《平面向量坐标法的应用(第五课时)》
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平面向量的坐标表示和应用
平面向量的坐标表示和应用在数学中，向量是一种包含大小和方向的量，常用来表示物理量。
而平面向量则是指位于同一平面上的向量。
为了便于描述和计算，我们通常使用坐标来表示平面向量。
本文将探讨平面向量的坐标表示及其应用。
一、平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示，例如向量AB可以表示为(AB)，其中A和B是平面上的两个点。
而这个有序数对的坐标表示即为平面向量的坐标。
对于平面上的点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，向量AB的坐标表示为：(AB) = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)这样，我们就可以用有序数对表示平面向量，并通过坐标的差值表示向量的方向和大小。
二、平面向量的坐标运算在进行平面向量的坐标运算时，我们可以类比于进行普通的数学运算。
主要涉及到向量的加法、减法和数乘。
1. 向量的加法设有两个向量AB和CD，它们的坐标分别为(AB) = (x₁, y₁)和(CD) = (x₂, y₂)。
那么这两个向量的和为：(AB + CD) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)向量的加法相当于分别对向量的x轴和y轴分量进行相加。
2. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示。
设有两个向量AB 和CD，那么它们的差为：(AB - CD) = (AB + (-CD))其中(-CD)是向量CD的相反向量，其坐标为=(-x₂, -y₂)。
将其带入上式，可得：(AB - CD) = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)向量的减法相当于向量的加法和数乘的结合运算。
3. 向量的数乘设有向量AB，那么它与一个实数k的数乘表示为：k(AB) = (kx, ky)其中kx和ky分别为向量AB的x轴和y轴分量乘以k。
三、平面向量的坐标表示应用平面向量的坐标表示在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面介绍两个常见的应用。
1. 向量的平移平面向量的坐标表示可以用于描述平面上的点的平移，即将一个点沿着一个向量进行移动。
坐标法在平面向量运算中的应用(公开课教案)
坐标法在平面向量运算中的应用（专题复习）一、教学目标1．知识与技能：运用坐标法解决平面向量的数量积、夹角、模、参数等有关的值、范围、最值等高考热点问题。
2．过程与方法：通过实例讲解，让学生在用坐标法、基向量法及其它方法解决向量问题过程中，体会坐标法的优越性，并掌握用坐标法解决平面向量有关问题。
3．情感、态度与价值观：通过本节的学习，让学生体验坐标法在平面向量运算中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。
二、教学重点难点重点：运用坐标法解决平面向量有关问题。
难点：恰当建立直角坐标系，将平面向量有关的问题用坐标法解决。
三、教学过程（一）回归教材1.向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底. 对于平面内的一个向量a ，由平面基本定理，有且只有一对实数x 、y ，使得x y =+a i j 这样，平面内的任一向量a 都可以由x 、y 唯一确定，我们把有序数对(,)x y 叫做向量a 的 坐标，记作(,)x y =a .显然，i =（1,0），j =（0,1），0 = （0,0）2.平面向量的坐标运算(1) 若11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则1212(,)x x y y ±=±±a b ， a(2) 若11(,)A x y ,22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--.(3) 若向量11(,)a x y =，22(,)b x y =，则1212x x y a y b +=(4) 向量的夹角公式：21cos a b a b x θ==+ (5)向量的模：221a a a a x ==⋅=+(6)平面向量的平行与垂直问题：若11(,)a x y =，22(,)b x y =//a b ，则12210x y x y -= a b ⊥，则121200x x y a b y ==+⇒λ）（21,x x λλ=3.平面几何问题的向量坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能将向量有关的几何问题转化为相应的代数运算，从而使问题得到解决。
《平面向量的坐标表示》课件
解析
首先计算$overrightarrow{AC}$和$overrightarrow{BC}$ 的坐标。根据向量的坐标表示，$overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1, -2-2) = (-2,-4)$，$overrightarrow{BC} = C - B = (-1-3, -2-4) = (-4,-6)$。然后计算 $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}$的坐标。 根据向量加法的性质，$overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC} = (2+(-2), 2+(-4)) = (0,-2)$。
向量加法
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量$overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{AC} = overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{BC} = (x_{1} + x_{2},y_{1} + y_{2})$。
b坐o标ve求rse解t{longrightarrow}{ j}$。
通过向量的起点和终点坐标，可以求出$a$和$b$的值， 从而得到向量的坐标。
03
起点坐标法
如果知道起点$A$和终点$B$的坐标，则向量 $overset{longrightarrow}{AB}$的坐标为$(B_x - A_x, B_y - A_y)$。
向量积：设向量 $overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量 $overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则 $overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{BC}$的大 小为 $|overset{longrightarrow}{AB}| cdot |overset{longrightarrow}{BC}| cdot sintheta$，其中$theta$为两
