高考数学一轮复习第6章数列第1节数列的概念与简单表示法教学案文北师大版

第1讲数列的概念与简单表示法知识点考纲下载数列的概念和简单表示法了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 了解数列是自变量为正整数的一类函数.等差数列理解等差数列的概念.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.了解等差数列与一次函数的关系.等比数列理解等比数列的概念.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.了解等比数列与指数函数的关系.概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{a n}的第n项a n通项公式数列{a n}的第n项与序号n之间的关系式前n项和数列{a n}中，S n＝a1＋a2＋…＋a n列表法列表格表示n与a n的对应关系图象法把点(n，a n)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和a n与a n＋1的关系式或a1，a2和a n－1，a n，a n＋1的关系式等表示数列的方法n n若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.4．数列的分类分类原则 类型 满足条件 按项数 分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限按项与项间 的大小关 系分类 递增数列 a n ＋1>a n其中n ∈N *递减数列 a n ＋1<a n 常数列a n ＋1＝a n按其他标准分类摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)所有数列的第n 项都能使用通项公式表示．( ) (3)数列{a n }和集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }是一回事．( ) (4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．( ) (5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．( )(6)若数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＝S n －S n －1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× 在数列{a n }中 ，a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n ≥2)，则a 4＝( )A.32 B.53 C.74D.85解析：选B.由题意知，a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1＋1a 2＝32，a 4＝1＋1a 3＝53.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则3( ) A ．不是数列{a n }中的项 B ．只是数列{a n }中的第2项 C ．只是数列{a n }中的第6项D ．是数列{a n }中的第2项或第6项解析：选D.令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3，解得n ＝2或n ＝6，故3是数列{a n }中的第2项或第6项．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n n ＋1，那么这个数列是__________数列．(填“递增”或“递减”或“摆动”) 解析：法一：令f (x )＝xx ＋1，则f (x )＝1－1x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，则数列{a n }是递增数列．法二：因为a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＞0， 所以a n ＋1＞a n ，所以数列{a n }是递增数列． 答案：递增数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝________．解析：由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项公式可以为n2n －1.答案：n2n －1由a n 与S n 的关系求通项公式a n (高频考点)a n 与S n 关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，属容易题．高考对a n 与S n 关系的考查主要有以下两个命题角度： (1)利用a n 与S n 的关系求通项公式a n ； (2)利用a n 与S n 的关系求S n .[典例引领]角度一 利用a n 与S n 的关系求通项公式a n已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有a n ，S n ，a 2n成等差数列，则a n ＝________． 【解析】 因为a n ，S n ，a 2n 成等差数列， 所以2S n ＝a n ＋a 2n ，当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 1＋a 21， 又a 1>0，所以a 1＝1，当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1，所以(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0， 所以(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， 又a n ＋a n －1>0，n ≥2， 所以a n －a n －1＝1，n ≥2，所以{a n }是等差数列，其公差为1， 因为a 1＝1， 所以a n ＝n (n ∈N *)． 【答案】 n角度二 利用a n 与S n 的关系求S n设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________．【解析】 由已知得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，两边同时除以S n ＋1S n ，得1S n ＋1－1S n＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n .【答案】 －1n(1)已知S n 求a n 的三个步骤 ①先利用a 1＝S 1求出a 1.②用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式．③注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并． (2)S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． ①利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解． ②利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．[通关练习]1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋1，则a n ＝________． 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2·3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2. 2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝________． 解析：法一：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n ， 所以a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n (n ≥2)， 即a n ＋1a n ＝32(n ≥2)， 又a 2＝12，所以a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1≠12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝13，所以a n＝⎩⎨⎧1，n ＝1，12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2，所以S n ＝2a n ＋1＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.法二：因为S 1＝a 1，a n ＋1＝S n ＋1－S n ，则S n ＝2(S n ＋1－S n )， 所以S n ＋1＝32S n ，所以数列{S n }是首项为1，公比为32的等比数列，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －13．已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋na n ＝3n 2－2n ＋1，求a n . 解：设a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋na n ＝T n ， 当n ＝1时，a 1＝T 1＝3×12－2×1＋1＝2， 当n ≥2时，na n ＝T n －T n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5， 因此a n ＝6n －5n，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5n ，n ≥2.由递推关系求数列的通项公式[典例引领]分别求出满足下列条件的数列的通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＝nn －1a n －1(n ≥2，n ∈N *)；(3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．【解】 (1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝0＋1＋3＋…＋(2n －5)＋(2n －3)＝(n －1)2，所以数列的通项公式为a n ＝(n －1)2. (2)当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝1×21×32×…×n －2n －3×n －1n －2×nn －1＝n ，当n ＝1时，也符合上式， 所以该数列的通项公式为a n ＝n .(3)因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以该数列的通项公式为a n ＝2·3n －1－1.若本例(3)条件a n ＋1＝3a n ＋2变为a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1，求a n .解：因为a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1，所以a n ＋13n ＋1＝a n3n ＋1，所以数列{a n 3n }是以13为首项，1为公差的等差数列．所以a n 3n ＝13＋(n －1)＝n －23，所以a n ＝n ·3n－2·3n －1.由数列递推式求通项公式的常用方法[通关练习]1．(2018·兰州市诊断考试)已知数列{a n }，{b n }，若b 1＝0，a n ＝1n （n ＋1），当n ≥2时，有b n ＝b n －1＋a n －1，则b 2 017＝________．解析：由b n ＝b n －1＋a n －1得b n －b n －1＝a n －1，所以b 2－b 1＝a 1，b 3－b 2＝a 2，…，b n －b n －1＝a n －1，所以b 2－b 1＋b 3－b 2＋…＋b n －b n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1（n －1）×n ，即b n －b 1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1（n －1）×n ＝11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－1n ＝n －1n ，因为b 1＝0，所以b n ＝n －1n ，所以b 2 017＝2 0162 017. 答案：2 0162 0172．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2na n ，则a n ＝________． 解析：由于a n ＋1a n＝2n， 故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1， 将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，故a n ＝2n （n －1）2. 答案：2n （n －1）2数列的性质(高频考点)数列的性质主要有单调性、周期性及最值问题，是高考的热点，多以选择题或填空题形式考查，多存在一定难度．高考对数列的性质的考查常有以下三个命题角度： (1)数列的单调性； (2)数列的周期性； (3)数列的最值．[典例引领]角度一 数列的单调性已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．【解析】 {a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3. 【答案】 (－3，＋∞) 角度二 数列的周期性设数列{a n }满足：a n ＋1＝1＋a n1－a n，a 2 018＝3，那么a 1＝( )A ．－12B. 12 C ．－13D. 13【解析】 设a 1＝x ，由a n ＋1＝1＋a n1－a n ，得a 2＝1＋x 1－x，a 3＝1＋a 21－a 2＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x 1－x ＝－1x，a 4＝1＋a 31－a 3＝1－1x 1＋1x＝x －1x ＋1，a 5＝1＋a 41－a 4＝1＋x －1x ＋11－x －1x ＋1＝x ＝a 1，所以数列{a n }是周期为4的周期数列． 所以a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝1＋x1－x ＝3.解得x ＝12.【答案】 B角度三 数列的最值已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn ，k ∈N *，且S n 的最大值为8.试确定常数k ，并求数列{a n }的通项公式．【解】 因为S n ＝－12n 2＋kn ＝－12(n －k )2＋12k 2，其中k 是常数，且k ∈N *，所以当n ＝k 时，S n 取最大值12k 2，故12k 2＝8，k 2＝16，因此k ＝4，从而S n ＝－12n 2＋4n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 2＋4n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12（n －1）2＋4（n －1）＝92－n .当n ＝1时，92－1＝72＝a 1，所以a n ＝92－n .(1)利用递推公式探求数列的周期性的两种思想思想1：根据递推公式，写出数列的前n 项直到出现周期情况后，利用a n ＋T ＝a n 写出周期（n ＋T ）－n ＝T .思想2：利用递推公式“逐级”递推，直到出现a n ＋T ＝a n ，即得周期T ＝（n ＋T ）－n . （2）判断数列的单调性的两种方法[通关练习]1．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋2n ，且a 1＝33，则a n n的最小值为( ) A ．21 B ．10 C.212D.172解析：选C.由已知条件可知，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝33＋2＋4＋…＋2(n －1)＝n 2－n ＋33，又n ＝1时，a 1＝33满足此式．所以a n n＝n ＋33n－1.