【2019-2020】八年级数学上册第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质课件新人教版

角的平分线的性质尊敬的各位老师，大家好！今天，我说课的题目是《角的平分线的性质》第一课时，选自新人教版教材《数学》八年级上册第十二章第三节。

下面，我从教学背景的分析、教学目标的确定、教学方法与手段的选择、教学过程的设计等四个方面对我的教学设计加以说明。

一、教学背景的分析1、教学内容分析本节课是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的。

内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用。

作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础。

因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。

同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。

2、学生分析刚进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。

根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础。

3、教学环境分析利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律。

4、教学重点、难点本节课的教学重点为：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。

教学难点是：1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；2、对于性质定理的运用。

教学难点突破方法：（1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习。

二、教学目标的确定1、知识与技能：（1）掌握用尺规作已知角的平分线的方法。

专题12.3角平分线的性质（测试）一、单选题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BD＝2CD，点D到AB的距离为4，则BC的长是（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【解析】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，∴CD⊥AC，∵AD平分∠BAC，∴CD=DE，∵D到AB的距离等于4，∴CD=DE=4，又∵BD=2CD，∴BD=8，∴BC=4+8=12，故选：C．2．如图，图中直线表示三条相互交叉的路，现要建一个货运中转站，要求它到三条公路的距离相等，则选择的地址有（）A．4处B．3处C．2处D．1处【答案】A【解析】解：∵△ABC 内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴△ABC 内角平分线的交点满足条件； 如图：点P 是△ABC 两条外角平分线的交点， 过点P 作PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，PF ⊥AC ， ∴PE=PF ，PF=PD ， ∴PE=PF=PD ，∴点P 到△ABC 的三边的距离相等，∴△ABC 两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点有4个， ∴可供选择的地址有4个． 故选：A ．3．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒,10AB =,AD 是ABC ∆的一条角平分线.若3CD =，则ABD ∆的面积为( )A ．3B ．10C ．12D ．15【答案】D【解析】解：如图，作DE ⊥AB 于E ，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD=3．∴△ABD的面积为12×3×10=15．故选：D．4．△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25．在△ABC内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：∵△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25，∴AB2+BC2＝72+242＝252＝AC2，∴∠ABC＝90°，连接AP，BP，CP．设PE＝PF＝PG＝xS△ABC＝12×AB×CB＝84，S△ABC＝12AB×x+12AC×x+12BC×x＝12（AB+BC+AC）•x＝12×56x＝28x，则28x＝84，x＝3．故选：C．5．如图，OP平分∠AOB，点C，D分别在射线OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的是（）A ．OC ＝ODB ．∠CPO ＝∠DPOC ．PC ＝PD D ．PC ⊥OA ，PD ⊥OB【答案】C【解析】∵OP 是∠AOB 的平分线， ∴∠AOP ＝∠BOP ，而OP 是公共边，A 、添加OC ＝OD 可以利用“SAS ”判定△POC ≌△POD ，B 、添加∠OPC ＝∠OPD 可以利用“ASA ”判定△POC ≌△POD ， C 、添加PC ＝PD 符合“边边角”，不能判定△POC ≌△POD ， D 、添加PC ⊥OA ，PD ⊥OB 可以利用“AAS ”判定△POC ≌△POD ， 故选：C ．6．如图，已知ABC ∆的面积为28cm ，BP 为ABC ∠的平分线，AP BP ⊥于点P ，则PBC ∆的面积为（ ）.A ．23.5cmB ．23.9cmC ．24cmD ．24.2cm【答案】C【解析】延长AP 交BC 的延长线于点E ， ∵AP 垂直PB 且PB 平分ABC ∠， ∴ABP EBP ∠=∠.又BP BP =，90APB BPE ∠=∠=︒， ∴()ABP EBP ASA ∆≅∆. ∴BAP BEP S S ∆∆=，AP PE =. ∴APC PCE S S ∆∆=.设ACE S m ∆=，∴8ABE ABC ACE S S S m ∆∆∆=+=+，∴284cm 211222PBC ABE ACE S S S m m ∆∆∆+-==-=.7．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，若32BC =，且:9:7BD CD =，则点D 到AB 边的距离为（ ）.A ．18B ．16C ．14D ．12【答案】C【解析】过点D 作DE AB ⊥于点E ， ∵AD 平分BAC ∠，∴DC DE =.又:9:7BD CD =且32BC =，∴18BD =，14CD =. 即14DE =.即点D 到AB 边的距离为14. 故选C8．如图所示，P 是BAC ∠的平分线上一点，PM AB ⊥于点M ，PN AC ⊥于点N .有下列结论：①PM PN =；②AM AN =；③APM ∆与APN ∆面积相等；④90PAN APM ∠+∠=︒，其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由角平分线性质可知①是正确的；可证()Rt Rt AMP ANP HL ∆≅∆，∴AM=AN,APM APN S S ∆∆=，可得②③是正确的；由()Rt Rt AMP ANP HL ∆≅∆可得∠APM=∠APN ，由∠APN+∠PAN=90°可得∠PAN+∠APM=90°，可知④是正确的，故选D.9．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，下列结论中正确的个数是（ ）.①AD 平分CDE ∠：②BAC BDE ∠=∠；③DE 平分ADB ∠；④AB AC BE =+. A ．3个 B ．2个C ．1个D ．4个【答案】A【解析】因为DE AB ⊥，所以90AED ∠=︒.又AD 是CAB ∠的角平分线，AC CD ⊥，由角平分线的性质得DC DE =，又AD AD =，故ACD AED ∆≅∆，所以ADC ADE ∠=∠，故①成立；在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，故90BAC B ∠+∠=︒，在Rt BDE ∆中，90B EDB ∠+∠=︒，因此BAC B B EDB ∠+∠=∠+∠，即BAC BDE ∠=∠，故②成立；∵ACD AED ∆≅∆，故AC AE =，因此AB AE EB AC BE =+=+，④成立； 当60B ∠=︒时，30EDB ∠=︒，75ADE ∠=︒，显然EDB ADE ∠≠∠，故③不成立.10．作∠AOB 的角平分线的作图过程如下，用下面的三角形全等判定法则解释其作图原理，最为恰当的是（ ）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D【解析】连接CD、CE,根据作图步骤知OD=OE、CD=CE、OC=OC所以根据SSS可判定△OCE≌△OCD,所以∠BOC=∠AOC，OC平分∠AOB故用尺规作图画∠AOB的角平分线OC，作图依据是SSS，故选：D．11．如图，点P在∠MON的角平分线上，A、B分别在∠MON的边OM、ON上，若OB=3，S△OPB=6，则线段AP的长不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】作PC⊥OM于C，PD⊥ON于D，如图所示：∵点P在∠MON的角平分线上，∴PC=PD，∵S△OPB=12OB⋅PD=6，OB=3，∴PD=4，∴线段AP的长不可能是3，故选：A.12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则以下结论：①AD平分∠CDE；②DE平分∠BDA；③AE-BE=BD；④△BDE周长是4cm．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】解：∵DE⊥AB，∴∠DEA=∠DEB=90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，∵∠C=90°，∠CDA+∠C+∠CAD=180°，∠DEA+∠BAD+∠EDA=180°，∴∠CDA=∠EDA，∴①正确；∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠B=45°，∵∠C=∠DEA=∠DEB=90°，∴∠CDE=360°-90°-45°-90°=135°，∠BDE=180°-90°-45°=45°，∵∠CDA=∠EDA，∴∠CDA=∠EDA=11352︒⨯=67.5°≠45°，∴∠EDA≠∠BDE，∴DE不平分∠BDA，∴②错误；∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，由勾股定理得：AC=AE，∴AE=AC=BC ， ∵∠B=∠BDE=45°， ∴BE=DE=CD ，∴AE-BE=BC-CD=BD ，∴③正确；△BDE 周长是BE+DE+BD=BE+CD+BD=BC+BE=AE+BE=AB=4cm ，∴④正确； 即正确的个数是3， 故选：B ．13．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．若S △ABC ＝28，DE ＝4，AB ＝8，则AC 长是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】C【解析】解：∵AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ， ∴DF ＝DE ＝4．又∵S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，AB ＝8，112884422AC ∴=⨯⨯+⨯⨯，∴AC ＝6． 故选：C ．14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中：①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的中垂线上；④△ABD 边AB 上的高等于DC.其中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确；②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD=12∠CAB=30°，∴∠ADC=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确；③∵∠BAD =∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上．故③正确；④角平分线上的一点到线段两端点的距离相等, 因此判断出△ABD边AB上的高等于DC.故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．故选D．15．如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】A【解析】作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥BC 于H ，∵D 是∠ABC 平分线上一点，DG ⊥AB ，DH ⊥BC ，∴DH=DG ，在Rt △DEG 和Rt △DFH 中，DG DH DE DF⎧⎨⎩＝＝ ∴Rt △DEG ≌Rt △DFH （HL ），∴∠DEG=∠DFH ，又∠DEG+∠BED=180°，∴∠BFD+∠BED=180°，∴∠BFD 的度数=180°-140°=40°，故选：A ．16．如图，在四边形ABDC 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠BAC 与∠ACD 的平分线交于点O ，且点O 在线段BD 上，BD ＝4，则点O 到边AC 的距离是（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．3【答案】C 【解析】解：过O 作OE ⊥AC 于E ，∵∠B ＝∠D ＝90°，∠BAC 与∠ACD 的平分线交于点O ，∴OB ＝OE ＝OD ，∵BD ＝4，∴OB ＝OE ＝OD ＝2，∴点O到边AC的距离是2，故选：C．二、填空题17．如图，以O为圆心，适当长为半径画弧，交横轴于点M，交纵轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P．若点P到横轴和纵轴的距离分别为2a-1、a+2，则a=_____．【答案】3【解析】根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标的和为0，故2a-1=a+2，整理得：a =3，18．如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点O，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于_______.【答案】4【解析】解：过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC，∴OE＝OF，OE＝OG，∴OE＝OF＝OG＝2，∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，∴∠EOF＋∠EOG＝（180°−∠BAC）＋（180°−∠ACD）＝180°，∴E、O、G三点共线，∴AB与CD之间的距离＝OF＋OG＝2＋2＝4．故答案为：4．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N；再分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交BC于点D，若CD＝2，BD＝2.5，P为AB上一动点，则PD的最小值为_____．【答案】2【解析】解：由作法得AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离等于DC＝2，∴PD的最小值为2．故答案为2．20．Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，O到三边的距离r=______．【答案】1【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，∴S△ABC=12AC•BC=12(AC+BC+AB)•r，∴3×4=(3+4+5)×r，解得：r=1．故答案为：1．三、解答题21．按下列要求画图并填空：(1)过点B画出直线AC的垂线，交直线AC于点D，那么点B到直线AC的距离是线段的长.(2)用直尺和圆规作出∠ACB的平分线，若角平分线上有一点P到边AC的距离是3cm，通过你的测量，点P到边BC的距离是cm(保留作图痕迹).【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】(1)如图所示：点B到直线AC的距离是线段BE的长.(2) 如图所示：点P到边BC的距离是3cm.22．在△ABC中，∠B＝20°，∠ACB＝110°，AE平分∠BAC，AD⊥BD于点D，求∠EAD的度数．【答案】45°【解析】∵在△ABC中，∠B＝20°，∠ACB＝110°，∴∠BAC＝180°﹣20°﹣110°＝50°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝12∠BAC＝25°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝20°+25°＝45°．∵AD⊥BC，∴∠D ＝90°，∴∠EAD ＝90°﹣∠AED ＝90°﹣45°＝45°．23．如图，△ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于点E ，F 在AC 上且BE=FC,BD=FD ，求证：AD 是∠BAC 的平分线。

