高考江苏省年高考数学考前专练习题精华6

高中数学专题复习《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、填空题1．在矩阵b0 1a⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下，将直线651x y-=变成21x y+=，则a b+=（ 0 ）2．矩阵1214A⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的特征值是____________评卷人得分二、解答题3．已知矩阵1012,0206A B-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,求矩阵BA1-.（汇编年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））B. [选修4-2:矩阵与变换]本小题满分10分.4．已知矩阵2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A，4131-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B，求满足=AX B的二阶矩阵X．5．已知二阶矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，属于特征值3的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A ．16．给定矩阵⎢⎣⎡=32A ⎥⎦⎤01，.22⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B （1）求A 的特征值21,λλ及对应的特征向量21,αα；（2）求.4B A7．求矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值及对应的特征向量．8．已知矩阵2112,.0112-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A B (Ⅰ)计算AB ；(Ⅱ) 若矩阵B 把直线l ：x y ++2=0变为直线l '，求直线l '的方程．2．（矩阵与变换选做题）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．A ．解析：设直线上任一点经变换后，变为，则，又P ′在直线上，∴，从而即与是同一条直线∴，从而．解析：A ．解析：设直线651x y -=上任一点(,)P x y 经变换后，变为00(,)P x y '，则0000b ,0 1 y x x ax by a x ax by y y y y =++⎡⎤⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤==∴⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩，又P ′在直线21x y +=上， ∴0021x y +=，从而2()1ax by y ++=即2(21)1ax b y ++=与651x y -=是同一条直线∴26215a b =⎧⎨+=-⎩，从而3,03a a b b =⎧∴+=⎨=-⎩． 2．2或 3 评卷人得分 二、解答题3．B 解:设矩阵A 的逆矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2001 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001 ,即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--d c b a 22 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001 ,故a=-1,b=0,c=0,d=21∴矩阵A 的逆矩阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅-=-210011 A , ∴B A 1-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅-21001 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6021 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅--30214．解：由题意得1312221-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A ，…………………………………………………5分=AX B ，1319411222312151-⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦-⎣⎦⎣⎦X A B …………………………10分 5．6．7．解：特征多项式2221()(2)14312f λλλλλλ--==--=-+--………………………………3分 由()0f λ=，解得121,3λλ==……6分 将11λ=代入特征方程组，得0,0--=⎧⎨--=⎩x y x y 0⇒+=x y ,可取11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦为属于特征值λ1=1的一个特征向量…………………8分 同理,当23λ=时,由0,00x y x y x y -=⎧⇒-=⎨-+=⎩,所以可取11⎡⎤⎢⎥⎣⎦为属于特征值23λ=的一个特征向量．综上所述,矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个特征值1213λλ==，；属于11λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 属于23λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦……………………………………10分 8． (Ⅰ)AB = 2314-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦； ………………………………3分 (Ⅱ) 任取直线l 上一点P （x ，y ）经矩阵B 变换后为点(),P x y '''， ……………4分则12201x x x y y y y '--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………6分 2,,x x y y y '=-⎧∴⎨'=⎩∴2,.x x y y y ''=+⎧⎨'=⎩ ……………………………8分 代入x y ++2=0得：220,x y y '''+++=∴320,x y ''++=∴直线l'的方程为320++=．………………………………10分x y。

2010－2011学年度第一学期江苏省南通市六所省重点高中联考试卷 数 学 Ⅰ试 题 2011.13、方程 x 2m + y 24－m = 1 的曲线是焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是 ▲答案：0<m9、已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的中心为O ，右焦点为F 、右顶点为A ，右准线与x 轴的交点为H ，则||||FA OH 的最大值为 ▲ 13、设M 1(0，0)，M 2(1，0)，以M 1为圆心，| M 1 M 2 | 为半径作圆交x 轴于点M 3 (不同于M 2)，记作⊙M 1；以M 2为圆心，| M 2 M 3 | 为半径作圆交x 轴于点M 4 (不同于M 3)，记作⊙M 2；……； 以M n 为圆心，| M n M n +1 | 为半径作圆交x 轴于点M n +2 (不同于M n +1)，记作⊙M n ；…… 当n ∈N *时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙M n 交于A n ，B n ．考察下列论断： 当n ＝1时，| A 1B 1 |＝2；当n ＝2时，| A 2B 2 |＝ 当n ＝3时，| A 3B 3 |＝3当n ＝4时，| A 4B 4 |＝3……由以上论断推测一个一般的结论：对于n ∈N *，| A n B n |＝ ▲17、（本题满分15分）已知圆:C 22(2)4x y ++=，相互垂直的两条直线1l 、2l 都过点(,0)A a . （Ⅰ）当2a =时，若圆心为(1,)M m 的圆和圆C 外切且与直线1l 、2l 都相切，求圆M 的方程； （Ⅱ）当1a =-时，求1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值，并求此时直线1l 的方程. 解：（Ⅰ）设圆M 的半径为r ，易知圆心),1(m M 到点)0,2(A 的距离为r 2，∴⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+-222222)2()21(2)21(r m r m ……………………………………………………………4分 解得2=r 且7±=m ∴圆M 的方程为4)7()1(22=±+-y x …………………7分（Ⅱ）当1-=a 时，设圆C 的圆心为C ，1l 、2l 被圆C 所截得弦的中点分别为F E ,，弦长分别为21,d d ，因为四边形AECF 是矩形，所以1222==+AC CF CE ,即124242221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-d d ，化简得 …………………………10分 从而1422222121=+⋅≤+d d d d ，等号成立1421==⇔d d ，1421==∴d d 时，142)(max 21=+∴d d ，即1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值为142 …………………………………13分 此时141=d ，显然直线1l 的斜率存在，设直线1l 的方程为：)1(+=x k y ，则 22)214(41-=+k k ，1±=∴k ， ∴直线1l 的方程为：01=+-y x 或01=++y x …………………………15分江苏省2010高考数学模拟题(压题卷)8．已知F 1、F 2分别是椭圆12222=+by a x ，)0(>>b a 的左、右焦点，以原点O 为圆心，OF 1为半径的圆与椭圆在y 轴左侧交于A 、B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率等于13-．三、解析几何题1．已知过点(1,0)A -的动直线l 与圆22:(3)4C x y +-=相交于,P Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线:360m x y ++=相交于N ．(1)求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ; (2)当23PQ =时，求直线l 的方程;(3)探索AM AN •u u u u r u u u r是否与直线l 的倾斜角有关?若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．解：(1)l Q 与m 垂直，且11,3,3m k k =-∴=故直线l 方程为3(1),y x =+即330.x y -+=Q 圆心坐标（0，3）满足直线l 方程， ∴当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ．(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知1x =-符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为(1),y k x =+即0kx y k -+=，23,431PQ CM =∴=-=Q ，则由2311k CM k -+==+，得43k =， ∴直线:4340.l x y -+=故直线l 的方程为1x =-或4340.x y -+=(3),().CM MN AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC AN ⊥∴⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u rQ ①当l 与x 轴垂直时，易得5(1,),3N -- 则5(0,),3AN =-u u u r 又(1,3)AC =u u u r ，5AM AN AC AN ∴⋅=⋅=-u u u u r u u u r u u u r u u u r．②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1),y k x =+则由(1),360,y k x x y =+⎧⎨++=⎩得365(,),1313k k N k k ---++ 则55(,).1313kAN k k --=++u u u r515 5.1313k AM AN AC AN k k--∴⋅=⋅=+=-++u u u u r u u u r u u u r u u u r综上所述，AM AN ⋅u u u u r u u u r 与直线l 的斜率无关，且5AM AN ⋅=-u u u u r u u u r．2．已知A 、B 是椭圆2214x y +=的左、右顶点，直线(22)x t t =-<<交椭圆于M 、N 两点，经过A 、M 、N 的圆的圆心为1C ，经过B 、M 、N 的圆的圆心为2C ． (1)求证12C C 为定值；(2)求圆1C 与圆2C 的面积之和的取值范围． 解：(1)由题设A （-2，0），B （2，0），由2214x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，解出22(,1),(,1)44t t M t N t ---． 设1122(,0),(,0)C x C x ，由22112()14t x t x +=-+-解出13(2)8t x -=．同理，2222()14t x x t -=-+-解出23(2)8t x += ，122132C C x x =-=(定值)． (2)两圆半径分别为131028t x ++=及210328tx --=， 两圆面积和222(310)(103)(9100)6432S t t t ππ⎡⎤=++-=+⎣⎦，所以S 的取值范围是257,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．3．已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0),F 动圆过点2F ，且与圆1F 相内切． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若过原点的直线l 与（1）中的曲线C 交于A ，B 两点，且1ABF ∆的面积为3， 求直线l 的方程． 解：(1)设圆M 的半径为r ，因为圆M 与圆1F 内切，所以2MF r =， 所以124MF MF =-，即124MF MF +=． 所以点M 的轨迹C 是以12,F F 为焦点的椭圆，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，其中24,1a c ==，所以2,3a b ==．所以曲线C 的方程22143x y +=． (2)因为直线l 过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，112ABF AOF S S ∆∆=． 因为13ABF S ∆=，所以13AOF S ∆=．不妨设点11(,)A x y 在x 轴上方，则111132AOF S OF y ∆=⋅⋅=，所以113,3y x ==±， 即：A 点的坐标为3(3,)2或3(3,)2-， 所以直线l 的斜率为12±，故所求直线方程为20x y ±=．4．已知圆C 的圆心在抛物线22(0)x py p =>上运动，且圆C 过(0,)A p 点，若MN 为圆C 在x 轴上截得的弦. (1)求弦长MN ；(2)设12,AM l AN l ==，求1221l l l l +的取值范围． 解：(1)设00(,)C x y ，则圆C 的方程为：22220000()()()x x y y x y p -+-=+-．[来源:学科网]令0y =，并由2002x py =，得2220020x x x x p -+-=， 解得1020,,x x p x x p =-=+从而212MN x x p =-=， (2) 设MAN θ∠=， 因为21211sin 22MAN S l l OA MN p θ∆=⋅⋅=⋅=，所以2122sin p l l θ=，因为l 12+l 22-2 l 1 l 2cos θ=4p 2 ，所以l 12+l 22=)tan 11(4cos sin 44222θθθ+=+p p p . 所以22212122211214(1)sin tan 2(sin cos )22sin(45)2p l l l l l l l l pθθθθθ+++===+=+︒． 因为0090θ<≤，所以当且仅当45θ=︒时，原式有最大值22，当且仅当90θ=︒时，原式有最小值为2，从而1221l l l l +的取值范围为[2,22]． 2011届江苏省苏州市迎二模六校联考数学试题5.若双曲线经过点(3,2)，且渐近线方程是y=±13x ，则这条双曲线的方程是答案：2219x y -= 10.若点P 是曲线y=x 2-ln x 上的任意一点，则点P 到直线y=x-2的最小距离为 答案： 212. 若过点A (a ,a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3=0的两条切线，则实数a 的取值范围是答案：3312a a <-<<或 18．(本小题满分16分)已知圆C 通过不同的三点P (m ,0)、Q (2,0)、R (0,1),且圆C 在点P 处的切线的斜率为1.（1）试求圆C 的方程；（2）若点A 、B 是圆C 上不同的两点，且满足→CP •→CA=→CP •→CB ，①试求直线AB 的斜率；②②若原点O 在以AB 为直径的圆的内部，试求直线AB 在y 轴上的截距的范围。

