2019-2020年中考数学总复习名师讲义— 新题型解析 探究性问题

【课标解读】新课标中明确要求：用代数式表示数量关系及所反映的规律，发展学生的抽象思维能力。

根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。

规律探究问题是指给出一定条件(可以是有规律的算式、图形或图表)，让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探究题.【解题策略】解决此类问题的关键是：“细心观察，大胆猜想，精心验证”。

笔者认为：只要善于观察，细心研究，知难而进，就会走出“山穷水尽疑无路”的困惑，收获“柳暗花明又一村”的喜悦。

解答策略：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论.【考点深剖】★考点一数式规律探究通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。

一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。

【典例1】（2018山东日照）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）=3n+1；②当n为偶数时，F（n）=（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n=24，则：若n=13，则第2018次“F”运算的结果是（）A．1 B．4 C．2018 D．42018【分析】算出n=13时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可．解：若n=13，第1次结果为：3n+1=40，第2次结果是：=5，★考点二 图形规律探究由结构类似，多少和位置不同的几何图案的图形个数之间也有一定的规律可寻，并且还可以由一个通用的代数式来表示。

这种探索图形结构成元素的规律的试题，解决思路有两种：一种是数图形，将图形转化为数字规律，再用函数法、观察法解决问题；另一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律，常用“拆图法”解决问题。

2019-2020 年中考数学第二轮复习专题讲解函数及图象一、总述函数及其图象是初中数学的重要内容。

函数与许多知识有深刻的内在联系，关联着丰富的几何知识，又是进一步学习的基础，所以，以函数为背景的问题，题型多变，可谓函数综合题长盛不衰，实际应用题异彩纷呈，图表分析题形式多样，开放、探索题方兴未艾，函数在中考中占有重要的地位。

二、复习目标1、理解平面直角坐标的有关概念，知道各象限及坐标轴上的点的坐标特征，能确定一点关于x 轴、 y 轴或原点的对称点的坐标。

2、会从不同角度确定自变量的取值范围。

3、会用待定系数法求函数的解析式。

4、明确一次函数、二次函数和反比例函数的图象特征，知道图象形状、位置与解析式系数之间的关系。

5、会用一次函数和二次函数的知识解决一些实际问题。

三、知识要点初等函数一次函数图函二次函数像反比例函数数综性概质研究方法定义解析式合念运平面直角坐标系点的坐标特征用( 一 ) 平面直角坐标系中，x 轴上的点表示为(x ， 0) ； y 轴上的点表示为(0 ， y) ；坐标轴上的点不属于任何象限。

( 二) 一次函数解析式： y = kx + b(k、b是常数，k≠0)，当 b = 0 时，是正比例函数。

(1)当 k ＞ 0 时， y 随 x 的增大而增大；(2)当 k ＜ 0 时， y 随 x 的增大而减小。

( 三) 二次函数1、解析式：(1)一般式： y = ax 2+ bx + c (a≠0);(2)顶点式： y = a ( x–m )2+ n ，顶点为 (m , n);(3)交点式： y = a (x– x 1 ) ( x－x2 ) ，与 x 轴两交点是 (x 1,0) ， (x 2,0) 。

2、抛物线位置由 a、 b、 c 决定。

(1)a 决定抛物线的开口方向： a＞ 0开口向上 ;a ＜ 0 开口向下。

(2)c决定抛物线与y 轴交点的位置：①c ＞ 0 图象与 y 轴交点在 x 轴上方；② c ＝ 0 图象过原点；③ c ＜ 0 图象与 y 轴交点在 x 轴下方。

2019-2020学年中考数学深度复习讲义（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）二次根式◆知识讲解1．二次根式（a≥0）叫做二次根式．2．最简二次根式同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．3．同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．4．二次根式的性质）2=a（a≥0）；│a│=(0)0(0)(0)a aaa a>⎧⎪=⎨⎪-<⎩；（a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）．5．分母有理化及有理化因式把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，•若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．6．二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．◆例题解析例1 （2011江苏泰州，20，8分）解方程组⎩⎨⎧=+=+8361063y x y x ，并求xy 的值．【答案】解:⎩⎨⎧=+=+②①8361063y x y x②×2－①,得9x=6,解得x=23.将x=23代入①，得2+6y=10,解得y=43.所以方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3432y x ，于是xy ＝3432⨯＝232。

2020年中考数学热点专题二规律探究问题解析版数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。

探索规律性问题就是根据新课程标准“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。

学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。

创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”的要求，近年中考数学经常出现的考题.归纳规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。

