2019高考数学文一轮分层演练：第4章三角函数与解三角形 第6讲 Word版含解析

一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝7，b ＝3，c ＝2，则A ＝( )A ．π6B.π4 C ．π3D.π2解析：选C.易知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋22－（7）22×3×2＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，故选C.2．(2018·宝鸡质量检测(一))在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin(A ＋B )＝13，a ＝3，c ＝4，则sin A ＝( )A ．23B.14 C ．34D.16解析：选B.因为a sin A ＝c sin C ，即3sin A ＝4sin C ，又sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝13，所以sin A ＝14，故选B.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B.依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin B ·cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ，从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1，所以A ＝π2，故选B.4．(2018·南昌第一次模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( )A ．12B ．14C ．1D ．2解析：选A.由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.故选A.5．(2018·云南第一次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π2，a ＝6，sin 2 B ＝2sin A sin C ，则△ABC 的面积S △ABC ＝( )A ．32B ．3C ． 6D ．6解析：选B.由sin 2B ＝2sin A sin C 及正弦定理，得b 2＝2ac ①，又B ＝π2，所以a 2＋c 2＝b 2②，联立①②解得a ＝c ＝6，所以S △ABC ＝12×6×6＝3，故选B.6．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高为( ) A ．32 B.332C ．34D. 3解析：选B.在△ABC 中，由余弦定理可得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ，因为AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，所以7＝AB 2＋4－4×AB ×12，所以AB 2－2AB －3＝0，所以AB＝3，作AD ⊥BC ，垂足为D ，则在Rt △ADB 中，AD ＝AB ×sin 60°＝332，即BC 边上的高为332.二、填空题7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c 22×2×3，解得c ＝4. 答案：4 8．(2018·贵阳检测)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，a ＝2b ，则tan A ＝________．解析：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4b 2＋b 2－2×2b ×b ×⎝⎛⎭⎫－12＝7b 2，所以c ＝7b ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋7b 2－4b 22×b ×7b ＝27，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－47＝37，所以tan A ＝sin A cos A ＝32. 答案：329．(2018·广西三市第一次联考)设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2sin C ＝4sin A ，(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)，则△ABC 的面积为________．解析：由a 2sin C ＝4sin A 得ac ＝4，由(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)得(a ＋b )(a －b )＝27－c 2，即a 2＋c 2－b 2＝27，所以cos B ＝74，则sin B ＝34，所以S △ABC ＝12ac sin B＝32. 答案：3210．(2018·洛阳第一次统考)在△ABC 中，B ＝30°，AC ＝25，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，若∠ACD 为锐角，△ACD 的面积为4，则BC ＝________．解析：依题意得S △ACD ＝12CD ·AC ·sin ∠ACD ＝25·sin ∠ACD ＝4，sin ∠ACD ＝25.又∠ACD 是锐角，因此cos ∠ACD ＝1－sin 2∠ACD ＝15.在△ACD 中，AD ＝CD 2＋AC 2－2CD ·AC ·cos ∠ACD ＝4，AD sin ∠ACD ＝CDsin A ，sin A ＝CD ·sin ∠ACD AD ＝15.在△ABC中，AC sin B ＝BC sin A ，BC ＝AC ·sin Asin B＝4.答案：4 三、解答题 11．(2018·兰州模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋b cos A ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝25，b ＝2，求△ABC 的面积S . 解：(1)因为a sin B ＋b cos A ＝0， 所以sin A sin B ＋sin B cos A ＝0， 即sin B (sin A ＋cos A )＝0，由于B 为三角形的内角，所以sin A ＋cos A ＝0， 所以2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝0，而A 为三角形的内角， 所以A ＝3π4.(2)在△ABC 中，a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， 即20＝c 2＋4－4c ⎝⎛⎭⎫－22， 解得c ＝－42(舍去)或c ＝22， 所以S ＝12bc sin A ＝12×2×22×22＝2.12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知2a cos 2C 2＋2c cos 2A2＝52b . (1)求证：2(a ＋c )＝3b ； (2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .解：(1)证明：由已知得，a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b .在△ABC 中，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，则a cos C ＋c cos A ＝b .所以a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b .(2)因为cos B ＝14，所以sin B ＝154.因为S ＝12ac sin B ＝158ac ＝15，所以ac ＝8.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，2(a ＋c )＝3b ， 所以b 2＝9b 24－16×⎝⎛⎭⎫1＋14.所以b ＝4.1．(2018·河北三市联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝－b sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3. (1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝34c 2，求sin C 的值． 解：(1)因为a sin B ＝－b sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3， 所以由正弦定理得sin A ＝－sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3， 即sin A ＝－12sin A －32cos A ，化简得tan A ＝－33， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝5π6.(2)因为A ＝5π6，所以sin A ＝12，由S ＝34c 2＝12bc sin A ＝14bc ，得b ＝3c ， 所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝7c 2，则a ＝7c ， 由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝714.2．已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C .(1)求角C ；(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积． 解：(1)根据a sin A ＝csin C，可得c sin A ＝a sin C ，又因为c sin A ＝3a cos C ，所以a sin C ＝3a cos C ， 所以sin C ＝3cos C ，所以tan C ＝sin Ccos C ＝3，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)因为sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，sin C ＝sin(A ＋B )， 所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝5sin 2A ， 所以2sin B cos A ＝5×2sin A cos A .因为△ABC 为斜三角形，所以cos A ≠0， 所以sin B ＝5sin A .由正弦定理可知b ＝5a ， ①由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以21＝a 2＋b 2－2ab ×12＝a 2＋b 2－ab ， ②由①②解得a ＝1，b ＝5，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×5×32＝534.。

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第6讲正弦定理和余弦定理一、选择题1。

(2017·合肥模拟)在△ABC中，AB＝3,AC＝1,B＝30°，△ABC的面积为错误!，则C＝( )A.30°B.45° C。

60° D.75°解析法一∵S△ABC＝错误!·AB·AC·sin A＝错误!，即错误!×错误!×1×sin A＝错误!，∴sin A＝1，由A∈(0°,180°)，∴A＝90°，∴C＝60°.故选C.法二由正弦定理，得sin BAC＝错误!，即错误!＝错误!，sin C＝错误!，又C∈（0°,180°)，∴C＝60°或C＝120°。

当C＝120°时，A＝30°,S△ABC＝错误!≠错误!（舍去).而当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝错误!，符合条件，故C＝60°。

故选C.答案C2。

在△ABC中，角A,B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝错误!，a＝2，b ＝错误!，则B等于（）A.错误!B。