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是()A．120B．168C．204D．2162.不等式|x+log2x|<|x|+|log2x|的解集为()A．(0,1)B．(1,+∞)C．(0,+∞)D．(-∞,+∞)3.已知α、β以及α+β均为锐角，x=sin(α+β),y=sinα+sinβ,z=cosα+cos β,那么x、y、z 的大小关系是()A．x<y<zB．y<x<zC．x<z<yD．y<z<x4.过曲线xy=a2(a≠0)上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积是()A．a2B．C．2a2D．不确定5.已知圆22:4C xy +=，直线:l y kx m =+，若当k 的值发生变化时，直线被圆C 所截的弦长的最小值为2，则m 的取值为()A．2±B．C．D．3±6．数列{}n a 是递增的整数数列，且13a ，123100n a a a a +++⋯+=，则n 的最大值为()A．9B．10C．11D．127.已知集合A ={}1,3,B ={}2,3,则A B 等于（）A.∅B.{}1,2,3 C.{}1,2 D.{}38.已知集合A,B,则“A B ⊆”是“A B =”的（）22aA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9..不等式23x +>的解集是（）A.()(),51,-∞-+∞B.()5,1-C.()(),15,-∞-+∞ D.()1,5-10.若奇函数()y f x =在()0,+∞上的图像如图所示,则该函数在(),0-∞上的图像可能是（）10图11.已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，且在（-∞，]0上是减函数，若)2()(f a f ≥，则实数a 的取值范围是（）A．a≤2B．a≤-2或a≥2C．a≥-2D．-2≤a≤212.如图，E、F 分别是三棱锥P-ABC 的棱AP、BC 的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB 与PC 所成的角为（）A．60°B．45°C．0°D．120°二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1.“面积相等的三角形全等”的否命题是______命题（填“真”或者“假”）2.已知βαβαββα+=++⋅+=则为锐角且,,,0tan )tan (tan 3)1(3tan m m 的值为_____3.某乡镇现有人口1万，经长期贯彻国家计划生育政策，目前每年出生人数与死亡人数分别为年初人口的0.8%和1.2%，则经过2年后，该镇人口数应为_____万.（结果精确到0.01）4.“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的正整数（如34689）.则五位“渐升数”共有____个，若把这些数按从小到大的顺序排列，则第100个数为______.三、大题：(满分70分)1.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数）．以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．2.已知a，b，c 为正数，且满足abc=1．证明：（1）222111a b c a b c ++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．3.如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.4.知实数x ，y 满足04=-+y x ，求22)1()1(-+-y x 的最小值．5.直线x y 2=是ABC ∆中C ∠的平分线所在的直线，且A ，B 的坐标分别为)2,4(-A ，)1,3(B ，求顶点C 的坐标并判断ABC ∆的形状．6.两条直线m y x m l 352)3(1-=++：，16)5(42=++y m x l ：，求分别满足下列条件的m 的值．(1)1l 与2l 相交；(2)1l 与2l 平行；(3)1l 与2l 重合；(4)1l 与2l 垂直；(5)1l 与2l 夹角为︒45．参考答案：一、选择题：1-5题答案:BAACC 6-10题答案:CBBAD 11-12题答案:BA 5.已知圆22:4C xy +=，直线:l y kx m =+，若当k 的值发生变化时，直线被圆C 所截的弦长的最小值为2，则m 的取值为()A．2±B．C．D．3±5.【解答】解：圆22:4C x y +=，直线:l y kx m =+，直线被圆C 所截的弦长的最小值为2，设弦长为a ，则圆心C 到直线l 的距离d ==，当弦长取得最小值2时，则d =，又d =，因为20k ，1，故d 的最大值为||m =m =C ．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，主要考查了直线被圆所截得的弦长问题，点到直线距离公式的运用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．6．数列{}n a 是递增的整数数列，且13a ，123100n a a a a +++⋯+=，则n 的最大值为()A．9B．10C．11D．126.【解答】解： 数列{}n a 是递增的整数数列，n ∴要取最大，递增幅度尽可能为小的整数，假设递增的幅度为1，13a = ，2n a n ∴=+，则2(32)522n n n n n S +++==，当10n =时，1012a =，1075S =，10101002512S a -=>= ，即n 可继续增大，10n =非最大值，当12n =时，1214a =，12102S =，121001001020S -=-< ，不满足题意，即11n =为最大值．故选：C ．【点评】本题考查了数列的知识，具有一定的探索性，需要找到研究的临界问题，属于中档题．7.已知集合A ={}1,3,B ={}2,3,则A B 等于（）A.∅B.{}1,2,3 C.{}1,2 D.{}37.【答案】B【解析】因为A ={}1,3,B ={}2,3,所以A B {}1,2,3=.8.已知集合A,B,则“A B ⊆”是“A B =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.【答案】B 【解析】A B A B =⇒⊆ ，又A B A B A B ⊆⇒=或Ø,∴“A B ⊆”是“A B =”的必要不充分条件.9..不等式23x +>的解集是（）A.()(),51,-∞-+∞B.()5,1-C.()(),15,-∞-+∞ D.()1,5-9.【答案】A【解析】23123235x x x x x +>>⎧⎧+>⇒⇒⎨⎨+<-<-⎩⎩,即不等式的解集为()(),51,-∞-+∞ .10.若奇函数()y f x =在()0,+∞上的图像如图所示,则该函数在(),0-∞上的图像可能是（）10图10.【答案】D【解析】因为已知是奇函数,根据奇函数的性质是关于原点对称,根据选项只能选D.二、填空题：1、真2、33、0.994、126,24789三、大题：1.解：（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-.l的直角坐标方程为2110x +=.（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）.C 上的点到lπ4cos 113α⎛⎫-+ ⎪=当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l.2.解：（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++≥++==++.所以222111a b c a b c ++≤++.（2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c ac 3≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥.3．解：（1）由已知得，11B C ⊥平面11ABB A ，BE ⊂平面11ABB A ，故11B C ⊥BE ．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．（2）由（1）知190BEB ∠=︒．由题设知11Rt Rt ABE A B E ≅△△，所以45AEB ∠=︒，故AE AB =，12AA AB =．以D 为坐标原点，DA的方向为x 轴正方向，||DA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则C （0，1，0），B （1，1，0），1C （0，1，2），E （1，0，1），(1,1,1)CE =-，1(0,0,2)CC = ．设平面EBC 的法向量为n=（x，y，x），则0,0,CB CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即0,0,x x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取n=(0,1,1)--.设平面1ECC 的法向量为m=（x，y，z），则10,0,CC CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m m 即20,0.z x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取m=（1，1，0）．于是1cos ,||||2⋅<>==-n m n m n m ．所以，二面角1B EC C --的正弦值为2．4.知实数x ，y 满足04=-+y x ，求22)1()1(-+-y x 的最小值．分析：本题可使用减少变量法和数形结合法两种方法：22)1()1(-+-y x 可看成点),(y x 与)1,1(之间的距离．解：(法1)由04=-+y x 得x y -=4(R x ∈)，则2222)14()1()1()1(--+-=-+-x x y x 961222+-++-=x x x x 10822+-=x x 2)2(22+-=x ，∴22)1()1(-+-y x 的最小值是2.(法2)∵实数x ，y 满足04=-+y x ，∴点),(y x P 在直线04=-+y x 上．而22)1()1(-+-y x 可看成点),(y x P 与点)1,1(A之间的距离(如图所示)显然22)1()1(-+-y x 的最小值就是点)1,1(A 到直线04=-+y x 的距离：21141122=+-+=d ，∴22)1()1(-+-y x 的最小值为2．说明：利用几何意义，可以使复杂问题简单化．形如22)()(b y a x -+-的式子即可看成是两点间的距离，从而结合图形解决．5.直线x y 2=是ABC ∆中C ∠的平分线所在的直线，且A ，B 的坐标分别为)2,4(-A ，)1,3(B ，求顶点C 的坐标并判断ABC ∆的形状．分析：“角平分线”就意味着角相等，故可考虑使用直线的“到角”公式将“角相等”列成一个表达式．解：(法1)由题意画出草图（如图所示）．∵点C 在直线x y 2=上，∴设)2,(a a C ，则422+-=a a k AC ，312--=a a k BC ，2=l k ．由图易知AC 到l 的角等于l 到BC 的角，因此这两个角的正切也相等．∴lBC l BC l AC AC l k k k k k k k k +-=⋅+-11，∴231212312242214222⋅--+---=⋅+-++--a a a a a a a a ．解得2=a ．∴C 的坐标为)4,2(，∴31=AC k ，3-=BC k ，∴BC AC ⊥．∴ABC ∆是直角三角形．(法2)设点)2,4(-A 关于直线x y l 2=：的对称点为),('b a A ，则'A 必在直线BC 上．以下先求),('b a A ．由对称性可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⋅=+-=+-,24222,2142a b a b 解得⎩⎨⎧-==24b a ，∴)2,4('-A ．∴直线BC 的方程为343121--=---x y ，即0103=-+y x ．由⎩⎨⎧=-+=01032y x x y 得)4,2(C ．∴31=AC k ，3-=BC k ，∴BC AC ⊥．∴ABC ∆是直角三角形．说明：(1)在解法1中设点C 坐标时，由于C 在直线x y 2=上，故可设)2,(a a ，而不设),(b a ，这样可减少未知数的个数．(2)注意解法2中求点)2,4(-A 关于l 的对称点),('b a A 的求法：原理是线段'AA 被直线l 垂直平分．6.两条直线m y x m l 352)3(1-=++：，16)5(42=++y m x l ：，求分别满足下列条件的m 的值．(1)1l 与2l 相交；(2)1l 与2l 平行；(3)1l 与2l 重合；(4)1l 与2l 垂直；(5)1l 与2l 夹角为︒45．分析：可先从平行的条件2121b b a a =(化为1221b a b a =)着手．解：由m m +=+5243得0782=++m m ，解得11-=m ，72-=m ．由163543m m -=+得1-=m ．(1)当1-≠m 且7-≠m 时，2121b b a a ≠，1l 与2l 相交；(2)当7-=m 时，212121c c b b a a ≠=．21//l l ；(3)当1-=m 时，212121c c b b a a ==，1l 与2l 重合；(4)当02121=+b b a a ，即0)5(24)3(=+⋅+⋅+m m ，311-=m 时，21l l ⊥；(5)231+-=m k ，m k +-=542．由条件有145tan 11212=︒=+-k k k k ．将1k ，2k 代入上式并化简得029142=++m m ，527±-=m ；01522=-+m m ，35或-=m ．∴当527±-=m 或-5或3时1l 与2l 夹角为︒45．说明：由m m +=+5243解得1-=m 或7-=m ，此时两直线可能平行也可能重合，可将m 的值代入原方程中验证是平行还是重合．当m m +≠+5243时两直线一定相交，此时应是1-≠m 且7-≠m ．。

2003年-2012年江苏省高考数学试题分类解析汇编专题6：不等式一、选择填空题1.（江苏2004年4分）二次函数y=ax 2＋bx ＋c(x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集是 ▲ . 【答案】),3()2,(+∞--∞ 。

【考点】一元二次不等式与二次函数。

【分析】由表可得二次函数的零点，可设其两根式，然后代入一点求得解析式，即可得到不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集：由表可设y=a （x ＋2）（x －3），又∵x=0，y=－6，代入知a=1。

∴y=（x ＋2）（x －3） ∴由ax 2＋bx ＋c=（x ＋2）（x －3）＞0得x ＞3或x ＜－2。

∴不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集为：),3()2,(+∞--∞ 。

2.（江苏2005年4分）函数)34(log 25.0x x y -=的定义域为 ▲【答案】]1,43()0,41[ -【考点】函数的定义域，对数函数的意义，一元二次不等解法。

【分析】由题意得：0)34(log 25..0≥-x x ，则由对数函数性质得：13402≤-<x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤--<13434022x x x x ，解得104x <-≤或314<x ≤。

∴函数的定义域为：]1,43()0,41[⋃-。

3.（江苏2006年5分）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等不式中不恒成立．．．．的是【 】 （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）aa a a 1122+≥+（C ）21||≥-+-ba b a （D ）a a a a -+≤+-+213 【答案】C 。