首先计算$overrightarrow{AC}$和$overrightarrow{BC}$ 的坐标。根据向量的坐标表示，$overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1, -2-2) = (-2,-4)$，$overrightarrow{BC} = C - B = (-1-3, -2-4) = (-4,-6)$。然后计算 $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}$的坐标。 根据向量加法的性质，$overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC} = (2+(-2), 2+(-4)) = (0,-2)$。
向量加法
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量$overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{AC} = overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{BC} = (x_{1} + x_{2},y_{1} + y_{2})$。
b坐o标ve求rse解t{longrightarrow}{ j}$。
通过向量的起点和终点坐标，可以求出$a$和$b$的值， 从而得到向量的坐标。
03
起点坐标法
如果知道起点$A$和终点$B$的坐标，则向量 $overset{longrightarrow}{AB}$的坐标为$(B_x - A_x, B_y - A_y)$。
向量积：设向量 $overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量 $overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则 $overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{BC}$的大 小为 $|overset{longrightarrow}{AB}| cdot |overset{longrightarrow}{BC}| cdot sintheta$，其中$theta$为两
高考数学(文)《平面向量》专题复习
专题5 平面向量
第1节 平面向量的概念及线性运算、 平面向量基本定理
600分基础 考点&考法
❖考点29 平面向量的基本概念及线性运算 ❖考点30 平面向量的坐标运算
返回
考点29 平面向量的基本概念及线性运算
❖考法1 平面向量的有关概念 ❖考法2 平面向量的线性运算
返回
考点29 平面向量的基本概念及线性运算
【注意】①向量数乘的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，λa＝0.②实数和向量可 以求积，但不能求和、求差．③正确区分向量数量积与向量数乘的运算律．
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考法2 平面向量的线性运算
返回
考点30 平面向量的坐标运算
❖考法3 平面向量基本定理的应用 ❖考法4 平面向量的共线问题 ❖考法5 平面向量的坐标表示与运算
1.向量的有关概念
2.向量的线性运算
考法1 平面向量的有关概念
解决平面向量的有关概念的问题时，应注意以下两点： 1．应正确理解向量的概念 ①向量既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以 判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；②大小与方向是向 量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；③向量可以自 由平移，任一组平行向量都可以移到同一直线上． 2．正确理解共线向量与平行向量 共线向量就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反， 当然向量所在直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不 同于平面几何中“共线”的含义．
(2)b在a方向上的投影是 一个数量，当0°≤θ＜ 90°时为正；当90°＜θ ≤180°时为负；当θ＝ 90°时为0.
考点31 平面向量的数量积
【注意】x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．
第1节 平面向量的概念及线性运算、 平面向量基本定理
600分基础 考点&考法
❖考点29 平面向量的基本概念及线性运算 ❖考点30 平面向量的坐标运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
❖考法1 平面向量的有关概念 ❖考法2 平面向量的线性运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
【注意】①向量数乘的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，λa＝0.②实数和向量可 以求积，但不能求和、求差．③正确区分向量数量积与向量数乘的运算律．
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考法2 平面向量的线性运算
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考点30 平面向量的坐标运算
❖考法3 平面向量基本定理的应用 ❖考法4 平面向量的共线问题 ❖考法5 平面向量的坐标表示与运算
1.向量的有关概念
2.向量的线性运算
考法1 平面向量的有关概念
解决平面向量的有关概念的问题时，应注意以下两点： 1．应正确理解向量的概念 ①向量既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以 判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；②大小与方向是向 量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；③向量可以自 由平移，任一组平行向量都可以移到同一直线上． 2．正确理解共线向量与平行向量 共线向量就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反， 当然向量所在直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不 同于平面几何中“共线”的含义．
(2)b在a方向上的投影是 一个数量，当0°≤θ＜ 90°时为正；当90°＜θ ≤180°时为负；当θ＝ 90°时为0.