[解析] 由三角函数图象可得 A＝2，34T＝1112π－π6＝34π，所以 周期
T＝π＝2ωπ，解得 ω＝2.又函数图象过点6π，2 所以 fπ6＝2sin2×π6＋φ＝2,0<φ<π，解得 φ＝π6， 所以 f(x)＝2sin2x＋π6，f3π＝2sin23π＋π6＝1.
(2)图象变换法：由函数 y＝sinx 的图象通过变换得到 y＝ Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先 伸缩后平移”，但平移的量是不同的．
[跟踪演练] 1．(2016·全国卷Ⅰ)若将函数 y＝2sin2x 的图象向左平移1π2个 单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A．x＝k2π－π6(k∈Z) B．x＝k2π＋π6(k∈Z) C．x＝k2π－1π2(k∈Z) D．x＝k2π＋1π2(k∈Z)
π
f(x)
1 2
1
0 －1
0
1 2
图象如图．
角度 2：图象变换 (2017·全国卷Ⅰ)已知曲线 C1：y＝cosx，C2：y＝
sin2x＋23π，则下面结论正确的是(
)
A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，
再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线 C2
先将三角函 进行图 [思路引导] 数化同名 → 象变换
[解析] 易知 C1：y＝cosx＝sinx＋2π，把曲线 C1 上各点的横 坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数 y＝sin2x＋2π的图 象，再把所得函数的图象向左平移1π2个单位长度，可得函数 y＝ sin2x＋1π2＋π2＝sin2x＋23π的图象，即曲线 C2，故选 D.
[答案] D
函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象作法 (1)五点法：用“五点法”作 y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是 通过变量代换，设 z＝ωx＋φ，由 z 取 0，π2，π，32π，2π 来求出相 应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．若 x 给定区间，则需要列出 ωx＋φ 的端点值再画图或画出整个图象后 再擦去不符合条件的图象．

章末总结一、选择题1、(必修4 P 146A 组T 6(3)改编)已知sin 2θ＝23,则sin 4θ＋cos 4θ的值为( )A 、49B.59 C 、23D.79解析:选D.因为sin 2θ＝23,所以sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12×49＝79.故选D.2、(必修4 P 147A 组T 12改编)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos x ＋a 的最大值为1,则a 的值为( )A 、－1B 、0C 、1D 、2解析:选A.f (x )＝sin x cos π6＋cos x sin π6＋sin x cos π6－cos x sin π6＋cos x ＋a ＝3sin x ＋cos x ＋a ＝2sin(x ＋π6)＋a ,所以f (x )max ＝2＋a ＝1.所以a ＝－1.选A.3、(必修4 P 69A 组T 8改编)已知tan α＝3,则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值为( ) A 、210B 、－210C 、7210D 、－7210解析:选 B.因为tan α＝3,所以sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝2×31＋32＝35,cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－321＋32＝－45,所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22(sin 2α＋cos 2α)＝22⎝⎛⎭⎫35－45＝－210.选B. 4、(必修4 P 58A 组T 2(3)改编)如图是y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象,则其解析式为( )A 、y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 B 、y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C 、y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 D 、y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析:选D.由题图知T 4＝π6－⎝⎛⎭⎫－π12＝π4.所以T ＝π,所以ω＝2πT ＝2.当x ＝－π12时,y ＝0,当x ＝0时,y ＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧A sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0A sin φ＝1,所以φ＝π6,A ＝2.所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.故选D.5、(必修5 P 18练习T 1(1)改编)在锐角△ABC 中,a ＝2,b ＝3,S △ABC ＝22,则c ＝( ) A 、2 B 、3 C 、4D.17解析:选B.由已知得12×2×3×sin C ＝22,所以sin C ＝223.由于C ＜90°,所以cos C ＝1－sin 2C ＝13.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3×13＝9,所以c ＝3,故选B.6、(必修5 P 18练习T 3改编)已知△ABC 三内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c ,3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ,b ＝2,则a sin B ＝( )A 、43B.23 2 C 、423D 、6 2解析:选C.因为3a cos A ＝b cos C ＋c cos B , 即3a cos A ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a ,所以cos A ＝13,又0＜A ＜π.所以sin A ＝223.又b ＝2,所以a sin B ＝b sin A ＝2×223＝423.故选C.二、填空题7、(必修4 P 146A 组T 5(1)改编)3sin 80°－1cos 80°＝______、解析:3sin 80°－1cos 80°＝3cos 80°－sin 80°sin 80°cos 80°＝2⎝⎛⎭⎫32cos 80°－12sin 80°12sin 160°＝4sin （60°－80°）sin 160°＝－4sin 20°sin 20°＝－4.答案:－4 8、(必修5 P 20A 组T 11(3)改编)△ABC 的三内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .A ＝120°,a ＝7,S△ABC＝1543,则b ＋c ＝________、 解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧12bc sin 120°＝1543b 2＋c 2－2bc cos 120°＝72,即⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝15b 2＋c 2＋bc ＝49,所以b 2＋c 2＋2bc ＝64.所以b ＋c ＝8.答案:89、(必修4 P 56练习T 3改编)关于函数f (x )＝23sin(12x －π4)的下列结论:①f (x )的一个周期是－8π； ②f (x )的图象关于x ＝π2对称；③f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称； ④f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增； ⑤f (x )的图象可由g (x )＝23cos 12x 向右平移π8个单位得到、其中正确的结论有____________(填上全部正确结论的序号)、解析:f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.所以f (x )的一个周期为－8π.①正确、f ⎝⎛⎭⎫π2＝0,故②错误、③正确、 由2k π－π2＜12x －π4＜2k π＋π2,k ∈Z ,得4k π－π2＜x ＜4k π＋32π.令k ＝0得,－π2＜x ＜32π.⎝⎛⎭⎫－π2，π2⊆⎝⎛⎭⎫－π2，3π2.故④正确、 g (x )＝23cos 12x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2 ＝23sin ⎣⎡⎦⎤12()x ＋π, f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4＝23sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －π2, 所以g (x )的图象向右平移π2－(－π)＝32π即可得到f (x )的图象、故⑤错误,即①③④正确、答案:①③④三、解答题10、(必修4 P 147A 组T 10改编)已知函数f (x )＝4sin(ωx －π4)·cos ωx 在x ＝π4处取得最值,其中ω∈(0,2)、(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向左平移π36个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变,得到函数y ＝g (x )的图象,若α为锐角,g (α)＝43－2,求cos α.解:(1)f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4·cos ωx ＝22sin ωx ·cos ωx －22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx －cos 2ωx )－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π4－2,由于f (x )在x ＝π4处取得最值,因此2ω·π4－π4＝k π＋π2,k ∈Z ,所以ω＝2k ＋32,因为ω∈(0,2),所以ω＝32,因此,f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4－2,所以T ＝2π3. (2)将函数f (x )的图象向左平移π36个单位,得到h (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x ＋π36－π4－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6－2的图象, 再将h (x )图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变,得到g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6－2的图象,故g (α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6－2＝43－2, 可得sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝23, 因为α为锐角,所以－π6＜α－π6＜π3,因此cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53,故cos α＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝53×32－23×12＝15－26.11、(必修5 P 20A 组T 13改编)D 为△ABC 的边BC 的中点、AB ＝2AC ＝2AD ＝2.(1)求BC 的长；(2)若∠ACB 的平分线交AB 于E ,求S △ACE . 解:(1)由题意知AB ＝2,AC ＝AD ＝1. 设BD ＝DC ＝m . 在△ADB 与△ADC 中, 由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ,AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 即1＋m 2－2m cos ∠ADB ＝4,① 1＋m 2＋2m cos ∠ADB ＝1.② ①＋②得m 2＝32,所以m ＝62,即BC ＝ 6. (2)在△ACE 与△BCE 中,由正弦定理得 AEsin ∠ACE ＝EC sin ∠EAC ,BE sin ∠BCE ＝EC sin ∠CBE ,由于∠ACE ＝∠BCE , 且BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠CBA ,所以AE BE ＝AC BC ＝66.所以BE ＝6AE ,所以AE ＝25(6－1)、又cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝22＋12－（6）22×2×1＝－14,所以sin ∠BAC ＝154,所以S △ACE ＝12AC ·AE ·sin ∠BAC＝12×1×25(6－1)×154＝310－1520.。