【考点】不等式恒成立的条件。

【分析】运用排除法，C 选项21≥-+-ba b a ，当0a b<-时不成立。

故选C 。

4.（江苏2006年5分）不等式3)61(log 2≤++xx 的解集为 ▲【答案】{{}331x x <x x ---+=。

第27练 完美破解立体几何证明题[内容精要] 立体几何中的题目最主要的两点就是证明和计算，其中证明主要是来证明空间中的点、线、面间的平行或垂直关系．本节就来探讨空间中的位置关系的证明问题．题型一 空间中的平行问题例1 在如图所示多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，且AC ＝AD ＝CD ＝DE ＝2，AB ＝1.(1)请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF ∥平面ACD ，并证明．(2)求多面体ABCDE 的体积．破题切入点 (1)可先猜后证，可以利用线面平行的判定定理进行证明．(2)找到合适的底面．解 如图，(1)由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，所以AB ∥ED ，设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，连接FH ，AH ，则FH 綊12ED ， 所以FH 綊AB ，所以四边形ABFH 是平行四边形，所以BF ∥AH ，又因为BF ⊄平面ACD ，AH ⊂平面ACD ，所以BF ∥平面ACD .(2)取AD 中点G ，连接CG .因为AB ⊥平面ACD ，所以CG ⊥AB ，又CG ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ，所以CG ⊥平面ABED ，即CG 为四棱锥C －ABED 的高，求得CG ＝3，所以V C －ABED ＝13×(1＋2)2×2×3＝ 3. 题型二 空间中的垂直问题例2 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面AA 1B 1B 为正方形，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠CBB 1＝60°，AB ⊥B 1C .(1)求证：平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C .(2)若AB ＝2，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．破题切入点 (1)考查面面垂直的判定定理．(2)注意利用棱柱体积和锥体体积公式间的关系．(1)证明 由侧面AA 1B 1B 为正方形，知AB ⊥BB 1.又AB ⊥B 1C ，BB 1∩B 1C ＝B 1，所以AB ⊥平面BB 1C 1C ，又AB ⊂平面AA 1B 1B ，所以平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C .(2)解 由题意，CB ＝CB 1，设O 是BB 1的中点，连接CO ，则CO ⊥BB 1.由(1)知，CO ⊥平面AA 1B 1B ，且CO ＝32BC ＝32AB ＝ 3.连接AB 1，则VC －ABB 1＝13S △ABB 1·CO ＝16AB 2·CO ＝233.因为VB 1－ABC ＝VC －ABB 1＝13VABC －A 1B 1C 1＝233，所以VABC －A 1B 1C 1＝2 3.故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为＝2 3.题型三 空间中的平行、垂直综合问题例3 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .(1)求证：平面EFG ∥平面PMA ；(2)求证：平面EFG ⊥平面PDC ；(3)求三棱锥P －MAB 与四棱锥P －ABCD 的体积之比．破题切入点 (1)证明EG 、FG 都平行于平面PMA .(2)证明GF ⊥平面PDC .(3)设MA 为1，从而其他边的长度都可表示，问题可求解．(1)证明 ∵E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，∴EG ∥PM ，GF ∥BC .又∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ∥AD ，∴GF ∥AD .∵EG 、GF 在平面PMA 外，PM 、AD 在平面PMA 内，∴EG ∥平面PMA ，GF ∥平面PMA .又∵EG 、GF 都在平面EFG 内且相交，∴平面EFG ∥平面PMA .(2)证明 由已知MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，∴PD ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .∵四边形ABCD 为正方形，∴BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC .由(1)知GF ∥BC ，∴GF ⊥平面PDC .又GF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PDC .(3)解 ∵PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，不妨设MA ＝1，则PD ＝AD ＝2.∵DA ⊥平面MAB ，且PD ∥MA ，∴DA 即为点P 到平面MAB 的距离，∴V P －MAB ∶V P －ABCD ＝13S △MAB ·DA ∶13S 正方形ABCD ·PD ＝S △MAB ∶S 正方形ABCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2∶(2×2)＝1∶4. 即三棱锥P －MAB 与四棱锥P －ABCD 的体积之比为1∶4.总结提高 1.证明平行关系的方法：(1)证明线线平行的常用方法：①利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；②利用平行四边形进行转换；③利用三角形中位线定理证明；④利用线面平行、面面平行的性质定理证明．(2)证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行；②利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平行．(3)证明面面平行的方法：证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．2．证明空间中垂直关系的方法：(1)证明线线垂直的常用方法①利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直； ②利用勾股定理逆定理；③利用线面垂直的性质，即要证明线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可．(2)证明线面垂直的常用方法①利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；②利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直；③利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等．(3)证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决．1．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( ) A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线答案 D解析由直线a与B确定的平面与β有唯一交线．故存在唯一与a平行的直线．2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱AB上的动点，则直线A1D与直线C1E所成的角等于( ) A．60°B．90°C．30°D．随点E的位置而变化答案 B解析在正方体中，显然有A1D⊥AB，A1D⊥AD1，所以A1D⊥面AD1C1B，又C1E⊂面AD1C1B，故A1D⊥C1E.故选B.3．已知α、β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，可以推出α∥β的是( ) A．①③ B．②④ C．①④ D．②③答案 C解析对于②，平面α与β还可以相交；对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β，所以②③是错误的，易知①④正确，故选C.4.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，AC∩EF＝G.现在沿AE、EF、FA把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体P－AEF中必有( )A ．AP ⊥△PEF 所在平面B ．AG ⊥△PEF 所在平面C ．EP ⊥△AEF 所在平面D ．PG ⊥△AEF 所在平面答案 A 解析 在折叠过程中，AB ⊥BE ，AD ⊥DF 保持不变．∴ ⎭⎪⎬⎪⎫AP ⊥PEAP ⊥PF PE ∩PF ＝P ⇒AP ⊥面PEF .5．如图所示，直线PA 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长．其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③答案 B解析 对于①，∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC .∵AB 为⊙O 的直径，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，∴BC ⊥PC ；对于②，∵点M 为线段PB 的中点，∴OM ∥PA ，∵PA ⊂平面PAC ，∴OM ∥平面PAC ；对于③，由①知BC ⊥平面PAC ，∴线段BC 的长即是点B 到平面PAC 的距离，故①②③都正确．6.如图，若Ω是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EB 1F －HC 1G所得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是( )A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台答案 D解析 A 中，∵EH ∥A 1D 1，∴EH ∥BC ，∴EH ∥平面BCC 1B 1.又过EH 的平面EFGH 与平面BCC 1B 1交于FG ，∴EH ∥FG .故A 成立．B 中，易得四边形EFGH 为平行四边形，∵BC ⊥平面ABB 1A 1，∴BC ⊥EF ，即FG ⊥EF .∴四边形EFGH 为矩形．故B 正确．C 中可将Ω看作以A 1EFBA 和D 1HC 1CD 为上、下底面，以AD 为高的棱柱．故C 正确．7.如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝AN ND ，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是________．答案 平行解析 在平面ABD 中，AM MB ＝AN ND， ∴MN ∥BD .又MN ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，∴MN ∥平面BCD .8．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于______．答案 2 解析 由于在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 的中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 的中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.9.如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论中：①PB ⊥AE ；②平面ABC ⊥平面PBC ；③直线BC ∥平面PAE ；④∠PDA ＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．答案 ①④解析 由PA ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，得PA ⊥AE ，又由正六边形的性质得AE ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，得AE ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，∴AE ⊥PB ，①正确；∵平面PAD ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面PBC 不成立，②错；由正六边形的性质得BC ∥AD ，又AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，∴BC ∥平面PAD ，∴直线BC ∥平面PAE 也不成立，③错；在Rt△PAD 中，PA ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°，∴④正确．10．给出命题：①在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；②设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；④在三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在平面ABC内的射影是△ABC的垂心；⑤a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一条平行．其中，正确的命题是________．(只填序号)答案②④解析①错误，垂直于同一个平面的两个平面也可能相交；③错误，“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件；⑤错误，只有当异面直线a，b垂直时才可以作出满足要求的平面；易知②④正确．11．如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．求证：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.证明(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形．∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN.∴四边形AA1KN为平行四边形．∴AN∥A1K.∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.(2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K.∴四边形BC1KM为平行四边形．∴MK∥BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.∴MK⊥B1C.∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK⊂平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK.12．(2014·课标全国Ⅰ)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC－A1B1C1的高．(1)证明如图，连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，故B1C⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB.(2)解在平面BB1C1C内作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.在平面AOD内作OH⊥AD，垂足为H.由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，所以OH ⊥BC . 又OH ⊥AD ，所以OH ⊥平面ABC . 因为∠CBB 1＝60°， 所以△CBB 1为等边三角形． 又BC ＝1，可得OD ＝34.由于AC ⊥AB 1， 所以OA ＝12B 1C ＝12.由OH ·AD ＝OD ·OA ， 且AD ＝OD 2＋OA 2＝74，得OH ＝2114.又O 为B 1C 的中点， 所以点B 1到平面ABC 的距离为217， 故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高为217.。

江苏省各地市2020年高考数学 最新联考试题分类汇编（6） 不等式一、填空题:⒓（江苏省盐城市2020年3月高三第二次模拟）定义运算，则关于非零实数x 的不等式的解集为 。

【答案】()[)1,00,2,2⎛⎤-∞⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦12. (江苏省无锡市2020年2月高三质量检测)当0< x ≤31时，不等式8x<log a x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】(33，1) 13. (江苏省无锡市2020年2月高三质量检测)已知函数f (x )＝x 2＋a x，若x < 0时恒有f (x )≥3，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】(－∞，-2]1、（常州市2020届高三期末）已知实数,x y 同时满足54276x y --+=，2741log log 6y x -≥，2741y x -≤，则x y +的取值范围是 ▲ ． 答案：56⎧⎫⎨⎬⎩⎭2、（连云港市2020届高三期末）关于x 的不等式x 2-ax +2a <0的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是 ▲ .答案：125[1,)(,9]33--6、（苏州市2020届高三期末）已知()1f x x x =+，则11()()42f x f -<的解集是 ． 答案：7、（无锡市2020届高三期末）已知变量x ，y 满足约束条件004x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，表示平面区域M ，若-4≤a≤t 时，动直线x+y=a 所经过的平面区域M 的面积为7．则t= ． 答案：28、（扬州市2020届高三期末）设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥52420y x y x x ，则y x z -=2的最大值是 ▲ ． 答案：3二、解答题 23．（江苏省盐城市2020年3月高三第二次模拟）（本小题满分10分）已知数列}{n a 满足21=a ，)1(11+-=++n a a n n n 。

练习6-41.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．2.斜率为 1的直线l 与椭圆1422=+y x 相交于B A ,两点，则AB 的最大值为（ ）A. 2 B．554C．5104 D.5108 3.设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________.4．已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：12C C 、（Ⅱ）请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交不同两点且满足OM ON ⊥？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．5. 已知椭圆的右焦点为，离心率为（Ⅰ）若，求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线与椭圆相交于A ，B 两点，若，求的取值范围。

22221(0)x y a b a b+=>>F A B BF x ⊥AB y P 2AP PB =22131222(0)y px p =>F (0,2)A FA B B 1C 2C x 1C 2C l 2C F 1C ,M N 、l 22221(0)x y a b a b+=>>2(3,0)F .e 2e =y kx =220,22AF BF e ⋅=<≤且k解: 习题6-4 1．D提示：对于椭圆，因为，则 2．C提示：设直线l 的方程为m x y +=，则弦长510455422≤-⨯=m AB . 3.提示：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p 的值为，B 点坐标为（）所以点B 本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题.4．解：（Ⅰ）设抛物线，则有，据此验证4个点知（3，）、（4，-4）在抛物线上，易求设1C ：，把点（-2，0）（，）代入得：解得 1C 方程为 （Ⅱ）方法一：假设存在这样的直线过抛物线焦点(1,0)F ，设直线l 的方程为两交点坐标为，由消去，得 ∴ ① 212121212(1)(1)1()x x my my m y y m y y =++=+++ ② 2AP PB =12,2,2OA OF a c e =∴=∴=2142，324)0(2:22≠=p px y C )0(22≠=x p xy 32-x y C 4:22=)0(:22222>>=+b a by a x C 222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=121214222b a a ⎪⎩⎪⎨⎧==1422b a 1422=+y x l ,1my x =-),(),,(2211y x N y x M ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-14122y x my x x ,032)4(22=-++my y m 43,42221221+-=+-=+m y y m m y y 4444342122222+-=+-⋅++-⋅+=m m m m m m m由OM ON ⊥，即，得将①②代入（*）式，得， 解得 所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为：22y x =-或22y x =-+. 方法二：容易验证直线l 的斜率不存在时，不满足题意；当直线l 斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点(1,0)F ，设其方程为(1)y k x =-，与1C 的交点坐标为，由2214(1)x y y k x ⎧⎪+=⎨⎪=-⎩消掉y ，得2222(14)84(1)0k x k x k +-+-=，于是 2122814k x x k +=+，21224(1)14k x x k-=+ ① 212111212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =-⨯-=-++ 即2222122224(1)83(1)141414k k k y y k k k k-=-+=-+++ ② 由OM ON ⊥，即，得将①、②代入（*）式，得 2222224(1)340141414k k k k k k---==+++，解得2k =±； 所以存在直线满足条件，且的方程为：22y x =-或22y x =-+．5.解：（Ⅰ）由题意得，得由，解得，，所以，椭圆的方程为（Ⅱ）由 得. 设. 所以 ，又，0=⋅ON OM (*)02121=+y y x x 043444222=+-++-m m m 21±=m l l l ),(),,(2211y x N y x M 0=⋅(*)02121=+y y x x l l 33c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩23a =222a b c =+212a =23b =131222=+y x 22221,,x y ab y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩222222()0b a k x a b +-=1122(,),(,)A x y B x y 2212122220,a b x x x x b a k-+==+211(3)AF x y =--，222(3)BF x y =--，所以，即整理得 ，因为，所以所以，即222121212(3)(3)(1)90AF BF x x y y k x x ⋅=--+=++=222222(9)(1)90(9)a a k a k a --++=+-422424218818111818a a k a a a a -+==---+-2e <a <21218a <≤218k ≥2(,][,)44k ∈-∞-+∞。