考点31 平面向量的数量积
【注意】x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．
《平面向量的坐标》课件
平面示成(x,y)，称之为向量 的坐标
终点坐标表示法
在平面直角坐标系中，用点P的坐标 表示向量→OP
终点坐标表示法
平面直角坐标系
由两条互相垂直的坐标轴和坐标原点组成。在平 面向量中，我们将其中一个点作为向量的起点。
终点坐标
在平面直角坐标系中，用点P的坐标表示向量 →OP。向量的模长：||→OP|| = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)
坐标表示法
1 坐标定义
2 坐标推导
把向量→OP表示成(x,y)，称之为向量的坐标
→OP = (x2,y2) - (x1,y1)
坐标表示法的性质
1
向量坐标的加减法
2
向量加减法可以转化为坐标加减法进
行计算，简化了复杂运算。
3
零向量与坐标轴
零向量在坐标系中的坐标为(0,0)，与 x轴和y轴重合。
数量积与坐标表示法
《平面向量的坐标》PPT 课件
欢迎来到《平面向量的坐标》PPT课件。在这个课件中，我们将探讨平面向 量的定义、表示方式和性质。
什么是平面向量
1 定义
平面向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。广泛用于表示二维物理量、几何量 等。
2 用途
平面向量在物理、几何、计算机等领域有着广泛的应用，是这些学科的基础概念之一。
数量积计算时用的是坐标，而不是箭 头表示法。通过坐标可以快速计算向 量的数量积。
结论
重要性
终点坐标表示法和坐标表示法在平面向量的 表示上扮演着重要的角色。
坐标表示法的优势
坐标表示法的数学性质让向量加减法的计算 更加简便。
平面向量的坐标表示和应用
平面向量的坐标表示和应用平面向量是我们在平面上研究几何和物理问题时经常遇到的重要概念。
平面向量有多种表示方法，其中坐标表示是最常用和最方便的一种。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及其在实际问题中的应用。
一、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示是指使用带方向的有序数对来表示一个向量。
在二维平面中，一个向量可以表示为矩阵形式：AB = (x, y)其中，(x, y)表示向量AB在x轴和y轴上的投影长度。
x表示向量在x轴上的投影长度，y表示向量在y轴上的投影长度。
这种表示方法相对简洁明了，方便计算和应用。
在直角坐标系中，我们可以利用两点的坐标来确定一个向量的坐标表示。
考虑两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，可以得到向量AB的坐标表示：AB = (x2 - x1, y2 - y1)这里的(x2 - x1)表示向量在x轴上的投影长度，(y2 - y1)表示向量在y轴上的投影长度。
二、平面向量的应用平面向量的坐标表示不仅仅是一种数学工具，也是解决实际问题的重要手段。
下面我们将介绍平面向量坐标表示的一些具体应用。
1. 位移问题平面向量的坐标表示可以用于描述位移问题。
假设一个物体在平面上从点A(x1, y1)移动到点B(x2, y2)，我们可以用向量表示物体的位移：AB = (x2 - x1, y2 - y1)这个向量就表示了物体从A点到B点的位移情况。
通过计算向量的模长和方向，我们可以得到具体的位移距离和方向角度。
2. 力的合成平面向量的坐标表示还可以用于描述力的合成问题。
假设一个物体受到两个力F1和F2的作用，我们可以用向量表示这两个力的合力：F = F1 + F2通过将两个力的向量相加，我们可以得到其合力的坐标表示。
这个合力向量可以帮助我们确定物体受力的大小和方向。
3. 速度和加速度问题平面向量的坐标表示在描述速度和加速度问题时也非常有用。
假设一个物体在平面上沿着某个路径运动，我们可以用向量表示物体的速度和加速度：速度 V = (v1, v2)加速度 A = (a1, a2)其中v1和v2表示速度在x轴和y轴上的分量，a1和a2表示加速度在x轴和y轴上的分量。
平面向量的坐标表示使用共25页PPT
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
平面向量的坐标表示使用
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入Байду номын сангаас网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
平面向量的坐标表示与应用
平面向量的坐标表示与应用平面向量是代数学中的重要概念，它可以用于描述平面上的位移、速度、力量等物理现象。
本文将探讨平面向量的坐标表示以及其在实际应用中的运用。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，平面上的点可以表示为有序数对(x，y)。
类似地，平面向量也可以用有序数对表示，其中x表示水平方向上的分量，y表示垂直方向上的分量。
例如，设有点A(x₁，y₁)和点B(x₂，y₂)在平面上，向量AB可以表示为(Δx，Δy)，其中Δx = x₂ - x₁，Δy = y₂ - y₁。
这样，平面上的向量就可以用有序数对表示。
二、平面向量的运算平面向量可以进行加法和数乘运算。
