中考数学试题2005年南京市中考数学试题及答案

江西省2005年中等学校招生考试数学试卷说明：本卷共有六大题，25个小题，全卷满分120分，考试时间：120分钟一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、计算：=-⨯-)4()2(_________；2、如图，一轴对称图形画出了它的一半，请你以点画线为对称轴画出它的另一半。

3、计算：=+-2242a a _________；4、已知2<a ，则=-2)2(a _________；5、收音机刻度盘的波长l 和频率f 分别是用米（m ）和千赫兹（kHz ）为单位标刻的。

波长l 和频率f 满足关系式lf 300000=，这说明波长l越大，频率f 就越_________；6、若方程02=-m x 有整数根，则m 的值可以是_________（只填一个）；7、如图，在⊙O 中，弦AB 等于⊙O 的半径，OC ⊥AB 交⊙O 于C ，则∠ABC ＝______度； 8、如图，正方形ABCD 中，AB=1，点P 是对角线AC 上的一点，分别以AP 、PC 为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是_________；9、如图，一个顶角为40º的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则=∠+∠21_________；10、如下图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、…所对应的点重合。

这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系。

（1）圆周上数字a 与数轴上的数5对应，则a ＝_________；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是_________（用含n 的代数式表示）。

（提醒：后面还有题目，请不要在此停留过长时间）二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项，把正确选项的代号填在题后的括号。

江苏省南京市初中毕业生学业考试数学试题一． 选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分) 1．计算︱－ 5＋3︱的结果是()A. － 2B. 2C. － 8D. 8考点：有理数的加法；绝对值． 分析：先计算﹣5+3，再求绝对值即可． 解答：解：原式=|﹣2| =2． 故选B ． 点评：本题考查了有理数的加法，以及绝对值的求法，负数的绝对值等于它的相反数． 2．计算(－xy ³)²的结果是( ) A. x ²y 6 B. －x ²y 6 C. x ²y 9 D. －x ²y 9 考点：幂的乘方与积的乘方． 分析：根据幂的乘方和积的乘方的运算方法：①（a m ）n =a mn （m ，n 是正整数）；②（ab ）n =a n b n （n 是正整数）；求出计算（﹣xy 3）2的结果是多少即可． 解答：解：（﹣xy 3）2 =（﹣x ）2•（y 3）2 =x 2y 6，即计算（﹣xy 3）2的结果是x 2y 6． 故选：A ． 点评：此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（a m ）n =a mn（m ，n 是正整数）；②（ab ）n =a n b n （n 是正整数）．3．如图，在△ABC 中，DE ∥ BC ，AD DB = 12，则下列结论中正确的是()A. AE EC = 12B.DE BC = 12C.△ADE 的周长△ABC 的周长 = 13D. △ADE 的面积△ABC 的面积 = 13考点：相似三角形的判定与性质． 分析：第3题图DA CE由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例可得，然后由=，即可判断A、B的正误，然后根据相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方即可判断C、D的正误．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵=，∵=，故A、B选项均错误；∵△ADE∽△ABC，∴==，=（）2=，故C选项正确，D选项错误．故选C．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的对应边之比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方．4．某市底机动车的数量是2×106辆，新增3×105辆．用科学记数法表示该市底机动车的数量是( )A. 2.3×105辆B. 3.2×105辆C. 2.3×106辆D. 3.2×106辆考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：底机动车的数量为：3×105+2×106=2.3×106．故选C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．估计5 -12介于( )A.0.4与0.5之间B. 0.5与0.6之间C. 0.6与0.7之间D. 0.7与0.8之间考点：第6题图MGFE O CD BA N估算无理数的大小． 分析：先估算的范围，再进一步估算，即可解答．解答： 解：∵ 2.235， ∴﹣1≈1.235， ∴≈0.617，∴介于0.6与0.7之间，故选：C ． 点评：本题考查了估算有理数的大小，解决本题的关键是估算的大小．6．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为() A. 133B. 92C.4313D.2 5考点：切线的性质；矩形的性质． 分析：连接OE ，OF ，ON ，OG ，在矩形ABCD 中，得到∠A=∠B=90°，CD=AB=4，由于AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点得到∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，推出四边形AFOE ，FBGO 是正方形，得到AF=BF=AE=BG=2，由勾股定理列方程即可求出结果． 解答：解：连接OE ，OF ，ON ，OG ， 在矩形ABCD 中，∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点， ∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°， ∴四边形AFOE ，FBGO 是正方形， ∴AF=BF=AE=BG=2， ∴DE=3，∵DM 是⊙O 的切线， ∴DN=DE=3，MN=MG ， ∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN ，在R t △DMC 中，DM 2=CD 2+CM 2， ∴（3+NM ）2=（3﹣NM ）2+42，∴NM=，∴DM=3=，故选A．点评：本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．二．填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)7．4的平方根是；4的算术平方根是．考点：算术平方根；平方根．分析：如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．解答：解：4的平方根是±2；4的算术平方根是2．故答案为：±2；2．点评：此题主要考查了平方根和算术平方根的概念，算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误．8．若式子x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是．考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．解答：解：根据题意得：x+1≥0，解得x≥﹣1，故答案为：x≥﹣1．点评：主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．9．计算5×153的结果是．考点：二次根式的乘除法．分析：直接利用二次根式的性质化简求出即可．解答：解：=×=5．故答案为：5． 点评：此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 10．分解因式(a － b )(a － 4b )＋ab 的结果是 ．考点：因式分解-运用公式法． 分析：首先去括号，进而合并同类项，再利用完全平方公式分解因式得出即可． 解答：解：（a ﹣b ）（a ﹣4b ）+ab =a 2﹣5ab+4b 2+ab =a 2﹣4ab+4b 2 =（a ﹣2b ）2．故答案为：（a ﹣2b ）2． 点评：此题主要考查了多项式乘法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．11．不等式组⎩⎨⎧2x +1＞－12x +1 ＜ 3的解集是 ．考点：解一元一次不等式组． 分析：分别解每一个不等式，再求解集的公共部分． 解答：解：，解不等式①得：x ＞﹣1， 解不等式②得：x ＜1，所以不等式组的解集是﹣1＜x ＜1． 故答案为：﹣1＜x ＜1． 点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x ＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x 介于两数之间．12．已知方程x ²＋mx ＋3=0的一个根是1，则它的另一个根是 ，m 的值是 ． 考点：根与系数的关系；一元二次方程的解． 分析：利用一元二次方程的根与系数的关系，两根的和是﹣m ，两个根的积是3，即可求解． 解答：解：设方程的另一个解是a ，则1+a=﹣m ，1×a=3，解得：m=﹣4，a=3．故答案是：3，﹣4．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键．13．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，－3)，作点A关于x轴的对称点，得到点A'，再作点A'关于y轴的对称点，得到点A''，则点A''的坐标是( ， )．考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：分别利用x轴、y轴对称点的性质，得出A′，A″的坐标进而得出答案．解答：解：∵点A的坐标是（2，﹣3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，∴A′的坐标为：（2，3），∵点A′关于y轴的对称点，得到点A″，∴点A″的坐标是：（﹣2，3）．故答案为：﹣2；3．点评：此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质．（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．14．某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示．工种人数每人每月工资元电工 5 7000木工 4 6000瓦工 5 50001名．与调整前相比，该工程队员工月工资的方差 (填“变小”，“不变”或“变大”)．考点：方差．分析：利用已知方差的定义得出每个数据减去平均数后平方和增大，进而得出方差变大．解答：解：∵减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，∴这组数据的平均数不变，但是每个数据减去平均数后平方和增大，则该工程队员工月工资的方差变大．故答案为：增大．点评：此题主要考查了方差的定义，正确把握方差中每个数据的意义是解题关键．15．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B＋∠E= °．1y=考点：圆内接四边形的性质． 分析：连接CE ，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD ，然后求解即可． 解答：解：如图，连接CE ，∵五边形ABCDE 是圆内接五边形， ∴四边形ABCE 是圆内接四边形， ∴∠B+∠AEC=180°， ∵∠CED=∠CAD=35°， ∴∠B+∠E=180°+35°=215°． 故答案为：215．点评：本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．16．如图，过原点O 的直线与反比例函数y 1、y 2的图像在第一象限内分别交于点A 、B ，且A 为OB 的中点．若函数y 1= 1x ，则y 2与x 的函数表达式是 ．考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 分析：过A 作AC ⊥x 轴于C ，过B 作BD ⊥x 轴于D ，由于点A 在反比例函数y 1=上，设A （a ，），求得点B 的坐标代入反比例函数的解析式即可求出结果． 解答：解：过A 作AC ⊥x 轴于C ，过B 作BD ⊥x 轴于D ， ∵点A 在反比例函数y 1=上， ∴设A （a ，），∴OC=a ，AC=， ∵AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴， ∴AC ∥BD ，∴△OAC ∽△OBD ， ∴，∵A 为OB 的中点， ∴=，∴BD=2AC=，OD=2OC=2a ， ∴B （2a ，）， 设y 2=， ∴k=2a •=4，∴y 2与x 的函数表达式是：y=． 故答案为：y=．点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数，相似三角形的判定和性质，反比例函数中k的几何意义要注意数形结合思想的运用． 三． 解答题(本大题共11小题，共88分)17．（6分）解不等式2(x ＋1) － 1 ≥ 3x ＋2，并把它的解集在数轴上表示出来．考点： 解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集． 分析：不等式去括号、移项合并、系数化为1即可求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 解答：第17题图–1–2–31230解：去括号，得2x+2﹣1≥3x+2， 移项，得2x ﹣3x ≥2﹣2+1， 合并同类项，得﹣x ≥1， 系数化为1，得x ≤﹣1，这个不等式的解集在数轴上表示为：点评：本题考查了一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 18．（7分）解方程2x －3 = 3x考点：解分式方程． 专题： 计算题． 分析：观察可得最简公分母是x （x ﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解答：解：方程两边同乘以x （x ﹣3），得2x=3（x ﹣3）． 解这个方程，得x=9．检验：将x=9代入x （x ﹣3）知，x （x ﹣3）≠0． 所以x=9是原方程的根． 点评：本题考查分式方程的解法，需要注意的是在解分式方程时需对得到的解进行检验．19．（7分）计算⎝⎛⎭⎫2a ²－b ² － 1a ² － ab ÷ aa +b考点：分式的混合运算． 分析：首先将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简求出即可． 解答：解：（﹣）÷=[﹣]×=[﹣]×=×=．点评：此题主要考查了分式的混合运算，正确进行通分运算是解题关键．20．（8分）如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD CD = CD BD． (1) 求证：△ACD ∽ △CBD ； (2) 求∠ACB 的大小．考点：相似三角形的判定与性质． 分析：（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD ∽△CBD ；（2）由（1）知△ACD ∽△CBD ，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD ，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°． 解答：（1）证明：∵CD 是边AB 上的高， ∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD ∽△CBD ；（2）解：∵△ACD ∽△CBD ， ∴∠A=∠BCD ，在△ACD 中，∠ADC=90°， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴∠BCD+∠ACD=90°， 即∠ACB=90°． 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理．21．（8分）为了了解某地区10万名大、中、小学生50米跑成绩情况，教育部门从这三类学生群体中各抽取了10%的学生进行检测，整理样本数据，并结合抽样结果，得到下列统计图．第20题图A(1)本次检测抽取了大、中、小学生共名，其中小学生名；(2)根据抽样的结果，估计该地区10万名大、中、小学生中，50米跑成绩合格的中学生人数为名；(3)比较与抽样学生50米跑成绩合格率情况，写出一条正确的结论．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）根据“教育部门从这三类学生群体中各抽取了10%的学生进行检测”，可得100000×10%，即可得到本次检测抽取了大、中、小学生共多少名，再根据扇形图可得小学生所占45%，即可解答；（2）先计算出样本中50米跑成绩合格的中学生所占的百分比，再乘以10万，即可解答；（3）根据条形图，写出一条即可，答案不唯一．解答：解：（1）100000×10%=10000（人），10000×45%═4500（人）．故答案为：10000，4500；（2）100000×40%×90%=3600（人）．故答案为：3600；（3）例如：与相比，该市大学生50米跑成绩合格率下降了5%（答案不唯一）．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．22．（8分）某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张．从中随机取出2张纸币．(1)求取出纸币的总额是30元的概率；(2)求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．考点：列表法与树状图法．专题：计算题．分析：（1）先列表展示所有3种等可能的结果数，再找出总额是30元所占结果数，然后根据概率公式计算；（2）找出总额超过51元的结果数，然后根据概率公式计算．解答：解：（1）列表：共有3种等可能的结果数，其中总额是30元占1种，所以取出纸币的总额是30元的概率=；（2）共有3种等可能的结果数，其中总额超过51元的有2种，所以取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率为．点评：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，求出概率．23．（8分）如图，轮船甲位于码头O 的正西方向A 处，轮船乙位于码头O 的正北方向C 处，测得∠CAO=45°．轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km /h 和36km /h ．经过0.1h ，轮船甲行驶至B 处，轮船乙行驶至D 位，测得∠DBO=58°，此时B 处距离码头O 有多远？(参考数据：sin 58° ≈ 0.85，cos 58° ≈ 0.53，tan 58° ≈ 1.60)考点：解直角三角形的应用．分析：设B 处距离码头Oxkm ，分别在Rt △CAO 和Rt △DBO 中，根据三角函数求得CO 和DO ，再利用DC=DO ﹣CO ，得出x 的值即可．解答：解：设B 处距离码头Oxkm ，在Rt △CAO 中，∠CAO=45°， 东北O B A∴CO=AO •tan ∠CAO=（45×0.1+x ）•tan45°=4.5+x ，在Rt △DBO 中，∠DBO=58°，∵tan ∠DBO=，∴DO=BO •tan ∠DBO=x •tan58°，∵DC=DO ﹣CO ，∴36×0.1=x •tan58°﹣（4.5+x ），∴x=≈=13.5．因此，B 处距离码头O 大约13.5km ．点评：本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角形中的边角关系是解题的关键．24．（8分）如图，AB ∥ CD ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，连接EF ，∠AEF 、∠CFE 的平分线交于点G ，∠BEF 、∠DFE 的平分线交于点H ．(1) 求证：四边形EGFH 是矩形．(2) 小明在完成(1)的证明后继续进行了探索．过G 作MN ∥ EF ，分别交AB 、CD 于点M 、N ，过H 作PQ ∥ EF ，分别交AB 、CD 于点P 、Q ，得到四边形MNQP ．此时，他猜想四边形MNQP 是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．分析：（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠FEH+∠EFH=90°，进而得出∠GEH=90°，进而求出四边形EGFH 是矩形；（2）利用菱形的判定方法首先得出要证▱MNQP 是菱形，只要证MN=NQ ，再证∠MGE=∠QFH 得出即可．解答：（1）证明：∵EH 平分∠BEF ，∴∠FEH=∠BEF ，∵FH 平分∠DFE ，小明的证明思路 由AB ∥CD ，MN ∥EF ，PQ ∥EF ，易证四边形MNQP 是平行四边形．要证▱MNQP 是菱形, 只要证NM=NQ ．由已知条件 ， MN ∥ EF ，可证NG = NF ，故只要证 GM = FQ ，即证△MGE ≌△QFH ．易证 ， ， 故只要证 ∠MGE = ∠QFH ，∠QFH = ∠GEF ，∠QFH=∠EFH ， 第24题图P H G A D C∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°，∴∠FEH+∠EFH=（∠BEF+∠DFE）=×180°=90°，∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°，∴∠EHF=180°﹣（∠FEH+∠EFH）=180°﹣90°=90°，同理可得：∠EGF=90°，∵EG平分∠AEF，∴∠EFG=∠AEF，∵EH平分∠BEF，∴∠FEH=∠BEF，∵点A、E、B在同一条直线上，∴∠AEB=180°，即∠AEF+∠BEF=180°，∴∠FEG+∠FEH=（∠AEF+∠BEF）=×180°=90°，即∠GEH=90°，∴四边形EGFH是矩形；（2）解：答案不唯一：由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证▱MNQP是菱形，只要证MN=NQ，由已知条件：FG平分∠CFE，MN∥EF，故只要证GM=FQ，即证△MGE≌△QFH，易证 GE=FH、∠GME=∠FGH．故只要证∠MGE=∠QFH，易证∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得证．点评：此题主要考查了矩形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质，根据题意得出证明菱形的方法是解题关键．25．(10分)如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）DA考点：作图—应用与设计作图；等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质．分析：①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可；②连接AC，在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可；③以A 为端点在AB上截取3个单位，以截取的点为圆心，以3个单位为半径画弧，交BC一个点，连接即可；④连接AC，在AC上，以C为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交BC、DC两点，然后连接A与这两个点即可；⑤以A为端点在AB上截取3个单位，再作着个线段的垂直平分线交CD一点，连接即可．解答：解：满足条件的所有图形如图所示：点评：此题主要考查了作图﹣应用与设计作图，关键是掌握等腰三角形的判定方法．26．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．(1)求证：∠A=∠AEB．(2)连接OE，交CD于点F，OE ⊥ CD．求证：△ABE是等边三角形．考点：圆内接四边形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理．(第26题)EOCABD分析：（1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，根据邻补角互补可得∠DCE+∠BCD=180°，进而得到∠A=∠DCE ，然后利用等边对等角可得∠DCE=∠AEB ，进而可得∠A=∠AEB ；（2）首先证明△DCE 是等边三角形，进而可得∠AEB=60°，再根据∠A=∠AEB ，可得△ABE 是等腰三角形，进而可得△ABE 是等边三角形．解答：证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE ，∵DC=DE ，∴∠DCE=∠AEB ，∴∠A=∠AEB ；（2）∵∠A=∠AEB ，∴△ABE 是等腰三角形，∵EO ⊥CD ，∴CF=DF ，∴EO 是CD 的垂直平分线，∴ED=EC ，∵DC=DE ，∴DC=DE=EC ，∴△DCE 是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE 是等边三角形．点评：此题主要考查了等边三角形的判定和性质，以及圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形对角互补．27．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1(单位：元)、销售价y 2(单位：元)与产量x (单位：kg )之间的函数关系．(1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义．(2)求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式．(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？x /kgy /元D B120 C 60 A考点：二次函数的应用．分析：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（3）利用总利润=单位利润×产量列出有关x的二次函数，求得最值即可．解答：解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y=k1x+b1，∵y=k1x+b1的图象过点（0，60）与（90，42），∴∴，∴这个一次函数的表达式为；y=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；（3）设y2与x之间的函数关系式为y=k2x+b2，∵经过点（0，120）与（130，42），∴，解得：，∴这个一次函数的表达式为y2=﹣0.6x+120（0≤x≤130），设产量为xkg时，获得的利润为W元，当0≤x≤90时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]=﹣0.4（x﹣75）2+2250，∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250；当90≤x130时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣42]=﹣0.6（x﹣65）2+2535，∴当x90时，W=﹣0.6（90﹣65）2+2535=2160，由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．点评：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度不大．。