12.3 角的平分线的性质第1课时角的平分线的作法及性质【知识与技能】1.掌握角的平分线的作法.2.会利用角平分线的性质.【过程与方法】经历折纸、画图、文字与符号的翻译活动,培养学生的联想、探索、概括归纳的能力.【情感态度】通过实际操作与探究交流,激发学生学习数学的兴趣.【教学重点】角平分线的性质及其应用.【教学难点】灵活应用两个性质解决问题.一、情境导入，初步认识活动 1 学生预习教材,掌握角平分线的作法,小组间交流并动手实际画一画,总结出画角平分线的步骤.活动 2 让学生用准备好的白纸与剪刀,自己动手,剪一个角,把剪好的角对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,看到了什么?【教学说明】发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次,又会出现两条折痕,而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次,所以这种等长的折痕可以折出无数对.请同学们折出如图所示的折痕PD、PE,并研究这个图形中隐含了哪些等量关系,互相交流,形成结论.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知由上述活动及交流情况,教师总结以下新知识:1.角平分线上的点到角两边的距离相等.2.到角两边距离相等的点在角的平分线上.【教学说明】1.这两个性质的条件和结论正好相反,分别可以作为证线段相等和证角相等的依据.2.在用几何语言表述性质时,注意强调“点到直线的距离”中的垂直条件.例1 如图所示，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m ，这个市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1∶20000）?【教学说明】教师提出下列问题，引导学生理清思路：(1)集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？(2)比例尺为1∶20000是什么意思？(3)图形上，表示500m 的是个什么距离？例2 如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC,点P 、D 分别在BF 上，PM ⊥AD 于M,PN ⊥CD 于N ，求证：PM=PN.△ABD ≌△CBD 即可得证.【证明】∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD.在△ABD 和△CBD 中，,,,AB CB ABD CBD BD BD =⎧∠=∠=⎪⎨⎪⎩∴△ABD ≌△CBD(SAS).∴∠ADB=∠CDB.即射线DP 为∠ADC 的平分线.又∵PM ⊥AD,PN ⊥CD,∴PM=PN.例3如图，点P 是∠AOB 的平分线OM 上一点，作PD ⊥OB,PC ⊥OA,垂足分别是点D 、C ，点E 、F 分别在线段OD,OC 上，且∠PED=∠PFC,求证：OP平分∠EPF.【分析】欲证OP平分∠EPF，可设法证∠OPE=∠OPF,而要证∠OPE=∠OPF,需证∠OPD=∠OPC和∠DPE=∠CPF.【证明】∵OP平分∠AOB,PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分别是点D，C，∴PD=PC，∠ODP=∠OCP=90°.在Rt△ODP与Rt△OCP中，,, PD PC OP OP==⎧⎨⎩∴Rt△ODP≌Rt△OCP（HL）.∴OD=OC,∠OPD=∠OPC.在Rt△EDP与Rt△FCP中，∠PED=∠PFC,∠ODP=∠OCP=90°,∴90°-∠PED=90°-∠PFC,即∠DPE=∠CPF.∴∠OPD-∠DPE=∠OPC-∠CPF,∴∠OPE=∠OPF,即OP平分∠EPF.三、运用新知，深化理解______相等.2.如图，在△ABC中,∠A=80°,∠B与∠C的平分线相交于点I,则∠BIC=___.第2题图第3题图△ABC中,∠B=30°,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于D,且DE⊥AB于E,则∠BDE=_______=_______=_______.【教学说明】指导学生解答上述习题时，应适当启发学生对角平分线性质的灵活运用.°3.∠EDA∠CDA∠CAB四、师生互动，课堂小结1.角平分线的两个性质应牢记并应用于解题中.2.与角平分线有关的求证线段相等,角相等问题,我们可以直接用角平分线性质,不必再利用证三角形全等得到线段相等或角相等.1.布置作业：从教材“”中选取部分题.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，充分体现了数学学习的必然性，教学时要始终围绕问题展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，再要求学生开展活动——折纸，体验三角形角平分线交于一点的事实，并得出进一步的猜想和开展新活动——尺规作图，从中猜想结论并思考证明的方法，整堂课以学生操作、探究、合作贯穿始终，并充分给学生思考留下足够的空间与时间，形成动手、合作、概括与解决问题的意识与能力.。