令f (n )＝a n n＝n ＋33n－1，则f (n )在[1，5]上为减函数，在[6，＋∞)上为增函数，又f (5)＝535，f (6)＝212，则f (5)>f (6)，故f (n )＝a n n 的最小值为212.2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝－1a n －1＋1(n ≥2且n ∈N *)，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 018＝________．解析：因为a 1＝2，a 2＝－13，a 3＝－32，a 4＝2，所以数列{a n }是周期为3的数列，所以S 2 018＝672×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13－32＋2－13＝3413. 答案：3413数学文化与数列问题[典例引领](2017·高考全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏【解析】 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3.【答案】 B解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，即数列问题，利用数列的通项公式及求和公式求解．[通关练习]1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( ) A.54钱 B.53钱 C.32钱 D.43钱解析：选 D.设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16.2．(2018·新疆第二次适应性检测)《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月，日织九匹三丈”(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布，则第30天比第一天多织布的尺数是( ) A ．19 B ．18 C ．17D ．16解析：选D.依题意，织女每天所织布的尺数依次排列形成等差数列，记为{a n }，其中a 1＝5，S 30＝30（a 1＋a 30）2＝390，a 1＋a 30＝26，a 30＝26－a 1＝21，a 30－a 1＝16.数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集N *或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列． 数列的单调性的判断(1)作差比较法．a n ＋1－a n >0⇔数列{a n }是递增数列；a n ＋1－a n <0⇔数列{a n }是递减数列；a n ＋1－a n ＝0⇔数列{a n }是常数列． (2)作商比较法．当a n >0时，则a n ＋1a n >1⇔数列{a n }是递增数列；a n ＋1a n<1⇔数列{a n }是递减数列；a n ＋1a n＝ 1⇔数列{a n }是常数列．当a n <0时，则a n ＋1a n >1⇔数列{a n }是递减数列；a n ＋1a n<1⇔数列{a n }是递增数列；a n ＋1a n＝1⇔数列{a n }是常数列． 易错防范(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．(2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． 1．已知数列1，2，7，10，13，…，则219在这个数列中的项数是( ) A ．16 B ．24 C ．26 D ．28解析：选 C.因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，解得n ＝26.2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( ) A.1516 B.158C.34D.38解析：选 C.由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，所以2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，所以12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，所以3a 5＝3＋(－1)5，所以a 5＝23，所以a 3a 5＝12×32＝34.3．(2018·长沙市统一模拟考试)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( ) A.176升 B.72升 C.11366升 D.10933升 解析：选 A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.选A.4．数列{a n }中，如果存在a k ，使得a k ＞a k －1且a k ＞a k ＋1成立(其中k ≥2，k ∈N *)，则称a k 为数列{a n }的峰值．若a n ＝－3n 2＋15n －18，则{a n }的峰值为( ) A ．0 B ．4 C.133D.163解析：选A.因为a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，且n ∈N *，所以当n ＝2或n ＝3时，a n 取最大值，最大值为a 2＝a 3＝0.故选A.5．(2018·广东省五校协作体第一次诊断考试)数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a 1＋a n ＋n (n ∈N *)，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 016等于( )A.4 0322 017 B.4 0282 015 C.2 0152 016D.2 0142 015解析：选 A.由a 1＝1，a n ＋1＝a 1＋a n ＋n 可得a n ＋1－a n ＝n ＋1，利用累加法可得a n －a 1＝（n －1）（n ＋2）2，所以a n ＝n 2＋n 2，所以1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 016＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋12 016－12 017 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－12 017＝4 0322 017，选A. 6．已知数列{a n }为12，14，－58，1316，－2932，6164，…，则数列{a n }的一个通项公式是________．解析：各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－2－32，故原数列可变为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故其通项公式可以为a n ＝(－1)n·2n－32n .答案：a n ＝(－1)n·2n－32n7．若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________． 解析：a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)， 当n ＝1时，a 1＝6； 当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝（n ＋1）（n ＋2），a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n （n ＋1），故当n ≥2时，a n ＝n ＋2n， 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n，n ≥2，n ∈N *.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n，n ≥2，n ∈N *8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 018＝________． 解析：因为a 1＝1， 所以a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1， a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的周期数列， 所以a 2 018＝a 2＝0. 答案：09．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋a n ＋1，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝22－2＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2－(2n －2)＝2n ＋1－2n ＝2n.因为a 1也适合此等式， 所以a n ＝2n(n ∈N *)．(2)因为b n ＝a n ＋a n ＋1，且a n ＝2n，a n ＋1＝2n ＋1，所以b n ＝2n＋2n ＋1＝3·2n.10．已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1且前n 项和为T n ，设c n＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解：(1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)． 所以b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23（n ＝1），1n （n ≥2）.(2)因为c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1，所以c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1（2n ＋3）（2n ＋2）＜0，所以c n ＋1＜c n ，所以数列{c n }为递减数列．1．(2018·湖南岳阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝（n ＋1）a n2，则a 2017＝( )A ．2 016B ．2 017C ．4 032D ．4 034解析：选B.由题意知n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（n ＋1）a n 2－na n －12，化为a n n ＝a n －1n －1，所以a nn＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1，所以a n ＝n .则a 2 017＝2 017.故选B. 2．(2018·湖北六校模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－32λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．λ<45B ．λ<1C ．λ<32D ．λ<23解析：选A.因为数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)， 所以a n >0，1a n ＋1＝2a n＋1，则1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋1是等比数列，且首项为1a 1＋1＝2，公比为2，所以1a n＋1＝2n.所以b n ＋1＝(n －2λ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n＋1＝(n －2λ)·2n (n ∈N *)，所以b n ＝(n －1－2λ)·2n －1(n ≥2)，因为数列{b n }是单调递增数列， 所以b n ＋1>b n ，所以(n －2λ)·2n >(n －1－2λ)·2n －1(n ≥2)，可得λ<n ＋12(n ≥2)，所以λ<32， 又当n ＝1时，b 2>b 1，所以(1－2λ)·2>－32λ，解得λ<45，综上，λ的取值范围是λ<45，故选A.3．下列关于星星的图案构成一个数列，则该数列的一个通项公式是________．解析：从题图中可观察星星的构成规律，n ＝1时，有1个，n ＝2时，有3个；n ＝3时，有6个；n ＝4时，有10个；…，所以a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2.答案：a n ＝n （n ＋1）24．(2018·成都市第二次诊断性检测)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n 2n 2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2的前n 项和T n ＝________．解析：由题意知a n a n －1＝n 2n 2－1＝n 2（n －1）（n ＋1），所以a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝1×2222－1×3232－1×…×n2n 2－1＝ 22×32×42×…×n2（2－1）（2＋1）（3－1）（3＋1）（4－1）（4＋1）…（n －1）（n ＋1）＝22×32×42×…×n 21×3×2×4×3×5×…×（n －1）×（n ＋1）＝2n n ＋1，所以a n n 2＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2的前n 项和T n ＝2(11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 答案：2nn ＋15．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－13，a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，求数列{b n }的通项公式； (2)求n 为何值时，a n 最小．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6，b n ＝a n ＋1－a n ，得b n ＋1－b n ＝2n －6，b 1＝a 2－a 1＝－14.当n ≥2时，b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋(b 4－b 3)＋…＋(b n －b n －1) ＝－14＋(2×1－6)＋(2×2－6)＋(2×3－6)＋…＋[2(n －1)－6] ＝－14＋2×n （n －1）2－6(n －1)＝n 2－7n －8，当n ＝1时，上式也成立．所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n 2－7n －8. (2)由(1)可知a n ＋1－a n ＝n 2－7n －8＝(n ＋1)(n －8)，当n <8时，a n ＋1<a n ， 即a 1>a 2>a 3>…>a 8， 当n ＝8时，a 9＝a 8，当n >8时，a n ＋1>a n ，即a 9<a 10<a 11<… 所以当n ＝8或n ＝9时，a n 的值最小．6．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *. (1)设b n ＝S n －3n，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 解：(1)依题意得S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n， 即S n ＋1＝2S n ＋3n， 由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n)，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3，因此，所求通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)可知S n ＝3n＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3，所以，当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9，又a 2＝a 1＋3＞a 1，a ≠3.所以，所求的a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．。