3， 2019-2020年高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第6讲正弦定、选择题)在厶 ABC 中，AB=〔 3, AO 1, B = 30 ° , △ ABC 勺面积为-2，则 g ( )2. 在厶ABC 中，角A , B, C 对应的边分别为 2 n 2\T3 戸 r .. a , b , c ,若 A =w , a = 2, b =〒，贝V B 等八 n A.亍 2n c 「一 2 、 3 丁，a = 2，b = 3，3 J 3 1 A = ---- 乂 — = _ 2 % 2 = 2.A.30B.45C.60D.75解析法 ••• &AB = £ • AB- AC- sin 人二聖 即 2X ,3x 1 x sin A=#, • sin A = 1, 由 A € (0 ° , 180° ) ,•••心 90 °,二 C = 60° .故选 C. 、 sin B sin C 1 sin C 法二 由正弦定理，得 AC = AB ，即2 =— -, sin of,又 C € (0 ° , 180° ) , • C = 60° 或 C = 120° . 当 C = 120° 时，A = 30 ° , S 史工 S A ABC = 壬 4 舍去）.而当C = 60°时, A = 90 ° , S A ABC = ~2，符合条件，故 C= 60 ° .故选 C. 答案 C A = 2n1. （xx •合肥模拟解析 •/ A =•由正弦定理 亠=丄可得 sin A sin B ， b sin B = a sinn• B=孑3，答案 D 2B a + c 3. （xx •成都诊断）在厶ABC 中, cos 2 = -Jh （a ，b , c 分别为角A B, C 的对边），则△ ABC 的形状为（ ） A.等边三角形 C.等腰三角形或直角三角形 .. 2B a + c 解析 因为cos =—, 2 2c 2B a + c a 所以 2cos - — 1 =—— — 1,所以 cos B =-, 2 c c所以△ ABC 为直角三角形 答案 B cos 2 B'的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析 因为在△ ABC 中, a > b ? sin A > sin B ? sin 2A > sin 2B ? 2sin 2A >2sin 2B ? 1 — 2sin 2A v 1 — 2sin 2B ? cos 2 A v cos 2 B.所以"a > b ” 是"cos 2 A v cos 2 B'的充分必要条件. 答案 CB.直角三角形 D.等腰直角三角形 所以 2,2 2 a + c — b 2ac a ，所以 c c 2= a 2 + b 2. 4. △ ABC 的内角A , B, C 的对边分别为 a, b , c ,则"a >b ” 是"cos 2 A vC.充分必要条件5. （xx •山东卷）在厶ABC 中，角 A , B, C 的对边分别是a , b , 已知 b = c , a 2=2b 2(1 — C . 7 解析在厶ABC 中, 由 b = c , .2 2 2 2 2 b + c — a 2b — a cos A = 2bc 2b 2 _ 2 2 ，又 a = 2b (1 — sin A )，所 以cos A = sin A , 即tan A = 1,又知 A € (0 , n ), 所以A =寸，故选 C.sin A )，则 A =(3nA."?答案二、填空题cos O- -, 3sin A = 2sin B,则 4解析 由3sin A = 2sin B 及正弦定理，得 3a = 2b ,又a = 2,所以b = 3，故c 2= a 2 + b 2 —6. （xx •重庆卷）设厶ABC 的内角A B, C 的对边分别为a , b, c ,且 a = 2, c =答案 4 7.（xx •江西九校联考）在厶ABC 中，角A , B, C 所对的边分别为 a , b , c ,若角AB, C可解得-=1. c答案 1三、解答题9. （xx •天津卷）在厶ABC 中，内角代B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知△ ABC 的面积为15, b — c = 2, cos A =— 4.⑴求a 和sin C 的值;2ab cos C = 4 + 9— 2 x 2 x 3 x —1 = 16，所以 c = 4.依次成等差数列，且 a = 1, b = 3,贝V S ^ABC = 解析因为角A , B, C 依次成等差数列，所以B = 60°.由正弦定理，得詁A = sin 60 ° , 解得sin A = f ,因为 0°v A v 180。

一，选择题1，已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在( ) A ，第一象限 B ，第二象限 C ，第三象限 D ，第四象限解析:选B.因为点P (tan α,cos α)在第三象限,所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α＜0cos α＜0,所以α为第二象限角，2，已知α是第二象限角,P (x ,5)为其终边上一点,且cos α＝24x ,则x 等于( ) A ， 3B ，± 3C ，－ 2D ，－ 3解析:选D.依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x ＜0,由此解得x ＝－3,故选D. 3，集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2,k ∈Z }中的角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析:选C.当k ＝2n (n ∈Z )时,2n π＋π4≤α≤2n π＋π2；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时,2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2.故选C.4，若角α的终边在直线y ＝－x 上,则角α的取值集合为( ) A ，{α|α＝k ·360°－45°,k ∈Z } B ，{α|α＝k ·2π＋34π,k ∈Z }C ，{α|α＝k ·π＋34π,k ∈Z }D ，{α|α＝k ·π－π4,k ∈Z }解析:选 D.由图知,角α的取值集合为{α|α＝2n π＋34π,n ∈Z }∪{α|α＝2n π－π4,n ∈Z }＝{α|α＝(2n ＋1)π－π4,n ∈Z }∪{α|α＝2n π－π4,n ∈Z }＝{α|α＝k π－π4,k ∈Z }，5，在(0,2π)内,使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为( )A ，(π4,π2)∪(π,5π4)B ，(π4,π)C ，(π4,π)∪(5π4,3π2)D ，(π4,5π4)解析:选D.如图所示,找出在(0,2π)内,使sin x ＝cos x 的x 值,sin π4＝cos π4＝22,sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈(π4,5π4)，6，(2018·安徽省江淮十校协作体联考)已知锐角α,且5α的终边上有一点P (sin(－50°),cos 130°),则α的值为( )A ，8°B ，44°C ，26°D ，40°解析:选 B.因为sin(－50°)<0,cos 130°＝－cos 50°<0,所以点P (sin(－50°),cos 130°)在第三象限，又因为0°<α<90°,所以0°<5α<450°.又因为点P 的坐标可化为(cos 220°,sin 220°), 所以5α＝220°,所以α＝44°,故选B.二，填空题7，在平面直角坐标系xOy 中,角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点A ,点A 的纵坐标为45,且点A 在第二象限,则cos α＝________，解析:因为A 点纵坐标y A ＝45,且A 点在第二象限,又因为圆O 为单位圆,所以A 点横坐标x A ＝－35,由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案:－358，与角2 017°的终边相同,且在0°～360°内的角是________，解析:因为2 017°＝217°＋5×360°,所以在0°～360°内终边与2 017°的终边相同的角是217°.答案:217°9，在直角坐标系中,O 是原点,A (3,1),将点A 绕O 逆时针旋转90°到点B ,则点B 的坐标为________，解析:依题意知OA ＝OB ＝2,∠AOx ＝30°,∠BOx ＝120°,设点B 的坐标为(x ,y ),则x ＝2cos 120°＝－1,y ＝2sin 120°＝3,即B (－1,3)，答案:(－1,3) 10，(2017·高考北京卷)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称，若sin α＝13,则sin β＝________，解析:法一:当角α的终边在第一象限时,取角α终边上一点P 1(22,1),其关于y 轴的对称点(－22,1)在角β的终边上,此时sin β＝13；当角α的终边在第二象限时,取角α终边上一点P 2(－22,1),其关于y 轴的对称点(22,1)在角β的终边上,此时sin β＝13.综合可得sinβ＝13.法二:令角α与角β均在区间(0,π)内,故角α与角β互补,得sin β＝sin α＝13.法三:由已知可得,sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin (π－α)＝sin α＝13(k ∈Z )，答案:13三，解答题11，已知角θ的终边上有一点P (x ,－1)(x ≠0),且tan θ＝－x ,求sin θ＋cos θ的值， 解:因为角θ的终边过点(x ,－1)(x ≠0), 所以tan θ＝－1x ,又tan θ＝－x ,所以x 2＝1,所以x ＝±1. 当x ＝1时,sin θ＝－22,cos θ＝22, 因此sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时,sin θ＝－22,cos θ＝－22, 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.12，已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解:设扇形AOB 的半径为r ,弧长为l ,圆心角为α, (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6， 所以α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)法一:因为2r ＋l ＝8,所以S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14(l ＋2r 2)2＝14×(82)2＝4,当且仅当2r ＝l ,即α＝lr ＝2时,扇形面积取得最大值4.所以圆心角α＝2,弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二:因为2r ＋l ＝8,所以S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4,当且仅当r ＝2,即α＝lr ＝2时,扇形面积取得最大值4.所以弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.。

