2020年福建省厦门一中高考数学模拟试卷1(3月份) (含答案解析)

2020年福建省厦门市高考数学模拟试卷(文科)(一)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,0，1，2，3，4}，B ={y|y =x 2,x ∈A}，则A ∩B =( )A. {0,1，2}B. {0,1，4}C. {−1,0，1，2}D. {−1,0，1，4}2. 椭圆3x 2+2y 2=1的焦点坐标是( )A. (0,−√66)、(0,√66)B. (0,−1)、(0,1)C. (−1,0)、(1,0)D. (−√66,0)、(√66,0) 3. 在等差数列{a n }中，a 7=8，前7项和S 7=42，则其公差是( )A. −13B. −23C. 13D. 234. 如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影).设直角三角形有一内角为30∘，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒(大小忽略不计)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )A. 134B. 866C. 300D. 5005. 已知tanα=13，则tan2α=( )A. −43B. 43C. −34D. 346. 已知直线l ⊥平面α，直线m//平面β，则下列命题正确的是( )A. 若α⊥β，则l//mB. 若l ⊥m ，则α//βC. 若l//β，则m ⊥αD. 若α//β，则l ⊥m7. 在边长为4的菱形ABCD 中，∠BAD =60°，E 为CD 的中点，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 4 B. 8C. −6D. −48. 已知数列{a n }满足a 1=23，且对任意的正整数m ，n ，都有a m+n =a m ⋅a n ，则{a n }前n 项和S n 等于( )A. 2−(23)n−1B. 2−(23)nC. 2−2n3n+1D. 2−2n+13n9. 3、已知，则等于( )A.B.C.D.10.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E=B1F，有下面四个结论：①EF⊥AA1；②EF//AC；③EF与AC异面；④EF//平面ABCD.其中一定正确的有()A. ①②B. ②③C. ②④D. ①④11.已知双曲线C：x2a −y2b=1的左，右焦点分别为F1，F2，A，B是双曲线C上的两点，且AF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，cos∠AF2B=35，则该双曲线的离心率为()A. √10B. √102C. √52D. √512.函数f(x)=x−e x(x∈R)的最大值为()A. 1B. −1C. e−1D. 1−e二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.i是虚数单位，复数6+7i1+2i=______．14.设实数x，y满足约束条件{3x+y≥5x−4y≥−74x−3y≤11，则z=x+2y的最大值为______．15.数列{a n}中，若a n+a n+1=7n+5，n∈N∗，则a1+a100=______ ．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.若函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−π6,π4]上单调递增，则ω的最大值为(1)，f(x)的值域为(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+√2bc =cosAcos(A+B)．(1)求角C的大小；(2)若点D为边AB上的点，且BC⊥CD，△ACD面积是△BCD面积的3倍，c=20，求a，b的值．18.如图，已知AB⊥BC，BE//CD，∠DCB=90°，平面BCDE⊥平面ABC，CD=4，AB=BC=BE=2，F为AD中点．(1)证明：EF//平面ABC；(2)求三棱锥D−BCF的体积．19.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图)(1)根据频率分布直方图完成以上表格；(2)用组中值估计这10 000人月收入的平均值；(3)为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2000,3500)(元)月收入段应抽出多少人？20.平面内动点P(x,y)与两定点A(−2,0)，B(2,0)连线的斜率之积等于−1/3，若点P的轨迹为曲线E，过点Q(−1,0)作斜率不为零的直线CD交曲线E于点C，D．(1)求曲线E的方程；(2)求证：AC⊥AD；21.已知函数f(x)=e x−x2．e(1)证明：函数f(x)有两个极值点x1，x2；(2)若g(x)=f(x)+ax为增函数，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，C1的参数方程为为参数，0≤α<π)，以坐标)．原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，C2的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ−π4 (Ⅰ)求C2的直角坐标方程，并指出其图形的形状；(Ⅱ)C1与C2相交于不同两点A，B，线段AB中点为M，点N(0,−1)，若|MN|=2，求C1参数方程中sinα的值．23.已知函数f(x)=|x−2|．(1)求不等式f(x)−|x|<1的解集；(2)设g(x)=|x+1|，若∀x∈R，f(x)+g(x)≥a2−2a恒成立，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题．先求出集合B，由此能求出交集A∩B.解：由题意得到B={y|y=x2,x∈A}={1,0,4,9,16}，所以A∩B={0,1，4}；故选B．2.答案：A解析：解：∵椭圆的方程为3x2+2y2=1，∴其标准方程为：y 21 2+x213=1，∴其焦点在y轴上，且c2=12−13=16，∴c=√66，∴其焦点坐标为(0,−√66)、(0,√66).故选A．利用椭圆的标准方程即可求得其焦点坐标．本题考查椭圆的简单性质，将椭圆的方程3x2+2y2=1转化为标准方程是关键，属于基础题．3.答案：D解析：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a7=8，S7=42，得{a1+6d=87a1+7×62d=42，解得：{a1=4d=23．故选：D．直接由已知结合等差数列的通项公式和前n项和列式求得公差．本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4.答案：A解析：本题考查概率的求法，考查几何概型概率计算公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．设大正方形的边长为2x，则小正方形的边长为√3x−x，由此利用几何概型概率计算公式能求出向弦图内随机抛掷1000颗米粒(大小忽略不计)，落在小正方形(阴影)内的米粒数个数．解：设大正方形的边长为2x，则小正方形的边长为√3x−x，向弦图内随机抛掷1000颗米粒(大小忽略不计)，设落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为a，则a1000=(√3x−x)2(2x)2，解得a=1000(4−2√34)≈134．故选：A．5.答案：D解析：解：由tan2α=2tanα1−tan2α=2×131−19=34．故选：D．根据正切的二倍角公式求解即可．本题主要考察了正切的二倍角公式的应用，属于基本知识的考查．6.答案：D解析：本题考查的知识点是空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的判定，熟练掌握空间线面关系的几何特征是解答本题的关键．A中l与m位置不确定，B中α与β可能相交，C中m与α的位置不确定，D正确．解：对于A，若α⊥β，直线l⊥平面α，直线m//平面β，则l与m可能平行、可能相交也可能异面，故A不正确；对于B，若l⊥m，直线l⊥平面α，直线m//平面β，则α与β可能平行也可能相交，故B不正确；对于C，m与α的位置不确定，故C不正确；对于D ，若α//β，直线l ⊥平面α，则直线l ⊥平面β，又∵直线m//平面β，则l ⊥m ，故D 正确． 故选D ．7.答案：A解析：解：如图，根据条件：∠ADC =120°，|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4；且AE ⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )； ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +1DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(−DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16−4−8=4． 故选：A ．可画出图形，根据条件可得到∠ADC =120°，|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，并可得到AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，这样代入AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 进行数量积的运算即可求出该数量积的值． 考查菱形的概念，向量加法的平行四边形法则，向量加法的几何意义，以及相反向量的概念，向量数量积的运算及计算公式．8.答案：D解析：解：∵a m+n =a m a n 对任意的m ，n 都成立，∴a n =a n−1a 1=a n−2a 12=⋯=a 1n =(23)n故数列{a n }以23为首项，23为公比的等比数列， 由等比数列的前n 项和公式可得S n =23(1−(23)n )1−23=2−2n+13n．故选：D ．由数列递推式得到a n =a n−1a 1=a n−2a 12=⋯=a 1n =(23)n ，由此可得数列{a n }以23为首项，23为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得答案．本题考查了数列递推式，考查了等比数列的和，是中档题．9.答案：B解析：lg12=lg4+lg3=2lg2+lg3=2a +b ．10.答案：D解析：解：如图所示．由于AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1，则EF ⊥AA 1，所以①正确；当E ，F 分别不是线段A 1B 1，B 1C 1的等比分点时，EF 与AC 异面，所以②不正确；当E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1的中点时，EF//A 1C 1，又AC//A 1C 1，则EF//AC ，所以③不正确；由于平面A 1B 1C 1D 1//平面ABCD ，EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1， 所以EF//平面ABCD ，所以④正确． 故选D ．作出正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，利用正方体的结构特征，结合题设条件，能够作出正确判断． 本题考查命题的真假判断及其应用，解题时要认真审题，注意正方体的结构特征的灵活运用．11.答案：B解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查离心率的计算能力．属于中档题．设|F 1A|=3x ，|F 1B|=x ，在△ABF 2中，由余弦定理列方程可得△ABF 2是直角三角形，从而得出a ，b ，c 的关系，即可得该双曲线的离心率．解：∵AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴A ，B 在F 的y 异侧，∴A ，B 在双曲线同一支上，如图，设|F1A|=3x，|F1B|=x，则|AB|=4x，|BF2|=2a+x，|AF2|=2a+3x，在△ABF2中，由余弦定理得：(4x)2=(2a+x)2+(2a+3x)2−2(2a+x)(2a+3x)×3，5解得x=a，∴AF2=5a，AB=4a，BF2=3a，∴△ABF2是直角三角形，．在Rt△F1BF2中，a2+(3a)2=(2c)2，代入得10a2=4c2，即e2=52．则该双曲线的离心率为e=√102故选：B．12.答案：B解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性及求最值．解：由题意解得，f′(x)=1−e x，则函数f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，则f(x)max=f(0)=−1，故选B．13.答案：4−i解析：本题考查复数的运算，属于基础题． 解：6+7i 1+2i =(6+7i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=20−5i 5=4−i ．故答案为4−i ． 14.答案：11解析：解：作出约束条件表示的可行域如图，化目标函数z =x +2y 为y =−x 2+z2，联立{x −4y =−74x −3y =11，解得A(5,3)， 由图可知，当直线z =x +2y 过点(5,3)时，z 取得最大值11．故答案为：11．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是中档题． 15.答案：355解析：解：∵a n +a n+1=7n +5，n ∈N ∗，∴a 1+a 100=(a 1+a 2)−(a 2+a 3)+(a 3+a 4)−⋯+(a 99+a 100)=12+7×49=355．故答案为：355．本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，利用a1+a100=(a1+a2)−(a2+a3)+(a3+a4)−⋯+(a99+a100)是关键．16.答案：2[−2,2]解析：本题主要考查三角函数单调性和值域的求解，利用三角函数的周期公式以及三角函数单调性的性质是解决本题的关键．根据三角函数的单调性的性质求出ω的值，结合三角函数的值域和单调性的关系进行求解即可．解：∵ω>0，∴函数的周期T=2πω，则函数在[−T4,T4]上是增函数，若f(x)在区间[−π6 , π4]上单调递增，则π4≤T4，即T≥π，即2πω≥π，则ω≤2，则ω的最大值为2，此时f(x)=2sin2x，则函数的最大值为2，最小值为−2，即函数的值域为[−2,2]，故答案为2 [−2,2]17.答案：解：(1)由，则，可得，由正弦定理可得，整理得，得，即，故，由，，所以，可得，又，所以，(2)已知，得b=3√2a，在ΔABC中，由余弦定理可得，可得a2+18a2+6a2=400，解得a=4,b=12√2．解析：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，以及三角形面积公式，对正弦定理和余弦定理公式及其变形公式熟练记忆，是解决本题的关键．(1)利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦整理可求得cos C的值，进而求得C.(2)由△ACD面积是△BCD面积的3倍，可得b=3√2a，由余弦定理可得a2+18a2+6a2=400，求解可得结果．18.答案：证明：(1)设AC中点为G，连FG，BG，∵F为AD中点，∴FG//DC，FG=12DC，又由题意BE//CD，BE=12CD，∴EB//FG，且EB=FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EB//FG，又BG⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF//平面ABC．(2)∵平面BCDE所在平面垂直平面ABC，平面BCDE∩平面ABC=BC，AB⊂平面ABC，AB⊥BC，∴AB⊥平面BCDE，∵F为AD中点，∴V D−BCF=V F−BCD=12V A−BCD=16(12BC⋅DC)AB=43，所以，三棱锥D−BCF的体积是43．解析：(1)设AC中点为G，连FG，BG，推导出四边形BEFG为平行四边形，从而EB//FG，由此能证明EF//平面ABC．(2)V D−BCF=V F−BCD=12V A−BCD，由此能求出三棱锥D−BCF的体积．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：0.10；0.0002；0.20；0.25；0.0005；0.25；0.15；0.0003；0.05；1；0.002解析：解：(1)由频率=小矩形的高×组距求得各组的频率，列表如下：(2)平均值为1250×0.10+1750×0.20+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400(元)．(3)分层抽样的抽取比例为10010000=1100，数据在[2000,3500)的频率为(0.25+0.25+0.15)=0.65，∴总体中在[2000,3500)(元)月收入的人数为10000×0.65=6500，∴应抽出的人数为6500×1100=65人．(1)根据频率分布直方图中频率=小矩形的高×组距完成频率分布表；(2)数据的平均数为各个小矩形底边中点的横坐标乘以对应小矩形面积的和，由此计算可得；(3)求得分层抽样的抽取比例，利用频数=样本容量×频率求得总体中在[2000,3500)(元)月收入的人数，抽取的人数=抽取比例×频数．本题考查了频率分布直方图，频率分布表及分层抽样方法，在频率分布直方图中频率=小矩形的高×组距=频数样本容量．20.答案：(1)解：设动点P 坐标为(x,y)，当x ≠±2时，由条件得：y x−2⋅y x+2=−13，化简得x 24+3y 24=1，故曲线E 的方程为：x 24+3y 24=1(x ≠±2)；(2)证明：CD 斜率不为0，所以可设CD 方程为my =x +1，与椭圆联立得：(m 2+3)y 2−2my −3=0， 设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，所以y 1+y 2=2m m 2+3，y 1y 2=−3m 2+3，(x 1+2,y 1)⋅(x 2+2,y 2)=(m 2+1)y 1y 2+m(y 1+y 2)+1=(m 2+1)(−3m 2+3)+m ⋅2m m 2+3+1=0，所以AC ⊥AD ．解析：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)设动点P 坐标为(x,y)，当x ≠±2时，由条件得：y x−2⋅y x+2=−13，化简得曲线E 的方程；(2)设CD 方程与椭圆联立，利用数量积为0，证明AC ⊥AD ． 21.答案：(1)证明：f′(x)=e x−1−2x ．设f′(x)=p(x)=e x−1−2x ，则p′(x)=e x−1−2，p′(x)=0，得x 0=1+ln2．又函数p′(x)是单调增函数，所以x ∈(−∞,x 0)时，p′(x)<0；x ∈(x 0,+∞)时，p′(x)>0， 所以f′(x)在(−∞,x 0)上单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增．所以f′(x)≥f′(x 0)=−2ln2<0，f′(0)=1e >0,f′(4)=e 3−8>0，由零点存在性定理，得f′(x)=0存在两个根x 1，x 2且0<x 1<x 0,x 0<x 2<4，列表，所以函数f(x)有两个极值点x 1，x 2．(2)解：g(x)=e x−1−x 2+ax ，则g′(x)=e x−1−2x +a.因为函数g(x)为增函数，所以g′(x)≥0恒成立．即e x−1−2x+a≥0，所以a≥2x−e x−1．设ℎ(x)=2x−e x−1，则ℎ′(x)=2−e x−1，由ℎ′(x)=0，得x=1+ln2，当x<1+ln2时，ℎ′(x)>0，当x>1+ln2时，ℎ′(x)<0，所以1+ln2为函数ℎ(x)的极大值点，所以ℎ(x)≤ℎ(1+ln2)=2ln2．所以a≥2ln2．解析：本题主要考查利用导数研究函数的极值、单调性，属于中档题．(1)先求出函数的导数f′(x)，然后根据导函数的单调性与零点存在性定理证明出结论．(2)根据函数g(x)为增函数，转化为g′(x)≥0恒成立，利用分离参数法求解．)，即，22.答案：解：(Ⅰ)由C2的极坐标方程ρ=2√2cos(θ−π4ρ2=x2+y2，，，曲线C2直角坐标方程为：(x−1)2+(y−1)2=2．该曲线表示以(1,1)为圆心，√2为半径的圆．(Ⅱ)将C1的参数方程为为参数，0≤α<π)，代入(x−1)2+(y−1)2=2，整理得：t2−(2cosα+4sinα)t+3=0，设t1和t2为A、B在直线l上对应的参数，t1+t2=2cosα+4sinα，|=2，由于|MN|=2，则：|t1+t22得：cosα+2sinα=2，所以：1−sin2α=4(1−sinα)2，，或sinα=1．解得：sinα=35解析：本题考查参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，是中档题．(Ⅰ)利用互化公式将曲线C2的极坐标方程转化为直角坐标方程即可．(Ⅱ)将直线的参数方程与圆的直角坐标方程联立，利用根与系数的关系，即可求出结果．23.答案：解：(1)不等式f(x)−|x|<1，即为|x −2|−|x|<1，当x >2时，x −2−x <1，即x >2；当x <0时，2−x +x <1，即x ∈⌀；当0≤x ≤2时，2−x −x <1，解得x >12，即有12<x ≤2，综上可得不等式的解集为(12,+∞)；(2)∀x ∈R ，f(x)+g(x)≥a 2−2a 恒成立，即为|x −2|+|x +1|≥a 2−2a 恒成立，由|x −2|+|x +1|≥|x −2−x −1|=3，当且仅当−1≤x ≤2时，取得最小值3，可得a 2−2a ≤3，解得−1≤a ≤3．解析：(1)由题意可得|x −2|−|x|<1，讨论x 的范围，去绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集；(2)由题意可得|x −2|+|x +1|≥a 2−2a 恒成立，运用绝对值不等式的性质可得不等式左边的最小值，解a 的不等式，即可得到所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质：求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题．。

