凹凸函数在求最值中的两例应用

凸函数(convex function) 是一类在某个域内单调递增的函数，即对于函数f(x)，若存在常数a，使得对于任意x1≤x2，都有f(x1)≤a·f(x2)。

凹函数(concave function) 则是在某个域内单调递减的函数，即对于函数f(x)，若存在常数a，使得对于任意x1≤x2，都有f(x1)≥a·f(x2)。

凸函数和凹函数在很多领域都有应用，例如：
1.数学优化：在优化理论中，凸函数的最小值往往是全局最小值，而凹函数的最大值往往
是全局最大值。

因此，凸函数和凹函数在数学优化中有重要作用。

2.计算机科学：在计算机科学中，凸函数和凹函数可用于评估算法的时间复杂度和空间复
杂度。

3.经济学：在经济学中，凸函数常用于表示边际成本(marginal cost) 和边际效用(marginal
utility) 等概念。

4.医学研究：在医学研究中，凸函数和凹函数可用于表示药物的剂量反应关系
(dose-response relationship) 等。

5.统计学：在统计学中，凸函数常用于表示统计模型的拟合情况。

凸函数凹函数凸函数与凹函数是微积分中常见的概念，一般用于描述函数的形态。

它们的定义都是在定义域上，凸函数是函数在定义域内的任意两点之间的连线所形成的线段上的所有函数值不超过该线段端点的函数值，凹函数则是函数在定义域内的任意两点之间的连线所形成的线段上的所有函数值都不少于该线段端点的函数值。

简单来说，凸函数就是“弯弯的”向上的函数，凹函数则是“弯弯的”向下的函数。

下面我们将详细介绍凸函数和凹函数的定义以及一些例子和应用。

一、凸函数1.1 定义：若函数 f(x) 的定义域 D 是一个凸集合，并且对于 D 中的任意两点 x1, x2 以及任意实数λ ∈ [0,1]，都有：f(λx1 + (1-λ)x2) ≤ λf(x1) + (1-λ)f(x2)则函数 f(x) 称为凸函数。

其中，λx1 + (1-λ)x2 是点 x1 和 x2 之间的中点，λ表示分配参数，(1-λ)表示剩余参数。

1.2 示例：函数 f(x) = x2 + 2x + 1 在 (-∞,+∞) 上是一个凸函数。

这个二次函数开口向上，图形很像一个碗，我们可以根据凸函数定义来验证它是否是凸函数。

首先，函数的定义域为 (-∞,+∞)，包含了所有的实数，是一个凸集合；其次，在该定义域内，任取两点 x1和x2，且λ∈[0，1]，我们可以在两点间连接一条线段，然后将这条线段分割为λx1和(1-λ)x2两部分，其中λx1表示x1所占的比重，(1-λ)x2表示x2所占的比重。

因为 f(x) 是一个二次函数，所以它是圆形的，当λ=0.5 时，分割点正好在圆心上，所以分割点的函数值就等于函数的最小值，即：f(λx1 + (1-λ)x2) = f((x1+x2)/2) = (x1+x2)2/4 + 2(x1+x2)/2 + 1 = (x1+x2)2/4 + x1 + x2 + 1/2。

此时，我们将 f(x1) 和 f(x2) 带入定义式中计算：λf(x1) + (1-λ)f(x2) = λ(x1)2 + 2λx1 + λ + (1-λ)(x2)2 + 2(1-λ)x2 + 1-λ= λx1^2 + (1-λ)x2^2 + 2λx1 + 2(1-λ)x2 + λ + 1-λ= λx12 + (1-λ)x22 + 2λx1 + 2(1-λ)x2 + 1我们可以发现，当将上式中“+λ+1-λ”化简后，它们和上面的 f(x1) + f(x2) 等价，且还多了一些其他的正数。