它体现了“特殊到一般（再到特殊）”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.结合2019年全国各地中考的实例，我们从下面八方面探讨归纳规律性问题的解法：（1）根据数的排列或运算规律归纳；（2）根据式的排列或运算规律归纳；（3）根据图的变化规律归纳；（4）根据寻找的循环规律归纳；（5）根据代数式拆分规律归纳；（6）根据一阶递推规律归纳；（7）根据二阶递推规律归纳；（8）根据乘方规律归纳.考向1 数字类规律探究型问题1. (2019·海南)有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两个数的和，如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是______，这2019个数的和是______.2.（2019·黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵147101316192225283134374043L L L L则第20行第19个数是_____________________．3.（2019·武威）已知一列数a，b，a b+，35+，⋯⋯，按照这个规律写下去，第9a ba b+，2a b+，23个数是．4.（2019·云南）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是（）A.（－1）n－1x2n－1B.（－1）n x2n－1C.（－1）n－1x2n＋1D.（－1）n x2n＋15. (2019·聊城) 数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动:第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，A n(n≥3，n是整数)处，那么线段A n A的长度为________(n≥3，n是整数).6．（2019·安顺）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是．7.（2019·永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上数之和；图二是二项和的乘方(a＋b)n的展开式(按b的升幂排列)．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将(s＋x)15的展开式按x的升幂排列得：(s＋x)15=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a15x15．依上述规律，解决下列问题：(1)若s=1，则a2= ．(2)若s=2，则a0＋a1＋a2＋…＋a15= ．考向2几何图形类规律探究型问题1．（2019·毕节）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是（）A．上方B．右方C．下方D．左方2.（2019·天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有个〇．3.（2019·甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n __________．4. (2019·大庆)归纳"T"字形，用棋子摆成的"T"字形如图所示，按照图①，图②的规律摆下去，摆成第n个"T"字形需要的棋子个数为______.5.（2019·龙东地区）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第三个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，记△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4…的面积分别为S1，S2，S3…，如此下去，则S2019=________．6. （2019 ·扬州）如图，在ABC ∆中，5AB =，4AC =，若进行以下操作，在边BC 上从左到右依次取点1D 、2D 、3D 、4D 、⋯；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点1E 、1F ；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点2E 、2F ；过点3D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点3E 、3F ⋯，则1122201920191122201920194()5()D E D E D E D F D F D F ++⋯++++⋯+=__________．考向3 点的坐标变化的规律探究型问题1.（2019 ·河南）如图，在△OAB 中，顶点O （0，0），A （－3，4），B （3，4）.将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D 的坐标为（ ） A. （10，3） B. （－3，10） C. （10，－3） D. （3，－10）2.（2019·菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A 1，第二次移动到点A 2……第n 次移动到点A n ，则点A 2019的坐标是（ ）A ．（1010，0）B ．（1010，1）C ．（1009，0）D ．（1009，1）3. （2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点1A 的坐标为(1,0)，以1OA 为直角边作Rt △12OA A ，并使A 4AA 11260AOA ∠=︒，再以2OA 为直角边作Rt △23OA A ，并使2360A OA ∠=︒，再以3OA 为直角边作Rt △34OA A ，并使3460A OA ∠=︒⋯按此规律进行下去，则点2019A 的坐标为__________．4. (2019·东营)如图，在平面直角坐标系中，函数x y 33=和x y 3-=的图象分别为直线1l ，2l ，过1l 上的点A 1（1，33）作x 轴的垂线交2l 于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交1l 于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交2l 于点A 4…，一次进行下去，则点2019A 的横坐标为 .5. （2019·本溪）如图，点B 1在直线l ：12y x =上，点B 1的横坐标为2，过点B 1作B 1A 1⊥l ，交x 轴于点A 1，以A 1B 1为边，向右作正方形A 1B 1B 2C 1，延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边，向右作正方形A 2B 2B 3C 2，延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边，向右作正方形A 3B 3B 4C 3，延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；按照这个规律进行下去，点C n 的横坐标为6. （2019·齐齐哈尔） 如图，直线l ：y=133+x 分别交x 轴、y 轴于点A 和点A 1，过点A 1作A 1B 1⊥l ，交x 轴于点B 1，过点B 1作B 1A 2⊥x 轴，交直线L 于点A 2；过点A 2作A 2B 2⊥l ，交x 轴于点B 2，过点B 2作B 2A 3⊥x 轴，交直线L 于点A 3；依此规律...若图中阴影△A 1OB 1的面积为S 1，阴影△A 2B 1B 2的面积S 2，阴影△A 3B 2B 3的面积S 3...，则Sn=__________．2020年中考数学热点专题二规律探究问题解析版数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。

