2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷3,含答案).docx
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绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试二、选择题(第14~18题只有一项符合题目要求,第19~21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分,选对但不全的得3分,有选错的得0分。
)14.行驶中的汽车如果发生剧烈碰撞,车内的安全气囊会被弹出并瞬间充满气体。
若碰撞后汽车的速度在很短时间内减小为零,关于安全气囊在此过程中的作用,下列说法正确的是A.增加了司机单位面积的受力大小B.减少了碰撞前后司机动量的变化量C.将司机的动能全部转换成汽车的动能D.延长了司机的受力时间并增大了司机的受力面积15.火星的质量约为地球质量的1/10,半径约为地球半径的1/2,则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为A.0.2 B.0.4 C.2.0 D.2.516.如图,一同学表演荡秋千。
已知秋千的两根绳长均为10 m,该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。
绳的质量忽略不计,当该同学荡到秋千支架的正下方时,速度大小为8 m/s,此时每根绳子平均承受的拉力约为A.200 N B.400 N C.600 N D.800 N17.图(a)所示的电路中,K与L间接一智能电源,用以控制电容器C两端的电压U C。
如果U C随时间t 的变化如图(b)所示,则下列描述电阻R两端电压U R随时间t变化的图像中,正确的是18.一匀强磁场的磁感应强度大小为B ,方向垂直于纸面向外,其边界如图中虚线所示,ab 为半圆,ac 、bd 与直径ab 共线,ac 间的距离等于半圆的半径。
一束质量为m 、电荷量为q (q >0)的粒子,在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场,这些粒子具有各种速率。
不计粒子之间的相互作用。
在磁场中运动时间最长的粒子,其运动时间为A .76mqBπ B .54m qB π C .43m qB π D .32mqBπ 19.下列核反应方程中,X 1,X 2,X 3,X 4代表α粒子的有A .2211101H +H n +X →B .2311102H +H n +X →C .23511448992056363U +n Ba +Kr +3X → D .1630314n +Li H +X →20.一物块在高3.0 m 、长5.0 m 的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑,其重力势能和动能随下滑距离s 的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示,重力加速度取10 m/s 2。
2020年普通高等学校招生全国统一考试Ⅲ卷7.宋代《千里江山图》描绘了山清水秀的美丽景色,历经千年色彩依然,其中绿色来自孔雀石颜料(主要成分为Cu(OH)2·CuCO 3),青色来自蓝铜矿颜料(主要成分为Cu(OH)2·2CuCO 3)。
下列说法错误的是 A .保存《千里江山图》需控制温度和湿度B .孔雀石、蓝铜矿颜料不易被空气氧化C .孔雀石、蓝铜矿颜料耐酸耐碱D .Cu(OH)2·CuCO 3中铜的质量分数高于Cu(OH)2·2CuCO 38.金丝桃苷是从中药材中提取的一种具有抗病毒作用的黄酮类化合物,结构式如下:下列关于金丝桃苷的叙述,错误的是 A .可与氢气发生加成反应 B .分子含21个碳原子 C .能与乙酸发生酯化反应D .不能与金属钠反应9.N A 是阿伏加德罗常数的值。
下列说法正确的是 A .22.4 L(标准状况)氮气中含有7N A 个中子B .1 mol 重水比1 mol 水多N A 个质子C .12 g 石墨烯和12 g 金刚石均含有N A 个碳原子D .1 L 1 mol·L −1 NaCl 溶液含有28N A 个电子10.喷泉实验装置如图所示。
应用下列各组气体—溶液,能出现喷泉现象的是11.对于下列实验,能正确描述其反应的离子方程式是A .用Na 2SO 3溶液吸收少量Cl 2:323SO -+Cl 2+H 2O = 23HSO -+2Cl -+24SO -B .向CaCl 2溶液中通入CO 2:Ca 2++H 2O+CO 2=CaCO 3↓+2H +C .向H 2O 2溶液中滴加少量FeCl 3:2Fe 3+ +H 2O 2=O 2↑+2H ++2Fe 2+D .同浓度同体积NH 4HSO 4溶液与NaOH 溶液混合:4NH ++OH -=NH 3·H 2O12.一种高性能的碱性硼化钒(VB 2)—空气电池如下图所示,其中在VB 2电极发生反应:32442VB 16OH 11e VO 2B(OH)4H O ----+-=++该电池工作时,下列说法错误的是A .负载通过0.04 mol 电子时,有0.224 L(标准状况)O 2参与反应B .正极区溶液的pH 降低、负极区溶液的pH 升高C .电池总反应为3222444VB 11O 20OH 6H O 8B(OH)4VO ---+++=+D .电流由复合碳电极经负载、VB 2电极、KOH 溶液回到复合碳电极 13.W 、X 、Y 、Z 为原子序数依次增大的短周期元素,四种元素的核外电子总数满足X+Y=W+Z ;化合物XW 3与WZ 相遇会产生白烟。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ)数学试卷(理科)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(A∪B)=1.已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},则UA.{-2,3}B.{-2,2,3}C.{-2,-1,0,3}D.{-2,-10,2,3}2.若α为第四象限角,则A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<03.在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压,为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作。
已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天新订单是1600份的概率为0.05。
志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天积压订单及当日订单配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,己知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇形面形石板(不含天心石)A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为52535456.数列{a n}中,a1=2,a m+n=a m a n,若a k+1+a k+2+…+a k+10=215-25,则k=A.2B.3C.4D.57.右图是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M,在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为A.EB.FC.GD.H8.设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:22221(0,0)x ya ba b-=>>的两条渐近线分别交于D,E两点。
1.D2.B3.C4.C5.D6.B7.C8.C9.A 10.A 11.D 12.B 13.1 14.3 15.2 16.-1417.解:(1)设{a n }的公比为q ,由题设得2a 1=a 2+a 3,即2a 1=a 1q +a 1q 2.所以q 2+q -2=0,解得q =1(舍去),q =-2.故{a n }的公比为-2.(2)记S n 为{na n }的前n 项和.由(1)及题设可得,a n =(-2)n -1.所以S n =1+2ˑ(-2)+ +n ˑ(-2)n -1,-2S n =-2+2ˑ(-2)2+ +(n -1)ˑ(-2)n -1+n ˑ(-2)n .可得3S n =1+(-2)+(-2)2+ +(-2)n -1-n ˑ(-2)n =1-(-2)n 3-n ˑ(-2)n .所以S n =19-(3n +1)(-2)n 9.18.解:(1)设DO =a ,由题设可得P O =66a ,AO =33a ,AB =a .P A =P B =P C =22a .因此P A 2+P B 2=AB 2,从而P A ʅP B .又P A 2+P C 2=AC 2,故P A ʅP C.所以P A ʅ平面P B C .(2)以O 为坐标原点,OE ң的方向为y轴正方向,|OE ң|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O -x y z .由题设可得E (0,1,0),A (0,-1,0),C -32,12,0 ,P 0,0,22 .所以OE ң=-32,-12,0 ,E P ң=0,-1,22 .设m =(x ,y ,z )是平面P CE 的法向量,测m ㊃E P ң=0,m ㊃E C ң=0, 即-y +22z =0,-32x -12y =0.可取m =-33,1,2.由(1)知E C ң=0,1,22是平面P CB 的一个法向量,记n =A P ң,则cos <n ,m >=n ㊃m |n |㊃|m |=255.所以二面角B -P C -E 的余弦值为255.2020年普通高等学校招生全国统一考试试题参考答案数 学(理科)19.解:(1)甲连胜四场的概率为116.(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况:甲连胜四场的概率为116;乙连胜四场的概率为116;丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为1-116-116-18=34.(3)丙最终获胜,有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18;比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜㊁负㊁轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为116,18,18.因此丙最终获胜的概率为18+116+18+18=716.20.解:(1)由题设得A (-a ,0),B (a ,0),G (0,1).则AG ң=(a ,1),GB ң=(a ,-1).由AG ң㊃GB ң=8得a 2-1=8,即a =3.所以E 的方程为x 29+y 2=1.(2)设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),P (6,t ).若t ʂ0,设直线C D 的方程为x =m y +n ,由题意可知-3<n <3.由于直线P A 的方程为y =t 9(x +3),所以y 1=t 9(x 1+3).直线P B 的方程为y =t 3(x -3),所以y 2=t 3(x 2-3).可得3y 1(x 2-3)=y 2(x 1+3).由于x 229+y 22=1,故y 22=-(x 2+3)(x 2-3)9,可得27y 1y 2=-(x 1+3)(x 2+3),即(27+m 2)y 1y 2+m (n +3)(y 1+y 2)+(n +3)2=0. ①将x =m y +n 代入x 29+y 2=1得(m 2+9)y 2+2m n y +n 2-9=0.所以y 1+y 2=-2m n m 2+9,y 1y 2=n 2-9m 2+9.代入①式得(27+m 2)(n 2-9)-2m (n +3)m n +(n +3)2(m 2+9)=0.解得n =-3(舍去),n =32.故直线C D 的方程为x =m y +32,即直接C D 过定点32,0 .2020年普通高等学校招生全国统一考试试题参考答案数 学(理科)若t =0,则直线C D 的方程为y =0,过点32,0 .综上,直线C D 过定点32,0 .21.解:(1)当a =1时,f (x )=e x +x 2-x ,f '(x )=e x +2x -1.故当x ɪ(-ɕ,0)时,f '(x )<0;当x ɪ(0,+ɕ)时,f '(x )>0.所以f (x )在(-ɕ,0)单调递减,在(0,+ɕ)单调递增.(2)f (x )ȡ12x 3+1等价于12x 3-ax 2+x +1 e -x ɤ1.设函数g (x )=12x 3-ax 2+x +1e -x (x ȡ0),则g '(x )=-12x 3-ax 2+x +1-32x 2+2ax -1 e -x =-12x [x 2-(2a +3)x +4a +2]e -x =-12x (x -2a -1)(x -2)e -x .(ⅰ)若2a +1ɤ0,即a ɤ-12,则当x ɪ(0,2)时,g '(x )>0,所以g (x )在(0,2)单调递增,而g (0)=1,故当x ɪ(0,2)时,g (x )>1,不合题意.(ⅱ)若0<2a +1<2,即-12<a <12,则当x ɪ(0,2a +1)ɣ(2,+ɕ)时,g '(x )<0;当x ɪ(2a +1,2)时,g '(x )>0.所以g (x )在(0,2a +1),(2,+ɕ)单调递减,在(2a +1,2)单调递增.由于g (0)=1,所以g (x )ɤ1当且仅当g (2)=(7-4a )e -2ɤ1,即a ȡ7-e 24.所以当7-e 24ɤa <12时,g (x )ɤ1.(ⅲ)若2a +1ȡ2,即a ȡ12,则g (x )ɤ12x 3+x +1 e -x .由于0ɪ12 ,故由(ⅱ)可得12x 3+x +1 e -x ɤ1.故当a ȡ12时,g (x )ɤ1.综上,a 的取值范围是+ɕ.22.解:(1)当k =1时,C 1ʒx =cos t ,y =si n t , 消去参数t 得x 2+y 2=1,故曲线C 1是圆心为坐标原点,半径为1的圆.(2)当k =4时,C 1ʒx =cos 4t ,y =si n 4t , 消去参数t 得C 1的直角坐标方程为x +y =1.C 2的直角坐标方程为4x -16y +3=0.由x +y =1,4x -16y +3=0 解得x =14,y =14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为14,14 .2020年普通高等学校招生全国统一考试试题参考答案数 学(理科)23.解:(1)由题设知f (x )=-x -3,x ɤ-13,5x -1,-13<x ɤ1,x +3,x >1.y =f (x )的图象如图所示.(2)函数y =f (x )的图象向左平移1个单位长度后得到函数y =f (x +1)的图象.y =f (x )的图象与y =f (x +1)的图象的交点坐标为-76,-116 .由图象可知当且仅当x <-76时,y =f (x )的图象在y =f (x +1)的图象上方.故不等式f (x )>f (x +1)的解集为-ɕ,-76 .2020年普通高等学校招生全国统一考试试题参考答案数 学(理科)。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}2.2i 12i -= +A.1B.−1C.i D.−i3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有A.120种B.90种C.60种D.30种4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为A .20°B .40°C .50°D .90°5.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A .62% B .56% C .46%D .42%6.基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:(e)rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律,指数增长率r 与R 0,T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28,T =6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A .1.2天 B .1.8天 C .2.5天D .3.5天7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则AP AB ⋅的取值范围是 A .()2,6- B .()6,2- C .()2,4-D .()4,6-8.若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减,且f (2)=0,则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A .[)1,1][3,-+∞ B .3,1][,[01]-- C .[)1,0][1,-+∞ D .1,0]3][[1,-二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试课标1理科数学2020年全国1高考数学与2020全国1高考数学难度方面相对持平,在选择题和填空题方面难度有所提升,解答题方面难度有所减缓.在保持稳定的基础上,进行适度创新,尤其是选择填空压轴题.试卷内容上体现新课程理念,贴近中学数学教学,坚持对基础性的考查,同时加大了综合性、应用性和创新性的考查,如理科第2、3、10、11、12、16、19题,文科第2、4、9、12、19题.1.体现新课标理念,重视对传统核心考点考查的同时,增加了对数学文化的考查,如理科第2题,文科第4题以中国古代的太极图为背景,考查几何概型.2.关注通性通法.试卷淡化了特殊的技巧,全面考查通性通法,体现了以知识为载体,以方法为依托,以能力考查为目的的命题要求.3.考查了数学思想、数学能力、数学的科学与人文价值,体现了知识与能力并重、科学与人文兼顾的精神.如理科第6、10、13、15题,文科第5、12、13、16题对数形结合思想的考查;理科第11,文科第9题对函数与方程思想的考查;理科第12、16题对数学的科学与人文价值的考查.4.体现了创新性,如理科第19题,文科第19题立意新、情景新、设问新,增强了学生数学应用意识和创新能力.命题趋势:(1)函数与导数知识:以函数性质为基础,考查函数与不等式综合知识,如理科第5题,;以基本初等函数为背景考查构造新函数解决比较大小问题,如理科第11题;对含参单调性以及零点问题的考查,如理科21题,比较常规.(2)三角函数与解三角形知识:对三角函数图像与性质的考查,如理科第9题;;对解三角形问题的考查,如理科第17题.重视对基础知识与运算能力的考查.(3)数列知识:对数列性质的考查,如理科第4题;突出了数列与现实生活的联系,考查学生分析问题的能力,如理科第12题,难点较大.整体考查比较平稳,没有出现偏、怪的数列相关考点.(4)立体几何知识:对立体几何图形的认识与考查,如理科第7题,试题难度不大,比较常规;对简单几何体的体积知识的考查,如理科第16题,用到函数知识进行解决,体现了综合性,难度较大,立体几何解答题的考查较常规,如理科对二面角的考查.(5)解析几何知识:对圆锥曲线综合知识的考查,如理科第15题,难度偏大;解答题考查较为常规,考查直线与圆锥曲线的位置关系,难度中等,重视对学生运算能力的考查.【试卷解析】一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =<I B .A B =R U C .{|1}A B x x =>UD .A B =∅I【答案】A2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是A .14 B .π8 C .12D .π4【答案】B 【解析】试题分析:设正方形边长为a ,则圆的半径为2a ,则正方形的面积为2a ,圆的面积为24a π.由图形的对称性可知,太极图中黑白部分面积相等,即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得,此点取自黑色部分的概率是221248a a ππ⋅=,选B. 秒杀解析:由题意可知,此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例,由图可知其概率1142p <<,故选B.【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的计算,首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域(长度、面积、体积或时间),其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量,最后计算()P A . 3.设有下面四个命题1p :若复数z 满足1z ∈R ,则z ∈R ;2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ;3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =;4p :若复数z ∈R ,则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB .14,p pC .23,p pD .24,p p【答案】B4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为A .1B .2C .4D .8【答案】C 【解析】试题分析:设公差为d ,45111342724a a a d a d a d +=+++=+=,611656615482S a d a d ⨯=+=+=,联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =,故选C.秒杀解析:因为166346()3()482a a S a a +==+=,即3416a a +=,则4534()()24168a a a a +-+=-=,即5328a a d -==,解得4d =,故选C. 【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时,要多多使用等差数列的性质,如{}n a 为等差数列,若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+.5.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A .[2,2]-B .[1,1]-C .[0,4]D .[1,3]【答案】D6.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A .15B .20C .30D .35【答案】C 【解析】试题分析:因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+,则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=,621(1)x x⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x ⋅=,故2x 前系数为151530+=,选C. 【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题,第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项,分析好2x 的项共有几项,进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况,尤其是两个二项式展开式中的r 不同.7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为A.10 B.12 C.14 D.16【答案】B8.右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入A.A>1 000和n=n+1B.A>1 000和n=n+2C.A≤1 000和n=n+1D.A≤1 000和n=n+2【答案】D9.