函数凹凸性判别法与应用作者：祝红丽 指导老师：邢抱花摘要 函数的凹凸性是函数的重要性质之一.它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向，通过它可以较好地掌握函数对应曲线的性状.本文基于函数凹凸性概念的分析，着重探讨了函数凹凸性的判别方法以及在解题中的应用，如在不等式证明中的应用以及在求函数最值时的应用等.并结合相关例题做了较详细的论述.关键词 凹凸性 导数 不等式 应用1 引言函数的凹凸理论在高等数学中占有重要地位.函数的凹凸性揭示了函数的因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数的其它性质，可以使我们对函数的认识更加精确.以函数()y f x 在某区间I 上单调增加为例说明.我们不难理解，随着自变量x 的稳定增加，当函数y 的增量越来越大时，函数图形是凹的，当函数y 的增量越来越小时，函数图形是凸的，当函数y 的增量保持不变时，函数图象是直线，对于减函数我们可以作类似的分析.作为研究分析函数的工具和方法，它在许多学科里有着重要的应用.长期以来，很多学者致力于函数凹凸性的判别法及其应用的研究.近年来，关于函数凹凸性的判定与应用的研究取得了一些成果，使函数凹凸性的判别法与应用更加的广泛.本文先从两个具体的函数图象为出发点，直观上观察函数图象的弯曲方向，从而引出函数凹凸性的概念和拐点的定义.并在此基础上介绍了凹凸函数的几何特征，接着介绍函数凹凸性的几种判别方法，如：用定义去判别函数的凹凸性，利用二阶导函数判别函数的凹凸性，及利用函数凹凸性的判定定理判别函数的凹凸性.其中利用函数凹凸性的概念是最基本的判别方法，利用二阶导函数与函数凹凸性之间的关系是最常用的判别方法.最后举例介绍了函数凹凸性在证明不等式、求函数最值以及函数作图中的应用.虽然说并不是所有的不等式都能利用函数的凹凸性证明，但是利用函数的凹凸性去证明某些不等式，是其它方法不可替代的.利用函数凹凸性证明不等式丰富了不等式的证明方法，开阔了解题思路.利用导数分析函数的上升、下降，图形的凹凸性和极值.根据对这些的讨论可以帮助我们画出用公式表示的函数图形,了解函数的凹凸性能够使对函数图形的描绘更加精确化.2 凹凸函数及拐点的定义我们已经熟悉函数2y x =和lg y x =的图象.2x lg y =.凸性的分析定义形式较多，下面给出函数凹凸性定义的更一般的形式. 2.1函数凹凸性的定义定义 设函数()f x 在区间I 上连续，若对I 上的任意两点1x ，2x 和任意实数(0,1)λ∈,总有: 1212[)]()(1)()f x x f x f x λλλλ≤+-+(1-, 则称f 为I 上的凹函数. 反之，如果总有:1212[)]()(1)()f x x f x f x λλλλ≥+-+(1-,则称f 为I 上的凸函数. 特别地，当λ=12时，满足121211()()()222x x f f x f x +≤+的函数为凹函数，满足121211()()()222x x f f x f x +≥+的函数为凸函数. 如果定义中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凹函数和严格凸函数.2.2 凹函数与凸函数的几何意义定义中凹函数与凸函数的图象如图1、图2.图1 图2 凹函数（凸函数）的几何意义：连接曲线()y f x =上任意两点的弦总位于对应曲线的上方（下方）.2.3 拐点的定义设曲线()y f x =在点0,0(())x f x 处有穿过曲线的切线.且在切点近旁，曲线的切线的两侧分别是严格凹和严格凸的，这时称点0,0(())x f x 为曲线()y f x =的拐点.X由定义可见，对于具有凹凸性的函数而言，拐点正是函数的凹凸性发生改变的那一点，即拐点的两侧邻域有着互异的严格凹凸性.如下图中的M 点.严格地说，拐点都是平面光滑曲线（即切线连续变动的曲线）弯曲方向发生改变的转折点，拐点的几何特征是该点的切线不是在曲线的一侧“托着曲线”而是切线在切点处把曲线一分为二，分别在切线的两侧.易知，有正弦曲线的图象可知sin y x =有拐点(,0)k π ，k 为整数.2.4 拐点的判别法(1)若()f x 在0x 处连续，在0x 两侧()''f x 反号，则()()00,x f x 是曲线()y f x =的拐点.(2)若()''00f x =，()(3)00f x ≠，则()()00,x f x 是()y f x =的拐点.例题1 求下列函数的拐点 ()1()()2211xf x x =+-； ()2 ()3f x x =. 解 ()1()()()'3211x f x x -+=-，()()()''2421x f x x +=- ， 当()()2,11,x ∈-⋃+∞时，()''0fx >； 当(),2x ∈-∞-时，()''0f x < ，又()529f -=, 所以点52,9⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的拐点. ()2()'23f x x =，()''6f x x =，()'''6f x =，()''00f =，()'''00f ≠，所以点()0,0是函数的拐点.注意：函数的拐点只是表示在该点的两侧函数具有不同的严格凹凸性，而不能只依靠判断二阶导数是否为零来确定函数的拐点.对于二阶导数不存在的点0x ，检查''()f x 在0x 左右两侧邻近的符号，那么当两侧邻近的符号相反时，点00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点，当两侧的符号相同时，点00(,())x f x 不是曲线()y f x =的拐点函数的拐点.因此函数的拐点与二次导数是否存在没有必然的联系.例如：1()f x x x=+在0x =时的情况.易知''32()f x x =，()f x 在0x =处的二阶导数不存在，但是当0x <时，''()0f x <，当0x >时，''()0f x >，所以0x =是()f x 的一个拐点.3 函数凹凸性的判别法观察函数图象，我们很容易得出结论：凹函数的一阶导数是不断变大的，而凸函数的一阶导数则恰恰相反.这是我们通过观察几何图形进行直观的感知得到的结论，但是人的观察不可避免的存在着一定的局限性，只有通过严密的证明得到的结论才能使人信服.迄今为止，判别函数的凹凸性已经有很多的方法.3.1 定义法判别函数的凹凸性用定义法去判别函数的凹凸性是最基本的判定方法，也是其它判定方法的基础.所以对定义的理解和掌握是至关重要的.例题2 f ，g 均为I 上的连续函数，证明：(1)若f ，g 均为凹函数，则g f +为凹函数；(2)若f ，g 均为递增非负凹函数，则g f ⋅为凹函数.证明 设任意的1x ，2x I ∈，(0,1)λ∈，(1)、因为f ，g 均为凹函数，所以由定义知：1212[)]()(1)()f x x f x f x λλλλ≤+-+(1-和1212[)]()(1)()g x x g x g x λλλλ≤+-+(1-.两式相加：12[)]f x x λλ+(1-+12[)]g x x λλ+(1-≤12()(1)()f x f x λλ+-+12()(1)()g x g x λλ+-, 即：1212()[)]()()(1)()()f g x x f g x f g x λλλλ+≤++-++(1-， 所以f g +为凹函数.(2)、由题题意得：121212()[)][)][)]f g x x f x x g x x λλλλλλ⋅=⋅+(1-+(1-+(1-1212[()(1)()][()(1)()]f x f x g x g x λλλλ≤+-⋅+-221122()()(1)()()f x g x f x g x λλ=+-1122(1)[()()()()]f x g x f x g x λλ+-+.下面只要证明：221122()()(1)()()f x g x f x g x λλ+-1122(1)[()()()()]f x g x f x g x λλ+-+12()()(1)()()f g x f g x λλ≤⋅+-⋅即可.采用做差法比较两者的大小：221122()()(1)()()f x g x f x g x λλ+-1122(1)[()()()()]f x g x f x g x λλ+-+-12()()(1)()()f g x f g x λλ⋅+-⋅=1212(1)[()()][()()]f x f x g x g x λλ----0≤. 综上所述，可得1212()[(1)]()()(1)()()f g x x f g x f g x λλλλ⋅+-≤⋅+-⋅.所以f g ⋅是凹函数.例3 ()f x 为区间I 上的可导函数，证明：若对于I 上的任意两点1x ，2x ，有'21121()()()()f x f x f x x x ≥+-， 则()f x 为I 上的凹函数.证明 设以1x ，2x 为I 上任意两点，12(1)x x x λλ=+- ， 01λ<< .由'21121()()()()f x f x f x x x ≥+-， 并利用112(1)()x x x x λ-=--与221()x x x x λ-=-，''1112()()()()()(1)()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+--.''2221()()()()()()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+-.分别用λ与1λ-上列两式并相加，得到：1212()(1)()()[(1)]f x f x f x f x x λλλλ+-≥=+-.所以()f x 为I 上的凹函数.3.2 函数凹凸性的判定定理定理 ()f x 为I 上的函数，若对于I 上的任意三点123x x x <<，总有：32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- ， 则()f x 为I 上的凹函数. 证明 在I 上任取两点13,x x 13()x x <，在13[,]x x 上任取一点213(1),(0,1)x x x λλλ=+-∈，则，3231x x x x λ-=-，21311x x x x λ--=- ， 因为 32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- ，所以有： 322212321213()()()()()()()()x x f x x x f x x x f x x x f x -+-≤-+-.所以有，312321213()()()()()()x x f x x x f x x x f x -≤-+- ，因为 310x x ->，所以不等式两边同时除以31()x x -有：32212133131()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤+--. 即213()()(1)()f x f x f x λλ≤+-又213()[(1)]f x f x x λλ=+-.所以1313[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-.所以()f x 为I 上的凹函数.例题4 设()f x 为区间I 上的函数，若对于00,x I ∀∈∃实数a ，使得x I ∀∈，有00()()()f x a x x f x ≥-+， 证明：()f x 为区间I 上的凹函数.证明 设123x x x <<是区间I 上任意三点，由已知条件，对于2x ，存在实数a ，使得，22()()()f x a x x f x ≥-+， ()x I ∀∈.令1x x = ， 有1122()()()f x a x x f x ≥-+，得到1212()()f x f x a x x -≤-. 再令3x x =， 有3322()()()f x a x x f x ≥-+ ，得到3232()()f x f x a x x -≥-. 综上所述，32123212()()()()f x f x f x f x a x x x x --≥≥-- ，所以()f x 为区间I 上的凹函数. 3.3 函数凹凸性的充要条件充要条件 设函数()y f x =在I 上连续，在I 内具有一阶和二阶导数，那么，(1)若在I 内恒有''()0f x ≥，则()f x 在I 上的图形是凹的；(2)若在I 内恒有''()0f x ≤，则()f x 在I 上的图形是凸的.注意：若在区间I 内的某一子区间上''()0f x ≡，则()y f x =在该子区间上的图形是一段直线，该子区间既非凹区间也非凸区间.证明 （1）充分性：因为''()0f x ≥，所以'f 为I 上的增函数，设任意的1x ，2x ∈I ，在以1x ，2x （不妨设12x x <）为端点的区间上，由拉格朗日中值定理和'f 为I 上的增函数，可得：''2121121()()()()()()f x f x f x x f x x x ξ-=-≥-，即对I 上的任意两点1x ，2x ，有：'21121()()()()f x f x f x x x ≥+-.令312(1)x x x λλ=+-，01λ<<，有，1312(1)()x x x x λ-=--；2321()x x x x λ-=-；所以，''133133123()()()()()(1)()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+--.''233233213()()()()()()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+-.以上两个不等式的两端分别乘以λ与(1)λ-并相加得：12312()(1)()()[(1)]f x f x f x f x x λλλλ+-≥=+-.即()f x 在I 是凹函数；必要性：任取I 上两点()1212,x x x x <及充分小的正数h .由于1122x h x x x h -<<<+，根据()f x 是凹函数及函数凹凸性的判定定理有：()()()()()()11212221f x f x h f x f x f x h f x h x x h---+-≤≤-. 由于()f x 是可导函数，令0h +→时可得()()()()21''1221f x f x f x f x x x -≤≤-. 所以()'f x 为I 上的增函数，所以在I 内恒有''()0f x ≥.（2）''()0f x ≤的情况类似的可以证明.例题5 求曲线3()(12ln 10)f x x x =-的凹凸区间及拐点.解 函数的定义域为(0,)+∞，又'22()36ln 18f x x x x =-，''()72ln f x x x =，令''()0f x =，即72ln 0x x =，得到1x =，点1x =把定义域分成两个部分即(0,1]与[1,)∞.在各部分区间内'()f x 与''()f x 的符号，相应曲段弧的升降及凹凸、拐点等，如下图表：可得：在(0,1]内，''()0f x ≤，因此是曲线的凸区间.在[1,)∞内，''()0f x ≥，因此是曲线的凹区间.所以：点(1,10)-是曲线的拐点.小结：求曲线凹凸区间及拐点的步骤：首先找出可能是拐点的横坐标（包括使二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点），再利用二阶导数的符号判断该曲线的凹凸区间及拐点. 4 函数凹凸性的应用函数凹凸性的应用及其广泛，很多与函数、不等式交汇的综合问题都可以利用函数的凹凸性加以解决.利用函数的凹凸性去解决问题，往往能够使某些复杂的问题简单化.接下来，我们重点讨论函数凹凸性在不等式的证明、求函数最值以及函数作图等中的应用.4.1 函数凹凸性在证明不等式中的应用有些不等式的表达形式很简单，但如果通过常规的证明方法和技巧却很难达到预期的效果，这就需要我们另辟蹊径，寻找更有效的方法技巧，利用凹凸函数的性质不但可以减少计算量，使解题更加合理，而且借助凹凸函数的几何特征可以使解题思路更加清晰直观.4.1.1 利用函数的凹凸性证明一个重要的不等式定理 如果()f x 是凸函数⇔对12,,[0,1]n ∀∂∂⋅⋅⋅∂∈，满足121n ∂+∂+⋅⋅⋅+∂=，都有11221122()()()()n n n n f x x x f x f x f x ∂+∂+⋅⋅⋅+∂≥∂+∂+⋅⋅⋅+∂. 特别地，当121n n∂=∂=⋅⋅⋅=∂=时，上述不等式称为琴生（Jensen ）不等式. 例题 6 任意n 个非负实数的调和平均值小于或等于它们的几何平均值小于或等于他们的算数平均值.即：0i x ∀≥，(1,2,,)i n =⋅⋅⋅， 恒有：1212111n n x x x nnx x x ++⋅⋅⋅+≤≤++⋅⋅⋅+. 当且仅当12n x x x ==⋅⋅⋅=时等号成立.证明 考虑函数ln y x =，很容易判断出其是凸函数，有琴生（Jensen ）不等式得到：1212121111lnln ln ln ln()n n n x x x x x x x x x n n n n n++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅=. 即：12ln n x x x n++⋅⋅⋅+≥ln y x =在定义域上是单调递增的.12n x x x n ++⋅⋅⋅+≤，当且仅当12n a a a ==⋅⋅⋅=时等号成立. 另一方面， ln 12111n nx x x ++⋅⋅⋅+=12111ln n x x x n ++⋅⋅⋅+-121111(ln ln ln )nn x x x ≤-++⋅⋅⋅+=即：12ln 111n nx x x ≤++⋅⋅⋅+又ln y x =在定义域上是单调递增的.所以有：12111nnx x x ≤++⋅⋅⋅+12n a a a ==⋅⋅⋅=时等号成立.综上所述有：1212111n n x x x n nx x x ++⋅⋅⋅+≤≤++⋅⋅⋅+. 当且仅当12n a a a ==⋅⋅⋅=时等号成立.注意：利用函数的凹凸性证明不等式时，一定要注意构造或者引进我们所需要的辅助函数，使条件和结论、已知与未知建立联系.4.1.2 凹凸函数不等式的积分形式定理 设()f x 是[,]a b 上的可积函数且()m f x M ≤≤，()t ϕ是[,]m M 上的连续凸函数，则：11(())[()]b b a af x dx f x dx b a b a ϕϕ≥--⎰⎰（如果()t ϕ是凹函数，则不等式反向）. 例题7 设()f x 为[,]a b 上的正值连续函数， 证明：11ln ()ln ()b b a a f x dx f x dx b a b a≤--⎰⎰. 证明 令()ln t t ϕ=，由上述定理得：11(())ln ()b b a a f x dx f x dx b a b a ϕ=--⎰⎰ ≥1ln ()b af x dx b a -⎰.即得证. 例题8设()f x 在[0,1]上连续可导，'()0,()0f x f x ≥≤.若0()()xF x f t dt =⎰，证明： 10(1)()2(),(0,1)xF F x F t dt x ≤≤∈⎰. 证明 由0()()xF x f t dt =⎰，可得'()()F x f x =，进而得到'''()()F x f x =，所以''()0F x ≤.由函数凹凸性的充要条件知()F x 为凸函数.所以有：[1(1)0](1)(1)(0)F x x x F x F ⋅+-⋅≥⋅+-.又(0)0F =，所以()(1)F x x F ≥⋅.另一方面，由Hadamard 不等式：设函数()f x 是[,]a b 上连续的凸函数，对任意的12,[,],x x a b ∈12x x < ，有：21121221()()1()()22x x x x f x f x f f t dt x x ++≥≥-⎰，得101(0)(1)()102F F F t dt +≥-⎰. 即：10(1)()2F F t dt ≥⎰，又'()()0F x f x =≥，所以()F x 在[0,1]为单调增函数，所以有： (1)()22F F x ≥， 即102()()F t dt F x ≥⎰.综上所述， 即有： 10(1)()2(),(0,1)xF F x F t dt x ≤≤∈⎰. 小结：利用函数凹凸性证明不等式虽然有一定的局限性，但是它却能够避免一些繁杂的解题过程，大大的简化解题步骤，是其它方法不能达到的.利用函数凹凸性证明不等式的解题关键是构造合适的辅助函数，能够使问题和已知的条件联系起来，只有这样才能达到预期的效果.4.2 函数凹凸性在求函数最值中的应用通过观察不等式的证明，我们可以发现，如果不等式的一边是常数的话，那么不等式的证明就演变成了求函数的最值问题，我们就可以利用函数的凹凸性来求函数的最值，从而就可以避免繁杂的化简、转化、变形等过程.若能够灵活运用函数的凹凸性解题，可达到事半功倍的效果.例题9 设0(1,2,)k x k n >=⋅⋅⋅，试求 1212222()()n nx x x x x x ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+的最小值. 解析 如果采用一般的解题方法，我们就会发现很难找到问题的突破口，但是如果我们采用函数的凹凸性去思考，再结合着题目的表达形式，就很容易联想到琴生（Jensen ）不等式，问题就迎刃而解了.解 设2()f x x =，则'22()f x x =-，''44()0x f x x=>.所以()f x 为凹函数，由琴生（Jensen ）不等式12121()[()()()]n n x x x f f x f x f x n n ++⋅⋅⋅≤++⋅⋅⋅+，得： 121221222()n nn x x x n x x x ≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅. 化简整理得：1212222()()n nx x x x x x ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+22n ≥， 所以1212222()()n nx x x x x x ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+的最小值为22n . 例题10 设函数()f x 为[,]a b 上的凸函数，则求()f x 在闭区间[,]a b 上的最值. 解 对于任意的[,]x a b ∈，取b x b aλ-=-，（[0,1]λ∈），所以有(1)x a b λλ=+-. 进而有()[(1)]f x f a b λλ=+-，又()f x 为[,]a b 上的凸函数所以有：()[(1)]()(1)()min{(),()}f x f a b f a f b f a f b λλλλ=+-≥+-≥.所以()f x 的最小值为min{(),()}f a f b .记区间[,]a b 的中点为A ，且2a b A +=，设任意的[,]x a b ∈关于A 的对称点为'x 则有 '22x x a b ++=，又()f x 是[,]a b 上的凸函数，所以有： ''()()()()()2222a b x x f x f x f x m f f ++++=≥≥，即：()2()2a b f x f m +≤-）.（其中min{(),()}m f a f b =）.所以()f x 的最大值为 ：2()2a b f m +-，（其中min{(),()}m f a f b =. 注意：此例题可以表述为若函数()f x 在[,]a b 为凸函数，则()f x 在闭区间[,]a b 上有界.例题11 若,,,a b c d R +∈，且16a b c d +++=，求2222a b c d +++的最小值.解 设2()f x x =，则'()2f x x =，''()20f x =>，所以()f x 为凹函数.所以有：1()[()()()()]44a b c d f f a f b f c f d +++≤+++. 即：22222()1()164a b c d a b c d +++≤+++. 化简整理得：222264a b c d +++≥，当且仅当4a b c d ====时等号成立.小结：求函数最值的常用方法是利用函数的单调性、求导和均值不等式等方法，但是求函数值域没有通用的方法和固定的模式，要靠在学习过程中不断积累，掌握规律.而利用函数的凹凸性求解，为求函数最值开辟了一条新的路径.从上面几个例题可以看出利用函数凹凸性去求函数最值的关键还是构造合适的辅助函数. 4.3 利用函数的凹凸性作函数图象图象是刻画函数变量之间关系的一个重要途径，是研究函数性质的一种常用方法，是数形结合的基础和依据.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，是探求解题途径、获得问题结果的重要工具.但是在实际的解题过程中，并不是所有的函数图形都能够很容易地作出.下面我们就利用函数的凹凸性去解决一些函数作图问题.例题12 作出函数2()[cos(2arccos )]f αα=的图形.解析 题目中的函数解析表达式不够直观，我们考虑将函数做恒等变换，之后再利用函数的凹凸性作出函数图象.解 因为2cos(2arccos )12sin cos arc αα=-，设sin cos x arc α=，[1,1]x ∈- ，所以所给函数的表达式可以写成22()(12)f x x =-，且函数的定义域为[1,1]x ∈-，该函数是偶函数，它的图形关于y 轴对称，因此只需讨论区间[1,0]-上的图形即可.'()8(1)(1)f x x =-，进而得到：''2()4881)f x x =-=-+，在区间[1,0]-上，'()0f x =的解为0x =或x =''()0f x =，的解为x =.用点2x =-和6x =-把区间[1,0]-划分为[1,2--，[,26--，[6-三个部分区间.在各部分区间内'()f x 及''()f x 的符号、相应曲线弧的升降、凹凸性、极值点因而在2x =-处，()f x 取极小值0，再由函数关于y 轴对称，所以在0x =处，()f x 取极大值1，在2x =处，()f x 取极小值0，曲线有两个拐点 4()69-和4)69. 函数的图象如下图所示：小结：利用函数凹凸性作图的步骤： (1)确定函数()f x 的定义域，讨论函数的一些基本性质，如奇偶性、对称性和周期性等，并求出函数的一阶导数'()f x 及二阶导数''()f x .(2)求出方程'()0f x =和''()0f x =在定义域内的全部实根及使'()f x 和''()f x 不存在的点，用以上两种点将函数()f x 的定义域划分成几个部分区间.(3)确定在这些部分区间内'()f x 及''()f x 的符号，并由此确定函数图形的升降和凹凸、极值点和拐点.(4)确定函数图形的水平铅直渐近线.(5)列表并作出函数图象.函数的凹凸性揭示了函数因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数其它性质，可使我们对函数图象的描绘更加的准确.4.4 利用函数的凹凸性判断函数单调性判断函数单调性的一般方法是利用导函数的正负来判断的，但是利用函数的凹凸性来判断函数的单调性，作为判断函数单调性方法的补充，是需要我们了解的.例题13 设()00f =，()f x 在[)0,+∞上为非负的严格凹函数，()()f x F x x=，()0x >.试证明：()(),f x F x 为严格递增的函数.证明 因为()f x 为严格凹函数，()00f =，所以()()()()00f x f x f F x x x -==-为严格递增的.因为()f x 是非负函数，所以对于 0x ∀>，有()()00f x f ≥=.若某点10x >，使得()10f x =，则在[]10,x 上有()0f x ≡ 与()f x 为严格凹函数矛盾. 所以0x ∀>，有()0f x >，最后设120x x <<，则：()()()()()21112111000f x f x f x f f x x x x x -->=>--，得()f x 为严格递增的()0x >.结 束 语本文从函数凹凸性的概念出发，通过具体的实例较系统地介绍了函数凹凸性的常规的判定方法及在证明不等式、求函数最值以及在作函数图象时的应用.把握函数凹凸性在数学中的应用，关键就是在把握函数凹凸性的基本概念、定理的基础上，同时加强此方面的训练和研究.函数凹凸性的应用，拓展了学习和研究的邻域．由于受到各种因素的限制，本文也有一定的不足之处.函数凹凸性的判别方法与应用还有很多，本文只介绍了其中的一部分，还有其它方法与应用可以补充.参考文献[1] 宣立新. 高等数学(上册)[M].高等教育出版社，1999.[2] 华东师范大学数学系[M].数学分析.高等教育出版社，2007.[3] 毛纲源.高等数学解题方法技巧归纳[M].华中理工大学出版社，2002.[4] 于淑兰.关于曲线拐点的判别法[J].数学的实践与认识，2003，33(1):98-100.[5] 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（第三版）[M].高等教育出版社，1995.[6] 沈家英，方永宏.高等数学(上册)[M].山东大学出版社，1995.[7] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社，2007.[8] 孙清华，郑小姣.高等数学内容、方法与技巧[M].华中科技大学出版社，2004.[9] Fred Brauer .Fundamentals of Advanced Mathematics[M] .Higher Education Press，2006.[10] 何卫力，缪克英.高等数学方法导引(上)[M].北京交通大学出版社，2004.[11] 盛祥耀.高等数学[M].高等教育出版社，2004.[12] 刘士强.数学分析[M].广西民族出版社，2000.The discrimination approach and application of concave and convex function Author: Zhu Hongli Supervisor: Xing BaohuaAbstract Concave and convex function is one of the important properties in function.It reflects curving direction of the curve on the function image, and it allows you to grasp the curve properties better about the corresponding function. This paper bases on analysis about the concept of convex and concave function, and focuses on exploring the discrimination approach and application of concave and convex function, such as the application in inequality proving and function max/min value, etc. It makes a detailed exposition with relevant examples.Keywords concave and convex derivative inequality application.。