专题12.3角平分线的性质（讲练）一、知识点1、角的平分线的作法：课本第19页；2、角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；3、证明一个几何中的命题，一般步骤： ①明确命题中的已知和求证；②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； ③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程；4、性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上；（利用三角形全等来解释） 三角形的三条角平分线相交于一点，该点为内心；二、标准例题：例1：如图，OC 为AOB ∠的平分线，CM OB ⊥于M ，5OC =，4OM =，则点C 到射线OA 的距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】解：如图，过C 作CF ⊥AO 于F∵OC 为∠AOB 的平分线，CM ⊥OB ， ∴CM=CF ， ∵OC=5，OM=4，∴CM=3， ∴CF=3， 故选：B ．总结：此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．例2：如图，在三角形ABC 中，90C =∠，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，且2BD CD =，6BC cm =，则点D 到AB 的距离为（ ）A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm【答案】C【解析】如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵BD ：DC=2：1，BC=6， ∴DC=112+×6=2， ∵AD 平分∠BAC ，∠C=90∘， ∴DE=DC=2． 故选：C ．总结：本题考查角平分线的性质和点到直线的距离，解题的关键是掌握角平分线的性质.例3：如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．52【答案】C【解析】解：由作法得AG 平分BAC ∠，G ∴点到AC 的距离等于BG 的长，即G 点到AC 的距离为1，所以ACG ∆的面积14122=⨯⨯=． 故选：C ．总结：本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了交平分线的性质． 例4：点D ，E 分别在△ABC 的边AC ，BD 上，BD ，CE 交于点F ，连接AF ，∠FAE ＝∠FAD ，FE ＝FD ．（1）如图1，若∠AEF ＝∠ADF ，求证：AE ＝AD ；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF ，FB 平分∠ABC ，求∠BAC 的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G 在BE 上，∠CFG ＝∠AFB 若AG ＝6，△ABC 的周长为20，求BC 长．【答案】（1）见解析;（2）60BAC ∠=︒;（3）7BC =.【解析】（1）∵FAE FAD ∠=∠，AEF ADF ∠=∠，FE FD =. ∴AEF ADF ∆≅∆，∴AE AD =.（2）过F 点分别作AB ，BC ，AC 边上的高，FP ，FQ ，FN ，点P ，Q ，N 为垂足. ∵AF ，BF 分别平分BAC ∠和ABC ∠，∴FP FQ =，FP FN =， ∴FQ FN =，且FN AC ⊥，FQ BC ⊥，∴CF 平分ACB ∠. ∴ACE BCE ∠=∠.∵2BEC BAC ACE BAF ACE ∠=∠+∠=∠+∠， ∴2EFD ABF BEC ABF BAF ACE ∠=∠+∠=∠+∠+∠1180902BAF BAF =⨯︒+∠=︒+∠. ∵FE FD =，∴Rt PEF Rt NDF ∆≅∆，∴PEF FDN ∠=∠，∴180PEF ADF ∠+∠=︒， ∴()42180BAC EFD PEF ADF ∠+∠=-⨯︒-∠-∠360180180=︒-︒=︒. ∴90180BAF BAC ︒+∠+∠=︒且2BAC BAF ∠=∠， ∴60BAC ∠=︒.（3）在BC 上取点R ，使CR CA =，∵CF CF =，FCA FCR ∠=∠，∴CAF CRF ∆≅∆. ∴30CRF CAF ∠=∠=︒，180150BRF CRF ∠=︒-∠=︒. ∵CFG AFB ∠=∠，∴CFG BFG AFB BFG ∠-∠=∠-∠， ∴18060120AFG BFC ∠=∠=︒-︒=︒，∵1302BAF BAC ∠=∠=︒， ∴30AGF ∠=︒，180150BGF AGF ∠=︒-∠=︒. ∴BGF BRF ∠=∠.∵GBF RBF ∠=∠，BF BF =，∴BGF BRF ∆≅∆. ∴BG BR =.∵AC AB BC BG AG BC AC ++=+++6220BR AG BC CR BC =+++=+=， ∴7BC =.总结：本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，正确作出辅助性、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．三、练习1．如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC 的大小为( )A ．135°B ．120°C ．90°D ．60°【答案】B【解析】∵O 到三边的距离相等 ∴BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°−∠A) ∵∠A=60°∴∠OBC+∠OCB=60°∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−60°=120° 故选B.2．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地ABC 上修建一个度假村。