2005年中考数学试卷分析平湖市教研室张小健一、总体说明1．试卷说明：本份试卷共三大题，25小题，满分150分，试卷由卷一、卷二两部份组成，卷一为选择题，共12小题48分；卷二有二大题共102分，其中填空题6题30分，解答题7题72分。

2．考生说明：已进入平中提前班的学生及职业学校春季班的学生没有参加本次考试，故本试卷分析只对参加本次考试的考生，全市共5626名。

3．本次考试全市最高149分，最低0分，平均成绩110.8，各分数段人数与本份数学中考试卷立意新颖、结构合理、试题突出学科知识本质。

试卷难度适中，既关注了大部分同学，让他们有成功的体验；又有一定的区分度，给学有余力的同学创造了展示自我的空间。

试卷既注重学科基础，又成功融入新课程理念。

三、1．卷Ⅱ各小题得分率分析。

在第二大题填空题第13~18题中，17、18题得分率最低分别是0.48、0.38，这两题都属于几何问题，17题要求四边形外部的四条弧长的和，涉及到的知识点有四边形的内角和、弧长公式。

能力上的要求是要把四条弧加在一起，作为一个整体计算。

学生在这个题目上的错误有：想求出每一条弧长再求和；求了四边形内部四条弧长的和（根据抽样这种错误的学生约占23%），归其原因：①数学思维能力较弱，思维定势，在当每一条弧所对的圆心角无法求出时，就无从下手，缺乏整体思想。

②数学学习习惯（反思、直观判断能力）较差，抽样中约有23%的学生的答案是2，这个答案只要稍作大小的直观判断就能确定2的答案是不正确的。

第18题是填空题的最后一题，从出题本身来看有压轴的意图，包含知识点：相似三角形、等腰三角形、一元二次方程，图形中有5个等腰三角形，4对相似三角形，先要设元，然后应用等腰三角形性质把一些线段用含有的代数式表示出来，再需要找到两个相似三角形建立一个一元二次方程，把解求出来后还要考虑解的合理性，题目是有难度。

解答题中的第19、20、21、22、23都属于基础题，得分率都在0。

南京市2005年中考数学试题一、选择题（2分×12=24分）1．如果a 与-2互为倒数，那么a 是（ ）A 、-2 B 、-21 C 、21 D 、2 2．比-1大1的数是 （ ）A 、-2 B 、-1 C 、0 D 、13．计算：x 3·x 2的结果是 （ ）A 、x 9 B 、x 8 C 、x 6 D 、x 54．9的算术平方根是 （ ）A 、-3 B 、3 C 、± 3 D 、815．反比例函数y= -x2的图象位于 （ ） A 、第一、二象限 B 、第一、三象限 C 、第二、三象限 D 、第二、四象限6．二次函数y=(x-1)2+2的最小值是 （ ）A 、-2 B 、2 C 、-1 D 、17．在比例尺为1：40000的工程示意图上，将于2005年9月1日正式通车的南京地铁一号线（奥体中心至迈皋桥段）的长度约为54.3cm,它的实际长度约为（ ）A 、0.2172kmB 、2.172kmC 、21.72kmD 、217.2km8.下列四个几何体中，主视图、左视图与俯视图是全等图形的几何体是（ ）A 、球B 、圆柱C 、三棱柱D 、圆锥9．如图，在⊿ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB 的值是（ ）A 、43B 、34C 、53D 、54 10．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上 的概率是（ ）A 、41B 、21C 、43 D 、1 11．如图，身高为1.6m 的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B到A 走去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m ,CA=0.8m, 则树的高度为（ ）A 、4.8mB 、6.4mC 、8mD 、10m12.右图是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图。

根据统计图，下面对全年食品支出费用判断正确的是（） A 、甲户比乙户多 B 、乙户比甲户多 C 、甲、乙两户一样多 D 、无法确定哪一户多二、填空题（3分×4=12分）13．10在两个连续整数a 和b 之间，a<10<b, 那么a , b 的值分别是 。

常州市2005年中考数学试题一、填空题（本大题每个空格1分，共18分，把答案填在题中横线上）1．31-的相反数是 ， 31-的绝对值是 ， 31-的倒数是 ． 2．=0)2( ，=-2)21( ．3．将1300000000用科学记数法表示为 ．4．用计算器计算:sin35°≈ ，≈41 . (保留4个有效数字)5．小明五次测试成绩如下:91、89、88、90、92，则这五次测试成绩的平均数是 ，方差是 6．如图，正方形ABCD 的周长为16cm ，顺次连接正方形ABCD 各边的中点，得到四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长等于 cm ，四边形EFGH的面积等于 cm 2.7.10张卡片分别写有0至9十个数字,将它们放入纸箱后,任意摸出一张,则P(摸到数字2)= ,P(摸到奇数)= .8.已知抛物线562+-=x x y 的部分图象如图,则抛物线的对称轴为直线x= ,满足y ＜0的x 的取值范围是 ,将抛物线562+-=x x y 向 平移 个单位,则得到抛物线962+-=x x y.二、选择题（每题2分，共18分） 9.在下列实数中，无理数是A 、5B 、0C 、7D 、514 10A 、12B 、13C 、14D 、15第6题H G FE D CBA11．如果某物体的三视图是如图所示的三个图形，俯视图主视图左视图第11题那么该物体的形状是A、正方体B、长方体C、三棱柱D、圆锥12．下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是A、③④②①B、②④③①C、③④①②D、③①②④13．如图，已知AB∥CD，直线l分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠EFG=40°，则∠EGF的度数是A、60°B、70°C、80°D、90°14．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于A、44°B、68°C、46°D、22°15．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，则梯形ABCD的面积是A 、1516B 、516C 、1532D 、1716第15题第16题D ABC16．若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积超过7，则正方体的个数至少是A 、2B 、3C 、4D 、517．某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示.已知某天0点到6点,进行机组试运行,试机时至少打开一个水口,且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示:丙乙甲给出以下3个判断:①0点到3点只进水不出水；②3点到4点,不进水只出水；③4点到6点不进水不出水. 则上述判断中一定正确的是A 、①B 、②C 、②③D 、①②③三、解答题（本大题共2小题，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本小题满分10分）化简：（1）︒+-45sin 2321 ； （2）3)3(32-+-x xx x19．（本小题满分8分）解方程（组）：（1）x x 321=- ； （2）⎩⎨⎧=+=+825y x y x三、解答题（本大题共2小题，共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．（本小题满分5分）如图，在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别在AB 、AC 、BC 上，BC DE //，AB EF //，且F 是BC 的中点． 求证：CF DE =F EDCB A21．（本小题满分7分）如图，已知ABC ∆为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且DEF ∆也是等边三角形．（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的； （2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．F EDCBA五、解答题（本大题共2小题，共15分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22．（本小题满分8分）有100名学生参加两次科技知识测试，条形图显示两次测试的分数分布情况．第二次测试第一次测试分数请你根据条形图提供的信息，回答下列问题（把答案填在题中横线上）； （1）两次测试最低分在第 次测试中； （2）第 次测试较容易；（3）第一次测试中，中位数在 分数段，第二次测试中，中位数在 分数段．23．（本小题满分７分）某中学七年级有6个班，要从中选出2个班代表学校参加某项活动，七（1）班必须参加，另外再从七（2）至七（6）班选出1个班．七（4）班有学生建议用如下的方法：从装有编号为1、2、3的三个白球A 袋中摸出1个球，再从装有编号为1、2、3的三个红球B 袋中摸出1个球（两袋中球的大小、形状与质量完全一样），摸出的两个球上的数字和是几，就选几班，你人为这种方法公平吗？请说明理由．六、画图与说理（本大题共2小题，共12分） 24．（本小题满分6分）如图，在ABC ∆中，1=BC ，2=AC ，090=∠C ．（1）在方格纸①中，画'''C B A ∆，使'''C B A ∆∽ABC ∆，且相似比为2︰1； （2）若将（1）中'''C B A ∆称为“基本图形”，请你利用“基本图形”，借助旋转、平移或轴对称变换，在方格纸②中设计一个以点O 为对称中心，并且以直线l 为对称轴的图案．25．（本小题满分6分）如图，有一木制圆形脸谱工艺品，H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点D的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．理由是：七、解答题（本大题共3小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）26．（本小题满分７分）七（２）班共有50名学生，老师安排每人制作一件A型或B型的陶艺品，学校现有甲种制作材料36kg，乙种制作材料29kg，制作A、B两种型号的陶艺品用料情况如下（1）设制作B 型陶艺品x 件，求x 的取值范围；（2）请你根据学校现有材料，分别写出七（2）班制作A 型和B 型陶艺品的件数． 26．（本小题满分8分）有一个ABC Rt ∆，090=∠A ，090=∠B ，1=AB ，将它放在直角坐标系中，使斜边BC 在x 轴上，直角顶点A 在反比例函数xy 3=的图象上，求点C 的坐标．26．（本小题满分12分）已知⊙O 的半径为1，以O 为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形ABCD ，顶点B 的坐标为（13-，0），顶点A 在x 轴上方，顶点D 在⊙O 上运动． （1）当点D 运动到与点A 、O 在一条直线上时，CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD 所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由； （2）设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，并求出S 的最大值和最小值．。

2003 年南京市中考数学试题一、选择题（每小题 2 分，共 30 分）各题中的选项只有一个是正确的. 1.计算 的结果是（ ）A.－2B.2C.－D ）2.如果 a 与－3 互为相反数，那么 a 等于（ A.3 B.－3 C. D.－3.计算的结果是（）A.B. a6C.a8D.a94.已知是方程 kx－y=3 的解，那么 k 的值是（）A.2 5.如果 A.x≤2B.－2C.1D.－1 ，那么 x 的取值范围是（ ）B.x＜2C.x≥2D.x＞2 的两个根是 x1，x 2，那么 x1·x 2 等于（ ）6.如果一元二次方程A.2B.0C.D.－7.抛物线 A.（1，1）的顶点坐标是（ B.（－1，1）） D.（－1，－1）C.（1，－1）8.观察下列“风车”的平面图案：其中是中心对称图形的有（ A.1 个 B.2 个） C.3 个 D.4 个 ）9.在Δ ABC 中，∠C＝90°，tanA＝1，那么 cotB 等于（A.B.C.1D.10.在比例尺是 1∶38000 的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约 7cm，它的实际长度约为（ A.0.266km B.2.66km C.26.6km ，如果设 D.266km ，那么原方程可变形为（ ））11.用换元法解方程A.B.C.D. 切⊙O 于点 C，12.如图， AB 是⊙O 的直径， P 是 AB 延长线上的一点， PC PC＝3，PB＝1，则⊙O 的半径等于（ ）矚慫润厲钐瘗睞枥。

A. B.3 C.4 D.13.正方形 ABCD 的边长是 2cm，以直线 AB 为轴旋转一周，所得到的圆柱的侧面积为（ A.16π B. 8π C.4π D. 4）14.一根 1m 长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子 的长度为（ ）聞創沟燴鐺險爱氇。

A.B.C.D.15.如图， 一张矩形报纸 ABCD 的长 AB＝a cm， 宽 BC＝b cm， E、 AB、CD 的中点，将这张报纸沿着直线 EF 对折后，矩形 AEFD 的长F 分别是 度之比等于矩形 ABCD 的长与宽之比，则 a∶b 等于（ A. ∶1 B. 1∶ C. ∶1）残骛楼諍锩瀨濟溆。

江苏省南京市2002-2013年中考数学试题分类解析 专题11 圆一、选择题1.（江苏省南京市2002年2分）如图，正六边形ABCDEF 的边长是a,分别以C 、F 为圆心，a 为半径画弧，则图中阴影部分的面积是【 】A 、21r 6π B 、21r 3π C 、22r 3π D 、24r 3π2. （江苏省南京市2003年2分）如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，PC 切⊙O 于点C ，PC ＝3，PB ＝1，则⊙O 的半径等于【 】．（A ）25 （B ）3 （C ）4 （D ） 29∵PC，PA 分别是圆的切线与割线，∴PC 2=PB•PA。

∵PC=3，PB=1，∴PA=9，AB=8。

∴半径为4．故选C 。

3. （江苏省南京市2003年2分）正方形ABCD 的边长是2cm ，以直线AB 为轴旋转一周，所得到的圆柱的侧面积为【 】．（A ）16π2cm （B ）8π2cm （C ）4π2cm （D ）42cm4. （江苏省南京市2004年2分）如图，A ，B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线，∠B=70°，则∠BAC 等于【 】A 、70°B 、35° C、20° D 、10°5. （江苏省南京市2006年2分）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，AO∥BC，∠OAC=20°，则∠AOB的度数是【 】A.1O °B.20°C.40°D.70°【答案】C 。

【考点】圆周角定理，平行线的性质。

【分析】∵∠OAC=20°，AO∥BC，∴∠ACB =∠OAC=20°。

∴∠AOB=2∠ACB =40°。

故选C 。

6. （江苏省南京市2008年2分）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为【】7. （江苏省南京市2008年2分）如图，已知⊙O的半径为1，AB与⊙O相切于点A，OB与的值等于【】⊙O交于点C，OD⊥OA，垂足为D，则cos AOB二、填空题1. （江苏省南京市2002年2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为G，F是CG 的中点，延长AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，则EF的长是▲ .2. （江苏省南京市2003年2分）如图，⊙O的两条弦AB、CD相交于点P，PD＝2PB，PC＝2cm，则 PA＝▲ cm．3. （江苏省南京市2004年2分）如图，割线PAB与⊙O交于点A、B，割线PCD与⊙O交于点C 、D ，PA=PC ，PB=3cm ，则PD= ▲ cm ．4. （江苏省南京市2007年3分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠C=30°，AB=2cm ，则⊙O 的半径为▲ cm ．5. （江苏省南京市2008年3分）已知1O 和2O 的半径分别为3cm 和5cm ，且它们内切，则圆心距12O O 等于 ▲ cm ．6. （江苏省南京市2008年3分）如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共．安装．．这样的监视器▲ 台．7. （江苏省2009年3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB．若∠ABD=65°，则∠ADC=▲ ．8. （江苏省2009年3分）已知正六边形的边长为1cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为▲ cm（结果保留π）．弧长6011CmB1803ππ⋅⋅==。