函数凹凸性在高考数学中的命题分析纪定春(四川师范大学数学科学学院㊀６１００６８)摘㊀要:凹凸性是刻画连续函数性质的重要方法ꎬ在高等数学中具有广泛的应用价值ꎬ是高考数学试题的命题点.介绍了函数的凹凸性及等价命题ꎬ对近年高考数学中含有函数凹凸性的试题进行了命题分析和评注.关键词:高考数学ꎻ函数凹凸性ꎻ命题分析中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－００８２－０３收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:纪定春(１９９５－)ꎬ男ꎬ四川省资阳人ꎬ研究生ꎬ从事数学数学研究.㊀㊀一㊁函数凹凸性及等价命题简介定义㊀设ｆ是定义在区间Ｉ上的函数ꎬ若对Ｉ上的任意两点ｘ１ꎬｘ２和任意实数λɪ(０ꎬ１)总有ｆ(λｘ１＋(１－λ)ｘ２)ɤλｆ(ｘ１)＋(１－λ)ｆ(ｘ２)ꎬ则称ｆ为Ｉ上的凸函数.反之ꎬ如果总有ｆ(λｘ１＋(１－λ)ｘ２)ȡλｆ(ｘ１)＋(１－λ)ｆ(ｘ２)ꎬ则称ｆ为Ｉ上的凹函数.注意:为了便于识记ꎬ以下不妨将凸函数㊁凹函数分别称为下凸函数和上凸函数.定义的推广ꎬ即詹森不等式:若ｆ是[ａꎬｂ]上的凸函数ꎬ则对任意ｘｉɪ[ａꎬｂ]ꎬλｉ>０(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)ꎬðｎｉ＝１λｉ＝１ꎬ有ｆ(ðｎｉ＝１λｉｘｉ)ɤðｎｉ＝１λｉｆ(ｘｉ).函数凹凸性的几个等价命题:(１)当切线(一阶导数)在函数图象上方时ꎬ函数是上凸函数ꎬ反之为下凸函数ꎻ(２)当一阶导数单调递减时ꎬ函数是上凸函数ꎬ反之为下凸函数ꎻ(３)当二阶导数小于等于零时ꎬ函数为上凸函数ꎬ反之为下凸函数.这几种描述方式都是等价的ꎬ只是所站的角度不同ꎬ可参见文[２].㊀㊀二㊁函数凹凸性在高考数学试题中的命题分析函数的凹凸性作为描述连续函数局部性质的方法ꎬ不仅在高等数学中具有广泛而重要的应用价值ꎬ而且是高考数学的命题热点.在刻画函数的凹凸性时ꎬ可以利用一阶㊁二阶导数等ꎬ这就将函数的凹凸性与高中数学中的导数知识联系起来.近年来ꎬ为何以导数作为高考数学的压轴题呢?有三点猜测:其一是导数本身蕴含了丰富的数学思想ꎬ如分割思想㊁极限(逼近)思想㊁特殊与一般思想㊁局部与整体思想等ꎻ其二是导数是研究连续函数和离散变量的重要工具ꎬ如在连续函数中ꎬ求函数的最大值㊁最小值㊁极值㊁拐点等ꎬ在离散型变量中ꎬ如求数列通项㊁求和㊁求极限等.其三是高中导数与大学数学中的知识点交汇较多ꎬ可以为高考数学命题者提供更多的视角和切入点.例１㊀(２０１８年高考理科全国卷Ⅰ第１６题)已知函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘꎬ则ｆ(ｘ)的最小值是㊀㊀.分析㊀为了方便研究函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ的最值ꎬ可以将函数的自变量范围限制在一个更小的区间上.注意到ꎬ在正弦函数中ꎬ有ｓｉｎｘ＝ｓｉｎ(π－ｘ)成立.显然ꎬ在区间[０ꎬπ２]上ꎬ函数ｓｉｎｘ和ｓｉｎ２ｘ均为上凸函数ꎬ故可以考虑使用函数的凹凸性来求最值.解析㊀不妨假设０<ｘ<π２ꎬ此时有ｓｉｎｘ>０ꎬｓｉｎ２ｘ>０.ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ＝ｓｉｎ(π－ｘ)＋ｓｉｎ(π－ｘ)＋ｓｉｎ２ｘɤ３ｓｉｎπ－ｘ＋π－ｘ＋２ｘ３＝３ｓｉｎ２π３＝３２３.当且仅当 π－ｘ＝２ｘ 时ꎬ即ｘ＝π３时ꎬ等号成立.因为函数ｆ(ｘ)是奇函数ꎬ所以函数ｆ(ｘ)的最小值为－３２３.评注㊀该试题在当年高考中的得分率比较低ꎬ看似简单的试题ꎬ实则具有很强的 杀伤力 ꎬ很多考生过后反映ꎬ该题的运算量太大了ꎬ在高考场上耽误了太多时间.２８但这是高考数学中的一道优秀试题ꎬ值得细细地去品味.其实ꎬ该试题的思路有很多ꎬ如导数法㊁换元法㊁均值不等式法等ꎬ或者是凭借不等式的取等条件ꎬ用已有的经验去先猜后证 .例２㊀(２０１７年全国高考数学文科卷Ⅱ第２１题)设函数ｆ(ｘ)＝(１－ｘ２)ｅｘ.图１(１)讨论ｆ(ｘ)的单调性ꎻ(２)当ｘȡ０时ꎬｆ(ｘ)ɤａｘ＋１ꎬ求ａ的取值范围.解析㊀问题(１)解答略.对问题(２)ꎬ通过图１ꎬ不难发现ꎬ当ｘȡ０时ꎬ函数ｆ(ｘ)＝(１－ｘ２)ｅｘ是上凸函数.现在严格来说明ꎬ对ｆ(ｘ)求二阶导ꎬ可得ｆᵡ(ｘ)＝－ｅｘ(ｘ２＋４ｘ＋１)ꎬ显然当ｘȡ０时ꎬ有ｆᵡ(ｘ)ɤ０ꎬ所以函数ｆ(ｘ)在ｘɪ[０ꎬ＋ɕ)是上凸函数.显然ꎬ函数ｆ(ｘ)和直线ｙ＝ａｘ＋１过点(０ꎬ１).要使ｘȡ０时ꎬｆ(ｘ)ɤａｘ＋１ꎬ则需直线ｙ＝ａｘ＋１在点(０ꎬ１)的斜率大于等于函数ｆ(ｘ)在点(０ꎬ１)处的斜率ꎬ即ａȡｌｉｍｘң０ｆᶄ(ｘ)＝ｅｘ(１－２ｘ－ｘ２)｜ｘ＝０＝１.所以ꎬａ的取值范围为[１ꎬ＋ɕ).评注㊀该方法是从函数的凹凸性来求解参数的范围ꎬ当然该试题的思路开阔ꎬ解决方法较多ꎬ如分类讨论法㊁参数分离法㊁构造导数定义法㊁洛必达法则㊁柯西中值定理㊁拉格朗日中值定理等.在高考数学考试中ꎬ可以借助导数为工具ꎬ画出函数的大致图象ꎬ然后再利用二阶导数来判断函数的凹凸性ꎬ这对求解切线的斜率问题是有帮助的.例３㊀(２０１４年新课标２理科第２１题)设函数ｆ(ｘ)＝ｅｘ－ｅ－ｘ－２ｘ.(１)讨论ｆ(ｘ)的单调性ꎻ(２)设ｇ(ｘ)＝ｆ(２ｘ)－４ｂｆ(ｘ)ꎬ当ｘ>０时ꎬｇ(ｘ)>０ꎬ求ｂ的最大值ꎻ(３)已知１.４１４２<２<１.４１４３ꎬ估计ｌｎ２的近似值(精确到０.００１).解析㊀问题(１)和问题(３)解答略.对问题(２)ꎬ由题可知ｇ(ｘ)＝ｅ２ｘ－ｅ－２ｘ－４ｘ－４ｂ(ｅｘ－ｅ－ｘ－２ｘ)>０ꎬ即ｅ２ｘ－ｅ－２ｘ－４ｂ(ｅｘ－ｅ－ｘ)>(４－８ｂ)ｘ.不妨设函数ｍ(ｘ)＝ｅ２ｘ－ｅ－２ｘ－４ｂ(ｅｘ－ｅ－ｘ)ꎬ则ｍᶄ(ｘ)＝２ｅ２ｘ＋２ｅ－２ｘ－４ｂ(ｅｘ＋ｅ－ｘ).注意到ｍᶄ(０)＝４－８ｂꎬ且ｍ(ｘ)过点(０ꎬ０)ꎬ所以直线ｙ＝(４－８ｂ)ｘ恰好是函数ｍ(ｘ)在ｘ＝０处的切线.当ｘ>０时ꎬ要使得ｅ２ｘ－ｅ－２ｘ－４ｂ(ｅｘ－ｅ－ｘ)>(４－８ｂ)ｘ成立ꎬ则需要过原点的直线ｙ＝(４－８ｂ)ｘ始终在函数ｍ(ｘ)图象的下方.如果能够说明函数ｍ(ｘ)在ｘ>０时为下凸函数ꎬ则问题解决.对ｍᶄ(ｘ)求导ꎬ可得ｍᵡ(ｘ)＝４ｅ２ｘ－４ｅ－２ｘ－４ｂ(ｅｘ－ｅ－ｘ)＝４(ｅｘ－ｅ－ｘ)(ｅｘ＋ｅ－ｘ－ｂ).令ｍᵡ(ｘ)＝０ꎬ则ｅｘ－ｅ－ｘ＝０或ｅｘ＋ｅ－ｘ－ｂ＝０.由ｅｘ－ｅ－ｘ＝０ꎬ可得ｘ＝０.代入ｅｘ＋ｅ－ｘ－ｂ＝０ꎬ可得ｂ＝２.此时ꎬ函数ｍ(ｘ)只有ｘ＝０这一个拐点ꎬ即函数凹凸性的连接点.则现在需要对ｂ进行讨论ꎬ当ｂɤ２时ꎬ易得ｘɪ(－ɕꎬ０)时ꎬ有ｅｘ＋ｅ－ｘ－ｂ>０ꎬｅｘ－ｅ－ｘ<０ꎬ则ｍᵡ(ｘ)<０ꎬ于是ｍ(ｘ)在ｘɪ(－ɕꎬ０)上是上凸函数.同理ꎬ可以判断函数ｍ(ｘ)在ｘɪ(０ꎬ＋ɕ)上是下凸函数.对ｂ>２ꎬ可判断不成立.故要使ｍ(ｘ)>(４－８ｂ)ｘꎬ则需要ｂɤ２.评注㊀该方法主要是关注函数ｍ(ｘ)在ｘ＝０处的切线ꎬ恰好是直线ｙ＝(４－８ｂ)ｘ的斜率ꎬ进而想到使用函数的凹凸性来求参数的取值范围.可见ꎬ高考导数中求参数最值问题ꎬ常常利用函数的凹凸性来作为命题点.例４㊀(２０１０年福建高考文科第２２题)已知函数ｆ(ｘ)＝１３ｘ３－ｘ２＋ａｘ＋ｂ的图象在点Ｐ(０ꎬｆ(０))处的切线方程为ｙ＝３ｘ－２.(１)求实数ａꎬｂ的值ꎻ(２)设ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｍｘ－１是[２ꎬ＋ɕ)上的增函数ꎬ①求实数ｍ的最大值ꎻ②当ｍ取最大值时ꎬ是否存在点Ｑꎬ使得过点Ｑ的直线若能与曲线ｙ＝ｇ(ｘ)围成两个封闭图形ꎬ则这两个封闭图形的面积总相等?若存在ꎬ求出点Ｑ的坐标ꎻ若不存在ꎬ说明理由.解析㊀由问题(１)和问题(２)的①ꎬ可知ａ＝３ꎬｂ＝－２ꎬｍ＝３.所以ｇ(ｘ)＝１３ｘ３－ｘ２＋３ｘ－２＋３ｘ－１.要使得过点Ｑ的直线能与曲线ｙ＝ｇ(ｘ)围成的两个封闭图形的面积相等ꎬ则需要函数具有高度的中心对称性.注意到ｇ(ｘ)中 ｙ＝３ｘ－１ 是反比例函数ꎬ点(１ꎬ０)是ｙ＝３ｘ－１对称中心ꎬ且函数ｙ＝３ｘ－１在ｘɪ(１ꎬ＋ɕ)上是下凸函数ꎬ在ｘɪ(－ɕꎬ１)是上凸函数ꎬ则可以先 猜测 函数ｇ(ｘ)的对称中心为(１ꎬｙ)ꎬ现在需要说明 ｘ＝１ 是否为对称中心的横坐标.从函数凹凸性的角度来看ꎬ就是要找函数ｇ(ｘ)的拐点ꎬ即凹凸函数的分界点.３８对ｇ(ｘ)求二阶导数ꎬ可得ｇᵡ(ｘ)＝２ｘ－２＋６(ｘ－１)３ꎬ令ｇᵡ(ｘ)>０ꎬ可得ｘɪ(１ꎬ＋ɕ).同理ꎬ令ｇᵡ(ｘ)<０ꎬ可得ｘɪ(－ɕꎬ１).所以函数ｇ(ｘ)在ｘɪ(１ꎬ＋ɕ)上为下凸函数ꎬ在ｘɪ(－ɕꎬ１)上是上凸函数.故中心对称的横坐标为１.又因为ｇ(ｘ)＝１３ｘ３－ｘ２＋３ｘ－２＋３ｘ－１＝１３(ｘ－１)３＋２(ｘ－１)＋３ｘ－１＋１３ꎬ所以函数ｇ(ｘ)的对称中心为(１ꎬ１３).所以存在点Ｑ(１ꎬ１３)ꎬ使得点Ｑ的直线能与曲线ｙ＝ｇ(ｘ)围成的两个封闭图形的面积相等.评注㊀该方法ꎬ是通过题干中提供的信息 过点Ｑ的直线若能与曲线ｙ＝ｇ(ｘ)围成两个封闭图形 并且 面积相等 ꎬ自然想到这样的函数需要高度的中心对称ꎬ在ｇ(ｘ)的解析式中含有项 ３ｘ－１ ꎬ这关于点(１ꎬ０)成中心对称ꎬ由此考虑用函数的凹凸性来判断.例５㊀(２００５年全国高考理科卷Ⅰ第２２题)(１)设函数ｆ(ｘ)＝ｘｌｏｇ２ｘ＋(１－ｘ)ｌｏｇ２(１－ｘ)(０<ｘ<１)ꎬ求函数ｆ(ｘ)的最小值ꎻ(２)设正数ｐ１ꎬｐ２ꎬｐ３ꎬ ꎬｐ２ꎬ满足ｐ１＋ｐ２＋ｐ３＋ ＋ｐ２＝１ꎬ求证:ｐ１ｌｏｇ２ｐ１＋ｐ２ｌｏｇ２ｐ２＋ｐ３ｌｏｇ２ｐ３＋ ＋ｐ２ｌｏｇ２ｐ２ȡ－ｎ.解析㊀问题(１)解答略.问题(２)ꎬ可以用传统的数学归纳法ꎬ这是一个关于正整数ｎ的命题ꎬ并且问题(１)的结论ꎬ可以为问题(２)作归纳奠基ꎬ则只需要说明归纳假设和归纳总结即可ꎬ但是解答过程比较繁琐ꎬ现在用高等数学的方法来证明.不妨设函数ｇ(ｘ)＝ｘｌｏｇ２ｘꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ｌｏｇ２ｘ＋１ｌｎ２ꎬｇᵡ(ｘ)＝１ｘｌｎ２.因为０<ｘ<１ꎬ所以ｇᵡ(ｘ)>０ꎬ所以函数ｇ(ｘ)在ｘɪ(０ꎬ１)是下凸函数.由詹森不等式ꎬ可知ｐ１ｌｏｇ２ｐ１＋ｐ２ｌｏｇ２ｐ２＋ｐ３ｌｏｇ２ｐ３＋ ＋ｐ２ｌｏｇ２ｐ２ȡ２ｎ(ｐ１＋ｐ２＋ ＋ｐ２２ｎ)ｌｏｇ２(ｐ１＋ｐ２＋ ＋ｐ２２ｎ)＝－ｎ.即ｐ１ｌｏｇ２ｐ１＋ｐ２ｌｏｇ２ｐ２＋ｐ３ｌｏｇ２ｐ３＋ ＋ｐ２ｌｏｇ２ｐ２ȡ－ｎ.㊀评注㊀可见ꎬ从高等数学的视角出发ꎬ可以极大地简化运算量.只需要掌握函数凹凸性的两个核心步骤即:求导判断㊁放缩ꎬ然后就直接使用詹森不等式来证明ꎬ而詹森不等式ꎬ就是推广了的函数凹凸性的不等式性质.因此ꎬ从本质上讲ꎬ依然是用函数的凹凸性.㊀㊀三㊁对数学教学的启示要回归教材.高中数学教材是学生学习数学知识和形成数学素养的重要载体.然而ꎬ现行的高中数学课堂ꎬ已经脱离了数学教材ꎬ更多的是用导学案㊁辅导资料等来代替教材ꎬ通过短时间的知识讲解ꎬ就进入几乎 疯狂 的 刷题＋评讲 模式ꎬ然后在不断的试错中积累数学经验.在这种教学模式下ꎬ学生体会不到数学学习的快乐ꎬ感觉数学就像是无尽的深渊.２０１２年ꎬ新浪微博曾做过一项调查ꎬ有将近７０％的人想让数学 滚出高考 ꎬ可见大部分人曾经被数学伤害过.这可能是 题海战术 对他们的身心造成了伤害.其实ꎬ数学教学应该回归课本ꎬ将课本的知识点㊁习题㊁思考题等掌握好ꎬ然后再做适当的思维拓展题ꎬ这就足以应对高考试题了.同时ꎬ也可以留更多的时间来锻炼和提升学生的其它能力ꎬ如组织㊁管理㊁口才㊁演讲等能力ꎬ促进学生身心全面和谐的发展.要深度挖掘教材习题.数学教材是数学教学的范本ꎬ具有规范性㊁系统性㊁科学性等特点.教材习题ꎬ是学生巩固数学新知的重要素材ꎬ也是高考数学命题的素材来源.数学教师ꎬ在熟练掌握习题的基础上ꎬ还需要深入地挖掘教材中的 好题 .所谓好题ꎬ就是要蕴含丰富的数学思想㊁开阔的思路㊁广阔的切入点等ꎬ同时还要看是否具有高等数学的背景.在高考数学中ꎬ命题者对具有高等数学背景的教材习题比较重视ꎬ有时常通过这类习题改编ꎬ然后命制成高考数学试题.其实ꎬ函数的凹凸性出现在高考数学中ꎬ并不是没有依据的.在人教Ａ版数学必修１第４５页ꎬ有这样一道证明题.证明:(１)若ｆ(ｘ)＝ａｘ＋ｂꎬ则ｆ(ｘ１＋ｘ２２)＝ｆ(ｘ１)＋ｆ(ｘ２)２ꎻ(２)若ｇ(ｘ)＝ｘ２＋ａｘ＋ｂꎬ则ｇ(ｘ１＋ｘ２２)ɤｇ(ｘ１)＋ｇ(ｘ２)２.其实ꎬ这个试题中就已经蕴含了函数 凹凸性 ꎬ但是很多教师和学生并没有真正地重视教材的课后习题.因此ꎬ在数学教学活动中ꎬ应当重视数学教材习题的深度挖掘ꎬ挖掘其中的高等数学背景ꎬ剖析背后的数学本质ꎬ感悟试题设计所蕴含的数学思想等.㊀㊀参考文献:[１]华东师范大学数学系.数学分析上册(第三版)[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ１９９９.[２]张海芳.函数凹凸性的等价定义及其证明[Ｊ].文山学院学报ꎬ２０１５ꎬ２８(０６):６３－６５＋６８.[３]中华人民共和国教育部.普通高中课程标准实验教课书 数学１(必修Ａ版)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２００７.[责任编辑:李㊀璟]４８。