已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+2π3),则下面结论正确的是A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2 【答案】D 【解析】试题分析:因为12,C C 函数名不同,所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名,则222:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x ππππ=+=+-=+,则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为sin 2y x =,再将曲线向左平移12π个单位得到2C ,故选D. 【考点】三角函数图像变换.【名师点睛】对于三角函数图像变换问题,首先要将不同名函数转换成同名函数,利用诱导公式,需要重点记住sin cos(),cos sin()22ππαααα=-=+;另外,在进行图像变换时,提倡先平移后伸缩,而先伸缩后平移在考试中经常出现,无论哪种变换,记住每一个变换总是对变量x 而言.10.已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为 A .16B .14C .12D .10【答案】A2222||sin cos()2p pDE παα==-,所以22222211||||4()cos sin cos sin p p AB DE αααα+=+=+ 2222222211sin cos 4()(cos sin )4(2)4(22)16cos sin cos sin αααααααα=++=++≥⋅+=11.设x 、y 、z 为正数,且235x y z ==,则A .2x <3y <5zB .5z <2x <3yC .3y <5z <2xD .3y <2x <5z【答案】D12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N :N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A .440B .330C .220D .110【答案】A【解析】试题分析:由题意得,数列如下:11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k -LL L则该数列的前(1)122k k k ++++=L 项和为 1(1)1(12)(122)222k k k k S k ++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭L L 要使(1)1002k k +>,有14k ≥,此时122k k ++<,所以2k +是之后的等比数列11,2,,2k +L 的部分和,即1212221t t k -+=+++=-L ,所以2314tk =-≥,则5t ≥,此时52329k =-=, 对应满足的最小条件为293054402N ⨯=+=,故选A. 【考点】等差数列、等比数列的求和.【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起,首先需要读懂题目所表达的具体含义,以及观察所给定数列的特征,进而判断出该数列的通项和求和.另外,本题的难点在于数列里面套数列,第一个数列的和又作为下一个数列的通项,而且最后几项并不能放在一个数列中,需要进行判断. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则| a +2 b |= . 【答案】2314.设x,y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,则32z x y=-的最小值为.【答案】5-15.已知双曲线C:22221x ya b-=(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C 的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为________.23【考点】双曲线的简单性质.【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质,所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点:①求解渐近线,直接把双曲线后面的1换成0即可;②双曲线的焦点到渐近线的距离是b;③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc.16.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为_______.【答案】415【考点】简单几何体的体积【名师点睛】对于三棱锥最值问题,肯定需要用到函数的思想进行解决,本题解决的关键是设好未知量,利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决,当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17.(12分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin B sin C ;(2)若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长.【考点】三角函数及其变换.【名师点睛】在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使用面积公式建立等式,再将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角,再有另外一个条件,求面积或周长的值”,这类问题通法思路是:全部转化为角的关系,建立函数关系式,如sin()y A x b ωϕ=++,从而求出范围,或利用余弦定理以及基本不等式求范围;求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB//CD ,且90BAP CDP ∠=∠=o .(1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ;(2)若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=o ,求二面角A -PB -C 的余弦值.则3cos ,||||3⋅==-<>n m n m n m , 所以二面角A PB C --的余弦值为33-. 【考点】面面垂直的证明,二面角平面角的求解【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面:①求异面直线所成的角,关键是转化为两直线的方向向量的夹角;②求直线与平面所成的角,关键是转化直线的方向向量和平面的法向量的夹角;③求二面角,关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. 19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ.(1)假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数,求(1)P X ≥及X 的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.95 10.12 9.969.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑,161622221111()(16)0.2121616i ii i s x x x x ===-=-≈∑∑,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1,2,,16i =⋅⋅⋅.用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01). 附:若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ,则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=,160.997 40.959 2=,0.0080.09≈.试题解析:(1)抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026,故~(16,0.0026)X B .因此(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-=.X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=.20.(12分)已知椭圆C :2222=1x y a b+(a >b >0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(–1,32),P 4(1,32)中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程;(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1,证明:l 过定点.(2)设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1,k 2,如果l 与x 轴垂直,设l :x =t ,由题设知0t ≠,且||2t <,可得A ,B 的坐标分别为(t ,24t -,(t ,24t -). 则221242421t t k k ---++==-,得2t =,不符合题设. 从而可设l :y kx m =+(1m ≠).将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2841kmk -+,x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-,故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-. 当且仅当1m >-时,0∆>,欲使l :12m y x m +=-+,即11(2)2m y x ++=--, 所以l 过定点(2,1-)【考点】椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质,判断点是否在椭圆上,可以通过这一方法进行判断;证明直线过定点的关键是设出直线方程,通过一定关系转化,找出两个参数之间的关系式,从而可以判断过定点情况.另外,在设直线方程之前,若题设中为告知,则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况,接着通法是联立方程组,求判别式、韦达定理,根据题设关系进行化简. 21.(12分)已知函数2()(2)x xf x ae a e x =+--.(1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.[选修4―4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩(为参数). (1)若a =−1,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l 17 a.【解析】试题分析:(1)先将曲线C 和直线l 化成普通方程,然后联立求出交点坐标;(2)直线l 的普通方程为440x y a +--=,设C 上的点(3cos ,sin )θθ,l 的距离为17d =.对a 进行讨23.[选修4—5:不等式选讲](10分)已知函数f (x )=–x 2+ax +4,g (x )=│x +1│+│x –1│.(1)当a =1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集;(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[–1,1],求a 的取值范围.【解析】试题分析:(1)将1a =代入,不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤,对x 按1x <-,11x -≤≤,1x >讨论,得出最值的解集;(2)当[1,1]x ∈-时,()2g x =.若()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-,。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷1)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 设,则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:首先根据复数的运算法则,将其化简得到,根据复数模的公式,得到,从而选出正确结果.详解:因为,所以,故选C.点睛:该题考查的是有关复数的运算以及复数模的概念及求解公式,利用复数的除法及加法运算法则求得结果,属于简单题目.2. 已知集合,则A. B.C. D.【答案】B【解析】分析:首先利用一元二次不等式的解法,求出的解集,从而求得集合A,之后根据集合补集中元素的特征,求得结果.详解:解不等式得,所以,所以可以求得,故选B.点睛:该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题,在解题的过程中,需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征,从而求得结果.3. 某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后,种植收入减少B. 新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后,养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】分析:首先设出新农村建设前的经济收入为M,根据题意,得到新农村建设后的经济收入为2M,之后从图中各项收入所占的比例,得到其对应的收入是多少,从而可以比较其大小,并且得到其相应的关系,从而得出正确的选项.详解:设新农村建设前的收入为M,而新农村建设后的收入为2M,则新农村建设前种植收入为0.6M,而新农村建设后的种植收入为0.74M,所以种植收入增加了,所以A项不正确;新农村建设前其他收入我0.04M,新农村建设后其他收入为0.1M,故增加了一倍以上,所以B项正确;新农村建设前,养殖收入为0.3M,新农村建设后为0.6M,所以增加了一倍,所以C项正确;新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的,所以超过了经济收入的一半,所以D正确;故选A.点睛:该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图,要会从图中读出相应的信息即可得结果.4. 设为等差数列的前项和,若,,则A. B. C. D.【答案】B详解:设该等差数列的公差为,根据题中的条件可得,整理解得,所以,故选B.点睛:该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用,在解题的过程中,需要利用题中的条件,结合等差数列的求和公式,得到公差的值,之后利用等差数列的通项公式得到与的关系,从而求得结果.5. 设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:利用奇函数偶此项系数为零求得,进而得到的解析式,再对求导得出切线的斜率,进而求得切线方程.详解:因为函数是奇函数,所以,解得,所以,,所以,所以曲线在点处的切线方程为,化简可得,故选D.点睛:该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题,在求解的过程中,首先需要确定函数解析式,此时利用到结论多项式函数中,奇函数不存在偶次项,偶函数不存在奇次项,从而求得相应的参数值,之后利用求导公式求得,借助于导数的几何意义,结合直线方程的点斜式求得结果.6. 在△中,为边上的中线,为的中点,则A. B.C. D.【答案】A【解析】分析:首先将图画出来,接着应用三角形中线向量的特征,求得,之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则,得到,之后将其合并,得到,下一步应用相反向量,求得,从而求得结果.详解:根据向量的运算法则,可得,所以,故选A.点睛:该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题,涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题,在解题的过程中,需要认真对待每一步运算.7. 某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点在正视图上的对应点为,圆柱表面上的点在左视图上的对应点为,则在此圆柱侧面上,从到的路径中,最短路径的长度为A. B.C. D. 2【答案】B【解析】分析:首先根据题中所给的三视图,得到点M和点N在圆柱上所处的位置,点M在上底面上,点N 在下底面上,并且将圆柱的侧面展开图平铺,点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处,根据平面上两点间直线段最短,利用勾股定理,求得结果.详解:根据圆柱的三视图以及其本身的特征,可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽,圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处,所以所求的最短路径的长度为,故选B.点睛:该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题,在解题的过程中,需要明确两个点在几何体上所处的位置,再利用平面上两点间直线段最短,所以处理方法就是将面切开平铺,利用平面图形的相关特征求得结果.8. 设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(–2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则=A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】分析:首先根据题中的条件,利用点斜式写出直线的方程,涉及到直线与抛物线相交,联立方程组,消元化简,求得两点,再利用所给的抛物线的方程,写出其焦点坐标,之后应用向量坐标公式,求得,最后应用向量数量积坐标公式求得结果.详解:根据题意,过点(–2,0)且斜率为的直线方程为,与抛物线方程联立,消元整理得:,解得,又,所以,从而可以求得,故选D.点睛:该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题,在求解的过程中,首先需要根据题意确定直线的方程,之后需要联立方程组,消元化简求解,从而确定出,之后借助于抛物线的方程求得,最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标,之后应用向量数量积坐标公式求得结果,也可以不求点M、N的坐标,应用韦达定理得到结果.9. 已知函数.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是A. [–1,0)B. [0,+∞)C. [–1,+∞)D. [1,+∞)【答案】C【解析】分析:首先根据g(x)存在2个零点,得到方程有两个解,将其转化为有两个解,即直线与曲线有两个交点,根据题中所给的函数解析式,画出函数的图像(将去掉),再画出直线,并将其上下移动,从图中可以发现,当时,满足与曲线有两个交点,从而求得结果.详解:画出函数的图像,在y轴右侧的去掉,再画出直线,之后上下移动,可以发现当直线过点A时,直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图像有两个交点,即方程有两个解,也就是函数有两个零点,此时满足,即,故选C.点睛:该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题,在求解的过程中,解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题,将式子移项变形,转化为两条曲线交点的问题,画出函数的图像以及相应的直线,在直线移动的过程中,利用数形结合思想,求得相应的结果.10. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为II,其余部分记为III.在整个图形中随机取一点,此点取自I,II,III的概率分别记为p1,p2,p3,则A. p1=p2B. p1=p3C. p2=p3D. p1=p2+p3【答案】A详解:设,则有,从而可以求得的面积为,黑色部分的面积为,其余部分的面积为,所以有,根据面积型几何概型的概率公式,可以得到,故选A.点睛:该题考查的是面积型几何概型的有关问题,题中需要解决的是概率的大小,根据面积型几何概型的概率公式,将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小,利用相关图形的面积公式求得结果.11. 已知双曲线C:,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形,则|MN|=A. B. 3 C. D. 4【答案】B【解析】分析:首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率,并求得其右焦点的坐标,从而得到,根据直角三角形的条件,可以确定直线的倾斜角为或,根据相关图形的对称性,得知两种情况求得的结果是相等的,从而设其倾斜角为,利用点斜式写出直线的方程,之后分别与两条渐近线方程联立,求得,利用两点间距离同时求得的值.详解:根据题意,可知其渐近线的斜率为,且右焦点为,从而得到,所以直线的倾斜角为或,根据双曲线的对称性,设其倾斜角为,可以得出直线的方程为,分别与两条渐近线和联立,求得,所以,故选B.点睛:该题考查的是有关线段长度的问题,在解题的过程中,需要先确定哪两个点之间的距离,再分析点是怎么来的,从而得到是直线的交点,这样需要先求直线的方程,利用双曲线的方程,可以确定其渐近线方程,利用直角三角形的条件得到直线的斜率,结合过右焦点的条件,利用点斜式方程写出直线的方程,之后联立求得对应点的坐标,之后应用两点间距离公式求得结果.12. 已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析:首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱,所以与12条棱所成角相等,只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可,从而判断出面的位置,截正方体所得的截面为一个正六边形,且边长是面的对角线的一半,应用面积公式求得结果.详解:根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的,所以在正方体中,平面与线所成的角是相等的,所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的,同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等,要求截面面积最大,则截面的位置为夹在两个面与中间的,且过棱的中点的正六边形,且边长为,所以其面积为,故选A.点睛:该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题,首要任务是需要先确定截面的位置,之后需要从题的条件中找寻相关的字眼,从而得到其为过六条棱的中点的正六边形,利用六边形的面积的求法,应用相关的公式求得结果.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I)英语注意事项:1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分听力(共两节,满分30分)做题时,先将答案标在试卷上。
录音内容结束后,你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题;每小题1.5分,满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后,你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例:How much is the shirt?A. £19.15.B. £9.18.C. £9.15.答案是C。