6.3 利用递推公式求通项（精练）（提升版）1．（2022·湖北）在数列{}n a 中，111,72n n a a a n +=-=-，则数列{}n a 中最大项的数值为___．2．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=⋅，则n a =_______.3．（2022·黑龙江双鸭山）已知数列{}n a 满足：11a =，121n n a a n +-=-，n *∈N ，则n a =______． 4．（2022·江苏江苏·一模）已知数列{}n a ，11a =，且()111n n a a n n +=-+，*n ∈N .求数列{}n a 的通项公式 ；5．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足1111,23n n n a a a -+==-+，求数列{}n a 的通项公式 .6．（2022·全国·江西科技学院附属中学）已知首项为13的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11(23)n n n n n S n a a a S ++++=+，则98S =______．1．（2022·浙江）已知数列{}n a 满足*11121,,N n n n na a a n n a ++-==∈，则数列{}n a 的通项公式是______2．（2022·上海）若数列{}n a 的首项11a =，且112(2)n n n a a n --=⋅≥，则数列{}n a 的通项公式为_______.3．（2022·江苏）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n a S n++=（*n ∈N ），则n S = 4．（2020·江苏·泰州市第二中学高二阶段练习）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式a n 等于 5．（2022·安徽）已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和23n n n S a +=，则{}n a 的通项公式为___________. 1．（2022·四川·什邡中学）数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，则它的通项公式是_______．2．（2022·湖北）数列{}n a 中，已知11S =，22S =且1123n n n S S S +-+=（2n ≥且n ∈+N ），则此数列{}n a 的通项公式为__________.3．（2022·上海市七宝中学）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*1103n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为__________．题组一 累加法题组二 累乘法题组三 公式法4．（2022·湖南·长郡中学一模）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且141n n n S a a +=+，11a =．求数列{}n a 的通项公式5．（2022·天津·静海一中）已知数列{}n a 的前n 项和为114n S a =，，且2*121n n n S a n N n +=⋅∈+，,求2a 的值，并证明：数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是一个常数列；6．（2022·全国·单元测试）数列{}n a 满足112a =，212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=(,1)n n ∈≥N ．求{}n a 的通项公式； 7．（2022·四川）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足222(3)3()0n n S n n S n n -+--+=，*n N ∈． (1)求1a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式．8．（2022·广东佛山·二模）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足()()*1311,N ,5n n nS n S n n n a +-+=+∈=求1a 、2a 的值及数列{n a }的通项公式n a ：9．（2021·江苏省灌云高级中学）设Sn 是正项数列{an }的前n 项和，且2113424n n n S a a =+-．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．10．（2022·海南·模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S，14a =，1224n n S a n +=+-．求数列{}n a 的通项公式；1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项11a =，且各项满足公式()122nn n a a n N a *+=∈+，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．21n a n =+ C ．2n a n = D ．1n a n=2．（2022·江西）已知数列{}n a 满足：11a =，1122n n n a a --=+（2n ≥，n N ∈），则n a =___________.3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足11a =，且()111233nn n a a n -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的通项公式n a =______．题组四 构造等差数列4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 中，1*113,323,n n n a a a n N ++==+⨯∈，求数列{}n a 的通项公式 ；5（2022·四川宜宾·二模（理））在数列{}n a 中，11a =，213a =，且满足1112(3)n n n n n a a a a a +-+=-(2)n ≥，则n a =___________.1．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列{}n a 中，156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n a =（ ）A ．3223n n - B ．2332n n- C ．1223n n- D ．2132n n- 2．（2021·山西师范大学实验中学）已知数列{}n a 满足1267n n a a +=+，11a =，则n a =___________. 3．（2022·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）已知数列{}n a 满足11a =，()*1N 23n n na a n a +=∈+，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为___________.4．（2021·陕西·西北工业大学附属中学）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =且121n n a a +=+，若2n S n λ≤+对任意的N n *∈恒成立，则实数λ的取值范围为___________.题组五 构造等比数列6.3 利用递推公式求通项（精练）（提升版）1．（2022·湖北）在数列{}n a 中，111,72n n a a a n +=-=-，则数列{}n a 中最大项的数值为___． 【答案】10【解析】当2n ≥时()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()9211251n n =-+-+++()()1925 12n n --+=+()2286410n n n =-+-=--+，所以当4n =时，数列{n a }中最大项的数值为10.故答案为：10.2．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=⋅，则n a =_______.【答案】212n -【解析】因为数列{}n a 满足12a =，21132n n n a a -+-=⋅，所以当1n ≥时，111211()()()n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-+⋅⋅⋅+-+()()2123212143222232214n n n n --+-=++⋅⋅⋅++=⨯+=-.所以212n n a -=，*2,N n n ≥∈，因为12a =，也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为212n n a -=，*N n ∈故答案为：212n -3．（2022·黑龙江双鸭山）已知数列{}n a 满足：11a =，121n n a a n +-=-，n *∈N ，则n a =______． 【答案】222,n n n N *-+∈.【解析】因为121n n a a n +-=-，n *∈N ， 所以当1,n n N *>∈时，有123n n a a n --=-， 因此有：11222211()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+，即2(231)(1)(23)(25)(27)111222n n n a n n n n n -+-=-+-+-+++=+=-+，当1n =时，适合上式，所以222,n a n n n N *=-+∈，故答案为：222,n n n N *-+∈.题组一 累加法4．（2022·江苏江苏·一模）已知数列{}n a ，11a =，且()111n n a a n n +=-+，*n ∈N.求数列{}n a 的通项公式 ； 【答案】1n a n=【解析】(1)因为()111n n a a n n +=-+，所有1111(1)1n n a a n n n n+-=-=-++，当2n ≥时，211121a a -=-，321132a a -=-，……，1111n n a a n n --=--，相加得1111n a a n -=-，所以1n a n =，当1n =时，11a =也符合上式，所以数列{}n a 的通项公式1n a n=5．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足1111,23n n n a a a -+==-+，求数列{}n a 的通项公式 .【答案】1312n n a n -=--【解析】根据题意，可得到1132n n n a a -+-=-，2132n n n a a --∴-=-，31232n n n a a ----=-，……2131 2.a a -=-=将以上()-1n 个式子累加可得，2313(1)(2221)n n n a a n ---=--++⋯++, 2n ≥11a =，11123231212n n n a n n --∴-=--=---，又 11a =满足，所以1312n n a n -=--6．（2022·全国·江西科技学院附属中学）已知首项为13的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11(23)n n n n n S n a a a S ++++=+，则98S =______．【答案】1465119800【解析】依题意，11(23)n n n n n a a a a +++=-，则1123n n n n a a n a a ++-+=，故11123n nn a a +-=+， 21115a a -= ，32117a a -= ，43119a a -= ，…，11121n n n a a --=+， 累加可得，111(215)(1)2n n n a a ++--=()()31n n =+- ， ()()()13132nn n n n a =+-+=+ ()2n ≥ ，当n =1时，113a = 也成立，故1111(2)22n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，9811111111131114651123243598100229910019800S ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故答案为：1465119800. 1．（2022·浙江）已知数列{}n a 满足*11121,,N n n n na a a n n a ++-==∈，则数列{}n a 的通项公式是______【答案】2(1)n a n n =+【解析】∵*11121,,N n n n na a a n n a ++-==∈∵()12n n na n a +=+，即12n n a na n +=+，∵()32121123123451n n a a a n nn a a a n n --⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅≥+，∵2(1)n a n n =+.n=1也适合故答案为：2(1)n a n n =+. 2．（2022·上海）若数列{}n a 的首项11a =，且112(2)n n n a a n --=⋅≥，则数列{}n a 的通项公式为_______.【答案】(1)22n n n a -=【解析】 数列{}n a 中，11a =，()1122n n n a a n --=⋅≥，∴112n n n aa --=，∴321121n n n a a a a a a a a -=⨯⨯⨯⋯⨯211222n -=⨯⨯⨯⋯⨯12(1)2n ++⋯+-=(1)22n n -=．故答案为：(1)22n n n a -=． 3．（2022·江苏）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n a S n++=（*n ∈N ），则n S = 【答案】2n n ⋅B【解析】由题得111(1)(1),,,2121n n n nn n n na n a na n a S S a n n n n ++---=∴=∴=-++++（2n ≥）所以122,1n n a n a n ++=⨯+（2n ≥） 由题得22166,32a a a =∴==，所以122,1n n a n a n ++=⨯+（1n ≥）. 所以324123134512,2,2,2,234n n a a a a n a a a a n -+=⨯=⨯=⨯=⨯，所以11112,(1)22n n n n a n a n a --+=⋅∴=+⋅. 所以(2)222n n n nS n n n =⨯+⋅=⋅+.故选：B 4．（2020·江苏·泰州市第二中学高二阶段练习）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式a n 等于 【答案】(n ＋1)3【解析】当n ＝1时，4(1＋1)(a 1＋1)＝(1＋2)2a 1，解得a 1＝8，当n ≥2时，由4(Sn ＋1)＝()221nn a n ++，得4(Sn－1＋1)＝()211n n a n-+，两式相减，得4an ＝()221nn a n ++－()211n n a n-+，题组二 累乘法即()3311nn n a a n -+=，所以an ＝123212321n n n n n n a a a a a a a a a a -----⋅⋅⋅⨯1a ,an ＝()()33333313821n n n n +⨯⨯⨯⨯-＝(n ＋1)3， 经验证n ＝1时也符合，所以an ＝(n ＋1)35．（2022·安徽）已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和23n n n S a +=，则{}n a 的通项公式为___________. 【答案】()12n n n a +=【解析】根据题意，数列{}n a 中，11a =，*2()3n n n S a n N +=∈，23n n n S a +=∵，1113n n n S a --+=∵， ∵-∵可得：1(2)(1)33n n n n a n a a -++=-，变形可得：111n n a n a n -+=-， 则12112113(1)()()()()()()11212n n n n n a a a n n n n a a a a a n n ---++=⨯⨯⋯⋯⨯⨯=⨯⨯⋯⋯⨯⨯=--； 1n =时，11a =符合(1)2n n n a +=；故答案为：(1)2n n n a +=． 1．（2022·四川·什邡中学）数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，则它的通项公式是_______．【答案】2,165,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【解析】当1n =时，211312112a S ==⨯-⨯+=，当2n ≥时，()()()22132********n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦经检验当1n =时不符合，所以2,165,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故答案为：2,165,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，2．（2022·湖北）数列{}n a 中，已知11S =，22S =且1123n n n S S S +-+=（2n ≥且n ∈+N ），则此数列{}n a 的通项公式为__________.【答案】*21122n n n a n N n -=⎧=∈⎨≥⎩，，，【解析】由1121,2a S S ===得：2211a S a =-= 1123n n n S S S +-+=（2n ≥且n ∈+N ）题组三 公式法()112n n n n S S S S -+=∴--（2n ≥且n ∈+N ）即12n n a a +=（2n ≥且n ∈+N ）∴数列{}n a 是第二项起公比为2的等比数列， 22n n a -∴=（2n ≥且n ∈+N ）又211a a =不满足上式， *21122n n n a n N n -=⎧∴=∈⎨≥⎩，，，3．（2022·上海市七宝中学）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*1103n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为__________．【答案】21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩ 【解析】由1103n n S a +-=得：()1103n n n S S S +--=，即14n n S S +=，又111S a ==，∴数列{}n S 是以1为首项，4为公比的等比数列，14n n S -∴=；当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，12214434n n n n n n a S S ----=-=-=⋅；经检验：11a =不满足234n n a -=⋅；故答案为：21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩. 4．（2022·湖南·长郡中学一模）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且141n n n S a a +=+，11a =．求数列{}n a 的通项公式 【答案】21n a n =-【解析】(1)∵1141,1n n n S a a a +=⋅+=，∵1122413S a a a =+⇒=．当2n ≥时，1141n n n S a a --=+，∵11144n n n n n n S S a a a a -+--=-，∵()114n n n n a a a a +-=-，∵0n a ≠，∵114n n a a +--=．∵数列{}n a 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列．∵212a a -=，∵{}n a 为等差数列，通项公式为21n a n =-．5．（2022·天津·静海一中）已知数列{}n a 的前n 项和为114n S a =，，且2*121n n nS a n N n +=⋅∈+，,求2a 的值，并证明：数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是一个常数列；【答案】234a =，证明见解析 【解析】(1)证明：因为114a =，且2*121n n n S a n N n +=⋅∈+，．令1n =，有1121314S a a ===⋅，解得234a =， 由2121n n n S a n +=⋅+，有()()211221n n n S a n n --=⋅≥-， 两式相减有()()221122121n n n n n a a a n n n +-=⋅-⋅≥+-，化简整理得()122121n n a a n n n +=≥-+， 又1114a =，2134a =，所以1121214n n a a n n +==⋅⋅⋅=-+， 所以数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是一个常数列．6．（2022·全国·单元测试）数列{}n a 满足112a =，212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=(,1)n n ∈≥N ．求{}n a 的通项公式； 【答案】21n a n n=+(1,)n n ≥∈N 【解析】由212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=，当2n ≥时，()212111n n a a a n a --++⋅⋅⋅+=-， 两式相减得()2211n n n a n a n a -=--， 则()()111n n n a n a -+=-， 因为112a =，所以0n a ≠， 所以()1121n n a n n a n --=≥+， 则2113a a = 3224a a=111n n a n a n --=+， 以上各式相乘得：()121n a a n n =+，所以()212n a n n n=≥+， 当1n =时，上式也成立， 所以21n a n n=+；7．（2022·四川）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足222(3)3()0n n S n n S n n -+--+=，*n N ∈． (1)求1a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式． 【答案】(1)12a =；(2)2n a n =.【解析】(1)由222(3)3()0n n S n n S n n -+--+=，得22211(113)3(11)0a a -+--+=，即21160a a +-=，解得：13a =-(舍)或12a =.(2)由222(3)3()0n n S n n S n n -+--+=，得2(3)()0n n S S n n +--=，即2n S n n =+或3n S =-（舍） 当1n =时，12a =．当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=．验证1n =时上式成立，2n a n ∴=．8．（2022·广东佛山·二模）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足()()*1311,N ,5n n nS n S n n n a +-+=+∈=求1a 、2a 的值及数列{n a }的通项公式n a ： 【答案】121,3a a ==；21n a n =-；【解析】因()()*1311,N ,5n n nS n S n n n a +-+=+∈=，取1n =和2n =得：12112312()222()3()6a a a a a a a a +-=⎧⎨++-+=⎩， 即211224a a a a -=⎧⎨+=⎩，解得121,3a a ==，由()()111n n nS n S n n +-+=+得：111n n S S n n +-=+，数列{}n S n 是首项为1111S a ==，公差1d =的等差数列，则n S n n =，即2n S n =，当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，而11a =满足上式，因此，21n a n =-，所以121,3a a ==，数列{n a }的通项公式21n a n =-.9．（2021·江苏省灌云高级中学）设Sn 是正项数列{an }的前n 项和，且2113424n n n S a a =+-．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式． 【答案】(1)3(2)a n ＝2n ＋1【解析】(1)由所给条件知，当n ＝1时21111113424S a a a ==+- ，整理得()()21111230,310a a a a --=-+= ，由于10a > ，得13a = ；(2)由条件得2423n nn S a a =+-① ，()21114232n n n S a a n ---=+-≥② ，∵- ∵得2211422n n n n n a a a a a --=-+- ，整理得：（an ＋an －1）（an －an －1－2）＝0，因为：an ＋an －1＞0，∵an －an －1＝2（n ≥2），{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，()12121n a a n n =+-=+ ，故21n a n =+ .10．（2022·海南·模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，1224n n S a n +=+-．求数列{}n a 的通项公式；【答案】31nn a =+【解析】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，1224n n S a n +=+-， 当2n ≥时，1226n n S a n -=+-，两式相减可得11122224(26)2n n n n n n n a S S a n a n a a -++=-=+--+-=-+， 即132n n a a +=-，可得113(1)n n a a +-=-，即1131n n a a +-=-， 当1n =时，12224a a =+-，所以210a =，所以2111013141a a --==--， 所以数列{}1n a -是以3为首项，3为公比的等比数列，所以13n n a -=，即31nn a =+，所以数列{}n a 的通项公式31nn a =+.1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项11a =，且各项满足公式()122nn n a a n N a *+=∈+，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n = B ．21n a n =+ C ．2n a n = D ．1n a n=【答案】B题组四 构造等差数列【解析】因为数列{}n a 的首项11a =，且各项满足公式()122nn n a a n N a *+=∈+，则20a ≠，30a ≠，，以此类推，对任意的n *∈N ，0n a ≠， 由122n n n a a a +=+可得1211122n n n n a a a a ++==+，所以，11112n n a a +-=， 所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且首项为111a ，公差为12，111122n n n a -+∴=+=，因此，21n a n =+. 故选：B.2．（2022·江西）已知数列{}n a 满足：11a =，1122n n n a a --=+（2n ≥，n N ∈），则n a =___________.【答案】12n n -⋅ 【解析】由题设，()1112222n n n n a a n --=+≥，即()1112222n n n n a a n ---=≥，而1122a =， ∵{}2n n a 是首项、公差均为12的等差数列，即11(1)2222n n nn a =+-=， ∵n a =12n n -⋅.故答案为：12n n -⋅3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足11a =，且()111233nn n a a n -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】23n n +【解析】∵()111233nn n a a n -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，∵()113312n n n n a a n --=+≥，即()113312n n n n a a n ---=≥．又11a =，1133a ⋅=，∵数列{}3n n a 是以3为首项，1为公差的等差数列，∵()33112nn a n n =+-⨯=+，∵数列{}n a 的通项公式23n n n a +=．故答案为：23nn +. 4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 中，1*113,323,n n n a a a n N ++==+⨯∈，求数列{}n a 的通项公式 ；【答案】()213nn a n =-⋅．【解析】由11323n n n a a ++=+⨯，得：111123333n n n n n n a a ++++⋅=+，∵11233n n n na a ++-=， 即数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，∵213n n a n =-，得()213n n a n =-⋅． 5（2022·四川宜宾·二模（理））在数列{}n a 中，11a =，213a =，且满足1112(3)n n n n n a a a a a +-+=-(2)n ≥，则n a =___________. 【答案】121n - 【解析】因为11a =，213a =，()11123n n n n n a a a a a +-+=-，显然0n a ≠，所以111123n n n n n n a a a a a a ++--=-，同除11n n n a a a -+得11231n n n a a a -+=-，所以1111112n n n n a a a a -+⎛⎫-=⎪- ⎝⎭，所以1111211n n n n a a a a +--=-，所以111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以2为首项、2为公比的等比数列，所以1111222n n n n a a -+-=⨯=，所以132212111111111111n n n n n a a a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1211222212112nn n n ---=++++==--所以121n na =- 故答案为：121n - 1．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列{}n a 中，156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n a =（ ）A ．3223n n- B ．2332n n- C ．1223n n- D ．2132n n- 【答案】A【解析】因为156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1122213n n n n a a ++⋅=⋅+，整理得()11223233n n n n a a ++⋅-=⋅-，所以数列{}23nn a -是以14233a -=-为首项，23为公比的等比数列．所以1422333n n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得3223n n na =-． 故选：A2．（2021·山西师范大学实验中学）已知数列{}n a 满足1267n n a a +=+，11a =，则n a =___________. 【答案】1117344n -⋅- 【解析】由已知可得1732n n a a +=+，设()13n n a x a x ++=+，则132n n a a x +=+，所以，722x =，可得74x =，所以，177344n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且171144a +=，题组五 构造等比数列由题意可知，对任意的n *∈N ，704n a +≠，则174374n n a a ++=+， 所以，数列74n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，且该数列的首项为114，公比为3，所以，1711344n n a -+=⋅，因此，1117344n n a -=⋅-.故答案为：1117344n -⋅-. 3．（2022·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）已知数列{}n a 满足11a =，()*1N 23n n na a n a +=∈+，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为___________. 【答案】2234n n +--【解析】数列{}n a 满足*111,()23n n n a a a n N a +==∈+，整理得：1123n n n n a a a a +++=，所以111323n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 又1134a +=，故13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以1113422n n n a -++=⋅=，所以1231n n a +=-，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和24(12)323412n n n T n n ++--==-- 故答案为：2234n n +--4．（2021·陕西·西北工业大学附属中学）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =且121n n a a +=+，若2n S n λ≤+对任意的N n *∈恒成立，则实数λ的取值范围为___________.【答案】3λ≤【解析】由题设112(1)n n a a ++=+，112a +=，则{1}n a +是首项、公比都为2的等比数列，所以12n n a +=，则21nn a =-，12(12)2212n n n S n n +-=-=---，则1222n n S n n ++=+-在N n *∈上递增，所以2min (2)2123n S n +=+-=，要使2n S n λ≤+恒成立，则3λ≤.故答案为：3λ≤。