凹函数与凸函数的性质及应用函数的凸性和凹性是用来描述函数图像弯曲方向的重要性质。

凸函数和凹函数在形状上有明显的区别，这些区别可以通过函数的导数，特别是二阶导数来刻画。

1.2.凹函数（Concave Function）：o凹函数的图像呈现一种“向下凹”或“向上凸”的形状。

也就是说，如果我们在函数的图像上任意取两点并连接这两点形成一条线段，那么这条线段将始终位于函数图像的上方。

o从数学角度来说，如果一个函数在其定义域内的任意两点x1和x2之间，对于任意实数λ∈(0,1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称该函数为凹函数。

o凹函数的二阶导数在其定义域内始终非正，即f''(x) ≤0。

如果二阶导数在某个区间内严格小于零，则称该函数在该区间内是严格凹的。

3.4.凸函数（Convex Function）：o凸函数的图像呈现一种“向上凸”或“向下凹”的形状。

也就是说，如果我们在函数的图像上任意取两点并连接这两点形成一条线段，那么这条线段将始终位于函数图像的下方。

o从数学角度来说，如果一个函数在其定义域内的任意两点x1和x2之间，对于任意实数λ∈(0,1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称该函数为凸函数。

o凸函数的二阶导数在其定义域内始终非负，即f''(x) ≥0。

如果二阶导数在某个区间内严格大于零，则称该函数在该区间内是严格凸的。

这些性质使得我们能够通过观察函数的二阶导数来判断函数的形状，从而更好地理解函数的性质和行为。

在优化问题、经济学、概率论和统计学等多个领域，凸性和凹性的概念都非常重要，因为它们可以帮助我们分析和解决各种问题。

例如，在优化问题中，凸函数通常比凹函数更容易处理，因为凸函数的最优解通常是全局最优解，而凹函数的最优解则可能是局部最优解。

函数的凹凸性在高考中的应用教学目的: ①了解函数的凹凸性，掌握增量法解决凹凸曲线问题。

②培养学生探索创新能力，鼓励学生进行研究型学习。

教学重点：掌握增量法解决凹凸曲线问题教学难点：函数的凹凸性定义及图像特征教学过程：一、课题导入1.展示崇仁县第二中学20XX届高三第一次月考试题12得分统计表2.组织学生现场解答月考试题12并进行得分统计，以引出课题———题目：一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图1所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图2中的（）．（选自《中学数学教学参考》20XX年第1～2合期）的《试题集绵》．函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；而教师的“导数”理解又不能被学生所接受．所以，对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。

