ，设运动时间为t 秒，0＜t ＜5．（1）设四边形PQCB 的面积为S ，求S 与t 的关系式；（2）若点Q 关于O 的对称点为M ，过点P 且垂直于AB 的直线l 交菱形ABCD 的边AD （或CD ）于点N ，当t 为何值时，点P 、M 、N 在一直线上？（3）直线PN 与AC 相交于H 点，连接PM ，NM ，是否存在某一时刻t ，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) S=﹣231003t +0＜t ＜5）； (2) 307;(3)见解析. 【解析】 【分析】（1）如图1，根据S=S △ABC -S △APQ ，代入可得S 与t 的关系式；（2）设PM=x ，则AM=2x ，可得3，计算x 的值，根据直角三角形30度角的性质可得3AM=AO+OM ，列方程可得t 的值；（3）存在，通过画图可知：N 在CD 上时，直线PN 平分四边形APMN 的面积，根据面积相等可得MG=AP ，由AM=AO+OM ，列式可得t 的值． 【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=60°，AC ⊥BD ， ∴∠OAB=30°， ∵AB=20，∴OB=10，3 由题意得：AP=4t ，∴PQ=2t ，AQ=23t ， ∴S=S △ABC ﹣S △APQ ， =11··22AC OB PQ AQ -， =111020322322t t ⨯⨯-⨯⨯ ， =﹣23t 2+1003（0＜t ＜5）； （2）如图2，在Rt △APM 中，AP=4t ， ∵点Q 关于O 的对称点为M ， ∴OM=OQ ， 设PM=x ，则AM=2x ， ∴AP=3x=4t ， ∴x=3， ∴AM=2PM=3， ∵AM=AO+OM ，∴3=103+103﹣23t ，t=307； 答：当t 为307秒时，点P 、M 、N 在一直线上； （3）存在，如图3，∵直线PN 平分四边形APMN 的面积， ∴S △APN =S △PMN ，过M 作MG ⊥PN 于G ，∴11··22PN AP PN MG = ， ∴MG=AP ，易得△APH ≌△MGH ，∴3，∵AM=AO+OM ，同理可知：3﹣3，3333t ，t=3011． 答：当t 为3011秒时，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.10．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=-+-，()22AC [01](30)10=--+-=，()22AM [11](m 0)=--+-，分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中， 得：{103b c c --+==，解得：{23b c ==，∴抛物线的解析式为223y x x =-++．()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0．Q 抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+， ∴抛物线的对称轴为直线1x =．设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{303k d d +==，解得：{13k d =-=，∴直线BC 的解析式为3y x =-+． Q 当1x =时，32y x =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．()3设点M 的坐标为()1,m ，则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=()22[11](0)AM m =--+-分三种情况考虑：①当90AMC ∠=o 时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，解得：11m =，22m =，∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；②当90ACM ∠=o 时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，解得：83m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭；③当90CAM ∠=o 时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，解得：23m =-， ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：当MAC V 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，列出关于m 的方程．11．如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ，连接MN 交BC 于点Q ，当12MQ NQ =时，求t 的值；（3）如图②，连接AM 交BC 于点D ，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值． 【答案】（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）t 的值为12；（3）当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或t ﹣1． 【解析】 【分析】（1）求直线y=-x+4与x 轴交点B ，与y 轴交点C ，用待定系数法即求得抛物线解析式． （2）根据点B 、C 坐标求得∠OBC=45°，又PE ⊥x 轴于点E ，得到△PEB 是等腰直角三角形，由PB =求得BE=PE=t ，即可用t 表示各线段，得到点M 的横坐标，进而用m 表示点M 纵坐标，求得MP 的长．根据MP ∥CN 可证MPQ NCQ V V ∽，故有12MP MQ NC NQ ＝＝，把用t 表示的MP 、NC 代入即得到关于t 的方程，求解即得到t 的值． （3）因为不确定等腰△PDM 的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP ，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP ，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME ，把含t 的式子代入并解方程即可；③若MP=DP ，则∠PMD=∠PDM ，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF 进而得CF=CD ．用t 表示M 的坐标，求直线AM 解析式，求得AM 与y 轴交点F 的坐标，即能用t 表示CF 的长．把直线AM 与直线BC 解析式联立方程组，解得x 的值即为点D 横坐标．过D 作y 轴垂线段DG ，得等腰直角△CDG ，用DG 即点D 横坐标，进而可用t 表示CD 的长．把含t 的式子代入CF=CD ，解方程即得到t 的值． 【详解】（1）直线y ＝﹣x +4中，当x ＝0时，y ＝4 ∴C （0，4）当y ＝﹣x +4＝0时，解得：x ＝4 ∴B （4，0）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点 ∴1640004b c c -++=⎧⎨++=⎩ 解得：34b c =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+3x +4（2）∵B （4，0），C （0，4），∠BOC ＝90° ∴OB ＝OC∴∠OBC ＝∠OCB ＝45° ∵ME ⊥x 轴于点E ，PBt ∴∠BEP ＝90°∴Rt △BEP 中，2PE sin PBE PB ∠=＝∴BE PE t ＝＝， ∴4M P P x x OE OBBE t y PE t ＝＝＝﹣＝﹣，＝＝ ∵点M 在抛物线上∴2243445M y t t t t +++＝﹣（﹣）（﹣）＝﹣， ∴24MP MP y y t t +＝﹣＝﹣ ， ∵PN ⊥y 轴于点N∴∠PNO ＝∠NOE ＝∠PEO ＝90° ∴四边形ONPE 是矩形 ∴ON ＝PE ＝t ∴NC ＝OC ﹣ON ＝4﹣t ∵MP ∥CN ∴△MPQ ∽△NCQ ∴12MP MQ NC NQ == ∴24142t t t -+=-解得：12142t t ＝，＝（点P 不与点C 重合，故舍去） ∴t 的值为12（3）∵∠PEB ＝90°，BE ＝PE ∴∠BPE ＝∠PBE ＝45° ∴∠MPD ＝∠BPE ＝45°①若MD ＝MP ，则∠MDP ＝∠MPD ＝45° ∴∠DMP ＝90°，即DM ∥x 轴，与题意矛盾 ②若DM ＝DP ，则∠DMP ＝∠MPD ＝45° ∵∠AEM ＝90° ∴AE ＝ME∵y ＝﹣x 2+3x +4＝0时，解得：x 1＝﹣1，x 2＝4 ∴A （﹣1，0）∵由（2）得，x M ＝4﹣t ，ME ＝y M ＝﹣t 2+5t ∴AE ＝4﹣t ﹣（﹣1）＝5﹣t ∴5﹣t ＝﹣t 2+5t解得：t 1＝1，t 2＝5（0＜t ＜4，舍去）③若MP ＝DP ，则∠PMD ＝∠PDM如图，记AM 与y 轴交点为F ，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ∴∠CFD ＝∠PMD ＝∠PDM ＝∠CDF ∴CF ＝CD∵A （﹣1，0），M （4﹣t ，﹣t 2+5t ），设直线AM 解析式为y ＝ax +m ∴()2045a m a t m t t -+=⎧⎨-+=-+⎩ 解得：a tm t =⎧⎨=⎩ ， ∴直线AM ：y tx t +＝ ∴F （0，t ） ∴CF ＝OC ﹣OF ＝4﹣t ∵tx +t ＝﹣x +4，解得：41tx t -=+， ∴41D x tt DG -=+＝＝， ∵∠CGD ＝90°，∠DCG ＝45° ∴)2421t CD DG t -+＝＝，∴)2441t t t -+﹣ 解得：21t ＝﹣综上所述，当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或21t ＝﹣． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．12．已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．【答案】（1）抛物线的表达式为：228y x x =-++，直线AB 的表达式为：21y x =-；（2）存在，理由见解析；点P (6,16)-或(4,16)--或(17,2)+或(17,2)．【解析】 【分析】（1）二次函数表达式为：y=a （x-1）2+9，即可求解； （2）S △DAC =2S △DCM ，则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V ，，即可求解；（3）分AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）二次函数表达式为：()219y a x =-+， 将点A 的坐标代入上式并解得：1a =-， 故抛物线的表达式为：228y x x =-++…①， 则点()3,5B ，将点,A B 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AB 的表达式为：21y x =-； （2）存在，理由：二次函数对称轴为：1x =，则点()1,1C ， 过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点()2,28D x x x -++，点(),21H x x -，∵2DAC DCM S S ∆∆=， 则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V ， 解得：1x =-或5（舍去5）， 故点()1,5D -；（3）设点(),0Q m 、点(),P s t ，228t s s =-++， ①当AM 是平行四边形的一条边时，点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ，同理，点(),0Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --，即为点P ， 即：4m s -=，6t -=，而228t s s =-++， 解得：6s =或﹣4， 故点()6,16P -或()4,16--； ②当AM 是平行四边形的对角线时，由中点公式得：2m s +=-，2t =，而228t s s =-++， 解得：17s =±故点()17,2P 或()17,2；综上，点()6,16P -或()4,16--或()17,2或()17,2． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．13．已知矩形ABCD 中，AB =5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP =25cm .如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动(不包含点C ).设动点M 的运动时间为t (s )，APM ∆的面积为S (cm ²)，S 与t 的函数关系如图②所示： (1)直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;(2)如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇(不包含点C )，动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm . ①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2，10；(2)①2/6/3cm s v cm s ≤＜；②当154x =时，12S S ⋅取最大值2254. 【解析】 【分析】（1）由题意可知图像中0~2.5s 时，M 在AB 上运动，求出速度，2.5~7.5s 时，M 在BC 上运动，求出BC 长度；（2）①分别求出在C 点相遇和在B 点相遇时的速度，取中间速度，注意C 点相遇时的速度不能取等于；②过M 点做MH ⊥AC ，则125MH CM ==得到S 1，同时利用12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形=15，得到S 2，再得到12S S ⋅关于x 的二次函数，利用二次函数性质求得最大值 【详解】(1)5÷2.5=2/cm s ；（7.5-2.5）×2=10cm (2)①解：在C 点相遇得到方程57.5v= 在B 点相遇得到方程152.5v= ∴5=7.515=2.5vv⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得 23=5v v ⎧=⎪⎨⎪⎩。
中考压轴题的中的二次函数(1)一．解答题（共30小题）1．（2016•贵阳模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C （2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．2．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．3．（2015•酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2015•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形（1）求该抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）求证：CE=EF；（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2=（+1）2]．5．（2015•龙岩）如图，已知点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q．（1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；（2）证明∠ACO=∠OBC；（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2015•甘南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2﹣x1|=5．（1）求b，c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．7．（2015•镇江）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（0，3），且当x=1时，y有最小值2．（1）求a，b，c的值；（2）设二次函数y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）（k为实数），它的图象的顶点为D．①当k=1时，求二次函数y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的图象与x轴的交点坐标；②请在二次函数y=ax2+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的图象上各找出一个点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，直接写出点M，N的坐标（点M在点N的上方）；③过点M的一次函数y=﹣x+t的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于另一点P，当k为何值时，点D在∠NMP的平分线上？④当k取﹣2，﹣1，0，1，2时，通过计算，得到对应的抛物线y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的顶点分别为（﹣1，﹣6，），（0，﹣5），（1，﹣2），（2，3），（3，10），请问：顶点的横、纵坐标是变量吗？纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？8．（2015•绵阳）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2015•南宁）在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y=ax2（a＞0）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限，（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积．（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A、B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若直线y=﹣2x﹣2分别交直线AB，y轴于点P、C，直线AB交y 轴于点D，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．10．（2015•辽阳）如图1，平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与抛物线y=ax2+x+c相交于A，B两点，其中点A在x轴上，点B在y轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上存在一点M，使△MAB是以AB为直角边的直角三角形，求点M的坐标；（3）如图2，点E为线段AB上一点，BE=2，以BE为腰作等腰Rt△BDE，使它与△AOB 在直线AB的同侧，∠BED=90°，△BDE沿着BA方向以每秒一个单位的速度运动，当点B 与A重合时停止运动，设运动时间为t秒，△BDE与△AOB重叠部分的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．11．（2015•鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2015•湘西州）如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．13．（2015•葫芦岛）如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．14．（2015•曲靖）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B（0，﹣2），A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y=ax2+c与x轴交于C、D两点，且CD=4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．（1）求抛物线的解析式；（2）若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE=2，求点P的坐标；（3）判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．15．（2015•湘潭）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q 以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ 的中点恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．16．（2015•营口）如图1，一条抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，且当x=﹣1和x=3时，y的值相等，直线y=x﹣与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M．（1）求这条抛物线的表达式．（2）动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t秒．①若使△BPQ为直角三角形，请求出所有符合条件的t值；②求t为何值时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是多少？（3）如图2，当动点P运动到OB的中点时，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D，连接OD，OM，MD得△ODM，将△OPD沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m＜2），将平移后的三角形与△ODM重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．17．（2015•潜江）已知抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）三点，其对称轴交x轴于点H，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点C，与抛物线交于另一点D（点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当S△EOC=S△EAB时，求一次函数的解析式；（3）如图2，设∠CEH=α，∠EAH=β，当α＞β时，直接写出k的取值范围．18．（2015•锦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），且与y轴交于点C，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点，连接CA，CD，PD，PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDB的面积等于△CAD的面积时，求点P的坐标；（3）当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x 轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值．19．（2015•大庆）已知二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，与x轴正半轴的交点为A，且tan∠ACO=（1）求二次函数的解析式；（2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐标；（3）是否存在实数x1、x2（x1＜x2），当x1≤x≤x2时，y的取值范围为≤y≤？若存在，直接写在x1，x2的值；若不存在，说明理由．20．（2015•达州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=x2+bx+c的图象抛物线经过A，C两点．（1）求该二次函数的表达式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．（2015•深圳）如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．22．（2015•海南）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H（3，0），AD 平行GC交y轴于点D．（1）求该二次函数的表达式；（2）求证：四边形ACHD是正方形；（3）如图2，点M（t，p）是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内，过点M 的直线y=kx交二次函数的图象于另一点N．①若四边形ADCM的面积为S，请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围；②若△CMN的面积等于，请求出此时①中S的值．23．（2015•郴州）如图，已知抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6）．（1）求抛物线的表达式；（2）证明：四边形AOBC的两条对角线互相垂直；（3）在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的▱DEFG？（顶点D，E，F，G分别在线段AO，OB，BC，CA上，且不与四边形AOBC的顶点重合）若能，求出▱DEFG的最大面积，并求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．24．（2015•随州）如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）与x轴交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，M为抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）设动点N（﹣2，n），求使MN+BN的值最小时n的值；（3）P是抛物线上一点，请你探究：是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形与△ABD 相似（△PAB与△ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．25．（2015•遵义）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；（3）以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．26．（2015•内江）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣＜t＜2），求△ABN的面积S与t的函数关系式；（3）若﹣＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB，求点N的坐标．27．（2015•安顺）如图，抛物线y=ax2+bx+与直线AB交于点A（﹣1，0），B（4，），点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD．（1）求抛物线的解析式；（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S 取最大值时的点C的坐标．28．（2015•抚顺）已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（﹣6，0），B点坐标为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，将△BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是否存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．29．（2015•昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x=．（1）求抛物线的解析式；（2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．30．（2015•泉州）阅读理解抛物线y=x2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．问题解决如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y=x2的图象交于A，B两点，分别过A，B两点作直线y=﹣1的垂线，交于E，F两点．（1）写出点C的坐标，并说明∠ECF=90°；（2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点．①求证：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；②已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试求CP的取值范围．中考压轴题的中的二次函数(1)参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016•贵阳模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C （2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．，y=，×（﹣+×xx．2+2）或（﹣，2．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．，，解得）n=最大且为．（，ON=．，∴OM=ON+MN=+，解得x=（，，）时，y=x+2=．（），）均在线段）或（，）3．（2015•酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．，t+4a=（x x+4=（，））代入得x，×﹣，，，t+4x+4﹣，﹣t+4﹣（t﹣﹣AM NG AD×（﹣），t=时，面积的最大值为，t=t t+4=，﹣4．