【20套试卷合集】浙江省温州市2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案

2019-2020学年浙江省温州新力量联盟高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．设集合{}1,2,5,6A =，{}2,4B =，{}1,2,3,4C =，则()A B C =（ ）A ．{}2B ．{}1,2,4C ．{}1,2,4,5D ．{}1,2,3,4,6【答案】B【解析】由集合的运算直接计算即可得出答案. 【详解】 由题意可得:{}1,2,4,5,6A B =,∴(){}1,2,4A B C =.故选:B. 【点睛】本题考查了集合间的运算,属于基础题.2．函数()21xf x x =-的定义域是（ ） A ．()1,-+∞ B ．()()1,11,-+∞ C ．[)1,-+∞D ．[)()1,11,-+∞【答案】D 【解析】由1010x x +≥⎧⎨-≠⎩联立即可解得定义域.【详解】1010x x +≥⎧⎨-≠⎩,11x x ≥-⎧∴⎨≠⎩,可得函数定义域为:[)()1,11,-⋃+∞ 故选D ． 【点睛】本题考查了函数定义域的求法,掌握负数没有平方根以及零不能作为分母是解决本题关键,属于基础题.3．已知函数()1f x x x=+，则函数()y f x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用奇偶性排除排除,A C ，令1x =-排除D ，从而可得结果. 【详解】11()||||f x x x x x-=-+=--，即函数()f x 为非奇非偶函数， 图象不关于原点对称，排除,A C ； 令1x =-，则()0f x =，排除D ，故选B. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．函数()y Asin x ωϕ=+的部分图象如图所示，则（ ）A ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出w ，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式． 【详解】根据函数()y Asin x ωϕ=+的部分图象，可得2A =，236T πππω==+，解得2w =，再根据五点法作图，可得232ππϕ⨯+=，解得6πϕ=-，故()226f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故选A ． 【点睛】本题主要考查由函数()y Asin x ωϕ=+的部分图象求解析式，其中解答中函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出w ，由五点法作图求出ϕ的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．若x ，y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为（ ）A ．2-B ．1C ．1-D ．0【答案】C【解析】由不等式组作出可行域,根据目标函数的几何意义求解最值. 【详解】由题意画出可行域,如图所示,由3z x y =-得3y x z =-,要使z 取最小值,只需截距最大即可,故直线过()0,1A 时,z 最小.min 3011Z ∴=⨯-=-.故选:C. 【点睛】本题考查了线性规划的基本应用,利用数形结合以及目标函数的几何意义是解决此类问题的方法,属于基础题.6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n - D ．112n - 【答案】B【解析】利用公式1n n n a S S -=-计算得到11323,2n n n n S S S S ++==，得到答案. 【详解】由已知1112n n a S a +==，，1n n n a S S -=- 得()12n n n S S S -=-，即11323,2n n n n S S S S ++==， 而111S a ==，所以13()2n n S -=.故选B. 【点睛】本题考查了数列前N 项和公式的求法，利用公式1n n n a S S -=-是解题的关键. 7．设0a >，0b >，若直线2ax by +=平分圆C ：()()22111x y -+-=，则11a b+的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．14【答案】B【解析】由直线平分圆,可得圆心在直线上即得2a b +=,然后利用基本不等式即可求得11a b+的最小值. 【详解】直线2ax by +=过圆心()1,1,2a b ∴+=,()1111112222b a a b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+=+⋅+=++≥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦（当且仅当a b =取等号）. 故选:B. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,考查了基本不等式的应用,属于基础题. 8．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A 、32π B 、3π+ C 、332π+ D 、532π+ 【答案】C【解析】试题分析：由三视图，可知该几何体是一个圆锥的一半（沿轴截面截得），其中底面圆的半径为1，高为3，母线长为2，其表面积是半圆面、轴截面和曲面的一半的面积之和，则该几何体的表面积323122132211212+=⨯⨯+⨯⨯+⨯=πππS ；故选C ．【考点】1．三视图；2．几何体的表面积． 9．设函数()212019f x x x=-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】由函数解析式可得函数为偶函数且在()0,∞+上为增函数,则可得21x x >-,然后解绝对值不等式即可得出答案. 【详解】函数是偶函数且在()0,∞+递增，()()21fx f x ∴>-，21x x ∴>-，解得1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．故选:A. 【点睛】本题考查了函数奇偶性和单调性的综合应用,属于中档题.10．已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则·PB PC 的最大值等于（ ）. A ．13 B ．15C ．19D ．21【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=（，，即14)P （，，所以114)PB t=--（，，14)PC t =--（，，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．【考点】1、平面向量数量积；2、基本不等式．二、填空题11．设两直线1L ：10mx y ++=；2L ：20x my ++=．若12L L ，则m =________；【答案】1m =或1m =-.【解析】由直线平行,可得两条直线的斜率相等,排除重合情况,即可得出参数的值. 【详解】12L L ,21m ∴=,1m ∴=或1m =-,经检验符合题意.故答案为:1m =或1m =-. 【点睛】本题考查了根据直线平行求参数的问题,忽略直线重合的情况是解决此类问题容易犯的错误,属于基础题.12．已知函数()sin cos 2f x x x x =，则函数()y f x =的周期为________．函数()y f x =在区间0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的最小值是________．【答案】π. . 【解析】由二倍角公式结合两角和差公式可将原函数化简为()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,利用周期公式2T πω=即可求出函数周期;由题意求出23x π-的范围,然后利用函数图像求解最小值. 【详解】()1sin 22sin 223f x x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭,T π∴=.[0,)2π∈x ，22[,)333πππ∴-∈-x ．∴当233x ππ-=-即0x =时，()f x 取得最小值．故答案为:π;2-【点睛】本题考查了三角函数的化简,求周期以及三角函数求最值,二倍角公式以及三角和差公式的准确掌握是解决本题的关键,属于一般难度的题.13．已知数列{}n a 满足2518a a +=，3432a a =，若{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，则6S =________，若{}n a 为单调递减的等比数列，其前n 项和为63n T =，则n =________．【答案】54. 6.【解析】当数列是等差数列时,则利用等差数列的性质162518a a a a +=+=,可直接求6S ;当数列是等比数列时,则利用等比数列的性质253432a a a a ==,结合2518a a +=可以将25,a a 转化为一元二次方程的根,求出2a 和5a ,且利用递减等比数列即25a a >,求得首项和公比,利用等比数列前n 和公式即可求得结果. 【详解】若{}n a 为等差数列,则162518a a a a +=+=, ()1666542a a S +∴==; 若{}n a 为等比数列,253432a a a a ∴==,2a ∴,5a 是方程218320x x -+=两根．n a 为单调递减等比数列，216a ∴=，52a =,12q ∴=,132,a =1321263112nn T ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，6n ∴=.故答案为:54;6. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质,熟练掌握数列的相关计算公式是解题的关键,考查了学生的转化及计算能力,属于一般难度的题.14．已知向量a ,b ,c 是同一平面内的三个向量,其中()1,3a =．若2b =,且b a ,则向量b 的坐标________.若2c =,且()()23a c a c +⊥-,则a c ⋅________．【答案】()1,3b =，或(1,b =--. 2.【解析】利用平行向量的概念设λb a =,再利用向量b 的模即可求出λ的值,进而求出向量b 的坐标;利用垂直的两个向量的数量积为零即()()203=+⋅-a c a c ,化简结合a 和c 的模即可求出答案.【详解】由b a ,令(),3b a λλλ==,,得2=1λ,=1λ∴±．()1,3b ∴=或(1,b =--;()()23a c a c +⊥-,()()230a c a c ∴+=⋅-．化简得222324322⋅=-=⨯-⨯=a c a c ． 故答案为: ()1,3b =或(1,b =--;2. 【点睛】本题考查了向量的平行关系和垂直关系,属于基础题.15．已知定点()0,0O ，()3,0A 且2MO MA =，则动点M 的轨迹方程________． 【答案】()2244x y -+=.【解析】设点(),M x y ,由题中等量关系2MO MA =利用两点之间距离公式可得()222243x y x y ⎡⎤+=-+⎣⎦,化简即得答案.【详解】设(),M x y ,根据题意得到方程()222243x y x y ⎡⎤+=-+⎣⎦,解得()2244x y -+=.故答案为:()2244x y -+=. 【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求解问题,熟练掌握两点之间距离公式是解题的关键,属于基础题.16．已知矩形ABCD ，22AB AD ==，沿AC 翻折，使面ADB ⊥面ABC ，则二面角B AD C --的余弦值为________．3【解析】分析翻折前后的变量与不变量,利用面面垂直的性质定理可得BC BD ⊥,求得3BD =再利用二面角平面角的定义结合题中已知条件判断BDC ∠为B AD C--的二面角平面角,最后在直角三角形BCD 中由cos ∠=BDBDC CD即可求出答案. 【详解】因为ADB ⊥面ABC ，BC AB ⊥，所以BC ⊥面ADB ，BC BD ⊥，3BD =，所以AD DB ⊥，又AD DC ⊥，所以BDC ∠为B AD C --的二面角平面角，所以3cos 2BDC ∠=． 故答案为3【点睛】本题重点考查了二面角的平面角的证明与求解计算,考查了学生对平面图形翻折前后的变量与不变量的分析,属于一般难度的题. 17．已知t R ∈，记函数()42f x x t t x =+-++在[]1,2-的最大值为3，则实数t 的取值范围是________． 【答案】52t ≤. 【解析】令42x a x +=+由[]1,2x ∈-,利用基本不等式可求得[]2,3a ∈, 分别讨论2t ≤, 23t <<, 3t ≥对应的解析式,结合最值求参数t 的取值范围.【详解】令42x a x +=+,由[]1,2x ∈-,利用基本不等式4422222x x x x +=++-≥++, 当且仅当422x x +=+,即0x =时取等号,当1x =-时3a =,当2x =时3a =,所以[]2,3a ∈,问题转化为求函数y a t t =-+,在[]2,3a ∈上的最大值为3,当2t ≤时,函数3y a t t a =-+=≤,所以3max y =恒成立;当23t <<时,由函数的最大值在端点处取得则22233max t t t y t t ⎧-+=-⎪=⎨-+=⎪⎩,令223t -=得52t =,所以t 得取值范围为:52?2t <<; 当3t ≥时,函数2y a t t t a =-+=-,此时2a =时223max y t =-=得52t =不成立; 综上所述,满足要求的t 得取值范围为52t ≤. 故答案为:52t ≤. 【点睛】本题考查了函数最值问题,通过换元将函数转化为绝对值函数在闭区间上最大值的问题,对参数取值范围的讨论是解题的关键,属于难题.三、解答题18．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，2sin 2sin sin B A C =． （1）若a b =，求cos B ；（2）若60B =︒，ABC ∆b ． 【答案】（1）14；（2）2b =. 【解析】(1)由正弦定理将题中关系式2sin 2sin sin B A C =角化边即22b ac =,然后利用余弦定理即可求得结果;(2)利用(1)得22b ac =结合正弦定理三角形面积公式即可得出结果.【详解】（1）由题设及正弦定理可得22b ac =.又a b =，可得2b c =,2a c =, 由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==. （2）由（1）知22b ac =.因为60B =︒,1sin 22S ac B ∆==,2ac ∴=,2b =. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中应用,属于基础题.19．已知圆C 经过两点()1,3P --，()2,6Q ，且圆心在直线240x y +-=上，直线l 的方程()()110x m y m R +-+=∈．（1）求圆C 的方程；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时的方程．【答案】（1）2242200x y x y +---=；（2）1x =-.【解析】(1)用待定系数法求解,设圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=,根据题意列出关于D,E,F 的三元一次方程组,求解即可;(2)由(1)求得圆的圆心()C ,a b 和半径r ,求出圆心到直线l 的距离d ,利用直线与圆相交所得弦的弦长公式写出表达式求出参数的值.【详解】（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=,由条件,得193043626024022D E F D E F D E ⎧⎪+--+=⎪⎪++++=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪-+⨯--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩,解得4220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩．∴圆的方程为2242200x y x y +---=．（2）由(1)得圆心()C 2,1,半径5r =,由点到直线的距离公式可得圆心到直线l : ()()110x m y m R +-+=∈的距离231d m =+,所以由直线与圆相交所得弦的弦长公式222r d -可得弦长为:292251m -+,当0m =时弦长最短，此时直线方程为1x =-．【点睛】本题考查了圆的方程的求法,考查了直线和圆交点弦弦长公式的应用,求圆的方程一般有如下两种方法,(1)几何法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而求出圆的方程;(2)待定系数法:首先根据题意,设出标准方程或一般方程;然后根据题意列出有关,,a b r 或D,E,F 的方程;最后解方程组求出,,a b r 或D,E,F,代入标准方程或一般方程即可.属于中档题.20．已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程的根. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【答案】（1）112n a n =+;（2）1422n n n S ++=-. 【解析】（1）方程的两根为2,3，由题意得233,2a a ==，在利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式即可求出．【详解】方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3.由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而得a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1. （2）设2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为S n ， 由（1）知n na 2＝122n n ++， 则S n ＝232＋342＋…＋12n n +＋122n n ++， 12S n ＝332＋442＋…＋112n n ++＋222n n ++， 两式相减得12S n ＝34＋311122n +⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭－222n n ++ ＝34＋111142n -⎛⎫- ⎪⎝⎭－222n n ++， 所以S n ＝2－142n n ++. 【考点】等差数列的性质；数列的求和．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程的两根为2,3，由题意得233,2a a ==，即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题．21．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.（1）求证：PB ⊥DM ；（2）求CD 与平面ADMN 所成角的正弦值．【答案】（1）证明：设BC=1P （0，0，2） B （2，0，0） D （0，2，0） C （2，1，0） M （1，12，1） (2,0,2)PB =- 3(1,,1)2DM =- 0PB DM ∴⋅= ∴PB ⊥DM（2）(2,1,0)CD =- (0,2,0)AD = 1(1,,1)2AM = 设平面ADMN 的法向量(,,)n x y z = 0002002y n AD y y x x z n AM =⎧⎧⋅==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-++=⋅=⎩⎪⎪⎩⎩ 取z=-1 (1,0,1)n ∴=-设直线CD 与平面ADMN 成角为θsin |cos ,|52105n CD θ=<>=⋅= 【解析】略22．设函数()()()22213f x x a x a a a R =++++∈． （1）若()231f x a a ≥++对任意的[]1,2x ∈上恒成立，求a 的取值范围； （2）若()f x 在区间[],m n 上单调递增，且函数()f x 在区间[],m n 上的值域为[],m n ，求a 的取值范围．【答案】（1）12a ≥-；（2）1012a -≤<. 【解析】(1)由题意分离参数得121a x x +≥-在[]1,2x ∈上恒成立,令()1g x x x =-判断其在[]1,2x ∈上的单调性,由()21max a g x +≥即可求出参数范围;(2)由题意判断,m n 是方程()f x x =在)21,2a x +⎡∈-+∞⎢⎣上的两个不相等的实数根,然后再根据根的判别式,对称轴的位置和端点值的范围联立即可求出参数范围.【详解】（1）由题意()231f x a a ≥++在[]1,2x ∈上恒成立,可得21121-+≥=-x a x x x 在[]1,2x ∈上恒成立, 令()1g x x x =-,易得函数()1g x x x =-在[]1,2递减, 可得()()2110maxa g x g +≥==,即210a +≥即得12a ≥-. （2）因为()()()22213f x x a x a a a R =++++∈在[],m n 上递增且值域为[],m n , 则满足：()()212a mf m m f n n +⎧-≤⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩,则可得方程()f x x =在21,2a +⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根,m n ,设()()2223F x f x x x ax a a =-=+++, 则22441202122102a a a a a a f ⎧⎪∆=-->⎪+⎪->-⎨⎪⎪+⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩联立解得:1012a -≤<． 【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用,考查了由值域求参数的问题,准确的将函数问题借助二次函数图像转化为方程根的问题是解题的关键,考查了学生的转化和综合运算能力.。