2019-2020年中考数学第二部分题型研究一、选填重难点突破题型一规律探索题（含答案）类型一探索图形排列规律针对演练1. （xx崇左）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有( )第1题图A. 160B. 161C. 162D. 1632. （xx绵阳）将一些相同的“O”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“O”的个数，若第n个“龟图”中有245个“O”，则n=( )第2题图A. 14B. 15C. 16D. 173. （xx重庆A卷）下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第（1）个图形的面积为 2 cm2，第（2）个图形的面积为8 cm2,第（3）个图形的面积为18 cm2，…，则第（10）个图形的面积为 ( )第3题图A. 196 cm2B. 200 cm2C. 216 cm2D. 256 cm24. 如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，如果铺成一个如图②的图案，其中完整的圆共有5个，如果铺设成如图③的图案，其中完整的圆共有13个，如果铺成如图④的图案，其中完整的圆共有25个，以此规律下去，第10个图中，完整的圆共有 ( )第4题图A. 100个B. 101个C. 181个D. 221个5. 如图，某同学在沙滩上用石子摆小房子，观察图形的变化规律，写出第⑨个小房子用的石子总数为 ( )第5题图A. 155B. 147C. 145D. 1466. 下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第①个图形中面积为1的正方形有9个，第②个图形中面积为1的正方形有14个，…，按此规律，则第⑦个图形中面积为1的正方形的个数为 ( )第6题图A. 22B. 30C. 39D. 507. （xx重庆B卷）下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依此规律，图⑩中黑色正方形的个数是 ( )第7题图A. 32B. 29C. 28D. 268. （xx重庆B卷）下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是 ( )第8题图A. 22B. 24C. 26D. 289. 用同样大小的黑色五角星按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第13个图案需要的黑色五角星的个数是 ( )第9题图A. 20B. 21C. 22D. 2310. 如图，下列是由边长为2的等边三角形按照一定规律排列而成，第一个图形的周长为6，第二个图形的周长为8，将若干个等边三角形按照这样的规律来摆放，则第8个图形的周长为 ( )第10题图A. 18B. 19C. 20D. 2111. 观察下列一组图形，其中图①中共有6个小黑点，图②中共有16个小黑点，图③中共有31个小黑点，…，按此规律，图⑤中小黑点的个数是 ( )第11题图A. 46B. 51C. 61D. 7612. （xx内江）如图是由火柴棒搭成的几何图案,则第n个图案中有根火柴棒(用含n的代数式表示).第12题图13. (xx昆明)用火柴棒按如图所示的方式摆大小不同的“H”,依此规律,摆出第9个“H”需用火柴棒根.第13题图14. (xx深圳)观察下列图形,它们是按照一定规律排列的,依照此规律,第五个图有个太阳.第14题图15. (xx三明)观察下列图形的构成规律,依照此规律,第10个图形中共有个“●”.第15题图16. （xx山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成.第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，…,依此规律，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）.第16题图17. (xx莆田)谢尔宾斯基地毯,最早是由波兰数学家谢尔宾斯基这样制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形,挖去中间的一个小正三角形;对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去,就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯(如图).若图①中的阴影三角形面积为1,则图⑤中的所有阴影三角形的面积之和是 .第17题图18. (xx随州)观察下列图形规律：当n= 时,图形中“●”的个数和“△”的个数相等.第18题图【答案】针对演练1. B【解析】第1个图形中正三角形的个数为：1+4，第2个图形中正三角形的个数为：1+4+3×4，第3个图形中正三角形的个数为：1+4+3×4+9×4，…，第n个图形中正三角形的个数为：1+4+3×4+9×4+…+3n-1×4，∴第4个图形中正三角形个数为1+4+3×4+9×4+34-1×4=1+4+12+36+108=161.2. C【解析】设每一个图形中“○”的个数为a n，则根据图形变化由图可知，每个图固定有解得n=16或n=-15(舍去)，故n=16.3. B【解析】第（1）个图形的面积为1×1×2＝2；第（2）个图形的面积为2×2×2＝8；第（3）个图形的面积为3×3×2＝18；第（4）个图形的面积为4×4×2=32；…；由此规律可以得出每个图形都是由小矩形所组成，共有n×n个小矩形.故第（n）个图形的总面积为n2×2＝2n2.故第（10）个图形的面积为102×2＝200 cm2.4. C【解析】观察图形可知，第②个图形中，每个小瓷砖有1个完整小圆，小圆的数目是4＝22，而每4个小瓷砖中有一个完整的大圆，大圆个数为1；图③中，小圆有9＝32个，大圆有4＝（3-1）2个；图④中，小圆有16＝42个，大圆有9＝（4-1）2个;∴图⑩中圆的个数等于小圆个数加上大圆个数为102+（10-1）2＝181个.5. C【解析】要找这个小房子的规律，可以分为两部分来看：第一个屋顶是1，第二个屋顶是3，第三个屋顶是6，以此类推，第n个屋顶是.第一个下边是4，第二个下边是9，第三个下边是16，以此类推，第n个下边是（n+1）2.两部分相加即可得出第n个小房子用的石子数是（n+1)2+,代入n=9即可确定答案.所以第⑨个小房子用的石子总数为（9+1）2+=100+45=145.6. C【解析】第①个图形面积为1的小正方形有9个，第②个图形面积为1的小正方形有9+5＝14个，第③个图形面积为1的小正方形有9+5×2＝19个，…第个图形面积为1的小正方形有9+5×（n-1）＝5n+4个，所以第⑦个图形面积为1的小正方形有5×7+4＝39个.7. B【解析】图①有2个黑色正方形；图②有2+3=5个黑色正方形；图③有2+3×2=8个黑色正方形；图④有2+3×3=11个黑色正方形，…，按照这个规律，图⑩一共有2+3×9=29个黑色正方形.8. C【解析】第一个图形中有2个三角形：6×1-4=2；第二个图形中有8个三角形：6×2-4=8；第三个图形中有14个三角形：6×3-4=14；…第n个图形中有三角形的个数为：6n-4.由以上规律可得，第五个图形中有三角形的个数为：6×5-4=26.9. B【解析】当n为奇数时：通过观察发现每个图形的每一行有个,故共有个.当n为偶数时:中间一行有+1个，第一行、第三行有个，故共有+1个.∴当n＝13时，共有＝21个.10. C【解析】第1个图形的周长为6，第2个图形的周长为6+2，第3个图形的周长为6+2×2＝10，第4个图形的周长为6+3×2＝12，所以第8个图形的周长为6+7×2＝20.11. D【解析】由图形①、②、③可以看出，第①个图形小黑点的个数：5×1+1＝6；第②个图形小黑点的个数：5×（1+2）+1＝16；第③个图形小黑点的个数：5×（1+2+3）+1＝31；所以第⑤个图形小黑点的个数：5×（1+2+3+4+5）+1＝76.12. 2n(n+1)【解析】由图形规律可得当n=1时，火柴棒个数为4×1=4;当n=2时，火柴棒个数为4×3＝12;当n=3时，火柴棒个数为4×6＝24；依次类推，可得第n个图案中火柴棒个数为×4=2n(n+1).13. 29【解析】先从前面三个所需的火柴棒数，得出规律来，再按照规律进行计算.具体见下表：∴第9个“H”所需的火柴棒的数量为3×9+2=29根.14. 21【解析】第一行太阳的个数为1、2、3、4、…、n,第五个图形第一行太阳的个数为5，第二行太阳的个数为1、2、4、8、…、2n-1,第五个图形第二行太阳的个数为24＝16，所以第五个图形共有5+16＝21个太阳.15. 111【解析】由图形可知：第1个图形中，“●”的个数为1×2+1＝3，第2个图形中，“●”的个数为2×3+1＝7，第3个图形中，“●”的个数为3×4+1＝13，第4个图形中，“●”的个数为4×5+1＝21，…，所以第n个图形中，“●”的个数为n(n+1)+1，故第10个图形中，“●”的个数为10×11+1＝111.16. 3n+1【解析】本题考查图形规律探索.第（1）个图案中小三角形的个数为4个，第（2）个图案中小三角形的个数为7个，第（3)个图案中小三角形的个数为10个，…，依此类推.由以上分析可知，第个图案中有3+1个小三角形.17.【解析】图②阴影部分面积＝1-＝，图③阴影部分面积＝×＝()2，图④阴影部分面积＝×()2＝()3，图⑤阴影部分面积＝×()3＝()4=.18. 5【解析】∵n=1时，“·”的个数是3＝3×1；n=2时，“·”的个数是6＝3×2；n=3时，“·”的个数是9＝3×3；n=4时，“·”的个数是12＝3×4；∴第n个图形中“·”的个数是3n;又∵n=1时，“△”的个数是1＝；n=2时，“△”的个数是3＝；n=3时，“△”的个数是6＝；n=4时，“△”的个数是10＝；∴第n个“△”的个数是;由3n=,可得n2-5n=0,解得n=5或n=0(舍去)，∴当n=5时，图形“·”的个数和“△”的个数相等.题型一规律探索题类型一探索图形循环规律1. （xx河南）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…，组成一条平滑的曲线.点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第xx秒时，点P的坐标是 ( )第1题图A. （xx，0）B. （xx，-1）C. （xx，1）D. （xx，0）2. 如图所示,一串梅花图案是按一定规律排列的,请你仔细观察,在前xx个梅花图案中,共有个“”图案.第2题图【答案】针对演练1. B【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索.∵半圆的半径r=1，∴半圆弧长=π，∴第xx秒点P运动的路径长为：×xx，∵×xx÷π=1007…1，∴点P位于第1008个半圆弧的中点上，且这个半圆在x轴的下方，∴此时点P的横坐标为：1008×2-1=xx，纵坐标为-1，∴点P(xx，-1) .2. 504【解析】每4次梅花图案循环一次，∵xx÷4＝504，∴第xx个梅花图案共有504个“”图案.题型一规律探索题拓展类型数式规律针对演练（xx泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：第1题图根据此规律确定x的值为 ( )A. 135B. 170C. 209D. 2522. (xx安徽)按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中连续的三个数，猜测x、y、z满足的关系式是 .3. (xx郴州)请观察下列等式的规律:= (1-),= (-),= (-),= (-),…则+++…+= .【答案】针对演练C【解析】本题是一道数字规律题，变化规律如下表;∴2+2=20，解得=9，∴=(9+2)×(9+9+1)=209.2. xy=z【解析】观察这一列数可得：23=21·22，25=22·23，28=23·25，213=25·28，…，即从第三个数起每个数都等于前两个数之积，由x、y、z表示这列数中的连续三个数，则有xy=z.3. 【解析】+++…+= (1-)+ (-)+ (-)+…+（ -)＝ (1-+-+-+…+-)＝ (1-)＝×＝.。