阅读理解型问题（专题4）——合情推理【考点透视】阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题．在阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维．因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理， 【典型例题】例1．已知正数a 和b ，有下列命题：（1）a ＋b ＝2，ab ≤1； （2）a ＋b ＝3，ab ≤23； （3）a ＋b ＝6，ab ≤3．根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，ab ≤ ．（2000年北京市东城区中考试题）分析：观察（1）、（2）、（3）中的数字规律：不等号右边的数都是等号右边的数的21，由此可以作出猜想．解：ab ≤29． 说明：本题要求直接通过不完全归纳，总结规律，猜想结论． 例2．例2．（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”．①322322=+（ ）；②833833=+（ ）； ③15441544=+（ ）； ④24552455=+（ ）． （2）你判断完以上各题之后，发现了什么规律？请用含有n 的式子将规律表示出来，并注明n 的取值范围： ．图4—1AD nB CD 1 D 2D 3E 1 E 2 E 3 E n 图4—2（3）请用数学知识说明你所写式子的正确性．（2000年江苏省常州市中考试题）分析：判断式子①、②、③、④内在的规律时可以发现：①中3＝2 2－1；②中8＝3 2－1；③中15＝4 2－1；④中24＝5 2－1．这样就可以统一用含n 的式子表示出来．解：（1）①√；②√；③√；④√．（2）12-+n n n ＝n 12-n n．其中n 为大于1的自然数． （3）12-+n n n ＝123-n n ＝122-⋅n n n ＝n 12-n n ． 说明：本题虽然需要说明所写式子的正确性，但本题主要考查学生的合情推理能力，即用含有n 的式子将规律表示出来．例3．下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n (n ＞1)盆花，每个图案花盆的总数是S ．按此规律推断，S 和n 的关系式是 ．（2000年山西省中考试题）分析：由正三角形每条边的花盆数n 与花盆的总数S 之间的关系，可以看出S 总是比n 的3倍少3． 解：S ＝3n －3．说明：本题的答案不唯一，其它形式也可以． 例4． 如图4—2所示，在△ABC 中，BC ＝a ，若D 1、E 1分别是AB 、AC 的中点，则D 1E 1＝a 21； 若D 2、E 2分别是D 1B 、E 1C 的中点，则D 2E 2＝a a a 43)2(21=+； 若D 3、E 3分别是D 2B 、E 2C 的中点，则D 3E 3＝a a a 87)43(21=+；…………若D n 、E n 分别是D 1-n B 、E 1-n C 的中点，则D n E n ＝ （n ≥1，且n 为整数）．（2001年山东省济南市中考试题）分析：因为12121=；2221243-=；3321287-=；……，所以D n E n 也可以用含数字2的式子来表示．解：D n E n ＝11212---n n （n ≥1，且n 为整数）．说明：寻找数字规律，应把已给的数写成有规律的一组数．n ＝2，S ＝3 n ＝3，S ＝6 n ＝4，S ＝9例5．问题：你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5的自然数的平方．任意一个个位数为5的自然数可写成10•n＋5，即求（10•n＋5）2的值（n为自然数）．你试分析n＝1，n＝2，n＝3，…，这些简单情况，从中探索规律，并归纳、猜想出结论（在下面空格内填上你的探索结果）．（1）通过计算，探索规律：152＝225可写成100×1（1＋1）＋25，252＝625可写成100×2（2＋1）＋25，352＝1225可写成100×3（3＋1）＋25，452＝2025可写成100×4（4＋1）＋25，……752＝5625可写成，852＝7225可写成，……（2）从第（1）的结果，归纳、猜想得：（10n＋5）2＝．（3）根据上面的归纳、猜想，请算出：19952＝．（1999年福建省三明市中考试题）分析：在对这些式子进行规律探索的时候，要找出哪些数是不变的，哪些数是随式子的序号变化而逐步变化的．然后就可以用n来表示这些逐步变化的数．解：（1）100×7（7＋1）＋25；100×8（8＋1）＋25．(2)100n2＋100n＋25100n（n＋1）＋25．(3) 100×199（199＋1）＋25＝3980025．说明：本题不仅要求归纳猜想和探索规律，而且要运用归纳猜想得出的结论解决问题．例6．如图4—3，在平面上，给定了半径为r的圆O，对于任意点P，在射线OP上取一点P＇，使得OP·OP＇＝r 2 ，这种把点P变为点P＇的变换叫做反演变换，点P与点P＇叫做互为反演点．图4—3 图4—4（1） 如图4—4，⊙O 内外各一点A 和B ，它们的反演点分别为A ＇和B ＇．求证：∠A ＇＝∠B ； （2） 如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．①选择：如果不经过点O 的直线l 与⊙O 相交，那么它关于⊙O 的反演图形是（ ）． (A)一个圆 (B)一条直线 (C)一条线段 (D)两条射线 ②填空：如果直线l 与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是 ，该图形与圆O 的位置关系是 ．（2001年江苏省南京市中考试题）分析：求解本题首先要理解“反演变换”的意义，并理解圆内的点的反演点在圆外，圆上的点的反演点在圆上，圆外的点的反演点在圆内；其次，第（2）题的第①小题，由于直线与圆的交点的反演点是它本身，因此只要在该直线的圆内、圆外部分各取几点，画出反演点，便可推测该直线的反演图形．另外，第（2）题的第②小题，由于直线与圆的切点的反演点是它本身，因此只要在该直线上取几点，画出反演点，便可推测该直线的反演图形．（1）证明：∵A 、B 的反演点分别是A’、B’，∴OA ·OA’＝r 2，OB ·OB’＝r 2． ∴OA ·OA’＝OB ·OB’，即''OA OBOB OA ． ∵∠O ＝∠O ，∴△ABO ∽△B’A’O ． ∴∠A’＝∠B ．． （2）解：①A ．②圆；内切．说明：本题主要考查学生通过观察、分析，从特殊的点的研究归纳、推测图形形状的合情推理能力．另外，还可以研究下列问题：如果直线⊙O’与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是什么？该图形与圆O 的位置关系是是什么？例7．阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖．对于平面图形A ，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这些圆所覆盖．例如：图4—5中的三角形被一个圆所覆盖，图4—6中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：（1）边长为1cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ； （2）边长为1cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ； （3）长为2cm ，宽为1cm 的矩形被两个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ， 这两个圆的圆心距是 cm.（2003年江苏省南京市中考试题）图4—5图4—6分析：本题首先要理解图形被圆所覆盖的定义，其次，可以推测正方形、等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 取最小值时，显然这个圆就是正方形、等边三角形的外接圆．而第（3）题可把长为2cm ，宽为1cm 的矩形分割成两个边长为1 cm 的正方形，根据第（1）题，不难得到结论．解：（1）22； （2）33； （3）22，1． 说明：本题的合情推理是建立在空间想象的基础上，并把问题转化为多边形的外接圆问题．另外，还可以研究下列问题：1．如果边长为1cm ，有一个锐角是60°的菱形被一个半径为r 的圆所覆盖，那么r 的最小值是多少？2．如果上低和腰长都是1cm ，下低长是2cm 的梯形被一个半径为r 的圆所覆盖，那么r 的最小值是多少？【习题4】1．观察下列各式，你会发现什么规律？3×5＝15，而15＝42－1； 5×7＝35，而35＝62－1；11×13＝143，而143＝122－1； ……请你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来： ．（2000年山东省济南市中考试题）2．观察下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1， 9×1＋2＝11， 9×2＋3＝21， 9×3＋4＝31， 9×4＋5＝41， ……猜想：第n 个等式（n 为正整数）应为 ．（2003年北京市中考试题）3．观察下列各式： 1×3＝12＋2×1， 2×4＝22＋2×2， 3×5＝32＋2×3，……请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥1）表示出来： ．（2003年福建省福州市中考试题）4．观察以下等式：1×2＝31×1×2×3；1×2＋2×3＝31×2×3×4；1×2＋2×3＋3×4＝31×3×4×5；1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝31×4×5×6；……根据以上规律，请你猜测：1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n ×（n ＋1）＝ ．（2001年山东省威海市中考试题）5．将正偶数按下表排成5列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 …… …… 28 26根据上面的排列规律，则2000应在（ ）．A ．第125行，第1列B ．第125行，第2列C ．第250行，第1列D ．第250行，第2列（2001年湖北省荆州市中考试题）6．细心观察图形4—7，认真分析各式，然后解答问题． 21,21)1(12==+S ； 22,31)2(22==+S ； 23,41)3(32==+S ； ……（1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA 10的长；（3）求出S 1 2＋S 2 2＋S 3 2＋…＋S 10 2的值．（2003年山东省烟台市中考试题）7．(1)阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB |．当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点， 如图4—8，|AB |＝|OB |＝|b |＝|a －b |； 当A 、B 两点都不在原点时，①如图4—9，当点A 、B 都在原点右边时，则 |AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝b －a ＝|a －b |； ②如图4—10，当点A 、B 都在原点左边时，则O (A ) B图4—8O B A图4—9O A B 图4—10O A 2 A 4A 1 …1 A 5S 3 S 5 S 2S 1 S 41 1 1A 6 A 3…图4—7|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝－b －(－a )＝|a －b |；③如图4—11，当点A 、B 在原点的两边时，则 |AB |＝|OA |+|OB |＝|a |+|b |＝a +(－b )＝|a －b |. 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离|AB |＝|a －b |.(2)回答相应问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是 ，如果|AB |=2，那么x 为 ． ③当代数式|x ＋1|＋|x －2|取最小值时，x 相应的取值范围是 .（2002年江苏省南京市中考试题）8．如图4—12，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是 BA 延长线上一点， AF =21AB ． （1）求证：△ABE ≌△ADF ． （2）阅读下面材料：如图4—13，把△ABC 沿直线BC 平行移动线段BC 的长度，可以变到△ECD 的位置； 如图4—14，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置； 如图4—15，以点A 为中心，把△ABC 旋转180°，可以变到△AED 的位置．象这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的．这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换． （3）回答下列问题：①在图4—12中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE 变到 △ADF 的位置？答： ． ②指出图4—12中线段BE 与DF 之间的关系．答： ．（2000年江苏省南京市中考试题）9．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ．某学生研究这一问题时，发现了如下事实．EDCBADCBAEDCA图4—13 图4—14 图4—15FABC D E图4—12OA B a 图4—11图4—16E A B C O D图4—17 B C A D EOB C A 图4—18 D E O C A 图4—19 D F EO①当11121+==AC AE 时，有21232+==AD AO （如图4－16）； ②当21131+==AC AE 时，有22242+==AD AO （如图4－17）； ③当31141+==AC AE 时，有32252+==AD AO （如图4－18）． 在图4－19中，当n AC AE +=11时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示ADAO的一般结论，并给出证明（其中n 是正整数）．（2001年河北省中考试题）10．某厂要制造能装250毫升(1毫升＝1厘米3 )饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部的厚度都是0.02厘米，顶部厚度是底部厚度的3倍，这是为了防止“呯”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来．设一个底面半径是x 厘米的易拉罐的用铝量是y 厘米3． （1）利用用铝量＝底圆面积×底部厚度＋顶圆面积×顶部厚度＋侧面积×侧壁厚度)求y 与x 之间的函数关系式；（2②根据上表推测：要使用铝量y （厘米）的值尽可能小，底面半径x （厘米）的值所在范围是( )．A ．1.6≤x ≤2.4B ．2.4＜x ＜3.2C ．3.2≤x ≤4（2002年江苏省南京市中考试题）11．如图20，正方形ABCD 和正方形EFGH 对角线BD 、FH 都在直线l 上．O 1、O 2 分别是正方形的中心，O 1D ＝2，O 2F ＝1，线段O 1O 2的长叫做两个正方形的中心距．．．．当中心O 2在直线l 上平移时，正方形EFGH 也随之平移，在平移时正方形EFGH 的形状、大小没有改变．（1）当中心O 2在直线l 上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O 1O 2 ＝ ． （2）随着中心O 2在直线l 上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程 ）．（2003年江苏省徐州市中考试题）图4—20【习题4】1．解：（2n －1）（2n ＋1）＝（2n ）2－1． 2．解：9（n －1）＋n ＝10（n －1）＋1． 3．解： n （n ＋2）＝n 2 ＋2n ．4．解：1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n ×（n ＋1）＝31×n ×（n ＋1）×（n ＋2）．5．解：选C ．6．解：（1）2,11)(2nS n n n =+=+． （2）∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…， ∴OA 10＝10．（3）S 1 2＋S 2 2＋S 3 2＋…＋S 10 2＝2)21(＋2)22(＋2)23(＋…＋2)210(＝41（1＋2＋3＋…＋10） ＝455． 7．解：（1）3，3，4；（2）∣x ＋1∣，－3或1； （3）－1≤x ≤2． 8．解：（1）证明：在正方形ABCD 中， ∵ AB=AD ，AD ⊥AB ， ∴∠BAE =∠DAF =90°．∵AE =21AD ，AF =21AB ， ∴AE =AF ．∴△ABE ≌△ADF ．（3）①答：△ABE 绕点A 逆时针旋转90度到△ADF 的位置． ②答：BE =DF ，且BE ⊥DF ．9．解：根据题意，可以猜想：当n AC AE +=11时，有n AD AO +=22成立． 证明：过D 作DF ∥BE 交AC 于点F ．∵D 是BC 的中点， ∴F 是EC 的中点． ∵n AC AE +=11， ∴n EC AE 1=． ∴nEF AE 2=．∴nAF AE +=22． ∵DF ∥BE ， ∴nAF AE AD AO +==22． 10．解：（1）解：222250202.0302.0xx x x y ππππ⋅+⋅⋅+⋅=·0.02 =xx 102522+π． （2）B ．11．解：．（1）2，1． （2）3．（3）①当1＜O 1O 2＜3时，两个正方形有2个公共点；②当O 1O 2＝1时，两个正方形有无数个公共点；③当O 1O 2 ＜1，或O 1O 2＞3时，两个正方形没有公共点．。

南 京 市一、选择题（每小题2分，共30分）各题中的选项只有一个是正确的．1. 计算12-的结果是（ ）．（A ）－2 （B ）2 （C ） 21- （D ）21 2. 如果a 与－3互为相反数，那么a 等于（ ）．（A ）3 （B ）－3 （C ）31 （D ）31- 3. 计算()32a 的结果是（ ）（A ） 5a （B ） 6a （C ）8a （D ） 9a4. 已知⎩⎨⎧==12y x 是方程kx －y ＝3的解，那么k 的值是（ ）．（A ）2 （B ）一2 （C ）1 （D ）一15. 如果()222-=-x x ，那么x 的取值范围是（ ）．（A ） x ≤2 （B ） x ＜2 （C ）x ≥ 2 （D ） x ＞26. 如果一元二次方程0232=-x x 的两个根是x 1，x 2，那么x 1·x 2等于（ ）．（A ） 2 （B ）0 （C ）32 （D ）32- 7. 抛物线()112+-=x y 的顶点坐标是（ ）．（A ） （1，1） （B ）（－1，l ） （C ）（1，－1） （D ）（－1，－1）8. 观察下列“风车”的平面图案：其中是中心对称图形的有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个9. 在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝1，那么cotB 等于（ ）．（A ） 3 （B ） 2 （C ）1 （D ）33 10. 在比例尺是 1∶38 000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm ，它的实际长度约为（ ）．（A ）0．266 km （B ）2．66 km （C ）26．6 km （D ）266 km11. 用换元法解方程x x x x +=++2221，如果设x x +2＝y ，那么原方程可变形为（ ）。

（A ）022=++y y （B ）022=--y y（C ）022=+-y y （D ）022=-+y y12. 如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，PC 切⊙O 于点C ，PC ＝3，PB ＝1，则⊙O 的半径等于（ ）．（A ）25 （B ）3 （C ）4 （D ） 29 13. 正方形ABCD 的边长是2cm ，以直线AB 为轴旋转一周，所得到的圆柱的侧面积为（ ）．（A ）16π2cm （B ）8π2cm （C ）4π2cm （D ）42cm14. 一根1m 长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为（ ）． （A ）321⎪⎭⎫ ⎝⎛m （B ） 521⎪⎭⎫ ⎝⎛m （C ） 621⎪⎭⎫ ⎝⎛m （D ）1221⎪⎭⎫ ⎝⎛m 15. 如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB ＝acm ，宽BC ＝bcm ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ∶b 等于（ ）．（A ）2∶l （B ） 1∶2（C ） 3∶l （D ） 1∶3二、填空题（每小题2分，共10分）16. 4的平方根是 ．17. 计算：82+＝ ．18. 在实数范围内分解因式：3322+-x x ＝ ．19. 如图正六边形DEFGHI 的顶点都在边长为6cm 的正三角形ABC 的边上，则这个正六边形的边长是 cm ．20. 如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于点P ，PD ＝2PB ，PC ＝2cm ，则 PA ＝cm ．三、（每小题5分，共25分）21. 计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-a b b a a ab a 22 22. 解方程组：⎩⎨⎧=+=-122xy x y x 23. 已知二次函数22-=ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数24. 如图．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点．DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是 E 、F 。

2023年南京市中考数学试题及答案第一题某商品在打折后的价格是原价的80%，打折后售价为160元，请问原价是多少元？答案：200元第二题在一桶含有100个红球和150个蓝球的桶中，先取1个球，再取另一个球，取出2个红球的概率是多少？答案：0.148第三题若直线$y=2x+b$和$x=2y-2$交于点$P$，求直线$OP$的斜率，其中$O$为坐标原点。

答案：-0.5第四题已知$\log_a b=0.75$，求$\log_a (b^{-1})$的值。

答案：-0.75第五题已知$\sin\theta=-\frac{1}{2}$，$\theta$是第三象限的角，求$\cos\theta$的值。

答案：$-\frac{\sqrt{3}}{2}$第六题设$f(x)=-x^2-3x+10$，求$f(x)$的最大值。

答案：13第七题求下面方程组的解：$$\begin{cases}2x-3y=4 \\4x+5y=15\end{cases}$$答案：$x=3, y=0$第八题已知等边三角形ABC的边长为6，点M是边AB上的一点，且AM=2，求三角形ACM的面积。