浙江省温州市十五校联合体2019-2020学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知点A(−2,m)，B(m,4)，且直线AB的斜率为1，则m的值()A. 1B. 3C. 0D. 2√22.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是()A. 棱锥B. 圆柱C. 球D. 圆锥3.过点(x0,y0)，平行于向量a⃗=(m,3)的直线方程为()(x−x0) B. 3x−my−3x0+my0=0A. y−y0=3m(x−x0)C. 3x−my+3x0−my0=0D. y−y0=m34.圆心为(1,1)且过坐标原点的圆的方程为()A. (x−1)2+(y−1)2=1B. (x+1)2+(y+1)2=1C. (x+1)2+(y+1)2=2D. (x−1)2+(y−1)2=25.若直线x+3y−9=0与直线x+3y−C=0的距离为√10，则C的值为()A. −1B. 19C. −1或19D.1或−196.某几何的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积(单位：cm2)是()．A. 16B. 32C. 44D. 647.已知两条异面直线，以及空间给定一点，则()A. 必存在经过该点的平面与两异面直线都垂直B. 必存在经过该点的平面与两异面直线都平行C. 必存在经过该点的直线与两异面直线都垂直D. 必存在经过该点的直线与两异面直线都相交8.点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ−2=0的距离的最大值是()A. 2B. 2−√2C. 2+√2D. 49.在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，点E是CD中点，点F是线段CE上的动点(不含端点)，将△ADF沿AF折起，使得点D在平面ABC内的射影始终落在四边形ABCF内部，记二面角D−FC−A，D−BC−A，D−AB−C分别为α,β,γ，则()A. γ>α>βB. γ>β>αC. α>β>γD. α>γ>β10.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别是棱A1D1,C1D1的中点，N为线段B1C的中点，若点P,M分别为线段D1B,EF上的动点，则PM+PN的最小值为()A. 1B. 3√24C. 2√6+√24D.√3+12二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.不论m为何值，直线(m−1)x−y+(2m−1)=0恒过定点为______ ．12.已知空间直角坐标系Oxyz中，A(5,0，−1)，B(−3,3√3,2)，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=______ ．13.直线x+y+1=0的倾斜角是______ ．14.如图，直线l⊥平面α，垂足为O，已知在直角三角形ABC中，BC=1，AC=2，AB=√5.该直角三角形在空间做符合以下条件的自由运动：(1)A∈l，(2)C∈α.则B、O两点间的最大距离为______．15.设圆x2+y2−4x+2y−11=0的圆心为A，点P在圆上，则线段PA的中点M的轨迹方程为_______。

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题（每小题5分，共60分） 1．下列语句中，命题的个数是 ( )①|x ＋2|；②－5∈；③π∉R ；④{0}∈N. A ．1 B ．2 C ．3D ．42．已知命题“若p ，则q ”，假设其逆命题为真，则p 是q 的 ( )A ．充分条件B ．必要条件C ．既不是充分条件也不是必要条件D ．无法判断 3.设命题：对，则为（ ）A ．B ．C ．D ．4．命题“若x 2<1，则－1<x<1”的逆否命题是 ( )A ．若x 2≥1，则x ≥1，或x ≤－1 B ．若－1<x<1，则x 2<1 C ．若x>1或x<－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥15.已知数列，则“为等比数列”是“1n 1-n 2n a a a +∙=”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．若A 是定直线l 外一定点，则过点A 且与直线l 相切的圆的圆心轨迹为 ( )A ．直线B ．椭圆C ．线段D ．抛物线7．抛物线x 2＝4y 的焦点到准线的距离为 ( )A ．12B ．1C ．2D ．48．设正方形ABCD 的边长为1，则|﹣+|等于（ ）A ．0B ．C ．2D ．29．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m)，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．2 C.12D ．310．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y24＝1的交点个数为 ( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．011．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c|＝14，若(a ＋b)·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°12．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y2b 2＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知双曲线的方程为x 2a 2－y2b 2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB|＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为________.14.已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1, 1)在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为________. 15. 已知a ＝(2，－1，3)、b ＝(－1,4，－2)、c ＝(7,7，λ)，若a 、b 、c 共面，则实数λ＝________. 16.下列说法中错误的是_______（填序号） ①命题“,,212,1x x M x x ≠∈∃有0))](()([1221>--x x x f x f ”的否定是“,,212,1x x M x x ≠∉∀有0))](()([1221≤--x x x f x f ”；②若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题也一定为真命题；③已知032:2>-+x x p ， 131:>-xq ，若命题p q ∧⌝)(为真命题，则x 的取值范围是(,3)(1,2)[3,)-∞-+∞；④“3≠x”是“3≠x ”成立的充分条件．三、解答题（共70分）17．(本题满分10分)命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0无实根，命题q ：函数f(x)＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”真命题，求实数a 的取值范围18. (本题满分12分)设命题p ：(4x －3)2≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.19．(本题满分12分)已知方程mx2+（m﹣4）y2=2m+2表示焦点在x轴上的双曲线．（1）求m的取值范围；（2）若该双曲线与椭圆+=1有共同的焦点．求该双曲线的渐近线方程．20.(本题满分12分)在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，求点A1到截面AB1D1的距离21. （本题满分12分）如图，在四棱锥A-BCDE 中，底面BCDE 为平行四边形，平面ABE ⊥平面BCDE ，AB=AE ，DB=DE ，∠BAE=∠BDE=90°.(1)求异面直线AB 与DE 所成角的大小； (2)求二面角B-AE-C 的平面角的余弦值.22．(本题满分12分)已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，椭圆C 的长轴长为4．（1）求椭圆C 的方程； （2）已知直线l ：y=kx +与椭圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 一、选择题CBCDB DCCBB CB 二、填空题13.4a+2m 14．⎝⎛⎭⎫－12，12，0 15. 9 16. ①③④三、解答题17、解： ∵方程x 2＋ax ＋2＝0无实根，∴△＝a 2－8<0，∴－22<a<22，∴p ：－22<a<2 2. ∵函数f(x)＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，∴a>1. ∴q ：a>1.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴p 与q 一真一假． 当p 真q 假时，－22<a ≤1，当p 假q 真时，a ≥2 2.综上可知，实数a 的取值范围为(－22，1]∪[22，＋∞)18、解： 由(4x －3)2≤1，得12≤x ≤1，令A ＝{x|12≤x ≤1}．由x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，令B ＝{x|a ≤x ≤a ＋1}． 由¬p 是¬q 的必要不充分条件，得p 是q 的充分不必要条件，即A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ＋1≥1，∴0≤a ≤12.∴实数a 的取值范围是 [0，12]．19.解：（1）由题意得：，解得：0＜m ＜4；（2）由题意得：8﹣2=+，解得：m=2或m=﹣4（舍），故双曲线方程是：x 2﹣y 2=3，故渐近线方程是：y=±x ．20.解：建立如图所示的空间直角坐标系．则A(2,0,0)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)，A 1(2,0,4)，AB 1＝(0,2,4)，AD 1＝(－2,0,4)，AA 1＝(0,0,4)．设平面AB 1D 1的法向量n ＝(x ，y ，z)，有⎩⎪⎨⎪⎧AB 1·n ＝0， AD 1·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋4z ＝0，－2x ＋4z ＝0，令x ＝2，得n ＝(2，－2,1)． 所以A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|AA 1·n||n|＝43.21.解：(1)不妨设OA=a ，以O 为坐标原点，建立如图(2)所示的空间直角坐标系O-xyz ，则A(0，0，a)，B(0，-a ，0)，C(a ，-2a ，0)，D(a ，0，0)，E(0，a ，0)，所以=(0，-a ，-a)，=(-a ，a ，0).因为cos<>===-，所以与的夹角为120°，所以异面直线AB 与DE 所成的角为60°. (2)设平面ACE 的法向量为n 1=(x ，y ，z). 因为=(0，a ，-a)，=(a ，-3a ，0)，所以所以解得取y=z=1，得x=3，所以n 1=(3，1，1). 又平面ABE 的一个法向量为n 2=(1，0，0)，设二面角B-AE-C的平面角为θ，则cos θ===，因此二面角B-AE-C的余弦值为.22.解：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得：，解得所以b2=a2﹣c2=4﹣3=1，故所求椭圆C的方程为+x2=1．（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：设点A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l 的方程y=kx+代入+x2=1，并整理，得（k2+4）x2+2 kx﹣1=0．（*）则x1+x2=﹣，x1x2=﹣．因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以•=0，即x1x2+y1y2=0．又y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+3，于是﹣﹣+3=0，解得k=±，经检验知：此时（*）式的△＞0，符合题意．所以当k=±时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案13．8x ＋4y －5＝014．(1)“IF －THEN －ELSE ”(2)2.1；10.5 15．(2)(3)(4) 16．3 17．解：(1)因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：()3.010005.001.02015.0025.014=⨯++⨯+-=f …………3分直方图如图所示．…………6分(2)依题意，及格以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率之和为(0.0150.030.0250.005)100.75+++⨯=，……………………9分抽样学生成绩的合格率是75％．利用组中值估算抽样学生的平均分+⨯=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅1.045958575655545654321f f f f f f7105.09525.0853.07515.06515.055=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯则估计这次考试的平均分是71分………………12分18．3=x 或01143=++y x 19．41 20．21≤<a21．(1)基本事件()c b ,有16个4=z 时，()c b ,的所有取值为(1，3)，(3，1)故()811624===z p ………………6分 (2)若方程有一个根1=x ，则01=--c b 即1=+c b ，不成立；若方程有一个根2=x ，则024=--c b 即42=+c b ，所以1=b ，2=c ；若方程有一个根3=x ，则039=--c b 即93=+c b ，所以2=b ，3=c ； 若方程有一个根4=x ，则0416=--c b 即164=+c b ，所以3=b ，4=c ； 综上()c b ,的所有取值为(1，2)，(2，3)，(3，4) 所以漂亮方程共有3个，漂亮方程的概率为163=p …………12分 22．(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线43=-y x 的距离，即2314=+=r ．得圆O 的方程为422=+y x ．…………3分 (2)由题意，可设直线MN 的方程为02=+-m y x ，则圆心O 到直线MN 的距离5m d =．由垂径分弦定理得：()222235=+m ，即5±=m ．所以直线MN 的方程为：052=+-y x 或052=--y x …………7分 (3)不妨设()0,1x A ，()0,2x B ，21x x <．由42=x 得()0,2-A ，()0,2B ．设()y x P ,，由PA ，PO ，PB 成等比数列，得()()22222222y x y x y x +=+-⋅++，即222=-y x ．()()()12,2,22-=--⋅---=⋅∴y y x y x PB PA由于点P 在圆O 内，故222242.x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩，由此得21y <．所以PA PB ∙的取值范围为[20)-，.………………12分2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案数学（理科）时量：115分钟 分值：120分命题：新化一中 段新平 审题：新化一中 吴文惠一．选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项符合题目要求．1、设集合{}2340M x x x =--<，{}50N x x =-≤≤，则M N =I （ ）A.(]04,B.[)04,C. [)10,-D. (]10,-2、 下列命题的说法错误的是 （ ）A ．对于命题2:,10p x R x x ∀∈++>, 则2000:,10p x R x x ⌝∃∈++≤ B ．"1"x =是2"320"x x -+=的充分不必要条件. C ．22""acbc <是""a b <的必要不充分条件.D ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”. 3、在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. 若1sin()3A B +=，3a =，4c =， 则sin A = （ ） A.23 B.14 C.34D.164、设21,F F 是椭圆1121622=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到21,F F 的距离之差为2，则△21F PF 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．斜三角形 D ．直角三角形5、在ABC ∆中，已知222ab c +=+ ，则∠C=（ ）A ．30°B ． 45°C ．150°D ． 135° 6．设等差数列{}n a 的 前n 项的和为n S ，若392a a +=，则11S = （ ）A ．12B ．10C ．11D ．227、若变量x ，y 满足约束条件5240,0x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩则z ＝5y －x 的最大值 ( )A ．18B ．13C ．10D ．88、各项均为正数的等比数列{}n a 中，且21431,9a a a a =-=-，则45a a +=（ ）A. 27B. 16C.36D.－279、在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC V 的顶点A （-5，0）和C （5，0），顶点B 在双曲线221169x y -=上，则sin sin sin A C B -的值为（ ）A ．23 B ．32 C ．45 D ．5410、在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12,a =且245,2,a a a +成等差数列，设21n n b a n =+-，记n S 是数列{}n b 的前n 项和，则5S = ( )A ．54B ．87C ．52D ．105 11、已知0,0>>y x ，且112=+yx ，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的值取值范围是（ ） A ．4≥m 或2-≤m B ．4-≤m 或2≥m C ．42<<-m D ．24<<-m12、已知12F F 、分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( ).A (2,)+∞ .B )+∞ .C 2) .D二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在题中横线上． 13.已知双曲线与椭圆x 29＋y225＝1有相同的焦点，且离心率为2，则该双曲线的方程是 .14．已知数列为等比数列，且，则．15．已知1F 、2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥uuu r uuu r .若12PF F ∆的面积为9，则b = .16.定义在R 上的奇函数函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是 .三．解答题：（本大题共6个小题，共56分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）． 17.(满分8分) 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且cos A ＝35.(1)求sin 2 B ＋C2＋cos 2A 的值；(2)若b ＝2，△ABC 的面积S ＝4，求a .18.(满分8分) 设命题p 20,16aax x x R -+>∈恒成立. 命题q 双曲线1522=-a x y的离心率,(1) 如果p 是真命题, 求实数a 的取值范围;(2) 如果命题“p 或q”为真命题, 且命题“p 且q”为假命题, 求实数a 的取值范围.19.( 满分8分) 已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足12594152,14, 1.b a a a b a ==+==+（I ）求数列{}n a ，{}n b 通项公式；（II ）令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .20.（满分10分）设A 1（－，0），A 2（0），P 是动点，且直线A 1P 与A 2P 的斜率之积等于－12． （Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设直线l 经过点M （2，1）与轨迹E 相交于点A 、B ，若()12OM OA OB =+uuu r uu r uu u r， 其中O 为坐标原点，求直线AB 的方程.21．（满分10分）数列{}n a 为递增等比数列，且{{}27,16,9,4,1,0,2,3,8},,531---⊆a a a ．数列{}n b 满足112,28n n n b b b a +=-=．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（II ）设数列{}n c 满足14n n n n c b b +=g ，且数列{}n c 的前n 项和T n ，并求使得1n m T a >对任意n ∈N *都成立的正整数m 的最小值22.（满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>2234x y +=相切。