2019-2020学年中考数学深度复习讲义（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）等腰三角形◆考点聚焦1．等腰三角形的判定与性质．2．等边三角形的判定与性质．3．运用等腰三角形、等边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题．◆备考后法1．运用三角形不等关系，•结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中高、边、角的计算问题，并要注意分类讨论．2．要正确辨析等腰三角形的判定与性质．3．能熟练运用等腰三角形、方程（组）、函数等知识综合解决实际问题．◆识记巩固1．等腰三角形的性质定理及推论：____________________________．2．等腰三角形的判定定理及推论：____________________________．识记巩固参考答案:1．等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；•等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边（三线合一）；等边三角形的各有都相等，且每个角都等于60°.2．如果一个三角形的两角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）．•三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.◆典例解析例1 （2011浙江衢州，23,10分），.ABC∠=∠==C AC BC∆是一张等腰直角三角形纸板，Rt2要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为1S ；按照甲种剪法，在余下的ADE BDF ∆∆和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为2S (如图2)，则2=S ；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为3S (如图3)；继续操作下去…则第10次剪取时，10S = .求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.【答案】(1)解法1：如图甲，由题意得,1,1CFDE AE DE EC EC S ====正方形即.如图乙，设MN x =，则由题意，得,AM MQ PN NB MN x =====23389PNMQx x S ∴==∴==正方形解得 又819> ∴甲种剪法所得的正方形的面积更大说明：图甲可另解为：由题意得点D 、E 、F 分别为AB AC BC 、、的中点，112ABC CFDE S S ==正方形解法2：如图甲，由题意得AE DE EC ==，即EC=1如图乙，设,MN x AM MQ QP PN NB MN x =======则由题意得33221x x EC MN∴==>>解得又即 ∴甲种剪法所得的正方形的面积更大F E BQ(2)212S =(3)10912S = (3)解法1：探索规律可知：112n n S -=‘ 剩余三角形的面积和为：()12109911112212422S S S ⎛⎫-+++=-++++= ⎪⎝⎭ 解法2：由题意可知， 第一次剪取后剩余三角形面积和为112=1=S S -第二次剪取后剩余三角形面积和为12211122S S S -=-== 第三次剪取后剩余三角形面积和为233111244S S S -=-==第十次剪取后剩余三角形面积和为9101091=2S S S -= 例2 如图，△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 上的点．①AD 平分∠BAC ；②DE ⊥AB ，•DF•⊥AC ；③AD ⊥EF ．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②③；①③②；②③①．（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题．解析 （1）①②⇒③正确；①③⇒②错误；②③⇒①正确．（2）先证①②⇒③，如图1．∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=DF ，∠AED=∠AFD=90°．在Rt △AED 和Rt △AFD 中，,,DE DF AD AD =⎧⎨=⎩∴△AED ≌△AFD （HL ）．∴AE=AF ．∴△AEF 是等腰三角形，∴AD ⊥EF ．再证②③⇒①．图1 图2 图3方法一：如图2，DE ⊥AB ，EF ⊥AD ，DF ⊥AC ．易证△DEH ∽△DAE ，△DFH ∽△DAF ．∴,DE DH DH DF AD DE DF AD==， ∴DE 2=AD·DH，DF 2=DH·AD． ∴DE 2=DF 2，∴DE=DF，∴AD 平分∠BAC．方法二：如图3，取AD 的中点O ，连结EO ，FO ．∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴OE ，OF 分别是Rt △ADE ，Rt △ADF 斜边上的中线．∴OE=12AD ，OF=12AD ． 即O 点到A ，E ，D ，F 的距离相等． ∴A ，E ，D ，F 四点在以O 为圆心，12AD 为半径的圆上，AD 是直径，EF 是⊙O 的弦，而EF•⊥AD ，∴AD 平分EDF ，即ED DF =．∴∠DAE=∠DAF ，即AD 平分∠BAC ．点评 本题是义务教育课程标准实验教科书数学（人教版）八年级上第111•页拓广探索题的变式与拓展，该例在教材中多次以不同形式出现，八年级（上）（人教版）第150页第13题，第158页第11题．因此，•在九年级的学习过程中一定要重视教材中的典型例题，习题，想一想这些题还可以进行怎样的变式，•与前后的知识与方法有什么联系，还可以得到什么结论等．这样可以不断提高自己的综合解题能力．2011年真题一、选择题1. （2011浙江省舟山，7，3分）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ）（A ）32 （B ）33 （C ）34 （D ）36【答案】B2. （2011四川南充市，10，3分）如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan∠AEC=CDBC ;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个MEC A【答案】D3. （2011浙江义乌，10，3分）如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，四边形ACDE 是平行四边形，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交CE 于点G ，连结BE . 下列结论中：① CE =BD ； ② △ADC 是等腰直角三角形；③ ∠ADB =∠AEB ； ④ CD ·AE =EF ·CG ；一定正确的结论有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D4. （2011台湾全区，30）如图(十三)，ΔABC 中，以B 为圆心，长为半径画弧，分别交、ABC E FG（第7题） ABC DEAB于D 、E 两点，并连接BD 、DE ．若∠A =30∘，AB ＝AC ，则∠BDE 的度数为何？A ． 45B ． 52．5C ． 67．5D ． 75【答案】Ｃ5. （2011台湾全区，34）如图(十六)，有两全等的正三角形ABC 、DEF ，且D 、A 分别为△ABC 、△DEF的重心．固定D 点，将△DEF 逆时针旋转，使得A 落在DE 上，如图(十七)所示．求图(十六)与图(十七)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？A ．2：1B ． 3：2C ． 4：3D ． 5：4【答案】Ｃ6. （2011山东济宁，3，3分）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，那么此三角形的周长是A ．15cmB ．16cmC ．17cmD ．16cm 或17cm【答案】D7. （2011四川凉山州，8，4分）如图，在ABC △中，13AB AC ==，10BC =，点D 为BC 的中点，DE DE AB ⊥，垂足为点E ，则DE 等于（ ）A ．1013B ．1513C ．6013D ．7513【答案】C8.二、填空题1. （2011山东滨州，15，4分）边长为6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为________.【答案】2. （2011山东烟台，14,4分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 .【答案】4或63. （2011浙江杭州，16，4）在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，AC ＝1，过点C 作直线l ∥AB ，F 是l 上的一点，且AB ＝AF ，则点F 到直线BC 的距离为 ．4. （2011浙江台州，14,5分）已知等边△ABC 中，点D,E 分别在边AB,BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B ˊ处，DB ˊ,EB ˊ分别交边AC 于点F ，G ，若∠ADF=80º ，则∠EGC 的度数为【答案】80º5. （2011浙江省嘉兴，14，5分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，︒=∠40A ，则△ABC 的外角∠BCD ＝ °．【答案】1106. （2011湖南邵阳，11，3分）如图（四）所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，则∠A=_______。