（2015•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形（1）求该抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）求证：CE=EF；（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2=（+1）2]．a=（x．OQ=2+2（（=OQ，y=x，2y=4+2，）=4+4，=2，OC=4+25．（2015•龙岩）如图，已知点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q．（1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；（2）证明∠ACO=∠OBC；（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．ACO==CBO=，即可得出∠，t t+4y=，=3，x x+4ACO==CBO=，x+4，（，x+4+4=，，4+2﹣211+）（，x+4•+4=，4+2（，x+4•+4==4+224+2，），11+4+2﹣5+4+2﹣23+6．（2015•甘南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2﹣x1|=5．（1）求b，c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．x是方程﹣x=bb±b=﹣﹣﹣（），∴抛物线的顶点（﹣，）即为所求的点x x××7．（2015•镇江）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（0，3），且当x=1时，y有最小值2．（1）求a，b，c的值；（2）设二次函数y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）（k为实数），它的图象的顶点为D．①当k=1时，求二次函数y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的图象与x轴的交点坐标；②请在二次函数y=ax2+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的图象上各找出一个点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，直接写出点M，N的坐标（点M在点N的上方）；③过点M的一次函数y=﹣x+t的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于另一点P，当k为何值时，点D在∠NMP的平分线上？④当k取﹣2，﹣1，0，1，2时，通过计算，得到对应的抛物线y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的顶点分别为（﹣1，﹣6，），（0，﹣5），（1，﹣2），（2，3），（3，10），请问：顶点的横、纵坐标是变量吗？纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？﹣±，x+t t=，﹣，则=±，3+8．（2015•绵阳）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．）由题意得，，整理得＞﹣＞﹣，解得，联立得，，，﹣）（﹣，﹣）得，﹣=a a+a a=），﹣，|AC|=|AC|•；，﹣（﹣，得，=a a+a a=（﹣，，﹣），﹣得，﹣=a a+a，，﹣，）和（，﹣9．（2015•南宁）在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y=ax2（a＞0）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限，（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积．（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A、B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若直线y=﹣2x﹣2分别交直线AB，y轴于点P、C，直线AB交y 轴于点D，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．AB=1，即可得到结论；AB=1•，即，联立，时，﹣，（﹣，10．（2015•辽阳）如图1，平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与抛物线y=ax2+x+c相交于A，B两点，其中点A在x轴上，点B在y轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上存在一点M，使△MAB是以AB为直角边的直角三角形，求点M的坐标；（3）如图2，点E为线段AB上一点，BE=2，以BE为腰作等腰Rt△BDE，使它与△AOB 在直线AB的同侧，∠BED=90°，△BDE沿着BA方向以每秒一个单位的速度运动，当点B 与A重合时停止运动，设运动时间为t秒，△BDE与△AOB重叠部分的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．时；当≤x+3x+3x+c中，得：，，x x+3x x+3==x=时，y=，）或时，，（﹣，﹣），）或（﹣，﹣，∴﹣=时，≤t t+t﹣t+．11．（2015•鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．x+2PQ=m×当﹣x2m m+2PQ=2m+2m+2×CAO=在BCO=n2MN=+AN，即+（n n12．（2015•湘西州）如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．QA=，然后由抛物线的解析式求得点，解得QA=，即：，即：t=t=时，．MB==时，，整理得：时，，解得t=．t=时，以13．（2015•葫芦岛）如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．x+3x+c ，﹣+，﹣x+3x+c﹣x+3，，﹣x+3﹣+﹣（﹣x x×x xx（﹣）AM=，﹣x+3，﹣x+3或，﹣﹣）AM=，﹣x+3，﹣x+3或）﹣）AM=，﹣x+3，﹣x+3，））））14．（2015•曲靖）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B（0，﹣2），A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y=ax2+c与x轴交于C、D两点，且CD=4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．（1）求抛物线的解析式；（2）若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE=2，求点P的坐标；（3）判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．）代入抛物线的解析式得：，=．，，，2OP=+115．（2015•湘潭）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q 以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ 的中点恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．．，．BQ=××。
二次函数培优试题〔30道解答题〕注：全是2021年各地市中考题，不少是压轴题一．解答题〔共30小题〕1．设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2〔m﹣2〕x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．〔1〕假设+=1，求的值；〔2〕求+﹣m2的最大值．2．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？〔3〕能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．3．如图1，反比例函数y=〔x＞0〕的图象经过点A〔2，1〕，射线AB与反比例函数图象交于另一点B〔1，a〕，射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．〔1〕求k的值；〔2〕求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；〔3〕如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．4．如图，二次函数y=a〔x﹣h〕2+的图象经过原点O〔0，0〕，A〔2，0〕．〔1〕写出该函数图象的对称轴；〔2〕假设将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？5．假设两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，那么称这两个二次函数为“同簇二次函数〞．〔1〕请写出两个为“同簇二次函数〞的函数；〔2〕关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A〔1，1〕，假设y1+y2与y1为“同簇二次函数〞，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．6．如果二次函数的二次项系数为l，那么此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．〔1〕假设一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．〔2〕探究以下问题：①假设一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象②假设一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？7．抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A〔﹣3，0〕和B〔0，3〕两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．〔1〕求抛物线C的表达式；〔2〕求点M的坐标；〔3〕将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过A〔2，0〕，B〔0，﹣1〕和C〔4，5〕三点．〔1〕求二次函数的解析式；〔2〕设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；〔3〕在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．9．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A〔0，3〕，B〔﹣1，0〕，请解答以下问题：〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．注：抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的顶点坐标是〔﹣，〕．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A〔0，﹣2〕，B〔3，4〕．〔1〕求抛物线的表达式及对称轴；〔2〕设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的局部为图象G〔包含A，B两点〕．假设直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．11．如图，二次函数的图象与x轴交于A〔﹣3，0〕和B〔1，0〕两点，交y轴于点C〔0，3〕，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．〔1〕请直接写出D点的坐标．〔2〕求二次函数的解析式．〔3〕根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．12．关于x的方程x2﹣〔2k﹣3〕x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．〔1〕求k的取值范围；〔2〕试说明x1＜0，x2＜0；〔3〕假设抛物线y=x2﹣〔2k﹣3〕x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA•OB﹣3，求k的值．13．二次函数y=x2﹣4x+3．〔1〕用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；〔2〕求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．14．利用二次函数的图象估计一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的近似根〔精确到0.1〕．15．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y〔毫克/百毫升〕与时间x〔时〕的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后〔包括1.5小时〕y与x可近似地用反比例函数y=〔k＞0〕刻画〔如下图〕．〔1〕根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量到达最大值？最大值为多少？②当x=5时，y=45，求k的值．〔2〕按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶〞，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．16．九〔1〕班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x〔1≤x≤90〕天的售价与销量的相关信息如下表：时间x〔天〕1≤x＜50 50≤x≤90售价〔元/件〕x+40 90每天销量〔件〕200﹣2x该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．〔1〕求出y与x的函数关系式；〔2〕问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？〔3〕该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．17．某小商场以每件20元的价格购进一种服装，先试销一周，试销期间每天的销量〔件〕与每件的销售价x〔元/件〕如下表：x〔元/件〕38 36 34 32 30 28 26t〔件〕 4 8 12 16 20 24 28假定试销中每天的销售量t〔件〕与销售价x〔元/件〕之间满足一次函数．〔1〕试求t与x之间的函数关系式；〔2〕在商品不积压且不考虑其它因素的条件下，每件服装的销售定价为多少时，该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？〔注：每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价﹣每件服装的进货价〕18．“丹棱冻粑〞是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；假设每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．〔1〕现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？〔2〕假设该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？19．某商场在1月至12月份经销某种品牌的服装，由于受到时令的影响，该种服装的销售情况如下：销售价格y1〔元/件〕与销售月份x〔月〕的关系大致满足如图的函数，销售本钱y2〔元/件〕与销售月份x〔月〕满足y2=，月销售量y3〔件〕与销售月份x〔月〕满足y3=﹣10x+20．〔1〕根据图象求出销售价格y1〔元/件〕与销售月份x〔月〕之间的函数关系式；〔6≤x≤12且x为整数〕〔2〕求出该服装月销售利润W〔元〕与月份x〔月〕之间的函数关系式，并求出哪个月份的销售利润最大？最大利润是多少？〔6≤x≤12且x为整数〕20．某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．〔1〕求出每天所得的销售利润w〔元〕与每件涨价x〔元〕之间的函数关系式；〔2〕求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；〔3〕商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元．请比拟哪种方案的最大利润更高，并说明理由．21．在机器调试过程中，生产甲、乙两种产品的效率分别为y1、y2〔单位：件/时〕，y1、y2与工作时间x〔小时〕之间大致满足如下图的函数关系，y1的图象为折线OABC，y2的图象是过O、B、C三点的抛物线一局部．〔1〕根据图象答复：•调试过程中，生产乙的效率高于甲的效率的时间x〔小时〕的取值范围是_________； 说明线段AB的实际意义是_________．〔2〕求出调试过程中，当6≤x≤8〔3〕时，生产甲种产品的效率y1〔件/时〕与工作时间x〔小时〕之间的函数关系式．〔3〕调试结束后，一台机器先以图中甲的最大效率生产甲产品m小时，再以图中乙的最大效率生产乙产品，两种产品共生产6小时，求甲、乙两种产品的生产总量Z〔件〕与生产甲所用时间m〔小时〕之间的函数关系式．22．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温比照实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A、y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b，〔1〕分别求y A、y B关于x的函数关系式；〔2〕当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？〔3〕在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？23．某旅游景点的门票价格是20元/人，日接待游客500人，进入旅游旺季时，景点想提高门票价格增加盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高5元，日接待游客人数就会减少50人．设提价后的门票价格为x〔元/人〕〔x＞20〕，日接待游客的人数为y〔人〕．〔1〕求y与x〔x＞20〕的函数关系式；〔2〕景点每日的接待本钱为z〔元〕，z与y满足函数关系式：z=100+10y．求z与x的函数关系式；〔3〕在〔2〕的条件下，当门票价格为多少时，景点每日获取的利润最大？最大利润是多少？〔利润=门票收入﹣接待本钱〕24．某企业设计了一款工艺品，每件的本钱是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于本钱．〔1〕求出每天的销售利润y〔元〕与销售单价x〔元〕之间的函数关系式；〔2〕求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？〔3〕如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总本钱不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？〔每天的总本钱=每件的本钱×每天的销售量〕25．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次〔最低档次〕的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．〔1〕假设生产第x档次的产品一天的总利润为y元〔其中x为正整数，且1≤x≤10〕，求出y关于x的函数关系式；〔2〕假设生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．26．某商家方案从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1〔元/台〕与采购数量x1〔台〕满足y1=﹣20x1+1500〔0＜x1≤20，x1为整数〕；冰箱的采购单价y2〔元/台〕与采购数量x2〔台〕满足y2=﹣10x2+1300〔0＜x2≤20，x2为整数〕．〔1〕经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？〔2〕该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在〔1〕的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．27．某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀〞栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润归还债务〔所有债务均不计利息〕．该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y〔件〕与销售价x〔元/件〕之间的关系可用图中的一条折线〔实线〕来表示．该店应支付职工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元〔不包含债务〕．〔1〕求日销售量y〔件〕与销售价x〔元/件〕之间的函数关系式；〔2〕假设该店暂不考虑归还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡〔收人=支出〕，求该店职工的人数；〔3〕假设该店只有2名职工，那么该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？28．在2021年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x〔x≥60〕元，销售量为y套．〔1〕求出y与x的函数关系式．〔2〕当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；〔3〕当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？[参考公式：抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的顶点坐标是]．29．某经销商销售一种产品，这种产品的本钱价为10元/千克，销售价不低于本钱价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y〔千克〕与销售价x〔元/千克〕之间的函数关系如下图：〔1〕求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；〔2〕求每天的销售利润W〔元〕与销售价x〔元/千克〕之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？〔3〕该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？30．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装本钱为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y〔单位：万元/吨〕与销售数量x〔x≥2〕之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s〔单位：万元〕与加工数量t〔单位：吨〕之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．〔1〕直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；〔2〕第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元〔毛利润=销售总收入﹣经营总本钱〕．①求w关于x的函数关系式；②假设该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？〔3〕第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．参考答案与试题解析一．解答题〔共30小题〕1．设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2〔m﹣2〕x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．〔1〕假设+=1，求的值；〔2〕求+﹣m2的最大值．考点：根与系数的关系；根的判别式；二次函数的最值．专题：代数综合题．分析：〔1〕首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值；〔2〕把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．解答：解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4〔m﹣2〕2﹣4〔m2﹣3m+3〕=﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m＜1．〔1〕∵x1+x2=﹣2〔m﹣2〕，x1x2=m2﹣3m+3，∴+===1解得：m1=，m2=〔不合题意，舍去〕∴=﹣2．〔2〕+﹣m2=﹣m2=﹣2〔m﹣1〕﹣m2=﹣〔m+1〕2+3．当m=﹣1时，最大值为3．点评：此题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac来求出m的取值范围；解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．2．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？〔3〕能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．考点：一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式．专题：几何图形问题．分析：〔1〕根据矩形的面积公式进行列式；〔2〕、〔3〕把y的值代入〔1〕中的函数关系，求得相应的x值即可．解答：解：〔1〕设围成的矩形一边长为x米，那么矩形的邻边长为：32÷2﹣x．依题意得y=x〔32÷2﹣x〕=﹣x2+16x．答：y关于x的函数关系式是y=﹣x2+16x；〔2〕由〔1〕知，y=﹣x2+16x．当y=60时，﹣x2+16x=60，即〔x﹣6〕〔x﹣10〕=0．解得x1=6，x2=10，即当x是6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米；〔3〕不能围成面积为70平方米的养鸡场．理由如下：由〔1〕知，y=﹣x2+16x．当y=70时，﹣x2+16x=70，即x2﹣16x+70=0因为△=〔﹣16〕2﹣4×1×70=﹣24＜0，所以该方程无解．即：不能围成面积为70平方米的养鸡场．点评：此题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是熟悉矩形的周长与面积的求法，以及一元二次方程的根的判别式．3．如图1，反比例函数y=〔x＞0〕的图象经过点A〔2，1〕，射线AB与反比例函数图象交于另一点B〔1，a〕，射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．〔1〕求k的值；〔2〕求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；〔3〕如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．考点：反比例函数综合题；一次函数的性质；二次函数的最值．专题：代数几何综合题．分析：〔1〕根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=2；〔2〕作BH⊥AD于H，如图1，根据反比例函数图象上点的坐标特征确定B点坐标为〔1，2〕，那么AH=2﹣1，BH=2﹣1，可判断△ABH为等腰直角三角形，所以∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，根据特殊角的三角函数值得tan∠DAC=；由于AD⊥y轴，那么OD=1，AD=2，然后在Rt△OAD中利用正切的定义可计算出CD=2，易得C点坐标为〔0，﹣1〕，于是可根据待定系数法求出直线AC的解析式为y=x﹣1；〔3〕利用M点在反比例函数图象上，可设M点坐标为〔t，〕〔0＜t＜1〕，由于直线l⊥x轴，与AC相交于点N，得到N点的横坐标为t，利用一次函数图象上点的坐标特征得到N点坐标为〔t，t﹣1〕，那么MN=﹣t+1，根据三角形面积公式得到S△OMN=•t•〔﹣t+1〕，再进行配方得到S=﹣〔t﹣〕2+〔0＜t＜1〕，最后根据二次函数的最值问题求解．解答：解：〔1〕把A〔2，1〕代入y=得k=2×1=2；〔2〕作BH⊥AD于H，如图1，把B〔1，a〕代入反比例函数解析式y=得a=2，∴B点坐标为〔1，2〕，∴AH=2﹣1，BH=2﹣1，∴△ABH为等腰直角三角形，∴∠BAH=45°，∵∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，∴tan∠DAC=tan30°=；∵AD⊥y轴，∴OD=1，AD=2，∵tan∠DAC==，∴CD=2，∴OC=1，∴C点坐标为〔0，﹣1〕，设直线AC的解析式为y=kx+b，把A〔2，1〕、C〔0，﹣1〕代入得，解，∴直线AC的解析式为y=x﹣1；〔3〕设M点坐标为〔t，〕〔0＜t＜1〕，∵直线l⊥x轴，与AC相交于点N，∴N点的横坐标为t，∴N点坐标为〔t，t﹣1〕，∴MN=﹣〔t﹣1〕=﹣t+1，∴S△OMN=•t•〔﹣t+1〕=﹣t2+t+=﹣〔t﹣〕2+〔0＜t＜1〕，∵a=﹣＜0，∴当t=时，S有最大值，最大值为．点评：此题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形的性质；会利用二次函数的性质解决最值问题．4．如图，二次函数y=a〔x﹣h〕2+的图象经过原点O〔0，0〕，A〔2，0〕．〔1〕写出该函数图象的对称轴；〔2〕假设将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？考点：二次函数的性质；坐标与图形变化-旋转．分析：〔1〕由于抛物线过点O〔0，0〕，A〔2，0〕，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；〔2〕作A′B⊥x轴与B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=OA′=1，A′B=OB=，那么A′点的坐标为〔1，〕，根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣〔x﹣1〕2+的顶点．