浙江省温州市新力量联盟2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写．．．．的答案无效．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答．．．．．题无效．．．。

－、选择题(本大题共10小题，共40分)1.设集合A＝{1，2，5，6}，B＝{2，4}，C＝{1，2，3，4}，则(A∪B)∩C＝A.{2}B.{1，2，4}C.{1，2，4，5}D.{1，2，3，4，6}2.函数2()11xf x xx=++-的定义域是A.(－1，＋∞)B.(－1，1)∪(1，＋∞)C.[－1，＋∞)D.[－1，1)∪(1，＋∞)3.已知函数1()f x xx=+，则函数y＝f(x)的大致图象为4.函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则其解析式可以是A.y ＝2sin(2x －6π)B.y ＝2sin(2x －3π) C.y ＝2sin(2x ＋6π) D.y ＝2sin(2x ＋3π) 5.若x ，y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则z ＝3x －y 的最小值为A.－2B.1C.－1D.06.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝A.2n －1B.13()2n - C.12()3n - D.112n - 7.设a>0，b>0，若直线ax ＋by ＝2平分圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，则11a b +的最小值为 A.1 B.2 C.4 D.148.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为A.32πB.3π532π+332π+9.设函致21()2019f x x x=-+，则使得f(x)>f(2x －1)成立的x 的取值范围是 A.(13，1) B.(－∞，13)∪(1，＋∞) C.(－13，13) D.(－∞，－13)∪(13，＋∞)10.已知AB u u u r ⊥AC u u u r ，|AB u u u r |＝1t ，|AC u u u r |＝t ，若P 点是△ABC 所在平面内－点，且4AB AC AP AB AC=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于 A.13 B.15 C.19 D.21二、填空题(本大题共7小题，11－14每题6分，15－17每题4分，共36分)11.设两直线L 1：mx ＋y ＋l ＝0；L 2：x ＋my ＋2＝0。

浙江省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（三）（考试时间90分钟满分100分）一、单项选择题（本题共10题，每小题4分，共40分）1．直线y=x+2的倾斜角是（）A． B．C． D．2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β3．圆（x﹣4）2+（y﹣2）2=9与圆x2+（y+1）2=4的位置关系为（）A．相交B．内切 C．外切 D．外离4．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO 的面积是（）A．B．C．D．25．圆x2+y2﹣2x﹣1=0关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程是（）A．（x+3）2+（y﹣4）2=2 B．（x﹣3）2+（y+4）2=2C．D．6．由直线y=x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（）A．1 B．2 C．D．37．已知A（﹣2，0），B（2，0），点P在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=4上运动，则|PA|2+|PB|2的最小值是（）A．22 B．10 C．36 D．268．点P是底边长为2，高为2的正三棱柱表面上的动点，Q是该棱柱内切球表面上的动点，则|PQ|的取值范围是（）A．[0，]B．[0，]C．[0，3]D．[1，]9．已知△ABC中，∠C=，∠B=，AC=2，M是AB的中点，沿直线CM将CBM折起，若AB=，设二面角B﹣CM﹣A的平面角为α，则α的大小为（）A．B．C．D．10．已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为5，点D，E，F分别是BB1，AA1，CC1，的中点，若侧棱AA1与底面三角形的相邻两边都成60°角，则四棱锥D ﹣A1C1EF的体积是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共7题，每小题3分，共21分）11．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．12．已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为．13．已知直线x﹣2y+1=0与直线2x﹣4y+1=0平行，则这两条平行线之间的距离为．14．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC，则直线PC与AB所成角的大小是．15．若直线y=x+m与曲线y=有且只有一个公共点，则实数m的取值范围．16．已知实数a，b满足：a2+b2≠0，过点M（﹣1，0）作直线ax+by+2b﹣a=0的垂线，垂足为N，点P（1，1），则|PN|的最大值为．17．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是线段CC1，BD上的点，满足PQ∥平面AC1D1，则PQ与平面BDD1B1所成角的范围是．三、解答题（本题共5题，共39分）18．已知平面内两点A（8，﹣6），A（2，2）．（Ⅰ）求AB的中垂线方程；（Ⅱ）求过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的方程．19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且直线PA⊥平面ABCD，又棱PA=AB=2，E为CD的中点，∠ABC=60°．（Ⅰ）求证：直线EA⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线AE与平面PCD所成角的正切值．20．已知圆C的圆心在直线3x+y﹣5=0上，并且经过原点和点A（3，﹣1）．（Ⅰ）求圆C的方程．（Ⅱ）若直线l过点P（1，1）且截圆C所得的弦长为，求直线l的方程．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，△ABC是边长为1正三角形，CD=DA=，AC与BD的交点为M，点N在线段PB上，且PN=．若二面角A﹣BC﹣P的正切值为2．（I）求证：MN∥平面PDC；（Ⅱ）求平面DCP与平面ABP所成的锐角的余弦值．22．已知圆O：x2+y2=4和圆C：x2+y2﹣2x﹣y﹣2=0，记两圆的公共弦所在的直线为l．（I）求直线l的方程．（Ⅱ）设直线l与x轴的交点为M，过点M任作一条直线与圆O相交于点A，B，是否存在x 轴上的定点N，连接AN，BN，使得∠ANM=∠BNM，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．参考答案一、单项选择题1．B．2．D．3．C．4．C 5．A．6．C．7．D．8．B 9．D．10．A．二、填空题11．解：由三视图可知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为1的正方形，一条侧和底面垂直，且这条侧棱长是2，∴四棱锥的体积是故答案为：12．解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，则由πl=2πr得l=2r，而S=πr2+πr•2r=3πr2=3π，故r2=1，解得r=1，∴l=2r=2，故答案为：213．解：直线x﹣2y+1=0与直线2x﹣4y+1=0平行，即直线x﹣2y+1=0与直线x﹣2y+=0平行，平行线之间的距离为：=．故答案为：．14．解：取PA中点E，PB中点F，BC中点G，连接EF，FG，EG，∵EF、FG分别是△PAB、△PBC的中位线∴EF∥AB，FG∥PC，因此，∠EFG（或其补角）就是异面直线AB与PC所成的角．连接AG，则Rt△AEG中，AG==，EG==，又∵AB=PC=2，∴EF=FG=．由此可得，在△EFG中，cos∠EFG==﹣结合∠EFG是三角形内角，可得∠EFG=120°．综上所述，可得异面直线AB与PC所成角的大小为60°．故答案为：60°．15．解：曲线y=即x2+y2=4 （y≥0），表示以原点为圆心，半径等于2的半圆，如图．当直线y=x+m与半圆相切时，由2=，可得m=2，或m=﹣2（舍去）．当直线y=x+m过点（﹣2，0），把点（﹣2，0）代入直线y=x+m可得0=﹣2+m，故m=2．当直线y=x+m过点（2，0），把点（2，0）代入直线y=x+m可得，0=2+m，故m=﹣2．数形结合可得，当直线y=x+m与曲线y=有且只有一个公共点时，则m的取值范围是：，故答案为：．16．解：直线ax+by+2b﹣a=0化为a（x﹣1）+b（y+2）=0，令，解得x=1，y=﹣2．∴直线ax+by+2b﹣a=0过定点Q（1，﹣2）．∴垂足N在以MQ为直径的圆上，圆心即相等MQ的中点C（0，﹣1）．其圆的方程为：x2+（y+1）2=2．|PC|=．∴|PN|的最大值为．故答案为：．17．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C1（0，1，1），D1（0，0，1），=（﹣1，0，1），=（﹣1，1，1），设平面AC1D1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设P（0，1，t），Q（a，b，0），a，b，t∈[0，1），，0≤λ＜1，∴（a，b，0）=（λ，λ，0），∴Q（λ，λ，0），，∵PQ∥平面AC1D1，∴，t=λ，∴，∵AC⊥平面BDD1B1，∴平面BDD1B1的一个法向量=（﹣1，1，0），设PQ与平面BDD1B1所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=||==，0≤λ＜1，∴λ=时，（sinθ）max==，此时，λ=1时，（sinθ）min==，此时，∴PQ与平面BDD1B1所成角的范围是（，]．故答案为：．三、解答题18．解：（I）线段AB的中点为即（5，﹣2），∵k AB==﹣，∴线段AB的中垂线的斜率k=，∴AB的中垂线方程为y+2=（x﹣5），化为3x﹣4y﹣23=0．（II）过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的斜率为﹣．其方程为：y+3=（x﹣2），化为4x+3y+1=0．19．解：（1）证明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2，∴△AED是以∠AED为直角的Rt△；又∵AB∥CD，∴EA⊥AB；又PA⊥平面ABCD，∴EA⊥PA；且AB∩PA=A，∴EA⊥平面PAB；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）如图所示，连结PE，过A点作AH⊥PE于H点，∵CD⊥EA，CD⊥PA，且PA∩EA=A，∴CD⊥平面PAE；又AH⊂平面PAE，∴AH⊥CD；又AH⊥PE，且CD∩AE=E，∴AH⊥平面PCD，∴∠AEP为直线AE与平面PCD所成角；﹣﹣﹣﹣﹣﹣在Rt△PAE中，∵PA=2，AE==，∴tan∠AEP===．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．解：（I）设圆心为（x0，5﹣3x0），则解得，所以圆的方程：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）当直线l垂直于x轴时，方程为x=1，交点为，弦长为符合题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当直线l不垂直于x轴时，设方程为y﹣1=k（x﹣1），由弦心距三角形得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以方程为5x+12y﹣17=0，综上l的方程为x=1或5x+12y﹣17=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．证明：（Ⅰ）在△ACD中，∵△ABC是边长为1正三角形，CD=DA=，∴由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴，∴，又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥CD，BC⊥PC，∴∠PCD为二面角A﹣BC﹣P的平面角，∴，∵CD=，∴PD=，∵BD=BM+MD=，∴PB=2，∴，∴MN∥PD．∵MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，∴MN∥平面PDC．解：（Ⅱ）分别延长CD，AB交于点G，则PG为两个平面的棱，作CE⊥PG，连结BE，∵BC⊥平面PDC，∴BE⊥PG，∴∠CEB为平面DCP与平面ABP所成的锐平面角，∵，∴，∴平面DCP与平面ABP所成的锐角的余弦值为．22．解：（Ⅰ）圆O与圆C两边相减得l：2x+y﹣2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）由题意得M（1，0），当AB⊥x轴时显然成立．当AB不垂直于x轴时，设AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由题意得N点不是M点，所以直线AN，BN的斜率存在∠ANM=∠BNM⇔k AN+k BN=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴⇒k[2x1x2﹣（n+1）（x1+x2）+2n]=0由韦达定理得k[2n﹣8]=0，所以n=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以点N存在为N（4，0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣。

浙江省温州市2019-2020年度数学高二上学期文数期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2018高二下·南宁月考) 某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了下面的折线图。

已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A . 最低气温与最高气温为正相关B . 10月的最高气温不低于5月的最高气温C . 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D . 最低气温低于的月份有4个2. （1分） (2018高二上·唐县期中) 从装有3个红球和3个白球的口袋里任取3个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A . 至少2个白球，都是红球B . 至少1个白球，至少1个红球C . 至少2个白球，至多1个白球D . 恰好1个白球，恰好2个红球3. （1分） (2018高二上·齐齐哈尔期中) 某中学从甲、乙两个艺术班中选出7名学生参加市级才艺比赛，他们取得的成绩（满分100）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为（）A . 6B . 8C . 9D . 114. （1分）在对两个变量x、y进行线性回归分析时一般有下列步骤：①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据（xi,yi),i=1,2,3,...,n③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．若根据实际情况能够判定变量x、y具有线性相关性，则在下列操作顺序中正确的是A . ①②⑤③④B . ③②④⑤①C . ②④③①⑤D . ②⑤④③①5. （1分） (2016高一下·鞍山期中) 平面上画了一些彼此相距10的平行线，把一枚半径为3的硬币任意掷在平面上，则硬币不与任一条平行线相碰的概率为（）A .B .C .D .6. （1分）(2019·嘉兴期末) 在等差数列中，，则（）A . 32B . 45C . 64D . 967. （1分）在贵阳市创建全国文明城市工作验收时，国家文明委有关部门对我校高二年级6名学生进行了问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体．如果用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，则该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为（）A .B .C .D .8. （1分）(2016·潮州模拟) 已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”是“a+b＞2”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 即不充分也不必要条件9. （1分）已知数列是等比数列，且，则的公比q为（）A . －2B .C . 2D .10. （1分） (2019高二上·丽水期中) 已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则该双曲线的离心率等于（）A .B .C . 或D . 或11. （1分） (2018高三上·沧州期末) 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A . 5B . 11C . 14D . 1912. （1分）已知中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，且,那么角A等于（）A .B .C .D . 或二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分） (2017高二下·和平期末) 端午节小长假期间，张洋与几位同学从天津乘火车到大连去旅游，若当天从天津到大连的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响，则这三列火车恰好有两列正点到达的概率是________．14. （1分）若a、b、c、d均为正实数，且 a>b ，那么四个数、、 , 由小到大的顺序是________15. （1分）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150）三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为________ ．16. （1分） (2018高一上·上海期中) 已知，则的取值范围是________17. （1分） (2018高一上·泰安月考) 设函数，若，则实数a的取值范围是________.18. （1分） (2018高二下·齐齐哈尔月考) 、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、 .若为等边三角形，则双曲线的离心率为________．三、解答题 (共5题；共10分)19. （2分）(2013·北京理) 在△ABC中，a=3，b=2 ，∠B=2∠A．（1）求cosA的值；（2）求c的值．20. （1分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b 至少有一人上台抽奖的概率．（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．21. （2分） (2018高一下·鹤岗期中) 在数列中，， .（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前项和 .22. （3分） (2019高二上·潜山月考) 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC长为7 cm ，腰长为2 cm ，当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从B点开始由左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x(0≤x≤7)，左边部分的面积为y ，求y与x之间的函数关系式，画出程序框图，并写出程序．23. （2分） (2017高一下·怀仁期末) 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（1）求数列，的通项公式；（2）设数列的前项和为试比较与6的大小.参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共5题；共10分)19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、23-1、23-2、。