厦门市2020届高中毕业班线上质量检查（一）数学（文科）参考答案一、选择题．DBCCD BBDAD CA11．提示：如图，过P 作抛物线E 的准线的垂线PQ ，则2157PF PQ PF ==，又122PF PF a -=，∴127,5PF a PF a==在12PF F ∆中，由余弦定理得222211211212+2cos PF PF F F PF F F PF F =-⋅∠即2222549420a a c ac =+-，∴22650a ac c -+=∴(3)(2)0a c a c --=，∴32e e ==或又2b a >，∴222245b a c a >>，即，∴e >C12．研究函数()sin(1)1f x x x =-++的性质可得()y f x =是增函数，且过(1,0)-故要使得不等式()()0f x ax b ⋅-≥恒成立则y ax b =-必过(1,0)-且0a >，可得到0a b +=，故选A二、填空题．13．214．415．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭16．3416．提示1：12122222(1)2(1)n n n n a a n n a a n n +++⎧+=⎪+⎪⎨⎪+=+++⎪⎩，得222460(43)(2)n n n a a n n n n +---=<+++∴数列{}n a 的奇数项和偶数项分别为递减数列，由2331412a a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得234a =，由1222334a a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得1112a =-，∴max 23()4n a a ==提示2：11111211n n a a n n n n ++=--++++，得11111112n n a a n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴数列()11n a n n ⎧⎫⎪⎪-⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是公比为1-的等比数列，又31173412a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，()()711121n n a n n =⨯-++∴数列{}n a 的奇数项和偶数项分别为递减数列，又171112212a =-+=-，27131264a =+=，∴()2max 34n a a ==三、解答题．17．本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式等基础知识；考查推理论证、运算求解等能力；考查函数与方程、化归与转化、数形结合等思想．满分12分．解：（1）7cos cos 5c A a C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ，7sin sin cos sin cos 5C C A A C ∴-=------------1分7sin sin cos sin cos 5C A C C A ∴=+，()7sin sin +sin 5C A C B ∴==-------------------3分75c b ∴=，5c ∴=--------------------------------------------------------------------------------------5分法二：7cos cos 5c A a C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ，2222227522b c a a b c c a bc ab ⎛⎫+-+-∴-=⨯ ⎪⎝⎭----------2分()222222145bc b c a a b c ∴-+-=+-，21425bc b ∴=，5c ∴=--------------------------5分（2）3B π= 22222cos 25+25cos 3b a c ac B a a π∴=+-=-⨯⨯-------------------------------------------6分25240a a ∴--=，0a > ，8a ∴=------------------------------------------------------------8分 在ABD ❒中，3B π=，AD AB =，ABD ∴❒是等边三角形----------------------------9分5BD AB ∴==，3ADB π∠=，23ADC π∴∠=，3DC =-------------------------------11分112cos 35sin 223ADC S DC AD ADC π∴=⨯⨯⨯∠=⨯⨯=❒分18．本题考查直线与平面的位置关系；考查空间想象、推理论证、运算求解等能力；考查数形结合、化归与转化等思想．满分12分．解：（1）法一AD BC ，AD BCF ⊄面，BC BCF⊂面AD BCF ∴面 ------------------------------------------------------------------------------------------1分,,ED B ABCD AB D F C ⊥⊥ 平面平面ED BF ∴ ---------------------------------------2分又ED BCF ⊄面，BF BCF ⊂面，ED BCF ∴面 ----------------------------------------3分=AD ED D ，AED BCF ∴面面 ------------------------------------------------------------4分又AE AED ⊂面，AE BCF ∴面 ----------------------------------------------------------------5分法二：取CG 中点H ，连接,BH EH,,ED C ABCD AB D G C ⊥⊥ 平面平面// =ED CH ∴，EHCD ∴四边形为平行四边形---------------------------------------------------1分//// ==EH CD BA ∴，EHBA ∴四边形为平行四边形AE BH ∴ -----------------------------------------------------------------------------------------------3分,,HC B ABCD AB D F C ⊥⊥ 平面平面HC BF ∴ ，,,,B C H F ∴四点共面BH BCF ∴⊂面-----------------------------------------------------------------------------------------4分又AE BCF ⊄面，AE BCF ∴面 ----------------------------------------------------------------5分（2）法一：连接AC ，BD 交于点MD ED ABC ⊥ 面，AC ABCD ⊂面，ED AC ∴⊥------------------------------------------6分又AC BD ⊥，BD ED D= AC BDF ∴⊥面------------------------------------------------------------------------------------------8分在等边ABD ❒中，2BD =，AM AB ==分D ED ABC ⊥ 面，BF ABCD ⊥面ED BF ∴ ，又ED BF =，ED BD ⊥∴四边形EDBF 为矩形-------------------------------------------------------------------------------10分∴112DEF S DE EF =⨯⨯=❒-------------------------------------------------------------------------11分13D AEF A DEF DEF V V S AM --∴==⨯=❒分法二：D ED ABC ⊥ 面，BF ABCD ⊥面，ED BF ∴ ，又ED ADE ⊂面，BF ADE⊄面BF ADE ∴面 ------------------------------------------------------------------------------------------7分取AD 中点M ，连接BMD ED ABC ⊥ 面，BM ABCD ⊂面，ED BM ∴⊥----------------------------------------8分在等边ABD ❒中，BM AD⊥又AD ED D = ，BM ADE ∴⊥面---------------------------------------------------------------9分F ∴到面ADE的距离即为BM 10分又11212ADE S =⨯⨯=❒--------------------------------------------------------------------------------11分13D AEF F ADEADE V V S BM --∴==⨯=❒12分19、本小题主要考查频数分布表、分层抽样等基础知识；考查数据处理能力，运算求解能力；考查统计概率思想．满分12分．解：（1）依题意得129710074292m n n ++++=⎧⎪+⎨=⎪⎩------------------------------------------------------2分解得1251m n =⎧⎨=⎩-----------------------------------------------------------------------------------------------4分∴所抽取的100个龙眼干中特级品的频率为5170.58100+=∴用样本频率估计总体分布得，这批龙眼干中特级品的比例为58%-----------------------6分（2）农场选择方案A 获得的收入为16050030000y =⨯=（元）-------------------------7分设农场选择方案B 获得的收入为2y 元，则依题意得500千克龙眼干共可以分装1000袋，用样本频率估计总体分布得特级品有581000580100⨯=袋，一级品有291000290100⨯=袋，二级品有121000120100⨯=袋，三级品有1100010100⨯=袋．------------------------------9分∴2405803029020120101034400y =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）---------------------------11分 21y y >，∴农场应选择方案B ．----------------------------------------------------------------12分(注：用加权平均的计算方法得出正确答案同样给分)20．命题意图：本题考查曲线与方程，直线与圆锥曲线的位置关系等知识；考查数形结合，化归与转化思想；考查学生逻辑推理，数学运算等核心素养．满分12分解：（1）设点P 的坐标为(,)x y ，1213PA PA k k ⋅=- ，13----------------------------------------------------2分化简得：22312x y +=，又x ≠±故动点P 的轨迹Γ的方程为221(124x y x +=≠±--------------------------------------------4分（2）设直线:1l y kx =-与曲线Γ的交点为1122(,),(,)C x yD x y 由223121x y y kx ⎧+=⎨=-⎩得22(13)690k x kx +--=，--------------------------------------------------6分又0∆>，12122269,1313kx x x x k k +=⋅=-++---------------------------------------------------8分法一：要证2CD BE =，即证BC BD ⊥，即证0BC BD ⋅= ①，-----------------------9分11(,1)BC x y =- ，22(,1)BD x y =-BC BD ∴⋅ 1212(3)(3)x x kx kx =+-⋅-----------------------------------------------------------10分222212122229(1)18927(1)3()90131313k k k k x x k x x k k k -++=+-++=-=+++故①式成立，则命题得证．---------------------------------------------------------------------------12分法二：点E 坐标为2231(,)1313k k k -++----------------------------------------------------------------9分则222222229(63)(13)(13)k k BE k k +=+++422222229(451)9(41)(1)(13)(13)k k k k k k ++++==++----------------------------------------------------------10分22222222223636(13)36(1)(14)(1)(13)(13)k k k k CD k k k ++++=+⋅=++----------------------------------11分故224CD BE =，则命题得证．------------------------------------------------------------------12分21．本题考查函数的单调性、导数及其应用、不等式等知识；考查推理论证、运算求解等能力；考查函数与方程、化归与转化、分类与整合等思想．满分12分解：（1）依题意得()210x x f x e ae '=-+≥在R 上恒成立----------------------------------2分得1x x a e e ≤+，12x x e e +≥ （当0x =时等号成立）∴a 的取值范围为(],2-∞------------------------------------------------------------------------------4分（2）令()210x x f x e ae '=-+=，设(0)x t e t =>，则210t at -+=（*）当2a >时，240a ∆=->，设方程（*）的两个实根为()1212,t t t t <则122t t a +=>，121t t =，1201t t ∴<<<------------------------------------------------------6分()()()2121=x x x x f x e ae e t e t '∴=-+--当()1,ln x t ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增当()12ln ,ln x t t ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减当()2ln ,x t ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增()f x ∴有两个极值点()112212=ln ,ln 0x t x t x x =<<-----------------------------------------8分()222222134ln 2f x x t at t ∴+=-+()()2221222222114ln 4ln 1122t t t t t t t t =-++=-+->-------------------------------------10分令()214ln 1(1)2h x x x x =-+->，()244x h x x x x-'∴=-+=当()1,2x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减．----------------------------------------------11分()()max 234ln 20h x h ∴==-+<，()22+30f x x ∴<，即()223fx x <-．----------12分22．本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数形结合、函数与方程思想．满分10分．（1） 22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）∴曲线1C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=-----------------------------2分 cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴24cos 0ρρθ-=∴曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=--------------------------------------------------------------5分数学（文科）参考答案第7页，共7页（2）依题意设1(,)A ρθ，2(,)B ρθ，∴由4cos θαρθ=⎧⎨=⎩得14cos ρα=．由4sin θαρθ=⎧⎨=⎩得24sin ρα=． 04πα<<，∴12ρρ>．∴124cos 4sin AB OA OB ρραα=-=-=-．-------------------------------------------7分 OM 是圆1C 的直径，∴2OAM π∠=．∴在直角OAM ❒中，4sin AM α=--------------------------------------------------------------8分 在直角BAM ❒中，4AMB π∠=∴AB AM =，即4cos 4sin 4sin ααα-=---------------------------------------------------9分∴4cos 8sin αα=，即1tan 2α=．--------------------------------------------------------------10分23．本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想．满分10分．解：（1）()62f π> ，2316a a ∴+-+->，即314a a -+->--------------------------1分当3a ≥时，不等式化为3143a a a -+->⎧⎨≥⎩，4a ∴>-----------------------------------------------2分当13a <<时，不等式化为()()31413a a a ⎧-+->⎪⎨<<⎪⎩，此时a 无解----------------------------------3分当1a ≤时，不等式化为()()3141a a a ⎧-+->⎪⎨≤⎪⎩，0a ∴<-------------------------------------------4分综上，原不等式的解集为{|0a a <或4}a >--------------------------------------------------------5分（2）要证R x ∀∈，1()3+1f x a a ≥--恒成立即证R x ∀∈，12sin 1+1x a a ≥---恒成立-------------------------------------------------------6分2sin x 的最小值为2-，∴只需证121+1a a -≥---，即证11+12a a -+≥------------8分又11111+1112a a a a a a a a -+≥-++=+=+≥11+12a a ∴-+≥成立，∴原题得证---------------------------------------------------------------10分。

福建省厦门市2020届高三数学毕业班3月线上质量检查试题（一）理注意事项：1.答卷前，考生务必提前登入在线测试系统，核对个人信息。

2.回答选择题时，采用在线选择作答的方式，考生直接在相应题号中选择对应的选项，无需在答题卡上填涂答案。

3.回答非选择题时，采用在线拍照上传的方式，考生可自行打印答题卡进行作答；若无法打印的，可在A4白纸上按试题指定格式作答，作答区域大小尽可能与答题卡样式保持一致。

答题完毕，请按操作手册拍照上传，注意拍摄画质清晰，不要多拍、漏拍。

重复上传的以最后一次上传的图片结果为准。

4.居家测试，请自觉遵守考试纪律，严禁将试卷外传。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数12a i i+-(i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为 A.－2 B.－1 C.1 D.2 2.己知集合A ＝{x ∈N|2x ≤16}，B ＝{x|x 2－4x ＋3>0}，则A ∩B ＝A.{4}B.{0，4}C.[0，1)∪(3，4]D.(－∞，1)∪(3，4]3.随机变量ξ～N(μ，σ2)，若P(ξ≤1)＝0.3，P(1<ξ<5)＝0.4，则μ＝A.1B.2C.3D.44.直线l 过抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点，且与C 交于A ，B 两点，|AB|＝4，若AB 的中点到y 轴的距离为1，则p 的值是A.1B.2C.3D.45.斐波那契数列0，1，1，2，3，5，8，13，…是意大利数学家列昂纳多·斐波那契发明的。

右图是一个与斐波那契数列有关的程序框图。

若输出S 的值为88，则判断框中应该填入A.i ≥6?B.i ≥8?C.i ≥10?D.i ≥12?6.两个非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|＝2|b|，则向量a ＋b 与a 的夹角为 A.6π B.3π C.23π D.56π 7.已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，m//α，n ⊥β，则下列正确的是A.若α//β，则m ⊥nB.若α//β，则m//βC.若α⊥β，则n//αD.若α⊥β，则m ⊥n8.记数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －1，则S 20202＝A.22019－1B.22020－1C.2－(12)2019 D.2－(12)2020 9.函数f(x)的定义域为R ，其导函数为f'(x)，()01f x x '>+，且y ＝f(x －1)为偶函数，则 A.f(－2)<f(1) B.f(－2)＝f(1) C.f(－2)>f() D.|f(－2)>|f(1)|10.在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ，CD ＝DA ，M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，以下三个结论：①AC ⊥BD ；②MN//平面ABD ；③AD 与BC 一定不垂直，其中正确结论的序号是A.②B.①②C.②③D.①②③11.已知F 1、F 2是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 2且与C 的渐近线平行的直线与C 交于点P ，PF ⊥PF ，则C 的离心率为 3512.定义max{a ，b}＝,,a a b b a b ≥⎧⎨<⎩，若函数f(x)＝max{－x 2＋2，x －4}，数列{a n }满足a n ＋1＝f(a n )(n ∈N *)，若{a n }是等差数列，则a 1的取值范围是A.{－2，1}B.(－∞，－3]∪[2，＋∞)C.(－∞，－3]U{－2，1}D.(－∞，－3]∪[2，＋∞)∪{－2，1}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省厦门市 2020 届高三下学期第一次质量检查（3 月）数学（文）试题第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵集合∴，故选 D.2. 已知 为虚数单位，，若，则（）A.B. 0 C. 2 D. 4【答案】B【解析】∴∴∴ 故选 B. 3. 甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影” 三个社团中随机选取一个社团加入， 则这两名同学加入同一个社团的概率是（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意，甲乙两名同学各自等可能地从“象棋”、“文学”、“摄影” 三个社团中选取一个社团加入，共有种不同的结果，这两名同学加入同一个社团的有 3 种情况，则这两名同学加入同一个社团的概率是 .故选 B.4. 已知双曲线的渐近线方程为，焦距为 ，则该双曲线的标准方程是（ ）A.B.C.或【答案】C 【解析】∵双曲线的渐近线方程为D.或∴可设双曲线的标准方程为，即∵焦距为∴当 时，，即 ，则双曲线的标准方程为；当 时，，即 ，则双曲线的标准方程为.故选 C.点睛：（1）已知双曲线方程求渐近线：；（2）已知渐近线，设双曲线标准方程.5. 设 满足约束条件则的最小值是（ ）A.B. 0【答案】CC. 1D. 2【解析】约束条件对应的可行域如图所示：平移直线 故选 C.，由图易得，当经过点 时，目标函数最小，最小值为 1.6. 把函数的图象向右平移 个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则 的一个可能值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】∵函数∴函数∴把函数 的图象向右平移 个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到的函数解析式为.∵函数∴∴∴当 时， 故选 D. 7. 已知函数 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A.B.【答案】AC.D.【解析】由图可得函数 的定义域是，当时，，故排除 B，D选项；由图象可得函数图象不关于原点对称，而选项 C 为奇函数，故排除 C.故选 A.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．8. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】由三视图画出如图所示的直观图：该几何体是直三棱柱，其中，方形，则将该直三棱柱补全成长方体，如图所示：，，四边形是正∴该长方体的体对角线为，则外接球的半径为∴该几何体外接球的表面积是故选 A.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解；(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．9. 已知A.B.【答案】B【解析】∵，则 的大小关系是（ ）C.D.∴，，∴故选 B.10. 公元 263 年左右，我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法.如图是利用刘徽的割圆术”思想设汁的一个程序框图，若输出 的值为 24，则判断框中填入的条件可以为（ ）(参考数据：)A.B.C.D.【答案】C【解析】模拟执行程序可得： ，，不满足条件， ，，不满足条件， ，，因为输出 的值为 24，则满足条件，退出循环，故判断框中填入的条件为.故选 C.11. 矩形中，， 为 中点，将沿 所在直线翻折，在翻折过程中，给出下列结论：①存在某个位置，； ②存在某个位置，；③存在某个位置，； ④存在某个位置，.其中正确的是（ ）A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④【答案】C【解析】根据题意画出如图所示的矩形：翻折后如图：.对于①，连接 ，交 于点 ，易证，设，则，，所以，，则，即，，所以翻折后易得 平面 ，即可证，故①正确；对于②，若存在某个位置，，则 平面 ，从而平面平面 ，即 在底面 上的射影应位于线段 上，这是不可能的，故②不正确；对于③，若存在某个位置，，则 平面 ，平面 ⊥平面 ，则 就是二面角的平面角，此角显然存在，即当 在底面上的射影位于 的中点时，直线与直线 垂直，故③正确；对于④，若存在某个位置，，因为，所以平面 ，从而，这与已知矛盾，故④不正确.故选 C.12.的内角的对边分别为 ，若，则 的最大值为（ ）A.B.【答案】AC. 3 D. 4【解析】∵∴，即.∵∴∴∴当，即时， 取得最大值为∴故选 A.第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，若 ，则 __________．【答案】【解析】∵，且∴ ∴故答案为 .14. 已知，则__________．【答案】【解析】∵∴，即∴∴故答案为 .15. 若函数 【答案】 【解析】∵函数在 上单调递增，则 的取值范围是__________． 在 上单调递增∴在 上恒成立∴在 上恒成立∵∴故答案为.，当且仅当，即 时取等号16. 已知 是圆时，__________．【答案】【解析】依题意可得，当上两点，点 在抛物线上，当 取得最大值是圆 的切线时 取得最大值，即 是圆 的切点，设，.∵圆 ∴圆心 ∴，半径为 1∵∴令，则.∴当 时，，即函数 在上为减函数；当 时，，即函数 在上为增函数.∴，即.∴，即此时 最大.∴，即.故答案为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列 的前 项和味 ，，.（1）求数列 的通项公式；（2）记数列求数 的前 项和 .【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据题设条件可得，从而解出 与 的值，即可求出数列 的通项公式；（2）由（1）得数列 的通项公式，根据数列的特性采用分组求和法 即可求得前 项和 .试题解析：（1）由条件可得：消去 得：所以.，解得 或（舍），所以（2）由（1）得：所以数列 的前 项和为：. 18. 为了解学生的课外阅读时间情况，某学校随机抽取了 50 人进行统计分析，把这 50 人每 天阅读的时间(单位:分钟)绘制成频数分布表，如下表所示：若把每天阅读时间在 60 分钟以上（含 60 分钟）的同学称为“阅读达人”，根据统计结果中 男女生阅读达人的数据，制作出如图所示的等高条形图.（1）根据抽样结果估计该校学生的每天平均阅读时间（同一组数据用该区间的中点值作为代 表）； （2）根据已知条件完成下面的 列联表，并判断是否有 的把握认为“阅读达人”跟性 别有关？附：参考公式，其中.临界值表：【答案】（1） ；（2）没有 的把握认为“阅读达人”跟性别有关. 【解析】试题分析：（1）利用该组区间的中点值与频率，即可估计该校学生的每天平均阅读 时间；（2）利用数据及等高条形图，可得 列联表，代入公式计算出 ，与临界值比较即 可得到结论. 试题解析：（1）该校学生的每天平均阅读时间为：（分）. （2）由频数分布表得，“阅读达人”的人数是 根据等高条形图 列联表人，由于，故没有 的把握认为“阅读达人”跟性别有关.19. 如图，平面平面，四边形是菱形，,,.（1）求四棱锥的体积；（2）在 上有一点 ，使得，求 的值.【答案】（1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由四边形是菱形推出，在根据平面平面证出 平面 ，结合，求出梯形 的面积，即可求得四棱锥的体积；（2）在平面 内作,且,连接 交 于 ，从而四边形是平行四边形，再由菱形推出，通过即可得出 的值.试题解析：（1）∵四边形是菱形∴又∵平面平面∴ 平面在中,在梯形 中,梯形 的面积,平面 ,设∴四棱锥的体积为（2）在平面 内作,且∵,∴,且∴四边形是平行四边形.∴又菱形中,.∴∴四边形是平行四边形∴,即.∵∴又∴.平面,平面,计算得. ,连接 交 于 ，则点 满足,证明如下：20. 设 为坐标原点，椭圆的左焦点为 ，离心率为 .直线与 交于 两点， 的中点为 ，.（1）求椭圆 的方程；（2）设点 【答案】（1），求证:直线 过定点，并求出定点的坐标. ；（2）直线 过定点 .【解析】试题分析：（1）设椭圆的右焦点为 ，则 为的中位线，推出，结合离心率为 ，即可求出椭圆 的方程；（2）设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，表示出， ，即， ，再根据点出 的值，从而求出定点的坐标.试题解析：（1）设椭圆的右焦点为 ，则 为的中位线.，即可求∴∴∵ ∴ ∴∴椭圆 的方程为:（2）设，.联立,消去 整理得：.∴，∴，∵ ∴∴，整理得：解得： 或（舍去）∴直线 过定点 . 点睛：（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆 锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分 类讨论思想的考查； （2）解决定点、定值问题时，可直接根据题意进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去 变量，从而得到定值．21. 已知函数，其中 为自然对数的底数.（1）当时，证明：；（2）讨论函数 极值点的个数. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）依题意，，故原不等式可化为，记，对函数 求导，得出 的单调性，即可证明不等式成立；（2）对函数 求导，记，对函数记 再求导，然后对 进行分类讨论，判断出函数的单调性，从而得出函数的极值点 的个数. 试题解析：（1）依题意，，故原不等式可化为，因为 ，只要证.记，则.当时，， 单调递减；当 时，， 单调递增.∴，即，原不等式成立.（2）.记（ⅰ）当 时，， 在 上单调递增，，.∴存在唯一，且当 时，；当.①若，即时，对任意，此时 在 上单调递增，无极值点；②若，即时，此时当 或时，.即 在上单调递增；当时，，即 在和一个极小值点 ；③若，即时，此时当或上单调递减；此时 有一个极大值点时，.即 在上单调递增；当时，，即 在上单调递减：此时 有一个极大值点和一个极小值点 .（ⅱ）当 时，，所以，显然 在单调递增；此时 有一个极小值点 ，无极大值点.（ⅲ）当时，由（1）可知，对任意单调递减；在上，从而，而对任意.∴对任意.此时令，得；令，得.∴在 点.单调递减；在上单调递增；此时 有一个极小值点 ，无极大值（ⅳ）当 时，由（1）可知，对任意，当且仅当 时取等号.此时令，得；令得.∴在 点.单调递减；在上单调递增；此时 有一个极小值点 ，无极大值综上可得：①当或时， 有两个极值点；②当时， 无极值点；③当时， 有一个极值点.点睛：求函数 极值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数 ；（3）解方程求出函数定义域内的所有根；（4）列表检查 在的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 在 处取极小值；（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 的参数方程为（ 为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为.（1）若曲线 上一点 的极坐标为 ，且 过点 ，求 的普通方程和 的直角坐标方程；（2）设点， 与 的交点为 ，求的最大值.【答案】（1）,；（2） .【解析】试题分析：（1）把代入曲线 ，再化为直角坐标，结合直线 的参数方程得直线 过点，得直线 的普通方程，然后根据即可得到曲线 的直角坐标方程；（2）把直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，结合韦达定理及三角函数的图像与性质，即可求得的最大值.试题解析：（1）把代入曲线 可得化为直角坐标为，又 过点，得直线 的普通方程为；可化为.由可得，即曲线 的直角坐标方程为.（2）把直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程得，得，①，化简可得，故 与 同号.∴，∴ 时，有最大值 .∴此时方程①的，故有最大值 .23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 （1）当 时，求不等式. 的解集；（2）设关于 的不等式的解集为 ，且，求 的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）当时，由零点分段法，求不等式的解集，最后取并集即可；（2）由题设条件可得在 上恒成立，然后分类讨论去绝对值，即可求得 的取值范围.试题解析：（1）当时，，，即或或.解得或或，所以或或.∴原不等式的解集为.（2）∵，∴当时，不等式恒成立，即当时，，即，∴∴在 上恒成立，∴，即；当时，，即，即∴在 上恒成立，∴，即；综上， 的取值范围为.在 上恒成立， .。