解答：解：〔1〕∵二次函数y=a〔x﹣h〕2+的图象经过原点O〔0，0〕，A〔2，0〕．解得：h=1，a=﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=1；〔2〕点A′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B，∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′=OA=2，∠A′OA=60°，在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，∴OB=OA′=1，∴A′B=OB=，∴A′点的坐标为〔1，〕，∴点A′为抛物线y=﹣〔x﹣1〕2+的顶点．点评：此题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的顶点坐标为〔﹣，〕，对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．5．假设两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，那么称这两个二次函数为“同簇二次函数〞．〔1〕请写出两个为“同簇二次函数〞的函数；〔2〕关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A〔1，1〕，假设y1+y2与y1为“同簇二次函数〞，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．考点：二次函数的性质；二次函数的最值．专题：代数综合题；新定义．分析：〔1〕只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数〞的函数表达式即可．〔2〕由y1的图象经过点A〔1，1〕可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数〞就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．解答：解：〔1〕设顶点为〔h，k〕的二次函数的关系式为y=a〔x﹣h〕2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2〔x﹣3〕2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3〔x﹣3〕2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2〔x﹣3〕2+4与y=3〔x﹣3〕2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2〔x﹣3〕2+4与y=3〔x﹣3〕2+4是“同簇二次函数〞．∴符合要求的两个“同簇二次函数〞可以为：y=2〔x﹣3〕2+4与y=3〔x﹣3〕2+4．〔2〕∵y1的图象经过点A〔1，1〕，∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2〔x﹣1〕2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=〔a+2〕x2+〔b﹣4〕x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数〞，∴y1+y2=〔a+2〕〔x﹣1〕2+1=〔a+2〕x2﹣2〔a+2〕x+〔a+2〕+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5〔x﹣1〕2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小．∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5〔0﹣1〕2=5．②当1＜x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大．∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5〔3﹣1〕2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．点评：此题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质〔开口方向、增减性〕，考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．6．如果二次函数的二次项系数为l，那么此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．〔1〕假设一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．〔2〕探究以下问题：①假设一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．②假设一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．专题：新定义．分析：〔1〕根据题意得出函数解析式，进而得出顶点坐标即可；〔2〕①首先得出函数解析式，进而利用函数平移规律得出答案；②分别求出两函数解析式，进而得出平移规律．解答：解：〔1〕由题意可得出：y=x2﹣2x+1=〔x﹣1〕2，∴此函数图象的顶点坐标为：〔1，0〕；〔2〕①由题意可得出：y=x2+4x﹣1=〔x+2〕2﹣5，∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到：y=〔x++2﹣1〕2﹣5+1=〔x+1〕2﹣4=x2+2x﹣3，∴图象对应的函数的特征数为：[2，﹣3]；②∵一个函数的特征数为[2，3]，∴函数解析式为：y=x2+2x+3=〔x+1〕2+2，∵一个函数的特征数为[3，4]，∴函数解析式为：y=x2+3x+4=〔x+〕2+，∴原函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到．点评：此题主要考查了二次函数的平移以及配方法求函数解析式，利用特征数得出函数解析式是解题关键．7．抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A〔﹣3，0〕和B〔0，3〕两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．〔1〕求抛物线C的表达式；〔2〕求点M的坐标；〔3〕将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质．专题：分类讨论．分析：〔1〕直接把A〔﹣3，0〕和B〔0，3〕两点代入抛物线y=﹣x2+bx+c，求出b，c的值即可；〔2〕根据〔1〕中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；〔3〕根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示．需要分类讨论．解答：解：〔1〕∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A〔﹣3，0〕和B〔0，3〕两点，∴，解得，故此抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；〔2〕∵由〔1〕知抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，∴当x=﹣=﹣=﹣1时，y=4，∴M〔﹣1，4〕．〔3〕由题意，以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′，∴MN∥M′N′且MN=M′N′．∴MN•NN′=16，∴NN′=4．i〕当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNN′M′时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′；ii〕当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNM′N′时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C′．∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′．点评：此题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点．第〔3〕问需要分类讨论，防止漏解．8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过A〔2，0〕，B〔0，﹣1〕和C〔4，5〕三点．〔1〕求二次函数的解析式；〔2〕设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；〔3〕在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．考点：待定系数法求二次函数解析式；一次函数的图象；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式〔组〕．专题：代数综合题．分析：〔1〕根据二次函数y=ax2+bx+c的图象过A〔2，0〕，B〔0，﹣1〕和C〔4，5〕三点，代入得出关于a，b，c的三元一次方程组，求得a，b，c，从而得出二次函数的解析式；〔2〕令y=0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出与x轴的另一个交点坐标；〔3〕画出图象，再根据图象直接得出答案．解答：解：〔1〕∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A〔2，0〕，B〔0，﹣1〕和C〔4，5〕三点，。
（二次函数）二次函数30道中考动点压轴题和函数压轴题1如图1，在直角坐标系中，已知△AOC的两个顶点坐标分别为A（2，0），C（0，2）．（1）请你以AC的中点为对称中心，画出△AOC的中心对称图形△ABC，此图与原图组成的四边形OABC的形状是，请说明理由；（2）如图2，已知D（12-，0），过A，C，D的抛物线与（1）所得的四边形OABC的边BC交于点E，求抛物线的解析式及点E的坐标；（3）在问题（2）的图形中，一动点P由抛物线上的点A开始，沿四边形OABC的边从A ﹣B﹣C向终点C运动，连接OP交AC于N，若P运动所经过的路程为x，试问：当x为何值时，△AON为等腰三角形（只写出判断的条件与对应的结果）？2如图，在平面直角坐标系中，直线1y=x+12与抛物线2y=ax+bx3-交于A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3。
点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D（1）求a，b及sin ACP∠的值（2）设点P的横坐标为m①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由.3．已知直线y＝kx＋3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．（1）当k＝－1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．①直接写出t＝1秒时C、Q两点的坐标；②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．（2）当k ＝－34时，设以C 为顶点的抛物线y ＝(x ＋m)2＋n 与直线AB 的另一交点为D （如图2）．① 求CD 的长；② 设△COD 的OC 边上的高为h ，当t 为何值时，h 的值最大？4．已知二次函数的图象经过A （2，0）、C （0，12）两点，与x 轴的另一交点为点B ，且对称轴为直线x ＝4，设顶点为点D ．（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图1，在直线y ＝2x 上是否存在点E ，使四边形ODBE 为等腰梯形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点P 是线段OD 上的一个动点（不与O 、D 重合），以每秒 2 个单位长度的速度由点D 向点O 运动，过点P 作直线PQ ∥x 轴，交BD 于点Q ，将△DPQ 沿直线PQ 对折，得到△D 1PQ ．在点P 运动的过程中，设△D 1PQ 与梯形OPQB 的重叠部分的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 关于t 的函数关系式．5．A 、C 上，抛物线y ＝－2 3）． （1）求抛物线的表达式；（2）如果点P 由点A 出发，沿AB 边以2cm /s 的速度向点B 运动，同时点Q 由点B 出发，沿BC 边以1cm /s 的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S ＝PQ2（cm 2）．①试求出S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；②当S 取54时，在抛物线上是否存在点R ，使得以点P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行图1图2图2 图1四边形？如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上求点M ，使得M 到D 、A 的距离之差最大，求出点M 的坐标．6．在梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠AOC ＝60°，∠OAB ＝90°，OC ＝2，BC ＝4，以O 点为原点，OA 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边△DEF ，DE 在x 轴上（如图1），如果让△DEF 以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D 与点A 重合，当点D 到达坐标原点时运动停止．（1）设△DEF 运动时间为t ，△DEF 与梯形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；（2）探究：在△DEF 运动过程中，如果射线DF 交经过O 、C 、B 三点的抛物线于点G ，是否存在这样的时刻t ，使得△OAG 的面积与梯形OABC 的面积相等？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．7．已知二次函数y ＝ax2＋bx －2的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（4，0），且当x ＝－2和x ＝5时二次函数的函数值y 相等． （1）求实数a 、b 的值；（2）如图1，动点E 、F 同时从A 点出发，其中点E 以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向终点B 运动，点F 以每秒 5个单位长度的速度沿射线AC 方向运动．当点E 停止运动时，点F 随之停止运动．设运动时间为t 秒．连接EF ，将△AEF 沿EF 翻折，使点A 落在点D 处，得到△DEF ．①当t 为何值时，线段DF 平分△ABC 的面积？②是否存在某一时刻t ，使得△DCF 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．③设△DEF 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；（3）如图2，点P 在二次函数图象上运动，点Q 在二次函数图象的对称轴上运动，四边形PQBC 能否成为以PQ 为底的等腰梯形？如果能，直接写出P 、Q 两点的坐标；如果不能，请说明理由．8．如图，直线y＝－43x＋4与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过A（－1，0）、B、C三点．（1）求二次函数的表达式；（2）设二次函数图象的顶点为D，求四边形OCDB的面积；（3）若动点E、F同时从O点出发，其中点E以每秒32个单位长度的速度沿折线OBC按O→B→C的路线运动，点F以每秒4个单位长度的速度沿折线OCB按O→C→B的路线运动，当E、F两点相遇时，整个运动随之结束．设运动时间为t（秒），△OEF的面积为S（平方单位）．①在E、F两点运动过程中，是否存在EF∥OC？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；②求S关于t的函数关系式，并求S的最大值．9．已知抛物线y＝4，0）点B作BC∥x轴交抛物线于点C．动点E、F分别从O、A两点同时出发，其中点E沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向A点运动，点F沿折线A→B→C以每秒1个单位长度的速度向C点运动．设动点运动的时间为t（秒）．（1）求抛物线的解析式；（2）记△EF A的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值，指出此时△EF A的形状；（3）是否存在这样的t值，使△EF A、F两点的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于A（－2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C 点．（1）求抛物线的解析式；（2）T是抛物线对称轴上的一点，且△ATC是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；（3）M、Q两点分别从A、B点以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M 到达原点时，点Q 立刻掉头并以每秒32个单位长度的速度向点B 方向移动，当点M 到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M 的直线l ⊥x 轴交AC 或BC 于点P ．求点M 的运动时间t 与△APQ 面积S 的函数关系式，并求出S 的最大值．11．如图，对称轴为直线x ＝－1的抛物线经过点A （－3，0）和点C （0，3），与x 轴的另一交点为B ．点P 、Q 同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA 、BC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t （秒）． （1）求抛物线的解析式；（2）连接PQ ，将△BPQ 沿PQ 翻折，所得的△B ′PQ 与△ABC 重叠部分的面积记为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求S 的最大值； （3）若点D 的坐标为（－4，3），当点B ′ 恰好落在抛物线上时，在抛物线的对称轴时是否存在点M ，使四边形MADB ′的周长最小，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋152（a ≠0）经过A （－3，0）、C （5，0）两点，点B 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． （1）求此抛物线的解析式；（2）动点P 从点B 出发，沿线段BD 向终点D 作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t s ，过点P 作PM ⊥BD 交BC 于点M ，过点M 作MN ∥BD ，交抛物线于点N ． ①当t 为何值时，线段MN 最长；②在点P 运动的过程中，是否有某一时刻，使得以O 、P 、形？若存在，求出此刻的t 值；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y ＝－x2－2x ＋3与x 轴相交于点A 、B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求线段AC 所在直线的解析式；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一点，且S △MAC＝12S △MAB，求点M 的坐标； （3）点P 以每秒1个单位长度的速度，沿线段BA 由B 向A 运动，同时，点Q 以每秒2个单位长度的速度，从A 开始沿射线AC 运动，当P 到达A 时，整个运动随即结束．设运动的时间为t 秒．①求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式，并求当t 为何值时，△APQ 的面积最大，最大面积是多少？②在整个运动过程中，以PQ 为直径的圆能否与直线BC 相切？若能，请直接写出相应的t 值；若不能，请说明理由；③直接写出线段PQ 的中点在整个运动过程中所经过路径的长．14．如图，二次函数c x y +-=221的图象经过点D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值；⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式； ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）15．（2010福建福州）如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ． （1）求证：AH AD ＝EFBC；（2）设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值；（3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．16．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线y ＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线y ＝16x 2＋bx ＋c 过O 、A 两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若A 点关于直线y ＝2x 的对称点为C ，判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆．过原点O 作⊙O 1的切线OP ，P 为切点(点P 与点C 不重合)．抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由17．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=设直线AC 与直线x =4交于点E ．（1）求以直线x =4为对称轴，且过C 与原点O 的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E ；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为N ，M 是该抛物线上位于C 、N 之间的一动点，求△CMN 面积的最大值．(第2题)(图1) (图2)18．（2010湖南邵阳）如图，抛物线y ＝2134x x -++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，顶点为点D ，对称轴l 与直线BC 相交于点E ，与x 轴交于点F 。
中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题含答案解析一、二次函数1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值． 【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．（2）存在．S △PBC 最大值为2716（3）2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值． 【详解】解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=． ∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -）， ∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+． ∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+， 解得：12m 2=-,22m 2=(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+， 解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ． 综上所述，2m =-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．3．如图，直线AB 和抛物线的交点是A （0，﹣3），B （5，9），已知抛物线的顶点D 的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x 轴上是否存在一点C ，与A ，B 组成等腰三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB 的下方抛物线上找一点P ，连接PA ，PB 使得△PAB 的面积最大，并求出这个最大值．【答案】（1）21248355y x x =--，顶点D （2，635-）；（2）C （±0）或（5±0）或（9710，0）；（3）752【解析】 【分析】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）分AB =AC 、AB =BC 、AC =BC ，三种情况求解即可；（3）由S △PAB 12=•PH •x B ，即可求解． 【详解】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=x 2485-x ﹣3． 当x =2时，y 635=-，即顶点D 的坐标为（2，635-）； （2）A （0，﹣3），B （5，9），则AB =13，设点C 坐标（m ，0），分三种情况讨论：①当AB =AC 时，则：（m ）2+（﹣3）2=132，解得：m ，即点C 坐标为：（，0）或（﹣，0）；②当AB =BC 时，则：（5﹣m ）2+92=132，解得：m =5±，即：点C 坐标为（5+，0）或（5﹣0）；③当AC =BC 时，则：5﹣m ）2+92=（m ）2+（﹣3）2，解得：m =9710，则点C 坐标为（9710，0）．综上所述：存在，点C 的坐标为：（，0）或（5±0）或（9710，0）； （3）过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ．设直线AB 的表达式为y =kx ﹣3，把点B 坐标代入上式，9=5k ﹣3，则k 125=，故函数的表达式为：y 125=x ﹣3，设点P 坐标为（m ，125m 2485-m ﹣3），则点H 坐标为（m ，125m ﹣3），S △PAB 12=•PH •x B 52=（125-m 2+12m ）=－6m 2+30m =25756()22m --+，当m =52时，S △PAB 取得最大值为：752．答：△PAB的面积最大值为752．【点睛】本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣12时，△APC的面积取最大值，最大值为278，此时点P的坐标为（﹣12，154）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM 的周长最小，△ANM 周长的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据点A ，C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，设点P 的坐标为（x ，﹣x 2﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标为（x ，﹣x +1），进而可得出PF 的值，由点C 的坐标可得出点Q 的坐标，进而可得出AQ 的值，利用三角形的面积公式可得出S △APC ＝﹣32x 2﹣32x +3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N 的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C ，N 的坐标可得出点C ，N 关于抛物线的对称轴对称，令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，则此时△ANM 周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M 的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM 周长的最小值即可得出结论． 【详解】（1）将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得：10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的函数关系式为y ＝﹣x 2﹣2x +3； 设直线AC 的函数关系式为y ＝mx +n （m ≠0）， 将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝mx +n ，得：023m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得：11m n =-⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的函数关系式为y ＝﹣x +1．（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，如图1所示．设点P 的坐标为（x ，﹣x 2﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标为（x ，﹣x +1），∴PE ＝﹣x 2﹣2x +3，EF ＝﹣x +1，EF ＝PE ﹣EF ＝﹣x 2﹣2x +3﹣（﹣x +1）＝﹣x 2﹣x +2． ∵点C 的坐标为（﹣2，3）， ∴点Q 的坐标为（﹣2，0）， ∴AQ ＝1﹣（﹣2）＝3， ∴S △APC ＝12AQ •PF ＝﹣32x 2﹣32x +3＝﹣32（x +12）2+278． ∵﹣32＜0， ∴当x ＝﹣12时，△APC 的面积取最大值，最大值为278，此时点P 的坐标为（﹣12，15）．4（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴点N的坐标为（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此时△ANM周长取最小值．