第 四 章
三角函数
解三角形
第六节
函数 y＝Asin(ω x＋φ )的图象及应用
高考概览 1.了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出 y＝Asin(ωx ＋φ)的图象，了解参数 A，ω，φ 对函数图象变化的影响；2.了解 三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解 决一些简单实际问题.
[解] 2π (1)∵T＝ ＝π，∴ω＝2， ω 3 3 ，∴sinφ＝－ ， 2 2
π π 又∵f ＝cos2× ＋φ ＝ 4 4
π π 又－ <φ<0，∴φ＝－ . 2 3
(2)由(1)得
π f(x)＝cos2x－ ，列表： 3
π 2x － 3 x f(x)
π － 3 0 1 2
0 π 6 1π 2 5 π 来自2 0π 2 π 3 －1
3 π 2 11 π 12 0
5 π 3 π 1 2
图象如图．
角度 2：图象变换 (2017· 全国卷Ⅰ)已知曲线 C1：y＝cosx，C2：y＝
2π sin2x＋ ，则下面结论正确的是( 3
)
A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变， π 再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 C2 6 B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变， π 再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 C2 12
1 C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变， 2 π 再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 C2 6 1 D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变， 2 π 再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 C2 12 [思路引导] 先将三角函 进行图 → 数化同名 象变换