厦门市2021届高中毕业班第|一次质量检查数学 (理科 )试题本试卷分第|一卷 (选择题 )和第二卷 (非选择题 )两局部．总分值150分,考试时间120分钟． 考生注意：1．答题前 ,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 "准考证号、姓名、考试科目〞与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第|一卷每题选出答案后 ,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 ,如需改动 ,用橡皮擦干净后 ,再选涂其他答案标号．第二卷用毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．假设在试题卷上作答 ,答案无效．第|一卷 (选择题 共60分 )一、选择题：本大题共12小题 ,每题5分 ,在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的．1. 集合{}2560A x x x =--≤ ,11B x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭0 ,那么AB 等于A. [16]-， B. (16]， C. [1+)-∞， D. [23]， 2.复数iia z -+=1 (其中i 为虚数单位 ) ,假设z 为纯虚数 ,那么实数a 等于 A. 1- B. 0 C. 1 D. 23. ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,假设4523A a b =︒==，， ,那么B 等于A. 30︒B. 60︒C. 30︒或150︒D. 60︒或120︒4. 假设实数x y ，满足条件1230x x y y x≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩,那么1y z x =+的最|小值为A.13B. 12C. 34D. 15.平面α⊥平面β ,=l αβ ,直线m α⊂ ,直线n β⊂ ,且m n ⊥ ,有以下四个结论：① 假设//n l ,那么m β⊥ ② 假设m β⊥ ,那么//n l ③ m β⊥和n α⊥同时成立 ④ m β⊥和n α⊥中至|少有一个成立其中正确的选项是A ．①③B ． ①④C ． ②③D ． ②④ 6．Rt ABC ∆ ,点D 为斜边BC 的中点 ,63AB = ,6AC = ,12AE ED =,那么AE EB ⋅等于A. 14-B. 9-C. 9D.147.抛物线24y x =的焦点为F ,点(3,2)A ,P 为抛物线上一点 ,且P 不在直线AF 上 ,那么PAF ∆周长的最|小值为A. 4B. 5C.D.8.某校高三年级|有男生220人 ,学籍编号 1 ,2 ,… ,220；女生380人 ,学籍编号221 ,222 ,… ,600.为了解学生学习的心理状态 ,按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查 (第|一组采用简单随机抽样 ,抽到的号码为10 ) ,然后再从这10位学生中随机抽取3人座谈 ,那么3人中既有男生又有女生的概率是 A ．15 B. 310 C. 710 D.459.二分法是求方程近似解的一种方法 ,其原理是 "一分为二 ,无限逼近〞.执行如下图的程序框图 ,假设输入12120.1x x d ===，， ,那么输出n 的值为A.2B.3C.4D. 510.定义在(0,)+∞上连续可导的函数()f x 满足'()()xf x f x x += ,且(1)1f = ,那么A. ()f x 是增函数B.()f x 是减函数C. ()f x 有最|大值1D. ()f x 有最|小值111.双曲线22221(,0)x y a b a b-=> ,过x 轴上点P 的直线l 与双曲线的右支交于N M ，两点(M 在第|一象限 ) ,直线MO 交双曲线左支于点Q (O 为坐标原点 ) ,连接QN .假设60MPO ∠=︒ ,30MNQ ∠=︒ ,那么该双曲线的离心率为A.B. C. 2 D. 412．P ,Q为动直线(02y m m =<<与sin y x =和cos y x =在区间[0,]2π上的左 ,右两个交点 ,P ,Q 在x 轴上的投影分别为S ,R .当矩形PQRS 面积取得最|大值时 ,点P 的横坐标为0x ,那么 A ．08x π< B. 08x π=C.086x ππ<<D.06x π>第二卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题 ,每题5分 ,共20分．13．5(2x 的展开式中___________ 14．化简：01cos80=____________15．某三棱锥的三视图如下图 ,那么其外接球的外表积为______ 16．假设实数a ,b ,c 满足22(21)(ln )0a b a c c --+--= ,那么b c -的最|小值是_________三、解答题：本大题共6小题 ,共70分 ,解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． (本小题总分值12分 ) 数列{}n a ,满足11a = ,1323n n n a a a +=+ ,*n N ∈.(Ⅰ )求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； (Ⅱ )设212233445212221111111n n n n n T a a a a a a a a a a a a -+=-+-++-,求2n T .18． (本小题总分值12分 )为了响应厦门市政府 "低碳生活 ,绿色出行〞的号召 ,思明区委文明办率先全市发起 "少开一天车 ,呵护厦门蓝〞绿色出行活动 , "从今天开始 ,从我做起 ,力争每周至|少一天不开车 ,上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车 ,鼓励拼车……〞铿锵有力的话语 ,传递了低碳生活、绿色出行的理念 .某机构随机调查了本市500名成年市民某月的骑车次数 ,统计如下：联合国世|界卫生组织于2021年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人 ,45岁至|59岁为中年人 ,60岁及以上为老年人．记本市一个年满18岁的青年人月骑车的平均次数为μ.以样本估计总体. (Ⅰ )估计μ的值；(Ⅱ )在本市老年人或中年人中随机访问3位 ,其中月骑车次数超过μ的人数记为ξ ,求ξ的分布列与数学期望.19． (本小题总分值12分 )在如下图的六面体中 ,面ABCD 是边长为2的正方形 ,面ABEF 是直角梯形 ,90FAB ∠= ,//AF BE ,24BE AF ==. (Ⅰ )求证：AC //平面DEF ；(Ⅱ )假设二面角E AB D --为60 ,求直线CE 和平面DEF 所成角的正弦值.20. (本小题总分值12分 ) 函数()ln 1()f x x kx k R =-+∈. (Ⅰ )讨论函数()f x 的零点个数；(Ⅱ )当1k =时 ,求证：12()2x f x x e -≤--恒成立.21． (本小题总分值12分 )椭圆222:12)4x y C b b +=<< ,动圆P ：22004()()3x x y y -+-= (圆心P 为椭圆C上异于左右顶点的任意一点 ) ,过原点O 作两条射线与圆P 相切 ,分别交椭圆于M ,N 两点 ,且切线长的最|(Ⅰ )求椭圆C 的方程；(Ⅱ )求证：MON ∆的面积为定值.22. (本小题总分值10分 )选修4 -4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中 ,曲线1C：2x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，．(α为参数 )．以O 为极点 ,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ,曲线2C 的极坐标方程为θρcos 8= ,直线l 的极坐标方程为)(3R ∈=ρπθ．(Ⅰ )求曲线1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ )假设直线l 与1C ,2C 在第|一象限分别交于A ,B 两点 ,P 为2C 上的动点 , 求PAB ∆面积的最|大值．23. (本小题总分值10分 )选修4 -5：不等式选讲函数()1(1)f x x x m m =-+-> ,假设()4f x >的解集是{}04x x x <>或.(Ⅰ )求m 的值；(Ⅱ )假设关于x 的不等式4)(2-+<a a x f 有解 ,求实数a 的取值范围.。

2020年福建省厦门市高考数学模拟试卷(文科)(一)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|x(x−4)≤0}，B={1,3，5}，则A∩B=()A. {0,1，5}B. {0,2，4}C. {0,3}D. {1,3}2.椭圆y213+x24=1的焦点坐标为()A. (±2,0)B. (±3,0)C. (0,±2)D. (0,±3)3.已知等差数列{a n}中，a4+a6=10，前5项和S5=5，则其公差为()A. 1B. 2C. 3D. 44.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽在《周髀算经》中注释了其理论证明，其基本思想是图形经过割补后面积不变.即通过如图所示的“弦图”，将匀股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实，开方除之，即弦”(其中a,b,c分别为勾股弦)；证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实”，即2ab+(b−a)2=c2，化简得a2+b2=c2.现已知a=6，b=8，向外围大正方形ABCD区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在中间小正方形A1B1C1D1内的概率是()A. 149B. 125C. 2549D. 24495.已知tanα=13，则tan2α=()A. −43B. 43C. −34D. 346.已知直线l⊥平面α，直线m//平面β，则下列命题正确的是()A. 若α⊥β，则l//mB. 若l⊥m，则α//βC. 若l//β，则m⊥αD. 若α//β，则l⊥m7. 菱形ABCD 中，AC =2，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −32B. −3C. 12D. 28. 已知{a n }满足a 1=1，a n +a n+1=(14)n (n ∈N ∗)，S n =a 1+4a 2+42a 3+⋯+4n−1a n ，则5S n −4n a n =( )A. n −1B. nC. 2nD. n 29. 3、已知，则等于( ) A.B.C.D.10. 在三棱锥D −ABC 中，AB =BC =CD =DA =1，且AB ⊥BC ，CD ⊥DA ，M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论：①AC ⊥BD ；②MN//平面ABD ；③三棱锥A −CMN 的体积的最大值为√212；④AD 与BC 一定不垂直． 其中所有正确命题的序号是( )A. ①②③B. ②③④C. ①④D. ①②④11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 是双曲线C 上的两点，且AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，cos∠AF 2B =35，则该双曲线的离心率为( )A. √10B. √102 C. √52D. √512. 函数f(x)=x −e x (x ∈R)的最大值为( )A. 1B. −1C. e −1D. 1−e二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 复数z =3+4i1−2i (i 为虚数单位)的虚部为______．14. 设实数x ，y 满足约束条件{3x +y ≥5x −4y ≥−74x −3y ≤11，则z =x +2y 的最大值为______．15. 已知数列{a n }满足a 3=−12，a n+1=1+an 1−a n (n ∈N ∗)，则a 2的值为______ ． 三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知函数f(x)=Asin(2x+φ)(A>0)，其中角φ的终边经过点P(−1,1)，且0<φ<π.则φ=，f(x)的单调减区间为．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosA−√3ccosA=√3acosC．(1)求角A的值；(2)若∠B=π，BC边上中线AM=√7，求△ABC的面积．618.如图，已知AB⊥BC，BE//CD，∠DCB=90°，平面BCDE⊥平面ABC，CD=4，AB=BC=BE=2，F为AD中点．(1)证明：EF//平面ABC；(2)求三棱锥D−BCF的体积．19.2018年3月3日至20日中华人民共和国第十三届全国人民代表大会第一次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第一次会议在北京胜利召开，为及时宣传国家政策，贯彻两会精神，某校举行了全国两会知识竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，随机抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分100分，最低分不低于50分)进行统计，得出频率分布表如下：(1)求表中a，b，c，n的值;(2)若从成绩较好的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6人担任两会知识宣传员，则从第3，4，5组中应分别抽取多少人?20.ΔABC两个顶点A、B的坐标分别是(−1,0)、(1,0)，边AC、BC所在直线的斜率之积是−4．(1)求顶点C的轨迹方程；(2)求直线2x−y+1=0被此曲线截得的弦长．21. 已知函数f(x)=e x e−x 2．(1)证明：函数f(x)有两个极值点x 1，x 2；(2)若g(x)=f(x)+ax 为增函数，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =ty =t +1(t 为参数)，曲线C 的参数方程是为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)已知射线OP ：θ1=α(其中0<α<π2)与曲线C 交于O ，P 两点，射线OQ ：θ2=α+π2与直线l 交于Q 点，若△OPQ 的面积为1，求α的值和弦长|OP|．23.已知函数f(x)=|x−a|．(1)若a=2，解不等式：xf(x)<x；(2)若f(x)+f(x+2a)≥|a|−|a−1|+3对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题．解不等式，利用交集的定义计算即可．解：集合A={x∈Z|x(x−4)≤0}={0,1，2，3，4}，集合B={1,3，5}，则A∩B={1,3}．故选D．2.答案：D解析：解：椭圆的y213+x24=1中a2=13，b2=4，∴c2=a2−b2=9，又该椭圆焦点在y轴，∴焦点坐标为：(0,±3)．故选：D．确定椭圆的y213+x24=1中a2=13，b2=4，求出c，即可求出椭圆的焦点坐标．本题考查椭圆的简单性质，利用c2=a2−b2是关键，属于基础题．3.答案：B解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4+a6=10，前5项和S5=5，∴2a1+8d=10，5a1+5×42d=5，解得a1=−3，d=2．则其公差为2．故选：B．利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：A解析：本题考查几何概型概率的求解，由题意可知为面积型，分别求出小正方形和大正方形的面积，代入几何概型的面积公式即可求解．解：由题意可知为几何概型，大正方形的面积为14×14=196，小正方形的面积为，(8−6)×(8−6)=4，则由几何概型的概率公式得到所求概率为4196=149；故选A．5.答案：D解析：解：由tan2α=2tanα1−tan2α=2×131−19=34．故选：D．根据正切的二倍角公式求解即可．本题主要考察了正切的二倍角公式的应用，属于基本知识的考查．6.答案：D解析：本题考查的知识点是空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的判定，熟练掌握空间线面关系的几何特征是解答本题的关键．A中l与m位置不确定，B中α与β可能相交，C中m与α的位置不确定，D正确．解：对于A，若α⊥β，直线l⊥平面α，直线m//平面β，则l与m可能平行、可能相交也可能异面，故A不正确；对于B，若l⊥m，直线l⊥平面α，直线m//平面β，则α与β可能平行也可能相交，故B不正确；对于C，m与α的位置不确定，故C不正确；对于D，若α//β，直线l⊥平面α，则直线l⊥平面β，又∵直线m//平面β，则l⊥m，故D正确．故选D．7.答案：D解析：解：因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠CAD =12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2， 故选D ．根据向量的数量积公式计算即可．本题考查向量数量积的概念与计算，注意结合菱形的对角线的性质．8.答案：B解析：解：∵a n +a n+1=(14)n (n ∈N ∗)， ∴a n+1−45(14)n+1=−[a n −45(14)n ]，∴数列{a n −45(14)n }是等比数列，首项为45，公比为−1， ∴a n =45(14)n +45×(−1)n−1， 4n−1a n =15+(−1)n−1×15×4n ， 4na n =45+(−1)n−1×4n+15，∴5S n =n −−4[1−(−4)n ]1−(−4)=n +45−(−4)n 5，∴5S n −4n a n =n ． 故选：B ．a n +a n+1=(14)n (n ∈N ∗)，变形为：a n+1−45(14)n+1=−[a n −45(14)n ]，利用等比数列通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：B解析：lg12=lg4+lg3=2lg2+lg3=2a +b ．10.答案：D解析：本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是中档题． 根据题意画出图形，结合图形，利用空间中的平行与垂直关系，判断选项中的命题是否正确即可． 解：设AC 的中点为O ，连接OB 、OD ，如图所示；则AC ⊥OB ，AC ⊥OD ，又OB ∩OD =O ，所以AC ⊥平面OBD ， 所以AC ⊥BD ，故①正确；因为MN//BD ，所以MN//平面ABD ，故②正确； 当平面DAC 与平面ABC 垂直时，V 三棱锥A−CMN 最大，最大值为V 三棱锥A−CMN =V 三棱锥N−ACM =13×14×√24=√248，故③错误；若AD 与BC 垂直，又因为AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC ⊥BD ， 又BD ⊥AC ，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD ⊥OB ，因为OB =OD ，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故④正确． 综上知，正确的命题序号是①②④． 故选：D ．11.答案：B解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查离心率的计算能力．属于中档题．设|F 1A|=3x ，|F 1B|=x ，在△ABF 2中，由余弦定理列方程可得△ABF 2是直角三角形，从而得出a ，b ，c 的关系，即可得该双曲线的离心率．解：∵AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴A ，B 在F 的y 异侧，∴A ，B 在双曲线同一支上， 如图，设|F1A|=3x，|F1B|=x，则|AB|=4x，|BF2|=2a+x，|AF2|=2a+3x，在△ABF2中，由余弦定理得：(4x)2=(2a+x)2+(2a+3x)2−2(2a+x)(2a+3x)×3，5解得x=a，∴AF2=5a，AB=4a，BF2=3a，∴△ABF2是直角三角形，．在Rt△F1BF2中，a2+(3a)2=(2c)2，代入得10a2=4c2，即e2=52．则该双曲线的离心率为e=√102故选：B．12.答案：B解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性及求最值．解：由题意解得，f′(x)=1−e x，则函数f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，则f(x)max=f(0)=−1，故选B．13.答案：2解析：本题考查复数的四则混合运算，属于基础题型，直接求解即可．解：由题意，复数z =3+4i 1−2i =(3+4i )(1+2i )(1−2i )(1+2i )=−5+10i 5=−1+2i, 故复数z =3+4i 1−2i (i 为虚数单位)的虚部为2，故答案为2．14.答案：11解析：解：作出约束条件表示的可行域如图，化目标函数z =x +2y 为y =−x 2+z2，联立{x −4y =−74x −3y =11，解得A(5,3)， 由图可知，当直线z =x +2y 过点(5,3)时，z 取得最大值11．故答案为：11．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是中档题． 15.答案：−3解析：利用递推关系直接代入计算即可．本题考查求数列的某项，利用递推关系式直接计算即可，属于基础题．解：∵a 3=−12，a n+1=1+an 1−a n (n ∈N ∗)， ∴a 3=1+a 21−a 2，即−12=1+a21−a 2， 解得：a 2=−3．故答案为：−3．16.答案：3π4[−π+kπ,3π+kπ](k ∈Z)解析：解：OP =√2，∴cosφ=√2=−√22． ∵0<φ<π，∴φ=3π4．f(x)=Asin(2x +3π4)=−Asin(2x −π4). 令−π2+2kπ≤2x −π4≤π2+2kπ，解得−π8+kπ≤x ≤3π8+kπ． ∴f(x)的单调减区间为[−π8+kπ,3π8+kπ](k ∈Z)． 故答案为3π4，[−π8+kπ,3π8+kπ](k ∈Z)．根据三角函数的定义求出cosφ，得出φ；得出f(x)的解析式，利用正弦函数的单调性列出不等式解出．本题考查了正弦函数的图象与性质，属于中档题．17.答案：解：(1)∵2bcosA −√3ccosA =√3acosC ，由正弦定理，得2sinBcosA −√3sinCcosA =√3sinAcosC ，∴2sinBcosA =√3sin(A +C)=√3sinB ，∵sinB ≠0，∴cosA =√32， 又∵0<A <π，∴A =π6．(2)∵∠B=π6，∴C=π−A−B=2π3，可知△ABC为等腰三角形，a=b，∵在△ABC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2−2AC⋅MCcos120°，即7=b2+(b2)2−2×b×b2×cos120°，∴b=2，∴△ABC的面积S=12b2sinC=√3．解析：【试题解析】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．(1)由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式可得2sinBcosA=√3sinB，结合sinB≠0可求cosA=√32，结合范围0<A<π，即可得解A的值．(2)由已知及三角形内角和定理可求C，进而利用余弦定理可求b的值，根据三角形面积公式即可计算得解．18.答案：证明：(1)设AC中点为G，连FG，BG，∵F为AD中点，∴FG//DC，FG=12DC，又由题意BE//CD，BE=12CD，∴EB//FG，且EB=FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EB//FG，又BG⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF//平面ABC．(2)∵平面BCDE所在平面垂直平面ABC，平面BCDE∩平面ABC=BC，AB⊂平面ABC，AB⊥BC，∴AB⊥平面BCDE，∵F为AD中点，∴V D−BCF=V F−BCD=12V A−BCD=16(12BC⋅DC)AB=43，所以，三棱锥D−BCF的体积是43．解析：(1)设AC中点为G，连FG，BG，推导出四边形BEFG为平行四边形，从而EB//FG，由此能证明EF//平面ABC．V A−BCD，由此能求出三棱锥D−BCF的体积．(2)V D−BCF=V F−BCD=12本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：(1)由频率分布表得，n=4÷0.04=100，a=100−4−14−28−42=12，b=12÷100=0.12，c=14÷100=0.14．(2)∵第3，4，5组共有84人，∴利用分层抽样在84人中抽取6人，×14=1(人)，第3组应抽取684×28=2(人)，第4组应抽取684×42=3(人)，第5组应抽取684∴第3，4，5组中应分别抽取1人、2人、3人．解析：本题主要考查频率分布表以及分层抽样，属于基础题．(1)根据频率分布表即可求出a，b，c，n的值；(2)第3、4、5组共有84名学生，利用分层抽样在84名学生中抽取6名学生，第3、4、5组应分别抽取1人、2人、3人．20.答案：解：(1)设C(x,y)，由k AC =y x+1,k BC =y x−1,(x ≠±1)，由k AC ·k BC =y x+1·y x−1=−4 ，化简可得4x 2+y 2=4 ．所以顶点C 的轨迹方程为4x 2+y 2=4(x ≠±1)．(2)设直线2x −y +1=0与曲线4x 2+y 2=4(x ≠±1)相交于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)．联立{4x 2+y 2=42x −y +1=0 化为8x 2+4x −3=0 则x 1+x 2=−12,x 1x 2=−38, ． 弦长d =√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(1+22)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =√5[(−12)2−4×(−38)]=√352所以直线2x −y +1=0被曲线4x 2+y 2=4(x ≠±1)截得的弦长为√352．解析：本题是中档题，考查点的轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线相交弦长，考查计算能力，注意直线的斜率垂直的条件的应用，属于难题．(1)设出C 的坐标，利用AC 、BC 所在直线的斜率之积等于−4，列出方程，求出点C 的轨迹方程；(2)把直线方程与曲线方程联立方程组，同时设交点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2).可得x 1+x 2，x 1x 2，由圆锥曲线中的弦长公式可得弦长．21.答案：(1)证明：f′(x)=e x−1−2x ．设f′(x)=p(x)=e x−1−2x ，则p′(x)=e x−1−2，p′(x)=0，得x 0=1+ln2．又函数p′(x)是单调增函数，所以x ∈(−∞,x 0)时，p′(x)<0；x ∈(x 0,+∞)时，p′(x)>0， 所以f′(x)在(−∞,x 0)上单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增．所以f′(x)≥f′(x 0)=−2ln2<0，f′(0)=1e >0,f′(4)=e 3−8>0，由零点存在性定理，得f′(x)=0存在两个根x1，x2且0<x1<x0,x0<x2<4，列表，x(−∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f′(x)+0−0+f(x)增极大值减极小值增所以函数f(x)有两个极值点x1，x2．(2)解：g(x)=e x−1−x2+ax，则g′(x)=e x−1−2x+a.因为函数g(x)为增函数，所以g′(x)≥0恒成立．即e x−1−2x+a≥0，所以a≥2x−e x−1．设ℎ(x)=2x−e x−1，则ℎ′(x)=2−e x−1，由ℎ′(x)=0，得x=1+ln2，当x<1+ln2时，ℎ′(x)>0，当x>1+ln2时，ℎ′(x)<0，所以1+ln2为函数ℎ(x)的极大值点，所以ℎ(x)≤ℎ(1+ln2)=2ln2．所以a≥2ln2．解析：本题主要考查利用导数研究函数的极值、单调性，属于中档题．(1)先求出函数的导数f′(x)，然后根据导函数的单调性与零点存在性定理证明出结论．(2)根据函数g(x)为增函数，转化为g′(x)≥0恒成立，利用分离参数法求解．22.答案：解：(Ⅰ)直线l的参数方程是{x=ty=t+1(t为参数)，转换为直角坐标方程为：x−y+1=0．转换为极坐标方程为：ρcosθ−ρsinθ+1=0．曲线C的参数方程是为参数)，转换为直角坐标方程为：(x−2)2+y2=4，转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ．(Ⅱ)由于0<α<π2，所以|OP|=4cosα，，|OQ|=1sinα+cosα，所以S △OPQ =12|OP||OQ|=2cosαcosα+sinα=1，所以tanα=1，由于0<α<π2，故α=π4，所以|OP|=4cos π4=2√2．解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题． (Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；(Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和三角形的面积公式的应用求出结果． 23.答案：解：(1)a =2时，不等式xf(x)<x 可化为{x ≥2(x −2)x <x ①或{x <2−x(x −2)<x②； 解①得2≤x <3，解②得x <0或1<x <2；综上，原不等式的解集为{x|x <0或1<x <3}；(2)f(x)+f(x +2a)≥|a|−|a −1|+3对任意的实数x 恒成立，可化为|x −a|+|x +a|≥|a|−|a −1|+3对任意的实数x 恒成立，∵|x −a|+|x +a|≥|2a|，∴|2a|≥|a|−|a −1|+3，∴|a|+|a −1|≥3；a <0时，不等式化为−a −a +1≥3，解得a ≤−1；0≤a ≤1时，不等式化为a −a +1≥3，不成立；a >1时，a +a −1≥3，解得a ≥2；综上，实数a 的取值范围是a ≤−1或a ≥2．解析：(1)a =2时不等式xf(x)<x 化为{x ≥2(x −2)x <x 或{x <2−x(x −2)<x；求出不等式组的解集，再求并集；(2)由题意可化为|x −a|+|x +a|≥|a|−|a −1|+3对任意的实数x 恒成立，根据绝对值不等式|x −a|+|x +a|≥|2a|，得出|2a|≥|a|−|a −1|+3，求绝对值不等式的解集即可．本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。