1. Where are the speakers?A. At a swimming pool.B. In a clothing shop.C. At a school lab.2. What will Tom do next?A. Turn down the music.B. Postpone the show.C. Stop practicing.3. What is the woman busy doing?A. Working on a paper.B. Tidying up the office.C. Organizing a party.4. When will Henry start his vacation?A. This weekend.B. Next week.C. At the end of August.5. What does Donna offer to do for Bill?A. Book a flight for him.B. Drive him to the airport.C. Help him park the car.第二节(共15小题;每小题1.5分,满分22.5分)听下面5段对话或独白。
绝密★启用前 6月8日15:00—16:402020年普通高等学校全国统一考试(新课标全国卷III)英语注意事项:本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷注意事项:1.答第I卷前,考考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2.选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。
不能答在本试卷,否则无效。
第一部分阅读理解(共两节,满分40分)第一节(共15小题;每小题2分,满分30分)阅读下列短文,从每题所给的四个选项(A、B、C和D)中,选出最佳选项,并在答题卡上将该项涂黑。
AOpera at Music Hall:1243 Elm Street. The season runs June through August,with additional performances in March and September.The Opera honors enjoy the Artsmembershipdiscounts. Phone:241-2742. . Chamber Orchestra: The Orchestra plays at Memorial Hall at 1406 Elm Streer, which offers several concerts from March through June. Call 723-1182 for more information. http:.SymphonyOrchestra: At Music Hall and Riverbend. For ticket sales, call 381-3300. Regular season runs September through May at Music Hall in summer at Riverbend. /home.asp.College Conservatory of Music (CCM):Performances are onthemain campus(校园)ofthe university, usually at Patricia Cobbett Theater. CCM organizes a variety of events, including performances by the well-known Lasalle Quartet, CCM’s Philharmonic Orchestra, andvatiousgroups of musicians presenting Baroque through modern music Students with I.D card can attend the events for free. A free schedule of events for each term is available by calling the box office at 556-4183. /events/calendar. Riverbend Music Theater: 6295 Kellogg Ave. Large outdoor theater with the closest seats under cover (piecedifference).Big name shows all summer long! Phone:232-6220. http:///.1·Whichnumber shouldyoucallifyouwantto see opera?A 241-2742.B 723-1182.C 381-3300D 232-62202.When canyougotoaconcert byChamber OrchestraA.February. B May. C August. D November.3.Wherecanstudent go for free preformances with their ID cards?A.MusicHall.B .Memorial Hall.C.Patricia Cobbett Theater.D.RiverbendMusicTheater4·H ow isRiverbend MusicTheaterdifferentfrom the other places?A.Ithas seatsintheopenair.B.Itgives shows allyear roundC.Itoffersmembership discounts.D.It presentsfamousmusicalworksBOn one of her trips to New York several years ago, Eudora Welty decided to take a couple of New York friends out to dinner. They settled in at a comfortable East Slide caféand within minutes, another customer was approaching their table.“Hey, aren’t you from Mississippi?” the elegant, white-haired writer remembered being asked by the stranger. “I’m from Mississippi too.”Without a second thought, the woman joined the Welty party. When her dinner partner showed up, she also pulled up a chair.“They began telling me all the news ofMississippi,”Welty said. “I didn’t know what my New York friends were thinking.”Taxis on a rainy New York night are rarer than sunshine. By the time the group got up to leave, it was pouring outside. Welty’s new friends immediately sent a waiter to find a cab. Heading back downtown toward her hotel, her big-city friends were amazed at the turn of events that had changed their Big Apple dinner into a Mississippi“My friends said: ‘Now we believe your stories,’”Welty added. And I said: ‘Now you know. These are the people that make me write them.’”Sitting on a soda in her room, Welty, a slim figure in a simple gray dress, looked pleased with this explanation.“I don’t make them up,”she said of the characters in her fiction these last 50 or so years. “I don’t have to.”Beauticians, bartenders, piano players and people with purple hats, Welty’s people come from afternoons spent visiting with old friends, from walks through the streets of her native Jackson, Miss., from conversations overheard on a bus. It annoys Welty that, at 78, her left ear has now given out. Sometimes, sitting on a bus or a train, she hears only a fragment(片段) of a particularly interesting story.5.What happened when Welty was with her friends at the cafe?A. Two strangersjoined her.B. Her childhood friends came inC. Aheavy rain ruined the dinner.D.Some people held apartythere.6 .The underlined word “them” in Paragraph 6 refers to Welty’s__A.readers B parties C.friendsD stories7. Whatcanwelearn aboutthecharactersinWelty’s fiction?A. Theylivein bigcitiesB.TheyaremostlywomenC. Theycomefrom reallifeD.Theyare pleasure seekersCIf you are a fruit grower — or would like to become one —take advantage of Apple Day to see what’s around. It’s called Apple Day but in practice it’s more like Apple Month. The day itself is on October 21, but since it has caught on, events now spread out over most of October around Britain.Visiting an apple event is a good chance to see, and often taste, a wide variety of apples. To people who are used to the limited choice of apples such as Golden Delicious and Royal Gala in supermarkets, it can be quite an eye opener to see the range of classical apples still in existence, such as Decio which was grown by the Romans. Although it doesn’t taste of anything special, it’s still worth a try, as is the knobbly(多疙瘩的) Cat’s Head which is more of a curiosity than anything else.There are also varieties developed to suit specific local conditions. One of the very best varieties for eating quality is Orleans Reinette, but you’ll need a warm, sheltered place with perfect soil to grow it, so it’s a pipe dream for most apple lovers who fall for it.At the events, you can meet expert growers and discuss which ones will best suit your conditions, and because these are family affairs, children are well catered for with apple-themed fun and games.Apple Days are being held at all sorts of places with an interest in fruit,including stately gardens and commercial orchards(果园).If you want to have a real orchard experience, try visiting the National Fruit Collection at Brogdale,near Faversham in Kent.8.What can people do attheapple events?A .Attend experts’lectures.B .Visit fruit-loving families.C .Plantfruit trees inan orchard.D. Tastemanykinds ofapples.9.What can welearnaboutDecio?A.Itisanew variety.B.It has a strangelook.C. Itisrarely seen now.D.Ithas a specialtaste.10. Whatdoesthe un derlined phrase““a pipe dream””in Paragraph 3mean?A.Apracticalidea.B. A vain hope.C.A brilliant plan.D. A selfish desire.11.Whatisthe author’s p urpose inwritingthe text?A.To showhowto grow apples.B .Tointroduce an applefestival.C.Tohelppeople selectapples.D. Topromoteapple research.DBad news sells. If it bleeds, it leads. No news is good news, and good news is no news. Those are the classic rules for the evening broadcasts and the morning papers. But now that information is being spread and monitored(监控) in different ways, researchers are discovering new rules. By tracking people’s e-mails and online posts, scientists have found that good news can spread faster and farther than disasters and sob stories.“The ‘if it bleeds’ rule works for mass media,” says Jonah Berger, a scholar at the University of Pennsylvania. “They want your eyeballs anddon’t care how you’re feeling. But when you share a story with your friends, you care a lot more how they react. You don’t want them to think o f you as a Debbie Downer.”Researchers analyzing word-of-mouth communication—e-mails,Web posts and reviews, face-to-face conversations—found that it tended to be more positive than negative(消极的), but that didn’t necessarily mean people preferred positive news. Was positive news shared more often simply because people experienced more good things than bad things? To test for that possibility, Dr. Berger looked at how people spread a particular set of news stories: thousands of articles on The New York Times’ website. He and a Penn colleague analyzed the “most e-mailed” list for six months. One of his first finds was that articles in the science section were much more likely to make the list than non-science articles. He found that science amazed Times’ readers and made them want to share this positive feeling with others. Readers also tended to share articles that were exciting or funny, or that inspired negative feelings like anger or anxiety, but not articles that left them merely sad. They needed to be aroused(激发) one way or the other, and they preferred good news to bad. The more positive an article, the more likely it was to be shared, as Dr. Berger explains in his new book, “Contagi ous: Why Things Catch On.”12 .Whatdothe classic rulesmentionedinthetext apply to?A.News reports.B. Research papers.C .Private e-malls.D.Daily conversations.13. What canweinferaboutpeople like DebbieDowner?A.They’re sociallyinactive.B.They’re good at telling stories.C. They’re inconsiderate ofothers.D. They’re carefulwiththeirwords.14.Whichtendedtobethemost e-mailed accordingtoDr.Berger’s research?A .Sports new.B .Science articles.C.Personal accounts.D. Financial reviews.15 .What canbea suitable title forthetext?A.SadStoriesTravel FarWide.B .OnlineNewsAttractsMorePeople.C.ReadingHabitsChange withthe Times.D.GoodNewsBeatsBadon SocialNetworks.第二节 (共5小题;每小题2分,满分10分)根据短文内容,从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4}2.2i 12i -= +A.1 B.−1C.i D.−i3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有A.120种B.90种C.60种D.30种4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为A.20°B.40°C.50°D.90°5.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是A.62% B.56%C.46% D.42%6.基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律,指数增长率r 与R 0,T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28,T =6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A .1.2天 B .1.8天 C .2.5天D .3.5天7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则AP AB ⋅ 的取值范用是 A .()2,6- B .()6,2- C .()2,4-D .()4,6-8.若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减,且f (2)=0,则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A .[)1,1][3,-+∞ B .3,1][,[01]-- C .[)1,0][1,-+∞D .1,0]3][[1,-二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试课标1理科数学2020年全国1高考数学与2020全国1高考数学难度方面相对持平,在选择题和填空题方面难度有所提升,解答题方面难度有所减缓.在保持稳定的基础上,进行适度创新,尤其是选择填空压轴题.试卷内容上体现新课程理念,贴近中学数学教学,坚持对基础性的考查,同时加大了综合性、应用性和创新性的考查,如理科第2、3、10、11、12、16、19题,文科第2、4、9、12、19题.1.体现新课标理念,重视对传统核心考点考查的同时,增加了对数学文化的考查,如理科第2题,文科第4题以中国古代的太极图为背景,考查几何概型.2.关注通性通法.试卷淡化了特殊的技巧,全面考查通性通法,体现了以知识为载体,以方法为依托,以能力考查为目的的命题要求.3.考查了数学思想、数学能力、数学的科学与人文价值,体现了知识与能力并重、科学与人文兼顾的精神.如理科第6、10、13、15题,文科第5、12、13、16题对数形结合思想的考查;理科第11,文科第9题对函数与方程思想的考查;理科第12、16题对数学的科学与人文价值的考查.4.体现了创新性,如理科第19题,文科第19题立意新、情景新、设问新,增强了学生数学应用意识和创新能力.命题趋势:(1)函数与导数知识:以函数性质为基础,考查函数与不等式综合知识,如理科第5题,;以基本初等函数为背景考查构造新函数解决比较大小问题,如理科第11题;对含参单调性以及零点问题的考查,如理科21题,比较常规.(2)三角函数与解三角形知识:对三角函数图像与性质的考查,如理科第9题;;对解三角形问题的考查,如理科第17题.重视对基础知识与运算能力的考查.(3)数列知识:对数列性质的考查,如理科第4题;突出了数列与现实生活的联系,考查学生分析问题的能力,如理科第12题,难点较大.整体考查比较平稳,没有出现偏、怪的数列相关考点.(4)立体几何知识:对立体几何图形的认识与考查,如理科第7题,试题难度不大,比较常规;对简单几何体的体积知识的考查,如理科第16题,用到函数知识进行解决,体现了综合性,难度较大,立体几何解答题的考查较常规,如理科对二面角的考查.