当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），∴AC＝22+＝32，AN＝2233+＝10，31∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝32+10．∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为32+10．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S △APC ＝﹣32x 2﹣32x +3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M 的位置．5．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是2y ax c =+的形式.请根据所给的数据求出a ，c 的值. (2)求支柱MN 的长度.(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.【答案】（1）y=-350x 2+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 【解析】试题分析：（1）根据题目可知A ．B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）设N 点的坐标为（5，y N ）可求出支柱MN 的长度．（3）设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．做GH 垂直AB 交抛物线于H 则可求解．试题解析： (1) 根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0). 将B 、C 的坐标代入2y ax c =+，得 6,0100.c a c =⎧⎨=+⎩解得3,650a c =-=. ∴抛物线的表达式是23650y x =-+.(2) 可设N (5,N y )， 于是2356 4.550N y =-⨯+=. 从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.(3) 设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和， 则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则23176335050H y =-⨯+=+>. 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.6．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=-+-，()22AC [01](30)10=--+-=()22AM [11](m 0)=--+-AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中， 得：{103b c c --+==，解得：{23b c ==，∴抛物线的解析式为223y x x =-++．()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0．Q 抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+， ∴抛物线的对称轴为直线1x =．设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{303k d d +==，解得：{13k d =-=，∴直线BC 的解析式为3y x =-+． Q 当1x =时，32y x =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．()3设点M 的坐标为()1,m ，则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=()22[11](0)AM m =--+-分三种情况考虑：①当90AMC ∠=o 时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，解得：11m =，22m =，∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；②当90ACM ∠=o 时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，解得：83m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭；③当90CAM ∠=o 时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，解得：23m =-， ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：当MAC V 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，列出关于m 的方程．7．如图1，已知抛物线y ＝ax 2+bx+3(a≠0)与x 轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．(4)如图2，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，10）或P（﹣1，﹣10）或P（﹣1，6）或P（﹣1，53）；（3）存在，Q（﹣1，2）；（4）63 8，315,24E⎛⎫-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①当CP＝PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的长，可根据M 的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．②当CM＝MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．③当CM＝C P时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；（3）根据轴对称﹣最短路径问题解答；（4）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，S四边形BOCE＝S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在△BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩．∴所求抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3； （2）如答图1，∵抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3， ∴其对称轴为x ＝22-＝﹣1， ∴设P 点坐标为（﹣1，a ），当x ＝0时，y ＝3， ∴C （0，3），M （﹣1，0）∴当CP ＝PM 时，（﹣1）2+（3﹣a ）2＝a 2，解得a ＝53， ∴P 点坐标为：P 1（﹣1，53）； ∴当CM ＝PM 时，（﹣1）2+32＝a 2，解得a ＝±10， ∴P 点坐标为：P 2（﹣1，10）或P 3（﹣1，﹣10）；∴当CM ＝CP 时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a ）2，解得a ＝6， ∴P 点坐标为：P 4（﹣1，6）．综上所述存在符合条件的点P ，其坐标为P （﹣1，10）或P （﹣1，﹣10）或P （﹣1，6）或P （﹣1，53）； （3）存在，Q （﹣1，2），理由如下：如答图2，点C （0，3）关于对称轴x ＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为点Q ．设直线AC′函数关系式为：y ＝kx+t （k≠0）．将点A （1，0），C′（﹣2，3）代入，得023k t k t +=⎧⎨-+=⎩，解得11k t =-⎧⎨=⎩，所以，直线AC′函数关系式为：y ＝﹣x+1． 将x ＝﹣1代入，得y ＝2， 即：Q （﹣1，2）；（4）过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，设E （a ，﹣a 2﹣2a+3）（﹣3＜a ＜0）∴EF ＝﹣a 2﹣2a+3，BF ＝a+3，OF ＝﹣a ∴S 四边形BOCE ＝12BF•EF+12（OC+EF ）•OF ＝12（a+3）•（﹣a 2﹣2a+3）+12（﹣a 2﹣2a+6）•（﹣a ） ＝﹣32a 2﹣92a+92＝﹣32（a+32）2+638， ∴当a ＝﹣32时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为638． 此时，点E 坐标为（﹣32 ，154）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解．8．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x =+.（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(1,)+-或317(1,)--.【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203ba abc c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+. ∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ， ∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+， 得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩，∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得：13172t +=，23172t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．9．如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数y=x 2+（2k ﹣1）x+k+1的图象与x 轴相交于O 、A 两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B ，使△AOB 的面积等于6，求点B 的坐标；（3）对于（2）中的点B ，在此抛物线上是否存在点P ，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB 的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x 2﹣3x 。
1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标；（3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．4．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A （4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P 为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD 沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2﹣x+8与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，Rt△CDE≌Rt△ABO，且△CDE始终保持边ED经过点M，边CD经过点N，边DE与y轴交于点H，边CD与y轴交于点G．（1）填空：OA的长是，∠ABO的度数是度；（2）如图2，当DE∥AB，连接HN．①求证：四边形AMHN是平行四边形；②判断点D是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；（3）如图3，当边CD经过点O时，（此时点O与点G重合），过点D作DQ∥OB，交AB延长线上于点Q，延长ED到点K，使DK=DN，过点K作KI∥OB，在KI上取一点P，使得∠PDK=45°（点P，Q在直线ED的同侧），连接PQ，请直接写出PQ的长．7．如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO 并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．8．抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D 的坐标；（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．9．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值；（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M 为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．（4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．10．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y=x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y=x2+bx+c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图（2），动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值．12．如图，已知直线y=kx﹣6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．13．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．14．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，动点P、Q同时从A点出发，点P沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．点Q沿折线ADC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，设运动时间为t秒．（1）当t=2秒时，求证：PQ=CP；（2）当2＜t≤4时，等式“PQ=CP”仍成立吗？试说明其理由；（3）设△CPQ的面积为S，那么S与t之间的函数关系如何？并问S的值能否大于正方形ABCD 面积的一半？为什么？15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点D是线段BC中点，点E是BC上方抛物线上一动点，连接CE，DE．当△CDE的面积最大时，过点E作y轴垂线，垂足为F，点P为线段EF上一动点，将△CEF绕点C沿顺时针方向旋转90°，点F，P，E的对应点分别是F′，P′，E′，点Q从点P出发，先沿适当的路径运动到点F′处，再沿F′C运动到点C处，最后沿适当的路径运动到点P′处停止．求△CDE面积的最大值及点Q经过的最短路径的长；（3）如图2，直线BH经过点B与y轴交于点H（0，3）动点M从O出发沿OB方向以每秒1个单位长度向点B运动，同时动点N从B点沿BH方向以每秒2个单位长度的速度向点H 运动，当点N运动到H点时，点M，点N同时停止运动，设运动时间为t．运动过程中，过点N作OB的平行线交y轴于点I，连接MI，MN，将△MNI沿NI翻折得△M′NI，连接HM′，当△M′HN为等腰三角形时，求t的值．16．如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x 轴的另一交点坐标为A（﹣1，0）．（1）求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；（2）P在线段BC上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线a∥y轴，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点P的横坐标为m，△BCE的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②求S的最大值，并判断此时△OBE的形状，说明理由；（3）过点P作直线b∥x轴（图2），交AC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR 为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，点B坐标为（10，10），点P 从O出发沿O→C→B运动，速度为1个单位每秒，连接AP．设运动时间为t．（1）若抛物线y=﹣（x﹣h）2+k经过A、B两点，求抛物线函数关系式；（2）当0≤t≤10时，如图1，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交边BC于点D，连接AD，PD，设△APD的面积为S，求S的最小值；（3）在图2中以A为圆心，OA长为半径作⊙A，当0≤t≤20时，过点P作PQ⊥x轴（Q在P的上方），且线段PQ=t+12：①当t在什么范围内，线段PQ与⊙A只有一个公共点？当t在什么范围内，线段PQ与⊙A 有两个公共点？②请将①中求得的t的范围作为条件，证明：当t取该范围内任何值时，线段PQ与⊙A总有两个公共点．18．如图，二次函数y=x2﹣4x的图象与x轴、直线y=x的一个交点分别为点A、B，CD是线段OB上的一动线段，且CD=2，过点C、D的两直线都平行于y轴，与抛物线相交于点F、E，连接EF．（1）点A的坐标为，线段OB的长=；（2）设点C的横坐标为m①当四边形CDEF是平行四边形时，求m的值；②连接AC、AD，求m为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个最小值．19．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．20．如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E 的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A （0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x 于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x 轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形（1）求该抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）求证：CE=EF；（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2=（+1）2]．22．阅读理解抛物线y=x2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．问题解决如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y=x2的图象交于A，B两点，分别过A，B两点作直线y=﹣1的垂线，交于E，F两点．（1）写出点C的坐标，并说明∠ECF=90°；（2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点．①求证：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；②已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试求CP的取值范围．23．已知抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）三点，其对称轴交x轴于点H，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点C，与抛物线交于另一点D（点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；=S△EAB时，求一次函数的解析式；（2）如图1，当S△EOC（3）如图2，设∠CEH=α，∠EAH=β，当α＞β时，直接写出k的取值范围．24．如图1，已知直线EA与x轴、y轴分别交于点E和点A（0，2），过直线EA上的两点F、G分别作x轴的垂线段，垂足分别为M（m，0）和N（n，0），其中m＜0，n＞0．（1）如果m=﹣4，n=1，试判断△AMN的形状；（2）如果mn=﹣4，（1）中有关△AMN的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，题目中的条件不变，如果mn=﹣4，并且ON=4，求经过M、A、N三点的抛物线所对应的函数关系式；（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴l与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q的坐标．25．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．（1）求直线AC的解析式；（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M 点的坐标；（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，顶点为C．（1）求此二次函数解析式；（2）点D为点C关于x轴的对称点，过点A作直线l：交BD于点E，过点B作直线BK∥AD交直线l于K点．问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若M、N分别为直线AD和直线l上的两个动点，连结DN、NM、MK，求DN+NM+MK和的最小值．27．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC 在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．28．如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，）．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在直线CD的上方，y轴及y轴的右侧的平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似，请直接写出符合要求的点G的坐标；（3）如图，抛物线的对称轴与x轴的交点M，过点M作一条直线交∠ADB于T，N两点，①当∠DNT=90°时，直接写出的值；②当直线TN绕点M旋转时，试说明：△DNT的面积S=DN•DT；△DNT并猜想：的值是否是定值？说明理由．29．如图①，Rt△ABC中，∠B=90°∠CAB=30°，AC⊥x轴．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D （0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求∠BAO的度数．（直接写出结果）（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点P的运动速度．（3）求题（2）中面积S与时间t之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P的坐标．（4）如果点P，Q保持题（2）中的速度不变，当t取何值时，PO=PQ，请说明理由．30．如图，已知直线l：y=x+2与y轴交于点D，过直线l上一点E作EC丄y轴于点C，且C 点坐标为（0，4），过C、E两点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式：（2）动点Q从点C出发沿线段CE以1单位/秒的速度向终点E运动，过点Q作QF⊥ED于点F，交BD于点H，设点Q运动时间为t秒，△DFH的面积为S，求出S与t的函数关系式（并直接写出自变量t的取值范围）；（3）若动点P为直线CE上方抛物线上一点，连接PE，过点E作EM⊥PE交线段BD于点M，当△PEM是等腰直角三角形时，求四边形PMBE的面积．31．已知在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0，且a，b，c为常数）的对称轴为：直线x=，与x轴分别交于点A、点B，与y轴交于点C（0，﹣），且过点（3，﹣5），D为x轴正半轴上的动点，E为y轴负半轴上的动点．（1）求该抛物线的表达式；（2）如图1，当点D为（3，0）时，DE交该抛物线于点M，若∠ADC=∠CDM，求点M的坐标；（3）如图2，把（1）中抛物线平移使其顶点与原点重合，若直线ED与新抛物线仅有唯一交点Q时，y轴上是否存在一个定点P使PE=PQ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．解答题（共31小题）1．（2017秋•上杭县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标；（3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】151：代数综合题；32 ：分类讨论．【分析】（1）根据AC=BC，求出BC的长，进而得到点A，B的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，用含m的式表示出E，F的坐标，求出EF的长度最大时m的值，即可求得E，F的坐标；（3）分两种情况：∠E﹣90°和∠F=90°，分别得到点P的纵坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点P的值．【解答】解：（1）∵OA=1，OC=4，AC=BC，∴BC=5，∴A（﹣1，0），B（4，5），抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，∴，解得：，∴y=x2﹣2x﹣3；（2）设直线AB解析式为：y=kx+b，直线经过点A，B两点，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y=x+1，设点E的坐标为（m，m+1），则点F（m，m2﹣2m﹣3），∴EF=m+1﹣m2+2m+3=﹣m2+3m+4=﹣（m﹣）2+，∴当EF最大时，m=，∴点E（，），F（，）；（3）存在．①当∠FEP=90°时，点P的纵坐标为，即x2﹣2x﹣3=，解得：x1=，x2=，∴点P1（，），P2（，），②当∠EFP=90°时，点P的纵坐标为，即x2﹣2x﹣3=，解得：x1=，x2=（舍去），∴点P3（，），综上所述，P1（，），P2（，），P3（，）．【点评】本题主要考查二次函数的综合题，其中第（3）小题要注意分类讨论，分∠E=90°和∠F=90°两种情况．2．（2017秋•鄂城区期中）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】16 ：压轴题．【分析】（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程组即可；（2）求出点B的坐标，再根据勾股定理得到BC，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，运用二次函数的顶点坐标解决问题；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x轴下方2个单位处．【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②当BP=BC时，OP=OB=3，∴P3（0，﹣3）；③当PB=PC时，∵OC=OB=3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）；（3）如图2，设A运动时间为t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．3．（2017•泸州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】16 ：压轴题．【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）当点D在x轴上方时，则可知当CD∥AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D在x轴下方时，可证得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标；（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，可设出P点坐标，从而可表示出PH的长，可表示出△PEB的面积，进一步可表示出直线AP的解析式，可求得F点的坐标，联立直线BC和PA的解析式，可表示出E点横坐标，从而可表示出△CEF的面积，再利用二次函数的性质可求得S1﹣S2的最大值．【解答】解：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；（2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，∴四边形ABDC为等腰梯形，∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，∴D（3，2）；当点D在x轴下方时，∵∠DBA=∠CAO，∴BD∥AC，∵C（0，2），∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k=2，∴直线AC解析式为y=2x+2，∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=﹣8，∴直线BD解析式为y=2x﹣8，联立直线BD和抛物线解析式可得，解得或，∴D（﹣5，﹣18）；综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）；（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，如图2，设P（t，﹣t2+t+2），由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=﹣x+2，∴H（t，﹣t+2），∴PH=y P﹣y H=﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）=﹣t2+2t，设直线AP的解析式为y=px+q，∴，解得，∴直线AP的解析式为y=（﹣t+2）（x+1），令x=0可得y=2﹣t，∴F（0，2﹣t），∴CF=2﹣（2﹣t）=t，联立直线AP和直线BC解析式可得，解得x=，即E点的横坐标为，∴S1=PH（x B﹣x E）=（﹣t2+2t）（4﹣），S2=••，∴S1﹣S2=（﹣t2+2t）（4﹣）﹣••=﹣t2+4t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，有S1﹣S2有最大值，最大值为．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出D点的位置是解题的关键，在（3）中用P点的坐标分别表示出两个三角形的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大．4．（2017•南充）如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O （0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P 为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】16 ：压轴题．【分析】（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，﹣），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣，把（0，0）代入得到a=，即可解决问题；（2）如图1中，设E（m，0），则C（m，m2﹣m），B（﹣m2+m，0），由E、B关于对称轴对称，可得=2，由此即可解决问题；（3）分两种情形求解即可①当P1与N重合时，△P1B′N′是等腰三角形，此时P1（0，﹣3）．②当N′=N′B′时，设P（m，m﹣3），列出方程解方程即可；【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，﹣），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣，把（0，0）代入得到a=，∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）2﹣，即y=x2﹣x．（2）如图1中，设E（m，0），则C（m，m2﹣m），B（﹣m2+m，0），∵E′在抛物线上，易知四边形EBE′C是正方形，抛物线的对称轴也是正方形的对称轴，∴E、B关于对称轴对称，∴=2，解得m=1或6（舍弃），∴B（3，0），C（1，﹣2），∴直线l′的解析式为y=x﹣3．（3）如图2中，①当P1与N重合时，△P1B′N′是等腰三角形，此时P1（0，﹣3）．②当N′=N′B′时，设P（m，m﹣3），则有（m﹣）2+（m﹣3﹣）2=（3）2，解得m=或，∴P2（，），P3（，）．综上所述，满足条件的点P坐标为（0，﹣3）或（，）或（，）．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、两点间距离公式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会根据方程，属于中考压轴题．5．（2017•宜宾）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD 沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】16 ：压轴题．【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值；（3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；（2）∵AD=5，且OA=1，∴OD=6，且CD=8，∴C（﹣6，8），设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），∵C（﹣6，8），∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，∴m的值为7或9；（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，∴抛物线对称轴为x=2，。