厦门市2020届高中毕业班3月线上质量检查(一)数学(文科)试题注意事项：1.答卷前，考生务必提前登入在线测试系统，核对个人信息。

2.回答选择题时，采用在线选择作答的方式，考生直接在相应题号中选择对应的选项，无需在答题卡上填涂答案。

3.回答非选择题时，采用在线拍照上传的方式，考生可自行打印答题卡进行作答；若无法打印的，可在A4白纸上按试题指定格式作答，作答区域大小尽可能与答题卡样式保持一致。

答题完毕，请按操作手册拍照上传，注意拍摄画质清晰，不要多拍、漏拍。

重复上传的以最后一次上传的图片结果为准。

4.居家测试，请自觉遵守考试纪律，严禁将试卷外传。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|y＝ln(x－1)}，则A∩B＝A.{－1，0，1}B.{－1，0}C.{1，2}D.{2}2.椭圆C：2x2＋y2＝2的焦点坐标为A.(－1，0)，(1，0)B.(0，－1)，(0，1)C.(－3，0)，(3，0)D.(0，－3)，(0，3)3.记S n为等差数列{a n}的前n项和，且a4＝0，S9＝－9，则数列{a n}的公差是A.2B.1C.－1D.－24.《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，右图是赵爽弦图及注文。

弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱色及黄色，其面积称为朱实、黄实。

由2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实，化简得勾2＋股2＝弦2。

若图中勾股形的勾股比为1：2，向弦图内随机抛掷100颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉颗数大约为(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)A.2B.4C.6D.85.已知角α的终边经过点(3，－4)，则tan2α＝A.－83B.43-C.83D.2476.α，β是两个平面，l ，m 是两条直线，且l //α，m ⊥β，则下列命题中正确的是A.若α//β，则l //mB.若α//β，则l ⊥mC.若α⊥β，则l //mD.若α⊥β，则l ⊥m7.在菱形ABCD 中，AB ＝4，∠ABC ＝3π，E 为CD 的中点，则AC AE ⋅=u u u r u u u r A.10 B.12 C.16 D.368.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋1(n ≥2)，则a 7＝A.31B.32C.63D.649.已知a ＝log 25＋log 52，b ＝log 25·log 52，c ＝25log 5log 2，则 A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<b<a10.在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝1，D ，E ，F ，G 分别为AC ，A 1C 1，AA 1，CC 1的中点，P 是线段DF 上的一点。

2020年福建省厦门市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−3<x <6}，B ={x|2<x <7}，则A ∩(∁R B)=( )A. (2,6)B. (2,7)C. (−3,2]D. (−3,2)2. 复数z 的共轭复数z −满足(2+i)z −=|3+4i|，则z =( )A. 2+iB. 2−iC. 1+2iD. 1−2i3. 某学校有男运动员100名，女运动员有50名，用分层抽样的方法从这150名运动员中抽一个容量为12的样本，那么应该抽男运动员( )A. 4人B. 6人C. 8人D. 10人4. 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 10=100，则a 8的值为( )A. 16B. 15C. 14D. 135. 函数f(x)=xe x +2，x ∈[0,6]的最小值为( )A. 0B. 2C. 1e +2D. 6e 6+26. 已知正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，侧棱长为底面边长的2倍，E 点为AD 的中点，则三棱锥D −BEC 1的体积为( )A. 83 B.4 C. 43 D. 87. 设a =3x 2−x +2，b =2x 2−x −1，则a 与b 的大小关系为( )A. a >bB. a =bC. a <bD. 与x 有关8. 已知函数f(x)=asinx −√3cosx 的一条对称轴为x =−π6，若f(x 1)·f(x 2)=−4，则|x 1+x 2|的最小值为( )A. π3B. π2C. 2π3D. 3π49. 已知AB 为圆C 的弦，C 为圆心，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −2 B. 2 C. √3D. −√310.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数y=f(x)在x=x1，x=x2，x=x3(x1<x2<x3)处的函数值分别为y1=f(x1)，y2=f(x2)，y3=f(x3)，则在区间[x1,x3]上f(x)可以用二次函数来近似代替：f(x)≈y1+k1(x−x1)+k2(x−x1)(x−x2)，其中k1=y2−y1x2−x1，k=y3−y2x3−x2，k2=k−k1x3−x1.若令x1=0，x2=π2，x3=π，请依据上述算法，估算sinπ5的值是()A. 1425B. 35C. 1625D. 172511.已知双曲线C：x216−y2b2=1(b>0)的右焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，则双曲线C的渐近线方程为()A. 4x±3y=0B. 3x±4y=0C. 16x±9y=0D. 9x±16y=012.若函数f(x)=ax3−5ax2−｜x｜有四个不同的零点，则实数a的取值范围是()A. (−254,0) B. (−1,−425) C. (−∞,−254) D. (−∞,−425)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若(2x−1x)n展开式中各项的二项式系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为______ ．14.要将甲、乙、丙、丁四位老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，则共有分配方案的种数为______．15.已知圆C1：(x−1)2+(y−2)2=9，C2：(x+3)2+(y−1)2=1，则两圆的外公切线段长等于______ ．16.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则当点M满足条件________时，有MN//平面B1BDD1．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且bsin2A=asinB．(1)求A；(2)求cos(B+π6)+sin(C+π3)的最大值．18.如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD//BC，PD:DC:BC=1:1:√2.求直线PB与平面PDC所成角的大小．19.某产品的广告费用x万元与销售额y万元之间的对应数据如下：x24568y1030405070(1)画出上表数据的散点图(2)求出样本中心，(3)已知b̂=2.5，求y关于x的回归方程(â=y−−b̂x−)(4)已知x =10万元时，求销售收入y ．20. 已知定点A(−2,0)，B(2,0)，M 为动点，且满足直线MA 与直线MB 的斜率之积为−14．(Ⅰ)设动点M 的轨迹为曲线N ，求曲线N 的方程；(Ⅱ)过点(1,0)的直线与曲线N 交于两个不同的点C ，D ，直线CA ，DA 分别与直线x =−4交于点E ，F ，求S △ACDS△AEF的最大值．21. 已知函数f(x)=alnx −x 2+x 有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2).(1)若x 2−x 1=14，求实数a 的值； (2)若−325<a <−19，求f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2的取值范围．22.平面直角坐标系中，已知曲线C1：x2+y2=1。