(5)解析几何知识:对圆锥曲线综合知识的考查,如理科第15题,难度偏大;解答题考查较为常规,考查直线与圆锥曲线的位置关系,难度中等,重视对学生运算能力的考查.【试卷解析】一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =<I B .A B =R U C .{|1}A B x x =>UD .A B =∅I【答案】A2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是A .14 B .π8 C .12D .π4【答案】B 【解析】试题分析:设正方形边长为a ,则圆的半径为2a ,则正方形的面积为2a ,圆的面积为24a π.由图形的对称性可知,太极图中黑白部分面积相等,即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得,此点取自黑色部分的概率是221248a a ππ⋅=,选B. 秒杀解析:由题意可知,此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例,由图可知其概率1142p <<,故选B.【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的计算,首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域(长度、面积、体积或时间),其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量,最后计算()P A . 3.设有下面四个命题1p :若复数z 满足1z ∈R ,则z ∈R ;2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ;3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =;4p :若复数z ∈R ,则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB .14,p pC .23,p pD .24,p p【答案】B4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为A .1B .2C .4D .8【答案】C 【解析】试题分析:设公差为d ,45111342724a a a d a d a d +=+++=+=,611656615482S a d a d ⨯=+=+=,联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =,故选C.秒杀解析:因为166346()3()482a a S a a +==+=,即3416a a +=,则4534()()24168a a a a +-+=-=,即5328a a d -==,解得4d =,故选C. 【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时,要多多使用等差数列的性质,如{}n a 为等差数列,若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+.5.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A .[2,2]-B .[1,1]-C .[0,4]D .[1,3]【答案】D6.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A .15B .20C .30D .35【答案】C 【解析】试题分析:因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+,则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=,621(1)x x⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x ⋅=,故2x 前系数为151530+=,选C. 【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题,第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项,分析好2x 的项共有几项,进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况,尤其是两个二项式展开式中的r 不同.7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为A.10 B.12 C.14 D.16【答案】B8.右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入A.A>1 000和n=n+1B.A>1 000和n=n+2C.A≤1 000和n=n+1D.A≤1 000和n=n+2【答案】D9.已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+2π3),则下面结论正确的是A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2 【答案】D 【解析】试题分析:因为12,C C 函数名不同,所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名,则222:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x ππππ=+=+-=+,则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为sin 2y x =,再将曲线向左平移12π个单位得到2C ,故选D. 【考点】三角函数图像变换.【名师点睛】对于三角函数图像变换问题,首先要将不同名函数转换成同名函数,利用诱导公式,需要重点记住sin cos(),cos sin()22ππαααα=-=+;另外,在进行图像变换时,提倡先平移后伸缩,而先伸缩后平移在考试中经常出现,无论哪种变换,记住每一个变换总是对变量x 而言.10.已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为 A .16B .14C .12D .10【答案】A2222||sin cos()2p pDE παα==-,所以22222211||||4()cos sin cos sin p p AB DE αααα+=+=+ 2222222211sin cos 4()(cos sin )4(2)4(22)16cos sin cos sin αααααααα=++=++≥⋅+=11.设x 、y 、z 为正数,且235x y z ==,则A .2x <3y <5zB .5z <2x <3yC .3y <5z <2xD .3y <2x <5z【答案】D12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N :N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A .440B .330C .220D .110【答案】A【解析】试题分析:由题意得,数列如下:11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k -LL L则该数列的前(1)122k k k ++++=L 项和为 1(1)1(12)(122)222k k k k S k ++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭L L 要使(1)1002k k +>,有14k ≥,此时122k k ++<,所以2k +是之后的等比数列11,2,,2k +L 的部分和,即1212221t t k -+=+++=-L ,所以2314tk =-≥,则5t ≥,此时52329k =-=, 对应满足的最小条件为293054402N ⨯=+=,故选A. 【考点】等差数列、等比数列的求和.【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起,首先需要读懂题目所表达的具体含义,以及观察所给定数列的特征,进而判断出该数列的通项和求和.另外,本题的难点在于数列里面套数列,第一个数列的和又作为下一个数列的通项,而且最后几项并不能放在一个数列中,需要进行判断. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则| a +2 b |= . 【答案】2314.设x,y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,则32z x y=-的最小值为.【答案】5-15.已知双曲线C:22221x ya b-=(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C 的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为________.23【考点】双曲线的简单性质.【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质,所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点:①求解渐近线,直接把双曲线后面的1换成0即可;②双曲线的焦点到渐近线的距离是b;③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc.16.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为_______.【答案】415【考点】简单几何体的体积【名师点睛】对于三棱锥最值问题,肯定需要用到函数的思想进行解决,本题解决的关键是设好未知量,利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决,当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17.(12分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin B sin C ;(2)若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长.【考点】三角函数及其变换.【名师点睛】在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使用面积公式建立等式,再将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角,再有另外一个条件,求面积或周长的值”,这类问题通法思路是:全部转化为角的关系,建立函数关系式,如sin()y A x b ωϕ=++,从而求出范围,或利用余弦定理以及基本不等式求范围;求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB//CD ,且90BAP CDP ∠=∠=o .(1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ;(2)若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=o ,求二面角A -PB -C 的余弦值.则3cos ,||||3⋅==-<>n m n m n m , 所以二面角A PB C --的余弦值为33-. 【考点】面面垂直的证明,二面角平面角的求解【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面:①求异面直线所成的角,关键是转化为两直线的方向向量的夹角;②求直线与平面所成的角,关键是转化直线的方向向量和平面的法向量的夹角;③求二面角,关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. 19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ.(1)假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数,求(1)P X ≥及X 的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.95 10.12 9.969.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑,161622221111()(16)0.2121616i ii i s x x x x ===-=-≈∑∑,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1,2,,16i =⋅⋅⋅.用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01). 附:若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ,则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=,160.997 40.959 2=,0.0080.09≈.试题解析:(1)抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026,故~(16,0.0026)X B .因此(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-=.X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=.20.(12分)已知椭圆C :2222=1x y a b+(a >b >0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(–1,32),P 4(1,32)中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程;(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1,证明:l 过定点.(2)设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1,k 2,如果l 与x 轴垂直,设l :x =t ,由题设知0t ≠,且||2t <,可得A ,B 的坐标分别为(t ,24t -,(t ,24t -). 则221242421t t k k ---++==-,得2t =,不符合题设. 从而可设l :y kx m =+(1m ≠).将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2841kmk -+,x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-,故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-. 当且仅当1m >-时,0∆>,欲使l :12m y x m +=-+,即11(2)2m y x ++=--, 所以l 过定点(2,1-)【考点】椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质,判断点是否在椭圆上,可以通过这一方法进行判断;证明直线过定点的关键是设出直线方程,通过一定关系转化,找出两个参数之间的关系式,从而可以判断过定点情况.另外,在设直线方程之前,若题设中为告知,则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况,接着通法是联立方程组,求判别式、韦达定理,根据题设关系进行化简. 21.(12分)已知函数2()(2)x xf x ae a e x =+--.(1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.[选修4―4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩(为参数). (1)若a =−1,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l 17 a.【解析】试题分析:(1)先将曲线C 和直线l 化成普通方程,然后联立求出交点坐标;(2)直线l 的普通方程为440x y a +--=,设C 上的点(3cos ,sin )θθ,l 的距离为17d =.对a 进行讨23.[选修4—5:不等式选讲](10分)已知函数f (x )=–x 2+ax +4,g (x )=│x +1│+│x –1│.(1)当a =1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集;(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[–1,1],求a 的取值范围.【解析】试题分析:(1)将1a =代入,不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤,对x 按1x <-,11x -≤≤,1x >讨论,得出最值的解集;(2)当[1,1]x ∈-时,()2g x =.若()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-,。
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科综合能力测试一、选择题:本题共11小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
自20世纪90年代,在经济全球化浪潮下,一些国家之间签订自由贸易协定,降低甚至取消彼此间部分商品的贸易关税,促进商品的自由贸易。
下图示意汽车企业在已签订自由贸易协定的甲、乙两国的产业布局调整。
据此完成下面小题。
1. 汽车企业将组装厂由甲国转移至乙国的主要目的是()A. 创新技术B. 拓展市场C. 扩大规模D. 降低成本2. 该产业布局模式宜发生在邻国之间,主要原因是邻国之间()A. 消费习惯相近B. 经济发展水平相近C. 运输费用较低D. 研发成本差异较小3. 该产业布局调整导致甲国汽车的()A. 进口量增多B. 出口量增多C. 销售量增多D. 生产量增多户籍人口与常住人口的差值可以表示当地人口常年(半年以上)外出的数量。
下图显示2010年我国西部某市50岁以下各年龄组女性人数。
调查表明,该市妇女生育峰值在21—29岁。
据此完成下面小题。
4. 以下时间段中,该市人口出生率最高的为()A. 2001~2005年B. 1991~1995年C 1981~1985年 D. 1971~1975年5. 造成该市20~24岁年龄组人数明显偏多的原因可能是,该组人口出生期间()A. 生育政策放宽 B. 经济发展提速C. 育龄妇女较多D. 生育观念转变6. 推测2010~2030年该市人口发展的变化是()A. 人口出生率逐渐提高 B. 人口增长较缓慢C. 2025年迎来生育高峰 D. 人口总量逐渐减少下图示意某地质剖面,其中①指断层。
据此完成下面小题。
7. ①②③④中最先形成的是()A. ① B. ② C. ③ D. ④8. 砂砾石层的下界为相对平坦而广阔的面。
该面形成时期,所在区域可能()A. 地壳持续抬升,遭受侵蚀 B. 地壳持续下降,接受沉积C. 地壳运动稳定,遭受侵蚀 D. 地壳运动稳定,接受沉积勘察加火山群位于环太平洋火山带的北端,气候冷湿,火山锥各坡的降水差异小,近几十年来受全球气候变化的影响,火山锥的林线(森林分布上限)升高、雪线(终年积雪下限)有所降低。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)理 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=( ) A.[2,3] B.(-∞,2]∪[3,+∞) C.[3,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞)2.若z=1+2i,则4izz -1=( )A.1B.-1C.iD.-I3.已知向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),则∠ABC=( ) A.30° B.45° C.60° D.120°4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个 5.若tan α=34,则cos 2α+2sin 2α=( ) A.6425B.4825C.1D.16256.已知a=243,b=425,c=2513,则( ) A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b7.执行下面的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=( )A.3B.4C.5D.68.在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则cos A=( )A.3√1010B.√1010C.-√1010D.-3√10109.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A.18+36√5B.54+18√5C.90D.8110.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V 的最大值是( )A.4πB.9π2C.6π D.32π311.已知O为坐标原点,F是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )A.13B.12C.23D.3412.定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有( ) A.18个 B.16个 C.14个 D.12个第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.若x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x -2y ≤0,x +2y -2≤0,则z=x+y 的最大值为 .14.函数y=sin x-√3cos x 的图象可由函数y=sin x+√3cos x 的图象至少向右平移 个单位长度得到.15.已知f(x)为偶函数,当x<0时, f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是 .16.已知直线l:mx+y+3m-√3=0与圆x 2+y 2=12交于A,B 两点,过A,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C,D 两点.若|AB|=2√3,则|CD|= .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (Ⅰ)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式; (Ⅱ)若S 5=3132,求λ.18.(本小题满分12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与t 的关系,请用相关系数加以说明;(Ⅱ)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注:参考数据:∑i=17y i =9.32,∑i=17t i y i =40.17,√∑i=17(y i -y )2=0.55,√7≈2.646.参考公式:相关系数r=∑i=1n(t i -t )(y -y )√∑i=1(t i -t )2∑i=1(y i -y )2,回归方程y ^=a ^+b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:b ^=∑i=1n(t i -t )(y i -y )∑i=1n(t i -t )2,a ^=y -b ^t .19.(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD 中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段AD 上一点,AM=2MD,N 为PC 的中点. (Ⅰ)证明MN∥平面PAB;(Ⅱ)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知抛物线C:y 2=2x 的焦点为F,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A,B 两点,交C 的准线于P,Q 两点.