2019-2020学年浙江省温州新力量联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40分）1. 设集合A ＝{1, 2, 5, 6}，B ＝{2, 4}，C ＝{1, 2, 3, 4}，则(A ∪B)∩C ＝（ ） A.{2} B.{1, 2, 4} C.{1, 2, 4, 5} D.{1, 2, 3, 4, 6} 【答案】 B【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】利用并集、交集定义直接求解． 【解答】∵ 集合A ＝{1, 2, 5, 6}，B ＝{2, 4}，C ＝{1, 2, 3, 4}， ∴ A ∪B ＝{1, 2, 4, 5, 6}， ∴ (A ∪B)∩C ＝{1, 2, 4}．2. 函数f(x)=√x +1+2xx−1的定义域是（ ）A.(−1, +∞)B.(−1, 1)∪(1, +∞)C.[−1, +∞)D.[−1, 1)∪(1, +∞) 【答案】 D【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据函数f(x)的解析式，列出不等式组，求出解集即可． 【解答】函数f(x)=√x +1+2xx−1， 令{x +1≥0x −1≠0， 解得x ≥−1且x ≠1；所以f(x)的定义域是[−1, 1)∪(1, +∞)．3. 已知函数f(x)=|x|+1x ，则函数y =f(x)的大致图象为( ) A.B.C.D.【答案】 B【考点】函数图象的作法 【解析】由函数不是奇函数图象不关于原点对称，排除A 、C ，由x >0时，函数值恒正，排除D ． 【解答】解：函数y =f(x)是一个非奇非偶函数，图象不关于原点对称， 故排除选项A ,C ，又当x =−1时，函数值等于0，故排除D . 故选B ．4. 函数y ＝Asin(ωx +φ)的部分图象如图所示，则其解析式可以是（ ）A.y =2sin(2x −π6) B.y =2sin(2x −π3)C.y =2sin(2x +π6)D.y =2sin(2x +π3)【答案】 A【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式． 【解答】根据函数y ＝Asin(ωx +φ)的部分图象，可得A ＝2，T2=πω=π3+π6，∴ ω＝（2） 再根据五点法作图可得2×π3+φ=π2，∴ φ=−π6，故f(x)＝2sin(2x −π6)，5. 若x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y −3≤0x +3y −3≥0 ，则z ＝3x −y 的最小值为（ ）A.−2B.1C.−1D.0【答案】 C【考点】简单线性规划 【解析】作出不等式组表示的平面区域，由z ＝3x −y 可得y ＝3x −z ，则−z 表示直线3x −y −z ＝0在y 轴上的截距，截距越大z 越小，结合图形可求． 【解答】作出约束条件{x −y +1≥0x +y −3≤0x +3y −3≥0，表示的平面区域，如图所示由z ＝3x −y 可得y ＝3x −z ，则−z 表示直线3x −y −z ＝0在y 轴上的截距， 截距越大z 越小结合图形可知，当直线z ＝3x −y 过点C 时z 最小 由{x +3y −3=0x −y +1=0可得C(0, 1)， 此时z ＝−16. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n+1，则S n ＝（ ）A.2n−1B.(32)n−1 C.(23)n−1D.12n−1【答案】 B【考点】 数列递推式 【解析】由a 1＝1，S n ＝2a n+1，可得S n ＝2(S n+1−S n )，化为：S n+1=32S n ，再利用等比数列的通项公式即可得出． 【解答】∵ a 1＝1，S n ＝2a n+1，∴ S n ＝2(S n+1−S n )，化为：S n+1=32S n ． ∴ 数列{S n }是等比数列，公比为32，首项为（1） 则S n =(32)n−1． 故选：B ．7. 设a >0，b >0，若直线ax +by ＝2平分圆C ：(x −1)2+(y −1)2＝1，则1a +1b 的最小值为（ ） A.1B.2C.4D.14【答案】 B【考点】基本不等式及其应用 【解析】根据题意，由直线与圆的位置关系分析可得直线经过圆C 的圆心，则有a +b ＝2，进而可得1a +1b =12(a +b)(1a +1b )=12×(2+ba +ab )，结合基本不等式的性质分析可得答案． 【解答】根据题意，圆C ：(x −1)2+(y −1)2＝1的圆心为(1, 1)，若直线ax +by ＝2平分圆C ， 则直线经过圆C 的圆心，则有a +b ＝2， 则有1a +1b =12(a +b)(1a +1b )=12×(2+ba +ab )，又由a >0，b >0，则b a+a b≥2√b a×ab=2，则1a +1b =12×(2+ba +ab )≥2，即1a +1b 的最小值为2；8. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A.5π2+√3 B.5π2C.3π2+√3D.3π2【答案】 C【考点】由三视图求表面积（组合型） 【解析】三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积． 【解答】解：由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为12×π×1×2=π，底面积为12π， 观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为12×2×√3=√3， 则该几何体的表面积为：32π+√3． 故选C .9. 设函数f(x)＝|x|−12019+x 2，则使得f(x)>f(2x −1)成立的x 的取值范围是（ ） A.(13, 1)B.(−∞, 13)∪(1, +∞)C.(−13, 13)D.(−∞, −13)∪(13, +∞)【答案】 A【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】可以判断出f(x)是R 上的偶函数，且在[0, +∞)上是增函数，从而根据f(x)>f(2x −1)得出|x|>|2x −1|，从而得出x 2>(2x −1)2，解出x 的范围即可． 【解答】f(x)是R 上的偶函数，x ≥0时，f(x)=x −12019+x 2，∴ f(x)在[0, +∞)上是增函数，∴ 由f(x)>f(2x −1)得，f(|x|)>f(|2x −1|)， ∴ |x|>|2x −1|，∴ x 2>4x 2−4x +1，解得13<x <1， ∴ x 的取值范围是(13,1)．10. 已知AB →⊥AC →,|AB →|=1t,|AC →|=t ，若点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP →=AB →|AB →|+4AC→|AC →|，则PB →⋅PC →的最大值等于（ ）A.13B.15C.19D.21【答案】 A【考点】平面向量数量积的运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则 B (1t ,0)， C(0,t)，AP →=(1,0)+4(0,1)=(1,4)，即P(1,4)，所以 PB →=(1t −1,−4)，PC →=(−1,t −4) ，因此 PB →⋅PC →=1−1t−4t +16=17−(1t+4t) ，因为 1t+4t ≥2√1t×4t =4 ，当且仅当 1t =4t ，即 t =12 时，等号成立，所以 PB →⋅PC →的最大值为13． 故选A ．二、填空题（本大题共7小题，11-14每题6分，15-17每题4分，共36分）设两直线L 1:mx +y +1＝0；L 2:x +my +2＝0，若L 1 // L 2，则m ＝________；若L 1⊥L 2，则m =________． 【答案】 ±1,0 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系 直线的一般式方程与直线的垂直关系 【解析】①利用直线平行与斜率之间的关系即可得出m ． ②利用直线垂直与斜率之间的关系即可得出m ． 【解答】①由m2＝1，解得m＝±1，经过验证，满足条件L1 // L2，∴m＝±(1)②由m+m＝0，解得m＝0，此时L1⊥L2．故答案为：±1；（0）已知函数f(x)＝sinxcosx−√32cos2x，则函数y＝f(x)的周期为________，函数y＝f(x)在区间[0, π2]上的最小值是________−√32【答案】π,【考点】三角函数的周期性及其求法两角和与差的三角函数【解析】利用倍角公式及辅助角公式化积，然后利用周期公式求周期，由x的范围求得相位的范围，则函数y＝f(x)在区间[0, π2]上的最小值可求．【解答】∵f(x)＝sinxcosx−√32cos2x=12sin2x−√32cos2x=sin(2x−π3)．∴T=2π2=π；∵x∈[0, π2]，∴2x−π3∈[−π3, 2π3]，∴当2x−π3=−π3，即x＝0时，f(x)取得最小值为−√32．已知数列{a n}满足a2+a5＝18，a3a4＝32，若{a n}为等差数列，其前n项和为S n，则S6＝________；若{a n}为单调递减的等比数列，其前n项和为T n＝63，则n=________．【答案】54,6【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】由已知结合等差数列的性质及前n项和求得S6；再由等比数列的性质及前n项和列式求得n值．【解答】∵{a n}为等差数列，∴a1+a6＝a2+a5＝18，则S6=6(a1+a6)2=54；∵{a n}为等比数列，∴a2a5＝a3a4＝32，则a2，a5是方程x2−18x+32＝0的两根．又{a n}单调递减，∴a2＝16，a5＝2，则q=12．∵T n=32(1−12n)1−12=63，∴n＝（6）已知向量a→,b→,c→是同一平面内的三个向量，其中a→=(1, √3)．若|b→|＝2，且b→ // a→，则向量b的坐标________；若|c→|=√2，且(a→+c→)⊥(2a→−3c→)，则a→⋅c→=________．【答案】(1, √3)或(−1, −√3),2【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】因为a→，b→为共线向量，所以设参数λ，令b→=λa→，可求出参数λ，再求b→的坐标形式，第二个空，需要使用向量垂直性质，得(a→+c→)．(2a→−3c→)＝0，从而求得．【解答】令b→=λa→=(λ, √3λ)，因为|b→|＝2，所有√λ2+3λ2=2，解得λ＝±1，所以b→=(1,√3)或(−1,−√3)；因为(a→+c→)⊥(2a→−3c→)，所以(a→+c→)⋅(2a→−3c→)＝0，即2|a→|2−a→⋅c→−3|c→|2=0，所以a→⋅c→=2|a→|2−3|c→|2＝2×4−3×2＝（2）已知定点O(0, 0)，A(3, 0)且|MO|＝2|MA|，则动点M的轨迹方程________．【答案】(x−4)2+y2＝4【考点】指数型复合函数的性质及应用轨迹方程【解析】直接利用两点间的距离公式的应用求出结果．【解答】设点M(x, y)，由于定点O(0, 0)，A(3, 0)且|MO|＝2|MA|，所以，整理得(x−4)2+y2＝4，所以动点M的轨迹方程为(x−4)2+y2＝（4）已知矩形ABCD，AB＝2AD＝2，沿AC翻折，使面ADB⊥面ABC，则二面角B−AD−C的余弦值为________．【答案】√3【考点】二面角的平面角及求法【解析】推导出BC⊥平面ADB，BC⊥BD，AD⊥BD，AD⊥DC，从而∠BDC是B−AD−C的二面角的平面角，由此能求出二面角B−AD−C的余弦值．【解答】∵平面ADB⊥平面ABC，BC⊥AB，∴BC⊥平面ADB，∴BC⊥BD，∵AB＝2AD＝2，∴CD＝2，BC＝1，∴BD=√CD2−BC2=√3，∴AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，∵AD⊥DC，BD∩DC＝D，∴∠BDC是B−AD−C的二面角的平面角，∵cos∠BDC=BD2+CD2−BC22×BD×CD =2×√3×2=√32，∴二面角B−AD−C的余弦值为√32．已知t∈R，记函数f(x)=|x+4x+2−t|+t在[−1, 2]的最大值为3，则实数t的取值范围是________．【答案】t≤5 2【考点】函数的最值及其几何意义【解析】由题意，可先令a=x+4x+2，求出a的取值范围，将问题转化为y＝|a−t|+t在a∈[2, 3]上的最大值为3，再分类去绝对值转化为函数最值问题，即可求出参数的取值范围．【解答】令a=x+4x+2，求导得a′=1−4(x+2)2，由已知，x∈[−1, 2]，令a′>0，解得x∈(−1, 0)，令a′<0，解得x∈(0, 2)，∴函数a=x+4x+2在(−1, 0)减，(0, 2)增，又当x＝0时，a＝2，当x＝−1时，a＝3，当x＝2时，a＝3，∴a∈[2, 3]，则问题转化为y＝|a−t|+t在a∈[2, 3]上的最大值为3，当a≥t在a∈[2, 3]恒成立时，函数变为y＝a，此时a＝3时，满足最大值为3，则t≤2；当a<t时，此时函数变为y＝2t−a，则2t−a≤3在在a∈[2, 3]恒成立，故2t≤3+a恒成立，此时解得t≤52，综上得，t≤52，三、解答题（本大题共5小题，共74分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC．(Ⅰ)若a＝b，求cosB；(Ⅱ)若B＝60∘，△ABC的面积为√32，求b．【答案】（1）sin 2B ＝2sinAsinC ．由正弦定理可得b 2＝2ac ， 因为a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c ， 所以cosB =a 2+c 2−b 22ac=14；（2）由(Ⅰ)可知b 2＝2ac ，因为B ＝60∘，△ABC 的面积为√32，可得12acsinB =√32，所以ac ＝2，可得b ＝（2）【考点】 正弦定理 解三角形 余弦定理 【解析】(Ⅰ)利用正弦定理结合a ＝b ，然后通过余弦定理求cosB ； (Ⅱ)若B ＝60∘，△ABC 的面积为√32，求出ac ，然后求解b ．【解答】（1）sin 2B ＝2sinAsinC ．由正弦定理可得b 2＝2ac ， 因为a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c ， 所以cosB =a 2+c 2−b 22ac=14；（2）由(Ⅰ)可知b 2＝2ac ，因为B ＝60∘，△ABC 的面积为√32，可得12acsinB =√32，所以ac ＝2，可得b ＝（2）已知圆C 经过两点P(−1, −3)，Q(2, 6)，且圆心在直线x +2y −4＝0上，直线l 的方程x +m(y −1)+1＝0(m ∈R) ．(Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)求直线l 被圆C 截得的弦长最短时的方程． 【答案】（1）设圆C 的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0由条件得{1+9−D −3E +F =04+36+2D +6E +F =0(−D2)+2×(−E2)−4=0 ，解得：{D =−4E =−2F =−20 故圆的方程为：x 2+y 2−4x −2y −20＝0；（2）直线l 的方程x +m(y −1)+1＝0(m ∈R)过定点M(−1, 1)， 且点(−1, 1)在圆C 内；又圆心为C(2, 1)，半径为5；由半弦长，半径，弦心距构成一个直角三角形； 则要使得弦长最短，只需要弦心距最大即可；过圆心C 作弦的垂线，则垂足在以CM 为直径的圆周上， 所以当垂足为M 时，垂线段最长；所以当CM ⊥l 时，弦长最短，此时l 的方程为：x ＝−1； 【考点】直线与圆的位置关系【解析】(Ⅰ)已知圆C 经过两点P(−1, −3)，Q(2, 6)，代入圆的方程，又圆心在直线x +2y −4＝0上，列出方程；再求解；(Ⅱ)直线l 的方程x +m(y −1)+1＝0(m ∈R)过定点M(−1, 1)且该点在圆内，当CM ⊥l 时，弦长最短； 【解答】（1）设圆C 的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0由条件得{1+9−D −3E +F =04+36+2D +6E +F =0(−D2)+2×(−E2)−4=0 ，解得：{D =−4E =−2F =−20 故圆的方程为：x 2+y 2−4x −2y −20＝0；（2）直线l 的方程x +m(y −1)+1＝0(m ∈R)过定点M(−1, 1)， 且点(−1, 1)在圆C 内；又圆心为C(2, 1)，半径为5；由半弦长，半径，弦心距构成一个直角三角形； 则要使得弦长最短，只需要弦心距最大即可；过圆心C 作弦的垂线，则垂足在以CM 为直径的圆周上， 所以当垂足为M 时，垂线段最长；所以当CM ⊥l 时，弦长最短，此时l 的方程为：x ＝−1；已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2−5x +6＝0的根． (Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)求数列{an2n }的前n 项和S n ．【答案】（1）设公差为d 的等差数列，由于a 2，a 4是方程x 2−5x +6＝0的根． 由于数列{a n }是递增的等差数列， 解得a 2＝2，a 4＝3， 所以d =a 4−a 22=12，所以a n =12n +1．（2）由于所以a n =12n +1，所以b n =a n2n=n+22n+1， 所以S n ＝b 1+b 2+...+b n =322+423+⋯+n+22n+1①，12S n=323+424+⋯+n+22n+2②， ①-②得：12S n =322+(123+124+⋯+12n+1)−n+22n+2， 解得S n =2−n+42n+1． 【考点】 数列的求和 【解析】(Ⅰ)首先利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式．(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．【解答】（1）设公差为d的等差数列，由于a2，a4是方程x2−5x+6＝0的根．由于数列{a n}是递增的等差数列，解得a2＝2，a4＝3，所以d=a4−a22=12，所以a n=12n+1．（2）由于所以a n=12n+1，所以b n=a n2n =n+22n+1，所以S n＝b1+b2+...+b n=322+423+⋯+n+22n+1①，1 2S n=323+424+⋯+n+22n+2②，①-②得：12S n=322+(123+124+⋯+12n+1)−n+22n+2，解得S n=2−n+42n+1．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面为直角梯形，AD // BC，∠BAD＝90∘，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．(Ⅰ)求证：PB⊥DM；(Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角的余弦值．【答案】（1）证明：因为N是PB的中点，NM // AD，所以N、M、D、A四点共面；又PA＝AB，所以AN⊥PB；因为AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB；且AN∩AD＝A，所以PB⊥平面ADMN；所以PB⊥DM．（2）取AD的中点G，连接BG、NG，如图所示；则BG // CD，所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等，因为PB⊥平面ADMN，所以∠BGN是BG与平面ADMN所成的角，在Rt△BNG中，BG=√5，BN=√2，所以NG=√BG2−BN2=√3，所以cos∠BNG=NGBG =√3√5=√155，即CD与平面ADMN所成角的余弦值为√155．【考点】直线与平面垂直直线与平面所成的角【解析】(Ⅰ)由N是PB的中点得出NM // AD，N、M、D、A四点共面；再证明AN⊥PB，AD⊥PB，得出PB⊥平面ADMN，即证PB⊥DM．(Ⅱ)取AD的中点G，连接BG、NG，得出BG // CD，利用BG与平面ADMN所成的角等于CD与平面ADMN所成的角，在Rt△BNG中求得CD与平面ADMN所成角的余弦值．【解答】（1）证明：因为N是PB的中点，NM // AD，所以N、M、D、A四点共面；又PA＝AB，所以AN⊥PB；因为AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB；且AN∩AD＝A，所以PB⊥平面ADMN；所以PB⊥DM．（2）取AD的中点G，连接BG、NG，如图所示；则BG // CD，所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等，因为PB⊥平面ADMN，所以∠BGN是BG与平面ADMN所成的角，在Rt△BNG中，BG=√5，BN=√2，所以NG=2−BN2=√3，所以cos∠BNG=NGBG =√3√5=√155，即CD与平面ADMN所成角的余弦值为√155．设函数f(x)＝x 2+(2a +1)x +a 2+3a(a ∈R)．(Ⅰ)若f(x)≥a 2+3a +1对任意的x ∈[1, 2]上恒成立，求a 的取值范围；(Ⅱ)若f(x)在区间[m, n]上单调递增，且函数f(x)在区间[m, n]上的值域为[m, n]，求a 的取值范围．【答案】（I ）由题意可得x 2+(2a +1)x +a 2+3a ≥a 2+3a +1对任意的x ∈[1, 2]上恒成立， 即x 2+(2a +1)x −1≥0对任意的x ∈[1, 2]上恒成立，分离可得2a +1≥1−x 2x =1x −x 对任意的x ∈[1, 2]上恒成立， 令g(x)=1x −x ，x ∈[1, 2]，则可得g(x)在[1, 2]上单调递减，故g(x)max ＝0，则2a +1≥0，解可得，a ≥−12．(II)由f(x)在区间[m, n]上单调递增，则由题意可得，−1+2a 2≤m 且{f(m)=m f(n)=n即f(x)＝x 在[−1+2a 2, +∞)上有两个不等的实数根， 所以x 2+2ax +a 2+3a ＝0在[−1+2a 2, +∞)上有两个不等的实数根， 令ℎ(x)＝x 2+2ax +a 2+3a ，则可得，{−1+2a 2<−a△=4a 2−12a >0g(−2a+12)=3a +14≥0， 解可得，−112≤a <0．故a 的范围为[−112,0)．【考点】函数恒成立问题【解析】（I ）由已知分离参数可得2a +1≥1−x 2x =1x −x 对任意的x ∈[1, 2]上恒成立，构造函数g(x)=1x −x ，x ∈[1, 2]，则问题转化为2a +1≥g(x)max ＝0，结合函数的单调性即可求解；(II)结合二次函数的单调性及方程的实根分布可进行求解．【解答】（I ）由题意可得x 2+(2a +1)x +a 2+3a ≥a 2+3a +1对任意的x ∈[1, 2]上恒成立， 即x 2+(2a +1)x −1≥0对任意的x ∈[1, 2]上恒成立，分离可得2a +1≥1−x 2x =1x −x 对任意的x ∈[1, 2]上恒成立， 令g(x)=1x −x ，x ∈[1, 2]，则可得g(x)在[1, 2]上单调递减， 故g(x)max ＝0，则2a +1≥0，解可得，a ≥−12．(II)由f(x)在区间[m, n]上单调递增，则由题意可得， −1+2a 2≤m 且{f(m)=m f(n)=n即f(x)＝x 在[−1+2a 2, +∞)上有两个不等的实数根， 所以x 2+2ax +a 2+3a ＝0在[−1+2a 2, +∞)上有两个不等的实数根， 令ℎ(x)＝x 2+2ax +a 2+3a ，则可得，{−1+2a 2<−a△=4a 2−12a >0g(−2a+12)=3a +14≥0 ， 解可得，−112≤a <0．故a 的范围为[−112,0)．。