2020年福建省厦门市高考数学模拟试卷（文科）（一）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{1A =-，0，1，2}，{|(1)}B x y ln x ==-，则(A B =I ) A ．{1-，0，1}B ．{1-，0}C ．{1，2}D ．{2}2．（5分）椭圆22:22C x y +=的焦点坐标为( ) A ．(1,0)-，(1,0) B ．(0,1)-，(0,1) C ．(3-，0)，(3，0) D ．(0,3)-，(0,3)3．（5分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且40a =，99S =-，则数列{}n a 的公差是()A ．2B ．1C ．1-D ．2-4．（5分）《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽弦图及注文．弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱色及黄色，其面积称为朱实、黄实，由2⨯勾⨯股+（股-勾）24=⨯朱实+黄实=弦实，化简得勾2+股2=弦2．若图中勾股形的勾股比为1:2，向弦图内随机抛掷100颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（参考数据：2 1.41≈，3 1.73)(≈ )A ．2B ．4C ．6D ．85．（5分）已知角α的终边经过点(3,4)-，则tan 2(α= ) A ．83-B ．43-C ．83D ．2476．（5分）α，β是两个平面，l ，m 是两条直线，且//l α，m β⊥，则下列命题中正确的是( )A ．若//αβ，则//l mB ．若//αβ，则l m ⊥C ．若αβ⊥，则//l mD ．若αβ⊥，则l m ⊥7．（5分）在菱形ABCD 中，4AB =，3ABC π∠=，E 为CD 的中点，则(AC AE =u u u r u u u rg )A ．10B ．12C ．16D ．368．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，1211(2)n n a a a a n -=++⋯++…，则7(a = ) A ．31B ．32C ．63D ．649．（5分）已知25log 5log 2a =+，25log 5log 2b =g ，2552log c log =，则( ) A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a <<10．（5分）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，D ，E ，F ，G 分别为AC ，11A C ，1AA ，1CC 的中点，P 是线段DF 上的一点，有下列三个结论：①//BP 平面1B EG ；②BP DG ⊥；③三棱锥1P B EG -的体积是定值． 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③11．（5分）已知双曲线2222:1(20)x y C b a a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点与2F 重合．点P 是C 与E 的交点，且125cos 7PF F ∠=，则C 的离心率是( ) A ．2BC ．3D．12．（5分）函数()sin(1)1f x x x =-++，若()()0(0)f x ax b b -≠g…对x R ∈恒成立，则(ab= )A ．1-B ．0C ．1D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）复数(2)(z i i i =-为虚数单位），则z 的虚部是 ．14．（5分）若x ，y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩…„…，则3z x y =+的最大值是 ．15．（5分）如图，函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<的图象与坐标轴交于点A ，B ，C ，直线BC 交()f x 的图象于点D ，O （坐标原点）为ABD ∆的重心，(,0)A π-，则点C 的坐标为 ，(0)f = ．16．（5分）已知数列{}n a 满足312a =-，且122(*)2n n a a n N n n++=∈+，则n a 的最大值是 ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知7b =，7(cos )cos 5c A a C -=．（1）求c ； （2）若3B π=，点D 在边BC 上，且5AD =，求ADC ∆的面积．18．（12分）如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，BF ，DE ，CG 都垂直于平面ABCD ，且222CG BF ED ===． （1）证明：//AE 平面BCF ； （2）若3DAB π∠=，求三棱锥D AEF -的体积．19．（12分）风梨穗龙眼原产厦门，是厦门市的名果，栽培历史已有100多年．龙眼干的级别按直径d 的大小分为四个等级（如表）．()d mm21d < 2124d <„2427d <„27d …级别三级品二级品一级品特级品某商家为了解某农场一批龙眼干的质量情况，随机抽取了100个龙眼干作为样本（直径分布在区间[18，33])，统计得到这些龙眼下的直径的频数分布表如下：用分层抽样的方法从样本的一级品和特级品中抽取6个，其中一级品有2个． （1）求m 、n 的值，并估计这批龙眼干中特级品的比例；（2）已知样本中的100个龙眼干约500克，该农场有500千克龙眼干待出售，商家提出两种收购方案：方案A ：以60元/千克收购；方案B ：以级别分装收购，每袋100个，特级品40元/袋、一级品30元/袋、二级品20元/袋、三级品10元/袋．用样本的频率分布估计总体分布，哪个方案农场的收益更高？并说明理由．20．（12分）已知点1(A -，0)，2A 0)，直线1PA ，2PA 相交于点P ，且它们的斜率乘积为13-．（1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）设曲线Γ与y 轴正半轴交于点B ，直线:1l y kx =-与Γ交于C ，D 两点，E 是线段CD 的中点证明：||2||CD BE =．21．（12分）已知函数21()2x x f x e ae x =-+．（1）若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，证明：22()3f x x <-． (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线l C 的参数方程为22cos (2sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．()l 写出1C 的极坐标方程：（2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线(0)4πθαα=<<分别交1C ，2C 于A ，B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α．[选修4-5：不等式选讲](10分)23．设函数()2sin |3||1|f x x a a =+-+-． （1）若()62f π>，求实数a 的取值范围；（2）证明：x R ∀∈，1()|3||1|f x a a--+…恒成立．2020年福建省厦门市高考数学模拟试卷（文科）（一）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{1A =-，0，1，2}，{|(1)}B x y ln x ==-，则(A B =I ) A ．{1-，0，1}B ．{1-，0}C ．{1，2}D ．{2}【解答】解：Q 集合{1A =-，0，1，2}，{|(1)}{|1}B x y ln x x x ==-=>，{2}A B ∴=I ．故选：D ．2．（5分）椭圆22:22C x y +=的焦点坐标为( )A ．(1,0)-，(1,0)B ．(0,1)-，(0,1)C ．(0)，0)D ．(0,，【解答】解：椭圆的标准方程为：2212y x +=，所以焦点在y 轴上，且22a =，21b =，所以2221c a b =-=， 即焦点坐标为：(0,1)±， 故选：B ．3．（5分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且40a =，99S =-，则数列{}n a 的公差是()A ．2B ．1C ．1-D ．2-【解答】解：设数列{}n a 的公差为d ，40a =Q ，99S =-， 130a d ∴+=，19369a d +=-．解得1d =-． 故选：C ．4．（5分）《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽弦图及注文．弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱色及黄色，其面积称为朱实、黄实，由2⨯勾⨯股+（股-勾）24=⨯朱实+黄实=弦实，化简得勾2+股2=弦2．若图中勾股形的勾股比为1:2，向弦图内随机抛掷100颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（参考数据：2 1.41≈，3 1.73)(≈ )A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：设勾为a 2a ，∴3a ，则图中大四边形的面积为23a ，小四边形的面积为222(21)(32)a a ==-， 322-3222210.06-=≈． ∴落在黄色图形内的图钉数大约为1000.066⨯=．故选：C ．5．（5分）已知角α的终边经过点(3,4)-，则tan 2(α= ) A ．83-B ．43-C ．83D ．247【解答】解：角α的终边上的点(3,4)P -， 由任意角的三角函数的定义得：4tan 3α=-．故有22tan 24tan 217tan ααα==- 故选：D ．6．（5分）α，β是两个平面，l ，m 是两条直线，且//l α，m β⊥，则下列命题中正确的是( )A ．若//αβ，则//l mB ．若//αβ，则l m ⊥C ．若αβ⊥，则//l mD ．若αβ⊥，则l m ⊥【解答】解：对于A ，若//αβ，//l α，则//l β或l β⊂，又m β⊥，则l m ⊥，故A 错误； 对于B ，由A 知，B 正确；对于C ，若αβ⊥，m β⊥则//m α或m α⊂，又//l α，则l 与m 平行、相交或异面，故C 错误；对于D ，由C 知，D 错误．∴正确的命题是B ．故选：B ．7．（5分）在菱形ABCD 中，4AB =，3ABC π∠=，E 为CD 的中点，则(AC AE =u u u r u u u rg )A ．10B ．12C ．16D ．36【解答】解；如图，Q 菱形ABCD 中，4AB =，3ABC π∠=，E 为CD 的中点；∴222211112()()()(2)(32)(4344cos 24)1222223AC AE AB AD AC AD AB AD AB AD AB AB AD AD π=++=++=++=+⨯⨯⨯+⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g ，故选：B ．8．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，1211(2)n n a a a a n -=++⋯++…，则7(a = ) A ．31B ．32C ．63D ．64【解答】解：依题意，当2n …时，由121111n n n a a a a S --=++⋯++=+，①可得 11n n a S +=+，②②-①，可得11n n n n n a a S S a +--=-=， 整理，得12n n a a +=．∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列．11122n n n a --∴==g ，*n N ∈． 717264a -∴==．故选：D ．9．（5分）已知25log 5log 2a =+，25log 5log 2b =g ，2552log c log =，则( ) A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【解答】解：25log 5log 2(2,3)a =+=∈Q ， 2552log 5log 2125lg lg b lg lg ===g g ， 2552log c log =，225542()()42225lg lg lg lg lg lg lg lg ==>=， c a b ∴>>，故选：A ．10．（5分）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，D ，E ，F ，G 分别为AC ，11A C ，1AA ，1CC 的中点，P 是线段DF 上的一点，有下列三个结论：①//BP 平面1B EG ；②BP DG ⊥；③三棱锥1P B EG -的体积是定值． 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【解答】解：如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D Q ，E ，F ，G 分别为AC ，11A C ，1AA ，1CC 的中点， //EG DF ∴，1//BD B E ，可得平面//BDF 平面1B EG ，由BP ⊂平面BDF ，得//BP 平面1B EG ，故①正确；由BD ⊥平面11ACC A ，得BD DG ⊥，又四边形11ACC A 是正方形，DG DF ∴⊥，得DG ⊥平面BDF ，则DG BP ⊥，故②正确；由平面//BDF 平面1B EG ，得//DF 平面1B EG ，P ∴到平面1B EG 的距离为定值，可得三棱锥1P B EG -的体积是定值，故③正确．∴所有正确结论的编号是①②③．故选：D ．11．（5分）已知双曲线2222:1(20)x y C b a a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点与2F 重合．点P 是C 与E 的交点，且125cos 7PF F ∠=，则C 的离心率是( ) A ．2B ．6C ．3D ．23【解答】解：过P 分别向x 轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M ，N ， 不妨设1PF m =，2PF n =，则121125cos 7F M PN PF PF PF F ===∠=， P Q 为双曲线上的点，则122PF PF a -=，即527mm a -=，故7m a =，5n a =． 又122F F c =，在△12PF F 中，由余弦定理可得2225494257272a c a a c+-=⨯⨯，化简可得22560c ac a -+=，即2560e e -+=， 解得2e =或3e =． 22b a >>Q ，2215b e a ∴=+>，3e ∴=，故选：C ．12．（5分）函数()sin(1)1f x x x =-++，若()()0(0)f x ax b b -≠g …对x R ∈恒成立，则(ab= )A ．1-B ．0C ．1D ．2【解答】解：()sin(1)1f x x x =-++，x R ∈，()1cos(1)0f x x '=-+…．∴函数()f x 在R 上单调递增．(1)0f -=Q ，1x ∴<-时，()0f x <，1x >-时，()0f x >． ()()0(0)f x ax b b -≠Q g …对x R ∈恒成立，1x -„时，0ax b -„；1x -…时，0ax b -…． (1)0a b ∴--=，可得：1ab=-． 故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）复数(2)(z i i i =-为虚数单位），则z 的虚部是 2 ． 【解答】解：(2)12z i i i =-=+Q ，z ∴的虚部是2．故答案为：2．14．（5分）若x ，y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩…„…，则3z x y =+的最大值是 4 ．【解答】解：由x ，y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩…„…，作出可行域如图，联立02x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得(1,1)A ，化目标函数3z x y =+为33x zy =-+，由图可知，当直线33x zy y ==-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为1314+⨯=．故答案为：4．15．（5分）如图，函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<的图象与坐标轴交于点A ，B ，C ，直线BC 交()f x 的图象于点D ，O （坐标原点）为ABD ∆的重心，(,0)A π-，则点C 的坐标为 (2π，0) ，(0)f = ．【解答】解：B Q ，D 关于C 对称， 2B D C x x x ∴+=，O Q （坐标原点）为ABD ∆的重心，(,0)A π-，0B D A x x x ∴++=，即20C x π-=，得2C x π=，即(2C π，0)， 由五点对应法得02πωϕπωϕπ-+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得23πϕ=，则23(0)2sin 2sin 233f πϕ==== 故答案为：(2π，0)316．（5分）已知数列{}n a 满足312a =-，且122(*)2n n a a n N n n ++=∈+，则n a 的最大值是 34． 【解答】解：12211(*)22n n a a n N n n n n ++==-∈++Q ①，122211(*)(1)2(1)13n n a a n N n n n n ++∴+==-∈+++++②， ①-②得：22211112323()()0312332n n n n a a n n n n n n n n +++-=+-+=->++++++，2n n a a +∴>，即13521n a a a a ->>>⋯>>⋯；2462n a a a a >>>⋯>>⋯； 312a =-Q ，23111244a a ∴+=-=， 2113424a ∴=+=． 又1212133a a +=-=，12231334124a a ∴=-=-<=． 故n a 的最大值是：34． 故答案为：34． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知7b =，7(cos )cos 5c A a C -=．（1）求c ； （2）若3B π=，点D 在边BC 上，且5AD =，求ADC ∆的面积．【解答】解：（1）7b =Q ，7(cos )cos 5c A a C -=．∴7cos cos 5c a C c A =+，由正弦定理可得7sin sin cos sin cos 5C A C C A =+， ∴7sin sin()sin 5C A C B =+=，由正弦定理可得775cb ==， ∴解得5c =．（2）3B π=Q ，点D 在边BC 上，且5AD =，5c =，ABD ∴∆为等边三角形，∴在ABC ∆中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得222175252a a =+-⨯⨯⨯，可得25240a a --=，∴解得8a =，或3-（舍去），853CD a BD ∴=-=-=，11153sin 53sin120224ACD S AD CD ADC ∆∴=∠=⨯⨯⨯︒=g g ． 18．（12分）如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，BF ，DE ，CG 都垂直于平面ABCD ，且222CG BF ED ===． （1）证明：//AE 平面BCF ； （2）若3DAB π∠=，求三棱锥D AEF -的体积．【解答】（1）证明：ABCD Q 是菱形，//AD BC ∴，AD ⊂/Q 平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，//AD ∴平面BCF ．BF Q ，DE 都垂直于平面ABCD ，//DE BF ∴，DE ⊂/Q 平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，//DE ∴平面BCF ．又AD DE D =I ，∴平面//ADE 平面BCF ，则//AE 平面BCF ； （2）解：由（1）知，//DE BF ，//BF ∴平面ADE ， 则F 与B 到平面ADE 的距离相等．11122sin601332D AEF F ADE B ADE E ABD ABD V V V V S DE ----∆∴====⨯=⨯⨯⨯⨯︒⨯113322132=⨯⨯⨯⨯⨯=．19．（12分）风梨穗龙眼原产厦门，是厦门市的名果，栽培历史已有100多年．龙眼干的级别按直径d 的大小分为四个等级（如表）．某商家为了解某农场一批龙眼干的质量情况，随机抽取了100个龙眼干作为样本（直径分布在区间[18，33])，统计得到这些龙眼下的直径的频数分布表如下：用分层抽样的方法从样本的一级品和特级品中抽取6个，其中一级品有2个． （1）求m 、n 的值，并估计这批龙眼干中特级品的比例；（2）已知样本中的100个龙眼干约500克，该农场有500千克龙眼干待出售，商家提出两种收购方案：方案A ：以60元/千克收购；方案B ：以级别分装收购，每袋100个，特级品40元/袋、一级品30元/袋、二级品20元/袋、三级品10元/袋．用样本的频率分布估计总体分布，哪个方案农场的收益更高？并说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：12971002962297m n n ++++=⎧⎪⎨⨯=⎪++⎩， 解得12m =，51n =．（2）按方案A 收购，农场收益为：5006030000⨯=（元)，按方案B 收购，以级别分装收购，每袋100个，特级品40元/袋、一级品30元/袋、二级品20元/袋、三级品10元/袋． 500千克龙眼干约有：500000100100000500⨯=（个)， 其中，特级品有75110000058000100+⨯=个， 一级品有2910000029000100⨯=个， 二级品有1210000012000100⨯=个， 三级品有11000001000100⨯=个， ∴按方案B 收购，农场收益为：580402903012020101034400⨯+⨯+⨯+⨯=（元)．20．（12分）已知点1(A -，0)，2A 0)，直线1PA ，2PA 相交于点P ，且它们的斜率乘积为13-．（1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）设曲线Γ与y 轴正半轴交于点B ，直线:1l y kx =-与Γ交于C ，D 两点，E 是线段CD 的中点证明：||2||CD BE =． 【解答】解：（1）设点(,)P x y ， Q 1213PA PA k k =-g ，∴13=-，化简得：221124x y +=，∴点P 的轨迹Γ的方程为：221124x y +=(x ≠±；（2）易知(0,2)B ，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，联立方程2211124y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：22(13)690k x kx +--=，∴122613k x x k +=+，122913x x k =-+， ∴121222()213y y k x x k +=+-=-+，23(13k E k ∴+，21)13k-+，26||13CD k∴==+，而23||13BE k==+ ||2||CD BE ∴=．21．（12分）已知函数21()2x x f x e ae x =-+．（1）若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，证明：22()3f x x <-． 【解答】（1）解：21()2x x f x e ae x =-+Q 在R 上单调递增，2()10x x f x e ae ∴'=-+…恒成立， ()2x x min a e e -∴+=„，∴实数a 的取值范围为(-∞，2]；（2）证明：1x Q ，212()x x x <是()f x 的两个极值点， 1x ∴，2x 是2()10x x f x e ae '=-+=的两个根，12x x e e a +=，12121x x x x e e e +==g ，120x x ∴+=，又12x x <， 210x x ∴=->．∴要证明22()3f x x <-，即证22()3f x x <-， 就是证明：22221402x x e ae x -+<，即证：21222222211()441022x x x x x e e e e x e x -++=-+-<，令21()41(0)2x h x e x x =-+->，需证()0max h x <． 因为2()4x h x e '=-+，令2()40x h x e '=-+=，得2x ln =，当(0,2)x ln ∈时，()h x 单调递增，当(2,)x ln ∈+∞时，()h x 单调递减，∴当2x ln =时，21()412x h x e x =-+-取得极大值，也是最大值3116(2)4421423102h ln ln ln ln ln e=-⨯+-=-=<=，∴原结论成立．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线l C 的参数方程为22cos (2sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．()l 写出1C 的极坐标方程：（2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线(0)4πθαα=<<分别交1C ，2C 于A ，B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α．【解答】解：（1）曲线l C 的参数方程为22cos (2sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(2)4x y -+=，转换为极坐标方程为4cos ρθ=．（2）曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．转换为直角坐标方程为22(2)4x y +-=． 设点M 的极坐标为(4,0)，射线(0)4πθαα=<<分别交1C ，2C 于A ，B 两点（异于极点）， 如图所示：设射线OA 的方程为y kx =， 则：2240y kx x x y =⎧⎨-+=⎩，解得2244(,)11kA k k ++．同理2224(4,)11k k B k k ++．由于2A π∠=，4AMB π∠=时，所以BM 与AO 的夹角为4π，由于221MB k k k k =--，AO k k =，利用两直线的夹角公式的应用||11BM OABM OAk k k k -=+，整理得223211111k k k k k k k ---=-+--或， 即：322210k k k -+-=或2210k k -+=． 解得12k =或1k =． 由于04πα<<，所以1k =（舍去）．故12k =． 所以1tan 2α=．[选修4-5：不等式选讲](10分)23．设函数()2sin |3||1|f x x a a =+-+-． （1）若()62f π>，求实数a 的取值范围；（2）证明：x R ∀∈，1()|3||1|f x a a--+…恒成立． 【解答】解：（1）()2sin |3||1|f x x a a =+-+-Q ，∴()62f π>，可化为：|3||1|4a a -+->，∴由绝对值的几何意义得：4a >或0a <；（2）证明：要证1()|3||1|f x a a--+…恒成立， 即证12sin |3||1||3||1|x a a a a+-+---+…恒成立， 也就是证明1|1||1|2sin a x a++--…恒成立． 2sin y x =-Q 的最大值为2，即证1|1||1|2a a++-…， 1111|1||1||(1)(1)|||||||2a a a a a a a a++-++-=+=+Q 厖成立， 故原结论成立（证毕）．。