(Ⅰ)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR∥FQ;(Ⅱ)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=αcos 2x+(α-1)(cos x+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A. (Ⅰ)求f '(x); (Ⅱ)求A;(Ⅲ)证明|f '(x)|≤2A.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,☉O 中AB⏜的中点为P,弦PC,PD 分别交AB 于E,F 两点. (Ⅰ)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD 的大小;(Ⅱ)若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =√3cosα,y =sinα(α为参数).以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=2√2.(Ⅰ)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程;(Ⅱ)设点P 在C 1上,点Q 在C 2上,求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|2x-a|+a.(Ⅰ)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(Ⅱ)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R 时, f(x)+g(x)≥3,求a 的取值范围.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)一、选择题1.D S={x|(x-2)(x-3)≥0}={x|x ≤2或x ≥3},在数轴上表示出集合S,T,如图所示:由图可知S ∩T=(0,2]∪[3,+∞), 故选D.2.C ∵z z =(1+2i)(1-2i)=5,∴zz -1=4i4=i,故选C. 3.A cos ∠ABC=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32,所以∠ABC=30°,故选A. 4.D 由雷达图易知A 、C 正确;七月的平均最高气温超过20 ℃,平均最低气温约为12 ℃,一月的平均最高气温约为6 ℃,平均最低气温约为2 ℃,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,故B 正确;由雷达图知平均最高气温超过20 ℃的月份有3个月.故选D.5.A 当tan α=34时,原式=cos 2α+4sin αcos α=cos 2α+4sinαcosαsin 2α+cos 2α=1+4tanαtan 2α+1=1+4×4916+1=6425,故选A.6.A 因为a=243=423,c=2513=523,函数y=x 23在(0,+∞)上单调递增,所以423<523,即a<c,又因为函数y=4x 在R 上单调递增,所以425<423,即b<a,所以b<a<c,故选A.7.B 第一次循环:a=2,b=4,a=6,s=6,n=1; 第二次循环:a=-2,b=6,a=4,s=10,n=2; 第三次循环:a=2,b=4,a=6,s=16,n=3;第四次循环:a=-2,b=6,a=4,s=20,n=4.结束循环, 输出n 的值为4,故选B.8.C 解法一:过A 作AD ⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD=13BC,则CD=23BC,AB=√23BC,AC=√53BC,在△ABC 中,由余弦定理的推论可知,cos ∠BAC=AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC=29BC 2+59BC 2-BC 22×√23BC×√53BC=-√1010,故选C.解法二:过A 作AD ⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD=13BC,则CD=23BC,在Rt △ADC 中,AC=√53BC,sin ∠DAC=2√55,cos ∠DAC=√55,又因为∠B=π4,所以cos ∠BAC=cos (∠DAC +π4)=cos ∠DAC ·cos π4-sin ∠DAC ·sin π4=√55×√22-2√55×√22=-√1010,故选C.解法三:过A 作AD ⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD=13BC, 则CD=23BC,AB=√23BC,AC=√53BC,而AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =19BC 2-29BC 2=-19BC 2,所以cos ∠BAC=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=-19BC 2√23BC×√53BC=-√1010,故选C.解法四:过A 作AD ⊥BC,垂足为D,设BC=3a(a>0),结合题意知AD=BD=a,DC=2a.以D 为原点,DC,DA 所在直线分别为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,则B(-a,0),C(2a,0),A(0,a),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a,-a),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a,-a),所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2a,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5a,所以cos ∠BAC=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=22√2a×√5a=-√1010,故选C.9.B 由三视图可知,该几何体的底面是边长为3的正方形,高为6,侧棱长为3√5,则该几何体的表面积S=2×32+2×3×3√5+2×3×6=54+18√5.故选B.10.B 易知AC=10.设底面△ABC 的内切圆的半径为r,则12×6×8=12×(6+8+10)·r,所以r=2,因为2r=4>3,所以最大球的直径2R=3,即R=32.此时球的体积V=43πR 3=9π2.故选B.11.A 由题意知过点A 的直线l 的斜率存在且不为0,故可设直线l 的方程为y=k(x+a),当x=-c 时,y=k(a-c),当x=0时,y=ka,所以M(-c,k(a-c)),E(0,ka).如图,设OE 的中点为N,则N (0,ka 2),由于B,M,N 三点共线,所以k BN =k BM ,即ka 2-a=k(a -c)-c -a,所以12=a -ca+c,即a=3c,所以e=13.故选A.12.C 当m=4时,数列{a n }共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意k ≤8,a 1,a 2,…,a k 中0的个数不少于1的个数,则必有a 1=0,a 8=1,a 2可为0,也可为1.(1)当a 2=0时,分以下3种情况:①若a 3=0,则a 4,a 5,a 6,a 7中任意一个为0均可,则有C 41=4种情况;②若a 3=1,a 4=0,则a 5,a 6,a 7中任意一个为0均可,有C 31=3种情况;③若a 3=1,a 4=1,则a 5必为0,a 6,a 7中任一个为0均可,有C 21=2种情况;(2)当a 2=1时,必有a 3=0,分以下2种情况:①若a 4=0,则a 5,a 6,a 7中任一个为0均可,有C 31=3种情况;②若a 4=1,则a 5必为0,a 6,a 7中任一个为0均可,有C 21=2种情况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14个,故选C.二、填空题 13.答案32解析 由题意画出可行域(如图所示),其中A(-2,-1),B (1,12),C(0,1),由z=x+y 知y=-x+z,当直线y=-x+z 过点B (1,12)时,z 取最大值32.14.答案23π解析 设f(x)=sin x-√3cos x=2sin (x +53π),g(x)=sin x+√3cos x=2sin (x +π3),将g(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x-φ)=2sin (x -φ+π3)=2sin (x +5π3)=f(x)的图象,所以x-φ+π3=2kπ+x+5π3,k ∈Z ,此时φ=-2kπ-4π3,k ∈Z ,当k=-1时,φ有最小值,为2π3.15.答案 y=-2x-1解析 令x>0,则-x<0, f(-x)=ln x-3x,又f(-x)=f(x), ∴f(x)=ln x-3x(x>0),则f '(x)=1x -3(x>0),∴f '(1)=-2,∴在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.16.答案 4解析 由题意可知直线l 过定点(-3,√3),该定点在圆x 2+y 2=12上,不妨设点A(-3,√3),由于|AB|=2√3,r=2√3,所以圆心到直线AB 的距离为d=√(2√3)2-(√3)2=3,又由点到直线的距离公式可得d=√3|√m 2+1=3,解得m=-√33,所以直线l 的斜率k=-m=√33,即直线l 的倾斜角为30°.如图,过点C 作CH ⊥BD,垂足为H,所以|CH|=2√3,在Rt △CHD 中,∠HCD=30°,所以|CD|=2√3cos30°=4.三、解答题17.解析 (Ⅰ)由题意得a 1=S 1=1+λa 1, 故λ≠1,a 1=11-λ,a 1≠0.(2分)由S n =1+λa n ,S n+1=1+λa n+1得a n+1=λa n+1-λa n ,即a n+1(λ-1)=λa n .由a 1≠0,λ≠0得a n ≠0, 所以a n+1a n=λλ-1.因此{a n }是首项为11-λ,公比为λλ-1的等比数列,于是a n =11-λ(λλ-1)n -1.(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)得S n =1-(λλ-1)n.由S 5=3132得1-(λλ-1)5=3132,即(λλ-1)5=132. 解得λ=-1.(12分)18.解析 (Ⅰ)由折线图中数据和附注中参考数据得t =4,∑i=17(t i -t )2=28,√∑i=17(y i -y)2=0.55,∑i=17(t i -t )(y i -y )=∑i=17t i y i -t ∑i=17y i =40.17-4×9.32=2.89, r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.(4分)因为y 与t 的相关系数近似为0.99,说明y 与t 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.(6分)(Ⅱ)由y =9.327≈1.331及(Ⅰ)得b ^=∑i=17(t i -t)(y i -y)∑i=17(t i -t)2=2.8928≈0.10, a ^=y -b ^t =1.331-0.10×4≈0.93.所以,y 关于t 的回归方程为y ^=0.93+0.10t.(10分)将2016年对应的t=9代入回归方程得y ^=0.93+0.10×9=1.83.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨.(12分)19.解析 (Ⅰ)由已知得AM=23AD=2. 取BP 的中点T,连结AT,TN,由N 为PC 中点知TN ∥BC,TN=12BC=2.(3分)又AD ∥BC,故TN AM,故四边形AMNT 为平行四边形,于是MN ∥AT.因为AT ⊂平面PAB,MN ⊄平面PAB,所以MN ∥平面PAB.(6分)(Ⅱ)取BC 的中点E,连结AE.由AB=AC 得AE ⊥BC,从而AE ⊥AD,且AE=√AB 2-BE 2=√AB 2-(BC 2)2=√5.以A 为坐标原点,AE⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz. 由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(√5,2,0),N (√52,1,2),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-4),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√52,1,-2),AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√52,1,2). 设n =(x,y,z)为平面PMN 的法向量,则{n ·PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y -4z =0,√52x +y -2z =0,(10分) 可取n =(0,2,1).于是|cos<n ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n||AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=8√525. 即直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8√525.(12分)20.解析 由题设知F (12,0).设l 1:y=a,l 2:y=b,则ab ≠0, 且A (a 22,a),B (b 22,b),P (-12,a),Q (-12,b),R (-12,a+b 2).记过A,B 两点的直线为l,则l 的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(Ⅰ)由于F 在线段AB 上,故1+ab=0.记AR 的斜率为k 1,FQ 的斜率为k 2,则k 1=a -b 1+a 2=a -b a 2-ab =1a =-aba =-b=k 2.所以AR ∥FQ.(5分)(Ⅱ)设l 与x 轴的交点为D(x 1,0),则S △ABF =12|b-a||FD|=12|b-a||x 1-12|,S △PQF =|a -b|2.由题设可得2×12|b-a||x 1-12|=|a -b|2,所以x 1=0(舍去),或x 1=1.(8分)设满足条件的AB 的中点为E(x,y).当AB 与x 轴不垂直时,由k AB =k DE 可得2a+b =y x -1(x ≠1).而a+b2=y,所以y 2=x-1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合.所以,所求轨迹方程为y 2=x-1.(12分)21.解析 (Ⅰ)f '(x)=-2αsin 2x-(α-1)sin x.(2分)(Ⅱ)当α≥1时,|f(x)|=|αcos 2x+(α-1)(cos x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0).因此A=3α-2.(4分)当0<α<1时,将f(x)变形为f(x)=2αcos 2x+(α-1)cos x-1.设t=cos x,则t ∈[-1,1],令g(t)=2αt 2+(α-1)t-1,则A 是|g(t)|在[-1,1]上的最大值,g(-1)=α,g(1)=3α-2,且当t=1-α4α时,g(t)取得最小值,最小值为g (1-α4α)=-(α-1)28α-1=-α2+6α+18α. 令-1<1-α4α<1,解得α<-13(舍去),或α>15.(5分)(i)当0<α≤15时,g(t)在(-1,1)内无极值点,|g(-1)|=α,|g(1)|=2-3α,|g(-1)|<|g(1)|,所以A=2-3α. (ii)当15<α<1时,由g(-1)-g(1)=2(1-α)>0,知g(-1)>g(1)>g (1-α4α).又|g (1-α4α)|-|g(-1)|=(1-α)(1+7α)8α>0,所以A=|g (1-α4α)|=α2+6α+18α.综上,A={2-3α,0<α≤15,α2+6α+18α,15<α<1,3α-2,α≥1.(9分)(Ⅲ)由(Ⅰ)得|f '(x)|=|-2αsin 2x-(α-1)sin x|≤2α+|α-1|.当0<α≤15时,|f '(x)|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=2A.当15<α<1时,A=α8+18α+34>1,所以|f '(x)|≤1+α<2A.当α≥1时,|f '(x)|≤3α-1≤6α-4=2A.所以|f '(x)|≤2A.(12分)22.解析 (Ⅰ)连结PB,BC,则∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.因为AP⏜=BP ⏜,所以∠PBA=∠PCB,又∠BPD=∠BCD, 所以∠BFD=∠PCD.又∠PFB+∠BFD=180°,∠PFB=2∠PCD,所以3∠PCD=180°,因此∠PCD=60°.(5分)(Ⅱ)因为∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180°,由此知C,D,F,E 四点共圆,其圆心既在CE 的垂直平分线上,又在DF 的垂直平分线上,故G 就是过C,D,F,E 四点的圆的圆心,所以G 在CD 的垂直平分线上.又O 也在CD 的垂直平分线上,因此OG ⊥CD.(10分)23.解析 (Ⅰ)C 1的普通方程为x 23+y 2=1.C 2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)(Ⅱ)由题意,可设点P 的直角坐标为(√3cos α,sin α).因为C 2是直线,所以|PQ|的最小值即为P 到C 2的距离d(α)的最小值,d(α)=√3cosα+sinα√2=√2|sin (α+π3)-2|.(8分) 当且仅当α=2kπ+π6(k ∈Z )时,d(α)取得最小值,最小值为√2,此时P 的直角坐标为(32,12).(10分)24.解析 (Ⅰ)当a=2时, f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x ≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x ≤3}.(5分)(Ⅱ)当x ∈R 时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=1时等号成立,所以当x∈R时, f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①(7分) 2当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a的取值范围是[2,+∞).(10分)。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅲ)英语第一部分听力(共两节,满分30分)第一节(共5小题;每小题1.5分,满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
1. Why was the woman in the supermarket?A. To buy some fruit.B. To meet Nancy.C. To look for her baby.2. Where does the conversation take place?A. In a church.B. On a bus.C. At the beach.3. What are the speakers talking about?A. Cooking.B. World news.C. The weather.4. What is the man trying to tell Jane?A. Be careful next time.B. Cheer up and move on.C. work hard but stay healthy.5. What is the woman doing?A. Making an invitation.B. Asking for assistance.C. Offering a suggestion.第二节(共15小题;每小题1.5分,满分22.5分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听第6段材料,回答第6~7题。
6. Why does the man call Jennifer?A. To discuss a plan.B. To arrange a trip.C. To say goodbye.7. What did the speakers do last Friday?A. They had dinner together.B. They visited some friends.C. They went to San Francisco.听第7段材料,回答第8~10题。