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（函数的概念及其表示）练习一、基础小题练透篇1．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝（x ）2x 和g (x )＝x（x ）22．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．[2023ꞏ安徽省六安市新安中学高三模拟]已知函数f (x ＋2)＝x 2＋6x ＋8，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x 2＋2xB ．f (x )＝x 2＋6x ＋8C ．f (x )＝x 2＋4xD ．f (x )＝x 2＋8x ＋64．[2023ꞏ河南省名校联盟高三模拟]已知函数f (x )＝a x a x ＋1(a >0，且a ≠1)，若f (2)＝13 ，则f (－2)＝( )A ．23B ．34C ．13D ．145．[2023ꞏ北京市朝阳区高三模拟]函数f (x )＝x ＋2 ＋1x ＋1 的定义域是__________． 6．已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )＝________．二、能力小题提升篇1.[2023ꞏ江西省南昌市第二中学模拟]已知函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，则函数F (x )＝f (2x －3)＋3－x 的定义域为( )A ．(2，3]B ．(－2，3]C ．[－2，3]D ．(0，3]2．[2023ꞏ海南华侨中学高三检测]已知函数f (x －1)＝xx ＋1，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x ＋1x ＋2B ．f (x )＝xx ＋1C ．f (x )＝x －1xD ．f (x )＝1x ＋23．[2023ꞏ山西省部分学校高三模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 16x ，x ≤22f （x －1），x >2 ，则f (4)＝( ) A ．14 B ．2 C ．12 D ．14．[2023ꞏ江苏省淮安市高三上学期期中]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2，x ≤1，x ＋1x －1，x >1， 则使得f (x )≥1的x 的取值范围为( )A ．[－1，1]B ．(－1，1)C ．(－1，＋∞)D ．[－1，＋∞)5．[2023ꞏ山东济南质检]已知函数f (2x －1)的定义域为(0，1)，则函数f (1－3x )的定义域是________．6．[2023ꞏ陕西省西安市高三上学期检测]设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1eꞏln x ，x ≥1 ，若f (a )＝f (e a )，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝________．三、高考小题重现篇1.[2021ꞏ上海卷]已知参数方程⎩⎨⎧x ＝3t －4t 3，y ＝2t 1－t2，t ∈[－1，1]，下列选项的图中，符合该方程的是( )2．[山东卷]设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．83．[浙江卷]若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关4．[2020ꞏ北京卷]函数f (x )＝1x ＋1 ＋ln x 的定义域是________．5．[江苏卷]函数f (x )＝log 2x －1 的定义域为________．6．[2021ꞏ浙江卷]已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，x >2，|x －3|＋a ，x ≤2. 若f (f (6 ))＝3，则a ＝________．四、经典大题强化篇1.[2023ꞏ江苏省连云港市海滨中学模拟]已知二次函数f (x )的最小值为3，且f (1)＝f (3)＝5.(1)求f (x )的解析式；(2)若y ＝f (x )的图象恒在直线y ＝2x ＋2m ＋1的上方，求实数m 的取值范围．2．[2023ꞏ河南省驻马店市部分重点中学质检]已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x2－2x.(1)求f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)＝m(|x－1|＋2)＋n有3个不同的实数解，求m的取值范围．参考答案1．答案：C答案解析：因为B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x≥12 ＝[－1，＋∞），A ＝{x |x 2＋2x >0}＝（－∞，－2）∪（0，＋∞），所以A ∪B ＝（－∞，－2）∪[－1，＋∞）.故选C. 2．答案：A答案解析：∵{0，1}＝B ⊆A ＝{1，a ，a 2－1}，∴a ＝0或a 2－1＝0， ∴a ＝0或a ＝±1，又由于集合元素的互异性，应舍去1， ∴a ＝0或a ＝－1. 故选A. 3．答案：C答案解析：命题p ：“∀x ≥0，2x－sin x ≥0”是全称命题，又全称命题的否定是特称命题，故“∀x ≥0，2x－sin x ≥0”的否定是“∃x 0≥0，2x 0－sin x 0<0”．4．答案：A答案解析：因为|x －2|<2⇒0<x <4，x 2－3x ＋2<0⇒1<x <2，所以A ＝{x |0<x <4}，B ＝{x |1<x <2}，因此∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}， 所以A ∩∁R B ＝（0，1]∪[2，4），故选A. 5．答案：B答案解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12 ≤1得：－1≤x ＋12 ≤1，所以－32 ≤x ≤12 ， 又因为x ∈Z ，所以B ＝{－1，0}， 故A ∩B ＝{－1}，A 错误； A ∪B ＝{－1，0，1}，B 正确； A ∩（∁R B ）＝{1}，C 错误；（∁R A ）∪B ＝{x |x ≠1}，D 错误． 故选B. 6．答案：B答案解析：因为xy ＋1≠x ＋y 即xy ＋1－x －y ≠0，即（x －1）（y －1）≠0， 即等价于x ≠1且y ≠1，故“xy ＋1≠x ＋y ”的充要条件是x ，y 都不为1. 故选B. 7．答案：C答案解析：命题p ：14<2x －1≤4，即2－2<2x －1≤22，－2<x －1≤2，－1<x ≤3；命题q ：（x －m ）（x －m －1）≤0，解得m ≤x ≤m ＋1，由于p 是q 的必要不充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >－1m ＋1≤3 ，解得－1<m ≤2，所以m 的取值范围是（－1，2].故选C. 8．答案：C答案解析：因为M ＝{1，3，6}，P ＝{3，4，5}，所以M ∩P ＝{3}，M ∪P ＝{1，3，4，5，6}，因为U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁U （M ∪P ）＝{2，7，8}，由Venn 图易知，Venn 图中阴影部分表示的集合是∁U （M ∪P ）∪（M ∩P ）， 故Venn 图中阴影部分表示的集合是{2，3，7，8}． 9．答案：B答案解析：要使“对任意x ∈[1，2），x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，所以a >4是命题为真的充分不必要条件．10．答案：B答案解析：由题意，甲：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； 乙：∁U A ⊆∁U B ⇔B ⊆A ； 丙：（∁U A ）∪（∁U B ）＝∁U A ⇔∁U B ⊆∁U A ⇔A ⊆B ；丁：∁U （A ∪B ）＝（∁U A ）∩（∁U B ）对任意的集合A ，B 均成立． 若有且只有一个不成立，则必为乙． 故选B.11．答案：A答案解析：“若am 2>bm 2，则a >b ”的逆命题为“若a >b ，则am 2>bm 2”，①正确；“∀x >0，1－1x ≤ln x ”的否定是“∃x 0>0，1－1x 0>ln x 0”，②正确；命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝2”的否命题为“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠2”，③不正确；“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 不全为0，则a 2＋b 2≠0”，④不正确．故选A.12．答案：B 答案解析：对于A ：当等腰三角形的顶角∠BAC 无限小时，且底边上的高AD 比较大，BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，如图所示：显然BE ＋CF <AD ，故BE 、CF 、AD 不满足三角形的三边，故选项A 错误；对于B ：由x －1x －2 ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x －2）≤0x －2≠0 ，解得1≤x <2，任取x 1，x 2且x 1≥x 2，则 2≤x 1＋x 2<4，0≤x 1－x 2<1，又1≤x 3<2，所以x 1－x 2<x 3<x 1＋x 2，即选项B 成立；对于C ：因为|x －1|＋|x －3|＝2，当x ≤1时，－（x －1）－（x －3）＝2，解得x ＝1； 当x ≥3时，（x －1）＋（x －3）＝2，解得x ＝3；当1<x <3时（x －1）－（x －3）＝2，即2＝2恒成立，所以1<x <3；综上可得1≤x ≤3，即{x ||x －1|＋|x －3|＝2}＝{x |1≤x ≤3}，令a ＝b ＝1，c ＝3，显然a ＋b <c ，不满足a ，b ，c 为某一三角形的三边长，故选项C 错误；对于D ：因为y ＝log 2（3x －2），所以3x －2>0，解得x >23，所以{x |y ＝log 2（3x －2）}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >23 ，令a ＝b ＝1，c ＝3，显然a ＋b <3，不满足a ，b ，c 为某一三角形的三边长，故选项D 错误．故选B.13．答案：m ≤1 答案解析：因为命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋m >0”为假命题，所以命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋m ≤0”为真命题，所以Δ＝（－2）2－4m ≥0，解得m ≤1.14．答案：k ≤2答案解析：因为A ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}＝{x |1≤x ≤4}， 所以∁R A ＝{x |x <1或x >4}，当B ＝∅时，k ＋1>2k ，即k <1，适合题意；当B ≠∅时，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1≤2k k ＋1≥12k ≤4，解得1≤k ≤2，综上，实数k 的取值范围是k ≤2.15．答案：120答案解析：当b ＝1时，a ≠1显然是正确的，由题意，则b ≠1；当a ≠1时，由b ≠1，则c ＝1，而c ≠2显然正确，由题意，则a ＝1； 故c ≠2是正确的，易知b ＝2，c ＝0，故100a ＋10b ＋c ＝100×1＋10×2＋0＝120. 16．答案：①③答案解析：g （x ）＝2sin [2（x －π4 ）＋π3 ]＝2sin （2x －π6），p 1：g （x ）的周期T ＝2π2＝π，所以函数的最小正周期是π，所以p 1是假命题；p 2：当x ∈（－π3 ，0）时，2x －π6 ∈（－5π6 ，－π6），在此区间函数先减后增，所以p 2是假命题；p 3：x ∈[0，π2 ]时，2x －π6 ∈[－π6 ，5π6 ]，所以sin （2x －π6 ）∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 ，函数g （x ）的值域是[－1，2]，所以p 3是真命题．根据复合命题真假的判断方法可知①③正确．17．答案解析：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．（1）∵A ∩B ＝[0，3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3. ∴m ＝2.（2）∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，∵A ⊆∁R B ， ∴m －2>3或m ＋2<－1，即m >5 或m <－3.所以实数m 的取值范围是{m |m >5，或m <－3}． 18．答案解析：（1）因为A ＝{x |1<x <5}，B ＝{x |－2<x <2}， 所以A ∩B ＝{x |1<x <2}，A ∪B ＝{x |－2<x <5}．（2）由“x ∈A ”是“x ∈B ”成立的充分不必要条件， 知集合A 是集合B 的真子集，因为m 2＋1－（m －1）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －12 2 ＋74 >0，所以由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－2m 2＋1≤2 ，解得－1≤m ≤1.当m ＝－1时，A ＝B ，不满足条件， 当m ＝1时，A ＝{x |0<x <2}满足条件， 所以实数m 的取值范围为－1<m ≤1. 即m ∈（－1，1].19．答案解析：（1）∵A ＝{x ∈R |x 2－5x ＋8＝2}＝{2，3}，B ＝{x ∈R |x 2＋2x －8＝0}＝{2，－4}，∴A ∪B ＝{2，3，－4}．（2）∵A ∩C ≠∅，B ∩C ＝∅，∴2∉C ，－4∉C ，3∈C .∵C ＝{x ∈R |x 2－ax ＋a 2－19>0}，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－2a ＋a 2－19≤0，（－4）2＋4a ＋a 2－19≤0，32－3a ＋a 2－19>0，解得⎩⎨⎧－3≤a ≤5，－2－7≤a ≤－2＋7，a <－2或a >5，∴－3≤a <－2.∴实数a 的取值范围是[－3，－2）.20．答案解析：（1）由p ：2x 2－5x －3>0，即p ：x >3或x <－12，设A ＝{x |x >3或x <－12}，B ＝{x |x >a }，因为p 是q 的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集，所以a ≥3.（2）由r ：x 2≤m （m >0），即r ：－m ≤x ≤m ，¬p ：－12 ≤x ≤3，设C ＝{x |－m ≤x ≤m }，D ＝{x |－12≤x ≤3}，因为¬p 是r 的必要条件，所以C ⊆D ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－12m ≤3m >0，解得0<m ≤14 ，所以m 的最大值为14 .21．答案解析：（1）由题意解不等式（4x ＋1）（x ＋2）<0得：－2<x <－14，解3x ＋1 >1，即3x ＋1 －1＝－x ＋2x ＋1>0，得－1<x <2， 故A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2<x <－14 ，B ＝{x |－1<x <2}，故M ＝B ΔA ＝{x |x ∈B, 且x ∉A }＝B ∩∁R A＝{x |－1<x <2}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－2或x ≥－14＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－14≤x <2 . （2）若x ∈P 是x ∈M 的必要条件，则M ⊆P .①当2a >2－a 即a >23 时，P ＝{x |2－a <x <2a }，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－142a ≥2a >23，即a >94； ②当2a <2－a 即a <23时，P ＝{x |2a <x <2－a }，则⎩⎪⎨⎪⎧a <232a <－142－a ≥2，即a <－18 ； ③当2a ＝2－a 即a ＝23时，P ＝∅，此时不满足条件，综上，所求实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <－18或a >94 .22．答案解析：（1）若p 为真，（ln x ＋3x ）min ≥2m 2－m 恒成立，因为x ∈[1，3]，函数y ＝ln x ，y ＝3x在[1，3]为单调递增函数，所以函数y ＝ln x ＋3x在[1，3]为单调递增函数，所以（ln x ＋3x）min ＝3，所以，3≥2m 2－m ，解得：－1≤m ≤32 .所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32 . （2）若q 为真，存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4 ，使得不等式4x ＋1x ＋2m －3≤0成立，所以只需（4x＋1x＋2m －3）min ≤0，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4 ，4x ＋1x ≥4，当且仅当x ＝12 时等号成立， 所以（4x ＋1x＋2m －3）min ＝4＋2m －3＝2m ＋1，所以2m ＋1≤0，即m ≤－12；若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，则p ，q 一真一假．若q 为假命题，p 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m ≤32m >－12，即－12 <m ≤32 ；若p 为假命题，q 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧m <－1或m >32m ≤－12，即m <－1.综上，实数m 的取值范围为（－∞，－1）∪（－12 ，32].。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2014年高考数学走出题海之黄金30题系列1．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是( )． A. 9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B ．[－1,0] C ．(－∞，－2] D. 9,4⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭【答案】A2．已知以4T =为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3]m x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。