❶ 理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x＝tan x . ❷ 能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝－2，2⎭内的单调性..A.－ B ．－ 9 9章末总结知识点考纲展示任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数同角三角函 数的基本关 系式与诱导公式和与差的三 角函数公式简单的三角 恒等变换三角函数的 图象与性质函数 y ＝ A sin(ω x ＋φ) 的图象及三 角函数模型 的简单应用正弦定理和 余弦定理解三角形应 用举例❶ 了解任意角的概念．❷ 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．❸ 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.cos xπ2导公式.❶ 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．❷ 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．❸ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍 角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式， 但对这三组公式不要求记忆).❶ 能画出 y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． ❷ 理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最⎛ π π⎫❶ 了解函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数 A ，ω，φ 对函数图象变化的影响．❷ 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一 些简单实际问题.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关 的实际问题.一、点在纲上，源在本里 考点考题4(2017· 高考全国卷Ⅲ，T 4，5 分)已知 sin α－cos α＝3，则 sin 2α＝考源三角函数的基本关系( )7 2 9 92 7 C. D.必修 4 P 146A 组T 6(2)(2017· 高考全国卷Ⅱ，T 3，5 分)函数 f (x )＝sin ⎝2x ＋3⎭的最小正周期A.4π B ．2π C ．πD. A. B ．1 C. D. sin ⎝2x ＋ 3 ⎭，则下面结论正确的是( 分别为 a ，b ，c 已知△. ABC 的面积为 .1．(必修 4 P 146A 组 T 6(3)改编)已知 sin 2θ＝ ，则 sin 4θ＋cos 4θ 的值为()3A ． 9C ． 9三角函数 的周期三角函数 值域三角函数 图象正余弦定理与面积公式 的应用⎛ π⎫为( )π 21 π π(2017· 高考全国卷Ⅲ，T 6，5 分)函数 f (x )＝5sin(x ＋3)＋cos(x －6)的最大值为( )6 3 15 5 5(2017·高考全国卷Ⅰ，T 9，5 分)已知曲线 C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝⎛ 2π⎫ )A ．把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把π得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C 2B ．把C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把 π得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C 21C ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得π到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C 21D ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得π到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C 2(2017· 高考全国卷Ⅱ，T 16，5 分△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分 别为 a ，b ，c ，若 2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则 B ＝________.(2017· 高考全国卷Ⅲ，T 15，5 分△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分 别为 a ，b ，c .已知 C ＝60°，b ＝ 6，c ＝3，则 A ＝________.(2017· 高考全国卷Ⅰ，T 17，12 分△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边 a 23sin A(1)求 sin B sin C ；必修 4 P 35 例2(2)必修 4 P 143A 组T 5必修 4 P 55 练习T 2(2)必修 5 P 18 练习T 3 必修 5 P 10A 组 T 2(1)必修 5 P 20B 组T 1(2)若 6cos B cos C ＝1，a ＝△3，求 ABC 的周长.二、根置教材，考在变中 一、选择题24 92 35 B.7 D.解析：选D.因为sin2θ＝，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－×＝.故选D.2．(必修4P147A组T12改编)已知函数f(x)＝sin⎝x＋6⎭＋sin⎝x－6⎭＋cos x＋a的最大值为解析：选A.f(x)＝sin x cos＋cos x sin＋sin x cos－cos x sin＋cos x＋a＝3sin x＋cos x3．(必修4P69A组T8改编)已知tanα＝3，则sin⎝2α＋4⎭的值为(10B．－2A．2C．D．－sin2α＋cos2α1＋tan2α1＋32522⎛34⎫π⎫cos2α－sin2α1－tan2α1－324＝－，所以sin⎝2α＋4⎭＝－＝－⎛52⎝55⎭sin2α＋cos2α1＋tan2α1＋322.选B.4．(必修4P58A组T2(3)改编)如图是y＝A sin(ωx＋φ)⎝ω＞0，－2＜φ＜2⎭的部分图象，则A．y＝2sin⎝x＋6⎭B．y＝2sin⎝2x－6⎭C．y＝2sin⎝x＋3⎭D．y＝2sin⎝2x＋6⎭解析：选D.由题图知＝－⎝－12⎭＝.所以T＝π，所以ω＝＝2.当x＝－时，y＝0，⎧⎪A sin⎛－π＋φ⎫＝0，所以φ＝，A＝2.所以y＝2sin⎝2x＋6⎭.故选D.⎝6⎭π⎛π⎫当x＝0时，y＝1.所以⎨⎪⎩A sinφ＝12132 147299⎛π⎫⎛π⎫1，则a的值为()A．－1C．1B．0D．2ππππ6666π＋a＝2sin(x＋6)＋a，所以f(x)max＝2＋a＝1.所以a＝－1.选A.⎛π⎫10)721072102sinαcosα2tanα2×33解析：选B.因为tanα＝3，所以sin2α＝＝＝＝，cos2α＝＝＝(sin2α＋cos2α)＝210⎛ππ⎫其解析式为()⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫Tπ⎛π⎫π2ππ464T1265．(必修5P18练习T1(1)改编△)在锐角ABC中，a＝2，b＝3，S△ABC＝22，则c＝() A．2B．3解析：选 B.由已知得 ×2×3×sin C ＝2 2，所以 sin C ＝ .由于 C ＜90°，所以 cos C＝ 1－sin 2C ＝ .由余弦定理得 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3× ＝9，所以 c ＝3，A ． 3 C ． 即 3a cos A ＝b · ＋c · ＝a ，所以 cos A ＝ ，又 0＜A ＜π.所以 sin A ＝ .又 b ＝2，所以 a sin B ＝b sin A ＝2× ＝ .故选 C.cos 80° sin 80° cos 80°sin 80°cos 80°cos 80°－ sin 80°⎭ 4sin （60°－80°） 2⎝ 2 1 sin 160° sin 160° ＝－4sin 20°＝－4.( c 4解析：由题意得⎨2 ⎪ C ．4D. 171 2 22 31 13 3故选 B.6．(必修 5 P 18 练习 T 3 改编△)已知 ABC 三内角 A 、B 、C 的对边分别为 a ，b ，c ，3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝2，则 a sin B ＝()434 2 32 B. 2D ．6 2解析：选 C.因为 3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，a 2＋b 2－c 2 a 2＋c 2－b 22ab 2ac1 2 23 32 2 4 23 3二、填空题3 17．(必修 4 P 146A 组 T 5(1)改编)sin 80°－ ＝______．解析：⎛ 3 1 ⎫ 2＝ ＝2sin 20°答案：－4 8． 必修 5 P 20A 组 T 11(3)改编△) ABC 的三内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ， .A ＝120°，a ＝7，△S ABC ＝ 153，则 b ＋c ＝________．⎧⎪1bc sin 120°＝15 34，⎪⎩b 2＋c 2－2bc cos 120°＝72⎧bc ＝15即⎨ ，所以 b 2＋c 2＋2bc ＝64.所以 b ＋c ＝8.⎪⎩b 2＋c 2＋bc ＝49答案：82 1 π9．(必修 4 P 56 练习 T 3 改编)关于函数 f (x )＝3sin(2x －4)的下列结论：①f (x )的一个周期是－8π；②f (x )的图象关于 x ＝ 对称；③f (x )的图象关于点⎝2，0⎭对称；－ ，上单调递增；④f (x )在⎝2 2⎭⑤f (x )的图象可由 g (x )＝ cos x 向右平移 个单位得到．解析：f (x )的最小正周期 T ＝ ＝4π.所以 f (x )的一个周期为－8π.①正确．f ⎝2⎭＝0，故②错误．③正确．由 2k π－ ＜ x － ＜2k π＋ ，k ∈Z ，得4k π－ ＜x ＜4k π＋ π. － ， － ， .故④正确．令 k ＝0 得，－ ＜x ＜ π.⎝ 2 2⎭ ⎝ 2 2 ⎭x ＋g (x )＝ cos x ＝ sin ⎝2 2⎭x ＋π) ，(＝sin⎦⎣2 x － ＝ sin x －，f (x )＝ sin ⎝2 4⎭ ⎣2⎝ 2⎭⎦所以 g (x )的图象向右平移 －(－π)＝ π 即可得到 f (x )的图象．故⑤错误，即①③④正确．(2)将函数 f (x )的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到函数 y ＝g (x )的图象，若 α 为锐角，g (α)＝ － 2，求 cos α.ωx － ·解：(1)f (x )＝4sin cos ωx －2 2cos 2ωx ＝ 2(sin 2ωx －cos 4⎭ cos ωx ＝2 2sin ωx ·⎝ 2ωx － － 2，2ωx )－ 2＝2sin4⎭⎝由于 f (x )在 x ＝ 处取得最值，因此 2ω· － ＝k π＋ ，k ∈Z ，所以 ω＝2k ＋ ，π2⎛π ⎫⎛ π π⎫2 1 π3 2 8其中正确的结论有____________(填上全部正确结论的序号)．2π1 2⎛π⎫π 1 π π2 2 4 2π 3 2 2π 3 ⎛ π π⎫ ⎛ π 3π⎫2 22 1 2 ⎛1 π⎫3 2 3 2 ⎡1 ⎤ 3 2 ⎛1 π⎫ 2 ⎡1⎛ π⎫⎤ 3 3 π 32 2答案：①③④三、解答题π π10．(必修 4 P 147A 组 T 10 改编)已知函数 f (x )＝4sin(ωx －4)·cos ωx 在 x ＝4处取得最值，其中 ω∈(0，2)．(1)求函数 f (x )的最小正周期；π3643⎛ π⎫⎛ π⎫ π π π π 34 4 4 2 2因为 ω∈(0，2)，所以 ω＝ ，因此，f (x )＝2sin ⎝3x －4⎭－ 2，所以 T ＝ .个 单 位 ， 得 到h (x ) ＝ 2sin ⎣3⎝x ＋36⎭－4⎦ － 2 ＝ 2sin ⎝3x －6⎭－ 2的图象，再将 h (x )图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到 g (x )＝2sin ⎝x －6⎭－⎛ 故 g (α)＝2sin ⎝α－6⎭－ 2＝ － 2，可得 sin ⎝α－6⎭＝ ，因为 α 为锐角，所以－ ＜α－ ＜ ，因此 cos ⎝α－6⎭＝⎛2⎫2＝ 5， π π⎫ π⎫ π⎫ π π 5 3 2 1 15－2 故 cos α＝cos ⎝α－6＋6⎭＝cos ⎝α－6⎭cos －sin ⎝α－6⎭sin ＝ ⎛ ⎛ ⎛ 6 6 3 2 3 2 6①＋②得 m 2＝ ，所以 m ＝ 6，即 BC ＝ 6.sin ∠ACE sin ∠EAC sin ∠BCE sin ∠CBE 且 BC ＝ ，所以 ＝ ＝ .所以 BE ＝ 6AE ，所以 AE ＝ ( 6－1)．32⎛ π⎫ 2π 3(2) 将 函 数 f (x ) 的 图 象 向 左 平 移 π 36 ⎡ ⎛ π ⎫ π⎤⎛ π⎫⎛ π⎫2的图象，π⎫ 4 3⎛ π⎫ 2 3π π π6 6 3⎛ π⎫ 1－⎝3⎭ 3× － × ＝ .11．(必修 5 P 20A 组 T 13 改编)D 为△ABC 的边 BC 的中点．AB ＝2AC ＝2AD ＝2. (1)求 BC 的长；(2)若∠ACB 的平分线交 AB 于 E ，求 △S ACE . 解：(1)由题意知 AB ＝2，AC ＝AD ＝1. 设 BD ＝DC ＝m .在△ADB 与△ADC 中， 由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD · B D cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD · D C cos ∠ADC . 即 1＋m 2－2m cos ∠ADB ＝4，① 1＋m 2＋2m cos ∠ADB ＝1.②3 22(2)在△ACE 与△BCE 中，由正弦定理得AE EC BE EC＝ ， ＝ ，由于∠ACE ＝∠BCE ，AC AE AC 6sin ∠BAC sin ∠CBABE BC 6252AB ·AC 2×2×1＝－ ，所以 sin ∠BAC ＝ ，＝ ×1× ( 6－1)× ＝ .AB 2＋AC 2－BC 2 22＋12－（ 6）2又 cos ∠BAC ＝ ＝1 154 41所以 △S ACE ＝2AC · AE ·sin ∠BAC1 2 15 3 10－ 15 2 5 4 20。