2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅲ卷理科数学答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.由题意,A B 中的元素满足8y x x y ⎧⎨+=⎩≥,且x ,*y ∈N ,由82x y x +=≥,得4x ≤,所以满足8x y +=的有()17,,()26,,()35,,()44,,故A B 中元素的个数为4.故选:C .【考点】集合的交集运算,交集定义的理解 2.【答案】D【解析】利用复数的除法运算求出z 即可.因为()()113131313131010i z i i i i +===+--+,所以复数113z i=-的虚部为310.故选:D . 【考点】复数的除法运算,复数的虚部的定义 3.【答案】B【解析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差,由此可得出标准差最大的一组. 对于A 选项,该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=;对于B 选项,该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=;对于C 选项,该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=;对于D 选项,该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此,B 选项这一组的标准差最大.故选:B . 【考点】标准差的大小比较,方差公式的应用 4.【答案】C【解析】将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e --=+结合()0.95I t K *=求得t *即可得解.()()0.23531t K I t e --=+,所以()()0.23530.951t KI t K e**--==+,则()*0.235319t e -=,所以,()0.2353ln193t *-=≈,解得353660.23t *+≈≈.故选:C .【考点】对数的运算,指数与对数的互化 5.【答案】B【解析】根据题中所给的条件OD OE ⊥,结合抛物线的对称性,可知4DOx EOx π∠=∠=,从而可以确定出点D 的坐标,代入方程求得p 的值,进而求得其焦点坐标,得到结果.因为直线2x =与抛物线()220y px p =>交于E ,D 两点,且OD OE ⊥,根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=,所以()22D ,,代入抛物线方程44p =,求得1p =,所以其焦点坐标为102⎛⎫⎪⎝⎭,,故选:B .【考点】圆锥曲线,直线与抛物线的交点,抛物线的对称性,点在抛物线上的条件,抛物线的焦点坐标 6.【答案】D【解析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值,利用平面向量数量积可计算出cos a a b +,的值.5a =,6b =,6a b ⋅=-,()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-,因此,()1919cos 5735a a ba ab a a b⋅++===⨯⋅+,.故选:D . 【考点】平面向量夹角余弦值的计算,平面向量数量积的计算,向量模的计算 7.【答案】A【解析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ,再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅,即可求得答案.在ABC △中,2cos 3C =,4AC =,3BC =.根据余弦定理:2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅,2224322433AB =+-⨯⨯⨯,可得29AB =,即3AB =.由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯,故1cos 9B =.故选:A . 【考点】余弦定理解三角形8.【答案】C【解析】根据三视图特征,在正方体中截取出符合题意的立体图形,求出每个面的面积,即可求得其表面积.根据三视图特征,在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得:12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△,根据勾股定理可得:AB AD DB ===ADB ∴△是边长为,根据三角形面积公式可得:(211sin 6022ADBS AB AD =⋅⋅==△∴该几何体的表面积是:632=⨯++ 故选:C .【考点】根据三视图求立体图形的表面积,根据三视图画出立体图形 9.【答案】D【解析】利用两角和的正切公式,结合换元法,解一元二次方程,即可得出答案.2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-,令tan t θ=,1t ≠,则1271tt t+-=-,整理得2440t t -+=,解得2t =,即tan 2θ=.故选:D .【考点】利用两角和的正切公式化简求值 10.【答案】D【解析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程,再由直线与圆相切的性质,即可得出答案.设直线l 在曲线y =(0x,则00x >,函数y导数为y '=,则直线l 的斜率k =,设直线l 的方程为)0y x x =-,即00xx -+=,由于直线l 与圆2215x y +=相切,则=,两边平方并整理得2005410x x --=,解得01x=,015x =-(舍),则直线l 的方程为210x y -+=,即1122y x =+.故选:D .【考点】导数的几何意义的应用,直线与圆的位置的应用 11.【答案】A【解析】根据双曲线的定义,三角形面积公式,勾股定理,结合离心率公式,即可得出答案.5ca=,c ∴,根据双曲线的定义可得122PF PF a -=,1212142PF F PF S PF =⋅=△,即128PF PF ⋅=, 12F P F P ⊥,()222122PF PF c ∴+=,()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=,即22540a a -+=,解得1a =,故选:A .【考点】双曲线的性质以及定义的应用,勾股定理,三角形面积公式的应用 12.【答案】A【解析】由题意可得a 、b 、()01c ∈,,利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系,由8log 5b =,得85b =,结合5458<可得出45b <,由13log 8c =,得138c =,结合45138<,可得出45c >,综合可得出a 、b 、c 的大小关系.由题意可知a 、b 、()01c ∈,, ()222528log 3lg3lg81lg3lg8lg3lg8lg 241log 5lg5lg522lg5lg 25lg5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅⋅==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<<,a b ∴<;由8log 5b =,得85b =,由5458<,得5488b <,54b ∴<,可得45b <;由13log 8c =,得138c =,由45138<,得451313c <,54c ∴>,可得45c >.综上所述,a b c <<.故选:A .【考点】对数式的大小比较,基本不等式、对数式与指数式的互化,指数函数单调性的应用 二、填空题 13.【答案】7【解析】作出可行域,利用截距的几何意义解决.不等式组所表示的可行域如图.因为32z x y =+,所以322x z y =-+,易知截距2z 越大,则z 越大,平移直线32x y =-,当322x zy =-+经过A 点时截距最大,此时z 最大,由21y x x =⎧⎨=⎩,得12x y =⎧⎨=⎩,()12A ,,所以max 31227z =⨯+⨯=.故答案为:7.【考点】简单线性规划的应用,求线性目标函数的最大值 14.【答案】240【解析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项,即可求得常数项.622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭其二项式展开通项:()()()621221236661222rrr r r r r r r r r C xC x C x x T x ---+-⎛⎫⋅⋅⋅⋅=⋅⎭= ⎝=⎪,当1230r -=,解得4r =,622x x ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是:664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为:240.【考点】二项式定理,利用通项公式求二项展开式中的指定项15. 【解析】与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.将原问题转化为求解圆锥内切球的问题,然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.易知半径最大球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴截面如图所示,其中2BC =,3AB AC ==,且点M 为BC 边上的中点,设内切圆的圆心为O ,由于AM ==122S =⨯⨯=△ABC r ,则:()11113322222ABC AOB BOC AOC S S S S AB r BC r AC r r =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯++⨯=△△△△r,其体积:343V r π=.. 16.【答案】②③【解析】利用特殊值法可判断命题①的正误;利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误;利用对称性的定义可判断命题③的正误;取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论.对于命题①,152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,152622fπ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭,则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以,函数()f x 的图象不关于y 轴对称,命题①错误;对于命题②,函数()f x 的定义域为{}x x k k π≠∈Z ,,定义域关于原点对称,()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭,所以,函数()f x 的图象关于原点对称,命题②正确;对于命题③,11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭, 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭,则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以,函数()f x 的图象关于直线2x π=对称,命题③正确;对于命题④,当0x π-<<时,sin 0x <,()1sin 02sin f x x x=+<<,命题④错误.故答案为:②③.【考点】正弦型函数的奇偶性、对称性,最值的求解 三、解答题17.【答案】(1)25a =,37a =,21n a n =+,当1n =时,13a =成立;假设n k =时,21k a k =+成立.那么1n k =+时,()()134321423211k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立.则对任意的*n ∈N ,都有21n a n =+成立.(2)()12122n n S n +=-⋅+【解析】(1)利用递推公式得出2a ,3a ,猜想得出{}n a 的通项公式,利用数学归纳法证明即可.由题意可得2134945a a =-=-=,32381587a a =-=-=,由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项,2为公差的等差数列,即21n a n =+,证明如下:当1n =时,13a =成立;假设n k =时,21k a k =+成立.那么1n k =+时,()()134321423211k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立.则对任意的*n ∈N ,都有21n a n =+成立;(2)由错位相减法求解即可.由(1)可知,()2212n nn a n ⋅=+⋅,()()231325272212212n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅,①()()23412325272212212n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅,②,由-①②得:()()()()()21231112126222221262212122212n n n n n n S n n n -+++--=+⨯+++-+⋅=+⨯-+⋅=⋅⨯---,即()12122n n S n +=-⋅+.【考点】求等差数列的通项公式,利用错位相减法求数列的和18.【答案】(1)该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09 (2)350(3()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈>,因此,有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【解析】(1)根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率.由频数分布表可知,该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=,等级为2的概率为510120.27100++=,等级为3的概率为6780.21100++=,等级为4的概率为7200.09100++=. (2)利用每组的中点值乘以频数,相加后除以100可得结果.由频数分布表可知,一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=.(3)根据表格中的数据完善22⨯列联表,计算出2K 的观测值,再结合临界值表可得结论.22⨯列联表如下:()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈>,因此,有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【考点】利用频数分布表计算频率和平均数,独立性检验的应用19.【答案】(1)在棱1CC 上取点G ,使得112C G CG =,连接DG 、FG 、1C E 、1C F ,长方体1111ABCD A B C D -中,AD BC ∥且AD BC =,11BB CC ∥且11BB CC =,112C G CG=12BF FB =,112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =,所以,四边形BCGF 平行四边形,则AF DG∥且AF DG =,同理可证四边形1DEC G 为平行四边形,1C E DG ∴∥且1C E DG =,1C E AF ∴∥且1C E AF =,则四边形1AEC F 为平行四边形,因此,点1C 在平面AEF 内.(2)7【解析】(1)连接1C E 、1C F ,证明出四边形1AEC F 为平行四边形,进而可证得点1C 在平面AEF 内.在棱1CC 上取点G ,使得112C G CG =,连接DG 、FG 、1C E 、1C F ,长方体1111ABCD A B C D -中,AD BC ∥且AD BC =,11BB CC ∥且11BB CC =,112C G CG=12BF FB =,112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =,所以,四边形BCGF 平行四边形,则AF DG∥且AF DG =,同理可证四边形1DEC G 为平行四边形,1C E DG ∴∥且1C E DG =,1C E AF ∴∥且1C E AF =,则四边形1AEC F 为平行四边形,因此,点1C 在平面AEF 内;(2)以点1C 为坐标原点,11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -,利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值,进而可求得二面角1A EF A --的正弦值.以点1C 为坐标原点,11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -,则()213A ,,、()1210A ,,、()202E ,,、()011F ,,,()011AE =--,,,()202AF =--,,,()1012A E =-,,,()1201A F =-,,,设平面AEF 的法向量为()111m x y z =,,,由00m AE m AF ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩=,得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-,得111x y ==,则()111m =-,,,设平面1A EF 的法向量为()222n x y z =,,,由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩,取22z =,得21x =,24y =,则()142n =,,,3cos 3m n m n m n⋅===⨯⋅,,设二面角1A EF A--的平面角为θ,则cos θ=,sinθ∴==.因此,二面角1A EF A --.【考点】点在平面的证明,利用空间向量法求解二面角20.【答案】(1)221612525x y +=(2)52【解析】(1)因为()222:10525x y C m m+=<<,可得5a =,b m =,根据离心率公式,结合已知,即可求得答案.()222:10525x y C m m +=<<,5a∴=,b m =,根据离心率4c e a ====, 解得54m =或54m =-(舍),C ∴的方程为:22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=,即221612525x y +=. (2)点P 在C 上,点Q 在直线6x =上,且BP BQ =,BP BQ ⊥,过点P 作x 轴垂线,交点为M ,设6x =与x 轴交点为N ,可得PMB BNQ ≅△△,可求得P 点坐标,求出直线AQ 的直线方程,根据点到直线距离公式和两点距离公式,即可求得APQ △的面积.点P 在C 上,点Q 在直线6x =上,且BP BQ =,BP BQ ⊥,过点P 作x 轴垂线,交点为M ,设6x =与x 轴交点为N .根据题意画出图形,如图BP BQ =,BP BQ ⊥,90PMB QNB ∠=∠=,又90PBM QBN ∠+∠=,90BQN QBN ∠+∠=,PBM BQN ∴∠=∠,根据三角形全等条件“AAS ”,可得:PMB BNQ ≅△△,221612525x y +=, ()50B ∴,,651PM BN ∴==-=,设P 点为()P P x y ,,可得P 点纵坐标为1P y =,将其代入221612525x y +=,可得:21612525P x +=,解得:3P x =或3P x =-,P ∴点为()31,或()31-,, ①当P 点为()31,时,故532MB =-=,PMB BNQ ≅△△,2MB NQ ∴==,可得:Q 点为()62,,画 出图象,如图()50A -,,()62Q ,,可求得直线AQ 的直线方程为:211100x y -+=,根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为:d ===,根据两点间距离公式可得:AQ =,APQ ∴△面积为:1522⨯=;②当P 点为()31-,时,故5+38MB ==,PMB BNQ ≅△△,8MB NQ ∴==,可得:Q 点为()68,,画出图象,如图()50A -,,()68Q ,,可求得直线AQ 的直线方程为:811400x y -+=,根据点到直线距离公式可得P到直线AQ 的距离为:d ===AQ ==APQ ∴△面积为:1522=,综上所述,APQ △面积为:52. 【考点】椭圆标准方程,三角形面积,椭圆的离心率定义,数形结合求三角形面积 21.【答案】(1)34b =-(2)由(1)可得()334f x x x c =-+,()231133422f x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,令()0f x '>,得12x >或12x -<;令()0f x '<,得1122x -<<,所以()f x 在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭,上单调递减,在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,上单调递增,且()114f c -=-,1124f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,1124f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()114f c =+,若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ,则()10f ->或()10f <,即14c >或14c -<.当14c >时,()1104f c -=->,11024f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭>,11024f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭>,()1104f c =+>,又()()32464341160f c c c c c c -=-++=-<,由零点存在性定理知()f x 在()41c --,上存在唯一一个零点0x ,即()f x 在()1-∞-,上存在唯一一个零点,在()1-+∞,上不存在零点,此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点,与题设矛盾;当14c -<时,()1104f c -=-<,11024f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭<,11024f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭<,()1104f c =+<,又()()32464341160f c c c c c c -=++=->,由零点存在性定理知()f x 在()14c -,上存在唯一一个零点0x ',即()f x 在()1+∞,上存在唯一一个零点,在()1-∞,上不存在零点,此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点,与题设矛盾;综上,()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【解析】(1)利用导数的几何意义得到102f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭,解方程即可.因为()23f x x b '=+,由题意,102f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭,即21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭,则34b =-; (2)由(1)可得()231132422f x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,易知()f x 在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭,上单调递减,在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,上单调递增,且()114f c -=-,1124f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,1124f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()114f c =+,采用反证法,推出矛盾即可.由(1)可得()334f x x x c =-+,()231133422f x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,令()0f x '>,得12x >或12x -<;令()0f x '<,得1122x -<<,所以()f x 在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭,上单调递减,在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,上单调递增,且()114f c -=-,1124f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,1124f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()114f c =+,若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ,则()10f ->或()10f <,即14c >或14c -<.当14c >时,()1104f c -=->,11024f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭>,11024f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭>,()1104f c =+>,又()()32464341160f c c c c c c -=-++=-<,由零点存在性定理知()f x 在()41c --,上存在唯一一个零点0x ,即()f x 在()1-∞-,上存在唯一一个零点,在()1-+∞,上不存在零点,此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点,与题设矛盾;当14c -<时,()1104f c -=-<,11024f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭<,11024f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭<,()1104f c =+<,又()()32464341160f c c c c c c -=++=->,由零点存在性定理知()f x 在()14c -,上存在唯一一个零点0x ',即()f x 在()1+∞,上存在唯一一个零点,在()1-∞,上不存在零点,此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点,与题设矛盾;综上,()f x 所有零点的绝对值都不大于1. 【考点】利用导数研究函数的零点,导数的几何意义,反证法22.