中考数学复习专题讲座探究型问题一、中考专题诠释探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．二、解题策略与解法精讲由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．三、中考考点精讲考点一：动态探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件．例1 （2015•自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

中考数学探索性问题知识点中考数学探索性问题知识点一、探索性问题是指命题中缺少一定的题设或没有明确的结论，需要经过推断、补充、并加以证明的问题。

其典型特点是不确定性。

主要包括（1）条件探索型，（2）结论探索型，（3）存在性探索型等。

条件探索型是指结论已明确，需要探索发现使结论成立的条件的题目；结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；而存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。

探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注。

探索性问题解法，根据已知条件，从基础知识和基本数学思想方法出发，结合基本图形，抓住本质联系进行探究，常用观察、试验、联想、归纳、类比等方法，进行分析、归纳、猜想、比较、推理等，直到得出答案。

题目的答案也是多种多样的，有的题目有唯一解，有的题无解，也有的题要分几种情况讨论。

解结论探索型题的方法是由因导果；解条件探索型的方法是执果索因；解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论。

解题时应注意知识的综合运用。

二、理解掌握例一、已知：（如图）要使ΔABC∽ΔAPB，需要添加的条件是_____（只填一个）。

（答案：∠ABP=∠C，或∠ABC=∠APC，或AB2=APAC）说明：该图是初二几何的基本图形，是解决其他问题的基础，应牢记。

例二、如图，☉O与☉O1外切于点T，AB为其外公切线，PT为内公切线，AB与PT相交于点P，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明。

（本题将按正确答案的难易程度评分）结论1： PA=PB=PT 结论2：AT⊥BT。

（或AT2+BT2=AB2）结论3：∠BAT=∠TBO1 结论4：∠OTA=∠PTB结论5：∠APT=∠BO1T 结论6：∠BPT=∠AOT结论7：ΔOAT∽ΔPBT 结论8：ΔAPT∽ΔBO1T设OT=R， O1T=r，结论9：PT2=Rr结论10：AB=2√Rr 结论11：S梯形AOO1B=（R+r）√Rr结论12：以AB为直径的☉P必定与直线OO1相切于T点。