若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,315B ．15(,7)3C ．48(,)33D. ()7,2【答案】B3．定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，()'()'()f x f x xf x +<恒成立，1(2),(3),(21)(2)2a fb fc f ===+，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】A4．设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是A.当0a <时，12120,0x x y y +<+>B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+<C. 当0a >时，12120,0x x y y +<+<D. 当0a >时，12120,0x x y y +>+> 【答案】：B【解析】：令)()(x g x f =可得b ax x+=21zxxk 学 科 网 设b ax y xy +=''=',12 不妨设21x x <，结合图形可知，5．已知函数2342013()1...2342013x x x x f x x =+-+-++,2342013()1...2342013x x x x g x x =-+-+--,设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的最小值为（ ）A 、11B 、10C 、9D 、8 【答案】B 【解析】零点在(1,2)上，函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，(3)f x +的零点在(4,3)--上，(4)g x -的零点在(5,6)上，-b a 的最小值为6410-=．【考点定位】1、导数的应用, 2、根的存在性定理.6．已知数列a n ：12132143211121231234，，，，，，，，，，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为( ) A.3724 B.76 C.1115 D.715【答案】A7．现有两个命题：（1）若lg lg lg()x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ； （2）若函数()1xf x x =-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q ；则以下集合关系正确的是（ ）A ．P Q Ü B.Q P Ü C.P Q = D.P Q =∅【答案】C 【解析】对()1xf x x =-求导得：21()(1)f x x '=--.由21()2(1)f x x '=-=--得212x =+.由此得切点为2(1,12)2++.代入()2g x x t =-+得223t =+.由图可知223t <+时，函数()1x f x x =-，8．函数2sin 8(,)1sin x x x f x x θθθ--+=--（x ＞2）的最小值（ ）A.42B.22C.142+D.142-+ 【答案】A 【解析】9．设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则22x y u xy +=的取值范围是 （ ）A ．5[2,2] B ．510[,]23 C ．10[2,]3 D ．1[,4]4【答案】C【考点定位】线性规划.10．如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中,P 为11D A 的中点,Q 为11B A 上任意一点,F E 、为CD 上任意两点,且EF 的长为定值,则下面四个值中不为定值的是A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．三棱锥QEF P -的体积D ．二面角Q EF P --的大小 【答案】Ｂ 【解析】考点：直线与平面所成的角，二面角，棱锥的体积及点到面的距离11．已知点A 在抛物线24y x =上，且点A 到直线10x y --=的距离为2，则点A 的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C 【解析】考点：点到直线的距离，直线与圆锥曲线的公共点问题.12．已知函数2()(2),[2,)xf x x x e x =-∈-+∞,()f x '是函数()f x 的导函数，且()f x '有两个零点1x 和2x (12x x <),则()f x 的最小值为()A ．1()f xB ．2()f xC ．(2)f -D ．以上都不对 【答案】B 【解析】试题分析：22'()(22)(2)[(22)2]xxxf x x a e x ax e x a x a e =-+-=+--，由题意12'()'()0f x f x ==，当1x x <或2x x >时，'()0f x >，当12x x x <<时，'()0f x <，因此()f x 的最小值是2()f x ，选B ．考点：函数的极值与最值．13. 设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点, P 是C 上一点,若126,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为( )（A ）2 （B ）22 （C ）3 （D ）433【答案】C 【解析】14．已知1a >，且函数xy a =与函数log a y x =的图象有且仅有一个公共点，则此公共点的坐标为 .【答案】(,)e e【考点】导数与切线．15.如图，在ABC ∆中，1,2,120===∠AC AB BAC，D 是边BC 上一点，BD DC 2=，则BC AD ⋅=_________．【答案】38- 【解析】试题分析：()AC AB AB AC AB BC AB BD AB AD 31323131+=-+=+=+=, AB AC BC -=()38323131313222-=-+⋅=-⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅∴AB AC AC AB AB AC AC AB BC AD .考点：向量的数量积16．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<. （Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a qN N **挝.【答案】（Ⅰ）,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥；（Ⅱ）答案详见解析；（Ⅲ）答案详见解析.【解析】zxxk 学 科 网即 ,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥（Ⅱ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ==，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. 因为 []n n b a =，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤.（必要性）因为对于任意的n N *Î，n n S T =，当1n =时，由1111,a S b T ==，得11a b =；当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =. zxxk 学 科 网 所以对一切正整数n 都有n n a b =.由 n b Z Î，0n a >，得对一切正整数n 都有n a N *Î， 所以公比21a q a =为正有理数. 假设 q N *Ï，令p q r=，其中,,1p r r N *?，且p 与r 的最大公约数为1.因此1a N *Î，q *∈N .【考点定位】1、等比数列的通项公式；2、数列前n 项和；3、充要条件.17．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为a 的正方形，PA ⊥平面ABCD ，点E 是PA 的中点．⑴求证：PC平面BDE ；⑵求证：平面PAC ⊥平面BDE ； ⑶若PA a =，求三棱锥C BDE -的体积．【答案】⑴见解析； ⑵见解析；⑶231111332212C BDE E BCD BCD a V V EA S a a --==⨯⨯=⨯⨯=． 【解析】本试题主要是考查了立体几何中线面的平行的证明以及面面垂直的郑敏而后三棱锥体积的运算的因为ABCD 为正方形，所以M 为AC 中点，又因为E 为PA 的中点，所以ME 为PAC ∆的中位线， 所以MEPC ， ……………3分又因为ME ⊂平面BDE ，PC ⊄平面BDE ，zxxk 学 科 网 所以PC平面BDE ．……5分⑵因为ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥， 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥，又ACPA A =，所以BD ⊥平面PAC ．………………………………………………………………8分 因为BD ⊂平面BDE ，所以平面PAC ⊥平面BDE ．…………………………10分 ⑶231111332212C BDE E BCD BCD a V V EA S a a --==⨯⨯=⨯⨯=．…………………………14分 【考点定位】空间直线与平面的位置关系；2、几何体的体积. zxxk 学 科 网18．如图①，已知∆ABC 是边长为l 的等边三角形，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD=AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将∆ABF 沿AF 折起，得到如图②所示的三棱锥A-BCF ，其中BC=22．(1)证明：DE//平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ； (3)当AD=23时，求三棱锥F-DEG 的体积F DEG V - 【答案】(1)详见解析，(2)详见解析，(3)3.324zxxk 学 科 网 【解析】在折叠后的三棱锥A BCF -中 也成立,//DE BC ∴ (2)DE ⊄平面BCF , BC ⊂平面BCF ,//DE ∴平面BCF (4)（2）在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥,12BF CF == ……..5 在三棱锥A BCF -中,22BC =,222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥ .......7 BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥平面 zxxk 学 科 网 .. (9)（Ⅲ）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面．11111131332323323324F DEG E DFGV V DG FG GF --⎛⎫∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭………….13 【考点定位】线面平行判定定理，线面垂直判定定理,几何体的体积.19．菱形ABCD 的边长为3，AC 与BD 交于O ，且60=∠BAD ．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥B ADC -（如图），点M 是棱BC 的中点，322DM =．（1）求证：平面ABC⊥平面MDO；（2）求三棱锥ABDM-的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）93 16.【解析】zxxk 学科网试题解析：(1）由题意，32 OM OD==,因为322DM=,所以90DOM∠=，OD OM⊥．3分【考点定位】面面垂直，几何体的体积.20．已知点12(1,0),(1,0)F F -分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点, 点2(1,)2P 在椭圆上C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程;（Ⅱ）设直线12:,:,l y kx m l y kx m =+=-若1l 、2l 均与椭圆C 相切,试探究在x 轴上是否存在定点M ,点M 到12,l l 的距离之积恒为1?若存在,请求出点M 坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）1222=+y x ；（2）满足题意的定点B 存在,其坐标为(1,0)-或(1,0) 【解析】试题解析：(1)法一：由12(1,0),(1,0)F F -,得1c =, 1分222211211a b a b ⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩ 2分 2,1a b ==∴椭圆C 的方程为1222=+y x 4分法二：由12(1,0),(1,0)F F -,得1c =, 1分222212222||||(11)(0)(11)(0)2222a PF PF =+=-+-+++-= 3分 ∴2,1ab ==∴椭圆C 的方程为1222=+y x 4分21．已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值； （3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：2AB OM =．【答案】(1) 2212y x -=；(2)29；(3)证明见解析． 【解析】试题分析：(1)从双曲线方程中发现只有一个参数，因此我们只要找一个关系式就可求解，而这个关系式在12Rt MF F ∆中，︒=∠3021F MF ，212221F F c b ==+，21F M b =，通过直角三角形的关系就可求得b ；(2)由(1)知双曲线的渐近线为2y x =±，这两条渐近线在含双曲线那部分的夹角为钝角，因此过双曲线上的点P 作该双曲线两条渐近线的垂线12,PP PP ，12PPP ∠为锐角，这样这题我们只要认真计算，设P 点坐标为00(,)x y ，由点到直线距离公式求出距离12,PP PP ，利用两条直线夹角公式求出12cos PPP ∠，从而得到向量的数量积21PP PP ⋅；(3)首先 2AB OM =等价于OA OB ⊥，因此设1122(,),(,)A x y B x y ，我们只要则点Q 到两条渐近线的距离分别为00001222||,||33x y x y PP PP -+==7分因为00(,)Q x y 在双曲线C ：2212y x -=上，所以220022x y -= 又1cos 3θ=，所以2200000022212cos 33933x y x y x y θ-+-=⋅=⋅= 10分（3）由题意，即证：OA OB ⊥ zxxk 学 科 网设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为：002x x y y += 11分 ①当00y ≠时，切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：【考点定位】(1)双曲线的方程；(2)占到直线的距离，向量的数量积；(3)圆的切线与两直线垂直的充要条件． 22．已知动点P 到点A (－2,0)与点B (2,0)的斜率之积为－14，点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)若点Q 为曲线C 上的一点，直线AQ ，BQ 与直线x ＝4分别交于M ，N 两点，直线BM 与椭圆的交点为D .求证，A ，D ，N 三点共线．【答案】（1）24x ＋y 2＝1(x ≠±2)．（2）见解析【解析】(1)解 设P 点坐标(x ，y )，则k AP ＝2y x + (x ≠－2)，k BP ＝2y x - (x ≠2)，由已知2y x +·2y x -＝－14，化简，得24x ＋y 2＝1，所求曲线C 的方程为24x ＋y 2＝1(x ≠±2)．＝2414kk＋，所以Q 222284(,)1414k k k k -＋＋. 当x ＝4，得y M ＝6k ，即M (4,6k )．zxxk 学 科 网 又直线BQ 的斜率为－14k ，方程为y ＝－14k (x －2)，当x ＝4时，得y N ＝－12k ，即N 1(4,)2k-.直线BM 的斜率为3k ，方程为y ＝3k (x －2)．因为k AD ＝－112k ，k AN ＝－112k，所以k AD ＝k AN . zxxk 学 科 网 所以A ，D ，N 三点共线．【考点定位】1、轨迹方程；2、直线与椭圆的关系.23．已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的离心率与双曲线1222=-x y 的离心率互为倒数，直线2:+=x y l 与以原点为圆心，以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（3）设第（2）问中的2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点S R ,在2C 上，且满足0=⋅RS QR ,求||QS 的取值范围.【答案】（1）12322=+y x ；（2）x y 42=（3）[)+∞,58【解析】试题分析：（1）双曲线的离心率为3，所以椭圆的离心率为33。