【答案】(1)(2)3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】(1)由参数方程得出A ,B 的坐标,最后由两点间距离公式,即可得出AB 的值.令0x =,则220t t +-=,解得2t =-或1t =(舍),则26412y =++=,即()012A ,.令0y =,则2320t t -+=,解得2t =或1t =(舍),则2244x =--=-,即()40B -,.AB ∴=(2)由A ,B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程,再化为极坐标方程即可.由(1)可知()120304AB k -==--,则直线AB 的方程为()34y x =+,即3120x y -+=.由cos x ρθ=,sin y ρθ=可得,直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【考点】利用参数方程求点的坐标,直角坐标方程化极坐标方程 23.【答案】(1)()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=,()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. a ,b ,c 均不为0,则2220a b c ++>,()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<. (2)不妨设{}max a b c a =,,,由0a b c ++=,1abc =可知,0a >,0b <,0c <,a b c =--,1a bc=,()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc ++++∴=⋅===≥.当且仅当b c =时,取等号,a ∴ {}3max 4a b c ,,.【解析】(1)由()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质,即可得出证明.()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=,()22212ab bc ca a b c ∴++=-++.a ,b ,c 均不为0,则2220a b c ++>,()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<. (2)不妨设{}max a b c a =,,,由题意得出0a >,b ,0c <,由()222322b c b c bca aa bcbc+++=⋅==,结合基本不等式,即可得出证明.不妨设{}max a b c a =,,,由0a b c ++=,1abc =可知,0a >,0b <,0c <,a b c =--,1a bc=,()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc ++++∴=⋅===≥.当且仅当b c =时,取等号,a ∴{}3max 4a b c ,,.【考点】不等式的基本性质,基本不等式的应用2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅲ卷理科数学答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.由题意,A B 中的元素满足8y x x y ⎧⎨+=⎩≥,且x ,*y ∈N ,由82x y x +=≥,得4x ≤,所以满足8x y +=的有()17,,()26,,()35,,()44,,故A B 中元素的个数为4.故选:C .【考点】集合的交集运算,交集定义的理解 2.【答案】D【解析】利用复数的除法运算求出z 即可.因为()()113131313131010i z i i i i +===+--+,所以复数113z i=-的虚部为310.故选:D . 【考点】复数的除法运算,复数的虚部的定义 3.【答案】B【解析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差,由此可得出标准差最大的一组. 对于A 选项,该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=;对于B 选项,该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=;对于C 选项,该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=;对于D 选项,该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此,B 选项这一组的标准差最大.故选:B . 【考点】标准差的大小比较,方差公式的应用 4.【答案】C【解析】将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e --=+结合()0.95I t K *=求得t *即可得解.()()0.23531t K I t e --=+,所以()()0.23530.951t KI t K e**--==+,则()*0.235319t e -=,所以,()0.2353ln193t *-=≈,解得353660.23t *+≈≈.故选:C .【考点】对数的运算,指数与对数的互化 5.【答案】B【解析】根据题中所给的条件OD OE ⊥,结合抛物线的对称性,可知4DOx EOx π∠=∠=,从而可以确定出点D 的坐标,代入方程求得p 的值,进而求得其焦点坐标,得到结果.因为直线2x =与抛物线()220y px p =>交于E ,D 两点,且OD OE ⊥,根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=,所以()22D ,,代入抛物线方程44p =,求得1p =,所以其焦点坐标为102⎛⎫⎪⎝⎭,,故选:B .【考点】圆锥曲线,直线与抛物线的交点,抛物线的对称性,点在抛物线上的条件,抛物线的焦点坐标 6.【答案】D【解析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值,利用平面向量数量积可计算出cos a a b +,的值.5a =,6b =,6a b ⋅=-,()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-,因此,()1919cos 5735a a ba ab a a b⋅++===⨯⋅+,.故选:D . 【考点】平面向量夹角余弦值的计算,平面向量数量积的计算,向量模的计算 7.【答案】A【解析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ,再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅,即可求得答案.在ABC △中,2cos 3C =,4AC =,3BC =.根据余弦定理:2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅,2224322433AB =+-⨯⨯⨯,可得29AB =,即3AB =.由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯,故1cos 9B =.故选:A . 【考点】余弦定理解三角形8.【答案】C【解析】根据三视图特征,在正方体中截取出符合题意的立体图形,求出每个面的面积,即可求得其表面积.根据三视图特征,在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得:12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△,根据勾股定理可得:AB AD DB ===ADB ∴△是边长为,根据三角形面积公式可得:(211sin 6022ADBS AB AD =⋅⋅==△∴该几何体的表面积是:632=⨯++ 故选:C .【考点】根据三视图求立体图形的表面积,根据三视图画出立体图形 9.【答案】D【解析】利用两角和的正切公式,结合换元法,解一元二次方程,即可得出答案.2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-,令tan t θ=,1t ≠,则1271tt t+-=-,整理得2440t t -+=,解得2t =,即tan 2θ=.故选:D .【考点】利用两角和的正切公式化简求值 10.【答案】D【解析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程,再由直线与圆相切的性质,即可得出答案.设直线l 在曲线y =(0x,则00x >,函数y =导数为y '=l 的斜率k =,设直线l 的方程为)0y x x =-,即00xx -+=,由于直线l 与圆2215x y +=相切,则=,两边平方并整理得2005410x x --=,解得01x=,015x =-(舍),则直线l 的方程为210x y -+=,即1122y x =+.故选:D .【考点】导数的几何意义的应用,直线与圆的位置的应用 11.【答案】A【解析】根据双曲线的定义,三角形面积公式,勾股定理,结合离心率公式,即可得出答案.5ca=,c ∴,根据双曲线的定义可得122PF PF a -=,1212142PF F PF S PF =⋅=△,即128PF PF ⋅=, 12F P F P ⊥,()222122PF PF c ∴+=,()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=,即22540a a -+=,解得1a =,故选:A .【考点】双曲线的性质以及定义的应用,勾股定理,三角形面积公式的应用 12.【答案】A【解析】由题意可得a 、b 、()01c ∈,,利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系,由8log 5b =,得85b =,结合5458<可得出45b <,由13log 8c =,得138c =,结合45138<,可得出45c >,综合可得出a 、b 、c 的大小关系.由题意可知a 、b 、()01c ∈,, ()222528log 3lg3lg81lg3lg8lg3lg8lg 241log 5lg5lg522lg5lg 25lg5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅⋅==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<<,a b ∴<;由8log 5b =,得85b =,由5458<,得5488b <,54b ∴<,可得45b <;由13log 8c =,得138c =,由45138<,得451313c <,54c ∴>,可得45c >.综上所述,a b c <<.故选:A .【考点】对数式的大小比较,基本不等式、对数式与指数式的互化,指数函数单调性的应用 二、填空题 13.【答案】7【解析】作出可行域,利用截距的几何意义解决.不等式组所表示的可行域如图.因为32z x y =+,所以322x z y =-+,易知截距2z 越大,则z 越大,平移直线32x y =-,当322x zy =-+经过A 点时截距最大,此时z 最大,由21y x x =⎧⎨=⎩,得12x y =⎧⎨=⎩,()12A ,,所以max 31227z =⨯+⨯=.故答案为:7.【考点】简单线性规划的应用,求线性目标函数的最大值 14.【答案】240【解析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项,即可求得常数项.622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭其二项式展开通项:()()()621221236661222rrr r r r r r r r r C xC x C x x T x ---+-⎛⎫⋅⋅⋅⋅=⋅⎭= ⎝=⎪,当1230r -=,解得4r =,622x x ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是:664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为:240.【考点】二项式定理,利用通项公式求二项展开式中的指定项15. 【解析】与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.将原问题转化为求解圆锥内切球的问题,然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.易知半径最大球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴截面如图所示,其中2BC =,3AB AC ==,且点M 为BC 边上的中点,设内切圆的圆心为O ,由于AM ==122S =⨯⨯=△ABC r ,则:()11113322222ABC AOB BOC AOC S S S S AB r BC r AC r r =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯++⨯=△△△△r,其体积:343V r π=.. 16.【答案】②③【解析】利用特殊值法可判断命题①的正误;利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误;利用对称性的定义可判断命题③的正误;取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论.对于命题①,152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,152622fπ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭,则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以,函数()f x 的图象不关于y 轴对称,命题①错误;对于命题②,函数()f x 的定义域为{}x x k k π≠∈Z ,,定义域关于原点对称,()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭,所以,函数()f x 的图象关于原点对称,命题②正确;对于命题③,11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭, 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭,则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以,函数()f x 的图象关于直线2x π=对称,命题③正确;对于命题④,当0x π-<<时,sin 0x <,()1sin 02sin f x x x=+<<,命题④错误.故答案为:②③.【考点】正弦型函数的奇偶性、对称性,最值的求解 三、解答题17.【答案】(1)25a =,37a =,21n a n =+,当1n =时,13a =成立;假设n k =时,21k a k =+成立.那么1n k =+时,()()134321423211k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立.则对任意的*n ∈N ,都有21n a n =+成立.(2)()12122n n S n +=-⋅+【解析】(1)利用递推公式得出2a ,3a ,猜想得出{}n a 的通项公式,利用数学归纳法证明即可.由题意可得2134945a a =-=-=,32381587a a =-=-=,由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项,2为公差的等差数列,即21n a n =+,证明如下:当1n =时,13a =成立;假设n k =时,21k a k =+成立.那么1n k =+时,()()134321423211k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立.则对任意的*n ∈N ,都有21n a n =+成立;(2)由错位相减法求解即可.由(1)可知,()2212n nn a n ⋅=+⋅,()()231325272212212n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅,①()()23412325272212212n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅,②,由-①②得:()()()()()21231112126222221262212122212n n n n n n S n n n -+++--=+⨯+++-+⋅=+⨯-+⋅=⋅⨯---,即()12122n n S n +=-⋅+.【考点】求等差数列的通项公式,利用错位相减法求数列的和18.【答案】(1)该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09 (2)350(3()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈>,因此,有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【解析】(1)根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率.由频数分布表可知,该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=,等级为2的概率为510120.27100++=,等级为3的概率为6780.21100++=,等级为4的概率为7200.09100++=. (2)利用每组的中点值乘以频数,相加后除以100可得结果.由频数分布表可知,一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=.(3)根据表格中的数据完善22⨯列联表,计算出2K 的观测值,再结合临界值表可得结论.22⨯列联表如下:()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈>,因此,有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【考点】利用频数分布表计算频率和平均数,独立性检验的应用19.【答案】(1)在棱1CC 上取点G ,使得112C G CG =,连接DG 、FG 、1C E 、1C F ,长方体1111ABCD A B C D -中,AD BC ∥且AD BC =,11BB CC ∥且11BB CC =,112C G CG=12BF FB =,112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =,所以,四边形BCGF 平行四边形,则AF DG∥且AF DG =,同理可证四边形1DEC G 为平行四边形,1C E DG ∴∥且1C E DG =,1C E AF ∴∥且1C E AF =,则四边形1AEC F 为平行四边形,因此,点1C 在平面AEF 内.(2)7【解析】(1)连接1C E 、1C F ,证明出四边形1AEC F 为平行四边形,进而可证得点1C 在平面AEF 内.在棱1CC 上取点G ,使得112C G CG =,连接DG 、FG 、1C E 、1C F ,长方体1111ABCD A B C D -中,AD BC ∥且AD BC =,11BB CC ∥且11BB CC =,112C G CG=12BF FB =,112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =,所以,四边形BCGF 平行四边形,则AF DG∥且AF DG =,同理可证四边形1DEC G 为平行四边形,1C E DG ∴∥且1C E DG =,1C E AF ∴∥且1C E AF =,则四边形1AEC F 为平行四边形,因此,点1C 在平面AEF 内;(2)以点1C 为坐标原点,11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -,利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值,进而可求得二面角1A EF A --的正弦值.以点1C 为坐标原点,11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -,则()213A ,,、()1210A ,,、()202E ,,、()011F ,,,()011AE =--,,,()202AF =--,,,()1012A E =-,,,()1201A F =-,,,设平面AEF 的法向量为()111m x y z =,,,由00m AE m AF ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩=,得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-,得111x y ==,则()111m =-,,,设平面1A EF 的法向量为()222n x y z =,,,由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩,取22z =,得21x =,24y =,则()142n =,,,3cos 3m n m n m n⋅===⨯⋅,,设二面角1A EF A--的平面角为θ,则cos θ=,sinθ∴==.因此,二面角1A EF A --.【考点】点在平面的证明,利用空间向量法求解二面角20.【答案】(1)221612525x y +=(2)52【解析】(1)因为()222:10525x y C m m+=<<,可得5a =,b m =,根据离心率公式,结合已知,即可求得答案.()222:10525x y C m m +=<<,5a∴=,b m =,根据离心率4c e a ====, 解得54m =或54m =-(舍),C ∴的方程为:22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=,即221612525x y +=. (2)点P 在C 上,点Q 在直线6x =上,且BP BQ =,BP BQ ⊥,过点P 作x 轴垂线,交点为M ,设6x =与x 轴交点为N ,可得PMB BNQ ≅△△,可求得P 点坐标,求出直线AQ 的直线方程,根据点到直线距离公式和两点距离公式,即可求得APQ △的面积.点P 在C 上,点Q 在直线6x =上,且BP BQ =,BP BQ ⊥,过点P 作x 轴垂线,交点为M ,设6x =与x 轴交点为N .根据题意画出图形,如图BP BQ =,BP BQ ⊥,90PMB QNB ∠=∠=,又90PBM QBN ∠+∠=,90BQN QBN ∠+∠=,PBM BQN ∴∠=∠,根据三角形全等条件“AAS ”,可得:PMB BNQ ≅△△,221612525x y +=, ()50B ∴,,651PM BN ∴==-=,设P 点为()P P x y ,,可得P 点纵坐标为1P y =,将其代入221612525x y +=,可得:21612525P x +=,解得:3P x =或3P x =-,P ∴点为()31,或()31-,, ①当P 点为()31,时,故532MB =-=,PMB BNQ ≅△△,2MB NQ ∴==,可得:Q 点为()62,,画 出图象,如图()50A -,,()62Q ,,可求得直线AQ 的直线方程为:211100x y -+=,根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为:d ===,根据两点间距离公式可得:AQ =,APQ ∴△面积为:1522⨯=;②当P 点为()31-,时,故5+38MB ==,PMB BNQ ≅△△,8MB NQ ∴==,可得:Q 点为()68,,画出图象,如图()50A -,,()68Q ,,可求得直线AQ 的直线方程为:811400x y -+=,根据点到直线距离公式可得P到直线AQ 的距离为:d ===AQ ==APQ ∴△面积为:1522=,综上所述,APQ △面积为:52. 【考点】椭圆标准方程,三角形面积,椭圆的离心率定义,数形结合求三角形面积 21.