第1节数列的概念与简单表示法考试要求1。

了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数。

知识梳理1.数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。

2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n＋1＞a n其中n∈N*递减数列a n＋1＜a n常数列a n＋1＝a n摆动数列从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列｛a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n）来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

（2）递推公式：如果已知数列{a n｝的第1项（或前几项），且从第二项(或某一项）开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.[常用结论与微点提醒]1。

数列的最大（小)项，可以用错误!(n≥2，n∈N＊）错误!求，也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合求解.2.数列是按一定“次序"排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数"的排列顺序有关。

3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号。

诊断自测1。

判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”)（1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()（2)1，1，1，1,…，不能构成一个数列.（)（3）任何一个数列不是递增数列，就是递减数列。

（）（4）如果数列｛a n｝的前n项和为S n，则对任意n∈N＊,都有a n＋1＝S n＋1－S n。

（）解析（1）数列:1,2,3和数列：3，2,1是不同的数列.(2）数列中的数是可以重复的,可以构成数列.(3）数列可以是常数列或摆动数列.答案（1)×(2)×（3)×（4）√2。

6.1数列的概念与简单表示法1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类：分类标准 类型 满足条件 项数有穷数列 项数有限无穷数列项数无限 项与项间的大小关系递增数列a n ＋1>a n 其中n ∈N *递减数列 a n ＋1<a n 常数列a n ＋1＝a n(3)数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．『试一试』1．已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n }的一个通项公式为________． 『答案』a n ＝2n －1(n ∈N *)2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1n 为偶数，2n －5n 为奇数，则a 4·a 3＝________.『解析』a 4·a 3＝2×33·(2×3－5)＝54. 『答案』541．辨明数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．2．明确a n 与S n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1，S n －S n －1n ≥2.『练一练』1．(2013·南京、淮安二模)已知数列{a n }的通项为a n ＝7n ＋2，数列{b n }的通项为b n ＝n 2.若将数列{a n }，{b n }中相同的项按从小到大的顺序排列后记作数列{c n }，则c 9的值是________． 『解析』法一：由a n ＝7n ＋2，b n ＝n 2列出部分项得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝9，b 3＝9，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 4＝16，⎩⎪⎨⎪⎧a 14＝100，b 10＝100，⎩⎪⎨⎪⎧a 17＝121，b 11＝121，⎩⎪⎨⎪⎧a 41＝289，b 17＝289，⎩⎪⎨⎪⎧a 46＝324，b 18＝324，易发现在数列{b n }中符合条件的数呈周期变化，且周期为7.每个周期内第3,4个数符合题意，故c 9在第5个周期的第3个数，即c 9＝(4×7＋3)2＝312＝961.法二：令a n ＝b m ，则7n ＋2＝m 2，即7(n －1)＝(m －3)(m ＋3)．易知m ＋3或m －3是7的整数倍，所以当m ＝3,4,10,11,17,18,24,25,31,32，…时满足等式，故c 9＝312＝961. 『答案』9612．(2014·苏锡常镇调研)设u (n )表示正整数n 的个位数，a n ＝u (n 2)－u (n )，则数列{a n }的前2 014项和等于________．『解析』因为n 与n ＋10的个位数字相同且周期为10，又a 1＝0，a 2＝4－2＝2，a 3＝9－3＝6，a 4＝6－4＝2，a 5＝5－5＝0，a 6＝6－6＝0，a 7＝9－7＝2，a 8＝4－8＝－4，a 9＝1－9＝－8，a 10＝0，所以a 1＋a 2＋…＋a 10＝0，即a 1＋a 2＋…＋a 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10. 『答案』10考点一由数列的前几项求数列的通项公式1.(2014·南通二模)将正偶数按如下所示的规律排列：2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 …则第n (n ≥4)行从左向右的第4个数为________．『解析』从数表可知，所有的数是由偶数组成的，第n 行有n 个偶数，从而前n －1行有1＋2＋…＋(n －1)＝(1)2n n -个偶数，第(n ≥4)行从左向右的第4个数是第(1)2n n -＋4个偶数，所以是n 2－n ＋8. 『答案』n 2－n ＋82．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…； (3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式a n ＝2(n ＋1)(n ∈N *)．(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×1n n ＋1.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a ，偶数项是b ，所以此数列的一个通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，b ，n 为偶数.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n －1.『备课札记』 『类题通法』用观察法求数列的通项公式的技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．考点二由a n 与S n 的关系求通项a n『典例』 已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n ＋b .『解』 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－『2(n －1)2－3(n －1)』＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.(2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.『备课札记』 『类题通法』已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写． 『针对训练』已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *，求{a n }的通项公式．解：由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2，由已知a 1＝S 1>1，因此a 1＝2.又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)·(a n ＋2)，得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n .因为a n >0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去． 因此a n ＋1－a n －3＝0.即a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是以公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.考点三由递推关系式求数列的通项公式递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，归纳起来常见的命题角度有：1形如a n ＋1＝a n f （n ），求a n ； 2形如a n ＋1＝a n ＋f （n ），求a n ； 3形如a n ＋1＝Aa n ＋B A ≠0且A ≠1，求a n .角度一 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n1．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.即a n a n －1＝n ＋1n －1. ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n －2a n －3·a n －1a n －2·a n a n －1＝1·31·42·53·64·…·n －1n －3·n n －2·n ＋1n －1＝n n ＋12(n ≥2) 当n ＝1时，a 1＝1.综上可知，{a n }的通项公式a n ＝nn ＋12. 角度二 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n 2．已知a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，求a n .解：∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2，∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n3n ＋12(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n2.角度三 形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n 3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求a n . 解：∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.『备课札记』 『类题通法』由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度三)转化为特殊数列求通项．『课堂练通考点』1．(2014·苏北四市质检)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，当n ≥2时，a n ＋1是a n ·a n －1的个位数，则a 2 014＝________.『解析』由题意，该数列除前2项外，从第3项往后是周期为6的周期数列，故a 2 014＝a 4＝8. 『答案』82．(2013·盐城三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －3，x ≤7，a x －6， x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是________． 『解析』由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f 8>f 7，解得a ∈(2,3)．答案(2,3)3．已知数列{a n }满足a st ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________. 『解析』令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×a 4＝8. 『答案』84．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，记S n 为{a n }前n 项的和，则S 2 013＝____________.『解析』由a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)可得该数列是周期为4的数列，且a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0.所以S 2 013＝503(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 013＝503×(－2)＋1＝－1 005. 『答案』－1 0055．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式．解：∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋2n )－『2(n －1)2＋2(n －1)』＝4n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4也适合，∴{a n }的通项公式是a n ＝4n (n ∈N *)．∵T n ＝2－b n ，∴当n ＝1时，b 1＝2－b 1，b 1＝1.当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝(2－b n )－(2－b n －1)， ∴2b n ＝b n －1.∴数列{b n }是公比为12，首项为1的等比数列．∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1.。