§正弦定理和余弦定理
．正弦定理、余弦定理
在△中，若角，，所对的边分别是，，，为△外接圆半径，则
.在△中，已知，和时，解的情况
.三角形常用面积公式
()＝·(表示边上的高)；
()＝＝＝；
()＝(＋＋)(为三角形内切圆半径)．
知识拓展
．三角形内角和定理
在△中，＋＋＝π；
变形：＝－.
．三角形中的三角函数关系
()(＋)＝；()(＋)＝－；
() ＝；() ＝ .
．三角形中的射影定理
在△中，＝＋；
＝＋；
＝＋ .
题组一思考辨析
．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) ()三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(×)
()在△中，若＞，则＞.(√)
()当＋－>时，三角形为锐角三角形．(×)
()在△中，)＝＋－).(√)
()在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(√) 题组二教材改编
．在△中，＝，则这个三角形的形状为．
答案等腰三角形或直角三角形
解析由正弦定理，得＝，
即＝，所以＝或＝π－，
即＝或＋＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．
．在△中，＝°，＝，＝，则△的面积等于．
答案
解析∵°)＝)，∴＝，∴＝°，
∴＝，∴△＝××＝.。

利用正、余弦定理解三角形
[例 3] (2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对 边分别为 a，b，c.已知△ABC 的面积为3sian2 A.
(1)求 sin Bsin C； (2)若 6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC 的周长． [解] (1)由题设得12acsin B＝3sian2 A， 即12csin B＝3sian A. 由正弦定理得12sin Csin B＝3ssiinnAA. 故 sin Bsin C＝23.
a＝2R sin A，b＝ 2RsinB ，
c＝ 2RsinC ；
b
sin A＝2aR；sin B＝ 2R ；
变形 形式
c sin C＝ 2R a∶b∶c＝
；sinA∶sinB∶sinC
；
asin B＝bsin A，bsin C
＝csin B，asin C＝csin A；
sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
讲练区 研透高考· 完成情况 [全析考法]
利用正弦定理解三角形
利用正弦定理可以解决的两类问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进 一步求出其他的边和角．由于三角形的形状不能唯一确定，会 出现两解、一解和无解三种情况．
[例 1] 在△ABC 中，若 a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角
(2)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
若(a2＋c2－b2)tan B＝ 3ac，则角 B 的大小为
()
π A.6
π B.3
C.π6或56π
D.π3或23π
[解析] (1)由 b＝1，c＝ 3，A＝π6，结合余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A，即 a2＝1＋3－2×1× 3× 23＝1， 得 a＝1. 由此 a＝b，则 B＝A＝π6，因此 cos 5B＝cos 56π＝－ 23，故 选 A. (2)由余弦定理 a2＋c2－b2＝2accos B，得 2acsin B＝ 3ac， 因为 ac≠0，所以 sin B＝ 23，所以 B＝π3或23π. [答案] (1)A (2)D

【2019最新】精选高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形章末总结分层演练文章末总结一、点在纲上，源在本里二、根置教材，考在变中 一、选择题1．(必修4 P146A 组T6(3)改编)已知sin 2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为( )A ． B.59 C ．D.79解析：选 D.因为sin 2θ＝，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－×＝.故选D.2．(必修4 P147A 组T12改编)已知函数f(x)＝sin ＋sin ＋cos x ＋a 的最大值为1，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A.f(x)＝sin xcos ＋cos xsin ＋sin xcos －cos xsin ＋cos x ＋a ＝sin x ＋cos x ＋a ＝2sin(x ＋)＋a ，所以f(x)max ＝2＋a ＝1.所以a ＝－1.选A.3．(必修4 P69A 组T8改编)已知tan α＝3，则sin 的值为( ) A ． B ．－210 C ．D ．－7210解析：选B.因为tan α＝3，所以sin 2α＝＝＝＝，cos 2α＝＝＝＝－，所以sin ＝(sin 2α＋cos 2α)＝＝－.选B.4．(必修4 P58A 组T2(3)改编)如图是y ＝Asin(ωx ＋φ)的部分图象，则其解析式为( )A ．y ＝2sinB ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝2sinD ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 解析：选D.由题图知＝－＝.所以T ＝π，所以ω＝＝2.当x ＝－时，y ＝0，当x ＝0时，y ＝1.所以，所以φ＝，A ＝2.所以y ＝2sin.故选D.5．(必修5 P18练习T1(1)改编)在锐角△ABC 中，a ＝2，b ＝3，S△ABC＝2，则c ＝( )A ．2B ．3C ．4D.17解析：选B.由已知得×2×3×sin C＝2，所以sin C ＝.由于C ＜90°，所以cos C ＝＝.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C ＝22＋32－2×2×3×＝9，所以c ＝3，故选B.6．(必修5 P18练习T3改编)已知△ABC 三内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，3acos A ＝bcos C ＋ccos B ，b ＝2，则asin B ＝( )A ． B.232 C ．D ．62解析：选C.因为3acos A ＝bcos C ＋ccos B ， 即3acos A ＝b·＋c·＝a ，所以cos A ＝，又0＜A ＜π.所以sin A ＝. 又b ＝2，所以asin B ＝bsin A ＝2×＝.故选C. 二、填空题7．(必修4 P146A 组T5(1)改编)－＝______．解析：－＝3cos 80°－sin 80°sin 80°cos 80°＝＝4sin （60°－80°）sin 160°＝＝－4. 答案：－48．(必修5 P20A 组T11(3)改编)△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.A ＝120°，a ＝7，S △ABC ＝，则b ＋c ＝________．解析：由题意得，即，所以b2＋c2＋2bc ＝64.所以b ＋c ＝8. 答案：89．(必修4 P56练习T3改编)关于函数f(x)＝sin(x －)的下列结论： ①f(x)的一个周期是－8π； ②f(x)的图象关于x ＝对称； ③f(x)的图象关于点对称； ④f(x)在上单调递增；⑤f(x)的图象可由g(x)＝cosx 向右平移个单位得到．其中正确的结论有____________(填上全部正确结论的序号)．解析：f(x)的最小正周期T ＝＝4π.所以f(x)的一个周期为－8π.①正确．f ＝0，故②错误．③正确．由2k π－＜x －＜2k π＋，k∈Z，得 4k π－＜x ＜4k π＋π.令k ＝0得，－＜x ＜π.⊆.故④正确．g(x)＝cosx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2 ＝sin ，f(x)＝sin ＝sin ，所以g(x)的图象向右平移－(－π)＝π即可得到f(x)的图象．故⑤错误，即①③④正确．答案：①③④三、解答题10．(必修4 P147A组T10改编)已知函数f(x)＝4sin(ωx－)·cos ωx在x＝处取得最值，其中ω∈(0，2)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若α为锐角，g(α)＝－，求cos α.解：(1)f(x)＝4sin·cos ωx＝2sin ωx·cos ωx－2cos2ωx＝(sin 2ωx－cos 2ωx)－＝2sin－，由于f(x)在x＝处取得最值，因此2ω·－＝kπ＋，k∈Z，所以ω＝2k＋，因为ω∈(0，2)，所以ω＝，因此，f(x)＝2sin－，所以T＝.(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，得到h(x)＝2sin－＝2sin－的图象，再将h(x)图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到g(x)＝2sin －的图象，故g(α)＝2sin－＝－，可得sin＝，因为α为锐角，所以－＜α－＜，因此cos＝＝，故cos α＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝.11．(必修5 P20A组T13改编)D为△ABC的边BC的中点．AB＝2AC＝2AD＝2.(1)求BC的长；(2)若∠ACB的平分线交AB于E，求S△ACE.解：(1)由题意知AB＝2，AC＝AD＝1.设BD＝DC＝m.在△ADB与△ADC中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.即1＋m2－2mcos∠ADB＝4，①1＋m2＋2mcos∠ADB＝1.②①＋②得m2＝，所以m＝，即BC＝.(2)在△ACE与△BCE中，由正弦定理得AE＝，＝，sin∠ACE由于∠ACE＝∠BCE，且＝，所以＝＝.所以BE＝AE，所以AE＝(－1)．又cos ∠BAC＝＝22＋12－（6）22×2×1＝－，所以sin ∠BAC＝，所以S△ACE＝AC·AE·sin ∠BAC＝×1×(－1)×＝.。