浙江省温州十五校联合体2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题考生须知：1．本卷共4 页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字 .3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸 .一、选择题 (本题共10小题，每小题4分，共40分)1．若过点M (－2，m )，N (m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) []A.1B.4C.1或3D.1或42. 用一个平面去截正方体，则截面不可能是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．正方形D ．正六边形3. 过点M (－3，2)，且与直线x ＋2y －9＝0平行的直线方程是( )A. 2x －y ＋8＝0B. x －2y ＋7＝0C. x ＋2y ＋4＝0D. x ＋2y －1＝0 [4. 圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( )A. (x －1)2＋(y －1)2＝1 B. (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C. (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D. (x －1)2＋(y －1)2＝25. 若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A. 95B. 185C.2910D.2956． 若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于( )A ．10 cm 3B ．20 cm 3C ．30 cm 3D ．40 cm 37. 若P 是两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ）俯视图(第6题图)A ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直B ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行C ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面8. 在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P αα到直线20mx y +-=的距离，当,m α变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ． 3D ．49. 在矩形ABCD 中，若8,6AB AD ==,E 为边AD 上的一点， 13DE AD =，现将ABE ∆沿直线BE 折成A BE '∆，使得点A '在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设直线,A B A C ''与平面BCDE 所成的角分别为αβ，,二面角A BE C '--的大小为γ，则（ ） A ． αβγ<< B ．βγα<< C ．αγβ<< D ． βαγ<<10. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,M N 分别是棱11A D ,CD 的中点，点P 在平面ABCD 内，点Q 在线段BN 上，若PM =，则PQ 长度的最小值为（ ）A1 BC ．55D．5二、填空题 (本大题共7小题，多空题 每小题6分，单空题 每小题4分，共36分) 11. 不论实数m 为何值，直线210mx y m -++=恒过定点 .12. 点(1,2,3)M -是空间直角坐标系Oxyz 中的一点，点M 关于x 轴对称的点的坐标为 ；OM = .13. 已知直线1:40l ax y +-= 与2:(2)10l x a y a +-+-=相交于点1AP ，若l 1⊥l 2，则a ＝________；此时直线1l 的倾斜角为 .14. 已知直线l 垂直于平面α，垂足为O . 在矩形ABCD 中，4,2AB BC ==， 若点A 在直线l 上移动，点B 在平面α上移动，则,O C 两点间的最大距离为 .15. 已知直线:(4)l y k x =+与圆22(2)4x y ++=相交于,A B 两点，M 是线段AB 的中点，则M 的轨迹方程为 ；M 到直线3460x y +-=的距离的最小值为 .16. 已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动，且0BA BC ⋅=，若点M 的坐标为(3,0)，则MA MB MC ++的最大值为 .17. 所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥P ABC -中，M 是PC 的中点，且AM PB ⊥，底面边长AB =P ABC -的外接球的表面积为 ； AM 与底面ABC 所成角的正弦值为 .三、解答题 ( 本大题共5小题，共74分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．（本小题满分14分）已知直线:240l kx y k -++=(k R ∈). (I)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(II)若直线l 交x 轴的负半轴于点A ，交y 轴的正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB ∆的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程.19. （本小题满分15分）已知长方体1111ABCD A B C D -中，12,4,3AD AB AA ===, ,E F 分别是11,AB A D 的中点. （I ）求证: 直线EF ∥平面11BB D D ；(II) 求直线EF 与平面11BCC B 所成角的正弦值 .[20．（本小题满分15分）已知圆22:240C x y x y m ++-+=与y 轴相切，O 为坐标原点，动点P 在圆外，过P 作圆C 的切线，切点为M .（I ） 求圆C 的圆心坐标及半径；(II) 若点P 运动到(2,4)-处，求此时切线l 的方程； (III)求满足条件2PM PO = 的点P 的轨迹方程.21．（本小题满分15分）如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB AD ⊥，矩形EDCF ⊥平面ABCD ，且 2,1AB BC DE AD ====. （Ⅰ）求证：AB AE ⊥；ACA 1（Ⅱ）求证：DF ∥平面ABE ； （Ⅲ） 求二面角B EF D --的正切值 []22. （本小题满分15分）在直角坐标系xOy 中，直线:40l x --=交x 轴于M ，以O 为圆心的圆与直线l 相切 . （I ）求圆O 的方程；（II ）设点00(,)N x y 为直线3y x =-+上一动点，若在圆O 上存在点P ，使得045ONP ∠=,求0x 的取值范围；（III ）是否存在定点S ，对于经过点S 的直线L ，当L 与圆O 交于,A B 时，恒有AMO BMO ∠=∠?若存在，求点S 的坐标；若不存在，说明理由 .2019学年第一学期“温州十五校联合体”期中考试联考高二数学参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1. A2. B3. D4. D5. C6. B7.A8. C9. A 10.C二、填空题 (本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分)11. 12. ； 13. ；； 14.15. ；2 16. 10 17. ；三、解答题 ( 本大题共5小题，共74分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18. （本小题满分14分）解：（I）直线的方程可化为，则直线在y轴上的截距为，………2分要使直线不经过第四象限，则，故的取值范围是. ………6分(II) 依题意，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，且，……8分所以，故，当且仅当，即时取等号，故的最小值为，此时直线的方程为. ………14分19. (本小题满分15分)解：（Ⅰ）取的中点,连接,由条件分别是的中点可知，∥,且,故为平行四边形，所以∥，平面,且平面∥平面………7分（II）平面∥平面, 直线与平面所成角就是直线与平面所成角 . 平面在平面内的射影为，因此就是直线与平面所成角.在中，,，于是直线与平面所成角的正弦值为. ………15分20. (本小题满分15分)解:(I) 由圆方程得，故圆的圆心坐标为 .由于圆与轴相切，则，得，圆的半径为1. ………4分（II）当过点的直线斜率不存在时，此时直线的方程为, 圆的圆心到直线的距离为1，所以直线为圆的切线 .当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，由直线与圆相切得，解得 .此时切线的方程为综上，满足条件的切线l的方程为或………9分（III）设，则，由于，则，整理得的方程为，轨迹为圆心为它，半径为的圆 . ………15分21. (本小题满分15分)解：矩形平面，且平面平面= ,又,平面平面 . 又平面，且平面. 平面，………4分（Ⅱ）取中点,连接,由已知条件易得及为平行四边形，于是////,由于==,故为平行四边形. //面//平面.又//面//平面平面//平面.又平面∥平面………9分（III）过点B作,作，连接由矩形平面，得平面,又………12分所以就是所求二面角的平面角。

P QEF ∥ A′D，截面 P QGH ∥ AD′，
所以 所以
P FAPP∥′HFDA==′DAA，AA′PPP′
H ,
,
∥
AD′，
因为
A′
AD′ D=
AD′A=′A√2，A′P
=
1 − x，
P√F = x ,
所以

2 P√H
=
1 1−x,
解得
P P
2 F= H=
1 √
2x, √
A. 平行
B. 相交
C. 异面
D. 上述三种都有可能
4. 下列结论中错误的是 ( ) A. 若 a ⊥ α，b ⊂ α，则 a ⊥ b C. 若 a ∥α，b ⊂ α，则 a ∥ b
B. 若 a ∥ b，a ⊥ α，则 b ⊥ α D. 若 a ⊥ b，b ⊥ α，则 a ∥α 或 a ⊂ α
5. 设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是 ( )
．
14.
半径为
√ 23
的球内接正方体的表面积为
；体积为
．
15. 已知直线 x − 2y + 1 + λ (1 − x) = 0 与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为 S (λ)，当 λ ∈ (1, +∞)
时，S (λ) 的最小值是
．
16. 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD − A′B′C′D′ 中，AP = BQ = x (0 < x < 1)，截面
对于 B，若 a ∥ b，a ⊥ α，根据线线平行、线面垂直的性质可得 b ⊥ α，故正确；
对于 C，若 a ∥α，b ⊂ α，则 a ∥ b 或异面，故错；