专题13二次函数解答压轴题（30道）一、解答题(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点Q 是x 轴上方抛物线上一点，射线QM x ⊥轴于点接写出点Q 的坐标．(3)如图2，点E 是第一象限内一点，连接AE 交y 轴于点D ，上，且CF OD =，连接FA FE BE BP ，，，，若AFE ABE S S =△△，求(1)求抛物线的解析式．(1)求这个二次函数的表达式．AC y=(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线:点，求MCD△面积的最大值．(3)如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q4．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）在平面直角坐标系中，2(1)求a，b的值；(2)如图①，E是第二象限抛物线上的一个动点，连接OE，CE，设点求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；(3)如图②，在（2）的条件下，当63S=时，连接BE交y轴于点在BF上，连接ED，点L在线段RB上（点L不与点B重合），过点直线交于点G，M为LG的延长线上一点，连接BM，EG，使∠点B的右侧，12 PBM GBM FRB DEG∠-∠=∠+∠，过点M作MN⊥上，连接MV，使12BL NV BV-=，若EBF VMN∠=∠，求直线5．（2023·湖南益阳·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线(1)求A点的坐标；(2)如图1，若B点关于x轴的对称点为B'点，当以点的值；(3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是围．6．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，抛物线过点(4,2)，直线112y x=+与抛物线交于B，D对称轴右侧的点(,1)M t，直线m上每一点的纵坐标都等于(1)求抛物线的解析式；(2)证明：圆C与x轴相切；4MF (1)求方案一中抛物线的函数表达式；(2)在方案一中，当3m AB =时，求矩形框架ABCD 的面积1S 并比较8．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图（1），二次函数25y ax =-两点，与y 轴交于点()0,4C -．(1)求二次函数的解析式和b的值．(2)在二次函数位于x轴上方的图像上是否存在点不存在，请说明理由．(3)如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接的动点（点E'不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合）E'，线段AE的对应线段为A E''，连接E C'，9．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，抛物线()C，顶点为D．0,33(1)求抛物线的表达式；(2)若点E在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB的面积为(3)在（2）的条件下，若点F是对称轴上一点，点H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在6，如果存在，请直接写出点(1)如图1，若抛物线过点C ，求抛物线的表达式和点F 的坐标；(2)如图2，在（1）的条件下，连接CF ，作直线CE ，平移线段F 的对应点Q 落在抛物线上，求点Q 的坐标；(3)若抛物线()220y ax ax c a =-+<与正方形ABCD 恰有两个交点，求素材2根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离问题解决任务1计算投掷距离建立合适的直角坐标系，求素材任务2探求高度变化求素材2和素材任务3提出训练建议为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．12．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，抛物线8(1)求抛物线的解析式；(2)当BEF △的周长是线段(3)当点P 运动到抛物线顶点时，点交直线l 于点M ．当BQ 13．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，抛物线(1)求b ，c 的值．(2)点()(000,05P x y x <<①当0x 取何值时，PBC ②过点P 作PE x ⊥轴，交P ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在，请求出点14．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数()0,2A ，与x 轴的交点为点10(1)求这个二次函数的表达式；(2)点E ，G 在y 轴正半轴上，2OG OE =，点D 在线段OC 上，3OD OE =ODFE ，连接GD ，设OE a =．①连接FC ，当GOD 与FDC △相似时，求a 的值；②当点D 与点C 重合时，将线段GD 绕点G 按逆时针方向旋转60︒后得到线段绕点F 按顺时针方向旋转(0180)αα︒<≤︒后得到G FH ''V ，点G ，H 的对应点分别为G FH ''V 的边与线段DE 垂直时，请直接写出点H '的横坐标．15．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与变量x 的部分取值与对应函数值y 如下表：x L1-01234L y L 03-4-3-05L (1)求二次函数2y ax bx c =++的表达式；(2)若将线段AB 向下平移，得到的线段与二次函数(1)直接写出点B的坐标；+的值最小．求点P(2)在对称轴上找一点P，使PA PC(3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN补全图形，当2+的值最大时，求点M的坐标．MQ CQ17．（2023·四川德阳·统考中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与C-．与y轴交于点(0,4)12(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x 轴下方的部分沿x 轴翻折平面内的直线6y kx =+与新图象有三个公共点时，求(3)如图2，如果把直线AB 沿y 轴向上平移至经过点点H ，过点F 作FG CH ⊥于点G ，若2DF HG=18．（2023·四川雅安·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线是直线2x =．(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M 的坐标；(2)若点B 在抛物线上，过点B 作x 轴的平行线交抛物线于点的边长；(3)已知点E 在抛物线的对称轴上，点D 的坐标为边形为菱形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图1，二次函数(1)求二次函数的表达式；(2)若点P 在二次函数对称轴上，当BCP 面积为5时，求(3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点D ，使DAB ∠正确，请求出D 的坐标；如果不正确，请说明理由．20．（2023·湖北恩施·统考中考真题）在平面直角坐标系与y 轴交于点A ，抛物线的对称轴与x 轴交于点B ．(1)如图，若()0,3A ，抛物线的对称轴为3x =．求抛物线的解析式，并直接写出(2)在（1）的条件下，若P 为y 轴上的点，C 为x 轴上方抛物线上的点，当C 的坐标；(3)若抛物线212y x bx c =-++经过点(),2D m ，(),2E n ，()1,1F -，且21．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，抛物线(21y ax bx =+-交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点()3,0D ，过点B 作直线l x ⊥14(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 为第三象限内抛物线上的点，连接CE 和BP 交于点(3)在（2）的条件下，连接AC ，在直线BP 上是否存在点F ，使得接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2023·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，()20y ax bx c a =++>上任意两点，设抛物线的对称轴为x =(1)若对于11x =，22x =有12y y =，求t 的值；(2)若对于101x <<，212x <<，都有12y y <，求t 的取值范围．(1)求点C ，D 的坐标；(2)当13a =时，如图1，该抛物线与x 轴交于A ，B 上一点，将直线PD 沿直线AD 翻折，交x 轴于点(3)坐标平面内有两点()1,1,5,1E a F a a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，以线段①若1a =，求正方形EFGH 的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到16(1)连接EF ，求线段EF 的长；(2)点()17,M d -在抛物线1L 上，点()216,N d 在抛物线2L 上．比较大小：(3)若点()()123,,21,P n f Q n f +-在抛物线1L 上，12f f <，求26．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在平而直角坐标系中，二次函数(1)求点,A B 的坐标；(2)随着点E 在线段BC 上运动．①EDA ∠的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当线段DE 的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，27．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，抛物线()04C ，，点E 在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 在第一象限内，过点E 作EF y ∥轴，交BC 于点F ，作EH x 轴，交抛物线于点H ，点H 在点E 的左侧，以线段,EF EH 为邻边作矩形EFGH ，当矩形EFGH 的周长为11时，求线段EH 的长；(3)点M 在直线AC 上，点N 在平面内，当四边形OENM 是正方形时，请直接写出点N 的坐标．28．（2023·贵州·统考中考真题）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C 处，对称轴OC 与水平线OA 垂直，9OC =，点A 在抛物线上，且点A 到对称轴的距离3OA =，点B 在抛物线上，点B 到对称轴的距离是1．(1)求抛物线的表达式；(2)如图②，为更加稳固，小星想在OC 上找一点P ，加装拉杆,PA PB ，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P 的位置并求出坐标；(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为221(0)y x bx b b =-++->，当46x ≤≤时，函数y 的值总大于等于9．求b 的取值范围．29．（2023·吉林长春·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线22y x bx =-++（b 是常数）经过点(2,2)．点A 的坐标为(,0)m ，点B 在该抛物线上，横坐标为1m -．其中0m <．18(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；(2)当点B 在x 轴上时，求点A 的坐标；(3)该抛物线与x 轴的左交点为P 的纵坐标之差为2m -时，求m 的值．(4)当点B 在x 轴上方时，过点B 作交点（不包括四边形AOBC 的顶点）E 、O 、D （或以点C 、F 、O 有满足条件的m 的值．30．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线123y x =-+交抛物线于,B C 两点（点(1)求点,,D E C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点()OF EF <，连接,AF DF ①求证：DFC △是直角三角形；②DFC ∠的平分线FK 交线段DC 于点,K P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan 1PFK ∠=时，求点P 的坐标．。
二次函数压轴之定值、定点问题1．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点M，过M点的直线l与射线AB，AC分别于E，F，已知当直线l绕点M旋转时，11AF AE为定值，请直接写出该定值．2．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+nx+4过点A（﹣4，0），与y轴交于点N，与x轴正半轴交于点B．直线l过定点A．（1）求抛物线解析式；（2）过点T（t，﹣1）的任意直线EF（不与y轴平行）与抛物线交于点E、F，直线BE、BF分别交y轴于点P、Q，是否存在t的值使得OP与OQ的积为定值？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．3.如图1，已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴的负半轴交于点C ．（1）求这个函数的解析式；（2）如图2，点T 是抛物线上一点，且点T 与点C 关于抛物线的对称轴对称，过点T 的直线TS 与抛物线有唯一的公共点，直线MN ∥TS 交抛物线于M ，N 两点，连AM 交y 轴正半轴于G ，连AN 交y 轴负半轴于H ，求OH ﹣OG4．如图1，已知抛物线的解析式为21362y x =--，直线y ＝kx ﹣4k 与x 轴交于M ，与抛物线相交于点A ，B （A 在B 的左侧）．（1）当k ＝1时，直接写出A ，B ，M 三点的横坐标：x A ＝，x B ＝，x M ＝；（2）作AP ⊥x 轴于P ，BQ ⊥x 轴于Q ，当k 变化时，MP •MQ 的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出其值；5．如图，在正方形OABC中，AB＝4，点E是线段OA（不含端点）边上一动点，作△ABE 的外接圆交AC于点D．抛物线y＝ax2﹣x+c过点O，E．（1）如图1，若抛物线恰好经过点B，求此时点D的坐标；（2）如图2，AC与BE交于点F．请问点E在运动的过程中，CF•AD是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由；6.已知顶点为A的抛物线y＝a（x﹣2）2（a≠0）交y轴于点B（0，2），且与直线l交于不同的两点M、N（M、N不与点A重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）若∠MAN＝90°，试说明：直线l必过定点；7.如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q（1，3）的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数的图象相交于M，N两点．证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形．8.已知，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，点P是抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当点P位于第二象限时，过P点作直线AP，BP分别交y轴于E，F两点，请问CECF的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．9.已知点P（0，﹣4）为平面直角坐标系内一点，直线l绕原点O旋转，交经过点（0，﹣2）的抛物线y＝14x2+c于M、N两点．（1）请求出该抛物线的解析式；（2）在直线l绕原点O旋转的过程中，请你研究一下（PM+MO）（PN﹣NO）是否定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．10.如图，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣12，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C,A（﹣2，0），B（0，2）；(1)求抛物线的解析式；(2)在（1）的条件下，设对称轴直线x＝﹣12与x轴交于M，点P为抛物线上对称轴左侧一点，直线PM交抛物线于另一点Q，点P关于抛物线对称轴对称点H，直线HQ交抛物线对称轴于G点，在点P运动过程中GM长是否为一定值，若为定值，请求出其值，若不为定值，请求出其变化范围．11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点D为（1，﹣1），且经过点B（3，3）．（1）求这个抛物线相应的函数表达式；（2）如图1，过点D且平行于x轴的直线l，与直线OB相交于点A，过点B作直线l 的垂线，垂足为C．若点Q是抛物线上BD之间的动点（不与B、D重合），连接DQ并延长交BC于点E．如图2，连接BQ并延长交CD于点F，在点Q运动的过程中，FC（AC+EC）的值是否发生变化？若不变求出该定值，若变化说明理由．12.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）与坐标轴分别交于点A（﹣3，0），B（1，0）和点C．（1）求出a与c的数量关系式；（2）如图，若抛物线y=-x2-2x+3与直线y＝（2k1﹣2）x交于E，F两点，与直线y＝（2k2﹣2）x交于M，N两点，且k1k2＝﹣1，点P，Q分别是EF、MN的中点，求证：直线PQ必定经过一个定点，并求出该定点坐标．13.已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过点（4，5）．（1）若a+b＝﹣3，求抛物线y＝ax2+bx+5的解析式；（2）在（1）的条件下，经过点A(2,54)的任意直线y＝mx+n（m≠0）与（1）中的抛物线交于B，C两点，那么11AB AC的值是定值吗？如果是定值，请求出这个定值，如果不是定值，请说明理由．14.如图1，抛物线C：y＝ax2+bx﹣3与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，OB＝OC，其对称轴为直线x＝1．（1）直接写出抛物线C的解析式；（2）如图2，将抛物线C平移得到抛物线C1，使C1的顶点在原点，过点P（t，﹣1）的两条直线PM，PN，它们与y轴不平行，都与抛物线C1只有一个公共点分别为点M和点N，求证：直线MN必过定点．参考答案1.解：(1)OB=OC,C(0,c)则B(-c,0)，代入抛物线解析式得c 2-bc+c=0，c-b+1=0，即当x=-1时，y =1-b+c=0，故抛物线过点(-1，0)，故A(-1，0)，B(3，0)，C(0,-3)抛物线的解析式为y =x 2-2x -3(2)过点M 作MG||x 轴交AC 于点G ，作FP||x 轴交AM 于点P ，作CQ||x 轴，易知∆COA~∆CMG ，∆ACQ~∆AGM ，GM CG OA AC =GM AG CQ AC =，GM GM CG AG 1OA CQ AC AC+=+=即得111OA CQ GM+=，而AM 平分∠BAC ，故AC=CQ ，故111OA AC GM +=；同时CG AC GM AE =，AF GM AC CQ=即可得111AE AF GM +=，OA=1，AC=10，故11101AE AF 10+=+2.解：(1)y =-x 2-3x +4(2)存在t 的值使得OP 与OQ 的积为定值,t=-4设E(m ,-m 2-3m+4)，F(n,-n 2-3n+4)，设BE 的解析式为y =k (x -1)，将E 点坐标代入得k =-m -4，同理k =-n -4,则OP=m+4，OQ=-n-4，故OP ∙OQ=(m+4)(-n-4)=-mn-4(m+n)-16，直线CE 的解析式为y =k 1(x-t )-1，与抛物线y =-x 2-3x +4联立得x 2+(k 1+3)x-k 1t -5=0，m+n=-k 1-3,mn =-k 1t -5,OP ∙OQ=k 1t+4k 1+1=4k 1(t+4)+1，当t=-4时，OP ∙OQ 为定值，故当t=-4时,OP ∙OQ=13.解：(1)y =x 2-2x-3(3)易知T(2，-3),设直线TS 的解析式为y=m(x-2)-3，与抛物线y =x 2-2x-3联立得x 2-(m +2)x +2m =0，有两个相等实根，m 2+4m+4-8m=0，故m=2，即TS 解析式为y =2x -7,设MN 的解析式为y =2x+h ,与抛物线联立得x 17+h ，x 27+h 故7+h ，7+h )，N(2-7+h 7+h )，直线AM 解析式为y 1=k 1x+b 1，得b 1737hh +++737hh +++，同理可得773hh ++-，OH-OG=24.解：6，6,4；(2)MP ∙MQ 的值不变.y =21362x -与y =kx -4k 联立得x 2+6kx +9-24k =0,x A +x B =6k ，x A ∙x B =9-24k ,M(4，0)，MP ∙MQ=(4-x P )(4-x Q )=16-4(x A +x B )+x A x B =16+24k+9-24k=255.解：(1)易得抛物线的解析式为y =12x 2-x ，圆的直径为BE ，故∠BDE=90°，且∠BED=∠BAD=45°，作MN ⟂OA 交BC 、OA 于点M 、N ，易知∆BDM ≅∆DEN ，设DM=NE=m ，则CM=ON=m ，而OE=2，故m=1，此时D(1，3)(2)不变，CF ∙AD=16，∠DBF=∠BAD=45°，故∆ADB~∆CBF ，故CF ∙AD=AB ∙CB=166.解：(1)y =12(x -2)2(2)设直线MN 的解析式为y=kx+b ，与抛物线联立得x 2-(4+2k )x +4-2b=0，x M +x N =4+2k,x M ∙x N =4-2b ，作ME 、NF 垂直于x 轴，易知∆AME~∆NAF ，AE ME NF AF =，即有AE ∙AF=ME ∙NF ，ME=kx 1+b ，NF=kx 2+b ，AE=2-x 1,AF=x 2-2，(2-x 1)(x 2-2)=(kx 1+b)(kx 2+b)，即有4+2(x 1+x 2)-x 1x 2=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2，整理得2k+b =0或2k +b -2=0,即当x =2时，y =2,所以直线l 必过定点(2,2)7.解：(1)y =-x 2+2x +3，P(1,4)(2)联立y=kx-k +3和抛物线y =-x 2+2x +3得x 2+(k-2)x-k=0,x 1+x 2=k-2,x 1x 2=-k,过点M 、N 作对称轴的垂线ME 、NF ，tan ∠PME=PE ME =221111114(23)(1)111x x x x x x --++-==---，同理tan ∠PFN=211x -，(1-x)(x2-1)=1，故tan ∠PME=tan ∠FPN,∠PME=∠FPN ，故∠MPN=90°，所以无论k 为何值，∆PMN 恒为直角三角形.8.解:(1)y =-x 2+2x +3(2)CE CF 的值为定值13，设P(t,-t 2+2t+3)，直线AP 的解析式为y =(3-t)x +3-t ，直线BP 的解析式为y =(-t-1)x +3t+3,故CE=-t ，CF=-3t ，故CE CF =139.(1)y =2124x -(2)(PM+MO)(PN-ON)为定值，设直线l 的解析式为y=kx ，与抛物线联立得x 2-4kx -8=0，设M(x 1，y 1)，N(x 2,y 2)则有x 1x 2=-8，，y 1=kx 1，故PM=|x 1OM=|x 1，同理PN=|x 2,ON=|x 2，故+|x 1)(|x 2-|x 2)=16，故(PM+MO)(PN-ON)为定值16.10.解：(1)y=-x 2-x +2(2)连接MH ，易知AMP=CMH ，设PQ 的解析式为y=kx+b 1，MH 的解析式为y=-kx+b 2,分别代入(-12，0)得b 1=12k ，b 2=12-k ，故PM 的解析式为y=kx+12k ，MH 的解析式为y=-kx-12k 与抛物线联立得x=(1)92k -+±,所以Q((1)92k -++,292k -±),同理可得H(192k -,292k --)，易知QH 的解析式为y=-x +992-当x=-12时，y=92，所以G(-12,92)，所以点P 运动过程中GM 长为定值9211.解：(1)y =x 2-2x(2)FC(AC+EC)为定值，设Q(m ,m 2-2m )，易得BF 的解析式为y=(m -1)x -3m ，故点F(311m m -+，-1)，D(1，-1)，DE 的解析式为y=(m-1)x-m ，E(3，2m-3)，FC=3-311m m -+=41m +，AC+EC=4+2m-3+1=2m+2，所以FC(AC+EC)=41m +(2m+2)=812.解：(1)c =-3a (2)联立y =-x 2-2x +3与y ＝(2k 1﹣2)x 得x 2+2k 1x -3=0所以x 1+x 2=-2k 1，y 1+y 2=-4k 12+4k 1，故P(-k 1，-2k 12+2k 1)，同理可得Q(-k 2，-2k 22+2k 2)，设直线PQ 的解析式为y=kx+b,将P 、Q 两点代入得y =(2k 1+2k 2-2)x -2,所以直线PQ 过定点(0,-2)13.解：(1)y=x 2-4x +5(3)将坐标系向右平移2个单位，向上平移1个单位，此时抛物线的解析式为y=x2，点A(0，14),设B(m,m 2),C(n,n 2)，则AB=m 2+14,AC=n 2+14，故11AB AC +=AB AC AB AC +⋅=22221211()()416m n mn m n +++++，同时BC 的解析式y=kx +14，与抛物线联立得x 2-kx -14=0，m+n=k,mn =-14，故11AB AC +=414.解：(1)y =x 2-2x -3(2)平移后的抛物线的解析式为y =x 2,设M(m,m 2),N(n,n 2)，直线PM 的解析式设为y=k 1(x-m)+m 2，PN 的解析式为y=k 2(x-n)+n 2，与抛物线联立得x2-k1x+k1m-m2=0，此时∆=0，即有k 1=2m ，PM 的解析式为y=2m(x-m)+m 2=2mx-m 2同理可得PN 的解析式为y=2n(x-n)+n 2=2nx-n 2，可得P(2m n +，mn ),mn =-1,MN 的解析式为y=(m+n)x +1,故MN 过定点(0，1)。
