三元一次方程组优秀课件

x y z 2.
③

解：③×5-①，得
y+4z=-10 . ④
③×3-②，得
2y+7z=-7 . ⑤
z=-13 .
④×2-⑤，得
把z用-13代入方程④，得 y= 42 .
把y用42，z用-13代入方程③，得
因此，
= −，
= ，
= −
x=-31 .
是原三元一次方程组的解.
x y z 51，
根据题意，得 4 x 8 y 5 z 300，

x

15
，

x y 2 z 67.

解得 y 20，
z 16.

答：种植水稻15公顷，种植棉花20公顷，种植蔬菜16公顷.
课堂小结
含有 3 个未知数
定义
三元一次
方程组
含未知数的项的次数都是 1
新知探究
知识点2 解三元一次方程组
5 x 3 y 2 z 15， ①
例2 解三元一次方程组：2 x y 3 z 9， ②
3 x y 5 z 14.
③

解：②×3-①，得
②+③，得
x+7z=-12 . ④
5x-2z=-23 . ⑤
④×5-⑤，得
37z=-37 ，

解:(1) ③×3-①，得
③×2-②，得
⑤-④×7，得
y-5z=17. ④
7y+3z=5. ⑤
z=-3.
y=2.
把z用-3代入方程④，得
把y用2，z用-3代入方程③，得 x=1.
因此，
= ，
= ，

5x-4y-29z=0
5．已知
并且Z≠0，求x：y的值．
X-3y+3z=0
解：把字母z当成已知数，则原方程可变形为 5x－4y=29z x－3y=－3z
x=9z 解这个方程组，得
y=4z
∴x：y=9：4
6．己知：
3x - 4y - 5z x + 2y -15z
= =
0 0
(x , y , z?0)
②
x＋y＋z=17
③
x－y=2
①
y－z=3
②
x＋y＋z=17
③
②＋③，得
x＋2y=20 ④
①与④组成方程组
x－y=2
x＋2y=20
解这个方程组，得
x=8 y=6
x=8
∴ y=6
z=3
把y=6代入②，得 6－z=3
所以z=3
解三元一次方程组的步骤：
①利用代入法或加减法，消去一个未知数， 得出一个二元一次方程组；
x + y + z = 33 x - y = 2 2x + z - y = 24
三元一次方程组 消元
二元一次方程组
消元 一元一次方程
代入消元法和加减消元法
x + y + z = 33 ①
x - y = 2
②
2x &#y 2 ④
把④代入①得： y 2 y z 33
x + y + z = 30 化简，得 x = 5z
y = 4z
解这个方程组，得
x = 15 y = 12 z = 3
答：甲种零件生产15天，乙种零件生产 12天，丙种零件生产3天．
x(x + y + z) = 9

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演讲人: XXX
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三元一次方程组
• 已知甲、乙、丙三数的和是23,甲数比乙数大1,甲 数的2倍与乙数的和比丙数大20,求这三个数.
在上边问题中,设甲数为x,乙数为y,丙数为z,由题 意可得到方程组:
x+y+z=23 x-y=1 2x+y-z=20
这个方程组和前面学 过的二元一次方程组 有什么区别和联系？
含有三个未知数,并且所含未知数的项的次 数都是1,这样的方程叫三元一次方程.若含 有三个未知数的三个一次方程所组成的一 组方程,叫做三元一次方程组.三元一次方程 组中各个方程的公共解,叫做这个三元一次 方程组的解.
• 怎样解三元一次方程组呢？
x+y+z=23
①
x-y=1
②
2x+y-z=20
③
能不能像以前一样 “消元”，把“三元”
化为“二元”呢？
• 解：由方程②得x=y+1 ④ 把④代入①③得 2x+z=22 ⑤ 3y-z=18 ⑥ 解由⑤⑥组成的二元一次方程组得 y=8 z=6 把y=8代入④得 x=8+1=9. 经检验，x=9，y=8，z=6适合原方程组。
做一做
（1）解上面的方程组时,你能用代入消元法 先消去未知数y(或z),从而得到方程组的解 吗?
（2）你还有其他方法吗?与同伴进行交流.
讨论
• 上述不同的解法有什么共同之处?与二元一 次方程组的解法有什么联系?解三元一次方 程组的思路是什么?
解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元” ——把“三元”化为“二元”,再把“二元”化为 “一元”.
• 1.已知|x-6y|+2(4y-1)2+|3x-6z|=0,则