2019-2020学年浙江省温州市十五校联合体高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．经过点(2,)M m -、(,4)N m 的直线的斜率等于1，则m 的值为 A ．1 B ．4C ．1或3D ．1或4【答案】A 【解析】即得选A2．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形【答案】A【解析】用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形； ④截面为六边形时，可以是正六边形． 故可选A ．3．过点(3,2)M -且与直线290x y +-=平行的直线方程是（ ） A ．280x y -+= B ．270x y -+= C ．240x y ++= D ．210x y +-=【答案】D【解析】先由题意设所求直线为：20x y m ++=，再由直线过点(3,2)M -，即可求出结果. 【详解】因为所求直线与直线290x y +-=平行，因此，可设所求直线为：20x y m ++=， 又所求直线过点(3,2)M -，所以340-++=m ，解得1m =-， 所求直线方程为：210x y +-=. 故选：D 【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记直线方程的常见形式即可，属于基础题型. 4．圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ） A ．()()22111x y -+-= B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++= D ．()()22112x y -+-= 【答案】D【解析】试题分析：设圆的方程为()()2211(0)x y m m -+-=>，且圆过原点，即()()220101(0)m m -+-=>，得2m =，所以圆的方程为()()22112x y -+-=.故选D.【考点】圆的一般方程.5．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：.【考点】1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式. 6．若P 为两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ）A ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面 【答案】B【解析】解：因为若点P 是两条异面直线l m ，外的任意一点，则过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直，选B7．在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P αα到直线20mx y +-=的距离，当α，m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由点到直线的距离表示出d，利用辅助角公式和绝对值的三角不等式化简得1d ≤+，即可求出d 的最大值.【详解】由题意，点P 到直线20mx y +-=的距离为d ，则1d ==≤=其中，tan m ϕ=，所以当且仅当()sin 1αϕ+=-，0m =时，d 取得最大值， 即max 3d =. 故选：C 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、三角函数性质、辅助角公式和绝对值的三角不等式的应用，考查学生的转化和计算能力，属于中档题.8．在矩形ABCD 中，若8AB =，6AD =，E 为边AD 上的一点、，13DE AD =，现将ABE ∆沿直线BE 折成A BE '∆，使得点A '在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设直线A B '，A C '与平面BCDE 所成的角分别为α，β，二面角A BE C '--的大小为γ，则（ ）A ．αβγ<<B ．βγα<<C ．αγβ<<D ．βαγ<<【答案】A【解析】画出几何图形，设点A '在平面BCDE 的投影为点O ，证明A MO '∠即二面角A BE C '--的大小，A BO '∠即直线AB '与平面BCDE 所成的角α，A CO '∠即直线A C '与平面BCDE 所成的角β，设OM x =，OB y =，OC z =，则tan A Oxγ'=，tan A O y α'=，tan A Ozβ'=，找到x 、y 、z 的大小关系即可求出答案. 【详解】根据题意，画出几何图形如图所示，设点A '在平面BCDE 的投影为点O ， 作OM BE ⊥交BE 于点M ，连接A M '，则A MO '∠即二面角A BE C '--的大小，即A MO γ'∠=，连接OB ，则A BO '∠即直线A B '与平面BCDE 所成的角α，即A BO α'∠=， 连接OC ，则A CO '∠即直线A C '与平面BCDE 所成的角β，即A CO β'∠=， 设OM x =，OB y =，OC z =，则tan A O x γ'=，tan A O y α'=，tan A Ozβ'=，且α、β、γ为锐角，在OMB △中，2OMB π∠=，所以x y <，即tan γ>tan α，γα>；在A EB 'V 中，2EA B π'∠=，4A E AE '==，'8A B AB ==，所以224845BE =+=8545A M '==， 1tan 2A BM '∠=，所以165MB =， 22222565y OM MB x =+=+，作CN BE ⊥于点N ，2CBE ABE π∠+∠=，2AEB ABE π∠+∠=，所以CBE AEB ∠=∠，即tan 2CBE ∠=， 又6BC =，所以1255CN =， 作OP CN ⊥交CN 于点P ，所以四边形OMNP 是矩形，OM NP x ==，所以22222452445z OP PC x x =+=-+， 222225624524424512555y z x x x x ⎛⎫-=+--+=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 易知0x >，所以220y z ->，即y z >，所以tan tan αβ<，即αβ<；222452445z x x -=-+， 在矩形ABCD 中，作AO BE '⊥且交BE 于点O '， 延长AO '交CD 于O ''，如图所示，2EAO O EA π''∠+∠=，2AEO ABE π'∠+∠=，所以EAO ABE '∠=∠，1tan 2EAO '∠=，又6AD =，所以35AO ''=85AO AM '==，所以75O O AO AO ''''''=-=， 即750,5x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，55x =22245752440555z x -=-+>， 所以z x >，所以tan tan γβ>，即γβ>， 综上所述，γβα>>. 故选：A 【点睛】本题主要考查二面角和线面角的判断、空间中线线、线面和面面间的位置关系，考查学生空间想象能力、数形结合能力和运算能力，属于难题.9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M ，N 分别是棱11A D ，CD 的中点，点P 在平面ABCD 内，点Q 在线段BN 上，若5PM =，则PQ 长度的最小值为（ ）A ．21-B ．2C ．355- D ．35【答案】C【解析】设AD 中点为O ，则MO ⊥平面ABCD ，即MO OP ⊥，由5PM =，得1OP =，得到点P 在以O 为圆心，半径为1的位于平面ABCD 上的半圆上，利用O 到BN 的距离减去半径即可得到PQ 的最小值.【详解】如图，设AD 中点为O ，因为M 为11A D 的中点， 所以MO ⊥平面ABCD ，即MO OP ⊥， 因为5PM =，所以541OP =-=，所以点P 在以O 为圆心，半径为1的位于平面ABCD 上的半圆上， 作平面图如图所示，由图像知，PQ 的最小值即O 到BN 的距离BH 减去半径，1113221112122222OBN S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=V ，145BN =+=，所以3223525OBN S OH BN⨯===V ，所以PQ 的最小值：min 355PQ OH OP -=-=. 故选：C 【点睛】本题主要考查空间中线面、线线的位置关系、求线段长度最小值的方法，考查学生转化能力、数形结合能力和计算能力，属于中档题.二、填空题10．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A ．95B ．185C ．2910D ．295【答案】C【解析】先判定两直线平行，再求出两平行线之间的距离即得解. 【详解】 因为3412=685≠-，所以两直线平行， 将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离， 2229106+8，所以|PQ |的最小值为2910.故选：C. 【点睛】本题主要考查平行直线的判定和两平行线之间的距离的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．不论m 为何值，直线210mx y m -++=恒过定点__________．【答案】(2,1)- 【解析】直线210mx y m -++=可化为(2)(1)0m x y ++-+=，∵m ∈R ，∴2010x y +=⎧⎨-+=⎩，∴2x =-，1y =，∴直线210mx y m -++=经过定点(2,1)-．故答案为：(2,1)-．12．点()1,2,3M -是空间直角坐标系Oxyz 中的一点，点M 从关于x 轴对称的点的坐标为_______；OM =u u u u r_______.【答案】()1,2,3---；【解析】点(),,a b c 关于x 轴对称点的坐标为(),,a b c --，再利用向量模的坐标形式求出OM u u u u r .【详解】由题意，点()1,2,3M -关于x 轴对称点的坐标为()1,2,3---；向量()1,2,3OM =-u u u u r，所以OM ==u u u u r故答案为：()1,2,3---【点睛】本题主要考查空间中点坐标的对称性和空间向量模的求法，属于基础题.13．已知直线1l ：40ax y +-=；与2l ：()210x a y a +-+-=相交于点P ，若12l l ⊥，则a =______；此时直线1l 的倾斜角为________. 【答案】1；34π【解析】利用一般式两直线垂直的性质求出1a =，可得1l ：40x y +-=，由此可求出直线1l 的倾斜角.【详解】由题意，直线1l 与2l 相交于点P ，且12l l ⊥， 则()1120a a ⨯+⨯-=，解得1a =；所以直线1l ：40x y +-=，直线1l 的斜率为1-， 所以直线1l 的倾斜角为34π. 故答案为：1；34π 【点睛】本题主要考查两直线垂直的性质和直线斜率和倾斜角的求法，属于基础题.14．己知直线l 垂直于平面α，垂足为O .在矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，若点A 在直线l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，C 两点间的最大距离为________.【答案】222+【解析】设AB 中点为P ，由OC OP CP ≤+求解出OC 的最大值. 【详解】由题意，直线l 垂直于平面α，所以AOB V 是直角三角形， 设AB 中点为P ，则122OP AB ==， 连接CP ，则22222CP =+=由图像知，222OC OP CP OP CP =+≤+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r当且仅当O 、P 、C 三点共线时等号成立， 所以max 222OC =+故答案为：222+ 【点睛】本题主要考查向量三角不等式的应用，考查学生数形结合和转化能力，属于中档题. 15．已知直线l ：()4y k x =+与圆()2224x y ++=相交于A ，B 两点，M 是线段AB的中点，则M 的轨迹方程为____________；M 到直线3460x y +-=的距离的最小值为_______.【答案】()()22314x y x ++=≠-； 2【解析】由题意知直线()4y k x =+过定点()4,-0，设点(),M x y ，()4,0-A ，()()111,4B x y x ≠-，用x 、y 分别表示出1x 和1y ，即可求出M 的轨迹方程；再利用点到直线的距离公式求解M 到直线3460x y +-=的距离的最小值即可. 【详解】由题意，直线()4y k x =+过定点()4,-0， 代入圆方程中，()224204-++=，成立， 故()4,-0为直线和圆的一个交点，设(),M x y ，()4,0-A ，()()111,4B x y x ≠-，因为M 是AB 中点，所以11422x x y y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒11242x x y y =+⎧⎨=⎩， 点B 在圆上，故()()2224224x y +++=， 整理得，()()22314x y x ++=≠-，所以点M 的轨迹是以()3,0-为圆心，1为半径的圆，不包含()4,-0；则点M 到直线3460x y +-=距离的最小值为()3,0-到直线的距离减去半径，12=.故答案为：()()22314x y x ++=≠-；2 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆的性质和点到直线的距离公式，考查学生转化和计算能力，属于中档题.16．已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且0BA BC ⋅=u u u r u u u r，若点M 的坐标为()3,0，则MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r的最大值为________.【答案】10【解析】由0BA BC ⋅=u u u r u u u r可知AC 为圆的直径，设圆心()0,0O ，利用平面向量不等式整理226MA MB MC MO MB MO MB MB ++=+≤+=+u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r，当B 取()1,0-时，MB u u u r 取最大值，即可求出MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r的最大值.【详解】根据题意，0BA BC ⋅=u u u r u u u r，所以AC 为圆的直径， 设AC 的中点即圆心为O ，()0,0O ，则226MA MB MC MO MB MO MB MB ++=+≤+=+u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r，当且仅当MO u u u u r 和MB u u u r同向时取等号，且当B 取()1,0-时，MB u u u r 取最大值，此时4MB =u u u r， 所以6410MA MB MC ++≤+=u u u r u u u r u u u u r，即MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r的最大值为10.故答案为：10 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量不等式的应用，考查学生转化能力，属于中档题.17．所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥P ABC -中，M 是PC 的中点，且AM PB ⊥，底面边长2AB =，则正三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________；AM 与底面ABC 所成角的正弦值为____________. 【答案】3π；1515【解析】取AC 中点为N ，连接PN 和BN ，利用线面垂直求出PB ⊥平面PAC ，由三棱锥的性质可得PA 、PB 、PC 两两垂直，由外接球半径2222PA PB PC R ++=即可求得三棱锥P ABC -外接球的表面积；再由顶点在底面上的射影为底面三角形中心，找到点M 在在平面ABC 的投影M '为OC 中点，找出线面角即MAM '∠，求出相应线段长，即可求出AM 与底面ABC 所成角的正弦值. 【详解】作正三棱柱P ABC -如图所示，取AC 中点为N ，连接PN 和BN ，则PN AC ⊥，BN AC ⊥，且BN PN N =I ， 所以AC ⊥平面BPN ，又PB ⊂平面BPN ，所以AC PB ⊥，又AM PB ⊥，且AC AM A ⋂=，所以PB ⊥平面PAC ， 所以由正三棱锥的性质，PA 、PB 、PC 两两垂直， 因为2AB =，所以1PA PB PC ===，所以正三棱锥的外接球半径2223PA PB PC R ++==正三棱锥的外接球表面积223443S R πππ==⨯=⎝⎭；由题，正三棱锥顶点P 在底面上的射影为底面三角形中心O ， 点M 为PC 中点，所以M 在平面ABC 的投影M '在OC 上，且M '为OC 中点，连接AM '，则MAM '∠即AM 与底面ABC 所成角，因为2APC π∠=，1PA =，12PM =，所以2AM =,因为2POB π∠=，1PB =，223OB ==PO =，又12MM PO '=，所以MM '=，所以sin MM MAM AM ''∠==即MAM '∠即AM 与底面ABC 所成角的正弦值为15.故答案为：3π 【点睛】本题主要考查空间中线面垂直的证明与性质、正三棱锥外接球表面积的求法以及线面角的求法，考查学生数形结合能力和计算能力，属于中档题.三、解答题18．已知直线l ：240kx y k -++=（k ∈R ）. （1）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴的负半轴于点A ，交y 轴的正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB ∆的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程.【答案】（1）0k ≥；（2）min 16S =，直线l ：280x y -+= 【解析】（1）将直线方程化为斜截式42y kx k =++，再由0420k k ≥⎧⎨+≥⎩解出k 的范围；（2）用k 表示出OA 和OB ，三角形面积12882S OA OB k k=⋅=++，利用基本不等式求出最小值，取等号时刻求出k 的值，由此可得直线l 的方程. 【详解】（1）由题意，直线l ：240kx y k -++=，即42y kx k =++， 因为直线l 不经过第四象限，所以0420k k ≥⎧⎨+≥⎩，解得0k ≥；（2）由题意知，0k >， 当0y =时，42k x k +=-，即点42,0k A k +⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当0x =时，42y k =+，即点()42,0B k +，所以42k OA k+=，42OB k =+， 所以AOB ∆的面积()11422428822k S OA OB k k k k+=⋅=⨯⨯+=++， 因为0k >，所以228828816k k k k++≥⋅+=， 当且仅当28k k=，即12k =时等号成立，故S 的最小值min 16S =，12k =时，直线l ：280x y -+=. 【点睛】本题主要考查直线方程和基本不等式的应用，属于基础题.19．己知长方体1111ABCD A B C D -中，2AD =，4AB =，13AA =，E ，F 分别是AB ，11A D 的中点.（1）求证：直线//EF 平面11BB D D ；（2）求直线EF 与平面11BCC B 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）147【解析】（1）设BD 中点为O ，证明四边形1OEFD 为平行四边形，得到1//EF OD ，再利用线面平行判断定理证明即可；（2）将直线EF 与平面11BCC B 所成角转化成直线EF 与平面11ADD A 所成角，AFE∠即线面角，求出相应长度，求解sin AFE ∠即可. 【详解】（1）设BD 中点为O ，且E 是AB 中点， 所以//OE AD ，且12OE AD =， 又AD 与11A D 平行且相等，且F 为11A D 的中点，所以1//OE D F ，且1=OE D F ，四边形1OEFD 为平行四边形， 所以1//EF OD ，又EF ⊄平面11BB D D ，1OD ⊂平面11BB D D ， 故直线//EF 平面11BB D D ；（2）因为1111ABCD A B C D -为长方体， 所以平面11//BCC B 平面11ADD A ，所以直线EF 与平面11BCC B 所成角即直线EF 与平面11ADD A 所成角， 因为EA ⊥平面11ADD A ，所以点A 为点E 在平面11ADD A 的投影， 连接EF 、AF ，则AFE ∠即直线EF 与平面11ADD A 所成角， 在AEF V 中，122AE AB ==，2221114EF A F AA AE =++= 所以14sin 714AE AFE EF ∠===， 即直线EF 与平面11BCC B 所成角的正弦值为147. 【点睛】本题主要考查线面平行的证明和线面角的求法，考查学生空间想象能力和转化能力，属于中档题.20．已知圆C ：22240x y x y m ++-+=与y 轴相切，O 为坐标原点，动点P 在圆外，过P 作圆C 的切线，切点为M . （1）求圆C 的圆心坐标及半径；（2）若点P 运动到()2,4-处，求此时切线l 的方程； （3）求满足条件2PM PO =的点P 的轨迹方程.【答案】（1）圆心()1,2C -，半径为1；（2）2x =-或34100x y +-=；（3）22332440x y x y +-+-=【解析】（1）将圆C 化为标准方程()()22125x y m ++-=-，由圆C 与y 轴相切得51m -=，求得m 及半径即可；（2）分别考虑切线l 斜率存在与不存在两种情况，利用圆心到切线的距离等于半径，即可求出切线方程；（3）设点(),P x y ，分别求出PM 和PO 的长度，利用2PM PO =求出点P 轨迹方程. 【详解】（1）由题意，圆C 的方程可化为()()22125x y m ++-=-， 因为圆C 与y 轴相切，所以51m -=，得4m =， 所以圆C ：()()22121x y ++-=， 圆C 的圆心()1,2C -，半径为1；（2）由题意，当直线斜率不存在时，直线l ：2x =-， 圆心到直线l 的距离()121---=，此时直线与圆C 相切； 当直线斜率存在时，设直线l ：()24y k x =++， 圆心到直线l 的距离1d ==，解得34k =-，所以直线l ：34100x y +-=；综上，切线l 的方程为2x =-或34100x y +-=； （3）设点(),P x y ，()()22222121PM PC MC x y =-=++--， 222PO x y =+，由2PM PO =，得224PMPO =，所以()()()22221214x y x y++--=+，整理得，22332440x y x y +-+-=，即点P 的轨迹方程：22332440x y x y +-+-=【点睛】本题主要考查圆的方程、圆切线方程的求法、切点弦长度的求法和轨迹方程的求法，注意求切线方程时考虑切线斜率存在和不存在两种情况，属于中档题.21．如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AD ⊥矩形EDCF ⊥平面ABCD ，且2AB BC DE ===，1AD =.（1）求证：AB AE ⊥； （2）求证：DF P 平面ABE ； （3）求二面角B EF D --的正切值.【答案】（1）见解析；（2）见解析（3）正切值为255． 【解析】（1）推导出DE ⊥平面ABCD ，DE ⊥AB ，从而AB ⊥平面ADE ，由此能证明AB ⊥AE ．（2）以D 为原点，DA 为x 轴，过D 作AB 的平行线为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DF ∥平面ABE ．（3）求出平面DEF 的法向量和平面BEF 的法向量，利用向量法能求出二面角B ﹣EF ﹣D 的正切值． 【详解】（1）证明：∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，矩形EDCF ⊥平面ABCD ， ∴DE ⊥平面ABCD ，∴DE ⊥AB ， ∵AD ∩DE ＝D ，∴AB ⊥平面ADE ， ∵AE ⊂平面ADE ，∴AB ⊥AE ．（2）证明：以D 为原点，DA 为x 轴，过D 作AB 的平行线为y 轴，DE 为z 轴， 建立空间直角坐标系，A （1，0，0），B （1，2，0），E （0，0，2），D （0，0，0），F （﹣1，2，2），DF =u u u r （﹣1，2，2），AB =u u u r （0，2，0），AE =u u u r（﹣1，0，2）， 设平面ABE 的法向量n =r（x ，y ，z ），则2020n AB y n AE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取z ＝1，得n =r （2，0，1）， ∵DF n ⋅=u u u r r0，DF ⊄平面ABE ，∴DF ∥平面ABE ．（3）解：DE =u u u r （0，0，2），DF =u u u r （﹣1，2，2），BE =u u u r （﹣1，﹣2，2），BF =u u u r（﹣2，0，2），设平面DEF 的法向量n =r（x ，y ，z ），则20220n DE z n DF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取y ＝1，得n =r（2，1，0）， 设平面BEF 的法向量m =r（x ，y ，z ），则220220m BE x y z m BF x z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取x ＝1，得m =r （1，12，1）．设二面角B ﹣EF ﹣D 的平面角为θ，则cosθ5232m n m n ⋅===⋅r rr rsinθ23==． ∴tanθ5sin cos θθ==． ∴二面角B ﹣EF ﹣D的正切值为5．【点睛】本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基知识，考查运算求解能力，是中档题．22．在直角坐标系xOy 中，直线l ：340x -=交x 轴于M ，以O 为圆心的圆与直线l 相切.（1）求圆O 的方程；（2）设点()00,N x y 为直线3y x =-+上一动点，若在圆O 上存在点P ，使得45ONP ∠=︒，求0x 的取值范围；（3）是否存在定点S ，对于经过点S 的直线L ，当L 与圆O 交于A ，B 时，恒有AMO BMO ∠=∠？若存在，求点S 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）224x y +=；（2）0373722x -≤≤；（3）()1,0，证明见解析 【解析】（1）已知圆心()0,0O ，由点到直线的距离为半径，求出半径，即可得到圆O 的方程；（2）当NP 与圆O 相切时ONP ∠最大，可得22sin 452ON ≥︒=，求解出0x 的取值范围；（3）讨论直线斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时，易知点S 存在；当斜率存在时，由AMO BMO ∠=∠可得0AM BM k k +=，设直线方程并代入圆方程，由韦达定理求出m k =-，即可求出定点S . 【详解】（1）由题意，圆心()0,0O ，直线l 与圆O 相切，所以圆心到直线l 的距离即半径()22442231r -===+， 所以圆O ：224x y +=；（2）由题意，当NP 与圆O 相切时ONP ∠最大， 此时2sin OP ONP ON ON∠==， 在圆O 上存在点P ，使得45ONP ∠=︒， 即22sin 452ON ≥︒=，22ON ≤， 设点()00,3N x x -，则()22003ON x x =+-，所以()2200322x x +-≤，解得03737x -+≤≤；（3）当直线L 斜率不存在时，L 与圆O 交于A 、B 两点， 则点A 和点B 关于x 轴对称，点M 在x 轴上，当0y =时，4x =，所以()4,0M ， 所以AMO BMO ∠=∠成立，点S 存在； 当直线L 斜率存在时，设直线L ：y kx m =+，代入圆O 方程，并整理得，()2221240k x kmx m +++-=， 设点()11,A x y ，点()22,B x y ，则12221km x x k +=-+，212241m x x k -⋅=+，若AMO BMO ∠=∠成立，即0AM BM k k +=，故1212044kx m kx m x x +++=--，整理得()()12122480kx x k m x x m --+-=，第 21 页 共 21 页 将12221km x x k +=-+，212241m x x k -⋅=+代入得， ()22242248011m km k k m m k k -+--=++，化简得m k =-， 所以直线L ：()1y k x =-，恒过定点()1,0.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系和求定点问题，考查学生转化能力和计算能力，属于中档题.。