二、新课讲授1、凹凸函数定义及几何特征图1 图2⑴引出凹凸函数的定义：如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。

但是)(1x f 与)(2x f 递增方式不同。

不同在哪儿？把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。

⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）：设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有：（1）1212()()()22x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()()()22x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。

(下转第54页)函数凹凸性在不等式中的应用李国成郭铁卫(杭州科技职业技术学院浙江·杭州310012)中图分类号：G633.66文献标识码：A 文章编号：1672-7894（2013）15-0052-02摘要函数凹凸性是一种重要的几何性质，函数的凹凸性也是高等数学的一个基本内容。

函数的凹凸性是证明比较复杂不等式和构造不等式的有力工具。

文章给出了函数凹凸性的定义以及判别方法，进一步探讨了函数凹凸性在证明不等式和构造不等式中的具体应用。

关键词函数凹凸性不等式的研究Jensen 不等式On the Application of Concavity and Convexity of Func 鄄tions to Inequality //Li Guocheng,Guo Tiewei Abstract The concavity and convexity of function is an important geometric properties,the concavity and convexity of functions is a basic content of higher maths.The concavity and convexity offunctions is proved more complex structural inequality inequality and powerful tool.The article gives the concavity of a functiondefinition and discrimination method.To further explore the con-vex function in the proof of inequality and structural inequality in specific applications.Key words concavity and convexity of functions;study of in-equality;Jensen's inequality 不等式是数学中非常重要且值得探讨的问题，不等式的证明问题需要多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现。

