2011工科数分第一学期期末试题(A)

北 京 交 通 大 学2011-2012学年第一学期《工科数学分析》I 、《数学分析A 》I 期末考试试卷（A ）考试方式： 闭卷 任课教师：学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共七道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一、填空题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）：1．=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→xx x 211lim 2e .2. 设)(x f 在a x =点可导,且2)(='a f ,则=--→ha f h a f h )()(lim2-.3. 设)()(x x f e f e y --=，其中函数)(x f 有连续的导函数，则=dy ()()()()''f x x x x ef x f e e f e dx ----⎡⎤-+⎣⎦. 4. 要使函数0(0),ln(0,53cos 1)(32>⎪⎩⎪⎨⎧≤->+-=a x x a x x x xx f 为常数)连续，则=a 5. 设2sin x 为)(x f 的一个原函数，则=⎰dx x f x )(2222sin cos .x x x C ++6.⎰-=++222cos 1cos 1ππdx x xx . 7．设⎰-=x dt t y sin 03)1(,则=dxdy()31sin cos x x -. 8. 曲线16213123+++=x x x y 在点)1,0(处的切线方程是16+=x y .9.=+⎰∞+222xdx. 10. 双纽线θρ2cos 42=所围图形的面积A 的定积分表达式为A ＝48cos 2d πθθ⎰.二、求解下列各题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）：1. 求极限⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x tan 11lim 20.解：20203022022011lim tan tan lim tan tan lim sec 1lim 3tan lim 313x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→⎛⎫- ⎪⎝⎭-=-=-===2. 设xy xe y +=12，求=x dxdy .解：2xy xy dy dy e xe y x dx dx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以012x dy dx ==。