福建省厦门市达标名校2020年高考三月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．点(,)P x y 为不等式组+4x y y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域上的动点，则+22-y x 的取值范围是（ ）A ．()(),21,-∞-⋃+∞B ．(][),11,-∞-+∞ C ．()2,1- D ．[]2,1-2．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A ．120种B ．240种C ．480种D ．600种3．执行如图所示的程序框图，若输入ln10a =，lg b e =，则输出的值为（ ）A ．0B ．1C ．2lg eD ．2lg104．如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且2，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE,BF 所成的角为定值5．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则||EB =（ ）A ．194B 11C ．32D 7 6．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( ) A ．sin y x =π. B ．|1|y x =- C ．cos y x π=D ．e e x x y -=+7．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题： ①若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ；③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确的是（ ） A ．①②B ．③④C ．①④D ．②④8．已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，准线为l ，A 是l 上一点，B 是直线AF 与抛物线C 的一个交点，若3FA FB =，则||BF =（ ） A ．72B ．3C ．52D ．29．已知集合|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A 真子集的个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．810．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数 B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C f xD11．已知平面向量a b ，满足21a b a ＝，＝,与b 的夹角为2 3π，且)2(()a b a b λ⊥+－，则实数λ的值为（ ） A ．7-B ．3-C ．2D ．312．已知2cos(2019)3πα+=-，则sin(2)2πα-=（ ）A ．79B ．59C ．59-D ．79-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年福建省厦门⼀中⾼考数学最后⼀模试卷1（含答案解析）2020年福建省厦门⼀中⾼考数学最后⼀模试卷1⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.已知集合A={0,2}，B={0,2，?2}，则A∪B=()A. {?2,0，2}B. {?2,0，2，2}C. {0,2}D. {?2}2.复数z满⾜1?1i=z(2+3i)，则z的虚部为()A. ?113B. ?113i C. ?513D. ?173.某城市收集并整理了该市2017年1⽉份⾄10⽉份各⽉最低⽓温与最⾼⽓温(单位：℃)的数据，绘制了下⾯的折线图．已知该市的各⽉最低⽓温与最⾼⽓温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是()A. 最低⽓温与最⾼⽓温为正相关B. 10⽉的最⾼⽓温不低于5⽉的最⾼⽓温C. ⽉温差(最⾼⽓温减最低⽓温)的最⼤值出现在1⽉D. 最低⽓温低于0℃的⽉份有4个4.济南市某公交线路某区间内共设置四个站点(如图)，分别记为A，A1，A2，A3，现有甲、⼄两⼈同时从A站点上车，且他们中的每个⼈在站点A i(i=0,1，2，3)下车是等可能的.则甲、⼄两⼈不在同⼀站点下车的概率为()A. 23B. 34C. 35D. 125.如图所⽰的正⽅体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正⽅体各个⾯上的正投影图形中，不可能出现的是()A. B. C. D.6.若，a∈(0,π2)，则sinα的值为()A. 4?√26B. 4+√26C. 718D. √237.已知函数f(x)=e x?(x+1)2(e为⾃然对数的底)，则f(x)的⼤致图象是()A. B.C. D.8.已知F1，F2是双曲线E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，F2与抛物线C：y2=4√3x的焦点重合，点M在E上，MF2与x轴垂直，|MF2|=2，则E的离⼼率为()A. √2B. 32C. √3D. 29.执⾏如图所⽰的程序框图，输出的s值为()A. ?3B. ?12C. 13D. 210.已知a，b，c分别为△ABC内⾓A，B，C的对边，a=4，b=6，B=60°，则sinA=()A. √62B. √32C. √63D. √3311.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点，则实数a的取值范围是()A. a<1B. a>1C. a≤1D. a≥112.已知点P是双曲线C：x24y2=1的右⽀上⼀点，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若∠F1PF2=90°，则△F1PF2的⾯积为()．A. 1B. √2C. √3D. 4⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.若b? =(1,1)，a??b? =2，|a??b? |=√7，则|a?|=______ ．14.y=sinx?cosx+sinxcosx的值域为______ ．15.已知直线y=?12x+b与曲线f(x)=?x3+2相切，则实数b=____________．16.已知球O的表⾯积为16π，三棱锥S?ABC的四个顶点均在球O的表⾯上，且底⾯为正三⾓形，SA=SB=SC=2√3，则此三棱锥的⾼?=________．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共82.0分）17.已知数列{b n}是⾸项为1的等差数列，数列{a n}满⾜a n+1?3a n?1=0，且b3+1=a2，a1=1．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)令c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．18. 如图，已知AB ⊥BC ，BE//CD ，∠DCB =90°，平⾯BCDE ⊥平⾯ABC ，CD =4，AB =BC =BE =2，F 为AD 中点． (1)证明：EF//平⾯ABC ； (2)求三棱锥D ?BCF 的体积．19. 某种产品的⼴告⽀出x 与销售额y(单位：万元)之间有如表对应关系：x 2 4 5 6 8 y3040605070(Ⅰ)假设y 与x 之间具有线性相关关系，求线性回归⽅程； (Ⅱ)求相关指数R 2，并证明残差变量对销售额的影响占百分之⼏？参考公式：b ?=∑x i ni=1y i ?nx·y ∑x i 2n i=1?nx2，a ?=y ?b ?·x ，R 2=1?ni=1i 2∑(n y ?y)220. 在平⾯直⾓坐标系xOy 中，A(2,4)是⊙M ：x 2+y 2?12x ?14y +60=0上⼀点．(1)求过点A 的⊙M 的切线⽅程；(2)设平⾏于OA 的直线l 与⊙M 相交于B ，C 两点，且|BC|=2|OA|，求直线l 的⽅程．21. 已知函数f(x)=(2?a)lnx +1x +2ax ．(1)当a =2时，求函数f(x)的极值； (2)当a <0时，求函数f(x)的单调增区间．22. 已知曲线C 1的参数⽅程为{x =4+5costy =5+5sint (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线C 2的极坐标⽅程为ρ=2sinθ(ρ≥0,0≤θ<2π)，求C 1与C 2交点的坐标．23.已知函数f(x)=|x+4|+|x?4|．(1)求不等式f(x)>3x的解集;(2)设函数f(x)的最⼩值为z，正实数m、n满⾜mn?2m?n=z，求证：m+n≥2√10+3．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】利⽤并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查集合的并集运算等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．【解答】解：∵集合A={0,2}，B={0,2，?2}，∴A∪B={?2,0，2}．故选：A．2.答案：A本题考查了复数的四则运算，以及复数的概念应⽤.由已知条件得到z=513?113i，从⽽得到该复数的虚部．【解答】解：∵复数z满⾜1?1i=z(2+3i)，所以z=1?1 i2+3i ==1+i2+3i=(1+i)(2?3i)13=5?i13=513113i，∴虚部为?113．故选A．3.答案：D解析：解：由该市2017年1⽉份⾄10⽉份各⽉最低⽓温与最⾼⽓温(单位：℃)的数据的折线图，得：在A中，最低⽓温与最⾼⽓温为正相关，故A正确；在B中，10⽉的最⾼⽓温不低于5⽉的最⾼⽓温，故B正确；在C中，⽉温差(最⾼⽓温减最低⽓温)的最⼤值出现在1⽉，故C正确；在D中，最低⽓温低于0℃的⽉份有3个，故D错误．故选：D．由该市2017年1⽉份⾄10⽉份各⽉最低⽓温与最⾼⽓温(单位：℃)的数据的折线图，得最低⽓温低于0℃的⽉份有3个．本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能⼒，考查数形结合思想，是基础题．【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．甲、⼄两⼈下车包含的基本事件个数n=3×3=9，甲、⼄两⼈不在同⼀站点下车包含的基本事件个数m=A32=6，由此能求出甲、⼄两⼈不在同⼀站点下车的概率．【解答】解：济南市某公交线路某区间内共设置四个站点(如图)，分别记为A0，A1，A2，A3，现有甲、⼄两⼈同时从A0站点上车，且他们中的每个⼈在站点A i(i=0,1，2，3)下车是等可能的．则甲、⼄两⼈包含的基本事件个数n=3×3=9，甲、⼄两⼈不在同⼀站点下车包含的基本事件个数m=A32=6，∴甲、⼄两⼈不在同⼀站点下车的概率为p=mn =69=23．故选A．5.答案：D解析：【分析】本题考查平⾏投影及平⾏投影作图法，考查⼀个空间四边形在不同⾯上的投影不同．⽐较基础．根据正投影的概念分别判断各个⾯上的投影即可得到结论．【解答】解：四边形D1MBN的俯视图为A，侧视图为C，正视图为B，故不可能是投影是D，故选D．6.答案：A解析：【分析】本题考查两⾓和与差的三⾓函数公式及同⾓三⾓函数基本关系式的运⽤，属于基础题．【解答】解：，a∈(0,π4∈(π4,3π4)，∴sin(α+π4)=2√23∴=4?√26．故选A．7.答案：C解析：【分析】本题考查利⽤导数研究函数的单调性及函数图象的应⽤，求出导数，利⽤图象分析极值点的范围即可求解．【解答】解：设f′(x)=e x?2(x+1)=0的解为x1，x2，x1，x2相当于函数y=e x和函数y=2(x+1)交点的横坐标，画出函数图象如图：由图可知f(x)的函数图象先增后减再增，11，且x>x2时，f′(x)>0，递增.观察四个图象只有C符合．故选C．8.答案：C解析：【分析】本题考查了双曲线和抛物线的简单性质以及勾股定理，考查了运算能⼒，属于基础题．根据抛物线和双曲线的性质可得c=√3，根据双曲线的定义可得|MF1|=2a+2，根据勾股定理求出a的值，再根据离⼼率公式计算即可．【解答】解：F2与抛物线C：y2=4√3x的焦点重合，则F2(√3,0)，即c=√3，∴|F1F2|=2c=2√3，∵MF2与x轴垂直，|MF2|=2，∴|MF1|=2a+2，∴(2a+2)2=22+(2√3)2，解得a=1，=√3．∴e=ca故选：C．9.答案：D解析：【分析】本题考查的知识点是程序框图，属于基础题．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利⽤循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运⾏过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第⼀圈，i=0，s=2，是，i=1，s=13;第⼆圈，是，i=2，s=?12;第三圈，是，i=3，s=?3；第四圈，是，i=4，s=2；第五圈，否，输出s，即输出2，故选D．10.答案：D解析：【分析】本题考查了正弦定理，以及特殊⾓的三⾓函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．由B的度数求出sin B的值，再由a与b 的值，利⽤正弦定理即可求出sin A的值．【解答】解：∵a=4，b=6，B=60°，∴由正弦定理asinA =bsinB，得sinA=asinBb =4×√326=√33．故选D.11.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数的零点问题，属于基础题．由题意，可转化为⽅程x2+2x+a=0没有实数根，所以Δ=4?4a<0，得a>1．【解答】解：函数f(x)=x2+2x+a没有零点，即⽅程x2+2x+a=0没有实数根，所以Δ=4?4a<0，得a>1．故选B．12.答案：A解析：【分析】由条件可得|PF1|?|PF2|=4，由题意可知△F1PF2为直⾓三⾓形，利⽤勾股定理，结合双曲线的定义，即可求出△PF1F2的⾯积．本题考查双曲线的定义与性质，考查三⾓形⾯积的计算，考查学⽣分析解决问题的能⼒，属于中档题．【解答】y2=1的a=2，b=1，c=√5．解：双曲线C：x24由双曲线的定义可得，|PF1|?|PF2|=4，由题意可知△F1PF2为直⾓三⾓形，则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=20，故(|PF1|?|PF2|)2+2|PF1|?|PF2|=|F1F2|2=20，即16+2|PF1|?|PF2|=20，故|PF1|?|PF2|=2，|PF1|?|PF2|=1．故△PF1F2的⾯积为12故选：A．13.答案：3解析：【分析】由已知利⽤数量积的性质可得√7=√a?2+b? 2?2a??b? ，代⼊解出即可．本题考查了数量积的性质，属于基础题．解：∵b? =(1,1)，∴|b? |=√2．∵a??b? =2，|a??b? |=√7．∴√7=√a?2+b? 2?2a??b? ，化为|a?|2=9，解得|a?|=3．故答案为：3．14.答案：[?√2?12,1]解析：【分析】⾸先将y=sinx?cosx+sinxcosx通过换元法，设sinx?cosx=t(?√2≤t≤√2)，关系式转化为：g(t)=?12t2+t+12，然后利⽤⼆次函数的性质就可求得结果．本题考查的知识点：⼆倍⾓的正弦，⼆次函数的性质，重点体现了换元法和配⽅法．【解答】解：∵y=sinx?cosx+sinxcosx，设sinx?cosx=t(?√2≤t≤√2)则：sinxcosx=1?t22，因此函数关系式转化为：g(t)=?12t2+t+12=?12(t?1)2+1(?√2≤t≤√2)，∴g(t)max=g(1)=1，g(t)min=g(?√2)=?√2?12，故y=sinx?cosx+sinxcosx的值域为[?√2?12,1]．故答案为：[?√2?12,1]．15.答案：18或?14解析：本题考查了导数的⼏何意义，属于较易题．利⽤导数求切线，即可得到b的值．【解答】解：设切点坐标为(m,n)，由题可得f′(x)=?3x2，所以?3m2=?12，解得m=±2，当m=2时，n=?6；当m=?2时，n=10．⼜点(m,n)在直线y=?12x+b上，所以?6=?12×2+b或10=?12×(?2)+b，解得b=18或?14．故答案为：18或?14．16.答案：3解析：【分析】此题考查了三棱锥外接球，难度不⼤．可知球⼼在⾼上，设未知数利⽤直⾓三⾓形列⽅程容易得解．【解答】解：如图，设OB=OS=R，SM=?，AB=a，∴BM=√3a，因为球O的表⾯积为16π，所以4πR2=16π，即R=2．3⼜SB=2√3，所以在Rt△OMB中，(??2)2=4?(√33a)2，在Rt△SBM中，SB2=?2+MB2，即12=?2+(√33a)2，联⽴解得?=3．故答案为3．17.答案：解：(Ⅰ)数列{a n}满⾜a n+1?3a n?1=0，a1=1，即为a n+1+12=3(a n+12)，可得a n+12=323n1=123n，即a n=12(3n?1)；(Ⅱ)数列{b n}是⾸项为1，公差设为d的等差数列，b3+1=a2，即为2+2d=12×8，解得d=1，即b n=n；c n=a n b n=12(n?3n?n)，设S n=1?3+2?32+?+n?3n，3S n=1?32+2?33+?+n?3n+1，相减可得?2S n=3+32+?+3n?n?3n+1=3(1?3n)1?3n3n+1，化简可得S n=3+(2n?1)?3n+14，可得前n项和T n=3+(2n?1)?3n+18?n(n+1)4．解析：(Ⅰ)由构造等⽐数列，运⽤等⽐数列的定义和通项公式可得所求通项；(Ⅱ)数列{b n}是⾸项为1，公差设为d的等差数列，运⽤等差数列的通项公式和错位相减法求和、分组求和法，化简整理可得所求和．本题考查等差数列和等⽐数列的定义和通项公式、求和公式的运⽤，考查错位相减法求和和分组求和，考查化简整理的运算能⼒，属于中档题．18.答案：证明：(1)设AC中点为G，连FG，BG，∵F为AD中点，∴FG//DC，FG=12DC，⼜由题意BE//CD ，BE =12CD ，∴EB//FG ，且EB =FG ，∴四边形BEFG 为平⾏四边形，∴EB//FG ，⼜BG ?平⾯ABC ，EF ?平⾯ABC ，∴EF//平⾯ABC ．(2)∵平⾯BCDE 所在平⾯垂直平⾯ABC ，平⾯BCDE ∩平⾯ABC =BC ， AB ?平⾯ABC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥平⾯BCDE ，∵F 为AD 中点，∴V D?BCF =V F?BCD =12V A?BCD =16(12BC ?DC)AB =43，所以，三棱锥D ?BCF 的体积是43．解析：(1)设AC 中点为G ，连FG ，BG ，推导出四边形BEFG 为平⾏四边形，从⽽EB//FG ，由此能证明EF//平⾯ABC ．(2)V D?BCF =V F?BCD =12V A?BCD ，由此能求出三棱锥D ?BCF 的体积．本题考查线⾯平⾏的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，是中档题．19.答案：解：(Ⅰ)x =5，y =50；∑x i 5i=1y j =1380，∑x i 25i=1=145；则：b =i 5i=1i ?nxy∑x 25?nx2=1380?5×5×50145?5×52=6.5；a ?=y ?bx =506.5×5=17.5 所以线性回归⽅程为：y =6.5x +17.5(Ⅱ)∑(5i=1y i ?y i )2=155，∑(5i=1y i ?y)2=1000；R 2=15i=1i i 2∑(5y ?y)2=1?1551000=0.845．即相关系数R 2为0.845，证明残差变量对销售额的影响占15.5%．解析：本题考查回归分析的初步应⽤，考查求线性回归⽅程的求法，是⼀个综合题⽬，这种题⽬符合新课标的⼤纲要求，是⼀个典型的题⽬．(Ⅰ)⾸先求出x ，y 的平均数，利⽤最⼩⼆乘法做出线性回归⽅程的系数，写出线性回归⽅程． (Ⅱ)利⽤公式求出相关指数R 2，即可得出结论．20.答案：解：(1)化圆M 的⽅程为标准⽅程：(x ?6)2+(y ?7)2=25，得圆⼼M(6,7)，半径r =5，∵A(2,4)，∴k AM=7?46?2=34，∴切线⽅程为y?4=?43(x?2)，即4x+3y?20=0；(2)∵k OA=2，∴可设直线l的⽅程为y=2x+m，即2x?y+m=0(m≠0，否则就与直线OA重合)，⼜|BC|=2|OA|=2×√22+42=4√5，∴圆⼼M(6,7)到直线l的距离d=√52?(|BC|2)2=√5，即22=√5，解得m=?10或m=0(不合题意，舍去)，∴直线l的⽅程为y=2x?10．解析：本题考查直线与圆位置关系，考查点到直线距离公式的应⽤，是基础题．(1)化圆的⽅程为标准⽅程，求出圆⼼坐标与半径，求得AM所在直线当斜率，由直线⽅程的点斜式得答案；(2)求出OA的斜率为2，设直线l的⽅程为y=2x+m，求出BC的长度，由点到直线的距离公式结合垂径定理求m，则直线⽅程可求．21.答案：解：(1)a=2时，f(x)=1x+4x，函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=?1x2+4，令f′(x)=?1x2+4=0，得x1=12,x2=?12(舍去)，当x变化时，f′(x)，f(x)的取值情况如下：所以，函数f(x)的极⼩值为f(12)=4，⽆极⼤值．(2)f′(x)=2?ax ?1x2+2a=(2x?1)(ax+1)x2，令f′(x)=0，得x1=12,x2=?1a，当a=?2时，f′(x)≤0，函数f(x)的在定义域(0,+∞)单调递减，⽆增区间；当?2a )上，f′(x)>0，f(x)单调递增；当a2)上，f′(x)>0，f(x)单调递增．综上：当?22,?1a )，当a2)．解析：本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应⽤以及分类讨论思想，是⼀道中档题． (1)求出函数的导数，解关于导函数的⽅程，求出函数的单调区间，从⽽求出函数的极值； (2)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，判断导函数的符号，从⽽求出函数的单调区间．22.答案：解：将{x =4+5costy =5+5sint消去参数t ，化为普通⽅程为(x ?4)2+(y ?5)2=25，即C 1?：x 2+y 2?8x ?10y +16=0，{x =ρcosθy =ρsinθ，代⼊x 2+y 2?8x ?10y +16=0得，ρ2?8ρcosθ?10ρsinθ+16=0，即C 1的极坐标⽅程为ρ2?8ρcosθ?10ρsinθ+16=0，联⽴{ρ2?8ρcosθ?10ρsinθ+16=0ρ=2sinθ，解得：{θ=π4ρ=√2或{θ=π2ρ=2， C 1与C 2的交点的极坐标为(√2,?π4)和(2,π2)．解析：本题考查参数⽅程与普通⽅程的互化，直⾓坐标⽅程与极坐标⽅程的互化，属于基础题．23.答案：解：(1)f(x)>3x ，即|x +4|+|x ?4|>3x ．当x 3x ，x <0，所以x 3x ，所以?4?x <83；当x >4时，不等式可化为x +4+x ?4>3x ，⽆解．综上，原不等式的解集为{x|x <83}．证明：(2)由绝对值不等式性质得，|x +4|+|x ?4|≥|x +4?x +4|=8，∴z =8，则mn?2m?n=8，所以(m?1)(n?2)=10，所以m+n=(m?1)+(n?2)+3?2√10+3，当且仅当m=√10+1，n=√10+2时取“=”，原不等式得证．解析：本题考查绝对值不等式的解法及利⽤基本不等式证明的问题，属于中档题．(1)f(x)>3x，即|x+4|+|x?4|>3x，⽤零点分段法解此绝对值不等式；(2)由绝对值不等式性质得z=8，所以(m?1)(n?2)=10，再利⽤基本不等式即可证明．。