2020年中考数学总复习初中数学全套基础知识复习讲义（精心整理）第1课时实数的有关概念【知识梳理】1.实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数.2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应.3.绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数．a的相反数是-a，0的相反数是0.5.有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.6.科学记数法：把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5.7.大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.8.数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.9.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．10. 开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方．11. 算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a,即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，0的算术平方根是0．12. 立方根：一般地，如果一个数x 的立方等于a,即x 3=a ，那么这个数x就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0．13. 开立方：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方．【思想方法】 数形结合，分类讨论【例题精讲】 例1.下列运算正确的是（ ）A ．33--=B ．3)31(1-=-C 3=±D 3=-例 ）A ．BC ．2-D ．2例3.2的平方根是（ ）A ．4BC ．D ．例4.《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（ ）A ．107.2610⨯ 元B ．972.610⨯ 元C ．110.72610⨯ 元D ．117.2610⨯元例5.实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示， 则必有（ ）A ．0a b +>B ．0a b -<C ．0ab >D ．0a b< 例6.（改编题）有一个运算程序，可以使：a ⊕b = n (n 为常数)时，得（a +1）⊕b = n +2， a ⊕（b +1）= n -3 现在已知1⊕1 = 4，那么2009⊕2009 = ． 【当堂检测】1.计算312⎛⎫- ⎪⎝⎭的结果是（ ）A ．16B ．16-C ．18D ．18-2.2-的倒数是（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．2-3.下列各式中，正确的是（ ）A ．3152<<B ．4153<<C ．5154<<D ．161514<< 4.已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|1|a -的结果为（ ） A ．1 B ．1- C ．12a - D ．21a -5.2-的相反数是（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-第4题图0 例5图6.-5的相反数是____,-12的绝对值是=_____.7.写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数.8.如果2()13⨯-=，则“”内应填的实数是（）A．32B．23C．23-D．32-第2课时实数的运算【知识梳理】1．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．3．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0．4．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．5．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的．6．有理数的运算律：加法交换律：a+b=b+a(a b、为任意有理数)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c为任意有理数)【思想方法】 数形结合，分类讨论【例题精讲】 例 1.某校认真落实苏州市教育局出台的“三项规定”，校园生活丰富多彩．星期二下午4 点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学其有____________名.例2.下表是5个城市的国际标准时间（单位：时）那么北京时间2006年6月17日上午9时应是( )A ．伦敦时间2006年6月17日凌晨1时.B ．纽约时间2006年6月17日晚上22时.C ．多伦多时间2006年6月16日晚上20时 .D ．汉城时间2006年6月17日上午8时.例3.如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由__________个圆组成.9 0-4国际标准时间（时）-5 例2图……例4.下列运算正确的是（ ）A ．523=+B ．623=⨯C ．13)13(2-=-D ．353522-=- 例5.计算：(1)911)1(8302+-+--+-π (2)0(tan 45π--+º(3)102)21()13(2-+--； (4)2008011(1)()3π--+-.【当堂检测】1.下列运算正确的是（ ）A ．a 4×a 2=a 6B ．22532a b a b -=C ．325()a a -=D ．2336(3)9ab a b =2.某市2008年第一季度财政收入为76.41亿元，用科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为( )A ．81041⨯元B ．9101.4⨯元C ．9102.4⨯元D ．8107.41⨯元 3.估计68的立方根的大小在( )A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间 4.如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ） AB．C ． 3.2- D．5.计算：(1)02200960cos 16)21()1(-+--- （2）)1112-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭第3课时 整式与分解因式【知识梳理】1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：nn a a 1=-（a≠0，n 为正整数）； 2.整式的乘除法:(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.(4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即22))((b a b a b a -=-+；(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=± 3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式． 4.分解因式的方法：第4题图⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．⑵运用公式法：公式22()()a ab b a b±+=±-=+-；2222()a b a b a b5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．6．分解因式时常见的思维误区：⑴提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．⑵提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．(3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【例题精讲】【例1】下列计算正确的是（）A. a＋2a=3a2B. 3a－2a=aC. a2•a3=a6D.6a2÷2a2=3a2【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（）+2 结果A．m B．m2C．m+1 D．m-1 【例3】若2+-=．a a526a a--=，则2320【例4】下列因式分解错误的是( )A．22()()x x x++=+-=+-B．22x y x y x y69(3)C．2()x y x y+=++=+D．222()x xy x x y【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________【例6】给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．【当堂检测】1.分解因式：39a a -= ， _____________223=---x x x2.对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时，（a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）⊗（p ，q ）=（5，0），则p ＝ ，q ＝ ． 3. 已知a=1.6⨯109，b=4⨯103，则a 2÷2b=( )A. 2⨯107B. 4⨯1014C.3.2⨯105D. 3.2⨯1014 ． 4.先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中2332a b =-=，．5．先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．第4课时 分式与分式方程【知识梳理】1. 分式概念：若A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则代数式BA 叫做分式．2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分： 3．分式运算4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程．5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根．【思想方法】1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）2.检验【例题精讲】1．化简：2222111x x x x x x-+-÷-+2．先化简，再求值： 22224242x x x x x x --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中22x =+．3．先化简11112-÷-+x xx ）（，然后请你给x 选取一个合适值,再求此时原式的值．4．解下列方程（1）013522=--+x x x x （2）41622222-=-+-+-xx x x x5．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )A. B.C. D.【当堂检测】1．当99a =时，分式211a a --的值是．2．当x 时，分式112--x x有意义；当x 时，该式的值为0．3．计算22()ab ab的结果为．4. ．若分式方程xxk x --=+-2321有增根，则k 为（ ） A. 2 B.1 C. 3 D.-25．若分式32-x 有意义，则x 满足的条件是：（ ） A ．0≠x B ．3≥x C ．3≠x D ．3≤x6．已知x ＝2008，y ＝2009，求x yx 4y 5x y x 4xy5x y 2xy x 2222-+-+÷-++的值7．先化简，再求值：4xx 16x )44x x 1x 2x x 2x (2222+-÷+----+，其中22+=x8.