,考试作弊将带来严重后果！期末考试《工科数学分析》试卷A1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭卷；5分，共10分） （1）)(lim 22x x x x x --++∞→ （2）xx x ln 1)(cot lim +→（10分）设1lim )(2212+++=-∞→n n n x bxax x x f 为连续函数, 试确定常数a 和b .（10分）设参数方程⎩⎨⎧=+=ty t x arctan )1ln(2确定了函数0)(>=x f y , 求x yd d 与22d d xy, 并判定函数)(x f 的单调性及凸性. （10分）造一个容积为V 的圆柱形无盖水池, 问高h 及底半径r为多少时, 可使其表面积最小? （10分）设0>x 时, 方程112=+xkx 有且仅有一个解, 求k 的取值范围.（10分）计算下列积分（每小题5分，共10分）（1）⎰+x x x )1(d 3 （2）⎰-+226d )cos (sin ππx x x x七．（10分）设⎰+∞-=0d e x x I x n n (n 为正整数), 试建立数列}{n I 的递推公式, 并求n I 的值.八．（10分）求抛物线px y 22=在点),2(p p 处法线与抛物线围成的图形的面积.九.（10分）设函数)(x f 在),(+∞-∞上有二阶导数且0)(≥''x f , 如果A xx f x =→)(lim, 试证明对任意),(+∞-∞∈x , 有Ax x f ≥)(. 十．（10分）设01>x , )(211nn n x ax x +=+, 证明数列}{n x 收敛并求其极限.《工科数学分析》试卷A 答案一. （1）解：12lim)(lim 2222=-++=--++∞→+∞→xx x x xx x x x x x（2）解：)1)1sin (cot 1lim exp()ln cot ln lim exp()(cot lim 200ln 10xx x xx x x x x x -==+++→→→ e1)1exp()cos sin lim exp(0=-=-=+→x x x x二. 解: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=-+-=++<+=1|| ,/11 ,2/)1(1,2/)1(1|| ,)(2x x x b a x b a x bx ax x f , 由于)(x f 为连续函数, 故)1()1()1(f f f ==+-, )1()1()1(-=-=-+-f f f即1=+b a , 1-=-b a解之得.1 ,0==b a三. 解: t t t t x y 21)1/(2)1/(1d d 22=++=, 32222241)1/(2/121d d tt t t t x y +-=+-=. 因0)(>x f , 故0>t , 从而0d d >xy, 0d d 22<x y . 因此, 方程确定的函数)(x f y =单调增加且上凸.四. 解: 表面积2222r r V r rh S πππ+=+=, 令0222=+-='r rVS π, 得32/πV r =, 此时3/4πV h =. 因S 有唯一驻点, 由实际问题可知必有最小表面积, 故当32/πV r =, 3/4πV h =时, 表面积最小. 五. 解: 令11)(2-+=x kx x f , 则32)(xk x f -='. 0≤k 时, )(x f 在),0(+∞单调下降. 又+∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x (0<k ), 1)(lim -=+∞→x f x (0=k )因此, 当0≤k 时, )(x f 在),0(+∞只有一个零点, 即原方程在),0(+∞内只有一个解. 当0>k 时, )(x f 有唯一驻点30/2k x =, 且)(x f 在),(0+∞x 与),0(0x 内分别单调增加和单调减少. 注意到此时+∞=+→)(lim 0x f x , +∞=+∞→)(lim x f x故当且仅当0)(0=x f 即392=k 时, 函数有且仅有一个零点, 即原方程在),0(+∞内有且仅有一个解. 六. 解: (1) 令6x t =, 于是Cx x C t t dt t dt t t t t dt t x x x +-=+-=+-=+=+=+⎰⎰⎰⎰)arctan (6 )arctan (6)111(616)1(6)1(d 662223253(2)⎰⎰⎰⎰-===+--202022226dcos 2d sin 2d sin d )cos (sin ππππππx x x x x x x x x x x x.2d cos 2cos 2202/0=+-=⎰ππx x x x 七. 因为101010d e 0d e |e d e -+∞--+∞--∞+-+∞-=+=+-==⎰⎰⎰n x n xn x n x n n nI x x n x nx x x x I于是容易知道1!I n I n =. 又因为1|e 0d e |e d e 001=-=+-==∞+-+∞-∞+-+∞-⎰⎰x x x xx x x x I , 故有!.n I n =八. 因p y y 22=', 故1|2=='=y py p x , 从而可知抛物线在点),2(p p 的法线方程为)2(p x p y --=-或y px -=23.除去切点外抛物线与法线的另一个交点坐标为)3,29(p p -, 所以所求图形的面积232316d )223(p y p y y p A pp =--=⎰-九. 0)(lim)(lim )0(0===→→x xx f x f f x x , A xx f x f x f f x x ==-='→→)(lim )0()(lim)0(00. 由泰勒公式, ),(+∞-∞∈∀x , 0≠x , 有Ax x f x f x f f x f ='≥''+'+=)0(!2)()0()0()(2ξ上式当0=x 时显然成立. 证毕.十. 单调增加（减少）有上界（下界）的数列必收敛. 下面我们证明数列}{n x 是单调减少有下界的数列. 由于a x ax x nn n =⋅≥+1 故数列}{n x 有下界. 此外, 因为1)11(21)1(2121=+≤+=+n n n x a x x 故数列}{n x 单调减少. 