中考压轴题中的二次函数⑶一.解答题(共3()小题)1.(2015*雅安校级一模)己知：如图，抛物线y= - x'+bx+c与x轴，y轴分别相交于点A (-1, 0),B (0, 3)两点,其顶点为D.(1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE的面积；(3)AAOB与ABDE是否和似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.2.(2()15・余姚市模拟)如果抛物线©的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C］上，那么，我们称抛物线C|与C2关联.(1)已知抛物线①y=x2+2x - 1,判断下列抛物线②y=- X2+2X+1； ®y=x2+2x+l与已知抛物线①是否关联，并说明理由.(2)抛物线C】：y=| (x+1) —2,动点P的坐标为(t, 2),将抛物线绕点P (t, 2)旋转180。
得到抛物线C2，若抛物线Ci与C2关联，求抛物线C2的解析式.(3)A为抛物线Ci： y=g(x+l)2-2的顶点，B为与抛物线0关联的抛物线顶点，是否8存在以AB为斜边的等腰直角AABC,使其直角顶点C在y轴上？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由.3.(2015*临淄区校级模拟)设抛物线y=ax2+bx・2与x轴交于两个不同的点A (・1, 0)、B (m, 0),与y轴交于点C.且ZACB=90度.（1）求m的值；（2）求抛物线的解析式，并验证点D （1, -3）是否在抛物线上：（3）已知过点A的直线y=x+l交抛物线于另一点E.问：在x轴上是否存在点P,使以点P、B、D为顶点的三角形与AAEB相似？若存在，请求出所有符合耍求的点P的坐标；若4.（2015*营口模拟）如图，二次函数尸-丄,+bx+c的图象经过点A （4, 0）, B （・4,-4）,且与y轴交于点C.（1）试求此二次函数的解析式；（2）试证明：ZBAO=ZCAO（H屮O是原点）；（3）若P是线段AB±的一个动点（不与A、B重合），过P作y轴的平行线，分别交此二次函数图彖及x轴于Q、H两点，试问：是否存在这样的点P,便PH=2QH?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.5.（2（）15・杭州模拟）己知经过原点的抛物线y=・2X2+4X（如图所示）与x的另一交点为A 现将它向右平移m （m>0）位，所得抛物线与x轴交于C、D点，与原抛物线交于点P （1）求点P的坐标（可用含m式子表示）；(2)设APCD的面积为s,求s关于m关系式；(3)过点P作x轴的平行线交原抛物线于点E,交平移后的抛物线于点F.请问是否存在m,使以点E、0、A、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在,6.(2()15・温州模拟)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A (0, 4), B (4, 0), C (・1, 0)三点.过点A作垂直于y轴的直线1.在抛物线上有一动点P,过点P作直线PQ平行于y轴交直线1于点Q ・连接AP.(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；(2)是否存在点P,使得以A、P、Q三点构成的三角形与AAOC相似？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当点P位于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴的右狈9.若将AAPQ沿AP对折，点Q的对7.(2015*來凤县二模)如图1,在平面直角坐标系xOy屮，直线1： y=-|x+K与x轴、y轴分别交于点A和点B (0,・1),抛物线尸吉,+bx+c经过点B,且与直线1的另一个交点乙（2） 点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为t （0<t<4）.。
二次函数压轴题强化训练（带详细答案）一．解答题（共30小题）1．（2016•深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．2．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．3．（2007•玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2013•凉山州）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM 的形状；若不存在，请说明理由．5．（2009•綦江县）如图，已知抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连接BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？（3）若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．6．（2013•天水）如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m 的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．7．（2014•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2013•德州）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．9．（2013•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．10．（2013•重庆）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．11．（2013•徐州）如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．（1）请直接写出点D的坐标：；（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED 与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．12．（2013•泰安）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．13．（2014•广元）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．14．（2014•成都）如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A 出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？15．（2014•南宁）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D 的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．16．（2013•防城港）如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C的坐标；（2）判断△CDB的形状并说明理由；（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．17．（2014•重庆）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2DQ，求点F的坐标．18．（2014•钦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．19．（2014•昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A （﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．20．（2013•恩施州）如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB 沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（2013•毕节地区）如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）．（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2014•德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．23．（2014•吉林）如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l 表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．24．（2013•武汉）如图，点P是直线l：y=﹣2x﹣2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A、B两点．（1）若直线m的解析式为y=﹣x+，求A，B两点的坐标；（2）①若点P的坐标为（﹣2，t）．当PA=AB时，请直接写出点A的坐标；②试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上能找到点A，使得PA=AB成立．（3）设直线l交y轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．25．（2013•遂宁）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC 是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．26．（2013•舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．（1）当m=2时，求点B的坐标；（2）求DE的长？（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？27．（2006•重庆）已知：m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=﹣x2+bx+c 的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．28．（2015•阜新）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S BOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．29．（2014•白银）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．（1）求点M、A、B坐标；（2）连接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．30．（2014•宿迁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．二次函数压轴题强化答案一．解答题（共30小题）1．（2016•深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；开放型．【分析】（1）点A的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A的坐标为（8，0）；点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（0，6）；由题意得：BC是∠ABO的角平分线，所以OC=CH，BH=OB=6∵AB=10，∴AH=4，设OC=x，则AC=8﹣x由勾股定理得：x=3∴点C的坐标为（3，0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；（3）如图，由对称性可知QO=QH，|QA﹣QO|=|QA﹣QH|．当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线，|QA﹣QO|取得最大值4（即为AH的长）；设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点Q与点K重合时，|QA﹣QO|取得最小值0．【解答】解：（1）点C的坐标为（3，0）．（1分）∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8）．将x=0，y=6代入抛物线的解析式，得．（2分）∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为．（3分）（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．直线BC的解析式为y=﹣2x+6.4分）设点P的坐标为（x，﹣2x+6）．解法一：如图，作OP∥AD交直线BC于点P，连接AP，作PM⊥x轴于点M．∵OP∥AD，∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，即．解得．经检验是原方程的解．此时点P的坐标为．（5分）但此时，OM＜GA．∵，∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，∴直线BC上不存在符合条件的点P（6分）解法二：如图，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于点N．则∠PEO=∠DEA，PE=DE．可得△PEN≌△DEG．由，可得E点的坐标为（4，0）．NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG=．∴点P的坐标为．（5分）∵x=时，，∴点P不在直线BC上．∴直线BC上不存在符合条件的点P．（6分）（3）|QA﹣QO|的取值范围是．（8分）（如点K处），此时OK=AK，则|QA﹣QO|=0，当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA﹣QO|最大，直线AH的解析式为：y=﹣x+6，直线BC的解析式为：y=﹣2x+6，联立可得：交点为（0，6），∴OQ=6，AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，∴|QA﹣QO|的取值范围是：0≤|QA﹣QO|≤4．【点评】此题考查了二次函数与一次函数以及平行四边形的综合知识，解题的关键是认真识图，注意数形结合思想的应用．2．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，∴m=4+2=6，∴B（4，6），∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n﹣）2+，∵PC＞0，∴当n=时，线段PC最大且为．（3）∵△PAC为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，∴M（3，0）．设直线AM的解析式为：y=kx+b，则：，解得，∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）∴C（3，0），即点C、M点重合．当x=3时，y=x+2=5，∴P1（3，5）；iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x=2．如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，则点C在抛物线上，且C（，）．当x=时，y=x+2=．∴P2（，）．∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．3．（2007•玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）因为直线y=x+m过点A，将A点坐标直接代入解析式即可求得m的值；设出二次函数的顶点式，将（3，4）代入即可；（2）由于P和E的横坐标相同，将P点横坐标代入直线和抛物线解析式，可得其纵坐标表达式，h即为二者之差；根据P、E在二者之间，所以可知x的取值范围是0＜x＜3；（3）先假设存在点P，根据四边形DCEP是平行四形的条件进行推理，若能求出P点坐标，则证明存在点P，否则P点不存在．【解答】解：（1）∵点A（3，4）在直线y=x+m上，∴4=3+m．∴m=1．设所求二次函数的关系式为y=a（x﹣1）2．∵点A（3，4）在二次函数y=a（x﹣1）2的图象上，∴4=a（3﹣1）2，∴a=1．∴所求二次函数的关系式为y=（x﹣1）2．即y=x2﹣2x+1．（2）设P、E两点的纵坐标分别为y P和y E．∴PE=h=y P﹣y E=（x+1）﹣（x2﹣2x+1）=﹣x2+3x．即h=﹣x2+3x（0＜x＜3）．（3）存在．解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC．∵点D在直线y=x+1上，∴点D的坐标为（1，2），∴﹣x2+3x=2．即x2﹣3x+2=0．解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE．设直线CE的函数关系式为y=x+b．∵直线CE经过点C（1，0），∴0=1+b，∴b=﹣1．∴直线CE的函数关系式为y=x﹣1．∴得x2﹣3x+2=0．解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．【点评】此题考查了用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，结合图形有利于解答；（3）是一道存在性问题，有一定的开放性，需要先假设点P存在，然后进行验证计算．4．（2013•凉山州）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM 的形状；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM 相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A（3，0），点C（0，4），∴，解得，∴直线AC的解析式为y=﹣x+4．∵点M的横坐标为m，点M在AC上，∴M点的坐标为（m，﹣m+4），∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=﹣x2+x+4上，∴点P的坐标为（m，﹣m2+m+4），∴PM=PE﹣ME=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+4m，即PM=﹣m2+4m（0＜m＜3）；（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m，EM=﹣m+4，CF=m，若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM 相似，情况：①P点在F上，PF=﹣m2+m+4﹣4=﹣m2+m．若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（﹣m2+m）：（3﹣m）=m：（﹣m+4），∵m≠0且m≠3，∴m=．∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，∴△PCM为直角三角形；②P点在F下，PF=4﹣（﹣m2+m+4）=m2﹣m若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（m2﹣m）：（3﹣m）=m：（﹣m+4），∵m≠0且m≠3，∴m=（不合题意舍去）．∵∠CFP=90°，∴∠CPM=∠CFP+FCM＞90°，∴△CPM为钝角三角形；③若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3﹣m）=（﹣m2+m）：（﹣m+4），∵m≠0且m≠3，∴m=1．∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM，∴△PCM为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．【点评】此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．5．（2009•綦江县）如图，已知抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连接BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？（3）若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）将A的坐标代入抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）可得a的值，即可得到抛物线的解析式；（2）易得D的坐标，过D作DN⊥OB于N；进而可得DN、AN、AD的长，根据平行四边形，直角梯形，等腰梯形的性质，用t将其中的关系表示出来，并求解可得答案；（3）根据（2）的结论，易得△OCB是等边三角形，可得BQ、PE关于t的关系式，将四边形的面积用t表示出来，进而分析可得最小值及此时t的值，进而可求得PQ的长．【解答】解：（1）∵抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），∴0=9a+3，∴a=﹣（1分）∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+x+；（3分）（2）①∵D为抛物线的顶点，∴D（1，3），过D作DN⊥OB于N，则DN=3，AN=3，∴AD==6，∴∠DAO=60°．（4分）∵OM∥AD，①当AD=OP时，四边形DAOP是平行四边形，∴OP=6，∴t=6（s）．（5分）②当DP⊥OM时，四边形DAOP是直角梯形，过O作OH⊥AD于H，AO=2，则AH=1（如果没求出∠DAO=60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA （求AH=1）∴OP=DH=5，t=5（s）（6分）③当PD=OA时，四边形DAOP是等腰梯形，易证：△AOH≌△DPP′，∴AH=CP，∴OP=AD﹣2AH=6﹣2=4，∴t=4（s）综上所述：当t=6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形；（7分）（3）由（2）及已知，∠COB=60°，OC=OB，△OCB是等边三角形则OB=OC=AD=6，OP=t，BQ=2t，∴OQ=6﹣2t（0＜t＜3）过P作PE⊥OQ于E，则PE=t（8分）∴S BCPQ=×6×3×（6﹣2t）×t=（t﹣）2+（9分）当t=时，四边形BCPQ的面积最小值为．（10分）∴此时OQ=3，OP=，OE=；。
1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C 坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若=，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．6．如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．7．抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．8．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．9．如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．（1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为；（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；（3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．10．如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．（1）当x=2时，求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C 的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．11．已知顶点为A抛物线经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．12．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．13．如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m（k＜0）与y2=ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．（1）直接写出这两个二次函数的表达式；（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标14．小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：（1）已知抛物线y=﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．（2）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：（3）已知抛物线y=ax2+2ax﹣b（a≠0）①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2﹣2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为y n，其顶点为A n…（n为正整数）．求A n A n+1的长（用含n的式子表示）．15．如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；=S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC16．如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．17．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B(3，0）两点，且与y 轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．18．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．19．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD 的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．21．如图1，抛物线y 1=ax 2﹣x +c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，），抛物线y 1的顶点为G ，GM ⊥x 轴于点M ．将抛物线y 1平移后得到顶点为B 且对称轴为直线l 的抛物线y 2．（1）求抛物线y 2的解析式；（2）如图2，在直线l 上是否存在点T ，使△TAC 是等腰三角形？若存在，请求出所有点T 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P 为抛物线y 1上一动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线y 2于点Q ，点Q 关于直线l 的对称点为R ，若以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，求直线PR 的解析式．22．如图，已知直线y=﹣2x +4分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，抛物线过A ，B 两点，点P 是线段AB 上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交抛物线于点D ．（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x 2+2x +4，设其顶点为M ，其对称轴交AB 于点N ．①求点M 、N 的坐标；②是否存在点P ，使四边形MNPD 为菱形？并说明理由；（2）当点P 的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B 、P 、D 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y=ax 2+bx 经过△OAB 的三个顶点，其中点A （1，），点B （3，﹣），O 为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P （4，m ），Q （t ，n ）为该抛物线上的两点，且n ＜m ，求t 的取值范围；（3）若C 为线段AB 上的一个动点，当点A ，点B 到直线OC 的距离之和最大时，求∠BOC 的大小及点C 的坐标．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．25．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x 与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F 的距离总是相等，求定点F的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C （0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．27．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．（1）求a，b的值．（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的范围．29．抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O2B2C 绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M30．综合与探究如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．31．如图，二次函数y=﹣+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b=，点B的坐标是；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．32A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．33．如图，已知二次函数y=ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．34．已知，点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由．（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．（1）求此抛物线的表达式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．36．已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．37．直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx﹣3m经过点A，交x 轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示．（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．PQ交线段AD于点E．①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．38．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．39．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．40．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B的坐标分别为A（﹣2，0），B（0，﹣6），将Rt △AOB绕点O按顺时针方向分别旋转90°，180°得到Rt△A1OC，Rt△EOF．抛物线C1经过点C，A，B；抛物线C2经过点C，E，F．（1）点C的坐标为，点E的坐标为；抛物线C1的解析式为．抛物线C2的解析式为；（2）如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线C1上的一个动点．①若∠PCA=∠ABO时，求P点的坐标；②如图2，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，交抛物线C2于点N，记h=PM+NM+BM，求h与x的函数关系式，当﹣5≤x≤﹣2时，求h的取值范围．41．如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．42．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出L的取值范围．43．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°．（1）求抛物线的解析式；（2）若MN与直线y=﹣2x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解决以下问题：①求证：BC平分∠MBN；②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．44．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF 的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．45．如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y 轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．46．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H 作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．47．如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．48．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．49．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM 面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．50．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析一．解答题（共50小题）1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C 坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB2=20，AC2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形．（3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求=S△ABN﹣S△BMN得MD=（n+2），然后根据S△AMN得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），∴，解得．∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形．令y=0，则﹣x2+x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），由已知可得，在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形．（3）∵A（0，4），C（8，0），∴AC==4，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．（4）如图，AB==2，BC=8﹣（﹣2）=10，AC==4，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°．∴AC⊥AB．∵AC∥MN，∴MN⊥AB．设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，∵MN∥AC，△BMN∽△BAC∴=，∴=，BM==，MN==，AM=AB﹣BM=2﹣=∵S△AMN=AM•MN=××=﹣（n﹣3）2+5，当n=3时，△AMN面积最大是5，∴N点坐标为（3，0）．∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【点评】本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．【分析】（1）根据点A、B、C三点的坐标作出△ABC，利用“闭距离”的定义即可得；（2）由题意知y=kx在﹣1≤x≤1范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过（1，﹣1）和（﹣1，﹣1）时k的值即可得；（3）分⊙T在△ABC的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得．【解答】解：（1）如图所示，点O到△ABC的距离的最小值为2，。
中考数学二次函数-经典压轴题及详细答案一、二次函数1．已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为D .（1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标；（2）点(,0)P t 是x 轴上的动点，①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标；②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2||23y a x a x =-+的图像只有一个公共点，求t 的取值范围.【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或332t ≤<或72t =. 【解析】【分析】（1）先利用对称轴公式x=2a 12a--=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；（2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；（3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t 的取值；②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x≥0）时有一个公共点时，求t 的值；③当线段PQ 过点（-3，0），即点P 与点（-3，0）重合时，线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x ＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t 的取值．【详解】解：（1）∵2a x 12a-=-=， ∴2y ax ax 3=-+的对称轴为x 1=.∵2y ax ax 3=-+人最大值为4，∴抛物线过点()1,4.得a 2a 34-+=，解得a 1=-.∴该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++.C 点坐标为()0,3，顶点D 的坐标为()1,4.（2）①∵PC PD CD -≤，∴当P,C,D 三点在一条直线上时，PC PD -取得最大值.连接DC 并延长交y 轴于点P ，PC PD CD -===∴PC PD -.易得直线CD 的方程为y x 3=+.把()P t,0代入，得t 3=-.∴此时对应的点P 的坐标为()3,0-.②2y a |x |2a x 3=-+的解析式可化为22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩ 设线段PQ 所在直线的方程为y kx b =+，将()P t,0，()Q 0,2t 的坐标代入，可得线段PQ 所在直线的方程为y 2x 2t =-+.（1）当线段PQ 过点()3,0-，即点P 与点()3,0-重合时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时t 3=-. ∴当t 3≤-时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. （2）当线段PQ 过点()0,3，即点Q 与点C 重合时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时3t 2=. 当线段PQ 过点()3,0，即点P 与点()3,0重合时，t 3=，此时线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像有两个公共点. 所以当3t 32≤<时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. （3）将y 2x 2t =-+带入()2y x 2x 3x 0=-++≥，并整理，得2x 4x 2t 30-+-=. ()Δ1642t 3288t =--=-.令288t 0-=，解得7t 2=. ∴当7t 2=时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.综上所述，t 的取值范围为t 3≤-或3t 32≤<或7t 2=. 【点睛】 本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．2．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且()6,0A -，与y 轴交于点C ．()1求抛物线的函数解析式；()2求ABC V 的面积；()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使APC V 的面积最大？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】()1 2134y x x =+-；()212；()27334APC x S =-V 当时，有最大值，点P 的坐标是153,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【解析】【分析】(1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC V 的面积计算拆分为APF CPF S S +V V 即可.【详解】()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++，∵函数图象顶点为()2,4M --，∴2(2)4y a x =+-，又∵函数图象经过点()6,0A -，∴20(62)4a =-+-解得14a =， ∴此函数的解析式为21(2)44y x =+-，即2134y x x =+-； ()2∵点C 是函数2134y x x =+-的图象与y 轴的交点， ∴点C 的坐标是()0,3-，又当0y =时，有21304y x x =+-=， 解得16x =-，22x =，∴点B 的坐标是()2,0， 则11831222ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=V ； ()3假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．设(),0E x ，则21,34P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∵直线AC 过点()6,0A -，()0,3C -，∴603k b b -+=⎧⎨-=⎩， 解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为132y x =--， ∴点F 的坐标为1,32F x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则221113332442PF x x x x x ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭， ∴1122APC APF CPF S S S PF AE PF OE =+=⋅+⋅V V V2221113393276(3)22424244PF OA x x x x x ⎛⎫=⋅=--⨯=--=-++ ⎪⎝⎭， ∴当3x =-时，APC S V 有最大值274， 此时点P 的坐标是153,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF 最大进行理解.3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=--+.（2）3210.（3）①2S m 4m 3=---.②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.【解析】【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可.【详解】解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-.∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+.（2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值.∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小.∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴2，10.∴△PBC 的周长最小是：3210.（3）①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），∴直线AD 的解析式为y=2x+6∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+）∴()22EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---. ∴()22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---.②()22S m 4m 3m 21=---=-++，∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.4．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x 元．求：（1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费p （元）关于x （元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？【答案】（1）y=60-10x ；（2）z=-110x 2+40x+12000；（3）w=-110x 2+42x+10800，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元．【解析】 试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；（2）已知每天定价增加为x 元，则每天要（200+x ）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量；（3）支出费用为20×（60﹣10x ），则利润w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10x ），利用配方法化简可求最大值．试题解析：解：（1）由题意得： y =60﹣10x （2）p =（200+x ）（60﹣10x ）=﹣2110x +40x +12000 （3）w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10x ） =﹣2110x +42x +10800 =﹣110（x ﹣210）2+15210 当x =210时，w 有最大值．此时，x +200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元．点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．5．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y 轴交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、 Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP 、DQ.①若点P 的横坐标为12-，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标； ②直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.【答案】（1）抛物线y=-x 2+2x+3；（2）①点D （ 31524，）；②△PQD 面积的最大值为8【解析】分析：（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）（I ）由点P 的横坐标可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+54），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+6x+72，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，进而可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．详解：（1）将A （-1，0）、B （3，0）代入y=ax 2+bx+3，得：309330a b a b -+⎧⎨++⎩＝＝，解得：12a b -⎧⎨⎩＝＝， ∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3．（2）（I ）当点P 的横坐标为-12时，点Q 的横坐标为72， ∴此时点P 的坐标为（-12，74），点Q 的坐标为（72，-94）． 设直线PQ 的表达式为y=mx+n ，将P（-12，74）、Q（72，-94）代入y=mx+n，得：17247924m nm n⎧-+⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩＝＝，解得：154mn-⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，∴直线PQ的表达式为y=-x+54．如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+54），∴DE=-x2+2x+3-（-x+54）=-x2+3x+74，∴S△DPQ=12DE•（x Q-x P）=-2x2+6x+72=-2（x-32）2+8．∵-2＜0，∴当x=32时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（32，154）．（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，∴点P的坐标为（t，-t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=-2（t+1）x+t2+4t+3．设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，∴S△DPQ=12DE•（x Q-x P）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．∵-2＜0，∴当x=t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x 2+6x+72；（II ）利用三角形的面积公式找出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ．6．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。
中考二次函数专项训练1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t 的取值范围．3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若=，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．6．如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．7．抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．8．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx ﹣2m（m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．9．如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．（1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为；（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；（3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．10．如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．（1）当x=2时，求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．11．已知顶点为A抛物线经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN ∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．12．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．13．如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m（k＜0）与y2=ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．（1）直接写出这两个二次函数的表达式；（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标14．小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：（1）已知抛物线y=﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．（2）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：（3）已知抛物线y=ax2+2ax﹣b（a≠0）①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2﹣2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为y n，其顶点为A n…（n为正整数）．求A n A n+1的长（用含n的式子表示）．15．如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC =S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C 为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．17．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．18．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．19．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．21．如图1，抛物线y1=ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．22．如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B （3，﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．25．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M 到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．27．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．（1）求a，b的值．（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的范围．29．抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC 交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC 的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由．30．综合与探究如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE ∥AC交x轴于点E，交BC于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．31．如图，二次函数y=﹣+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b=，点B的坐标是；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．32．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C 作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．33．如图，已知二次函数y=ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y 轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．34．已知，点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由．（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．（1）求此抛物线的表达式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD 的面积；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．36．已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．37．直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx ﹣3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示．（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q 在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．38．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．39．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．