2020年福建省厦门一中中考数学模拟试卷（3月份）一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）1. 在0，−1，2，−3这四个数中，绝对值最小的数是（）A.0B.−1C.2D.−3【答案】A【考点】绝对值有理数大小比较【解析】根据绝对值的定义先求出这四个数的绝对值，再找出绝对值最小的数即可．【解答】∵|−1|＝1，|0|＝0，|2|＝2，|−3|＝3，∴这四个数中，绝对值最小的数是0；2. 如图所示几何体的左视图是（）A. B. C. D.【答案】B【考点】简单组合体的三视图【解析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】从左边看是：，3. 厦门市人民政府近日印发厦门市人口发展规划（2016−2030年），根据《规划》，2020年全市常住人口控制在450万人以内，450万人用科学记数法可以表示为（）A.0.45×107人B.45×105人C.4.5×102人D.4.5×106人【答案】D【考点】科学记数法–表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【解答】450万＝4500000＝4.5×106．4. 下列计算正确的是（）A.x2+x3＝x5B.x2⋅x3＝x6C.x6÷x3＝x3D.(x3)2＝x9【答案】C【考点】同底数幂的除法幂的乘方与积的乘方同底数幂的乘法合并同类项【解析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加；同底数幂的除法底数不变指数相减；幂的乘方底数不变指数相乘；可得答案．【解答】A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A错误；B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B错误；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C正确；D、幂的乘方底数不变指数相乘，故D错误；5. 下列图形中，是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】D【考点】中心对称图形【解析】根据中心对称图形的概念即可求解．【解答】A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，符合题意．6. 对于反比例函数y=−4，下列说法正确的是（）xA.y的值随x值的增大而增大B.y的值随x值的增大而减小C.当x>0时，y的值随x值的增大而增大D.当x<0时，y的值随x值的增大而减小【答案】C【考点】反比例函数的性质【解析】直接利用反比例函数的性质分析得出答案．【解答】∵反比例函数y=−4x，∴每个象限内，y的值随x值的增大而增大．7. 已知正多边形的一个外角为36∘，则该正多边形的边数为（）A.12B.10C.8D.6【答案】B【考点】多边形内角与外角【解析】利用多边形的外角和是360∘，正多边形的每个外角都是36∘，即可求出答案．【解答】360∘÷36∘＝10，所以这个正多边形是正十边形．8. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边分别是1和3．现随机向该图形内掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内（非阴影区域）的概率为（）A.1B.35C.23D.25【答案】D【考点】几何概率勾股定理的证明数学常识【解析】根据勾股定理先求出大正方形的边长，再求出小正方形的边长，从而得出两个正方形的面积，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】∵两直角边分别是1和3，∴斜边即大正方形的边长为√12+32=√10，小正方形边长为2，∴S大正方形＝10，S小正方形＝4，∴飞镖落在小正方形内（非阴影区域）的概率为410=25；9. 如图，点A 在反比例函数y =−√2x(x <0)的图象上，过点A 作AC ⊥x 轴垂足为C ，OA的垂直平分线交x 轴于点B ，当AC ＝1时，△ABC 的周长为（ ）A.1B.√2+1C.√2D.√2+2【答案】 B【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 线段垂直平分线的性质 【解析】依据点A 在反比例函数y =−√2x (x <0)的图象上，AC ⊥x 轴，AC ＝1，可得OC =√2，再根据CD 垂直平分AO ，可得OB ＝AB ，再根据△ABC 的周长＝AB +BC +AC ＝OC +AC 进行计算即可． 【解答】∵ 点A 在反比例函数y =−√2x(x <0)的图象上，AC ⊥x 轴，∴ AC ×OC =√2， ∵ AC ＝1， ∴ OC =√2，∵ OA 的垂直平分线交x 轴于点B ， ∴ OB ＝AB ，∴ △ABC 的周长＝AB +BC +AC ＝OB +BC +AC ＝OC +AC =√2+1，10. 如图，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心O 逆时针0∘∼90∘的旋转，那么旋转时露出的△ABC 的面积(S)随着旋转角度(n)的变化而变化，下面表示S 与n 关系的图象大致是（ ）A.B.C.D.【答案】 B【考点】 动点问题 【解析】注意分析y 随x 的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决． 【解答】旋转时露出的△ABC 的面积(S)随着旋转角度(n)的变化由小到大再变小． 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分）计算：(−√3)2=________． 【答案】 3【考点】二次根式的乘除法 【解析】原式利用平方根的定义化简即可得到结果． 【解答】 原式＝3．不等式组{2x +3≥14−x ≥1的解集是________．【答案】 −1≤x ≤3 【考点】解一元一次不等式组 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解不等式2x +3≥1，得：x ≥−1， 解不等式4−x ≥1，得：x ≤3， 则不等式组的解集为−1≤x ≤3．关于x 的一元二次方程x 2+2x +m ＝0有两个相等的实数根，则m 的值是________． 【答案】 1【考点】 根的判别式 【解析】由于关于x 的一元二次方程x 2+2x +m ＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m 的方程，解答即可． 【解答】∵ 关于x 的一元二次方程x 2+2x +m ＝0有两个相等的实数根，∴22−4m＝0，∴m＝1，从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：早高峰期间，乘坐________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．【答案】C【考点】频数（率）分布表可能性的大小【解析】分别计算出用时不超过45分钟的可能性大小即可得．【解答】=0.752，解：∵A线路公交车用时不超过45分钟的可能性为59+151+166500=0.444，B线路公交车用时不超过45分钟的可能性为50+50+122500=0.954，C线路公交车用时不超过45分钟的可能性为45+265+167500∴C线路上公交车用时不超过45分钟的可能性最大，故答案为：C．如图，在扇形OEF中，∠EOF＝90∘，半径为2，正方形ABCD的顶点C是EF^的中点，点D在OF上，点A在OF的延长线上，则图中阴影部分的面积为________．【答案】1π−12正方形的性质扇形面积的计算【解析】连结OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积＝扇形FOC的面积-三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．【解答】如图，连接OC．∵在扇形AOB中∠EOF＝90∘，正方形ABCD的顶点C是EF^的中点，∴∠COF＝45∘，∴OC=√2CD＝2，∴OD＝CD=√2，∴阴影部分的面积＝扇形FOC的面积-三角形ODC的面积=45360×π×22−12×(√2)2=12π−1．如图，正方形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，边BC的中点F在y轴上，若反比例函数y=6X的图象恰好经过CD的中点E，则OA的长为________．【答案】6【考点】正方形的性质反比例函数图象上点的坐标特征【解析】证明△CFO≅△CEH，点F是BC的中点，则ON＝OC＝a，NB＝2OF＝2b，同理△CNB≅△BMA(AAS)，则MA＝BN＝2b，MB＝CN＝2a，AM＝2b＝ON＝a，故a＝2b，点E(a+b, a)，则a(a+b)＝12，而a＝2b，解得：b＝1，a＝2，OA＝MN＝BM+BN＝2a+2b＝6，即可求解．【解答】过E作EH⊥x轴于H，连接OE，设：CO＝a，CH＝b，过点B作y轴的平行线交x轴于点N，作AM⊥MN于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90∘，∵∠EHC＝∠FCO＝90∘，∴∠OFC＝∠ECH，∵点F与点E分别是BC，CD的中点，∴CF＝CE，∴△CFO≅△CEH(AAS)，点F是BC的中点，则ON＝OC＝a，NB＝2OF＝2b，同理△CNB≅△BMA(AAS)，则MA＝BN＝2b，MB＝CN＝2a，AM＝2b＝ON＝a，故a＝2b，点E(a+b, a)，则a(a+b)＝6，而a＝2b，解得：b＝1，a＝2，OA＝MN＝BM+BN＝2a+2b＝6，三、解答题（本大题8小题，共76分）计算：(−1)−2+23−(1−√2)0．【答案】(−1)−2+23−(1−√2)0＝1+8−1＝8【考点】零指数幂实数的运算零指数幂、负整数指数幂【解析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】(−1)−2+23−(1−√2)0＝1+8−1＝8先化简，再求值：x+1x2−4÷(1−1x+2)，其中x=√2+2．【答案】原式=x+1(x+2)(x−2)÷x+2−1x+2，=x+1(x+2)(x−2)⋅x+2 x+1，=1x−2，当x=√2+2时，原式=√2+2−2=√2=√22．【考点】分式的化简求值【解析】首先计算括号里面的减法，然后再算括号外的除法，化简后，再代入x的值即可．【解答】原式=x+1(x+2)(x−2)÷x+2−1x+2，=x+1(x+2)(x−2)⋅x+2 x+1，=1x−2，当x=√2+2时，原式=√2+2−2=√2=√22．如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的一条直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．【答案】证明：∵ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO，AD // BC，∴∠EAC＝∠FCO，在△AOE和△COF中{∠EAO=∠FCO AO=OC∠AOE=∠COF，∴△AOE≅△COF(ASA)，∴AE＝CF．【考点】全等三角形的性质与判定平行四边形的性质【解析】利用平行四边形的性质得出AO＝CO，AD // BC，进而得出∠EAC＝∠FCO，再利用ASA 求出△AOE≅△COF，即可得出答案．【解答】证明：∵ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO，AD // BC，∴∠EAC＝∠FCO，在△AOE和△COF中{∠EAO=∠FCO AO=OC∠AOE=∠COF，∴△AOE≅△COF(ASA)，∴AE＝CF．已知反比例函数y=k的图象经过点(−3, 2)．x（1）求它的解析式；（2）在直角坐标中画出该反比例函数的图象；（3）若−3<x<−2，求y的取值范围．【答案】∵反比例函数y=k的图象经过点(−3, 2)，x∴2=k，得k＝−6，−3；即该反比例函数的解析式为y=−6x该函数的图象如右图所示；由图象可知，当x<0时，y随x的增大而增大，∵−3<x<−2，∴2<y<3，即当−3<x<−2时，y的取值范围是2<y<3．【考点】反比例函数的图象反比例函数的性质反比例函数图象上点的坐标特征待定系数法求反比例函数解析式【解析】（1）根据反比例函数y=k的图象经过点(−3, 2)，可以求得k的值，从而可以得到该函x数的解析式；（2）根据（1）中的函数解析式可以画出该函数的图象；（3）根据反比例函数的性质可以写出当−3<x<−2时，y的取值范围．【解答】∵反比例函数y=k的图象经过点(−3, 2)，x∴2=k，得k＝−6，−3；即该反比例函数的解析式为y=−6x该函数的图象如右图所示；由图象可知，当x<0时，y随x的增大而增大，∵−3<x<−2，∴2<y<3，即当−3<x<−2时，y的取值范围是2<y<3．在Rt△ABC中，∠C=90∘．(1)如图①，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，与边AC相切于点F．求证：∠1=∠2；(2)在图②中作⊙M，使它满足以下条件：①圆心在边AB上；②经过点B；③与边AC相切．（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）【答案】(1)证明：如图①，连接OF，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC，∵∠C=90∘，∴OE // BC，∴∠1=∠OFB，∵OF=OB，∴∠OFB=∠2，∴∠1=∠2．(2)解：如图②所示⊙M为所求．【考点】作图—尺规作图的定义切线的性质平行线的性质【解析】（1）连接OF，可证得OF // BC，结合平行线的性质和圆的特性可求得∠1＝∠OFB＝∠2，可得出结论；（2）由（1）可知切点是∠ABC的角平分线和AC的交点，圆心在BF的垂直平分线上，由此即可作出⊙M．【解答】(1)证明：如图①，连接OF，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC，∵∠C=90∘，∴OE // BC，∴∠1=∠OFB，∵OF=OB，∴∠OFB=∠2，∴∠1=∠2．(2)解：如图②所示⊙M为所求．一家蔬菜公司计划到某绿色蔬菜基地收购A，B两种蔬菜共140吨，预计两种蔬菜销售后获利的情况如表所示：其中A种蔬菜的5%、B种蔬菜的3%须运往C市场销售，但C市场的销售总量不超过5.8吨．设销售利润为W元（不计损耗），购进A种蔬菜x吨．（1）求W与x之间的函数关系式；（2）将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得多少利润？【答案】根据题意得：W＝1200x+1000(140−x)＝200x+140000．根据题意得，5%x+3%(140−x)≤5.8，解得x≤80．∴0<x≤80．又∵在一次函数W＝200 x+140000中，k＝200>0，∴W随x的增大而增大，∴当x＝80时，W最大＝200×80+140000＝156000．∴将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得利润156000元．【考点】一次函数的应用【解析】（1）根据两种蔬菜的每吨获利情况和蔬菜的总重量求得W与x之间的关系即可；（2）首先根据两种蔬菜的运往市场的量的关系确定x的取值范围，然后即可确定W的最值．【解答】根据题意得：W＝1200x+1000(140−x)＝200x+140000．根据题意得，5%x+3%(140−x)≤5.8，解得x≤80．∴0<x≤80．又∵在一次函数W＝200 x+140000中，k＝200>0，∴W随x的增大而增大，∴当x＝80时，W最大＝200×80+140000＝156000．∴将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得利润156000元．如图1，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30∘．（1）求证：BE＝CE；（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动，若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N（如图2）．①求证：△BEM≅△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值．【答案】证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90∘，∵E是AD中点，∴AE＝DE，∴△BAE≅△CDE，∴BE＝CE．①如图2中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC＝∠ECB＝45∘，∵∠ABC＝∠BCD＝90∘，∴∠EBM＝∠ECN＝45∘，∵∠MEN＝∠BEC＝90∘，∴∠BEM＝∠CEN，∵EB＝EC，∴△BEM≅△CEN；②∵△BEM≅△CEN，∴BM＝CN，设BM＝CN＝x，则BN＝4−x，∴S△BMN=12⋅x(4−x)=−12(x−2)2+2，∵−12<0，∴x＝2时，△BMN的面积最大，最大值为2．③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG＝m，则BG＝2m，BN＝EN=√3m，EB=√6m．∴EG＝m+√3m＝(1+√3)m，∵S△BEG=12⋅EG⋅BN=12⋅BG⋅EH，∴EH=√3m⋅(1+√3)m2m =3+√32m，在Rt△EBH中，sin∠EBH=EHEB =3+√32m√6m=√6+√24．【考点】四边形综合题【解析】（1）只要证明△BAE≅△CDE即可；（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG＝m，则BG＝2m，BN＝EN=√3m，EB=√6m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题；【解答】证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90∘，∵E是AD中点，∴AE＝DE，∴△BAE≅△CDE，∴BE＝CE．①如图2中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC＝∠ECB＝45∘，∵∠ABC＝∠BCD＝90∘，∴∠EBM＝∠ECN＝45∘，∵∠MEN＝∠BEC＝90∘，∴∠BEM＝∠CEN，∵EB＝EC，∴△BEM≅△CEN；②∵△BEM≅△CEN，∴BM＝CN，设BM＝CN＝x，则BN＝4−x，∴S△BMN=12⋅x(4−x)=−12(x−2)2+2，∵−12<0，∴x＝2时，△BMN的面积最大，最大值为2．③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG＝m，则BG＝2m，BN＝EN=√3m，EB=√6m．∴EG＝m+√3m＝(1+√3)m，∵S△BEG=12⋅EG⋅BN=12⋅BG⋅EH，∴EH=√3m⋅(1+√3)m2m =3+√32m，在Rt△EBH中，sin∠EBH=EHEB =3+√32m√6m=√6+√24．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a>0)的图象经过点A(1, 2)．（1）当b＝1，c＝−4时，求该二次函数的表达式；（2）已知点M(t−1, 5)，N(t+1, 5)在该二次函数的图象上，请直接写出t的取值范围；（3）当a＝1时，若该二次函数的图象与直线y＝3x−1交于点P，Q，将此抛物线在直线PQ下方的部分图象记为C，①试判断此抛物线的顶点是否一定在图象C上？若是，请证明；若不是，请举反例；②已知点P关于抛物线对称轴的对称点为P′，若P′在图象C上，求b的取值范围．【答案】把点A(1, 2)．b＝1，c＝−4代入二次函数y＝ax2+bx+c(a>0)得，2＝a+1−4∴a＝5，b＝1，c＝−4，∴二次函数的表达式为y＝5x2+x−4；∵点M(t−1, 5)，N(t+1, 5)在该二次函数的图象上，∴该二次函数的对称轴是直线x＝t，∵抛物线(a>0)开口向上，A(1, 2)，M，N在该二次函数图象上，且5>2，∴由二次函数的图象及性质得，点M，N分别落在点A的左侧和右侧，∴t−1<1<t+1，∴t的取值范围是0<t<2；①不是．反例如下：若抛物线的解析式为y＝x2+1，则把y＝3x−1代入上式，得x2+1＝3x−1，整理得，x2−3x+2＝0，∵△＝9−8>0，∴方程x2−3x+2＝0有两个不相等的实数根，则抛物线y＝x2+1与直线y＝3x−1有两个交点，∵y＝x2+1的顶点为(0, 1)当x＝0时，y＝3x−1＝−1<1，∴抛物线y＝x2+1的顶点在直线y＝3x−1的上方，∴此抛物线的顶点不在图象C上．②∵点P关于抛物线对称轴的对称点为P′，且P′在图象C上，∴当a＝1时，该二次函数y＝ax2+bx+c(a>0)的图象的顶点在直线y＝3x−1下方，∴当x=−b2时，x2+bx+c<3x−1，即4c−b24<−3b2−1，把A(1, 2)代入y＝x2+bx+c中，得1+b+c＝2，故c＝1−b，∴4(1−b)−b24<−3b2−1，整理得b2−2b>8，∴(b−1)2>9，∴b−1>3或b−1<−3，∴b>4或b<−2．【考点】待定系数法求二次函数解析式二次函数图象与几何变换一次函数图象上点的坐标特点二次函数的性质二次函数图象上点的坐标特征【解析】（1）将点A的坐标和b、c的值代入y＝ax2+bx+c中便可求得a的值，问题便可解决；（2）由点M，N的坐标推出该二次函数的对称轴是直线x＝t，结合抛物线(a>0)开口向上推出点M，N分别落在点A(1, 2)的左侧和右侧，由此可列出关于t的不等式组，解此不等式组即可；（3）①如举反例抛物线y＝x2+1与直线y＝3x−1，判断它们有两个交点（即联立方程组有两组不同的解），并求出抛物线顶点坐标不在直线y＝3x−1之下便可；②要使点P关于抛物线对称轴的对称点为P′在图象C上，则二次函数y＝ax2+bx+c(a>0)图象的顶点必在C上，则当x=−b2a时，ax2+bx+c<3x−1，得到一个关于a、b、c的不等式，把a＝1，A(1, 2)代入y＝ax2+bx+c(a>0)中，用b表示c，再把a＝1与c代入前面得到的关于a、b、c的不等式中，便可求得b的取值范围．【解答】把点A(1, 2)．b＝1，c＝−4代入二次函数y＝ax2+bx+c(a>0)得，2＝a+1−4∴a＝5，b＝1，c＝−4，∴二次函数的表达式为y＝5x2+x−4；∵点M(t−1, 5)，N(t+1, 5)在该二次函数的图象上，∴该二次函数的对称轴是直线x＝t，∵抛物线(a>0)开口向上，A(1, 2)，M，N在该二次函数图象上，且5>2，∴由二次函数的图象及性质得，点M，N分别落在点A的左侧和右侧，∴t−1<1<t+1，∴t的取值范围是0<t<2；①不是．反例如下：若抛物线的解析式为y＝x2+1，则把y＝3x−1代入上式，得x2+1＝3x−1，整理得，x2−3x+2＝0，∵△＝9−8>0，∴方程x2−3x+2＝0有两个不相等的实数根，则抛物线y＝x2+1与直线y＝3x−1有两个交点，∵y＝x2+1的顶点为(0, 1)当x＝0时，y＝3x−1＝−1<1，∴抛物线y＝x2+1的顶点在直线y＝3x−1的上方，∴此抛物线的顶点不在图象C上．②∵点P关于抛物线对称轴的对称点为P′，且P′在图象C上，∴当a＝1时，该二次函数y＝ax2+bx+c(a>0)的图象的顶点在直线y＝3x−1下方，∴当x=−b2时，x2+bx+c<3x−1，即4c−b24<−3b2−1，把A(1, 2)代入y＝x2+bx+c中，得1+b+c＝2，故c＝1−b，∴4(1−b)−b24<−3b2−1，整理得b2−2b>8，∴(b−1)2>9，∴b−1>3或b−1<−3，∴b>4或b<−2．。

福建省厦门市数学2020届高中毕业班理数第一次（3月)质量检测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·新乡模拟) （）A . 5B .C . 6D .2. （2分）对抛物线y2=4x，下列描述正确的是（）A . 开口向上，焦点为(0,1)B . 开口向上，焦点为C . 开口向右，焦点为(1,0)D . 开口向右，焦点为3. （2分）设，，若，则a的取值范围是（）A .B . （-∞，-1]C .D .4. （2分） (2015高三上·临川期末) 若关于x，y的不等式组，表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为（）A . 或B . 或C . 1或D . 1或5. （2分）△ABC中，已知A=90°，=（k，6），=（﹣2，3），则k的值是（）A . -4B . -3C . 4D . 96. （2分） (2018高二上·玉溪期中) 某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高一上·宁乡期中) ，，，则（）A .B .C .D .8. （2分）若数列{an}满足﹣ =d（n∈Nn ， d为常数），则称数列{an}为“调和数列”．已知数列{ }为“调和数列”，且x1+x2+…+x20=200，则x3•x18的最大值为（）A . 50B . 100C . 150D . 2009. （2分） (2016高二下·故城期中) 一只袋内装有m个白球，n﹣m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取了ξ个白球，下列概率等于的是（）A . P（ξ=3）B . P（ξ≥2）C . P（ξ≤3）D . P（ξ=2）10. （2分） (2019高一上·西湖月考) 奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，若f(－1)＝0，则不等式f(x)＜0的解集是（）.A . (－∞，－1)∪(0，1)B . (－∞，－1)∪(1，＋∞)C . (－1，0)∪(0，1)D . (－1，0)∪(1，＋∞)11. （2分） (2019高三上·和平月考) 若，则（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·黑龙江模拟) 已知双曲线C：﹣ =1（a＞0，b＞0）的离心率为2，且右焦点到一条渐近线的距离为，双曲线的方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·集宁月考) 已知等比数列，，则等于________．14. （1分） (2019高二下·吉林期末) 若的展开式中常数项为，则展开式中的系数为________.15. （1分） (2019高三上·日照期中) 定义在R上的奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集是________．16. （1分） (2016高三上·贵阳模拟) 已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的8个顶点都在球O的表面上，AB=1，AA1′=2，则球O的半径R=________；若E，F是棱AA1和DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2017·淄博模拟) 如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM= ，tan∠AMC=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若角∠BAC= ，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．18. （10分） (2017高二下·南昌期末) 如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD= ，点E在PD上，且PE：ED=2：1．（Ⅰ）证明PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．19. （10分） (2019高三上·沈阳月考) 经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：年龄2832384248525862收缩压（单位114118122127129135140147其中：，（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（的值精确到）（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为的70岁的老人，属于哪类人群？20. （10分）(2017·上海) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： =1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|= ，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．21. （10分） (2018高二下·磁县期末) 已知函数．（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）若在上是单调增函数，求实数a的取值范围．22. （10分）(2017·舒城模拟) 已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线l与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．23. （10分）(2017·兰州模拟) 已知函数f（x）= 的定义域为R．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）若m的最大值为n，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2n﹣4．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