因此, 数列}{n x 收敛, 设其极限为A , 于是AaA x a x x A n n n n n +=+==∞→+∞→)(21limlim 1 解之得a A =（由极限保号性负根舍去）.,考试作弊将带来严重后果！期末考试《工科数学分析》试卷B1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭卷；5分，共10分） （1）)2(lim 2x x x x -++∞→ （2）x x x +→0lim二．（10分）设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0 ,e 0,1sin )(x x xx x f x βα, 试根据α和β的值, 讨论)(x f 在0=x 处的连续性(包括左连续、右连续及间断点的类型).三．（10分）设方程22ln arctan y x x y +=确定函数)(x f y =, 求22d d x y .四．（10分）试确定数列}{n n 中的最大项.五．（10分）设0>a , 试讨论方程ax x =ln 实根的个数. 六．计算下列积分（每小题5分，共10分） （1）⎰+xx e1d （2）⎰-+22d )e (sin 4ππx x x x七．（10分）设⎰+∞-=0d e x x I x n n (n 为正整数), 试建立数列}{n I 的递推公式, 并求n I 的值.八．（10分）求抛物线x y 22=与直线21=x 所围成的图形绕直线1-=y 旋转而成的立体的体积.九.（10分）设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导, a x f ≤|)(|, b x f ≤''|)(|,)1,0(∈c , 试证明22|)(|b a c f +≤'. 十．（10分）已知0>a , a x =1, n n x a x +=+1, 证明数列}{n x 收敛并求其极限.《工科数学分析》试卷B 答案一. （1）解：122lim)2(lim 22=++=-++∞→+∞→xx x x x x x x x（2）解：1)/1/1lim exp()/1ln lim exp()ln lim exp(lim 20000=-===++++→→→→xx x x x x x x x x x x 二. 解: )0(1)0(f f =+=-β. 当0>α时, 0)0(=+f ; 当0≤α时, )0(+f 不存在. 因此, 当0>α且1-=β时, 函数在0=x 处连续; 当0>α且1-≠β时, 函数在0=x 处左连续但又不连续, 0=x 为第一类间断点; 当0≤α时, 函数在0=x 处左连续, 0=x 为第二类间断点.三. 解: 方程两边关于x 求导得22222221)/(11yx y y x x y y x x y +'+=-'+ 整理得 yx yx x y -+=d d 于是, 322222)()(2)()1)(())(1(d d y x y x y x y y x y x y x y -+=-'-+--'+=. 四. 解: 令x x x f /1)(=, 0>x . 令0ln 1)(2/1=-='xxx x f x , 得e /1=x . 则在)/1,0(e 与),/1(+∞e 上)(x f 分别单调增加和单调减少. 从而33)/1(2<<e e因此,33为最大项.五. 解: 令ax x x f -=ln )(, 0>x . 解01)(=-='a xx f 得唯一驻点ax 1=. )(x f 在)/1,0(a 与),/1(+∞a 内分别单调增加和单调减少. 又由于-∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x , 所以有如下结论:(1) 当e a /1>时, 0)/1(<a f , 原方程没有根; (2) 当e a /1=时, 0)/1(=a f , 原方程有一个根; (3) 当e a /1<时, 0)/1(>a f , 原方程有两个根 六. (1)令1+=x e t , 则)1ln(2-=t x , 于是Cx e C e e C t t dt t t dt t t t e dxx x x x+--+=+++-+=++-=+--=-=+⎰⎰⎰)11ln(21111ln 11ln )1111(12112(2) ⎰⎰⎰⎰-===+--20202222dcos 2d sin 2d sin d )e (sin 4ππππππx x x x x x x x x x x x.2d cos 2cos 2202/0=+-=⎰ππx x x x 七. 因为1010100d e 0d e |e d e -+∞--+∞--∞+-+∞-=+=+-==⎰⎰⎰n x n xn x n x n n nI x x n x nx x x x I于是容易知道1!I n I n =. 又因为1|e 0d e |e d e 001=-=+-==∞+-+∞-∞+-+∞-⎰⎰x x x xx x x x I , 故有!.n I n = 八. 体积元素x x x dV πππ24)12()12(22=+--+=, 因此所求体积ππ342421==⎰dx x V九. 由泰勒公式21)0)((21)0)(()()0(c f c c f c f f -''+-'+=ξ, ),0(1c ∈ξ 22)1)((21)1)(()()1(c f c c f c f f -''+-'+=ξ, )1,(2c ∈ξ 两式相减得2122)(21)1)((21)()1()0(c f c f c f f f ξξ''--''+'=- 因此22])1[(212 |)(|21)1(|)(|21|)1(||)0(||)(|222122b a c c b a c f c f f f c f +≤+-+≤''+-''++≤'ξξ十. 单调增加（减少）有上界（下界）的数列必收敛. 下面我们证明数列}{n x 是单调增加有上界的数列. 显然, 12x x >, 假设1->n n x x , 则n n n n x x a x a x =+>+=-+11故数列}{n x 单调增加. 此外, 显然, 11+<a x , 假设1+<a x n , 则111+<++<+=+a a a x a x n n故数列}{n x 有上界. 因此, 数列}{n x 收敛, 设其极限为A , 于是A a x a x A n n n n +=+==∞→+∞→lim lim 1解之得2411aA ++-=（由极限保号性负根舍去）.。