【2019最新】精选高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形章末总结分层演练文章末总结一、点在纲上，源在本里二、根置教材，考在变中一、选择题1．(必修4 P146A 组T6(3)改编)已知sin 2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为( ) A ． B.59 C ．D.79解析：选 D.因为sin 2θ＝，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－×＝.故选D.2．(必修4 P147A 组T12改编)已知函数f(x)＝sin ＋sin ＋cos x ＋a 的最大值为1，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A.f(x)＝sin xcos ＋cos xsin ＋sin xcos －cos xsin ＋cos x ＋a ＝sin x ＋cos x ＋a ＝2sin(x ＋)＋a ，所以f(x)max ＝2＋a ＝1.所以a ＝－1.选A.3．(必修4 P69A 组T8改编)已知tan α＝3，则sin 的值为( ) A ． B ．－210 C ．D ．－7210解析：选B.因为tan α＝3，所以sin 2α＝＝＝＝，cos 2α＝＝＝＝－，所以sin ＝(sin 2α＋cos 2α)＝＝－.选B.4．(必修4 P58A 组T2(3)改编)如图是y ＝Asin(ωx ＋φ)的部分图象，则其解析式为( )A ．y ＝2sinB ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 C ．y ＝2sinD ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 解析：选D.由题图知＝－＝.所以T ＝π，所以ω＝＝2.当x ＝－时，y ＝0，当x ＝0时，y ＝1.所以，所以φ＝，A ＝2.所以y ＝2sin.故选D.5．(必修5 P18练习T1(1)改编)在锐角△ABC中，a＝2，b＝3，S△ABC＝2，则c ＝( )A．2 B．3C．4 D.17解析：选B.由已知得×2×3×sin C＝2，所以sin C＝.由于C＜90°，所以cos C ＝＝.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋32－2×2×3×＝9，所以c＝3，故选B.6．(必修5 P18练习T3改编)已知△ABC三内角A、B、C的对边分别为a，b，c，3acos A＝bcos C＋ccos B，b＝2，则asin B＝( )A． B.223C．D．62解析：选C.因为3acos A＝bcos C＋ccos B，即3acos A＝b·＋c·＝a，所以cos A＝，又0＜A＜π.所以sin A＝.又b＝2，所以asin B＝bsin A＝2×＝.故选C.二、填空题7．(必修4 P146A组T5(1)改编)－＝______．解析：－＝3cos 80°－sin 80°sin 80°cos 80°＝＝4sin（60°－80°）sin 160°＝＝－4.答案：－48．(必修5 P20A组T11(3)改编)△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c.A ＝120°，a＝7，S△ABC＝，则b＋c＝________．解析：由题意得，即，所以b2＋c2＋2bc ＝64.所以b ＋c ＝8. 答案：89．(必修4 P56练习T3改编)关于函数f(x)＝sin(x －)的下列结论： ①f(x)的一个周期是－8π； ②f(x)的图象关于x ＝对称； ③f(x)的图象关于点对称； ④f(x)在上单调递增；⑤f(x)的图象可由g(x)＝cosx 向右平移个单位得到．其中正确的结论有____________(填上全部正确结论的序号)．解析：f(x)的最小正周期T ＝＝4π.所以f(x)的一个周期为－8π.①正确．f ＝0，故②错误．③正确．由2k π－＜x －＜2k π＋，k∈Z，得 4k π－＜x ＜4k π＋π.令k ＝0得，－＜x ＜π.⊆.故④正确．g(x)＝cosx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2 ＝sin ，f(x)＝sin ＝sin ，所以g(x)的图象向右平移－(－π)＝π即可得到f(x)的图象．故⑤错误，即①③④正确．答案：①③④ 三、解答题10．(必修4 P147A 组T10改编)已知函数f(x)＝4sin(ωx －)·cos ωx 在x ＝处取得最值，其中ω∈(0，2)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若α为锐角，g(α)＝－，求cos α.解：(1)f(x)＝4sin·cos ωx＝2sin ωx·cos ωx－2cos2ωx＝(sin 2ωx－cos 2ωx)－＝2sin－，由于f(x)在x＝处取得最值，因此2ω·－＝kπ＋，k∈Z，所以ω＝2k＋，因为ω∈(0，2)，所以ω＝，因此，f(x)＝2sin－，所以T＝.(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，得到h(x)＝2sin－＝2sin－的图象，再将h(x)图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到g(x)＝2sin －的图象，故g(α)＝2sin－＝－，可得sin＝，因为α为锐角，所以－＜α－＜，因此cos＝＝，故cos α＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝.11．(必修5 P20A组T13改编)D为△ABC的边BC的中点．AB＝2AC＝2AD＝2.(1)求BC的长；(2)若∠ACB的平分线交AB于E，求S△ACE.解：(1)由题意知AB＝2，AC＝AD＝1.设BD＝DC＝m.在△ADB与△ADC中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.即1＋m2－2mcos∠ADB＝4，①1＋m2＋2mcos∠ADB＝1.②①＋②得m2＝，所以m＝，即BC＝.(2)在△ACE与△BCE中，由正弦定理得AE＝，＝，sin∠ACE由于∠ACE＝∠BCE，且＝，所以＝＝.所以BE＝AE，所以AE＝(－1)．又cos ∠BAC＝＝22＋12－（6）22×2×1＝－，所以sin ∠BAC＝，所以S△ACE＝AC·AE·sin ∠BAC＝×1×(－1)×＝.。