全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式高考在本章一般命制2道小题或者1道解答题，分值占10～12分．2.考查内容(1)高考对小题的考查一般以等差、等比数列的基本量运算，等差、等比数列的性质为主．(2)解答题一般以数列递推关系为载体，考查数列通项公式的求法，等差、等比数列的证明，数列求和的方法等．3.备考策略从2019年高考试题可以看出，高考对数列知识的考查既注重基础又注重能力且难度有可能会逐步加大.第一节数列的概念与简单表示法[最新考纲] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的定义按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1＞a n其中n∈N＋递减数列a n＋1＜a n常数列a n＋1＝a n如果数列{a n}的第n项a n与n之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．5．a n与S n的关系若数列{a n}的前n项和为S n，则a n＝⎩⎨⎧S1，n＝1，S n－S n－1，n≥2.特别地，若a1满足a n＝S n－S n－1(n≥2)，则不需要分段．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．()(2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．()(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．()(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材改编 1．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n (n ＋1)，…，下列各数中是此数列中的项的是( )A.135B.142 C.148D.154B [该数列的通项a n ＝1n (n ＋1)，结合选项可知B 正确．]2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23D [a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝12， a 4＝1＋(－1)4a 3＝3，a 5＝1＋(－1)5a 4＝23.]3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________. ⎩⎨⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N ＋ [当n ＝1时，a 1＝S 1＝2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1， 故a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N ＋.]4．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.5n －4 [由a 1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，…，归纳a n ＝5n －4.]考点1 由数列的前几项求数列的通项公式利用观察法求数列通项要抓住数列的4个特征 (1)分式中分子、分母的特征． (2)相邻项的变化特征．(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征． (4)各项符号特征等．根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)23，415，635，863，1099，…； (2)－1,7，－13,19，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5,55,555,5 555，….[解] (1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1).(2)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n ，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22.(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n －1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1)．(1)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N ＋处理，如T (2)；(2)若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，如T (3)． (3)考查归纳推理，特殊到一般，由数列的前n 项归纳通项公式，答案并不唯一．考点2 由a n 与S n 的关系求通项公式已知S n 求a n 的3个步骤 (1)利用a 1＝S 1求出a 1.(2)当n ≥2时，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求出a n 的表达式．(3)看a 1是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则a n ＝____.(2)(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________.(3)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，则a n ＝________. (1)4n －5 (2)－63 (3)⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n，n ≥2 [(1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.(2)因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1，所以S 6＝－1×(1－26)1－2＝－63.(3)当n ＝1时， a 1＝21＝2，∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，①故a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1(n ≥2)，②由①－②得na n ＝2n －2n －1＝2n －1，∴a n ＝2n －1n .显然当n ＝1时不满足上式， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n，n ≥2.]S n 与a n 关系问题的求解思路要根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．(1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式．(2)利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解． 提醒：利用a n ＝S n －S n －1求通项时，应注意n ≥2这一前提条件，易忽视验证n ＝1致误．[教师备选例题]1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则a n ＝________. ⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2 [当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2·3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，所以a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.]2．已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且当n ≥2时，有2a na n S n －S 2n＝1成立，则S 2 019＝________.11 010 [当n ≥2时，由2a n a n S n －S 2n＝1，得2(S n －S n －1)＝(S n －S n －1)·S n －S 2n ＝－S n S n －1，所以2S n －2S n －1＝1，又2S 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫2S n 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以2S n＝n ＋1，故S n ＝2n ＋1，则S 2 019＝11 010.]1.已知正项数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (n ＋1)2，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n 2C ．a n ＝n2D ．a n ＝n 22 B [∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (n ＋1)2，∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝n (n －1)2(n ≥2)，两式相减得a n ＝n (n ＋1)2－n (n －1)2＝n (n ≥2)，∴a n ＝n 2(n ≥2)，①又当n ＝1时，a 1＝1×22＝1，a 1＝1，适合①式， ∴a n ＝n 2，n ∈N ＋.故选B.]2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝________. ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1[因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n ，所以a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n (n ≥2)， 即a n ＋1a n＝32(n ≥2)，又a 2＝12，所以a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1≠12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝13，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2，所以S n ＝2a n ＋1＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.]考点3 由递推关系式求数列的通项公式累加法——形如a n ＋1－a n ＝f (n )，求a n利用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ f (n －1)＋f (n －2)＋…＋ f (1)＋a 1求解．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式为________．a n ＝n 2＋n2 [由题意得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…， ∴a n －a n －1＝n (n ≥2)． 以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －22.∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式，∴a n ＝n 2＋n2.]应注意题设条件转化为“a n －a n －1＝n ”时，其前提条件为“n ≥2”，易忽视验证“n ＝1”致误．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________.4－1n [原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n ，逐项相加得a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n ，经验证a 1，a 2也符合．]累乘法——形如a n ＋1a n＝f (n )，求a n利用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1求解．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式为________．a n ＝1n [∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，a n －2＝n －3n －2a n －3，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得，a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时，a 1＝1，符合上式，∴a n ＝1n .]反复构造“a na n －1”是解答此类问题的关键．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，求数列{a n }的通项公式． [解] ∵a n ＋1＝2n a n ，∴a n ＋1a n＝2n ，∴a n a n －1＝2n －1(n ≥2)，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n (n －1)2.又a 1＝1适合上式，故a n ＝2n (n －1)2.待定系数法——形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1，B ≠0)，求a n 求此类数列的通项公式，通常采用待定系数法将其转化为(a n ＋1＋x )＝A (a n ＋x )，先求出x ，再借助等比数列{a n ＋x }求解．(2019·青岛模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1， a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式为________． a n ＝2·3n －1－1 [∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3， ∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1.]构造“a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)”是解答本题的关键． (2019·葫芦岛二模)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用a n 表示解下n (n ≤9，n ∈N ＋)个圆环所需的移动最少次数，{a n }满足a 1＝1，且a n ＝⎩⎨⎧2a n －1－1，n 为偶数2a n －1＋2，n 为奇数，则解下4个环所需的最少移动次数为( )A ．7B ．10C ．12D ．22A [依题意a 4＝2a 3－1＝2(2a 2＋2)－1＝2[2(2a 1－1)＋2]－1＝7.故选A.]取倒数法——形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C (A ，B ，C 为常数)，求a n将原式变形为1a n ＋1＝C A ·1a n＋B A .①若A ＝C ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为B A ，可直接用公式求通项；②若A ≠C ，则采用待定系数法，构造新数列求解．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.2n [∵a n ＋1＝2a n a n ＋2，a 1＝2，∴a n ≠0， ∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝2，则1a 1＝12， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，12为公差的等差数列． ∴1a n＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2.∴a n ＝2n .]求解本题的关键是对等式取倒数变形后，发现⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 成等差数列．(2019·张家界模拟)若数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋3a n，则这个数列的第10项a 10＝( ) A ．28 B ．29 C ．128 D ．129C [∵a n ＋1＝a n 1＋3a n ，两边取倒数得1a n ＋1－1a n ＝3，又 a 1＝1所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 表示首项为1，公差为3的等差数列，所以1a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2，即a n ＝13n －2，所以a 10＝13×10－2＝128，故选C.]考点4 数列的性质数列的周期性及应用解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (2019·包头模拟)在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋13＋a n 1－3a n，则S 2 020＝________. 0 [∵a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n 1－3a n， ∴a 2＝31＝3，a 3＝3＋31－3×3＝23－2＝－3， a 4＝3－31＋3×3＝0，即数列{a n }的取值具有周期性，周期为3，且a 1＋a 2＋a 3＝0，则S 2 020＝S 3×673＋1＝a 1＝0.]解答本题的关键是正确求出数列的前3项后，发现数列{a n }是周期数列．已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 020＝( ) A ．－1B ．12C ．1D ．2B [由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n ，得a 2＝11－a 1＝2， a 3＝11－a 2＝－1，a 4＝11－a 3＝12，a 5＝11－a 4＝2，…， 于是可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 020＝a 3×673＋1＝a 1＝12.]数列的单调性及应用1.判断数列单调性的2种方法(1)作差(或商)法；(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．2．求数列中最大(小)项的2种方法(1)根据数列的单调性判断；(2)利用不等式组⎩⎨⎧ a n ≥a n －1a n ≥a n ＋1(或⎩⎨⎧a n ≤a n －1a n ≤a n ＋1)求出n 的值，进而求得a n 的最值． 3．求含整数n 的代数式的最值问题，一般采用作差(作商)研究单调性，特别是在大题中最有效．(1)[一题多解]已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ，则数列{a n }中的最大项为( )A.89B.23C.6481D.125243 (2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N ＋，都有a n ＋1＞a n 成立，则实数k 的取值范围是________．(1)A (2) (－3，＋∞) [(1)法一：(作差比较法)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＝2－n 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ， 当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝89.故选A. 法二：(作商比较法)a n ＋1a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ， 令a n ＋1a n>1，解得n <2； 令a n ＋1a n＝1，解得n ＝2； 令a n ＋1a n<1，解得n >2.又a n >0，故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝89.故选A. (2)由a n ＋1＞a n 知该数列是一个递增数列，又∵通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4＞n 2＋kn ＋4，即k ＞－1－2n ，又n ∈N ＋，∴k ＞－3.]由于数列对应的函数图像是离散型的点，故其单调性不同于函数的单调性，本例(2)在求解时常因误用二次函数的单调性导致求错实数k 的取值范围．1.已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是( ) A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．摆动数列B [a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N ＋，易知{a n }是递增数列．] 2．数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ，则此数列的最大项是第________项．9或10 [∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ×9－n 11， 当n ＜9时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n ＞9时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n ，∴该数列中有最大项，且最大项为第9,10项．]。