北京邮电大学2008——2009学年第一学期《工科数学分析》期末考试试卷(A 卷)参考评分规范一、填空（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.极限1sin lim sin x ax a x a -→⎛⎫= ⎪⎝⎭.解答：1sin eα2.当0≥x 时,20()()x f x t t dt =-⎰的最大值是.解答：163.设当0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin ⋅高阶的无穷小，而n x x sin ⋅是比12-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于.解答：24.已知dx xex df x=)( 则=)(x f .解答：C ex+25.极限120lim 1nn x dx x →∞=+⎰. 解答：06.[]22()()tan f x f x xdx -+-=⎰.解答：07.设()f x 是连续函数，且12()()f x xf t dt =⎰，则()f x =.2x8.方程4(1)'2(1)+-=+x y y x 的通解是.解答：221(1)(1).2⎛⎫+++⎪⎝⎭x x C 9.11sin cos dx x x=++⎰.解答：ln 1tan2xC ++ 10.2arctan 1xdx x+∞=+⎰_____________________________. 解答：28π二、(6分)设()F x 是()f x 的原函数, 且π42)1(=F ，当0>x 时，有)1(arctan )()(x x x x F x f +=，试求)(x f .解:由)()(x F x f '=，知 ,)1(a r c t a n )()(x x x x F x F +='即,arctan arctan 2)()(x d x x dF x F ⎰⎰= 解出,arctan )(2122C x x F += 代入初始条件π42)1(=F , 即得0=C ，故.ar c t a n 2)(x x F =由此得)1(22)(x x x f +=（0>x ）.三、(8分)对||1,x <证明存在(0,1),θ∈使得arcsin x =，并求lim .x θ→证明：由Taylor 公式，对任意||1,x <存在(0,1)θ∈使得arcsin arcsin 0(arcsin )'|x x x x θ==+=.又因为33arcsin (),(0).6x x x o x x =++→ 故当0x →33(),6x x o x =++由此知222222()31()6x o x x x o x θ+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 两边取极限得22220022()13lim lim 31()6x x x o x xx o x θ→→+==⎛⎫++ ⎪⎝⎭,故0lim x θ→=. 四、(10分)设抛物线2y ax bx c =++过原点, 且当01x ≤≤时,0y ≥. 又知该抛物线与直线0,1x x ==及x 轴所围成的图形面积是13. 求,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积V 最小. 解: 由于抛物线2y ax bx c =++过原点, 所以c=0. 由围成图形的面积可知1201()3ax bx dx +=⎰, 整理得1323a b +=, 即2(1).3b a =-于是旋转体体积1220()V ax bx dxπ=+⎰22221114()((1)(1)).5235327a a ab b a a a ππ=++=+-+-令2128[(1)]053327a V a a a π'=+---=, 得唯一驻点 53,42a b =-=,又知该问题存在最小值, 故当53,,042a b c =-==时旋转体体积最小.五、(7分)设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导, 且()()0 .f a f b ==求证：( , )a b ξ∃∈使得'()()'()0f f g ξξξ+=.证明：令()()(),g x F x f x e=则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导, 且()()0F a F b ==.故由罗尔定理：(,), a b ξ∃∈使得()()'()'()()'()0g F f f g e ξξξξξ=+=，而()0g eξ≠, 因此'()()'()0f f g ξξξ+=.六、(7分)设0,x ≥证明arctan ln(1).1xx x+≥+证明：设()(1)ln(1)arctan ,f x x x x =++-21'()ln(1)1.1f x x x =++-+ 当0x ≥时'()0,f x >因此函数()f x 严格单调递增， 且()(0)0.f x f ≥= 从而当0x ≥时,arctan ln(1).1xx x+≥+七、(12分)(本大题共两个小题，每小题6分)(1)求摆线第一拱(sin ),(0,02)(1cos )=-⎧>≤≤⎨=-⎩x a t t a t y a t π的长度.解:20=⎰Lπ22002sin 8.2===⎰⎰ta dt a ππ(2) 判别积分20+∞⎰的敛散性.解：0=x 2的奇点.2221001+∞+∞=+⎰⎰⎰.因为22200tan lim lim 1(1)x x xx x ++→→==+，而1⎰收敛,故 21⎰收敛；又因为),1(∞+∈∀x22<，且1+∞⎰收敛,所以21+∞⎰绝对收敛.综上所述，可知20+∞⎰收敛.八、(10分)求微分方程22223sin2xy y y x e x '''-+=-的通解, 以及满足条件0)0(,0)0(='=y y 的特解.解：(1)特征方程0222=+-λλ，特征根i i -=+=1,121λλ，故所对应的齐次线性方程的通解为.sin cos 21x e C x e C y xx +=注意到自由项的形式，由线性方程特解的叠加原理，先设方程特解为***12y y y =+其中**12,y y 分别为方程(1) 2222y y y x '''-+= (2) 223sin2,xy y y e x '''-+=- 的特解. (i)由于0λ=不是特征根，故设2222y y y x '''-+=的特解为*21,y ax bx c =++则 ()*1'2,y ax b =+()*1"2,y a =代入(1)比较系数得 1,2,1a b c === 于是的特解为*212 1.y x x =++由于i 21±=λ不是特征根，故设223sin2,x y y y e x '''-+=-的特解为*2(cos 2sin 2),x y e A x B x =+ 代入(2)比较系数得 0,1,A B == 于是得特解为*2sin 2.x y e x =故原方程的通解为()*212cos sin 21sin 2.x x x y y y C e x C e x x x e x =+=+++++(2)将0)0(,0)0(='=y y 代入方程的通解中易知121,3,C C =-=-满足条件0)0(,0)0(='=y y 的特解为()2cos 3sin 21sin 2.x x x y e x e x x x e x =--++++。