答案：$3\sqrt{3}$第九题如图所示，正方形ABCD的边长为6，点E是边AD上的一点，且AE=3，连接BE，求$\triangle BDE$的面积。

答案：9第十题已知ABCD是一个平行四边形，如图所示，AE是周长为28的正方形所在的边，求$BD$的长度。

答案：$16\sqrt{2}$以上是2023年南京市中考数学试题及答案，请同学们认真阅读并思考，勤加练习，提高自己的数学能力。

祝大家考试顺利！。

2005年江苏省南通市中考数学试卷（大纲卷）一、选择题（共12小题，满分28分）1．（2分）|﹣2|的值是（）A．﹣2B．2C．D．2．（2分）已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角是（）A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END3．（2分）把多项式a2﹣2ab+b2﹣1分解因式，结果是（）A．（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）B．（a﹣b+1）（a+b﹣1）C．（a+b+1）（a+b﹣1）D．（a+b+1）（a﹣b﹣1）4．（2分）用换元法解方程x2﹣2x8，若设x2﹣2x＝y，则原方程化为关于y的整式方程是（）A．y2+8y﹣7＝0B．y2﹣8y﹣7＝0C．y2+8y+7＝0D．y2﹣8y+7＝0 5．（2分）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形6．（2分）某校初一（10）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如下表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可得方程组（）A．B．C．D．7．（2分）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AD＝6cm，则OE的长为（）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm8．（2分）若x＜2，化简的结果为（）A．x﹣2B．2﹣x C．x+2D．﹣2﹣x9．（3分）某“中学生暑期环保小组”的同学，随机调查了“幸福小区”10户家庭一周内使用环保方便袋的数量，数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，5，8，10，5，9．利用上述数据估计该小区2000户家庭一周内需要环保方便袋约（）A．2000只B．14000只C．21000只D．98000只10．（3分）若圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是（）A．2πcm2B．2cm2C．4πcm2D．4cm211．（3分）如图，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE+3，则CD的长为（）A．4B．5C．8D．1012．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝4a+2b+c，N＝a﹣b+c，P＝4a+2b，则（）A．M＞0，N＞0，P＞0B．M＞0，N＜0，P＞0C．M＜0，N＞0，P＞0D．M＜0，N＞0，P＜0二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）将0.000702用科学记数法表示，结果为．14．（3分）已知∠α与∠β互余，且∠α＝35°18′，则∠β＝°′．15．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上，则∠BEC＝度．16．（3分）矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝2∠BOC．若AC＝18cm，则AD＝cm．17．（3分）某市政府切实为残疾人办实事，在区道路改造中为盲人修建一条长3000m的盲道，根据规划设计和要求，该市工程队在实际施工时增加了施工人员，每天修建的盲道比原计划增加50%，结果提前2天完成，则原计划每天修建m．18．（3分）如图，△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1，P2在函数y（x＞0）的图象上，斜边OA1，A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是．三、解答题（共10小题，满分84分）19．（10分）（1）计算﹣9÷3+（）×12+32；（2）计算3a3b2÷a2+b•（a2b﹣3ab﹣5a2b）20．（6分）先化简，再求值，其中a，b．21．（5分）已知：∠AOB，点M、N．求作：点Q，使点Q在∠AOB的平分线上，且QM ＝QN．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）22．（6分）如图，为了测量一条河的宽度，一测量员在河岸边的C处测得对岸一棵树A在正南方向，测量员向正东方向走180米到点B处，测得这棵树在南偏西60°的方向，求河的宽度？（结果保留根号）．23．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．24．（8分）据2005年5月8日《南通日报》报道：今年“五•一”黄金周期间，我市实现旅游收入再创历史新高，旅游消费呈现多样化，各项消费所占的比例如图秘所示，其中住宿消费为3438.24万元．（1）求我市今年“五•一”黄金周期间旅游消费共多少亿元？旅游消费中各项消费的中位数是多少万元？（2）对于“五•一”黄金周期间的旅游消费，如果我市2007年要达到3.42亿元的目标，那么，2005年到2007年的平均增长率是多少？25．（9分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC，对角线AC ⊥BD，垂足为F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF＝4cm．（1）求证：四边形ABFE是等腰梯形；（2）求AE的长．26．（10分）如图，已知：AO为⊙O1的直径，⊙O1与⊙O的一个交点为E，直线AO交⊙O 于B、C两点，过⊙O的切线GF，交直线AO于点D，与AE的延长线垂直相交于点F，OG∥AF．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若AB＝2，AE＝6，求△ODG的周长．27．（10分）已知关于x的方程x2﹣kx+k2+n＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且（2x1+x2）2﹣8（2x1+x2）+15＝0．（1）求证：n＜0；（2）试用k的代数式表示x1；（3）当n＝﹣3时，求k的值．28．（12分）在平面直角坐标系中，直线y kx+m（k）经过点A（，4），且与y轴相交于点C．点B在y轴上，O为坐标原点，且OB＝OA+7﹣2．记△ABC 的面积为S．（1）求m的取值范围；（2）求S关于m的函数关系式；（3）设点B在y轴的正半轴上，当S取得最大值时，将△ABC沿AC折叠得到△AB′C，求点B′的坐标．2005年江苏省南通市中考数学试卷（大纲卷）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，满分28分）1．（2分）|﹣2|的值是（）A．﹣2B．2C．D．【解答】解：∵﹣2＜0，∴|﹣2|＝2．故选：B．2．（2分）已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角是（）A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END【解答】解：∵直线AB、CD被直线EF所截，∴只有∠END与∠EMB在截线EF的同侧，且在AB和CD的同旁，即∠END是∠EMB的同位角．故选：D．3．（2分）把多项式a2﹣2ab+b2﹣1分解因式，结果是（）A．（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）B．（a﹣b+1）（a+b﹣1）C．（a+b+1）（a+b﹣1）D．（a+b+1）（a﹣b﹣1）【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣1，＝（a2﹣2ab+b2）﹣1，＝（a﹣b）2﹣1，＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．故选：A．4．（2分）用换元法解方程x2﹣2x8，若设x2﹣2x＝y，则原方程化为关于y的整式方程是（）A．y2+8y﹣7＝0B．y2﹣8y﹣7＝0C．y2+8y+7＝0D．y2﹣8y+7＝0【解答】解：设x2﹣2x＝y．∴y8．∴y2+7＝8y．∴y2﹣8y+7＝0．故选：D．5．（2分）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【解答】解：根据多边形的内角和可得：（n﹣2）180°＝540°，解得：n＝5，则这个多边形是五边形．故选：B．6．（2分）某校初一（10）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如下表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可得方程组（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意列组得：．故选：A．7．（2分）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AD＝6cm，则OE的长为（）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝6cm，OC＝OA AC．∵OE∥DC，∴△ABC∽△OEC，则，∴OE＝3（cm）．故选：C．8．（2分）若x＜2，化简的结果为（）A．x﹣2B．2﹣x C．x+2D．﹣2﹣x【解答】解：，∵x＜2，∴x﹣2＜0，故原式＝2﹣x．故选：B．9．（3分）某“中学生暑期环保小组”的同学，随机调查了“幸福小区”10户家庭一周内使用环保方便袋的数量，数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，5，8，10，5，9．利用上述数据估计该小区2000户家庭一周内需要环保方便袋约（）A．2000只B．14000只C．21000只D．98000只【解答】解：（6+5+7+8+7+5+8+10+5+9）×2000＝14000只．故选：B．10．（3分）若圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是（）A．2πcm2B．2cm2C．4πcm2D．4cm2【解答】解：∵圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形，∴底面半径＝1cm，底面周长＝2πcm，∴圆锥的侧面积2π×2＝2πcm2，故选A．11．（3分）如图，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE+3，则CD的长为（）A．4B．5C．8D．10【解答】解：设CE＝x，则DE＝3+x．根据相交弦定理，得x（x+3）＝2×2，x＝1或x＝﹣4（不合题意，应舍去）．则CD＝3+1+1＝5．故选：B．12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝4a+2b+c，N＝a﹣b+c，P＝4a+2b，则（）A．M＞0，N＞0，P＞0B．M＞0，N＜0，P＞0C．M＜0，N＞0，P＞0D．M＜0，N＞0，P＜0【解答】解：∵当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，∴M＜0，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴N＞0，∵抛物线的开口向上，∴a＞0，而对称轴为x＞1，得2a+b＜0，∴P＝4a+2b＜0．故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）将0.000702用科学记数法表示，结果为7.02×10﹣4．【解答】解：0.000 702＝7.02×10﹣4．14．（3分）已知∠α与∠β互余，且∠α＝35°18′，则∠β＝54°42′．【解答】解“∠β＝90°﹣∠α＝90°﹣35°18′＝54°42′．15．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上，则∠BEC＝45度．【解答】解：连接OB、OC，则∠E∠BOC，∵O是正方形外接圆的圆心，∴∠BOC＝90°，∴∠BEC∠BOC＝45°．16．（3分）矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝2∠BOC．若AC＝18cm，则AD＝9cm．【解答】解：∵∠AOB＝2∠BOC，∴∠AOB＝120°，∠BOC＝60°，∠CAB＝30°．∵AC＝18cm，∴BC＝9cm，矩形ABCD中AD＝BC＝9cm．故答案为9．17．（3分）某市政府切实为残疾人办实事，在区道路改造中为盲人修建一条长3000m的盲道，根据规划设计和要求，该市工程队在实际施工时增加了施工人员，每天修建的盲道比原计划增加50%，结果提前2天完成，则原计划每天修建500m．【解答】解：设原计划每天修建盲道xm，则，解得x＝500，经检验，x＝500是原方程的解，则实际每天修建盲道：x（1+50）%＝750m．18．（3分）如图，△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1，P2在函数y（x＞0）的图象上，斜边OA1，A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是（，0）．【解答】解：作P1B⊥y轴，P1A⊥x轴，∵△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，∴AP1＝BP1，A1D＝DA2＝DP2，则OA•OB＝4，∴OA＝OB＝AA1＝2，OA1＝4，设A1D＝x，则有（4+x）x＝4，解得x＝﹣2+2，或x＝﹣2﹣2（舍去），则OA2＝4+2x＝4﹣4+44，A2坐标为（4，0）．故答案为：（4，0）．三、解答题（共10小题，满分84分）19．（10分）（1）计算﹣9÷3+（）×12+32；（2）计算3a3b2÷a2+b•（a2b﹣3ab﹣5a2b）【解答】解：（1）﹣9÷3+（）×12+32，＝﹣3+（）×12+9，＝﹣3﹣2+9，＝4；（2）3a3b2÷a2+b•（a2b﹣3ab﹣5a2b），＝3ab2+b（﹣3ab﹣4a2b），＝3ab2﹣3ab2﹣4a2b2，＝﹣4a2b2．20．（6分）先化简，再求值，其中a，b．【解答】解：；因为a，b；所以原式．21．（5分）已知：∠AOB，点M、N．求作：点Q，使点Q在∠AOB的平分线上，且QM ＝QN．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【解答】解：画出∠AOB的平分线（2分），画出线段MN的垂直平分线（2分），画出所求作的点Q（1分，共5分）．22．（6分）如图，为了测量一条河的宽度，一测量员在河岸边的C处测得对岸一棵树A在正南方向，测量员向正东方向走180米到点B处，测得这棵树在南偏西60°的方向，求河的宽度？（结果保留根号）．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABD＝60°，∴∠CAB＝60°，∴AC60，即河宽为米．23．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．【解答】解：（1）把（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得：解得：；则抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）抛物线的开口方向向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）．24．（8分）据2005年5月8日《南通日报》报道：今年“五•一”黄金周期间，我市实现旅游收入再创历史新高，旅游消费呈现多样化，各项消费所占的比例如图秘所示，其中住宿消费为3438.24万元．（1）求我市今年“五•一”黄金周期间旅游消费共多少亿元？旅游消费中各项消费的中位数是多少万元？（2）对于“五•一”黄金周期间的旅游消费，如果我市2007年要达到3.42亿元的目标，那么，2005年到2007年的平均增长率是多少？【解答】解：（1）由图知，住宿消费为3438.24万元，占旅游消费的22.62%，∴黄金周期间旅游消费共有：3438.24÷22.62%＝15200（万元）＝1.52（亿元）．∵交通消费占旅游消费的17.56%，∴交通消费为15200×17.56%＝2669.12（万元）．∴今年我市“五一”黄金周旅游消费中各项消费按由小到大的顺序排列，交通消费和住宿消费排在第3和第4位，所以旅游消费中各项消费的中位数是（3438.24+2669.12）÷2＝3053.68（万元）．（2）设2005年到2007年旅游消费的年平均增长率是x，由题意，得1.52（1+x）2＝3.42，解得x1＝0.5，x2＝﹣2.5因为增长率不能为负，故x2＝﹣2.5舍去．∴x＝0.5＝50%．答：2005年到2007年旅游消费的年平均增长率是50%．25．（9分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF＝4cm．（1）求证：四边形ABFE是等腰梯形；（2）求AE的长．【解答】（1）证明：过点D作DM⊥AB，∵DC∥AB，∠CBA＝90°，∴四边形BCDM为矩形．∴DC＝MB．∵AB＝2DC，∴AM＝MB＝DC．∵DM⊥AB，∴AD＝BD．∴∠DAB＝∠DBA．∵EF∥AB，AE与BF交于点D，即AE与FB不平行，∴四边形ABFE是等腰梯形．（2）解：∵DC∥AB，∴△DCF∽△BAF．∴．∵CF＝4cm，∴AF＝8cm．∵AC⊥BD，∠ABC＝90°，在△ABF与△BCF中，∵∠ABC＝∠BFC＝90°，∴∠F AB+∠ABF＝90°，∵∠FBC+∠ABF＝90°，∴∠F AB＝∠FBC，∴△ABF∽△BCF（AA），即，∴BF2＝CF•AF．∴BF＝4cm．∴AE＝BF＝4cm．26．（10分）如图，已知：AO为⊙O1的直径，⊙O1与⊙O的一个交点为E，直线AO交⊙O 于B、C两点，过⊙O的切线GF，交直线AO于点D，与AE的延长线垂直相交于点F，OG∥AF．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若AB＝2，AE＝6，求△ODG的周长．【解答】（1）证明：连接OE，∵AO是⊙O1的直径，∴∠AEO＝90°．∵OE是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵AE是⊙O的切线，ACO是⊙O的割线，∴AE2＝AB•AC．∴AC＝18，BC＝AC﹣AB＝16，OG＝OB＝8．∵OE⊥AF，OG⊥DF，DF⊥AF，EF＝FG，OE＝OG，∴四边形FGOE是正方形，∴EF＝OG＝8，AF＝14．∵OG∥AF，∴OG：AF＝DG：（DG+FG）．解得DG．在Rt△OGD中，OG2+DG2＝OD2，即82+（）2＝（8+CD）2解得，CD．∴△ODG的周长＝DG+CD+OC+OG＝32．27．（10分）已知关于x的方程x2﹣kx+k2+n＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且（2x1+x2）2﹣8（2x1+x2）+15＝0．（1）求证：n＜0；（2）试用k的代数式表示x1；（3）当n＝﹣3时，求k的值．【解答】证明：（1）∵关于x的方程x2﹣kx+k2+n＝0有两个不相等的实数根，∴△＝k2﹣4（k2+n）＝﹣3k2﹣4n＞0，∴n＜k2．又﹣k2≤0，∴n＜0．解：（2）∵（2x1+x2）2﹣8（2x1+x2）+15＝0，x1+x2＝k，∴（x1+x1+x2）2﹣8（x1+x1+x2）+15＝0∴（x1+k）2﹣8（x1+k）+15＝0∴[（x1+k）﹣3][（x1+k）﹣5]＝0∴x1+k＝3或x1+k＝5，∴x1＝3﹣k或x1＝5﹣k．（3）∵n＜k2，n＝﹣3，∴k2＜4，即：﹣2＜k＜2．原方程化为：x2﹣kx+k2﹣3＝0，把x1＝3﹣k代入，得到k2﹣3k+2＝0，解得k1＝1，k2＝2（不合题意），把x2＝5﹣k代入，得到3k2﹣15k+22＝0，△＝﹣39＜0，所以此时k不存在．∴k＝1．28．（12分）在平面直角坐标系中，直线y kx+m（k）经过点A（，4），且与y轴相交于点C．点B在y轴上，O为坐标原点，且OB＝OA+7﹣2．记△ABC 的面积为S．（1）求m的取值范围；（2）求S关于m的函数关系式；（3）设点B在y轴的正半轴上，当S取得最大值时，将△ABC沿AC折叠得到△AB′C，求点B′的坐标．【解答】解：（1）∵直线y kx+m（k）经过点A（，4），∴k+m＝4，∴k＝1m．∵，∴．解得2≤m≤6．（2）∵A的坐标是（，4），∴OA．又∵OB＝OA+7﹣2，∴OB＝7．∴B点的坐标为（0，7）或（0，﹣7）．直线y kx+m与y轴的交点为C（0，m）．①当点B的坐标是（0，7）时，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC＝7﹣m．∴S•2•BC（7﹣m）．②当点B的坐标是（0，﹣7）时，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC＝7+m．∴S•2•BC（7+m）．（3）当m＝2时，一次函数S7取得最大值，这时C（0，2）．如图，分别过点A、B′作y轴的垂线AD、B′E，垂足为D、E．则AD，CD＝4﹣2＝2．在Rt△ACD中，tan∠ACD，∴∠ACD＝60°．由题意，得∠ACB′＝∠ACD＝60°，CB′＝BC＝7﹣2＝5，∴∠B′CE＝180°﹣∠B′CB＝60°．在Rt△B′CE中，∠B′CE＝60°，CB′＝5，∴CE，B′E．故OE＝CE﹣OC．∴点B′的坐标为（，）．。