1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类分类原则 类型 满足条件 按项数分类有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类递增数列a n ＋1>a n 其中n ∈N递减数列 a n ＋1<a n 常数列a n ＋1＝a n3.数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子来表示成a n ＝f (n )，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ ) (3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )(5)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) (6)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( √ )1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n 答案 C解析 根据定义，属于无穷数列的是选项A 、B 、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C 、D ，故同时满足要求的是选项C.2．数列－3,7，－11,15，…的通项公式可能是( ) A ．a n ＝4n －7B ．a n ＝(－1)n (4n ＋1)C ．a n ＝(－1)n (4n －1)D ．a n ＝(－1)n ＋1(4n －1)答案 C3．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64答案 A解析 ∵S n ＝n 2，∴a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 当n ＝1时符合上式，∴a n ＝2n －1，∴a 8＝2×8－1＝15.4．(教材改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝.答案 5n －45．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.题型一 由数列的前几项求数列的通项公式例1 (1)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝n －1n ＋1(n ∈N ＋)B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N ＋)C ．a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N ＋)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N ＋)(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝.答案 (1)C (2)2n ＋1n 2＋1解析 (1)注意到分母0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 解 (1)数列中各项的符号可通过(－1)n 表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)． (2)数列变为89⎝⎛⎭⎫1－110，89⎝⎛⎭⎫1－1102，89⎝⎛⎭⎫1－1103，…，故a n ＝89⎝⎛⎭⎫1－110n . (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3. 因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故a n ＝(－1)n 2n －32n .题型二 由数列的前n 项和求数列的通项公式例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N ＋. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)令n ＝1时，T 1＝2S 1－1， ∵T 1＝S 1＝a 1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. (2)n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2， 则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2(S n －S n －1)－2n ＋1＝2a n －2n ＋1. 因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式， 所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)， 因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列． 所以a n ＋2＝3×2n －1，所以a n ＝3×2n －1－2， 当n ＝1时也成立， 所以a n ＝3×2n －1－2.思维升华 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋1n ＋2，则a 4等于( )A.130B.132C.134D.120(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为．答案 (1)A (2)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2解析 (1)a 4＝S 4－S 3 ＝56－45＝130. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.题型三 由数列的递推关系求通项公式例3 (1)设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝. (2)数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则它的一个通项公式为a n ＝. 答案 (1)n (n ＋1)2＋1 (2)2×3n －1－1解析 (1)由题意得，当n ≥2时， a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n (n ＋1)2＋1.又a 1＝2＝1×(1＋1)2＋1，符合上式，因此a n ＝n (n ＋1)2＋1.(2)方法一 (累乘法)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 即a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3.将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n .因为a 1＝1，所以a n ＋1＋11＋1＝3n ，即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)， 所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)， 又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1. 方法二 (迭代法) a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋1)＝33(a n －2＋1) ＝…＝3n (a 1＋1)＝2×3n (n ≥1)， 所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)， 又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.思维升华 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解． 当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解． (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n·a n －1(n ≥2)，则a n ＝.(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N ＋)，则a 5等于( ) A ．－16B ．16C ．31D ．32 答案 (1)1n(2)B解析 (1)∵a n ＝n －1n a n －1 (n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n .(2)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， ∴a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1. ∴{a n }是等比数列且a 1＝1，q ＝2， 故a 5＝a 1×q 4＝24＝16. 题型四 数列的性质命题点1 数列的单调性例4 已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是( )A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．无法确定答案 B解析 a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N ＋，易知{a n }是递增数列．命题点2 数列的周期性例5 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝.答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n，∴a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1 ＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.命题点3 数列的最值例6 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119 D.1060答案 C解析 令f (x )＝x ＋90x (x >0)，运用基本不等式得，f (x )≥290当且仅当x ＝310时等号成立．因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N ＋，不难发现当n ＝9或10时，a n ＝119最大．思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列． ②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图像直观判断．(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．(1)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12＜a n＜1，a 1＝35，则数列的第2015项为．(2)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133 C ．4D ．0答案 (1)25(2)D解析 (1)由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25，a 4＝2×25＝45，a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2015＝a 3＝25.(2)∵a n ＝－3⎝⎛⎭⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大值为0.5．数列中的新定义问题典例 (1)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2014项与5的差，即a 2014－5等于( )A ．2018×2012B ．2020×2013C ．1009×2012D ．1010×2013(2)对于数列{x n }，若对任意n ∈N ＋，都有x n ＋x n ＋22＜x n ＋1成立，则称数列{x n }为“减差数列”．设b n ＝2t －tn －12n －1，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，则实数t 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1]思维点拨 (1)观察图形，易得a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)可利用累加法求解．(2)由“减差数列”的定义，可得关于b n 的不等式，把b n 的通项公式代入，化归为不等式恒成立问题求解．解析 (1)因为a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)，a 1＝5，所以a 2014＝(a 2014－a 2013)＋(a 2013－a 2012)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2016＋2015＋…＋4＋5 ＝(2016＋4)×20132＋5＝1010×2013＋5，所以a 2014－5＝1010×2013，故选D. (2)由数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”， 得b n ＋b n ＋22＜b n ＋1(n ≥3)，即t －tn －12n ＋t －t (n ＋2)－12n ＋2＜2t －t (n ＋1)－12n ，即tn －12n ＋t (n ＋2)－12n ＋2＞t (n ＋1)－12n ， 化简得t (n －2)＞1.当n ≥3时，若t (n －2)＞1恒成立，则t ＞1n －2恒成立，又当n ≥3时，1n －2的最大值为1，则t 的取值范围是(1，＋∞)． 答案 (1)D (2)C温馨提醒 解决数列的新定义问题要做到：1．准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．2．方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法．[方法与技巧]1．求数列通项或指定项．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n 或(－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．2．强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2). 3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加法或累乘法可求数列的通项公式．4．数列的性质可利用函数思想进行研究．[失误与防范]1．数列a n ＝f (n )和函数y ＝f (x )定义域不同，其单调性也有区别：y ＝f (x )是增函数是a n ＝f (n )是递增数列的充分不必要条件．2．数列的通项公式可能不存在，也可能有多个．3．由a n ＝S n －S n －1求得的a n 是从n ＝2开始的，要对n ＝1时的情况进行验证．A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n | (n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当a n ＋1>|a n | (n ＝1,2，…)时，∵|a n |≥a n ，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a 2>|a 1|不成立，即知a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“a n ＋1>|a n | (n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15 答案 A解析 由题意知，a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.3．设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为T r ，则T 2016的值为( ) A ．－12B ．－1 C.12D ．1 答案 D解析 由a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2可知， 数列{a n }是周期为3的周期数列，∴T 2016＝(a 1·a 2·a 3)672＝⎣⎡⎦⎤2×12×(－1)672＝1. 4．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N ＋)，而数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析 ∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .∵a 7＝22－21＝1>0，a 8＝22－24＝－2<0，∴n ＝7时，数列{a n }的前n 项和最大．5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N ＋)，则“λ＜1”是“数列{a n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若数列{a n }为递增数列，则有a n ＋1－a n ＞0，即2n ＋1＞2λ对任意的n ∈N ＋都成立，于是有3＞2λ，λ＜32.由λ＜1可推得λ＜32，但反过来，由λ＜32不能得到λ＜1，因此“λ＜1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件，故选A.6.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N ＋)，则a n ＝.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2 解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.7．数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)，则a 7＝.答案 1解析 由已知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝1，a 2＝2，能够计算出a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝.答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，得a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)，即a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍去)．所以从第7项起各项都是正数．10．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n. (1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2， 解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3， 解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1， 整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1， a 3＝42a 2， ……a n －1＝n n －2a n －2， a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n (n ＋1)2. 显然，当n ＝1时也满足上式．综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A ．a 2014＝－1，S 2014＝2B ．a 2014＝－3，S 2014＝5C ．a 2014＝－3，S 2014＝2D ．a 2014＝－1，S 2014＝5 答案 D解析 由a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，知a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a n ＋2＝－a n －1(n ≥2)，a n ＋3＝－a n ，…，a n ＋6＝a n ，所以数列{a n }是周期数列，周期是6.又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝2，a 4＝－1，a 5＝－3，a 6＝－2，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，所以a 2014＝a 4＝－1，S 2014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋3＋2＋(－1)＝5.12．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( ) A ．5B.72C.92D.132 答案 B解析 ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72.故选B. 13．定义：称n P 1＋P 2＋…＋P n为n 个正数P 1，P 2，…，P n 的“均倒数”．若数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n －1，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝4n －1C ．a n ＝4n －3D ．a n ＝4n －5 答案 C解析 ∵n a 1＋a 2＋…＋a n ＝12n －1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n n＝2n －1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2n －1)n ，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(2n －3)(n －1)(n ≥2)，当n ≥2时，a n ＝(2n －1)n －(2n －3)(n －1)＝4n －3； a 1＝1也适合此等式，∴a n ＝4n －3.14．若数列{n (n ＋4)(23)n }中的最大项是第k 项，则k ＝. 答案 4解析 由题意得⎩⎨⎧ k (k ＋4)(23)k ≥(k ＋1)(k ＋5)(23)k ＋1，k (k ＋4)(23)k ≥(k －1)(k ＋3)(23)k －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10，k 2－2k －9≤0，由k ∈N ＋可得k ＝4. 15.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N ＋，a ∈R 且a ≠0)． (1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N ＋，a ∈R ，且a ≠0)， 又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N ＋)．结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4，a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N ＋)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a 2，已知对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性， 可知5＜2－a 2＜6，即－10＜a ＜－8.。