2024秋季八年级数学上册第十二章全等三角形《角的平分线的性质：探究角的平分线的性质》教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解并掌握角的平分线的定义，通过探究活动发现并理解角的平分线的性质，即角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

2.过程与方法：通过动手操作、观察分析、合作交流等数学活动，培养学生的探究能力、空间想象能力和逻辑推理能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的好奇心和探索欲，培养严谨的科学态度和合作学习的精神。

教学重点•角的平分线的定义及性质的探究过程。

•理解并记忆角的平分线的性质。

教学难点•在探究过程中，如何引导学生发现并理解角的平分线的性质。

•培养学生从具体到抽象的思维能力。

教学资源•多媒体课件（包含角的平分线定义及性质的动画演示）•几何作图工具（直尺、圆规、量角器等）•学生探究任务单•小组讨论题卡教学方法•探究发现法：通过设计探究活动，引导学生自主发现角的平分线的性质。

•直观演示法：利用多媒体展示角的平分线性质的动态变化过程。

•合作交流法：组织小组讨论，促进学生之间的思维碰撞和资源共享。

导入新课（5分钟）•情境创设：展示一个实际生活中的例子（如：平分蛋糕的刀痕、平分角度的镜子等），引导学生思考如何用数学语言描述这些现象。

•引入概念：提出“角的平分线”的概念，并简要介绍其在实际生活中的应用。

新课教学（30分钟）1.探究准备（5分钟）•分发探究任务单，明确探究目标和步骤。

•学生准备几何作图工具，准备进行探究活动。

2.探究活动（15分钟）•步骤一：学生根据任务单要求，在纸上画出一个角，并用直尺和圆规作出这个角的平分线。

•步骤二：在角平分线上任取一点，分别向角的两边作垂线，并测量这两条垂线的长度。

•步骤三：观察并记录测量结果，尝试发现其中的规律。

•小组讨论：分享各自的发现，讨论并尝试解释角的平分线的性质。

3.性质总结（5分钟）•教师引导学生总结角的平分线的性质，即角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识清单：1.全等图形与全等三角形：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点；全等三角形中互相重合的边叫做对应边；全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定公理：⑴边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等.（简记为“边边边”或“SSS”）⑵边角边公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（简记为“边角边”或“SAS”）⑶角边角公理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.（简记为“角边角”或“ASA”）⑷角角边推论：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（简记为“角角边”或“AAS”）⑸斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（简记为“斜边、直角边”或“HL”）4.角平分线：把一个角平均分成两个等角的射线称为角的平分线.⑴角平分线的画法：a.以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，与角两边交于两个点；b.分别以两个交点为圆心，大于两交点连线段的1/2的相同长度为半径画弧，在角内交于一点；c.过角的顶点和b中的交点做射线.射线即为角的平分线.⑵角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，三条角平分线的交点称为三角形的内心）5.证明的基本步骤：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.。