第页/共 页 郑州轻工业学院2011—2012学年 第一学期高等数学A 试卷A 试卷编号：20120104一、单项选择题（每题3分，共15分）1、xxx +-=11)(α，x x -=1)(β，则当1→x 时有（ ）A α是比β高阶的无穷小B α是比β低阶的无穷小C α与β同阶无穷小，但不等阶D βα~2、质点作曲线运动，其位置坐标与时间t 的关系为,123,222--=-+=t t y t t x 则当1=t 时，该质点的速度的大小等于（ ） A 3 B 4 C 5 D 73、设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其导函数的图 形如右图所示，则函数()f x 有（ ）个极小值点。

A 1B 2C 3D 44、下列函数在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ）A x eB x lnC 21x - D211x- 5、设在),(b a 内，)()(x g x f '='，则一定有（ ）A )()(x g x f =BC x g x f =-)()( C[]'⎰dx x f )([]'=⎰dx x g )( D ⎰dx x f )(⎰=dx x g )(二、填空题（每空3分，共15分）1、写出一种)(0x f '的定义表达式：)(0x f '=2、()f x 在0x x =处可微是()f x 在0x x =处可导的 条件．3、若c x dx x f +=⎰2cos )(，则=)(x f .4、x y 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数=n a5、设ax a ax x a ax x f ------=)1(1)2(2)(222(a 为常数)则（1）当=a 时，)(lim 1x f x →不存在（2）当=a 时，21)(lim 1=→x f x（3）当=a 时，2)(lim 21=→x f x三．计算题（每题6分，共48分）1、求极限xxx x 3sin 11lim 0--+→2、求极限13)21(lim +∞→+-x x x x 2、 求极限)1(cot lim 0xx x -→.（这两个选一个）3、设xx y -=12，求)8(y4、已知5221sin tan e x x y ++=，求dy .5、计算不定积分⎰xdx x 2tan线 订 装郑州轻工业学院 / 学年 第 学期 试卷专业年级及班级 姓名 学号第页/共 页 6、求函数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=0,1cos 0,00,sin )(x x x x x x x x x f 的间断点并判别其类型。

《大学计算机基础》试题答案（A卷）2011 ~ 2012 学年第一学期一．选择题（共35分，每题1分）二．选择对应关系（共15分，每题1分）：三．填空题（共12分，每题2分）四．数据表示与运算（共8分，每题4分）1．假定计算机字长为8，用补码表示形式完成整数运算：54－61解：54－61 = 54 ＋（－61）假定计算机字长为8，那么，54的原码、反码和补码表示形式为：0 0110110 （1分）－61的原码表示形式为：1 0111101－61的反码表示形式为：1 1000010－61的补码表示形式为：1 1000011 （1分）0 0110110＋ 1 10000111 1111001 （1分）运算结果1 1111001，对应原码为 1 0000111，即－7 （1分）2．写出十进制数－19.375的浮点数表示形式。