第1讲 数列的概念与简单表示法一、知识梳理1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义①数列：按照一定次序排列的一列数； ②数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类分类标准 类型 满足条件 项数有穷数列项数有限 无穷数列 项数无限项与项间的大小关系递增数列a n ＋1>a n其中，n∈N +递减数列 a n ＋1<a n常数列a n ＋1＝a n如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示或a n ＝f (n )，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫作数列的递推公式．常用结论常用结论若数列{}a n 的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，n ∈N ＋.即a n ＝S n－S n －1的应用前提是n ≥2，n ∈N ＋.2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1. 3．数列与函数的关系数列可以看成一类特殊的函数a n ＝f (n )，它的定义域是正整数集N ＋或正整数集N ＋的有限子集{}1，2，3，4，…，n ，所以它的图像是一系列孤立的点，而不是连续的曲线．二、教材衍化1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）na n －1(n ≥2)，则a 5＝________．解析：a 2＝1＋（－1）2a 1＝2，a 3＝1＋（－1）3a 2＝12，a 4＝1＋（－1）4a 3＝3，a 5＝1＋（－1）5a 4＝23. 答案：232．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________．答案：5n －4一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( ) (4)1，1，1，1，…，不能构成一个数列．( ) (5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( )(6)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意的n ∈N +，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数集或其子集{1，2，…，n }； (2)求数列前n 项和S n 的最值时忽视项为零的情况； (3)根据S n 求a n 时忽视对n ＝1的验证．1．在数列－1，0，19，18，…，n －2n 2中，0.08是它的第________项．解析：依题意得n －2n 2＝225，解得n ＝10或n ＝52(舍)．答案：102．在数列{a n }中，a n ＝－n 2＋6n ＋7，当其前n 项和S n 取最大值时，n ＝________． 解析：由题可知n ∈N +，令a n ＝－n 2＋6n ＋7≥0，得1≤n ≤7(n ∈N +)，所以该数列的第7项为零，且从第8项开始a n <0，则S 6＝S 7且最大．答案：6或73．已知S n ＝2n＋3，则a n ＝________．解析：因为S n ＝2n＋3，那么当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋3＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n＋3－(2n －1＋3)＝2n －1(*)．由于a 1＝5不满足(*)式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2由数列的前几项求数列的通项公式(自主练透) 1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2－(n －1) B ．a n ＝n 2－1 C ．a n ＝n （n ＋1）2D ．a n ＝n （n －1）2解析：选C.观察数列1，3，6，10，…可以发现1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，…第n 项为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2.所以a n ＝n （n ＋1）2.2．数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________．解析：数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.答案：2n ＋1n 2＋13．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1，7，－13，19，…； (2)0.8，0.88，0.888，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 解：(1)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)数列可变为89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110，89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102，89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103，…，故a n ＝89⎝⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的绝对值的分子分别比分母小3.原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故a n ＝(－1)n 2n －32n .由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k ＋1，k ∈N +处理．a n 与S n 关系的应用(多维探究) 角度一 利用a n 与S n 的关系求通项公式a n已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝13a n ＋23，则{}a n 的通项公式为a n ＝________．【解析】 当n ＝1时，a 1＝S 1＝13a 1＋23，所以a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －13a n－1，所以a n a n －1＝－12，所以数列{}a n 为首项a 1＝1，公比q ＝－12的等比数列，故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n－1【迁移探究】 (变条件)若将本例中的“S n ＝13a n ＋23”改为“S n ＝n 2－2n ＋2”，结论如何？解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3.由于n ＝1时，a 1＝1≠2×1－3，所以{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2.角度二 利用a n 与S n 的关系求S n设S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ≠0，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________．【解析】 因为 a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， 所以 S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.因为 S n ≠0，所以 1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1.又1S 1＝－1，所以 {1S n}是首项为－1，公差为－1的等差数列．所以 1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，所以 S n ＝－1n.【答案】 －1n(1)已知S n 求a n 的三个步骤 ①先利用a 1＝S 1求出a 1；②用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；③注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并． (2)S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化． ①利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解； ②利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－3，则数列{a n }的通项公式a n ＝________． 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n－3)－(2n －1－3)＝2n －2n －1＝2n －1，a 1不适合此等式．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥22．已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ≠0，且当n ≥2时，有2a na n S n －S 2n＝1成立，则S 2 017＝________．解析：当n ≥2时，由2a n a n S n －S 2n ＝1，得2(S n －S n －1)＝(S n －S n －1)S n －S 2n ＝－S n S n －1，所以2S n－2S n －1＝1，又2S 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫2S n 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以2S n ＝n ＋1，故S n ＝2n ＋1，则S 2 017＝11 009.答案：11 0093．已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋na n ＝3n 2－2n ＋1，求a n . 解：设a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋na n ＝T n ， 当n ＝1时，a 1＝T 1＝3×12－2×1＋1＝2， 当n ≥2时，na n ＝T n －T n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5， 因此a n ＝6n －5n，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5n，n ≥2.由数列的递推关系求通项公式(多维探究) 角度一 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式． 【解】 因为a n ＝n －1na n －1(n ≥2)， 所以a n －1＝n －2n －1a n －2，a n －2＝n －3n －2a n －3，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立． 所以a n ＝1n(n ∈N +)．