自主探究
x y z 10...........① 3x y 18...............② x y z...................③
怎样用代入法解三元一次方程组呢？
在上一节中，我们学习了二元一次方程组旳解 法，其中旳基本思想是：经过“消元”，消去一 种未知数，将方程组转化为一元一次方程求解.
z=7-3x+2y…………… ④
将④分别代入方程①和③，得
2x 3y 4(7 3x 2 y) 3
x
2
y
3(7
3x
2
y)
1
整顿，得
2x y 5 5x 2 y 11
解这个二元一次方程组，得
x 1
y
3
代入④，得
z=7-3-6=-2
所以原方程组旳解是
x 1
y
3
z 2
课堂练习
用代入法 解方程组
7.3三元一次方程组及 其解法
复习回忆
1、解二元一次方程组旳措施有_代_入__法__和__加_减__法____ （1）若方程组旳其中一种方程旳某个未知数旳系
数为1或-1时，用 代入 消元比较以便。
（2）若方程组中两个方程旳同一种未知数系数相 等或互为相反数时，用 加减 消元比较简朴。
2、解二元一次方程组旳基本思绪是什么？
基本思绪: 消元: 二元
一元
新课引入
勇士队参加了10场比赛，胜一场得3分， 平一场得1分,负一场得0分，共得18分.已 知勇士队在比赛中胜旳场数恰好等于平与 负该怎样处理呢？
学习目的
1，了解三元一次方程组旳概念； 2，会解三元一次方程组； 3，体会消元旳思想.
自主探究
用代入法 解方程组

所以原方程组的解为
易错：
错因：解三元一次方程组时，由于粗心漏乘常数项. 易错警示：在给方程变形时一定要注意，在方程两边同时乘一个常数时， 注意不要漏乘任何一项.
-13-
6.4 简单的三元一次方程组*
[题型探究]
■题型一 三元一次方程组与非负数性质的综合
例1 若
，求 x-y-z 的值.
解析：根据非负数的性质列出三元一次方程组，即可求得 x，y，z 的值，
所以原方程组的解为
把 x=a，y=2a，z=3a 代入 x-2y+3z=-10，得 a-2× 2a+3×3a=-10， 解
得 a=
.
题型解法：当方程组中三个方程的未知数的系数都相同时，可以将三个方 程相加，再分别减去每个方程，即可求出方程组的解.
-16-
6.4 简单的三元一次方程组*
[方法总结]
■灵活求解三元一次方程组 解三元一次方程组时，先仔细观察每个方程中同一个未知数的系数的特点，
然后代入 x-y-z 中即可.
答案：解：因为
，
所以 x-y-z=1.5-（-3）-（-1）=5.5. 题型解法：如果几个非负数的和为 0，那么每一个非负数都是 0.利用非 负数的这条性质可以建立方程组，进而求出有关字母的取值.
-14-
6.4 简单的三元一次方程组*
■题型二 利用三元一次方程组的解求未知字母的值
解法二（参数法）：由①②，得 x∶y∶z=3∶4∶5. 设 x=3k，y=4k，z=5k，并代入③， 得 3k+4k+5k=36， 解得 k=3， 所以 x=9，y=12，z=15， 所以原方程组的解为
-20-
6.4 简单的三元一次方程组 *
▍考点集训/夯实基础

2
x
y
0 ,的解是(
).
y z 1 .
x 1,
(A)
y
1,
z 0 ;
x 1,
(B)
y
0,
z 1 .
x 0,
x 1,
(C)
y
1,
(D)
y
0,
z 1 .
z 1 .
•13
3 x : y 3 : 2,
（1） y : z 5 : 4, x y z 66 .
解二元一次方程组有哪几种方 法 ？它们的实质是什么？
消元
二元一次方程组
代入 加减
一元一次方程
•1
问题
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5 元的纸币，共计22元，其中1元的纸币的 数量是2 元纸币数量的4倍。求1元、2元、 5元纸币各多少张。
分析：这个问题中包含有 三 个相 等关系：
1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张
1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍
1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元•2
都含有三个未知数，并且含有 未知数的项的次数都是1，像 这样的方程叫做三元一次方程
•3
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此， 我们把这三个方程合在一起，写成
X+y+z=12
X=4y X+2y+5z=22
这个方程组含有三个未知数，每个 方程中含未知数的项的次数都是1， 并且一共有三个方程，像这样的方 程组叫做三元一次方程组
｛3x＋4z=7
11x＋10z=35 解这个方程组，得
｛XZ==-52
1
把x＝5，z＝-2代入②，得y= 3
因此，三元一次方程组的解为