1. 向量加法：设有向量A(x₁，y₁)和向量B(x₂，y₂)，它们的和记作A + B，可以通过分别对应分量进行相加得到。
即(A + B) = (x₁ + x₂，y₁ + y₂)。
2. 数乘运算：设有向量A(x₁，y₁)和实数k，它们的数乘记作kA，可以通过分别对应分量进行相乘得到。
即kA = (kx₁，ky₁)。
三、平面向量的应用平面向量在几何、物理以及工程等领域具有广泛的应用。
1. 几何中的向量运算：通过向量的加法和数乘运算，我们可以计算平面上的任意两点之间的距离、中点坐标等几何性质。
例如，已知点A(x₁，y₁)和点B(x₂，y₂)，可以计算向量AB的模长|AB| = √[(x₂ -x₁)² + (y₂ - y₁)²]。
2. 物理中的向量应用：在物理学中，向量常常用于描述力、速度和加速度等物理量。
例如，力可以表示为有大小和方向的向量，而加速度则是速度的变化率，也可以表示为向量。
通过对向量的运算，我们可以计算出物体在平面上的运动轨迹、速度和加速度等信息。
3. 工程中的向量应用：平面向量在工程领域的应用广泛。
例如，在建筑设计中，平面向量可以用于描述建筑物的形状和尺寸，计算出各个部分之间的间距和角度。
在电路设计中，平面向量可以用于描述电流和电压的关系，计算电路中的功率和能量等。
最新《平面向量的坐标运算》课件教学讲义PPT课件
解 ： a b ( 2 , 1 ) ( 3 , 4 ) ( 1 , 5 )
a b ( 2 , 1 ) ( 3 , 4 ) ( 5 , 3 )
3a4b3(2,1)4(3,4) (6,3)(12,16) (6,19)
例3已知三个力 F 1 (3, 4), F 2 (2, 5), F 3 (x, y)的合力
(x1x2,y1y2)
同 理 得 a b ( x 1 x 2 ,y 1 y 2 )
( 2 )a x i y j x i y j (x ,y )
结论2：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的和与差.
结论3：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标.
已知 A(x1,y1),B(x2,y2)，求 AB的坐标.
2.对向量坐标表示的理解:
(1)任一平面向量都有唯一的坐标; (2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；
(3)相等的向量有相等的坐标. 3.平面向量的坐标运算: ( 1 ) 若 a ( x 1 , y 1 ) , b ( x 2 , y 2 ) , 则 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) ,
《平面向量的坐标运算》课 件
引入: 1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来
表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢?
ya
b
A(a,b)
Oa
x
例1.用基底 i , j 分别表示向y量a,b,c,d,并求出它们的坐标.
5
B
b
4
b 2i 3 j
3
a AB 2i 3 j
(2,3)
2
A
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) ,a(x1,y1)
解： BA 2,33,5 5 , 2 .
a b ( 2 , 1 ) ( 3 , 4 ) ( 5 , 3 )
3a4b3(2,1)4(3,4) (6,3)(12,16) (6,19)
例3已知三个力 F 1 (3, 4), F 2 (2, 5), F 3 (x, y)的合力
(x1x2,y1y2)
同 理 得 a b ( x 1 x 2 ,y 1 y 2 )
( 2 )a x i y j x i y j (x ,y )
结论2：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的和与差.
结论3：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标.
已知 A(x1,y1),B(x2,y2)，求 AB的坐标.
2.对向量坐标表示的理解:
(1)任一平面向量都有唯一的坐标; (2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；
(3)相等的向量有相等的坐标. 3.平面向量的坐标运算: ( 1 ) 若 a ( x 1 , y 1 ) , b ( x 2 , y 2 ) , 则 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) ,
《平面向量的坐标运算》课 件
引入: 1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来
表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢?
ya
b
A(a,b)
Oa
x
例1.用基底 i , j 分别表示向y量a,b,c,d,并求出它们的坐标.
5
B
b
4
b 2i 3 j
3
a AB 2i 3 j
(2,3)
2
A
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) ,a(x1,y1)
解： BA 2,33,5 5 , 2 .