宁夏回族自治区2010年初中毕业暨高中阶段招生数学试题参考答案及评分标准说明：1.除本参考答案外，其它正确解法可根据评分标准相应给分。

2.涉及计算的题，允许合理省略非关键步骤。

3.以下解答中右端所注的分数,表示考生正确做到这步应得的累计分。

一、选择题（3分×8=24分）二、填空题（3分×8=24分）9. －1； 10. 042 11. 2212b ab π-12. 10 13. 14.54 15. 231+ 16. ②③ 三．解答题（共24分）17.解：原式=)12()2(231---++--------------------------------------------------------4分=122231+--+=22------------------------------------------------------------------------------------6分 18.解：由①得：463≤+-x x22-≤-x1≥x ------------------------------------------------------------------------2分由②得：3321->+x x4->-x4<x ---------------------------------------------------------------------------------4分(注：没有用数轴表示解集的不扣分)∴原不等式组的解集为：41<≤x ----------------------------------------------------------- ---6分19.解：原式=a aa aa -⋅+--+1)1212(2=aaa a a a -⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++112)1)(1(2=)1()1(2)1(2+--++a a a a a a =13+a -----------------------------------------------------------------------------------4分 当13-=a 时原式=3331133==+------------------------------------------------------------------------6分所有可能的结果：(A, A) (A, A) (A, A) (A, A) (A, A) (A, A) (B, A) (B, A) (B, A) (B, A) (C, A) (C, A) (A, A) (A, B) (A, A) (A, B) (A, A) (A, B) (B, A) (B, B) (B, A) (B, B) (C, A) (C, B) (A, B) (A, C) (A, B) (A, C) (A, B) (A, C) (B, B) (B, C) (B, B) (B, C) (C, B) (C, C)列出表格或画出树状图得----------------- -----4分91)(=C B P 、母两个小球上分别写有字-----------------------6分 四．解答题（共48分）21.（1）40=a ; 09.0=b -------------------2分 （2）如图------------------------------------------3分 （3）0.12+0.09+0.08=0.29 0.29×24000=6960（名）答：该市24000名九年级考生数学成绩为优秀的学生约有6960名。

2003年江苏省南京市中考数学试卷一、选择题（共15小题，每小题2分，满分30分）1．（2分）计算2﹣1的结果是（）A．B．﹣ C．2 D．﹣22．（2分）若a与﹣5互为相反数，那么a是（）A．﹣5 B．C．D．53．（2分）计算（a2）3的结果是（）A．a5B．a6C．a8D．3a24．（2分）已知是方程kx﹣y=3的一个解，那么k的值是（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣15．（2分）如果，那么x的取值范围是（）A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞26．（2分）如果一元二次方程3x2﹣2x=0的两个根是x1和x2，那么x1•x2等于（）A．2 B．0 C．D．﹣7．（2分）抛物线y=（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）8．（2分）观察下列“风车”的平面图案：其中是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2分）在△ABC中，∠C=90°，tanA=1，那么cotB等于（）A．B．C．1 D．10．（2分）在比例尺是1：38 000的南京交通浏览图上，玄武隧道长约7cm，它的实际长度约为（）A．0.266km B．2.66km C．26.6km D．266km11．（2分）用换元法解方程x2+x+1=时，若设x2+x=y，则原方程可化为（）A．y2+y+2=0 B．y2﹣y﹣2=0 C．y2﹣y+2=0 D．y2+y﹣2=012．（2分）如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，PC=3，PB=1，则⊙O的半径等于（）A．B．3 C．4 D．13．（2分）正方形ABCD的边长是2cm，以直线AB为轴旋转一周，所得到的圆柱的侧面积为（）A．16πcm2B．8πcm2C．4πcm2D．4cm214．（2分）一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为（）米．A．B．C．D．15．（2分）如图所示，一张矩形纸片ABCD的长AB=acm，宽BC=bcm，E、F分别为AB、CD的中点，这张纸片沿直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a：b等于（）A．：1 B．1：C．：1 D．1：二、填空题（共5小题，每小题2分，满分10分）16．（2分）4的平方根是．17．（2分）计算：+=．18．（2分）在实数范围内分解因式：=．19．（2分）如图，正六边形DEFGHI的顶点都在边长为6cm的正三角形ABC的边上，则这个正六边形的边长是cm．20．（2分）如图，⊙O的两条弦AB、CD相交于点P，PD=2PB，PC=2cm，则PA= cm．三、解答题（共13小题，满分80分）21．（5分）计算：22．（5分）解方程组：23．（5分）已知二次函数y=ax2﹣2的图象经过点（1，﹣1），求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数．24．（5分）如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．25．（5分）一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V=10m3时，ρ=1.43kg/m3．（1）求ρ与V的函数关系式；（2）求当V=2m3时求氧气的密度ρ．26．（5分）一个长方形足球场的长为xm，宽为70m．如果它的周长大于350m，面积小于7560m2，求x的取值范围，并判断这个球场是否可以用作国际足球比赛．（注：用于国际比赛的足球场的长在100m到110m之间，宽在64m到75m 之间）27．（5分）公交508路总站设在一居民小区附近，为了了解高峰时段从总站乘车出行的人数，随机抽查了10个班次的乘车人数，结果如下：20 23 26 25 29 28 30 25 21 23（1）计算这10个班次乘车人数的平均数；（2）如果在高峰时段从总站共发车60个班次，根据上面的计算结果，估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有多少人？28．（7分）如图，∠POQ=90°，边长为2cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C在OQ上，且∠OBC=30°，分别求点A、D到OP的距离．29．（6分）只利用一把有刻度的直尺，用度量的方法，按下列要求画图：（1）在图1中用下面的方法画等腰三角形ABC的对称轴：＜1＞量出底边BC的长度，将线段BC二等分，即画出BC的中点D；＜2＞画直线AD，即画出等腰三角形ABC的对称轴．（2）在图2中画∠AOB的对称轴，并写出画图的方法．30．（8分）阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．例如：图中①的三角形被一个圆覆盖，②中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；（3）长为2cm，宽为1cm的矩形被两个半径均为r的圆所覆盖，r的最小值是cm．这两个圆的圆心距是cm31．（7分）某灯具店采购了一批某种型号的节能灯，共用去400元．在搬运过程中不慎打碎了5盏，该店把余下的灯每盏以超出进价4元全部售出，然后用所得的钱又采购了一批这种节能灯，且进价与上次相同，但购买的数量比上次多了9盏．求每盏灯的进价．32．（8分）如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点M、N．（1）求M、N两点的坐标；（2）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，为半径的圆与直线y=﹣x+4相切，求点P的坐标．33．（9分）如图，⊙O与⊙O1相交于A、B两点，点O在⊙On上，⊙On的弦OC交AB于点D．（1）求证：OA2=OC•OD；（2）如果AC+BC=OC，⊙O的半径为r，求证：AB=．2003年江苏省南京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题2分，满分30分）1．（2分）计算2﹣1的结果是（）A．B．﹣ C．2 D．﹣2【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可．【解答】解：原式=．故选A．【点评】幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．2．（2分）若a与﹣5互为相反数，那么a是（）A．﹣5 B．C．D．5【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．【解答】解：根据概念，（﹣5的相反数）+（﹣5）=0，则﹣5的相反数是5．故选：D．【点评】理解互为相反数的概念．3．（2分）计算（a2）3的结果是（）A．a5B．a6C．a8D．3a2【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算后直接选取答案．【解答】解：（a2）3=a6．故选：B．【点评】本题考查了幂的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键．4．（2分）已知是方程kx﹣y=3的一个解，那么k的值是（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数k的一元一次方程，从而可以求出k的值．【解答】解：把代入方程kx﹣y=3，得：2k﹣1=3，解得k=2．故选：A．【点评】解题的关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数k为未知数的方程，利用方程的解的定义可以求方程中其它字母的值．5．（2分）如果，那么x的取值范围是（）A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2【分析】已知等式左边为算术平方根，结果x﹣2为非负数，列不等式求范围．【解答】解：如果，必有x﹣2≥0，即x≥2．故选C．【点评】本题主要考查二次根式的化简方法的运用：a＞0时，=a；a＜0时，=﹣a；a=0时，=0．6．（2分）如果一元二次方程3x2﹣2x=0的两个根是x1和x2，那么x1•x2等于（）A．2 B．0 C．D．﹣【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=，x1x2=．【解答】解：这里a=3，c=0，则x1•x2==0．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，比较简单．7．（2分）抛物线y=（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）【分析】二次函数的顶点式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），顶点坐标为（h，k）；直接写出顶点坐标．【解答】解：因为y=（x﹣1）2+1是抛物线解析式的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标是（1，1）．故选：A．【点评】本题主要是对二次函数中对称轴，顶点坐标的考查．8．（2分）观察下列“风车”的平面图案：其中是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据中心对称图形的定义结合各图形的特点即可解答．【解答】解：是在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合的图形的有第2个与第4个，即中心对称图形是第二个与第四个，其它两个不是．故选B．【点评】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合；和正偶数边形有关的一般是中心对称图形．9．（2分）在△ABC中，∠C=90°，tanA=1，那么cotB等于（）A．B．C．1 D．【分析】根据tan45°=1得出∠A的值，再根据三角形内角和180°得出∠B的值，代入cotB即可．【解答】解：∵△ABC中，∠C=90°，tanA=1，∴∠A=45°，∠B=180°﹣90°﹣45°=45°．∴cotB=cot45°=1．故选：C．【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．10．（2分）在比例尺是1：38 000的南京交通浏览图上，玄武隧道长约7cm，它的实际长度约为（）A．0.266km B．2.66km C．26.6km D．266km【分析】比例尺=图上距离：实际距离．按题目要求列出比例式计算即可．【解答】解：根据：比例尺=图上距离：实际距离．得它的实际长度约为7×38000=266000（cm）=2.66（km）．故选B．【点评】理解比例尺的概念，正确进行有关计算，注意单位的转换．11．（2分）用换元法解方程x2+x+1=时，若设x2+x=y，则原方程可化为（）A．y2+y+2=0 B．y2﹣y﹣2=0 C．y2﹣y+2=0 D．y2+y﹣2=0【分析】根据方程的特点，设y=x2+x，可将方程中的x全部换成y，转化为关于y的分式方程，去分母转化为一元二次方程．【解答】解：把x2+x=y代入原方程得：y+1=2•，方程两边同乘以y整理得：y2+y ﹣2=0．故选：D．【点评】换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．12．（2分）如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，PC=3，PB=1，则⊙O的半径等于（）A．B．3 C．4 D．【分析】因为PC，PA分别是圆的切线与割线，根据切割线定理PC2=PB•PA可求得PC=3，PB=1；从而求得AB=8，即可求得半径的长．【解答】解：∵PC，PA分别是圆的切线与割线，∴PC2=PB•PA，∵PC=3，PB=1，∴PA=9，AB=8，∴半径为4．故选：C．【点评】此题主要考查学生对切线的性质及勾股定理的理解运用．13．（2分）正方形ABCD的边长是2cm，以直线AB为轴旋转一周，所得到的圆柱的侧面积为（）A．16πcm2B．8πcm2C．4πcm2D．4cm2【分析】根据圆柱的侧面积公式=底面周长×高计算．【解答】解：圆柱的侧面面积=π×2×2×2=8πcm2．故选B．【点评】本题主要是根据圆柱的侧面积公式进行计算．14．（2分）一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为（）米．A．B．C．D．【分析】根据乘方的意义和题意可知：第2次后剩下的绳子的长度为米，那么依此类推得到第六次后剩下的绳子的长度为米．【解答】解：∵1﹣=，∴第2次后剩下的绳子的长度为米；依此类推第六次后剩下的绳子的长度为米．故选：C．【点评】此题主要考查了乘方的意义．其中解题是正确理解题意是解题的关键，能够根据题意列出代数式是解题主要步骤．15．（2分）如图所示，一张矩形纸片ABCD的长AB=acm，宽BC=bcm，E、F分别为AB、CD的中点，这张纸片沿直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a：b等于（）A．：1 B．1：C．：1 D．1：【分析】根据题意，得b：=a：b，根据比例的基本性质，得a2=2b2．则可求得a=b，故a：b可求．【解答】解：∵b：=a：b，∴a2=2b2，∴a=b，则a：b=：1．故选：A．【点评】能够根据题意正确写出比例式，再根据比例的基本性质表示两个字母之间的关系，即可求解．二、填空题（共5小题，每小题2分，满分10分）16．（2分）4的平方根是±2．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2．故答案为：±2．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．17．（2分）计算：+=．【分析】运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=+2=3．【点评】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．18．（2分）在实数范围内分解因式：=．【分析】把3写成的平方，然后利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：x2﹣2x+3，=x2﹣2x+（）2，=（x﹣）2．故答案为：（x﹣）2．【点评】本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点是：两项平方项的符号相同；另一项是两底数积的2倍，把3写成平方的形式是运用公式的关键．19．（2分）如图，正六边形DEFGHI的顶点都在边长为6cm的正三角形ABC的边上，则这个正六边形的边长是2cm．【分析】由已知易得，△ADI、△BEF、△CHG是等边三角形，从而可证AD=DE=BE，由正三角形ABC的边长即可求得正六边形的边长．【解答】解：∵正六边形DEFGHI∴DI∥BC∵正三角形ABC∴∠B=∠C=∠A=60°∴△ADI是等边三角形∴AD=DI=AI同理，BE=EF=BF∵DE=EF∴AD=DE=BE∴DE=6÷3=2cm．故填2．【点评】此题考查等边三角形和正六边形的性质．20．（2分）如图，⊙O的两条弦AB、CD相交于点P，PD=2PB，PC=2cm，则PA= 4cm．【分析】由相交弦定理可以得到PA•PB=PC•PD，然后利用已知条件即可取出PA．【解答】解：由相交弦定理得PA•PB=PC•PD，∴PA===4cm．【点评】本题主要是根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算．三、解答题（共13小题，满分80分）21．（5分）计算：【分析】先对括号内的异分母分式加减，需要通分，再把除法转化为乘法运算进行计算，约分就可以了．【解答】解：原式=（2分）=（4分）=．（5分）【点评】本题有两个考查点：（1）异分母分式加减；（2）分式的除法．熟练掌握运算法则是解题的关键．22．（5分）解方程组：【分析】由（1）得y=x（3），把（3）代入（2）得x2+2x2=12，解这个方程再代入求值即可．【解答】解：由（1）得y=x（3），把（3）代入（2）得x2+2x2=12，解得x=±2，当x=2时，y=2；当x=﹣2时，y=﹣2．∴原方程组的解是．【点评】此题主要是用代入消元法求解．23．（5分）已知二次函数y=ax2﹣2的图象经过点（1，﹣1），求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数．【分析】①首先利用待定系数法求出a值，继而求出二次函数解析式．②利用△可以解答与x轴的交点的个数．【解答】解：根据题意，得a﹣2=﹣1，（1分）∴a=1．（2分）∴这个二次函数解析式是y=x2﹣2．（3分）因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，﹣2）故该函数图象与x轴有两个交点．（5分）【点评】本题考查的是二次函数的有关性质，难度一般．还可以根据判别式△的值得出函数图象与x轴的交点的个数．24．（5分）如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．【分析】（1）利用等腰三角形的性质，可得到∠B=∠C，D又是BC的中点，利用AAS，可证出：△BED≌△CFD．（2）利用（1）的结论可知，DE=DF，再加上三个角都是直角，可证出四边形DFAE 是正方形．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵D是BC的中点，∴BD=CD．∴△BED≌△CFD．（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°．∵∠A=90°，∴四边形DFAE为矩形．∵△BED≌△CFD，∴DE=DF．∴四边形DFAE为正方形．【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质以及矩形、正方形的判定．解答此题的关键是利用等腰三角形的两个底角相等，从而证明Rt△BED和Rt△CFD中的两个锐角对应相等．25．（5分）一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V=10m3时，ρ=1.43kg/m3．（1）求ρ与V的函数关系式；（2）求当V=2m3时求氧气的密度ρ．【分析】首先根据题意，一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V （m3）的反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；进一步求解可得答案．【解答】解：（1）设ρ=，当V=10m3时，ρ=1.43kg/m3，所以1.43=，即k=14.3，所以ρ与V的函数关系式是ρ=；（2）当V=2m3时，把V=2代入得：ρ=7.15（kg/m3），所以当V=2m3时，氧气的密度为7.15（kg/m3）．【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．26．（5分）一个长方形足球场的长为xm，宽为70m．如果它的周长大于350m，面积小于7560m2，求x的取值范围，并判断这个球场是否可以用作国际足球比赛．（注：用于国际比赛的足球场的长在100m到110m之间，宽在64m到75m 之间）【分析】由题意，得．解这个不等式组可得长x的取值范围，再与国际比赛的足球场进行比较，看是否适合．【解答】解：由题意，得，解得105＜x＜108．答：这个足球场可用于国际足球比赛．【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．27．（5分）公交508路总站设在一居民小区附近，为了了解高峰时段从总站乘车出行的人数，随机抽查了10个班次的乘车人数，结果如下：20 23 26 25 29 28 30 25 21 23（1）计算这10个班次乘车人数的平均数；（2）如果在高峰时段从总站共发车60个班次，根据上面的计算结果，估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有多少人？【分析】利用平均数计算公式先求出样本平均数，再用平均数乘以发车班次就是乘客的总人数．【解答】解：（1）平均数=（20+23+26+25+29+28+30+25+21+23）=25（人）∴这10个班次乘车人数的平均数是25人．（2）60×25=1500（人）∴估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有1500人．【点评】正确理解算术平均数的概念和学会运用样本根据总体的思想方法．28．（7分）如图，∠POQ=90°，边长为2cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C在OQ上，且∠OBC=30°，分别求点A、D到OP的距离．【分析】过点A、D分别作AE⊥OP，DF⊥OP，DG⊥OQ，根据已知角的度数和正方形的性质．可以得到两个30度的Rt△ABE，Rt△CDG，然后根据锐角三角函数的知识进行求解．【解答】解：过点A、D分别作AE⊥OP，DF⊥OP，DG⊥OQ，垂足分别为E、F、G，在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°∵∠OBC=30°∴∠ABE=60°，在Rt△AEB中，AE=ABsin60°=2×，∵四边形DFOG是矩形，∴DF=GO，∵∠OBC=30°，∴∠BCO=60°，∴∠DCG=30°，在Rt△DCG中，CG=CD•cos30°=2×，在Rt△BOC中，OC=BC=1（cm），∴DF=GO=OC+CG=（+1）cm，答：点A到OP的距离为cm，点D到OP的距离为（+1）cm．【点评】能够发现30度的直角三角形，熟知30度的直角三角形的各边关系：从小到大的比是1：：2．29．（6分）只利用一把有刻度的直尺，用度量的方法，按下列要求画图：（1）在图1中用下面的方法画等腰三角形ABC的对称轴：＜1＞量出底边BC的长度，将线段BC二等分，即画出BC的中点D；＜2＞画直线AD，即画出等腰三角形ABC的对称轴．（2）在图2中画∠AOB的对称轴，并写出画图的方法．【分析】（1）按题中所给的条件画即可；（2）∠AOB的对称轴是∠AOB角平分线所在的直线．如果用度量的方法，应由（1）得到启发，作出一个等腰三角形，作出中心即可．【解答】解：（1）；（2分）（2）．（4分）画图方法：＜1＞利用有刻度的直尺，在∠AOB的边OA、OB上分别截取OC、OD，使OC=OD；＜2＞连接CD，量出CD的长，将线段CD二等分，画出线段CD的中点E；＜3＞画直线OE，直线OE即为∠AOB的对称轴．（6分）【点评】用到的知识点为：等腰三角形的对称轴是底边中线所在的直线．30．（8分）阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．例如：图中①的三角形被一个圆覆盖，②中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；（3）长为2cm，宽为1cm的矩形被两个半径均为r的圆所覆盖，r的最小值是cm．这两个圆的圆心距是1cm【分析】当一个图形被一个圆覆盖时，当圆是这个图形的外接圆时，圆最小；当矩形被两圆覆盖，圆最小时，两圆的公共弦一定是1cm，则每个圆内的部分是一个边长是1的正方形．【解答】解：（1）以正方形的对角线为直径做圆是覆盖正方形的最小圆，半径r 的最小值=；（2）边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，这个最小的圆是正三角形的外接圆，如图作三角形ABC的高AD构成直角三角形ABD，斜边AB=1，BD=，因为三角形是正三角形，所以∠ABC=60°，O是外心，所以∠OBC=30°，OD=OB，设OA=OB=x，则OD=x，在直角三角形OBD中，根据勾股定理列方程：x2=（）2+（x）2，解得：x=．（3）如图：矩形ABCD中AB=1，BC=2，则覆盖ABCD的两个圆与矩形交于E、F 两点，由对称性知E、F分别是AD和BC的中点，则四边形ABFE、EFCD是两个边长为1的正方形，所以圆的半径r=，两圆心距=1．【点评】正确理解什么情况下圆最小是解决本题的关键．31．（7分）某灯具店采购了一批某种型号的节能灯，共用去400元．在搬运过程中不慎打碎了5盏，该店把余下的灯每盏以超出进价4元全部售出，然后用所得的钱又采购了一批这种节能灯，且进价与上次相同，但购买的数量比上次多了9盏．求每盏灯的进价．【分析】根据题目的问题，设每盏灯的进价为x元，400元可以买灯个，实际卖出的是（）个；单价每盏灯（x+4）元，卖出金额（）•（x+4）元；用所得的钱又采购了一批这种节能灯（）个，需要的金额（+9）•x元，根据题意，列方程．【解答】解：设每盏灯的进价为x元．依题意，列方程：（）•（x+4）=（+9）•x．解方程得：x1=10，x2=（舍去）．经检验，x=10符合题意．答：每盏灯的进价为10元．【点评】本题可以从卖出的节能灯金额=又采购的节能灯金额，建立等量关系．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．32．（8分）如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点M、N．（1）求M、N两点的坐标；（2）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，为半径的圆与直线y=﹣x+4相切，求点P的坐标．【分析】第一问简单，已知直线解析式，易求M，N点坐标；由题意知点P在坐标轴上，说的很模糊，所以要分类讨论，再根据圆的性质及相切的条件，又知道圆的半径，从而求出每种情况的P点坐标．【解答】解：（1）当x=0时，y=4，当y=0时，﹣x+4=0∴x=3．∴M（3，0），N（0，4）．（2）①当P1点在y轴上，并且在N点的下方时，设⊙P1与直线y=﹣x+4相切于点A，连接P1A，则P1A⊥MN，∴∠P1AN=∠MON=90°．∵∠P1NA=∠MNO，∴△P1AN∽△MON，∴在Rt△OMN中，OM=3，ON=4，∴MN=5．又∵，∴P1N=4，∴P1点坐标是（0，0）；②当P2点在x轴上，并且在M点的左侧时，同理可得P2点坐标是（0，0）；③当P3点在x轴上，并且在M点的右侧时，设⊙P3与直线y=﹣x+4上切于点B，连接P3B．则P3B⊥MN，∴OA∥P3B．∵OA=P3B，∴P3M=OM=3，∴OP3=6．∴P3点坐标是（6，0）；④当P4点在y轴上，并且在点N上方时，同理可得P4N=ON=4．∴OP4=8，∴P4点坐标是（0，8）；综上，P点坐标是（0，0），（6，0），（0，8）．【点评】此题考查一次函数的基本性质及圆的性质，把直线与圆连接起来，不免有相切的关系，还考查相似三角形的性质及分类讨论的思想．33．（9分）如图，⊙O与⊙O1相交于A、B两点，点O在⊙On上，⊙On的弦OC交AB于点D．（1）求证：OA2=OC•OD；（2）如果AC+BC=OC，⊙O的半径为r，求证：AB=．【分析】（1）欲证OA2=OC•OD，通过证明△AOC∽△DOA可以得出；（2）因为AC+BC=OC，⊙O的半径为r，欲证AB=，只需证明（AC+BC）：OC=AB：OA；通过证明△AOC∽△DOA，△OBD∽△OCB，得出比例形式相加，即可得出．【解答】证明：（1）连接OB．∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．∵∠OCA=∠OBA，∴∠OAB=∠OCA．∵∠AOC=∠DOA，∴△AOC∽△DOA．∴，∴OA2=OC•OD．（2）∵△AOC∽△DOA，∴．同理可得，．∴，即．∵AC+BC=OC，OA=r，∴AB=．【点评】本题考查了相似三角形的性质．特别注意：第（2）小题构思巧妙，解答此类题关键是综合两个相似比，得出结论．。