说明：假定计算机字长为16，其中阶符1位，阶码5位，数符1位，尾数9位解：（－19.375）10 = （－10011.011）2 = （－0.10011011）2×2101（1分）假定计算机字长为16，其中阶符占1位，阶码占5位，数符占1位，尾数占9位那么，十进制数19.375的浮点数表示形式为：即 0 00101 1 100110110 （3分）五．简答题（共30分，每题6分）1.什么是操作系统？列举至少三种常见的操作系统。

答题要点：操作系统是管理计算机软、硬件资源，控制计算机工作流程，方便用户使用的计算机软件。

（4分）常见的操作系统：DOS、Windows系列、Unix、Netware、Linux （2分）2.IP地址分为几类，如何进行区分？答题要点：A类32位IP地址的最高1位取值为0；（2分）B类32位IP地址的最高2位取值为10；（2分）C类32位IP地址的最高3位取值为110。

（2分）3.简述音频信息的数字化过程。

答题要点：音频数字化是为了将声音信号数字化，必须首先在时间和幅度两个方面进行离散化，转换成有限个数字表示的离散序列，即数字音频序列。

2011年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷A(总分：28.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.已知x 1 =0．724，x 2 =1．25均为有效数，则｜e r (x 1 x 2 )｜≤______｜e(x 1／x 2 )｜≤_______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：0．469×10 -2，0．272×10 -2)解析：3.设∞ =______，cond(A) 2 =______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：4.超定方程组x 1 =______.x 2 =_______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：-0．8333或-0．6667)解析：5.用Simpson______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1.4757)解析：6.0，1，2为节点的三次样条函数，则a=_____，b=_____．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：3，-3)解析：二、计算题(总题数：3，分数：6.00)7.给定方程e x，分析此方程有几个实根，并用迭代法求此方程的正根，精确至3位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设当x=ln0．5时，f"(x)=0；当x∈(-∞，ln0．5)时，f"(x)＜0；当x∈(ln0．5，+∞)时，f"(x)＞0．再注意到f(-4)＞0，f(-3)＜0，f(1)＜0，f(2)＞0，则该方程存在两个实根，分别在[-4，-3]和[1，2]内．构造迭代格式x *∈[1，2]，取x 0 =1．5，计算得x 1 =1．0651，x 2 =0．9116，x 3 =0．8953，x )解析：8.用列主元Guass（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：求得x 1 =-2，x 2 =1，x 3 =-1．)解析：9.给定求解线性方程组Ax=b的迭代格式Bx (k+1) +ωCx k =b，其中ω的值使上述迭代格式收敛．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：方法1：由Bx (k+1) +ωCx (k) =b得x (k+1) =-ωB -1 Cx (k) +B -1 b 上述格式收敛的充要条件为ρ(-ωB -1 C)＜1．迭代矩阵-ωB -1 C的特征方程为｜λI+ωB -1 C｜=0，可变形为｜B -1｜｜λB+ωC｜=0，即展开得16λ2—8λω)解析：三、综合题(总题数：5，分数：10.00)10.作一个3次多项式H(x)，使得H(a)=b 3，H(b)=a 3，H"(a)=6b，H"(b)=6a．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：方法1：根据H"(a)=6b，H"(6)=6a可知(x-a)=6b—6(x-a)，两边积分得H(x)=6b(x—a)-3(x-a) 2 +c，H(x)=3b(x-a) 2 -(x—a) 3 +c(x—a)+d．由H(a)=b 3得d=b 3，再由H(b)=a 3有c=-3b 2，所以H(x)=-(x-a) 3 +3b(x-a) )解析：11.求函数y(x)=x 4在区间[0，1]上的一次最佳一致逼近多项式p(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设p(x)=a+bx．由f"(x)=4x 3，f"(x)=12x 2知，当x∈(0，1)时，f"(x)恒大于零．则f(x)-p(x)在[0，1]上有三个交错偏差点：0，x 1，1，且满足即求解得所以)解析：12.已知函数f(x)∈C 4[a，b]，I(f)=∫ a b f（x）dx 1)写出以a，b为二重节点所建立的f(x)的3次Hermite 插值多琐式H(x)及插值余项； 2)根据f(x)≈H(x)建立一个求解I(f)的数值求积公式I H (x)，并分析该公式的截断误差和代数精度．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)由条件H(a)=f(a)，H"(a)=f"(a)，H(b)=f(b)，H"(b)=f"(b)，作差商表：所以2)根据题意，有I(f)≈∫ a b H(x)dx，下面求代数精度．由插值余项知，当f(x)=1，x，x 2，x 3时，插值余项为零，I H (f)精确求积；当f(x)=x 4时此时b 5系数为I H) 解析：13.给定常微分方程初值问题n，并记h=(b—a)／n，x i=a+ih，0≤i≤n．试确定参数A，B，C，使求解公式y i+1 =Ay i +(1-A)y i-1 +h[Bf(x i+1，y i+1 )+Cf(x i，y i )]的局部截断误差R i+1的阶数达到最高，指出所达剑的最高阶数并给出局部截断误差表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：局部截断误差为R i+1=y(x i+1)-Ay(x i)-(1-A)y(x i-1)-h[By"(x i+1)+Cy"(x i)]=y(xi )+hy"(x 1 )+ y"(x i )+ y""(x i y (4) (xi )+O(h5)解析：14.给定如下抛物方程初边值问题：取步长用古典隐格式计算u(x，t)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：求解该问题的古典隐格式为记则差分格式可写为(1+2r)u i k-r(u i+1k +ui-1k )=uik-1 +τ(3—3xi )，用方程组表示为k=1．2．因为所以，当k=1时，方程为或解得u 11 =0．7870，u 2<) 解析：。