江苏高考数学模拟考试考前必做难题30题（解析版）1. 已知PM 垂直直线42()y kx k k R =+-∈于M 点，若(2,0),(3,3)P N --，则线段MN 长度的最大值为_____. 【答案】42+2．若3,(0)m m m ->恰为函数sin()(0,0,0π)y A x A ωϕωϕ=+>><<两个相邻零点，则_____.ϕ= 【答案】3π4【解析】π,3ππ()m k m k k Z ωϕωϕ+=-+=-+∈3π4π4π()0π1,.4k k Z k ϕϕϕ∴=-+∈<<∴==3．已知()|21|xf x =- ，若方程2()(23)()(12)0f x k f x k -+++= 有三个不同的实根，则实数k 取值范围为_____. 【答案】(0,)+∞【解析】由题意得2()(23)(12)0h t t k t k =-+++=必有两个实根12,,t t 且满足1201t t <<< 或1201, 1.t t <<= 因此(0)0(1)0h h >⎧⎨<⎩ 或(0)0,(1)0023012h h k k>=⎧⎪∴>⎨+<<⎪⎩ 4.已知函数（，）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，且在时取得最大值2，若，且，则的值为 .【答案】2425-【解析】函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，说明周期为2π，22,1ππωω==，在时取得最大值2，则sin()12,sin()1,23332k ππππϕϕϕπ++=+=+=+，26k πϕπ=+， 02πϕ≤≤，取6πϕ=，则()sin()16f x x π=++，8()sin()165f παα=++= ，sin(α+3)65π= ，54,,cos()362665πππππααπα<<∴<+<∴+=- ，3424sin(2)sin 2()2sin()cos()2()36665525ππππαααα+=+=++=⨯⨯-=- .5．如图，在中，已知为边的中点.若，垂足为，则的值为____________.【答案】6．若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间122⎛⎫ ⎪⎝⎭，内存在单调递增区间，则实数α的取值范围是 . 【答案】18⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，【解析】由题意得，()12f x ax x '=+，若()f x 在区间122⎛⎫ ⎪⎝⎭，内存在单调递增区间，在()0f x '≥在122⎛⎫⎪⎝⎭，有解，故212a x ⎛⎫-⎪⎝⎭≥的最小值，又()212g x x =-在122⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是单调递增函数，所以()1128g x g ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭，所以实数a 的取值范围是18a -≥． 7.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，M ，N 两点在双曲线C 上，且MN ∥F 1F 2，12||4||F F MN =，线段F 1N 交双曲线C 于点Q ，且1||||F Q QN =，则双曲线C 的离心率为 .【答案】6【解析】由于MN ∥F 1F 2，12||4||F F MN =，则2c MN =，设),4(y cN ，又)0,(1c F -，且1||||F Q QN =，则)2,83(y c Q -,点N 、Q 在双曲线上满足方程，有14649,11622222222=-=-b y a c b y a c ，消去y 得：62=e ，则6=e .8．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为1F ，2F ．这两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．若1||10PF =，记椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则12e e 的取值范围是 ．【答案】1(,)3+∞【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为12,,c PF m PF n ==，()m n >，由于12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，若1||10PF =，即有10,2m n c ==，由椭圆的定义可得12m n a +=，由双曲线定义可得22m n a -=，即由125,5,(5)a c a c c =+=-<，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2210c c +>，可得52c >，既有552c <<，由离心率公式可得2122122125251c c c e e a a c c =⋅==--，由于22514c <<，则由2112531c>-，则12e e 的取值范围是1(,)3+∞． 9．已知函数()[]()()21(02)12x x x f x x ⎧--<⎪=⎨=⎪⎩，≤，，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．设*n ∈N ，定义函数()n f x ：()()1f x f x =，()()()21f x f f x =，···，()()()()12n nf x f f x n -=≥，则下列说法正确的有 个 ①y 的定义域为223⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；②设{}012A =，，，()3{|}B x f x x x A ==∈，，则A B =； ③201620178813999f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④若集合()[]12{|02}M x f x x x ==∈，，，则M 中至少含有8个元素． 【答案】3【解析】①()0x f x -≥，当01x <≤时，[]()()20213x f x x x x ==-⇒，≤≥，所以213x <≤；当12x <≤时，[]()11x f x x x ==-，≤成立，所以12x <≤；当2x =时，()12f x =≤成立，所以213x <≤；因此定义域为223⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；②()()()100221f f f ===，，∴1B∈；()()()022110f f f ===，，，∴()()()0211002B f f f ∈===；，，，∴2B∈，因此A B =；③因为822141455899999999f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，即5188499f f T ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，因此2016201720162017418882888810999999999f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，；④由上可知821450129999，，，，，，为M 中元素，又2233f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以M 中至少含有8个元素．综上共有3个正确说法．10.已知函数.若函数 在区间内没有零点 ， 则的取值范围是 ． 【答案】【解析】1cos 3131()sin sin cos 22222x f x x x x ωωωω+=+-=+sin()6x πω=+ ，2,2,2666x x x πππππωπωωπωπωωπ<<∴<<+<+<+, 函数 在区间内没有零点(1) (,2)(2,2),66k k k Z ππωπωππππ++⊆+∈，则26226x k k πωππωπππ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩ ，则126512k k ωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩ ，取0k = ，0,ω> 5012k ∴<≤； （2）(,2)(2,22),66k k k Z ππωπωπππππ++⊆++∈，则262226k k πωππππωπππ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得：5261112k k ωω⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩ ，取0k = ，511612k ∴≤≤ ； 综上可知：k 的取值范围是5511(0,][,]12612⋃． 11．已知函数()()2,11{2,13x x f x f x x -<≤=-<<，函数()f x 在0x x =处的切线为l ，若01165x <<，则l 与()f x 的图象的公共点个数为__________．【答案】2或 3.【点睛】本题主要考查直线与分段函数的零点个数问题，分类讨论思想的应用，属于难题，本题考查学生将交点个数转化成方程解的个数问题，当13x <<时，将直线直线l 代入到()f x 中，得到一元二次方程，利用求根公式将根表示出来，再由范围对根满足题意的个数进行讨论即可求解.12．已知a ， b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为__________． 【答案】7【解析】21201ab a b a b --=⇒+= ，所以212222242222a a a b a b b b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当2a b = 时取等号）而2222842a b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+≥= （当且仅当2a b = 时取等号），因此22218174a b a b +--≥-= （当且仅当2a b = 时取等号），即22214a b a b-+-的最小值为7. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 13．已知函数()2x f x =若关于x 的方程()()210fx mf x m -+-=恰好有3个不相等的实根,则m的取值范围是__________．【答案】(){},12-∞⋃【解析】当0x >时， ()121122x x x x f x e e --==， ()()1112211212'x x x x x e xe x f x xe e -------==，当102x <<时， ()'0f x >，()f x 递增，当12x >时， ()'0f x <， ()f x 递减，当0x <时， ()()121122x x x x f x e e ----==， ()121'0x x f x xe--=<-，即()f x 递减，注意x →+∞时， ()0f x →且()0f x >，可作出函数()f x 的图象（简图）如图， ()00f =， 122f e ⎛⎫=⎪⎝⎭，由()()210fx mf x m -+-=得()1f x =或()1f x m =-，从图象知()1f x =有三个不同的根，因此11m -=或()1f x m =-无实根，即10m -<，所以1m <或2m =．点睛：本题中方程()()210fx mf x m -+-=中把()f x 作为一个整体，可直接解出()1f x =或()1f x m =-，从而分别研究这两个方程即可，而这两个方程的解的个数可以看作函数()y f x =的图象与直线1x =或1x m =-的交点个数，因此首先研究函数()f x 的性质：特别是单调性、极值，得出函数图象的变化趋势，作出简图，从图中可看出()1f x =已知有三个解，因此()1f x m =-无实数根或者就是方程()1f x =，利用导数研究函数的性质是解题的关键．14．已知方程()2ln 2||2x m x -=-，有且仅有四个解1234,,,x x x x ，则()1234m x x x x +++=__________． 【答案】4e点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究. 15．已知ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若2A B =，则2c bb a+的取值范围为__________． 【答案】()2,4 【解析】2sin 2sin sin32sin sin cos2cos sin21sin sin sin sin2sin cos c b C B B B B B B B b a B A B B B B++=+=+=+2211cos22cos 4cos 1cos cos B B B B B=++=+-.又()20,B π∈，且()30,A B B π+=∈，所以0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.设1cos ,12B t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，令()22141c b t f t b a t +=+-=，则()32218180t f t t t t -=-=>'，故()f t 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()24f t <<.16．已知22142(0,0)x y xy x y =+-<<，则2x y +的取值范围为__________．【答案】[)2,1--【解析】由题意得()2231x y y -+= ，令()()cos ,π,03x y y ααα-==∈- ，则π2cos 2sin 6x y ααα⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭ ，且cos 03x αα=+< ，所以ππ,3α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， π5πππ1,,1sin 66662αα⎛⎫⎛⎫+∈---≤+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即[)22,1x y +∈--.17．对于无穷数列{}n a ，记{|,}j i T x x a a i j ==-<，若数列{}n a 满足：“存在t T ∈，使得只要m k a a t -=（*,N m k ∈且m k >），必有11m k a a t ++-=”，则称数列{}n a 具有性质()P t .（Ⅰ）若数列{}n a 满足2,2,{25,3,n n n a n n ≤=-≥判断数列{}n a 是否具有性质()2P ？是否具有性质()4P ？（Ⅱ）求证：“T 是有限集”是“数列{}n a 具有性质()0P ”的必要不充分条件；（Ⅲ）已知{}n a 是各项为正整数的数列，且{}n a 既具有性质()2P ，又具有性质()5P ，求证：存在整数N ，使得12,,,,,N N N N k a a a a +++是等差数列.【答案】（Ⅰ）数列{}n a 不具有性质()2P ；具有性质()4P ;（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）见解析.【解析】试题分析：（1）根据新定义直接验证即可的结论（2）对于“T 是有限集”是“数列{}n a 具有性质()0P ”的必要不充分条件，先证不充分性对于周期数列1,1,2,2,1,1,2,2,， {}1,0,1T =-是有限集，但是由于21320,1a a a a -=-=，所以不具有性质()0P ；再证必要性因为数列{}n a 具有性质()0P ，所以一定存在一组最小的*,N m k ∈且m k >，满足0m k a a -=，即m k a a =，所以数列{}n a 中必然会以某个周期进行，所以数列{}n a 中最多有1m -个不同的项，从而得证（3）因为数列{}n a 具有性质()2P ，数列{}n a 具有性质()5P ，所以存在*','N M N ∈，使得''2M p M a a +-=， ''5N q N a a +-=，其中,p q 分别是满足上述关系式的最小的正整数，然后根据其性质列出相关等式可得结论，然后逐一分析取值讨论 试题解析：（Ⅰ）数列{}n a 不具有性质()2P ；具有性质()4P .（Ⅱ）（不充分性）对于周期数列1,1,2,2,1,1,2,2,， {}1,0,1T =-是有限集，但是由于21320,1a a a a -=-=，所以不具有性质()0P ；（必要性）因为数列{}n a 具有性质()0P ，所以一定存在一组最小的*,N m k ∈且m k >，满足0m k a a -=，即m k a a = 由性质()0P 的含义可得11222112,,,,,m k m k m k m m k m a a a a a a a a ++++----====所以数列{}n a 中，从第k 项开始的各项呈现周期性规律： 11,,,k k m a a a +-为一个周期中的各项，所以数列{}n a 中最多有1m -个不同的项， 所以T 最多有21m C -个元素，即T 是有限集.记{}max ','M M N =，则对于M a ，有2M p M a a +-=， 5M q M a a +-=，显然p q ≠， 由性质()()2,5P P 的含义可得N k ∀∈， 2,5M p k M k N q k N k a a a a ++++++-=-=， 所以()()()()()()1122M qp M M qp M p M M q p M q p M q p a a a a a a a a q ++++-+-+--=-+-++-=()()()()()()1125M qp M M pq M q M M p q M p q M p q a a a a a a a a p ++++-+-+--=-+-++-=所以25M qp M M a a q a p +=+=+. 所以25q p =，又,p q 是满足2M p M a a +-=， 5M q M a a +-=的最小的正整数， 所以5,2q p ==，252,5M M M M a a a a ++-=-=，所以N k ∀∈， 252,5M k M k M k M k a a a a ++++++-=-=， 所以N k ∀∈， ()22122M k M M k a a a k ++-=+==+， ()55155M k M M k a a a k ++-=+==+，取5N M =+，则N k ∀∈，所以，若k 是偶数，则N k N a a k +=+；若k 是奇数，则()()()555555N k N N N N k a a a k a k a k ++++-==+-=++-=+， 所以N k ∀∈， N k N a a k +=+ 所以12,,,,,N N N N k a a a a +++是公差为1的等差数列.18．已知数列{}n a 满足11a =， 2142n n n n a a a a λμ+++=+，其中*N n ∈， λ， μ为非零常数.（1）若3λ=， 8μ=，求证： {}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 是公差不等于零的等差数列. ①求实数λ， μ的值；②数列{}n a 的前n 项和n S 构成数列{}n S ，从{}n S 中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问：是否存在首项为1S 的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1231n n a -=⋅-（2）①1λ=， 4μ=， 21n a n =-.②{}14844,,,S S S S ， {}1122436,,,S S S S ，{}142040,,,S S S S【解析】试题分析：（1）利用等比数列定义证明，即寻找11n a ++与1n a +比例关系：利用213842n n n n a a a a +++=+代入化简可得()1131n n a a ++=+.最后说明各项非零.（2）①令1n =，2，3，根据等差数列性质得2133242,2a a a a a a =+=+ ，列出关于λ， μ的二元一次方程组，解得λ， μ的值；再验证满足题意.②先求数列{}n a 的前n 项和2n S n =，再讨论四项奇偶性：三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.将奇偶性代入化简讨论，直至确定.试题解析：解：（1）当3λ=， 8μ=时， 213842n n n n a a a a +++=+ ()()3222n n n a a a ++=+ 32na =+，()1131n n a a +∴+=+.又10n a +≠，不然110a +=，这与112a +=矛盾，{}1n a ∴+为2为首项，3为公比的等比数列，1123n n a -∴+=⋅， 1231n n a -∴=⋅-.令1n =，2，3，解得， 1λ=， 4μ=， 2d =. 经检验，满足题意.综上， 1λ=， 4μ=， 21n a n =-. ②由①知()21212n n n S n +-==.设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.1°若三个奇数一个偶数，设1S ， 21x S +， 21y S +， 2z S 是满足条件的四项， 则()2121x +++ ()222142017y z ++=，()2222x x y y z ∴++++ 1007=，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去.2°若一个奇数三个偶数，设1S ， 2x S ， 2y S ， 2z S 是满足条件的四项， 则2214x ++ 22442017y z +=， 222504x y z ∴++=.由504为偶数知， x ， y ， z 中一个偶数两个奇数或者三个偶数.1）若x ， y ， z 中一个偶数两个奇数，不妨设12x x =， 121y y =+， 121z z =+，则()222111112x y y z z ++++ 251=，这与251为奇数矛盾.2）若x ， y ， z 均为偶数，不妨设12x x =， 12y y =， 12z z =，则222111126x y z ++=，继续奇偶分析知1x ， 1y ， 1z 中两奇数一个偶数， 不妨设122x x =， 1221y y =+， 1221z z =+，则22222x y y +++ 22231z z +=.因为()221y y +， ()221z z +均为偶数，所以2x 为奇数，不妨设220y z ≤≤，当21x =时， 222222y y z z +++ 30=， 22214y y +≤，检验得20y =， 25z =， 21x =， 当23x =时， 222222y y z z +++ 22=， 22210y y +≤，检验得21y =， 24z =， 23x =， 当25x =时， 222222y y z z +++ 6=， 2222y y +≤，检验得20y =， 22z =， 25x =，即1S ， 4S ， 8S ， 44S 或者1S ， 12S ， 24S ， 36S 或者1S ， 4S ， 20S ， 40S 满足条件， 综上所述， {}14844,,,S S S S ， {}1122436,,,S S S S ， {}142040,,,S S S S 为全部满足条件的四元子列. 19．已知函数，． （Ⅰ）若直线与曲线和分别交于两点.设曲线在点处的切线为，在点处的切线为.（ⅰ）当时，若，求的值；（ⅱ）若，求的最大值；（Ⅱ）设函数在其定义域内恰有两个不同的极值点，，且．若，且恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（ⅰ）(ⅱ) （2）【解析】 (Ⅰ) 函数的定义域为.，. （ⅰ）当时，，. 因为，所以. 即.解得.(ⅱ)因为，则在上有解. 即在上有解. 设，，则.当时，恒成立，则函数在上为增函数.当时，取，取，, 所以在上存在零点.当时，存在零点，，满足题意.另解：函数的定义域为. ，.则，.因为，则在上有解.即在上有解.因为，所以.令(). .得.当，，为增函数；当，，为减函数；所以.所以，的最大值是.（Ⅱ）.因为为在其定义域内的两个不同的极值点，所以是方程的两个根. 即，.两式作差得，.因为，由，得.则 .令，则，由题意知:在上恒成立， 令，则=.当，即时，，，所以在上单调递增.又，则在上恒成立.当，即时，时，，在上为增函数； 当时，，在上为减函数. 又，所以不恒小于，不合题意. 综上，.20．已知函数()21ln 2f x x ax bx =-+且函数()y f x =图象上点()()1,1f 处的切线斜率为0. （1）试用含有a 的式子表示b ，并讨论()f x 的单调性；（2）对于函数图象上的不同两点()()1122,,,A x y B x y 如果在函数图象上存在点()()()00012,,,M x y x x x ∈使得点M 处的切线lAB ，则称AB 存在“跟随切线”.特别地，当1202x x x +=时，又称AB 存在“中值跟随切线”.试问：函数()f x 上是否存在两点,A B 使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出,A B 的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析（2）不存在【解析】试题分析：（1）函数()y f x =的定义域为()0,+∞，且()1'f x ax b x=-+，又()'10f =，整理得1b a =-. ()()()1111'1ax x f x ax b ax a x x x+-+=-+=-+-=. 然后根据a 的不同取值情况逐一讨论分析（2）假设满足条件的,A B 存在，不妨设()()1122,,,A x y B x y 且120x x <<，则()1212121212ln ln 112AB y y x x k a x x a x x x x --==-++---，又由题有： ()0'AB k f x =，整理可得：()121211*********221ln ln 222ln *1x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭=⇒==-+++，令12,(01)x t t x =<<，构造函数()()21ln ,(01)1t g t t t t -=-<≤+，则()()()()22211411t g t t t t t -=-=++，则()0,1t ∈时， ()0g t ≥恒成立，故()y g t =在()0,1上单调递增从而得出不存在。