2005年江苏省淮安市中考数学试卷（课标卷）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1.（3分）如果口+2=0,那么“口”内应填的实数是（）11A.- 2B.-4C.-D.2222.（3分）下列基本图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，不能得到如图的是（）令Cb.Wk D.3.（3分）下列统计量中，能反映一个学生在7~9年级学段的学习成绩稳定程度的是（）A.平均数B.中位数C.方差D.众数4.（3分）下列关于妃的说法中错误的是（)A.妃是无理数B.3<V12<4C.是12的算术平方根D.而不能再化简5.（3分）如图是一个不完整的正方体平面展开图，需再添上一个面,折叠后才能围成一个正方体.下面是四位同学补画的情况（图中阴影部分），其中正确的是（）C. D.6.（3分）如图是创星中学的平面示意图，其中宿舍楼暂未标注，已知宿舍楼在教学楼的北偏东约30°的方向，与教学楼实际距离约为200米，试借助刻度尺和量角器，测量图中四点位置，能比较准确地表示该宿舍楼位置的是（）创星中学节面示蕙囹子北比例尺I>10000•D••A荚釜楼n•DU场办A®?■秫而A.点AB.点BC.点CD.点£）7.（3分）如图，小亮同学在晚上由路灯A走向路灯B,当他走到点F时，发现他的身影顶部正好接触路灯B的底部，这时他离路灯A25米，离路灯35米，如果小亮的身高为1.6米，那么路灯高度为（）A. 6.4米P BB.8米C.9.6米D.11.2米8.（3分）四张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为（）113A.—B.—C.—D.14249.（3分）如图，点D,E,尸分别是△ABC（AB>AC）各边的中点，下列说法中，错误的是（）A.AD平分ABAC1 B.EF=^BCC.EF与AQ互相平分D.△DFE是△ABC的位似图形10.（3分）一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的L估计步行不能准时到达，于是4他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1）,则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（）A.20分钟B.22分钟C.24分钟D.26分钟二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11.（3分）如果a+Z?=2005,a- b=l,那么a2-Z?2=.12.（3分）如图，已知AB//CD,CE、AE分别平分ZACD.ZCAB,则Zl+Z2=度.13.（3分）下列命题：①对顶角相等；②等腰三角形的两个底角相等；③两直线平行，同位角相等.其中逆命题为真命题的有：（请填上所有符合题意的序号）.14.（3分）把棱长为1cm的四个正方体拼接成一个长方体，则在所得长方体中，表面积最大的值等于cm2.15.（3分）函数y=话的图象如图所7F,在同一直角坐标系内，如果将直线y=~x+1沿y轴向上平移2个单位后，那么所得直线与函数y=|的图象的交点共有个.16.（3分）己知一列数：1,-2,3,-4,5,-6,7,…将这列数排成下列形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于第1行 1第2行一 23第3行一45—6第4行 「—89 -10第S 行 11—1213-14.解答题（共11小题，满分102分）117. （8 分）计算：V2»V8- （2-tt ） 0 - （-）J18. （8 分）化简：（1 + 二）X —1x z —119. （8分）如图是不倒翁的正视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿B4、PB 分别相切于点A 、B,不倒翁的鼻尖正好是圆心O,若ZOAB=25° ,求Z.APB 的度数.20. （8 分）已知不等式：（l ）l-x<0； （2）——<1； （3） 2x+3>l ； （4） 0.2x- 3< - 2.你2喜欢其中哪两个不等式，请把它们选出来组成一个不等式组，求出它的解集，并在数轴上把解集表示出来.21. （8分）对于二次三项式x 2 - 10x+36,小聪同学作出如下结论：无论x 取什么实数，它的值都不可能等于11.你是否同意他的说法？说明你的理由.22. （10 分）已知：如图，RtAABC^RtAADE, ZABC= ZADE= 90° ,试以图中标有字母的点为端点，连接两条线段，如果你所连接的两条线段满足相等，垂直或平行关系中 的一种，那么请你把它写出来并证明.23. （10分）为了调查淮安市今年有多少名考生参加中考，小华从全市所有家庭中随机抽查了 200个家庭，发现其中10个家庭有子女参加中考.（1）本次抽查的200个家庭中，有子女参加中考的家庭的频率是多少？（2）如果你随机调查一个家庭，估计该家庭有子女参加中考的概率是多少？（3）己知淮安市约有1.3X106个家庭，假设有子女参加中考的每个家庭中只有一名考生，请你估计今年全市有多少名考生参加中考24.（10分）如图，在平面直角坐标系中，ZAOB=60°,点B坐标为（2,0）,线段OA的长为6.将△A03绕点。