上海应用技术学院2011—2012学年第一学期《高等数学（工）1》期（末）试卷A课程代码    学分 考试时间  分钟课程序号 — ， — ， — ，—班级： 学号：姓名我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。

试卷共 页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。

一、单项选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分），在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分．．已知32lim 111x x kx x →+∞⎛⎫-+= ⎪-⎝⎭，则k =（ ）． ✌．2- ．1- ．0 ．1．设0()lim41cos x xf x x→=-，其中(0)0f =，则(0)f '=（ ）． ✌． 0 ．1 ．2． 4．若ln 2sin 2xx y e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则dy dx =（ ）． ✌．22cos x e x +- ．12ln 2cos x e x +- ．12ln 2x x+．12ln 22x x+．设sin 2x y x =，则函数y 在4x π=时的微分4x dy π==（ ）． ✌．dx ．dx - ．12dx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ．12dx π⎛⎫- ⎪⎝⎭．设函数)(x f 在),(∞+-∞二阶可导，并满足方程0)()()(=+'+''x f x f x f ，又设0x 为)(x f 的驻点，且0)(0>x f ，则)(x f 在0x （ ）．✌．取极小值 ．取极大值 ．不取极值 ．不能确定是否取极值．设()cos f x x =-，则)(x f 的原函数之一是（ ）．✌． 1sin x + ．1sin x - ．1cos x+． 1cos x -．设)(x f 、)(x g 都是],[b a 上的可导函数 ，若)()(],,[x g x f b a x ≤∈，则以下各式中成立的是（ ）． ✌．)()(x g x f '≤' ．)()(x g x f '≥'．⎰⎰≤b ab adx x g dx x f )()( ．⎰⎰≥b abadx x g dx x f )()(．20sin xdx π=⎰（ ）． ✌． 4- ．0 ．2 ． 4 ．若广义积分1kx e +∞=⎰则k =（ ）． ✌． 2- ．1- ．1 ． 2．微分方程690y y y '''-+=的通解为（ ）． ✌．312()xC C x e+ ．312()xC C x e-+ ．3312xx C eC e + ．3312x x C e C e --+二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分），请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分． ．极限()1sin 0lim 13xx x →+=．．设cos ,2()2, 2.k x x f x x x π-<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的连续函数，则k =．．设函数()y f x =由方程ln 10xye y +-=所确定，则曲线()y f x =在点(0,1)处的切线方程为．．不定积分arctan 21xe dx x =+⎰．．定积分2222sin cos 1x I x dx x ππ-⎛⎫=+= ⎪+⎝⎭⎰．．微分方程2x y dye dx-=满足初始条件00x y ==的特解为．三、计算题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）．．求极限220cos lim x x e x x →-．．设)4ln()(22+++=x x e x f x ， 求)0(f '．．设函数)(x y y =由参数方程404cos sin t x u du y t⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰所确定，求22dx y d ．．判定曲线32391y x x x =--+的凹凸性与拐点．．计算不定积分21ln cosx x x dx x +⎰．．计算定积分1．．计算定积分1cos(ln)ex dx ⎰．．求微分方程1n x dyx ny x e dx+-=（*n N ∈）满足初始条件12x y e ==的特解．四、应用与证明题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）． ．求由曲线x y =，直线2=+y x 及x 轴所围图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积．．设()f x 在[0,1]上连续，且()1f x <，求证方程02()1x x f t dt -=⎰在(0,1)内有且仅有一个实根．。