函数凹凸性判别法与应用作者：祝红丽 指导老师：邢抱花摘要 函数的凹凸性是函数的重要性质之一.它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向，通过它可以较好地掌握函数对应曲线的性状.本文基于函数凹凸性概念的分析，着重探讨了函数凹凸性的判别方法以及在解题中的应用，如在不等式证明中的应用以及在求函数最值时的应用等.并结合相关例题做了较详细的论述.关键词 凹凸性 导数 不等式 应用1 引言函数的凹凸理论在高等数学中占有重要地位.函数的凹凸性揭示了函数的因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数的其它性质，可以使我们对函数的认识更加精确.以函数()y f x 在某区间I 上单调增加为例说明.我们不难理解，随着自变量x 的稳定增加，当函数y 的增量越来越大时，函数图形是凹的，当函数y 的增量越来越小时，函数图形是凸的，当函数y 的增量保持不变时，函数图象是直线，对于减函数我们可以作类似的分析.作为研究分析函数的工具和方法，它在许多学科里有着重要的应用.长期以来，很多学者致力于函数凹凸性的判别法及其应用的研究.近年来，关于函数凹凸性的判定与应用的研究取得了一些成果，使函数凹凸性的判别法与应用更加的广泛.本文先从两个具体的函数图象为出发点，直观上观察函数图象的弯曲方向，从而引出函数凹凸性的概念和拐点的定义.并在此基础上介绍了凹凸函数的几何特征，接着介绍函数凹凸性的几种判别方法，如：用定义去判别函数的凹凸性，利用二阶导函数判别函数的凹凸性，及利用函数凹凸性的判定定理判别函数的凹凸性.其中利用函数凹凸性的概念是最基本的判别方法，利用二阶导函数与函数凹凸性之间的关系是最常用的判别方法.最后举例介绍了函数凹凸性在证明不等式、求函数最值以及函数作图中的应用.虽然说并不是所有的不等式都能利用函数的凹凸性证明，但是利用函数的凹凸性去证明某些不等式，是其它方法不可替代的.利用函数凹凸性证明不等式丰富了不等式的证明方法，开阔了解题思路.利用导数分析函数的上升、下降，图形的凹凸性和极值.根据对这些的讨论可以帮助我们画出用公式表示的函数图形,了解函数的凹凸性能够使对函数图形的描绘更加精确化.2 凹凸函数及拐点的定义我们已经熟悉函数2y x =和lg y x =的图象.2x lg y =.凸性的分析定义形式较多，下面给出函数凹凸性定义的更一般的形式. 2.1函数凹凸性的定义定义 设函数()f x 在区间I 上连续，若对I 上的任意两点1x ，2x 和任意实数(0,1)λ∈,总有: 1212[)]()(1)()f x x f x f x λλλλ≤+-+(1-, 则称f 为I 上的凹函数. 反之，如果总有:1212[)]()(1)()f x x f x f x λλλλ≥+-+(1-,则称f 为I 上的凸函数. 特别地，当λ=12时，满足121211()()()222x x f f x f x +≤+的函数为凹函数，满足121211()()()222x x f f x f x +≥+的函数为凸函数. 如果定义中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凹函数和严格凸函数.2.2 凹函数与凸函数的几何意义定义中凹函数与凸函数的图象如图1、图2.图1 图2 凹函数（凸函数）的几何意义：连接曲线()y f x =上任意两点的弦总位于对应曲线的上方（下方）.2.3 拐点的定义设曲线()y f x =在点0,0(())x f x 处有穿过曲线的切线.且在切点近旁，曲线的切线的两侧分别是严格凹和严格凸的，这时称点0,0(())x f x 为曲线()y f x =的拐点.X由定义可见，对于具有凹凸性的函数而言，拐点正是函数的凹凸性发生改变的那一点，即拐点的两侧邻域有着互异的严格凹凸性.如下图中的M 点.严格地说，拐点都是平面光滑曲线（即切线连续变动的曲线）弯曲方向发生改变的转折点，拐点的几何特征是该点的切线不是在曲线的一侧“托着曲线”而是切线在切点处把曲线一分为二，分别在切线的两侧.易知，有正弦曲线的图象可知sin y x =有拐点(,0)k π ，k 为整数.2.4 拐点的判别法(1)若()f x 在0x 处连续，在0x 两侧()''f x 反号，则()()00,x f x 是曲线()y f x =的拐点.(2)若()''00f x =，()(3)00f x ≠，则()()00,x f x 是()y f x =的拐点.例题1 求下列函数的拐点 ()1()()2211xf x x =+-； ()2 ()3f x x =. 解 ()1()()()'3211x f x x -+=-，()()()''2421x f x x +=- ， 当()()2,11,x ∈-⋃+∞时，()''0fx >； 当(),2x ∈-∞-时，()''0f x < ，又()529f -=, 所以点52,9⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的拐点. ()2()'23f x x =，()''6f x x =，()'''6f x =，()''00f =，()'''00f ≠，所以点()0,0是函数的拐点.注意：函数的拐点只是表示在该点的两侧函数具有不同的严格凹凸性，而不能只依靠判断二阶导数是否为零来确定函数的拐点.对于二阶导数不存在的点0x ，检查''()f x 在0x 左右两侧邻近的符号，那么当两侧邻近的符号相反时，点00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点，当两侧的符号相同时，点00(,())x f x 不是曲线()y f x =的拐点函数的拐点.因此函数的拐点与二次导数是否存在没有必然的联系.例如：1()f x x x=+在0x =时的情况.易知''32()f x x =，()f x 在0x =处的二阶导数不存在，但是当0x <时，''()0f x <，当0x >时，''()0f x >，所以0x =是()f x 的一个拐点.3 函数凹凸性的判别法观察函数图象，我们很容易得出结论：凹函数的一阶导数是不断变大的，而凸函数的一阶导数则恰恰相反.这是我们通过观察几何图形进行直观的感知得到的结论，但是人的观察不可避免的存在着一定的局限性，只有通过严密的证明得到的结论才能使人信服.迄今为止，判别函数的凹凸性已经有很多的方法.3.1 定义法判别函数的凹凸性用定义法去判别函数的凹凸性是最基本的判定方法，也是其它判定方法的基础.所以对定义的理解和掌握是至关重要的.例题2 f ，g 均为I 上的连续函数，证明：(1)若f ，g 均为凹函数，则g f +为凹函数；(2)若f ，g 均为递增非负凹函数，则g f ⋅为凹函数.证明 设任意的1x ，2x I ∈，(0,1)λ∈，(1)、因为f ，g 均为凹函数，所以由定义知：1212[)]()(1)()f x x f x f x λλλλ≤+-+(1-和1212[)]()(1)()g x x g x g x λλλλ≤+-+(1-.两式相加：12[)]f x x λλ+(1-+12[)]g x x λλ+(1-≤12()(1)()f x f x λλ+-+12()(1)()g x g x λλ+-, 即：1212()[)]()()(1)()()f g x x f g x f g x λλλλ+≤++-++(1-， 所以f g +为凹函数.(2)、由题题意得：121212()[)][)][)]f g x x f x x g x x λλλλλλ⋅=⋅+(1-+(1-+(1-1212[()(1)()][()(1)()]f x f x g x g x λλλλ≤+-⋅+-221122()()(1)()()f x g x f x g x λλ=+-1122(1)[()()()()]f x g x f x g x λλ+-+.下面只要证明：221122()()(1)()()f x g x f x g x λλ+-1122(1)[()()()()]f x g x f x g x λλ+-+12()()(1)()()f g x f g x λλ≤⋅+-⋅即可.采用做差法比较两者的大小：221122()()(1)()()f x g x f x g x λλ+-1122(1)[()()()()]f x g x f x g x λλ+-+-12()()(1)()()f g x f g x λλ⋅+-⋅=1212(1)[()()][()()]f x f x g x g x λλ----0≤. 综上所述，可得1212()[(1)]()()(1)()()f g x x f g x f g x λλλλ⋅+-≤⋅+-⋅.所以f g ⋅是凹函数.例3 ()f x 为区间I 上的可导函数，证明：若对于I 上的任意两点1x ，2x ，有'21121()()()()f x f x f x x x ≥+-， 则()f x 为I 上的凹函数.证明 设以1x ，2x 为I 上任意两点，12(1)x x x λλ=+- ， 01λ<< .由'21121()()()()f x f x f x x x ≥+-， 并利用112(1)()x x x x λ-=--与221()x x x x λ-=-，''1112()()()()()(1)()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+--.''2221()()()()()()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+-.分别用λ与1λ-上列两式并相加，得到：1212()(1)()()[(1)]f x f x f x f x x λλλλ+-≥=+-.所以()f x 为I 上的凹函数.3.2 函数凹凸性的判定定理定理 ()f x 为I 上的函数，若对于I 上的任意三点123x x x <<，总有：32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- ， 则()f x 为I 上的凹函数. 证明 在I 上任取两点13,x x 13()x x <，在13[,]x x 上任取一点213(1),(0,1)x x x λλλ=+-∈，则，3231x x x x λ-=-，21311x x x x λ--=- ， 因为 32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- ，所以有： 322212321213()()()()()()()()x x f x x x f x x x f x x x f x -+-≤-+-.所以有，312321213()()()()()()x x f x x x f x x x f x -≤-+- ，因为 310x x ->，所以不等式两边同时除以31()x x -有：32212133131()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤+--. 即213()()(1)()f x f x f x λλ≤+-又213()[(1)]f x f x x λλ=+-.所以1313[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-.所以()f x 为I 上的凹函数.例题4 设()f x 为区间I 上的函数，若对于00,x I ∀∈∃实数a ，使得x I ∀∈，有00()()()f x a x x f x ≥-+， 证明：()f x 为区间I 上的凹函数.证明 设123x x x <<是区间I 上任意三点，由已知条件，对于2x ，存在实数a ，使得，22()()()f x a x x f x ≥-+， ()x I ∀∈.令1x x = ， 有1122()()()f x a x x f x ≥-+，得到1212()()f x f x a x x -≤-. 再令3x x =， 有3322()()()f x a x x f x ≥-+ ，得到3232()()f x f x a x x -≥-. 综上所述，32123212()()()()f x f x f x f x a x x x x --≥≥-- ，所以()f x 为区间I 上的凹函数. 3.3 函数凹凸性的充要条件充要条件 设函数()y f x =在I 上连续，在I 内具有一阶和二阶导数，那么，(1)若在I 内恒有''()0f x ≥，则()f x 在I 上的图形是凹的；(2)若在I 内恒有''()0f x ≤，则()f x 在I 上的图形是凸的.注意：若在区间I 内的某一子区间上''()0f x ≡，则()y f x =在该子区间上的图形是一段直线，该子区间既非凹区间也非凸区间.证明 （1）充分性：因为''()0f x ≥，所以'f 为I 上的增函数，设任意的1x ，2x ∈I ，在以1x ，2x （不妨设12x x <）为端点的区间上，由拉格朗日中值定理和'f 为I 上的增函数，可得：''2121121()()()()()()f x f x f x x f x x x ξ-=-≥-，即对I 上的任意两点1x ，2x ，有：'21121()()()()f x f x f x x x ≥+-.令312(1)x x x λλ=+-，01λ<<，有，1312(1)()x x x x λ-=--；2321()x x x x λ-=-；所以，''133133123()()()()()(1)()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+--.''233233213()()()()()()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+-.以上两个不等式的两端分别乘以λ与(1)λ-并相加得：12312()(1)()()[(1)]f x f x f x f x x λλλλ+-≥=+-.即()f x 在I 是凹函数；必要性：任取I 上两点()1212,x x x x <及充分小的正数h .由于1122x h x x x h -<<<+，根据()f x 是凹函数及函数凹凸性的判定定理有：()()()()()()11212221f x f x h f x f x f x h f x h x x h---+-≤≤-. 由于()f x 是可导函数，令0h +→时可得()()()()21''1221f x f x f x f x x x -≤≤-. 所以()'f x 为I 上的增函数，所以在I 内恒有''()0f x ≥.（2）''()0f x ≤的情况类似的可以证明.例题5 求曲线3()(12ln 10)f x x x =-的凹凸区间及拐点.解 函数的定义域为(0,)+∞，又'22()36ln 18f x x x x =-，''()72ln f x x x =，令''()0f x =，即72ln 0x x =，得到1x =，点1x =把定义域分成两个部分即(0,1]与[1,)∞.在各部分区间内'()f x 与''()f x 的符号，相应曲段弧的升降及凹凸、拐点等，如下图表：可得：在(0,1]内，''()0f x ≤，因此是曲线的凸区间.在[1,)∞内，''()0f x ≥，因此是曲线的凹区间.所以：点(1,10)-是曲线的拐点.小结：求曲线凹凸区间及拐点的步骤：首先找出可能是拐点的横坐标（包括使二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点），再利用二阶导数的符号判断该曲线的凹凸区间及拐点. 4 函数凹凸性的应用函数凹凸性的应用及其广泛，很多与函数、不等式交汇的综合问题都可以利用函数的凹凸性加以解决.利用函数的凹凸性去解决问题，往往能够使某些复杂的问题简单化.接下来，我们重点讨论函数凹凸性在不等式的证明、求函数最值以及函数作图等中的应用.4.1 函数凹凸性在证明不等式中的应用有些不等式的表达形式很简单，但如果通过常规的证明方法和技巧却很难达到预期的效果，这就需要我们另辟蹊径，寻找更有效的方法技巧，利用凹凸函数的性质不但可以减少计算量，使解题更加合理，而且借助凹凸函数的几何特征可以使解题思路更加清晰直观.4.1.1 利用函数的凹凸性证明一个重要的不等式定理 如果()f x 是凸函数⇔对12,,[0,1]n ∀∂∂⋅⋅⋅∂∈，满足121n ∂+∂+⋅⋅⋅+∂=，都有11221122()()()()n n n n f x x x f x f x f x ∂+∂+⋅⋅⋅+∂≥∂+∂+⋅⋅⋅+∂. 特别地，当121n n∂=∂=⋅⋅⋅=∂=时，上述不等式称为琴生（Jensen ）不等式. 例题 6 任意n 个非负实数的调和平均值小于或等于它们的几何平均值小于或等于他们的算数平均值.即：0i x ∀≥，(1,2,,)i n =⋅⋅⋅， 恒有：1212111n n x x x nnx x x ++⋅⋅⋅+≤≤++⋅⋅⋅+. 当且仅当12n x x x ==⋅⋅⋅=时等号成立.证明 考虑函数ln y x =，很容易判断出其是凸函数，有琴生（Jensen ）不等式得到：1212121111lnln ln ln ln()n n n x x x x x x x x x n n n n n++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅=. 即：12ln n x x x n++⋅⋅⋅+≥ln y x =在定义域上是单调递增的.12n x x x n ++⋅⋅⋅+≤，当且仅当12n a a a ==⋅⋅⋅=时等号成立. 另一方面， ln 12111n nx x x ++⋅⋅⋅+=12111ln n x x x n ++⋅⋅⋅+-121111(ln ln ln )nn x x x ≤-++⋅⋅⋅+=即：12ln 111n nx x x ≤++⋅⋅⋅+又ln y x =在定义域上是单调递增的.所以有：12111nnx x x ≤++⋅⋅⋅+12n a a a ==⋅⋅⋅=时等号成立.综上所述有：1212111n n x x x n nx x x ++⋅⋅⋅+≤≤++⋅⋅⋅+. 当且仅当12n a a a ==⋅⋅⋅=时等号成立.注意：利用函数的凹凸性证明不等式时，一定要注意构造或者引进我们所需要的辅助函数，使条件和结论、已知与未知建立联系.4.1.2 凹凸函数不等式的积分形式定理 设()f x 是[,]a b 上的可积函数且()m f x M ≤≤，()t ϕ是[,]m M 上的连续凸函数，则：11(())[()]b b a af x dx f x dx b a b a ϕϕ≥--⎰⎰（如果()t ϕ是凹函数，则不等式反向）. 例题7 设()f x 为[,]a b 上的正值连续函数， 证明：11ln ()ln ()b b a a f x dx f x dx b a b a≤--⎰⎰. 证明 令()ln t t ϕ=，由上述定理得：11(())ln ()b b a a f x dx f x dx b a b a ϕ=--⎰⎰ ≥1ln ()b af x dx b a -⎰.即得证. 例题8设()f x 在[0,1]上连续可导，'()0,()0f x f x ≥≤.若0()()xF x f t dt =⎰，证明： 10(1)()2(),(0,1)xF F x F t dt x ≤≤∈⎰. 证明 由0()()xF x f t dt =⎰，可得'()()F x f x =，进而得到'''()()F x f x =，所以''()0F x ≤.由函数凹凸性的充要条件知()F x 为凸函数.所以有：[1(1)0](1)(1)(0)F x x x F x F ⋅+-⋅≥⋅+-.又(0)0F =，所以()(1)F x x F ≥⋅.另一方面，由Hadamard 不等式：设函数()f x 是[,]a b 上连续的凸函数，对任意的12,[,],x x a b ∈12x x < ，有：21121221()()1()()22x x x x f x f x f f t dt x x ++≥≥-⎰，得101(0)(1)()102F F F t dt +≥-⎰. 即：10(1)()2F F t dt ≥⎰，又'()()0F x f x =≥，所以()F x 在[0,1]为单调增函数，所以有： (1)()22F F x ≥， 即102()()F t dt F x ≥⎰.综上所述， 即有： 10(1)()2(),(0,1)xF F x F t dt x ≤≤∈⎰. 小结：利用函数凹凸性证明不等式虽然有一定的局限性，但是它却能够避免一些繁杂的解题过程，大大的简化解题步骤，是其它方法不能达到的.利用函数凹凸性证明不等式的解题关键是构造合适的辅助函数，能够使问题和已知的条件联系起来，只有这样才能达到预期的效果.4.2 函数凹凸性在求函数最值中的应用通过观察不等式的证明，我们可以发现，如果不等式的一边是常数的话，那么不等式的证明就演变成了求函数的最值问题，我们就可以利用函数的凹凸性来求函数的最值，从而就可以避免繁杂的化简、转化、变形等过程.若能够灵活运用函数的凹凸性解题，可达到事半功倍的效果.例题9 设0(1,2,)k x k n >=⋅⋅⋅，试求 1212222()()n nx x x x x x ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+的最小值. 解析 如果采用一般的解题方法，我们就会发现很难找到问题的突破口，但是如果我们采用函数的凹凸性去思考，再结合着题目的表达形式，就很容易联想到琴生（Jensen ）不等式，问题就迎刃而解了.解 设2()f x x =，则'22()f x x =-，''44()0x f x x=>.所以()f x 为凹函数，由琴生（Jensen ）不等式12121()[()()()]n n x x x f f x f x f x n n ++⋅⋅⋅≤++⋅⋅⋅+，得： 121221222()n nn x x x n x x x ≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅. 化简整理得：1212222()()n nx x x x x x ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+22n ≥， 所以1212222()()n nx x x x x x ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+的最小值为22n . 例题10 设函数()f x 为[,]a b 上的凸函数，则求()f x 在闭区间[,]a b 上的最值. 解 对于任意的[,]x a b ∈，取b x b aλ-=-，（[0,1]λ∈），所以有(1)x a b λλ=+-. 进而有()[(1)]f x f a b λλ=+-，又()f x 为[,]a b 上的凸函数所以有：()[(1)]()(1)()min{(),()}f x f a b f a f b f a f b λλλλ=+-≥+-≥.所以()f x 的最小值为min{(),()}f a f b .记区间[,]a b 的中点为A ，且2a b A +=，设任意的[,]x a b ∈关于A 的对称点为'x 则有 '22x x a b ++=，又()f x 是[,]a b 上的凸函数，所以有： ''()()()()()2222a b x x f x f x f x m f f ++++=≥≥，即：()2()2a b f x f m +≤-）.（其中min{(),()}m f a f b =）.所以()f x 的最大值为 ：2()2a b f m +-，（其中min{(),()}m f a f b =. 注意：此例题可以表述为若函数()f x 在[,]a b 为凸函数，则()f x 在闭区间[,]a b 上有界.例题11 若,,,a b c d R +∈，且16a b c d +++=，求2222a b c d +++的最小值.解 设2()f x x =，则'()2f x x =，''()20f x =>，所以()f x 为凹函数.所以有：1()[()()()()]44a b c d f f a f b f c f d +++≤+++. 即：22222()1()164a b c d a b c d +++≤+++. 化简整理得：222264a b c d +++≥，当且仅当4a b c d ====时等号成立.小结：求函数最值的常用方法是利用函数的单调性、求导和均值不等式等方法，但是求函数值域没有通用的方法和固定的模式，要靠在学习过程中不断积累，掌握规律.而利用函数的凹凸性求解，为求函数最值开辟了一条新的路径.从上面几个例题可以看出利用函数凹凸性去求函数最值的关键还是构造合适的辅助函数. 4.3 利用函数的凹凸性作函数图象图象是刻画函数变量之间关系的一个重要途径，是研究函数性质的一种常用方法，是数形结合的基础和依据.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，是探求解题途径、获得问题结果的重要工具.但是在实际的解题过程中，并不是所有的函数图形都能够很容易地作出.下面我们就利用函数的凹凸性去解决一些函数作图问题.例题12 作出函数2()[cos(2arccos )]f αα=的图形.解析 题目中的函数解析表达式不够直观，我们考虑将函数做恒等变换，之后再利用函数的凹凸性作出函数图象.解 因为2cos(2arccos )12sin cos arc αα=-，设sin cos x arc α=，[1,1]x ∈- ，所以所给函数的表达式可以写成22()(12)f x x =-，且函数的定义域为[1,1]x ∈-，该函数是偶函数，它的图形关于y 轴对称，因此只需讨论区间[1,0]-上的图形即可.'()8(1)(1)f x x =-，进而得到：''2()4881)f x x =-=-+，在区间[1,0]-上，'()0f x =的解为0x =或x =''()0f x =，的解为x =.用点2x =-和6x =-把区间[1,0]-划分为[1,2--，[,26--，[6-三个部分区间.在各部分区间内'()f x 及''()f x 的符号、相应曲线弧的升降、凹凸性、极值点因而在2x =-处，()f x 取极小值0，再由函数关于y 轴对称，所以在0x =处，()f x 取极大值1，在2x =处，()f x 取极小值0，曲线有两个拐点 4()69-和4)69. 函数的图象如下图所示：小结：利用函数凹凸性作图的步骤： (1)确定函数()f x 的定义域，讨论函数的一些基本性质，如奇偶性、对称性和周期性等，并求出函数的一阶导数'()f x 及二阶导数''()f x .(2)求出方程'()0f x =和''()0f x =在定义域内的全部实根及使'()f x 和''()f x 不存在的点，用以上两种点将函数()f x 的定义域划分成几个部分区间.(3)确定在这些部分区间内'()f x 及''()f x 的符号，并由此确定函数图形的升降和凹凸、极值点和拐点.(4)确定函数图形的水平铅直渐近线.(5)列表并作出函数图象.函数的凹凸性揭示了函数因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数其它性质，可使我们对函数图象的描绘更加的准确.4.4 利用函数的凹凸性判断函数单调性判断函数单调性的一般方法是利用导函数的正负来判断的，但是利用函数的凹凸性来判断函数的单调性，作为判断函数单调性方法的补充，是需要我们了解的.例题13 设()00f =，()f x 在[)0,+∞上为非负的严格凹函数，()()f x F x x=，()0x >.试证明：()(),f x F x 为严格递增的函数.证明 因为()f x 为严格凹函数，()00f =，所以()()()()00f x f x f F x x x -==-为严格递增的.因为()f x 是非负函数，所以对于 0x ∀>，有()()00f x f ≥=.若某点10x >，使得()10f x =，则在[]10,x 上有()0f x ≡ 与()f x 为严格凹函数矛盾. 所以0x ∀>，有()0f x >，最后设120x x <<，则：()()()()()21112111000f x f x f x f f x x x x x -->=>--，得()f x 为严格递增的()0x >.结 束 语本文从函数凹凸性的概念出发，通过具体的实例较系统地介绍了函数凹凸性的常规的判定方法及在证明不等式、求函数最值以及在作函数图象时的应用.把握函数凹凸性在数学中的应用，关键就是在把握函数凹凸性的基本概念、定理的基础上，同时加强此方面的训练和研究.函数凹凸性的应用，拓展了学习和研究的邻域．由于受到各种因素的限制，本文也有一定的不足之处.函数凹凸性的判别方法与应用还有很多，本文只介绍了其中的一部分，还有其它方法与应用可以补充.参考文献[1] 宣立新. 高等数学(上册)[M].高等教育出版社，1999.[2] 华东师范大学数学系[M].数学分析.高等教育出版社，2007.[3] 毛纲源.高等数学解题方法技巧归纳[M].华中理工大学出版社，2002.[4] 于淑兰.关于曲线拐点的判别法[J].数学的实践与认识，2003，33(1):98-100.[5] 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（第三版）[M].高等教育出版社，1995.[6] 沈家英，方永宏.高等数学(上册)[M].山东大学出版社，1995.[7] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社，2007.[8] 孙清华，郑小姣.高等数学内容、方法与技巧[M].华中科技大学出版社，2004.[9] Fred Brauer .Fundamentals of Advanced Mathematics[M] .Higher Education Press，2006.[10] 何卫力，缪克英.高等数学方法导引(上)[M].北京交通大学出版社，2004.[11] 盛祥耀.高等数学[M].高等教育出版社，2004.[12] 刘士强.数学分析[M].广西民族出版社，2000.The discrimination approach and application of concave and convex function Author: Zhu Hongli Supervisor: Xing BaohuaAbstract Concave and convex function is one of the important properties in function.It reflects curving direction of the curve on the function image, and it allows you to grasp the curve properties better about the corresponding function. This paper bases on analysis about the concept of convex and concave function, and focuses on exploring the discrimination approach and application of concave and convex function, such as the application in inequality proving and function max/min value, etc. It makes a detailed exposition with relevant examples.Keywords concave and convex derivative inequality application.。