章节测试题1.【题文】如图所示，PA=PB，∠1+∠2=180°.求证：OP平分∠AOB．【答案】见解答．【分析】过P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，证△PEA≌△PFB，得出PE=PF，再根据角平分线判定即可得出．【解答】解：过点P作PE⊥AO，PF⊥BO，垂足分别为E，F，则∠AEP=∠BFP=90°．∵∠1+∠2=180°，∠2+∠PBF=180°，∴∠1=∠PBF．在△APE与△BPF中，∠1=∠PBF，∠AEP=∠BFP，PA=PB，∴△APE≌△BPF，∴PE=PF．∴点P在∠AOB的平分线上，即OP平分∠AOB．2.【题文】如图所示，∠1=∠2，AE⊥OB于点E，BD⊥OA于点D，AE与BD相交于点C.求证：AC=BC．【答案】见解答．【分析】先根据角平分线的性质可以得到CD=CE，然后再证明Rt△ACD≌Rt△BCE 便可得答案．【解答】解：∵∠1=∠2，BD⊥OA，AE⊥OB，∴CD=CE．∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠ADC=∠BEC=90°．在△ADC与△BEC中，∠ADC=∠BEC，CD=CE，∠3=∠4．∴△ADC≌△BEC．∴AC=BC．3.【题文】三角形中的角平分线的性质与一个角的平分线性质相同．如题：如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且BD=CD，DE，DF分别垂直于AB，AC，垂足为E，F.请你结合条件认真研究，然后写出三个正确的结论．【答案】如：（1）△BDE≌△CDF，（2）BE=CF，（3）∠B=∠C．【分析】此题答案不唯一，如先利用角平分线的性质，可得DE=DF；在Rt△BDE 和Rt△CDF中，再结合已知条件，可证出Rt△BDE≌Rt△CDF，那么就有BE=CF，∠B=∠C．【解答】解：答案不唯一，如：（1）△BDE≌△CDF；（2）BE=CF；（3）∠B=∠C．证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，又∵BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴BE=CF，∠B=∠C．4.【题文】如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=90，AB=18，BC=12，求DE的长．【答案】6【分析】作BC边上的垂线，DE长等于ABC，BC边的高．【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，∴S△ABC=AB•DE+BC•DF=90，即×18•DE+×12•DE=90，解得DE=6．5.【题文】如图，△ABC中，∠C=90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F 在AC上，且BE=CF，求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．【答案】见解答．【分析】（1）利用角平分线的性质．（2）证明△BDE≌△FDC．【解答】证明：（1）∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DC，（2）在△BDE和△FDC中，BE=CF，∠C=∠DEB=90°，DE=DC，∴△BDE≌△FDC（SAS），∴BD=DF．6.【题文】如图，∠AOB=30度，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB 于D，PE垂直OA于E，若OD=4cm，求PE的长．【答案】2【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质．【解答】如图，过P作PF⊥OB于F，∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=15°，∵PD∥OA，∴∠DPO=∠AOP=15°，∴PD=OD=4cm，∵∠AOB=30°，PD∥OA，∴∠BDP=30°，∴在Rt△PDF中，PF=PD=2cm，∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE=PF，∴PE=PF=2cm．7.【题文】如图，在∠AOB内找一点P，使得点P到∠AOB的两边距离相等，且使点P到点C的距离最短（尺规作图，请保留作图痕迹）．【答案】见解答．【分析】先利用角平分线的性质求作满足到∠AOB的两边距离相等的点所在直线，再根据直线外一点到直线的垂线段距离最短，求出满足条件的点P．【解答】如图，以O为圆心，单位长度为半径画圆弧，交OA，OB分别于两点，再以圆弧与OA，OB两个交点为圆心，相同单位长度为半径画圆弧，两圆弧相交于一点，连接O与圆弧的交点，即为∠AOB的角平分线过点C作角平分线的垂线，垂足为点P，即P为所求作点．8.【题文】如图所示，在△ABC中，∠A=90°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，AD=6cm，BC=15cm，求△BDC的面积．【答案】△BDC的面积=45cm2．【分析】根据角平分线的性质得到DE=AD=6cm，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】∵BD平分∠ABC，∠A=90°，DE⊥BC，∴DE=AD=6cm，∴△BDC的面积=×BC×DE=×15×6=45cm2．9.【题文】如图，O为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，OA，OB为海岸线，一轮船从码头开出，计划沿∠AOB的平分线航行，航行途中，测得轮船与灯塔A，B的距离相等，此时轮船有没有偏离航线?画出图形并说明理由．【答案】没有偏离航线【分析】只要证明轮船与O点的连线平分∠AOB就说明轮船没有偏离航线，也就是证明∠AOP=∠BOP，证角相等，常常通过把角放到两个三角形中，利用题目条件证明这两个三角形全等，从而得出对应角相等．【解答】此时轮船没有偏离航线．理由：由题意知：OA=OB，OP=OP，PA=PB∴△OAP≌△OBP（SSS）∴∠AOP=∠BOP．∴此时轮船没有偏离航线．10.【题文】已知，如图，AB=AC，DE=DF，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DB=DC．【答案】见解答【分析】由角平分线的判定得出∠EAD=∠FAD，再由边角边证得△ACD≌△ABD，进而得到DC=DB．【解答】证明：连接AD，∵DE=DF，DE⊥AE，DF⊥AF，∴∠EAD=∠FAD，，在△ACD和△ABD中，，∴△ACD≌△ABD（SAS），∴DC=DB．11.【题文】已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°．（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D；作AB的中点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹）（2）连接DE，求证：△ADE≌△BDE．【答案】（1）作图见解答；（2）证明见解答．【分析】（1）①以B为圆心，任意长为半径画弧，交AB、BC于F、N，再以F、N为圆心，大于FN长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M作射线，交AC 于D，线段BD就是∠B的平分线．②分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于X、Y，过X、Y作直线与AB交于点E，点E就是AB的中点．（2）首先根据角平分线的性质可得∠ABD的度数，从而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，再加上条件AE=BE，即可利用SAS证明△ADE≌△BDE．【解答】解：（1）作图如下：（2）证明：∵∠ABD＝×60°＝30°，∠A＝30°，∴∠ABD＝∠A．∴AD＝BD．又∵AE＝BE，∴△ADE≌△BDE（SAS）．12.【题文】如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD是∠BAC的平分线．【答案】证明见解答．【分析】根据BD=DC得出∠DBC=∠DCB，进而利用全等三角形的判定和性质证明即可．【解答】∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∵∠1=∠2，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠BAD=∠CAD，∴AD是∠BAC的平分线．13.【题文】如图，在△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC于点E，若AD=3，BC=4，求△BDC的面积．【答案】6．【分析】根据角平分线的性质定理可得DE=AD=3，根据三角形的面积公式即可求解．【解答】∵∠A=90°∴DA⊥AB又BD是角平分线，且DE⊥BC于点E∴DE=AD=3，∴易得△BDC的面积为6．14.【答题】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列结论中错误的是（）A. DE=DFB. AD上任意一点到E，F两点的距离相等C. AE=AFD. BD=DC【答案】D【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】A.正确，角平分线上的点到角的两边的距离相等；B.正确，角平分线上的点到角的两边的距离相等；C.正确，∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD=AD，DE=DF，∴△AED≌△AFD（HL），∴AE=AF；D错误．选D．15.【答题】如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，AE=AF，BE与CF交于点D，则：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（）A. ①B. ②C. ①②D. ①②③【答案】D【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．【解答】∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BEA=∠CFA＝90°，在△ABE与△ACF中，∵，∴△ABE≌△ACF（AAS）①正确，∴∠B=∠C，AB=AC（全等三角形对应角和对应边相等），∴BF=CE，在△BDF与△CDE中，∵，∴△BDF≌△CDE（AAS）②正确，∴DF=DE（全等三角形对应边相等），∴点D在∠BAC的平分线上（到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）③正确；故①②③都正确．选D.16.【答题】如图，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，∠CAP=∠APQ，PR=PS，下面的结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】A【分析】连接AP，由已知条件利用角平行线的判定可得∠1=∠2，由三角形全等的判定得△APR≌△APS，得AS=AR，由已知可得∠2=∠3，得到∠1=∠3，得QP∥AR，答案可得．【解答】连接AP，∵PR=PS，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，∴AP是∠BAC的平分线，∠1=∠2，∴△APR≌△APS，∴AS=AR，又AQ=PQ，∴∠2=∠3，又∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴QP∥AR，BC只是过点P，没有办法证明△BRP≌△CSP，③不成立．选A．17.【答题】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=7cm，则点D到AB的距离是______．【答案】3【分析】利用角平分线的性质作答即可．【解答】解：∵BC=10，BD=7，∴CD=3．由角平分线的性质，得点D到AB的距离等于CD=3．故答案为3．18.【答题】如图所示，在直线l上找一点，使这点到∠AOB的两边OA，OB的距离相等，则这个点是______．【答案】∠AOB的平分线与直线l的交点【分析】本题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等．【解答】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，∴取角平分线与直线l的交点．故答案为∠AOB的平分线与直线l的交点．19.【答题】如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=20cm，DB=17cm，则D点到AB的距离是______ cm．【答案】3【分析】利用角平分线的性质作答即可．【解答】∵BC=20cm，DB=17cm，∴DC=BC-DB=20-17=3（cm），∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴DE=DC=3（cm）．故答案为3．20.【答题】如图所示，已知O为∠BAC的平分线与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，若OE＝2，则点O到AB的距离与点O到CD的距离的和是______．【答案】4【分析】利用角平分线的性质作答即可．【解答】如图作OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，∵O为∠BAC的平分线与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC，∴OF=OE=2，OG=OE=2，则点O到AB的距离与点O到CD的距离的和为OF+OG=2+2=4．故答案为4．。