1课程编号：MTH17003北京理工大学2010-2011学年第一学期工科数学分析期末试题（A 卷）班级_______________ 学号_________________ 姓名__________________一. 填空题（每小题2分, 共10分） 1. =-→)sin cos 1(lim 2x x x xx ___________________________. 2. 具有特解x e y -=1，x xe y -=2，x e y =2的三阶常系数线性齐次微分方程为__________________________________________-. 3. 已知0)2(=f ，)2(f '存在，则.______________1)arctan 2(lim3230=-+→x x ex f4.=-⎰1221dx xx ________________________.5. 设)(y x x =是)(x y y =的反函数，且xxe dx dy =，则当0>x 时，22d x dy=_______________. 二. (8分) 已知点)3,1(是曲线23bx ax y +=的拐点，求b a ,的值。

三. (8分) 已知xxsin 是函数)(x f 的原函数，求不定积分⎰'dx x f x )(。

四. (8分) 设方程1cos =+-y y x 确定隐函数)(x y y =，求dx dy ，22dxyd 。

五. (9分) 求反常积分⎰+∞12arctan 1xdx x。

六. (11分) 求微分方程0)2(=+-dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =，直线0=x ，1=x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积最小。

七. (8分) 一椭圆（如图）垂直立于水中，水面与椭圆 的最高点相齐，求椭圆所受到的水压力。

2010—2011学年第一学期高等数学期末考试试题参考答案一、选择题（每小题4分，共20分）BBADD二、填空题（每小题4分，共20分）1、x cot2、03、xx x f 1)(+= 4、 232x e x 5、7 三、计算题（每小题5分，共10分）1、 xx x 21lim ++∞→ 解：原式＝ 11lim 2++∞→x x ――――――――――------―--――3’ ＝１ -----------------------------------------5’2、设x e y cos =，求y ''.解：)sin ('cos x e y x -=――――――――――――--------------―3’)cos (sin cos 2cos x e x e y x x -+='' ----------------------------5’四、计算题（每小题6分，共30分）1、求 ⎰+dx xx x 2cos 1cos sin 解：原式 =)cos 1(cos 112122x d x++-⎰―――――――――――――5’ = C x ++-)cos 1ln(212------------------------------6’ 2、求⎰dx xx ln ln 解：令x u ln =,则原式＝⎰udu ln ――――――――――---―――４’＝C u u u +-ln ―――――---――――---―5’＝C x x x +-ln ln ln ln -—--——------------6’3、求 dx x x x ⎰++31222121)( 解：原式＝dx x x x x ⎰+++312222)1()1(――――――――――――------―２’＝3131|)1(|arctan xx -+――――――――――――------―5’ =13312+-π-—--——-------------------------------6’ 4、求⎰-++3342251dx x x x x sin 解：因为积分函数为奇函数及积分区间关于原点对称，故积分为０. --6’ 5、求 2001xdt t xx ⎰+→)ln(lim解： 原式＝xx x 2)1ln(lim 0+→ ―――――――――――----――--―5’ ＝21 --——--------------------――---------－--6’ 五、(10分) 求由抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的图形的面积. 解：如图（２分）阴影部分面积 292212=-+=⎰-dx x x S -------------------------１０’ 六、(10分) 某企业生产某种商品,假设产量等于销售量,都用q 表示,商品单价用p （单位：元）表示.设销售量q 是单价p 的函数，;8012000p q -=而商品的总成本C 又是产量q 的函数,q C 5025000+=.每销售一件商品需要纳税2元，试求(1) 总收益)(p R 和总利润)(p L 的表达式；(2) 使销售利润最大的商品单价p 和最大利润额。