2005年江苏省苏州市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）下列运算错误的是（）A．（a﹣2）3＝a﹣6B．（a2）3＝a5C．a2÷a3＝a﹣1D．a2•a3＝a5 2．（3分）如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（）A．90°B．60°C．45°D．30°3．（3分）苏州红十字会统计，2004年苏州是无偿鲜血者总量为12.4万人次，已连续6年保持全省第一．12.4万这个数用科学记数法来表示是（）A．1.24×104B．1.24×105C．1.24×106D．12.4×104 4．（3分）将直线y＝2x向上平移两个单位，所得的直线是（）A．y＝2x+2B．y＝2x﹣2C．y＝2（x﹣2）D．y＝2（x+2）5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）A．∠1+∠2＝180°B．∠2+∠3＝180°C．∠3+∠4＝180°D．∠2+∠4＝180°6．（3分）初二（1）班有48位学生，春游前，班长把全班学生对春游地点的意向绘制成了扇形统计图，其中“想去苏州乐园的学生数”的扇形圆心角60°，则下列说法正确的是（）A．想去苏州乐园的学生占全班学生的60%B．想去苏州乐园的学生有12人C．想去苏州乐园的学生肯定最多D．想去苏州乐园的学生占全班学生的7．（3分）如图所示，已知等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6，腰AD的长为5，则该等腰梯形的周长为（）A．11B．16C．17D．228．（3分）如图所示转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等，四位同学各自发表了下述见解：甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形；乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形；丙：指针停在奇数号扇形的机会与停在偶数号扇形的机会相等；丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大．其中，你认为正确的见解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）的相反数是．10．（3分）如图，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD＝．11．（3分）温家宝总理有句名言：“多么小的问题乘以13亿，都会变得很大；多么大的经济总量，除以13亿都会变得很小”据国家统计局的公布，2004年我国淡水资源总量为26520亿立方米，居世界第四位，但人均只有立方米，是全球人均水资源最贫乏的十三个国家之一．12．（3分）函数中x的取值范围是．13．（3分）如图的几何体由若干个棱长为1的正方体堆放而成，则这个几何体的体积为．14．（3分）下表给出了合肥市2006年5月28日至6月3日的最高气温，则这些最高气温的极差是℃．15．（3分）已知反比例函数y，其图象在第一、第三象限内，则k的值可为．（写出满足条件的一个k的值即可）．16．（3分）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为．三、解答题（共12小题，满分72分）17．（5分）不使用计算器，计算：18．（5分）化简：．19．（5分）解方程组：．20．（6分）如图，平行四边形纸条ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点．将纸条的下半部分平行四边形ABFE沿EF翻折，得到一个V字形图案．（1）请在原图中画出翻折后的平行四边形A′B′FE；（用尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）（2）已知∠A＝65°，求∠B′FC的度数．21．（6分）如图，小明、小华用4张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置于桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回．（1）若小明恰好抽到了黑桃4．①请在右边框中绘制这种情况的树形图；②求小华抽出的牌的牌面数字比4大的概率．（2）小明、小华约定：若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大，则小明胜；反之，则小明负．你认为这个游戏公平吗？说明你的理由．22．（6分）已知如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，D是⊙O上的一点，且AD∥OC．（1）求证：△ADB∽△OBC；（2）若AO＝2，BC＝2，求AD的长．23．（6分）为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE．（sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，tan18°≈0.3249）（精确到0.1m）24．（6分）已知二次函数y＝2x2﹣mx﹣m2．（1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；（2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为（1，0），求B点坐标．25．（6分）苏州市区某居民小区共有800户家庭，有关部门对该小区的自来水管网系统进行改造，为此需了解该小区自来水用水情况，该部门通过随机抽取，调查了其中30户家庭，已知这30户家庭共有87人．（1）这30户家庭平均每户人（精确到0.1人）；（2）这30户家庭的月用水量见下表：求这30户家庭的人均日用水量（一个月按30天计算，精确到0.001 m3）；（3）根据上述数据，试估计该小区的日用水量（精确到1m3）．26．（6分）（1）如图1所示，在等边△ABC中，点D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE，求证：AE∥BC；（2）如图2所示，将（1）中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作△EDC相似于△ABC，请问仍有AE∥BC？证明你的结论．27．（7分）苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：①每亩水面的年租金为500元，水面需按整数亩出租；②每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗；③每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1400元收益；④每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益；（1）若租用水面n亩，则年租金共需元；（2）水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润（利润：收益﹣成本）；（3）李大爷现有资金25000元，他准备再向银行贷不超过25000元的款．用于蟹虾混合养殖．已知银行贷款的年利率为8%，试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使年利润超过35000元？28．（8分）如图一，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），D是BC边上的动点（与点B，C不重合），现将△COD 沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG、DF重合．（1）如图二，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；（2）设D（a，6），E（10，b），求b关于a的函数关系式，并求b的最小值；（3）一般地，请你猜想直线DE与抛物线y x2+6的公共点的个数，在图二的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线y x2+6始终有公共点，请在图一中作出这样的公共点．2005年江苏省苏州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）下列运算错误的是（）A．（a﹣2）3＝a﹣6B．（a2）3＝a5C．a2÷a3＝a﹣1D．a2•a3＝a5【解答】解：A、（a﹣2）3＝a﹣2×3＝a﹣6，正确；B、（a2）3＝a6，错误；C、a2÷a3＝a2﹣3＝a﹣1，正确；D、a2•a3＝a2+3＝a5，正确；故选：B．2．（3分）如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：∵中心角是由8个度数相等的角组成，∴每次旋转的度数可以为360°÷8＝45°．故选：C．3．（3分）苏州红十字会统计，2004年苏州是无偿鲜血者总量为12.4万人次，已连续6年保持全省第一．12.4万这个数用科学记数法来表示是（）A．1.24×104B．1.24×105C．1.24×106D．12.4×104【解答】解：12.4万＝12.4×104＝1.24×105．故选：B．4．（3分）将直线y＝2x向上平移两个单位，所得的直线是（）A．y＝2x+2B．y＝2x﹣2C．y＝2（x﹣2）D．y＝2（x+2）【解答】解：原直线的k＝2，b＝0；向上平移两个单位得到了新直线，那么新直线的k＝2，b＝0+2＝2．∴新直线的解析式为y＝2x+2．故选：A．5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）A．∠1+∠2＝180°B．∠2+∠3＝180°C．∠3+∠4＝180°D．∠2+∠4＝180°【解答】解：由▱ABCD的性质及图形可知：A、∠1和∠2是邻补角，故∠1+∠2＝180°，正确；B、因为AD∥BC，所以∠2+∠3＝180°，正确；C、因为AB∥CD，所以∠3+∠4＝180°，正确；D、根据平行四边形的对角相等，∠2＝∠4，∠2+∠4＝180°不一定正确；故选D．6．（3分）初二（1）班有48位学生，春游前，班长把全班学生对春游地点的意向绘制成了扇形统计图，其中“想去苏州乐园的学生数”的扇形圆心角60°，则下列说法正确的是（）A．想去苏州乐园的学生占全班学生的60%B．想去苏州乐园的学生有12人C．想去苏州乐园的学生肯定最多D．想去苏州乐园的学生占全班学生的【解答】解：因为60°÷360°×48＝8，所以想去苏州乐园的学生占全班学生的，共有8人．故选D．7．（3分）如图所示，已知等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6，腰AD的长为5，则该等腰梯形的周长为（）A．11B．16C．17D．22【解答】解：∵EF是梯形ABCD的中位线，且EF＝6∴AB+DC＝2EF＝2×6＝12∴梯形ABCD的周长是AB+DC+AD+BD＝12+5+5＝22故选：D．8．（3分）如图所示转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等，四位同学各自发表了下述见解：甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形；乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形；丙：指针停在奇数号扇形的机会与停在偶数号扇形的机会相等；丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大．其中，你认为正确的见解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：A、错误，是随机事件，不能确定；B、错误，是随机事件，不能确定；C、正确，由于奇数号扇形和偶数号扇形数目相同，指针停在奇数号扇形的机会等于停在偶数号扇形的机会；D、错误，随机事件，不受意识控制．故选：A．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）的相反数是．【解答】解：的相反数是﹣（）．故答案为：．10．（3分）如图，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD＝5．【解答】解：如图．∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B（180°﹣120°）＝30°．∴AD5．（直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半）即底边上的高AD＝5．11．（3分）温家宝总理有句名言：“多么小的问题乘以13亿，都会变得很大；多么大的经济总量，除以13亿都会变得很小”据国家统计局的公布，2004年我国淡水资源总量为26520亿立方米，居世界第四位，但人均只有2040立方米，是全球人均水资源最贫乏的十三个国家之一．【解答】解：26520÷13＝2040立方米．答：人均只有2040立方米，是全球人均水资源最贫乏的十三个国家之一．12．（3分）函数中x的取值范围是x＞2．【解答】解：∵是二次根式，同时也是分母，∴x﹣2＞0，∴x＞2．故答案为：x＞2．13．（3分）如图的几何体由若干个棱长为1的正方体堆放而成，则这个几何体的体积为6．【解答】解：如图：这个几何体由6个正方体组成，每个正方体的体积是1．故答案为6．14．（3分）下表给出了合肥市2006年5月28日至6月3日的最高气温，则这些最高气温的极差是7℃．【解答】解：由题意可知，数据中最大的值33，最小值26，所以极差＝33﹣26＝7（℃）．故填7．15．（3分）已知反比例函数y，其图象在第一、第三象限内，则k的值可为k＝3（答案不唯一）．（写出满足条件的一个k的值即可）．【解答】解：∵反比例函数y，其图象在第一、第三象限内，∴k﹣2＞0，即k＞2，k的值可为3（答案不唯一，只要符合k＞2即可）．16．（3分）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为（2，0）．【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，0）．故答案为：（2，0）三、解答题（共12小题，满分72分）17．（5分）不使用计算器，计算：【解答】解：原式＝321＝31．18．（5分）化简：．【解答】解：原式1＝1．19．（5分）解方程组：．【解答】解：原方程组可化为，即①②，①+②得，6x＝18，x＝3．①﹣②得，﹣4y＝﹣2，y．故原方程组的解为．20．（6分）如图，平行四边形纸条ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点．将纸条的下半部分平行四边形ABFE沿EF翻折，得到一个V字形图案．（1）请在原图中画出翻折后的平行四边形A′B′FE；（用尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）（2）已知∠A＝65°，求∠B′FC的度数．【解答】解：（1）画出正确的图形（见右图），①以点E为圆心，分别以AE、BE长为半径化弧；②以点F为圆心，分别以BF、BE为半径化弧，与前两弧分别相交于A′，B′两点，连接A′B′，A′E，B′F即可；（2）∵四边形ABEF是平行四边形，∴∠EFB＝∠A＝65°．∵四边形A′B′FE是由四边形ABFE翻折得到，∴∠B′FE＝∠EFB＝65°．∴∠B′FC＝180°﹣∠B′FE﹣∠EFB＝50°．21．（6分）如图，小明、小华用4张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置于桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回．（1）若小明恰好抽到了黑桃4．①请在右边框中绘制这种情况的树形图；②求小华抽出的牌的牌面数字比4大的概率．（2）小明、小华约定：若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大，则小明胜；反之，则小明负．你认为这个游戏公平吗？说明你的理由．【解答】解：（1）①②小华抽出的牌的牌面数字比4大的概率是．（2）这个游戏不公平．小明胜的情况共有5种，即（4，2），（5，2），（5，2），（5，4），（5，4），故小明获胜的概率为，而小明输的概率为．∴这个游戏不公平．22．（6分）已知如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，D是⊙O上的一点，且AD∥OC．（1）求证：△ADB∽△OBC；（2）若AO＝2，BC＝2，求AD的长．【解答】解：（1）∵AD∥OC，∴∠A＝∠COB．AB是直径，∴∠D＝∠OBC＝90°，∴△ADB∽△OBC．（2）∵AO＝2，BC＝2，∴OC＝2又∵△ADB∽△OBC，∴，即，OC＝2，∴AD．23．（6分）为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE．（sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，tan18°≈0.3249）（精确到0.1m）【解答】解：在Rt△ABD中，∠BAD＝18°，AB＝9m，∴BD＝AB×tan18°≈2.92m，∴CD＝BD﹣BC＝2.92﹣0.5＝2.42m，在Rt△CDE中，∠CDE＝72°，CD≈2.42m，∴CE＝CD×sin72°≈2.3m．答：CE的高为2.3m．24．（6分）已知二次函数y＝2x2﹣mx﹣m2．（1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；（2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为（1，0），求B点坐标．【解答】解：（1）当二次函数图象与x轴相交时，2x2﹣mx﹣m2＝0，△＝（﹣m）2﹣4×2×（﹣m2）＝9m2，∵m2≥0，∴△≥0．∴对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；（2）把（1，0）代入二次函数关系式，得0＝2﹣m﹣m2，∴m1＝﹣2，m2＝1，当m＝﹣2时，二次函数关系式为：y＝2x2+2x﹣4，令y＝0，得：2x2+2x﹣4＝0，解得：x＝1或﹣2，∴二次函数图象与x轴有两个公共点的坐标是：（1，0），（﹣2，0）；又∵A点坐标为（1，0），则B（﹣2，0）；当m＝1时，同理可得：B（，0）．25．（6分）苏州市区某居民小区共有800户家庭，有关部门对该小区的自来水管网系统进行改造，为此需了解该小区自来水用水情况，该部门通过随机抽取，调查了其中30户家庭，已知这30户家庭共有87人．（1）这30户家庭平均每户 2.9人（精确到0.1人）；（2）这30户家庭的月用水量见下表：求这30户家庭的人均日用水量（一个月按30天计算，精确到0.001 m3）；（3）根据上述数据，试估计该小区的日用水量（精确到1m3）．【解答】解：（1）这30户家庭平均每户人数为 2.9人．（2）4×1+6×2+7×3+12×3+14×2+15×5+16×3+18×4+20×4+25×2+28×1＝454，454÷（87×30）≈0.174（m3）∴这30户家庭人均日用水量约为0.174（m3）．（3）454404（m3）∴该小区的日用水量约为404（m3）．26．（6分）（1）如图1所示，在等边△ABC中，点D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE，求证：AE∥BC；（2）如图2所示，将（1）中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作△EDC相似于△ABC，请问仍有AE∥BC？证明你的结论．【解答】证明：（1）∵△ABC和△EDC是等边三角形∴∠ACB＝∠ECD＝60°，AC＝CB，EC＝DC，∴∠ACD+∠BCD＝∠ACE+∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE，∴△ACE≌△BCD，∴∠EAC＝∠B＝60°，又∵∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠EAC，∴AE∥BC；（2）仍平行；∵△ABC∽△EDC，∴∠ACB＝∠ECD，，∴∠ACD+∠BCD＝∠ACE+∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE，∴△AEC∽△BDC，∴∠EAC＝∠B，又∵∠ACB＝∠B，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC．27．（7分）苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：①每亩水面的年租金为500元，水面需按整数亩出租；②每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗；③每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1400元收益；④每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益；（1）若租用水面n亩，则年租金共需500n元；（2）水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润（利润：收益﹣成本）；（3）李大爷现有资金25000元，他准备再向银行贷不超过25000元的款．用于蟹虾混合养殖．已知银行贷款的年利率为8%，试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使年利润超过35000元？【解答】解：（1）500n（2）每亩收益＝4×1400+20×160＝8800每亩成本＝4×（75+525）+20×（15+85）+500＝4900利润＝8800﹣4900＝3900．（3）解：设租n亩，则贷款（4900n﹣25000）元．①，＞ ②解①得：n≤10，解②得n＞9，又∵n为正整数∴n＝10∴贷款4900×10﹣25000＝24000（元）．28．（8分）如图一，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），D是BC边上的动点（与点B，C不重合），现将△COD 沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG、DF重合．（1）如图二，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；（2）设D（a，6），E（10，b），求b关于a的函数关系式，并求b的最小值；（3）一般地，请你猜想直线DE与抛物线y x2+6的公共点的个数，在图二的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线y x2+6始终有公共点，请在图一中作出这样的公共点．【解答】（1）解：∵∠DFO＝∠DCO＝∠COF＝90°，OC∥DF，∵CD∥OA，∴四边形COFD是矩形，∵根据△COD沿OD翻折，得到△FOD，∴OC＝OF＝6，∴四边形COFD是正方形，同理四边形BDGE是正方形，∴CD＝OF＝DF＝6，OA＝10，AE＝6﹣4＝2，∴D（6，6），E（10，2），设直线DE的解析式是y＝kx+b，代入得：，解得：k＝﹣1，b＝12，∴直线DE的函数关系式是y＝﹣x+12．（2）依题意有：CD＝a，BD＝10﹣a，BE＝6﹣b．∵∠ODE＝90°，∠OCD＝90°，∴∠CDO+∠COD＝∠CDO+∠BDE＝90°∴∠COD＝∠BDE∵∠OCD＝∠B＝90°∴△OCD∽△DBE∴∴∴b a2a+6（a﹣5）2当a＝5时，b最小值．（3）猜想：直线DE与抛物线y x2+6只有一个公共点．证明：由（1）可知，DE所在直线为y＝﹣x+12．代入抛物线，得x2+6＝﹣x+12化简得x2﹣24x+144＝0，∴△＝242﹣4×144＝0．∴直线DE与抛物线y x2+6只有一个公共点．解得：x＝12，∴y＝0，公共点为：（12，0）．∴延长OF交DE于点H，点H即为公共点．。

历届江苏省南京市中考数学试卷-----------计算题专项整理复习（含答案）一、计算1．（6分）解方程组：2．（6分）计算：．二、计算17．（6分）先化简，再求值：（2a+1）2﹣2（2a+1）+3，其中a=．18．（6分）解方程：．19．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．三、计算17．（6分）解方程组：．18．（6分）计算：．四、计算17．（6分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．18．（6分）计算（﹣）÷．19．（6分）解方程：x2﹣4x﹣1=0．17．（6分）解方程组．18．（9分）化简代数式，并判断当x满足不等式组时该代数式的符号．六、计算17．（6分）化简（）÷．18．（6分）解方程：=1﹣．七、计算17．（6分）解不等式组：．18．（6分）先化简，再求值：﹣，其中a=1．八、计算17．（6分）解不等式2（x+1）﹣1≥3x+2，并把它的解集在数轴上表示出来．18．（7分）解方程：．19．（7分）计算：（﹣）÷．九、计算17．（7分）解不等式组，并写出它的整数解．18．（7分）计算﹣．17．（7分）计算（a+2+）÷（a﹣）．18．（7分）解不等式组请结合题意，完成本题的解答．（1）解不等式①，得，依据是：．（2）解不等式③，得．（3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集．十一、计算17．（7分）计算（m+2﹣）÷．18．（7分）如图，在数轴上，点A、B分别表示数1、﹣2x+3．（1）求x的取值范围；（2）数轴上表示数﹣x+2的点应落在．A．点A的左边B．线段AB上C．点B的右边江苏南京历届数学中考计算题专项整理复习答案一、计算答案1．（6分）解方程组：【分析】用加减法，两式相加消元，从而求出x的值，然后把x的值代入一方程求y的值．【解答】解：，①+②，得3x=9，（3分）解得x=3．（4分）把x=3代入②，得y=1．（7分）∴原方程组的解是．（9分）【点评】解二元一次方程组的基本思想是消元．消元的方法有代入法和加减法．2．（6分）计算：．【分析】分式分母能约分的先约分，然后把除法运算转化成乘法运算，再进行加减运算．【解答】解：原式====．【点评】本题考查了分式的混合运算，分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，在计算时要弄清楚运算顺序．二、计算答案17．（6分）先化简，再求值：（2a+1）2﹣2（2a+1）+3，其中a=．【分析】根据完全平方公式和单项式乘多项式的法则去括号，合并同类项，将整式化为最简式，然后把a的值代入计算即可．【解答】解：（2a+1）2﹣2（2a+1）+3，=4a2+4a+1﹣4a﹣2+3，=4a2+2，当a=时，原式=4a2+2=4×（）2+2=10．【点评】本题考查了整式的化简．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．18．（6分）解方程：．【分析】∵x2﹣1=（x﹣1）（x+1），∴本题的最简公分母是（x﹣1）（x+1）．方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．【解答】解：方程两边同乘（x﹣1）（x+1），得2（x﹣1）﹣x=0，解这个方程，得x=2．检验：当x=2时，（x﹣1）（x+1）≠0．∴x=2是原方程的解．【点评】当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．19．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【分析】对不等式2﹣x＞0，移项得x＜2，对不等式两边乘以6，然后再移项、合并同类项解出不等式的解，再根据不等式组解集的口诀：大小小大中间找，来求出不等式组的解．【解答】解：由题意，解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x≥﹣1，∴不等式组的解集是﹣1≤x＜2．不等式组的解集在数轴上表示如下：【点评】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，利用不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），来求解．三、计算（6分）解方程组：．【分析】此题x、y的系数较小，故可用加减消元法或代入消元法求解．【解答】解：方法一：②×2，得2x+4y=10，③③﹣①，得3y=6，解这个方程，得y=2，将y=2代入①，得x=1，所以原方程组的解是：．方法二：由①，得y=4﹣2x，③将③代入②，得x+2（4﹣2x）=5，解这个方程，得x=1，将x=1代入③，得y=2，所以原方程组的解是．【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．18．（6分）计算：．【分析】先把括号内的式子通分，再利用平方差公式把分子分解因式，把除法变乘法后约分使计算简便．【解答】解：==（4分）=﹣=﹣．（6分）【点评】解答分式的混合运算要注意运算顺序．四、计算17．（6分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．【分析】首先解出两个不等式的解集，然后求出公共解集，找出符合条件的整数解即可．【解答】解：，由①得：x≥﹣1，由②得：x＜2，∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，∴不等式组的整数解是：﹣1，0，1．【点评】此题主要考查了不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．18．（6分）计算（﹣）÷．【分析】首先把除法运算转化成乘法运算，然后找出最简公分母，进行通分，化简．【解答】解：原式=（﹣）•=（﹣）•（﹣），=﹣•，=﹣．【点评】此题主要考查了分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．19．（6分）解方程：x2﹣4x﹣1=0．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：∵x2﹣4x﹣1=0，∴x2﹣4x=1，∴x2﹣4x+4=1+4，∴（x﹣2）2=5，∴x=2±，∴x1=2+，x2=2﹣．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．五、计算17．（6分）解方程组．【分析】先由①表示出x，然后将x的值代入②，可得出y的值，再代入①可得出x的值，继而得出了方程组的解．【解答】解：由①得x=﹣3y﹣1③，将③代入②，得3（﹣3y﹣1）﹣2y=8，解得：y=﹣1．将y=﹣1代入③，得x=2．故原方程组的解是．【点评】此题考查了解二元一次方程的知识，属于基础题，注意掌握换元法解二元一次方程．18．（9分）化简代数式，并判断当x满足不等式组时该代数式的符号．【分析】做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分化简为；再分别求出一元一次不等式组中两个不等式的解，从而得到一元一次不等式组的解集，依此分别确定x+1＜0，x+2＞0，从而求解．【解答】解：===，不等式组，解不等式①，得x＜﹣1．解不等式②，得x＞﹣2．∴不等式组的解集是﹣2＜x＜﹣1．∴当﹣2＜x＜﹣1时，x+1＜0，x+2＞0，∴，即该代数式的符号为负号．【点评】考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，本题的关键是得到化简后的分式中分子和分母的符号．注意分式的化简求值中，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．六、计算17．（6分）化简（）÷．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可得到结果．【解答】解：原式=•=•=．【点评】此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．18．（6分）解方程：=1﹣．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x=x﹣2+1，移项合并得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．七、计算17．（6分）解不等式组：．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得：x≥1，解②得：x＜2，则不等式组的解集是：1≤x＜2．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．18．（6分）先化简，再求值：﹣，其中a=1．【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将a 的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=﹣==﹣，当a=1时，原式=﹣．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．八、计算17．（6分）解不等式2（x+1）﹣1≥3x+2，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】不等式去括号、移项合并、系数化为1即可求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．【解答】解：去括号，得2x+2﹣1≥3x+2，移项，得2x﹣3x≥2﹣2+1，合并同类项，得﹣x≥1，系数化为1，得x≤﹣1，这个不等式的解集在数轴上表示为：【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．18．（7分）解方程：．【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程两边同乘以x（x﹣3），得2x=3（x﹣3）．解这个方程，得x=9．检验：将x=9代入x（x﹣3）知，x（x﹣3）≠0．所以x=9是原方程的根．【点评】本题考查分式方程的解法，需要注意的是在解分式方程时需对得到的解进行检验．19．（7分）计算：（﹣）÷．【分析】首先将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简求出即可．【解答】解：（﹣）÷=[﹣]×=[﹣]×=×=．【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确进行通分运算是解题关键．九、计算17．（7分）解不等式组，并写出它的整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，最后求其整数解即可．【解答】解：解不等式3x+1≤2（x+1），得：x≤1，解不等式﹣x＜5x+12，得：x＞﹣2，则不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，则不等式组的整数解为﹣1、0、1．【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．18．（7分）计算﹣．【分析】首先进行通分运算，进而合并分子，进而化简求出答案．【解答】解：﹣=﹣==．【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键．十、计算17．（7分）计算（a+2+）÷（a﹣）．【分析】根据分式的加减法和除法可以解答本题．【解答】解：（a+2+）÷（a﹣）===．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．18．（7分）解不等式组请结合题意，完成本题的解答．（1）解不等式①，得x≥﹣3，依据是：不等式的基本性质．（2）解不等式③，得x＜2．（3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集﹣2＜x ＜2．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，确定不等式组的解集．【解答】解：（1）解不等式①，得x≥﹣3，依据是：不等式的基本性质．（2）解不等式③，得x＜2．（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为：﹣2＜x＜2，故答案为：（1）x≥﹣3、不等式的性质3；（2）x＜2；（3）﹣2＜x＜2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．十一、计算17．（7分）计算（m+2﹣）÷．【分析】根据分式混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：原式=（﹣）÷=•=2（m+3）=2m+6．【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．18．（7分）如图，在数轴上，点A、B分别表示数1、﹣2x+3．（1）求x的取值范围；（2）数轴上表示数﹣x+2的点应落在B．A．点A的左边B．线段AB上C．点B的右边【分析】（1）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，根据解不等式，可得答案；（2）根据不等式的性质，可得点在A点的右边，根据作差法，可得点在B点的左边．【解答】解：（1）由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得﹣2x+3＞1，解得x＜1；（2）由x＜1，得﹣x＞﹣1．﹣x+2＞﹣1+2，解得﹣x+2＞1．数轴上表示数﹣x+2的点在A点的右边；作差，得﹣2x+3﹣（﹣x+2）=﹣x+1，由x＜1，得﹣x＞﹣1，﹣x+1＞0，﹣2x+3﹣（﹣x+2）＞0，∴﹣2x+3＞﹣x+2，数轴上表示数﹣x+2的点在B点的左边．故选：B．【点评】本题考查了一元一次不等式，解（1）的关键是利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出不等式；解（2）的关键是利用不等式的性质。