函数凹凸性的判定性质及应用曹阳数学计算机科学学院摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。

本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及判定定理。

在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。

一元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。

本文主要讨论了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍了它们应用。

关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用；Convex function of Judge Properties and Applications Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance. In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem. On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application. One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function tore-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties. This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application.Keywords: Convexity; One Function; Binary function; Multiple functions; Criterion; Applications;1.引言凸函数是数学中一类极其重要的函数，它在最优化，运筹与控制理论，模具设计等方面具有重要的理论和实践意义。

函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性和拐点是数学中的重要概念，它们可以帮助我们了解函数的特性和性质。

本文将介绍函数的凹凸性和拐点，并解释它们的意义和用法。

一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数图像在某个区间上是否呈凹曲面或凸曲面。

具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)>0，则函数在区间I上是凹函数；若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)<0，则函数在区间I上是凸函数。

凹凸性可以从图像上观察得出。

对于凹函数而言，在函数图像的任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的上方。

相反，凸函数在任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的下方。

函数的凹凸性在数学和经济学中有广泛的应用。

在最优化问题中，我们常常需要求一个函数的极值点，而函数的凹凸性可以帮助我们判断极值点的性质。

此外，在经济学中，凸函数常用于描述生产函数、效用函数等经济关系。

二、拐点拐点是指函数图像由凹转为凸，或由凸转为凹的点。

具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若存在一个点c∈I，使得f在c 的左侧是凹函数，在c的右侧是凸函数（或反过来），则称c是函数f 的一个拐点。

拐点可以用来确定函数曲线上的转折点。

在拐点处，函数曲线的凹凸性发生变化，这也意味着函数的斜率也会发生变化。

拐点的确定可以通过求函数的二阶导数来实现。

当函数的二阶导数存在，且在某个点c处二阶导数为零，此时有可能存在拐点。

拐点的概念在工程、经济学和物理学等领域都有应用。

在工程中，拐点可以帮助我们确定材料的断裂点；在经济学中，拐点可以帮助我们分析市场供需关系的变化；在物理学中，拐点可以帮助我们理解物体的运动和变形特性。

综上所述，函数的凹凸性和拐点是数学中重要的概念，它们可以帮助我们分析函数的特性，并在实际问题中得到应用。

通过研究函数的凹凸性和拐点，我们可以更好地理解和运用数学知识。

函数凸凹性在高考解题中的应用一隅函数凸凹性是高等数学研究的函数重要性质之一,虽然在高中数学的课标中没有对凸凹函数做具体要求,但是它的身影在高考试题中却频频出现. 充分说明了高考命题源于课本，又高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能.下面仅就函数凸凹性的一个侧面在高考题中的应用做初步论述.一、凹凸函数的定义及相关定理定义：如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ，2x 都有如下不等式 [])()(21)2(2121x f x f x x f +≤+ （1） 成立，则称)(x f 是下凸（凸）函数(如图1所示)，当且仅当21x x =时等号成立． 如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ，2x 都有如下不等式[])()(21)2(2121x f x f x x f +≥+ （2） 成立，则称)(x f 是上凸（凹）函数(如图2所示)，当且仅当21x x =时等号成立．从几何意义来看，不等式（1）表示定义域中任意两点1x ，2x 的中点M 所对应的曲线上的点Q 位于弦上对应点P 的下面．不等式（2）则有相反的意义．引理：设函数)(x f 在开区间I 上可导，则(1))(x f 在区间I 上为上凸函数⇔导函数)(x f '在区间I 单调减少．()0<''⇔x f(2))(x f 在区间I 上为下凸函数⇔导函数)(x f '在区间I 单调增加．()0>''⇔x f 定理：若函数)(x f 在开区间),(b a 上为下凸函数且可导，),(00y x P 为其图像上一点，则函数)(x f 的图像必在P 点处函数切线的上方；反之，若函数)(x f 在开区间),(b a 上为上凸函数且可导，则函数)(x f 的图像必在P 点处函数切线的下方.证明:由函数)(x f 在开区间I 上可导,从而P 点处函数切线方程为000))((y x x x f y +-'=记000))(()()(y x x x f x f x F --'-=,)()()(0x f x f x F '-'='当)(x f 在开区间),(b a 上为下凸函数时,由引理得)(x F 在0x x =处取得最小值0,即,0)(≥x F 也即000))(()(y x x x f x f +-'≥,∴即证函数)(x f 的图像在P 点处函数切线的上方;同理可得,若函数)(x f 在开区间),(b a 上为上凸函数且可导，则函数)(x f 的图像必在P 点处函数切线的下方.二、定理在高考题中的应用以下就2012年高考试题中出现的若干有关凸凹性的试题来说明定理的解题应用价值. 例1.(新课标•理21) 已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+； （1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值。

函数凹凸性的应用什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数y =所表示的曲线是向上凸的,而2y x =所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看,若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？设函数()f x 在区间I上是凸的（向下凸）,任意1x ,2x I∈（12x x <）.曲线()y f x =上任意两点11(,())A x f x ,11(,())B x f x 之间的图象位于弦AB的下方,即任意12(,)x x x ∈,()f x 的值小于或等于弦AB 在x 点的函数值,弦AB 的方程211121()()()()f x f x y x x f x x x -=-+-.对任意12(,)x x x ∈有,整理得21122121()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤+--.令221()x x t x x -=-,则有01t <<,且12(1)x tx t x =+-,易得1211x x tx x -=--,上式可写成1212[(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x +-≤+-1.1凸凹函数的定义凸性也是函数变化的重要性质。

通常把函数图像向上凸或向下凸的性质，叫做函数的凸性。

图像向下凸的函数叫做凸函数，图像向上凸的函数叫做凹函数。

设[]()()()()()211212:,,,0,1,11f I R I f ff x x x x x x λλλλλ→∀∈∀∈+-≤+-若不等式成立，（1）则称f为I 上的凸函数。

若()120,1,,x x λ∀∈≠()()()()()121211f ff x x x x λλλλ+-+-不等式 （2）则称f 为I 上的严格凸函数。

函数凹凸性的判定性质及应用曹阳数学计算机科学学院摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。

本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及判定定理。

在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。

一元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。

本文主要讨论了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍了它们应用。

关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用；Convex function of Judge Properties and Applications Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance. In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem. On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application. One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function tore-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties. This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application.Keywords: Convexity; One Function; Binary function; Multiple functions; Criterion; Applications;1.引言凸函数是数学中一类极其重要的函数，它在最优化，运筹与控制理论，模具设计等方面具有重要的理论和实践意义。

函数凹凸性及其在高中数学中的应用探讨摘要在高中数学课本中，凹凸函数这一概念虽未曾出现，但观察近儿年全国各地高考试题及一些有难度的高中题，涉及凹凸函数知识的题目已频繁出现.事实上，让高中生掌握一些凹凸函数的简单应用，能起到承上启下，启辿学生思维，增强学生数形结合能力的作用.例如有些对数函数，指数函数以及一些三角不等式的计算或证明，往往看起来很复杂，甚至无从下手，但如果利用凹凸函数的性质给予计算或证明，则会起到简捷明了、事半功倍的效果.本文通过对函数凹凸性定义和相关性质定理的介绍，探讨运用这些定理去证明一些较复杂的不等式，求取值范围，求最值以及解数形结合类的题目，以使学生对相关知识有一个更全面、更系统、更深刻的了解，进一步提高运用这些性质定理去解决相关题目的数学能力和应用能力.这体现了函数的凹凸性在高中数学解题中的巧妙作用.关键词：上凸函数；下凸函数；单调性；不等式Exploring the Concavity and Convexity of Function and its Application ofMathematics in Senior Middle SchoolAbstract: Although the concept of the concavity and convexity of function has not been introduced in the high school textbook of mathematics,many difficult questions involved in the concavity and convexity of function had appeared frequently in the College Entrance Examination.In fact.to some high school students, mastering a simple application of the concavity and convexity of function can play a connecting,enhanceing the capacity of figures and graphics.For example,the calculation and proof of some logarithmic function, exponential function,as well as the triangle function often looks very complicated,even impossible to start,but the problem can be solved simply, clearly and effectively using the concavity and convexity of function.In this paper.the basic definitions ,the character and theorem of the concavity and convexity of function are introduced.The application in proving some complex inequalities, solving the rang of the figure and figures-graphics are discussed. So that the student can have a more comprehensive,more systematic and deeper understanding and further enhance the ability of using these theorems to solve some related problems.This reflect the clever role of the Concavity and Convexity of Functionof ma由ematics in high school.Keywords: convex function; concave function; monotonicity; inequality1引言 (1)2文献综述 (1)2.1国内外研究现状 (1)2.2国内外研究现状评价 (2)2. 3 提出问题 (2)3凹凸函数基础知识 (2)3.1凹凸函数的定义 (3)3.2凹凸函数的相关定理 (3)3. 高中数学中常见函数的凹凸性函数凹凸性在高中数学解题中的应用4. 1 函数凹凸性在证明不等式中的应用4. 利用函数凹凸性求取值范围4.3函数凹凸性在数形结合中的应用 (11)4. 4 利用函数凹凸性求最值 (12)5 结论 (13)5.1主要发现 (13)5. 2 启示 (13)5. 3局限性 (13)5. 4努力方向 (13)参考文献 (15)1 引言函数的叫凸性主要用于高等数学中，例如凸函数在泛函分析、最优化理论、数理经济学以及数学规划和控制论等领域有着广泛的应用，而高中课本中没有相关的概念.虽然函数的凹凸性在高中教材中没有给出系统定义、性质，但它的身影在高考中频频出现, 充分说明了高考命题源于课本，乂高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能.在求解高中涉及函数的凹凸性的相关问题时，许多学生常常感到束手无策，部分学生由于计算量大和繁锁，产生厌学数学的情绪.为了解除这种困惑，培养与提高学生学习数学的兴趣，让学生掌握函数凹凸性及其在高中数学中的应用是很必要的.因此本毕业论文从凹凸函数的基础知识和函数凹凸性在高中数学解题中的应用两个大方面，对函数凹凸性定义、相关定理及其应用进行进一步的分析，探讨函数凹凸性在证明不等式、求取值范围以及求最值、解数形结合合问题方面的应用，皆在为解决高中有关函数凹凸性的相关问题提供比较清晰的解题思路和解题方法.2 文献综述2. 1国内外研究现状根据所查到的相关文献资料可知，目前有关函数凹凸性在高等数学和初等数学中的研究甚多，学者们从不同的方面和角度对其进行了较为广泛的探讨，比如：唐才祯、莫玉忠、李金继的《凹凸函数在不等式证明中的巧用》一文⑴和张建平的《琴生不等式的应用》一文⑵主要介绍了函数凹凸性的定义和詹生不等式的证明过程；谢晓强的《函数凹凸性的儿个应用》一文&和魏远金的《函数凹凸性在高考中的应用》一文"［主要论述了函数凹凸性在初等数学中的应用，解决了一些用初等数学知识难以解决的初等不等式；王强芳、魏远金的《函数凹凸性在解题中的应用》一文⑸探讨函数的凹凸性在高考数学中的应用；周再禹的《巧用函数凸性证明不等式》一文⑹探讨了用函数的凸性巧妙的来证明中学代数中的一些不等式；尚亚东、游淑军的《凸函数及其在不等式证明中的应用》一文⑺和刘海燕的《凸函数在不等式证明中的应用》一文⑻介绍了凸函数的定义性质及其在证明不等式的一些应用；郝建华的《凸函数的性质及其在不等式证明中的应用》一文⑼主要介绍了两个重要的不等式——霍尔德不等式和闵可夫斯基不等式；刘大谨的《凶函数与不等式》一文"探讨了/'⑴在区间/是四函数的充要条件；江炳新的《构造凸函数证一类不等式》一文“针对目前高考数学的部分压轴题中体现的高等数学思想方法提出在教学中要引导学生进行函数凹Hi性的探究；傅拥军的《函数I，性在不等式证明中的应用》一文”针对在中学数学中不等式的证题方法较多，技巧性强的这一特点，通过例题说明函数凸性是函数在区间变化的整体形态，对于一些不等式，可以巧妙地构造凸函数，利用凸函数加以证明；夏红卫的《凸函数与不等式》一文邱从凸函数的定义出发，得到函数的连续性，推导出Jensen不等式，并由此得到n个正数的算术平均与儿何平均之间的不等式关系；张景丽、陈蒂的《凸函数在不等式证明中的应用》一文「逐论述可导凸函数的儿何特征和性质，并举例说明它们在不等式证明中的应用；晏忠红的《凸函数的应用》一文h主要论述了用凸函数方法和凸函数詹生不等式推证儿种重要的不等式，并对某些结论作一些探讨，等等；朱庆喜的《函数凹凸性的应用举例》'⑺一文主要根据函数凹凸性的定义形式通过例子反映出函I数凹凸性的简捷有效应用；王萍珠的《例说高考函数图像题的解法》-文⑻是针对高考中的函数图像题这类问题该如何解决而提出应从学会看图和学会作图两方面着手；罗志斌，曾菊华的《关于函数凹凸定义的一个注解》用一文针对不同教材的函数凹凸定义进行比较,对函数凹凸性的相关性质进行讨论，并对函数凹凸性的应用进行研究；赵春燕的《构造函数，利用函数性质证明不等式》地一文论述在构造函数的背景下运用函数的单调性、微积分中值定理、函数的极值和最值等，将不等式问题转化为函数问题，等等.2.2国内外研究现状评价综合国内外研究现状可以看出，关于函数凹凸性在高中数学中的应用的研究，仁者见仁、智者见智.其中，较大多数只对一个或儿个题目研究某一方面的问题，对高中出现的有关函数凹凸性的问题没有给出系统的归纳和分类.因此函数凹凸性在高中数学中的应用还有许多问题值得研究和探索.2. 3提出问题经过查阅了国内外的参考文献以及对近儿年高考试题的分析，发现函数凹凸性在解决高中题时有巧妙作用，而IR前文献对用函数凹凸性来解决高中题乂没具体给出应用的归纳和分类.于是本文在查阅了相关资料后，在前人研究的基础之上，对函数凹凸性的应用做了归纳和分类，总结出函数凹凸性在证明不等式、求取值范围、解数形结合问题以及求最值方面的应用，进而培养与提高学生学习数学的兴趣，为学生解决这些问题提供史广的解题思路和解题方法.3凹凸函数基础知识3.1凹凸函数的定义函数凹凸性在高中数学中有巧妙的作用，往往能起到事半功倍的效果，下面先介绍一下它的定义.定义1：如果函数，（尤）对其定义域中任意的玉,心都有如下不等式V | ［/（xj + f（x2）］（1）成立，则称/（尤）是下凸（凸）函数（如图1所示），当且仅当明=互时等号成立.如果函数/.（］）对其定义域中任意的明，心都有如下不等式/（^±^）＞_L［/（X I）+/（X2）］（2）成立，则称丁⑴是上凸（凹）函数（如图2所示），当且仅当玉=互时等号成立.从儿何意义来看，不等式（1）表示定义域中任意两点羽，尤2的中点M所对应的曲线上的点Q位于弦上对应点P的下面.不等式（2）则有相反的意义.3. 2凹凸函数的相关定理以下儿个有关凹凸函数相关定理在解题中非常重要，为了使以后的解题过程更加的方便，下面做一个归纳总结.定理1 （詹生不等式）⑹若函数/（W在区间I是上四函数，则有不等式：/'筋玉+02心+・・・ + 0,/〃）20|/。