40．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B的坐标分别为A（﹣2，0），B（0，﹣6），将Rt△AOB绕点O按顺时针方向分别旋转90°，180°得到Rt△A1OC，Rt△EOF．抛物线C1经过点C，A，B；抛物线C2经过点C，E，F．（1）点C的坐标为，点E的坐标为；抛物线C1的解析式为．抛物线C2的解析式为；（2）如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线C1上的一个动点．①若∠PCA=∠ABO时，求P点的坐标；②如图2，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，交抛物线C2于点N，记h=PM+NM+BM，求h与x的函数关系式，当﹣5≤x≤﹣2时，求h的取值范围．41．如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．42．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y 轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出L的取值范围．43．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°．（1）求抛物线的解析式；（2）若MN与直线y=﹣2x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解决以下问题：①求证：BC平分∠MBN；②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．44．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y 轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．45．如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．46．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．47．如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．48．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．49．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D （4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．50．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．一．解答题（共50小题）1．如图1，已知二次函数y=ax 2+x +c （a ≠0）的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0），连接AB 、AC ．（1）请直接写出二次函数y=ax 2+x +c 的表达式；（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N 的坐标；（4）如图2，若点N 在线段BC 上运动（不与点B 、C 重合），过点N 作NM ∥AC ，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求此时点N 的坐标．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据抛物线的解析式求得B 的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB 2=20，AC 2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC 是直角三角形． （3）分别以A 、C 两点为圆心，AC 长为半径画弧，与x 轴交于三个点，由AC 的垂直平分线与x 轴交于一个点，即可求得点N 的坐标；（4）设点N 的坐标为（n ，0），则BN=n +2，过M 点作MD ⊥x 轴于点D ，根据三角形相似对应边成比例求得MD=（n +2），然后根据S △AMN =S △ABN ﹣S △BMN 得出关于n 的二次函数，根据函数解析式求得即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax 2+x +c 的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0）， ∴，解得．∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形．令y=0，则﹣x2+x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），由已知可得，在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形．（3）∵A（0，4），C（8，0），∴AC==4，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．（4）如图，AB==2，BC=8﹣（﹣2）=10，AC==4，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°．∴AC⊥AB．∵AC∥MN，∴MN⊥AB．设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，∵MN∥AC，△BMN∽△BAC∴=，∴=，BM==，MN==，AM=AB﹣BM=2﹣==AM•MN∵S△AMN=××=﹣（n﹣3）2+5，当n=3时，△AMN面积最大是5，∴N点坐标为（3，0）．∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【点评】本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t 的取值范围．【分析】（1）根据点A、B、C三点的坐标作出△ABC，利用“闭距离”的定义即可得；（2）由题意知y=kx在﹣1≤x≤1范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过（1，﹣1）和（﹣1，﹣1）时k的值即可得；（3）分⊙T在△ABC的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得．【解答】解：（1）如图所示，点O到△ABC的距离的最小值为2，∴d（点O，△ABC）=2；（2）y=kx（k≠0）经过原点，在﹣1≤x≤1范围内，函数图象为线段，当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（1，﹣1）时，k=﹣1，此时d（G，△ABC）=1；当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（﹣1，﹣1）时，k=1，此时d（G，△ABC）=1；∴﹣1≤k≤1，∵k≠0，∴﹣1≤k≤1且k≠0；。
中考压轴题的中的二次函数(1)一．解答题（共30小题）1．（2016•贵阳模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C （2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．2．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．3．（2015•酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2015•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形（1）求该抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）求证：CE=EF；（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2=（+1）2]．5．（2015•龙岩）如图，已知点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q．（1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；（2）证明∠ACO=∠OBC；（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2015•甘南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2﹣x1|=5．（1）求b，c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．7．（2015•镇江）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（0，3），且当x=1时，y有最小值2．（1）求a，b，c的值；（2）设二次函数y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）（k为实数），它的图象的顶点为D．①当k=1时，求二次函数y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的图象与x轴的交点坐标；②请在二次函数y=ax2+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的图象上各找出一个点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，直接写出点M，N的坐标（点M在点N的上方）；③过点M的一次函数y=﹣x+t的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于另一点P，当k为何值时，点D在∠NMP的平分线上？④当k取﹣2，﹣1，0，1，2时，通过计算，得到对应的抛物线y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的顶点分别为（﹣1，﹣6，），（0，﹣5），（1，﹣2），（2，3），（3，10），请问：顶点的横、纵坐标是变量吗？纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？8．（2015•绵阳）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2015•南宁）在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y=ax2（a＞0）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限，（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积．（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A、B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若直线y=﹣2x﹣2分别交直线AB，y轴于点P、C，直线AB交y 轴于点D，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．10．（2015•辽阳）如图1，平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与抛物线y=ax2+x+c相交于A，B两点，其中点A在x轴上，点B在y轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上存在一点M，使△MAB是以AB为直角边的直角三角形，求点M的坐标；（3）如图2，点E为线段AB上一点，BE=2，以BE为腰作等腰Rt△BDE，使它与△AOB 在直线AB的同侧，∠BED=90°，△BDE沿着BA方向以每秒一个单位的速度运动，当点B 与A重合时停止运动，设运动时间为t秒，△BDE与△AOB重叠部分的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．11．（2015•鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2015•湘西州）如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．13．（2015•葫芦岛）如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．14．（2015•曲靖）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B（0，﹣2），A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y=ax2+c与x轴交于C、D两点，且CD=4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．（1）求抛物线的解析式；（2）若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE=2，求点P的坐标；（3）判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．15．（2015•湘潭）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q 以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ 的中点恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．16．（2015•营口）如图1，一条抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，且当x=﹣1和x=3时，y的值相等，直线y=x﹣与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M．（1）求这条抛物线的表达式．（2）动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t秒．①若使△BPQ为直角三角形，请求出所有符合条件的t值；②求t为何值时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是多少？（3）如图2，当动点P运动到OB的中点时，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D，连接OD，OM，MD得△ODM，将△OPD沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m＜2），将平移后的三角形与△ODM重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．17．（2015•潜江）已知抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）三点，其对称轴交x轴于点H，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点C，与抛物线交于另一点D（点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当S△EOC=S△EAB时，求一次函数的解析式；（3）如图2，设∠CEH=α，∠EAH=β，当α＞β时，直接写出k的取值范围．18．（2015•锦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），且与y轴交于点C，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点，连接CA，CD，PD，PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDB的面积等于△CAD的面积时，求点P的坐标；（3）当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x 轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值．19．（2015•大庆）已知二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，与x轴正半轴的交点为A，且tan∠ACO=（1）求二次函数的解析式；（2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐标；（3）是否存在实数x1、x2（x1＜x2），当x1≤x≤x2时，y的取值范围为≤y≤？若存在，直接写在x1，x2的值；若不存在，说明理由．20．（2015•达州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=x2+bx+c的图象抛物线经过A，C两点．（1）求该二次函数的表达式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．（2015•深圳）如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．22．（2015•海南）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H（3，0），AD 平行GC交y轴于点D．（1）求该二次函数的表达式；（2）求证：四边形ACHD是正方形；（3）如图2，点M（t，p）是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内，过点M 的直线y=kx交二次函数的图象于另一点N．①若四边形ADCM的面积为S，请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围；②若△CMN的面积等于，请求出此时①中S的值．23．（2015•郴州）如图，已知抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6）．（1）求抛物线的表达式；（2）证明：四边形AOBC的两条对角线互相垂直；（3）在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的▱DEFG？（顶点D，E，F，G分别在线段AO，OB，BC，CA上，且不与四边形AOBC的顶点重合）若能，求出▱DEFG的最大面积，并求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．24．（2015•随州）如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）与x轴交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，M为抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）设动点N（﹣2，n），求使MN+BN的值最小时n的值；（3）P是抛物线上一点，请你探究：是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形与△ABD 相似（△PAB与△ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．25．（2015•遵义）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；（3）以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．26．（2015•内江）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣＜t＜2），求△ABN的面积S与t的函数关系式；（3）若﹣＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB，求点N的坐标．27．（2015•安顺）如图，抛物线y=ax2+bx+与直线AB交于点A（﹣1，0），B（4，），点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD．（1）求抛物线的解析式；（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S 取最大值时的点C的坐标．28．（2015•抚顺）已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（﹣6，0），B点坐标为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，将△BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是否存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．29．（2015•昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x=．（1）求抛物线的解析式；（2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．30．（2015•泉州）阅读理解抛物线y=x2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．问题解决如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y=x2的图象交于A，B两点，分别过A，B两点作直线y=﹣1的垂线，交于E，F两点．（1）写出点C的坐标，并说明∠ECF=90°；（2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点．①求证：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；②已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试求CP的取值范围．中考压轴题的中的二次函数(1)参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016•贵阳模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C （2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．，y=，×（﹣+×xx．2+2）或（﹣，2．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．，，解得）n=最大且为．（，ON=．，∴OM=ON+MN=+，解得x=（，，）时，y=x+2=．（），）均在线段）或（，）3．（2015•酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．，t+4a=（x x+4=（，））代入得x，×﹣，，，t+4x+4﹣，﹣t+4﹣（t﹣﹣AM NG AD×（﹣），t=时，面积的最大值为，t=t t+4=，﹣4．（2015•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形（1）求该抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）求证：CE=EF；（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2=（+1）2]．a=（x．OQ=2+2（（=OQ，y=x，2y=4+2，）=4+4，=2，OC=4+25．（2015•龙岩）如图，已知点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q．（1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；（2）证明∠ACO=∠OBC；（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．ACO==CBO=，即可得出∠，t t+4y=，=3，x x+4ACO==CBO=，x+4，（，x+4+4=，，4+2﹣211+）（，x+4•+4=，4+2（，x+4•+4==4+224+2，），11+4+2﹣5+4+2﹣23+6．（2015•甘南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2﹣x1|=5．（1）求b，c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．x是方程﹣x=bb±b=﹣﹣﹣（），∴抛物线的顶点（﹣，）即为所求的点x x××7．（2015•镇江）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（0，3），且当x=1时，y有最小值2．（1）求a，b，c的值；（2）设二次函数y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）（k为实数），它的图象的顶点为D．①当k=1时，求二次函数y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的图象与x轴的交点坐标；②请在二次函数y=ax2+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的图象上各找出一个点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，直接写出点M，N的坐标（点M在点N的上方）；③过点M的一次函数y=﹣x+t的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于另一点P，当k为何值时，点D在∠NMP的平分线上？④当k取﹣2，﹣1，0，1，2时，通过计算，得到对应的抛物线y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的顶点分别为（﹣1，﹣6，），（0，﹣5），（1，﹣2），（2，3），（3，10），请问：顶点的横、纵坐标是变量吗？纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？﹣±，x+t t=，﹣，则=±，3+8．（2015•绵阳）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．）由题意得，，整理得＞﹣＞﹣，解得，联立得，，，﹣）（﹣，﹣）得，﹣=a a+a a=），﹣，|AC|=|AC|•；，﹣（﹣，得，=a a+a a=（﹣，，﹣），﹣得，﹣=a a+a，，﹣，）和（，﹣9．（2015•南宁）在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y=ax2（a＞0）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限，（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积．（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A、B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若直线y=﹣2x﹣2分别交直线AB，y轴于点P、C，直线AB交y 轴于点D，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．AB=1，即可得到结论；AB=1•，即，联立，时，﹣，（﹣，10．（2015•辽阳）如图1，平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与抛物线y=ax2+x+c相交于A，B两点，其中点A在x轴上，点B在y轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上存在一点M，使△MAB是以AB为直角边的直角三角形，求点M的坐标；（3）如图2，点E为线段AB上一点，BE=2，以BE为腰作等腰Rt△BDE，使它与△AOB 在直线AB的同侧，∠BED=90°，△BDE沿着BA方向以每秒一个单位的速度运动，当点B 与A重合时停止运动，设运动时间为t秒，△BDE与△AOB重叠部分的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．时；当≤x+3x+3x+c中，得：，，x x+3x x+3==x=时，y=，）或时，，（﹣，﹣），）或（﹣，﹣，∴﹣=时，≤t t+t﹣t+．11．（2015•鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．x+2PQ=m×当﹣x2m m+2PQ=2m+2m+2×CAO=在BCO=n2MN=+AN，即+（n n12．（2015•湘西州）如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．QA=，然后由抛物线的解析式求得点，解得QA=，即：，即：t=t=时，．MB==时，，整理得：时，，解得t=．t=时，以13．（2015•葫芦岛）如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．x+3x+c ，﹣+，﹣x+3x+c﹣x+3，，﹣x+3﹣+﹣（﹣x x×x xx（﹣）AM=，﹣x+3，﹣x+3或，﹣﹣）AM=，﹣x+3，﹣x+3或）﹣）AM=，﹣x+3，﹣x+3，））））14．（2015•曲靖）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B（0，﹣2），A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y=ax2+c与x轴交于C、D两点，且CD=4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．（1）求抛物线的解析式；（2）若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE=2，求点P的坐标；（3）判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．）代入抛物线的解析式得：，=．，，，2OP=+115．（2015•湘潭）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q 以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ 的中点恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．．，．BQ=××。