【答案】(1)34b =-(2)由(1)可得()334f x x x c =-+,()231133422f x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,令()0f x '>,得12x >或12x -<;令()0f x '<,得1122x -<<,所以()f x 在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭,上单调递减,在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,上单调递增,且()114f c -=-,1124f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,1124f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()114f c =+,若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ,则()10f ->或()10f <,即14c >或14c -<.当14c >时,()1104f c -=->,11024f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭>,11024f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭>,()1104f c =+>,又()()32464341160f c c c c c c -=-++=-<,由零点存在性定理知()f x 在()41c --,上存在唯一一个零点0x ,即()f x 在()1-∞-,上存在唯一一个零点,在()1-+∞,上不存在零点,此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点,与题设矛盾;当14c -<时,()1104f c -=-<,11024f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭<,11024f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭<,()1104f c =+<,又()()32464341160f c c c c c c -=++=->,由零点存在性定理知()f x 在()14c -,上存在唯一一个零点0x ',即()f x 在()1+∞,上存在唯一一个零点,在()1-∞,上不存在零点,此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点,与题设矛盾;综上,()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【解析】(1)利用导数的几何意义得到102f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭,解方程即可.因为()23f x x b '=+,由题意,102f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭,即21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭,则34b =-; (2)由(1)可得()231132422f x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,易知()f x 在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭,上单调递减,在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,上单调递增,且()114f c -=-,1124f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,1124f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()114f c =+,采用反证法,推出矛盾即可.由(1)可得()334f x x x c =-+,()231133422f x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,令()0f x '>,得12x >或12x -<;令()0f x '<,得1122x -<<,所以()f x 在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭,上单调递减,在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,上单调递增,且()114f c -=-,1124f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,1124f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()114f c =+,若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ,则()10f ->或()10f <,即14c >或14c -<.当14c >时,()1104f c -=->,11024f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭>,11024f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭>,()1104f c =+>,又()()32464341160f c c c c c c -=-++=-<,由零点存在性定理知()f x 在()41c --,上存在唯一一个零点0x ,即()f x 在()1-∞-,上存在唯一一个零点,在()1-+∞,上不存在零点,此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点,与题设矛盾;当14c -<时,()1104f c -=-<,11024f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭<,11024f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭<,()1104f c =+<,又()()32464341160f c c c c c c -=++=->,由零点存在性定理知()f x 在()14c -,上存在唯一一个零点0x ',即()f x 在()1+∞,上存在唯一一个零点,在()1-∞,上不存在零点,此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点,与题设矛盾;综上,()f x 所有零点的绝对值都不大于1. 【考点】利用导数研究函数的零点,导数的几何意义,反证法22.【答案】(1)(2)3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】(1)由参数方程得出A ,B 的坐标,最后由两点间距离公式,即可得出AB 的值.令0x =,则220t t +-=,解得2t =-或1t =(舍),则26412y =++=,即()012A ,.令0y =,则2320t t -+=,解得2t =或1t =(舍),则2244x =--=-,即()40B -,.AB ∴=(2)由A ,B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程,再化为极坐标方程即可.由(1)可知()120304AB k -==--,则直线AB 的方程为()34y x =+,即3120x y -+=.由cos x ρθ=,sin y ρθ=可得,直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【考点】利用参数方程求点的坐标,直角坐标方程化极坐标方程 23.【答案】(1)()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=,()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. a ,b ,c 均不为0,则2220a b c ++>,()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<. (2)不妨设{}max a b c a =,,,由0a b c ++=,1abc =可知,0a >,0b <,0c <,a b c =--,1a bc=,()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc ++++∴=⋅===≥.当且仅当b c =时,取等号,a ∴ {}3max 4a b c ,,.【解析】(1)由()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质,即可得出证明.()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=,()22212ab bc ca a b c ∴++=-++.a ,b ,c 均不为0,则2220a b c ++>,()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<. (2)不妨设{}max a b c a =,,,由题意得出0a >,b ,0c <,由()222322b c b c bca aa bcbc+++=⋅==,结合基本不等式,即可得出证明.不妨设{}max a b c a =,,,由0a b c ++=,1abc =可知,0a >,0b <,0c <,a b c =--,1a bc=,()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc ++++∴=⋅===≥.当且仅当b c =时,取等号,a ∴{}3max 4a b c ,,.【考点】不等式的基本性质,基本不等式的应用。
绝密★启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ)理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共12 小题,每小题 5 分,共 60 分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A2y21 ,B= ( x, y│)y x ,则A I B 中元素的个数为= (x, y│)xA. 3B. 2C. 1D. 02.设复数z满足 (1+i)z=2i,则∣ z∣=A.1B.2C.2D. 2 223.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2020 年 1 月至 2020 年 12 月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对7月至 12 月,波动性更小,变化比较平稳4. ( x + y )(2 x - y ) 5的展开式中x 3y3的系数为A . -80B . -40C . 40D . 805.已知双曲线C : x 2y21 ( a > 0, b > 0) 的一条渐近线方程为 y5x , 且与椭圆x 2y 2 1 有公共a 2b 22123焦点,则 C 的方程为A . x 2 y 21B . x 2 y 21C . x 2 y 21D . x 2 y 2 18 104554 436.设函数 f ( x )=cos( x +) ,则下列结论错误的是3A . f ( ) 的一个周期为 - 2πB . = (x ) 的图像关于直线x=8对称xy f3C . f ( +π) 的一个零点为x = D .( ) 在 (, π) 单调递减x6f x27.执行下面的程序框图,为使输出S 的值小于 91,则输入的正整数 N 的最小值为A . 5B . 4C . 3D . 28.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为A . πB .3πC .πD .π4249.等差数列a n 的首项为 1,公差不为 236a n 前 6 项的和为0.若 a , a ,a 成等比数列,则A . -24B . -3C . 3D . 810.已知椭圆 C :x 2y 2 1 ,( a b )的左、右顶点分别为 A 1, A 2,且以线段A 1A 2 为直径的圆与直线a2b2> >0bx ay 2ab 0 相切,则 C 的离心率为A .6 B .3 C .2 D .1333311.已知函数2x 1x 1f ( x) x2xa(ee)有唯一零点,则=aA .1 B .1C .1D . 1232uuuruuur uuur 12.在矩形 ABCD 中, AB=1, AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若 AP =AB + AD ,则 + 的最大值为A . 3B . 22 C . 5D . 2二、填空题:本题共4 小题,每小题5 分,共 20 分。
x y 013.若 x , y 满足约束条件x y 2 0 ,则 z 3x 4 y 的最小值为 __________ . y 014.设等比数列 a n满足 a 1 + a 2 = – 1, a 1 – a 3 = – 3,则 a 4 = ___________ .x,,11x 01 的 x 的取值范围是 _________。
15.设函数 f ( x)x ,x , 则满足f ( x)f (x)2 0216. ,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形的直角边 所在直线与 a , b 都垂直,斜边a ABC ACAB 以直线 AC 为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a 成60°角时,AB 与 b成30°角;②当直线AB与a 成 60°角时,AB 与 b成60°角;③直线AB与a 所成角的最小值为45°;④直线AB与a 所成角的最小值为60°;其中正确的是 ________。
(填写所有正确结论的编号)三、解答题:共70 分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、 23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17.( 12 分)△ ABC 的内角 A ,B , C 的对边分别为a ,b ,c ,已知 sin A + 3 cos A =0, a =27 , b =2.( 1)求 c ;( 2)设 D 为 BC 边上一点, 且 AD AC, 求△ ABD 的面积.18.( 12 分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4 元,售价每瓶 6 元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500 瓶;如果最高气温位于区间[20 ,25),需求量为300 瓶;如果最高气温低于20,需求量为200 瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10 ,15)[15 , 20)[20 , 25)[25 , 30)[30 , 35)[35 , 40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
( 1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;( 2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值?19.( 12 分)如图,四面体ABCD中,△ ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠ CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D–AE–C 的余弦值.20.( 12 分)已知抛物线C: y2=2x,过点(2,0)的直线 l 交 C与 A, B 两点,圆 M是以线段 AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P( 4, -2 ),求直线l与圆M的方程.21.( 12 分)已知函数 f ( x) =x﹣1﹣a ln x.( 1)若f (x)0,求a的值;( 2)设 m 为整数,且对于任意正整数 n , (1+ 1 1 12 )(1 + 22 )K (1+2n ) ﹤ m ,求 m 的最小值.(二)选考题:共 10 分。
请考生在第 22、 23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22. [ 选修 4 - 4:坐标系与参数方程] (10 分)在直角坐标系xOy 中,直线 l1的参数方程为x 2+t , ( t 为参数),直线 l 2 的参数方程为y kt,x2 m,llkPm ( m 为参数).设1与2的交点为,当变化时, 的轨迹为曲线 .PCy,k( 1)写出 C 的普通方程;( 2)以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l : ρ(cos θ+sin θ)- 2 =0,M 为 l33与 C 的交点,求 M 的极径.23. [ 选修 4 - 5:不等式选讲 ] ( 10 分)已知函数 f ( x )=│ x +1│–│ x –2│.( 1)求不等式 f (x )≥1的解集;( 2)若不等式 f (x )≥ x 2–x + m 的解集非空,求 m 的取值范围.绝密★启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题正式答案一、选择题1.B2.C3.A4.C5.B6.D7.D8.B 9.A 10.A 11.C 12.A二、填空题13. -1 14. -8 15.(-1,+) 16.②③4三、解答题17. 解:( 1)由已知得 tanA=3,所以 A=23在 △ ABC 中,由余弦定理得28 4c 2 4c cos 2 ,即 c 2 +2 c-24=03解得 c (舍去), c =46( 2)有题设可得CAD =2 ,所以 BADBAC CAD61AB g AD gsin621故△ ABD 面积与△ ACD 面积的比值为1AC g AD214 2 sinBAC 23,所以ABD 的面积为3.又△ ABC 的面积为 218. 解:( 1)由题意知, X 所有的可能取值为200,300,500 ,由表格数据知P X2002 16 0.290P X30036 0.490P X500257 40.4 .90因此 X 的分布列为X200 300 500P0.2 0.4 0.4⑵由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为 500,至少为 200,因此只需考虑200 ≤ n ≤ 500当 300 ≤ n ≤ 500 时,若最高气温不低于 25,则 Y=6n-4n=2n若最高气温位于区间 20, ,25 ,则 Y=6× 300+2( n-300 ) -4n=1200-2n;若最高气温低于 20 ,则 Y=6× 200+2( n-200 ) -4n=800-2n; 因此 EY=2n × 0.4+ (1200-2n )× 0.4+(800-2n) × 0.2=640-0.4n当 200 ≤ n 300 时,若最高气温不低于 20,则 Y=6n-4n=2n;若最高气温低于 20 ,则 Y=6× 200+2( n-200 ) -4n=800-2n;因此 EY=2n × (0.4+0.4)+(800-2n) × 0.2=160+1.2n所以 n=300时, Y 的数学期望达到最大值,最大值为 520元。
19. 解:( 1)由题设可得,ABDCBD , 从而 ADDC又 ACD 是直角三角形,所以ACD =90取 AC 的中点 O ,连接 DO,BO,则 DO ⊥ AC,DO=AO又由于 ABC 是正三角形,故 BO AC所以DOB 为二面角 DAC B 的平面角在Rt AOB 中, BO 2 AO 2 AB 2又AB BD , 所以222222,故 0BO DO BO AO AB BD DOB=90所以平面 ACD 平面 ABC( 2)由题设及( 1)知,uuuruuurOA, OB, OD 两两垂直,以O 为坐标原点,的方向为 x 轴正方向, OA 为单位长,OA建立如图所示的空间直角坐标系O- xyz ,则(1,0,0),(0,3,0), ( 1,0,0), (0 ,0,1) AB C D由题设知,四面体 ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的 1,从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距2离的13 1. 故,即 E 为 DB 的中点,得 E 0,2,22uuur uuur uuur3 1AD 1,0,1 ,2,0,0 ,1, ,ACAE2 2uuur0,设 n = x, y,z 是平面 DAE 的法向量,则n gAD uuur 即n gAE 0,可取 n = 1,3,1 3uuur 0, 设 m 是平面 AEC 的法向量,则m gACuuur 同理可得 mm gAE 0,则 cos n ,mngm 7n m 77 所以二面角 D-AE-C 的余弦值为720. 解( 1)设 A x 1 , y 1 ,B x 2 , y 2 ,l : x my 2xmy 2 2my4 0,则 y y4由可得 y 2y 22x1 222y 1 y 22又 x 1 =y 1,x 2 =y 2,故 x 1 x 2 = =442 2因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为y 1 g y 2 = -4=-1x 1 x 24所以 OA ⊥OB故坐标原点 O 在圆 M 上 .x z 0 x3 y 10 2z20, 1, 3( 2)由( 1)可得 y 1 +y 2 =2m,x 1 +x 2 =m y 1 +y 2+4=2m 2 4故圆心 M 的坐标为 m 2+2, m ,圆 M 的半径 rm 2 2m 22uuur uuury 2 y 2 0由于圆 M 过点 P ( 4, -2 ),因此AP BP 0 , 故 x 4 x 4g1 212即 x 1 x 2 4 x 1 +x 2 y 1 y 2 2 y 1 y 2 20 0由( 1)可得 y 1 y 2 =-4,x 1x 2 =4,所以 2m2m 1 0 ,解得 m1或m1 .2当 m=1 时,直线l 的方程为 x-y-2=0,圆心M 的坐标为( 3,1 ),圆 M 的半径为 10 ,圆 M 的方程为x 2y 1210 3当 m14 0,圆心 M 的坐标为9 185时,直线 l 的方程为 2x y,-,圆 M 的半径为,圆 M 的方2424程为x9 2+ y+1 285421621. 解:( 1) f x 的定义域为 0,+ .①若 a 0 ,因为 f1 =- 1+a ln 2<0 ,所以不满足题意;2 2②若 a >0 ,由f ' x1 a x a知,当时,< ;当,时,> ,所x xx0,af ' xxa +f ' x以 f x 在 0,a 单调递减,在a ,+单调递增,故 x=a 是 fx 在 x0,+的唯一最小值点 .由于f 10,所以当且仅当=1 时,f x0.a故 a =1( 2)由( 1)知当, 时, x 1 ln x >0x1 +1得 ln 1+11令 x=1+ n 2 n<2 n ,从而2ln 1+ 1 + ln 1+1+ + ln 1+1< 1 +1+ +1=1- 1<12222n 2 222n2n故 1+11+121+1< e2 22n而 1+11+12 1+13 >2 ,所以 m 的最小值为3.2 2222. 解:( 1)消去参数 t 得 l1的普通方程 l 1 : yk x2 ;消去参数 m 得 l 2 的普通方程 l 2 : y1x 2ky k x 2,消去 k 得 x 2y 2设 P ( x,y ) , 由题设得y 1 x 24 y0 .k所以 C 的普通方程为 x 2 y 24 y 0( 2) C 的极坐标方程为 r2cos 2qsin 2q4 0< q <2p q, pr2cos 2q sin 2q4得 cosqsinq =2 cosq +sinq .联立cosq + sinq- 2=0 r12= 921故,从而,=cos qsin qtanq310 10代入 r 2 cos 2q - sin 2q =4得r 2 =5,所以交点 M 的极径为5 .23. 解:3,x < 1( 1) f x2x 1,1 x 23,x >2当 x < 1时, f x 1无解;当 1x 2 时,由f x 得, 2x 1 1,解得 1 x 21当 x >2 时,由 f x1解得 x >2 .所以 fx 1的解集为 x x 1 .( 2)由 fx x 2xm 得 m x 1 x 2 x 2x ,而x 1 x 2 x 2 x x +1+ x 2 x 2 x=- x - 3 2 + 52 454 且当 x 3 时, x 1 x 2 x 2 x =5 . 2 4 故 m 的取值范围为 - 5 , 4。