解分式方程． (1)22011xx x -=+- (2)x2)3(x 22x x -=--；(3) 11322xx x -=--- (4)11-x 1x 1x 22=+--第5课时 二次根式【知识梳理】1.二次根式：(1)定义:____________________________________叫做二次根式. 2．二次根式的化简：3．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式．（2）根号内不含分母 （3）分母上没有根号4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 5．二次根式的乘法、除法公式：（1a b=ab a 0b 0≥≥（，）（2a a=a 0b 0b b≥（，）6．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式．【思想方法】 非负性的应用【例题精讲】 【例1】要使式子1x x+有意义，x 的取值范围是（ ） A ．1x ≠B ．0x ≠C ．10x x >-≠且D ．10x x ≠≥-且【例2132202）． A ．6到7之间 B ．7到8之间 C ．8到9之间 D ．9到10之间【例3】 若实数x y ，满足22(3)0x y ++-=，则xy 的值是 ． 【例4】如图，A ，B ，C ，D 四张卡片上分别写有523π7-，，，四个实数，从中任取两张卡片．A B C D（1）请列举出所有可能的结果（用字母A ，B ，C ，D 表示）； （2）求取到的两个数都是无理数的概率．【例5】计算：（1）103130tan 3)14.3(27-+︒---）（π（2）11(1)527232-⎛⎫π-+-+-- ⎪⎝⎭．【例6】先化简，再求值：)1()1112(2-⨯+--a a a ，其中33-=a ．【当堂检测】 1.计算：（1）01232tan 60(12)+--+-+． （2）cos45°·(－21)－2－(22－3)0＋｜－32｜＋121-（3）026312()cos 304sin 6022-++-+．2.如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 222()a b a b -第6课时 一元一次方程及二元一次方程（组）【知识梳理】1．方程、一元一次方程、二元一次方程（组）和方程（组）的解、解方程（组）的概念及解法，利用方程解决生活中的实际问题． 2．等式的基本性质及用等式的性质解方程：等式的基本性质是解方程的依据，在使用时要注意使性质成立的条件 ．3．灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组．4．用方程解决实际问题：关键是找到“等量关系”，在寻找等量关系时有时可以借助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义． 【思想方法】 方程思想和转化思想【例题精讲】 例1． （1）解方程.x x +--=21152156 （2）解二元一次方程组 ⎩⎨⎧=+=+27271523y x y x 解：例2．已知x =-2是关于x 的方程()x m x m -=-284的解，求m 的值． 方法1 方法2例3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A. B. C. D. 例4．在 中，用x 的代数式表示y ，则y=______________．例5．已知a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-=-+02052c b a c b a ，则a ：b ：c= ．例6 ．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度，那么这个月这户只需交 10如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10 元用电费外，超过部分还要按每度 0.5 元交费．①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，则超过部分应该交电费多少元（用 A 表示）？ ．②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况：根据右表数据，求电厂规定A 度为 ．【当堂检测】 1．方程x -=52的解是______．2．一种书包经两次降价10%，现在售价a 元，则原售价为_______元． 3.若关于x 的方程x k =-153的解是x =-3，则k =_________．4．若⎩⎨⎧-==11y x ，⎩⎨⎧==22y x ，⎩⎨⎧==c y x 3都是方程ax+by+2＝0的解，则c=____． 5．解下列方程（组）：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+65115y x y x ⎩⎨⎧-=+=+2102y x y x ⎩⎨⎧==+158xy y x ⎩⎨⎧=+=31y x x 032=-+y x（1）()x x -=--3252； （2）....x x +=-0713715023； （3）⎩⎨⎧=+=+832152y x y x ； （4）x x -+=-2114135；6．当x =-2时，代数式x bx +-22的值是12，求当x =2时，这个代数式的值．7．应用方程解下列问题：初一（4）班课外乒乓球组买了两副乒乓球板，若每人付9元，则多了5元，后来组长收了每人8元，自己多付了2元，问两副乒乓球板价值多少？8．甲、乙两人同时解方程组8(1)5 (2)mx ny mx ny +=-⎧⎨-=⎩由于甲看错了方程①中的m ，得到的解是42x y =⎧⎨=⎩，乙看错了方程中②的n ，得到的解是25x y =⎧⎨=⎩，试求正确,m n 的值．第7课时 一元二次方程【知识梳理】1. 一元二次方程的概念及一般形式：ax 2+bx +c =0 (a ≠0)2. 一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法3．求根公式：当b 2-4ac≥0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的两根aacb b x 242-±-=4．根的判别式： 当b 2-4ac ＞0时，方程有 实数根．当b 2-4ac=0时， 方程有 实数根． 当b 2-4ac ＜0时，方程 实数根．【思想方法】1. 常用解题方法——换元法2. 常用思想方法——转化思想，从特殊到一般的思想，分类讨论的思想 【例题精讲】 例1．选用合适的方法解下列方程：(1) (x-15)2-225=0； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；(3) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）； （4）x 2+22x=0例2 ．已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值．例3．用22cm 长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？例4．已知关于x 的方程x 2―(2k+1)x+4(k -0.5)=0 (1) 求证：不论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；(2) 若等腰三角形ABC 的一边长为a=4，另两边的长b ．c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．【当堂检测】 一、填空1．下列是关于x 的一元二次方程的有_______ ①02x 3x 12=-+ ②01x 2=+ ③)3x 4)(1x ()1x 2(2--=- ④06x 5x k 22=++ ⑤021x x 2432=--⑥0x 22x 32=-+2．一元二次方程3x 2=2x 的解是 ．3．一元二次方程(m-2)x 2+3x+m 2-4=0有一解为0，则m 的值是 ．4．已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根，那么代数式m 2-m = ． 5．一元二次方程ax 2+bx+c=0有一根-2,则bc a 4+的值为 ． 6．关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1=0有两个不相等的实数根, 则k 的取值范围是__________．7．如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4，那么这个一元二次方程可以是 ． 二、选择题：8．对于任意的实数x,代数式x 2－5x ＋10的值是一个( ) A.非负数 B.正数 C.整数 D.不能确定的数 9．已知(1-m 2-n 2)(m 2+n 2)=-6,则m 2+n 2的值是（ ） A.3 B.3或-2 C.2或-3 D. 210．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） （A ）x 2＋4＝0 （B ）4x 2－4x ＋1＝0（C ）x 2＋x ＋3＝0（D ）x 2＋2x －1＝011．下面是李刚同学在测验中解答的填空题，其中答对的是（ ） A ．若x 2=4，则x=2 B ．方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1 C ．方程x 2+2x+2=0实数根为0个 D ．方程x 2-2x-1=0有两个相等的实数根12．若等腰三角形底边长为8,腰长是方程x 2-9x+20=0的一个根,则这个三角形的周长是（ ） A.16 B.18 C.16或18 D.21三、解下方程：(1)(x+5)(x-5)=7 (2)x(x-1)=3-3x (3)x 2-4x-4=0(4)x 2+x-1=0 (6)（2y-1）2 -2（2y-1）-3=0第8课时 方程的应用（一）【知识梳理】1. 方程（组）的应用；2. 列方程（组）解应用题的一般步骤；3. 实际问题中对根的检验非常重要． 【注意点】分式方程的检验，实际意义的检验．【例题精讲】 例1. 足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队打了14场，负5场，共得19分，那么这个队胜了（ ） A ．4场 B ．5场 C ．6场 D ．13场 例2. 某班共有学生49人.一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半.若设该班男生人数为x ，女生人数为y ，则下列方程组中，能正确计算出x 、y 的是（ ）A ．⎩⎪⎨⎪⎧x –y= 49y=2(x+1)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x+y= 49y=2(x+1)C ．⎩⎪⎨⎪⎧x –y= 49y=2(x –1)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x+y= 49y=2(x –1) 例3. 张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意得到的方程是（ ）1515115151..12121515115151..1212A B x x x x C D x x x x -=-=++-=-=--例 4.学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺，总务处每发一封信都只用一张信笺，教务处每发出一封信都用3张信笺，结果，总务处用掉了所有的信封，•但余下50张信笺，而教务处用掉所有的信笺但余下50个信封，则两处各领的信笺数为x 张，•信封个数分别为y 个，则可列方程组 ． 例5. 团体购买公园门票票价如下：100人．若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元．(1)请你判断乙团的人数是否也少于50人． (2)求甲、乙两旅行团各有多少人？【当堂检测】1. 某市处理污水，需要铺设一条长为1000m 的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时，每天比原计划多铺设10米，结果提前5天完成任务．设原计划每天铺设管道xm ，则可得方程 ．2. “鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题， “鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看来脚有100只，几多鸡儿几多兔？”