2019-2020年高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理、余弦定理及解三角形习题 理 新人教A 版(I)一、填空题1.(xx·哈尔滨模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则C ＝________.解析 法一 ∵S △ABC ＝12|AB ||AC |sin A ＝32，即12×3×1×sin A ＝32，∴sin A ＝1，∴A ＝90°， ∴C ＝60°.法二 由正弦定理，得sin B AC ＝sin C AB ，即12＝sin C 3，∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝34≠32(舍去).而当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝32，符合条件，故C ＝60°. 答案 60°2.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则角A 的大小为________.解析 由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2.答案π23.(xx·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为________.解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bc sin A＝ 3. 答案 34.(xx·泰州调研)张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是________km.解析 画出示意图如图，由条件知AB ＝24×1560＝6(km).在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6(km)，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°，所以BS ＝AB sin 30°sin 45°＝32(km).答案 3 25.(xx·河南六市联考)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC ＝2，则b 的值为________.解析 由S △ABC ＝12bc sin A ＝2，得bc ＝3，①又由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得b 2＋c 2＝6.② 由①②解得b ＝ 3. 答案36.(xx·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，A ＝2π3，则B ＝________.解析 由正弦定理知sin B ＝b sin A a ＝6×sin 23π3＝22，又因为a ＞b ，所以A ＞B ，所以B ＝π4.答案π47.(xx·重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sinA ＝2sinB ，则c ＝________.解析 由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，又a ＝2，所以b ＝3，故c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，所以c ＝4. 答案 48.(xx·江苏卷)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________.解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理得a ＋2b ＝2c .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－（a ＋2b ）242ab ＝34a 2＋12b 2－2ab22ab≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2ab22ab ＝6－24，故6－24≤cos C <1，故cos C 的最小值为6－24. 答案6－24二、解答题9.(xx·四川卷)已知A ，B ，C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋3px －p ＋1＝0(p ∈R )的两个实根. (1)求C 的大小；(2)若AB ＝3，AC ＝6，求p 的值.解 (1)由已知，方程x 2＋3px －p ＋1＝0的判别式 Δ＝(3p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0， 所以p ≤－2，或p ≥23，由根与系数的关系，有tan A ＋tan B ＝－3p ，tan A tan B ＝1－p ， 于是1－tan A tan B ＝1－(1－p )＝p ≠0，从而tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3pp ＝－3，所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝3， 所以C ＝60°.(2)由正弦定理，得sin B ＝AC sin C AB ＝6sin 60°3＝22， 解得B ＝45°，或B ＝135°(舍去)，于是A ＝180°－B －C ＝75°， 则tan A ＝tan 75°＝tan(45°＋30°) ＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝2＋3， 所以p ＝－13(tan A ＋tan B )＝－13(2＋3＋1)＝－1－ 3.10.(xx·苏北四市一检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 2－b 2－c2＋3bc ＝0，2b sin A ＝a ，BC 边上中线AM 的长为14. (1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积.解 (1)由a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0，得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，∴A ＝π6，由2b sin A ＝a ，得b ＝a ，∴B ＝A ＝π6.(2)设AC ＝BC ＝x ，由余弦定理，得AM 2＝x 2＋x 24－2x ·x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(14)2，解得x ＝22，故S △ABC ＝12×22×22×32＝2 3.(建议用时：20分钟)11.已知钝角△ABC 的面积为12，AB ＝1，BC ＝2，则AC 等于________.解析 ∵S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4. 当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，∴AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意.故AC ＝ 5. 答案512.(xx·南京师大附中模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S△ABC＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，则c ＝________.解析 ∵a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos C ，∴sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，由于0＜C ＜π，sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，∵S △ABC ＝23＝12ab sin C ＝34ab ，∴ab ＝8，又a ＋b ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋16－8＝12，∴c ＝2 3.答案 2 313.(xx·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________.解析 如图，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE .在等腰△CFB 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，所以BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰△ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BEsin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2. 答案 (6－2，6＋2)14.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且a ＝12c ＋b cos C .(1)求角B 的大小；(2)若S △ABC ＝3，b ＝13，求a ＋c 的值.解 (1)由正弦定理，得sin A ＝12sin C ＋sin B cos C ，又因为A ＝π－(B ＋C )，所以sin A ＝sin(B ＋C )， 可得sin B cos C ＋cos B sin C ＝12sin C ＋sin B cos C ，即cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为S △ABC ＝3，所以12ac sin π3＝3，所以ac ＝4，由余弦定理可知b 2＝a 2＋c 2－ac ，所以(a ＋c )2＝b 2＋3ac ＝13＋12＝25，即a ＋c ＝5.。

一、选择题1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选B.因为点P (tan α，cos α)在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α＜0cos α＜0，所以α为第二象限角．2．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 等于( ) A ． 3B ．± 3C ．－ 2D ．－ 3解析：选D.依题意得cos α＝xx 2＋5＝24x ＜0，由此解得x ＝－3，故选D. 3．集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：选C.当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2.故选C.4．若角α的终边在直线y ＝－x 上，则角α的取值集合为( ) A ．{α|α＝k ·360°－45°，k ∈Z } B ．{α|α＝k ·2π＋34π，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·π＋34π，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·π－π4，k ∈Z }解析：选D.由图知，角α的取值集合为{α|α＝2n π＋34π，n ∈Z }∪{α|α＝2n π－π4，n ∈Z }＝{α|α＝(2n ＋1)π－π4，n ∈Z }∪{α|α＝2n π－π4，n ∈Z }＝{α|α＝k π－π4，k ∈Z }．5．在(0，2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为( ) A ．(π4，π2)∪(π，5π4)B ．(π4，π)C ．(π4，π)∪(5π4，3π2)D ．(π4，5π4)解析：选D.如图所示，找出在(0，2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈(π4，5π4)．6．(2018·安徽省江淮十校协作体联考)已知锐角α，且5α的终边上有一点P (sin(－50°)，cos 130°)，则α的值为( )A ．8°B ．44°C ．26°D ．40°解析：选B.因为sin(－50°)<0，cos 130°＝－cos 50°<0，所以点P (sin(－50°)，cos 130°)在第三象限．又因为0°<α<90°，所以0°<5α<450°.又因为点P 的坐标可化为(cos 220°，sin 220°)， 所以5α＝220°，所以α＝44°，故选B.二、填空题7．在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，且点A 在第二象限，则cos α＝________．解析：因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案：－358．与角2 017°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．解析：因为2 017°＝217°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 017°的终边相同的角是217°.答案：217°9．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到点B ，则点B 的坐标为________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 的坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3) 10．(2017·高考北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________．解析：法一：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y 轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13.综合可得sin β＝13.法二：令角α与角β均在区间(0，π)内，故角α与角β互补，得sin β＝sin α＝13.法三：由已知可得，sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin (π－α)＝sin α＝13(k ∈Z )．答案：13三、解答题11．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值． 解：因为角θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)， 所以tan θ＝－1x ，又tan θ＝－x ，所以x 2＝1，所以x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.12．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，所以α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)法一：因为2r ＋l ＝8，所以S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14(l ＋2r 2)2＝14×(82)2＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.所以圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：因为2r ＋l ＝8，所以S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.所以弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.。