浙江省2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）1.设集合A={x|x-1≤0}，B={x|x2-x-6＜0}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.已知lg2=a，lg3=b，则lg120=（）A. B. C. D.3.若实数x，y满足约束条件，则2x+3y的最大值是（）A. 11B. 10C. 5D. 94.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且C，A，B成等差数列，a=3，c=2b，则△ABC的面积为（）A. B. C. D.5.若α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A. 若,,则B. 若,,,则C. 若,,则D. 若,,,则6.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，则=（）A. B. 5 C. D. 257.已知{a n}是等比数列，a2=2，，则a1a3+a2a4+…+a n a n+2=（）A. B. C. D.8.在正四面体ABCD中，异面直线AB与CD所成的角为α，直线AB与平面BCD所成的角为β，二面角C-AB-D的平面角为γ，则α，β，γ的大小关系为（）A. B. C. D.9.设函数f（x）满足f（-x）=f（x），当x1，x2∈[0，+∞）时都有，且对任意的，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.10.已知平面向量，满足，则对任意共面的单位向量，的最大值是（）A. B. C. 3 D. 2二、填空题（本大题共7小题）11.在等差数列{a n}中，若a3+a6+a9=24，则a6=______，S11=______．12.几何体的三视图如图，正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，则几何体的体积为______，几何体的外接球的直径为______．13.若直线l的倾斜角α是直线x-2y-6=0的倾斜角的2倍，则tanα=______，=______．14.已知a，b是正实数，且a+2b-3ab=0，则ab的最小值是______，a+b的最小值是______．15.在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若b2=ac，且a=b cos A，则cos B=______．16.正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论：①异面直线AB与CD所成的角为60°；②AC⊥BD；③△ACD是等边三角形；④二面角A-BC-D的平面角正切值是；其中正确结论是______．（写出你认为正确的所有结论的序号）17.已知a是实数，若对于任意的x＞0，不等式恒成立，则a的值为______．三、解答题（本大题共5小题）18.已知函数．（1）求函数的最小正周期和对称轴；（2）当时，求函数f（x）的值域．19.如图，矩形ABCD所在的平面垂直于△BCE所在的平面，BC=CE，F为CE的中点．（1）证明：AE∥平面BDF；（2）若P、M分别为线段AE、CD的动点．当BE⊥PM时，试确定点P的位置，并加以证明．20.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是2，∠CAA1=60°，A1B=3，D，D1分别是AC，A1B1的中点．（1）证明：DD1∥平面BCC1B1；（2）求直线CC1与平面ABC所成角的正弦值．221.已知数列{a n}满足a1=1，数列是公比为3的等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当n≥2时，证明：；（3）设数列的前n项和为S n，证明：．22.已知函数f（x）=x2+ax+b．（1）若b=3时，不等式f（x）≤x对x∈[1，4]恒成立，求a的取值范围；（2）若函数f（x）在区间[0，2]上有两个不同的零点，求a-2b的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由A={x|x-1≤0}={x|x≤1}，B={x|x2-x-6＜0}={x|-2＜x＜3}，则A∩B={x|-2＜x≤1}，故选：B．分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵lg2=a，lg3=b，∴lg120=lg（10×3×4）=lg10+lg3+2lg2=1+b+2a．故选：C．由已知结合对数的运算性质求解lg120．本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．3.【答案】A【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，3），令z=2x+3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×1+3×3=11．故选：A．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．4.【答案】B【解析】解：△ABC中，因C，A，B成等差数列，C+B=2A，又A+B+C=π，∴A=，由余弦定理知：a2=b2+c2-2bc×cos A，又a=3，c=2b，∴32=b2+（2b）2-2b×2b×cos，得b=，∴c=2b=2，∴△ABC的面积为b×c×sin A=．故选：B．由C，A，B成等差数列及三角形内角和求出角A，再利用已知条件和余弦定理求出b和c，然后由三角形面积公式b×c×sin A，计算出答案．本题结合三角形考查了余弦定理，三角形面积，等差数列等知识运用，考查了学生计算4化简技巧与能力，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：由α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：在A中，若m⊥n，n∥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误；在B中，若n⊥β，n⊥α，可得α∥β，由m⊥β，由线面垂直的判定定理得m⊥α，故B正确；在C中，若m∥β，β⊥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故C错误；在D中，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故D错误．故选：B．在A中，m与α相交、平行或m⊂α；在B中，由线面垂直的判定定理得m⊥α；在C 中，m与α相交、平行或m⊂α；在D中，m与α相交、平行或m⊂α．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．6.【答案】C【解析】解：如图，∵∠C=90°，∴，∴，且BC=5，∴=．故选：C．根据∠C=90°即可得出，从而带入进行数量积的运算即可求出．本题考查了向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：因为{a n}是等比数列，a2=2，，所以公比q=，因为，a1a3=4，所以a1a3+a2a4+…+a n a n+2=，故选：D．由知{a n}是等比数列可得{a n a n+2}为等比数列，根据等比数列的求和公式即可求和．本题主要考查等比数列的通项公式及前n项和公式，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：过A作A在底面的射影O，∵A-BCD是正四面体，∴O是底面的中心，取BC的中点E，连结OB，OE，AE，则∠ABO是侧棱AB与底面BCD所成的角，即β=∠ABO二面角C-AB-D的平面角和侧面ABC与底面BCD所成的角相等，又侧面ABC与底面BCD所成的角为∠AEO，∴γ=∠AEO，在正四面体A-BCD中，AB⊥CD，即异面直线AB与CD所成的角为α=90°，∵sinβ=sin∠ABO=，sinγ=sin∠AEO=，∵AB＞AE，∴＜，即sinβ＜sinγ，则β＜γ＜90°，即β＜γ＜α，故选：D．分别根据异面直线所成角的定义，线面角的定义，以及二面角的定义确定α，β，γ的大小即可得到结论．本题考查空间角大小计算，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】A【解析】解：由题意得：f（x）是偶函数且f（x）在（0，+∞）递增，故f（x）在（-∞，0）递减，时，x-2∈[-，-1]，故f（x-2）≥f（1），若任意的，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，则时，|ax+1|≤1恒成立，故-1≤ax+1≤1，x∈[，1]，故-2≤ax≤0，x∈[，1]，故-≤a≤0，x∈[，1]，而a≥（-）max=-2，故-2≤a≤0，故选：A．根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了函数的奇偶性，单调性问题，考查函数恒成立以及转化思想，是一道常规题．10.【答案】B【解析】解：根据题意，cos＜，＞==，不妨设=（4，0），=（1，），=（cosθ，sinθ），则=|4cosθ|-|cosθ+sinθ|=3cosθ-sinθ=sin（θ-），所以最大值为2，故选：B．由条件可知，夹角为，用特殊值法表示出，，列出即可求出其最大值．本题考查平面向量数量积及其运算，用特殊值法进行运算是关键，属于中档题．11.【答案】8 88【解析】解：在等差数列{a n}中，若a3+a6+a9=3a6=24，则a6=8，故S11==11a6=88，故答案为：8；88．由题意利用等差数列的性质求出a6的值，再利用等差数列的求和公式求出S11的值．本题主要考查等差数列的性质、等差数列的求和公式，属于基础题．12.【答案】 2【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图，是列出为2的正方体的一部分，是四棱锥P-ABCD，几何体的体积为：=．四棱锥的外接球就是正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的体对角线的长度，可得外接球的直径：=2．故答案为：；2．6画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积，求出外接球的半径，然后求解直径即可．本题考查三视图求解几何体的体积，外接球的直径的求法，是中档题．13.【答案】【解析】解：由题意可得：tan=．∴tanα==．∴=====．故答案为：，．由题意可得：tan=．理念倍角公式可得tanα．利用倍角公式、同角三角函数基本关系式化简，代入tanα即可得出．本题考查了倍角公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：①因为a，b是正实数，且a+2b-3ab=0，所以3ab=a+2b≥，所以或（舍），所以ab≥，所以ab的最小值为；②由a，b是正实数，且a+2b-3ab=0，可得，所以a+b==≥=，当且仅当，即a=，b=，所以a+b的最小值为．故答案为：；．①根据条件可得3ab=a+2b≥，解不等式可得ab的最小值；②根据条件可得，然后由a+b=，利用基本不等式求出最小值即可．本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属中档题．15.【答案】【解析】解：∵b2=ac，且a=b cos A，∴a=b•，∴b2+c2-a2=2ac=2b2，∴a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．由余弦定理，有cos B=，∴cos B====cos2A=sin2B=1-cos2B，∴cos2B+cos B-1=0，∴cos B=或（舍），故答案为：．根据条件可知△ABC为直角三角形，然后用余弦定理经过转化得到关于cos B的一元二次方程，再求出cos B即可．本题考查了勾股定理的逆定理，余弦定理和同角三角函数的基本关系，考查了转化思想和计算能力，属中档题．16.【答案】①②③④【解析】解：取BD中点O，连结AO，CO，∵正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，∴以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，设OC=1，则A（0，0，1），B（0，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），=（0，-1，-1），=（-1，1，0），cos＜，＞===-，∴异面直线AB与CD所成的角为60°，故①正确；=（1，0，-1），=（0，2，0），∵=0，∴AC⊥BD，故②正确；∵OA=OC=OD=1，OA，OC，OD两两垂直，∴AC=CD=AD=，∴△ACD是等边三角形，故③正确；平面BCD的法向量=（0，0，1），=（0，1，1），=（1，1，0），设平面ABC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，1），cos＜＞=，∴sin＜＞==．∴二面角A-BC-D的平面角正切值是：=，故④正确．故答案为：①②③④．取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】【解析】解：设y=（4a-2）x+，y=x2+ax-，由△=a2+＞0，可得y=x2+ax-的图象与x轴有两个交点，分别作出y=（4a-2）x+，y=x2+ax-的图象，可得4a-2≥0，不满足题意；则4a-2＜0，即a＜，且y=（4a-2）x+经过二次函数y=x2+ax-图象的B（x2，0），即有（4a-2）x2+=0，即x2=，代入x2+ax-=0，化为48a2-40a+7=0，解得a=或a=＞（舍去），故答案为：．设y=（4a-2）x+，y=x2+ax-，分别作出y=（4a-2）x+，y=x2+ax-的图象，讨论4a-2≥0，不符题意；4a-2＜0，且y=（4a-2）x+经过二次函数y=x2+ax-图象的B（x2，0），将B 的坐标分别代入一次函数和二次函数解析式，解方程可得a，检验可得所求值．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用一次函数和二次函数的图象，考查转化思想8和方程思想、以及数形结合思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵，=4cos x（+sin x），=4cos x（）=6sin x cosx-2cos2x，=3sin2x-（1+cos2x）=2sin（2x-）-，∴T=π，由2x-=可得对称轴x=，k∈Z，（2）由，可得，∴sin（2x-），2sin（2x-）-，∴2sin（2x-）-，函数f（x）的值域为[-3-，]．【解析】（1）结合两角差的正弦公式，二倍角，辅助角公式对已知函数进行化简，然后根据正弦函数的性质可求；（2）由，可求，结合正弦函数的性质可求值域．本题主要考查了利用和差角，二倍角，辅助角公式对三角函数化简，及正弦函数性质的综合应用，属于中档试题．19.【答案】解：（1）证明：连结AC，交BD于点O，连结OF，∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC的中点，又F为EC的中点，∴OF∥AE，∵OF⊂面BDF，AE⊄面BDF，∴AE∥面BDF．（2）解：当PM⊥BE时，点P为AE的中点．证明如下：取BE的中点H，连结DP，PH，CH，∵P为AE的中点，H为BE的中点，∴PH∥AB．又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四点共面，∵面ABCD⊥面BCE，且面ABC∩面BCE=BC，CD⊥BC，CD⊂面ABCD，∴CD⊥面BCE，又BE⊂面BCE，∴CD⊥BE，∵BC=CE，且H为BE的中点，∴CH⊥面BCE，又CH∩CD=C，且CH，CD⊂面DPHC，∴BE⊥平面DPHC，又PM⊂平面DPHC，∴PM⊥BE．【解析】（1）连结AC，交BD于点O，连结OF，推导出OF∥AE，由此能证明AE∥面BDF．（2）取BE的中点H，连结DP，PH，CH，推导出PH∥AB．PH∥CD，从而P，H，C，D四点共面，推导出CD⊥面BCE，CD⊥BE，从而CH⊥面BCE，进而BE⊥平面DPHC，由此能证明PM⊥BE．本题考查线面平行的证明，考查满足线线垂直的条件是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题．20.【答案】解：（1）证明：取A1C1中点M，连结DM，D1M，∵D1M是A△A1B1C1的中位线，∴D1M∥B1C1，∵D1M⊄平面BCC1B1，∴DM∥平面BCC1B1，又DD1⊂平面DMD1，∴DD1∥平面BCC1B1．（2）解：CC1∥AA1，∴直线CC1与平面ABC所成角的正弦值就是直线AA1与平面ABC所成角的正弦值，连结DB，DA1，作A1H⊥BD于H，连结AH，由条件知△AA1C是正三角形，∴AC⊥DA1，同理，AC⊥DB，又∵DB∩DA1=D，∴AC⊥平面BDA1，∵A1H⊂平面BDA1，且A1H⊥BD，∴A1H⊥平面ABC，∴∠A1AH就是直线CC1与平面ABC所成角，由条件知DB=DA1=，∴cos∠BDA1=-，∴∠BDA1=120°，∴∠A1DH=60°，A1H=，∵AA1=2，∴sin∠A1AH==，∴直线CC1与平面ABC所成角的正弦值为．【解析】（1）取A1C1中点M，连结DM，D1M，推导出D1M∥B1C1，由此能证明DD1∥平面BCC1B1．（2）由CC1∥AA1，得直线CC1与平面ABC所成角的正弦值就是直线AA1与平面ABC所成角的正弦值，连结DB，DA1，作A1H⊥BD于H，连结AH，推导出AC⊥DA1，AC⊥DB，从而AC⊥平面BDA1，进而A1H⊥平面ABC，∠A1AH就是直线CC1与平面ABC所成角，由此能求出直线CC1与平面ABC所成角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：（1）数列是公比为3，首项为的等比数列，所以，即．（2）证明：当n≥2时，，所以原式成立．（3）证明：当n=1时，，当n≥2时，=，所以成立．【解析】（1）考察等比数列求通项公式；（2）放缩法证明不等式；（3）先写出数列的前n项和为S n，构造等比数列证明不等式．（1）求等比数列通项公式，基础题；（2）放缩法证明不等式，这里用糖水不等式解决了问题；（3）利用放缩法证明不等式，关键是根据（2）变成等比数列求和，中档题．22.【答案】解：（1）由题意可得，f（x）=x2+ax+3≤x对x∈[1，4]恒成立，变形可得：ax≤-x2+x-3对x∈[1，4]恒成立，则a≤-x-+1对x∈[1，4]恒成立，设g（x）=-（x+）+1，x∈[1，4]，则g（x）在[1，]上单调递增，[，4]上单调递减，又由g（1）=-3，g（4）=-，则g（1）＞g（4），故g（x）min=g（4）=-，∴必有a，∴a的取值范围是（-∞，]；（2）根据题意，若f（x）在区间[0，2]上有两个不同的零点，则有，即，由线性规划，画出约束条件表示的可行域，以a为横轴，b为纵轴，如图，黑色为可行10域，A（-4，4）∴-12＜a-2b＜0，∴a-2b的取值范围是（-12，0）．【解析】（1）由题意可得，ax≤-x2+x-3对x∈[1，4]恒成立，变形化为a≤-x-+1对x∈[1，4]恒成立，构造函数g（x）=-（x+）+1，x∈[1，4]，根据对勾函数的图象性质知g（x）在[1，]上单调递增，[，4]上单调递减，又由g（1）＞g（4），求出a的取值范围；（2）根据题意，找到f（x）在区间[0，2]上有两个不同的零点所满足的条件，利用线性规划来解决．本题考查了利用参变分离、对勾函数的图象性质来解决恒成立问题，利用线性规划来解决取值范围，属于难题．。