人教版八年级数学上册考点与题型归纳第十二章全等三角形12.3 三角的平分线性质一：考点归纳考点一、角平分线的定义把一个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线。

考点二、三角的平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等）考点三、三角的平分线判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

考点四、角平分线的尺规作图已知： ∠AOB ,求作： ∠AOB 的角平分线作法：（1）以顶点 O 为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角两边于点 M 、N ；（2）分别以点 M 、N 为圆心，以大于21 MN 的长度为半径画弧，两弧交与点 P ；（3）连接顶点 O 和点 P ，则射线即 OP 为∠AOB 的角平分线。

如图所示：二：【题型归纳】题型一：角平分线的判定1．在锐角三角形ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF，求证：AD是∠BAC 的平分线；题型二：、三角的平分线性质2．已知：如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB，∠1＝∠2，BD＝FD．求证：BE＝FC．考点三、角平分线的尺规作图3．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°．（1）作∠B的平分线BM，交AC于点M(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；（2）若CM=5，AB=12，求△ABM的面积．三：基础巩固和培优一、单选题1．如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且120ADC =∠︒，则MAB ∠的度数为（ ）A ．30B ．35︒C ．45︒D ．60︒2．如图，在ABC ∆中，50,60ABC ACB ∠=︒∠=︒，点E 在BC 的延长线上，ABC ∠的平分线BD 与ACE ∠的平分线CD 相交于点D ，连接AD ，下列结论中不正确的是（ ）A ．70BAC ∠=︒B ．35BDC ∠=︒ C ．70ADC ∠=︒D ．55DAC ∠=︒3．如图，在△OAB 和△OCD 中，OA=OB ，OC=OD ，OA ＞OC ，∠AOB=∠COD=40°，连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC=BD ；②∠AMB=40°；③OM 平分∠BOC ；④MO 平分∠BMC ．其中正确的是（ ）A ．①②④B ．②③④C ．①③④D ．①②③④4．如图，已知AB=AC ，BE ⊥AC 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，BE 与CF 交于点D ，则下列结论中错误的是（ ）A ．△ABE ≌△ACFB ．△BDF ≌△CDEC ．点D 是BE 的中点 D ．点D 在∠BAC 的平分线上5．如图，AB=AD ，AC=AE ，∠DAB=∠CAE=50°，以下四个结论：①△ADC ≌△ABE ；②CD=BE ；③∠DOB=50°；④点A 在∠DOE 的平分线上，其中结论正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，在ABC 中， ∠ C=90 ° ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，BC ＝7，DE ＝3．则BD 的长（ ）A ．4B ．5C ．6D ．107．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AO ，BO 分别平分BAC ∠和ABC ∠，若10AB =，8AC =，6BC =，则点O 到AB 的距离为（ ）A．2B．1.5C．1D．0.58．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC，连接AB．若OA＝5，AB＝6，则点B到AC的距离为（）A．4.8B．4C．2.4D．59．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB=4，AC=3，S△ACD=3，则S△ABD=（）A．3B．4C．9D．1210．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为( )A ．40°B ．55°C ．65°D ．75°二、填空题 11．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为点F ，DE=DG ,若△ADG 和△AED 的面积分别为50和30，则△EDF 的面积为_________．12．如图，∠B =90°，AD 平分∠BAC ，DB =3，则点D 到AC 的距离是________．13．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，BC 10cm =，6BD cm =，则点D 到AB 的距离是___________．14．如图，O 是△ABC 内一点，且O 到三边AB ，BC ，CA 的距离OF ＝OD ＝OE ，若∠BAC ＝80°，则∠BOC的度数为_________．15．如图，ABC 中，A 60∠=︒，AB>AC ，两内角的平分线CD 、BE 交于点O ，OF 平分BOC ∠交BC 于F ，（1）BOC 120∠=︒；（2）连AO ，则AO 平分BAC ∠；（3）A 、O 、F 三点在同一直线上；（4）OD=OE ；（5）BD+CE=BC ． 其中正确的结论是__________．（填序号）三、解答题16．已知如图，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE ，CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，求证：AE ＝DE17．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB．（2）求证AM⊥DM．18．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．求证：（1）CF＝EB；（2）AB＝AF＋2EB．19．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，动点E以2cm/s 的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为．（1）求证：在运动过程中，不管取何值，都有S△AED＝2S△DGC；（2）当取何值时，△DFE与△DMG全等；（3）在（2）的前提下，若119126BDDC=，228AEDS cm∆=，求S△BFD．参考答案题型归纳1．证明：∵D是BC 的中点，∴BD=DC，∵DE⊥AB于E ，DF⊥AC于F ，∴△BED与△CFD都是直角三角形，又BE=CF ，∴RT△BED≌RT△CFD（HL ），∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的判定定理）．2．解：∵∠1＝∠2，∴AD 是BAC ∠的角平分线，∵∠C ＝90°，DE ⊥AB ，∴DE CD =，在Rt BDE △和Rt FDC 中，BD FD DE DC=⎧⎨=⎩， ∴Rt BDE △≌Rt FDC ，∴BE FC =．3．解：（1）∠B 的平分线BM 如图所示：∵BM 平分∠ABC ，∠C=90°，∴MC=MH ，∵CM=5，AB=12，∴MH=5， ∴111253022ABM S AB MH =⋅=⨯⨯=．三：基础巩固和培优1．A解：作MN AD ⊥于N ，90B C ∠=∠=︒，//AB CD ∴，又120ADC ∠=︒，18060DAB ADC ∴∠=︒-∠=︒， DM 平分ADC ∠，MN AD ⊥，MC CD ⊥，MN MC ∴=， M 是BC 的中点，MC MB ∴=，MN MB ∴=，又MN AD ⊥，MB AB ⊥，1302MAB DAB ∴∠=∠=︒， 故选：A ．2．C解：A 选项:在ABC ∆中，50,60ABC ACB ︒︒∠=∠=，18070BAC ABC ACB ︒︒∴∠=-∠-∠=，故A 选项不符合题意;B 选项:60ACB ︒∠=，18060120ACE ︒︒︒∴∠=-=， CD 平分ACE ∠，BD 平分ABC ∠，1602DCE ACE ︒∴∠=∠=，1252DBC ABC ︒∠=∠= 602535BDC DCE DBC ︒︒︒∴∠=∠-∠=-=故B 选项不符合题意;C 选项:在ADC ∆中，1801805560ADC DAC ACD ︒︒︒︒∠=-∠-∠=--故C 选项符合题意;D 选项:,BD CD 分别是ABC ∠和ACE ∠的平分线D ∴到AB AC BC ，，的距离相等，AD ∴是ABC ∆的外角平分线，118070552()DAC ︒︒︒∴∠=⨯-=， 故D 选项不符合题意．故选C ．3．A【详解】∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD ，即∠AOC=∠BOD ，在△AOC 和△BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴∠OCA=∠ODB ，∠OAC=∠OBD ，AC=BD ，①正确；由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD ，∴∠AMB=∠AOB=40°，②正确；作OG ⊥MC 于G ，OH ⊥MB 于H ，如图2所示：则∠OGC=∠OHD=90°，在△OCG和△ODH中，90OGC OHDOCA ODBOC OD∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG=OH，∴MO平分∠BMC，④正确；∵OA＞OC，∴∠OAC<∠OCA，∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠OBD<∠OCA，∵MO平分∠BMC，∴∠OMC=∠OMB，∵∠OMC+∠OCA +∠COM =∠OMB+∠OBD+∠BOM=180︒，∴∠COM<∠BOM，∴MO并不平分∠BOC，③错误；综上，正确的是：①②④；故选：A．4．