解决此问题，设鸡为x 只，兔为y 只，所列方程组正确的是（ ）⎩⎨⎧=+=+100236.y x y x A 3636..2410022100x y x y B C x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩⎩⎨⎧=+=+1002436..y x y x D 3.为满足用水量不断增长的需求，某市最近新建甲、乙、•丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计11.8万m 3，•其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m 3．（1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？（2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t 土石，运输公司派出A 型，B•型两种载重汽车，A 型汽车6辆，B 型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A 型汽车3辆，B 型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆A 型汽车，每辆B 型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土石都以准载重量满载）4. 2009年初我国南方发生雪灾，某地电线被雪压断，供电局的维修队要到30km 远的郊区进行抢修．维修工骑摩托车先走，15min 后，抢修车装载所需材料出发，结果两车同时到达抢修点．已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求这两种车的速度．5. 某体育彩票经售商计划用45000•元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A 、B 、C 三种不同价格的彩费，进价分别是A•种彩票每张1.5元，B 种彩票每张2元，C 种彩票每张2.5元． （1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案；（2）若销售A 型彩票一张获手续费0.2元，B 型彩票一张获手续费0.3元，C 型彩票一张获手续费0.5元．在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？（3）若经销商准备用45000元同时购进A 、B 、C 三种彩票20扎，请你设计进票方案．第9课时 方程的应用（二）【知识梳理】1.一元二次方程的应用；2. 列方程解应用题的一般步骤；3. 问题中方程的解要符合实际情况．【例题精讲】 例1. 一个两位数的十位数字与个位数字和是7，把这个两位数加上45后，•结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（ ） A ．16 B ．25 C ．34 D ．61 例2. 如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修 建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积 需要551米2，则修建的路宽应为（ ） A ．1米B ．1.5米C ．2米D ．2.5米例3. 为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，则下列方程正确的是（ ） Ａ．225003600x = Ｂ．22500(1)3600x +=Ｃ．22500(1%)3600x +=Ｄ．22500(1)2500(1)3600x x +++=例4. 某地出租车的收费标准是：起步价为7元，超过3千米以后，每增加1千米，•加收2.4元．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元，•设此人从甲地到乙地经过的路程为x 千米，那么x 的最大值是（ ） A ．11 B ．8 C ．7 D ．5例5. 已知某工厂计划经过两年的时间，•把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么每年平均增长的百分数约是________．按此年平均增长率，预计第4年该工厂的年产量应为_____万台．例6. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000•元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？例7. 幼儿园有玩具若干份分给小朋友，如果每人分3件，那么还余59件．•如果每人分5件，那么最后一个人不少于3件但不足5件，试求这个幼儿园有多少件玩具，有多少个小朋友．【当堂检测】1. 某印刷厂1•月份印刷了书籍60•万册，•第一季度共印刷了200万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？2. 为了营造人与自然和谐共处的生态环境，某市近年加快实施城乡绿化一体化工程，创建国家城市绿化一体化城市．某校甲，乙两班师生前往郊区参加植树活动．已知甲班每天比乙班少种10棵树，甲班种150棵树所用的天数比乙班种120棵树所用的天数多2天，求甲，乙两班每天各植树多少棵？3. A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B 为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动.⑴ P、Q两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ的面积为33 cm2？⑵ P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10 cm？4. 甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下表所示．甲班分两次共购买苹果70kg（第二次多于第一次），共付出189元，而乙班则一次购买苹果70kg．（1）乙班比甲班少付出多少元？（2）甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克？第10课时一元一次不等式（组）【知识梳理】1.一元一次不等式（组）的概念；2.不等式的基本性质；3.不等式（组）的解集和解法．【思想方法】1.不等式的解和解集是两个不同的概念；2.解集在数轴上的表示方法．【例题精讲】 例1.如图所示，O 是原点，实数a 、b 、c 在数轴上对应的点分别为A 、B 、C ，则下列结论错误的是（ ）A. 0b a >-B. 0ab <C. 0b a <+D. 例2. 不等式112x ->的解集是（ ）Ａ．12x >- Ｂ．2x >- Ｃ．2x <-Ｄ．12x <-例3. 把不等式组21123x x +>-⎧⎨+⎩≤的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．例4. 不等式组221x x -⎧⎨-<⎩≤的整数解共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个例5. 小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150kg ，爸爸坐在跷跷板的一端，小明体重只有妈妈一半，小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸那端仍然着地，那么小明的体重应小于（ ） A. 49kg B. 50kg C. 24kg D. 25kg例6.若关于x 的不等式x －m ≥－1的解集如图所示，则m 等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34321B A O C)c a (b >-11- 11- 10 1- 10 1-例7.解不等式组：（1）21113x xx +<⎧⎪⎨-≥⎪⎩ （2）⎪⎩⎪⎨⎧+<+->+)6(3)4(4,5351x x x x【当堂检测】1.苹果的进价是每千克3.8元，销售中估计有5%的苹果正常损耗．为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克 元．2. 解不等式723<-x ，将解集在数轴上表示出来，并写出它的正整数解．3. 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-<+--+≥+224313322x x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来．4. 我市某镇组织20辆汽车装运完A 、B 、C 三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题： （1）设装运A 种脐橙的车辆数为x ，装运B 种脐橙的车辆数为y ，求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．第11课时 平面直角坐标系、函数及其图像【知识梳理】 一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征．4. 点P （a ，b ）关于⎪⎩⎪⎨⎧原点轴轴y x 对称点的坐标⎪⎩⎪⎨⎧----),(),(),(b a b a b a5.两点之间的距离6.线段AB 的中点C ，若),(),,(),,(002211y x C y x B y x A 则2,2210210y y y x x x +=+=二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围： （1）使解析式有意义 （2）实际问题具有实际意义3.函数的表示方法； （1）解析法 （2）列表法 （3）图象法21212211P P )0()0()2(y y y P y P-＝，　，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝，　，　，，　【思想方法】 数形结合 【例题精讲】例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =中自变量x 的取值范围是 ．例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形． 求点C 的坐标．例4.阅读以下材料：对于三个数a,b,c 用M{a,b,c}表示这三个数的平均数，用min{a,b,c}表示这三个数中最小的数．例如：{}123412333M -++-==，，； min{-1,2,3}=-1；{}(1)min 121(1).a a a a -⎧-=⎨->-⎩≤；，， 解决下列问题： （1）填空：min{sin30o ,sin45o ,tan30o }= ；（2）①如果M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x}，求x ；②根据①，你发现了结论“如果M{a,b,c}= min{a,b,c}，那么 （填a,b,c 的大小关系）”． ③运用②的结论，填空：M{2x+y+2,x+2y,2x-y}=min{2x+y+2,x+2y,2x-y}若，则x + y= ．（3）在同一直角坐标系中作出函数y=x+1，y=(x-1)2，y=2-x 的图象（不例3图需列表描点）min{x+1, (x-1)2,2-x}x【当堂检测】1.点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为（）A．(-4,3) B．(-3,-4) C．(-3,4) D．(3,-4)2.已知点P(x,y)位于第二象限，并且y≤x+4 , x,y为整数，写出一个．．符合上述条件的点P的坐标：．3.点P(2m-1,3)在第二象限，则m的取值范围是（）A．m>0.5 B．m≥0.5C．m<0.5 D．m≤0.54.如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．⑴由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A'的坐标为（2，0），请在图中分别标明B(5,3)、C(-2,5) 关于直线l的对称点B'、C'的位置，并写出他们的坐标: B'、C'；⑵结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为（不必证明）；。