平面向量的坐标表示与运算的应用
平面向量的坐标表示与运算的应用1. 引言平面向量是向量的一种，它有方向和大小，通常以箭头来表示。
本文将重点讨论平面向量的坐标表示与运算的应用。
首先介绍平面向量的坐标表示方式，然后探讨如何进行向量的加法、减法、数量乘法和点乘法运算，并分别给出实际应用的例子。
2. 平面向量的坐标表示在二维平面上，平面向量可以通过坐标表示。
一般来说，平面向量通常用一个有序数对表示，如(a, b)，其中a表示向量在x轴上的分量，b表示向量在y轴上的分量。
以向量A为例，A = (a, b)。
3. 平面向量的加法平面向量的加法可以通过将各个坐标分量相加得到。
例如，对于两个向量A = (a1, b1)和B = (a2, b2)，它们的和向量C = A + B = (a1+a2,b1+b2)。
这种加法运算可以用来表示力的合成，比如两个力作用于同一点，可以通过向量的叠加求出合力。
4. 平面向量的减法平面向量的减法与加法类似，只需将对应的坐标分量相减即可。
例如，对于两个向量A = (a1, b1)和B = (a2, b2)，它们的差向量D = A - B = (a1-a2, b1-b2)。
减法运算可以用来表示力的分解，比如一个力可以分解为两个分力的合成。
5. 平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法是指向量乘以一个标量。
例如，对于向量A = (a, b)和一个实数k，其数量乘积为kA = (ka, kb)。
这种运算可以用来表示力的放大或缩小，或者表示速度的改变。
6. 平面向量的点乘法平面向量的点乘法也称为内积或数量积，它的结果是一个标量。
点乘法的计算公式是A·B = a1*a2 + b1*b2，其中A = (a1, b1)和B = (a2, b2)。
点乘法可以判断两个向量的夹角的大小，以及计算向量的投影和模长。
7. 平面向量的运算应用平面向量的坐标表示与运算在几何、物理、力学等各个领域具有广泛的应用。
例如，在几何中，可以利用向量的加法和减法求解两点之间的距离或中点坐标。
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§7.5 平面向量坐标法的应用
讲课人：张艳琴
典例精讲
例1.已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意一点，PE⊥AB 于点E，PF⊥BC于点F，连接DP、EF，求证DP ⊥EF。
证明：以AB，AD所在直线为坐标轴建立直角坐标系，
如图所示，设 点B(1,0), D(0,1), P(a, a), 则
E (a,0),
3 1 3 → 5 → 则BD＝ ， ，AE＝m－ ，－ . 2 2 2 2 → → 由 AE⊥BD，得AE· BD＝0.
1 5 3 3 即 m－2－ × ＝0， 2 2 2 4 4 BE 5 2 得 m＝5，所以EC＝6＝3. 5
F (1, a),
D
C P F
EF (1 a, a)
DP (a, a 1)
DP EF (1 a)a a(a 1) 0
DP EF
A
E
B
当堂检测
1.如图, 正方形OABC 两边AB､BC 的中点分别为D 和 E , 求DOE的余弦值.
2 2 BE 5 2 解得 λ＝ ，∴ ＝ ＝ . 5 EC 3 3 5
方法二
以 B 为坐标原点，直线 BC 为 x 轴建立平面直角坐标
系，根据条件，设 B(0,0)，C(2,0)， 1 5 3 3 A ， ，D ， .又设 E(m,0)， 2 2 2 2
→ ∵|PA|＝
1－
2 2 2 λ ＋－ λ2 2 2
本 课 时 栏 目 开 关
＝ λ2－ 2λ＋1， → 同理|EF|＝ λ2－ 2λ＋1， → → ∴|PA|＝|EF|，∴PA＝EF.
2 2 2 → → 2 PA· EF＝－ λ λ－1＋1－ λ－ λ ＝0， 2 2 2 2 → → ∴PA⊥EF.∴PA⊥E
例2.（2013湖南） 已知a, b是单位向量， a b 0, 若向量c 满足 c a b 1, 则 c 的最大值为( ). A. 2 1 B. 2 C. 2 1 D. 2 2
当堂检测
已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，PFCE 为矩形． 求证：(1)PA＝EF;(2)PA⊥EF.