思索：1、问题中含有几个未知数？
2、有几个相等关系？
第4页
交流探索
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元纸
币，共计22元，其中1元纸币数量是2元纸币数量
4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张？
分析：
（1）这个问题中包含有 三 个未知数：
1元、2元、5元纸币张数.
（2）这个问题中包含有 _三___个相等关系：
也就是说：解二元一次方程组，用“消元” 思想，
经过加减法或代入法，把“二元”转化为“一 元”，从而得解。
x 2y 3 2x y 1
加减法
5x 5
代入法
x 1
二元
一元
方程解
第3页
新课导入
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元 纸币，共计22元，其中1元纸币数量是2元纸币 数量4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张?
x+y+z=12
①
x+2y+5z=22 ②
x=4y
③
组成了一个方程组，这个方程组特征是什么？
这个方程组含有三个（种）未知数，每个方程
中含未知数项次数都是1，而且一共有三个方程，
像这么方程组叫做三元一次方程组.
第8页
பைடு நூலகம் 合作探究
怎样求这个三元一次方程组解？
x+y+z=12
①
x+2y+5z=22 ②
x=4y
三元一次方程组解法
第1页
温故知新
1、解方程： 3x 1 2x 4
解这个一元一次方程步骤是什么？
去分母
去括号 移项 合并同类项 系数化为1
3x 2x 4 1 5x 5
x 1

组成的一组方程，叫做三元一次方程组.
注意：组成三元一次方程组的某个方程，可以是一元
一次方程或二元一次方程或三元一次方程.只要保证
方程组一共有三个未知数即可.
例1 下列方程组中，是三元一次方程组的是( A )
+ + = 2,
A. ቐ
= 0,
− =4
C. ቐ
+ = 3,
1
+
程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未
知数的二元一次方程组.
解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值
③回代
将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数
比较简单的方程，得到一个一元一次方程
④求解
解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值
⑤写解
将求得的三个未知数的值用“{”写在一起


=4
不是整式方程
+ + = 2,
B. ቐ + + 四个未知数
= 3,
++ =5
− = 1,
D. ቐ + = 0,
= 2
次数为2
怎样解三元一次方程组呢？
+ + = 23，
ቐ − = 1，
2 + − = 20.
能不能像以前一
体会“消元”思想．
3.会用三元一次方程组表示简单实际问题中的数量关
系，并用加减消元法解决实际问题．
课堂导入
前面我们学习了二元一次方程组及其解法.有些含有两
个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决，
实际上，有不少问题含有更多未知数，这时又该怎么
解决呢？这节课我们就来学习三元一次方程组及其解

一元一次方程
二元一次方程组
三元一次
方程组
消元
二元一次
方程组
消元
一元一
次方程
题型3 三元一次方程组求字母的值
例 在等式 y=ax2＋bx＋c中，当x=－1时，y=0；当x=2时，
y=3；当x=5时，y=60. 求a,b,c的值.
解：根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0，
①
4a＋2b＋c=3， ②
第八章 二元一次方程组
8.4 三元一次方程组的解法
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
代入消元法和加减消元法
消元法
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
代入
二元一次方程组 消元
加减
化二元为一元
一元一次方程
化归转化思想
若含有3个未知数的方程组如何求解？
思考
1. 了解三元一次方程组的概念.
2. 能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步
题型2 三元一次方程组的解法
①
3 + 4 = 7，
例 解三元一次方程组 2 + 3 + = 9，②
5 − 9 + 7 = 8．
③
方程①中只含x, z，因此，可以由
②③消去y，得到一个只含x, z的方程，
与方程①组成一个二元一次方程组.
例 解三元一次方程组
3 + 4 = 7， ①
因此，我们把三个方程合在一起写成
+ + = 12,
+ 2 + 5 = 22,
= 4.
三
这个方程组中含有_____个未知数，每个方程中
含未知数的项的次数是_____.

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9. 某宾馆有单人间、双人间和三人间三种客房供游客 租住，某旅行团有18人准备同时租用这三种客房共9间， 且每个房间都住满，则租房方案共有 4 种.
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把①③代入②，得2x+2x-4+x-5=1. 解得x=2. 把x=2代入①，得y=0. 把x=2代入③，得z=-3.
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B
组
B
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7. 已知方程组 A. 4 C. 3
则x+y的值为（ C ） B. 5 D. 6
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