根据形如a n ＋1＝a n ·f (n )(f (n )是可以求积的)的递推公式求通项公式时，常用累乘法求出a n a 1与n 的关系式，进而得到a n 的通项公式．角度二 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N +)，求数列{a n }的通项公式．【解】 由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝（n －1）（2＋n ）2＝n 2＋n －22.又因为a 1＝1，所以a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．因为当n ＝1时也满足上式， 所以a n ＝n 2＋n2(n ∈N +)．根据形如a n ＋1＝a n ＋f (n )(f (n )是可以求和的)的递推公式求通项公式时，常用累加法求出a n －a 1与n 的关系式，进而得到a n 的通项公式．角度三 形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求a n已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式．【解】 因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列且公比q ＝3，又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以a n ＝2·3n －1－1(n ∈N +)．根据形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式求通项公式时，一般先构造公比为p 的等比数列{a n＋x }，即将原递推关系式化为a n ＋1＋x ＝p (a n ＋x )的形式，再求出数列{a n ＋x }的通项公式，最后求{a n }的通项公式．角度四 形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)，求a n 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式． 【解】 因为a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，所以a n ≠0， 所以1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12. 又a 1＝1，则1a 1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．所以1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12.所以a n ＝2n ＋1(n ∈N +)．根据形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)的递推关系式求通项公式时，一般对递推式两边同时取倒数，当A ≠C 时，化为1a n ＋1＋x ＝C A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋x 的形式，可构造公比为C A 的等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋x ，其中用待定系数法求x 是关键，当A ＝C 时，可构成一个等差数列．1．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．解析：因为a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，所以a n －a n －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n －1＝ln n n －1(n ≥2)，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝lnnn －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 32＋ln 2＋2＝2＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·2＝2＋ln n (n ≥2)．又a 1＝2适合上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N +)． 答案：2＋ln n2．已知数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N +)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式为________．解析：因为点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上， 所以4a n －a n ＋1＋1＝0. 所以a n ＋1＋13＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋13.因为a 1＝3，所以a 1＋13＝103.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋13是首项为103，公比为4的等比数列．所以a n ＋13＝103×4n －1，故数列{}a n 的通项公式为a n ＝103×4n －1－13.答案：a n ＝103×4n －1－13数列的函数特征(多维探究) 角度一 数列的单调性(一题多解)已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N +，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．【解析】 法一(定义法)：因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N +，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1) (*)．因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.法二(函数法)：设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为直线n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需使定义在正整数集上的函数f (n )为增函数，故只需满足f (1)＜f (2)，即λ＞－3.【答案】 (－3，＋∞)判断数列的单调性的方法(1)作差比较法：a n ＋1－a n ＞0⇔数列{a n }是递增数列；a n ＋1－a n ＜0⇔数列{a n }是递减数列；a n ＋1－a n ＝0⇔数列{a n }是常数列．(2)作商比较法：ⅰ.当a n ＞0时，则a n ＋1a n ＞1⇔数列{a n }是递增数列；a n ＋1a n＜1⇔数列{a n }是递减数列；a n ＋1a n ＝1⇔数列{a n }是常数列；ⅱ.当a n ＜0时，则a n ＋1a n＞1⇔数列{a n }是递减数列；a n ＋1a n ＜1⇔数列{a n }是递增数列；a n ＋1a n＝1⇔数列{a n }是常数列． (3)结合相应函数的图象直观判断． 角度二 求最大(小)项(一题多解)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n（n ＋1）10n，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最大项是多少？若没有，说明理由．【解】 法一：a n ＋1－a n ＝9n ＋1（n ＋2）10n ＋1－9n （n ＋1）10n＝9n10n ·8－n10， 当n ＜8时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ； 当n ＝8时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n ＞8时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n .则a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 8＝a 9＞a 10＞a 11＞…，故数列{a n }有最大项，为第8项和第9项，且a 8＝a 9＝98×9108＝99108.法二：设数列{a n }的第n 项最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧9n （n ＋1）10n≥9n －1n10n －1，9n（n ＋1）10n≥9n ＋1（n ＋2）10n ＋1，解得8≤n ≤9，又n ∈N *，则n ＝8或n ＝9.故数列{a n }有最大项，为第8项和第9项，且a 8＝a 9＝99108.求数列最大(小)项的方法(1)构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项． (2)利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1求数列中的最大项a n ；利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1求数列中的最小项a n .当解不唯一时，比较各解大小即可确定．角度三 数列的周期性已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N +)，则该数列的前2 021项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2 021＝________．【解析】 由题意可得，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12， a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2＝a 1， 所以数列{a n }是以4为周期的周期数列，而2 021＝4×505＋1，且a 1a 2a 3a 4＝2×(－3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13＝1.故该数列前2 021项的乘积为a 1＝2. 【答案】 2【迁移探究】 (变问法)其他条件不变，该数列前2 021项的和为________． 解析：a 1＋a 2＋…＋a 2 021＝505(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 021＝505(2－3－12＋13)＋2＝－3 5236.答案：－3 5236解决数列周期性的方法先根据数列的前几项确定数列的周期，再根据周期求值．1．等差数列{a n }的公差d ＜0，且a 21＝a 211，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时的项数n 的值为( )A ．5B ．6C ．5或6D ．6或7解析：选C.由a 21＝a 211，可得(a 1＋a 11)(a 1－a 11)＝0， 因为d ＜0，所以a 1－a 11≠0，所以a 1＋a 11＝0， 又2a 6＝a 1＋a 11，所以a 6＝0. 因为d ＜0，所以{a n }是递减数列，所以a 1＞a 2＞…＞a 5＞a 6＝0＞a 7＞a 8＞…，显然前5项和或前6项和最大，故选C. 2．已知{a n }满足a n ＝(n －λ)2n(n ∈N +)，若{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．