高考数学模拟试卷（文科）（3月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A ={x |x 2-3x +2＜0}，B ={x |y =lg （3-x ）}，则A ∩B =（ ）A. {x |1＜x ＜2}B. {x |1＜x ＜3}C. {x |2＜x ＜3}D. {x |x ＜3}2.已知双曲线-=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线为，则双曲线的离心率为（ ）A.B.2 C. D.3.中国将于今年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤．某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译．现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是（ ）A.B. C. D.4.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点（-，2），则tan （α-）的值为（ ）A.B. C. D.5.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等?”(蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物)现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍．为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，输入A ＝3，a ＝1．那么在①处应填( )A. T ＞2S ?B. S ＞2T ?C. S ＜2T ?D. T ＜2S ?6.实数x ，y 满足，则z =4x +3y 的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 18D. 247.当x ＞0时，函数f （x ）=（ae x +b ）（x -2）单调递增，且函数y =f （x -1）的图象关于直线x =1对称，则使得f （2-m ）＞0成立的m 的取值范围是（ ）A. {m|m＜-2或m＞2}B. {m|-2＜m＜2}C. {m|m＜0或m＞4}D. {m|0＜m＜4}8.在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，=，=，若•=12，则∠BAD=（ ）A. B. C. D.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（ ）A.B.C. 19πD. 22π10.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是C上两动点，且∠AFB=α（α为常数），线段AB中点为M，过点M作l的垂线，垂足为N，若的最小值为1，则α=（ ）A. B. C. D.11.已知数列{a n}的前n项和为S n，直线y=x-2与圆x2+y2=2a n+2交于A n，B n（n∈N*）两点，且．若a1+2a2+3a3+…+na n＜λa n2+2对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A. （0，+∞）B.C. [0，+∞）D.12.已知P，Q为动直线y=m（0＜m＜）与y=sin x和y=cos x在区间上的左，右两个交点，P，Q在x轴上的投影分别为S，R．当矩形PQRS面积取得最大值时，点P的横坐标为x0，则（ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数z满足z（1+i）=2-i（i为虚数单位），则z的共轭复数为______．14.已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，a1+a3+a5=15，a2+a4+a6=0，则S n的最大值为______．15.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC=2，CC1=1，直线BC1与平面A1ABB1所成角等于60°，则三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积为为______．16.若实数a，b，c满足（a-2b-1）2+（a-c-ln c）2=0，则|b-c|的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f（x）=M sin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与x轴的两个相邻交点是A（0，0），B（6，0），C是函数f（x）图象的一个最高点．a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，满足（a+c）（sin C-sin A）=（a+b）sin B．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移1个单位后，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递减区间．18.为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动．“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车…”铿锵有力的话语，传递了绿色出行、低碳生活的理念．某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60]18岁至31岁812206014015032岁至44岁1228201406015045岁至59岁25508010022545060岁及以上2510101852联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．用样本估计总体的思想，解决如下问题：（Ⅰ）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（Ⅱ）若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？P（K2≥k）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 K2=．19.已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD．（1）试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出详细证明；（2）求三棱锥E-ABC的体积．20.已知椭圆，动圆：（圆心为椭圆上异于左右顶点的任意一点），过原点作两条射线与圆相切，分别交椭圆于，两点，且切线长的最小值为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：的面积为定值.21.已知函数f（x）=（x2-ax+a+1）e x．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），其中a＞0．若mx1＞0恒成立，求实数m的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1：（α为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cosθ，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与C1，C2在第一象限分别交于A，B两点，P为C2上的动点，求PAB面积的最大值．23.已知函数f（x）=|x-1|+|x-m|（m＞1），若f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a2+a-4有解，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合A={x|x2-3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，B={x|y=lg（3-x）}={x|3-x＞0}={x|x＜3}，则A∩B={x|1＜x＜2}．故选：A．解不等式求出集合A，求定义域得出B，再根据交集的定义写出A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.【答案】D【解析】解：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为，∴=，∴双曲线的离心率为e===故选：D．根据双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，再根据离心率公式计算即可．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：P（恰有1个英语翻译，1个俄语翻译）==，故选：C．利用古典概率计算公式计算即可．本题考查了古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式，属于基础题．利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan（α-）的值．【解答】解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（-，2），∴tanα==-，则tan（α-）===-3，故选：A．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查程序框图，考查学生的读图能力，比较基础．由题意，S表示莞高，T表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，即可得出结论．【解答】解：由题意，S表示莞高，T表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，故①处应填S＞2T？．故选：B．6.【答案】D【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（3，4），由z=4x+3y得：y=-x+z，结合图象得直线过A（3，4）时，z最大，z的最大值是24，故选：D．画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出z的最大值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．7.【答案】C【解析】解：函数y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，即函数y=f（x）的图象关于y轴对称，函数f（x）是偶函数，而f（2）=0，故x＞2时，f（x）＞0，x＜-2时，f（x）＞0，故f（2-m）＞0，即|2-m|＞2，解得：m＞4或m＜0，故选：C．根据函数的对称性得到函数f（x）是偶函数，根据f（2）=f（-2）=0，问题转化为|2-m|＞2，求出m的范围即可．本题考查了函数的对称性问题，考查转化思想以及函数的单调性，是一道中档题．8.【答案】B【解析】解：如图所示，平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，=，=，∴=+=--，=+=--若•=12，则•=（--）•（--）=++•=×32+×22+×3×2×cos∠BAD=12，cos∠BAD=，∴∠BAD=．故选：B．根据平行四边形的性质，利用平面向量的线性表示与数量积运算，即可求出答案．本题考查了平行四边形的性质与平面向量的数量积运算问题，是基础题目．9.【答案】A【解析】解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，上底面PCD的外接圆的半径：O1D==，几何体的外接球的半径为：OD==，该四棱锥的外接球的表面积是：4=π．故选：A．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解外接球的表面积即可．本题考查三视图求解几何体的外接球的表面积，求解外接球的半径是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：如右图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2-2ab cosα，∵的最小值为1，∴a2+b2-2ab cosα≥，α=时，不等式恒成立．故选：C．先画出图象、做出辅助线，设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义得2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得|AB|2=a2+b2-2ab cosα，再根据的最小值为1，即可得到答案．本题考查抛物线的定义、简单几何性质，余弦定理的应用等知识，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：圆心O（0，0）到直线y=x-2，即x-y-2=0的距离d==2，由d2+=r2，且，得22+S n=2a n+2，∴4+S n=2（S n-S n-1）+2，即S n+2=2（S n-1+2）且n≥2；∴{S n+2}是以a1+2为首项，2为公比的等比数列．由22+S n=2a n+2，取n=1，解得a1=2，∴S n+2=（a1+2）•2n-1，则S n=2n+1-2；∴（n≥2）．a1=2适合上式，∴．令T n=a1+2a2+3a3+…+na n=1•2+2•22+3•23+…+（n-1）•2n-1+n•2n，∴，两式作差可得：==（1-n）•2n+1-2，∴，由a1+2a2+3a3+…+na n＜λa n2+2对任意n∈N*恒成立，可得（n-1）•2n+1+2＜λ•22n+2对任意n∈N*恒成立，即λ＞对任意n∈N*恒成立，当n=1时，=0；由，知，n=2时，=0，∴当n=2、3时，最大为．∴λ＞．∴λ的取值范围为：．故选：B．由已知得到关于数列{a n}的递推式，进一步得到{S n+2}是以a1+2为首项，2为公比的等比数列．求出数列{a n}的前n项和为S n，进一步求得数列{a n}的通项，然后利用错位相减法求得a1+2a2+3a3+…+na n，代入a1+2a2+3a3+…+na n＜λa n2+2，分离参数λ，求出得最大值得答案．本题考查函数恒成立问题，考查数学转化思想方法，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，考查直线与圆的位置关系，是中档题．12.【答案】A【解析】解：由题意知，P与Q关于直线对称，设P（x，sin x），则，∴，∴，∴S″=-4cos x-（-2x）sin x，∵，∴S''（x）＜0，∴S′（x）在区间上单调递减，且，，∴S′（x）在区间存在唯一零点，即为x0．令S′（x0）=0得：，即．由不等式得：，解得：，故选：A．由题意知，P与Q关于直线对称，设P（x，sin x），则矩形PQRS的面积为S（x）=（-2x）•sin x，（0＜x＜），再利用导数求得矩形面积S（x）的最大值．考查三角函数的图象与性质、导数、零点、不等式等，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力，属于中档题．13.【答案】+i【解析】解：由z（1+i）=2-i得z====-i，则z的共轭复数为+i，故答案为：+i根据复数运算法则进行化简，结合共轭复数的定义进行求解即可．本题主要考查复数的共轭复数的计算，结合复数的运算法则求出z是解决本题的关键．14.【答案】30【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a3+a5=15，a2+a4+a6=0，∴3d=-15，3a1+6d=15，解得d=-5，a1=15．∴a n=15-5（n-1）=20-5n，令a n=20-5n≥0，解得n≤4．则S n的最大值为S4=S3=3×15+=30．故答案为：30．设等差数列{a n}的公差为d，根据a1+a3+a5=15，a2+a4+a6=0，可得3d=-15，3a1+6d=15，解得d，a1．令a n≥0，解得n，进而得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】【解析】解：由题意，BC1==，∠A1BC1=60°，∴A1C1=，A1B=，∴AB=，∴三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积为（2++）×1=，故答案为．由题意，BC1==，∠A1BC1=60°，求出底面的边长，即可求出三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积．本题考查三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积，考查学生的计算能力，属于中档题．16.【答案】1【解析】解：∵（a-2b-1）2+（a-c-ln c）2=0，∴a=2b+1，a=c+ln c．∴2b+1=c+ln c，b=．∴|b-c|=，令f（c）=1+c-ln c（c＞0），f′（c）=1-=，可得：c=1时，函数f（c）取得极小值即最小值，f（1）=2＞0．∴|b-c|=≥1，故答案为：1．（a-2b-1）2+（a-c-ln c）2=0，可得a=2b+1，a=c+ln c.2b+1=c+ln c，|b-c|=，令f（c）=1+c-ln c（c＞0），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=M sin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与x轴的两个相邻交点是A（0，0），B（6，0），∴sinφ=0，∴φ=0，且==6，∴ω=，∴f（x）=M sin（x）．∵C是函数f（x）图象的一个最高点，a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，满足（a+c）（sin C-sin A）=（a+b）sin B，∴（a+c）（c-a）=（a+b）b，整理可得=-，即cos C=-，∴C=．由题意可得CA=CB，∴∠A=，设AB的中点为D，则CD⊥AB，且点D（3，0），点C（3，M），根据tan∠A=tan===，∴M=，∴f（x）=sin（x）．（Ⅱ）将函数f（x）=sin（x）的图象向左平移1个单位后，纵坐标不变，可得y=sin（x+1）=sin（x+）的图象；再把横坐标伸长为原来的倍，得到函数g（x）=sin（•x+）=sin（x+）的图象．令2kπ+≤+≤2kπ+，求得4kπ+≤x≤4kπ+，故函数g（x）的单调递减区间为[4kπ+，4kπ+]，k∈Z．【解析】（Ⅰ）由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，解直角三角形求出A，可得f（x）的解析式．（Ⅱ）利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数g（x）的单调递减区间．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，解直角三角形求出A．还考查了函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数为（20×5+40×15+40×25+200×35+200×45+300×55）÷（20+40+40+200+200+300）=42.75；（Ⅱ）列联表：骑行爱好者非骑行爱好者总计青年人700100800非青年人8002001000总计150********K2==18＞10.828，∴能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关．【解析】（Ⅰ）利用组中值，即可估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（Ⅱ）根据条件中所给的数据，列出列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是根据所给的数据填在列联表中，注意数据的位置不要出错．19.【答案】解：（1）∵平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD．∴过E作EQ⊥平面BCD，交CD于Q，过A作AP⊥平面BCD，交BC于P，∴EQ∥AP，过Q作QO∥BC，交BD于O，则直线OQ就是在平面BCD内所求的直线，使得直线OQ上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行．证明如下：∵EQ∥AP，QO∥BC，EQ∩QO=Q，AP∩BC=P，EQ、QO⊂平面EQO，AP、BC⊂平面ABC，∴平面EQO∥平面ABC，∴直线OQ上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行．（2）∵△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，∴AP==2，∴S△ABC==2，点E到平面ABC的距离d===，∴三棱锥E-ABC的体积V E-ABC===．【解析】（1）过E作EQ⊥平面BCD，交CD于Q，过A作AP⊥平面BCD，交BC于P ，则EQ∥AP，过Q作QO∥BC，交BD于O，从而EQ∥AP，QO∥BC，进而平面EQO∥平面ABC，由此得到直线OQ上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行．（2）求出AP=2，S△ABC=2，点E到平面ABC的距离d==，由此能求出三棱锥E-ABC的体积．本题考查满足线面平行的直线的确定与证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）如图1，因为椭圆，焦点在x轴上，P（x0，y0）在椭圆方程上，则=b2（1-），由＜b＜2，得：=（1-）+b2≥b2＞=r2，故点O在圆P外，不妨设OM与圆P相切于T，则有：切线长|OT|==，则|OT|=≥，由已知得：=，解得：b2=2，所以椭圆的方程为：.（Ⅱ）证明：当切线OM或ON斜率不存在时，即圆P与y轴相切时，易得|x0|=r=，代入椭圆方程得：|y0|=，说明圆P同时也与x轴相切（图2），此时M、N分别为长、短轴一个端点，则△MON的面积为．当切线OM，ON斜率存在时，设切线方程为：y=kx，由d=r得：=，整理得：（*），，即|x0|≠，此时|y0|≠，方程（*）必有两个非零根，记为k1，k2（k1＜k2），则k1，k2分别对应直线OM，ON的斜率，由韦达定理得：k1k2=，将，代入得：k1k2==-，解法一：（求交点坐标）由上知：k1＜0＜k2，设点N位于第一、三象限，点M位于第二、四象限，若点N位于第一象限，点M位于第二象限，设OM：y=k1x与椭圆方程联立可得：M（-，-）设ON：y=k2x与椭圆方程联立可得：N（，）,S△MON=--=（x N-x M）（y N+y M）-（-x M）y M-（x N y N）=（x N y M-x M y N），代入坐标有：S△MON=2×=2×=2×=2×=.同理，当点M、N位于其它象限时，结论也成立综上，△MON的面积为定值．解法二：（探寻直线MN方程特征）（接上）设M（x1，y1），N（x2，y2），由于点P不与点A、B重合时，直线MN的斜率存在，不妨设直线MN的方程为：y=kx+m ，将MN与椭圆方程联立可得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-4=0，△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)=32k2+16-8m2，由△＞0得4k2+2＞m2，由韦达定理可知：x1+x2=-，x1x2=，k OM k ON==-，则x1x2+2y1y2=x1x2+2(kx1+m)(kx2+m)=（1+2k2）x1x2+2km（x1+x2）+2m2=0，代入有：（1+2k2）+2km（-）+2m2=0，整理得：m2=2k2+1；又|MN|=|x1-x2|==•=2•，而原点O到直线MN的距离为d==，S△MON=|MN|•d=×2•×=．所以△MON的面积为定值．【解析】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力，转化化归思想、分类整合思想，属于难题．（Ⅰ）将圆心坐标代入椭圆方程，根据两点之间的距离公式，|OT|=≥，由切线长的最小值为，即可求得b的值，求得椭圆C的方程；（Ⅱ）方法一：当斜率不存在，△MON的面积为，当斜率存在，分别设出切线方程，代入求得M和N的坐标，由三角形的面积S△MON=--，即可求得△MON的面积，方法二：设直线MN方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式，根据点到直线的距离公式及三角形的面积公式，即可求得△MON的面积为定值．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=[x2+（2-a）x+1]e x，令x2+（2-a）x+1=0（*），（1）=（2-a）2-4＞0，即a＜0或a＞4时，方程（*）有2根，x1=，x2=，函数f（x）在（-∞，x1），（x2，+∞）递增，在（x1，x2）递减；（2）≤0时，即0≤a≤4时，f′（x）≥0在R上恒成立，函数f（x）在R递增，综上，a＜0或a＞4时，函数f（x）在（-∞，x1），（x2，+∞）递增，在（x1，x2）递减；0≤a≤4时，函数f（x）在R递增；（Ⅱ）∵f′（x）=0有2根x1，x2且a＞0，∴a＞4且，∴x1＞0，mx1-＞0恒成立等价于m＞=恒成立，即m＞-x22+2x2+1恒成立，令t=a-2（t＞2），则x2=，令g（t）=，t＞2时，函数g（t）递增，g（t）＞g（2）=1，∴x2＞1，∴-x22+2x2+1＜2，故m的范围是[2，+∞）．【解析】本题考查函数的单调性问题，考查导数的应用，解决与不等式有关的参数范围和证明问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，分类思想，考查运算能力，是一道综合题．（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于m＞=恒成立，即m＞-x22+2x2+1恒成立，令t=a-2（t＞2），则x2=，令g（t）=，根据函数的单调性求出g（t）的最小值，从而求出m的范围即可．22.【答案】解：（Ⅰ）依题意得，曲线C1的普通方程为（x-2）2+y2=7，曲线C1的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-3=0，直线l的直角坐标方程为y=x．（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为（x-4）2+y2=16，由题意设A（ρ1，），B（ρ2，），则ρ12-4ρ1cosθ-3=0，即ρ12-2ρ1-3=0，得ρ1=3或ρ1=-1（舍），ρ2=8cos=4，则丨AB丨=丨ρ1-ρ2丨=1，C2（4，0）到l的距离为d==2．以AB为底边的PAB的高的最大值为4+2．则△PAB的面积的最大值为×1×（4+2）=2+．【解析】本题考查学生对直角坐标方程、参数方程、极坐标方程之间的相互转化，利用极坐标方程求解弦长问题，三角形最值问题，通过直角坐标方程、参数方程、极坐标方程之间的互化考查化归与转化、数形结合的思想．（Ⅰ）利用参数方程与普通方程转化，求得C1的普通方程，将l的极坐标方程为转化成曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）由C2的直角坐标方程为（x-4）2+y2=16，求得ρ12-2ρ1-3=0，代入求得ρ1，ρ2，求得丨AB丨，AB为底边的PAB的高的最大值为4+2．利用三角形的面积公式，即可求得PAB面积的最大值．23.【答案】解：（Ⅰ）∵m＞1，∴，作出函数f（x）的图象，如图所示：由f（x）＞4的解集为{x|x＜0或x＞4}及函数图象，可得，得m=3．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，∴f（x）的最小值为2．关于x的不等式f（x）＜a2+a-4有解，则2＜a2+a-4，即a2+a-6＞0，即（a+3）（a-2）＞0，∴a＜-3，或a＞2，实数a的取值范围{a|a＜-3，或a＞2 }．【解析】（Ⅰ）作出f（x）的图象，结合题意可得，由此求得m的值．（Ⅱ）求得f（x）的最小值为2，可得2＜a2+a-4，由此求得a的范围．本题考查学生对绝对值不等式的理解与运用，考查学生对绝对值函数的运算求解能力，考查分类与整合、函数与方程思想和数形结合等思想．本题以绝对值函数为背景，设置学生熟悉的绝对值函数化为分段函数以及不等式求解问题，属于中档题．。