2016年高考数学走出题海之黄金30题系列专题06 考前必做难题30题1．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d ，，，都成立，则实数m 的最大值是 ．2．已知函数2()f x x x a =-，若存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，则实数a 的取值范围是 ． 3．用min{m ，n}表示m ，n 中的最小值．已知函数f(x)＝x 3＋ax ＋14，g(x)＝－lnx ，设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x ＞0)，若h(x)有3个零点，则实数a 的取值范围是 ． 4．在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60o，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则⋅O P B P 的最小值是 ．5．若存在,R αβ∈，使得3cos cos 25cos t t αββααβ⎧=+⎪⎨⎪≤≤-⎩，则实数t 的取值范围是 ． 6．已知函数()()sin coscos 262x x f x A x πθ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭（其中A 为常数，(),0θπ∈-），若实数123,,x x x 满足：①123x x x <<；②312x x π-<；③()()()123f x f x f x ==，则θ的值为 .7．若正实数,x y 满足()()()221522xy y y -=+-，则12x y+的最大值为 8．已知数列{a n }中，a 1=a （0＜a≤2），a n+1=（n ∈N *），记S n =a 1+a 2+…+a n ，若S n =2015，则n= ．9．已知f （x ）是定义在[1，+∞]上的函数，且f （x ）=，则函数y=2xf （x ）﹣3在区间（1，2015）上零点的个数为 ．10．已知P 点为圆1O 与圆2O 公共点，圆2221:()()O x a y b b -+-=+1，圆2222:()()O x c y d d -+-=+1 ，若8,a c acb d ==，则点P 与直线l ：34250x y --=上任意一点M 之间的距离的最小值为 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 分别为x 轴，y 轴上一点，且2AB =，若点P ，则AP BP OP ++的取值范围是 ．12．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，1()(23)2f x x a x a a =-+--. 若集合{}|(1)()0x f x f x x R φ--∈=＞，，则实数a 的取值范围为 . 13．设c b a ,,是正实数，满足a c b ≥+，则ba cc b ++的最小值为 ． 14．设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ．15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右准线与x 轴交于点A ，点B 的坐标为(0,)a ，若椭圆上的点M 满足3AB AM =，则椭圆C 的离心率值为________．16．已知数列{}n a 满足11a =，且111n n a a n +=++，*n ∈N ，则201420151()k k k a a =-=∑ ．17．已知函数+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-.18．设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和()2114n n S a =+，*N n ∈． （1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）等比数列{}n b 的各项均为正数，21n n n b b S +≥，*N n ∈，且存在整数2k ≥，使得21k k k b b S +=．（i ）求数列{}n b 公比q 的最小值（用k 表示）；（ii ）当2n ≥时，*N n b ∈，求数列{}n b 的通项公式．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆:O 224x y +=，椭圆:C 2214x y +=， A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中6(,0)5D -．设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ．（1）求12k k 的值；（2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由； （3）求证：直线AC 必过点Q ．20．已知数列{}n c 的通项公式是n n n b a c =，前n 项和为n T ,其中{}n a 是首项为11=a 的等差数列，且0>n a ，数列{}n b 为等比数列，若32)32(+⋅-=nn n T（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）是否存在,p q *∈N ，使得2016)1(212=-+q p b a 成立，若存在，求出所有满足条件的,p q ；若不存在，说明理由；（3）是否存在非零整数λ，使不等式12112sin )111()111)(111(+<+-+-+-n n n a a a a a πλ对一切n *∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由. 21．已知函数f （x ）=（ax 2+x+2）e x（a ＞0），其中e 是自然对数的底数． （1）当a=2时，求f （x ）的极值；（2）若f （x ）在[﹣2，2]上是单调增函数，求a 的取值范围；（3）当a=1时，求整数t 的所有值，使方程f （x ）=x+4在[t ，t+1]上有解． 22．已知函数（ω＞0），直线x=x 1，x=x 2是y=f（x ）图象的任意两条对称轴，且|x 1﹣x 2|的最小值为．（Ⅰ）求f （x ）的表达式； （Ⅱ）将函数f （x ）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g （x ）的图象，若关于x 的方程g （x ）+k=0，在区间上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．23．在数列{}n a 中，11a =，且对任意的*k N ∈，21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q ． （1）若k q =2（*k N ∈），求13521...k a a a a -++++；（2）若对任意的*k N ∈，k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，其公差为k d ，设 ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差； ② 若1d =2，试求数列{}k d 的前k 项的和k D ．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆:O 224x y +=， A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ．（1）求12k k 的值；（2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由； （3）求证：直线AC 必过点Q ．25．若数列{}n a 中不超过)(m f 的项数恰为m b （*N m ∈），则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数)(m f 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.（1）已知2n a n =，且2)(m m f =，写出1b 、2b 、3b ；（2）已知n a n 2=，且m m f =)(，求{}m b 的前m 项和m S ；（3）已知nn a 2=，且3)(Am m f =（*N A ∈），若数列{}m b 中，1b ，2b ，5b 是公差为d（0≠d ）的等差数列，且103=b ，求d 的值及A 的值26．已知函数]42)4(231[)(23--++-=a x a x x e x f x ，其中R a ∈，e 为自然对数的底数 （1）若函数)(x f 的图像在0=x 处的切线与直线0=+y x 垂直，求a 的值． （2）关于x 的不等式x e x f 34)(-<在)2,(-∞上恒成立，求a 的取值范围． （3）讨论)(x f 极值点的个数．27．已知函数()x axf x e =在0x =处的切线方程为y x =．（1）求a 的值；（2）若对任意的(0,2)x ∈，都有21()2f x k x x <+-成立，求k 的取值范围；（3）若函数()ln ()g x f x b =-的两个零点为12,x x，试判断12()2x x g +'的正负，并说明理由．28．已知函数2()21(0)g x mx mx n n =-++≥在[]1,2上有最大值1和最小值0，设()()g x f x x=（e 为自然对数的底数）． （1）求m n 、的值；（2）若不等式22(log )2log 0f x k x -≥在[]2,4x ∈上有解，求实数k 的取值范围； （3）若方程2(1)301x x kf e k e -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 29．已知函数()=e x f x （其中e 是自然对数的底数），2()1g x x ax =++，a ∈R ． （1）记函数()()()F x f x g x =⋅，当0a >时，求()F x 的单调区间；（2）若对于任意的1x ，2[0,2]x ∈，12x x ≠，均有1212|()()||()()|f x f x g x g x ->-成立，求实数a 的取值范围．30．如图，曲线Γ由两个椭圆1T ：和椭圆2T ：成，当,,a b c 成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”.若猫眼曲线Γ过点,,a b c 的公比为（1）求猫眼曲线Γ的方程； （2）任作斜率为()0k k ≠且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆1T 所得弦的中点为M ，交椭圆2T 所得弦的中点为N ，求证：为与k 无关的定值；（3）的直线l 为椭圆2T 的切线，且交椭圆1T 于点,A B ，N 为椭圆1T上的任意一点（点N 与点,A B 不重合），求ABN 面积的最大值.。

2019年高考数学走出题海之黄金30题系列专题六 考前必做难题30题一、填空题 1．若函数，有三个不同的零点，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】由于二次函数至多两个零点，单调函数至多一个零点，所以有一个零点，有两个零点，因此且，解得.2．若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间122⎛⎫ ⎪⎝⎭，内存在单调递增区间，则实数α的取值范围是 . 【答案】18⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，【解析】由题意得，()12f x ax x '=+，若()f x 在区间122⎛⎫ ⎪⎝⎭，内存在单调递增区间，在()0f x '≥在122⎛⎫⎪⎝⎭，有解，故212a x ⎛⎫-⎪⎝⎭≥的最小值，又()212g x x =-在122⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是单调递增函数，所以()1128g x g ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭，所以实数a 的取值范围是18a -≥． 3.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，M ，N 两点在双曲线C 上，且MN ∥F 1F 2，12||4||F F MN =，线段F 1N 交双曲线C 于点Q ，且1||||F Q QN =，则双曲线C 的离心率为 . 【答案】6【解析】由于MN ∥F 1F 2，12||4||F F MN =，则2c MN =，设),4(y cN ，又)0,(1c F -，且1||||F Q QN =，则)2,83(y c Q -,点N 、Q 在双曲线上满足方程，有14649,11622222222=-=-b y a c b y a c ，消去y 得：62=e ，则6=e . 4．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为1F ，2F ．这两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．若1||10PF =，记椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则12e e 的取值范围是 ．【答案】1(,)3+∞【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为12,,c PF m PF n ==，()m n >，由于12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，若1||10PF =，即有10,2m n c ==，由椭圆的定义可得12m n a +=，由双曲线定义可得22m n a -=，即由125,5,(5)a c a c c =+=-<，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2210c c +>，可得52c >，既有552c <<，由离心率公式可得2122122125251c c c e e a a c c =⋅==--，由于22514c <<，则由2112531c >-，则12e e 的取值范围是1(,)3+∞． 5．如图所示，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，过球心且，是边长为2等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为__________．【答案】【解析】过球心 ，又是边长为的等边三角形，，,三角形是等腰直角三角形，， ，。