解析：因为{a n }是递增数列， 所以a n ＋1＞a n ，所以(n ＋1－λ)2n ＋1＞(n －λ)2n，化简得λ＜n ＋2，对任意的n ∈N +都成立． 所以λ＜3. 答案：(－∞，3)[基础题组练]1．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项D ．第22项解析：选C.数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，5＋4×6，…，所以通项公式为a n ＝5＋6（n －1）＝6n －1， 令6n －1＝55，得n ＝21.2．已知数列{a n }满足：∀m ，n ∈N +，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( )A.132 B ．116 C.14D ．12解析：选A.因为数列{a n }满足：对任意的m ，n ∈N +，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，所以a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18.那么a 5＝a 3·a 2＝132.故选A.3．在数列{a n }中，a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N +)，则a 2 020的值为( )A ．－14B ．5 C.45D ．54解析：选A.在数列{a n }中，a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N +)，所以a 2＝1－1－14＝5，a 3＝1－15＝45，a 4＝1－145＝－14，所以{a n }是以3为周期的周期数列，所以a 2 020＝a 673×3＋1＝a 1＝－14.4．(2020·山西太原模拟(一))已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋a n ＝2n (n ∈N +)，则a 7＝( )A.73 B ．12764C.32132D ．38564解析：选B.当n ≥2时，S n －1＋a n －1＝2n －2，又S n ＋a n ＝2n ，所以2a n －a n －1＝2，所以2(a n－2)＝a n －1－2，故{a n －2}是首项为a 1－2，公比为12的等比数列，又S 1＋a 1＝2，故a 1＝1，所以a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋2，故a 7＝2－164＝12764，故选B.5．(2020·广东广州天河毕业班综合测试(一))数列{a n }满足a 1＝1，对任意n ∈N +，都有a n ＋1＝1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝( )A.9998 B ．2 C.9950D ．99100解析：选C.由a n ＋1＝1＋a n ＋n ，得a n ＋1－a n ＝n ＋1，则a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋1＝n （n ＋1）2，则1a n＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫199－1100＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1100＝9950.故选C.6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋1，则a n ＝________． 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n＋1)－(3n －1＋1)＝2·3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2 7．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的n ∈N +，2S n ＝a n ＋1，则a 2 018＝________． 解析：因为2S n ＝a n ＋1， 所以2S n －1＝a n －1＋1(n ≥2)，所以2S n －2S n －1＝2a n ＝a n －a n －1(n ≥2)，即a n ＝－a n －1(n ≥2)，所以数列{a n }是以2为周期的周期数列． 又2S 1＝2a 1＝a 1＋1，所以a 1＝1，所以a 2 018＝a 2＝－a 1＝－1. 答案：－18．(2020·河南焦作第四次模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n，记数列{a n b n }的前n 项和为S n ，若S n －22n ＋1＋1＝n ，则数列{b n }的通项公式为b n ＝________．解析：因为S n －22n ＋1＋1＝n ，所以S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.所以当n ≥2时，S n －1＝(n －2)2n＋2，两式相减，得a n b n ＝n ·2n，所以b n ＝n ；当n ＝1时，a 1b 1＝2，所以b 1＝1.综上所述，b n ＝n ，n ∈N +.故答案为n .答案：n9．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1， a 2＝31a 1， a 3＝42a 2，…a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n （n ＋1）2.显然，当n ＝1时也满足上式． 综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n （n ＋1）2.10．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n，n ∈N +. (1)设b n ＝S n －3n，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N +，求a 的取值范围． 解：(1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n， 即S n ＋1＝2S n ＋3n，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n)，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N +.(2)由(1)知S n ＝3n＋(a －3)2n －1，n ∈N +，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3，当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9.又a 2＝a 1＋3＞a 1.综上，a 的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．[综合题组练]1．(2020·安徽江淮十校第三次联考)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n n ＝2，a 1＝20，则a nn的最小值为( )A ．4 5B ．45－1C ．8D ．9解析：选C.由a n ＋1－a n ＝2n 知a 2－a 1＝2×1，a 3－a 2＝2×2， …，a n －a n －1＝2(n －1)，n ≥2，以上各式相加得a n －a 1＝n 2－n ，n ≥2，所以a n ＝n 2－n ＋20，n ≥2， 当n ＝1时，a 1＝20符合上式，所以a n n＝n ＋20n－1，n ∈N *，所以n ≤4时a n n 递减，n ≥5时a n n递增，因为a 44＝a 55，所以a n n 的最小值为a 44＝a 55＝8，故选C.2．若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________． 解析：a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)， 当n ＝1时，a 1＝6；当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝（n ＋1）（n ＋2），a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n （n ＋1），故当n ≥2时，a n ＝n ＋2n， 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N +.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n，n ≥2，n ∈N +3．已知数列{a n }中，a 1＝a ，a 2＝2－a ，a n ＋2－a n ＝2，若数列{a n }单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：由a n ＋2－a n ＝2可知数列{a n }的奇数项、偶数项分别递增，若数列{a n }递增，则必有a 2－a 1＝(2－a )－a ＞0且a 2－a 1＝(2－a )－a ＜a n ＋2－a n ＝2，可得0＜a ＜1，故实数a 的取值范围为(0，1)．答案：(0，1)4．(2020·广东湛江二模)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a ，当a ∈[2，2 019]时，符合条件的a 共有________个．解析：由题设a ＝3m ＋2＝5n ＋3，m ，n ∈N ， 则3m ＝5n ＋1，m ，n ∈N ， 当m ＝5k ，n 不存在； 当m ＝5k ＋1，n 不存在；当m ＝5k ＋2，n ＝3k ＋1，满足题意； 当m ＝5k ＋3，n 不存在； 当m ＝5k ＋4，n 不存在． 其中k ∈N .故2≤a ＝15k ＋8≤2 019，解－615≤k ≤2 01115，则k ＝0，1，2，…，134，共135个，即符合条件的a 共有135个．故答案为135.答案：1355．已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a ＞0，x ∈R )，有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N +)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1－4a n(n ∈N +)，定义所有满足c m ·c m ＋1＜0的正整数m 的个数，称为这个数列{c n }的变号数，求数列{}c n 的变号数．解：(1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0，所以a ＝0或a ＝4. 又由a ＞0得a ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋4. 所以S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2.(2)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，1－42n －5，n ≥2. 由c n ＝1－42n －5可知，当n ≥5时，恒有c n ＞0.又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，c 5＝15，c 6＝37，即c1·c2＜0，c2·c3＜0，c4·c5＜0. 所以数列{c n}的变号数为3.。