函数的凹凸性方面的应用()f x 严格凸函数⇔上式严格不等式成立.证 ⇒记3231x x x x λ-=-,则01λ<<及213(1)x x x λλ=+-, 由f 的凸性知213()()(1)()f x f x f x λλ≤+-3221133131()()x x x xf x f x x x x x --=+-- (4)从而有312321213()()()()()()x x f x x x f x x x f x -≤-+-即32221232121()()()()()()()()x x f x x x f x xx f x xx f x -+-≤-+-整理即得(3)式.⇐13,x x I ∀∈13()x x <,(0,1)λ∀∈记213(1)x x x λλ=+-,则123x x x <<,3221x x x x λ-=-由必要性的推导步骤可逆,从(3)式便得(4)式.故f 为凸函数.同理便知,曲线上首尾相连的线,其斜率是递增的,即123,,x x x I ∀∈,123x x x <<,有31212131()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--()f x 严格凸函数⇔上式严格不等式成立.定理 设为开区间上的凸函数．若则在上满足利普希茨条件,且在上连续．证明 (证明开区间上的凸函数必为连续函数)当取定后,由为开区间,必可选取中的四点满足：．如图所示,再在中任取两点. 应用引理得到．令,则,．显然,上述 L 与中的点无关, 故在上的每个内闭区间上满足利普希茨条件．由此容易推知在上连续,再由在上的任意性,又可推知在上处处连续．如果f 是I 上的可导函数,则进一步有： 二、凸函数与导数的关系定理1（可导函数为凸函数的等价命题） 设f 为区间I 上的可导函数,则下述论断互相等价：（1）f 为I 上的凸函数；（2）f '为I 上的增函数；（3）对I 上的任意两点12,x x 总有21121()()()()f x f x f x xx '≥+-证 (i)(ii) ,并取,使据定理3.12,有由可微,当时,对上述不等式取极限后,得到．所以是上的递增函数．(ii)(iii)由微分中值定理和递增,便可证得当时,也有相同结论．(iii)(i),并记,则有,由(iii)可得.注 定理中(iii)的几何意义如下图所示:曲线上任意一点处的切线恒位于曲线的下方在为可微的前提条件下,常用上述切线与曲线的位置关系(iii)来表述凸函数．但是在没有可微条件假设时,凸函数只能用曲线与其任一弦的位置关系(定义1)来定义．如果f 在I 上二阶可导,则进一步有：定理2（凸函数与二阶导数的关系） 设f 为I 上的二阶可导函数,则在I 上f 为凸（凹）函数⇔()0f x ''>（()0f x ''<）,x I ∈.f 为严格凸⇔1）()0f x ''≥；2）()f x ''不在I 上的任一子区间上恒为零.此定理说明：f 为严格凸,则曲线中不含有直线段（()0f x ''=）.对于凹函数情形,也有类似的定理（因为f 凸,则f -凹）. 可导函数f 有如下相互等价的论断：1）f 为I 上凹函数.2）123,,x x x I ∀∈,123x x x <<有32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≥--.即割线斜率递减.3）()f x '为I 上递减函数.4）0x I∀∈,有000()()()()f x f x f x x x '≤+-,x I ∈.当f 在I 上二阶可导时,下述论断与1）,2）,3）,4）相等价.5）在I 上()0f x ''≤.对严格凹的情形可类似得出等价论断. 二、拐点定义 2 设曲线y ＝f(x)在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点.（即为曲线凹凸部分的分界点）必须指出；若(00,()x f x )是曲线y=f （x)的一个拐点,y ＝f(x)在点0x 的导数不一定存在,如y =x ＝0的情形.定理3（拐点必要条件） 若f 在0x 二阶可导,则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点的必要条件是0()0f x ''=.综上知：(00,()x f x )的拐点,则要么（1）0()0f x ''=；要么（2）f 在0x 点不可导.定理4 设f 在点0x 可导,在某邻域0()U x 内二阶可导,若在0()U x +和0()U x -上()f x ''的符号相反,则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点.例1 讨论函数()arctan f x x =的凸性与拐点.解222()(1)xf x x ''=-+,因而当0x ≤时,()0f x ''≥；当0x ≥时,()0f x ''≤,从而函数f 为(,0]-∞上的凸函数,在[0,)+∞上为凹函数.而()f x 在原点连续,故原点为曲线()y f x =的拐点例2 若f 在(,)a b 内可导、凸（凹）函数,则0(,)x a b ∈为f 的极小（大）值点⇔0()0f x '=.即x 为f 的稳定点. 证 ⇒）费马定理.⇐）因f 凸,故(,)x a b ∀∈有000()()()()f x f x f x x x '≥+-.因0()0f x '=,故(,)x a b ∀∈总有0()()f x f x ≥.即x 为f 的极小值点.例3 设f 在开区间I 上为凸（凹）函数,证明f 在开区间I 内任一点0x都存在左、右导数.证 只证凸函数f 在0x存在右导数,其它情形同理可证.令120h h <<,记101x x h =+,202x x h =+,则012x x x <<（取2||h 充分小使02x h I+∈）,由(3)'式得：01002012()()()()f x h f x f x h f x h h +-+-≤记 00()()()f x h f x F h h +-=(0)h >则有21()()F h F h ≤即()F h 为单调递增函数.取4x I∈且40x x ≤,则040004()()()()f x f x f x h f x x x h-+-≤-,从而()F h 递增有下界,从而0lim ()h F h +→存在,即0()f x +'存在.注 对区间端点,左、右导数可能存在,也可能为∞.由第五章§1习题10知（若f 在0x的左、右导数都存在,则f 在0x连续）,若f 在为开区间(,)a b 内的凸（凹）函数,则f 为(,)a b 内的连续函数.（但不一定可导,如()||f x x =）三、 詹森(Jensen)不等式定理 (詹森(Jensen)不等式) 设f 为[,]a b 上的凸函数,[,]i x a b ∈,0i λ>(1,2,,)i n =且11nii λ==∑,则有11()()nni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑ （6）成立.若f 为严格凸函数,(1,2,,)ix i n =不全相等,则上式严格不等式成立.证 用归纳法：2n =时命题由凸函数定义显然成立.假设n k =时命题成立,即0i λ>(1,2,,)i k =,11kii λ==∑，则有11()()kki i i i i i f x f x λλ==≤∑∑. 要证1n k =+时命题成立.设0iλ>(1,2,,,1)i k k =+,111k ii λ+==∑1111111111()()[(1)]1k kki ii i i i k k k k k i i i k x f x f x x f x λλλλλλλ++++++===+=+=-+-∑∑∑（由归纳法可知,当11nii λ==∑,(,)i x a b ∈时1ni i i x λ=∑(,)a b ∈,因为 111kii k λλ==-∑,故 111ki ii k x λλ=+-∑(,)a b ∈ ）11111(1)()()1ki k i k k i k f x f x λλλλ+++=+≤-+-∑11111(1)()()1kik i k k i k f x f x λλλλ+++=+≤-+-∑11()k i i i f x λ+==∑⇒结论成立.注 由于(6)式中当时即为凸函数的定义式(1),所以詹森不等式(6)也可用来作为凸函数的定义,而詹森不等式的应用也就是凸函数的应用．对具体的函数套用Jensen 不等式的结果, 可以证明一些较复杂的不等式. 这种证明不等式的方法称为Jensen 不等式法或凸函数法. 具体应用时, 往往还用到所选函数的严格单调性.例4 证明: 对,,R ∈∀y x 有不等式 )(212y x yx e e e +≤+.例5 设0i x >(1,2,,)i n =,则1212111nn x x x n nx x x +++≤≤+++当且仅当所有i x 全相等时等号成立.证 所有i x 全相等时,等号显然成立.只须证i x 不全等时,有严格不等号成立即可. 取()ln f x x =-,则f 在(0,)+∞上严格凸,由例4知1121211ln (ln )ln()nn i n i x x x x x x x n n -=+++-<-=-∑即12ln nx x x n +++>因ln x 严格增,故有 12nxx x n +++>又i x 不全等⇒1i x 不全等,故11111ln (ln )lnn ni i i i xn n x ==-<-=-∑∑所以 11n i i nx =<∑例6 在⊿ABC 中, 求证 233sin sin sin ≤++C B A .解 考虑函数x x x f x x x f s i n . 0 , 0 sin .0 ,sin )(⇒<<-=''≤≤=ππ在区间) , 0 (π内凹, 由Jensen 不等式, 有233sin 33)()()(3sinC sinB sinA ==⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤++=++∴πC B A f Cf B f A f .233sinC sinB sinA ≤++⇒.例7 已知1 ,,,=++∈+c b a c b a R . 求证6737373333≤+++++c b a .解 考虑函数3)(x x f =, )(x f 在) , 0 (∞+内严格上凸. 由Jensen 不等式, 有≤+++++=+++++3)73()73()73(3737373333c f b f a f c b a28)8()7(37373733===+++=⎪⎭⎫⎝⎛+++++≤f c b a f c b a f . ⇒6737373333≤+++++c b a .例8 已知 .2 , 0 , 033≤+>>βαβα 求证 2≤+βα. ( 留为作业 ) ( 解 函数3)(x x f =在) , 0 (∞+内严格下凸. 由Jensen 不等式, 有=+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2)()(228)(33βαβαβαβαf f f ⇒=≤+ ,122233βα2 , 8)(3≤+⇒≤+βαβα. )作业 P153 3⑶,5,8⑴； P158—159 17,18,19.。