C解：A、∵AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A=∠A∴△ABE≌△ACF（AAS），正确；B∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴△BDF≌△CDE（AAS），正确；C、无法判定，错误；D、∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴DF=DE故点D在∠BAC的平分线上，正确；故选：C．5．D【详解】∵∠DAB=∠CAE∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC∴∠DAC=∠EAB∵AB=AD，AC=AE∴△ADC≌△ABE∴CD=BE，故①②正确；∵△ADC≌△ABE∴∠ADC =∠ABE设AB与CD交于G点，∵∠AGD =∠BGC∴∠DOB=∠DAB=50°,故③正确；过点A作AF⊥CD于F点，过点A作AH⊥BE于H点，则AF、AH分别是△ADC与△ABE边上的高∵△ADC≌△ABE∴AF=AH∴点A在∠DOE的平分线上，④正确故选D．6．A【详解】解：∵∠ C=90 °，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ， ∴3DE CD ==，∴734BD BC CD =-=-=，故选：A ．7．A解：过点O 分别作AC 、BC 、AB 的垂线分别交于点F 、D 、E ； AO 平分BAC ∠，CAO BAO ∴∠=∠OF AC ⊥，OE AB ⊥OE OF ∴= BO 平分ABC ∠，ABO CBO ∴∠=∠，OD BC ⊥，OE AB ⊥OD OE ∴=OD OE OF ∴==，ABC ACO BCO ABO S S S S ∆∆∆∆=++111222AC OE BC OE AB OE =⋅+⋅+⋅1()2OE AC BC AB =⋅++，8AC =，6BC =，10AB =，1(8610)2ABC S OE ∆∴=⨯++12OE =⋅，90C ∠=︒，11862422ABC S AC BC ∆∴=⋅=⨯⨯=1224OE ∴⋅=，2OE ∴=，∴点O 到AB 的距离为2故选A ．8．A解：由题意可得，OC 为∠MON 的角平分线，∵OA ＝OB ，OC 平分∠AOB ，∴OC⊥AB，设OC与AB交于点D，作BE⊥AC于点E，∵AB＝6，OA＝5，AC＝OA，OC⊥AB，∴AC＝5，∠ADC＝90°，AD＝3，∴CD＝4，∵•2AB CD＝•2AC BE，∴624⨯＝52BE⨯，解得，BE＝4.8，故选：A．9．B解：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD是∠BAC的平分线，∴DE=DF∴S△ABD：S△ACD=12AB•DE：12AC•DF=AB：AC=4：3∵S△ACD=3∴S△ABD=4．故选：B．10．C【解析】试题分析：由作图方法可得AG是∠CAB的角平分线，∵∠CAB=50°，∴∠CAD=∠CAB=25°，∵∠C=90°，∴∠CDA=90°﹣25°=65°，故选C．二：填空题11．10解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中DE DG DF DH⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S△EDF＝S△GDH，设面积为S，同理Rt △ADF ≌Rt △ADH ，∴S △ADF ＝S △ADH ，即30＋S ＝50−S ，解得S ＝10．12．3.解：如图，过D 作DH AC ⊥于H ， AD 平分90BAC B ∠∠=︒，，DH DB ∴=，3DB =，3DH ∴=，即D 到AC 的距离是3.故答案为：3.13．4cm解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵∠C=90°，AD 平分∠CAB ，∴DE=CD ，∵BC=10cm ，BD=6cm ，∴CD=BC-BD=10-6=4cm ，∴DE=4cm ．故答案为：4cm ．14．130°解：∵O 到三边AB 、BC 、CA 的距离OF=OD=OE ，∴点O 是三角形三条角平分线的交点，∵∠BAC=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ）=12×100°=50°， 在△OBC 中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-50°=130°．故答案为：130°．15．①②④⑤．解：∵∠A=60°，∴18060120ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，∴ ()1602ABC ACB ∠+∠=︒， ∵BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ， ∴1122EBC ABC DCB ACB ∠=∠∠=∠，， ∴()1602EBC DCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=︒， ∴()180120BOC EBC DCB ∠=︒-∠+∠=︒，∴①正确；过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，∴OM=ON，ON=OQ，∴OQ=OM，∴O在∠A平分线上，∴②正确；A O F三点共线，如图，若,,，，∴∠=∠+∠∠=∠+∠BOF BAO ABO COF OAC OCA，，BOF COF BAO CAO∠=∠∠=∠∴∠=∠，ABO ACO∴∠=∠，ABC ACB∵AB＞AC，∴∠ABC＜∠ACB，所以：A、O、F不在同一直线上，∴③错误；∵120BOC ∠=︒，∴120DOE ∠=︒，OM ⊥AB ，OQ ⊥AC ，ON ⊥BC ，∴∠AMO=∠AQO=90°，∵∠A=60°，∴∠MOQ=120°，∴∠DOM=∠EOQ ，在OMD 和OQE 中，MOD EOQOMD OQE OM ON∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴OMD OQE ≌（AAS ），∴OE=OD ，∴④正确；在Rt BNO 与Rt BMO 中，BO BOON OM =⎧⎨=⎩∴()Rt BNO Rt BMO HL ≌，BN BM BD DM ∴==+同理，Rt CNO Rt CQO ≌，CN CQ CE EQ∴==-，∴BN CN BD DM CE EQ+=++-，∵DM=EQ，∴BC=BD+CE，∴⑤正确；故答案为：①②④⑤．16证明：如图，过点P作PH⊥AB于H，∵BP平分∠ABC，PD⊥BC，∴PD＝PH，在Rt△BDP和Rt△BHP中BP BP PD PH⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△BDP≌Rt△BHP（HL），∴BD＝BH，∵BF＋BE＝2BD，∴BD−BF＝BE−BD，即BH−BF＝BE−BD，∴FH＝DE，在△ODE 和△PHF 中FH DE PDE PHF PD PH ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ODE ≌△PHF （SAS ），∴∠BEP ＝∠PFH ，∵∠BFP ＋∠PFH ＝180°，∴∠BFP ＋∠BEP ＝180°．17.证明：过点E 分别作EG ⊥BC 于G ，EH ⊥CD 于H ，EF ⊥BA 交BA 延长线于F ， 则∠AFE=∠DHE=90°，∵BE ，CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，EG ⊥BC ， EH ⊥CD ，EF ⊥BA∴EF=EG ，EG=EH ，∴EF=EH ，∵AB ∥CD ，∴∠FAE=∠D ，在△AFE 和△DHE 中，AFE DHE FAE DEF EH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AFE ≌△DHE （AAS ），∴AE=DE ．18．（1）证明见解析；（2）证明见解析．（1）证明：如图：过M作ME⊥AD于E∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD∴MC=ME∵MB=MC∴MB=ME∵∠B＝90°，ME⊥AD∴AM平分∠DAB；（2）证明：∵∠B＝∠C＝90°∴DC//AB∴∠BAD+ ∠ADC=180°∵DM平分∠ADC，AM平分∠DAB∴∠DAM=12∠BAD,∠ADM=12∠ADC,∴∠ADM+∠MAD=12（∠BAD+ ∠ADC）=90°∴∠AMD=90°，即AM⊥DM．19证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC ，在Rt △CFD 和Rt △EBD 中，,DF BD CD ED =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CFD ≌Rt △EBD （HL ），∴CF=EB ；（2）在△ACD 和△AED 中，90,,CAD EAD ACD AED AD AD ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴AC=AE ，∴AB=AE+EB=AC+EB=AF+FC+EB=AF+2EB ．20.（1）证明：∵∠BAD ＝∠DAC ，DF ⊥AB ，DM ⊥AC ，∴DF ＝DM ，∵S △AED ＝12AE •DF ，S △DGC ＝12CG •DM ， ∴ADE DGCS S ∆∆＝AE CG ， ∵点E 以2cm /s 的速度从A 点向F 点运动，动点G 以1cm /s 的速度从C 点向A 点运动， ∴AE ＝2tcm ，CG ＝tcm ， ∴AE CG＝2， 即ADE DGCS S ∆∆＝2， ∴在运动过程中，不管取何值，都有S △AED ＝2S △DGC ．（2）解：①当0＜t ＜4时，点G 在线段CM 上，点E 在线段AF 上．EF＝10﹣2t，MG＝4﹣t∴10﹣2t＝4﹣t，∴t＝6（不合题意，舍去）；②当4＜t＜5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上．EF＝10﹣2t，MG＝t﹣4，∴10﹣2t＝t﹣4，∴t＝143；综上，t＝143．综上所述当t＝143时，△DFE与△DMG全等．（3）解：∵t＝143，∴AE＝2t＝283（cm），∵DF＝DM，∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD＝119：126，∵AC＝14cm，∴AB＝1199（cm），∴BF＝AB﹣AF＝1199﹣10＝299（cm），∵S△ADE：S△BDF＝AE：BF＝283：299，S△AED＝28cm2，∴S△BDF＝293（cm2）．。