南京市2023－2024学年度第一学期期中调研测试高二数学2023.11注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第12题)、填空题(第13题~第16题)、解答题(第17题~第22题)四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．若样本中A型号的产品有20件，则样本容量n为A．50B．80C．100D．2002．已知复数z0＝3＋i，其中i为虚数单位，复数z满足zz0＝3z＋z0，则z＝A．1－3i B．1＋3i C．3＋i D．3－i 3．已知圆C1：x2＋y2－x－ay＝0与圆C2：x2＋y2－2x－4y＋2＝0的公共弦所在直线与x轴垂直，则实数a的值为A．－4 B．－2 C．2 D．4 4．《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数，即平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积．假令器形为圆台，盆口径(直径)一尺四寸，底径(直径)六寸、深一尺二寸，接雨水深六寸(一尺等于十寸)，则平地降雨量为A．1 B．2 C．3 D．45．已知cos x＋sin x＝23，则sin2xcos(x－\f(π,4))＝A．－716B．－726C．－76D．－736．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F 2，A 为双曲线右支上一点，连接AF 1交y 轴于点B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线C 的离心率为A ．23B ．32C ．3D ．3327．在平面直角坐标系xOy 中，P 为直线3x ＋4y ＋1＝0上一点．若向量a ＝(3，4)，则向量OP→在向量a 上的投影向量为A ．－15B ．(－35，－45)C ．(－325，－425)D ．无法确定8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)．若 x ∈R ，f (x )≤f (π3)，且f (x )在(0，π)上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为A ．(0，32]B ．(34，32]C ．(34，94]D ．(32，94]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则A ．众数是22B ．80百分位数是28C ．平均数是30D ．前4个数据的方差比最后4个数据的方差小10．声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为y ＝A sin ωx ．设声音的函数为φ(x )，音的响度与φ(x )的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与φ(x )的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是f (x )＝sin x ＋12sin2x ，纯音乙的函数解析式是g (x )＝32sin ωx (ω＞0)，则下列说法正确的有A ．纯音乙的响度与ω无关B ．纯音乙的音调与ω无关C ．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则ω＞1D ．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)为抛物线C 上的任意三点(异于O 点)，FA → ＋FB → ＋FD →＝0，则下列说法正确的有A ．设A ，B 到直线x ＝－1的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2＜AB B ．FA ＋FB ＋FD ＝6C ．若FA ⊥FB ，则FD ＝ABD ．若直线AB ，AD ，BD 的斜率分别为k AB ，k AD ，k BD ，则1k AB ＋1k AD ＋1k BD ＝012．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ＝8，AD ＝6，点E 是正方形BCC 1B 1内部或边界上异于点C 的一点，则下列说法正确的有A ．若D 1E ∥平面ABB 1A 1，则E ∈C 1CB ．设直线D 1E 与平面BCC 1B 1所成角的最小值为θ，则tan θ＝223C ．存在E ∈BB 1，使得∠D 1EC ＞π2D ．若∠D 1EC ＝π2，则EB 的最小值为35－3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M (2，3)和N (4，0)，点Q 在x 轴上．若直线MQ 与直线MN 的夹角为90°，则点Q 的坐标为▲________．14．在△ABC 中，AB ＝36，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝75°，D 是射线BC 上一点，且CD ＝10，则AD ＝▲________．15．某商场为了促销，每天会在上午和下午各举办一场演出活动，两场演出活动相互独立．每个时段演出的概率分别如下：若某顾客打算第二天11：00抵达商场并逛3.5小时后离开，则他当天能观看到演出的概率为▲________．16．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(1，0)，|a －c |＝12，则向量b ，c 最大夹角的余弦值为▲________．上午演出时段9：00－9：3010：00－10：3011：00－11：30下午演出时段14：00－14：3015：00－15：3016：00－16：30相应的概率161213四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝sin x cos x－sin2x＋t(x∈R)的最大值为2 2．（1）求f(x)的解析式；（2）若 x∈[π12，π2]，f(x)－m≤0，求实数m的最小值．18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在l：x－2y＝0上，且圆C与x轴相切，直线l1：x－ay＝0(a∈R)，D(6，0)．（1）若直线l1与圆C相切，求a的值；（2）若直线l1与圆C相交于A，B两点，将圆C分成的两段弧的弧长之比为1∶3，且DA＝DB，求圆C的方程．19．(本小题满分12分)如图，一个质地均匀的正二十面体骰子的各面上标有数字0~9这10个数字(相对的两个面上的数字相同)，抛掷这个骰子，并记录下朝上一面(与地面或桌面平行)的数字．记事件A1为“抛两次，两次记录的数字之和大于16”，记事件A2为“抛两次，两次记录的数字之和为奇数”，事件A3为“抛两次，第一次记录的数字为奇数”．（1）求P(A1)，P(A2)；（2）判断事件A1A2与事件A3是否相互独立，并说明理由．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，AB → ·AC →＝b 2－12ab ．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的面积为32，且CM → ＝2MB → ，AN → ＝3NM → ，求|CN →|的最小值．21．(本小题满分12分)如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABB 1＝π2，∠B 1BC ＝π3．（1）证明：A 1C 1⊥B 1C ；（2）求直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为23，椭圆C 的上顶点为B ，且BF 1→ ·BF 2→＝－2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点A (2，－1)，且与椭圆C 交于M ，N 两点（不与B 重合），直线BM 与直线BN 分别交直线x ＝4于P ，Q 两点．判断是否存在定点G ，使得点P ，Q 关于点G 对称，并说明理由．（第21题图）南京市2023－2024学年度第一学期期中学情调研测试高二数学参考答案 2023.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．C2．A 3．D 4．B 5．D6．C7．C 8．B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分． 9．ACD10．AC11．BCD12．ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．(12，0)14．1415．4916．15－38四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）解：（1）f (x )＝sin x cos x －sin 2x ＋t ＝12sin2x －1－cos2x2＋t ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分＝12sin2x ＋12cos2x －12＋t ＝22sin(2x ＋π4)－12＋t ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为f (x )的最大值为22，所以22－12＋t ＝22，解得t ＝12，所以f (x )＝22sin(2x ＋π4)．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分（2）由（1）可知f (x )＝22sin(2x ＋π4)，当x ∈[π12，π2]时，5π12≤2x ＋π4≤5π4，当2x ＋π4＝π2时，即x ＝π8时，f (x )max ＝22．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分因为f (x )－m ≤0恒成立，所以m ≥f (x )max 恒成立，即m ≥22恒成立，因此m 的最小值为22．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分18．（本小题满分12分）解：（1）因为圆心C 在直线l 上，可设C (2m ，m )，m ≠0．因为圆C 与x 轴相切，所以r ＝|m |．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分又因为直线l 1与圆C 相切，所以|m |＝|2m －am |a 2＋1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为m ≠0，解得a ＝34．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分（2）因为A ，B 把圆C 分成的两段弧长之比为1∶3，所以弦AB 所对劣弧圆心角为2π×14＝π2，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分所以圆心C 到l 1的距离d 等于圆C 半径的22倍，即22|m |＝|2m －am |a 2＋1，由（1）得m ≠0，解得a ＝1或a ＝7． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分又因为DA ＝DB ，所以AB 的垂直平分线经过D (6，0)和圆心C (2m ，m )，所以m2m －6＝－a ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分所以，当a ＝1时，m ＝2，圆C 方程为(x －4)2＋(y －2)2＝4，当a ＝7时，m ＝145，圆C 方程为(x －285)2＋(y －145)2＝19625．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分19．（本小题满分12分）解：若用(i ，j )表示第一次抛掷骰子数字为i ，用j 表示第二次抛掷骰子数字为j ，则样本空间Ω＝{(i ，j )|0≤i ≤9，0≤j ≤9，i ，j ∈Z }，共有100种等可能的样本点． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分（1）A 1＝{(8，9)，(9，8)，(9，9)}，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分所以P (A 1)＝3100．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为 A 2＝{(0，1)，(0，3)…(9，8)}共有50个样本点，所以P (A 2)＝50100＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分（2）因为A 1A 2＝{(8，9)，(9，8)}，所以P (A 1A 2)＝2100＝150．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分因为A 3＝{(1，0)，(1，1)…(9，9)}，共有50个样本点，所以P (A 3)＝50100＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分因为A 1A 2A 3＝{(9，8)}，所以P (A 1A 2A 3)＝1100．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分因为P (A 1A 2)P (A 3)＝150×12＝P (A 1A 2A 3)，所以事件A 1A 2与事件A 3独立．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分20．（本小题满分12分）解：（1）方法1因为AB → ·AC → ＝b 2－12ab ，所以bc cos A ＝b 2－12ab ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分由余弦定理得bc ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2－12ab ，化简得b 2＋a 2－c 22ab ＝12，所以cos C ＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为C 为△ABC 内角，所以C ＝π3．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分方法2因为AB → ·AC →＝b 2－12ab ，所以bc cos A ＝b 2－12ab ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分由正弦定理得sin B sin C cos A ＝sin 2B －12sin A sin B ．因为B 为△ABC 内角，所以sin B ≠0，所以sin C cos A ＝sin B －12sin A ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C cos A ＝sin(A ＋C )－12sin A ，即sin C cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C －12sin A ，化简得sin A cos C ＝12sin A ．因为A 为△ABC 内角，所以sin A ≠0，所以cos C ＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为C 为△ABC 内角，所以C ＝π3．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分（2）因为S △ABC ＝12ab sin C ＝32，所以ab ＝2．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分因为CM → ＝2MB → ，AN → ＝3NM → ，所以CN → ＝CA → ＋AN → ＝CA → ＋34AM → ＝CA → ＋34(CM →－CA → )＝14CA → ＋34CM → ＝14CA → ＋12CB →，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分从而|C N → |2＝(14CA → ＋12CB → )2＝116b 2＋14a 2＋14CA → ·CB→＝116b 2＋14a 2＋14∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分≥2116b 2×14a 2＋14＝34．当且仅当116b 2＝14a 2，即a ＝1，b ＝2时取等号．所以|C N →|的最小值为32．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分21．（本小题满分12分）（1）证明：连接AB 1，在△ABB 1中，∠ABB 1＝π2，AB ＝BB 1＝1，所以AB 1＝2，在△BCB 1中，∠B 1BC ＝π3，BC ＝BB 1＝1，所以B 1C ＝1，所以在△ACB 1中，AB 1＝2，B 1C ＝1，AC ＝1，所以AB 12＝AC 2＋B 1C 2，所以AC ⊥B 1C ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分又因为在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，所以A 1C 1⊥B 1C ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分（2）方法1解：连接AB 1，A 1B ，交于点O ，连接BC 1，连接CO ．在边长都为1的正方形A 1ABB 1中，O 是AB 1的中点，又因为B 1C ＝AC ＝1，所以CO ⊥AB 1． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分因为四边形B 1BCC 1边长都为1，所以B 1C ⊥BC 1．由(1)知B 1C ⊥A 1C 1．又因为A 1C 1∩BC 1＝C 1，A 1C 1，BC 1⊂平面A 1BC 1，所以B 1C ⊥平面A 1BC 1．因为A 1B ⊂平面A 1BC 1，所以B 1C ⊥A 1B ．因为在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，A 1B ⊥AB 1．又因为AB 1∩B 1C ＝B 1，AB 1，B 1C ⊂平面AB 1C ，所以A 1B ⊥平面AB 1C ．因为CO ⊂平面AB 1C ，所以CO ⊥A 1B ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分又因为A 1B ∩AB 1＝O ，A 1B ，AB 1⊂平面A 1ABB 1，所以CO ⊥平面A 1ABB 1，所以∠CBO 即为直线BC 与平面ABB 1A 1所成的角． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，∠ABB 1＝π2，所以BO ＝22．因为BC ＝1，所以cos ∠CBO ＝22，所以∠CBO ＝π4，所以直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小为π4． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分方法2解：取AB 1中点O ，连接BO ，CO ．在△ACB 1中，AC ＝B 1C ＝1，所以CO ⊥AB 1， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分在边长都为1的正方形A 1ABB 1中，BO ＝22，A 1B ＝2．又因为AC 2＋B 1C 2＝A 1B 2，所以△ACB 1为直角三角形，所以CO ＝22．在△ACB 1中，CO 2＋BO 2＝BC 2，所以CO ⊥BO ．…………………………………………8分又因为AB 1∩BO ＝O ，AB 1，BO 平面A 1ABB 1，所以CO ⊥平面A 1ABB 1，所以∠CBO 即为直线BC 与平面ABB 1A 1所成的角．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，∠ABB 1＝π2，所以BO ＝22．因为BC ＝1，所以cos ∠CBO ＝22，所以∠CBO ＝π4，所以直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小为π4．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分22．（本小题满分12分）解：（1）因为BF 1→ ＝(－3，－b )，BF 2→＝(3，－b )，所以BF 1→ ·BF 2→＝b 2－3＝－2，所以b 2＝1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分因为c ＝3，所以a 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分（2）设直线MN 的方程为y ＝k (x －2)－1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立{x 2＋4y 2＝4，y ＝k (x －2)－1，消去y 得，(1＋4k 2)x 2－8k (1＋2k )x ＋16k 2＋16k ＝0，所以x 1＋x 2＝8k (1＋2k )1＋4k 2，x 1x 2＝16k 2＋16k 1＋4k 2，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分直线BM 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1，直线BN 的方程为y ＝y 2－1x 2x ＋1，设P ，Q 两点的纵坐标分别为y P ，y Q ，所以y P ＝4×y 1－1x 1＋1，y Q ＝4×y 2－1x 2＋1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分因为y P ＋y Q ＝4×(y 2－1x 2＋y 1－1x 1)＋2＝4×[k (x 2－2)－2x 2＋k (x 1－2)－2x 1]＋2＝4×(2k －2k ＋2x 2－2k ＋2x 1)＋2＝4×[2k －(2k ＋2)x 1＋x 2x 1x 2]＋2∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分＝4×[2k －(2k ＋2)8k (1＋2k )16(k ＋k 2)]＋2＝4×[2k －(2k ＋1)]＋2＝－2，所以y P ＋y Q 2＝－1，所以存在G (4，－1)，使得点P ，Q 关于点G 对称．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分。