浙江省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（二）（考试时间100分钟满分120分）一、单项选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．1．不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）2．已知数列，…是这个数列的第（）项．A．10 B．11 C．12 D．213．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π4．若关于x的不等式mx+2＞0的解集是{x|x＜2}，则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．25．已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d=2，则a5=（）A．6 B．9 C．25 D．316．已知a，b是异面直线，直线c∥a，那么c与b（）A．一定是异面B．一定是相交直线C．不可能是相交直线D．不可能是平行直线7．下列结论成立的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，c＜d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c8．下列结论中正确的是（）A．若a＞0，则（a+1）（+1）≥2 B．若x＞0，则lnx+≥2C．若a+b=1，则a2+b2≥D．若a+b=1，则a2+b2≤9．设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若α∥β，a⊂α，b⊂β则a∥b D．若a∥α，a⊥b，则b⊥α10．在等比数列{a n}中，已知a4=3a3，则+++…+=（）A．B．C．D．11．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°12．已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（ ）A ．B ．C ．D ．13．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a ，则该四面体的体积的最大值为（ ）A ．a 3B ．a 3 C ． a 3D ． a 314．已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n =16a 12，则+的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．不存在15．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 是线段B 1D 上的两个动点，且EF=，则下列结论错误的是（ ）A ．AC ⊥BFB ．直线AE 、BF 所成的角为定值C ．EF ∥平面ABCD ．三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值16．设函数f （x ）=x 2﹣4x +3，若f （x ）≥mx 对任意的实数x ≥2都成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[﹣2﹣4，﹣2+4]B ．（﹣∞，﹣2﹣4]∪[﹣2+4，+∞）C ．[﹣2+4，+∞） D ．（﹣∞，﹣]17．已知数列{a n }的通项公式为，则数列{a n }（ ）A．有最大项，没有最小项B．有最小项，没有最大项C．既有最大项又有最小项D．既没有最大项也没有最小项18．已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T=+的最小值为（）A．B．2 C． D．4二、填空题：本大题共4小题，共7空，每空4分，共28分．19．一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为，表面积为．20．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，且a2=3，又a4、a5、a8成等比数列，则a n，使S n最大的序号n的值．21．若x＞0，y＞0，且+=1，则x+3y的最小值为；则xy的最小值为．22．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是．三、解答题：本大题共3小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．已知f（x）=ax2+x﹣a，a∈R（1）若a=1，解不等式f（x）≥1；（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．24．如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．（Ⅰ）求证：SB=SD；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为棱SA的中点，求证：DM∥平面SBC．25．各项均为正数的数列{a n}中，a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，对任意n∈N*，有2S n=2pa n2+pa n﹣p（p∈R）（1）求常数p的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记b n=，求数列{b n}的前n项和T．参考答案一、单项选择题1．D 2．B 3．C 4．A．5．B．6．D．7．D．8．C．9．B．10．D．11．A．12．C 13．C．14．A 15．B．16．D 17．C．18．D．二、填空题19．解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的后侧面SAC与底面垂直，高SO为，如图：其中OA=OB=OC=1，SO⊥平面ABC，AB=BC=，SA=SB=SC=2，底面△ABC的面积为：，后侧面△SAC的面积为：，左右两个侧面△SAB和△SBC的底面边长为，两腰长为2，故底边上的高为：=，故左右两个侧面△SAB和△SBC的面积为：，故几何体的表面积：，几何体的体积V==，故答案为：，20．解：设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，∵a2=3，a4，a5，a8成等比数列，∴，又d≠0，解得a1=5，d=﹣2，∴a n=5﹣2（n﹣1）=﹣2n+7；∴S n==﹣n2+6n=﹣（n﹣3）2+9，∴当n=3时，S n取到最大值为9，故答案为：=﹣2n+7；3．21．解：∵x，y＞0，且+=1，∴x+3y=（x+3y）（+）=10++≥10+6=16，当且仅当=即x==y取等号．因此x+3y的最小值为16．∵x＞0，y＞0，且+=1，∴1≥2，化为xy≥12，当且仅当y=3x时取等号．则xy的最小值为12．故答案为：16，1222．解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M===，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O===，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是[]．故答案为：[]．三、解答题23．解：（1）若a=1，不等式f（x）≥1可化为：x2+x﹣1≥1，即x2+x﹣2≥0，解得：x∈（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞），（2）若a＜0，不等式f（x）≥1可化为：ax2+x﹣a﹣1＞0，即（x﹣1）（x+）＜0，当﹣＜1，即a＜﹣时，不等式的解集为（﹣，1）；当﹣=1，即a=﹣时，不等式的解集为∅；当﹣＞1，即﹣＜a＜0时，不等式的解集为（1，﹣）．24．证明：如图示：（Ⅰ）设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC=CD知，CO⊥BD，又已知SC⊥BD，SC⊥CO=C，所以BD⊥平面SOC，所以BD⊥SO，即SO是BD的垂直平分线，所以SB=SD，（Ⅱ）取AB中点N，连接DM，MN，DN，∵M是SA的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是正三解形，∴DN⊥AB，∵∠BCD=120°得∠CBD=30°，∴∠ABC=90°，即BC⊥AB，所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BSC，故DM∥平面SBC．25．解：（1）∵a 1=1，对任意的n ∈N*，有2S n =2pa n 2+pa n ﹣p ∴2a 1=2pa 12+pa 1﹣p ，即2=2p +p ﹣p ，解得p=1； （2）2S n =2a n 2+a n ﹣1，①2S n ﹣1=2a n ﹣12+a n ﹣1﹣1，（n ≥2），②①﹣②即得（a n ﹣a n ﹣1﹣）（a n +a n ﹣1）=0， 因为a n +a n ﹣1≠0，所以a n ﹣a n ﹣1﹣=0，∴（3）2S n =2a n 2+a n ﹣1=2×，∴S n =，∴=n •2nT n =1×21+2×22+…+n •2n ③又2T n =1×22+2×23+…+（n ﹣1）•2n+n2n +1 ④④﹣③T n =﹣1×21﹣（22+23+ (2)）+n2n +1=（n ﹣1）2n +1+2∴T n =（n ﹣1）2n +1+2。