第十二章全等三角形12。

3角的平分线的性质课时2 角的平分线的判定【知识与技能】掌握角的平分线的判定，能灵活运用角的平分线的判定解题.【过程与方法】通过学生自主探索、操作、领会和感悟角的平分线的判定，并能体会感性认识与理性认识之间的联系与区别.【情感态度与价值观】通过认识的升华,使学生进一步理解数学，也使学生关注数学、热爱数学.角的平分线的判定.灵活运用角的平分线的判定解题.多媒体课件。

教师出示教材P49思考:如图12—3—4,要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500 m。

这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1∶20 000）？学生先自主思考，教师对学生的回答进行简单的点评,再将这个问题作为本节课开始的一个悬念.探究1:角的平分线的判定教师提出问题：我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.那么，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢?探究新知让学生以四人为一个小组合作学习，动手操作、探究,获得问题的结论.从实践中可知:角的平分线上的点到角的两边的距离相等,将条件和结论互换:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.教师指出条件和结论，学生叙述证明过程，教师板演:已知：如图12-3—5，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E,PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上。

证明：经过点P作射线OC，如图12-3—5.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。

∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL)，∴∠DOP=∠EOP，即∠AOC=∠BOC，∴OC是∠AOB的平分线。

∴点P在∠AOB的平分线上.然后教师解决情境导入中的那个问题，让学生根据上面的结论,确定这个集贸市场应该建于何处.学生分组讨论后回答。

接着师生共同探究角的平分线的性质与判定的区别与联系：角的平分线的性质说明了角的平分线上的点的纯粹性,即只要是角的平分线上的点，它到此角的两边一定等距离,而无一例外；角的平分线的判定反映了角的平分线的完备性,即只要是到角的两边距离相等的点，都一定在角的平分线上，而绝不会漏掉一个.在实际应用中,前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等(角的平分线）。