证明 以 D 为坐标原点，DC 所在直线为 x 轴， DA 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系 Oxy(如图所示)，设正方形边长为 1，
→ |OP|＝λ，则 A(0,1)， 2 2 2 P λ， λ，E1， λ ， 2 2 2 2 2 2 → F λ，0，于是PA＝－ λ，1－ λ ， 2 2 2 2 → 2 EF＝ λ－1，－ λ . 2 2
例 3 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，BC＝2BA，∠ABC BE ＝60° ，作 AE⊥BD 交 BC 于 E，求EC的值．
本 课 时 栏 目 开 关
解 方法一 (基向量法) → → 设BA＝a，BC＝b，|a|＝1，|b|＝2. → a· b＝|a||b|cos 60° ＝1，BD＝a＋b. → → → → → 设BE＝λBC＝λb，则AE＝BE－BA＝λb－a. → → 由 AE⊥BD，得AE· BD＝0. 即(λb－a)· (a＋b)＝0.
[分析]把∠DOE转化为向量夹角.
解：如图建立直角坐标系，设A
当堂检测
2.已知四边形ABCD是正方形，E、F 分别在 BC、CD上，且BE CF 求证：AE BF .
A B E
D
F
C
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3.如图，已知矩形ABCD 的长与宽分别为 2和1, E是CD边上的中点， 证明：AE DB
讲课人：张艳琴
典例精讲
例1.已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意一点，PE⊥AB 于点E，PF⊥BC于点F，连接DP、EF，求证DP ⊥EF。
证明：以AB，AD所在直线为坐标轴建立直角坐标系，
如图所示，设 点B(1,0), D(0,1), P(a, a), 则
E (a,0),
3 1 3 → 5 → 则BD＝ ， ，AE＝m－ ，－ . 2 2 2 2 → → 由 AE⊥BD，得AE· BD＝0.
1 5 3 3 即 m－2－ × ＝0， 2 2 2 4 4 BE 5 2 得 m＝5，所以EC＝6＝3. 5
F (1, a),
D
C P F
EF (1 a, a)
DP (a, a 1)
DP EF (1 a)a a(a 1) 0
DP EF
A
E
B
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1.如图, 正方形OABC 两边AB､BC 的中点分别为D 和 E , 求DOE的余弦值.
2 2 BE 5 2 解得 λ＝ ，∴ ＝ ＝ . 5 EC 3 3 5
方法二
以 B 为坐标原点，直线 BC 为 x 轴建立平面直角坐标
系，根据条件，设 B(0,0)，C(2,0)， 1 5 3 3 A ， ，D ， .又设 E(m,0)， 2 2 2 2
→ ∵|PA|＝
1－
2 2 2 λ ＋－ λ2 2 2
本 课 时 栏 目 开 关
＝ λ2－ 2λ＋1， → 同理|EF|＝ λ2－ 2λ＋1， → → ∴|PA|＝|EF|，∴PA＝EF.
2 2 2 → → 2 PA· EF＝－ λ λ－1＋1－ λ－ λ ＝0， 2 2 2 2 → → ∴PA⊥EF.∴PA⊥E
例2.（2013湖南） 已知a, b是单位向量， a b 0, 若向量c 满足 c a b 1, 则 c 的最大值为( ). A. 2 1 B. 2 C. 2 1 D. 2 2
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已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，PFCE 为矩形． 求证：(1)PA＝EF;(2)PA⊥EF.
证明 以 D 为坐标原点，DC 所在直线为 x 轴， DA 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系 Oxy(如图所示)，设正方形边长为 1，
→ |OP|＝λ，则 A(0,1)， 2 2 2 P λ， λ，E1， λ ， 2 2 2 2 2 2 → F λ，0，于是PA＝－ λ，1－ λ ， 2 2 2 2 → 2 EF＝ λ－1，－ λ . 2 2
例 3 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，BC＝2BA，∠ABC BE ＝60° ，作 AE⊥BD 交 BC 于 E，求EC的值．
本 课 时 栏 目 开 关
解 方法一 (基向量法) → → 设BA＝a，BC＝b，|a|＝1，|b|＝2. → a· b＝|a||b|cos 60° ＝1，BD＝a＋b. → → → → → 设BE＝λBC＝λb，则AE＝BE－BA＝λb－a. → → 由 AE⊥BD，得AE· BD＝0. 即(λb－a)· (a＋b)＝0.
[分析]把∠DOE转化为向量夹角.
解：如图建立直角坐标系，设A
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2.已知四边形ABCD是正方形，E、F 分别在 BC、CD上，且BE CF 求证：AE BF .
A B E
D
F
C
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3.如图，已知矩形ABCD 的长与宽分别为 2和1, E是CD边上的中点， 证明：AE DB